Clase 7 Fuerzas Conservativas y No conservativas 2020

Vista previa del material en texto

 Fuerzas Conservativas y No Conservativas
 Energía Potencial Gravitatoria y Elástica
 Trabajo realizado por fuerzas no conservativas
 Enunciado general del teorema del trabajo y 
energía
 Principio de Conservación de la Energía
 Discusión de curvas de Energía potencial
 
CAMINANTE 
 NO HAY CAMINO 
 SE HACE CAMINO AL ANDAR 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Se denominan Fuerzas conservativas a aquellas que efectúan un trabajo nulo 
sobre una partícula que se mueve siguiendo una trayectoria cerrada. Ejemplos 
de este tipo de fuerzas resultan la fuerza gravitatoria, fuerzas elásticas y 
electrostáticas.
Una fuerza es No Conservativa o disipativa, si el trabajo efectuado por la misma 
sobre una partícula que se mueve siguiendo una trayectoria cerrada cualquiera 
no es nulo. Ejemplos de este tipo son la fuerza de fricción o de rozamiento y 
viscosas.
z
B Suponemos que la partícula va desde A hacia B 
por el trayecto I , luego dicha partícula regresa 
desde B hacia A por la trayectoria II
si la fuerza actuante F encargada de trasladar 
I dicha partícula fuera conservativa :
II 𝑊𝐴𝐵
𝐼 + 𝑊𝐵𝐴
𝐼𝐼 = 0
y Es decir 𝑊𝐴𝐵
𝐼 = 𝑊𝐵𝐴
𝐼𝐼
A Concluimos que una fuerza es conservativa si el 
trabajo hecho por ella sobre una partícula que 
mueve entre dos puntos cualesquiera depende solamente de esos puntos 
x inicial y final, y no de la trayectoria. 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Energía potencial gravitatoria
El trabajo total efectuado por la fuerza gravitatoria, cualquiera sea la trayectoria, es 
igual al producto de (mg) multiplicado por el desplazamiento vertical (𝑦2  𝑦1 ) :
𝑊𝑔 = mg . (𝑦2  𝑦1 ) = mg 𝑦1 mg 𝑦2 = 𝑈1  𝑈2 = ΔU
este trabajo no se ve afectado por ningún movimiento horizontal que pueda darse; por 
lo tanto se puede usar la misma expresión para la energía potencial gravitacional, sea 
la trayectoria del cuerpo recta o curva.
Energía potencial elástica
El proceso de guardar energía en un cuerpo deformable, ejemplo resorte o liga 
elástica, se puede describir en términos de energía potencial elástica.
La fuerza aplicada F = Kx, es decir existe una proporcionalidad entre la fuerza y el 
desplazamiento
El trabajo efectuado, sobre una masa adosada a un resorte, por la fuerza elástica en 
términos de energía potencial es:
𝑊𝑒 = 
1
2
k ( 𝑥𝑓
2  𝑥𝑖
2 ) = 
1
2
k 𝑥𝑖
2 
1
2
k. 𝑥𝑓
2 = 𝑈1  𝑈2 = ΔU
La diferencia importante con la U gravitatoria es que el punto x=0 no es arbitrario, para 
el resorte x=0 debe ser la posición del resorte ni estirado ni comprimido, posición de 
equilibrio. 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
El TRABAJO realizado por una fuerza conservativa siempre tiene estas propiedades:
a) Siempre puede expresarse como la diferencia entre los valores inicial y final de una función 
de energía potencial
b) Es reversible
c) Es independiente de la trayectoria del cuerpo y depende solo de los puntos inicial y final 
d) Si los puntos inicial y final son el mismo entonces el trabajo total es cero (nulo)
Un ejemplo puede ser:
La fuerza gravitacional que es 
conservativa, realiza el mismo 
trabajo sobre el corredor, sin 
importar que camino siga para ir 
del punto 1 al punto 2
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Trabajo realizado por fuerzas no conservativas
Supongamos la existencia de un campo de fuerzas no conservativas(es decir que las
mismas realicen trabajo no nulo) y fuerzas conservativas .
El teorema del trabajo y la energía aplicado a dicho sistema se tiene:
𝑊𝐹𝐶 + 𝑊𝐹𝑁𝐶 = Δ 𝐸𝐶
Donde:
𝑊𝐹𝐶 = trabajo de fuerzas conservativas 𝑊𝐹𝐶 = Δ 𝐸𝑃
𝑊𝐹𝑁𝐶 = trabajo de fuerzas no conservativas
Despejando y reemplazando se tiene:
𝑊𝐹𝑁𝐶 = Δ 𝐸𝐶 𝑊𝐹𝐶
𝑊𝐹𝑁𝐶 = Δ 𝐸𝐶  ( Δ 𝐸𝑃) = Δ 𝐸𝐶  Δ 𝐸𝑃 = Δ (𝐸𝐶 𝐸𝑃)
𝑊𝐹𝑁𝐶 = Δ 𝐸𝑀
Generalizando se puede decir que la suma de los trabajos de cada una de las fuerzas
no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica
Ejemplos de fuerzas no conservativas son la de fricción o rozamiento,
electromagnética
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Principio de Conservación de la energía 
Si suponemos que todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son debidas a 
campos de fuerzas conservativos, el teorema del trabajo y energía lo podemos 
expresar:
𝑊𝐹𝐶 = Δ 𝐸𝐶 = 𝐸𝐶𝐵  𝐸𝐶𝐴 = Δ 𝐸𝑃 = - ( 𝐸𝑃𝐵  𝐸𝑃𝐴)
reordenando
𝐸𝐶𝐵 + 𝐸𝑃𝐵 = 𝐸𝐶𝐴 + 𝐸𝑃𝐴
(𝐸𝐶 + 𝐸𝑃)B = (𝐸𝐶 + 𝐸𝑃)A 
Como puede observarse en la ecuación aparece en ambos miembros la suma de 
energía cinética mas potencial que definimos o denominamos Energía Mecánica
𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃
En consecuencia se puede escribir
𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝑀𝐵
Enunciamos al principio como
“SI LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE UNA PARTÍCULA Y QUE REALIZAN TRABAJO 
SON CONSERVATIVAS, LA ENERGÍA MECÁNICA SE CONSERVA, LO QUE ES IDÉNTICO 
A DECIR QUE PERMANECE CONSTANTE”
𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 = CTE.
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
EJEMPLO (FUENTE: “Ejercicios de Física” autor: Ricardo Cabrera)
La figura representa la ladera de una montaña, por la que se desliza con 
rozamiento despreciable un esquiador de 80 kg. Se sabe que pasa por el punto A 
con una velocidad de 5 m/s, y pasa por el punto C con una velocidad de 10 m/s. 
Usar aceleración g = 10 m/𝒔𝟐
Determinar la energía potencial gravitatoria, la energía cinética y la energía 
mecánica del esquiador en los puntos indicados. Hallar la distancia que necesitará 
para detenerse en la planicie horizontal, si a partir del punto G actúa una fuerza de 
rozamiento cuya intensidad constante es 500 N
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Desde el punto A hasta G actúan fuerzas conservativas, por lo tanto 𝐸𝑀 se conserva
𝐸𝑀𝐴 = 𝐸𝑀𝐵 y por definición de Energía Mecánica 𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 = CTE.
Que puedo calcular si conozco: 𝐸𝐶 = 
1
2
m 𝑣2 y 𝐸𝑃 = m. g. y 
Colocamos los datos de la figura en el cuadro siguiente y observamos que para los puntos C y H 
es posible calcular la energía Mecánica
Para “C”: 𝐸𝐶𝐶 = 4000 (J) 𝐸𝑃𝐶 = 7200 (J) por lo tanto 𝐸𝑀 = 11200 (J)
Para “H”: 𝐸𝐶𝐻 = 0 (J) 𝐸𝑃𝐻 = 4000 (J) por lo tanto 𝐸𝑀 = 4000 (J)
El sistema de referencia utilizado es altura = 0 para el nivel del suelo
A B C D E G H
Y (m) 7 9 3 7 5 5
𝐸𝑃 (J) 5600 7200 2400 5600 4000 4000
V (m/s) 5 10 0
𝐸𝐶 (J) 1000 4000 0
𝐸𝑀 (J) 11200 4000
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Colocamos el valor de Energía Mecánica 𝐸𝑀 = 11200 (J) desde A hasta G (casillas en verde en 
la tabla)
Se calcula la energía faltante despejando de la ecuación 𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃 lo que corresponda
y a continuación se obtiene el parámetro correspondiente (casillas en amarillo en la tabla)
A B C D E G H
Y (m) 12,75 7 9 3 7 5 5
𝐸𝑃 (J) 10200 5600 7200 2400 5600 4000 4000
V (m/s) 5 11,5 10 14,8 11,8 13,4 0
𝐸𝐶 (J) 1000 5600 4000 8800 5600 7200 0
𝐸𝑀 (J) 11200 11200 11200 11200 11200 11200 4000
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Desde el punto G hasta H actúa una fuerza no conservativa por lo tanto se tiene
𝑊𝐹𝑁𝐶 = Δ 𝐸𝑀 en ese tramo pierde energía por el trabajo de la
fuerza de rozamiento 
𝐹𝑅𝑜𝑧 . ∆ X . cos 180° = 𝐸𝑀𝐻 - 𝐸𝑀𝐺
- 500 (N) ∆ X (m) = 4000 (J) – 11200 (J)
∆ X (m) = 14,4 (m)
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
1 2 3 4 5 6 7
ENERGÍA MECANICA
E. Cinetica E. Potencial
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Enunciado General del teorema de Trabajo y Energía
Cuando en un sistema actúan tanto fuerzas gravitacionales, elásticas y de 
rozamiento (no conservativas), eltrabajo realizado por todas las fuerzas es igual 
al cambio en la energía mecánica total incluida la elástica:
𝑬𝑘1 + 𝑬𝑝1 + 𝑬𝑒1 + 𝑊𝑓𝑟 = 𝑬𝒌𝟐 + 𝑬𝑝𝟐 + 𝑬𝑒𝟐
∆ 𝑬𝒌 + ∆ 𝑬𝑝 + ∆ 𝑬𝑒 = 𝑊𝑓𝑟
Ejemplo de aplicación
Un cuerpo es impulsado por un resorte como muestra el esquema de la figura. 
Considerando que el rozamiento es despreciable en el primer tramo, hasta llegar a B. 
Hallar:
a- La compresión del resorte para la cual se deja libre la masa si pasa por el 
punto A con la mínima velocidad posible.
b - El trabajo de la fuerza de rozamiento si es apreciable desde B en adelante, y 
el cuerpo llega justo hasta el punto C
Datos:
R = 1m
m = 2 kg
k = 200 N/m
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Resolución:
Para responder la primer pregunta, se debe relacionar dos estados o posiciones: 
 la posición o estado inicial O: resorte comprimido
 la posición o estado final A: parte mas alta del rulo circular (punto A)
Ahora se aplica teorema de trabajo y energía entre esos 2 (dos) puntos
𝑊𝐹𝑁𝐶 = ∆ 𝐸𝑀𝑂𝐴
El enunciado dice rozamiento despreciable en el primer tramo  𝑊𝐹𝑁𝐶 = 0
0 = ∆ 𝐸𝑀𝑂𝐴
0 = 𝐸𝑀𝐴  𝐸𝑀𝑂
𝐸𝑀𝑂= 𝐸𝑀𝐴
𝐸𝐶0 + 𝐸𝑃0 + 𝐸𝑒0 = 𝐸𝐶𝐴 + 𝐸𝑃𝐴 + 𝐸𝑒𝐴
Ahora se debe fijar un marco referencial adecuado y para el resorte estado inicial y 
final. Altura igual a cero a nivel del tramo horizontal. Entonces en la ecuación se 
identifica cuales energías son iguales a cero 
𝐸𝐶0 + 𝐸𝑃0 + 𝐸𝑒0 = 𝐸𝐶𝐴 + 𝐸𝑃𝐴 + 𝐸𝑒𝐴
Ahora reemplazamos cada energía por su expresión
1
2
k ∆𝑥0
2 = 
1
2
m 𝑣𝐴
2 + mg 𝑦𝐴
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Resolución:
∆𝑥0 = 
2
𝑘
(
1
2
m 𝑣𝐴2 + mg 𝑦𝐴)
siendo la mínima velocidad de la bola en el punto “A” cuando en el límite la 
reacción Normal del riel sobre la partícula es nula N = 0
Por lo tanto N + P = m.
𝑣2
𝑅
P = m.
𝑣2
𝑅
 mg = m.
𝑣2
𝑅
 𝑣2 = g . R
Pregunta b) se considera las energías entre los puntos A y C
Como actúa una fuerza no conservativa se escribe
𝑊𝑓𝑟 = ∆ 𝑬𝒌 + ∆ 𝑬𝑝
𝑊𝑓𝑟 = 𝑬𝒌𝑪 - 𝑬𝒌𝑨 + 𝑬𝑝𝐶 - 𝑬𝑝𝑨
El enunciado dice que alcanza al punto C entonces allí 𝑣 =0
Y el gráfico muestra que los puntos C y A están a la misma altura, por lo tanto 
poseen la misma energía potencial gravitatoria
Por lo tanto 𝑊𝑓𝑟 = - 𝑬𝒌𝑨
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Ejemplo de aplicación
Determinar la altura mínima desde la cual debe empezar a caer una bola de 
manera tal que pueda completar el movimiento circular, mostrado en el 
siguiente gráfico. Suponer que la bola resbala sin rodar y sin fricción. 
v=0
A B
N
P
h
R
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Resolución:
Cuando la bola es soltada en el punto A a una altura “h” respecto a la base del rulo 
circular, la bola parte del reposo v = 0 y comienza a ganar velocidad, cuando 
empieza a subir por la circunferencia su velocidad comienza a disminuir. En 
cualquier punto del riel (camino por donde pasa la bola) las fuerzas actuantes sobre 
la partícula son su peso “P” y la fuerza de reacción del riel (fuerza Normal) 
Se plantea la conservación de la “Energía de la partícula” entre los puntos A y B
La energía total 𝐄A = 𝐄𝑩
𝐄𝒌𝑨 + 𝐄pA = 𝐄𝒌𝑩 + 𝐄𝒑𝑩
Dado que inicia el movimiento en A con v = 0  𝐄𝒌𝑨= 0  𝐄pA = 𝐄𝒌𝑩 + 𝐄𝒑𝑩
Las expresiones son: mg h = 
1
2
m 𝑣𝐵
2 + mg 𝑦𝐵
Se observa que para determinar la altura “h” es necesario hallar el valor de 𝑣𝐵
En el punto “B” tanto el peso de partícula como la reacción “N” apuntan hacia el 
centro de la circunferencia y considerando la fuerza centrípeta se tiene:
σ𝐹 = m . 𝑎𝑐  N + P = m.
𝑣2
𝑅
La mínima velocidad de la bola en el punto “B” sucede cuando en el límite la 
reacción Normal del riel sobre la partícula es nula N = 0
Por lo tanto P = m.
𝑣2
𝑅
 mg = m.
𝑣2
𝑅
 𝑣2 = g . R
𝑣 = g . R
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La altura del punto “B” respecto a la base del rulo circular es 𝑦𝐵 = 2R
Reemplazamos en la expresión de la conservación de la energía y se realizan las 
operaciones algebraicas necesarias se obtiene:
mg h = 
1
2
m g R + mg 2R
h = 5/2 R
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
FUERZA Y ENERGÍA POTENCIAL:
Para calcular la fuerza que corresponde a una expresión de energía potencial dada, si 
consideramos un movimiento rectilíneo sobre el eje x entonces la componente x de la 
fuerza F(x) y la energía potencial U(x) 
Como el trabajo efectuado por la fuerza conservativa es: 
W = - ∆U 
Si el trabajo por F(x) es aproximadamente F(x) .∆x
Esto permite que se escriba F(x) .∆x = - ∆U F(x) = -
∆U
∆x
En el límite ∆x 0 entonces la variación de F(x) se hace despreciable, se tendrá 
en consecuencia la relación exacta F(x) = -
𝑑𝑈(𝑥)
𝑑𝑥
(para caso unidimensional)
El significado físico de la ecuación obtenida es: que una fuerza conservativa siempre 
trata de llevar al sistema a una energía potencial menor 
Lo podemos comprobar en los siguientes casos:
1) Función de la energía potencial elástica U(x) = 
1
2
k 𝑥2
sustituimos en F(x) = -
𝑑 (
1
2
k 𝑥2 )
𝑑𝑥
= - kx
expresión de la fuerza restauradora de un resorte
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
2) Función de la energía potencial gravitatoria: de forma análoga consideramos la 
expresión de la energía gravitatoria U(y) = mgy (se considera el eje Y)
sustituimos en F(y) = -
𝑑 (𝑚𝑔𝑦)
𝑑𝑦
= - mg que es la expresión de fuerza gravitatoria
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Diagramas de Energía 
La siguiente curva de representa la energía potencial para un movimiento 
unidimensional 
𝐸𝑝
𝐸𝑝(x)
K (4) 
H (3)
𝑀2
F F
C D F G (2)
𝑀3
E A B (1)
𝐸𝐾
𝑀1
𝐸𝑝
0 A’ B’ x
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Una de las primeras ecuaciones usadas nos daba la fuerza F sobre la partícula para 
cualquier valor de x, cuya expresión es F = 
𝒅𝐸𝑝
𝒅𝒙
donde la expresión 
𝒅𝐸𝑝
𝒅𝒙
representa la pendiente de la curva 𝐸𝑝(x). 
Se observa que la pendiente es positiva siempre que la curva crece y negativa 
cuando decrece. Por consiguiente la fuerza F (el negativo de la pendiente) es:
 Negativa o dirigida hacia la izquierda, cuando 𝑬𝒑 está aumentando
 Positiva o dirigida hacia la derecha, cuando 𝑬𝒑 está disminuyendo
En los puntos donde la 𝑬𝒑es mínima o máxima, como son los puntos indicados por 
𝑀1, 𝑀2 y 𝑀3 se cumple que 
𝒅𝐸𝑝
𝒅𝒙
= 0 y por lo tanto F = 0 , tales posiciones son de 
equilibrio, denominadas:
 Equilibrio estable posición de 𝑬𝒑 mínima, debido a que si la partícula se 
desplaza ligeramente de su posición de equilibrio, esta sometida a una fuerza que 
trata de devolverla a dicha posición 
 Equilibrio inestable posición de 𝑬𝒑 máxima, debido a que si la partícula sufre un 
ligero desplazamiento de la posición de equilibrio, experimenta una fuerza que 
trata de alejarla aún mas de dicha posición
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Si se considera una partícula con energía total E, indicada por la línea horizontal (1), en 
cualquier posición x la energía potencial 𝐸𝑝 esta dada por la ordenada de la curva y la 
energía cinética está dada por la distancia de la curva 𝐸𝑝(x) a la línea E, es decir: 
𝑬𝑲 = E  𝑬𝒑
La línea de energía E corta a la curva 𝐸𝑝(x) en los puntos A y B. Se observa que a la 
izquierda de A y a la derecha de B la energía E es menor que la energía potencial y por lo 
tanto endichas regiones la energía cinética sería negativa, pero esto es imposible dado 
que 𝑬𝑲 = 
𝟏
𝟐
m 𝑣2 es necesariamente positiva
Por lo tanto el movimiento de la partícula esta limitado al intervalo AB y la partícula oscila 
entre x= A’ y x= B’ estos son puntos de retorno, allí la velocidad se anula y la partícula 
cambia su movimiento.
Si la partícula tiene una energía mayor, tal como la que corresponde a línea (2), hay dos 
regiones posibles de movimiento:
 Una oscilante entre C y D
 Otra oscilante entre F y G 
Si la partícula se encuentra en alguna de esas dos regiones no puede saltar o pasar nunca 
a la otra, porque ello requiere pasar por la región DF ,donde la energía cinética sería 
negativa y por lo tanto no esta permitido. Se dice que las dos regiones están separadas 
por una barrera de potencial . 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Para el nivel de energía que corresponde a la línea (3), el movimiento de la 
partícula es oscilatorio entre los puntos H’ e I’.
Para el nivel de energía línea (4) el movimiento no es oscilatorio y la partícula 
puede moverse entre el punto K y el infinito, es decir si la partícula se esta 
moviendo hacia la izquierda al llegar al punto K’ (proyección del punto k en el 
eje horizontal) rebota alejándose por la derecha sin regresar.
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Curvas de Energía Potencial
La siguiente curva de representa la energía potencial para un movimiento 
unidimensional 
𝐸𝑝 𝐸𝑝(x)
K (4) 
H I (3)
𝑀2
C D F G (2)
𝑀3
E A B (1)
𝐸𝐾
𝑀1
𝐸𝑝
0 H’ A’ B’ I’ x
PROFESOR DE FÍSICA DANDO CLASE EN LA MONTAÑA RUSA