z MOVIMIENTO_ONDULATORIO_Compendio - Javier Palacios

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 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS y ÓPTICA FÍSICA 
 
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I.2 Movimiento Ondulatorio 
 
 Introducción: 
 
Cuando estudiamos las leyes de la reflexión y de la refracción a través de la 
óptica  geométrica, vimos que los fenómenos ópticos a gran escala pueden 
explicarse mediante rayos luminosos (aplicación de la teoría corpuscular). Pero 
cuando se estudian fenómenos en pequeña escala, se aprecian detalles para 
los cuales resulta necesaria una interpretación ondulatoria. La mayoría de 
estos detalles no son de observación habitual, pero se hacen evidentes cuando 
examinamos, por ejemplo, la luz que pasa por rendijas estrechas o que se 
refleja en superficies rayadas. 
A los fenómenos ópticos que requieren de la teoría  ondulatoria para su 
explicación, se los incluye dentro de la óptica física (que forma parte de este curso), 
la cual estudia las interacciones entre haces luminosos y entre luz y materia. 
Finalmente, si los fenómenos ópticos tienen lugar a escala atómica, es preciso 
hacer uso de la teoría cuántica para explicarlos de modo riguroso. 
Cabe aclarar que la teoría ondulatoria es apta para estudiar los fenómenos de 
reflexión y refracción, como así también la teoría cuántica es apta para 
estudiar los fenómenos ondulatorios. 
Cuando estudiamos la luz como fenómeno ondulatorio, sabemos que podemos 
generalizar nuestras conclusiones para el conjunto de las ondas 
electromagnéticas. 
 
 Propiedades Comunes de las Ondas: 
 
La noción de onda es familiar a la mayoría de la gente. Cuando se deja caer 
una piedra en un estanque, las ondulaciones del agua se alejan radialmente; al 
tocar el piano vibran las cuerdas y las ondas sonoras se desplazan a través del 
el aire; las imágenes de la televisión se forman mediante la decodificación de 
 
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señales transportadas por ondas electromagnéticas moduladas. 
Todos los movimientos ondulatorios tienen dos características comunes: a) 
propagan energía hacia puntos distantes; b) la perturbación marcha a través 
del medio, sin que éste sufra ningún desplazamiento. Las ondulaciones del 
estanque se desplazan llevando energía, pero el agua no viaja con las ondas 
(un objeto flotante no cambia de lugar). 
Las ondas que se forman en la superficie del agua son útiles para analizar las 
características más importantes de cualquier movimiento ondulatorio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si las ondas se propagan en la dirección x y la oscilación y es vertical, una 
imagen instantánea de su perfil viene representada en la figura 10 por la curva 
de trazo continuo. Sea y   f  x la ecuación de esta curva. 
Si el perfil de la onda se desplaza en la dirección   x con una velocidad 
constante v, luego de un intervalo Δt la ordenada y1 habrá avanzado hacia la 
derecha una distancia Δx   v Δt, encontrándose en y’1. Esto se verifica para 
una función del tipo y   f  x – v t , ya que para los dos instantes t y t   Δt se 
tiene: y1   f  x – v t          e        y’1   f  x   Δx  – v t   Δt        
Si se sustituye Δx  por v Δt, resulta y’1    y1, cumpliéndose la condición exigida. 
En el instante t   Δt la onda ocupa la posición de la línea de trazos. 
La ecuación general de cualquier movimiento ondulatorio transversal en un 
plano es: 
 
correspondiendo el signo al caso en que la onda se desplaza hacia la 
PROPAGACIÓN DE ONDAS EN EL AGUA 
figura 10 
y   f  x ± v t (1) 
 
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izquierda, o sea en la dirección – x. Esta ecuación es la solución de la llamada 
ecuación de onda: 
 
 
La ecuación vista representa el avance del perfil de la onda en función del 
tiempo y determina que cualquiera que sea la forma inicial, en el instante t 
será la misma, pero desplazada una distancia vt. Esto no significa que las 
partículas del medio se hayan desplazado con la onda, puesto que lo único que 
se desplaza continuamente es el perfil de la misma, limitándose las partículas a 
oscilar alrededor de su posición de equilibrio. 
La figura 10 sólo representa un corte longitudinal perpendicular a las crestas de 
las ondas. Las ondas completas se extienden en el plano xz y sus puntos más 
elevados están alineados, ya que en la ecuación vista el desplazamiento y es 
independiente de z. 
Si consideramos ahora ondas tridimensionales en lugar de superficiales, tales 
como las sonoras (∗) o las sísmicas, podremos aplicar las mismas ecuaciones. 
En este caso, el lugar geométrico correspondiente a desplazamientos iguales 
será un plano y hablaremos de ondas planas. 
(∗) las ondas sonoras en el aire (medio gaseoso) son longitudinales, pero las ondas 
 sonoras que se transmiten en un metal o una cuerda son transversales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación diferencial en derivadas 
parciales para una onda que se 
propaga a lo largo del eje x 
∂ y
∂ t
v
∂ y
∂ x
 
PRODUCCIÓN 
 DE 
ONDAS 
TRANSVERSALES 
EN UN 
SÓLIDO 
ELÁSTICO 
figura 11 
 
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Las ondas planas pueden producirse, por ejemplo, en un bloque de una 
sustancia elástica como el de la figura 11. Sujetando una lámina a una de las 
superficies del bloque y comunicándole un movimiento periódico en su propio 
plano, se originarán ondas planas en dicho bloque. Estas ondas estarán 
representadas por las ecuaciones que hemos visto, siempre que la 
perpendicular a los frentes de onda sea paralela al eje x. 
Si queremos generalizar las ecuaciones para que representen ondas planas que 
se propagan en cualquier dirección, basta sustituir x por la expresión: 
 l x   m y   n z 
donde l, m y n son los cosenos directores de tal dirección para los ejes x, y y z. 
 
Un manantial luminoso suficientemente pequeño, genera ondas esféricas en 
vez de planas. Como la curvatura disminuye con la distancia, puede suponerse 
que las ondas son planas a una distancia suficientemente grande del 
manantial. 
Un procedimiento usual para obtener ondas luminosas planas,consiste en situar un 
manantial puntual en el foco objeto de una lente o de un espejo. En la práctica, el 
manantial nunca es un punto matemático y el haz luminoso se compone en realidad 
de muchas ondas planas ligeramente inclinadas entre sí y procedentes cada una de un 
punto distinto de dicho manantial. Para minimizar este defecto, en los laboratorios 
normalmente se emplea como manantial un pequeño orificio iluminado, cuyo diámetro 
es extremadamente reducido. 
 
 Ondas Sinusoidales: 
 
El tipo más sencillo de onda es aquella cuya ecuación está conformada por un 
seno o un coseno. Las partículas individuales están sometidas en este caso a 
un movimiento armónico simple. 
Consideremos ondas transversales en las que los movimientos de las partículas 
son movimientos perpendiculares a la dirección de propagación. Los 
desplazamientos instantáneos y pueden expresarse por la siguiente ecuación: 
         2 /λ 
 
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En la figura 12 se representa la gráfica correspondiente a esta expresión, en 
donde a es la amplitud de onda y λ la longitud de onda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para representar la onda tanto en el tiempo como en el espacio, es decir, para 
hacerla móvil, introducimos el tiempo tal como se hizo en la ecuación (1), 
resultando: 
 
 
Este perfil se desplazará en el sentido positivo de las x con una velocidad v. 
Cualquier partícula tal como la P de la figura, cuando la onda avanza, ocupa 
sucesivamente las posiciones P, P’, P’’, etc. El tiempo empleado en una 
vibración completa es el período T, y su inversa, número de vibraciones por 
segundo, es la frecuencia f. Es decir: 
   
λ
     λ 
Si escribimos la ecuación (2) en función de la pulsación ω   2πf y del número 
de propagación    2π/λ , tenemos: 
           ω          ω  –     π          ω  –    
π
2
  
La constante aditiva del paréntesis tiene poca significación física, pues puede 
eliminarse mediante una elección adecuada del origen de tiempos: 
 
 
figura 12 
PERFIL DE UNA ONDA SINUSOIDAL EN EL INSTANTE t = 0 
2
λ
 
(2)
2
λ
 
 
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Estas ecuaciones representarán la onda de la figura 12, si la curva se inicia en 
los instantes t = T/4 o t = T/2, respectivamente, en lugar de t = 0.  
Un haz luminoso al cual le sean aplicables las ecuaciones anteriores, tiene las 
siguientes características: a) es perfectamente paralelo; b) es absolutamente 
monocromático, por tener una longitud de onda perfectamente definida; c) 
está polarizado linealmente, puesto que las vibraciones se producen en un 
plano único que pasa por la dirección de propagación. Este tipo de luz es una 
idealización imposible de realizar en la práctica, especialmente en lo que se refiere a su 
carácter monocromático. No obstante, en muchos casos se obtiene una aproximación bastante 
cercana a esta idealización. 
 
 Fase y Diferencia de Fase: 
 
En una onda plana, el movimiento vibratorio de cualquier punto del sistema es 
idéntico si se exceptúa su fase. Ésta está representada por la magnitud entre 
paréntesis de la ecuación (3) y nos indica la fracción de vibración completa que 
ha ejecutado la partícula en un instante dado. 
En una vibración completa, la fase aumenta en 2π. Dando a t un valor 
particular, vemos que la fase varía a lo largo de la onda proporcionalmente a x. 
La diferencia de fase en cualquier instante entre dos partículas situadas en x2 y 
x1, es: 
 
en donde Δ se llama diferencia de camino. 
El valor absoluto de la fase es imposible de medir en la práctica, máxime en el 
caso de la luz, pero tampoco resulta necesario. Lo que tiene importancia es la 
diferencia de fase, la cual puede medirse con gran precisión. 
Si un haz de luz monocromática es dividido en otros dos mediante reflexión 
parcial (o cualquier otro método) y luego de efectuar distintos recorridos se les 
δ    
2π
λ
Δ 
(3) 
  ω – 
   ω – 
 
 
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hace coincidir en un punto (superponiéndolos), la intensidad luminosa resultante 
depende en gran parte de la diferencia de fase exacta entre ambos trenes de 
ondas. Esta diferencia está determinada por las distancias recorridas por cada 
una de las ondas. La designación “diferencia de camino Δ”, indica que lo que 
interesa es la diferencia entre dos ondas separadas y no entre dos puntos de 
una misma onda. 
En el caso descripto, puede ocurrir que las trayectorias de las ondas se realicen 
en sustancias en las cuales la velocidad de la luz difiera de la que tiene en el 
vacío (o en el aire). Para calcular en este caso diferencias de fase, no se utiliza el 
recorrido geométrico real sino el camino óptico, que es el “producto de la 
distancia por el índice de refracción n de la sustancia” (esto deriva de que la 
velocidad de la luz es 1/n veces menor en el medio más denso). 
En consecuencia, si se desea obtener el camino equivalente en el vacío, o sea 
la distancia que recorrería la luz en el vacío en el mismo tiempo, se utilizará el 
camino óptico en lugar del geométrico. Para ello se aplicará la siguiente 
expresión: 
 
 
 
 
Las sumatorias representan los caminos ópticos totales de los dos haces 
luminosos anteriormente mencionados. 
 
 Velocidad de Fase o de Onda: 
 
La velocidad con que se desplaza la cresta de una onda se suele denominar 
velocidad de onda, aunque a veces se utiliza el término más preciso de 
velocidad de fase. Esta magnitud es idéntica a la velocidad v    vista en las 
ecuaciones anteriores v     λ/T     f λ   y se demuestra calculando la derivada de 
x respecto al tiempo, con la condición de fase constante. Usando la expresión 
de la fase en la ecuación (3), dicha condición se convierte en: 
δ     
2π
λ
Σ Σ (4) 
   δ   2π/λ  ó 
 
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 ωt – kx      constante 
y lavelocidad de onda es: 
 
 
 Sustituyendo ω   2πf y k   2π/λ , se obtiene la ecuación v   f λ . 
Para una onda que se desplaza hacia las x negativas, la fase constante toma la 
forma ωt   kx  y entonces         ω/  . 
El coeficiente ω/ para un tipo dado de ondas depende de las propiedades 
físicas del medio en que éstas se desplazan y, en general, también de la 
misma pulsación ω. 
En las ondas elásticas transversales, la velocidad de la onda es independiente de la frecuencia 
y viene dada por:     ⁄ (siendo N el módulo de rigidez y ρ la densidad). 
Por el hecho de poder polarizarse, se sabe que las ondas luminosas son transversales. 
Además, las mediciones revelan que su velocidad en el vacío es aproximadamente de 300.000 
km/s. Si se supone que son ondas elásticas (como se creía en el siglo XIX), se plantea la 
cuestión de cuál es el medio en que se propagan. Dado que la velocidad es tan grande, la 
ecuación anterior requeriría que el cociente entre la rigidez y la densidad fuera también muy 
grande. En la primitiva “Teoría del Sólido Elástico”, se supuso la existencia de un medio con 
ésas propiedades llamado “éter”. Esta hipótesis tenía muchas objeciones; por ejemplo, si su 
rigidez era tan elevada debía tener gran resistencia a las deformaciones, pero no se detectaba 
que el éter produjera efecto alguno en el movimiento de los cuerpos celestes. 
Todas las dificultades desaparecieron al desarrollar Maxwell la Teoría Electromagnética de la 
Luz, en la cual se reemplaza el desplazamiento mecánico de un elemento del medio por la 
variación de un campo eléctrico en el punto correspondiente. 
Hay un gran paralelismo entre ambas teorías. La primera consiguió explicar importantes 
propiedades de la luz y gran parte de su formulación matemática inicial pudo ponerse sin 
dificultad en términos electromagnéticos. Por lo tanto, con frecuencia hallamos analogías 
mecánicas útiles para comprender el comportamiento de la luz. 
 
 Amplitud e Intensidad: 
 
Se denomina intensidad de una onda a la “cantidad de energía que fluye, en la 
unidad de tiempo, a través de la unidad de área perpendicular a la dirección de 
propagación”. 
ω
 (5) 
 
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Si la onda fluye continuamente con velocidad v, existe una densidad de 
energía definida o energía total por unidad de volumen. Toda la energía 
contenida en una columna del medio de sección unidad y longitud v, pasará 
por la unidad de área en un segundo. Por lo tanto, la intensidad es igual al 
“producto de v por la densidad de energía”. 
Tanto la intensidad como la densidad de energía son proporcionales al 
cuadrado de la amplitud y la frecuencia. Para demostrar esto en el caso de 
ondas sinusoidales en un medio elástico, basta con determinar la energía 
vibratoria de una sola partícula que efectúa un movimiento armónico simple. 
Consideremos por ejemplo una partícula en el punto P de la figura 12. En esta 
posición está moviéndose hacia arriba y posee simultáneamente energía 
cinética y potencial. En la posición P´, tendrá energía cinética nula y energía 
potencial máxima. Al descender, ganará energía cinética y perderá energía 
potencial, de modo que su energía total permanezca constante. En la posición 
P´´, toda su energía será cinética. Podemos por lo tanto calcular su energía 
total como la potencial máxima que tiene en P´ o como la cinética máxima que 
tiene en P´´. Adoptamos esta última por ser la más sencilla. 
De acuerdo con la ecuación (3), el desplazamiento de una partícula varía con el 
tiempo según la relación: 
   
Su velocidad es: 
 
Cuando y    0, el seno se anula y el coseno es máximo. En este caso, la 
velocidad máxima es ω a. La energía cinética máxima será entonces: 
 
 ½      á     ½   ω 
 
Como ésta es también la energía total de la partícula y es proporcional a la 
energía por unidad de volumen, concluimos que: 
 
 
 
ω ω α 
y     sen  ωt  α                      donde α   kx 
la densidad de energía es proporcional a ω2 a2 (6)
 
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La intensidad, que es v veces esta magnitud, será también proporcional a ω2 a2. 
En las ondas esféricas, la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado 
de la distancia al manantial puntual (siempre que no haya conversión de energía en 
otras formas, pasará la misma cantidad de energía por cualquier esfera cuyo centro esté en el 
manantial). Como el área de una esfera es proporcional al cuadrado de su radio, 
la energía por unidad de área a una distancia r del manantial (o sea la intensidad) 
variará como 1/r2. Por lo tanto, la amplitud variará como 1/r. Podemos 
entonces escribir la ecuación de una onda esférica en la forma: 
 
 
Si parte de la energía se transforma en calor, es decir, si hay absorción, la 
amplitud e intensidad de las ondas planas no será constante, sino que 
disminuirán a medida que avanzan en el medio. Análogamente, para las ondas 
esféricas la pérdida de intensidad es más rápida que la requerida por la ley de 
proporcionalidad inversa al cuadrado de la distancia. 
En las ondas planas, la fracción dI/I de la pérdida de intensidad al atravesar un 
espesor infinitesimal dx, es proporcional a dx : 
 
Para obtener la pérdida total en un espesor finito x, integramos: 
        
Resolviendo estas integrales definidas, se obtiene: 
 
 
Esta expresión se denomina ley exponencial de la absorción. En la figura 13 se 
representa la intensidad de acuerdo con esta ley, en función del espesor de un 
medio absorbente cuyo α = 0,4 cm−1. La intensidad de la luz solar es de 
aproximadamente 1.400 W/m2. Pero no todo este flujo de energía afecta visualmente al ojo ni 
la intensidad así definida corresponde necesariamente a la sensación de brillo; por ello, el flujo 
de energía luminosa se expresa normalmente en otras unidades llamadas fotométricas. La 
amplitud de un manantial de luz solar cuya intensidad es la anteriormente mencionada, 
representa un campo eléctrico de 730 V/m junto con un campo magnético de 2,4 μT. 
y     a/r  sen  ω t   k r (7) 
dI/I = − α dx 
 (8) 
 
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La amplitud de las ondas luminosas siempre decrece rápidamente al aumentar 
la distancia recorrida. Sólo en el caso de ondas planas en el vacío, como las de 
la luz de los astros, es aproximadamente constante. Para las distancias propias 
del laboratorio, puede despreciarse la absorción del aire. 
 
 Frecuencia y Longitud de Onda: 
 
La frecuencia de una onda (f ) es la misma que la del manantial vibrante que le 
da origen. La longitud de onda (λ) en un medio dado, está determinada por la 
velocidad en él y, según la ecuación v   f λ, se obtiene dividiendo la velocidad 
por la frecuencia. Al pasar de un medio a otro, la longitud de onda cambia en 
igual proporción que la velocidad, mientras que la frecuencia permanece 
constante e inalterable. 
Recordando que un frente de onda representa una superficie sobre la cual la 
fase es constante, resulta claro que, independientemente de cualquier cambio 
de velocidad, dos frentes de onda diferentes están separados por un cierto 
número de ondas. Como las longitudes de onda son proporcionales a las 
velocidades, cuando la luz pasa del vacío (longitud λ y velocidad c) a otro medio 
(longitud λm y velocidad v), se tiene: 
 
 
figura 13 
DISMINUCIÓN DE LA INTENSIDAD EN UN MEDIO ABSORBENTE 
(índice de refracción) (9) 
λ
λ
 
 
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En consecuencia, el camino óptico correspondiente a una distancia d en 
cualquier medio, es: 
 
 
En óptica y espectroscopia, se acostumbra referir la longitud de onda de una 
radiación o raya espectral particular, a la que tiene en el aire en condiciones 
normales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En las ondas sonoras se produce un cambio de longitud de onda cuando el manantial se 
traslada. Las ondas emitidas en la dirección del movimiento se acortan y las de dirección 
opuesta se alargan. Como las ondas no cambian de velocidad, un observador estacionario 
percibe una frecuencia mayor (longitud de onda menor) o menor (longitud de onda mayor) que la 
del manantial. Este fenómeno se conoce como efecto Doppler y es de fácil observación en el 
caso del sonido por los cambios de tono. 
Esta propiedad puede aplicarse para calcular la velocidad de los cuerpos celestes en función de 
los cambios de color de la luz procedente de los mismos. Dada la extraordinaria velocidad de la 
luz, un cambio apreciable de color requeriría velocidades enormes de los cuerpos en la 
dirección de observación. Para la mayoría de las estrellas estas velocidades oscilan alrededor 
de 30 km/s, mientras que la velocidad de la luz es de aproximadamente 300.000 km/s. En 
consecuencia, los cambios de frecuencia son muy pequeños. Supongamos que la tierra se 
   
λ
λ
 
número de longitudes de onda en 
dicha distancia, multiplicado por (10) 
la longitud de onda en el vacío 
figura 14 
Las longitudes de onda del espectro visible 
(figura 14) están comprendidas entre 800 
nm (rojo lejano) y 400 nm (violeta 
extremo). La radiación cuya longitud es 
inferior a la visible se denomina ultravioleta 
y se extiende hasta los 5 nm. 
Entre esta longitud y 6 x 10−4 nm (1.000.000 
de veces más pequeñaIque la longitud media de la 
luz) se encuentran los rayos X. Aún más 
cortos que éstos son los rayos gamma, 
emitidos por las sustancias radiactivas. 
En el lado de las longitudes más largas del 
espectro visible está el infrarrojo, que 
empalma con las microondas con una 
longitud de onda de 6 x 105 nm (1.000 veces 
más grande que la longitud media de la luz). Por 
debajo de éstas se encuentran las ondas de 
radio y televisión. 
Los límites de separación entre las distintas 
regiones del espectro son puramente 
formales y han sido fijados de manera 
aproximada, ya que las propiedades 
inherentes a dos regiones se superponen. 
La radiación visible (luz) cubre una fracción 
casi insignificante del intervalo total. 
 
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mueve con una velocidad u hacia una estrella fija. Un observador recibiría u/λ ondas 
suplementarias sobre el número c/λ que le alcanzarían si estuviese en reposo. La frecuencia 
aparente sería: 
 
 
Con las velocidades mencionadas, la diferencia con la verdadera frecuencia sería 
aproximadamente del 1 º/ºº. No obstante, un buen espectroscopio es capaz de detectar y medir 
esta diferencia por el desplazamiento de las líneas espectrales. Por tal motivo, este método es 
el que se usa frecuentemente para medir las velocidades de las estrellas y de las galaxias. En 
el caso de estas últimas, en las que las velocidades pueden llegar a miles de km/s, los cambios 
de frecuencia son suficientes para hacer variar apreciablemente el color (pero su lejanía hace 
que sean observables solamente con potentes telescopios). 
 
 Paquetes de Ondas: 
 
Ningún manantial de ondas vibra de un modo indefinido como se requeriría 
para producir una verdadera onda sinusoidal. Normalmente, las vibraciones se 
amortiguan hasta desaparecer o se las interrumpe de alguna forma. En 
consecuencia, se producen grupos de ondas de longitud finita, conformando lo 
que se conoce como paquetes de ondas (figura 15). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entre las características de estos paquetes de ondas, tenemos que su longitud 
de onda no está bien definida. Si se hace pasar el paquete por algún aparato 
que mida tal longitud de onda (red de difracción, por ejemplo), se encontrará que 
están distribuidas en un cierto intervalo Δλ. La intensidad máxima se producirá 
para el valor λ0, pero habrá energía asociada a otras longitudes de onda y la 
intensidad decrecerá a ambos lados de ese valor. 
 
´
λ
1 
EJEMPLO DE UN PAQUETE DE ONDAS 
figura 15 
 
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Cuanto mayor sea el número N de ondas del grupo, menor será la dispersión 
Δλ. Se demuestra que Δλ/λ0 es aproximadamente igual a 1/N. Por lo tanto, 
sólo cuando N es muy grande puede considerarse que la onda tiene una 
longitud definida con precisión. 
Si el medio en el cual se desplaza el paquete es tal que la velocidad depende 
de la frecuencia, se observa que las crestas de las ondas se desplazan con 
velocidad diferente a la del paquete en conjunto (el cual se extiende a medida 
que avanza). Nos encontramos por lo tanto con dos velocidades: la de onda (o 
de fase) y la de grupo. 
En los manantiales luminosos, los átomos radiantes emiten trenes de onda de 
longitud finita. Corrientemente, a causa de las colisiones y de otros debilita- 
mientos, talespaquetes son muy cortos. De acuerdo con lo anteriormente 
mencionado, deducimos que las rayas del espectro no son muy estrechas, sino 
que tienen una anchura apreciable Δλ. Midiendo esta anchura podemos saber 
la longitud media de los paquetes de ondas.