Anual Uni Semana 06 - Trigonometría - Camila Darien

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TRIGONOMETRÍA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Cesar Vallejo
Docente: Rodolfo José Condori 
RAZONES 
TRIGONOMÉTRICAS DE UN 
ÁNGULO AGUDO 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
INTRODUCCIÓN
Las razones trigonométricas son útiles para el 
cálculo de distancias , en carreras como Ing. Civil , 
Ing. Minas ,Ing. Ambiental. Es común en ellas 
utilizar conocimientos de calculo de distancias 
con precisión sobre terrenos o construcciones .
Para dichos cálculos se necesita conocer medidas 
angulares que se obtienen con un instrumento 
llamado Teodolito.
El teodolito es un instrumento de medición 
mecánico-óptico universal que sirve para 
medir ángulos verticales y horizontales, 
ámbito en el cual tiene una precisión 
elevada. Con otras herramientas auxiliares 
puede medir distancias y desniveles.
θ
α
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Razones trigonométricas de un ángulo agudo 
Razón Trigonométrica
Es el cociente que se obtiene al 
dividir las longitudes de dos 
lados de un triángulo rectángulo 
con respecto a un ángulo agudo.
a
c
b
θ
Teorema de Pitágoras
𝑐2= 𝑎2+ 𝑏2
sen 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
= 
𝑎
𝑐
cos 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑏
𝑐
tan 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
=
𝑎
𝑏
Se cumple:
cot 𝜃 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
= 
𝑏
𝑎
sec 𝜃= 
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝜃
= 
𝑐
𝑏
csc 𝜃 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝜃
= 
𝑐
𝑎
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Ejemplo
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Ф
L
15
17
Teorema de Pitágoras
172= 152+ 𝐿2
172 − 152= 𝐿2
64= 𝐿2
8= 𝐿
Hallamos las razones trigonométricas 
para el ángulo Ф
senФ=
8
17
cosФ=
15
17
tanФ=
8
15
cotФ=
15
8
secФ=
17
15
cscФ=
17
8
Se observa que 
existe una relación 
reciproca entre las 
razones 
trigonométricas 
señaladas , por 
ejemplo
senФ cscФ=1
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Aplicación 1
En el gráfico se observa a un ingeniero Civil 
que debe calcular la distancia d , sabiendo 
que el ángulo medido con el teodolito es 
de 13° y los valores de sus razones 
trigonométricas los tenemos en la siguiente 
tabla .
sen13𝑜 0.22
cos13𝑜 0.97
cot13𝑜 4.33
TEODOLITO
13𝑂
d
Resolvemos la siguiente ecuación
cot13𝑜 =
𝑑
80𝑐𝑚 d=346.4cm
4.33 =
𝑑
80𝑐𝑚
A)33.5cm B)346.4cm C)33 cm 
D)33.8cm E)35cm
Resolución
Según los datos que tenemos en 
el gráfico y de la tabla decidimos 
usar la razón cotangente
80cm
Clave B
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Aplicación 2
En el gráfico , halle el valor de 
H= tanθ+ cotθ
a
b
3 𝑎𝑏
θ
A) 9 B) 7 C) 5 D) 3 E)1
Resolución
Nos pide
H= tanθ+ cotθ
Reemplazamos del gráfico de tanθ y cotθ
H= 
𝑏
𝑎
+ 
𝑎
𝑏
H= 
𝑏2 +𝑎2
𝑎𝑏
Aplicamos el teorema de Pitágoras
(3 𝑎𝑏)2= 𝑎2+ 𝑏2
9ab= 𝑎2+ 𝑏2
9ab= 𝑎2 + 𝑏2
ab abab
9= 
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
9 = cotθ+ tanθ
Clave A
H=9
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Aplicación 3
Del gráfico halle la tan
𝜃
2
a
b
c
θ
A)
𝑎
𝑏−𝑐
B) 
𝑎
𝑎−𝑏
C)
𝑎
𝑎+𝑏
D) 
𝑎
𝑏−𝑐
E)
𝑎
𝑐+𝑏
Resolución
θ
a
b
c
c
𝜃
2
𝜃
2
Prolongamos una longitud 
c igual a la hipotenusa
Del gráfico 
tan
𝜃
2
=
𝑎
𝑐+𝑏 CLAVE E
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A TRIANGULOS 
RECTANGULOS NOTABLES
Existen varios triángulos rectángulos notables 
clasificados como exactos y aproximados 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
TRIÁNGULO RECTÁNGULO 
NOTABLE DE 45°
450
450
450
450
a
450
aa a
a
a 2
Ejemplos
3
3
3 2
4
2 2 2 2
Veamos todas sus razones 
trigonométricas
𝟒𝟓𝒐
sen 2
2
cos 2
2
tan 1
cot 1
sec 2
csc 2
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
450
450 450 450
sen45𝑜 =
1
2
Del gráfico
sen45𝑜 =
𝑎
𝑎 2
sen45𝑜 =
2
2
2
2
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
TRIÁNGULO RECTÁNGULO 
NOTABLE DE 30 °y 60°
60𝑂60𝑂
60𝑂
2a 2a
aa
60𝑂
30𝑂
a
2a
a 3
Ejemplos
60𝑂
2 3
2
4 30
𝑂
60𝑂
2 32 3 3
30𝑂
4 3
6
Veamos sus razones trigonométricas
𝟑𝟎𝒐 𝟔𝟎𝒐
sen 1
2
3
2
cos 3
2
1
2
tan 3 3
3
cot 3
3
3
sec 2 3
3
2
csc 2 2 3
3
sen30𝑜 =
𝑎
2𝑎
sen30°= 
1
2
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
TRIÁNGULO RECTÁNGULO NOTABLE 
APROXIMADO DE 37 °y 53°
370
530
Ejemplos
370
530
370530
Veamos sus razones trigonométricas
𝟑𝟕𝒐 𝟓𝟑𝒐
sen 3
5
4
5
cos 4
5
3
5
tan 3
4
4
3
cot 4
3
3
4
sec 5
4
5
3
csc 5
3
5
4
5K
3K
4K
10
6
8
12
15
9
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
En el gráfico , calcule la altura 
de la torre h
10m
Aplicación 1
A) 91.2m B) 27.3m C) 27.8m 
D)32.3m E)10m
Resolución
10m10m
10m
10 3 m
Entonces 
h= 10m+10 3m
h= 10m+10(1.73)m
h= 27.3m
Clave B
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
P R O G R A M A 
A C A D É M I C O V I R T U A L
PROPIEDADES
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
❑ Razones trigonométricas 
reciprocas
Sean θ y α ángulos agudos
sen θ Cscα = 1 ↔ θ=α
tan θ Cotα = 1 ↔ θ=α
cos θ Secα = 1 ↔ θ=α
θ
c
a
b
Del gráfico:
sen θ=
𝑐
𝑎
ᴧ cscθ =
𝑎
𝑐
Si multiplicamos 
ambas razones 
sen θ cscθ =(
𝑐
𝑎
)( 
𝑎
𝑐
) 
sen θ cscθ =1
Análogamente para las demás 
razones trigonométricas se 
cumple
Ejemplos
❖ sen25𝑜csc 25𝑜=1
❖ tan89𝑜cot 89𝑜=1
❖ cos46𝑜sec 46𝑜=1
❖ sen2Фcsc 62𝑜=1 
→
❖ tan40𝑜cot (10𝑜+β)=1 
→
Ф= 31𝑜
β= 30𝑜
❖ Cos(50𝑜 −x)sec10𝑜=1
→ X=40𝑜
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
θ
α
c
a
b
Razones trigonométricas de ángulos 
complementarios
sen θ=cosα ↔ θ+α=90𝑜
tan θ =Cotα ↔ θ+α= 90𝑜
sec θ= cscα ↔ θ+α= 90𝑜
Del gráfico:
sen θ= 
𝑎
𝑐
ᴧ cosα =
𝑎
𝑐
Igualando se verifica que 
sen θ= cosα 
Análogamente con las demás 
razones trigonométricas se 
cumple
Ejemplos
❖ sen35𝑜 =cos 55𝑜
❖ tan72𝑜 =cot 18𝑜
❖ sec42𝑜 =csc 48𝑜
❖ Tan(10𝑜+2x)=cot(55𝑜- x)
10𝑜 + 2𝑥 + 55𝑜 - x = 90𝑜
❖ sen2β=cos3β
→ 2β+3β=90𝑜
𝑥 = 25𝑜
β= 18𝑜
5β= 90𝑜
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Gracias