Clase 17 movimiento ondulatorio 2019

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Física 1 Ing. Ricardo Moyano
 
 
 Ondas en medios elásticos 
 Ondas viajeras
 Ecuación de propagación de ondas 
 Ondas longitudinales y transversales
 Velocidad de onda
 Principio de superposición
 Potencia e intensidad en el movimiento ondulatorio
 Reflexión de ondas 
 Ondas complejas. Ondas estacionarias
 Resonancia 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Ondas mecánicas 
Las ondas mecánicas se desplazan por un medio elástico. Al provocar una 
perturbación al medio se origina una onda. La perturbación puede viajar o 
desplazarse por el medio gracias a las propiedades elásticas del medio
Ejemplos:
Las ondas producidas en el agua de un estanque, la onda se propaga desde el 
punto de su inicio pero el agua no.
Las fuerzas entre átomos hacen que se propaguen las ondas mecánicas, cada 
átomo ejerce una fuerza sobre los que lo rodean y a través de ella transmite su 
movimiento a los cercanos 
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Clasificación de las Ondas
Podemos clasificarlas de acuerdo al medio de propagación que requieran:
- Onda Mecánica: es aquella onda que viaja por un material o una sustancia 
que es el medio de la onda
- Onda electromagnética: se pueden propagar sin medio aun en el vacío
Ejemplos: 
- Onda Mecánica: cuerdas, elásticos, sogas, acuática, cuerdas de guitarras
- Onda electromagnética: luz, ondas de radio, rayos X, radiaciones infrarrojas, 
y ultra violeta
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Ondas Mecánicas:
Según la dirección de oscilación de la partículas las ondas pueden ser:
1) Transversales: si su movimiento es perpendicular a la dirección de 
propagación de la onda. Ejemplo: cuerda
2) Longitudinales: si el movimiento de las partículas tiene la misma dirección 
de la propagación de la onda. Ejemplo: resorte horizontal
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Ondas Mecánicas
Pueden clasificarse según se propaguen en una, dos o tres dimensiones:
1) Unidimensionales: son ejemplos ondas que se propaguen en cuerdas y en 
resortes
2) Bidimensionales: ejemplos ondas producidas en las aguas de un lago 
estanques
3) Tridimensionales: ejemplos ondas sonoras y luminosas
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Ondas Mecánicas 
Pueden clasificarse por la forma en que las partículas del medio se desplazan de 
respecto al tiempo:
1) Pulso: una sola onda se produce, las partículas permanecen en reposo 
hasta que el pulso llegue a ellas, luego se mueven un breve lapso y despues 
vuelven al reposo
2) Tren de ondas o Impulso: es cuando cada partícula presenta un movimiento 
periódico generando un tren de ondas 
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Ondas Viajeras
Se muestra un forma de onda en t=0, consideramos que es la instantánea de un 
pulso que se desplaza por una cuerda. El pulso sigue la dirección positiva de las 
x con una rapidez “v” . En un tiempo mas tarde “t” el pulso habrá recorrido una 
distancia “v.t”
La coordenada y indica el 
desplazamiento transversal
de un punto particular de
la cuerda. Depende de la
posición x y del tiempo t
La forma de la onda :
y (x,0) = f(x)
En el tiempo t suponiendo que
la forma de la onda no cambia, se describe con la misma función
Los dos marcos referenciales están separados una distancia “v.t”, la relación 
entre las coordenadas x en los marcos de referencia es x’ = x – vt
Entonces en el tiempo “t” la onda se describe con:
y(x,t) = f(x’) = f(x - v.t) es la ecuación del pulso que se desplaza hacia 
la derecha o función de onda o pulso
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Si la onda se desplaza hacia la dirección negativa del eje x, lo único necesario es 
reemplazar por “-v” y se obtiene
y(x,t) = f(x’) = f( x + vt) 
Entonces la función f( x - vt) nos indica la coordenada “y” en ese punto en 
función de la posición y el tiempo.
Ecuación de onda 
Se pone como ejemplo el caso de una forma de onda transversal de forma 
sinodal. Si para t=0 se tiene un tren de ondas a lo largo de la cuerda dada por:
y(x,0) = 𝑦𝑚𝑎𝑥 sin(
2𝜋

x)
La forma de la onda aparece en la figura con trazo continuo. Donde el 
desplazamiento máximo recibe el nombre de Amplitud = A, 
Tiempo t=0
Tiempo t
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El valor del desplazamiento transversal “y” es el mismo en cualquier x, que en 
x+, x+2, y así sucesivamente. El símbolo “” representa la longitud de onda e 
indica la distancia entre dos puntos contiguos de la onda que tengan la misma 
fase. 
En un tiempo “t” ,mas tarde, la onda recorrió a la derecha una distancia “v.t” 
(en la figura anterior se representa por la línea de trazos); entonces si la onda se 
propaga en la dirección +x con la rapidez “v” , la ecuación de onda es:
y(x,t) = 𝑦𝑚𝑎𝑥 sin
2𝜋

(x – v.t) 
Se observa que tiene la forma requerida de la onda viajera y(x,t) = f(x - v.t) 
El período es el tiempo necesario para que un punto en determinada 
coordenada x , cumpla un ciclo completo. Durante el tiempo T, la onda recorre 
una distancia “v.T” que corresponde a una longitud de onda “”
  = v . T 
donde la inversa del periodo, es la frecuencia de la onda 
f=1/T unidades ciclos por segundos ó Hertz (Hz) = 𝑠−1
Reemplazando en la ecuación de la onda se tiene: 
y(x,t) = 𝑦𝑚𝑎𝑥 sin(2π (
𝑥

–
𝑡
𝑇
) )
Para reducir la ecuación a una forma mas compacta se introducen 
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dos magnitudes el “número de ondas k” y la “frecuencia angular 𝜔”:
k = 
2𝜋

unidades(rad/m)=𝑚−1 y 𝜔 = 2𝜋 f = 
2𝜋
𝑇
unidades(rad/s)=𝑠−1
Entonces se puede escribir la ecuación de una onda sinodal que sigue la 
dirección positiva de “x”, como:
y(x,t) = 𝑦𝑚𝑎𝑥 sin (k.x – ω. 𝑡 )
La ecuación de una onda sinodal que sigue la dirección negativa de “x” es
y(x,t) = 𝑦𝑚𝑎𝑥 sin (k.x + ω. 𝑡 )
Se hace notar que la rapidez de fase de la onda “v”, que también denominamos 
rapidez de onda se puede escribir de las siguientes formas:
v = .f = 

𝑇
= 
𝜔
𝑘
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Onda senoidal Transversal:
Desplazamiento hacia la derecha
Se muestra la forma de la cuerda
a intervalos de 
1
8
de período
Los puntos indicados representan 
partículas de la cuerda cuyas 
coordenadas “x“ difieren en la 
longitud de onda “”
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Velocidad transversal de una partícula
Se observa que el movimiento de una partícula en una onda transversal, como 
el de la siguiente figura, se da en la dirección “y”, siendo la dirección del 
desplazamiento de la onda en el eje x 
Para calcular la velocidad transversal “𝑣𝑦” en un punto x dado, derivamos la 
función de onda y= (x , t) respecto a “t” manteniendo constante “x”, entonces:
Si y(x,t) = 𝑦𝑚𝑎𝑥 sin (k.x − ω. 𝑡 ) reemplazando 𝑦𝑚𝑎𝑥 = A = AMPLITUD
y(x,t) = A sin (k.x − ω. 𝑡 )
Derivando
𝑣𝑦 =
𝑑𝑦(𝑥,𝑡)
𝑑𝑡
= 
𝑑𝑦(A sin (k.x − ω.𝑡 ) )
𝑑𝑡
𝑣𝑦 =  A. 𝜔 cos (k.x − ω. 𝑡 )
La ecuación muestra que la velocidad transversal puede fluctuar entre “-A. 𝜔” y 
“+A. 𝜔”, según el lugar y el tiempo en que es observada
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La aceleración transversal de la partícula en el punto x, se puede calcular:
𝑎𝑦(𝑥, 𝑡) = 
𝑑2𝑦(𝑥,𝑡)
𝑑𝑡2
= 
𝑑2(A sin (k.x − ω.𝑡 ))
𝑑𝑡2
𝑎𝑦(𝑥, 𝑡) = - A 𝜔
2 sin (k.x – ω. 𝑡 )
Que es equivalente a 𝑎𝑦(𝑥, 𝑡) = - 𝜔
2 y
La ecuación de la aceleración significa que las partículas de la cuerda 
experimentan un movimiento armónico simple transversal, al pasar las ondas 
sinodales.
Debe recordarse la diferencia entre la velocidad “v” de la onda y la velocidad 
transversal 𝑣𝑦 de la partícula.
La rapidez de onda depende de las propiedades del medio y no de las de la 
onda; por el contrario la velocidad transversal de la partícula dependede las 
propiedades de la onda, entre ellas la amplitud y frecuencia. Una partícula en 
cierto instante puede tener 𝑣𝑦=0 y en otro instante puede estar moviéndose 
con la velocidad transversal máxima. 
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Fase y constante de fase:
En las ecuaciones se supuso que el desplazamiento y=0 en la posición x=0
durante el tiempo t=0.
Por supuesto no es así necesariamente. 
La expresión general de la onda sinodal viajera en la dirección positiva de x es:
y(x,t) = 𝑦𝑚𝑎𝑥 sin (k.x – ω. 𝑡 − φ )
Se debe distinguir que el argumento de la función seno recibe el nombre de 
fase de la onda y es la expresión Fase = k.x – ω. 𝑡 − φ
El Angulo φ se denomina constante de fase, que queda determinada por las 
condiciones iniciales.
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Rapidez de una onda en una cuerda tensa
La rapidez de la onda depende de las propiedades del medio, es decir depende 
de la elasticidad del medio y de su inercia que evita que la cuerda regrese 
instantáneamente al equilibrio.
Realizamos un análisis dimensional, relacionando la tensión o fuerza de la 
cuerda y la densidad lineal de masa de la cuerda.
magnitudes fundamentales M – L – T 
Fuerza(tensión) F : M.L.𝑇−2
Densidad lineal 𝜇 : masa/longitud : M.𝐿−1
𝐹
𝜇
= 
M.L.𝑇−2
M.𝐿−1 = 𝐿
2 𝑇−2
Pero si la velocidad es v = L.𝑇−1
Entonces 
𝐹
𝜇
= 𝑣2
Despejando la velocidad se obtiene v = 
𝐹
𝜇
La ecuación obtenida da la rapidez de la onda mecánica que se desplaza en un 
hilo o cuerda tensa.
F : fuerza que tensa la cuerda, que hace el papel de fuerza de restitución
𝜇: inercia del medio que impide el regreso instantáneo al equilibrio
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Rapidez de una onda en una cuerda tensa
Consideramos una cuerda perfectamente flexible, en la posición de equilibrio la tensión 
es F y la densidad de masa lineal es 𝜇 (masa por unidad de longitud)
Se hará caso omiso del peso de la cuerda, de modo que cuando la cuerda esté en
reposo en la posición en equilibrio forme una línea perfectamente recta 
En el instante t= 0 aplicamos una fuerza constante hacia arriba 𝐹𝑦 al extremo izquierdo de 
la cuerda, siendo el efecto poner sucesivamente mas masa en movimiento. La onda viaja 
con rapidez constante 𝒗 asi que el punto P de división entre las porciones en 
movimiento y estática se mueve con la misma rapidez constante.
Se considera que todas la partículas de la porción en movimiento se mueven hacia arriba 
con velocidad constante 𝒗𝒚 , sin aceleración. Por lo tanto el impulso generado por la 
fuerza 𝑭𝒚 hasta el instante t es de J = 𝑭𝒚. t 
De acuerdo al teorema del impulso y la cantidad de movimiento se tiene que el: Impulso 
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Es igual al cambio en la componente transversal total de la cantidad de movimiento de la 
parte de la cuerda en movimiento, las ecuaciones son: J = 𝑭𝒚. t = ∆𝒑𝒚
𝑭𝒚. t = (m . 𝒗𝒚 - 0)
como el sistema se inició sin cantidad de movimiento inicial 𝑭𝒚. t = m . 𝒗𝒚
Dado que el punto de división P se mueve con rapidez constante , entonces la masa total 
en movimiento es proporcional al tiempo t durante el cual actúo la fuerza. El cambio de 
cantidad de movimiento se asocia únicamente a la cantidad creciente de masa en 
movimiento, es decir m . 𝒗𝒚 cambia porque m cambia, no porque 𝒗𝒚 cambie.
Si observamos el gráfico, en el instante t el extremo izquierdo de la cuerda subió una 
distancia 𝒗𝒚 . t, mientras el punto P de frontera avanzó 𝒗. 𝒕
La fuerza total en el extremo tiene componentes F y 𝑭𝒚, la fuerza horizontal no cambia 
porque no hay ninguna otra fuerza horizontal no balanceada. 
En la posición desplazada la tensión es (𝐹2 + 𝐹𝑦
2)1/2
Aplicando teorema Impulso y la cantidad de movimiento se tiene que el impulso 
transversal = 𝑭𝒚 . t = ∆𝒑𝒚 masa x componente de la velocidad transversal de 𝒗
En la figura el triángulo rectángulo cuyo vértice es P con catetos 𝒗. 𝒕 y 𝒗𝒚 .t es 
semejante al triángulo rectángulo de vértice en la mano y catetos F y 𝑭𝒚
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por relación entre triángulos semejantes se tiene:
𝑭𝒚
F = 
𝒗𝒚 .𝒕
𝒗 .𝒕
 𝐹𝑦 = F . 
𝒗𝒚
𝒗
Por lo tanto el impulso transversal es: 𝐽𝑦 = 𝐹𝑦 . t = F . 
𝒗𝒚
𝒗
. t 
La masa de la porción de la cuerda en movimiento es igual al producto de 𝜇 (densidad 
lineal) y la longitud 𝑣 . 𝑡
La cantidad de movimiento transversal es el producto de esta masa y la velocidad 𝒗𝒚 :
Cantidad de movimiento transversal: (𝜇 𝑣 . 𝑡 ) . 𝒗𝒚
Como el impulso de la fuerza 𝐹𝑦 es igual al cambio total de la cantidad de movimiento 
del sistema, podemos escribir
F . 
𝒗𝒚
𝒗
. t = 𝜇 𝑣 . 𝑡 . 𝒗𝒚
Se despeja 𝑣 F . 
𝒗𝒚
𝒗𝒚
.
t
t
= 𝜇 𝑣 . 𝑣
F = 𝜇 𝑣2
Obteniendose: 𝑣 = 
𝐹
𝜇
ES LA RAPIDEZ DE UNA ONDA TRANSVERSAL EN UNA 
CUERDA TENSA
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Energía, Potencia e Intensidad en el movimiento ondulatorio
Todo movimiento ondulatorio tiene energía asociada a él.
Es decir la onda transfiere energía
La energía total transmitida se expresa por 𝐸𝑇 = ½ K 𝐴
2
Donde K es la constante de la fuerza de restitutiva 
Siendo 𝜔2 = 
𝐾
𝑚
entonces K= ∆m . 𝜔2 y que ∆m = 𝜇. ∆x
reemplazo: ∆ 𝐸𝑇 = ½ ∆m. 𝜔
2𝐴2
∆ 𝐸𝑇 = ½ 𝜇. ∆x . 𝜔
2𝐴2 si hacemos ∆x = v. ∆t
∆ 𝐸𝑇 = ½ 𝜇. 𝜔
2𝐴2. v. ∆t
Por definición la Potencia es el cociente entre la energía transportada (emitida 
o recibida) y el intervalo de tiempo considerado P = 
∆𝐸𝑇
∆t
Por lo tanto la potencia: P = ½ 𝜇. 𝜔2𝐴2. v.
Si consideramos la Intensidad de la onda como la rapidez media con que la onda 
transporta energía por unidad de área, a través de una superficie perpendicular 
a la dirección de propagación de la onda
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Entonces considerando el caso de ondas esféricas donde el área de la esfera 
considerada es A= 4𝜋 𝑟2 entonces la intensidad es I = 
𝑃
4𝜋 𝑟2
En caso de que no se absorbe energía entre las dos esferas de diferentes radios 
la potencia P deberá permanecer constante es decir la misma entre ambas
Así que: 4𝜋 𝑟1
2 𝐼1 = 4𝜋 𝑟2
2 𝐼2
Expresando la ecuación como la Ley del inverso del cuadrado para la Intensidad
Se tiene: 
𝑰𝟏
𝑰𝟐
= 
𝒓𝟐
𝟐
𝒓𝟏𝟐
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