Santalo_Luis_A_Geometrias_no_Euclidianas - Mariana Mendieta

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GE'OMETRÍAS NO EUCLIDIAt\l·AS'..
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.Scgunda-edición: mayo-de ~963 '
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Tercer.a. adícíén: ....enero de 1.966
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Esta ledici~n h'a sido revisada por el autor
,@"1961:
, '};D,ITORIAL UN~~E~SIT ARIA DE ,BUENOS AIRES - Viamontc 640
, Fultdada por la' UJljvt'rsicllld tic Buenos Aire»
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: Hecho 'el d~pósjto de ley. '.". .'
,IMPRESO EN LA ,AR,r.ENTINA - PRINTED IN ARGENT~A
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:)PR6LOGO
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«, A los pocos. años de la muerte de Alejandro Magno.. y todavía bajo el, eco
.de .sus resonantes campañas militares, durante los años en que el primero de .los
.Ptolomeos se esforzaba por convertir a Alejandría en el centro y depósito .de
z¡ • • ):oda la cultura del mundo civilizado, fue escrito un libro al que se dio, m~des-. :e
':· ..·?tamente, el nombre de Stoikbet« (Elementos). De su autor prácticamente no
,,;;~::\...)e conocen.otros datos que el nombre: Euclides., .;'.: ".
',';,;.;.:~\' En 'su tiempo pasaron casi desapercibidos .ambos, obra y autor. Sin embargo,
'{:l:·.,::":~ori:el correr .de los siglos, el influjo de' Jos Elementos sobre la historia -de la
"'.;.'~,f"hunl'anid:id {tÚ! mucho mayor que el de las victorias de Alejandro. De éstas no
',:'; )iueda más: que'. el. recuerdo del guerrero que supo realizarlas, Aquéllos, en' cam:-
,.', ¡ .bio,' han sido' ;el molde en que se ha estructurado toda la matemática, base-de
.. ']a ciencia y fundamento de ]a técnica que preside la civilización contemporánea.
•. .~: En .10s .Blementos, ·toda la geornetria, reunión hasta entonces de reglas, .em- 1
.pírícas para medir o dividir figuras, se convierte en ciencia deductiva. Se con- ,
~:"deiisatoda ella en unos pocos postulados, de Jos cuales deriva el restó, por
'~sucesivos razonamientos lógICOS.Lo que antes era empírico se convierte en. obra
,. ,:,~deI,~(iiscl1rsoy.del. pensamiento; la razón suple, como instrumento, a los sentidos .
..~ .'..~:~Elevada' la 'geometría a este nivel,' quedaba automáticamente al descubierto., .: :la 'posibilidad:~de muchas variantes; bastaba sustituir los postulados de partida
, .·:,po(otros~· para tener nuevas geometrías. Fueron las llamadas, mas tarde, geo-
,met:r'ías no euclidianas, pero cuya existencia estaba implícita en la .misma obra'
r'de<EucIides.· .1 :. .'
:., '.;. ~.fás propiamente, por costumbre se ha reservado el nombre d'e geom~t~í~~
',. ·:.no'~'euc]idi:tnas"para las que conservan todos los postulados de Euclides menos
~un~ de ellos, el llamado postulado de las paralelas. Esto es 10 que hacemos. tam-
.bién en la presente obra, Nuestro objeto no va a ser edificar toda lageometria
.a partir de- los nuevos postulados, lo que puede verse en cualquiera de ··las
"óbras indicadas en la bibliografía; Hemos preferido, tomando la cuestión' desde
"'un" punto' de vista superior, aunque distinto del histórico, exponer con' detalle
dichas geometrías tal como aparecen encuadradas en el marco de la geometría
proyectiva, es decir, siguiendo el modelo dado para las mismas por Felix. KIein.
·5
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..' .' '-.,Ello .tiene' el iaconvenienee ..de-suponer' por parte dell~ctot ciertos conocinuea-
. :.i· tos .de geometría psoyectiva, que para su comodidad hemos resumido en .los
'. capítulos IlI.y,IV, pero tiene la ventaja de sistematizar y poner de manifiesto
_. : ... Ja.·,hitima estructura 'de las' geometrías no euclidianas, muchos de cuyos teorc-
.. .. mas saltan a ·la. vista' de manera inmediata, en este modelo.
v , ';': ' ',';'La bibliografía mencionada' al final es un poco· extensa, con el objeto de que
, .: '. 'pueda ser ·útil al Iector que desee proseguir o profundizar alguno de los puntos
" 1,:' de.este capítulo .de la ci.encia.geométrica.
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1.1 .: Euclides. Poco' se' sabe con certeza
'de 'la vida de Euclides, Según el testimonio de
Proclo, un matemático que vivió en Bizan-
"cio [enrre los años 410 y:485 de .nuestra era,
"Euclides floreció durante el reinado de Pro-
I lomeo 1 [que murió en 283 a. C.J, 'pues es.
citado por Arquímedes, que nació hacia fines.
delreinado de ese soberano. Además, se' cuen-
ta 'que un día Prolomeo preguntó a Euclides.
si para aprender geometría existía un Camino
,má~ breve que el deIos Elementos, obteniendo
I la respuesta. de que en geometría na existe
. camino real. Euclides es, pues, posterior a Pla-
tón: [428-348. :1. C. J y a sus discípulos [como,
Aristóteles, 384-322 a. C.]" pero anterior a',
Eratéstenes [aproximadamente 280-192 a. C.]
y aiArquímcdes [287-2123. C.J.u
, Debido a 'estas noticias es costumbre ubicar
a Euclides como habiendo vivido alrededor del
año' 3<>0,antes de nuestra era. Sin embargo, te-
, nie~do en cuenta que el comentario de .Proclo
fue: escrito más de setecientos' años después, y
: que se carece de referencias más directas, se
comprende que algunos historiadores pongan
en duda tal fecha y aun la existencia misma de
Euclides, atribuyendo sus obras' ya sea a otro
matemático griego,.·o 'a la labor conjunta de
.una escuela qut! hábria pretendido compendiar
todos los conocimientos matemáticos de 12'
época.
Prescindiendo de la persona, real o hipoté-
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tica, lo que Interesa' par~ ,la: historia d'e'la ;má?:
temática es la obra,,:y ésta;:'ali'ri'qu~ a -Euclides. ..'."
se le 'atribuyen algunos escritós"más~ sereduce!' ,
fundamentalmente a"los' !famoso~:,Elemétltos. :'::
.' , ,,'. ,·;:u'~:::~:~. ¡: <;:~:,:i' i.~':¡/; '.
1.2.. Los Elementos, Los: iElemenfos;'de" .
Euclides 'for;nan ',un :COh)U~td-de ::0 'Jlbro{de;;~::,'.
dicados a Jos fundamentos y .aJ.ije!sairol1o~:J6~';<'..
gíco y sistemático, de'Ja-:geometría;;Es;Ii abrí};',
cumbre de la 'matemática':'g'riega:' Durante si;;'r'~':\
gIos ha sido el texto' obligado': de géometría e.:t,:.': .
todas las escuelas. Es etprimer ~bro:d(funda:"/::. '
mentación geométrica~:y SÜ, ;estilo ,y~'ord¿na~..·:"
ción fueron los moldesa los 'que.se ájustaron~·:. :'
todas las 'obras posteriores de' matem:hica. ~,".' :;) :
No se 'trata, :e'n.absolutor(ie:''\Jri;¡'maiiu~I·::i '.
práctico o de un 'co~junto' de:.;egl~s úti]'~s!<jul,
puedan' servir' para" ctllttilár lo' ,.me'Jir~ .al:: es~¡:"
tilo .de los docuinentos'·~egipdó's '·o¡babil6rticós'.:: ,
-de .épocas'arit~riores; Sc"trata de',uná 'estr,li'ctlJra'?,' ,
,.).lógica que' responde', ex:ic~a'fnerite,''~l, cQ'rl¿~'pi()"!,:;',
. de Platón' de la' geometda:I,~.·C(;mé;:!si','Sé'Hati.ra!:::;
de alguna finalidad ~'prádj'd;fIó~\'ge6m¿tds~\~'.
h:ibl~n: siempre ·:~e'~cita~i~~;.,~~.~l.~#gár/J~alg~~~;;i:':¿,;',' .:
. gar, cuando en verdad la CleÍlCla':s'e,cuItlva!con,?:::~:;,.:;
el único. fin 'de ~onoce~r.t~','!:'(1{epüblicti~'rLibio~:¡¡,:\':_
Vil 527) "."" .',:,;~,;,'~'.;'l·,',,-!: j"f' I,',I;"¡, ',';' ,!,¡:J..,¡:.',!.",, s s , . .; "~~:;~'i~r~" t;'r~:·i;;'lo~o.:>f~·;!:i~ '; -í{~J~::' ..
. Las bases de que parte,Eublldes"para:¡c<hfl-,:'¡:;" .
car su geoméerla-son: las"definidories/lós':pb's~\! -:':
tuIado~'y las río~iones,~comuI:ies.~'·:,'{':,.::~!~~~:i·(IJ'~I"'··, Las definici01tes ~on:,veirititr'é.s;,·akcótri,ie~zd;·~::': '
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aunque luego en el texto se van introduciendo
otras más, hasta un total de ciento dieciocho.
Con ellas se-intenta dar nombre a los elemen-
tos con loscuales se va' a construir la georne-
tría., Citaremos algunas como ejemplo.
, I PU1t.io'~s"lo que no: tiene parees.
, 'L.íne~ es una' longitud sin anchura.
, Recta es aquella Ünea que, yace igualmente
respecto de todos sus puntos.
Superficie es lo que tiene únicamente longl-
rud y :anchura.
Plano es la superficie igualmente situada
respecto, de sus .recras, ",
Ángulo' es lainclinación 'entre dos líneas de
, ,_un plano, las .cuales se encuentran y no están
en línea, recta. ,ISi las dos líneas que contienen
" ' el á~g~lo son rectas, el' ángulo se llama recti-,l' i '. lneQ." .... 0..: I
" • J' . '. .\.: "
,: Rectas" perpen,dic1dares: si una recta forma
con otra' ángulos adyacentes iguales, cada uno,
de estos ángulos es, recto y .las rectas se lla-
, ~a~ perpendiculares, ',:'
, ;~'R,ec't~s,-p'aralelai ~on:'aquellas que", estando
.en 'un mismo .plano,' no se encuentran al pro-
:'long~r1~s:' indefinidamente en am bas direc-' ,
, clones ,:': : : ~, "1" i ',,' ',j,' , " , "
.: '. ', . ;:.: .. .:.'; ;~.~.:'~. ~ :'.' '''. .
:: : No "es 'nuestro objeto detenernos en poner
, dc':m~r;ifies'to"lo's inconvenientes y 'la incon-
o • I .: ;" ... t O' ~ ¡ .' ' •
sistencia' 4é: )~~~pr~er~~: definiciones ~nterio-
; res. Responden al afán" que la autoridad de
1;:4cli~e~hizo,p~~du¡:,ár durante siglos, de defi- '
I nirlo' todo," lndursó'lás nociones primitivas de
, l~~':--c~'al~s'"l{ary::~q~e,:i;~~ti'ren cualquier cons-
I tr~cc~óp; lógi~~::)¡''q~~, ~opueden def~r~e en:
,~i"t~~l?i.~~~:~,~~rlPPP.!~~~i~n )a~ .construccrones
',': aXl9.matlcas'm\)d~rnas, el'punto y la recta, por
::: ej~h-tp,lq;'sc'iiití-9~~c~1?-c~mc;>'elementos que sa-
'.:, tisfacen ciertos axiomas, es decir, se definen
, 'po'~" s~s .propiedades '(yer Hilbert [25]).'
'Siguen después estos cinco .postulados:
,..'! !"". •. " •• ;.i "e ,' '_ •
: ",:,1.; Desde cualquier punto (J cualquier otro
se,:p-,ted_etraza_~,::~n,arecta. ,,
, ::",II..:Toda r~~tili~itada puede prolongarse
, ltziefinidamCJ1.tC.en la, misma direccián:
_III.: Con cualquier centro y cualquier r,adio
8
.. SI! ,lmcda trazar un« circun [ercncia.
~V. Todos/os ángulos rectos S01/. iguales en-
tre si. ' ,
V. Si u1fa'recta, al cortar a otras dos, [or-
ma de un nusmo lado ángulC?s internos me-
nores que dos rectos, esas dos rectas prolO1:ga-
das indefinidtlmente Sf cortan del lado en que
está,t los á1tg1tlos,menores que dos rectos.
Finalmente, Euclides sienta unas cuantas
nociones constates (llamadas por algunos auto-
res axiomas) cuyo número es variable según
los textos Ilegados hasta nosotros, pero, entre
las cuales se encuentran siempre las siguientes.
l. Cosas iguales a 1enamisma cosa, S01t igua-
les entre sí.
2, Sj¡ a cosas iguales ;e le~ agregan cosas,
iguale.!, las sumas son igll,ales. j
I
3. Si de coses.iguales se quitan cosas igua- '
les, los restos ron iguales. ' "
4- (ó 7 según- los textos). Cosas que se pIte-
de» mperpOl1-arúlt.0a otra S01J' iguales. é',~'
tre sí. ' , ,
5 (u 8 según los textos)'. El todo es mayor
que la parte. ',:
De estas nociones comunes interesa señalar
la cuarta. En efecto, 'la idea de superposición
lleva implícita la de un movimiento que rIle-
ve una figura (o cosa) sobre otra, y, preci-
samente, la manera de llevar 'una figura sobre'
otra,' para .decidir acerca de su igualdad, es una "
de las caracterfsticas esenciales de, cada geo-
, metría: Es decir, ya Euclides, aun expresán-
dolo en forma vaga, vislumbró que, en geo-,
, mecría, para definir la igualdad hace .falta
, definir el 'movimiento queperrnite. llevar una
figura sobre otra, punto de vista que fue ~m:;.
pliamente discutido, por Helmholtz 'y que,
además, constituye la base de la definición de
la geometría según Kleín.
Tratándose de figuras, en vez de "igualdad" "
se, acostumbra utilizar la palabra "congruen-
cia", precisamente para indicar que' puede JIc-
varse una de.ellas a coincidir con la otra. '
Con los cinco postulados anteriores y las
nociones comunes citadas se intenta edificar
~
'I~
1
I
toda la geometría. A la luz .de la crl tica mo-
. derna, el sistema presenta varios defectos. No
'. figura, por ejemplo, aunque es usado con fre-
cuencia, el postulado de la continuidad, que
en la forma dada por Dedekind se enuncia:
. Si los puntos de 1tna ~ecta están' divididos
en dos clases, de manera Q1tClos de la primera
clase precedan a todos los de .14 segunda, en-
tonces existe 1m P1tnto, y sólo 1tná, que separa.
a ambas clases, es decir, que sigue a todos los
, de la primera y precede a todos los de la se...
gUtida.
, También .esusado, sin qu~ sea postulado ex-
plíciramenee, el hecho de que un p.,unto de una
recta divide a ésta en dos partes "separadas, o
.de que una' recta de un plano. divide a éste
en dos regiones, así como el siguiente postu~
Jado de Arqulmedes, que en realidad es con-
secuencia del de la continuidad, y que ·luego
'resultó fundamental para la construcción
axiomática rigurosa 'de la geometría: '
, Dadas dos magnit1tdes entre las cuales están
definidas la nema y la 'relación de mayor a me-
nor, tal-como para segmentos o ángulos, exis-
te siempre 1m múltiplo. de la primera que es
mayor que la segunda. '
Sin estos postulados, u otros equivalentes,
pueden señalárseles varias fallas lógicas a los
Elementos. Por ejemplo, 'ya en su primer pro-
.blerna, que consiste en la"construcción de un
triángulo equilátero de lado dado, al hacer la
construcción lrabitual de trazar dos circunfe-
rencias, de radio igual al lado dado, por los
extremos de un, segmento de la misma longi-
tud (lo que puede hacerse por el postulado JI) ,
no queda demostrado que dichas circunferen-
cías deban cortarse.
Sin embargo, todos los defectos que pueden
señalarse resultan insignificantes comparados
con el mérito extraordinario. de haber cons-
truido una ciencia deductiva a partir del cú-
mulo de conocimientos dispersos, en su mayo-
ría empíricos, que constituían la matemática
anterior a la griega. Además, el hecho de se-
ñalar' como postulado. al quinto de ellos, que
.dio origen a tantos estudios y discusiones du-'
rante más de veinte siglos, demuestra una in-
"
tuición genial acerca de uno de los puntos cla-
ves del pensamiento geométrico l.
'1 ' .: ,
1.3.' El postulado V o postulado :de'.I~~1
paralelas, 'De los cinco postulados del-sisre-'.
ma de Euclides, los cuatro primeros traduceñ':'
'propiedades más o menos evi den tes. para' nues-, -.
tra intuición geométrica¡ Elrnériro' consiste ,en,:
haber sabido seleccionar,' de entre el sinnúmero' ~
de tales propiedades, una: Cantidad redúcidí-" .
sima de ellas que fuera. suficiente. paraeons- '
truir la geometría. El postulado: Y,i en cambio; "
llama la atención, y ello desde.el principio ....por ..
su mayor- complicación' 'y ·po.r-~c~recer"·de la'
evidencia intuitiva de'.que gozan:':los :.·demás;·.'
Es probable que al' mismo Euclides" no 'se; le.'
escapara esta diferencia y. procurase.ven tóda
su obra, evitar lo más'. posible leste 'postuladoj"
que aplica por primera vez' para .demostrar .la:
proposición 29 del Libro 1,' a+saber: 'una recta'
,que corta a dos paralelas/oriria:~'con: e~IaS:}~·~";.
gulos alternos internos igú'áIcs;:~¿'~respd~die.n.:':"
tes iguales; e inrerioresdé un: mismolado ..·su,,,:~
plernentaríos, Este esfuerzo Ide: Euclides' por.'
evitar el uso de su postulado V, mientras 'pue'-',
de, y por construir la ·g~ome~i:íii.con indepen-
"dencia del mismo, .justifica !Ia .muy .repetida
fiase de que Euclides fue el ..primer geómetra
no euclidiano, o bien," que ;Ji "geometrí« no
eu~lidiana nació negan-do su paternidad, ; v- ,';.
Hay que observar que en algunos. marius-
critos el postulado de las paralelas" aparece
corno axioma Xl (algunasnociones comunes
pasan a ser' postul ados ),. 'Así :se lo menciona
también en algunos trabajos 'posteriores, 'por'
ejemplo en los de J. Bolyaí. 'Siguiendo la cos-
tumbre gener:t]"que:históric~mente parece ser
la más exacta, nosotros seguiremos llamándolo .
.postulado V" " :~, I .' •
La primera idea, que prevaleció por' más de
veinte siglos, fue la de querer "demostrar" este
1 Más detalles sobre Euclides y' su obra pueden verse
en las clásicas obras de Heath. [1] .y. Enriques ,[2] •.
:ls¡ como en la Historia de la matemática de Rey Pas-
tor y Babini [20J. y muchos pU,ntos de vista, or'igi- .
nales acerca del valor de los Elementos como modelo
de construcción matemática, en el interesante libro de
B. Levi titulado Leyendo a E~clidis [3J.,
9
.'.
postulado. Los sucesivos ensayos. de demostra-
, ción 'no' dieron: otro .resultado que llevarlo a
. otr~s':'formas equivalentes, aunque a 'vecés de
, apariencia If.luy: distinta de la del enunciado
original -,,V~os a mencionar .algunas. de estas
equivalencias, algunas.de las cuales presuponen
" q~c,:,las",¡;~ct~~..so~ J;lO cerradas, condición' ésta
': que .antes se consideraba, implícita en el postu-
,', Iado)I,'(ycr;·2!1).:~:' ",: , ',.
, ... l" ' " l' ,
',' " 't!.na'·~en4encia, queafloré.repetidas veces, ,
Consi~te-en 'modificar la, definición de rectas .
, p~al~~i':S~iúp.~u~lides: son.aquellas que 'Uno
,,:~':'ie~c~é~t:rap rp'ol' I~~~:que se prolonguen".
'~f;~a.:a$í"ab~ert~..1a, posibilidad de que existan
r~~ª~ ,~sintó~ca~~i~s;:de~ir, rectas que, como
'·09l~f~\~~,I~:!ú'p,é.r~ola;y:s~s,asíntotas, nunca'
,se./;e~cll,~1.1~~en;r'pc;tQ·,:que¡SIn 'embargo no, se
':~~~~e~~ll;,eq'ujdf~,~a~~es~,;:~~<?que su dista~cia ' ,
11~g~e;,~,,:ha~e,r~e:l~~n,pequeña como se qwera,
, ',;sin- reducirse ¡~p~c;a¡,i;~efo. Si, explícitamente
. : Sf!)?,d~y'e: esta posibilidad, el postulado de las
paralelas-puede ,c{~mostrar~. Es decir, se le
puede' ciar la forma siguiente, debida a Posido-
ni~:'(~igló J'a~'C.)~, ,! ' :'. .,
: Vi.! Dos r~ctas -p'aTalelasS01l- equidistantes.
" Mu~:análoga.~sila forma dada al postul~do
deIasparalelas 'por C. Clavius (1537-1612):
" .. i ! 1: .. ' ", .
,V2. ,Si tTCS:P1m.~OSestán de un mismo lado
de U11arc_ctll,y e_q1l-idist,!nde ella, los tres PU1,.-
los 'pertenecen a una misma recta.
I ,". I • • ~
: Esté .enuaciado equivale a, pedir que ellu-
gad'gcométri~o (I,e;10'$ puntos equidistantes de
u;Darecta' (de' un' xpismo lado de ella) sea ~tra
recta. ' :
. Procl~,::el' matemático bizantino al q-ue se
deben q~~.'pocas ;~~t,i~i,~s"que: sobre.' E~clides
se..conocen, y los 'ppmeros comentarios sobre
los 'Elementos, se 'apoya' en la siguiente' propo-
,.:,' • tI ..... ' ,=: ,t': ':'
, '. ,1' La obra' de, Proclo. se #tula' Comenterio ,d Libro 1 '
iJe 'los "Elemento's'~ 'dc 'EúéJiJes. Desde principios del.
siglo xvi ~ hicieron va~w edícíoaes latinas, de esta obra,
una eJe eUas, dirigida! por, G.;Friedlein y pub]icada por
Te~bner, (,[.eipzig,' 187J).:.rComo versiones modernas
hay;ila 'alema~a, de 'P. Leander ,Schonberg, con comen-
tarios'de M. Steckc(194$);y la !r~ncesa de Paul ver
Beecke, en: 1948 1 (Collection.lde: trauvaux de J'Acadé-
mie lnternazionale d'Histoire.des Scicnces, n9 1, Brujas
(BéJ¡;i~a): : ¡,': :': '
, • ~. r ¡ • :' ¡'
10
, .sición (que atribuye a Aristóteles y toma como
:evidente): ]a distancia entre dos puntos: de
dos rectas que se cortan puede hacerse .ran
grande como se quiera. prolongando¡ suficien-
, temente las dos rectas. A partir' de esteIema,
que vale, siempre que las rectas se consideren "
líneas no cerradas, el postulado V equivale a
Va. Si U11arecta encuentre a una de Jos pa.
ralelas, encuentra necesariamente a la otra;
¡'
también puede enunciarse de estos modos: '
,~f ,vl. Por U1,. PU11to exterior a una recta: se ,
: puede trazar 1!na y solo una paralclil a dicha.
recta;' ,
Va". Dos rectas paralelas a, U'Ila tercera, son:
siempre paralelas entre 'sí.
La f~rrna Va' es la más comúnmente utili-
zada. enIa actualidad en los textos, de' geome-
tría, y se atribuye generalmente al matemá-
tico inglés John Playfair (1748~1818) .
D
, • I
Del mismo tipo, aunque muy postenor, es-
la forma a que lo reduce A.' M. Legendrc.
(1752-18H),asaqer: " ;
V,. Por U1t punto cualquiera, 101Tl4doen. 'el .
, interior de UtJ ángulo, se puede siempre trazar
,tli'ta recia q!'-e encuentre a los dos lados, ~cl
.tÍ1Jgulo. j ,
'C De rodole muy diferente, pero ?C ~ra~ im-
portancia, conceptual, es la forma slgwe,nte da-
da por J. Wallis (1616-1703): :
i,I
. ·Yrs. Dado un triángtllo' cualquiem existe
siempre uno semejante de magnitud arbitrari«:
:Es decir, la ~xistencia de triángulos seme-
jantes: es caracrerístico de la geometría eucli-
diana. En las geometrías no euclidianas, si dos
triángulos tienen sus ángulos iguales, son con-
gruentes (es decir, se pueden. superponer),
pues el tamaño de un triángulo: queda deter-
minado por sus ángulos, como ocurre con Jos
triángulos esféricos. .
iEs interesante el razonamiento de Wallis
. para demostrar la equivalencia de las formas
y y y ¡J. Sean las rectas AB 'y. CD que forman
. Jos ángulos a y ~ con la secante AH (fig. 1).
Supongamos que a +~< 180°. Traslademos
AB hasta CBl de .modo que se conserve el án-
gulo a que forma con AH. Siendo u < 180° _.
- (3, la recta CBl caerá dentro del ángulo
DCH. Por. consiguiente, durante la traslación
habrá un punto A' en que la recta ·A'B' cor-
tará a CD~ Si P es el punto de: intersección,
se. tiene el rridngulo A'CP. Si se puede 'cons-
truir un triángulo' semejante al A'CP cuyo
lado sea AC, el punto' homólogo del P será
el. de encuentro de .AB y CD·; es decir, estas
rectas se cortan, lo que. prueba l~ vigencia del
postulado de las paralelas. Que. éste implica
VlI es evidente. ..
:WalHs opina que su forma VIS del postulado
es:]a más próxima al pensamiento de Euclides,
puesto que el postulado' III establece la exis-
tencia de. circunferencias semejantes, y parece
'nátural el paso sucesivo' de postular la existen-
cia .de figuras semejantes también para otras
figuras .geométr~cas. . '. .
';Otra orientación, que hace ver bajo un nue-
vo aspecto la incidencia del postulado de las
paralelas sobre teoremas geométricos al pare-
cer muy distintos, es la iniciada por el jesuita
. G: Saccheri (1667-1733) Y seguida posterior-
in.ente po~ J. H. Lambert. (1728-1777) y
A. M. Legendre (1752-183'3), según la cual se
demuestra' que _dicho. postulado. es equivalente
al; siguientes. .
:Va. La suma de los lÍ1!gulos';'nteriores d~ un
tiiángttlo es ig1lal a dos 'rectos,
Saccheri llega a este resultado a tra vés de
v( v ~)d
yVlJl
~)J~~'
.', I
. i
I
: . -. . .. .':~<.. ¡;; :¡.::(;.i.'~ :'!:...!.;.{ b :·Ü::~::¡:..:::,·:.
una .figura de la que-hace müy.~frecuehtéluSo~ :.
(llamada c1tadrilátero}.de·;Sacc.heri;·~v.er::,.~~)1·'" .
Sea AH 'un segmentó::'arbit~aHo; 'perpéndi~7 .
larmente a él se torri'an.·'(JOs::segmentos;AD·,;_ ~.=BC, y se forma':'::eF'cu~drilátéro :;iABCD .
; .}";'_-¡.~\ It·~,¡::·.·!··;-;.:.••.r.\.·I,., ;....~.:,;..\.J.'.'.;.:...:'.: ..:,;.:.>
• I 1,','· \': ';.' ;.~:~. :;
:::! ::':. '.1. 1.::::, "';' .. i.;..:¡;,;-::
1/:: ;:... ~~..:
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.': ..... ;"';' B': .'_:";:'. :."';'~:;.:,';
.¡/·(I : o ',"'( i.' )0
'. .
• .:~: o .... : :' '.': ~i oFIGURA' 2 '. ;
I ," o • 000 .0 ••
!. I \ • ~. t:'
. -, ';' .... ~ ~.: o,' .'1 )':. :;. J:' ,
(fig. 2). Sin eluso del.pósrüladó V se demues-
tra 'fácilmente 1que el ángulO C es igUal :alD•.. '
Caben entonces tres casos, según que esteári-
gulo sea recto,' agúd.b ru-,obtusó. :S~ d~niti'esir~ .
que siempre se está ~.il el-mismo .caso;·cüales~ ,
qu..iera·:qúe-sean las dimehsicnesde.lá' i"asé'\~B:
y de los segmentos igúales !A.p. y BC~t ~pái¿";'. ."
cen así tres posjbilidade(·qtJe."p~eden ~óm~rse' .
como hipótesis: la del ~ángulo .recto, ,la !del, .
. :íngulo obtuso, y la';del. ángulo ~agi1do,¡'según . .
. ! .10 sea él ángulo e= D:: Saccheri demúes~á :..;' .
que" el postulado' de lás paralelas eqUi~.aIe"~~~b..;..: ..
. hipótesis del .ángulo:, recto,!.' i:·.trata)~ego~;,(Je·~.". '.!
probar que las otrasJ~'pótel;isJlévan'!~ ~n::á.~:';::;~.
surdo. Para la hipóteSis del áriguloobtusO cOn~;¡':1
sigue demostrar que::¡ellá' to'ndúce;:a::;.Ia:l·(:6n~::< ~.
clusión .de -que-Ias rect'a.s :son:..,-:.fini~as~lo;,,~ue:;.~;;;;:l..
. toma como el abSüi-dCi'deseadd,'y.:por·lo):in.tc(:·' l.,
excluye "tál p~si~ilid~d,~J~'E~·:i;,.~a~bi?,\.~¡~ar~~~~......i'
hipótesis d~1!~~ID110Ja;~.~?t:D~·.:~??~1~~i}I>~~~r..,.,; ¡:
a cont~ad~Ccló,n A ~l~.n~~:i ~~~l~~v~~~~~~'.h~a!:::l. .i
. contradicción no eX1ste.~y..es .¡preclsamen~e; la :'.. (.
búsqueda de l~:mismá.~~o:~qu~;~.~~ría·.~~~.~.~~d~l:.:. I
. '. . . ..,:> 1 "~~i+::~¡ ·1.l:!;L-¡:'~ : !}}.! ~:' ¡!l. ,I••,*~?.:i.'. ". .:I
1 Basta llevar el cuadrilátero fObre SI rnasmo..dc,rna..... ..;
.' fiera que la base resulte: mvertida·::. (es decir.tq·ti~~;:A::.:! ;'!
coincida con B v:viceve'rs2H¡q~ed:indó Jo'~dc"s:(:~idri",:.: r
Iáteros del rnisrn'o' lado con. respécto ::a!·!aJ;2se. ÁB!.lpoi. :.
el postulado IV, J~ 'snnjrrecta ·AD.i.coinéi~i· :;coll!:BC. ..
y la Be con AD.:Siendo;.además, ;jguales los segmentos .
AD y De, el cuadrilátád coinCidirá. consigo Iornlstno" en
posiciÓn invertida Y. por 10;t:1n~o,.el ángulo le :coiald.:
dir.á con el. D. ." '.. :;'. '.: '1. l: .."..
: .'
. ~. . . 11
. '.
' ...
.' .
cír, .unr siglo 'más .tarde, al descubrimiento de
'las geometrías no euclidianas. .
. ·'N~ es"difíci( demostrar que las tres hipó-
tesis, (del ángulo recto, obtuso o agudo) equi-
valenrespéctivamente a suponer que la suma
de los ángulos interiores de un triángulo es
. igual, mayoro menor que dos rectos.
. Finalmente, es intéresante la forma obtenida
r por Gauss (carta a~. Bolyai en 1799 [18]):
, Vr. Existen tridngtdos de área tat) grande
. como se.quiera.' ':
.; :: Si '~eadmite esta proposición, el postulado V
también: puede demostrarse. .
. ·.Hemo~, dado varias formas diferentes del
postulado de .Ias paralelas, Se podrían citar to-
davía otras 111as.rodas ellas fueron cnconrra-
das durante las tentativas de "demostrar" di-
.cho .postulado.' ·Et' resultado. fue "siempre la .
"~~stitQci6n .del' mismo por otro equivalente,
de enunciado: más: o menos. simple, o más o
menos evidente. :Así se fue llegando al. con-
vencimiento de' q~e .se trataba 'efectivamenre
de 'un verdadero postulado -no de un teore-
# • I •
"
, '
: ., 1
':' l· ", s
, :.,2:1.' Las ~bras"de Gaues, Lohachevsky y
Bo)yai.; Si el ·po~t~.la40·V, en la forma. dada
por~Euchdes u ot,ra 'equivalente, es un verd~
·.dero·postulado, eI'hecho qe negarlo, aceptando
'105 aemas~' no: deb~· co:nd~cir a contradiccion
aIguna~ Es~a f~e:la ~d.ea¡·q~e:maduró en la pri-
mera.:mitad de1:s.iglo XIX; 'y' que: dio por re-
'" , 'I . "' ...
s~lt~A~'I~Ln~fixA~~~t.0;i,dc,.,las."g~o~etrías no
cu,~hRl~n~~,es·;de~~.J;""l;de.·.la.s:·geol?etnasen que
. el:,ppg'pla'd9 :V¡: .deJ.~uc~des .deja de ser válido.
,}C~fl1o~:t.oda.Ii~e~',:q~e.;.l~eg.aa 'la ~adu~ez e.n
un determinado momento de la historia, di-
cha~'~g~omet~ías" .ii.ó'·puede~ atribuirse 'total-
.~:ente: a 'u?a sola' p~rsona:. Fueron gestadas por
la obrade todos los matemáticos anteriores que
) "
12
-rna que pudiera demostrarse con el s~lo uso de
los postulados precedentes-, y que, por '10
tanto, iban a· ser inútiles todas las tentativas'
de demostración.
·En este sentido, Wolfang Bolyai '(1775-
1856) 1 escrihia a su hijo Johann, uno de los
'creadores de la geometría no euclidiana [21]:
"Te ruego que no intentes tú también luchar
con la teoría de las líneas paralelas. Perderías
-el tiempo y 'sus teoremas quedarían sin de-
mostrar. Estas-impenetrables tinieblas pueden
derribar a miles de torres como Newron. Nun-
ca se aclararán en la Tierra; y el desdichado
género humano nunca poseerá en el mundo
nada completo, ni aun en la geometría. Esto
constituye una grande y eterna herida en nu
alma."
1 Como suele. acostumbrarse, utilizamos la versión
alemana de los nombres de los Bolyai, padre e hijo. Para
respetar la forma húngara, en la que el nombre sigue
al apellido, en algunos libros Wolfang Bolyai aparece
como Bclyai Farkas, y su hijo Joh:mn como Bolyai
]ános. '" .
CAPiTULO II
, .
LAS GEOMETRtAS.'NO EUCLIDIANAS
intentaron ver claro ·el.significado del famoso
postulado, y cosechadas simultáneamente por
varios matemáticos, entre' los cuales, y corno
más significativos, se cita siempre al gran rna-
temático alemán Karl Friedrich Gauss (17.77,~
1855) , al ruso Nikolai 1vanovich Lobachevsky
(1793-1856) y al húngaro Johann Bolyai
(180f-1860). . ;
En realidad, los únicos que publicaron du-
rante su vida los resultados obtenidos fueron
los dos últimos, pues Gauss, prillceps matbe-
maticorum, ya coronado ,de fama por 'otras
investigaciones, temió siempre que las .relati-
vas a la recria de las paralelas fueran conside-
radas por sus contemporáneos como div:aga-'
i.!,,
¡
cienes i~sensatas d~l orden de la cuadratura del
círculo o del movimiento continuo. 'Por eso;
a pesar de. que reconoció el mérito de tales
trabajos y los' alentó, y en cartas privadas dio'
noticias acerca de sus propias investigaciones,
'no quiso. publicar nada durante su vida "por
temor algriterío de los beocios" (carta ¡l Bes-
se1 en 1829 [18]). .
'Los primeros trabajos de Lobachevsky da-
tan de ·1826 (memoria presentada a la Uni-
versidad de Kazán y cuyo manuscrito se ha
perdido), siguiendo después varias publicacio-
ne~,entre'1830 Y 1840, fecha es~a última en
que aparecen-sus famosas lnuestigaciones geo-
-métricas sobre la teoría de -las paralelas, obra
escrita en 'alemán [19]. .
. -Los trabajos de Bolyai empiezan alrededor
de 1823, según cartas a su padre \Volfang y á
· .otros amigos, pero su publicación se retrasa
· h:ista 1832, en que aparecen como apéndice del
· primer tomo de un libro de su padre [14
. y~15J. .'
:Tanto Lobachevsky como Bolyai ponen en
estos trabajos las bases de la geometría y dé la
trigonometría no euclidianas. Bolyai se dedica
especialmente a distinguir las 'proposiciones
geométricas que necesitan el' postulado de Eu-
clides de aquellas que son independientes del
mismo, a las que Ilarna propiedades absolu-
tas o absolutamente verdaderas. Lobachevsky·.
construye más decididamente la geometría no'
eucliaiana, al negar de entrada el postulaCIO'V
y suponer, en cambio, que por un' unto ex-
~erlOr a una recta pasa más e una' para cIa.
. 2.2. Las geometrías no euclfdfanas; 'De-
jandó de lado' el desarrollo histórico, así corno
la difícil tarea de distinguir a quién pertenece
cada una dé las ideas que forman la geome-
tría no euclidiana _'_'y que se encuentran muy
entremezcladas en las obras de. Lobachevsky,
Bolyai y otros autores de su. época, como
F. C. Schweikart (1780-1859) y F. A. Tauri-
nus .(1794~ J 874) -, vamos a presentarlas tal
como quedaron una vez' pulidas y sedimen-
tadas. .Un .estudio histCSrico·y .bibliográfico
puede verse en el libro de Boncla [5].
~ Sea una recta.,. == AB y un punto P exte- .. .'
.:
'.
'. l' I ,1, '
. : ' !. ;•.,; ,;~.:' • .v.' 'l..: ';~'::" ~~ .
rior a ella (fig. 3) . .Torriernos-Irn pUri~o:'cu:áI-:'~.'
quiera M sobre r, ...Y.:·'~dnsldéff'J:nos)Ja::1:'re~fa.\:"
a'=='PM. Supongamos.quejelpüaro ·M. 'se ;müe':':~.:
ve sobre r;alejándose~infinit'imerité;',.~i:'anto:lía:.(· .
cía un lado como hacia' el:otfo)pueddl'pieiéÍl;.;, ..:::
tarse tres casos··· ...¡ ....;:.;':'ii.;i. "if;li,~n¡¡': I."{';;'·. !i.¡.' :::.~¡~:.:>.:
l. ·'E~ste 'u~~' únic;~';:~¿~ic~¿íi~M¿')~d~!;I~:~~~~·>'. '
.ta variable a, en la cuál rio:c6tia: ··¿'r. Estai.\ínica·. '.
. posición límite: será. hlJ'pai-alela~p'o'r'!p,a,Jr:~~s-> .'
ta mas 'en el caso euéÜdiá'hd¡¡por.' P)p(zs~·."ülúz' ' . '.
sola paralela. . '.. ~.. : \·:i:·,·;!r:.>-¡:::¡;~~T::: ,:,,;:~,U;<}f~ ::'
. 2. Cualquiera·quei·s'ea·· ..la f~ctalq~ej~a~~:~Brt ..
P, siempre corta'a r:Jpor. ~.;:nopasa~ning1ina
para/el~. GQ_f) ~t ~J.. i.(l);\~\;;~.J.;,;·j . :·d.:+.r~;...:~;:,;:,
. 3. Existen dos' posiciones'Hmiee,' EE'/'i FF_~":.:
para las rectas secantes; .soil!las·corresporiaidl-.~·"
tes a los dos sentidos en':que:.M· puedc[aléjarse: .'\ !., I , .
:(1. ()' I \i,'J'.'¡ t.ir: :r·I!,{~~!'J'·I.·t':..::·.'¡:<:':·i·II.:t••:·4.r~:·"",,< .•.
" ~.~ . ~(. : ...,.;f.':i'fJ {):'L'~'!':: i;, il.~L~r;r'j·F'::'
E ! ., ~+/~'; ,¡..,~~ f:'f..: .::.t'.~ t\h:;f,,: .:"'. +
. :.~, "~'::.1 ;./:.;,'; ... ~. ;I'~!,i; f~;~ l' +>
• ;':'l -;O •• .: 1 i'~\;..': 'v.. ; .•1 •• :." f\ ..'(tot···· ~...
• o: '!: :i .. e-i: :~:! ~ .s : l !~¡I t":. '1..
¡ l'p .....r , ¡J".... . "'¡¡.I¡I··~¡··h,:!·.
~.'\.).,~t·:.. '·...:1, ,::, .;:'t:;.J,:' \./:.r~Lf..';,~.:)I
!. > • Ir.! t: ',l. Jo 1. . '.. ". l"':~ l' • i •
r
A :...•: :::F:} !:;;: 1, ;¡"r!r1!~i;;'··
infinitamente. Las .recras que, pasan.ipor ,'P ¡;y.:.
están comprendidas en el ángulo FPE, ó>rtatá'n_
á r: serán secantes .. ¡Las' -que .;pasan :):ór ~~P..
comprendidas en el' áriguló . EPF~, :novcor-
tarán a r: serán no',.s-eéantC's•.~Las .EE' i" FP' ,'.
de. s~a:ración entre ainbos~.!!Eos de ;:rectas,\ se
1I!.ri1alLPara]!las._Fs decir,. en este' caso:' ,por..
eUU11-to P' paran .dos;:p!!.ra~~!as a :!',~'in]Iñitas'
tes.: '. J • • • • • • • • , .' ,. .no secan es,. . . t'i ;:~...; ~!.~.;.,.. ' :.;~·i·f~'·'.',.\:,:",
. (Obsérvese 'que .lasrectas¡ no] secantes, tes-.'
pon den .también a.la definición- ~e rectas ··para-.:
lelas dadas por·.Euclides. (ver::l.2 h·sin émbar:"; .
go, las posiciones límites tienen .Cierta.spropie~"
'dades particulares 'que hacen convCtiient~ con-:
. .' 13:
.',
. i ..
'.
. ".. '.: .....
':.~':", . .' .',,". '.
: ... :.... ; : :.
", t. '.
,,'
• • • .... ,¡ ';; I !':", .,: ,
servar' sólo p~ra t ellas' el nombre de paralelas,
para 'a,sí-"distüiguírl.as de las no secances.}: ' ,
~-Los .casos 2 y _:3 ¡corresponden a las geome-
idas ~o,euclidianas, Ilamadas, respectivamente,
elJptiq( e" bjpl_rb61~clI.,,:': ':,
.... : •••...•.. ;: ;"f .
':,2.3. L~geomctria:no' eu~lidiana elíptica.
, ',La, ,ge~mecda':'elíptica,; .es la. que resulta de
, "su~.ti~uir,el postulado: de: las paralelas por el
. siguiente: ' ,:¡ ,"', " ,
Por, un 'punto exterior, a ,,,na recia "O plisa
ninguna p'arIlJela.es decir. todas las recias qm:
pasan !por 'un pt¡.n!o extcrior a otra cortan a
es/a última. ' ., : ','
':Consi,deremos (~ig~,j) 'la recta HP p~rpcn-
dicul,!~ a,.r,p()r."u~,:punto H.de la misma y la
LL'_ perpendicular.a: PH', por el punto P. Sea
.M1 'el, punto' en q~e LL' corta a r. 'Según el
postulado 1 de Euclides ,(inte~pret~do en 'el
sentido de que· por. .dos puntos pas~ una sola
recta) ,:'el punto Ml~·debe,ser único, y' el mismo
tanto si M'se aleja':hacia la. derecha como ha-
cia la izquierda. La"recta r·resulta a~í cerrada
. y, p'or .10 tanto, ~init~.:E~'dedr: _ .,.' .
E".n:la 'geomctrla ~eli plica las ;eclas son ce-
rr -.las ", (.'. ':r .) '. ,aa:,:.' ~{¡"_i', j'. ' ': . '. ' ,
No _pued~decirse que sean U!~m!t~das",
puesto 'que no ,tienen ,p..?~~s ~onde empiecen
o' terminen; por lo tanto no ~ay estricta con-
tradicción, con el postulado n. Sin embargo,
"i~plíci~amenie se :.hil~~a::,entendido siempre
quevlas rectas ',dc;b~an)~er'¡abiertas e infinitas.
De ~qui ;que :la conclusión 'de .que debían ser
-cerradas "se¡estimase:"un'aicontradicción con el
postulado P',":Y Ja'~ge0n1.e~.r,í~elíptica no 'fuera
cQ:'lsider~d~,'eli u,n:pr4tcipio~ ',', ' : '.
f..:'Li:;· cometría~elí i~~a,es' l;t'geometría: sobre
la-~superficie esférica cuan, o se 'conSl eran co-
-mo rectas :13, circ;unferencias 'má~mas., 5ola-
menté¡h~y ..que, c~':lye~j.r~'para evitar que dos
recta~\se .cortcn>en ~dQs.':puntos..diferenres, qué
los p~Úttos'~Jia1fzciralmenté 'opuestos .sea.n 1msolo pi¡.n~o•.:En' ,reiio~es 's~fident~mente limi-
_t~da~:'para-que ;~Q:ha~~,e~::~~as.'puntos diame-
tr~lmente'opuestos~'la identidad, entre la geo-
metria: 'sobre la esfera y 'la: geometría ,t:Ií ptíca,
, escompleta .. Se tiene-así el:.'primer'ejem~lo d~~.
I . ,
;"
, .
geometría en que no se cumple el postulado V. ,
'Por tratarse de un ejemplo muy familiar, es
muy útil para comprender algunos hechos que
a primera vista parecen paradójicos. Por ejem-'
plo, el resultado de Wallis, de' que no. puede
haber figurassemejantes en una geometría no
euclidiana, se cumple evidentemente sobre la
esfera, donde un triángulo queda, determinado
completamente por sus ángulos. También, si
se considera el lugar geométrico de los puntos
equidistantes .de una Circunferencia máxima
(recta de la geometría elí ptica) , resulta una
circunferencia menor, que ya .no es una recta;
se comprende así el postulado V2 de Clavíus.
Con esta íntcrpreeacién de la geometría'
elíptica es fácil deducir todas sus propiedades, '.
por 10 que no vale la pena detenerse en ella.
Así: la suma de los,ángulos de un triángulo e:s'
mayor que dos rectos, el área de un triángulo
es proporcional: a su exceso esférico, en un
cuadrilátero de Saccheri se cumple la hipótesis
del ángulo .obtuso, etcétera. , . .
Ánálogament~, la' trigonometría correspon-
diente a la geometría elíptica coincide con la
trigonometría esférica. . ',' l. ,
A: veces se considera también como' geome-
tría no euclidiana a la geometría esférica pro":'
píamente dicha, es decir, la: geometría sobre
- la esfera 'sin la' identificación de los puntos
diametralmente opuestos. En este caso el pos-
tulado 1debe, entenderse en el sentido de que
por dos puntos 'pasa por lo menos una recta. Le" (O/O/'
Como la idea de estudiar la geometría so-
brc una .superficie determinada --en el caso
actual, la esfera=--" tomando 'como rectas las
geodésicas.o curvas de longitud 'mínima 'entre"
dos de sus pimtos (suficientemente pr6ximos):
es de B. Riem:mn'(1826-1866), a las geome-'
trías elíptica y esférica se las suele llamar"
geometr'ias no euclidianas de Riemann.
. 2.4.. La geometría DO euclidiana ~iper.;
bólica. El -caso 3 de 2.2 corresponde a la
geometzia 'no euclidiana propiamente dicha.,
Es la' geometría desarrollada por Gauss, Loba-;
chevsky y Bolyai, a la que K1ein dio, el nom- ~
bre de geometría hiperbólica. En ella las rec-:
tas son abiertas é ilimitadas. Se cumplen los
.'
. cuatro primeros postulados de Euclides y deja
de cumplirse el quinto, el cual se sustituye 'por'
e] siguiente: .
Por un unto exterior a una. recta pasan
os paralelas, que separan as infinitas rectas"
no 'secantes de las i"finitas secantes. . .
. La posibilidad de esta geometría deriva de'
que, sin contradecir los primeros postulados,
puede haber rectas que no se corten .(por le.
ta~to, paralelas según Euclides) y cuya dis-
tancia mutua sea variable, llegando a ser tan
.pequeña .como se quiera. De esta manera las
paralelas .EE' y FF',. de la figura 3, resultan
r~ctas Uasintóticas" a la ,. e:AB, a la cual se
acercan jnfinitamente sin llegar ':l. cortarla. EJ
· ángulo a =HPE = HPF se llama tÍ1,gulo de
paralelismo y depende de la distancia d =·PH -.
En! 'la geometría euclidiana es' siempre a =
='90°; en la no euclidiana, a varía desde cero,'
para d infinito, hasta 90 o, para Jtendiendo
a cero (ver 6.4). .
De esta geometrla .nos vamos a ocupar con
-detalle enIos 'capítulos.V, VI y VIt Adelan-.:
ternos únicamente que, en ella, la suma' de los
ángulos de un triángulo es menpr que' dos rec-
·tos y que, por lo tanto, corresponde a 'la hi-
pótesís del ángulo' agudo de Saccheri,, .
. 2.5. Geomelría y r:ealidad. Es curioso
observar cómo Jos creadores de ~a geometría
noleuclidiana de la primera mitad del siglo XIX,·
"a pesar 'de su obra. capital, parece que se hu-
bi~ran alejado del concepto plaeóníco que pre-
side los Elementos de Euclides y hubiesen re-
trocedido, vol '¡iendo a considerar la 'geometría
.como una ciencia destinada a medir las cosas
· de; la Tierra. En 'efecto, al vislumbrar la po-
sibilidad. de' .gcometrías distintas de la euclidía-
naJ en lugar de adquirir el convencimiento de
·que el postulado Vera Indemostrable y .que,· " . .. ., ,. . , ...en; consecuencia, existían otras' geometrras
igualmente verdaderas, mostraron una cons-'
'tante preocupación por averiguar, por vía ex- ';
, perimental, cuál era' la "verdadera" geometría,
es ;decir, cuál -era la geometría' válida en la
naturaleza 1. ..
. !
· 1 Henri Pomcué La' recllazado la posibilidad de d~-
cidir, por medio de 12 experiencia, cu~1 es 12 "verda-
. El mejor método .que., a. uno.se Ie ocurré. " . ;
pensar, para ello, consiste enmedir la. ~ma di;-·:::' :
los ángulos de un triángUloky';comproba:r<Si' ~.:,.:'
ella .es igual, maYor,:!o'hnenof ..4u~. dos: rectos::, ..i:'-< :
El primer ¡ensayo .Io- hkó'jGarlssf Diidie'n(lo':lof :,;.....:') ;
ángulos deJo ttiáóguldUormá~o'ipor:·lis1ciiná5: ;.;.:::~;:
de los montes .Broc~eili~Hoherihagen?'e·~Iiisel~;: /!";'i: ;
,berg,. triángulo cuYosrlaClós;.:ñüdeilivaHd·t:dé!·. ;:~.:', .
cenas- de .kü6métros~~EI :,;.reSüItad~:frleX(¡üé'.la\ '\r:::;J_ .
suma diferíade i180~·¡en:~~'dllitidadés-_'ínhY'i.pe~·:-.::.:~~.!
queñas; atribuibles a erroies ,de'obSérVáCión.~~r -.!. '!' l
" Estos: errores,'] irievi~ábles,,¡,poi1..~p:recis·as¿.;q~e.:} . i.·
!;ea~:las mediciones¡ hacen:! C¡ueTmediante':.tesu·:"f ,¡. I
tipo de experiendas;tno!·lseá:·~pOsibI~~)'aeCidir· ·..i:·· .;
cuál: es la geometría' ~eal· 'déla>;'n'arutaIeza;:;~a~:;, :
lo sumo ~irven r..para;;.JIegarti:dla>,cohélu'Si6h:. -':;'.: ;
de que'·· para' los uso~(:'cornehtes'" de·'¡.J,!,s"Ciéñ¡; -v, :. (.
, I • ¡.. .
cías e~'periine:ntales,dai:':geome~d2! 'eucliáiaD:l: :'.,:::::.::
es perfectamente .'válida. ~l.r,:a$·¡~.'no·:· iéuclidi;i::':.'~:< :'
nas tienen interés pu'rámente'!'té6rico"cu2n'dó"s'e .:,.;;
'considera' que' conocer: es :~l::.:úniéo'fui 'de )2- .: :
geomeería, pero. tienen valOr.!~sCi~ éórrto.1geo..;'·. ;
metrlas para: medir', ~út~bse:rya'r' :los¡.~fenorrie~·.: . :
nos naturales,' Para' 'elIó':'la:'eüélidiana: 'es ·~Súfí.;.. -~.. ' ..
ciente, y es,.también·1Ia ..·rit~sfprác'tid~~pdr je:r' .:.
la más' simple y,la más 'ada'pdda:'a1 la!intuici~n~~·~!'.
Es-explicable :c¡ue··ásr:Sea':·Los'-'postuI~dos.'eD:':1 .
qúe 'se basa una geometría fSei:'elig~nJ,lo::)nás -
evidentes: posible pai:bla" intUiCión;;'Pero.~ésta' . '.
es producto de la obserV:ici6n 'de·la natUraleza .,
por los sentidos.' Por:·;Jo;"tiiiito~;.alinerios"tÍÜen!.::.)¡·' .
tras. nos mantenga'm~s :én: eltord.en dé:magiii~:; .' .: J
'. tud "'apreciable poi' .Iós! senti(Jos;~.Ja:géometiía. i; .
euclidiana sed .la niás acorde':con'la: naturaleia~ .:" .
por -ser el p~stuladóiide;:E~¿lides\~~If.inásJefi~ ::~,.
denre : para ·.Ja.¡.'in~ció~~l;p~a:F.~~s~~~Zp~ede .~..
ocurrir' al trarar .fenómenos :cuyo·I.¡:orden~.;de::.
magnitud sea' muy' diferente tdel. qué.'~apredárt. :
directamente los sentidos,::!coino;distahcias es.:. . ."
.telares '0 diámetros de !paiticulás ··.ele~tntalés. :,:.;...
.. : .','::> .:'.:··n¡j;:::);:t:,(,~·,(\-:··;·~;ij.tr:~t.¡;{;~:'. ,
den" geometru. Mis aun,.-sostlene que"el'problema en.;. ~'.
.i cuece de sentido, .ja'·q-uei·unaTgeómetrí2·'no es ·iñit.. .
o menos fI~rJaJml ,ino m~s;o 'irienos.:é&moJtI.:para:.Ser .
aplicada a .,un:. cierto :~~mundo".·Pua :el nuéstro~' este .::
carácter es poseído pOr.Ja ¡geometdá :~did¡:aDa.'i..C:Ver ~.
H. Poiitc2r~, ÚI' rimeltl y 111hipóltsis (trad.:'esp'~j, Es- 'i
pasa-Carpe Art., coleeci9it'" Austr2l,' 1'''', I cap' .. UI,'
IV y.Y.) .: : .. : ! . .... ".:.. ;!!.
.H
.' ..
• 0,, ~." ~ •
..
.' ..
Enesros casos podría ser que la intuición fa-
:llara Y' que o~~as:geomcCrías fueran más apro-
piadas, .de 'la misma manera como para gran-
des velocidades, superiores a las observadas
direcramente por los sentidos, deja de ser exac ...
tao la mecánica newtoniana (la más evidente
para la intuición) ..y debe ser sustituida por la'
einsreiniana.' . :..,.
Desde el 'punt,o -de vista de la matemáti~a
.pura, en cambio, todas .las geometrías tienen
igual valor.: Son' estructuras matemáticas dis-
tintas: pero :igual.n:iente valederas, cuyo inte-
. rés p.u~4e variar según.la aplicación que se les
.: encuentre, Paralos, usosde la práctica, la geo-
metr:.í~·.euclidja~~ es .l~.:qu~·mejor se adapta.
En cambio, paraciertos capítulos de la mate-
má rica.pura (te~rí~ de, funciones automorfas)
ode la físi~a reéricaj'teoría de la relatividad).
.: .IQS 'esquemas de las geomerrlas no euclidianas
,. son más apropiádos~;' "'~.:, : .:
"· ..!{:;:ri· i..1;.. ' ¡)":':¡::i',::.¡ -.1:!. ",' '.
:. ::~:;2,,~,,¡;N.ue~lr.:Q.:p~og~~a •. Lobachevsky y
.' Bolyaijdesarrollaron su geometría por vía .ele-
;. ~,ent:~l~,;Pres~~Ad~~nd~·::d.e~.po~.tul~do V O. sus- .
.: ·tltuY~l?golo,r por. ¡otro; :.pero siguiendo un ca-
.. mino; ~~álogo'. al .de-Ios Elementos, }tegaron a
1': mp.cho,s.res~l..t~40sinteresantes de la geometría
.., y;?~;ig~npmetría: -9-0. euclidianas, Al no encon-
'.:.,.trar contradicción. e~: sus razonamientos, He-'
, . gaban :a la. convicción de- que. el postulado de
Euclides; era, yc:r~ad~ra~ente un postulado,
puesto ;que su. negación no conducía a resul-
tadosl contrad~ictorios. S1n .embargo, esto era
. nada ,más que una' convicción, no una demos-
tración, puesto' que'. quedaba la duda de si la
co_!!tradicciónEareEe!:_ía ~ algúE_~ev~ reo- .
rema .. As~, , en . ciertos' momentos; el mismo
Bolyai. creyó, p~r un exxor de cálculo, haber
llegado' a: una contradicción y, por 10 tanto,
haber "demostrado" el postulado de Euclides
(ver Bonola [5,' pág. :ll.~J)~ .: .
-,: ,~a 'prueba ..de;:1.~ indemostrabilidad del p~.s-
rulado de.Euclides no, fue' dada hasta' más tar-
.·de; por: caminos.diversos.: Primero por Beltra-
'ini·.(1835.-1900r,.en·I~68,. según una direc-'~.' '~ : ;:.< :.' .¡ :',:. ..: .' . .
, 16
! .
ción de la que hablaremos más adelante (8~2),
y luego porF, Klein (1849-1925) en una me-
moria famosa [36], en la cual sistema tizó las,
. geometrías no euclidianas desde el punto de
vista de la geometría proyectiva, construyen-
do modelos con los cuales se podían obtener
todos los teoremas de las mismas. Llegó incluso
más lejos que Lobachevsky y Bolyai y, sobre
todo, demostró que nunca se encontraría con-
tradicción en sus razonamientos, puesto que
ello conducida a una contradicción en el rno-
delo, el cual estaba construido' a partir de la
geometría euclidiana. 'Es decir, demostraba ~ue
si hubiera contradicción en la geofl1etría~ no
euclidiana, también la habría, por ta1),to, en la
euclidiana. ' -
i
Nuestroobjeto es exponer con cierto detalle
esta iri terpretación proyectiva de las geome-
trías no euclidianas. Creemos que es la mejor
manera de lograr una visión global de su jes~
tructura y de comprender la esencia de ;sus
principales teoremas. Ello obliga a manejaral ..
gunos conocimientos de geometría proyectiva
.que, para no tener que hacer continua referen-
da a textos sobre la materia, vamos a resumir, -, I
en los capítulos In y IV. '
No vamosa hacer la construcción axio~á-
tica de la geometría desde el principio.· Si-
guiendo el camino de Euclides, pero con todas'
las correcciones y añadidos exigidos por la crí-
tica moderna, 'esta construcción fue iniciada
por M. Pasch (1843-1930)' y terminada con'
: la obra magistral de D. Hilbert (1862-1943) ..
. titulada Fune/amentos de la geometría [25],
fuente insustituible a este respecto. Dicha
construcción' puede verse en cualquiera de los
libros modernos dedicados a las geometrías no
euclidianas, por ejemplo en los excelentes de
llaldus [4], Coxeter [8] o Norden [11].
Admitiremos, sin formularlos explícitamen-
te, los postulados con los cuales se edifica rigu-
rosamente la geometría proyectiva, y que pue-
den verse en la obra de Enriques [23] o enila
de Rey Pastor [26]. .
I '
2'. ',,:' "
" .
./
-Las nociones de 'geometría proyectiva que
vamos a presentar pueden verse con mayor'
detalle en cualquiera de los' textos menciona-
dos en la bibliografía. Las exp~qemos breve-
mente en este capítulo y en el siguiente para
tenerlas a mano y para refrescar. la memoria'
de¡ lector. La exposición será un poco concisa
y algunas demostraciones tan solo serán. es-
bozadas. -.
I '
I ;
. 3.1. El plano proyectivo. DEFINICIÓN 1.
Se )lama Plano euclidiano al plano de la geo-'
metría euclidiana, es decir, al plano que uti-,
liza 'Euclides en sus Elementos; Y. para el cual
valen todos los postulados establecidos en .Ios
mismos •.Es el plano ordinario' de la geometría·.
elemental, . . .' .
.. ' En el plano euclidiano es cierto que' "dos
'puntos deterrnínan.una recta". En cambio no '.
lo 'es la propiedad dual 1: "dos rectas determi-':
nah un punto", puestoque, si bien' cuando .las
rectas se cortan, puede decirse .que dererrm ..Ja·n
su"!punto de intersección, cuando son' paralelas
no: determinan ningún punto. Para obviar esta
falta de' simetría o. 'dualidad, resulta cómodo
ampliarel plano' con nuevos puntos; Ilamados
p'll'!1tostmpropios o puntos del injinito, que se-
. rán' aquellos.determinados por rectas paralelas."
i Propiedades duales (en el pl:mo) son las que se
obtienen un:i de la otra 'permut':Il'~doentre sí 1:1, pala-
bras "punto" y "recta" y umbién las expresiones "re¡;-
t:1 que une" (dos pUl1tos) e "incersecc:i6n" (de dos
rectas). . . . .
Como los axiomas usuales. de la geometría proyecdva
del' plano son duales, dado 'un teorema su expresión
dual t3mbién será un lcor~ma.
. _ .. , .. :.:< ··<¡:t:.:·:,,! .. !}l.'j' .;f~; J>':' .. , ,',
.' J'''' ...»Óc vÓ. ",H." ..',' ,ll,···,ti·,
DEFINICIÓN 2...ConveÍlci'emos'efl deCir:qúe.·
toda recta' .del pl~n("';dcfhie' ¡ün~'punt¡;~¡l1;lmj~:>~.:
pio J el cual es' el' niistno"'pa¡,~.;todas' .la~¡ reéta~ .'"
paralelas, .y dístin to' .pára, 'rectas_' no 'iaraleJas/ -
Por :consiguiente, ...dar un'' p'únto';' impropio,
equivale a dar una' recta.o ~ea~JUna,di.i-ecci6n-:', "
'~'nel plano.' Dos:rectas .:paral~Ús:d:~t~rrninan·, :'.
. . '.. .,' l .• " .._.. • "
el mismo 'punto ·.iinp!opio !:[(equivrilef~,.a:;:declr·.:;..'
que tienen la' misma ~direcCi~n)~::eori' 'este ;'con.:.(:' ,';
venio, elenunciado ·.,~dó~:::rectas(¡itermin~n iin i: ,!..
t, !', .: • •• .,'. ',' •• t !,," • , k.' , ·..r 1: .: .. " .){ ",: I ,í·': .",
punto" nene valtdez:'lgen~ral~:,~,L;J.':.::ií:~~S;:;;VÚ:!I~i'.:¡'., . 'Puesto .que: en' el'cas&',de;d'ó~:rebtas:;ii~'p.:t:ii::1 ..... .;
'lelas el:pun too q ue' detérmin~n :ies' Su ,~jiltersec~:~:i,,¡,. ;
.ción (que. p~~te:'lece:'~"~~Dib~¡s)}'t~ml)i'éit':'ert!~r~'!. : :
caso de.punt:os.imprdpios·sé:~ice~:;~.r;~c5modi-- -,:, ',' ..
.dad de Ienguaje, que':elIos ··:·peiteileciñ~~;/a~b': . ',
recta que Jos ¿eterm~a1 :Dc·!esu'Jrian·era;:hda.:.1'-:::.' i
:reéta' tiene .'un pun.tQ~;imp:ropio:W.1:sOJo~:ij~~~:~r:J;~.~:~...!
'.con junto de los ptiiltos<in'ipropios!::).'iieJie::rii{:j¡t~,:) I
útiic6 puríto ~.omú.ií:::~to~-::ttiálquier:::·1;~¿tá::; (fél. .)":. :i.' t'
plano,. Y. como' esta rpro'i,je~~~:eh: .er{c:rso··oe; ':'1.. ', .. : '.
. puntos propios," dJraéteriz'aFi{ ~~~:r~ctas;~se':.::' ..
conviene en 'decir: ¿¡'de ·:10$ 'ífu'iÍtos .mípi·opios:.:. '
. forman' una' recta; .1lárnadi.,:iecld· ;mproPia:;o. :¡. :
d 1 . f" 1e ' 1.....,.. ,,:.. ¡_,; ; ., " '... :. s . ¡l, .. - , .recta e In 11/.110 de .ptano.. :>d'f· , ::,,:.; ;.;; .
.' . '. . l', ':/:.:.,.....j' . -, \.',"': ;.!".' ' ..\ '; .. '. .
DEFINICIÓN 3. s~·~llama:¡j,lano': pioyec'Hvo '.~' .
al-plano euclidiano ampliado·..:cOll..los, ptinib·s. ': .
•• .: . . ~ :.' ". '1 1; .: ~::. ,lmprOpIO!. : l.,: .. ;:" .:\ '
• " l. l' , • ¡, •.:. J ,1 ~,"\,.' ,':',
Una imagen muy:íitil ;·~ellpláno·.proye:c'tÍ'vo :.:,.:
se obtiene' de ]a. maner,a: sig~iente·:.:Seá,::e~·:'pla~·'. :'
no 3t Y. un.:pun·to exteriór·:(r!(fig::.4)'~·;Consi- .... '
deremos el conjunto ~de las rectas :y' pla.nds del .
espacio que pas'an por ~O (se llama '1'ailiación i
de vértice O) •.Se .tiene: .;'::' :. ," ..,.,.::.!. ;.~;, ?t·;~ ...
I . : f ','. •
.' 1.!-·
. .~
"
;, .'.ir: ,'::, ;;: ,
"':'.1 ::
• -, t ••. ;, :' , :. ,...,:.. :..
....
'.', ','.:,.
~:'. " _'r,', " • ¡ l' • • '
,:,;' ",J.,~ :t,!d;(l~jónr,de, vértice o 'comtituye tcn«
; repT~se~~,!c~Ó_n,¡á.e_1'pl~~o 'Pro_yictivo, con el
l. convento de¡: 114?n.ar:.,~¡rp.1~n!os" a las rectas de la
~,ra'4ia~ió1"-y,~,rTectas" {I' los' pla1Jos de la misma.
, .' _'i • ,1_ ..j', ; _ .• ," 1, ',' ,. '; • ,~ • ' _
;.:" .E:n 'efecto;' alcortar con e~ plano n; a cada
. ": recta a .que,cortea 'n le corresponde el punto A,
,.~ de int~.rsecd6n,¡ y 'a cada plano (a,b) determi-
"::'nad.o por ,dos,.re~tas'-la, recta 'AB determinada
:.p~r'l<?s::puntos:: correspondientes. Los puntos
. .impropios de n corresponden a las rectas de
la radiación contenidas en el plano n', paralelo
,a ~.:f\ .rectas paralelas de n les corresponde una
._-:misma ::~ecta.paralela ,que pasa por' O, conté- ,
:n~da:en'el plano' n',o "sea.,:un solo "punto" im-
.propio: .~~ recta ·~mp.ropia,correspon~e a rt'. La '
'radiación de (.vértice ,:0;, excluido el plano n', ,
-consrítuye 'un,a .representacién del plano eucli-
diano: J;" '.¡ "', ',:::, ,',: .;' .': . '
, ;""'!, Obsei~~~e' que ';al definir el plano proyectivo ,
.. nc_>se 'hace '~~~ que, introducir los elementos
, .Impropios como' una "manera cómoda de uni-
:ficar .cniJnciados;': pero con' ello no se alteran .
.Ics' postuladosjque .:relacionan los elementos
, . pun~o y 'recta' de':la~'ge9~etr_ía euclidiana. El
, .1'),~;: .~, ,;' ".' : : ~. ' :. ::,,\: : ( ,' l;;: ~6,
,": ", ..... ~
.. .' .. ,., ,,------
. ", ,I;~, . " ',.., _..; I I
,¡ ;. I I
, ,! I''''. ..', ;,'. ~
I
'C
,
, ,: . .:i· b, '..
.. 1.'.
" •• I,.;, ., ,¡ ',,1 '
,.;. ,.~ , :",
'," '.' o" :. -:' :
;-, . l',! . :;' - '. ,\':,'¡ .. ".,
, .. " . ':: . ~, ¡,FIGURA ..
, ~'~',3;;; ·l.~:/'. ::1 ,:':',~'~~,:.¡:, :;:;;;: e:: ':,. : ,
:"po~t~1ado V equivale. 'ar'la afirmación de 'que
", .' ';"1 '.' ;, • , '. • '., • ,0(' ~ ... '
'~:':l~:ip':ln~o.Pfop¡p¡,Y,',::?J;lO impropio determinan
,·;.?n~,.sola~··reGta,rprop'~sición 'válida en el plano
,::l>roy'ectivo.Es decir, la. geometría' proyectiva
\... ." : i' , • -..: ,
'.~~,."1 '~':'. ~_•: • I I .'
...~)$,.,.,',
. ~;f\'¡ '~.,,: •
.•• .r ... : -:
~,,~;.: :::
• 'o'
":
.; .. ;
'se edifica' con los mismos. elementos de la geo-
metría euclidiana}. aquélla podría estudiarse
por entero .dentro del marco de esta última,
tan solo complicando los enunciados. Esta 'ob-
servación es muy importante desde el pqnto
de vista de la -fundamentación de la geometría.
Según ella, al construir la geometría proyec-
tiva no podrá encontrarse en ningún momento
contradicción lógica si,no la hay en la geome-
tría euclidiana .
3.2. Razón doble de cuatro puntos:' 8U
invariancia por proyección y seceión, DE-
FINICIÓN 4. Dadós cuatro puntos s~bre una
misma recta r, y un cierto orde~! ~,B,C,D
,r
A D
FIGURA 1
,
entre "ellos -indepe'ndierlte del orden en que
están dados sobre r (fig. J) -, se llama raz6n
doble o raZÓ11, ottarmóllÍca de los mismos. ~ la'
expresión I .
i
.. AC AD
(ABCD) =-:-, .
, 'BC! RD
(1 )
El primer miembro es u~a not~ción. EI;'se:·"::'.
gundo es un 'cociente de razones entre ,seg-
mentos, los ~uales deben tomarse .orienrados,
es decir, teniendo en cuenta, que, 'por ejemplo,
es AC =- CA. La razón, doble depende idel
orden en 'que se toman los cuatro püntos:, Se
comprue~an, por ejemplo, las .relaciones ;
1 1.
(ABCD) = (ÁBDC) = '(RAC;D) =~
'.= (BADC) = 1- (ACBD) '=
= 1- (DBCA). (2)
r, , ••
Debido a 'estas relaciones, de las 24 razones
dobles que se pueden formar con los 4 pun-
tos de una cuaterna, al variar el orden de: los
mismos, solamente 6 tienen valores diferentes.
Si sobre la recta r' está definido un sistema
de abscisas; -o sea, un origen O y un punto
, , .
un:idad U de manera que cada punto X esté
determinado por su abscisa x (distancia a O
.rnédida con la unidad OU), llamando a, b, e
y U, ~ las abscisas de los cuatro puntos, la ra-
'. zóh doble (1) se escribe también
,1 ' .'
,;(ABCD), = (abed) =.
I '
,! e-a
·1
·f
d-a
d'-be-b
." ~, .
, ' .
(A, veces, para evitar alguna posible' confu-
sióh, pondremos también ,(a,b,é ,d)' en lugar
',del (abed).)' " "
, 'La expresión mediante las abscisas de los
,cu'atro puntos tiene la ventaja-de que permite
definir la razón 'doble 'aun ,para puntos ima-
.ginarios, es,decir, para puntos de abscisa 'imagi-
naHa; se la llama también razón .doble de los
'cuatro números a, b, e y d. ;
La importancia 'del concepto ,de razón doble
deriva de la propiedad fundamental siguiente:
, . Supongamos' q~e la, cuaterna A,B,C,D de r
, se 'proyecta sobre otra recta r' desde un pun-
to'fP (fig. 6); sean A', B', C' y D~'los puntos
proyectados. Vale enton~es que' (ABCD) =
,,=t(A'B'C'D'). ./'. ,
En efecto, llamando ahora (1,' b, e 'y d
a las rectas proyectantes.vyrepresentando por,
ar :(APC) el-área del triángulo APC, y análo-
gamente para Iós demás 'triángu'Ios, se tiene:
:2 ar (APC) =PA.PC.sen (ae) =AC.h
2 ar (BPC) =PB.PC.se~ (be) '= BC.h,
donde h es la 'distancia de Par. De aquí
. AC _ PA sen (ae)
. BC - PB . sen (be)' .
Procediendo análogamente con' los triángu-
Jos,APD y BPD, para Jo cual basta cambiar e
por D y e por d en las fórmulas anteriores,
resulta
, , AD PA sen (ad)--_--.
BD PB sen (bd).
Dividiendo las dos últimas igualdades, re-
sulti '
(ABCD) =' sen (ae) . se'n (dd)
, 'sen (be) . sen, (bd) . (4)
"
..
(3 )
, " ,;.' , ~:...19
,t., .;
'., .
..
0",
. '
" " .
. ,".
: . z.6n.:·dobi~'.J;'··~u:atro'rectas de u~. h~z, dadas
. pór~SUt ec'ua.~joneS,'es ,jgwil ¡j la TIlz6n, doble'
I ' .,., ,
, ~f:~1J.~'coefic~c1!teS'angulares.
" ," :'~ i t ", ;:: j .:' i',: ! •. ;. \"j": •
, ",·3.4., Cuaternas.arménicas, D.EF1NICIÓN 7.
o • o •• '. ..If !:, ....
", S~:dice ·,''l,ue.'cuatro puntos' .alineados A, B,
, C Y:]) forman' ana' c:ua/~rna'ar1nónjca"cuan-
,do;Su,razó~ doble vale -1, 'o sea, (ABCD)'= .
, =·...-1. .
" "
',: .. '
': 'i
"
.
:: ',' ;
:~.
....::.
: ,0
j~+' • '. Ir; I '1
~l.
..
, ",
..' . ," e
:~.:~:', . .' • '.~ : ';') 1:"!
" FIGUIlA 7
•," : ~,.'. ' .' • I
.,' ." t • ~• ' :: • .:1.,-.' •• ' ! ' .. ~ '.
" " )'j:':U~aconfjguracló~':fundamental que da Iu- ,
'; "ga,r a'.'cua·~ernis::~rnlon:ica~es la-de la figura ~t
.,,~llamada 'cullári'lllr#ce! completo. Un" cuadri-.
',' .vértic.e'..es'un conjunto"d4! 4 puntos,' como los
:',M..:N~' p y Q.,..~elos cuales nohaya tres sobre
'.una misma recta'.::Las 6 rectas que' unen estos
puntos entre si, dosa ,40s, se llaman lados del
, 20
cuadri vértice ..(en la figura son MP, MN,: MQ,
NP, NQ y'.I~Q). Los puntos en que se corean
dos lados, .y que no son vértices, se Ílaman
, puntos diagonales (el A, el B, y el ..f.l).' Vale
el siguiente: ,
,TEC?REMA 2. Sobre las recias qlJ.e unen dos
. pmllos diagonales de U11 cuadrivértice ~om-
pleto, estos puntas y los de interseccián C011-
los otros dos lados forman un« cuatern« 'ar-
montea.
Así, en la. figura 7 son armónicas las, cua-
'ternas A,B,C;D; H,B,F,E y H,A,K,L. Demos-
'tremos,. porejemplo, que 10 es Á,B,C,D. Apli-
cando el teorema 1 'a la proyección de A,B,C,D
desdc·M sobre la recta PD, se tiene (ABCD) =
= (PQH_D) y. proyectandodesde N sobre la
rectaprimitiva, (PQHD) = (BACD). Por lo
tanto será.' (ABCD): (BACD), 'o sea,.lla-
, mando x á' esta razón doble,' según (2). es.
:X = l/x, o sea xl!= 1; pero 'no puede ser
x -:- 1 .si los cuatro puntos son distintos 1,' lue-
go, será x = _' 1, Io que prueba el teorema.
En 'una' "cuaterna armónica,', por' ser
(ABCD), = (RACD) = (ABDC), en cada
r
B D I
1
1,
1uno de' los pares A,B 'y C,D. d~..la cuaterna
pueden permutarse- los elementos entre' sí.
, Además,' siendo negativa la razón .doble, .de
1 En efecto, según (3), si x= 1 es (c-a)(d
- b) ='(J - a) (e - b) o' sea,' haciendo operaciones
"y simplificando; (a-b) (c-il) = o, 10 que obliga
, ':l' que:o bien A .coincida con D, o bien e coincida con D,
~1) se deduce que los dos pares deben sepa-.
rarse (es decir, si C es interior afsegme~to AB; .
el punto D debe ser exterior, y reciproca-
mente). Por esto se dice que son pares que se
separan armónicamente. Tamb~é~ se dice q~e .
cada punto de un par es elconjugado armo-:'
nico delotro, respecto del par restante. .
Es interesante el caso ·en que el punto D
se aleja hacia el infinito. En este caso, siendo
lirn] (AD/BD) =']jm .[ (AB +BD)/BD] =
== lim (1 +AB/BD) = 1,· se' obtiene AC ==
='7- Be, es; decir, C: es .el..punto .~edio .de
AB~ Por 10 tanto:
'TE9REMA '3. El ámj1tgado ~~móniCo 1 Jel
frllntO improPio respecto' del par: A,B es el'
pultto medio del segmento AB..
·1 .
M
'.
1
.¡
• 1
.: .A.
'j,
:.c
'FICURA 8
.l. .
.' ·Géométricamf.nte (figt 8) este teorema se .
puede .enunci1r:
.,tEOREMA: 3'. Si se.1men los vértices. d~ la ba-
se dc'1en triángulo con los pt/.ntos'en que 1ma
paralela a ella .corta a.los otros lados~ el pun'to '.
de 'intérsección' eStá sobré 'la mediana corres- .
poit.diente 'al ter~er vértice.:', .
l·
3.5. Teorema ·fundame~lal. Suponga-
mos dos reétas r y. r', y ll;na correspondencia
biuní'voca entre sus puntos tal que·.a ~oda cua-
~,.';JI:f .,;tdl:i~j,J:i(
'terna arménica, (ABCD), :, -;;-.1;,.; deq¡rVlei,"""~': ¡';.
haga' corresp ondér .":ú~a'~':(ltiater";l.l arm6~i¿~~~¿'~}~;::'
• • ,,' ,_ , .... 1 ¡
(A'B;C'D':) :..:..._"_.f.~de:Lr.;~se~\'dice;'quet'la;~;có~I\:,;f.,+.
rresp6ndencia'" co~s¿í-+~;J~};~~~terrias ¡~irri6~i;!~,'.:(:,:... V'1 :", ..fl, I ' ",V 1,\,¡.~ ."""j .1 ~\ "; J¡:III~"1 ¡ ~'rr,I,t,,:!'\ llt~t .k':\.caso a e.ientonces.e "SigUlente; teorema,', un,,:;\)"I~':'!':
d· .' l.d ""d";';"':i .\I ..".'··~.~tt:J,<1'.... ~';Jr'I¡'l¡rll~ ..1'.'I':';"menta e Stau t·, ''h\'J'~\ '01'1 ,';:"1, • l' .. ~, l' í'ió ..., .,.. :. .'";~f:1.\?""1'; lWh .~.~:},.: k'f':;''-''· :v1•·•·. ¡W" .•:_;,: (.
. . - ::~.' .:::.. ',".'~; ':.~~r'l~~~~,•.?t<:, ~ :. :. t: ~:I I :. "';/:.1~i~~~:.~~~~~~i:J j :::'. s'' -, :.~;. :. j', ',S"~fi~¡~!'~-)'.~'.1 ~J:;¡;.:P\:. ¡:: j~r~··:IlN-;t!Hf.'::;:.j:o . 1- ,.'. 'l' "'¡ ¡ ,.," "'. ~Ii" , ..... •. . -.: .;.... ;. ;ll¡:l.·~f'\.'f;·i'.,;;.: r, ~..'! 1'1·',,;'I;I·¡,:, ~~'. 'T~'"
• 'o • .~",' • :'.:/:.~ .; \': ; J.¡:,i.~' ~~_.<.Ittj~:"~:~." :..t;
:.' • ",. .1 \ \r'·i~.ll..'-, "~'" ""'.' ~It"'(~f1 It1,.1··; ,
:. ': • ~·.I :":!·~t)~t:,~,~·!i#J.~~.:~·;:,~!k::i!t!;}~! ~t·:"!:
.( >\!t.: ,..:~: :'~t~~j:(l~"fJ1.~::' .~r.:.t:~~!;fH~':·~i.!:·~i::
'., .",""." ,,J , .•!.. :¡ _.;:.'li<'" (.;;",··"101'1' "j "l'
.": ~7.<:'.. r"::, '. N' : ..;, ,': ::': .!.:.I:t~:,J 1:1;: ..1 ...i" ¡~
¡"iL" ...I·.\, ,,.,,. , .. " l.), If' '" .v.,
,i . \ t;", .:':'" '·:3~·J: .' ".:,.. ;H;~·,;I~l;;:.~.,~~~~...~.~:~.
.' .1.. jIJ ....~~·:r ' ... í\~~I:-'Hhl'iO.l~.111,,', ••
:,' ,.: :!'1:\i:\:",; \' ..,:!,;;;: ;:::1':) ',; Lt:1".')h~!':1}i~'~~" !:)!; 1 ;
. " "¡'''''/j·'·1 ·.· ..·.·H "·'II;.lt ...(lh,"'··'·'}·'· I.r. 'ir' ..L~,.f·::r ~·?rJ·!¡. {,. ..!f~:H-'··~~(:··(~~.t.~¡" "~t:~
·1 ." !.íJ: '~"':,f ,.(.: . ;, fl'~ ;.V' I{J',('! ;'~r1 .!
'1": :...IT!;li·:j sÓ: • ~)~:. ~:¡'hr·,!·~·n(\~~.ví·j! ,H.. , ~.:\;'. ~.Ir:. 1 :=::::::', ..... ,! ·t',r·u~.r ':1 ~
.~:tE.. J·:i-~,1~r..: ;:" .
S¡"
• • '-!..
TEOREMA 4-.'Si un'a correspotidencjá: ·bil¡n~::'.·.' ..' .,' .
VOCII' entre .Jos piinto('iJe':;aos;:recliss f'.r,,·1~¡aer :':.:'~, .
pláno proyectÍ'llO¡ con'seN;~·.las~Cu'?:leNÚIs.~~fmó~:;;.;';";: ;-,.'
nicas, .conserva. lil11;biln; 'los ;1í'1I1drh" dl~ las (,1-4:..t > '~"'. J!. :
.' iones dobles de dujfe-;J1i;¡s:;~ÍJálei(j11¡er~~¡~/rIjfX~~i:·.:¡i:\'.;·¡: i.
· '.La·~déni~s·~~~ti6~}~~'~~~f.F&k~~f~¡~~~:~~~~:'j~i.i~~?~t;)~:~-ti
la '.pe·na h:icerl~ p:ues'~st;~uY;im'po~tllDte'Je'¡:ins!f;r):.:;;i'~·r
· '.. .'" . "i"" 1\ ', • .i "",.' ""d..1 "'j'¡j: "'íi"~~W"J '. .•trUctlva~: ;i' :,! ·r;··!';'~::il;;~,~fLY,lf/f:~J;;··r[..:t~'!.I·;il;~i:~q?:!·,;!:~\.:·i:::
Tomemos rn·.cada·;u'na~de;;nis}reCta's~.un¡;·sis;.t;:-:: .: ::.
te~a" ae~ábscis'as~:'de' !riláIi~'t:f{qti~1"c;ad~J.plflít8~:;:(:1. ~::~ ~ .;:;
quede' deterrhina'clo';' pof~,~ri~'riúfri¿io1·r~ar:frSU~.;k;:l- ;r
b • ·Se··· O·I·l'~··••.I:~·.""(·'t{..: ""'r'¡I'·OJ·)'''!'!·Urr·<¡-<·I~¡:I:(i¡:t·:·I:·~a SClsa.; an ';e:. 0"g~.~l' ¡ aOSClsa.: 'h ,;'.e ) /.h';' .~
punto unidad "'(abscis~··.J)'ly¡:D!el~,pun:tó~imt·~:~;',::..;:,:.. !.~
prop~o .0; del ii1finito\:;(ábscisa' '1:00 >t~/de::~.fE:;;.:~:.:!. :'~"
Las mismas Jetras, :·i.'c()n'·:; tildes,' .¡hldidtán!¡Hot,: .";.;:, !;~
puntos coiresp'oridieh~es':'bri:ir'¡:se&ún.Iak~rr~·s~:i:.',:"'.:.:':
·pondencia dada; ..estbs" ¡püriios·.:rio~.;.sii~n}yen:.:: .::;..',.;.
"general, los puntos .órig~ri~.:li.riidád:e.imprbj,io':: '.'
'. de r', pero' por .dos pioyecCioneS'~(,~veruentéf~ :
siempre sé·pup.dcdlevár"~/LJ:~yiL~ sdl)r~'btñ{' ;:
recta 1'1' de manera que ..co~cidan con 1M ¡hiri!::··: .. : .
'. .,.. . ~.. .," ~. ~ :·i:·· .~...' ,
.'
.:" .21:.
...... '.
· '. . ::-"'.,::.:".
: ~:'
..:
~,
tos' ~~ :a~~·cis~sO, T ~ 00 'de esta última. En'
efccto';"si Ol:'y' Ul"son los puntos de abscisas
O.Y 1; 'de ri(fig, 9), basta tomar dos puntos
cualesquiera So.'y Sl' robre la recta 010'; los
" .puncos·H.:"(intersección de SoU' y SlUl) y
E "(intersección. de SoL' con la' paralela a n
, -por Si). determinan' la recta e. Proyectando r'
'. s~bre:e,.desdc: So, y luego e sobre n, desde SI,
.:' se' tienen 'las, dos .proyecciones mencionadas.
.;. Estas dos proyecciones de centros So y S~ de-
· terminan una correspondencia biunívoca en-
tre r~~,.y 1), .qu~. conserva las razones dobles
y, por.lo 'tant0/sé ~eridrá también .una corres-
'pondenciabiunívocaentre r y TI que conserva
· . la's cuaternas armónicas, y que hace corres-
',' pender al origen,' al,.punto unidad y al punto
.impropio- de. r,¡ los-puntos 'análogos de rr. Es
::decir, .llarnando x a la abscisa variable de los
'¡' .: puntos, 'de r~'xl:;a la del punto correspondiente
'de 'ri, ;y f á 'b: correspondencia entre ambas
rectasvo sea·'f(x) =Xl, se' cumple .
1(0) =.0, . '/(i)' , 1, f(oo) = ec , ' (5)
Queremos demostrar que de estas condicio-
nes; y: del hecho de c<?I?-s~rvarselas cuaternas
armónicas; se deduce que es .
" l. r :; , : ' " ~ . ' ' I
· :;.....,.¡.,¡ :.. , 1., ¡':-:'j !fx):=x. (6)
.:' Si .esro :es -cierto, los 'puntos homólogos de
r: y~.ri,tendr4n abscisas iguales, y por lo. tanto
las razones! dobles, de cuaternas correspondien-
tes tambié~ serán iguales; y, como las razones '
dobles .de cuaternas homólogas de n y r' tarn-
bi~J? son ·igul.!.es,,;qu~dará demostrado el teo-
rema,":' s •• ", •
;' ,La; .~uatern~· ~,y;V:z (x + y),oo es. armóni-
.. ca; : 'Por lo, ta,nto '. también lo será la de los
, elementos transformados, de donde resulta.
( '1,~,x ~ ~:')~ ': [f(x) + f(y) l. (7)
. !. ., '. '.\~ ,:. ~
·.De.~quí;·haCiendo.y -:- üy sustituyendo, a
contin~ac~qn;)~: por 2x, resulta .
¡:: ;.: .' ·:.;'2f(x) = f(2x) (8j
I '!:":.' . o', : ;1' , r , .,
, :y:~por''1o canto; escribiendo (7) para los valo- .
. res: duplos' de 'las variables y aplicando (8)
l. • ! ' ,
,....; . /(x+,y) -: fex) + f(y) '(9)
..
22,:; . I.i .
que para x + y = O da
f (-' -x) = -1(x) . ¡(lO)
. Teniendo ahora en cuenta que. la cuaterna
. '- x,+ x,1,x2 también es armónica, y que por
Id tanto también lo' será la cuaterna transfor-
mada, aplicando (3) a esta última resulta .
f (x2) = [f (x) ] 2 . : e 11 ),
. y de aquí, poniendo x +y en 'vez de x y
aplicando .(9) y (11),
·/(xy) = f(x) f(y).' ;(12)
Es decir, (9) y (12) prueban que toda C07
rrespondencia que cumple las condiciones (5)
Y conserva las cuaternas armónicas, conserva
también la suma y el producto (se 'dice que f
es un auto1!/'Qrfismo) . Para llegar a e 6) obser-
vemos que, siendo f (1) = 1, de la aplicación
. sucesiva de . (9) resulta fe 1n) =.1fJ" .para m .
entero. Poniendo x = m e y = 11/m en e 12),
resulta f(1t/m)'= f(n)/f(m) =n/pt, es de-
cir, (6) vale para números racionales. Falta
ver que vale también para números reales
cualesquiera,
Poniendo en (11) Yx en lugar de x, re-
sulta f(x).= [/(yx) ]'2, y por Jo tanto para
'x > 0, puesto que la raíz existe, f(x) es un
cuadrado; .por 10' tanto, suponiendo siempre'
que las variables son reales, resulta que si
X; > O es f (x). > O de donde, aplicando (9) y
(110); se deduce que si x-y> 0, es f(x)-
-f(y) >"0. .
Supongamos ahora que para un valor x no
fuera f (x) = x sino f (x) = r, y supongamos
que r > X. Se podría elegir un número ra-
.cional a·tal que x < a < r y, entonces, sien-
do a'-x> 0, ser,ía fea) -f(x) > o. Pero
f (a) = a (por ser a racional) y f (x) = r .(por
hipótesis); por 10 tanto sería a- r> O,
con trariamen te a la desigualdad supuesta:'
X < a < r. En forma análoga, también se llega
a una contradicción suponiendo que r..< x,
Esto prueba que debe ser siempre f (x) =X.
como se quería demostrar.
I
I
I
~.6. Puntuales proyeetivas y perspect!-
. vas. . DEFINJCIÓN 8. Si una recta se consi-
.,
I
dera como conjunto de. sus puntos, no como
demento, se llama p1tn~1tal.
:' DEFINICIÓN 9. Se llama proyectividad en-
tre dos puntuales a toda .correspondencia
biunívoca enrre sus puntos, que conserve las
cuaternas armónicas. . .
:: Según el teorem~ :tu~aam¡mtaI de Staudt se
conservarán también las. razones dobles de
cuaternas cualesquiera. De-aquí se deduce que
la proyectividnd queda 'determinada por tres'
puntos A,. B -" e de la puntual r, y sus. corres-
I
,:; ,
FJGUnA 10
,
pondienres A', B~Y C' de r', puesto que, para
. cualquier otro par X,X' de puntos homólogos,
debe ser (ABCX) = (AIB'e'X'), lo que per-
mite determinar X' dado X. Por '10 tanto:
: 'TEOREMA 5. Una proyecti";Úad entre dos
p'u.nt1Iale,s queda determinada 'por tres pares
tll' iJlllllos homólogos.
1 De aquí~
I " .
.: (1) Si el punto común a dos puntuales pro"
yectivas es homólogo de sí mismo, H === H'
(lig. lO)', las rectas AA', BB',·ee', ... , que
unen puntos homólogos, concurren en un pun"
to O. En e:fecto, si O es el punto 'en que se
cortan AA' y BB', proyectan,do desde él la
ptlntuál r sobre r', se obtendrá.una correspon-:
clencia proyectiva en la cual ('A,A'), (B,B')
.~.
r'
.. ,
y (H,H')' son ~ares,'de:pUri:t~s'homólo:gb~;i~or'
lo tanto, no puede s'ú¡otra':;qiiejIa: proy~ctivi.;!·
. . dad dada. Resumien"dd;·¡Je.:tienei~;·:(::j.¡~!::ji~:)I: ......
. '. ':' , ~ .' '1"': ,,~.; J':I'~P~;~i~\'.~Ij;: '1,:, ~.::. !,~:,:,j~~';.1:t·'" \ ":
. DE~INjCIÓ~. ~,,~.:.~~~~~>Si!C~~.~.lq~~}:~n·:n:~'p:a~:.•
. re~ de punt~s. homologos. dei:do~;punt:uales:.p.~o-::,·:·:i.
. yectivas ·.pasani:por~,~n;~,;~isiho.:1.pt.irift6~(Ias':~p·u.n¿';.:..:
1 11' P 'P···'t· .. I,./ •• '1'. ··¡i··:",~·:t 1',,· ,.tua es se aman ers ce, wasl;-if.i'I··: :·:i!..f~H:..:'!! '1'¡.i'·¡·!· :'.
• .,L'!I.,.I I .~'\',\.. s., ~.;It.t· :\i! ~,1"<;' . i l'
TE'OREM~' 6:' ·pd~~.;qitJ.yj~;;;~p¡;niií;l~;;'¡fO?·
-yectiuas sean }Jersp?cüJit;;'es .fie'césár¡o~:y·;süf¡-·; , .'
cien te' que S1t P1tntO' COffl:1Í~ 'sea; h011ú51ogoí de':.; .
~í mismo. :'! ", ': ~:·.ri:·f\1~~:·!·l::'~~:~¡~{:(.'.;t.(':.:'.:
b) 'Sustituyendo 'los' p'untos por sUs·.coordé..;:;.'.
nadas; la rehcióri"';;(itBGX);·= (A'irc'x') ;
permite despejar' x' "endun¿ión de' x~:re~ulta':n-:'.
do una expresión de: la fórrria": . :-.; .;',:"':;;:'.. '
: ":'l' .¿i;r+: !~(;.:~; '.'.:';":::;:'~:'~'"
x' =.. '1"'.' . "!~;',: .",'(13)
: i,.··yx +;b:.~.. ;· !~. ,.1 :~,:,' .'<' .
.' • ti , i:: r·:;· .:,<!~~ ;1',' ;=\ -.
donde a, ~, y y a son "dertas :constá~tes que": .
dependen de las..abscisas de;'AJ 13 y"e y' dé7•.sus .
homólogos A', B'. Y C'," y:.que cumplen 1:1'~on·.:.·
dición a~-~y#O:; .. '.'.;":;;. : .'1,:::. :·¡'.i·,::.
La expresión (13); ~~.llama. ectill~ión :de·:ja.:.
pro'yectiviJad. .: .,: ¡r ..... :, .';', .: .. '::. :.(1 .. ' ;,.: ..
Si .las puntuales=son :sup~~phesta~j.~~Ir';'
se llaman puntos 1enidos :1 los' homólogos desl :
mismos .. Para determinarlosj-bastárá !-,hacer-' : .
X' =x en (13), resultarido ;'úna' ecuáci6n;¡.de;: .'
segundo' grado. Por í, lo':·:tahtó/ ,:presC=in-aie'i1'eJo.(.... :.
del caso de la identidiid;·ln';¡lue: ¿:idal rpttRt'o.··;'· ;.;
coincide consu homólogo, ptied~n o'dir.rit'tiésj~ ;'.; , .
casos" :." r·l'~/(}·,·~i'"T·:I·(!:·,f·: ."!',j- ¡t,+:~·.'.'ft,··:·!,',;·'·: ¡:
.' :,. ,!;'" ~~:-i .d I :':~ "i:' !. ,'1, ,~"·:i,'r~i"1:;,,\ ..'~¡"I·, "
La proyectividad'[tiene .(:Jo·s{puntoS';¡'unidos:..: .
. se llama hipérbólicilt::·:·I~!: p·:,'h;:.: :,:~r,:::;·V·\::;f> .
La proyecrivídad ~i~~~··tiA.sb'ló·!p~ri~tJ;liMd~::;;·J.
11 'p b"l' ·-~·:".:I:·¡"·I· ''''.: -'\:~':;:;I(";; .ií¡ ,1'," -,'se ama ara o lea.';, ;:'-,: :.;.....;':(.. !~':~~;:':.:I\'li::H~,.,~.;,: :
La proyectividad {'cárecel(le:punt~(iiili,dós~r:: ::;
I le .' .. ¡,.". I 1" •• ,~, ., •••• I·l..·~t~'~··"-~·., *¡.... "'." (l.,"(réa es) : .se llaína J e Iptictl. ,¡;:,.:~·r:'l"I :~;{j';;.'l';~!Y:':jt\F!,\/" {:=.
. . :·.¡,(~'~·.(·'·.:II,l'L¡~.;·':.!'fl;t( I~·¡I.,-¡l(.' ,.'. ,"
, .- .• , !;,:~I ¡:~¡!;;:!~::)'.;,:,~~.,':~'.~\'~.::'::':~¡~::;::¡~~:';'.f{~'::':'" '"
3.7. InvoluClono'i·.;Sean·r=::=r'r:,dos'puntua-.. ,,',
les 'proyectivas :'supe¡!püestii~;rISupóngamb'(.'qU'e·<.:~ ;'.;:
al punto 1- le '·cori:~pondir:tI:!.0-.~~::E.n,~~e~~t.aJ.~·?
a A', conSIderado como) punto. :de' r;de corres-':;:'".
. ponderá otro punto A~'.:CU'ando' Ai~-:eseI:mjs" ,:'
mo A primitivo, se:dice' que A.y A'~'se' éorres-
ponden doble·mente.~-::.: .,'. ~ ':. ¡... ;', ~:.. ¡~... ~ - .
.', '.~,., '_ .~.:.' ...' .
, : .: . :', .::? 0,.
i' .. :
.::DEFINI~ióN 1.1. Una proycctividad entre
puntuales !~uP'!!rpuestas en la cual todos los .:
puntos 'se corresponden' doblemente; se llama .
· #m!oltición~ Los: p':l~~s .homólogos de una in-
, volucj~n .se llaman' conjugii4os. ' . ' .
· ','.J:Eq~M~..{. E1~·.·~~~ proye.ctillidai basta
, qtU_"1i:n'jiarde, pti.ntos:se correspondet» 'doble-
¡" 'l1i~1fte'paTaque-ta1!'J.bién se corresponda doble-
':'.mente i'C1lf11quier. otro:' par' de P1J.tJtOS homó-
logos. '.' ". :.: ... '. .!. •
\ 'lo " 1, I : 0,. ,
..... En icfecro rUVAA') =·(UVA'A); luego
. : . (AA'~B.') .' (,4'4B'B") , ~ invirtiendo .los
'.' dos pares de Iasegunda razón doble, por (2),
'.. 'resulta" (AA'BB') ~ (AA'B"B'), y por lo
· .tanto: B" ea -R. " .;.. ~ i ". . .
· TEOREMA' li.:;Si ....fI,~~ . inlloluciólt tiene dos
· plltltos: .Jt1(-idos: V y .v, y A y A' S011 dos
puntos.~coniugados: cualesquier», la cuaterna
U,V,A:~A'·es'nr1~tÓnjca.:
>, '. , .!" ' •
· . .En.efecto, ' (q:VAA~) ~- (UV A' A); luego,
.el valor de esta razón 1doble. es - l. .
'.'i~·~~ua~ió~' de "'la' proyectívidad (13)· se
, puede escribir-en laforma yxx' + o~'-f!.x-
_',~=O. Para .que .represenee una involución
· p,ebe seo!-'.simétrica -respecto de x,x'-, y P9f 10
",.tanto debe se.r.~~:,. ~~.:'Es· decir,.la ecuación
, g-e~ér;il;(lel~:~.nv,ol,u~ión'·resulta .yxx'+ b (x +..,~+x~y-. - ~_,.AJ ~~e~'ás, ,l~ .condición al)-:-
.' 7.,~y~O" quc.hernosivísto qJJe es necesana
::para que la ecuación (1~) represente. una pro-
: y~ctividad, .en .el. caso: de u,n~ involucién se
.reduce 'a b2 +~y =F O. Oe aquí resulta que ~a
· involución' no.p~ede:se.r;:'parabólica, puesto que
'la ¡~ccuició~" Yx2.+ 2ox.-~= o', que da' los
I pp~t~s unidos ~e.l.a.:~yól~ción, debería .~~ne~
'una raíz doble' y ,por Io .tant~ conduciría a
'10.2'+ A' O ";,, , .
u ....y = . ..: " ;
: 'Si' s:e~elig~~1,sis,t~~~A~.coordenadas de ma-
.,nera' que al.puntó' origen x = O le corresponda
,:;~l:{p'u~t~ ~pt.~p'io :,~!.=,oo·~e-?tonces 'en l~
":ecuación de ;la' in:v:olución,deberá ser o = o. Si
. ":~dé~á~!se hacé¡'~p~c~d4- :el punto unidad con
', ,t,. 'f~t: !'l :,1, j':" J ~ ~t !o¡,. tt \.:" ,.....'_'_,' ,..-,._
. :.·'::·é'lpcin'~q~v'~/y9":é~~,~t~~-~/y;de modo que
,..}el >.)·r'adicando¡:"seat pOS~t1VO,, resulta, que la
:.;~~~~~i6nde ~n~,involu~ión siempre puede po-
:' :ners~ 'e~' la ¡forma:: simple 'xx' + 1 = O, si la
.. ..'" . :; ~ ...: '.~, :. .
1.' •
, ~. ':.
',:24 ;.~'.. :.' . :
!
:.
involución es elíptica, y en la xx' - 1 =O, si.
es hiperbólica': ' .
En el caso hiperbólico, la ecuación de la in-'
volución puede ponerse en otra forma tcdavía
más simpl~, eligiendo el sistema de coordena-
das de manera que los puntos 'Unidos sean el
origen y el-punto del infinito. En este caso, las
raíces de l~ ecuación yr + -Zbx - ~ = O, que- '
da' los' puntos unidos, deben ser o e 00;; esto
obliga a que sea ~ = O Y Y = 0, quedando la
ecuación de 'la involución en-la: forma simple'
x + x' = o.. Esta forma sirve para establecer
rápidamente una relación impQrta~te entre un
. '. par de puntos cualesquiera A y B "y sus con-
jugados A' y B'. ,Si se indican .las abscisas de
. b ' b" + '. estos puntos con a, ,11 Y " por ser a a =
= O Y b + b' = 0, resulta
. Ca + b):!
(ABR'A') = (a,b~-b,-a) = Aab
Por otra,: parte, representando 'por U y- V
a los puntos unidos de la involución (cuyas
coordenadas en el sistema .clegido son O e .(0).
.es
, a
(UV4B) = (O,oo,a,b) =-¡;
b.
(UVBA) =-.''a
. Resulta asir la importante Identidad
4(ABB'A') = (UV.~) +
+ (UV~A) + 2• (14)
que liga' los puntos unidos U y V de una.In-
volución con dos pares A,A' y B,B' de pun-
tos conjugados cualesquiera.
3.S: Proyccuvídad cnlre haces de ~ec·
las. Toda correspondencia entre las rectas
de dos haces re reduce oí una correspondencia
entre puntuales cortando cada haz con ~na
recta. Si la corresponden~ia subordinada entre
dichas puntuales es una 'proyeccividad, se dirá
que 'los dos haces son proyectivos. Si los' haces
i~n superpuestos (tiene1l ~~ mism? vértice)
y la sección da una in volución, se dice que los
dos haces est~~ en involución. De esta ma~era
j-:1.
I¡ ,~ r
codo 10 dicho en los apartados precedentes vale
par~ haces. En particular; si dos haces proyec .."
tan] los puntos de una misma recta, como los
de,cent'ro A y,B de li figura 1't, resultan pro-
yecHvos. En 'este caso se,dice,' además, que son
,perlpcctivos, yIa recta cuyos puntos, se pro-
yedan se llama eje de perspectividad. Del
mismo modo que para las puntuales. la con-
" áición necesaria ,y suficiente para que dos ha-
res! proyectivos, sean perspectivos, es que la
recia que une S1lS vértices ·sea'unida.
i ,
" .3.9. Homografíus o colineaciones. DE-
FI:NICIÓN 12. Se llama homografla o colinea-
ción entre dos planos, distintos ,o superpues-
tos,' a toda 'correspondencia -biunívoca entre .
.sus :puntos, tal que a puntos' alineados corres-
pondan puntos alineados., :', '
, ,'pados cuatro puntos alineados' A., B, e y
;'D, [qúc formen una cuaterna' armónica, ob-
i 5er~:lndo la construcción del tuadrivértice
1 completo (fig. 7) resulta que lbS, puntos ho- ~
mólogos A', B', e' y' D' ocuparán posición
'!
;1
!
!
;-l,
,1
",
, I
a
B
b
"i P,GURA 11 '1
, I
1} del d"." Ietéana oga respecto ecua' rrvértrce eomp eto
transformado (por corresponderse los puntos
alineados) y por lo tanto forma~án también
ltn~cuaterna armónica. De aquí-y del teore-
ma fundamental de, Staudt resulta:
,1
TEOREMA 9. Las razones dobles de cuatro
'.o"
, I
• 'J •• . 'j
·i" ,
: ' .....
, "
.' ~,La :p.t;pyectividad.':así obtenida es única,'
, puesto que. si :hu biese. otra, por el teorema 10 '
, ella subordinaría .entre los haces de vértices 11
, yA" ~~~proyectividad, que no puede' ser otra
qu'r l~,'considerada,' por.rener con ella tres pa-
res: de.rrectas ..homólogas comunes. Lo mismo
entre los '¡lac,e~de 'Vértices B y B'. '
':',.; ,::(Finahncnte~ si P estuviera' sobre la recta AB,
',,' ;,'"t9~~r~~mcis e y:IJ como 'v6rtices de los ha-
" :' ces, Queda 'así demostrado el teorema 11.
o .: :'1 : '~:.; !v- ~ : : :.,'. : • .
, : ,_,).lO'~,Ho'~~g~~fí~8:particulares: ,'homo.
: ,IogítÍ/: !', Cónsidere~Qs ¡ahora el caso de dos
','': ' 'plán~~.'proyectivos superpuestos. Del recre-
, ma n,:anterior se: deduce: ' '
, ': '¡ ," , ',1" , ' , " I '
" TEoKú.u, 12.,:qna,;'bomograji« entre, dos
, ',pl~1JoSsuperpue.stos,,:que no sea la identidad,
110 p~ede tener cuatro puntos unidos tales que
-tres de -ellos no .estén ,e1Zlinea recta.
Cabe, poz otra parre, el caso de más de tres
puntos unidos ,que estén alineados. En' este
'caso" la proyectividad subordinada sobre la
recta que_.los contiene.' por tener, tres puntos
unidos.será la identidad, es decir, la homogra-
.fía ,tendrá: toda].una 'recta de pu1,ltos. unidos.
" '" DEF~NIc~ÓN"l~. ;Una hómografía con una
:,:rect,arde puntosunidos -sellama bomologla. La
'.~~ct,a~.~T,~~~~r~~ed7,Ja: bomologia. .
., , J~"rEO~EMA::n,;" T9dajJomología ',tiene ,tam-
, ':-pUn u~haz ~:de!recias unidas. El' vértice del
, ;.mism(i~es un purzto ;un~do que se llama' centro
.; ., 'de la Aomologr'f;' y q1i:epuede o no' pertenecer
. ::al ,eje! .¡ , ,- ; Jr'y JI; ;:. ¡"', " ' '
:;:, :'~1iP~~osÚ~c~~~~'Se~~ A ~ A' dos puntos ho-
: ,;.mólogos' distintos, sea 'N el punto en que la. ,'re~c:a:AA~ corra. al, eje,..e. Por ser, ,N 'E!S N' la
, recta -a = N A' .coincide con su homóloga ti' =
, :N'A.', o sea~;cs',u:na'~ecta unida. Lo mismo
'\~ale pa~a cualquier. erro-par de puntos homó-
, ,logos:,:B,B'~ Luego, hay infinitas rectas unidas.
, .Como la intersección' de rectas 'unidas es un
,;'p~~to:u~Úlo;'pa~a;qu~ no haya cuatro de ellos
.. tales que nunca' [eres: estén en línea recta, to-
.. da~' esas rectas .deben formar un haz (en caso
:.contrario, .tomando dos puntos unidos no per-
,"tenecien:tes al éje, ,y dos' puntos de este eje no
alineados con .ellos, se tendrían cuatro puntos
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