7 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS_WenceslaoR - Wenceslao Reséndiz

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
DIRECCIÓN GENERAL DE FORMACIÓN Y SUPERACIÓN DOCENTE 
DEPARTAMENTO DE ESCUELAS NORMALES 
ESCUELA NORMAL SUPERIOR PÚBLICA DEL ESTADO DE HIDALGO 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
TRIGONOMETRÍA 
Wenceslao Reséndiz Aguilar 
Razones trigonométricas 
Las razones trigonométricas son relaciones que se establecen entre los lados de un triángulo rectángulo. 
Los lados que forman un triángulo rectángulo son la hipotenusa y dos catetos, que se denominan opuesto y adyacente, 
según la posición que tengan con respecto al ángulo que se considere. 
 
 
Seno 
El seno se define como la razón del cateto opuesto sobre la hipotenusa 
 
 
Coseno 
El coseno se define como la razón del cateto adyacente sobre la hipotenusa 
 
 
Tangente 
La tangente se define como la razón del cateto opuesto sobre el cateto adyacente 
 
 
Cotangente 
La cotangente se define como la razón del cateto adyacente sobre el cateto opuesto 
 
 
 
Secante 
La secante se define como la razón de la hipotenusa sobre cateto adyacente 
 
 
Cosecante 
La cosecante se define como la razón de la hipotenusa sobre el cateto opuesto 
 
 
 
Actividad 1. Usos básicos de las razones trigonométricas 
1. Dados los siguientes triángulos determine todas las funciones trigonométricas y hallar sus ángulos agudos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑆𝑖𝑛 𝐴 =
33𝑚
65𝑚
 
𝐶𝑜𝑠 𝐴 =
56𝑚
65𝑚
 
𝑇𝑎𝑛 𝐴 =
33𝑚
56𝑚
 
𝑐𝑜𝑡 𝐴 =
56𝑚
33𝑚
 
𝑆𝑒𝑐 𝐴 =
65𝑚
56𝑚
 
𝑐𝑠𝑐 𝐴 =
65𝑚
33𝑚
 
 
𝑆𝑖𝑛 𝐵 =
56𝑚
65𝑚
 
𝐶𝑜𝑠 𝐵 =
33𝑚
65𝑚
 
𝑇𝑎𝑛 𝐵 =
56𝑚
33𝑚
 
𝑐𝑜𝑡 𝐵 =
33𝑚
56𝑚
 
𝑆𝑒𝑐 𝐵 =
65𝑚
33𝑚
 
𝑐𝑠𝑐 𝐵 =
65𝑚
56𝑚
 
 𝐴 = sin−1
33𝑚
65𝑚
 
⦛𝐴 = 30º30′36.85" 
 𝐵 = sin−1
56𝑚
65𝑚
 
⦛𝐵 = 59º29′23.15" 
𝑆𝑖𝑛 𝑥 =
28𝑐𝑚
53 𝑐𝑚
 𝑆𝑖𝑛 𝑧 =
45𝑐𝑚
53𝑐𝑚
 
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
45𝑐𝑚
53𝑐𝑚
 𝐶𝑜𝑠 𝑧 =
28𝑐𝑚
53𝑐𝑚
 
𝑆𝑖𝑛 𝑥 =
15𝑢
17𝑢
 𝑆𝑖𝑛 𝑧 =
8𝑢
17𝑢
 
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
8𝑢
17𝑢
 𝐶𝑜𝑠 𝑧 =
15𝑢
17𝑢
 
𝑇𝑎𝑛 𝑥 =
28𝑐𝑚
45𝑐𝑚
 
𝑇𝑎𝑛 𝑥 =
15𝑢
8𝑢
 
𝑐𝑜𝑡 𝑥 =
45𝑐𝑚
28𝑐𝑚
 
𝑐𝑜𝑡 𝑥 =
8𝑢
15𝑢
 
𝑆𝑒𝑐 𝑥 =
53𝑐𝑚
45𝑐𝑚
 
𝑆𝑒𝑐 𝑥 =
17𝑢
8𝑢
 
𝑐𝑠𝑐 𝑥 =
53𝑐𝑚
28𝑐𝑚
 
 
𝑐𝑠𝑐 𝑥 =
17𝑢
15𝑢
 
 𝑥 = sin
−1
28𝑐𝑚
53𝑐𝑚
 
⦛𝑥 = 31º53′26.85" 
 𝑥 = sin−1
15𝑢
17𝑢
 
⦛𝑥 = 61º55′39.05" 
𝑇𝑎𝑛 𝑧 =
45𝑐𝑚
28𝑐𝑚
 
𝑇𝑎𝑛 𝑧 =
8𝑢
15𝑢
 
𝑐𝑜𝑡 𝑧 =
28𝑐𝑚
45𝑐𝑚
 
𝑐𝑜𝑡 𝑧 =
15 𝑢
8 𝑢
 
𝑆𝑒𝑐 𝑧 =
53𝑐𝑚
28𝑐𝑚
 
𝑆𝑒𝑐 𝑧 =
17𝑢
15𝑢
 
𝑐𝑠𝑐 𝑧 =
53𝑐𝑚
45𝑐𝑚
 
𝑐𝑠𝑐 𝑧 =
17𝑢
8 𝑢
 
 𝑧 = sin−1
8𝑢
17𝑢
 
⦛𝑧 = 28º4′20.95" 
 𝑧 = sin−1
45𝑐𝑚
53𝑐𝑚
 
⦛𝑧 = 58º6′33.15" 
x 
z 
y 
z 
x y 
45 cm 
17 u 
2. Dadas las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo, hallar todas las funciones trigonométricas 
que falten y hallar los ángulos agudos (Dibuja a escala los triángulos correspondientes y señala en los 
triángulos las medidas de sus lados y ángulos agudos. Utiliza GeoGebra) 
 
a) 𝑠𝑒𝑛𝐴 =
55
73
 
Solución 
Por Teorema de Pitágoras se halla el lado faltante AB 
𝐴𝐵 = √732 − 552 = 48 
Ángulo A 
𝐴 = 𝑠𝑒𝑛−1 (
55
73
) 
𝐴 = 48.89° 
Razones trigonométricas faltantes del ángulo A 
𝐶𝑜𝑠𝐴 =
48
73
 𝐶𝑜𝑡𝐴 =
48
55
 
𝑇𝑎𝑛𝐴 =
55
48
 𝑆𝑒𝑐𝐴 =
73
48
 
𝐶𝑠𝑐𝐴 =
73
55
 
Angulo B 
𝐵 = 90° − 48.89° = 41.11° 
Razones trigonométricas del ángulo C 
𝑆𝑒𝑛 𝐶 =
48
73
 
𝐶𝑜𝑠 𝐶 =
55
73
 
𝑇𝑎𝑛 𝐶 =
48
55
 
𝐶𝑠𝑐 𝐶 =
73
48
 
𝐶𝑜𝑡 𝐶 =
55
48
 
𝑆𝑒𝑐 𝐶 =
73
55
 
 
 
 
b) 𝑆𝑒𝑐 𝑥 =
50
14
 
Solución 
Por Teorema de Pitágoras se halla el lado faltante 𝑌𝑍̅̅̅̅ 
𝑌𝑍̅̅̅̅ = √502 − 142 = 48 
Ángulo x 
⦛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1 (
48
50
) 
⦛𝑥 = 73°44′23.26" 
Razones trigonométricas faltantes del ángulo X 
𝑆𝑖𝑛 𝑥 =
48
50
 𝐶𝑜𝑡𝑥 =
14
48
 
𝐶𝑜𝑠 𝑥 =
14
50
 𝐶𝑠𝑐𝑥 =
50
48
 
𝑇𝑎𝑛 𝑥 =
48
14
 
Angulo z 
⦛𝑧 = 90° − 73°44′23.26" = 16°15′36.74" 
Razones trigonométricas del ángulo z 
𝑆𝑒𝑛 𝑧 =
14
50
 
𝐶𝑜𝑠 𝑧 =
48
50
 
𝑇𝑎𝑛 𝑧 =
14
48
 
𝐶𝑠𝑐 𝑧 =
50
14
 
𝐶𝑜𝑡 𝑧 =
48
14
 
𝑆𝑒𝑐 𝑧 =
50
48
 
 
 
 
 
 
X 
Z 
y 
14 
50 
c) 𝑡𝑎𝑛𝛽 =
12
35
 
 
Solución 
Por Teorema de Pitágoras se halla el lado faltante 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √352 + 122 = 37 
Ángulo β 
⦛𝛽 = 𝑠𝑒𝑛−1 (
12
37
) 
⦛𝛽 = 18°55′72" 
Razones trigonométricas faltantes del ángulo β 
𝑆𝑖𝑛 β =
12
37
 𝐶𝑜𝑡 β =
35
12
 
𝐶𝑜𝑠 β =
35
37
 𝑆𝑒𝑐𝐴 =
37
35
 
𝐶𝑠𝑐𝐴 =
37
12
 
Angulo α 
⦛𝛼 = 90° − 18°55′72" = 71°4′31.28" 
Razones trigonométricas del ángulo α 
𝑆𝑒𝑛 α =
35
37
 
𝐶𝑜𝑠 α =
12
37
 
𝑇𝑎𝑛 α =
35
12
 
𝐶𝑠𝑐 α =
37
35
 
𝐶𝑜𝑡 α =
35
12
 
𝑆𝑒𝑐 α =
37
12
 
Razones trigonométricas para los ángulos 30°, 60° y 45° 
Razones trigonométricas del ángulo 30° y 60° 
α 
β 
A 
B 
C 
12 
35 
Consideremos el triángulo equilátero de lado 2 
 
 
 
 
Considerando la mitad del triángulo únicamente 
 
 
 
 
 
Actividad 2. Razones trigonométricas de los ángulos 30° y 60° 
a) Determina la altura del triángulo sombreado, déjalo expresado en radical 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 − 𝐴𝐶̅̅̅̅ 2 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √22 − 12 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √4 − 1 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √3 
b) Determina las razones trigonométricas de los ángulos agudos: 60° y 30° 
𝑠𝑒𝑛 60° = 
√3
2
 𝑠𝑒𝑛 30° = 
1
2
 
𝑐𝑜𝑠 60° = 
1
2
 𝑐𝑜𝑠30° = 
√3
2
 
𝑡𝑎𝑛 60° = 
√3
1
 𝑡𝑎𝑛 30° = 
1
√3
 
𝑐𝑜𝑡 60° = 
1
√3
 𝑐𝑜𝑡 30° = 
√3
1
 
𝑠𝑒𝑐 60° = 
2
1
 𝑠𝑒𝑐 30° = 
2
√3
 
𝑐𝑠𝑐 60° = 
2
√3
 𝑐𝑠𝑐 30° = 
2
√3
 
A 
B 
C 
Razones trigonométricas del ángulo de 45° 
Consideremos el cuadrado de lado 1 mostrado en la siguiente figura 
 
 
 
 
 
Actividad 3. Determina las razones trigonométricas del ángulo de 45° 
a) Determina la hipotenusa del triángulo sombreado 
𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 
𝑐 = √12 + 12 
𝑐 = √2 
b) Determina las razones trigonométricas para el ángulo de 45° 
𝑠𝑒𝑛 60° = 
1
√2
 
𝑐𝑜𝑠 60° = 
1
√2
 
𝑡𝑎𝑛 60° = 
1
1
 
𝑐𝑜𝑡 60° = 
1
1
 
𝑠𝑒𝑐 60° = 
√2
1
 
𝑐𝑠𝑐 60° = 
√2
1
 
 
Resolución de triángulos rectángulos 
Resolver un triángulo rectángulo consiste en encontrar los lados y los ángulos que se desconocen 
Casos de resolución de triángulos: 
1. Dos lados conocidos 
 
 
 
2. Un lado y un ángulo conocidos 
 
 
 
 
Actividad 1. Ejercicios de resolución de triángulos rectángulos. 
Resuelve los siguientes triángulos rectángulos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑠𝑒𝑛 58°30´ =
25.36
𝐴𝐵
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √52 + 122 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 13 
𝐵 = cos−1
12
13
= 22°37′11.51" 
𝐴 = cos−1
5
13
= 67°22′48.49" 
𝐴𝐶̅̅̅̅ = √102 − 82 
𝐴𝐶̅̅̅̅ = 6 
𝐵 = cos−1
8
10
= 36°52′11.63" 
𝐴 = cos−1
6
10
= 53°7′48.37" 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = √152 − 92 
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 12 
𝐴 = cos−1
9
15
= 53°7′48.37" 
𝐵 = cos−1
12
15
= 36°52′11.63" 
sin 65°35′ =
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
82.30𝑚
 
𝐶𝐵̅̅ ̅̅ = (sin 65°35′)(82.30𝑚) 
𝐶𝐵̅̅ ̅̅ = 74.94𝑚 
𝐴𝐶̅̅̅̅ = √82.302 − 74.942 
𝐴𝐶̅̅̅̅ = 34.02𝑚 
 
tan 32.5° =
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
15.25𝑚
 
𝐶𝐵̅̅ ̅̅ = (tan 32.5°)(15.25𝑚) 
𝐶𝐵̅̅ ̅̅ = 9.72𝑚 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √15.252 + 9.722 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 18.08𝑚 
 
 𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛 58°30´ = 25.36 
 𝐴𝐵 =
25.36
𝑠𝑒𝑛 58°30´
= 29.74 𝑚 
𝐵𝐶 = √29.742 − 25.362 = 15.54 𝑚 
 ∡𝐴 =𝑡𝑎𝑛−1 (
15.54
25.36
) = 31.5 
Problemas de aplicación de las razones trigonométricas 
Ángulo de elevación. Es el ángulo que se mira por arriba de la horizontal 
Ángulo de depresión. Es el ángulo que se mira por debajo de la horizontal 
 
 
 
 
 
Actividad 2. Problemas de aplicación 
1. Calcula el ángulo que forma la escalera con el muro y la altura que alcanza sobre el mismo. 
 
 
 
 
 
 
2. Determina la altura de altura de la torre 
 
 
 
 
 
 
 
 
⦛𝐵 = 90° − 65°35′ = 24°25′ 
⦛𝐶 = 90° 
 
 
 
⦛𝐵 = 90° − 32.5° = 57°30′ 
⦛𝐶 = 90° 
 
 
 
ℎ = √62 − 1.62 
ℎ = 5.78 𝑚 
cos 𝛼 =
5.78𝑚
6𝑚
 
⦛ 𝛼 = cos−1
5.78𝑚
6𝑚
 
 
⦛ 𝛼 = 15°33′48.87" 
 
tan 34°30′ =
ℎ
850𝑚
 
ℎ = (tan 34°30′)(850𝑚) 
ℎ = 584.2𝑚 
Desde el puesto de observación de un faro de 35 m de altura sobre el nivel del mar se observa que los ángulos de 
depresión de dos barcos, situados en línea con el faro son 28° y 55°. Calcula la distancia que separa a ambos barcos 
𝑡𝑎𝑛 55° =
36
𝑥
 
𝑥 =
36
𝑡𝑎𝑛 55°
= 25.21 
 𝑡𝑎𝑛 28° =
36
25.21 + 𝑦
 
 25.21 + 𝑦 =
36
𝑡𝑎𝑛 28
 ⟹ 𝑦 =
36
𝑡𝑎𝑛 28
 − 25.21 ⟹ 𝑦 = 42.5 𝑚 
3. Desde un punto de la calle se observa el extremo superior de un edificio cuya parte más alta forma con el suelo 
un ángulo de elevación de 55°. Si el punto de observación se aleja 35 m el ángulo formado resulta ser de 45°. 
Calcula la altura del edificio. 
 
 
 
 
 
 
4. Desde un avión que se encuentra a 5600 m de altura se observan dos motocicletas en movimiento en una 
misma dirección y sentido con un ángulo de depresión de 55°y 38° respectivamente. Determina la distancia 
entre las dos motocicletas. 
 
 
 
 
 
5. Un estudiante de la ENSUPEH de matemáticas en una estancia en Francia quiso aplicar sus conocimientos de 
Trigonometría y midió dos ángulos de elevación de 86.19° y 84.29° con su goniómetro casero, con una distancia 
entre ellas de 10 m para medir de manera indirecta la altura de la Torre Eiffel como lo muestra la siguiente 
figura. 
a) Determina con estos datos la altura de la Torre Eiffel 
b) Investiga en internet cuanto mide la Torre Eiffel 
180° − 55° = 125° 
45° + 125° + 10° = 180° 
35𝑚
𝑠𝑒𝑛 10°
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 45°
 
𝑏 = (𝑠𝑒𝑛 45°) (
35𝑚
𝑠𝑒𝑛 10°
) 
𝑏 = 142.52𝑚 
 
sin 55° =
ℎ
142.52𝑚
 
ℎ = (𝑠𝑖𝑛55°)(142.52𝑚) 
ℎ = 116.75𝑚 
90° − 55° = 35° 
180° − 35° − 90° = 55° 
180° − 55° = 125° 
55° − 38° = 17° 
180° − 125° − 17° = 38° 
 
 
 
𝑡𝑎𝑛55° =
5600𝑚
𝑎
 
𝑎 =
5600𝑚
𝑡𝑎𝑛55°
𝑎 = 3921.2𝑚
 
 
𝑠𝑖𝑛55° =
5600𝑚
𝑐
 
𝑐 =
5600𝑚
𝑠𝑖𝑛55°
𝑐 = 6836.33𝑚
 
 
6836.36𝑚
𝑠𝑒𝑛 38°
=
𝐴𝑅
𝑠𝑒𝑛 17°
 
𝐴𝑅 = (𝑠𝑒𝑛 17°) (
6836.33𝑚
𝑠𝑒𝑛 38°
) 
𝐴𝑅 = 3246.5𝑚 
 
 
 
 
 
 
Solución. 
Llamemos d, a la distancia de la Torre al punto en que se tomó el primer ángulo 
Aplicando tangentes a ambos ángulos 
𝑡𝑔86.19° =
ℎ
𝑑
 
𝑡𝑔84.29° =
ℎ
𝑑 + 10
 
Despejando h de las dos ecuaciones 
ℎ = 𝑑(𝑡𝑔86.19°) 
ℎ = (𝑑 + 10)(𝑡𝑔84.29°) 
 
Igualando las dos ecuaciones 
𝑑(𝑡𝑔86.19°) = (𝑑 + 10)𝑡𝑔84.29° 
𝑑(𝑡𝑔86.19°) = 𝑑(𝑡𝑔84.29°) + 10(𝑡𝑔84.29°) 
𝑑(𝑡𝑔86.19° − 𝑡𝑔84.29°) = 10(𝑡𝑔84.29°) 
𝑑 =
10(𝑡𝑔84.29°)
𝑡𝑔86.19° − 𝑡𝑔84.29°
 
𝑑 = 19.94 𝑚 
Para calcular h se sustituye d en la ecuación ℎ = 𝑑(𝑡𝑔86.19°) 
ℎ = 19.94(𝑡𝑔86.19°) 
ℎ = 299.42 𝑚 
 
- Investiga en internet cuanto mide la Torre Eiffel 
La torre Eiffel tiene una altura de 300 m 
 
 
 
6. Calcular el perímetro y el área de un octágono regular circunscrito a una circunferencia de 8 cm de radio 
 
 
 
 
 
Actividad 2. Problemas en contexto 
1. Con tu goniómetro casero determina tres alturas inaccesibles que existan en tu entorno pueden ser la altura de 
un edificio, la altura de un cerro cercano, la altura de un árbol entre otras cosas. Guíate en el problema 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
360°
8
= 45° 
45°
2
= 22.5° 
180 − 22.5° − 90° = 67.5° 
 
𝑐𝑜𝑠67.5° =
𝑐𝑎
8
 
𝑐𝑎 = (𝑐𝑜𝑠67.5°)(8) 
𝑐𝑎 = 3.06 
𝐿𝑎𝑑𝑜 = 2(3.06) = 6.12 
𝑃𝑒𝑟ì𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 8 ∗ (6.12) = 48.96𝑚 
 
tan 29° =
ℎ
3.5𝑚
 
ℎ = (tan 29°)(3.5𝑚) 
ℎ = 1.94 𝑚 + 1.80𝑚 
ℎ = 3.74𝑚 
 
 
tan 42° =
ℎ
2 𝑚
 
ℎ = (tan 42°)(2𝑚) 
ℎ = 1.8 𝑚 + 1.80 𝑚 
ℎ = 3.6𝑚 
 
 
tan 23° =
ℎ
4 𝑚
 
ℎ = (tan 23°)(4𝑚) 
ℎ = 1.69 𝑚 + 1.80 𝑚 
ℎ = 3.5𝑚 
 
 
À𝑟𝑒𝑎 = 2 × √2 × 𝑟2 
À𝑟𝑒𝑎 = 2 × √2 × 82 
À𝑟𝑒𝑎 = 181.02