Geometra-del-cuadrilatero

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Geometŕıa del Cuadrilátero
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
MATEMÁTICO
PRESENTA:
JORGE ALONSO SANTOS MELLADO
DIRECTOR DE TESIS:
FIS. SILVESTRE CÁRDENAS Y RUBIO
2010
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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Geometŕıa del Cuadrilátero.
Jorge Alonso Santos Mellado
Índice general
Índice general IV
Prólogo V
Agradecimientos IX
1. Cuadrilátero: nociones básicas. 1
1.1. Tipos de cuadriláteros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Poĺıgonos convexos y cóncavos. . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Cuadriláteros convexos, entrantes y cruzados. . . . . . . . 2
1.1.3. Clasificación y propiedades de los cuadriláteros convexos. 3
1.2. Área del cuadrilátero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Aplicaciones del área del cuadrilátero: Teorema de Varignon. . . 7
1.3.1. Teorema y Paralelogramo de Varignon. . . . . . . . . . . . 7
1.3.2. Consecuencias del Teorema de Varignon. . . . . . . . . . . 8
2. Cuadriláteros Ćıclicos y Circunscritos. 15
2.1. Cuadriláteros Cı́clicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. Poĺıgonos inscritos en ćırculos. . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2. Dos criterios para la caracterización
de cuadriláteros ćıclicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.3. Teorema de Ptolomeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.4. Ĺıneas antiparalelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.5. Ĺınea de Simson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.6. Teoremas japoneses o de Mikami y Kobayashi. . . . . . . 22
2.1.7. Fórmula de Brahmagupta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.8. Construcción del cuadrilátero ćıclico. . . . . . . . . . . . . 31
2.2. Cuadriláteros circunscritos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1. Poĺıgonos circunscritos en ćırculos. . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2. Dos criterios para la caracterización de
cuadriláteros circunscritos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3. Cuadrilátero bicéntrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4. Teorema de Casey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1. Tangentes comunes a dos circunferencias. . . . . . . . . . 45
iii
iv ÍNDICE GENERAL
2.4.2. Teorema de Casey. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3. El cuadrilátero ćıclico en el Almagesto. 55
3.1. Claudio Ptolomeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2. La Tabla de Cuerdas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3. Identidades trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.1. Teorema de Ptolomeo trigonométrico. . . . . . . . . . . . 71
3.3.2. Identidades del seno y del coseno . . . . . . . . . . . . . . 72
4. Cuadrilátero y cuadrángulo completos. 79
4.1. Principio de dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2. Cuadrilátero y cuadrángulo completos. . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3. Conjugados Armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4. Perspectividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.5. Orden y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.6. Proyectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.7. Involución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.8. Colineaciones y Correlaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.9. Polaridad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.10. Triángulos polares y autopolares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.11. Polaridades eĺıpticas e hiperbólicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5. Cuadriláteros de Saccheri y de Lambert. 115
5.1. Cuadrilátero de Saccheri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.1.1. Girolamo Saccheri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.1.2. La obra de Saccheri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2. Cuadrilátero de Lambert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.1. Juan Enrique Lambert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.2. La obra de Lambert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.3. Relación entre el cuadrilátero de Saccheri y el de Lambert. . . . . 128
A. Ángulos en la circunferencia 133
A.1. Ángulos Inscritos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.2. Ángulos semiinscritos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.3. Ángulos interiores y exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Índice alfabético 143
Bibliograf́ıa 143
Prólogo
Una posible definición de geometŕıa euclidiana es: el estudio de las propie-
dades de la figuras geométricas. Si seguimos tal definición, podemos decir que
es la rama del conocimiento que estudia las propiedades de los poĺıgonos y del
ćırculo. Ahora bien, un poĺıgono, de manera general, puede descomponerse en
triángulos y, por lo tanto, el estudio de las propiedades de aquéllos se reduce
al de éstos. En consecuencia, podemos decir que la geometŕıa euclidiana es el
estudio de las propiedades del triángulo y del ćırculo. Esta definición es, sin
embargo, sólo una forma de entender la geometŕıa pero explica porqué en di-
versos libros de la materia se hace la división entre geometŕıa del triángulo y
geometŕıa del ćırculo. Sin embargo, cualquiera que ha llevado uno de estos cur-
sos sabe que no sólo se ven propiedades de las dos figuras mencionadas, sino
que además se atienden las propiedades de otros poĺıgonos, principalmente las
de los cuadriláteros. A pesar de esto, en los libros no se hacen apartados para
la geometŕıa del cuadrilátero, sino que se van estudiando sus propiedades en la
medida que facilitan y se requieren para la obtención de resultados de las dos
figuras previamente mencionadas.
Es común que en los textos de geometŕıa, además de presentar los temas
del triángulo y la circunferencia esenciales para cualquier curso de esta materia,
se consignen resultados más particulares de tales figuras, los cuales no forman
parte de un curso básico y se les propone como una opción para que el alumno
profundice sus conocimientos geométricos. Sin embargo, no es nada común que
se presenten propiedades particulares del cuadrilátero con la intención descrita,
lo que fomenta que muchas de ellas sean muy poco conocidas.
Partiendo del razonamiento anterior, la finalidad del presente trabajo es
contribuir en la enseñanza-aprendizaje de la geometŕıa euclidiana. Por un lado,
y como su nombre lo indica, es un estudio de la geometŕıa del cuadrilátero, que si
bien no es exhaustivo śı da un visión general del papel que tal figura desempeña
en el campo del conocimiento que nos interesa. Por otro lado, puede ser una
referencia, respaldo o auxiliar en los cursos de geometŕıa, pues contiene temas
que no se ven en tales cursos a pesar de estar totalmente en contexto con ellos.
La idea fue crear un trabajo autocontenido que esté al alcance de cualquiera
que tenga nociones geométricas mı́nimas, en concreto: criterios de congruencia
y semejanza de triángulos, las funciones trigonométricas seno y coseno y sus
identidades básicas como la ley de senos y la de cosenos.
Cuando realizamos un estudio dela geometŕıa a partir del estudio de las
v
vi PRÓLOGO
propiedades del triángulo es innegable que no atendemos única y exclusivamen-
te a tal figura, es decir, nos auxiliamos, por ejemplo, de las propiedades de
las circunferencias y de los cuadriláteros pero la idea central es el estudio del
tŕıangulo. Las propiedades de otras figuras sólo sirven para obtener resultados
referentes a él. De la misma manera, al acercarnos a la geometŕıa a través de las
propiedades del cuadrilátero, en repetidas ocasiones tendremos que establecer
resultados referentes al triángulo y a la circunferencia pero manteniendo siempre
como directriz al cuadrilátero.
Por último, describimos brevemente el contenido.
En el primer caṕıtulo establecemos las propiedades más elementales de los
cuadriláteros, hacemos una clasificación, definimos su área, establecemos el teo-
rema de Varignon y, a partir de él, obtenemos diversos resultados.
En el segundo caṕıtulo fundamentalmente atendemos a los cuadriláteros
ćıclicos (quizá este es el tipo de cuadrilátero del que se conocen el mayor número
de resultados) y a los circunscritos. Con respecto a los primeros, establecemos
cinco distintos criterios que los caracterizan. Los dos primeros en función de
sus ángulos, el tercero es el teorema de Ptolomeo, que dicho sea de paso, muy
probablemente sea el resultado más conocido referente a estas figuras, el cuarto
está dado en función de la teoŕıa de ĺıneas antiparalelas y el quinto se basa en
la ĺınea de Simson. Luego nos ocupamos de dos teoremas conocidos como teo-
remas japoneses o teoremas de Mikami y Kobayashi. Deducimos la fórmula de
Brahmagupta, la cual nos proporciona el área en función de los lados. Construi-
mos con regla y compás un cuadrilátero ćıclico a partir de sus lados y damos
condiciones para que la construcción sea posible. Adicionalmente, vemos que tal
construcción no es única. Por último, damos resultados que ligan a las diago-
nales con los lados. Para los cuadriláteros circunscritos establecemos un par de
criterios que los caracterizan. Enseguida definimos los cuadriláteros bicéntricos
y los ortodiagonales para luego dar condiciones bajo las cuales un cuadrilátero
es bicéntrico. La parte final de este caṕıtulo la dedicamos al teorema de Casey,
también conocido como generalización del teorema de Ptolomeo.
En el tercer caṕıtulo hacemos una revisión minuciosa y ampliada del tra-
bajo que Ptolomeo realizó en su Almagesto. Esencialmente es la construcción
geométrica completa y detallada de la tabla de valores de una función trigo-
nométrica equivalente al seno: la función cuerda. El motivo por el cual expo-
nemos este material es que los resultados se obtienen fundamentalmente del
cuadrilátero ćıclico y de la aplicación del teorema de Ptolomeo. Por otro lado,
esta sección, al seguir paso a paso la obtención de los valores de la función cuer-
da, muestra cómo se podŕıa elaborar geométrica y completamente una tabla
para el seno. Al final hacemos un agregado en donde obtenemos, con el uso ex-
clusivo del cuadrilátero ćıclico y del teorema de Ptolomeo, las identidades para
el seno o el coseno de la suma o la resta de dos ángulos, el seno o coseno del
ángulo doble o del ángulo mitad.
El cuarto caṕıtulo esencialmente es una introducción a un curso de geometŕıa
proyectiva. Hacemos esto debido a que en tal disciplina el cuadrilátero completo
es la figura a través de la cual se definen todos los conceptos básicos. Si bien
para la geometŕıa proyectiva el tema central es el estudio de las proyectividades
vii
y las perspectividades, para después estudiar las cónicas, tal estudio se realiza
con estrecho apego al cuadrilátero completo. Es por ello que esta figura desem-
peña un papel fundamental en esta geometŕıa y, consecuentemente, le prestamos
atención. Cabe destacar que aunque este caṕıtulo tiene un caracter introducto-
rio a la materia mencionada, en todo momento se hace ver que el cuadrilátero
completo y su dual, el cuadrángulo completo, están presentes.
El último caṕıtulo, el quinto, se enfoca a revisar y obtener resultados de
los cuadriláteros de Saccheri y de Lambert. En este caṕıtulo hacemos ver cómo
los trabajos de estos dos personajes dieron pie a las geometŕıas no euclidianas.
Ambos trabajaron fundamentalmente con cuadriláteros y de ah́ı nuestro interés.
Al final establecemos algunas relaciones entre estos dos tipos de figuras.
Hemos incluido un apéndice en el que examinamos de manera atenta los
ángulos en la circunferencia, a saber: ángulos inscritos, semiinscritos, interiores
y exteriores. En cada uno clasificamos las distintas posibilidades y todos los
ponemos en función del ángulo central.
viii PRÓLOGO
Agradecimientos
A los responsables de que este logro personal sea una realidad: mis abuelitos
Santos y Carmen y a mi mamá Bertha.
A mi toda mi familia, a mis amigos de la Facultad de Ciencias, a los pro-
fesores Julio César Cedillo, Leobardo Fernández y Silvestre Cárdenas por las
oportunidades académicas que me han dado y a Sandra por acompañarme en
este proceso.
ix
x AGRADECIMIENTOS
Caṕıtulo 1
Cuadrilátero: nociones
básicas.
1.1. Tipos de cuadriláteros.
En el presente trabajo haremos un estudio detallado del cuadrilátero. Para
empezar necesitamos establecer un acuerdo acerca de qué es un cuadrilátero.
Para tal efecto, primero debemos recordar brevemente qué es un poĺıgono y las
distintas clases que nos interesan.
1.1.1. Poĺıgonos convexos y cóncavos.
De manera intuitiva un poĺıgono es una figura geométrica plana y cerrada
que consta de puntos y segmentos de ĺınea que unen estos puntos en un orden
consecutivo. Estableceremos con más precisión esta idea en la siguiente:
Definición 1.1.1. Dados los puntos A1, A2, A3, · · · , An en el plano y tomados
de tres a la vez no están alineados. Diremos que el poĺıgono determinado por
éllos es el conjunto de puntos del plano (figura cerrada) delimitados por los
segmentos de recta A1A2, A2A3, · · · , An−1An, AnA1.
En la anterior definición los puntos A1, A2, A3,· · · , An se llaman vértices
y los segmentos A1A2, A2A3, · · · , An−1An, AnA1 son los lados del poĺıgono.
Tanto los vértices como los puntos que forman los lados son parte del lugar
geométrico. Ahora distinguiremos los poĺıgonos convexos de los cóncavos en las
siguientes definiciones.
Definición 1.1.2 (Poĺıgono Convexo). Un poĺıgono convexo es aquel que al
tomar cualquier par de puntos de él, el segmento de recta determinado por ellos
está totalmente contenido en el poĺıgono.
Definición 1.1.3 (Poĺıgono Cóncavo). Un poĺıgono cóncavo es el que no es
convexo, es decir, aquel en donde existen un par de puntos que pertenecen a él
1
2 CAPÍTULO 1. CUADRILÁTERO: NOCIONES BÁSICAS.
y, sin embargo, el segmento determinado por ellos no está totalmente contenido
en el poĺıgono.
Figura 1.1:
1.1.2. Cuadriláteros convexos, entrantes y cruzados.
Estamos en condiciones de dar una definición provisional de cuadrilátero.
Más adelante definiremos con más precisión el concepto, mas por el momento
con esto es suficiente.
Definición 1.1.4 (Cuadrilátero). Un cuadrilátero es un poĺıgono de cuatro
lados.
El cuadrilátero de vértices A, B, C y D, lo denotaremos como �ABCD.
En la Figura 1.2 tenemos el �ABCD. Los lados que comparten un vértice son
llamados lados adyacentes. Si dos lados no lo hacen, les decimos lados opuestos.
AB es adyacente a BC y DA. Los lados AB y CD son opuestos, aśı como
BC y DA. Los vértices que están en un mismo lado son vértices adyacentes,
si no, vértices opuestos. A es adyacente de B y D. A y C, aśı como B y D
son opuestos. Finalmente, los segmentos determinados por un par de vértices
opuestos son llamados diagonales. AC y BD son las diagonales del �ABCD.
A B
C
D
Figura 1.2:
Como los cuadriláteros son poĺıgonos, los hay convexos y cóncavos. A partir
de su definición es claro que en los cuadriláteros convexossus dos diagonales
están totalmente contenidas en ellos. Si consideramos un cuadrilátero cóncavo
como el que aparece del lado izquierdo de la Figura 1.3, vemos que una de sus
diagonales queda fuera y la otra dentro de él. A este tipo de cuadriláteros se les
llama entrantes . La pregunta natural en este punto es: ¿existirá un cuadrilátero
en el que sus dos diagonales estén fuera de él? Algunos autores consideran que
1.1. TIPOS DE CUADRILÁTEROS. 3
śı y, en consecuencia, a una figura como la que aparece del lado derecho de la
Figura 1.3 le llaman cuadrilátero cruzado . En él los lados siguen siendo AB,
BC, CD y DA pero el orden ćıclico en el que están colocados sus vértices no
es el mismo que el del �ABCD convexo de la Figura 1.2. Si consideramos
el sentido contrario a las manecillas del reloj, C aparece primero que B, lo
cual origina que los lados AB y CD se intersequen. Vemos que esta figura
tiene cuatro lados, pero tiene cinco vértices. Los autores que llaman a este tipo
de figuras cuadriláteros cruzados, no definen un vértice en la intersección de
AB y CD con lo que este cuadrilátero cruzado sigue teniendo cuatro lados y
cuatro vértices. El definir esta figura como cuadrilátero, les permite clasificar
un cuadrilátero a partir del número de diagonales que estén dentro de él. Aśı,
si en un cuadrilátero sus dos diagonales están dentro de él es convexo, si una
está dentro y la otra fuera, es entrante y si las dos están fuera, es cruzado. Otra
forma, más intuitiva de entender qué es un cuadrilátero cruzado es como sigue:
supongamos que tenemos un �ABCD convexo como en la Figura 1.2 en el que
los lados AB y CD se pueden estirar. Giremos el lado BC 180◦. El �ABCD
convexo se convierte en el �ACBD que queda cruzado como el de la Figura 1.3.
Insistimos en que en realidad esta figura no es un cuadrilátero pues no estamos
considerando un vértice, pero en este tratado la consideraremos como tal debido
a que hay autores que aśı lo hacen, además de que al hacerlo aśı hay teoŕıa que
queda establecida de manera más general. 1
Adoptamos la convención de que �ABCD representa un cuadrilátero con-
vexo y �ACBD, uno cruzado. Cuando el cuadrilátero sea entrante lo anuncia-
remos expĺıcitamente para evitar confusión.
BA
D
C
D
C
B
A
Figura 1.3:
1.1.3. Clasificación y propiedades de los cuadriláteros con-
vexos.
Dentro de los cuadriláteros convexos podemos hacer una clasificación aten-
diendo a la longuitud de los lados, a los ángulos y a si sus lados opuestos son
1Tanto el Teorema de Varignon como la caracterización de los cuadriláteros ćıclicos a través
de la noción de ĺıneas antiparalelas quedan establecidos de manera más general (en el sentido
de que siguen siendo válidos) si también se consideran a los cuadriláteros cruzados. El Teorema
de Varignon lo atenderemos en este mismo caṕıtulo, mientras que a las ĺıneas antiparalelas,
en el siguiente.
4 CAPÍTULO 1. CUADRILÁTERO: NOCIONES BÁSICAS.
paralelos. Presentamos una lista con los nombres y su caracterirización.
(a) Cuadrado: Cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.
(b) Rectángulo: Cuatro ángulos rectos.
(c) Paralelogramo: Lados opuestos paralelos.
(d) Rombo: Cuatro lados iguales.
(e) Romboide: Dos pares de lados adyacentes iguales.
(f) Trapecio: Un par de lados opuestos paralelos.
(g) Trapecio Isósceles: Un par de lados opuestos paralelos y los otros lados
iguales.
a b c
d e
f g
Figura 1.4:
Se pueden deducir diversas propiedades de estos cuadrilateros espećıficos
a partir de las carecterizaciones dadas. Aqúı sólo enunciaremos y probaremos
algunas como proposiciones a manera de muestra.
Proposición 1.1.5. Un cuadrilátero es un paralelogramo si y sólo si sus dia-
gonales se cortan en el punto medio.
Demostración. Sea �ABCD un paralelogramo y E el punto donde se cortan sus
diagonales. △CAB ≅ △DAC pues ∠BAC = ∠DCA, AC es común y ∠ACB =
∠CAD. En consecuencia AB = CD y BC = DA. Si usamos el mismo criterio,
obtenemos que △EAB ≅ △ECD y, por lo tanto, AE = EC y BE = ED.
1.1. TIPOS DE CUADRILÁTEROS. 5
BA
D C
E
Figura 1.5:
De manera inversa, supongamos que en el �ABCD sus diagonales se bisecan
mutuamente en E. △DEC ≅ △BEA pues DE = EB, ∠CED = ∠AEB y
AE = EC. Luego AB ‖ CD. Análogamente △DAE ≅ △BCE y DA ‖ BC.
Proposición 1.1.6. Un paralelogramo es un rectángulo si y sólo si sus diago-
nales tienen la misma longitud.
CD
A B
E
Figura 1.6:
Demostración. Sea el �ABCD un rectángulo. Por la proposición anterior te-
nemos que AB = CD y BC = DA. △DAB ≅ △CBA debido a las igualdades
precedentes y a que ambos son rectángulos. Se sigue que AC = BD. Inversamen-
te, si �ABCD es paralelogramo y AC = BD, se obtiene que △DAB ≅ △CBA
y, en consecuencia, ∠BAD = ∠CBA. Como entre estos dos ángulos suman 180◦,
entonces son rectos.
Proposición 1.1.7. Todo rombo es paralelogramo.
D
B
CA
E
Figura 1.7:
Demostración. Sea �ABCD un rombo. Entonces △CDB ≅ △ADB al te-
ner lados respectivos iguales. Además ambos son isósceles, lo que implica que
∠BDC = ∠DBA y esto que AB ‖ CD. Análogamente BC ‖ DA. Aśı �ABCD
es un paralelogramo.
6 CAPÍTULO 1. CUADRILÁTERO: NOCIONES BÁSICAS.
Proposición 1.1.8. Un paralelogramo es un rombo si y sólo si sus diagonales
son perpendiculares.
Demostración. Sea �ABCD un paralelogramo con AC ⊥ BD. Por la Proposi-
ción 1.1.5 AC y BD se bisecan en E y como lados opuestos son iguales se tiene
que △EAB ≅ △EBC ≅ △ECD ≅ △EDA. Aśı los cuatro lados son iguales y
�ABCD es rombo. Supongamos ahora que �ABCD es un rombo. Por la propo-
sición anterior tenemos que también es un paralelogramo y, en consecuencia, por
Proposición 1.1.5, sus diagonales se bisecan en E. Aśı △CDB ≅ △ADB al tener
sus lados correspondientes iguales. Consecuentemente ∠CED = ∠DEA y como
suman entre los dos 180◦, resultan ser ambos rectos. Con esto AC ⊥ BD.
1.2. Área del cuadrilátero
Antes de empezar, introducimos notación para el área. A�ABCD y A△ABC
denotan el área del �ABCD y del △ABC. Al área de un triángulo le asigna-
remos orientación positiva o negativa, según recorramos sus vértices en sentido
contrario a las manecillas del reloj o no 2. Aśı A△ABC = A△BCA = A△CAB =
−A△ACB.
Resulta natural definir el área de un cuadrilátero convexo (como el de la
Figura 1.2) como la suma de las áreas de los triángulos en los que se descompone
por cualquiera de sus diagonales.
A�ABCD = A△DAB + A△DBC = A△DAC + A△CAB (1.1)
Al considerar un cuadrilátero entrante como el de la parte izquierda de la Figura
1.3, vemos que no con cualquier diagonal resulta natural definir su área. Si
consideramos la diagonal contenida en el cuadrilátero, entonces la definición
es la natural. Si consideramos la otra diagonal, definimos el área del �ABCD
entrante de la Figura 1.3 como la diferencia de las áreas de los triángulos
generados por esa diagonal. Con esto definimos el área del cuadrilátero entrante
de la Figura 1.3 como:
A�ABCD = A△DAC +A△CAB = A△DAB −A△DCB = A△DAB +A△DBC (1.2)
Por último, la definición del área de un cuadrilátero cruzado no será la que
resulta natural. Definimos el área de un cruadrilátero cruzado como la diferencia
de las áreas de los triángulos que ((aparentemente)) se forman con sus cuatro
lados. Para ser más claros nos referiremos al �ACBD cruzado de la Figura
1.3. Decimos que en tal cuadrilátero ((aparentemente)) se forman dos triángulos
porque en realidad en la intersección de AB y CD no hay definido un vértice.
Si nombramos E a ese punto -que no es vértice-, entonces el área será:
A△ECB − A△DAE (1.3)
2Este concepto es totalmente análogo al de segmentos dirigidos, en donde si escribimos AB
significa el segmento que va de A a B, mientras que BA, denota al que va de B a A. Con esto
AB = −BA que es equivalente a AB + BA = 0.
1.3. APLICACIONES DEL ÁREA DEL CUADRILÁTERO: TEOREMA DE VARIGNON.7
Surge la pregunta de por qué mientras que en los cuadriláteros convexos y en los
entrantes se define el área comola porción del plano delimitada por los cuatro
lados, en los cruzados no. La respuesta la hallaremos en la siguiente sección.
1.3. Aplicaciones del área del cuadrilátero: Teo-
rema de Varignon.
1.3.1. Teorema y Paralelogramo de Varignon.
El siguiente teorema apareció publicado por vez primera en 1731 y su de-
mostración se la debemos a francés Pierre Varignon (1654-1722).
Teorema 1.3.1 (Teorema de Varignon). La figura formada con los puntos me-
dios de un cuuadrilátero es un paralelogramo y su área es la mitad de la del
cuadrilátero.
C
D
A
B
P
Q
R
S
C
D
A
B
P Q
RS
Figura 1.8:
Demostración. Haremos la demostración refiriéndonos al cudrilátero cruzado
que aparece en la parte derecha de la Figura 1.8, para hacer notar que la defini-
ción del área en ese tipo de cuadriláteros tiene sentido. Para una demostración
en convexos y entrantes se debe proceder de manera totalmente análoga.
Sean P , Q, R y S los puntos medios de AB, BC, CD y DA. De △BAC y
△DAC tenemos que PQ y RS son paralelas a AC y, en consecuencia, entre ellas.
Análogamente SP y QR son paralelas. Por lo tanto, �PQRS es paralelogramo.
Este paralelogramo es llamado Paralelogramo de Varignon del �ACBD.
Para calcular el A�PQRS , fijémonos en el cuadrilátero convexo que se for-
ma con los segmentos AC, CB, BD y DA el cual denotaremos sólo en esta
8 CAPÍTULO 1. CUADRILÁTERO: NOCIONES BÁSICAS.
demostración como �ABCD.
A�PQRS = A�ABCD − (
1
4
A△DAB +
3
4
A△BAC +
3
4
A△DCB +
1
4
A△DAC)
4A�PQRS = 4A�ABCD − (A△DAB + 3A△BAC + 3A△DCB + A△DAC)
= 4A�ABCD − (A�ABCD + 2A△BAC + A�ABCD + 2A△DCB)
= 2A�ABCD − 2(A△BAC + A△DCB)
A�PQRS =
1
2
(A�ABCD − (A△BAC + A△DCB))
Con esto vemos que el A�PQRS es igual a la diferencia de las áreas de los
triángulos que ((aparentemente)) se forman con los lados del �ACBD.
Corolario 1.3.2. En el �ABCD, el peŕımetro de su Paralelogramo de Varignon
es igual a la suma de sus diagonales.
Demostración. Sólo hay que observar que QR = SP = 12BD y lo mismo para
la otra diagonal.
1.3.2. Consecuencias del Teorema de Varignon.
De la Proposición 1.1.5 sabemos que las diagonales de un paralelogramo se
bisecan. Cuando se trata de un Paralelogramo de Varignon, ese punto recibe
por nombre Centro del Paralelogramo de Varignon. El siguiente teorema hace
referencia a él.
Teorema 1.3.3. Los segmentos que unen los puntos medios de los dos pares de
lados opuestos y de las diagonales de un cuadrilátero concurren y se bisecan en
el Centro del Paralelogramo de Varignon.
C
D
A
B
P Q
RS
U
T
O
Figura 1.9:
Demostración. En la Figura 1.9, �PQRS es el Paralelogramo de Varignon de
�ABCD. Sea O su centro. Sólo resta ver que UT , con T y U puntos medios de
1.3. APLICACIONES DEL ÁREA DEL CUADRILÁTERO: TEOREMA DE VARIGNON.9
AC y BD, es bisecado por O. Para eso basta considerar el cuadrilátero cruzado
que se forma con BC y DA y con las diagonales de �ABCD. Se tiene que el
�STQU es su Paralelogramo de Varignon, con lo cual SQ y TU se bisecan,
pero el punto medio de SQ es justo O. Por lo tanto, PR, SQ y TU concurren
y se bisecan en el Centro del Paralelogramo de Varignon.
Teorema 1.3.4. Una diagonal divide a un cuadrilátero en dos triángulos de
igual área si y sólo si biseca a la otra diagonal.
C
D
A
B
G
HF
Figura 1.10:
Demostración. Sean F la intersección de AC y BD, G y H las proyecciones de D
y B sobre AC. Supongamos que en la Figura 1.10 A△DAC = A△ABC . Entonces,
como en tales triángulos AC puede funcionar como su base, DG = BH. Con
esto △DGF ≅ △BHF pues ambos tienen ángulo recto, ángulos opuestos por
el vértice y un lado igual. Por lo tanto DF = BF . Inversamente, si se da esta
última igualdad se tiene que △DGF ≅ △BHF y aśı A△DAC = A△ABC .
Teorema 1.3.5. Si en el �ABCD las prolongaciones de AB y DC se cortan
en E, T y U son los puntos medios de AC y BD, entonces A△UTE =
1
4A�ABCD
C
D
A B
Q
S U
T
E
Figura 1.11:
10 CAPÍTULO 1. CUADRILÁTERO: NOCIONES BÁSICAS.
Demostración. Sea �STQU el Paralelogramo de Varignon de �ACDB. Traza-
mos los segmentos UE, QE y TE. Notemos que T y Q son puntos medios de
AC y BC, con lo que TQ biseca a CE. Con esta información podemos aplicar
el Teorema 1.3.4 al �CTEQ que es entrante. Aśı obtenemos:
A△CTQ = A△QTE =
1
4
A△CAB (1.4)
Análogamente en el �UBQE:
A△UBQ = A△UQE =
1
4
A△DBC (1.5)
Ahora aplicamos el Teorema de Varignon al �ACBD
A△UTQ =
1
2
A�STQU =
1
4
A�ACBD =
1
4
A△DAB −
1
4
A△CAB (1.6)
Sumamos (1.4), (1.5) y (1.6).
A△UTE = A△QTE + A△UQE + A△UTQ
=
1
4
A△CAB +
1
4
A△DBC +
1
4
A△DAB −
1
4
A△CAB
=
1
4
A�ABCD (1.7)
A continuación estableceremos algunas proposiciones que relacionan los lados
de un cuadrilátero con sus diagonales, éstas con las de su Paralelogramo de
Varignon y, por último, los lados con las diagonales de un trapecio isósceles.
Para tal fin, requerimos un par de resultados previos.
Proposición 1.3.6 (Ley del Paralelogramo). En un paralelogramo la suma de
los cuadrados de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales.
BA
D C
E Fx xa − x
b bh h
a
d
e
Figura 1.12:
Demostración. Sea �ABCD un paralelogramo. Sean E y F las proyecciones de
D y C sobre AB. Nombremos a = AB = CD, b = BC = DA, h = DE = CF ,
1.3. APLICACIONES DEL ÁREA DEL CUADRILÁTERO: TEOREMA DE VARIGNON.11
x = AE = BF , a − x = EB, d = AC y e = BD. Con esto lo que debemos
probar es:
d2 + e2 = 2(a2 + b2) (1.8)
Si aplicamos el Teorema de Pitágoras a △CAF , △DEB y △DAE se obtiene:
d2 = (a + x)2 + h2 (1.9)
e2 = (a − x)2 + h2 (1.10)
b2 = x2 + h2 (1.11)
Sumamos (1.9) y (1.10) y en la suma sustituimos (1.11) para obtener (1.8)
Como consecuencia de la Ley del Paralelogramo podemos obtener la longitud
de las medianas de un triángulo, en términos de sus lados. Esto lo establecemos
en la siguiente:
Proposición 1.3.7. El cuadrado de la longitud de una mediana de un triángulo
cualquiera, está dado por la semisuma de los cuadrados de los lados que inter-
sectan a la mediana, menos el cuadrado de la mitad del tercer lado.
CB
A
N
L
M
Figura 1.13:
Demostración. En la Figura 1.13, sean a = BC, b = CA, c = AB y ma = AL.
El �ANLM es un paralelogramo, consecuentemente en él se cumple m2a+
(
a
2
)2
=
2
((
b
2
)2
+
(
c
2
)2)
. Al despejar m2a queda:
m2a =
b2 + c2
2
−
(a
2
)2
(1.12)
Proposición 1.3.8. Si P , Q, R, S, T y U son los puntos medios de AB, BC,
CD, DA, AC y BD del �ABCD, entonces se cumplen:
AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4TU2 (1.13)
AC2 + BD2 = 2
(
PR2 + QS2
)
(1.14)
12 CAPÍTULO 1. CUADRILÁTERO: NOCIONES BÁSICAS.
C
D
A B
U
T
P
Q
R
S
Figura 1.14:
Demostración. En la Figura 1.14 TU , AU y CU son medianas de △UAC,
△DAB y △DBC. Por la Proposición 1.3.7 se tiene:
UT 2 =
AU2 + CU2
2
−
(
AC
2
)2
(1.15)
AU2 =
DA2 + AB2
2
−
(
BD
2
)2
(1.16)
CU2 =
CD2 + BC2
2
−
(
BD
2
)2
(1.17)
Sustituimos (1.16) y (1.17) en (1.15). Agrupamos adecuadamente para obtener
( 1.13). Para demostrar ( 1.14) basta con aplicar la Ley del Paralelogramo a
�PQRS y recordar que los lados de este paralelogramo miden la mitad de la
diagonal a la que son paralelos.
PR2 + QS2 = 2
(
PQ2 + QS2
)
= 2
((
AC
2
)2
+
(
BD
2
)2)
=
AC2 + BD2
2
Proposición 1.3.9. Si �ABCD es un trapecio isósceles, con lados paralelos
c < b, lados iguales a y diagonales d, se cumple:
d2 = a2 + bc (1.18)
Demostración. Si aplicamos el Teorema de Pitágoras a △CAF y △CFB, ob-
tenemos:
d2 =
(b + c)2
4
+ h2 (1.19)
1.3. APLICACIONES DEL ÁREA DEL CUADRILÁTERO: TEOREMA DE VARIGNON.13
A B
D C
E F
h ha a
c
b
d d
Figura 1.15:
a2 = h2 +
(b − c)2
4
(1.20)
En (1.19) sustituimos (1.20), acomodamos y obtenemos (1.18)
Caṕıtulo 2
Cuadriláteros Ćıclicos y
Circunscritos.
2.1. Cuadriláteros Ćıclicos.
2.1.1. Poĺıgonos inscritos en ćırculos.
Si un poĺıgono tiene sus vértices sobre una circunferencia decimos que está ins-
crito en ella o, dicho de otra manera, decimos que la circunferencia está circuns-
crita en el poĺıgono. Dado unpoĺıgono cualquiera no siempre podemos inscribirlo
en un ćırculo. Si el poĺıgono es un triángulo, siempre es posible hacer lo anterior.
Basta tomar como centro el punto donde concurren las mediatrices del triángu-
lo y como radio la distancia de este punto a cualquiera de los vértices. En la
siguiente figura aparece un triángulo y un cuadrilátero inscritos en circunferen-
cias.
b
O
C
D
A
B
b
O
A
B
C
Figura 2.1:
15
16 CAPÍTULO 2. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS Y CIRCUNSCRITOS.
2.1.2. Dos criterios para la caracterización
de cuadriláteros ćıclicos.
Hemos visto que dado un triángulo, siempre es posible inscribirlo en un
ćırculo. Dado un cuadrilátero cualquiera, ¿siempre es posible inscribirlo en un
ćırculo?
b
O
C
D
A
B
α
α
-b-
b
O
C
D
A
B
α
β
-a- Figura 2.2:
Si un �ABCD está inscrito en un ćırculo como en la Figura 2.2a, entonces
sabemos que los ángulos opuestos son suplementarios. Esto se sigue del hecho
que son inscritos y que entre los dos abarcan la circunferencia completa. Inver-
samente, si tenemos un �ABCD en el que un par de sus ángulos opuestos son
suplementarios, sabemos que entonces el cuadrilátero es ćıclico. La demostración
completa de estos dos hechos está en el apéndice de ángulos inscritos.
Del mismo modo, si tenemos un �ABCD inscrito en un ćırculo como en la
Figura 2.2b, sabemos que los ángulos que subtienden un mismo lado son iguales
entre śı. Rećıprocamente, si en �ABCD dos ángulos que se forman cada uno con
un lado opuesto y con una diagonal son iguales entre śı, entonces el cuadrilátero
es ćıclico. De nuevo, la demostración detallada está en el apéndice de ángulos
inscritos.
Las dos discuciones precedentes son las demostraciones de los siguientes teo-
remas.
Teorema 2.1.1. Un �ABCD es ćıclico si y sólo si sus ángulos opuestos son
suplementarios.
Teorema 2.1.2. Un �ABCD es ćıclico si y sólo si dos de los ángulos formados
cada uno con un lado opuesto y con una diagonal son iguales entre śı
Los dos teoremas precedentes caracterizan a los cuadriláteros ćıclicos a través
de sus ángulos. Otra caracterización de éllos se puede hacer atendiendo a sus
lados y, de hecho, es conocido como Teorema de Ptolomeo, el cual enunciamos
y demostramos.
2.1.3. Teorema de Ptolomeo.
Teorema 2.1.3 (Teorema de Ptolomeo). Un �ABCD es ćıclico si y sólo si:
AC · BD = AB · CD + AD · BC (2.1)
2.1. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS. 17
CD
A
B
E
α
α
Figura 2.3:
Demostración. Demostraremos primero la proposición directa del teorema. Con-
sideremos un �ABCD ćıclico como en la Figura 2.3. Sea E un punto en la dia-
gonal AC de tal forma que ∠ADE = ∠BDC. Tenemos que △DAE ≈ △DBC
por la igualdad de ángulos anterior y por la de ∠EAD y ∠CBD. Se sigue que:
DA
DB
=
AE
BC
=
ED
CD
(2.2)
Utilizamos la relación anterior y ∠EDC = ∠ADB para establecer que △DEC ≈
△DAB. Entonces:
DE
DA
=
EC
AB
=
CD
BD
(2.3)
De las relaciones (2.2) y (2.3) se obtiene DA · BC = AE · DB y CD · AB =
EC ·DB. Sumando estas dos igualdades: AB ·CD+BC ·AD = (AE+EC)BD =
AC · BD.
Para la implicación inversa haremos la demostración por reducción al ab-
surdo, es decir, supongamos que se cumple la igualdad ( 2.1) y además que
el �ABCD no es ćılclico. De nuevo localicemos el punto E de tal forma que
∠BDC = ∠ADE y además que ∠CBD = ∠EAD. Necesariamente E está fuera
de AC pues estamos suponiendo que �ABCD no es ćıclico. Procedemos exac-
tamente como en la implicación directa y llegamos a que AB ·CD +BC ·AD =
(AE+EC)BD. Ahora, como E no está en AC, el △EAC es no degenerado y, en
consecuencia, AE + EC > AC. Esta desigualdad no es más que la Desigualdad
del Triángulo aplicada a △EAC. Por lo tanto:
AB · CD + BC · AD = (AE + EC)BD > AC · BD. (2.4)
Esto genera una contradicción a la hipótesis que dice que se cumple la igual-
dad (2.1). Esta contradicción indica que en realidad el punto E cae en AC y,
entonces, ∠CAD = ∠CBD. Aśı si en el �ABCD se cumple (2.1) entonces es
ćıclico.
En realidad el Teorema de Ptolomeo sólo es la implicación directa del teo-
rema anterior. Por comodidad lo presentamos con ambas implicaciones con ese
nombre. Al demostrarlo, de paso hemos demostrado una propiedad que se cum-
ple para los cuadriláteros, sean ćıclicos o no. La enunciamos en la siguiente:
18 CAPÍTULO 2. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS Y CIRCUNSCRITOS.
CD
A
B
α
α
E
β
β
Figura 2.4:
Proposición 2.1.4. En un cuadrilátero la suma de los productos de los la-
dos opuestos es mayor o igual al producto de las diagonales. En śımbolos: en
�ABCD se cumple:
AB · CD + BC · AD ≥ AC · BD. (2.5)
Existe otro criterio para establecer cuándo un cuadrilátero es ćıclico. Para
poder establecerlo necesitamos, primero, hacer una definiciones.
2.1.4. Ĺıneas antiparalelas.
Definición 2.1.5. Sean dos pares de ĺıneas que están de tal forma que la bi-
sectriz del ángulo formado por el primer par, es transversal al segundo par y los
ángulos interiores que se forman del mismo lado de la transversal (entre ésta
y el segundo par) son iguales. En estas condiciones decimos que las rectas del
segundo par son antiparalelas 1 entre śı con respecto al primer par de ĺıneas.
En śımbolos: l3 ∦ l4 c.r. l1 y l2.
En la Figura 2.5, l es la bisectriz del ángulo formado por l1 y l2. ∠α = ∠β.
Aśı l3 es antiparalela a l4 con respecto a l1 y l2 (l3 ∦ l4 c.r. l1 y l2).
Teorema 2.1.6. Un �ABCD es ćıclico si y sólo si un par de lados opuestos
en antiparalelo entre śı con respecto al otro par de lados opuestos.
Demostración. Sean �ABCD ćıclico; E y F los puntos donde se cortan AB
con CD y BC con DA; l la bisectriz del ∠AED; H e I las intersecciones de l
con DA y con BC; α = ∠IHD y β = ∠CIH . Notemos que △DEH ≈ △IEB
pues ∠AEH = ∠HED y ∠IBA = ∠EDH . En consecuencia ∠DHE = ∠HIB.
Luego ∠DHE + α = π y ∠HIB + β = π. Por lo tanto α = β.
1La noción de ĺıneas antiparalelas no es contraria a la de paralelas. Se pueden tener un par
de ĺıneas antiparalelas entre śı, con respecto a otras dos, y esas dos mismas ĺıneas ser paralelas
una a la otra. Por ejemplo, en un trapecio isósceles se tiene que la bisectriz del ángulo de los
lados no paralelos corta a los paralelos formando ángulos internos rectos. Un caso especial es
el del rectángulo. Por convención decimos que la bisectriz del ángulo formado por dos ĺıneas
paralelas ajenas es la ĺınea que equidista de ellas. Obviamente ésta resulta ser paralela a ellas.
Aśı se puede establecer que las ĺıneas que forman un par de lados opuestos de un rectángulo
son antiparalelas una a la otra con respecto a los otros dos lados.
2.1. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS. 19
CD
A B
E
F
l
α β
l3
l4
l1
l2
Figura 2.5:
CD
A B
E
F
l
H I
α β
l3
l4
l1
l2
Figura 2.6:
Inversamente, sea α = β y sean l1, l2, l3 y l4 las ĺıneas determinadas por
DC, AB, DA y BC. Procediendo al revés que en el párrafo anterior llegamos
a △DEH ≈ △IEB y de esto se sigue que ∠CBA + ∠ADC = π que es lo
esperado.
Veremos un quinto criterio que establece cuándo un cuadrilátero es ćıclico.
En realidad este criterio es el conocido Teorema de Simson (el cual se refiere a
la ĺınea que lleva su nombre) pero como a nosotros nos interesa el cuadrilátero,
primero presentaremos el teorema como comúnmente se presenta y luego en
función del cuadrilátero, es decir, como un criterio que establece cuándo cuatro
puntos son ćıclicos.
2.1.5. Ĺınea de Simson.
Teorema 2.1.7 (Teorema de Simson). Los pies de las perpendiculares desde un
punto P , en el circunćırculo del △ABC, a los lados del triángulo, son colineales.
Demostración. Sea P en el circunćırculo del △ABC, como en la Figura 2.7,
X , Y y Z los pies de las perpendiculares desde P a BC, CA y AB. El �PZAY
20 CAPÍTULO 2. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS Y CIRCUNSCRITOS.
AP
B C
Z
X
Y
Figura 2.7:
es ćıclico pues ∠AZP = π2 = ∠PY A, entonces:
∠PY Z = ∠PAZ (2.6)
De igual forma, �PXCY es ćıclico pues ∠CXP = π2 = ∠PY C, entonces:
∠PY X = ∠PCB (2.7)
Por otro lado, como �PBCA es ćıclico por hipótesis,se tiene:
∠PAB = ∠PCB (2.8)
De las ecuaciones ( 2.6), ( 2.7) y ( 2.8), como ∠PAZ = ∠PAB, tenemos que
∠PY Z = ∠PY X . Esto prueba que los puntos X , Y y Z son colineales.
La ĺınea que contiene a los puntos X , Y y Z es llamada Ĺınea de Simson
del △ABC con respecto al punto P.
El rećıproco de este teorema también es cierto:
Teorema 2.1.8. Si los pies de las perpendiculares desde un punto P a los lados
del △ABC son colineales, entonces P está en el circunćırculo del △ABC.
Demostración. Sean los puntos colineales X , Y y Z los pies de las perpendicu-
lares PX , PY y PZ desde P a los lados del △ABC, como en la Figura 2.7. El
�PBXZ es ćıclico pues ∠PZB = π2 = ∠PXB, entonces:
∠XBP + ∠PZX = π (2.9)
Igualmente, el �PZAY es ćıclico pues ∠AZP = π2 = ∠PY A, entonces:
∠Y AP = ∠Y ZP (2.10)
De las ecuaciones (2.9) y (2.10) tenemos que ∠XBP = ∠Y AP . Por otro lado
∠Y AP + ∠PAC = π. Por lo tanto, ∠CBP + ∠PAC = π y el �PBCA es
ćıclico.
Estamos en condiciones de dar el quinto criterio, el cual reúne y parafrasea
los Teoremas 2.1.7 y 2.1.8.
2.1. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS. 21
Teorema 2.1.9. Un �ABCD es ćıclico si y sólo si los pies de las perpendicu-
lares desde uno de sus vértices a los lados del triángulo formado por los otros
tres, son colineales.
Con los cinco criterios examinados, dado un cuadrilátero, es fácil decidir
si es ćıclico. Por ejemplo, los paralelogramos, en general, no con ćıclicos pues
sus ángulos opuestos son iguales y, en consecuencia, lo serán sólo cuando sean
rectángulos. Un trapecio isósceles śı lo es, pues los lados paralelos son antipara-
lelos entre śı. Un romboide sólo es ćıclico cuando su par de ángulos iguales, son
rectos.
Una aplicación interesante de la teoŕıa de la Ĺınea de Simson que se refiere
a cuadriláteros es la siguiente:
Proposición 2.1.10. Si el �ABCD no es paralelogramo, existe un único punto
P del plano tal que los pies de las perpendiculares desde él a los cuatro lados
del cuadrilátero son colineales.
C
D
A
B
F
E
b
PW
X
Y
Z
C
D
B
A
EX Y
Figura 2.8:
Demostración. Sea �ABCD tal que no es paralelogramo. Supongamos que el
�ABCD es un trapecio, como en la Figura 2.8. Sin pérdida de generalidad,
BC es paralela a DA. Sea E la intersección de AB y CD. Sea Y el pie de la
perpendicular a CB desde E, prolongamos EY hasta que corte a DA en X ,
que resulta ser pie de perpendicular desde E. Como AB y CD concurren en E,
entonces E es el pie de las perpendiculares a estos lados. Por lo tanto, como
los punto X , Y y E son colineales, E es el punto buscado. Para mostrar que E
es el único, debemos hacer ver que los circunćırculos de △CBE y △DAE son
22 CAPÍTULO 2. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS Y CIRCUNSCRITOS.
tangentes en el punto E. Supongamos que no es aśı. Sea P ′ el hipotético punto
donde los ćırculos se cortan además de E. Por el Teorema de Simson 2.1.7, como
P ′ está en los dos ćırculos se tiene que los cuatro pies de las perpendiculares
desde P ′ son colineales, pero dos lados son paralelos, entonces los pies de las
perpendiculares a esos lados son colineales con P ′. Además los otros dos pies
deben estar en esa ĺınea y cada uno en un lado no paralelo. La única forma que
esto suceda es que P ′ sea el punto donde concurren la perpendicular a los lados
paralelos y los lados no paralelos, o sea, P ′ = E. De lo anterior y del Teorema
2.1.9 se desprende que E es único.
Ahora supongamos que no es trapecio, es decir, no tiene lados opuestos
paralelos. Sea E la intersección de AB y CD y F la de BC y DA, como en la
parte izquierda de la Figura 2.8. E y F no tienen la propiedad buscada justo por
como fueron construidos. Los circunćırculos de △CBE y △DAE se cortan en P
que es distinto de E. Sean W , X , Y y Z los pies de las perpendiculares desde P
a DA, BC, CD y AB. Debido al Teorema 2.1.7, W , Y y Z son colineales y X ,
Y y Z también. Por lo tanto W , X , Y y Z son colineales. Por el Teorema 2.1.8,
aplicado a △FDC y △FAB tenemos que los circunćırculos de esos triángulos
pasan por P . Por lo tanto P es el único punto con la propiedad requerida.
2.1.6. Teoremas japoneses o de Mikami y Kobayashi.
Existen tres resultados conocidos como Teoremas japoneses o Teoremas de
Mikami y Kobayashi. El primero de ellos también es conocido como Antiguo
Teorema Japonés y dice que si en un poĺıgono inscrito en un ćırculo son traza-
das todas sus diagonales desde un mismo vértice y si se construyen todos los
inćırculos de los triángulos que se originan al trazar las diagonales, entonces la
suma de los inradios no depende del vértice elegido. El segundo teorema tiene
que ver directamente con un cuadrilátero ćıclico. El tercero habla de circunfe-
rencias tangentes a una misma recta. Abordaremos los dos primeros teoremas,el
primero en el caso particular en que el poĺıgono es de cuatro lados.
Antes de ver dichos teoremas estableceremos una proposición que describe
cómo son los triángulos (en función de sus ángulos, es decir: acutángulos, ob-
tusángulos o rectángulos) que se originan en un cuadrilátero ćıclico al trazar
una de sus diagonales.
Proposición 2.1.11. Si el �ABCD es ćıclico y se traza cualquiera de sus
diagonales, entonces de los dos triángulos que se originan: uno es acutángu-
lo y el otro obtusángulo o ambos obtusángulos o ambos rectos pero no ambos
acutángulos.
Demostración. Sea �ABCD como en el primer caso de la Figura 2.9, es decir,
los vértices del cuadrilátero abarcan un arco de la circunferencia mayor a π
y además la diagonal trazada no es diámetro. Entonces, BD origina △ABD
y △BCD. En nuestro caso ∠BAD es obtuso y, en consecuencia, △ABD es
obtusángulo. Además ∠DCB, al ser el opuesto de ∠BAD, es agudo. Resta ver
que ∠CBD y ∠BDC también lo son. Supongamos que ∠CBD fuera obtuso,
2.1. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS. 23
C
D
A
B
CD
A
B
bc
B′
bc
Figura 2.9:
entonces el arco comprendido por C y D seŕıa mayor a π y C coincidiŕıa con
un punto como B′. Si esto pasara, entonces todos los vértices del �ABCD
estaŕıan en un arco no mayor a π, contrario a nuestra hipótesis y el cuadrilátero
seŕıa como el segundo caso de la Figura 2.9. De esta contradicción se deduce
que ∠CBD es agudo. Análogamente ∠BDC lo es. Por lo tanto el △BCD es
acutángulo.
Supongamos ahora que los vértices del �ABCD están en un arco menor que
π con lo que sus diagonales no son diámetro, como el segundo caso de la Figura
2.9. Entonces, △ABD y △BCD son obtusángulos pues ∠DBA y ∠DCB son
obtusos por construcción. Por último, si la diagonal es diámetro es claro que
ambos triángulos son rectángulos.
Teorema 2.1.12 (Primer Teorema de Mikami y Kobayashi). En el �ABCD
ćıclico, donde r1, r2, r3 y r4 son los inradios de △ABD, △BCD, △ABC y
△ACD se tiene que r1 + r2 = r3 + r4
b
O
C
D
A
B
bc
bc
W
X
Y
Z
U
m1
m2
m3m4 ma
r1
r2
R
bO
C
D
A
B
bc
bc
W
X
Y
Z
V
m1
m2
m3
m4
mb
r3
r4
R
Figura 2.10:
24 CAPÍTULO 2. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS Y CIRCUNSCRITOS.
Demostración. Sean m1, m2, m3 y m4 las mediatrices de los lados AB, BC,
CD y DA; ma y mb las mediatrices de las diagonales BD y AC. Sean W , X ,
Y y Z los puntos medios de los lados en el mismo orden, aśı como U y V son
puntos medios de las diagonales. El centro de la circunferencia circunscrita a
�ABCD es O y su radio es R. Como primer paso probemos que en el △ABD
de la Figura 2.10 se cumple que m1 +m4 +ma = R+ r1. Aplicamos el Teorema
de Ptolomeo 2.1.3 a �WBUO, �DZOU y �ZAWO:
AB
2
ma +
BD
2
m1 =
DA
2
R (2.11)
DA
2
ma +
BD
2
m4 =
AB
2
R (2.12)
DA
2
m1 +
AB
2
m4 =
BD
2
R (2.13)
Por otro lado, como el △ABD se descompone en △OAB, △OBD y △ODA,
sucede:
2A△ABD = ABm1 + BDma + DAm4 (2.14)
Si designamos s = AB+BD+DA2 y sumamos (2.11), (2.12), (2.13) y (2.14),
obtenemos:
s(ma + m1 + m4) = sR + A△ABD (2.15)
Por otro lado, como el incentro de un triángulo siempre es un punto interior
de él y como los segmentos que unen el incentro con los puntos en donde el
inćırculo toca a los lados son perpendicularesa ellos, se tiene que A△ABD =
AB
2 r1 +
BD
2 r1 +
DA
2 r1 = sr1. Si sustituimos esto en (2.15), tenemos:
m1 + m4 + ma = R + r1 (2.16)
Si realizamos el mismo proceso, ahora en △BCD y utilizamos �OBXU ,
�OXCY y �OUY D, llegamos a:
m2 + m3 − ma = R + r2 (2.17)
Si sumamos (2.16) y(2.17), obtenemos:
m1 + m2 + m3 + m4 = 2R + r1 + r2 (2.18)
Análogamente, al utilizar △ABC y △ACD tenemos:
m1 + m2 + m3 + m4 = 2R + r3 + r4 (2.19)
El resultado se sigue de igualar las ecuaciones (2.18) y (2.19).
Para demostrar la versión original del Primer Teorema de Mikami y Koba-
yashi, es decir, el que habla de un poĺıgono inscrito, se procede exactamente igual
que en la demostración anterior, es decir, en esencia lo demostramos. Además,
al hacer tal demostración de paso establecimos un resultado conocido como
Teorema de Carnot, el cual enunciamos:
2.1. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS. 25
Teorema 2.1.13 (Teorema de Carnot). Si O es circuncentro, R es circunradio
y r es inradio del △ABC; L, M y N son los puntos medios de AB, BC y CA
y OL = m1, OM = m2 y ON = m3, entonces, dependiendo de si △ABC es
acutángulo, obtusángulo en ∠BAC o rectángulo en ∠BAC, se cumple:
m1 + m2 + m3 = R + r (2.20)
m1 − m2 + m3 = R + r (2.21)
m1 + m3 = R + r (2.22)
Demostración. Los dos primeros casos quedaron establecidos en el Teorema
2.1.12. Cuando el triángulo es rectángulo se procede de manera análoga con
la particularidad de que O = M y m2 = 0.
Con el resultado de la Proposición 2.1.11, vemos que en la demostración del
Teorema 2.1.12 existen varias posibilidades para los triángulos en cuestión, sin
embargo, gracias al Teorema 2.1.13 el resultado se mantiene en cualquiera de
estas posibilidades.
Teorema 2.1.14 (Segundo Teorema de Mikami y Kobayashi). Los incentros P ,
Q, R y S de △ABC, △ACD, △DAB y △DBC, que se obtienen del �ABCD
ćıclico al trazar sus diagonales, forman un rectángulo
C
D
A
B
R
S
Q
P
bc T
Figura 2.11:
Demostración. Sean P , Q, R y S los incentros de △ABC, △ACD, △DAB y
△DBC. Por construcción tenemos que 2∠QAD = ∠CAD y 2∠ADQ = ∠ADC,
además en △DAC se tiene que ∠ADC +∠CAD+∠DCA = π y en △DAQ que
∠ADQ + ∠QAD + ∠DQA = π. Luego ∠DQA = ∠DCA + π2 . Análogamente,
∠DRA = ∠DBA + π2 . Como ∠DCA = ∠DBA, entonces ∠DQA = ∠DRA.
26 CAPÍTULO 2. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS Y CIRCUNSCRITOS.
Con esto �DARQ es ćıclico. De la misma manera �ABPR es ćıclico. Con
estos resultados podemos probar que ∠PRQ = π2 . Sea T la prolongación de
AR. ∠ADQ = ∠TRD y ∠PBA = ∠PRT . Como ∠ADC + ∠CBA = π,
2∠ADQ = ∠ADC y 2∠PBA = ∠CBA, se obtine ∠PRQ = π2 . De manera
análoga se demuestra que los demás ángulos son rectos. Por lo tanto, �PSQR
es rectángulo.
2.1.7. Fórmula de Brahmagupta.
Previamente definimos el área de un cuadrilátero convexo como la suma de
áreas de los triángulos en los que se descompone al trazar una de sus diagonales.
Cuando el cuadrilátero es ćıclico y convexo, su área se puede expresar en térmi-
nos de sus lados. Esta fórmula se le atribuye a Brahmagupta, un matemático
de la India de la primera mitad del siglo VII. Si bien él la dio por válida para
cualquier cuadrilátero, ahora se sabe que es cierta sólo para los que son convexos
y ćıclicos a la vez.
Como paso previo estableceremos tres distintas fórmulas para calcular el área
de un triángulo, las cuales están relacionadas con los tres criterios de congruencia
de triángulos: lado, lado, lado (LLL); ángulo, lado, ángulo (ALA) y lado, ángulo,
lado (LAL). Estos criterios significan que si dos triángulos cumplen alguno de
ellos, entonces sus tres lados y sus tres ángulos correspondientes serán iguales.
Otra forma de entenderlos es diciendo que cualquiera de ellos determina de
manera única un triángulo. Por lo tanto, como cualquiera de los criterios (LLL),
(ALA) y (LAL) determinan un triángulo de manera única, entonces el área de
ese triángulo se puede expresar en términos de cualquiera de ellos. En resumen:
el área de un triángulo se puede expresar en términos de sus tres lados, de dos
de sus ángulos y el lado comprendido entre ellos o de dos de sus lados y el ángulo
comprendido entre ellos.
Empezamos por expresar el área de un triángulo en función de sus tres lados.
Teorema 2.1.15 (Fórmula de Herón). Si los lados del △ABC son a, b y c y
si s = a+b+c+d2 , entonces:
A△ABC =
√
s(s − a)(s − b)(s − c) (2.23)
Demostración. En △ABC sea O su incentro, D, F y E los puntos de contacto
del inćırculo con los lados AB, BC y CA. Trazamos los segmentos OA, OB y
OC. La perpendicular a OB en O corta a la perpendicular a BC en C en el
punto P . Si K está en la prolongación de BC y es tal que CK = AD, entonces
∠CPB + ∠BOC = π pues �OBPC es ćıclico. Además ∠AOD = ∠EOA,
∠COE = ∠FOC y ∠DOB = ∠BOF , de esto se tiene que ∠BOF + ∠FOC +
AOD = π. Entonces, ∠AOD+∠BOC = π, ∠CPB = ∠AOD y, en consecuencia,
△BPC ≈ △AOD:
BC
AD
=
PC
DO
(2.24)
2.1. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS. 27
A
B
C
OD
F
E
P
G bc
K
Figura 2.12:
Sea G la intersección de OP y BC, entonces △OFG ≈ △PCG:
GC
FG
=
PC
OF
(2.25)
De (2.24) y (2.25), teniendo en cuenta que OF = OD y AD = CK, tenemos:
BC
CK
=
GC
FG
(2.26)
Si en (2.26) sumamos CK
CK
del lado derecho, FG
FG
del izquierdo y notamos que
BC + CK = BK y FG + GC = FC, esta igualdad nos quedá:
(BK)(FG) = (CK)(FC) (2.27)
Al multiplicar por BK:
(BK)2(FG) = (BK)(CK)(FC) (2.28)
Por otro lado, en △OBG, OF es una de sus alturas, con lo que △BFO ≈
△OFG. Luego:
OF 2 = (FG)(BF ) (2.29)
Con esto estamos en condiciones de calcular el área que nos interesa. A△ABC =
A△OAB + A△OBC + A△OCA o:
1
2
((OD)(AB) + (OF )(BC) + (OE)(CA)) =
1
2
(OF )(AB + BC + CA) = OF · s
(2.30)
Además como DB = BF , FC = CE y EA = AD, entonces:
s = BF + FC + AD = BF + FC + CK = BK (2.31)
Pues AD = CK por construcción. Con esto A△ABC = (BK)(OF ). Si elevamos
al cuadrado, sustituimos (2.29) y luego (2.28):
(A△ABC)
2 = (BK)(CK)(FC)(BF ) (2.32)
28 CAPÍTULO 2. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS Y CIRCUNSCRITOS.
Por lo tanto:
A△ABC =
√
(BK)(CK)(FC)(BF ) (2.33)
Si BC = a, CA = b y AB = c, entonces s− a = CK, s− b = BF y s− c = FC.
Sustituyendo lo anterior y (2.31) en (2.33), obtenemos el resultado buscado:
A△ABC =
√
s(s − a)(s − b)(s − c) (2.34)
Ahora expresamos el área de un triángulo en función de dos de sus lados y
el ángulo comprendido por ellos.
Proposición 2.1.16. En el △ABC sean a = BC, b = CA, c = AB, α =
∠BAC, β = ∠CBA y γ = ∠ACB. Su área se puede calcular como:
A△ABC =
ac · senβ
2
=
bc · senα
2
=
ab · sen γ
2
(2.35)
A
B CD a
bc
ha
β
A
B CD a
bc
ha
θ
Figura 2.13:
Demostración. Partiremos del hecho de el área de un triángulo se puede calcular
como el semiproducto de uno de sus lados por la altura que pasa por el vértice
opuesto a ese lado. Desde A trazamos la altura ha que corta perpendicularmente
a BC en D. Dependiendo de si β es agudo u obtuso, D estará a la derecha o a la
izquierda de B, como en la Figura 2.13. Si β es agudo, entonces ha = c · sen β.
Si β es obtuso, sea θ = ∠ABD. Como β + θ = π, entonces senβ = sen θ y, en
consecuencia, ha = c · sen β. Con esto tenemos lo siguiente:
A△ABC =
a · ha
2
=
ac · sen β
2
Que es la primera de las igualdades de la expresión ( 2.35). Las restantes se
prueban de manera análoga.
Proposición 2.1.17. En el △ABC sean a = BC, b = CA, c = AB, α =
∠BAC, β = ∠CBA y γ = ∠ACB. Su área se puede calcular como:
A△ABC =
a2 · sen β sen γ
2 sen(β + γ)
=
b2 · sen γ senα
2 sen(γ + α)
=
c2 · senα sen β
2 sen(α + β)
(2.36)
2.1. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS. 29
Demostración. De la proposición anterior tenemos que A△ABC =
ac·senβ
2 . Al
utilizar la Ley de Senos obtenemos c = a·senγsen α . Por otro lado, como α+(β+γ) =
π, entonces sen α = sen(β + γ). Por lo tanto:
A△ABC =
ac · senβ
2
=
a2 · sen β sen γ
2 sen(β + γ)
Las otras dos expresiones se pueden calcular del mismo modo.
Teorema 2.1.18 (Fórmula de Brahmagupta). Si los lados del �ABCD ćıclico
y convexo son a, b, c y d y si s = a+b+c+d2 , entonces:
A�ABCD =
√
(s − a)(s − b)(s − c)(s− d) (2.37)
CD
A
B
P a
b
c
d
x
y
Figura 2.14:
Demostración. Como primer caso supongamos que los dos pares de lados opues-
tos son paralelos, en cuyo caso y dadas las hipótesis, el cuadrilátero es un
rectángulo. Digamos que a = c y b = d. Si asumimos la formula de Brah-
magupta:
A�ABCD =
√
(s − a)(s − b)(s − c)(s − d) =
√
(a + b − a)(a + b − b)(a + b − a)(a + b − b) =
√
a2b2 = ab
Con lo que en un rectángulo es válida la fórmula. Supongamos que el cua-
drilátero tiene un par de lados opuestos no paralelos, digamos AB y CD. Sea
P el punto donde se cortan. Sean x = PB y y = PC. Aplicamos la formula de
Herón a △PBC:
A△PBC =
1
4
√
(x + y + c)(y − x + c)(x + y − c)(x − y + c) (2.38)
Por otro lado, como ∠DCB = ∠DAP , entonces △APD ≈ CPB pues el
∠APD lo comparten. Con esto en cuenta y con auxilio de la Proposición 2.1.17,
A△APD
A△CPB
= a
2
c2
. Luego
A△CPB
A△CPB
− A△APD
A△CPB
= c
2
c2
− a2
c2
Por lo tanto:
A�ABCD
A△CPB
=
c2 − a2
c2
(2.39)
De △APD ≈ CPB, obtenemos:
30 CAPÍTULO 2. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS Y CIRCUNSCRITOS.
x
c
=
y − d
a
(2.40)
y
c
=
x − b
a
(2.41)
Sumamos (2.40) y (2.41):
x + y
c
=
x + y − b − d
a
x + y =
c
c − a (b + d)
x + y + c =
c
c − a (b + c + d − a) (2.42)
Si en esta última igualdad en lugar de sumar c, la restamos:
x + y − c = c
c − a (a + b + d − c) (2.43)
Si a (2.41) le restamos (2.40) y luego al revés:
y − x + c = c
c + a
(a + c + d − b) (2.44)
x − y + c = c
c + a
(a + b + c − d) (2.45)
Sustituimos (2.42), (2.43), (2.44) y (2.45) en (2.38) y realizamos las opera-
ciones:
A△PBC =
c2
4(c2 − a2)
√
(b + c + d − a)(a + c + d − b)(a + b + d − c)(a + b + c − d)
(2.46)
Al despejar en (2.39):
A�ABCD =
√
(s − a)(s − b)(s − c)(s − d) (2.47)
Con el teorema anterior podemos calcular el área de un cuadrilátero ćıclico
y convexo. Otro problema referente a este tipo de figuras es cómo construir con
regla y compás un cuadrilátero ćıclico si conocemos la longitud de sus lados.
Como hemos venido haciendo, obtendremos un par de resultados previos que
nos auxiliarán en la construcción. El primero es el Teorema de la Bisectriz y el
segundo es la Circunferencia de Apolonio.
2.1. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS. 31
2.1.8. Construcción del cuadrilátero ćıclico.
Teorema 2.1.19 (Teorema de la Bisectriz). En △ABC las bisectriz interna
y la externa del ∠BAC dividen al lado BC, la primera internamente y la se-
gunda externamente, en la razón AB
CA
. Si L y L′ son los puntos en donde estas
bisectrices cortan a BC, entonces:
BL
LC
=
AB
CA
= −BL
′
CL′
A
B CL
R
c
b
b
α
α
α α
Figura 2.15:
Demostración. Haremos la demostración para la bisectriz interna, para la ex-
terna se procede análogamente. Sean b = CA, c = AB, ∠BAL = α = ∠LAC.
Trazamos la paralela a AL por C, sea R el punto donde esta paralela corta a
AB. Como ∠ARC = α = ∠RCA, pues RC paralela a AL, entonces AR = b.
En el △RBC tenemos las transversales BC y BR a ĺıneas paralelas, entonces
BL
LC
= c
b
= AB
CA
. Podemos invertir los pasos en la demostración, con lo que el
rećıproco también es cierto.
Teorema 2.1.20 (Circunferencia de Apolonio). Si A y B son dos puntos fijos
y p
q
6= 1 es una razón fija, el lugar geométrico de los puntos P que cumplen
AP
PB
= p
q
es una circunferencia conocida como circunferencia de Apolonio.
A
B
Y
Y ′
X
C′C
p
p
q
C
P
A B C′
Figura 2.16:
32 CAPÍTULO 2. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS Y CIRCUNSCRITOS.
Demostración. Por los puntos A y B trazamos los segmentos Y Y ′ y BX para-
lelos entre śı, como en la parte izquierda de la Figura 2.16, de tal forma que
BX = q e Y A = AY ′ = p. Si C y C′ son las intersecciones de XY ′ y XY con
AB. Como △AY ′C ≈ △BXC y △AC′Y ≈ △BC′X , obtenemos AC
CB
= AY
′
BX
= p
q
y AC
′
C′B
= AY
XB
= p
q
. Por lo tanto C y C′ están en el lugar geométrico buscado.
Supongamos ahora que P es otro punto del lugar geométrico, entonces, utili-
zando el Teorema 2.1.19, AP
PB
= p
q
= AC
CB
con lo que PC es la bisectriz interior
de ∠APB. Además AP
PB
= p
q
= AC
′
C′B
y PC′ es la bisectriz exterior del mismo
ángulo. Por lo tanto, P se encuentra en la circunferencia de diámetro CC′, pues
∠CPC′ = π2 . El rećıproco también es válido.
Proposición 2.1.21. Construir con regla y compás un �ABCD ćıclico de lados
AB = a, BC = b, CD = c y DA = d, con b y d un par de lados opuestos.
A
B C
D
O
a
b
c
d
bcO bc
C
bc
B
b
A
a
d
Figura 2.17:
Demostración. Primero notemos que si uno de los lados es mayor que la suma
de los otros tres, entonces no se puede formar ningún cuadrilátero y si un lado es
igual a la suma de los otros tres, entonces sólo se puede formar un cuadrlilátero
degenerado donde los cuatro vértices están alineados y, en consecuencia, no son
ćıclicos. Suponemos pues que la suma de cualesquiera tres lados es mayor al
cuarto. En una recta colocamos el segmento BC = b, lo prolongamos hasta O
de tal forma que BO = ac
d
. Se puede construir este segmento debido a que los
cuatro lados son magnitudes dadas. Supongamos que tenemos construido el cua-
drilátero como el de la Figura 2.17, para ver qué condiciones se deben cumplir
y a partir de eso construirlo. El vértice A sólo puede estar en la circunferencia
de centro en B y radio a, además como queremos que el cuadrilátero sea ćıclico
se debe cumplir que ∠ABO = ∠ADC y como construimos BO = ac
d
, entonces
resultará que △AOB ≈ △ACD pues AO
AC
= AB
ad
= OB
CD
= ac
cd
= a
d
, es decir,
AO
AC
= a
d
lo cual significa, por el Teorema 2.1.20, que A debe estar en el ćırculo
de Apolonio de los puntos O, C y la razón a
d
. Construimos esta circunferencia
y donde intersecte a la de centro en B y radio a ese punto será A. Con esto
2.1. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS. 33
tenemos construido el △ABC. Para determinar D sólo hacemos circunferencias
con centro en C y radio c y con centro en A y radio d. Donde se corten es el
punto D.
Al hacer la construcción anterior colocamos a b y d como lados opuestos. En
realidad, podemos colocar a a, c o d como opuesto a b con lo que se construyen
tres cuadriláteros ćıclicos distintos con los mismos cuatro lados dados.
A′
B C
D
d
b
c
a
n
l
A
B C
D′
a
b
d
c
m
n
A
B C
D
a
b
c
d
m
l
Figura 2.18:
Nombramos l y m a las diagonales del primer cuadrilátero de la Figura
2.18.En el segundo cuadrilátero sólo se intercambian a y d, o sea, la diagonal
l se mantiene y obtenemos una nueva diagonal n que abarca un arco en donde
están inscritos los lado a y c. En el tercero se intercambian los lados c y d con
respecto al primero, es decir, m se mantiene y la otra diagonal subtiende un
arco en donde están inscritos los lados a y c, por lo tanto, la longitud de esta
diagonal es n. Con esto obtenemos que estos tres cuadriláteros distintos sólo
generan tres distintas diagonales. Por último, como los tres cuadriláteros están
formados con los mismos cuatro lados, por el Teorema 2.1.18, resulta que tienen
la misma área. Estos resultados los enunciamos en el siguiente:
Teorema 2.1.22 (Desigualdad del cuadrilátero ćıclico). Dadas cuatro cantida-
des a, b, c y d cada una menor que la suma de las otras tres, se pueden construir
tres cuadriláteros ćıclicos distintos y de igual área.
Cuatro segmentos como los anteriores determinan un circunćırculo en el
que pueden ser inscritos tres distintos cuadriláteros que tienen la misma área
independientemente de en qué orden coloquemos los lados y además determinan
sólo tres diagonales. Por lo tanto, estos cuatro segmentos también determinan
el circunradio R. Veremos, pues, que el área que determinan estos segmentos, se
expresa en términos de las tres diagonales l, m, n y del circunradio R. Obtenemos
como paso intermedio una fórmula que relaciona a R con el área del triángulo
inscrito en el circunćırculo.
Teorema 2.1.23. Si el △ABC tiene lados a, b, c y R es el radio de su cir-
cunćırculo, entonces A△ABC =
abc
4R .
Demostración. Sea △ABC, trazamos su circunćırculo y la alturaAD = h, como
en la Figura 2.19. Prolongamos AO hasta que corte en A′ a la circunferencia.
34 CAPÍTULO 2. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS Y CIRCUNSCRITOS.
b O
A
B C
A′
D a
bc h
Figura 2.19:
Partimos del hecho de que A△ABC se puede calcular como la mitad del producto
de uno de sus lados por la altura trazada desde el vértice opuesto. En la figura,
A△ABC =
ah
2 . Por otro lado, como ∠CBA = ∠CA
′A, se tiene que △ABD ≈
△AA′C. De esto se sigue que h = bc2R . Sustituimos para obtener A△ABC =
abc
4R .
Teorema 2.1.24. Si R es el radio del ćırculo donde se encuentran los cuadrilá-
teros de lados a, b, c, d y diagonales l, m, n; entonces el área de los cuadriláteros
es lmn4R . Adicionalmente el cuadrado de esta área es
(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)
16R2 .
Demostración. Por el Teorema de Ptolomeo 2.1.3, lm = ac + bd, luego lmn =
acn + bdn. Si aplicamos el Teorema 2.1.23 a los triángulos de lados a, c, n y
b, d, n del segundo cuadrilátero de la Figura 2.18 y sustituimos en la igualdad
anterior:lmn = 4R(A△CDA′ + A△BCA′) = 4R(A�A′BCD). Por lo tanto:
A�ABCD =
lmn
4R
(2.48)
Para la otra parte, mn = ad + bc y ln = ab + cd. Multiplicando estas dos
igualdades y la que hab́ıamos obtenido, tenemos (lmn)2 = (ac+bd)(ad+bc)(ab+
cd). Despejando (lmn)2 de (2.48) obtenemos:
A�ABCD =
(ac + bd)(ad + bc)(ab + cd)
16R2
(2.49)
2.2. Cuadriláteros circunscritos.
2.2.1. Poĺıgonos circunscritos en ćırculos.
Si un ćırculo es tangente interiormente a cada lado de un poĺıgono, entonces
decimos que el ćırculo está inscrito en el poĺıgono. También podemos decir que el
poĺıgono está circunscrito al ćırculo. Es claro que dado un poĺıgono cualquiera,
no siempre podemos construir una circunferencia inscrita en él. Si el poligono
2.2. CUADRILÁTEROS CIRCUNSCRITOS. 35
es un triángulo, entonces siempre es posible contruirle su circunferencia inscri-
ta. El centro de tal ćırculo es el punto donde las bisectrices interiores de sus
ángulos concurren. Este centro está a la misma distancia de los tres lados y esta
distancia es justo la longitud del radio del ćırculo inscrito. Por último, el ćırculo
es tangente a los tres lados.
En las siguiente figuras mostramos circunferencias incritas en un triángulo
y en un cuadrilátero.
O
A
B
C
D
-b-
r r
r
O
Q
R
S
A
B C
-a-
r r
r
Figura 2.20:
2.2.2. Dos criterios para la caracterización de
cuadriláteros circunscritos.
Si consideramos un rectángulo o un paralelogramo, nos será fácil intuir que
a este tipo de cuadriláteros, en general, no se les puede inscribir una circunfe-
rencia. La pregunta natural es ¿qué condiciones debe cumplir un cuadrilátero
para poderle inscribir un ćırculo? Para responder esta pregunta analicemos la
Figura 2.20b. En ella, el centro O de la circunferencia está a la misma distancia
de los lados del cuadrilátero. Podemos decir entonces que O está en cada una
de las bisectrices. Por lo tanto las cuatro bisectrices interiores de los ángulos
del cuadrilátero concurren en O. Inversamente, si en un cuadrilatero las cuatro
bisectrices interiores concurren en un punto, éste es el centro de una circun-
ferencia tangente a los cuatro lados, es decir, inscrita. El radio es la distancia
medida perpendicularmente a cualquier lado.
La discución precedente es la demostración del siguiente:
Teorema 2.2.1. Una circunferencia se puede inscribir en un cuadrilátero (o,
dicho de otro modo, un cuadrilátero es circunscribible) si y sólo si las bisectrices
interiores de los cuatro ángulos del cuadrilátero son concurrentes.
A manera de ejemplo, utilicemos el teorema en un romboide.
Proposición 2.2.2. En un romboide se puede inscribir una circunferencia.
36 CAPÍTULO 2. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS Y CIRCUNSCRITOS.
CA
B
D
E
β2 β1
δ1δ2
Figura 2.21:
Demostración. Consideremos el �ABCD el cual es un romboide, es decir, AB =
AD y CB = CD. Debemos hacer ver que las bisectrices de este romboide
concurren. Si trazamos el segmento AC, resulta que △BAC ≅ △ADC. Luego
AC es la bisectriz de ∠A y de ∠C. Ahora sea E el punto donde la bisectriz del
∠B corta a AC. Tenemos que β1 = β2. Debemos mostrar que ED es la bisectriz
del ∠D, es decir, mostraremos que δ1 = δ2. Notemos que △BEC ≅ △DEC,
pues EC es común, ∠BCE = ∠ECD y BC = CD. Aśı δ1 = β1. Análogamente
△BAE ≅ △ADE y, en consecuencia, δ2 = β2. Por lo tanto δ1 = δ2. Con esto
tenemos que el romboide es circunscribible, pues sus bisectrices concurren en
E.
Otra pregunta que nos podemos formular es: ¿el criterio anterior es el único
existente para determinar si un cuadrilatero es circunscribible? La respuesta es
no. Es posible determinar si a un cuadrilátero se le puede inscribir una circun-
ferencia, si se conoce la longitud de sus lados. Este hecho queda establecido en
el siguiente:
Teorema 2.2.3. Un cuadrilátero es circunscribible a una circunferencia si y
sólo si la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de las
longitudes de los otros dos lados opuestos.
O
A
B
C
D
w
w
x
x y
y
z
z
Figura 2.22:
2.2. CUADRILÁTEROS CIRCUNSCRITOS. 37
Demostración. Probaremos primero la suficiencia. Si tenemos una circunferen-
cia inscrita en un cuadrilátero, como en la Figura 2.22, sabemos que la longitud
de las dos tangentes desde cada uno de los vétices del cuadrilátero es igual. En
estas condiciones podemos establecer las siguientes igualdades.
AB = x + y DC = w + z
BC = z + y DA = w + x
Sumando.
AB + DC = x + y + z + w
BC + DA = x + y + z + w
Por lo tanto.
AB + DC = BC + DA (2.50)
O
I
H
K
J
A
B
C
D
E
F
Figura 2.23:
Probemos la necesidad. Supongamos que en la Figura 2.23 se cumple (2.50).
Debemos mostrar que el cuadrilátero es circunscribible. Si sucede que dos lados
adyacentes son iguales, entonces el cuadrilátero es un romboide y ya probamos
que en éstos sus bisectrices concurren. Supongamos que no hay dos lados ad-
yacentes iguales. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que AD > AB,
de la igualdad (2.50) se desprende que AD − AB = DC − BC y por lo tan-
to DC > BC. Sean E y F en AD y DC de tal manera que AB = AE y
BC = CF . Sustituyendo en (2.50) tenemos que AD−AE = DC−CF y enton-
ces DE = DF . Con esto tenemos que △EAB, △FBC y △DEF son isósceles.
En estos triángulos trazamos las bisectrices de ∠A, ∠C y ∠D respectivamen-
te. En un triángulo isósceles la bisectriz del ángulo comprendido por los lados
iguales resulta ser también mediatriz. Teniendo esto en cuenta, resulta que las
bisectrices que trazamos son la mediatrices del △EBF . Como las mediatrices de
un triángulo concurren, entonces las tres bisectrices trazadas son concurrentes.
Sea O este punto. Resta probar que la bisectriz de ∠B pasa por O. Como O
está en las otras tres bisectrices, entonces su distancia a los cuatro lados del
cuadrilátero es la misma, en particular, O equidista de AB y de BC. Por lo
38 CAPÍTULO 2. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS Y CIRCUNSCRITOS.
tanto, O está en la bisectriz de ∠B. Tenemos pues que las bisectrices concurren
en O.
Utilizando el Teorema 2.2.3 es fácil comprobar que, en general, los rectángu-
los y los paralelogramos no son circunscribibles. Para serlo, según el teorema,
necesitan ser cuadrados o romboides. Un trapecio isósceles para ser circunscri-
bible, requiere que la longitud de los lados iguales sea igual a la longitud del
lado paralelo menor más la mitad de la diferencia entre el lado paralelo mayor
y el menor.
Hemos establecido dos criterios que establecen (uno en función de las bisec-
trices y otro en función de los lados) cuándo un cuadrilátero es circunscribible.
2.3. Cuadrilátero bicéntrico.
En las dos secciones precedentes revisamos propiedades de los cuadriláteros
ćıclicos y de los circunscritos. Resulta natural preguntarnos si existen cuadriláte-
ros que tengan las dos propiedades simultáneamente. Esta pregunta la podemos
responder con lo visto hasta ahora. En la Proposición 2.2.2 vimos que en un
romboide puede ser inscrita una circunferencia. Supongamos ahora que en la
Figura 2.21de esa proposición, β1 + β2 =
π
2 = δ1 + δ2, entonces el romboide
seŕıa ćıclico al tener ángulos opuestos suplementarios. Vemos, pues, en un rom-
boide que tiene un par de ángulos opuestos rectos se puede inscribir un ćırculo
y circunscribir otro. Damos una definición para este tipo de figuras.
Definición 2.3.1 (Cuadrilátero Bicéntrico). Si el �ABCD es tal que se le pue-
de inscribir una circunferencia y circunscribir otra, entonces es llamado cua-
drilátero bicéntrico.
El siguiente paso es describir de manera más general cómo debe ser el
�ABCD para ser bicéntrico. Esto lo consignamos en el siguiente:
Teorema 2.3.2. Un cuadrilátero, circunscrito en una circunferencia, es ćıclico
si y sólo si las ĺıneas que unen los puntos de contacto de lados opuestos son
perpendiculares entre śı.
Demostración. Sea �A1A2A3A4 circunscrito en una circunferencia, como en la
Figura 2.24. Sean B1, B2, B3 y B4 los puntos en los que los lados A1A2, A2A3,
A3A4 y A4A1 tocan a la circunferencia. Supongamos que B1B3 y B2B4 se cor-
tan perpendicularmente en M . Debemos mostrar que �A1A2A3A4 es ćıclico,
para tal efecto, probaremos que ∠A3A2A1 + ∠A1A4A3 = α + β = π. Como
∠B4B1M es recto por hipótesis, entonces ∠MB1B4 + ∠B1B4M = δ + γ =
π
2 .
El ∠A2B1B2 = ǫ es semiinscrito y abarca el mismo arco que γ, luego ǫ = γ.
Del mismo modo ∠B3B4A4 = ω = δ. Por otro lado, △B1A2B2 y △B3A4B4 son
isósceles pues dos de sus lados son las tangentes desde un punto a la circunfe-
rencia. Con esto α+2ǫ = π y β +2ω = π. Sumamos y sustituimos para obtener
α + β = π y, por lo tanto, �A1A2A3A4 es ćıclico. Inversamente, si suponemos
2.3. CUADRILÁTERO BICÉNTRICO. 39
B3
B4
B1
B2
A1
A2 A3
A4
M
α
β
γ
δ
ǫ
ǫ
ω
ω
Figura 2.24:
que α + β = π, entonces α + β + 2(δ + γ) = 2π. Despejamos para obtener
δ + γ = π2 y, por lo tanto, B1B3 y B2B4 son perpendiculares.
Definición 2.3.3. El �ABCD es llamado ortodiagonal si sus diagonales son
perpendiculares entre śı
En la Figura 2.24 tenemos que el �B1B2B3B4 ćıclico es ortodiagonal. Una
consecuencia del teorema anterior se expresa en términos de este cuadrilátero
ortodiagonal.
Corolario 2.3.4. Si el �ABCD es ćıclico y ortodiagonal, entonces el cua-
drilátero formado con las tangentes a la circunferencia por sus vértices es bicéntri-
co.
Daremos enseguida un criterio que caracteriza a los cuadriláteros ortodiago-
nales.
Proposición 2.3.5. El �ABCD es ortodiagonal si y sólo si la suma de los
cuadrados de un par de lados opuestos es igual a la suma de los cuadrados del
otro par de lados opuestos.
Demostración. En el �ABCD sean E la intersección de AC y BD, α = ∠AEB
y β = ∠DEA, como en la Figura 2.25. Como α + β = π, entonces cosβ =
− cosα. Teniendo esto en cuenta, aplicamos la Ley de Cosenos a △EAB, △ECD,
△EBC y △EDA:
AB2 = BE2 + AE2 − 2BE · AE cosα
CD2 = CE2 + DE2 − 2CE · DE cosα
40 CAPÍTULO 2. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS Y CIRCUNSCRITOS.
C
D
A B
E
α
β
Figura 2.25:
BC2 = BE2 + CE2 + 2BE · CE cosα
DA2 = DE2 + AE2 + 2DE · AE cosα
Si les cambiamos los signos a las dos primeras igualdades y sumamos las
cuatro, obtenemos:
BC2 +DA2−AB2−CD2 = 2 cosα(BE ·CE +DE ·AE +BE ·AE +CE ·DE)
Como por construcción 0 < α < π, entonces el lado derecho de la igualdad
anterior es cero si y sólo si α = π2
Las siguientes dos proposiciones relacionan cuadriláteros ćıclicos con circuns-
critos.
Proposición 2.3.6. Si el �A1A2A3A4 está circunscrito en una circunferencia
y B1, B2, B3 y B4 son los puntos en los que los lados A1A2, A2A3, A3A4 y
A4A1 tocan a la circunferencia, entonces las diagonales de �A1A2A3A4 y de
�B1B2B3B4 son concurrentes en un punto M
B3
B4
B1
B2
A1
A2 A3
A4
M
Figura 2.26:
Demostración. Sea M la intersección de A2A4 y B1B3. En la Proposición 2.1.16,
calculamos el área de un triángulo en función de dos lados y el ángulo com-
prendido entre ellos. Teniendo esto en cuenta, podemos expresar el cociente de
2.3. CUADRILÁTERO BICÉNTRICO. 41
A△A4B3M y A△A2B1M como:
A△A4MB3
A△A2MB1
=
B3M · MA4
B1M · MA2
(2.51)
Por otro lado, como ∠A4B3M = ∠MB1A1 por ser B1B3 la cuerda que origi-
nan las tangentes B1A1 y B3A4. Además, ∠A2B1M + ∠MB1A1 = π por lo
que sen(∠A2B1M) = sen(∠MB1A1). Con esto podemos expresar el cociente
anterior como:
A△A4MB3
A△A2MB1
=
B3M · A4B3
B1M · A2B1
(2.52)
De (2.51) y (2.52) tenemos
MA4
MA2
=
A4B3
A2B1
(2.53)
Esto último significa que M divide al segmento A2A4 en la razón
A4B3
A2B1
.
Sea N la intersección de A2A4 y B2B4. Si procedemos exactamente de la
misma forma llegamos a que N divide al segmento A2A4 en la razón
B4A4
B2A2
. Como
B4A4 = A4B3 al ser las tangentes desde A4 y B2A2 = A2B1, obtenemos que
M y N dividen a A2A4 en la misma razón y, consecuentemente, son el mismo
punto. Por lo tanto, la diagonal A2A4 pasa por la intersección de las diagonales
B1B3 y B2B4. Si repetimos el proceso pero ahora con la diagonal A1A3 llegamos
a que también pasa por la intersección de B1B3 y B2B4. Con esto, las cuatro
diagonales concurren en M .
Proposición 2.3.7. En el �ABCD convexo, sea O la intersección de sus dia-
ginales AC y BD, sean K, L, M y N los pies de las perpendiculares desde O
a AB, BC, CD y DA. En estas condiciones �ABCD es ćıclico si y sólo si
�KLMN es circunscrito.
C
D
A B
O
K
L
M
N
Figura 2.27:
Demostración. Primero supongamos que �ABCD es ćıclico para probar que
�KLMN es circunscrito. Es claro que �OKBL, �OLCM , �OMDN y �ONAK
42 CAPÍTULO 2. CUADRILÁTEROS CÍCLICOS Y CIRCUNSCRITOS.
son todos ćıclicos. Como �ABCD también lo es por hipótesis, entonces podemos
escribir lo siguiente:
∠ONM = ∠ODM = ∠BDC = ∠BAC = ∠KAO = ∠KNO
Esto significa que O está en la bisectriz del ∠KNM . Del mismo modo se prueba
que O está en las tres bisectrices restantes con lo que éstas concurren en O y,
en consecuencia, �KLMN está circunscrito en una circunferencia de centro O.
Ahora supongamos que �KLMN es circunscrito y probemos que �ABCD
es ćıclico. Para tal efecto, veremos que en estas condiciones las diagonales AC
y BD se cortan en O que es el centro de la circunferencia inscrita a �KLMN .
Tenemos que ∠OBK = ∠OLK pues �OKBL es ćıclico, ∠OLK = ∠MLO pues
LO es bisectriz de ∠MLK y ∠MLO = ∠MCO. Con esto obtenemos ∠KOB =
∠COM . Del mismo modo, ∠AOK = ∠MOD. Por lo tanto, ∠AOB = ∠COD.
Similarmente, ∠BOC = ∠DOA. Como ∠AOB + ∠COD + ∠BOC + ∠DOA =
2π, tenemos que ∠BOC + ∠COD = π. Por lo tanto, BD y AC se cortan en O.
Ahora probemos que �ABCD es ćıclico. Del �OKBL, ∠BKL = ∠BOL.
Por otro lado, ∠LKO = ∠OKN por ser OK bisectriz. Se sigue que ∠BKL =
∠NKA. Por lo tanto, ∠BOL = ∠NKA. Del mismo modo, ∠MOD = ∠ANK.
Con esta información obtenemos que ∠LOM = ∠KAN pero como ∠LOM +
∠MCL = π, entonces ∠KAN + ∠MCL = π y, en consecuencia, �ABCD es
ćıclico al tener un par de ángulos opuestos suplementarios.
La siguiente igualdad que estableceremos relaciona el circunradio, el inradio
y la distancia entre éllos en un cuadrilátero bicéntrico. Es debida a Nicolaus Fuss
(1755-1826) quien fue estudiante y amigo de L. Euler. Fuss también estableció las
fórmulas correspondientes para pentágonos, hexágonos, heptágonos y octágonos
bicéntricos. Antes de entrar de lleno en este resultado, veremos una propiedad
elemental conocida como potencia de un punto con respecto a una circunferencia.
Definición 2.3.8. Dada C(O, r) y un punto P en el plano, definimos la po-
tencia de P con respecto a C(O, r) como el producto ω = PA · PB, donde A y
B son los puntos en los que una secante desde P toca a C(O, r).
A partir de la anterior definición, vemos que P puede estar dentro, sobre o
fuera de la circunferencia. Si le asignamos sentido a los segmentos, es decir, si
consideramos segmentos de magnitud positiva o negativa, entonces resulta claro
que la potencia de P con respecto a C(O, r) es negativa, cero o positiva según
P esté dentro, sobre o fuera de ella. En la Figura 2.28 está representado del
lado izquierdo la potencia positiva y del derecho, la negativa.
Proposición 2.3.9. La potencia de P es independiente