Capitulo_07_Sears - Javier Palacios

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ENERGÍA POTENCIAL
Y CONSERVACIQN
DE LA ENERGIA
¡ J
cuando un clavadista se tira de un trampolín a la alberca, golpea el agua rápi
damente, con mucha energia cinética. ¿De donde proviene esa energia? La
respuesta que dimos en el capitulo 6 fue que la fuerza gravitacional (el peso) rea
liza trabajo sobre el clavadista al caer. La energia cinética del clavadista ener
gia asociada con su movimiento aumenta en una cantidad igual al trabajo
realizado. I
Sin embargo, hay ona forma muy útil de ver el trabajo y la energia cinética. Es
te nuevo enfoque se basa en el concepto de energía potencial, que es energia aso
ciada con la posicion de un sistema, no a su movimiento. En este enfoque, hay
eiiergi'o poieacioi groviiocioriri! incluso cuando el ciavadista esta parado en el
trampolín. A1 caer, no se agrega energia al sistema Tierra clavadista, sino que una
Mientras un clavadista se precipita hacia el
agua, cierta energia potencial gravitacional
se convierte en energia cinética del clava
dista. Cuando el clavadista entra en el
agua, pierde rapidez v su energia cinética
se convierte en energia termica del agua,
elevando un poco su temperatura. Medicio
nes cuidadosas demuestran que no se pier
de energia en este proceso; la energia soio
cambia de forma.
_ ¬_ ":.7.I._"\_4_.,_ 1 ¬ . n
Cuando el clavarlista entra en
el agua, ¿ésta realiza sobre el trabajo
positivo o negativo? ¿La fuerza de la
gravedad efectúa trabajo positivo o
negativo sobre él?
241
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pablo
Resaltar
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242
F1 I
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iii = ing' U
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“ (al La energia potencial
gravitacional U disminuye
""' Forros
I
IT* = mš
Movimiento
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251% 1
[bj La energia potencial
gravitacionaì U aumenta
}'.1 La fuerza gravitacional 11" realiza
trabajo durante el movimiento vertical
de tm cuerpo desde una altura inicial y, a
una altura final ji 11. La energía potencial
gravitacional (al disminuye si el cuerpo
se mueve hacia abajo y (b) aumenta si se
mueve hacia arriba.
_' 'I _.
C2 A P í T U L o 7 I Energía potencial y conservación de la energia
reserva de energía se transforma de una forma (energia potencial) a ot.ra tfenergia
cinética). En este capítulo, veremos cómo puede entenderse esta transformación
con el teorema de trabajo energía.
Si el clavadista rebota en el trampolín antes de saltar, la tabla flesionada alma
cena otra clase de energía potencial llamada energia ,ootencioi eirisrico. Veremos
la energía potencial elástic a. de sistemas sencillos como un resorte estirado o com
primido. (Otra clase importante de energia potencial se asocia. a. las posiciones re
lativas de particulas con carga eléctrica. Veremos esto en el capitulo 23).
Demostraremos que, en algunos casos, la suma de las energías cinética v po
t.encial de un sistema, llamada, energia mecánico roroi, es constante durante su
movimiento. Esto nos llevará. al enunciado general de la ley de conservacion de io
eiiergic, uno de los principios mas fundamentales y trascendentales de la ciencia.
7.1 | Energia potencial gravitacional
Una partícula gana o pierde energía cinética porque interactúa con otros cuerpos
que ejercen fuerzas sobre él. En el capitulo 6 vimos que, en cualquier interacción,
el cambio de energía cinética de una partícula es igual al trabajo total efectuado
sobre ella por todas la.s fuerzas que actúan sobre ella.
En muchas situaciones, parece que se almacena energía en un sistema para re
cuperarse después. Es como una cuenta de ahorros, depositamos dinero que luego
retiramos. Por ejemplo, hay que efectuar trabajo sobre el martillo de un martinete
para levantarlo. Parece razonable que, al elevar el martillo en el aire, se esta alma
cenando energia en el sistema, la cual se convierte después en energía cinética al
caer el martillo. O considere a su primo Tito en su columpio. Suponga que le da
un empujón, confiriéndole cierta energía cinética y luego lo deja oscilar libremen
te. Tito se detiene momentáneamente cuando llega a los extremos de su arco, asi
que ahí no tiene energía cinética, pero la recupera al pasar por el punto bajo del ar
co. Parece como si en los puntos altos la energía se almacenara en algunaotra for
ma, relacionada con su altura sobre el suelo, y se reconvirtiera en energia cinética
al oscilar hacia el punto bajo. `
Ambos ejemplos apuntan a la idea de una energía asociada a la posicion de los
cuerpos en un sistema. Este tipo de energia es una medida del potenciar? o posibi
iidoa' de efectuar trabajo. A1 levantar el martillo, existe el potencial de que la fuer
za de gravitación realice trabajo sobre él, pero sólo si el martillo se deja caer al
suelo. Por ello, la energia asociada con la posición se llama energía potencial. Lo
dicho sugiere que hay energía potencial asociada al peso de un cuerpo 3; a su altu
ra sobre el suelo: la crzergio poreccioi gm virocionoi.
Cuando un cuerpo cae sin resistencia del aire, la energía potencial gravitacio
nal del cuerpo disminuye y su energía cinética aumenta. Sin embargo, en el capi
tulo 6 usamos el teorema de trabajo energía para concluir que la energía cinética
de un cuerpo que cae aumenta porque la fuerza de la gravedad terrestre [el peso
del cuerpo) realiza trabajo sobre el cuerpo. Usemos ese teorema para demostrm
que ambas descripciones del cuerpo que cae son equivalentes y para deducir la es
presión de la energia potencial gravitacional.
Consideremos un cuerpo de masa nt que se mueve en el eje y (vertical), como
en la figura 7.1. Las fuerzas que actúan sobre él son su peso, de magnitud tv = mg,
ji tal vez otras; llamamos a la suma vectorial (resultante) de todas las otras fuerzas
F,,,,.,,. Suponemos que el cuerpo permanece tan cerca de la superficie terrestre que
el peso es constante. (Veremos en el capitulo '12 que el peso disminuye con la al
pablo
Resaltar
1. __. _ ¬.
7'.l I Energía potencial gravitacional
tura,) Queremos determinar el trabajo efectuado por el peso cuando el cuerpo cae
de una altura yl sobre el origen a una alttu*a menor yg (Fig. 7. la). El peso y el des
plazamiento tienen la misma dirección, así que el trabajo WW, efectuado sobre el
cuerpo por su peso es positivo;
Wgrav = FS : W(yl _ 1,2) : mgyl _ mgyl
E sta expresión también da el trabajo correcto cuando el cuerpo sube yy, es mayor
que _v1 (Fìg. T, lb). En t.al caso, y, 312 es negativo y Wg,.,,,,. es negativo porque el pe
so y el desplazamiento tienen direcciones opuestas.
La ecuación (7.1) muestra que podemos expresar Wg,,,,. en términos de los va
lores de la cantidad aigy al principio y al final del desplazamiento. Esta cantidad,
el producto del peso aig y la altura ,ti sobre el origen, es la energía potencial gra
vitacional, U:
U = ragy (energía potencial graoitacional) (7.2)
Su valor inicial es U, = mgy, y su valor final es U2 = mgyg. El cambio en U es su
valor final menos su valor inicial: AU = U2 U1. Podemos expresar el trabajo
WW, realizado por la fuerza gravitacional durante el desplazamiento de jr, a y_ ,_, como
Wgmv=U1_ U2:_(U2_U|) = “ÉU (7 3)
El signo negativo de AU esfimdcmertrol. Cuando el cuerpo sube, y aumenta, el
trabajo realizado por la gravedad es negativo y la energía potencial gravitacional
aumenta (AU ';> 0). Si el cuerpo baja, y disminuye, la gravedad realiza trabajo po
sitivo y la energia potencial gravitacional se reduce (AU si 0). Es como sacar di
nero del banco (reducir U) y gastarlo (realizar trabajo positivo). Como muestra la
ecuación (723), la unidad de energia potencial es el joule (J), la misma del trabajo.
ÉAunque se sienta tentado a hacerlo, no es correcto llamar a U =
mgy la "energia potencial gravltacional del cuerpo". La energía potencial gravi
tacional es una propiedad compartida del cuerpo y la Tierra. Esta energia au
menta si la Tierra permanece fija y la altura aumenta; también aumenta si el
cuerpo esta fijo en el espacio y la Tierra se aleja de él. Observe que en la fórmu
la U = ingy intervienen caracteristicas tanto del cuerpo (su masa rn) como de la
Tierra (el valor de gl.
IrConservaclon dela energia mecánica
(sólo fuerzas gravitacionales)
Si quiere ver para qué sirve la energia potencial gravitacional, suponga que el pe
so del cuerpo es la iinico fuerza que actúa sobre él Íí',,,,,,,_._ = 0. El cuerpo cae libre
mente sin resistencia del aire, y podría estar subiendo o bajando. Sea U] su rapidez
en y,, y og, en yy, El teorema de trabaj o energia (ecuación 6.6) dice que el trabajo
total efectuado sobre el cuerpo es igual al cambio en su energia cinética; Pi/Ím, = AK
= KE K¡. Si la gravedad es la única fuerza que actua, entonces, por la ecuación
(7.3), Wm, = Wgm, = .ó.U= U, U2. Jtmtando esto tenemos '
U K2_K1:UI_U2
1
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
Puede ser pregunta teorica
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C A P íT U L o 7 I Energía potencial y conservación de la energía
que podemos reescribir como
K, + U1 = Kg + U2 (si sólo la gravedad realiza trabajo) (7.4)
D
1 l
šmofí + mgyl ïmof + mgyg (si sólo la gravedad realiza trabajo)
(`i.5)
Ahora definimos la suma. K + U de las energías cinética y potencial como E, la
energia mecánica total del sistema. "Por “sistema”, nos referimos al cuerpo de
masa m y la Tierra considerados juntos, porque Ues una propiedad compartida de am
bos cuerpos. Así, El = K, U1 es la energía mecánica total en yl y E2 = K, + U2
es la energía mecánica total en y¿. La ecuación (7.4) dice que, cuando el peso del
cuerpo es la única fuerza que realiza trabajo sobre él, El = E2. Es decir, E es cons
tante; tiene el mismo valor en _,v1 que en yg. No obstante, dado que las posiciones
y, y yg son puntos arbitrarios en el movimiento del cuerpo, la energía mecanica to
tal E tiene el mismo valor en todos los puntos durante el movimiento;
E = K + U = constante (si sólo la gravedad efectúa trabajo)
Una cantidad que siempre tiene el mismo valor es una cantidad que se conservo.
Si solo lo fuerza de gravedad efectúa trabajo, lo energia mecánico toroi es cons
tante, es decir; se conservo (Fig. 7.2). Este es nuestro primer ejemplo de la con
servacion de la energia mecánica.
Cuando lanzamos una pelota al aire, su rapidez disminuye al subir, a medida
que la energía cinética se convierteien energía potencial; .Mí < U y ió U Z `> U. Al ba
jar, la energía potencial se convierte en cinética y la rapidez de la pelota aumenta;
AK > 0 y AU si 0. No obstante, la energía mecánica roto! (cinética més potencial)
es la misma en todos los puntos del movimiento, siempre que ninguna otra fi.1erza
realice trabajo sobre la pelota (la resistencia del aire debe ser insignificante). Si
gue siendo verdad que la fuerza gravitacional efectúa trabajo sobre el cuerpo al
subir o bajar éste, pero ya no tenemos que calcularlo directamente; basta ver có
mo cambia el valor de U.
Un punto importante en lo que se refiere a la energia potencial
gravitacional es que no importa que altura escojamos comoy = ti, el origen de
coordenadas. Si desplazamos el origen dey, los valores de y, yy, cambiaran, pe
Al subir __ Al bajar
K disminuye K aumenta
U aumenta _! _ ; ¿ inuye
_ ' J "` ._`
_ c = mg ......... ..
fu. _ F'
7.2 Mientras el atleta esta en el aire, sólo la gravedad efectua
trabajo sobre él (si despreciamos los efectos menores de la
resistencia del aire). La energía mecanica la suma de las energias
ci_nética y potencial gravitacional_ se conserva.
pablo
Resaltar
!!!
1 . _
.
7.1 I Energía potencial gravitacional 245
ro su diferencia no. Se sigue que aunque U, y U2 dependen de dónde coloque
mos el origen, la diferencia U, U, =mg(y, y,) es independiente. La cantidad
que tiene importancia fisica no es el valor de U en cierto punto, sino la diferen
cia en Uentre 2 puntos. Así, podemos definir U como cero en cualquier punto
` f"d|` " Et 'I l"t`mIosin afectar la tstca e a sttuaclon. s o se I ustra en e slguten e eje p _
 %“'“i
Lanzamos una pelota de béisbol con masa de 0.145 kg hacia
arriba, dandole una rapidez inicial de 20.0 mis. Use la conservación
de la energía para determinar qué altura alcanza, despreciando la
resistencia del aire.
IDEIllTlFICAR¦ Una vez en el aire, la única fuerza que actua sobre
la pelota es su peso; por tanto, podemos usar la conservación de la
energia mecanica. .
PLANTEJKR: Usaremos las ecuaciones (7.4) y ("i.5); el punto 1 sera
el punto en que la bola abandona la mano, y el ptutto 2, donde la pe
lota alcanza su altura máxima. A1 igual que en la figura 7.1, esco
gemos un eje y que apunta verticalmente hacia arriba. La rapidez de
la pelota en el punto 1 es o, = 20.10 mis. La pelota está instantánea
mente cn reposo en el punto mas alto de su movimiento (punto 2),
asi que oy = ll.
La incógnita es la distancia que la pelota se mueve verticalmen
te entre estos dos puntos, es decir, el desplazamientoyy y,. Por
sencillez, colocaremos el origen en el punto 1, donde la pelota
, si , , U
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7.3 Después de separarse la pelota de la mano, la única fuerza.
que actúa sobre ella es su peso (despreciando la resistencia del
aire), asi que la energia mecánica E = K + U se conserva. Las
gráficas de barras de energia muestran los valores de E, K y U
son ='L`1ria
Altura de una pelota por conservación de la energia
abandona la mano. Entonces, yl = 0 (Fig. 13) y la incógnita es sim
plemente yy.
EJECUTAR: Puesto que yl = 0, la energía potencial en el punto 1 es
U, = ingy, `= D. Además, dado que la pelota esta en reposo en el pun
to 2, la energía cinética en ese punto es Kg = åmof = il. La ecua
ción (7.4), que dice que K, + U, = Kg + U1, se convierte en
Ki _: Us
Como se ve en las graficas de barras de energía de la figura 1.3, la
energia cinética de la bola en el punto l se convierte totalmente en ener
gía potencial gravitacional en el ptmto 2. En el punto l, la energia
cinética es _
1 , 1K, = ¿ mv; = ¿(0.145 1<g)(2c.c meji = zac J
y es igual a la energia potencial U2 = mgyg en el punto 2, así que
Uv .y2_ ,_ 2901 Í? :mmm
tng (0.145 kg) (9.80 misr)
También podemos resolver K, = U2 algebraicamente despejando y 2:
1 1¿nar = msn
of (20.0 mis)i
yz _ '
Zg 2(9.8O mis )
EVALUAR: La masa se elimina, como esperábamos; en el capitulo
2 vimos que el movimiento de un cuerpo en caida libre no depende
de su masa. De hecho, podríamos haber deducido el resultado yy =
o1íi2g utilizando la ecuación (2.13).
Al realizar el cálculo anterior, escogimos el origen en el punto l,
de modo que y, = CI y U, = D. ¿Qué pasa si escogemos otro origen?
Suponga que lo colocamos 5.0 m debajo del punto 1, de modo que
yj = 5.0 m. Entonces, la energía mecanica total en el punto l será en
parte cinética y en parte potencial, pero en el punto 2 sera puramen
te potencial; Sí realiza el calculo usando este origen, obtendrá 3:3 =
25.4 m, este es 20.4 tn sobre el punto 1, igual que con el primer ori
gen. En cualquier problema, .corresponden Ud. escoger la altura
donde U ~= D; no se rompa la cabeza, porque la tìsica de la respues
ta no depende de su decisión.
ïmflm_†"\=± 
246
Act v
CIl'~lL NEPhyscs
5.2 Detenienclo un elevador que
asciende
5.3 Detención de un elevador que
baja
5.5 Rapidez de un esquiador
Hi
n
ll
W
IDENTIFICÃR los conceptospertinentes: Primero decida si con
viene resolver el problema con métodos de energía, usando
EE = nai' directamente, o con una combinación de estrategias.
El enfoque de energia es muy útil si el problema implica movi
miento con fuerzas variables, en una trayectoria curva (que vc
remos mas adelante) o ambas cosas. Si el problema implica
' _._¿'_. '
e A P í T U L o 7 l Energía potencial y conservación de la energía
Efecto de otras fuerzas
Si otras fuerzas actúan sobre el cuerpo ademas de su peso, entonces Íi',,,,,_,, d_e la
figura 7.1 no es 0. En el caso del martinet_e del ejemplo 6.5 (sección 6.2) la fuerza
aplicada porel cable y la íriccjón de las guías verticales son ejemplos de fuerzas
que podrían estar incluidas en F,,,,,,. El trabajo gravitacional WW. aún esta dadp por
la ecuación (7.3), pero el trabajo total W,,_,, es la suma de W,,_,,,_ y el trabajo de F,,,,,,_
Llamamos a este trabajo adicional W,,,,,, de modo que el trabajo total realizado
por todas las fuerzas es W,,,, = Wg,__,,_ + W,,,,,,. lgualando esto al cambio de energía
cinética, tenemos
W +WH Q n omotras gra». _
Además, por la ecuación (7.3), Wgm, = U, U2., así que
Wotras + U1 _ U2 = KE _ Ki
que podemos reacomodar así:
K, + U, + W,,,,,,, = K, + U, (7.7)
(si otras fuerzas además dela gravedad efectúan trabajo)
Por último, usando las expresiones apropiadas para los distintos términos de ener
gia, obtenemos
l l
šnwfi I ingy, + W,,,,_,, = ïinuf I rngy, (7.8)
(si otras fuerzas además de la gravedad efectúan trabajo)
El significado de las ecuaciones (7.7) y (7.8) es que ei rraiiaio realizado por ro
das lasƒiierzas distintas de la gravitacional es igirai ai carnbio en la energia rneca
nica total E = K I U del sistema, donde U es la energia potencial gran nacional. Si
W,,,,,, es positivo, E aumenta y (K, + U_,) I> (K, + U,). Si W,,,,.,, es negativo, E dismi
nuye. En el caso especial en que sólo el peso realiza trabajo, W,,,,,,, = U. La energia
mecánica total es entonces constante, y volvemos a la ecuación (7.4) o (7.5).
Problemas en los que se utiliza energia mecánica
ra el final. Resulta útil hacer dibujos que muestren los es
tados inicial y final.
2. Defina su sistema de coordenadas, sobre todo el nivel en
el que y = D. Esto le servira para calcular las energias po
tenciales gravitacionales. La ecuación (7.2) supone que la
dirección +y es hacia arriba; le sugerimos tomar esa deci
sión de forma consistente.
ti tr 'd , l nf d ' 1 l ' _ _ _ _ _Empü anscum D E E Úqufl G energia im sus E ser E meiür 3. Identifique las fuerzas no gravitactonales que efectuen
porque en él no interviene el tiempo directamente.
PLAHTEAH ei problema ernpieantio ios pasos siguientes.:
trabajo. Los diagramas de cuerpo libre siempre son útiles.
Si algunas de las cantidades que necesita son incógnitas,
represéntelas con simbolos algebraicos
l. Si usa el enfoque de energia, primero decida cuales son 4. Haga una lista de las cantidades conocidas y desconoci
los estados inicial y final (posiciones y velocidades) del
sistema. Use el subíndice l para el estado inicial y el 2 pa
das, incluidas las coordenadas y velocidades en cada pun
to. Decida qué incógnitas resolverá.
pablo
Resaltar
La energia mecanica no es constante
7.1 l Energía potencial gravitacional 24?
EJECUTÃH la solución.: Escriba expresiones para las energías EVALUAR ia respuesta.: Verifique si su respuesta es lógica fisi
cinéticas y potenciales iniciales y finales (K,, Kg, U, y U, ,). En camente. Tenga presente, aquí y mas adelante, que el trabajo
general, algunas seran conocidas y otras no. Relacione las cner efectuado por cada fuerza debe estar representado en U, U, , =
gías cinética y potencial y el trabajo no gravitacional W,,,,,,, . AU o bien en W,,,,,,,, pero nunca en ambos. El trabajo gravita
usando la ecuación (7.7). (Tendrá que calcular W,,,,,,, en términos cional está incluido en oli; tenga cuidado de no incluirlo 'otra
de las fuerzas no gravitacionales_) Si no hay trabajo no gravita vez en W,,,,,,,_ '
cional, la expresión se convertirá en la ecuación (7.5). Las gra
ficas de barras que muestran los valores iniciales de K, U y E =
K + U son útiles. Despeje la cantidad desconocida.
Trabajo y energia al lanzar una pelota
En el ejemplo 7.1, suponga que la mano sube 0.50 m al lanzar la
pelota, la cual, al separarse, tiene una velocidad hacia arriba de 20.0
mis. Haga, otra vez, caso omiso de la resistencia del aire. a) Supo
niendo que su mano ejerce una fuerza constante hacia arriba sobre I
la pelota, calcule la magnitud de esa fuerza. b) Calcule la rapidez de la U3 ;¿_~_ __ = " ,rr Its = 15 Ú 111 E K U
pelota en un punto l5.ü m arriba de donde se le soltó. ii
sotución
_ $
IDENTIFICAR: En el ejemplo 7.1, usamos la conservación de la
energia mecanica porque sólo la gravedad efectuaba trabajo. En es U = ,O 0 mk, _ __
_ ,___ cero
te ejemplo, en cambio, deberemos incluir también el trabajo no g1:a .
vitacional efectuado por la mano. ,P _ _, ,,,, = U
' :T . T e rr o:
PLANTEHR: La figura 7.4 muestra un diagrama de la situación, con H _›'
| _ _ ' _ _ _ _I _ _ .__,_. .,__ :_ __ í .,.,__
'. I. _un diagrama de cuerpo libre de la pelota al ser lanzada. El movi : _ ___ _ :
miento de la pelota tiene dos etapas: mientras está en contacto con U 513 H1
la mano y después de lanzada. Pa1:a definir esas etapas, sea el pun '
to l el punto donde la mano inicia su movimiento, el punto 2, don ul
de la pelota pierde contacto con la mano y el punto 3, donde la .: , 05,] 'im'
pelota esta 15.0 m arriba del punto 2. La fuerza no gravitacional de ¦._ _ ii ,` _j_
su mano, E sólo actua entre los puntos 1 y 2. Utilizando el mismo I' F _ if
sistema de coordenadas que en el ejemplo 7.1, tenemos y, = 0.50 (_, ,1)
m, jr, = D y y _ _, = 15.0 m. La pelota parte del reposo en el punto l, asi
que ti, = U, y nos dicen que la rapidez con que la pelota abandona la J'
mano es U, = 20.0 mis. Las incógnitas son (a) la magnitud F de la fuer l
za que la mano aplica y (b) la rapidez ti, en el punto 3.
Í ,__ _ __ __ _,, I ___ ._, _? jj] = _ lll III nin
| ,_..r J E K U
F
EIECUTÁR:
a) Para determinar la magnitud de ,primero usaremos la 'ecuación
(7 .7_) para calcular el trabajo li:Í,,,,_,, efectuado por esa fi1erza_ Tenemos
ir, = o
U, = rngy, = (lll.l¿l 5 l{g)(9_3Ú l1L(S2)(_'[l_5Ú 111) = _Ú_7l .l .t
1 ,I , I F, tv:
K, = ntoy = (0.145 kg) (20.0 mJ's)* = 29.0 .l
2 2 en
tr, = i s._.,¬¿v, = (dins 1<g)(s_so mni)(o} = o _ _ _
7.4 (a) Lanzamiento vertical de una pelota hacia arriba. __
La flllflfgliï liüiflilüifll inicial Ut E5 negativa Püfflue la Peiülfl estaba (b) Diagrama de cuerpo libre de la pelota mientras la fuerza F
tllïiiijiïi del Uflgflfl. FUI' liì ¢¢UflGiÓfl'(7 7), Ki + U1 + Wenas = Ki + Un aplicada por la__mano efectúa eltrabajo ltl/,,,,,, sobre la pelota. Entre
asi que jr, y ji, actúan F y la gravedad; de _v, a _v, sólo actúa la gravedad.
li K,
\
24 B c A P í T u L o 7 I Energia potencial y conservación de la energia
Woms = (KE _ Ki) + (U2 _ Ul)
= (zsor ti) + (o ( ont 1)) =2s_rJ
La energia cinética de la pelota aumenta en K, K, = 29.0 J, y la
potencial, en U, U, = 0.71 J; la suma es E, E,, el cambio en
la energía mecanica total, que es igual a W,,,,,,_
Suponiendo que la fuerza ii' hacia arriba aplicada por la mano es
constante, el trabajo W,,,,,.,, efectuado por esa fuerza es igual a la
magnitud F de la fuerza multiplic ada por el desplazamiento hacia
arriba y, y, en el que actúa:
H}i_:L| a_s : _ Fl)
W, 29.7 JF ii ~ _ sa N
_]›"2 _ _)r`] ITI
Esto es unas 40 veces mas que el peso de la pelota.
b) Para obtener la rapidez en el punto 3, tomamos nota de que, en
tre los puntos 2 y 3, se conserva la energia mecanica total; la fuer
za de la mano ya no actúa, asi que W,,,,,,,, = 0. Podemos obtener la
energia cinética en el punto 3 usando la ecuación (7.4):
Ka `l' U1 = Ka + Us
tr, = mg,›, = (dias t<, ,f)(9_sc mn e)(1s_c in) = 21.3 J
T _ ¿_ “í _ .___""̀ .'i'__.'_`_`.T_` '_
>¦
,r iej
tlf' = ing U
Dado que K, = jmogf, donde o,,_,, es la componente y de la veloci
dad de la pelota en el punto 3, tenemos
_+ ZK3 + 2(7_7.l) __,_
113,, _ _ i _lll1nis
in Ú_l45 kg
El significado del signo masimenos es que la pelota pasa a'os oeces
por el punto 3, una vez de subida y otra de bajada. La energia mc
cánica total E es constante e igual a 29.0 .i mientras la pelota está en
caída libre, y la energia potencial en el punto 3 es U, = 21.3 J, sea
que la pelota esté subiendo o bajando. Asi, en el punto 3 la energia
cinética y la rapidez de la pelota no dependen de la dirección del
movimiento. La velocidad u,_,_ es positiva (+10 mis) cuando la pelo
ta sube y negativa ( 10 mis) cuando baja; la rapidez o, es de lil
mis en ambos casos.
EVALUAR:Para comprobar el resultado, recordemos que en el
ejemplo 7.1, la pelota alcanza una altura máxima de y = El). 4 m. En
ese punto, toda la energia cinética que la pelota tenía cuando aban
donó la mano en y = 0 se ha convertido en energia potencial gravi
tacional. En y = 15.0, la pelota está a tres cuartas pat:tes del camino
hacia su altura maxima, asi que unas tres cuartas partes de su ener
gía mecanica deberán estar en forma de energia potencial. ¿Puede
demostrar que es asi, con base en los valores obtenidos para K, y U3?
Energia potencial gravitacional para movimiento curvo
, ,;¬'mm, En nuestros primeros dos ejemplos, el cuerpo se movió en una trayectoria vertical
, recta. ¿Qué sucede si la trayectoria es inclinada o curva (Fig. 7_5a)'? Sobre el cuer
"i ` pp actúa la gravedad iii = mg y tal vez otras fuerzas cuya resultante llamamos
F,,,,,,. Para calcular el trabajo efectuado por la fuerza gravitaciona_l durante este
desplazamiento, dividimos la trayectoria en segmentos pequeños dd: uno de ellos
0. se muestra en la figura 7_5b_ El trabajo realizado por la gravedad sobre este seg
mento es el producto escalar de la fuerza y el desplazamiento. En términos de vec
iii) tores unitarios, la fuerza es iii = tng' = rngji y el desplazamento es
ds' = Axi + Ayj, así que el trabajo efectuado por la fuerza gravitacional es
dx
l
.óy ¿,_ì__l
fii=rn§
7.5 (a) Desplazamiento a lo largo de una
trayectoria curva. (b) El trabajo realizado
por la fuerza gravitacional tii = mg sólo
depende de la componente vertical del
desplazamiento ¿ty (en esta figura, fly es
negativo).
tii = rngj' (Ari + óyj) = nsgilty
El trabajo efectuado por la gravedad es el mismo que si el cuerpo se hubiera des
plazado verticalmente una distancia Ay, sin desplazamiento horizontal. Esto se
cumple para cada segmento, así que el trabajo rorai de la fuerza gravitacional es
ing multiplicado por el desplazamiento vertical roiai (y, y,):
Wai, main _ .vil = mari _ titan = U1 : Us
mi Esto es igual a la ecuación (7.1) o (7.3), donde se supuso una trayectoria vertical
Asíque, aun si la trayectoria de un cuerpo entre dos puntos es curva, el trabajo to
tal efectuado por la gravedad depende sólo de la diferencia de altura entre esos
puntos. Este trabajo no se ve afectado por ningún movimiento horizontal que pue
da darse. Por tanto, potiernos usar la inisina expres ión para ia energia potencial
gravitacional, sea ia trayectoria del cuerpo recta o curoa.
.__'_'_'_l'_'_',_",í :ï:j¦'T"' _ i;'1'1;iå É
pablo
Resaltar
7.l I Energía potencial gravitacional 249
UT' 1 = :.'l .L Il'†' ' _T_.'.C.;T'` .É
Se batean dos bolas idénticas con la misma rapidez inicial pero dis
tintos ángulos iniciales. Demuestre que, a una altura dada fr, ambas
bolas tienen la misma rapidez si puede despreciarse la resistencia
del aire.
sotucléu
Si no hay resistencia del aire, la única fuerza que actúa sobre cada
bola después de ser bateada es su peso, asi que la energia mecánica
total de cada una es constante. La figura 7.6 muestra las trayecto
rias de dos bolas bateadas a la misma altura con la misma rapidez
inicial jr por tanto la misma energia mecánica total, pero con dife
rentes ángulos iniciales. En todos los puntos con la misma altura, la
energia potencial es la misma, asi que la energia cinética a esta al
tura debe ser igual para ambas bolas y su rapidez es idéntica.
..,¬.__ .¬
En el ejemplo 3.10 (seccion 3.3), dedujimos una expresión para la
altura máxima F: de un proyectil lanzado con rapidez inicial vn, a un
angulo cin:
¡T = of senï ci.,
2a
Deduzca esta expresión empleando consideraciones de energia.
IDEHTIFICÁH v PLANTEÄR: Hacemos caso omiso de la resistencia
del aire, así que, igual que en el ejemplo conceptual 7.3, la energía
ji' 2 U2¿.{U2J_, =
_ Un
. iz
UIFP
|
I
Ú U Lt'
cero
E K U E _It' U
Punto 1 (3: = U] Punto 2 (__v = Ft)
17.? Travectoriade un proyectil.
_ .».¡ dé¬_ _».:.ï._í. __I.¿_ 1 .."_I'\ 1 ' :í '_ miEU.. í " †'P¦'†| "' |'|¦ì' _íå 17 Íï1'_"'¦l'¶!'ÍE
Energia en el movimiento de proyectiles
"l¡!
¿_ __ __ ____ __
E' K U
En 3,* = .lt
' cero I
E K U Ú
En 3,1 = Q
7.6 Para la misma rapidez y altura inicial, la rapidez de un
proyectil a una altura dada Ii. siemprees la misma si se desprecia
la resistencia del aire. `
_ ìI¡,¡'¡ Í If.:HT, íÍÍ|† F¦ ï_:Lí¿Ifld¦Z _ '=
Altura máxima de un proyectil, usando métodos de energia
mecánica total se conserva. Sea cl punto 1 el punto de lanzamiento,
donde la rapidez es U 1 = U0, y sea el punto 2 el cenit de la trayecto
ria (Fig. 7.7). La incógnita es la altura maxima h, donde la energía
cinética es minima y la energía potencial gravitacional es maxima.
El problema parece fácil: la energia_po_tencial_en el punto 2 es
U2 = mg fr, por lo que aparentemente solo necesitamos es despejar U2
de la ecuación de conservación de la energia', K, t U1 = K, + U3. Sin
embargo, aunque conocemos las energías cinética v' potencial ini
ciales (K, = årnvf = åinvüi y U1 _= 0), no conocernos la rapidez
ni la energía cinética en el punto 2. Para superar esta deficiencia,
usaremos dos resultados relacionados con el movimiento de pro
yectiles que obtuvimos en el capítulo 3: (_ 1) la componente x de la
aceleración es cero, así que la componente .ir de la velocidad es
constante, y (2) laic omponente y de la velocidad es cero en el pun
to 2 (el cenit de la trayectoria).
EJECUTAR: Podemos expresar la energia cinética en cada punto en
términos de las componentes de la velocidad usando ni = of + nf:
l
Ki Z š.lil'Í(U]¿.2 `l“ Ullgl)
1 'Í 'F
Kg Z `à'fl'1(U2¿.. 'l' U2). )
11|
La conservacion de la energia da K, + U1 = K; + U2, asi que
1 1 ,
ïnrlulf + t1¡_,,2) l U = 5 rn(U¿,,2 + o¿_,,') + mgh
Para simplificar, multiplicamos todo por Éfrn, obteniendo
UL? `l` ll.. 7] ¡ig 1 ll. ¡lg ` `l_ UETÉ “l”
.FìíLilL
| 1 rw
runn
'l 1
__. _ï¬_u.r
25Ú c a P iT U L o 7 I Energía potencial y conservación de la energia
Ahora usatnos nuestros resultados para el movimiento de proyectiles. Sin embargo, n1_,, no es mas que la componente y de la velocidad ini
Puesto que la componente .ir de la velocidad no cambia, u,_, = ug, y cial, igual a ug sen du. Sustituyendo y despejando iz obtenemos
podremos cancelar los términos 11,2 de ambos miembros de la ecua
ción anterior. Ademas, puesto que el proyectil tiene velocidad verti
cal cero en el punto más alto de su movimiento, ug. = U. Asi, tenemos
UU? :
nisengcrti ua=_ ~
2a
EVALUAR: Esto concuerda con el resultado del ejemplo 3.1tl, corno
debe ser.
Imagine que su primo Tito baja en patineta una rampa curva en un
parque. Tratando a Tito y su patinete como una partícula, ésta des
cribe un cuarto de circulo de radio R (Fig. 7.8). La masa total de Ti
to y su patineta es de 25.0 kg. Tito parte del reposo y no hay
fricción. (a) Calcule su rapidez en la base de la rampa. (b) Calcule
la fuerza normal que actúa sobre él en ese punto.
s
IDENTIFICAR: No podemos usar las ecuaciones de movimiento
con aceleración constante; la aceleración no es constante porque la
pendiente disminuye a medida que Tito desciende. En vez. de ello,
usaremos el enfoque de energía. Dado que Tito se mueve en un ar
CEIÚ
I sao
 
U1=U J/Í
u to l
DE W /
Él R
Nivel de referencia
Cálculo de rapidez en un circulo vertical
co circular, también usaremos lo que aprendimos acerca del movi
miento circular en la sección 5.4.
PLANTEAR: Puesto que no hay fricción, la única fuerza ademas del
peso de Tito es la fuerza normal E ejercida por la rampa (Fig. '?.Sb}.
Aunque ii actúa en toda la trayectoria, no efectúa trabajo porque
siempre es perpendicular a la velocidad de Tito. Asi, W,,,,,, = U y se
conserva la energía mecánica total.
Llamemos 1 al punto de partida y 2 a la base de la rampa, y sea
y = O en la base (Fig. 7.8a). Entonces, y, = R y yy = Cl. (Estamos tra
tando a Tito como si toda su masa estuviera concentrada en su cen
tro.) Tito parte del reposo en el tope, asi que ul = O. La incógnita en
la parte (a) es su rapidez en la base, nl. En la parte (lo), nos interesa la
magnitud n de la fuerza normal en el punto 2. Puesto que esta fuerza no efectúa trabajo, no aparece en la ecuación de energia, asi que
usaremos la segunda ley de Newton.
H;
2
Punto 2
tv
iv
ÚETD
(ai .s K U un
18 (a) Tito baja en patineta por una rainpa circular sin fricción. La energia mecanica
total es constante. (b) Diagramas de cuerpo libre de Tito y su patinete en varios puntos
de la rampa.
¬.¡. .
ai
7.1 I Energia potencial gravitacional 251
EJECUTAR:
a) Las diferentes energias son
K1 = U U¡ = rngR
l 1
Kg : 5.l'll'1'.l'. l2_ U2 = D
Por la conservación de la energia,
K, + U, = K, + Uy
1 lU I mgR = Earn; + U
U2 : lv'
La rapidez es la misma que si Tito hubiera caido verticalmente una
altura R, y es independiente de su masa.
Como ejemplo numérico, sea R = 3.00 m. Entonces
tf, = \/zrasc mae) (3.00 m) = mi me
Cabe señalar que esta respuesta no depende de que la rampa sea
circular; sea cual sea la forma de la rampa, Tito tendrá la misma rapi
dez ng = \/Ze? en la base. Esto se cumpliría aunque las ruedas de su
patinete perdieran contacto con la rampa durante la bajada, porque la
fuerza gravitacional seguiría siendo la única que efectúa trabajo.
b) Para obtener n en el punto 2 empleando la segunda ley de Newton,
necesitamos el diagrama de cuerpo libre en ese ptmto (Fig. 7.813). En
el ptmto 2, Tito se mueve con rapidez n 1 = "\/2?' en un círculo de
radio R; su aceleración es hacia el centro del circulo y tiene magnitud
Circulo vertical con fricción
En el ejemplo 7.5, suponga que la rampa tiene fricción y la rapidez
de Tito enla base es de sólo 6.00 mis. ¿Qué trabajo efectuó la fuer
za de fricción sobre el? Use R = 3.00 m.
IDENTIFICAR y PLANTEAR: Usamos el mismo sistema de coorde
nadas y los mismos puntos inicial y final que en el ejemplo 7.5
(Fig. T9). Una vez més, la fuerza normal no realiza trabajo, pero
ahora hay una fuerza de fricción que si efectúa trabajo. Por tanto,
el trabajo no gravitacional efectuado sobre Tito entre los puntos 1 y
2, lfF`,,,,¬,,,,_es igual al trabajo efectuado por la fricción, lïífa Ésta es la
incógnita, que obtendremos con la ecuación (7.7).
EJECUTAR: Las energías son
K | Z U
U, = rngR = (25.0 kg)[9.SU tuƒsfj (3.00 m) = 735 J
1 | _rr, = šiatff = ;(as.o kg) (ano mc=.)1 = 45o J
U2 = U
Por la ecuación (TT),
W,»= KE + U1 K¡ U,
.=45DJ+D ¬ü 735J= ¬¬285J
hIU12_2gR_
.tìtmcl É T Ég
Si tomamos la dirección +y hacia arriba, la componente y de la se
gunda ley de Newton es
= rt + ( iv) = rnctmd = Ílrng
n = ur l Érng = Érrtg
En el punto 2, la fuerza normal es el triple del peso de Tito. Este re
sultado es independiente del radio de la rampa. En los ejemplos
5.10 (sección 5.2) y 5.25 (sección 5.4) aprendimos que la magnitud
de ii es el peso aparente, asi que Tito sentiré que tiene tres veces su
peso real ing. Sin embargo, tan pronto como llegue a la parte hori
zontal de la rampa a la derecha del punto 2., la fuerza normal baja
ra a iv = reg, y Tito se sentiré. normal. ¿Entiende por qué?
EVALUAR: Este ejemplo ilustra una regla general acerca del papel
de las fuerzas en problemas en que usamos técnicas de energia: lo
que importa no es sólo si actúa una fuerza, sino si efectúa trabajo.
Si no es asi, como en el caso de la fuerza normal si en este ejemplo,
no aparece en la ecuación (?.'i')_, K, + U1 + lfi”,,,,, = K; + U2.
Observe que tuvimos que usar rn, un el enfoque de energia como
la segunda ley de Newton para resolver este problema; la conserva
ción de energia nos dio la rapidez, y EE = md nos dio la fuerza
normal. En cada parte del problema usamos la técnica que más fá
cilmente nos lleva a la respuesta.
El trabajo efectuado por la fuerza de fricción es 285 J, y la ener
gía mecánica total disminrrye en 285 J. ¿Entiende por qué Wf debe
ser negativo?
f=U
Puntol *rr = U
uk /l
f H R
tv 'll
f n
CBTD
L` H Pt '32
:_ 1 .¬ .1
W f
1Í Punto _ I
'H ' '
iv
I | cero
E K' U
7.9 Diagrama de cuerpo libre de Tito bajando en patineta una
rampa con fricción. La energia mecanica total disminuye
con forme Ti to baja.
'FÉ'
| n¶¡
ri
F
Ira
E
l
_.fllQ.__
tii
_
252 C A P Í T U L o T I Energia potencial y conservación de la energía
EUALUARI El movimiento de Tito está determinado por la segunda
ley de l'~le\vton, ÉF = ind. Pero seria muy dificil aplicar esa ley di
rectamente al problema porque las fuerzas normal y de fricción, asi
como la aceleración, estan cambiando continuamente de magnitud
y dirección conforme Tito baja. El enfoque de energia, en cambio,
fi ¡ L
Plano inclinado con friccion
Queremos subir una caja de 12 kg a un camión deslizandola por
una rampa de 2.5 m inclinada 30°. Un obrero, sin considerar la fric
ción, calcula que puede subir la caja dandole una rapidez inicial de
5.0' mis con un empujón en la base. Sin embargo, la fricción no es
despreciable; la caja sube 1.6 m por la rampa, se para, y regresa
(Fig. '?.1tl], a) Suponiendo que la fuerza de fricción que actóa sobre
la caja es constante, calcule su magnitud. b) Qué rapidez tiene la ca
ja al volver a la base de la rampa?
IDENTIFICAR: La fuerza de fricción que efectúa trabajo sobre la
caja mientras ésta se desliza. Igual que en el ejemplo 7.2, obtendre
mos la magnitud de la fuerza no gravitacional que efectúa trabajo
(en este caso la fricción) con el enfoque de energia. Una vez que co
nozcamos la magnitud de esa fuerza, podremos calcular cuánto tra
bajo no gravitacional efectúa mientras la caja se desliza rampa
abajo. Entonces podremos usar el enfoque de energia otra vez para
obtener la rapidez de la caja en la base de la rampa.
PLANTEAR: La primera parte del movimiento es del punto l, la ba
se de la rampa, al ptmto 2, donde la caja se para instantáneamente
(Fig. T,l Da). En la segunda parte del movimiento, la caja vuelve a
la base de la rampa, que llamaremos punto 3 (Fig. 7. lüb). Tomare
mos y = 0 [y por tanto U= U) en el piso, asi queyj = 0,3/2 = (1.6 m)
sen 3Iì° = [LSD m yy, = 0. Nos dicen que ti, = 5.0 mis y uy = 0 (la
caja esta instantaneainente en reposo en el punto 2). La incógnita en
la parte (al esf la magnitud de la fuerza de fricción, que obtendre
mos con la ecuación (7.7). En la parte (la), la incógnita es U3, la ra
pidez en la base de la rampa.
EJECUTAR:
a) Las energias son
K, = å(12tg)(.5.oma)t =15oJ U, = 0
rr, = o U, = (12 1<g)(9.s mfs1)(o.sc rn) = 941
PF otras E _.ƒšl
donde ƒ es la magnitud desconocida de la fuerza de fi icción y s =
l.ó m. Usando la ecuación (7.7), obtenemos
K] `l` lll. 'r1“l` Wnu1q:K2+U2
Wotras " ff _ (Ki + U2) _ (Ki + Ut
relaciona los movimientos en el tope y la base de la rampa sin im
plicar los pormenores de lo que sucede en medio. Muchos proble
mas son faciles si usamos consideraciones de energía y muy
complejos si tratamos de usarlas leyes de Newton directatnente.
La fuerza de fricción de 35 N, actuando a lo lmgo de 1.6 m, reduce
la energia mecanica de la caja de l50 a 94 J. (Fig. T. lüc). b) La c aja
vuelve al punto 3 en la base de la rampa; yy, = 0 y U3 = tl (Fig. T. lDb).
Éjççl U2 = 'El
5.0 m. "s
\ '
=c
CBTD I CETD I I C'ÉI`CI
) ilƒ (K,+U,) (K,+U,) C .e si U E K U E s' U
S
D 94] _ 150] fl_ ii + > f + ii,m,
l.óm
` Punto 1 Puntoì Punto 3
7.10 (a) Una caja sube deslizándosepor tma rampa, se para y
Lt I(b) baja. (c) Gráficas de barras de energia para los puntos l, 2 y
7.2 I Energía potencial elástica 253
rección pero tienen las mismas magnitudes, asi que el trabajo por : i' = 2 5 TU ¡S
fricción tiene el mismo valor negativo en cada mitad del viaje, y ei
total entre los puntos l y 3 es
Al bajar, la fuerza de fricción y el desplazamiento invierten su di .'2¡:33 J)
ui _ \/ la \i iz ag
EVALUAR: Dbserve que la rapidez de la caja cuando regresa a la
`W“"““ : WW Z _2fil = _2(35 N) l L6 m) : nl 12 J base dela rampa, U3 = 2.5 mfs, es menor que la rapidez n1= 5.0 rnƒs
Por la parte (. gi), K, = 150 J 1,: U, = 0, La ecuación (T_T) da con que salió de ese punto. Eso esta bien: se perdió energia debido
a la fricción,
Ki + U] + Wmfü : Ki + U3' En la parte (b) aplicamos la ecuación ("i'.'?) a los puntos 1 y 3,
K li = Xi 'l' U1 _ Us `l` Weiss considerando el viaje redondo en conjunto. También podriamosha
: 150' l 'l' Ú " 0 + (_l12 l) : 33 J ber considerado sola la segunda pa.rt.e del movimiento, aplicando la
ecuación (7.7) a los puntos 2 y 3. lnténtelo y vea si obtiene el misLa caja vuelve a la base de la rampa con sólo 38 J de los 150 J ori
mo valor de U3.ginales de energia mecanica (Fig. T. 1 Dc). Usando K; I åi ri.o¡,2, ob
tenemos
_ _.. ¬ |¬¬¬ .uu sua. _. in |..a un rr H .f:fl± |' .'..'.'D:.___._._'' ' _¦_¡_ _ fïf.. N' _; "_ ' ' '. ."."n'å.'1'_`.'I'.f1"Z"|'.T."Z".TEí» ÉZÍ1
La figura 7.11 muestra dos rampas distintas sin fricción. Las alturas yy y yy son
iguales en cada rampa. Si un bloque con masa rn se suelta del reposo desde el ex
tremo izquierdo de cada rampa, ¿cuál bloque tendrá mayor rapidez al llegar al extre
mo derecho?
¡"._ "| I
7.11 Dos rampas con las inisiiias ji, y yy.
7.2 | Energia potencial elástica
Cuando un vagón de ferrocarril choca coii un parachoques de resorte al final de la
via, el resorte se comprime y el vagón se para. Si no hay fricción, el resorte rebo
ta y el vagón se aleja con su rapidez original en la dirección opuesta. Durante la
interacción con el resorte, la energia cinética del vagón se “guardó” en la defor
mación elástica del resorte. Algo similar ocurre en una liga de hule de una resor
tera. La fuerza que estira la liga efectúa trabajo sobre ella, el cual se almacena en
la liga hasta que se suelta. Entonces, la liga imparte energia cinética al proyectil.
Éste es el mismo patrón que vimos en el martinete de la sección 7.1: efectuar
trabajo sobre el sistema para almacenar energia, que después se convierte en ener f
gia cinética. Describimos el proceso de guardar energia en un cuerpo deformable, 112 E1 tenggn de ,±«,qu¡1gS, ,_ ¿ue ,fa ¿É 1,,
como un resorte o una liga, en términos de eiiergilz poten.ci`ol aiii. rticn (Fig. 7.12). parte de atras del tobillo al hueso del talón,
Un cuerpo es elástico si recupera su forma y tamaño originales después de defor HCUÍIH C Dlïlfl 1 111 fväüflv Hfilïlfiil Úlfifliïliì' SE
estira y luego se relaja, el tendón almacenamarse. Específicamente, consideraremos el almacenamiento de eiiergia en un re _ _ , _ , ,y despues libera energia potencial elasuca.
sorte ideal como los dela seccion 6.3. Para mantener un resorte ideal estirado una Esta accmn ¿B 1_ESm_tE__ reducü E¡ nba] U
distancia x, debemos ejercer una fuerza F = llcr, donde il: es la constante de fuerza que 105 músculüs de 13 pierna daban
del resorte. Esta es una idealización útil porque muchos cuerpos elásticos exhiben efectuar al correr.
pablo
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pablo
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pablo
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Cuerpo elastico
pablo
Resaltar
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254
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_,*P 0
`F1'tì"SIZ!'1`lÉ
(dl
?.13 (a) Bloque conectado a un resorte
en equilibrio (ir = D) en una superficie
horizontal. (b) Cuando el resorte sufre un
estiramiento, efectúa trabajo negativo
sobre el bloque. (c) Cuando el resorte se
relaja, efectúa trabajo positivo sobre el
bloque. (d) Un resorte comprimido
también realiza trabajo positivo sobre
el bloque al relajarse.
ii?
C al PÍT U L o 7 I Energia potencial y conservación de la energia
tal proporcionalidad directa entre la fuerza F y el desplazamiento x, siempre que
.t no sea demasiado grande.
Procedemos igual que con la energia potencial gravitacional. Comenzamos
con el trabajo realizado por la fuerza elástica (del resorte) y lo combina.mos con el
teorema de trabajo energia. La diferencia. es que la energia potencial gravitacional
es una propiedad compartida de un cuerpo y la Tierra, pero la elástica sólo se al
macena en el resorte (u otro cuerpo deformable).
La figura 7.13 muestra el resorte ideal de la figura 6.15, con su extremo iz
quierdo fijo y el derecho conectado a un bloque de masa ni que puede moverse so
bre el eje x. En la figura 7. 13a, el cuerpo está en x = 0 con el resorte ni estirado ni
comprimido. Movemos el bloque lateralmente, estirando o comprimiendo el re
sorte, y lo soltamos. Al moverse el bloque de una posición x, a otra posición xy,
¿curšuito trabajo realiza la fuerza. elástica sobre el bloque?
En la sección 6.3 vimos que el trabajo que debemos efectuar sr; bre el resorte
para mover un extremo desde tin alargamiento .r:, a otro distinto x, es
1 l
W = ïkxf šk_r,2 (trabajo efectuado soi: ra un resorte)
donde k es la constante de fuerza del resorte. Si estiramos mas el resorte, realiza
mos trabajo positivo sobre él; si lo dejamos relajarse sosteniendo un extremo, rea
lizamos trabajo negativo sobre él. También vimos que esta expresión para el
trabajo sigue siendo correcta si el resorte se comprime, en vez de estirarse, de mo
do que x, o x2, o ambos, son negativos. Ahora nos interesa el trabajo efectuado por
el resorte. Por la tercera ley de Newton, un trabajo es el negativo del otro. Cam
biando los signos en la ecuación, vemos que, al desplazarse de x, a xy, el resorte
efectúa un trabajo W,, dado por
l l
We, = ïkxfi šitxƒ (trabajo efectuado por un resorte)
El subindice “el” significa elástico. Six, y Jr, son positivos y Jr, `;> x, (Fig. T.13b),
el resorte efectúa trabajo negativo sobre el bloque, que se mueve en la dirección
+x mientras el resorte tira de él en la dirección x, El resorte se estira mas y el
bloque se frena. Si ic, y x, son positivos y x, =rï ic, (Fig. 7.13c), el trabajo del resor
te es positivo al relajarse y el bloque se acelera. Si el resorte puede comprimirse,
x, o x,, o ambos, pueden ser negativos, pero la expresión para W,,, sigue siendo
válida. En la figura 7.l3d, ir, y sf, son negativos, pero ic, lo es menos; el resorte
comprimido efectúa trabajo positivo al relajarse, acelerando al bloque.
Como hicimos con el trabajo gravitacional, podemos expresar el trabajo del re
sorte en términos de una cantidad dada al principio y al final del desplazamiento.
Esta cantidad es ljkxf, que definimos como la energía potencial elástica:
l
U = ïkxf (energia potencial elástica) (7.9)
La figtira 7.14 es una grafica de la ecuación (T9). La unidad de U es el joule (J), la
misma de todos las cantidades de energia y trabajo; esto es evidente en la ecuación
(7.9) si recordamos que las unidades de ir son Nfm y que l N m = l J.
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
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pablo
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pablo
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pablo
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pablo
Rectángulo
Energia potencial elastica
_,__
7.2 I Energia poteiicial elástica
Podemos usar la ecuación (7.9) para expresar el trabajo W,, efectuado sobre el
bloque por la fuerza. elástica en términos del cambio en la. energia potencial:
1 1 ,
We! : škxlg _ škxf : U1 _ U2 Z
Si un resorte estirado se estira más, como en la figura 7. l3b, l/V,,, es negativo y U
nrrarenin; se almacena más energia potencial en el resorte. Si un resorte estirado
se relaja (Fig. 7. l 3c), x disminuye, W,,, es positivo y U disnri`nrrye; el resorte pier
de energia potencial elástica. Los valores negativos de .r corresponden a un resor
te comprimido pero, como muestra la figura 7.14, U es positiva para .:t tanto
positiva como negativa, y las ecuaciones (7.9) y (7.10) son válidas en ambos ca
sos. Asi, cuando un resorte comprimido se comprime más, W,, si 0 y U aumenta;
si un resorte comprimido se relaja (Fig. 7.13d), WC, .`> 0 y U disminuye. Cuanto
más se comprime o estira un resorte, mayor es su energia potencial elástica.
ÉUna diferencia importante entre la energía potencial gravitacio
nal U = iagyy la elástica U = åitr 2 es que no podemos escoger .r = 0 donde nos
plazca. Para que sea congruente con la ecuación (7.9), .tf = O debe ser la posición
en la que el resorte no está ni estirado ni comprimido. Ahí, su energía potencial
elástica y la fuerza que ejerce son cero.
El teorema de trabajo energia dice que W,,,, = K, K`,, sin importar qué fuer
zas actúen sobre el cuerpo. Si la fuerza elástica es la :laica que realiza trabajo so
bre el cuerpo,
l' Vier = Wei = U1 _ U2
El teorema de trabajo energia W,,,, = K, K, nos da entonces
K, + U, = K, l U, (si sólo la fuerza elásticarealiza trabajo)(7.l1)
Aqui, U está dada por la ecuación (7.9), asi qtie
1 . 1 , 1 , 1
Errivf + škxff = širivf + škx ,E (7.12)
(si sólo la fuerza elástica realiza trabajo)
En este caso, la energia mecánica total E = K + U (la suma de las energias cinéti
ca y potencial elástica) se conservo. Un ejemplo es el movimiento del bloque de
la figura 7.13, siempre que la superficie horizontal no tenga fricción y ninguna
fuerza además de la ejercida por el resorte efectúe trabajo.
Para que la ecuación (7.12) sea estrictamente correcta, el resorte ideal no debe
tener nrnsn; si la tiene, también tendrá energia cinética al moverse las espiras del
resorte. Podemos despreciar la energia cinética del resorte si su masa es mucho
menor que la masa .vr del cuerpo conectado al resorte. Por ejemplo, un auto común
tiene una masa de 1200 kg o más. Los resortes de su suspensión tienen masas de
unos cuantos kilogramos, asi que podemos despreciarlas si queremos estudiar có
mo el atito rebota sobre su suspensión.
255
U
ïíï_L.__ _ïï±,. ïïl _± ¬ 1 $11 11 I
reo ò sao
(comprimido) (extendido)
7.14 La gráfica de la energia potencial
elástica para un resorte ideal es una
parábola: U = jkf, donde x es la
extensión o compresión del resorte. En
el caso de una extensión (estiramiento),
.t es positiva. En una compresión (si es
posible), .ic es negativa. La energía
potencial elástica U nunca es negativa.
u¬
_ï_` _¡___
I
pablo
Resaltar
!!!
pablo
Rectángulo
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
256
7.15 La caida de una persona atada a un
bungee implica interacciones entre energia
cinética, energia potencial gravitacional y
ciiergia potencial elástica. Sin embargo,
la energia mecánica no se conserva porque
tanto fuerzas de fricción dentro del bungee
como la resistencia del aire tainbién
efectúan trabajo. Esto es bueno: si la
energia mecánica se conservara, la persona
seguiría rebotando eternamente.
_FT
I'__ .
"r
r: .ft P ir U L o 7 I Energia potencial y conscrvacióii de la energia
Si otras fuerzas además de la elástica efectúan trabajo sobre el cuerpo, llama
mos a su trabajo W,,,,,,, igual qtie antes. Entonces, el trabajo total es lflf',,,, = WL., +
lfV,,,,,,, y el teorema de trabajo energia da
H/el l Wotrm : KE _ Ki
El trabajo realizado por el resorte sigue siendo W_,, = U, U,, asi que, otra vez,
K, + U, + W,,,,,, = K, + U, (7.13)
(si otras fuerzas aparte de la elástica efectúan trabajo)
VJ
l. 1 l ¬ 1
' š'??'IU¡g l“ 12l" WD[|_aS : 51 3 ¡Ud ,C + EÉIEÉ __
(si otras fuerzas aparte de la elástica efectúan trabajo)
Esta ecuación muestra que el tinónjo realizado por todos t'r:rs_,fi.ierzris aparte de
la elástica es igual' ni ccurróio de energia rr r.acrinr'cc roto! E = K + U del .rrÍsrfenrc,
tiende U es lo er iergin ,potencial eld.str`co. El “sistema” se compone del cuerpo de
masa ni y el resorte de constante ir. Si W,,,,,,,, es positivo, E aumenta; si W,,,,,,, es ne
gativo, E disminuye. Compare la ecuación (7.14) con la (7.8), que describe situa
ciones en las que hay energia potencial gravitacional pero no elástica.
Situaciones con energia potencial tanto gravitacional
como elástica
Las ecuaciones (7.1 l), (7.12), (7.13) y (7.14) soii válidas si la única energía poten
cial del sistema es la elástica. ¿Qué sucede si tenemos fuerzas tonto gravitaciona
les conto elásticas, digamos un bloque conectado al extremo inferior de un resorte
que cuelga verticalmente? Aún podemos usar la ecuación (7.13), pero ahora U, y
U, son los valores inicial y final de la energia potencial total, que incluye la gra
vitacional y la elástica (U: Ug,,,,. + U,,,). Asi, ln e.'r,nresióri airis general de la rela
ción entre energía cinética, energia potencial y trabajo realizado por otras fuerzas es
K] + Ugrav',l + Uc.l,l + ppiitras : KE l Ugrat',2 l 'U el,'l
(válida en general) '
Esto es, el trabajo realizado por todas las fuerzas aparte de la gravitacio
nal ola elástica es igual al cambio en la energía mecánica total E = K + U del
sistema, donde U es la suma de las energías potenciales gravitacional y elásti
ca. Si las fuerzas gravitacional y elástica son las riirrfc. :rs que efectúan trabajo sobre
el cuerpo, W,,,,,,, = 0 y la energia mecánica total (que incluye energias potenciales
gravitacional y elástica) se conserva.
El salto con bungee (Fig. 7.15) es un ejemplo de transformaciones entre ener
gia cinética, energia potencial elástica y energia potencial gravitacional. Al caer la
persona, la energia potencial gravit.acional disminuye y se convierte en la energia
cinética del saltador y la energia potencial elástica del bungee. Más allá de cierto
punto de la caida, la' rapidez dela persona disminuye, con lo que tanto la energia
potencial gravitacional como la energia cinética se convierten en energia poten
cial elástica.
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Rectángulo
!!!
pablo
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Muy importante para los problemas
pablo
Rectángulo
pablo
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pablo
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pablo
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7.2 I Energia potencial elástica
La estrategia bosquej ada en la sección 7.1 es igualmente útil para resolver pro
blemas que implican fuerzas elásticas además de gravitacionales. Lo único nuevo
es que ahora U incluye la energia potencial elástica U,,, = jkxf, donde .tt es el des
2 57
est'r,Physics
plazamiento del resorte respecto o su longitud no estirado. La energia potencial da
cuenta del trabajo realmado por las fuerzas gravitacional y elástica; el trabajo de
las otras fuerzas, W,,,,,,,, debe incluirse por separado. _
En la figura 7. lóa, un deslizador de masa ni = 0.200 kg descansa en
un riel de aire horizontal, sin fricción, conectado a un resorte con k
= 5.00 Nim. Se tira del deslizador, estirando el resorte 0.100 m, y
luego se suelta con velocidad inicial cero (Fig. 7.l6b). El deslizador
regresa a su posición de equilibrio (.t = 0). ¿Qué velocidad tiene
cuando x = {}.ü3U m?
sotución
IDENTIFICAR: Dado que la fuerza del resorte varía con la posición,
este problema no puede resolverse con las ecuaciones para movi
miento con aceleración constante; usaremos el método de energia
para obtener una solución sencilla. En particular, utilizaremos la
idea de que, al comenzar a moverse el deslizador, la energia poten
cial elástica se convierte en cinética. (E1 deslizador permanece a la
misma altura durante todo el movimiento, asi que la energia poten
cial gravitacional no es factor).
.r=0
(H) Cfifü CÉFD BETO'
Punto 1
[bj cero ___?
E K U
Punto 2
tel _ss tr
5.4 Salto inverso con bungee
5.5 Bolos con impulso de resorte
Movimiento con energia potencial elástica
PLANTEAR: La fuerza del resorte es la única que efectúa nubajo
sobre el deslizador, asi que W,,,,,,, = 0 y podemos usar la ecuación
(7.11). Sea el punto 1 donde se suelta el deslizador (Fig. 7.lób), y
el 2, en .ir = 0.080 m (Fig. 7.l6c). Conocemos la velocidad en el
punto 1 (_u,, = 0); la incógnita es la velocidad .r en el punto 2, n,_,,.
EJECUTAR: Las energias son
11<,= ï(o.2co 1<g)(0)i = o
1
U, = ;(5.00 ni'm)(O.lUU m)2 = U.D'250.l
[\.Jo ›I JI I
Ka = _mUzi2
U, = ¬ (5.00 Nƒm)'((l.(l3Ú m)2 = lÍI.0lóüJ
o=U
7.15 (a) Deslizador de riel de aire
conectado a un resorte. (b) Se agrega
energia potencial elástica al sistema
estirando el resorte. (c) La energia
potencial elástica se transforma en
energia cinética cuando el deslizador
' regresa hacia su posición de equiiiìzaio.
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longitud de x, energia potencial elastica
253 c it Pi T U L o 7 I Energía potencial y conservación de la energia
Entonces, por la ecuación (7.11), '
K, = it', I U, U, = U + tl.()25U.T Ú.ü16tlJ = 0.0090 J
_+ 2x,_+ l2(o.ooaoi) _+030 F,
l'7t__\l si __"\ ozooirg __' mg
Escogemos la raiz negativa porque el deslizador se está moviendo
en la dirección sc; la respuesta que queremos es r.r,, = 0.30 mis.
EVA|.UAH¦ ¿Qué significa la segunda solución, o,_, = +1130 mis? En
algún momento, el resorte se comprirnirá y empujará el deslizador
por otras fuerzas
Para el sistema del ejemplo 7.8, suponga que el deslizador está en
reposo en .tf = U, con e_l resorte sin estirar. Usted aplica al deslizador
una fuerza constante F en ladirección +x con rnagnitud de 0.610 N.
¿Qué velocidad tiene éste cuando .t = 0.100 m?
IDENTIFICARI Aunque la fuerza aplicada fi' es constante, la fuerza
del resorte no lo es, asi que la aceleración del deslizador no es cons
tante. La energia mecánica total no se conserva a causa del trabajo
efectuado por F, pero aun asi podemos usar la relación de energia
de la ecuación (7.13).
PLANTEAR: Tomemos como punto 1 en .ir = 0, donde la rapidez es
o,_, = U, y como punto 2, x = 0.160 m (no son los mismos puntos ro
tulados en la figura 7.16). La incógnita es o,,, la velocidad en el
punto 2.
EJECUTAR: Las energias son
K] = 0 U] = U
1 1 1 1K, = irn.u,,_.' U, = š(5.l}0 Nim) (0.100 m)“
= 0.02501
ir,,,,, = (o.s1cN)(o.ioorn) = uosioi
las demás fuerzas
En el ejemplo 7.9, suponga que Í? deja de actuar cuando el desliza
dor llega al punto .r = llltlü m. ¿Cuánto más avanza el deslizador
antes de parar? I
IDEHTIFICARI Al quitarse fi' la fuerza del resorte es la única que
efectúa nubajo asi que eii esta parte del movimiento la energia me
cánica total E = K+ U se conserva.
hacia la derecha (la dirección +x) (véase la Fig. 7. l Sd). La segunda
solución nos dice que, cuando el deslizador pase por ..t = U.DSlÍ.l rn
moviéndose hacia la derecha, su rapidez será de 0.30 mis: la misma
que cuando pasó por este ptmto moviéndose hacia la izquierda.
Cuando el deslizador pase por el punto Jr = 0, el resorte estará re
lajado y toda la energia mecánica estará en fomta de energia cinéti
ca. ¿Puede demostrar que la rapidez del deslizador en ese punto es
de (1.50 ntfs?
Movimiento con energia potencial elástica y trabajo efectuado
(Para calcular W,,,,,.,,, mult.iplicamos la magnitud de la ftierza por el
desplazamiento, ya que ambas tienen la dirección +.r.) Inicialmen
te, la energia mecánica total es cero; el trabajo realizado por F au
menta la energía mecánica total a 0.0610 J, de los que tl.t]25l} J
corresponde a energia potencial elástica. El resto es energia cinéti
ca. Por la ecuación (7.13),
Ki+Ui+Waaa . =K2+Ui
Kz=Ki`l`Ui`l`Werras"`Uz
= O l 0 l 0.0610] ¬ 0.0250] = 'U.Ú3i5Ú.l
/zx, /2.(c.c3a:iJ) 060 ¡_
Dll __ ni 0.200 kg ' m 5
Escogemos la raiz cuadrada positiva porque el deslizador se mueve
en la dirección +.r. _
EVALUAR: Para verificar la respuesta, piense en que cambiaria si
desconectáramos el deslizador del resorte. Entonces, fi' seria la úni
ca firerza que efectúa trabajo, la energia potencial seria cero en to
do momento y la ecuación (7.13) nos daria
K, = K, + W,,,,,, = 0 + oneioi
_ air, 2(c.osioi)_mS J,
”1”_\l ai '\l rtzncifg 7' mi
Obtuvimos una velocidad menor que este valor porque el resorte
efectua trabajo negativo sobre el deslizador al estirarse.
 
Movimiento con energia potencial elástica al dejar de actuar
PLANTEAR¦ Tomaremos el punto 2 en st = tllütl m, como en el
ejemplo 7.9, y sea el punto 3 el punto donde el deslizador está ins
tantáneamente en reposo. La incógnita es la coordenada sr, de este
pimto. Obtendremos su valor empleando las expresiones para con
servación de la energia, ecuación (7.1 l), junto con la relación
U = jkxfpara la energia potencial elástica.
EJECUTAR: Vimos en el ejemplo 7.9 que las energias cinética y po
tencial en el punto 2 soii K, = lIl.lÍl3 ótl J y U, = tl.tl25il .l, respectiva
7.?. I Energia potencial elástica 259
mente. Por tanto, la energia mecánica total en este punto y más
adelante es K, + U, = tl.tlól0 J. Cuando el cuerpo se para en .rr =.r:,,
la energia cinética K, es cero y la energia potencial U, es igual a la
energia mecánica total de 0.0610 J. Esto también se deduce de K, +
U, = K, + U,: .
tr, = s, + o, Jr, = 0.03601 + 0.0250 J o = acero J
Pero U, = %k.t,f,asi que
_ %_ /z(o.os1ci)_O156
'“"'“`\' ir X s.ooi vm " m
En una situación de diseño “de peor caso", un elevador de 2000 kg
con cables rotos cae a 25 nus cuando hace contacto con unresorte
amortiguador en el fondo del cubo. Se supone que el resorte debe
detener al elevador, comprimiéndose 3.00 m al hacerlo (Fig. 7.17).
Durante el movimiento, un freno de seguridad aplica una fuerza de
fricción constante de 17,l]D0 N al elevador. Imagine que es un con
sultor de diseño y le piden determinar que constante de fuerza debe
tener el resorte.
IDENTIFICAR: Lisaremos el enfoque de energía para determinar la
constante de fuerza que aparece en la expresión de eiiergia poten
cial elástica. Ubserve que en este problema intervienen energias
potenciales tonto gravitacional corno elástica. Además, la energia
mecánica total no se conserva porque la fricción realiza trabajo nc
gativo ii',,,,.,,_, sobre el elevador.
PLAl'tlTEAR¦ Puesto que la energia mecánica no se conserva e inter
vienen dos tipos de energia potencial, usaremos la forma más gene
ral de la relación de energia, la ecuación (7.15). Tomaremos como
punto l la posición de la base del elevador cuando recién entra en
._____,I1I1
'_›..f`:':_
¡ ¬ ¢.1.LI,..'_L mi: '¿
I l| = ' UÉZD
25 mis
.T I.¡.
H ' = s
rs
Ii j _ ._` "_ _ '
=|'l' .`.='!L
'iL|'¦\.Ti.'31. 1
7.1? La caida' de un elevador es detenida por un resorte y una
El cuerpo se mueve 0.056 m más después de retirarse la.fuerza en
.if = 0.1.00 in.
EVALUAR: La energia mecánica t.otal para el movimiento del punto
2 al punto 3 es de 0.0ólil J, igual al trabajo W,,,,¬,, efectuado por la
fuerza fi' en el ejemplo 7.3. ¿Es coincidencia? De ninguna nianera;
inicialmente (en el punto 1 del ejemplo 7.9), el sistema deslizador re
sorte tenia energía mecáriica cero, asi que toda la energia mecánica
que tiene proviene del trabajo efectuado por
Movimiento con fuerzas gravitacional, elástica y de fricción
contacto con el resorte, y como punto 2, su posición cuando queda
en reposo. Escogemos el origen en el punto 1, asi que y, = U y y, =
3.00 m. Entonces, la coordenada del extremo superior del resorte
es la misma que la del elevador, y la energia potencial elástica en
cualquier punto entre el 1 y el 2 es UC, = jkyf. (La energia poten
cial gravitacional es Ugg, = nrgy, como siempre.) Conocemos la ra
pidez inicial y final del elevador y la magnitud de la fuerza de
fricción, asi que la única incógnita es la constante de fuerza ir.
EJECUTAR: La rapidez inicial del elevador es ri, = 25 mis, asi que
su energia cinética inicial es
1 l
K, = 2 *Jir.u,2 = š(2U00 l<g)(25 mi's)1 = 625,000]
El elevador se detiene en el punto 2, asi que K, = ll. La energia po
tencial en el punto 1, U,, es cero; Ug,,,,. = U porque y, = 0, y U,, = D
porque el resorte aún no se ha comprimido. En el punto 2, hay ener
gia potencial tanto gravitacional como elástica, asi que
l
U2 = W ãïz + ïlfytg
La energia potencial gravitacional en el punto 2 es
1 aga, = (zooo kg) (asc mae) ( 3.00 rn) = sasoo J
La otra fuerza es la de fricción (l7,l}ÚÚ N), que actúa opuesta al
desplazamiento de 3.00 m, asi que
W,,,,,_ = (17,0ÚÚ N) (3.00 m) = 51,000 .T
Incluimos estos términos en K, + U, + W,,,,.,,, = K, + U, y obtenemos
1
Ki + 0 + Wenas : U + ( mglflâ + šfgllgj
asi que la constante de fuerza del resorte es
k + Wotms'_
ff
_ 2[ó25,üt`]ÚJ + ( 51,0001) ( 53,300 1)]
( 3.(li.lm)2
= l. 41 > í 105 Niin
,=,,E, Z, ,_ gg 1:, ¡,,,,¡¿,', ,_,,,,,,,,,,,,¿, Esta es comparable con la de la suspension de un auto
,_
1.
_._ _,_.
r
¦I
I
__.
l
Itt
i
l
l
lll| ||
¦ É
|
I I
L1
i
250 t: a Pi T U L o 7 l Energía potencial y conservacion de la energía
EVALUAR: Ei taminemos lo que podria parecer una paradoja aquí. Ésta no es sino la energia mecanica inicial de 625,000 J menos los
La energia potencial elástica del resorte en el punto 2 es 51 000 J perüìüüe PDI" 1 H fflflüìöfl.
Ahora, como consultor de diseño, le corresponde advertir a su
cliente que el elevador no se quedara en el fondo del cubo; rebota
rá. Ello se debe a que, en .el punto 2, el resorte comprimido ejerce
una fuerza hacia arriba de magnitud F,,,,_,,,,,, = (1,41 I>< 105
N¡m)(3.00 m) = 422,000 N. 131 peso del elevador es solo w = mg =
(2000 kg)(9.B0 mƒsf) = 19,600 N, asi que la fuerza neta sera hacia
arriba. El elevador subirá a pesar de que el freno ahora ejerce tma fuer
za de friccion hacia abajode magnitudf= 11,000 N; la fuerza del
resorte es mayor que la suma defv mg. El elevador rebotarå una v
otra vez hasta que la fñceion haya eliminado suficiente energia me
åfq. ,1 %(1.41 si 1ott«vm)( 3.00 m)i = sszsooi
Esto es más que la energia mecánica total en el punto 1,
El = K1 + U, = 625,000] + 0 = 625,000]
Sin embargo, la fiieiza de friccion hizo que la energia mecánica del sis
tema riisminuyern en 51,000 J entre el punto 1 y el punto 2. ¿Apa
recìo energia de la nada? No se preocupe; no hay tal paradoja. En el
punto 2 también hay energia potencial gravitacional n.egnt1`uo mgyï
= 58,800 J porque el punto 2 está debajo del origen. La energia Cåflicfl Para fl' le Se deffinga
mflcánica mtaj aquí es ¿Puede demostrar que la aceleracion del elevador cuando gol
pea el resorte es inaceptablemente alta?
1 ¬
.E2 = K1 `1' U2 = 'O '1' škyf "1' fllgyg
= 632,800] 1 ( 53,3001) = 574,000]
. ..._ I ' " ' '. ' '
._ . .'.."'1I .¬'..'I .' ._ _ 1,." , "| . """
.
Obtenga el valor de y cuando el elevador del ejemplo 7.11 por fin se detiene, y
también los valores de K, Ug,,,,, Uel y E en ese punto. Suponga que el freno de se
guridad ejerce una fuerza hacia arriba de 17,000 N. (Sugerencim ¿Qué relacion
hay entre la compresión del resorte y la fuerza que ejerce sobre e1 e1evador?)
Compare la energía mecánica en este punto con su valor en el punto 1.
7.3 | Fuerzas conservativas y no conservativas
Al estudiar la energia potencial hemos hablado de “almacenar” energia cinética
convirtiéndola en energía potencial, pensando siempre que podremos recnperarla
después como energia cinética. Una pelota lanzada hacia arriba se frena al conver
tirse su energía cinética en potencial, pero al bajar la conversion se invierte y la
bola se acelera al convertirse energia potencial otra vez en cinética. Si no hay re
sistencia del aire, la pelota se mueve con la misma rapidez cuando regresa al pun
to de lanzamiento que cuando se lanzo.
Si un deslizador sobre un riel de aire horizontal sin friccion choca con un amor
tiguador de resorte en el eztremo del riel, el resorte se comprime y el deslizador
se detiene, pero luego rebota y, como no hay friccion, tiene la misma rapidez 1;
energía cinética que tenía antes de chocar. Aqui también, hay una conversion bidi
reccional de energia cinética a potencial a cinética. En ambos casos, vemos que
podemos definir una funcion de energia potencial tal que la energia mecánica to
tal, cinética más potencial, es constante o se conservo durante el movimiento.
Decimos que una fuerza que ofrece esta oportunidad de conversion bidireccio
nal entre energias cinética y potencial es una fuerza conservativa. Hemos visto
dos ejemplos de fuerzas conservativas: la gravitacional v la de resorte. Una ca
racteristica fundamental de las fuerzas conservativas es que su trabajo siempre es
reversible. Lo que depositamos en el “banco” de energia puede retirarse sin pér
dida. Otro aspecto importante delas fuerzas conservativas es que un cuerpo pue
de moverse de1 punto l al 2 siguiendo varios caminos, pero el trabajo realizado
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
251ativas 3' no conservativas
I
__
7.3 I Fuerzas conserv
1'
¬ ui
'I. r'. LF'. .'r=.s*=*.
.___;
I' J
onservativa, el
P'
7.18 Para cualquier fuerza c
' do por esa fuerza depende
ovimiento,
.ii _ Fr F F Ies if
un J
;_ r " _'
1 trabajo realiza
solo de los extremos del m
__ no del camino seguido. Asi, la fuerza
f gravitacional, que es conservativa, realiza
__ el mismo trabajo sobre el corredor sin
1 ' importar qué camino siga para ir del
punto 1 al punto 2.
7 18). Asi, si un cuerpo
"' s indepen
para todos (Fig. _
ravitacional mg e
ambio de altu
(/ (`\
el mismo
fuerza g
de del c
artida, el
I
por una fuerza conservativa es
se mantiene cerca de la superficie terrestre, la
diente de la altura, y el trabajo realizado por ella solo depen
ra. Si el cuerpo describe una trayectoria cerrada, volviendo al punto de p
trabajo toro! de la fuerza gravitacional siempre es cero.
Eltrabajo realizado por una fuerza conservativa siempre tiene estas propiedades:
1. Siempre puede expresarse como la diferencia entre los valores inicial y fi
nal de una funcion de energía potencial.
2. Es reversible.
3. Es independiente de la trayectoria del cuerpo y depende solo de lospuntos
inicial 1; final. `
4. Si los puntos inicial y final son el mismo, el trabajo total es cero.
Si las únicas fuerzas que efectúan trabajo son conservativas, la energía mecánica
total E = Ki Ues constante.
No todas las fuerzas son conservativas. Considere la fuerza de friccion que ac
túa sobre la caja que se desliza enla rampa del ejemplo 7.7. (seccion 7.1). El cuer
po sube jv regresa al punto de partida, pero el trabajo total efectuado por la friccion
sobre él no es cero. A1 invertirse la direccion del movimiento, se invierte la fuerza
de friceion, que realiza trabajo negativo en ambos direcciones. Si un auto con fre
nos bloqueados derrapa con rapidez (y energía cinética) decreciente, la energia ci
nética perdida no se puede recuperar invirtiendo el movimiento ni de ninguna otra
manera, jr Ia energia mecanica no se conserva. No hay funcion de energia poten
cial para la fuerza de friccion.
De manera análoga, la fuerza de resistencia de fluidos (seccion 5.3) no es cou
servativa. Si lanzamos una pelota hacia arriba, la resistencia del aire efectúa tra
bajo negativo sobre ella al subir y al bajar. La bola regresa a la mano con menor
rapidez ¬_v menos energia cinética que cuando salio, y no hay forma de recuperar la
energia mecánica perdidas
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pablo
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pablo
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pablo
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pablo
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pablo
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pablo
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T
ll
_.i__ì_.íni_
1
' ï,__
262 c a Pí T U L o 7 I Energia potencial y conservacion de la energia
El trabajo realizado por una fuerza no conservatìva no puede rcpresentarse
con una funcion de energia potencial. Algunas fuerzas no conservativas, como la
friccion cinética o la resistencia de fluidos, hacen que se pierda o disipe energia
mecanica; son fuerzas disìpadoras. También hay fuerzas no conservativas que
otoiieiitort la energia mecanica. Los fragmentos de un petardo salen despedidos
con una energia cinética muy grande, gracias a unareaccion quimica de la polvo
ra con el oxigeno. Las fuerzas liberadas por la reaccion no son conservativas por
que el proceso no es reversible. ¡Imagine los trozos armándose espontáneamente
para formar un petardo!
Imagine que esta reacomodando sus muebles y desea mover 2.50 m
un sillon de 40.0 kg en una habitacion (Fig. 7.19), pero el camino
recto está bloqueado por ima pesada mesa de centro que no desea
mover. Por tanto, mueve el sillon siguiendo una trayectoria acodada
cuyos miembros tienen 2.00 m y 1.50 m de longitud. En compara
cion con la trayectoria recta, ¿cuánto trabajo más se cleberealizar
para empujar el sillon por la trayectoria acodada? El coeficiente de
friccion cinética es de 0.200.
IDE1't|TIFlCAR:Aquí efectúan trabajo tanto usted como la fuerza de
friccion, asi que deberemos usar la relacion de energia que incluye
fuerzas distintas de las elásticas y gravitacionales. Con esa relación,
Sofá
'N
. 1.. ._ __:
_ > Íf_ Í
i:.' iI"'2'. H; ÍMesa de centro
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,_______ 1 IE 1EIC1*`š1T4L______J
1"'M Q E
I I I I I |_
119 Vista superior de los muebles. ¿Cuanto trabajo más se
requiere para mover el sofa por la trayectoria acodada?
 í
El trabajo de friccion depende de la trayectoria
obtendremos un vinculo entre el trabajo efectuado por usted y el
efectuado por la ji iccidn.
PLANTEAR: Los puntos inicial y final se muestran en la figura
7.19. El sofá esta en reposo en ambos, asi que K, = K; = 0. La ener
gia potencial gravitacional no cambia porque el movimiento es ho
rizontal: U, = U2 = 0. De la ecuacion (7.7), se sigue que W,,,,.,,, = 0.
El trabajo realizado sobre el sofa es la suma del trabajo positivo que
Ud. realiza, WW y el trabajo negativo WH, de la fuerza de friccion
cinética. Puestoque la suma es cero, tenemos
Woa. = _ Ware
Por tanto, para determinar W,_;,,_, calcularemos el trabajo efectuado
por la friccion.
EJECUTAR: El piso es horizontal, asi que la fuerza normal sobre el
sillon es igual a su peso mg, y la magnitud de la fuerza de friccion
esjj, = tun = ukia.g. El trabajo que usted debe efectuar en cada tra
yectoria es entonces
Wua. = "Wise = _l“Jit Si = "¡'!1fl<"iå' `i
= (0.200) (40.0 1<g)(9.s0 mai) raso m)
= 196 J (nayectoria recta)
Won = " Wim;
= (0.200) (40.0 kg) (9.80 miso) (2.00 m + 1.50 m]
= 274 J (trayectoria acodada)
El trabajo extra es 2 74 J _ 196 J = 78 J
EVALUAR: El trabajo efectuado por la friccion es Wai, = WLM =
196 J por el camino recto y 274 J por el acodado. El trabajo
efectuado por la friccion depende del camino seguido, v esto de
muestra que la fiiccion es una .fuerza no conservativa.
 
¿Conservativa o no conservativa? _ .
Eo_c ..e1¬¬'sa region del espacio, la fuerza que actua sobre un electron quinag @11(1;, y) = (0, 0), (L, 0), (L, L] 3,1 (0, L) (Fig. 7120). Calcule el
fi F = ÚÍ ¿*?U*`ïf C E5 UH 3 Cüflällfiflffl PÚSÍÚVH E1¢1"ïClïïÚH SE ITIUÉ trabajo de F sobre el electron durante una vuelta. ¿Esta fuerza es
se m antiboraria en un cuadrado sobre el plano xy con es günggl eating U 1 ,U günggnigtioav
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Subrayar
Puede ser una pregunta teorica, creo q corresponde a la pregunta "si una bomba estalla en mil pedazos"
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713 I Fuerzas conservativas y no conservativas 2 G3
ir F
ro, L) (L, L)
Tramo 3 “KTal
I Tramo 2
F=o jar ari', j A
Tramo4 F=CL“l
F
vi 1 ,
(0, 0) Tramo 171 (L, 0)
df
120 Electron que se mueve en un ciclo cuadrado bajo la accion
de la fuerza F = Cxj.
EEEWH
IDENTIFICÂR Y' PLANTEAR: En el ejemplo 7.12, la fuerza de fric
cion tenia magnitud constante y siempre era opuesta al desplaza
miento, así que era fácil calcular el trabajo efectuado. Aquí, en
cambio, la fuerza fi' no es constante y en general no está en la direc
cion del desplazamiento, asi que usaremos la expresion más gene
ral del trabajo (ecuacion 6.14):
P, _* __a=ƒFaf
P;
donde df es un desplazamiento infinitesimal. Calculemos el trabajo
de F en cada tramo y sumemos los resultados para obtener el traba
jo efectuado en el viaje “redondo”.
EJECUTAR: En el primer tramo, de (_0, 0) a (L, 0), la fuerza varia pe
ro siempre es perpendicular al desplazamiento, asique df = 0,
y el trabajo es W, = 0. En cl tramo de (L, 0) a (L, L), la fuerza tiene
siempre F =__CLj. El desplazamiento en este tramo es en la direccion
+y, asi que di = dyj y
FN H.
ri íF'd1.' CL] *oïjy CL¿ij,f
El trabajo efectuado en el segundo tramo es entonces
(L, tii* _* _v=.L L
%=ƒ am=ƒ m@=mƒ@=mi
(L, 0] _v=0 0
En el tercer tramo, de (Ji, L) a (0, L), F es otra vez perpendiculm al
desplazamiento, y W, = 0, La fiierza es cero en el tramo final, de (0,
L) a (0, 0), asi que W, = 0. El trabajo efectuado porÍi` en el viaje “re
dondo” es
W=W,+W,+W,+W_,=o+CL.1+o+c|=CLi
Los puntos inicial y final son el mismo, pero el trabajo total de F
no es cero. Es una fuerza no conservativa; no puede rcpresentarse
con una fimcion de energia potencial.
EVALUAR: Dado que W es positivo, la energia mecánica del elec
tron ri tmierira en el recorrido. Esto no es una curiosidad matemáti
ca; es una descripcion de lo que sucede en una planta generadora de
electricidad. Un lazo de alambre se mueve en un campo magnético, el
cual produce una fuerza no conservativa similar a la del ejemplo.
Los electrones que se mueven en el alambre adquieren energia al
dar vuelta al lazo, y esa energía se lleva mediante lineas de transmi
sion al consumidor. (Veremos esto con detalle en el capitulo 29.)
¡Toda la electricidad usa.da en hogares e industrias proviene de tra
bajo efectuado por fuerzas no conservativas!
¿Corno cambiaría Wsi el electron viajara en sentido horario? La
fuerza F no cambiaria, pero la direccion de cada desplazamiento in
finitesimal dl' se invertiría. Por tanto, el trabajo tendria siglo opues
to y, para el recorrido completo en sentido horario, sería W = CL?.
Este comportamiento es distinto del de la fuerza de friccion. Cuando
un cuerpo se desliza sobre una superficie estacionaria con friccion,
el trabajo de ia friccion siempre es negativo, sea cual sea la direccion
del movimiento (_véase el ejemplo T_T en la seccion 7'. 1).
¡_ ___ ;_ï_:_T==†_ ì_ . r_a rnn1_ír 1 ¦¦¡|_¡¡¡¡¡¡¡ ¡¡. ¡¡.ï,L , Í
La ley de conservacion de la energía
Las fuerzas no conservativas no pueden rcpresentarse en términos de energia po
tencial, pero podemos describir sus efectos en términos de energias distintas de la
cinética y la potencial, Cuando un auto con frenos bloqueados derrapa hasta dete
nerse, las ruedas y el camino se calientan. La energia asociada a este cambio en el
estado de los materiales se denomina energia interna. Cuando se eleva la tempe
ratura de un cuerpo, su energia interna aumenta; si se reduce su temperatura, su
energia interna disminuye. I '
Para captar el significado de la energia interna, consideremos un bloque que se
desliza por una superficie áspera. La friccion realiza trabajo negativo sobre el blo
que, y el cambio de energia interna del bloque y la superficie es positivo (ambos
se calientan). Experimentos cuidadosos demuestran que el aumento en la energia
interna es exacroiaenre igual al valor absoluto del trabajo efectuado por la fric
cion. Dicho de otro modo,
¿Un it = I 'Wotras
rr
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7.21 Cuando se quema un litro de
gasolina en el motor de un automovil,
libera 3.3 ïsï 10? J de energía interna. Por
tanto, o.U,,,, = 3.3 2>< 101 J, donde el
signo menos indica que la cantidad de
energia almacenada en la gasolina ha
disminuido. Esa energia se puede
convertir en energia cinética (para hacer
que aumente la rapidez del auto) o en
energia potencial (para hacer que el auto
suba una cuesta).
fièct v
HL NEPhys cs
5.7 Máquina de Atwood modificada
c it Pi T U L o 7 I Energia potencial y conservacion de la energia
donde AU,,,, es el cambio de energia interna. Si sustituimos esto en la ecuacion
(7.7), (7.13) o (7. 15), vemos que
Ki 1 UI _ AUint : KE + U2
Si escribimos AK K, K, y oU= U, ~ U1, podemos expresar esto como
AK + AU + AU,,,, = 0 (ley decbnservacion de la energia) (7.16)
Este notable enunciado es la forma general de la ley de conservacion dela ener
gia. En un proceso da.do, las energias cinética, potencial e interna de un sistema
pueden cambiar, pero la srviro de todos los cambios siempre es cero. Una dismi
nucion en una forma de energia se compensa con un aumento en las otras (Fig.
7.21). Si ampliamos nuestra definicion de energia. para incluir la interna, la ecua
cion (7.16) dice que lo en.ergio nunca se creo ni se riesfirvye, soto cambio de _for
ina. No se ha observado aún una excepcion a esta regla.
Observe que el concepto de trabajo no aparece en la ecuacion (116). Esta
ecuacion nos invita a pensar solo en términos de conversion de energia de una for
ma a otra. Si lanzamos una pelota hacia arriba, convertimos parte de la energia in
terna de las moléculas de nuestro cuerpo en energia cinética de la pelota, que se
convierte en energia potencial gravitacional conforme la pelota sube y otra vez en
energia cinética al bajar. Si hay resistencia del aire, parte de la energía calienta el
aire y la pelota, aumentando su energía interna. Si atrapamos la pelota al caer, la
energia que no se perdio en el aire se convertirá. otra vez en energia interna; la pe
lota y su mano ahora están más calientes que a.l principio.
En una estacion generadorahidroeléctrica, el agua que cae impulsa las turbinas
(_“ruedas de agua”) que a su vez impulsan generadores eléctricos. Básicamente, se
libera energía potencial gravitacional al caer el agua, y la estacion generadora la
convierte en energia eléctrica. Aun si no conocemos los detalles