Capitulo_14_Sears - Javier Palacios

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É
MECÁNICA DE
FLUIDO
os fluidos desempeñan un papel crucial en muchos aspectos de la vida cotidia
Lna. Los bebemos, respiramos y nadamos en ellos; circulan por nuestro organis
mo v controlan el clima. Los aviones vuelan en ellos y los barcos flotan en ellos. Un
fluido es cualquier sustancia que puede fluir; usamos el termino tanto para liquidos
como para gases. Normalmente, pensamos que los gases son fáciles de comprimir y
que los liquidos son casi incompresibles, empero hay casos excepcionales.
Comenzaremos nuestro estudio con la estática de fluìdos, o sea el estudio de
fluidos en reposo en situaciones de equilibrio. Al igual que otras situaciones de equi
librio, esta se basa en la primera y tercera leyes de Newton. Exploraremos los con
ceptos clave de densidad, presion y flotación. La dinámica de fluìdos, es decir, el
estudio de fluidos en movimiento, es mucho más compleja; de hecho, es una de
las ramas mas complejas de la mecánica. Por fortuna, podemos an. alisar mucha.s
situaciones importantes usando modelos idealizados sencillos y los principios que
ya conocemos, como las leves de Newton y la conservacion de la energia. Aun asi,
apenas tocaremos la superficie de este tema tan amplio e interesante.
14.1 | Densidad V
Una propiedad importante de cualquier material es su densidad, la cual es definida
como su masa por unidad de volumen. Un material iiomogenco, como el hielo o el
hierro, tiene la misma densidad en todas sus partes. Usamos la letra griega p (ro) pa
ra la densidad. Si una masa rn de material tiene un volumen V, la densidad p es
Este ciclista olímpico monta una bicicleta
estacionaria en un túnel de viento. Obser
vando el flujo de aire en torno a su cuerpo
(con ia ayuda de estelas de humo), los
científicos pueden determinar que diseños
de bicicleta y tecnicas de ciclismo reducen
al minimo la resistencia del aire v aumen
tan al maximo el desempeño.
_ En diversos puntos alrededor del
ciclista, el aire se ve obligado a pasar
por marcadas constricciones (como entre
el brazo y el tronco). ¿Esto hace que el
aire se frene, se acelere o ninguna de las
dos cosas?
515
pablo
Resaltar
NO ME DIGAS!
pablo
Resaltar
' F
515
14.1 El precio del oro se cotiza por peso
(digamos, en dólares por onza). Dado que
el oro es uno de los metales más densos, es
posible almacenar una fortuna en oro en un
volumen pequeño.
C.aPÍTULo 14 I Mecanica de fluidos
p = g (definición de densidad) {14.1)
La densidad de algunos materiales varía de un punto a otro dentro del material;
ejemplos de ello son la at.mósfera terrestre (que es menos densa a mayor altitud) 3*
los océanos (que son más densos a. grandes profundidades). En el caso de estos ma
teriales, la ecuación (14.1) describe la densidad medio. En general, la densidad de
un material depende de los factores ambientales como la temperatura jv la presión.
La unidad de densidad en el SI es el kilogramo por metro cúbico (l kgfmi).
Tambien se usa mucho la unidad cgs, gramo por centímetro cúbico (1 g/emi), El
factor de conversión
1 gícmtl = 1000 kg/m3
resulta útil. En la tabla 14.1, se dan las densidades de varias sustancias comunes a
temperaturas ordinarias (véase también la Fig. 14.1). Observe la amplia gama de
magnitudes. El material más denso que se encuentra en la Tierra es el metal osmio
(p = 22,500 kg/m3), pero esto no es nada en comparación con la densidad de los
objetos astronómicos exóticos como las estrellas enanas blancas y las estrellas de
neutrones.
Tabla 14.1 Densidadesìle algunas sustancias comunes
Densidad (kglma )* Material oçfiiaaa ikgrmijrMaterial
As ¢(1am,2o°c) :.20 Hierm,a¢a1 U ls :›< ¿oi
Etanol 0.31 >< 1 13 Latón 3.6 X i'iÍ'3
Benceno 0.90 >< Ã 3 Cobre 3.9 X 1
Hielo 10.92 >< Í ' Plata 10.5 ><
Agua 1.00 >< _ Plomo
Agua de mar 1.03 X ' _. Mercurio
Sangre 1.06 >< Oro . 1 '
Glicerina _.26 >< _@ Platino 21.4 >= 'C _iIEI3
Concreto 2 >< DE Estrella enana blanca LG lll
Aluminio 2.7 X JI Estrella de neutrones 1015
*Para obtener las densidades en gramos por centímetro cúbico, divida entre lüg.
_;c:_¦ :_:_1t_:J:___: LMLMLAI
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__.311:1_ uau .Iuuuú
13.6 si 1213
l93 X IEI1'
La gravedad específica de un material es la razón entre su densidad v la del
agua a 40°C, 1000 kgfm3; es un número puro sin unidades. Por ejemplo, la grave
dad especifica del aluminio es 2.7. Aunque “gravedad especifica” no es un buen
termino, pues nada tiene que ver con la gravedad; habría sido mejor la definición
de “densidad relativa”.
La medición de la densidad es una técnica analít.ica importante. Por ejemplo,
podemos determinar el nivel de carga de un acumulador midiendo la densidad de
su electrólito, o sea una disolución de ácido sulfúrico (I 12804). Al descargarse la
batería, el HQSO4 se combina con el plomo de las placas del acumulador para for
mar sulfato de plomo (PbSO,,) insoluble, lo que reduce la concentración de la di
solución. La densidad baja de 'cerca de l.30 .`><ï 103 kgƒmi en un acumulador
cargado a 1".l5 3:›<1 103 kg/m3 en uno descargado.
Otro ejemplo automotriz es el anticongelante permanente, que suele ser una di
solución de etilén glicol (p = 1,12 la 103 kg;/m3) y agua. El punto de congelación
de la disolución depende de la concentración de glicol, el cual puede determinar
se midiendo su gravedad especifica. Tales .mediciones se realizan en ferina rutina
ria en los talleres de servicio automotriz por medio de un dispositivo llamado
hidrómetro, el cual estudiaremos en la sección 14.3,
pablo
Rectángulo
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Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Flecha
pablo
Flecha
li
Calcule la masa jr el peso del aire de una estancia cuyo piso mide
4.ü m is' 5.11] m v que tiene una altura de 3.0 m. ¿Qué masa y peso
tiene un volumen igual de agua?
soiuciom
IDENTIFICAR; Suponemos que el aire es homogéneo, asi que la
densidad es la misma en todo el cuarto. (Es verdad que el aire es
menos denso a gran altitud que cerca del nivel del mar, pero la va
riación de densidad a lo largo de la altura de 3.0 m del cuarto es
despreciable; véase la sec ción 14.2.)
PLANTEARI Usaremos la ecuación (14.1) para relacionar la masa
(la incógnita) con el volumen (que calculamos a partir de las di
mensiones del cuarto) v la densidad (de la tabla 14.1).
EJ ECUTÄH: El volumen del recinto es V = (3.0 m) (4.0 m) '›< (5.0 m)
" ` 51?14 2 I Presion en un fluido
 
Peso de un cuarto lleno de aire
El peso del aire es
›v,,,, = m,,,,g= (72 i;g)(s.s mat) = Toon = isoia
La masa de un volumen igual de agua es `
fa .,,,, = p,,,,V = (1oooi<gfm3)(ao mi) = ao >< io* kg
El peso es
ts@ X 1›fr1<gi<9.@ mas
= 5.9 ><1U5N = 1.3 >< lüslb = óótons
EVALUAR: ¡El aire contenido en un cuarto pesa aproziinadamente
lo que pesa una persona adulta.! El agua es casi mil veces mas den
sa que el aire, y su masa y peso son mayores en la misma propor
ción. De hecho, el peso de un cuarto lleno de agua segurainente
= ót] mi. La masa m,,,,, está dada por la ecuación (14.1): hufldïfla el PÍSÚ fi@ Uflfl C 353 C01T'Ú“~
m,,,, = p,,,,v = (1.2 if, ;,vm3)(s0 mi) = 72 kg
¿Qué volumen de agua tendría la misma masa que un inetro cúbico de platino? Si
esa agua ocupara un cubo, ¿cuánto mediria cada lado?
14.2 | Presión en un fluido
Cuando un fluido (líquido o gas) está en reposo, ejerce una fuerza perpendicular
a cualquier superficie en contacto con él, como la pared de un recipiente o un
cuerpo sumergido en el fluido. Ésta es la fuerza que sentimos en las piemas alme
terlas en una piscina. Aunque el fluido global esta en reposo, las moléculas que lo
componen están en movimiento; la fuerza ejercida por el fluido se debe a los cho ari
ques de las moléculas con su entorno. ¿Fl /
Si imaginamos una superficie dentro del fluido, el fluido a cada lado de ella \ H
ejerce fuerzas iguales y opuestas sobre ella. (Si no, la superficie se aceleraria y el Fvflrëflfl Hüffllfiïvfl ïsflfllsft
fluido no permaneceria en reposo.) Considere una superficie pequeña de área dA É Érädåìiììüübšiïlnbåsnïdüs
centrada en un punto en el fluido; la fuerza normal que el fluido ejerce sobre cadalado es dF¿ (Fig. 14.2). Definimos la presión p en ese puiito como la fuerza nor
mal por unidad de area, es decir, la razón de dF¿ a ri/ 1:
Área pequeña dia dentro del fluido
14.2 La presión que actúa sobre ambos
lados de un área pequeña dentro de un
¿LF 1. F fluido es p = dF¿¡'d.4.
p Ef (asruaeisa depresión) (14.2)
l
Si la presión es la misma en todos los puntos de una superficie plana finita de área
A, entonces
Fi= 14.P A ( 3.)
Lï|1i__
pablo
Rectángulo
pablo
Rectángulo
f
ii
l
_.LL.,í___¬,___
lr
vii
513 caPiTULo 14 I Mecánica de fluidos
" donde Fj es la fuerza normal neta en un lado de la superficie. La unidad en el SILa presión no tiene dirección _
propia; puede producir uuu de la presion es el pascal, donde
fuerza ¿IFL = ,o ¿A en
cualquier dirección lpascal = lPa = N/mi
_ø
Ya presentamos el pascal en el capitulo 1 1. Dos unidades relacionadas, que se em
plean principalmente en meteorología, son el bar, igual a 105 Pa, y el rnilioor,
___ _. igual a 100 Pa.
¿FL i La presión atmosférica p, es la presión de la atmósfera terrestre, es decir, la
¿pj presión en el fondo del mar de aire en que vivimos. Esta presión varía con el esta
do del tiempo y con la altitud. La presión atmosférica normal al nivel del mar (va
lor medio) es l onaósfero (atm), definida conio exactamente 101,325 Pa. Con
cuatro cifras significativas,
df; (p,,),,,,,d = 1 atm = 1.013 X 105 Pa
_ _ * ' _ 1“L3 La presión es un escalar (nu tiene 1.013 bar 1013 milibares 14.70 lbipulg.
dirección intrínseca) v sus unidades son _. ._. ._
ngmgns pg, mgm, ,¿uad¡ad,¿,_ En çgntragtgà En el lenguaje ordinario, las palabras "presión" y "fuerza" signifi
la fuerza es un vector y sus unidades son can casi lo mismo, pero en la mecánica de fluidos describen cantidades distintas
HÉWÍÚHS con caracteristicas diferentes (Fig. 14.3). La presión de fluidos actúa perpendicu
lar a cualquier superficie en el fluido, sin importar su orientación. Por tanto, la
presión no tiene ufia dirección intrínseca: es un escalar. En cambio, la fuerza es
un vector con dirección definida. Recuerde que la presión es fuerza por unidad
de área.
I'
 
La fuerza del aire
En la estancia del ejemplo 14.1, ¿qué fuerza total actúa hacia abajo Fl = PA = ( ¡_{)13 ><,; 195 N,im1)(2g mi)
sobre el piso debida a una presión del aire de 1.00 atm? 6 5= 2.0 >< io N = 4.5 >< io is = 225 toneladas
soiuciou
IDENTIFICAR Y PLANTEARI La presión es iniiforme, asi que usa
mos la ecuación (14.3) para determinar la fuerza Fj a partir de la EVALUAR: Al igual que en el ejemplo 14.1, esta fuerza basta para
presión v el area hundir el piso. ¿Por qué no lo hace? Porque hay una fuerza hacia arri
` ba en el lado de abajo del piso. Si la casa tiene sótano, dicha fuerza
EVALUAR:'El área del piso esxt = (4.0 m) (5.0 m) = 20 mi. Por la es ejercida por el aire bajo el piso. En este caso, si despreciainos
ecuación (14.3) la fuerza total hacia abajo es el espesor del piso, la fuerza neto debida a la presión del aire es cero.
_ _ _ _.u,¿_._,.¿.,_¿.¡_ _ .,...¿___,___... _ _ ._.._ ,.,__,._ ._ __.. . _. n. __ _ . _ .11 u v . . . ._ ...__ _. ¬. _ H 4 . _. u 1 1 .. _ . _ .
Presión, profundidad y ley de Pascal
Si podemos despreciar el peso del fluido, la presión en un fluido es la misma en
todo su vblumeii. Usamos esta aproximación al ver el esfuerzo y la deformación
de volumen en la sección 11.4, pero muchas veces el peso del fluido no es despre
ciable. La presión atmosférica es menor a gran altitud que al nivel del mar, lo que
obliga a presurizar la cabina de un avión que vuela a 35,000 pies. Al sumergirnos
en agua profunda, los oídos nos indican que la presión aumenta rapidamente al au
mentar la profundidad.
Podemos deducir una relación general entre la presión p eii cualquier piuito de
un fluido en reposo jr la altura ji del punto. Supondremos que la densidad ,o v la
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Resaltar
pablo
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pablo
Resaltar
14.2 I Presión en un fluido
¿il 5 fi; (ri + fin) 4
1 Elenlento de fluido, __ '
;›~“""__ espesor o'_v Él' 0
ã _ ___... "Jl
IÍH) (iii)
aceleración debida a la gravedad g son las m_ismas en todo el fluido. Si el fluido
está en equilibrio, cada elemento de volumen está eii equilibrio. Considere un ele
mento delgado, de altura dy (Fig. 14.4). Las superficies inferior y superior tienen
area A , jy' estan a distancias y y y + dy por arriba de algún nivel de referencia don
dey = 0. El volumen del elemento es dí/ = A dy, su masa es din = p a'V = pA dy,
jr su peso es ¿tw = dai g = pgA dy.
¿Qué otras fuerzas actiían sobre este elemento? Llamemos a la presión en la su
perficie inferiorp; la componente y de fiierza total hacia arriba que actúa sobre esa
superficie es pal. La presión en la superficie de arriba es p `+ dp, y la componente
y de fuerza total (hacia abajo) sobre esta superficie es (p + dp)A. El elemento de
fluido esta en equilibrio, asique la componente y de fuerza total, incluido el peso y
las fuerzas en las superficies de arriba y abajo, debe ser cero:
2F_,. = 0 asique pA (p + dp)A pg/4 afiv = 0
Dividiendo entre el área A 3.* reacomodando, obtenemos
dr_ i Ps (14 4)dy
Esta ecuación indica que, si _v auirienta, p disminuye; es decir, al subir en el fluido
la presión disminuye, como esperaríamos. Si p, y ,o¿ son las presiones en las altu
ras y, jv yg respectivamente, y si p y g son constantes, entonces
pg p, = pg(y2 yl) (presión en un fluido de densidad uniforme) (14.5)
Suele ser útil expresar la ecuación (14.5) en términos de la profundidad bajo la
superficie de un fluido (Fig. 14.5). Tomemos el punto 1 en cualquier nivel en el
fluido jr sea ,o la presión en ese punto. Tomemos el punto 2 en la superjficio del flui
do, donde la presión es pg (el subindice indica profundidad cero). La profundidad
del punto`1 es ii = _v 2 yj, y la ecuación (l4.5) se convierte en
ns _ P = salia nl = ash
p = pu + ,ogh (presión en un fluido de densidad uniforme) (14.6)
La presiónp a una profundidad .fi es mayor que la presión pg en la superficie, en ima
cantidad ,og fit. Observe que la presión es la inisma en cualesquier dos puntos situa
dos en el mismo nivel en el fluido. Laforo: to del recipiente no importa (Fig. 14.6).
La ecuación (14.6) nos dice que, si aumentamos la presiónpg en la superficie, tal
vez usando un pistón que embona lieririéticamente en el recipiente para empujar
519
14.4 Fuerzas que actúan sobre un
elemento de fluido en equilibrio.
_. ?="íl_.;_._
çluido, densidad p
ff; i ±=.f›.;. jj.
'És
"f '.
~¬,¿†Íï"
t¬ J'I
if›l
.
l. =,f¡ ,
tsííï“' Ííji;/5
14.5 La presiónp a una profundidad .ii en
un fluido es mayor que en la superficie,
por pgh.
14.6 La presión enla parte superior de ca
da columna de fluido es igual a pu, la pre
sión atmosférica. La presión sólo depende
de la altura, no de la forma del recipiente,
así que todas las columnas de fluido tienen
la inisma altura.
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Rectángulo
pablo
Rectángulo
pablo
Resaltar
Importante!
pablo
Resaltar
Se aplica una
fuerza pequeña __ __
en este lado
li
14 7 Principio del elevador liidrtiulico, una
aplicación de la ley de Pascal. El tamaño del
recipiente lleno de fluido se ha exagerado
por claridad.
La presión en este
lado actúa sobre un área
mayor y produce mayor fiierza
._ "mn .
Presión p debida a F1
transmitida por todo el fluido
(ley de Pascal)
casiruio 14 I Mecánica de fluidos
contra la superficie del fluido, la presión p a cualquier profundidad aumenta en la
niisma cantidad exactamente. El científico francés Blaise Pascal (1623 1662) reco
noció este hecho en 1653, y se llama ley de Pascal: La presión aplicada a un flui
do encerrado se transmite sin disminución a todas las partes del fluido y las
paredes del recipiente.
El elevador hidráulico que se muestra esqueniaticamente en la figural4.? ilus
tra la ley de Pascal. Un pistón con area transversal pe que iia A1 ejerce una fuerza
F1 sobre la superficie de un líquido (aceite). La presión aplicada p = F¡L fl] se
transmite a traves del tubo conector a un pistón mayor de área A2. La presiónapli
cada es la misma en ambos cilindros, asi que
5 g F És ' UM)P AI Ap, Y z A1 |
A' I
El elevador hidraulico es un dispositivo multiplicador de la fuerza con un factor
de multiplicación igual al cociente de las áreas de los pistones. Las sillas de los
dentistas, los gatos hidráulicos para autos, muchos elevadores y los frenos hidrau
licos usan este principio.
En el caso de los gases, el supuesto de que la densidad p es uniforme sólo es
realista en distancias verticales cortas. En un cuarto de 3.00 m de altura lleno de
aire con densidad uniforme de 1.2 kg/mi, la diferencia de presión entre el piso y
el techo, dada por lá.`ecuación (14.6) es _
pgh. = (1.2 kgfm3)(9.8 m¡s'2)(3.0 in) = 35 Pa _
o sea, cerca de 0.00035 atm, una diferencia muy pequeña. En cambio, entre el ni
vel del mar y la cumbre del Monte Everest (8882 m) la densidad del aire cambia
en un factor de casi 3, y no podemos usar la ecuación (14.6). Los liquidos, en cam
bio, son casi incompresibles, y suele ser una buena aproximación considerar su
densidad como independiente de la presión. Una presión de varios cientos de at
mósferas sólo causa un pequeño incremento porcentual en la densidad de la ma
yor parte de los líquidos.
Presión absoluta, presión manométrica y manómetros
Si la presión dentro de un neumático es igual a la presión atmosférica, el neumático
estará desinflado. La presión debe ser moyorque la atmosférica para poder sostener
el vehiculo, asi que la cantidad significativa es la dtfisrsncio entre las presiones inte
rior y exterior. Si decimos que la presión de un neumático es de “'32 libras” (en rea
lidad 32 lb/pulgf, igual a 220 lcPa o 2.2 >< 105 Pa), que remos decir que es rrioyor que
la presión atmosférica (14.7 lb/pulgf o 1.01 >< 105 Pa) en esa cantidad. La presión
total en el neumático es de 47 lbfpulgz, o 320 lcPa. El exceso de presión más alla de
la atmosférica suele llamarse presión irianoinétrica, y la presión total se llama pre
sión absoluta. Los ingenieros usan las abreviaturas psig y psia para “lbipulgz mano
métrica” y “lb/pulg? absoluta”, respectivamente. Si la presión es menor que la
atmosférica, como en un vacío parcial, la presión manométrjca es negativa.
If Il'Determinacion de presion absoluta y manométrica _
Un sistema de calentamiento solar del agua usa paneles solares co 5Q|_Uc|ÓN
locados en el techo, 12.0 m arriba del tanque de almacenamiento.
La presión del agua en el nivel de los paneles es de l aun. ¿Qué pre
sion absoluta hay en el tanque? ¿Y cut' i.l es la presión manométrica?
IDENTIFICARI El agua es casi incompresible. (Imagine que trata de
comprimir con un pistón un cilindro lleno de agiia. ¡No podria hacer
lol) Por tanto, consideramos que el fluido tiene densidad uniforme.
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pablo
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14.2 l Presión en un fluido 521
PLANTEAR: El nivel de los paneles corresponde al punto 2 de la LH 11' DBSÍÓH ITIEHIDHIÉIIÍGEI ¢S
figura 14.5, y el del tanque, al punto 1. Por tanto, la incógnita esp en
1sssussisu(i4.s);uE›sasup, = i sus = 1.01 >< ioirsys = 12.0 ui. P _ rs = (2 19 I 01) >< 10iP=1
= i.1s it totes = 1.16 sim = ir.i iiupuigi
EJECUTAR: Por la ecuación (14.6), la presión absoluta es
p = pg + pgh EVALUAR: Si un tanque así tiene un medidor de presión, segura
: ( pm K ms Pa) + (1000 kgjms) 930 mhz) ( 110 m) mente estará calibrado para indicar la presión manométrica, no la
presión absoluta. Como señalamos, la variación en la presión nr
= 2.19 ix' 105 Pa = 2.16 atrn = 31.3 lbƒpulgf niosférico a esta altura es despreciable.
 
El medidor de presión más sencillo es el nzonómerro de tubo abierto (Fig. l4.Sa).
El tubo en forma de U contiene un líquido de densidad p, con frecuencia mercu
rio o agua. Un extremo del tiibo se conecta al recipiente donde se medirá la pre
sión, y el otro está abierto a la atmósfera, con po = p,. La presión en el fondo del
tubo debida al fluido de la columna izquierda es p + pgyl, y la debida al fluido de
la columna derecha es p, + pgyj. Estas presiones se miden enel mismo punto, así
que deben ser iguales: H
' P tmoi=rs+pma =
P n=pfln n)=mh (ME
En la ecuación (14.8), p es la presión absoluto, y la diferencia p pa entre la
presión absoluta y la atmosférica es la presión manométriea. Asi, la presión ma
nométrica es proporcional a la diferencia de altura (yz yl) de las columnas.
Otro medidor de presión común es el barómetro de mercurio, que consiste en
un tubo de vidrio largo, cerrado por un extremo, que se llena con mercurio y lue
go se invierte sobre un plato con mercurio (Fig. (l4.Sb). El espacio arriba de la co
lunuia sólo contiene vapor de mercurio, cuya presión es insignificante, así que la
presión pu arriba de la columna es prácticamente cero. Por la ecuación (14.6),
11.. = P = 0 + Patri _ ri) = ash (14.9)
Así, el barómetro de mercurio indica la presión atrnosféricap, directamente por la
altura de la colunma de mercurio.
En muchas aplicaciones, las presiones suelen describirse en términos de la al
tura de la columna de mercurio correspondiente, como “pulgadas de mercurio” o
“milímetros de mercurio” (abreviado mm Hg). Una presión de 1 mm Hg es 1 rorr,
por Evangelista Torricelli, inventor del barómetro de mercurio. Sin embargo, estas
unidades dependen dela densidad del mercurio, que varía con la temperatura, y del
valor de g, que varía con el lugar, y por ello se prefiere el pascal como unidad de
presión. " A
Un dispositivo común para medir la presión arterial, llamado esƒigmoninndnie
tro, usa un manómetro lleno de mercurio. Las lecturas de la presión arterial, como
l30iB0, se refieren a las presiones manométricas máxima y mínima en las arterias,
medidas en mm Hg_o torrs. La presión arterial varía con la altura en el cuerpo; el
pimto de referencia estándar es la parte superior del brazo, a la altura del corazón.
lvíuchos tipos de medidores de presión usan un recipiente flexible sellado (Fig.
14.9). Un cambio en la presión dentro o fuera del recipiente causa un cambio en
sus dimensiones, que se detecta óptica, eléctrica o mecánicaniente.
Pi] : Pax)
TC13! T
}'z " iii
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Presion P Khalil ' rs
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ibl H
14.3 Dos tipos de medidores de presión.
(a) Manómetro de tubo abierto. (b) Baró
metro de mercurio.
I
JI
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Resaltar
pablo
Rectángulo
Presion en la parte abajo del tubo
522 caríruzo 14 I Mecanica de fluidos
Ago
F.__,.. v ""
_.,_:±fE`§""3' IÍr`;f1Pì1esión p
É=_ÍjÍ ï_=§ï;Íi_:1u'e":se mide
1 ff: .". _ _
" :'. G .
Tubo metálico en espiral
r
r
"¬¬ ¬
(H) (bl
14.9 (a) Medidor de presión de Bourdon. Al aumentar la presión dentro del tubo espiral
metalico, este se endereza y desvía la aguja unida a el. (b) Medidor de presion tipo
Bourdon empleado en un tanque de gas comprimido.
Historia de dos fluidos
Un tubo de manometro se llena parcialmente con agua. Después se
vierte aceite (que no se mezcla con el agua y tiene menor densidad
que el agua] en el brazo izquierdo del tubo hasta que la interfaz
aceite agua esta en el punto medio del tubo (Fig. 14.10). Ambos
brazos del tubo están abiertos al aire. Determine la relación entre
las alturas n,,,,,,¡,,_, jr fray.
sotuciom
IDENTIFICAR: La relacion entre presion y profundidad en un flui
do solo es valida para los fluidos de densidad uniforme. Por tanto,
«É É
TC3
CIT'
'üaceite
l haguri
l|
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l
_" |"'_ _.`:¬l'_
1 ' LTD Tubo con f`orrna.de U que contiene aceite (a la izquierda) y
agua [a la derecha). ¿Que relacion hay entre las alttiras de las dos
columnas de fluido?
 
no podemos escribir una sola ecuacion para el aceite ff el agua jun
tos. Lo que si podemos hacer es escribir una relación presion pro
fundi dad para cada fluido por separado, tomando en cuenta que
ambas columnas de fluido tienen la misma presion en la base (don
de están en contacto y en equilibrio, así que las presiones deben ser
iguales) y en la parte superior (donde ambas están en contacto con
la atmósfera y en equilibrio con ella).
PLANTEAR: Sea ,vn la presion atmosférica, yp, la presionen el fon
do del tubo. Las densidades de los dos fluidos son p y p , _ (queagua aceite
es menor que p,,g,,,,). Usamos la ecuacion (14.6) para cada fluido.
EJECUTAR: Para los dos fluidos, la ecuacion (14.6) se convierte en
P : PD + paguaghagua
P : PU + paceited fhace.ite.
Puesto que la presion p en la base del tubo es la misma para ambos
fluidos, igualamos las dos expresiones jr despejamos h,,,,,,, en ter
minos de iragm. Puede demostrarse que el resultado es
I pague
haceite : ìhagtia
_ paceite
EVALUAR; Puesto que el aceite es menos denso que el agua, la ra
zon p,g,,,fp,,,,,,¡,,, es mayor que la unidad y h,_,,,,¡,,, es mayor que nm,
(como se muestra en la Fig. 14.10). Este resultado es logico: se ne
cesita una mayor altura de aceite menos denso para producir la mis
ma presion p en la base del tubo. _
l4.3 I Flotación
El mercurio es menos denso a altas temperaturas que a bajas temperaturas. Supon
ga que saca al exterior un barómetro de merctuio que estaba dentro de un refrige
rador bien sellado, en un caluroso dia de verano, y observa que la columna de
mercurio se mantiene a la misma altura en el tubo. Compare la presión del aire en
el exterior con la delinterior del refrigerador. (Haga caso omiso del cambio aún
menor en las dimensiones del tubo de vidrio debido al cambio de tempera.tura.)
14.3 | Flotación
La flotación es un fenomeno muy conocido: un cuerpo sumergido en agua parece
pesar menos que en el aire. Si el cuerpo es menos denso que el fluido, entonces flo
ta. El cuerpo humano normalmente flota en el agua, y un globo lleno de helio flota
en el aire.
El principio de Arquímedes establece que: Si un cuerpo está parcial o total
mente sumergido en un fluido, éste ejerce una fuerza hacia arriba sobre el
cuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Para demostrar este
principio, consideremos una porción arbitraria de fluido en reposo. En la figura
14.1 la, el contorno irregular es la superficie que delimita esta porción de fluido.
Las flechas representan las fuerzas que el fluido circundante ejerce sobre la super
ficie de frontera.
Todo el fluido está en equilibrio, asi que la suma de todas las componentes y de
fuerza sobre esta porción de fluido es cero. Por tanto, la suma de todas las compo
nentes y de las fuerzas de superficie debe ser una fuerza hacia arriba de igual mag
nitud que el peso mg del fluido dentro de la superficie. Además, la suma de los
momentos de torsión sobre la porción de fluido debe ser cero, asi que la linea de
acción de la componente y resultante de las fuerzas superficiales debe pasar por el
centro de gravedad de esta porción de fluido.
Ahora quitamos el fluido que está dentro de la superficie y lo reemplazamos por
un cuerpo sólido cuya forma es idéntica (Fig. 14.1 lb). La presión en cada punto es
exactamente la misma que antes, de modo que la fuerza total hacia arriba ejercida.
por el fluido sobre el cuerpo también es la misma, igual en magnitud al peso mg del
fluido que se desplazó para colocar el cuerpo. Llamamos a esta fuerza hacia arriba
la fuerza de flotación que actúa sobre el cuerpo sólido. La línea de acción de la
fuerza de flotación pasa por el centro de gravedad del fluido desplazado (que no ne
cesariamente coincide con el centro de gravedad del cuerpo).
Fluido reemplazado por
Elemflmü ¿E fluidü cuerpo de forma idéntica: experimenta
En Equ¡1¡b¡íD la misma fuerza de flotación
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523
14.11 Principio de Arquímedes. (a) Un
elemento de un fluido en equilibrio. La
fuerza de flotación del fluido circundante
es igual al peso del elemento. tb) Si el ele
mento de fluido se sustituye por un cuerpo
de idóntica forma, el cuerpo experimenta
la misma fuerza de flotación que en (a).
Esta fuerza es igual al peso del fluido des
plazado
pablo
Resaltar
Condicion para que el cuerpo flote
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
524
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14.12 (a) I lidrómetro sencillo. (b) Uso de
un hidrómetro para probar acido de un
acumulador o del anticongelante.
ll'Flotaclon
Una estatua de oro sólido de 15.0 kg de peso está siendo levantada
de un barco hundido (Fig. 14. 13a). ¿Que tensión hay en el cable
cuando la estatua está en reposo y a) totalmente sumergida? b)
¿Fuera del agua?
IDENTIFICAR: Cuando la estatua está sumergida, experimenta una
fuerza de flotación hacia arriba igual en magnitud al peso del fluido
deplazado. Para calcular la tensión, observamos que la estatua está
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ra) tb)
14.13 (a) La estatua completamente sumergida en reposo. ,.
fb) Diagrama de cuerpo libre de la estatua sumergida.
CAPÍTULO 14 I Mecanica de fluidos
Si un globo flota en equilibrio en el aire, su peso (incluido el gas en su ulterior)
debe ser igual al del aire desplazado por el globo. Si un submarino sumergido es
tá en equilibrio, su peso debe ser igual al del agua que desplaza. Un cuerpo cuya
densidad media es menor que la del liquido puede flotar parcialmente sumergido
en la superficie superior libre del liquido. Cuanto mayor es la densidad del liqui
do menor sera la porción sumergida del cuerpo. Si nadamos en agua de mar (den
sidad l030 kgfmi), flotamos mas que en agua dulce (1000 lcgrmi). Aunque
parezca improbable, el plomo flota en el mercurio. El “vidrio flotado” de superfi
cie muy plana se fabrica flotando vidrio fundido en estaño fundido y dejándolo
Otro ejemplo conocido es el hidrómetro, empleado para medir la densidad de
los liquidos (Fig. 14.l2a). El flotador calibrado se hunde en el fluido hasta que el
ã peso del fluido que desplaza es igual a su propio peso. El hidrómetro flota ar. :is ui
@ i ; to en los liquidos más densos que en los liquidos menos densos, y tiene un peso
f ~,¬__ en su base para que la posición enderezada sea estable; ima escala en el tallo su
perior permite leer directamente la densidad. La figura 14. 12b muestra un tipo de
hidrómetro de uso común para medir la densidad del ácido de un acumulador o del
anticongelante. La base del tubo grande se sumerge en el liquido; se aprieta el bul
bo para expulsar el aire y luego se suelta, como si fuera un gorero gigante. El li
quido sube por el tubo exterior, y el hidrómetro flota en la muestra de liquido.
I*
en equilibrio (en reposo) y consideramos las tres fuerzas que actúan
sobre ella: su peso, la fuerza de flotación y la tensión en el cable.
PLANTEAR¦ La figura 14. 13b muestra el diagrama de cuerpo libre
de la estatua en equilibrio. La incógnita es la tensión T. Nos dan el
peso rrrgy podemos calcular la fuerza de flotación B usando el prin
cipio dc Arquímedes. Lo haremos en dos casos: (a} cuando la esta
tua esta sumergida en el agua y (b) cuando está fuera del agua y
sumergida en el aire.
EJECUTAR: a) Para calcular la fuerza de flotación, primero calcu
lamos el volumen de la estatua, usando la densidad del oro de la ta
bla 14.1:
V 'H _ 150 kg _ rr? x ro *mt
Pm 19.3 >< 103 kgrmi _
Usando otra vez la tabla 14.1, calculamos el peso de ese volumen
de agua de mar:
Hƒflfll Z 'rnfllïlnlg Z pBmVg
= (1.03 x 1a3rgrmi)(r.77 x ru tmi){s.scma1)
. = 7.84 N
Esto es igual a la fuerza de flotación B.
La estatua esta en reposo, asi que la fuerza extema neta que ac
túa sobre ella es de cero. De la figura l4.l3b,
2:11 = Bl T 1 { mg) = 0
T = mg a = (1s.okg)(s.som.e1) zssrr
= l47l\l 7.3¿ll*~l = 'l39l`\l
pablo
Resaltar
Si hay una balanza de resorte unida al extremo superior del cable,
marcará 'F_S4 N menos de lo que marcarla si la estatua no estuviera
sumergida en agua de mar. Por ello, la estatua sumergida parece pe
sar l39 N, cerca de 5% menos que su peso real de 147 N.
b) La densidad del aire es de cerca de 1.2 kg/mi', asi que la fuerza
de flotación del aire sobre la estatua es
B = p___¡___Vg = (1.2 ltgƒmi) (7.77 ><_' 10 * m3)(9.8U mr's2)
= 9.1 ><: 10 tu
Esto es sólo 62 millonesimas del peso real de la estatua. Este efec
to es menor que la precisión de nuestros datos, asi que lo desprecia
Il'Cuestion de peso
Se coloca un recipiente con agua de mar en una balanza y se anota
la lectura; luego se suspende la estatua del ejemplo 14.5 en el agua
{Fig. l4_l4)_ ¿Cómo cambia la lectura?
Considere el agua, la estatua y el recipiente jtmtos como un sistema;
el peso total no depende de si la estatua está sumergida o no. La fuer
za total de soporte, incluida la tensión Ty la fuerza hacia arriba F de
la balanza sobre el recipiente (igual a la lectura) es la misma en am
bos casos_ Sin embargo, en el ejemplo l4_5 vimos que T disminuye
en 184 N cuando la estatua esta sumergida, asi que la lectura de la
balanza debe cantenrar en 7'. 84 N. Otra forma de verlo es que el agua
ejerce una filerza de flotación de 184 N sobre la estatua, asi que ós
ta debe ejercer una fuerza igual hacia abajo sobre el agua, haciendo
a la lectura 7.34 N mayor que el peso del agua y el recipiente.
l 4.3 I Plotación 525
mos. La tensión en el cable con la estatua en el aire es igual al peso
de la estatua, 147 N.
EVALUAR2 Recordemos que la fuerza de flotación es proporcional
a la densidad delflrrido, no la de la estatua. Cuanto mas denso es el
fluido, mayor será la fuerza de flotación y menor sera la tensión en
el cable. Si el fluido tuviera la misma densidad que la estatua, la
fuerza de flotación seria igual al peso de la estatua y la tensión se
ria cero [el cable se aflojarla). Si el fluido fuera más denso que la
estatua, la tensión seria negativa: la fuerza de flotación seria mayor
que el peso de la estatua, y se requeriria una fuerza hacia abajo pa
ra evitar que suba la estatua.
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14.14 ¿Cómo cambia la lectura de la balanza cuando la estatua se
Sl.ll'I1EI`g€ BH agüã?
_ _ i _ I¬ I I _ ¬. 'I' _ 5 ._É. 9211 n;':xaïJE 
I irTenslon superficial
Un obj eto menos denso que el agua, como una pelota de playa inflada con aire,
flota con una parte de su volumen bajo la superficie. Por otra parte, un cirfp puede
descansar sobre una superficie de agua aunque su densidad es varias veces mayor
que la del agua_ Esto es un ejemplo de tensión superficial: la superficie del liqui
do se comporta como una membrana en tensión (P ig. 14. 15). La tensión superfi
cial se debe a que las moleculas del liquido ejercen fiierzas de atracción entre si.
La fuerza neta sobre una molécula dentro del volumen del liquido es cero, pero
una molécula en la superficie es atraída hacia el volumen (Fig. 14.16). Por ello, el
liquido tiende a reducir al minimo su área superficial, tal como lo hace una mem
brana estirada_
14.15 La superficie del agua actúa como
membrana sometida a tensión, y permite a
este zancudo caminar literalmente sobre el
agua.
sì' _
|__ | _
I
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
526
sfïuàìi
14.15 Cada molécula de un liquido es
atraida por las demas moléculas. Una
molécula enla superficie es atraida hacia
el volumen del liquido, y esto tiende a
reducir el area superficial del liquido.
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_. .. _ _ .
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` `| _ '__' ` ` _ ' ' ._ ' ' _ .|'1'
Fibras
Presión de aire pa
14.1? Latensión superficial dificulta el
paso del agua por aberturas pequeñas. La
presión requeridap puede reducirse usando
agua caliente con jabón, todo lo cual reduce'
la tensión superficial.
A Lineas de flujo
Tubo de flujo
14.13 Tubo de flujo delimitado por lineas
de flujo. En flujo estable, el fluido no puede
cruzar las paredes de un tubo de flujo.
c _ ft Pit U L o 14 l Mecánica de fluidos
La tensión superficial explica por qué las gotas de lluvia en caida libre son es
féricas (rro con forma de lágrima): una esfera tiene menor area superficial para un
volrunen dado que cualquier otra forma. También explica por qué se usa agua ja
bonosa caliente en el lavado de la ropa. Para lavarla bien, se debe hacer pasar el
agua por los diminutos espacios entre las fibras (Fig. 14.17). Esto implica aumen
tar el área superficial del agua, lo que es difícil por la tensión superficia.l_ La tarea
se facilita aumentando la temperatura del agua y añadiendo jabón, pues ambas co
sas reducen la tensión superficial.
La tensión superficial es importante para una gota de agua de l mm de diáme
tro, que tiene un area relativamente grande en comparación con su volumen. (Una
esfera de radio r' tiene área 41713 y volumen (4 vr/3')r3_ La razón superficieiarea es
31/r, y aumenta al disminuir el radio.) En cambio, si la cantidad de liquido es gran
de, la razón superficie/volumen es relativamente pequeña y la tensión superficial
es insignificante en comparación con las fuerzas de presión. En el resto del capi
tulo, sólo consideraremos volúmenes grandes de fluidos, asi que haremos caso
omiso de los efectos de la tensión superficial.
Un objeto con densidad uniforme flota en agua con un tercio de su volumen sobre
la superficie. Compare la densidad del objeto con la del agua.
14.4 | Flujo de fluidos _ _
Ahora ya estamos preparados para considerar el movimiento de un fluido. El flujo
de fluidos suele ser extremadamente complejo, como se aprecia en las corrientes de
los rapidos de los rios o en las flamas de una fogata, pero algunas situaciones se
pueden representar con modelos idealizados relativamente simples. Un fluido ideal
es iaeompresibie (su densidad no puede cambiar) y no tiene fricción interna (llama
da viscosidad). Los liquidos son aproximadamente incompresibles en casi todas las
situaciones, y también podemos tratar a un gas como incompresible si las diferen
cias de presión de una región a otra no son muy grandes. La fricción interna en un
fluido causa esfuerzos de corte cuando dos capas de fluido adyacentes tienen
un movimiento relativo, como cuando un fluido fluye dentro de un tubo o alrededor
de un obstáculo. En algunos casos, podemos despreciar estas fuerzas de corte en
comparación con las fuerzas debidas a la gravedad y a diferencias de presión.
El camino de una partícula individual en un fluido en movimiento se llama li
nea de flujo. Si el patrón global de flujo no cambia con el tiempo, entonces tene
mos un flujo estable. En un flujo estable, cada elemento que pasa por rm punto
dado sigue la misma linea de flujo. En este caso, el “mapa” de las velocidades del
fluido en distintos puntos del espacio permanece constante, aunque la velocidad
de una partícula especifica pueda cambiar tanto en magnitud como en dirección
durante su movimiento. Una linea de corriente es una curva cuya tangente en
cualquierpunto tiene la dirección de la velocidad del fluido en ese punto. Si el pa
trón de flujo cambia con el tiempo, las lineas decorriente no coinciden con las de
flujo. Consideraremos sólo situaciones de flujo estable, en las que las lineas de flu
jo y las de corriente son idénticas.
Las lineas de flujo que pasan por el borde de un elemento de area imaginario, co
mo A en la figura 14.13, forman im tubo llamado tubo de flujo. Por la definición de
linea de flujo, si el flujo es estable el fluido no puede cruzar las paredes laterales
de un tubo de flujo; los fluidos de diferentes tubos de flujo no pueden mezclarse.
pablo
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pablo
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pablo
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í 
14.4 I Flujo de fluidos
/'mÂ
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14.19 Flujo laminar alrededor de obstáculos con diferente forma.
É
M
_ Jlt '/l
La figura 14.19 muestra patrones de flujo de fluidos de izquierda a derecha al
rededor de varios obstáculos Las fotografias se tomaron inyectando un tinte en el
agua que fluye entre dos placas de vidrio cercanas. Estos patrones son representa
tivos del flujo laminar, en el que capas adyacentes de fluido se deslizan suave
mente una sobre otra y el flujo es estable. (Una lámina es una hoja delgada.) Si la
tasa de flujo es suficientemente alta, o si las superficies de frontera causan cam
bios abruptos en la velocidad, el flujo puede hacerse irregular y caótico. Esto se
llama flujo turbulento (Pig. 14.20). En flujo turbulento no hay un patrón de esta
do estable; el patrón de flujo cambia continuamente.
La ecuación de continuidad _
La masa de un fluido en movimiento no cambia al fluir. Esto da pie a una relación
cuantitativa importante llamada ecuación de continuidad. Considere una porción
de un tubo de flujo entre dos secciones transversales estacionarias con áreas A, y
A2 (Fig_ l 4.21). La rapidez del fluido en estas secciones cs U, y U1, respectivamen
te. No fluye fluido por los costados del tubo porque la velocidad del fluido es tan
gente a la pared en todos sus puntos. Durante un tiempo corto dr, el fluido en A1
se mueve una distancia U1 dr, asi que un cilindro de fluido de altura ut dr y volu
men rilf] = Alul dr fluye hacia el tttbo a t.ravés de A1. Durante ese mismo lapso, un
cilindro de volumen dlfy = Ayo; dr sale del tubo a través de A2.
Consideremos primero el caso de un fluido incompresible cuya densidad p tie
ne el mismo valor en todos los puntos. La masa dir :_ que fluye al.tubo porff] en el
tiempo dt es dr rat = _o_›i,c_ dt. Asi mismo, la masa drag que sale por A2 en el mis
mo tiempo es dni; == pi ago; a'r_ En flujo estable, la masa total en el tubo es cons
tante, asi que tir rr, = dni __ , y
palo] dr = p: =t2u¿ rir o sea
Am, = Agcg (ecuación de continuidad, fluido incompresible) (14_ll))
El producto Ac es la rrrzórr a'e_flrtjo rie volrrrrrerr riff. fait, la rapidez con que el volu
men cruza una sección del tubo:
dl”
5 = Au (razón de flujo de volumen) (1 4.11)
52?
 fx
 
\'
 
m
 
14.20 El flujo de humo que sale de estos
palitos de incienso es laminar hasta cierto
punto; luego se vuelve turbulento
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I lr 'H rr; U2 ¿TI."' tt'r'__, _, _.
_r __ r
_. .|'
'il ,I riff
I _, ` ' _r
__." __f ___' ¡
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" ri l r
,ff fi\\{n_rir
14.21 Tubo de flujo con área de sección
transversal cambiante. Si el fluido es in
compresible, el producto Av tiene el mismo
valor en todos los puntos a lo largo del tubo.
pablo
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pablo
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pablo
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Flujo laminar
pablo
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Flujo turbulento
pablo
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pablo
Rectángulo
pablo
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pablo
Rectángulo
SZB c. ±tPíTULo 14 I Mecánica de fluidos
La razón de flujo de musa es el flujo de masa por unidad de tiempo a través de una
sección transversal, y es igual a la densidad p multiplicada por la razón de flujo de
volumen a'V/dt.
fill 'W La ecuación (14. 1 0) indica que la razón de flujo de voltunen tiene el mismo va
lor en todos los puntos de cualquier tubo de flujo. Si disminuye la sección de un
tubo de flujo, la rapidez aumenta, y viceversa_ La parte proftmda de un rio tiene
mayor área transversal y una corriente más lenta que la parte superficial, pero las
razones de flujo de volumen son las mismas en los dos puntos. El chorro de agua
de un grifo se angosta al adquirir rapidez durante su caida, pero dVidr tiene el mis
mo valor en todo el chorro. Si un tubo de agua de 2 cm de diámetro se conecta a
un tubo de l cm de diámetro, la rapidez de flujo es cuatro veces más grande en el
segundo tubo que en el primero.
Podemos generalizar la ecuación (14.1 0) para el caso en que el fluido no es in
compresible. Si p¡ y pz son la.s densidades en las secciones l y 2, entonces
p1A,u, = p2A2u¿,_ (ecuación de continuidad, fluido compresible) (14. 12)
Dejamos los detalles como ejercicio. Si el fluido es incompresible, de modo que
pl y pg siempre son iguales, la ecuación (l 4.12) se reduce a la ecuación _(l4_l0)_
Flujo de fluido incompresible I
Como parte de un sistema de lubricación para maquinaria pesada, tm ¿jr/;¿¿¡ ( 9_5 [_/5) ( 10 3 mï*_rL)
aceite' con densidad de SSD kgimi se bombea a través de un tubo cilin U1 ___._ ' '__( 4 0 10 2 m)r _ 1 9 WS
drico de E11 cm de diámetro a razón de 9.5 litros por segundo. a) Calcu ` I H '
le la rapidez del aceite y la razón de flujo de masa. b) Si el diámetro La 191511 ¿C fll ll@ de 1114153 f '5 P ¿VM? = l35Ú kgfffigl (9 5 X ll] 3
del tubo se reduce a 4.0 cm, ¿qué nuevos valores tendrán la rapidez y mìfsl = 3 1 kåfs
la razón de flujo de volumen? Suponga que el aceite es incompresible. bl P' lfifflïfl fl' 1@ el aceite es Í11C0mP1'@SÍl91e= la TÉÚH de fluli? fl' 3 Wll 1'
men tiene el mismo valor (9.5 Lis) en ambas secciones del tube. Por
SOLUCIÓN la ecuación (14.1c),
IDENTIFICAR Y PLMIITEAR: Usaremos la definición de razón de ¿_ ,___(4_0 X 10 2 _.__):
flujo de volumen [ecuación (14.1 1)] para deterrninar la rapidez ul U1 = ___ U, (2 0 X _0_2 )2( 1.9 mis) = ?_ó mis
en la sección de Sil cm de diámetro. La razón de flujo de masa es 2 W ' m
el producto de la densidad y la razón de flujo de volumen. La ecua
ción de continuidad para flujo incompresible, ecuación (14. 10), nos EVALUAR: La segunda sección de tubo tiene la mitad del diametro
permite obtener la rapidez U2 en la sección de 4.0 cm de diámetro. y la cuarta parte del área transversal de la primera sección. Por tan
to, la rapidez debe ser cuatro veces mayor en la segunda sección, y
EJECUTAR: a) La razón de flujo de volumen a'V¡dr es igual al pro eso es precisamente lo que muestra nuestro resultado (cg = 41.11).
ducto Ajuj, donde A1 es el área transversal del tubo de 8.0 cm de
diámetro (radio 4.0 cm)_ Por tanto,
El aire en la atmósfera es casi incompresible. Use este hecho para explicar por qué
en los pasos montaiiosos se observan vientos especialmente rápidos
I
I'
f
.|
14.5 | Ecuación de Bernoulli
Según la ecuación de continuidad, la rapidez de flujo de tm fluido puede variar a lo
largo de las trayectorias del fluido. La presión también puede variar; depende de la
altura igual que en la situación estática (sección 14.2) y tmnbién de la rapidez de flu
pablo
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pablo
Resaltar
pablo
Resaltar
pablo
Rectángulo
14.5 I Ecuación de Bernoulli
jo. Podemos deducir t_tna relación importante, llamada ecuación de Bernoulli, que re
laciona la presión, la rapidez de .flujo y la alttua para el flujo de un fluido ideal. La
ecuación de Bernoulli es una herramienta indispensable para analizar los sistemas de
plomeria, las estaciones generadoras hidroeléctricas y el vuelo de los aviones.
La dependencia de la presión respecto a la rapidez se sigue de la ecuación de con
tinuidad, ecuación (14_ 10). Si tm fluido incompresible fluye por un tubo con sección
transversal variable, su rapidez tiene cambim, asi que tm elemento de fluido debe te
ner tura. aceleración. Si el t|.tbo es horizontal, la fuerza que causa esta aceleración de
be ser aplicada por el fluido circundante. Esto implica que la presión debe ser
diferente en regiones con diferente sección transversal; si fuera la misma en todos la
dos, la fuerza neta sobre cada elemento de fluido seria cero. Si un tubo es horizontal
se estrecha y un elemento de fluido se acelera, debeestarse moviendo hacia una re
gión de menor presión para tener una fuerza neta hacia adelante que lo acelere_ Si la
altura también cambia, est.o causa tura diferencia de presión adicional. _
Para deducir la ecuación de Bernoulli, aplicamos el teorema del trabajo y la
energia al fluido en una sección de un tubo. En la figura 14.22, consideramos el
elemento de fluido que en algún instante inicial está entre las dos secciones trans
versales rr y c. Las rapideces en los extremos inferior y superior son U1 y U2. En un
pequeño intervalo de tiempo dt, el fluido que está en rr se mueve a fr, una distan
cia ds; = oldr, y el fluido que está inicialmente en c se mueve a al, una distancia
ds; = oydr. Las áreas transversales en los dos extremos son A, y A2, como se
muestra. El fluido es incompresible, asique, por la ecuación de continuidad, ecua
ción (1 4.10), el volumen de fluido dV que pasa por cualquier sección transversal
durante dr es el mismo. Es decir, dl/ ± Aldsl = A2 dsz.
Calculemos el nrrbnjo efectuado sobre este elemento dtuante dr. Suponemos que
la fiicción interna del fluido es despreciable (es decir, no hay viscosidad), asi que las
únicas fuerzas no gravitacionales que efectúan trabajo sobre el elemento fluido se
deben a la presión del fluido circundante. Las presiones en los extremos son pl y
py; la fuerza sobre la sección en tr es plfl |, y la fuerza en c es p2A_ ¿_ El trabajo neto
dll' efectuado sobre el elemento por el fluido circundante durante este desplaza
miento es entonces
dt? = rr al da mas de = (pt pildl/' (1413)
El segundo término tiene signo negativo porque la fuerza en c se opone al despla
zamiento del fluido.
El trabajo a'W se debe a fuerzas distintas de la fuerza de gravedad conservado
ra, asi que es igual al cambio en la energia mecánica total (energia cinética más
energia potencial gravitacional) asociada al elemento fluido. La energia mecánica
para el fluido entre las secciones ó y c no cambia. Al principio de dr, el fluido en
tre rr y li tiene voltunen Aldsl, masa pA1 ds] y energia cinética ép (A1 dsl ) U 12. Al fi
nal de dr, el fluido entre c y al tiene energia cinética jp (A2 ds; ) of. El cambio neto
de energia cinética riff durante dr es
1 _
dK = Clll/¡(1122 _ UIQ)
.
1
(14.1 4)
¿Y qué hay del cambio en la energia potencial gravitacional? Al iniciar dr, la
energia potencial para la masa que está entre ct y b es dm gif] = p dVgy1_ Al final
de dr, la energia potencial para la masa que está entre c y rr' es dm gy; = p dl/g_v2_
El cambio neto de energia potencial rr 'U durante dr es
¿U = e¢fVs(:e .nl (14 15)
529
P Pida
¿S2?
Flujo
Ptfét
wep
.Ft
14.22 El trabajo neto realizado sobre un
elemento de fluido por la presión del
fluido circundante es igual al cambio en la
energia cinética más el cambio en la energia
potencial gravitacional_
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Rectángulo
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Rectángulo
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Rectángulo
530 t: rt Pir U L o 14 I Mecánica de fluidos
Combinando las ecuaciones (l4_l3), (l4_l4) y (14. l5) en la ecuación de energia
t:iW = ¿ÍK + dU, obtenemos
l“¬ 31 *l* ¡' '
(Pi H ruldV = ri dlffivf _ 1133+ ii dlfsfrr _ ri)
ni " es = nívff _ vii) + i0s(ri fr ri) (14 16)
Ésta es la ecuación de Bernoulli, y dice que el trabajo efectttado sobre un vo
lumen unitario de fluido por el fluido circundante es igual a la suma de los cam
bios de las energias cinética y potencial por unidad de volumen que se dan durante
el flujo. También podemos interprefar la ecuación (1 4.16) en términos de presio
nes. El primer termino de la derecha es la diferencia de presión asociada al cam
bio de rapidez del fluido; el segundo es la diferencia de presión adicional causada
por el peso del fluido' y la diferencia de altura de los dos extremos.
También podemos expresar la ecuación (14.115) en una forma más útil:
l l _, _ `
pl + pgyl + špvf = pg l pgyg + špuf (ecuacion de Bernoulli) (1 4.17)
' 1. 1.
Los subíndices l y 2 se refieren a cualesquier dos puntos del tubo de flujo, asi que
también podemos escribir _
l
p + pgy l špuf = constante (l fl_l8)
Observe que, si el fluido no se mueve (U1 = U2 = 0), la ecuación (14. 1?) se reduce
a la relación de presión que dedujimos para un fluido en reposo (ecuación l4_5)_
ÉSubrayamos de nuevo que la ecuación de Bernoulli sólo es válida
para un flujo estable de un fluido incompresible sin fricción interna (sin viscosi
dad). Es una ecuación sencilla y fácil de usar; no por ello vaya a aplicarla en
situaciones en que no es válida.
Estrategia para _ _ _ _
,,E,_¿,¡,__,;__r_¿__r,¿,¡;,|,__,,,«,,;,,, Ecuacion de Bernoulli
La ecuación de Bernoulli se deduce del teorema del trabajo y la PLANTEAR al pi ¿iblgmrr grgufgndg ggrgg _¡;,;¡¿;, ¿;i_ ;_
flllflfgïfli HSÍ QUÉ BFHU Pam? de 135 E” éïffllešìflfi SUB' ïlldafl E1113 SEC* l_ Siempre comience por identificar claramente los ptmtos 1
1 il 115111 7 1 Pllflfllfl HPÍÍCHISE fiqllí 'H ; y 2 a los que se refiere la ecuación de Bernoulli.
2. Defina su sistema de coordenadas, sobre todo el nivel en
IDENTIFICBR fos conceptos pertinentes.: Primero, asegúrese de
que el flujo del fluido sea estable y que el fluido sea inebmpresi
ble y no tenga fricción interna. Este caso es una idealización, pc
ro se acerca mucho a la realidad en el caso de fltiidos que fluyen
por tubos suficientemente grandes y en el de flujos dentro de
grandes cantidades de fluido (como aire que fluye alrededor
de un avión o agua que fluye alrededor de un pez).
que y = 0. _
3. Haga listas de las cantidades conocidas y desconocidas de
la ecuación (l4_l?)_ Las variables son ,oj,,o¿, ol, u¿,y¡ yyì,
y las constantes son p y g. Decida qué incógnitas debe de
terminar.
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Rectángulo
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Rectángulo
Ecuacion de bernoulli
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14.5 I Ecuación de Bernoulli 53l
EJECUTAR fu solución como sigue: Escriba la ecuación de Ber
noulli y despeje las incógnitas. En algtmos problemas, habrá que
usar la ecuación de continuidad, ecuación (14. l 0), para tener una
relación entre las dos rapideces en ténninos de áreas transversales
de tubos o recipientes. O ta.l vez se tienen ambas rapideces y hay
que determinar una de las áreas. Tal vez necesite también la ecua
ción (14.1 1) para calcular la razón de flujo de volumen.
Presión de agua en el hogar
Entra agua en una casa por un tubo con diámetro interior de 2.0 cm
a una presión absoluta de 4.0 >< 105 Pa (unas 4 aun). Un tubo de 1.0
cm de diámetro va al cuarto de baño del segundo piso, 5.0 m más
arriba (Fig. l4_23)_ La rapidez de flujo en el tubo de entrada es de
1.5 mr's_ Calcule la rapidez de flujo, presión y razón de flujo de vo
luinen en el cuarto de baño.
'
IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Tomamos los puntos I y 2 en el tiibo
de entrada y el cuarto de baño, respectivameiite_ Nos dan la rapidez
.| f'
It
_ ì______ _
lP1sn;=i;t1rt!; tt_1.
ii. nl _ tj. ._
_: u.
' _
1 Del suministroTanque de
agua caliente R dfi Hgl 13
(tube de 2 Cm) ' EVALUAR: Ésta es una razón de flujo razonable para un lavabo o
ducha. Cabe señalar que, al cerrar el agua, el término of of)
1¿|,_13 ¿Qué prgsign tigng gj agua gn gr guaflg gg h ¿gg del ¿Hgm __ de la ecuación de la presión desaparece, y la presión sube a 3.5 H
do piso de esta casa? 105 Pfi~
Rapidez de salida
EVALUAR lo respuesta.: Como siempre, verifique que los resul
tados sean lógicos fisicamente. Compruebe que las unidades
sean congruentes_ En el SI, la presión está en Pa, la densidad en
lcgfmi' y la rapidez en m/s. Recuerde también que las presiones
deben ser todas absolutas o todas niranométricas
ri, y la presión p, en el ttibo de entrada, y los diámetros de los urbes
en los puntos l y 2 (con lo cual calculamos las áreas A1 y A3). To
mamos ji, = 0 (en la entrada) y yy = 5.0 _rn (en el cuarto de baño).
Las dos primeras incógnitas son la rapidez cg y la presión py. Pues
to que tenemos más de una incógnita, usamos tanto la ecuación de
Bernoulli como la ecuación de continuidad. Una vez que tengamos
U2, calcularemos la razón de flujo de volumen UZAE en el punto 2.
EJECUTAR: La rapidez U2en el cuarto de baño se obtiene de la
ecuación de continuidad, ecuación (14. 10):
_A1 'ÍilT(1›l:lClT|)2 '___
U2 A¡,_U'_rr([l_5lÍ_lcm)2 ' S 'mb
Nos dan pl y U1, y podemos obtenerpy con la ecuación de Bernoulli:
l
pr = ai ïnfvf ef) nsírr ri) = 4 11 la 105 Pa
¿(1.0 >< 103 itgimt) (ss mas 2.25 mias)
i 2 '
(1.0 >< 103 lcgƒmi) (9.8 1nr's2)(5_(} m)
= 4.0 >< intra un >< 105 ra 0.49 za intra
= 3.3 >< 105 Pa = 3.3 aim = 4a iisrpttigf
La razón de flujo de volumen es
_ _ ¿W
E : 1421 71 : X 10 2 m)2(6.Ú
= 4.7 > < 10"* mas = 0.47 La
La figura 14.24 muestra un tanque de almacenamiento de gasolina to de área A2. Deduzca expresiones para la rapidez de flujo en el tu
con área transversal _ il, lleno hasta una altura Fr. El espacio arriba bo y la razón de flujo de volumen. _ .
de la gasolina contiene aire a pg y la gasolina sale por un tubo cor
' .1
¬. ',
s
532 e.›tPíTULo 14 I Mecanica de fluidos
1.
14.24 Calculo de la rapidez de salida de gasolina por el fondo de
un tanque de almacenamiento.
IDENTIFÍCAR: Podemos considerar todo el volumen de liquido en
movimiento como un tubo de flujo, asi que podemos usar el princi
pio de Bernoulli.
PLANTEHHI Los puntos 1 y 2 en la figura 14.24 están en la superfi
cie de la gasolina y en el tubo corto de salida, respectivamente. En el
punto l, la presión es pg; en el punto 2, la presión es la atmosférica,
p,,. Tomamos y = U en el tubo de salida, asi quey, = h yy; = 0. Pues
to que fl, es mucho mayor que A1, el nivel de la gasolina en el tanque
bajará inuv lentamente, asi que podemos considerar a U1 práctica
mente igual a cero. Obtendremos la variable meta U _; con la ecuación
(14. 1?) y la razón de flujo de volumen con la ecuación (14.1 1).
 ;:rL¦:: '... ' 4
El medidor Venturi
La figura 14.25 muestra un medidor Ifenruri, que se usa para medir
la rapidez de flujo en un tubo. La parte angosta del tubo se llama
garganta. Deduzca una expresión para la rapidez de flujo U, en tér
minos de las areas transversales A , y A2 y la diferencia de altura h
del liquido en los dos tubos verticales.
IDENTIFICÉR Y PLÄNTEAR: Aplicamos la ecuación de Bernoulli a
las partes ancha (punto 1) y angosta (punto 2) del tubo. La diferen
cia de altura entre los dos tubos verticales indica la diferencia de
presion entre los puntos l y 2.
_~l:
lt
_ __ U
U1 2ll A i _ _ U I _ __r__ __`_ _
14.25 El medidor Venturi.
4
EJECUTAR: Aplicando la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 31 2
y tomando y = U en la base del tanque, tenemos
1 2 1 ses + ev] + ash = P, + avi2 2
of = of + 2~F'“i"*' + aga
.0
Con U, = D, tenemos
el 29 “_p“+2ga
Fa 2 P
Por la ecuación (14.1 1), la razón de flujo de volumen es o'V/'dt = u¿A;._.
EVALUAR: La rapidez U2, conocida como rapidez de salido, depen
de tanto de la diferencia de presión (pu pa) como de la altura Ii del
liquido en el tanque. Si el tanque está abierto por arriba a la atmós
fera, no habrá exceso de presión: pu = pa y pu p,,_ = 0. En ese caso,
U2 = 'V Zgh
Esto es, la rapidez de salida por una abertura a una distancia ft bajo
›1__a superficie del liquido es la misma que un cuerpo adquiriria ca
yendo libremente una altura h. Este resultado es el teorema de To
rrícelli y es válido no sólo para una abertura en la base de un
recipiente, sino también para un agujero en una pared a una pyofun
didad h bajo la superficie. En este caso, la razón de flujo de volu
men es
dlf' ,ví
EJECUTAR: Los dos puntos tienen la misma coordenada vertical
(y, = yz), así que la ecuación (14.1'?) dice
1 2_ 1 2P1+§PU1 *P2+*iPU1
Por la ecuación de continuidad, vá = (A1L=l¿)u1. Sustituvendo jv rea
comodando, obtenemos
_ 1 zrA12al 1›i §avilA_¿ 1
La diferencia. de presiónpl pg también es igual a pgli, donde fi
es la diferencia de nivel del liquido en los dos tubos. Combinando
esto con el resultado anterior y despejando U1, obtenemos
l Egh
U _ _
I [IAE ) 2 _ 1.
EVALUAR: Puesto que A 1 es mayor que A1, ng es mayor que ti, jv la
presión pg en la garganta ea menor que pl. Una fuerza neta a la de
recha acelera el fluido al entrar en la garganta, 31 una fuerza neta a
la izquierda lo frena al salir.
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14.6 I Viscosidad y turbulencia 533
La figura 14.2 5 muestra lineas de flujo alrededor de mt corte del ala
de un avión. Las lineas se aprietan arriba del ala, lo que corresponde
a una mayor rapidez de flujo y ima presión reducida en esta región,
igual que en la garganta del Venturi. La fiterza que actúa hacia arri
ba sobre el lado inferior del ala es mayor que la que actúa hacia aba
jo sobre el lado superior; hay una fuerza neta hacia arriba, o
sustentación. La sustentación no se debe sólo al impulso del aire
que incide bajo el ala; de hecho, la presión reducida en la superfi
cie de arriba del ala es lo que más contribuye a la sustentación. (Es
ta explicación muy simplificada no considera la formación de
vórtices; tm análisis más completo los tendria en cuenta.)
Tambien podemos entender la fuerza de sustentación en terminos
de cambios de cantidad de movimiento. La figura 14.26 muestra que
hay tm cambio neto ¡rocio abajo en la componente vertical de la can
tidad de movimiento del aire que fluye por el ala, correspondiente a
la fuerza hacia abajo que el ala ejerce sobre el aire. La fuerza de reac
ción que actúa sobre el ala es ¡rocio of ribo, como habiamos visto.
Se observa un patrón de flujo y una fuerza de sustentación simi
lares en las inmediaciones de cualquier objeto saliente cuando hace
viento (vease el flujo de aire sobre la espalda del ciclista en la foto
grafia inicial del capitulo). En un viento bastante intenso, la fuerza de
Sustentación en un ala de avión
í ±n =¦.'|Z|l'l †I'l _I'I1'I'I"¬_ _l'I'l'I ' í 1
sustentación que actúa sobre la parte superior de tm paraguas abierto
puede hacer que este se doble hacia arriba. Tambien actúa una fuerza
de sustentación sobre un autontóvil que va a gran velocidad porque el
aire se mueve sobre el techo curvo del vehiculo. Esa sustentación
puede reducir la tracción de los neurnáticos, y es por ello que muchos
automóviles están equipados con un “spoiler” aerodinámico en la
parte trasera. El spoiler se parece a un ala invertida y hace que una
fuerza hacia abajo actúe sobre las ruedas traseras.
Íliq ¬'“ '¦" ' ""' 1..
11 1
u
Pt
FI? dji [aire]
FF
14.26 Lineas de flujo alrededor de un ala de avión. La cantidad
de movimiento de una porción de aire (relativa al ala) es antes de
llegar al ala y ff despues.
 ==11 :rn =.1 :='L1.= .I :L"':'T"'m___._.___""'í_iít
No es sorprendente que un viento que sopla directamente contra una puerta abier
ta haga que se cierre de golpe. Utilice el principio de Bernoulli para explicar có
mo un viento que sopla paralelo a la abertura de ima puerta puede hacer que esta
se cierre. (Suponga que la puerta se abre hacia adentro.)
*14.6 | Viscosidad y turbulencia
Al hablar del flujo de fluidos supusimos que el fluido no tenía fricción interna y
que el flujo era laminar. Aunque en muchos casos esos supuestos son válidos, en t
muchas situaciones fisicas importantes los efectos de la viscosidad (fricción inter
na) y la turbulencia (flujo no laminar) son extremadamente importantes. Exami
nemos someramente algunas de esas situaciones.
Viscosidad
La viscosidad es fricción interna en un fluido. Las fiterzas viscosas se oponen al 1
movimiento de una porción de un fluido relativo a otra. La viscosidad hace que
cueste algfm trabajo remar ttna canoa en aguas tranquilas, pero tambien es lo que ha t
ce que funcione el remo. Los efectos viscosos son importantes en el flujo de fluidos i
en las tuberias, en el flujo de la sangre, en la lubricación de las partes de un mot.or
y en muchas otras situaciones.
Los fluidos que fluyen con facilidad, como el agua y la gasolina, tienen menor
viscosidad que los liquidos “espesos” como la miel o el aceite para motor. Las vis
cosidades de todos los fluidos dependen mucho de la temperatura, aumentan para
los gases y disminuyen para los liquidos al subir la temperatura (Fig. 14.27). Un
objetivo importante en el diseiio deaceites para lubricar motores es reducir lo más
posible la variación de la viscosidad con la temperatura.
14.2? La lava es un ejemplo de fluido vis
coso, La viscosidad disminuye al aumentar
la temperatura: cuanto más caliente está la
lava, más fácilrnente fluye.
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l
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1I¡__`
534
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"
. .1 ¬ _ _ .f .¬... _ 'Sed?. :?s¬ isa: stiìiw '
¬¬: ¦¬r¬ ¬f ' '
1¿L2B Perfil de velocidad para tm fluido
viscoso en un tubo cilíndrico.
oariruno 14 I Mecánica de fluidos
Un fluido viscoso tiende a adherirse a una superficie sólida que está en contac
to con ella. Hay una capa a'efrora'era delgada de fluido cerca de la superficie, en
la que el fluido está casi en reposo respecto a ella. Es por eso que las particulas de
polvo pueden adherirse a un aspa de ventilador aun cuando este girando rápida
mente, y a que no podamos limpiar bien un auto con sólo dirigir el chorro de agua
de una manguera hacia el. f
La viscosidad tiene efectos importantes sobre el flujo de los liquidos a traves de
tuberias, y esto incluye el flujo de la sangre por el aparato circula.torio. Pensemos pri
mero en un fluido con cero viscosidad, para poder aplicar la ecuación de Bernoulli,
ecuación (l4.l7). Si los dos extremos de un tubo cilindrico largo están a la misma
altura, (y, = yy) y la rapidez de flujo es la misma en ambos extremos (ol = og), la
ecuación de Bernoulli nos indica que la presión es la misma en ambos extremos. Sin
embargo, este resultado simplemente no es válido si tomarnos en cuenta la viscosi
dad. Para ver por que, considere la figura 14.28, que muestra el perfil de rapidez de flu
jo para el flujo laminar de un fluido viscoso en un tubo cilíndrico largo. Debido a la
viscosidad, la rapidez es cero en las paredes del tubo (a las que se adhiere el f1uido)y
máxima en el centro del tubo. El movimient.o semeja muchos tubos concentricos que
se deslizan unos relativos a otros, con el tubo central moviéndose más rápidamente y
el más exterior en reposo. Las fuetzas viscosas entre los tubos se oponen a este des
lizarniento; si queremos mantener el flujo, deberemos aplicar una mayor presión
atrás del flujo que delante de el. Es por ello que necesitamos seguir apretando tm tu
bo de pasta dentífrica o una bolsa de salsa catsup (ambos fluidos viscosos) para que
siga saliendo el fluido del envase. Los dedos aplican de trás del flujo una presión mu
cho mayor que la presión atmosférica al fiente del flujo. i
La diferencia de presión requerida para sostener una razón dada de flujo de vo
lumen a traves de un tubo de pasta cilíndrico de longitud L y radio R resulta ser
proporcional a LER4. Si disminuimos R a la mitad, la presión requerida aumenta 24
= 16 veces; si disminuimos R en un factor de 0.90 (una reducción del l{]%), la di
ferencia de presión requerida aumentará en tm factor de (_ ll0.90)4 = l.52 (un au
mento de 52%). Esta sencilla relación explica el vinculo entre una dieta alta en
colesterol (que tiende a angostar las arterias) y una presión arterial elevada. Debi
do a la dependencia R4, incluso un estrechamiento pequeño de las arterias puede
elevar considerablemente la presión arterial y forzar el músculo cardiaco.
Turbulencia
Si la rapidez de un fluido que fluye excede cierto valor critico, el flujo deja de ser
laminar. El patrón de flujo se vuelve muy irregular y complejo, y cambia conti
nuamente con el tiempo; no hay patrón de estado estable. Este flujo irregular y
caótico se denomina turbulencia. La figura 14.20 muestra el contraste entre flujo
laminar y turbulento para humo que asciende en el a.ire. La ecuación de Bernoulli
no es aplicable a regiones de turbulencia, pues el flujo no es estable.
El que un flujo sea laminar o turbulento depende en parte de la viscosidad del
fluido. Cuanto mayor es la viscosidad, mayor es la tendencia. del fluido a fluir en
capas yes más probable que el flujo sea laminar. (Cuando hablamos de la ecua
ción de Bernoulli en la sección 14.5, supusimos que el flujo era laminar y que el
fluido tenia cero viscosidad. De hecho, se requiere ari poco de viscosidad para
asegurar que el flujo sea laminar.)
Para tm fluido de cierta viscosidad, la rapidez de flujo es un factor determinante.
Un patrón de flujo que es estable a baja velocidad se vuelve inestable de repen
te cuando se alcanza una rapidez critica. Las irregularidades en el patrón de flujo
pueden deberse a asperezas en la pared del tubo, variaciones en la densidad del
fluido y muchos otros factores. Si la rapidez de flujo es baja, estas perturbaciones
se eliminan por amortiguación; el patrón de flujo es estable y tiende a. mantener su
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14.6 | visa .rusas y turbulencia 535
naturaleza laminar. Cuando se alcanza la rapidez crítica, el patrón de flujo se ha
ce inestable; las perturbaciones ya no se amortiguan, sino que crecen hasta des
truir el patrón de flujo laminar.
El flujo de sangre normal en la aorta humana es laminar, pero una alteración
pequeña, como una patología cardiaca, puede hacer que el flujo se vuelva turbu
lento. La turbulencia hace ruido; or ello, escuchar el flu`o san uineo con un esP J
tetoscopio es un procedimiento de diagnóstico útil.
La curva
¿Un lanzamiento de curva en beisbol es realmente una curva? Sin du
da, y la razón es la turbulencia. La figura l4.29a muestra una bola que
se mueve en el aire de izquierda a derecha. Para un observador que se
mueve junto con el centro de la bola, la corriente de aire parece mo
verse de derecha a mquierda, como muestran las lineas de flujo de la
figura. Las velocidades suelen ser altas (cerca de 16€' kmfh), así que
hay una región de flujo ntróaieaio detrás de la bola.
La figura 14.29b muestra una bola. que gira con “top spin”. Ca
pas de aire cerea de la superficie de la bola son llevadas en la direc
ción del giro por la fricción entre la bola y el aire y por la fricción
interna (viscosidad) del aire. La rapidez del aire relativa a la super
ficie de la bola se hace menor en la parte de arriba de la bola que en
la parte de abajo, y la turbulencia se presenta más hacia adelante
en el lado de arriba que cn el de abajo. Esta asimetría causa una di
ferencia de presión; la presión media enla parte de arriba de la bo
 '
_ bola "í"'í"' ...,,í,_
tal (bl (C)
:+.,_ _ 1 I """" _
¬. .| I "'
.._ ""'~3'¬ ' :_
'ty . = :=
14.29 El movimiento del aire de derecha a izquierda, relativo a la
bola, corresponde al movimiento de tma bola por aire inmóvil de iz
quierda a derecha. (a) Una bola que no gira tiene una región de tur
bulencia sirnetrica atrás. (b) Una bola que gira arrastra capas de aire
cerca de su superficie. (c) La región de turbulencia asimetrica
resultante y la desviación de la corriente de aire por la bola girato
ria. La fuerza que se muestra es la que la corriente de aire ejerce
sobre la bola; empuja la bola en la dirección de la velocidad tan
gencial del frente de la bola. La fuerza puede (d) emp_uj ar una bola
de tenis hacia abajo o (e) curvar una bola de beisbol. "
1.
rw __: ¬."*H
¬
,tlll.._ _le
 `31=¿P " "" 'I
la es ahora mayor qtte abajo. La fuerza neta desvía la bola hacia
abajo, como se muestra en la figura l4.29c. Es por esto que se usa
el “top spin” en tenis para evitar que un servicio rápido se salga de
la cancha (Fig. l4.29d). En tm lanzamiento de curva en beisbol, la
bola gira alrededor de un eje casi vertical, y la desviación real es
a un lado. En un caso así, la figura l4.29c es una vista superior de
la situación. Una ctucva lanzada por un lanzador zurdo se curva hacia
un bateador derecho, y es más dificil golpearla (Fig. l=1l.29e).
Un efecto similar se da con las pelotas de golf, que siempre tie
nen “giro hacia atrás” por el impacto con la cara inclinadadel palo.
La diferencia de presión resultante entre la parte de arriba y de aba
jo de la bola causa una fuerza de sustentación que mantiene la bola
en el aire mucho más tiempo del que seria posible sin el giro. Un
golpe fuerte bien dado parece hacer que la bola “flote” o incluso se
curve hacia arriba durante la porción inicial del vuelo. Éste es un
efecto real, no una ilusión. Los hoyuelos de la pelota desempeñan un
papel fundamental; la viscosidad del aire hace que una bola sin bo
yuelos tenga una trayectoria mucho más corta que utta con hoyuelos
con la misma velocidad y giro iniciales. La figura l4.3Ú muestra el
giro de una pelota de golfjusto despues de ser golpeada por tm palo.
14.30 Fotografia estroboscópica de una pelota de golf golpeada
por un palo. La imagen se tomó a lllüll destellos por segtmdo. La
bola gira aproximadamente una vez cada ocho imágenes, lo que
corresponde a una rapidez angular de l25 revis, o Tfillll rpm.
um\ flm m' fïflïi '$312¬i¬ 'i TI'=" N31*F *I ï\T¿' ' 1L'_
¿fluánta más presión deberá aplicar una enfermera con el pulgar para admirtistrar una
inyección con tma aguja hipodermica de diámetro intemo de 0.40 mm, en compara
ción con una aguja con diámetro interno de 0.55 nmt? Suponga que las dos agujas tie
nen la misma longitud y que la razón de flujo de volumen es la misma en ambos casos,
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HF
'__'†_ï*_†!'3ï
li
¡il
536 C, xPiTULo 14 I Mecánica de fluidos
Densidad es masa por unidad de volumen. Si una masa at de p : E (14 1)
| V I
material homogeneo tiene un volumen V, su densidad p es el g
cociente mil/_ La gravedad especifica es la relación entre la I
densidad de un material y la del agua. (Vease el ejemplo 14. l .) i
Presión es fuerza normal por unidad de área. La ley de Pascal ¡ _ dF_, 5 ,r,,,_,,, pequeña gl, ,;1_,,,,,t,.,, ,¿g1fl,,,,¡,,
establece que la presión aplicada a la superficie de un flttido 5 P U (142)
encerrado se transmite sin disminución a todas las porciones 5 ;
del fluido. La presión absoluta es la presión total en un flui _ I _
do; la presión manometrica es la diferencia entre la presión E I \ _
absoluta y la atmosferica. La unidad Sl de presión es el pas tF“'“`f“S “°“““1°5¡g“al“' l
cal (Pa): l Pa = 1 Nlmf, (Vease el ejemplo l4.2.) t
ejercidas sobre ambos lados
lp or_ell`lt1ido circundante _ _
La diferencia de presión entre dos puntos 1 y 2 en É pg _ P1 = Pãlle " Mi Flmdfl densidad
un fluido estático con densidad uniforme p (un flui _ (presion en un fluido de densidad uni j
do incompresible) es proporcional a la diferencia forme) (14.5)
entre las alturas ji, y yy. Si la presión en la supetfi i P ___ P + pgh ¦ 3,, _ _,., = j,
cie de un líquido incompresible en reposo es pu, la , ( lesión en ïln fluido de densidad un¡_ _ ,= p,Ti_ ri
presión a una profundidad lt es mayor en una canti fpnn ) (14 6) ¡___ ln _
asa pgs. (versa las ejemplos 14.3 y 14.4.) ° B ' f
_
H_
*íix¬""' ff"
El principio de Arquímedes dice que, si un cuerpo se sumerge en un fluido, este ejerce Fmdü memplazadü püïun Guam de fUma1¡d¿n,,,_,a:
sobre el una fuerza de flotación hacia arriba igual al peso del fluido que el cuerpo des E stnflflfflflfltfllfl mlfimfl fue f¿fl de flvffl' 'filfifl
plaza. (Veanse los ejemplos 14.5 y 14.6.)
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Un fluido ideal es incompresible y no tiene viscosidad (no hay fricción interna). Una li ,
nea de flujo es la trayectoria de una partícula de fluido; una línea de corriente es una cur i f fr
va tangente en todo ptmto al vector de velocidad en ese punto. Un tubo de flujo es tm
tubo delimitado en sus costados por lineas de flujo. En flujo laminar, las capas de fluido
se deslizan suavemente unas sobre otras. En flujo turbulento, hay gran desorden y el pa
trón de flujo' cambia constantemente.
Á Líneas de flujo
: Tubo de flujo
1
. ! ,J
La conservación de la masa en un fluido incom f Ani, = Agofj ._
presible se expresa con la ecuación de continui _ (ecuación de continuidad, fluido incom _ “if”
dad, que relaciona las rapideces de flujo al y U1 5 ¿_ presible) j (l4.lD) ¿ /*ug al
para dos secciones transversales A 1 y A2 de un ;
E:
tubo de flujo. El producto Ao es la razón de flujo j É, = ,qu
de volumen, a'Vla'i, la rapidez con que el volu
men cruza una sección del tubo. (Vease el fitlfim' i (raïón de flujo ds Wlumen) l
pia 14.7.) (14119 dí
La ecuación de Bernoulli relaciona la
presión ja, la rapidez de flujo ti y
la alntra y de dos puntos 1 y 2 cuales
quiera, suponiendo flujo estable en
un fluido ideal. (Veanse los ejemplos
14.3 a 14.11.)
Terminos clave
barómetro de mercurio, 521
densidad, 515
dinámica de fluidos, 515
ecuación de Bernoulli, 531]
ecuación de continuidad, 527
estática de fluidos, 515
flotación, 523
fluido ideal, 526
flujo estable, 526
Notas del lector
Notas del lector
2 1 1
Pl + Pan + EPI '12 = ra + esta + Envió'
(ecuación de Bernoulli) (lf 1.17)
flujo laminar, 527
flujo turbulento, 527
fuerza de flotación, 523
gravedad específica, 516
ley de Pascal, S20
linea de corriente, 526
linea de flujo, 526
pascal, 513
presión, 517
l Flujo
1
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j 1., _ ,.| ,_ _ ¬. . |
I
presión absoluta, 520
presión atmosférica, 518
presión manometrica, 520 `
principio de Arquímedes, 523
tensión superficial, 525
tubo de fluj o, 526
turbulencia, 534
viscosidad, 526
viscosidad, 533
li'lä
53B c_±.r fruto 14 l Mecánica de fluidos
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*"` 'iÍEÍ
*_ ;;Í ,h ip ;=±:' 2;Respuesta a la pregunta inicial
del capitulo
El aire mantiene casi la misma densidad al pasar por semejante
constricción, asi que puede aplicarse la ecuación de continuidad pa
ra un fluido incompresible [ecuación (14.1 0)]_ Una constricción co
rresponde a un área de sección transversal reducida, asi que la
rapidez u debe aumentar.
Respuestas a las preguntas de Evalúe
su comprension
Sección 14.1 Por la tabla 14.1, la densidad del platino es 21 .4 ve
ces la del agua (21.4 >< 103 lrglmi contra 1.00 >< 103 kg/mi). Por la
ecuación (14.1), el volumen y la densidad son inversamente propor
cionales, asi que la misma masa de agua tiene 21.4 veces el volu
men qtte el platino o sea, 21.4 mi. La longitud de cada lado del
cubo seria R? 21.4 mi = 2.78 m.
Sección 14.2 Por la ecuación (14.9), la presión exterior es igual al
producto pgit. La densidad p decrece, mientras que la altura lt de la
columna de mercurio no cambia; por tanto, la presión debe ser me
nor afuera que dentro del refrigerador. '
Sección 14.3 El objeto desplaza dos tercios de su volumen V, asi
que la fuerza de flotación hacia arriba es B = %p,g,,,, Vg. El objeto es
tá en equilibrio, así que B es igual _al peso del objeto, p°b¡,,,,, Vg. Por
tanto, p,,,,¡_,,,, = §_o_,_,,.,,,,. Éste es un ejemplo de una regla general: si un
objeto tlota un un líquido con una fracción .r de su voltunen sumergi
da, la densidad media del objeto es x veces la densidad del liquido.
Sección 14.4 Dado que el aire es casi incompresible, la razón de
flujo de volumen del aire es prácticamente constante. Cuando sopla
aire a traves de una constricción, como un paso montañoso, su rapi
dez aumcnta para mantener constante la razón de flujo de volumen.
Sección 14.5 Por la ecuación de Bernoulli, un aumento en la rapi
dez de flujo u corresponde a una disminución en la presión del aire
p. La presión redttcida del aire en el lado “exterior” de la puerta ha
ce que la puerta osci le hacia ese lado, cerrándose.
Sección 14.6 La presión requerida es proporcional a 1/R4. Con la
aguja de menor diámetro, la presión es mayor en un factor de
[(0.55 mn1)i(0.40 mm)j4 = 3.6.
Preguntas para análisis
P1 ¿L1 Si el peso de un cuarto lleno de agua es tan grande (ejemplo
14.1, sección 14.1), ¿por que no se colapsa el piso de las casas con
sótano cuando se inundan hasta el techo del sótano?
P'l4.2 Una manguera de hule se. conecta a tm embudo y el extremo
libre se dobla hacia arriba. Si se vierte agua en el embudo, sube al
mismo nivel ett la manguera que en el embudo, a pesar de que este
tiene mucha más agua. ¿Por que? :_
P1¿l.3 Si compara los ejemplos 14.1 y 14.2 delas