José Alfredo, Amor Montaño, Gabriela Campero Arena, Favio Ezequiel Miranda Perea - Teoria de Conjuntos, Curso Intermedio (2010) - Julio Benavidez Fonte

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Teoŕıa de Conjuntos
Curso Intermedio
José Alfredo Amor Montaño
Gabriela Campero Arena
Favio Ezequiel Miranda Perea
Invierno del 2010
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A Joaqúın y a Leonardo, porque hasta ellos le ganaron en existencia a
este libro.
A Ofelia, quien me enseñó a jugar con los números naturales, a Pas-
cual, quien me encantó con los diagramas de Venn y a Martha Elena, quien
por más que me resisto me recuerda diariamente que las matemáticas deben
tener alguna utilidad terrenal.
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Índice general
Introducción VII
1. Tipos de orden 1
1.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Construcción y caracterización de las estructuras numéricas . 6
1.2.1. Caracterización de xN, Py . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Construcción y caracterización de xZ, Zy . . . . . . . 10
1.2.3. Construcción y caracterización de xQ, Qy . . . . . . . 17
1.2.4. Construcción y caracterización de xR, Ry . . . . . . . 27
1.3. Aritmética de tipos de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2. Números ordinales 53
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3. La inducción transfinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4. El teorema de enumeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5. El primer ordinal no numerable ω1 . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6. La recursión transfinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.7. Aplicaciones de la recursión transfinita . . . . . . . . . . . . . 80
2.7.1. Los ordinales iniciales ωα . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.7.2. Aritmética ordinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.7.3. La jerarqúıa acumulativa de los conjuntos bien fundados 84
2.7.4. Algunas pruebas interesantes . . . . . . . . . . . . . . 93
3. Números cardinales 103
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3. La jerarqúıa de los alefs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
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vi Índice general
3.4. El cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.5. Aritmética cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.5.1. Idempotencia del producto cardinal . . . . . . . . . . 120
3.5.2. Sumas con un número infinito de cardinales . . . . . . 124
3.5.3. Productos con un número infinito de cardinales . . . . 128
3.5.4. El teorema de König . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4. Cofinalidad 139
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2. Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3. Ordinales regulares y singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.3.1. El cardinal del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.4. Exponenciación cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.4.1. Resultados dependientes de la HGC . . . . . . . . . . 162
A. El lenguaje de la teoŕıa de los conjuntos 167
A.1. Definición del lenguaje TC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A.2. Manejo de clases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
B. Los axiomas de Zermelo-Fraenkel con elección 171
B.1. Axioma del conjunto vaćıo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
B.2. Axioma de extensionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.3. Axioma del par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
B.4. Axioma de unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
B.5. Axioma del conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
B.6. Esquema de comprensión o separación . . . . . . . . . . . . . 174
B.7. Axioma de infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
B.8. Esquema de reemplazo o sustitución . . . . . . . . . . . . . . 176
B.9. Axioma de regularidad o buena fundación . . . . . . . . . . . 177
B.10.Axioma de elección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
B.11.Comentario histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
B.12.Comentario sobre la independencia de los axiomas . . . . . . 180
Bibliograf́ıa 181
Índice de śımbolos 183
Índice 185
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Introducción
La importancia de la Teoŕıa de Conjuntos radica en que a partir de ella
se puede reconstruir casi toda la matemática clásica. Por ejemplo, se pueden
definir los siguientes conceptos y probar todas sus propiedades como teore-
mas de la Teoŕıa de Conjuntos: par ordenado, relación, función, partición,
orden, buen orden, los números naturales, los enteros, los racionales, los
reales, los complejos, todas las estructuras algebraicas como grupos, anillos,
campos, y otro tipo de estructuras como los espacios vectoriales, los espa-
cios topológicos, los espacios métricos, etc. La importancia práctica de esta
teoŕıa radica en que los métodos e ideas teórico-conjuntistas son sumamente
útiles en casi todas las demás teoŕıas matemáticas.
La Teoŕıa de Conjuntos generalmente se estudia a partir de la axio-
matización de Zermelo-Fraenkel junto con el axioma de elección, denotada
de ahora en adelante ZFE. Estos axiomas son considerados tradicionalmente
como el fundamento de la matemática clásica, pues prácticamente todos sus
enunciados, con excepción de algunos de la teoŕıa de las categoŕıas, pueden
ser expresados en el lenguaje de ZFE y muchos de ellos pueden demostrarse
dentro de la teoŕıa que se desprende de estos axiomas. Otro argumento que
refuerza esta identificación de los axiomas de ZFE con el fundamento de la
matemática clásica es la fuerte convicción que tenemos en ellos. Creemos
en ellos porque reflejan muy bien nuestros procedimientos de demostración
cotidianos y en este sentido creemos que no nos llevarán a ninguna contra-
dicción.
Este libro está pensado como un libro de texto que cubra los temas que
generalmente se imparten en la materia de Teoŕıa de Conjuntos II en la
Facultad de Ciencias de la UNAM. Hemos asumido que los lectores de este
libro están familiarizados con los temas de un primer curso de Teoŕıa de
Conjuntos: el concepto intuitivo de lo que constituye un conjunto, lo que
significa la relación de pertenencia, las ideas básicas de lo que es un lenguaje
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viii Introducción
formal de primer orden y el manejo del lenguaje de la Teoŕıa de Conjuntos
(aunque una breve descripción de estos conceptos se da en el apéndice A);
los conceptos conjuntistas formales de par ordenado, relación y función; la
construcción de los números naturales como conjuntos, el manejo de sus
propiedades y la demostración y manejo del teorema de recursión para na-
turales, incluyendo sus aplicaciones para la aritmética de dichos números;
las relaciones de equipotencia y dominancia entre conjuntos, los conceptos
intuitivos de cardinalidad de un conjunto y de suma, multiplicación y ex-
ponenciación cardinal, aśı como los resultados de la aritmética cardinal que
pueden ser demostrados con estos conceptos intuitivos. También presupone-
mos que el lector tiene una idea de la axiomatización de Zermelo-Fraenkel y
que conoce los axiomas básicos de extensionalidad, vaćıo, par, unión, sepa-
ración, potencia e infinito, aunque los enunciados de éstos y una descripción
de ellos se encuentran en el apéndice B. Además, damos por sentado que el
lector ha tenido un primer acercamientocon el axioma de elección, el lema
de Zorn y el teorema del buen orden. Todos estos temas están cubiertos de
manera extensa en el libro “Teoŕıa de Conjuntos para estudiantes de cien-
cias” [Am05], publicado por la Facultad de Ciencias de la UNAM y del cual
este libro es la continuación.
El objetivo general de este libro es presentar un panorama amplio de las
aritméticas ordinal y cardinal partiendo de los órdenes totales, aśı como dar
los elementos necesarios de la teoŕıa de cofinalidad para poder desarrollar,
con todo rigor, los resultados más importantes de la aritmética cardinal
transfinita y todas las restricciones posibles para el cardinal del continuo
desde la teoŕıa de ZFE.
El libro consta de cuatro caṕıtulos y dos apéndices. El objetivo del primer
caṕıtulo es presentar las definiciones y propiedades de los tipos de orden de
órdenes totales, la construcción formal de las estructuras numéricas clásicas
de los números enteros, racionales y reales a partir de los números natura-
les, aśı como su caracterización como tipos de orden particulares. Se termina
este caṕıtulo con conceptos de aritmética general de tipos de orden, com-
pletando con varios ejercicios. El segundo caṕıtulo contiene la presentación
de los ordinales y el método de inducción transfinita. En él se demuestra el
teorema de enumeración que caracteriza a los ordinales como tipos de orden
de los buenos órdenes, vinculando este caṕıtulo con el anterior. Además, se
prueban varias versiones del teorema de recursión transfinita y se dan varias
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Introducción ix
aplicaciones del mismo, entre las que están la definición de las operacio-
nes de la aritmética ordinal y la jerarqúıa de los conjuntos bien fundados.
El tercer caṕıtulo está dedicado a los números cardinales, definidos como
ordinales iniciales. Se da la definición formal de cardinal de un conjunto,
revisando que esta definición cumple con las propiedades elementales de la
equipotencia y la dominancia entre conjuntos. Además, se presentan las je-
rarqúıas de los alefs y de los beths, aśı como resultados de la aritmética
cardinal, incluyendo las fórmulas de sumas y productos infinitos de cardina-
les infinitos, las leyes de los exponentes generalizadas y el poderoso teorema
de König y sus aplicaciones. El último caṕıtulo contiene una presentación
cuidadosa del concepto de cofinalidad, la clasificación de los cardinales en
regulares y singulares, además de que se discute ampliamente la hipótesis
del continuo. Se presentan los resultados generales de la exponenciación car-
dinal y las simplificaciones de éstos al suponer la hipótesis generalizada del
continuo. Finalmente, quedan establecidas todas las restricciones posibles
desde ZFE para el cardinal del continuo mostrando cuáles son los cardinales
que no pueden ser el cardinal del conjunto de números reales. El apéndice
A contiene una breve discusión del concepto de conjunto y de cómo mane-
jar a las colecciones que no estamos seguros si son conjuntos, las llamadas
clases, además de presentar el lenguaje formal de la Teoŕıa de Conjuntos.
El apéndice B contiene una presentación tanto intuitiva como formal sobre
cada uno de los axiomas de ZFE, aśı como la justificación de su verdad
respecto al concepto iterativo de conjunto, es decir, respecto al modelo de
la jerarqúıa acumulativa de los conjuntos bien fundados cuya construcción
se da en el tercer caṕıtulo como una de las aplicaciones del teorema de
recursión transfinita.
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Agradecimientos
A nuestros estudiantes y ayudantes de la materia de Teoŕıa de los Con-
juntos II, cuyas observaciones mejoraron varias demostraciones, en especial
a Alfonso González.
A Rafael Reyes por el apoyo en dejar a este libro agradable a la vista.
A los árbitros, por sus cŕıticas y sus sugerencias que ayudaron a mejorar
nuestro texto.
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1
Tipos de orden
Hay varias estructuras numéricas muy conocidas en matemáticas, como
son el conjunto de los números naturales N, el conjunto de los números
enteros Z y el conjunto de los números racionales Q. Se puede demostrar
que los conjuntos Z y Q (que definiremos formalmente como conjuntos en
este caṕıtulo) son numerables, es decir, tienen el mismo número de elementos
que los que hay en el conjunto N. Esto quiere decir que, desde el punto de
vista de la cantidad de elementos que tienen, no se puede distinguir entre
los conjuntos de números N, Z y Q. Sin embargo, es bastante claro que estos
tres conjuntos tienen un aspecto distinto. Este aspecto está caracterizado
por cómo se acomodan sus elementos, es decir, hay que analizar cómo están
ordenados sus elementos para ver que realmente son muy distintos. Por
ejemplo, en N hay un primer elemento y en Z no existe, y entre cualesquiera
dos elementos de Q hay otro elemento de Q, lo cual no pasa ni en N ni enZ. Como ya mencionamos, en este caṕıtulo definiremos formalmente a los
conjuntos Z y Q con su estructura de orden; antes definiremos lo que es un
tipo de orden, que es justamente lo que N, Z y Q no comparten.
La definición de N, en la que están basadas las construcciones de Z y Q,
se puede consultar en [Am05], pues es importante visualizar a N con base
en esa definición netamente conjuntista. También definiremos al conjunto
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2 1. Tipos de ordenR, cuya cardinalidad (cuántos elementos tiene) no es numerable, pero que
además tiene una caracterización interesante basada en su tipo de orden.
1.1. Definiciones y ejemplos
Recordamos la definición dada en el libro [Am05] de un conjunto total-
mente ordenado para después definir qué significa que dos conjuntos total-
mente ordenados tengan el mismo tipo de orden. Dada una relación binaria
r, usamos indistintamente las notaciones xx, yy P r ó x r y para expresar
que x está r-relacionado con y. Además, denotamos con domprq al dominiotx : Dy xx, yy P ru de r, con imprq a la imagen ty : Dx xx, yy P ru de r, y
con camprq al campo domprq Y imprq de r.
Definición 1.1 Decimos que xA, ry es un conjunto parcialmente ordenado
si y sólo si A es un conjunto y r es una relación binaria sobre A tales que
(i) Para todo a P A, xa, ay R r; es decir, r es antirreflexiva en A, y
(ii) Para cualesquiera a, b, c P A, xa, by P r y xb, cy P r implican xa, cy P r;
es decir, r es transitiva en A.
Decimos que xA, ry es un conjunto totalmente ordenado o linealmente or-
denado si y sólo si xA, ry es un conjunto parcialmente ordenado y, además,
(iii) para cualesquiera a, b P A, se cumple una y sólo una de las siguientes
condiciones: a � b o xa, by P r o xb, ay P r; es decir, r es tricotómica
en A.
Para abreviar el hecho de que xA, ry sea un “conjunto parcialmente ordena-
do” diremos que xA, ry es un orden parcial. De manera similar, diremos quexA, ry es un orden total cuando sea un “conjunto totalmente ordenado”.
Definición 1.2 Sean xA, ry y xB, sy dos órdenes totales. Decimos que xA, ry
y xB, sy tienen el mismo tipo de orden si y sólo si hay un isomorfismo entre
ellos; es decir, si existe una función biyectiva f : AÑ B tal que�x, y P Apx r y Ø fpxq s fpyqq.
Esto lo denotamos como xA, ry � xB, sy o, si queremos exhibir en la nota-
ción que f es el isomorfismo, como xA, ry �f xB, sy. Además, en este caso
decimos que xA, ry y xB, sy son isomorfos.
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1.1. Definiciones y ejemplos 3
Obsérvese que no se ha definido el tipo de orden de un conjunto total-
mente ordenado, sino únicamente lo que significa que dos de estos conjuntos
tengan el mismo tipo de orden.Como la colección de todos los órdenes to-
tales es una clase propia, es decir, no es un conjunto1, la definición de tipo
de orden no es tan sencilla. Uno de los ejercicios de esta sección pide probar
que la relación “tener el mismo tipo de orden” es de equivalencia sobre la
clase (propia) de los órdenes totales, por lo que esta relación induce una
partición en clases de equivalencia (las cuales no son conjuntos). Es posi-
ble entonces definir el tipo de orden de un orden total como un elemento
particular (un representante) de la clase de equivalencia correspondiente,
esto se puede hacer formalmente usando el axioma de buena fundación2 y
el llamado “truco de Scott” (véase, por ejemplo, [En77]). Sin embargo, en
la sección 2.4, podremos definir el tipo de orden de todos los órdenes totales
de cierto tipo: los buenos órdenes.
Usaremos τ , µ, ν para denotar tipos de orden. No definiremos la noción
de tipo de orden sino que daremos una definición de la relación “tener el
mismo tipo de orden”, aśı como de las relaciones de orden y orden estricto
entre tipos de orden.
Definición 1.3 Si llamamos τ al tipo de orden de un orden total xA, ry y
µ al tipo de orden de un orden total xB, sy, entonces
(i) decimos que τ � µ si y sólo si xA, ry � xB, sy;
(ii) decimos que τ ¤ µ si y sólo si existe una función inyectiva g : AÑ B
tal que �x, y P Apx r y Ø gpxq s gpyqq y esto lo denotamos comoxA, ry Æ xB, sy, o como xA, ry Æ g xB, sy;
(iii) decimos que τ   µ si y sólo si τ ¤ µ y τ � µ.
Es un ejercicio de esta sección demostrar que la definición de igualdad y
la de orden entre tipos de orden no depende de los órdenes totales escogidos
1Véase la introducción en el libro [Am05] para una discusión de lo que esto significa
en la Teoŕıa de Conjuntos.
2En el apéndice B se da la lista de los axiomas de Zermelo-Fraenkel con elección, junto
con una explicación de cada uno de ellos.
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4 1. Tipos de orden
como representantes de cada tipo de orden. En otras palabras, se puede
probar que la igualdad y el orden entre tipos de orden están bien definidos.
Los siguientes son ejemplos de tipos de orden:
1. Se puede demostrar que cualesquiera dos órdenes totales finitos con la
misma cardinalidad son isomorfos. A la luz de este hecho y dado que
los números naturales (ordenados con la pertenencia) son precisamente
órdenes totales finitos, elegimos el tipo de orden de cualquier orden
total finito xA, ry como el número natural n tal que |A| � n. Esta
elección tiene sentido dado que si |A| � n P N, entonces se cumple quexA, ry � xn, Py. Además es la elección más natural, pues se tiene una
definición precisa de los números naturales. (Véase [Am05]).
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Figura 1.1: Tipo de orden 3
2. Siguiendo la tradición, denotamos con ω el tipo de orden de xN, Py.
En la sección 1.2.1 se dará una caracterización de este tipo de orden.
Una caracterización de un tipo de orden τ es un teorema que afirma
que cualquier orden total que cumpla ciertas propiedades es isomorfo
a τ . Lo interesante es encontar las propiedades que debe cumplir el
orden total para ser isomorfo a τ .
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Figura 1.2: Tipo de orden ω
3. Denotamos con ω� el tipo de orden de xN, Qy, donde n Q m si y sólo si
m P n.
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1.1. Definiciones y ejemplos 5
0123
Figura 1.3: Tipo de orden ω�
Ejercicios
1.1.1.- Demuestre que en la parte (iii) de la definición 1.1 sobra la afirma-
ción “y sólo una”.
1.1.2.- Considere la siguiente definición: Decimos que xA, ry es un conjunto
con orden reflexivo si A es un conjunto y r es una relación binaria
sobre A tal que es reflexiva (para todo a P A, xa, ay P r), transitiva
(para cualesquiera a, b, c P A, si xa, by P r y xb, cy P r, entoncesxa, cy P r), y antisimétrica (para cualesquiera a, b P A, si xa, by P r
y xb, ay P r, entonces a � b). Sea A un conjunto, demuestre lo
siguiente:
(i) Si xA, ry es un conjunto con orden reflexivo, entonces el ordenxA, r1y, con r1 � rztxa, ay : a P Au, es un orden parcial;
(ii) Si xA, ry es un orden parcial, entonces el orden xA, r1y, con
r
1 � rY txa, ay : a P Au, es un orden reflexivo.
1.1.3.- Considere la siguiente definición: Decimos que xA, ry es un conjunto
con orden total reflexivo si xA, ry es un conjunto con orden reflexivo
y para cualesquiera a, b P A, xa, by P r ó xb, ay P r. Enuncie afirma-
ciones similares a las del ejercicio anterior ahora con las nociones
de orden total y conjunto con orden total reflexivo y demuéstrelas.
1.1.4.- Demuestre que la relación “tener el mismo tipo de orden” es de
equivalencia sobre la clase (propia) de los órdenes totales.
1.1.5.- (i) Demuestre que si xA, ry es un orden total y existe n P N tal
que |A| � n, entonces xA, ry � xn, Py, es decir, xA, ry y xn, Py
tienen el mismo tipo de orden.
(ii) Demuestre que si xA, ry y xB, sy son órdenes totales tales que
son finitos y tienen la misma cardinalidad, entonces tienen el
mismo tipo de orden.
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6 1. Tipos de orden
1.1.6.- Demuestre que �n,m P Npn P m ùñ n   mq, donde   es el orden
entre tipos de orden.
1.1.7.- Demuestre que �n P N pxn, Py Æ xN, Pyq, es decir que �n P N pn ¤ ωq
(donde ¤ es la relación de orden entre tipos de orden).
1.2. Construcción y caracterización de las estruc-
turas numéricas
Para dar una caracterización de xN, Py y, después de haberlos construido
de manera conjuntista, de xZ, Zy, xQ, Qy y xR, Ry en términos de cómo
están ordenados sus elementos, necesitamos primero dar algunas definicio-
nes.
Definición 1.4 Sea xA, ry un orden parcial. Decimos que xA, ry es un con-
junto bien ordenado o un buen orden si y sólo si para todo X � A con
X � H, existe y P X tal que para todo z P X, xy, zy P r o y � z.
Definición 1.5 Sea xA, ry un orden total. Decimos que xA, ry es sin ex-
tremo derecho (izquierdo) si y sólo si para todo a P A existe b P A tal quexa, by P r (xb, ay P r). Decimos que xA, ry es un orden total sin extremos si
y sólo si es sin extremo derecho y sin extremo izquierdo.
Definición 1.6 Sea xA, ry un orden total. Decimos que un subconjunto X
de A es acotado superiormente (inferiormente) si y sólo si existe a P A tal
que para todo x P X, xx, ay P r o x � a (xa, xy P r o a � x). En este
caso decimos que a es una cota superior (inferior) de X. Decimos que un
subconjunto X de A es acotado si y sólo si es acotado superiormente y
acotado inferiormente.
Definición 1.7 Sean xA, ry un orden total y X � A. Decimos que X tiene
r-mı́nimo (r-máximo) si y sólo si existe y P X tal que para todo x P Xxy, xy P r o y � x (xx, yy P r o x � y). En este caso decimos que y es el
r-mı́nimo (r-máximo) de X.
Definición 1.8 Sea xA, ry un orden total y X un subconjunto de A. De-
cimos que w P A es el supremo (́ınfimo) de X si y sólo si w es una cota
superior (inferior) de X y es el r-mı́nimo (r-máximo) del conjunto de las
cotas superiores (inferiores).
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1.2. Construcción y caracterización de las estructuras
numéricas 7
Definición 1.9 Sea xA, ry un orden total. Decimos que xA, ry es denso si
y sólo si para cualesquiera a, b P A con xa, by P r, existe x P A tal quexa, xy P r y xx, by P r.
Definición 1.10 Si A es un conjunto, r � A2 y B � A, entonces la res-
tricción de r a B, denotada como r æB, se define como
r æB� txb1, b2y : b1, b2 P B y xb1, b2y P ru.
Algunas veces simplemente escribimos xB, ry, en vez de xB, r æBy.
1.2.1. Caracterización de xN, Py
Como ya mencionamos al principio de este caṕıtulo la construcción del
conjunto N se puede ver con detalle en varios libros, como son [Am05],
[HrJe84], [En77]. Damos aqúı un resumen con las definiciones y teoremas
más importantes.
Definición 1.11 Un conjunto n es un número natural si y sólo si cumple
lo siguiente:
(i) n es transitivo (i.e. si x P n y y P x, entoncesy P n);
(ii) xn, Py es un buen orden;
(iii) todo subconjunto no vaćıo de n tiene un P-máximo.
Esta definición está basada en una idea dada por John von Neumann de
que cada número natural sea el conjunto de los naturales anteriores, de tal
suerte que el 0 es el conjunto H vaćıo (pues no hay ningún número natural
anterior a él), el 1 es el unitario del vaćıo tHu, el 2 es el que tiene al vaćıo
y al unitario del vaćıo tH, tHuu, ..., el sucesor de n es n Y tnu, etc. Todos
estos conjuntos efectivamente cumplen la definición formal de ser número
natural. Además, podemos definir la relación “menor” en los naturales como
la pertenencia, pues el comportamiento de la pertencia sobre estos conjuntos
coincide con la noción usual del “menor”.
Para poder reunir a todos los números naturales en un conjunto se ne-
cesita el axioma de infinito3 que afirma lo siguiente: Existe un conjunto
infinito. Más aún, dicho conjunto infinito es un conjunto inductivo en el
sentido de la siguiente
3Véase el apéndice B.
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8 1. Tipos de orden
Definición 1.12 Un conjunto A es inductivo si y sólo si H P A y siempre
que x P A, xY txu P A.
El conjunto xY txu es llamado el sucesor de x y se denota spxq.
Aśı, el conjunto ω se define como la intersección de todos los conjuntos
inductivos y existe por el axioma de infinito. Se puede demostrar entonces
que todo número natural es un elemento de ω y que cualquier elemento de
ω es un número natural; es decir, que ω � N. También se puede demostrar
que las nociones del 0, el sucesor de un conjunto y de ω cumplen con los
famosos axiomas de Peano.
Además, se prueba que xN, Py es un orden total, por lo que es válido
preguntarse cómo es su tipo de orden. El objetivo de esta sección es preci-
samente dar una caracterización de ω o de xN, Py en términos de su tipo de
orden, es decir, de cómo están ordenados sus elementos. Esta caracterización
utiliza uno de los teoremas más importantes que involucra a los naturales, el
teorema de recursión para naturales, con el cual se pueden hacer definiciones
recursivas. La versión principal de este teorema (hay varias versiones) es la
siguiente:
Teorema 1.1 Sea A un conjunto cualquiera. Sean a P A y f : A Ñ A.
Entonces existe una única función h : ω Ñ A tal que hp0q � a y hpspnqq �
fphpnqq.
Demostración. La demostración de este teorema puede revisarse en [Am05];
alternativamente, en el caṕıtulo 2 demostramos una generalización de este
teorema (teorema 2.5) %
Ahora damos la caracterización de ω como tipo de orden.
Teorema 1.2 Sea xA, ry un buen orden no vaćıo sin extremo derecho y tal
que todo subconjunto no vaćıo de A acotado superiormente tiene máximo.
Entonces xA, ry � xN, Py.
Demostración. Sean A un conjunto y r � A�A tales que
(i) A � H;
(ii) xA, ry es un buen orden;
(iii) �x P A Dy P Apx r yq; y
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1.2. Construcción y caracterización de las estructuras
numéricas 9
(iv) para todo B � A, si B � H y Dy P A�x P Bpx r y_ x � yq, entoncesDz P B �w P Bpw r z _ w � zq.
Queremos demostrar que xA, ry � xN, Py.
Como xA, ry es un buen orden, A � A y A � H, sea a el r-mı́nimo de
A. Definimos f : AÑ A de tal forma que para cada x P A,
fpxq � el r-mı́nimo de ty P A : x r yu.
Como ty P A : x r yu es un subconjunto de A distinto del vaćıo pues xA, ry
es sin extremo derecho, la función f está bien definida. Por el teorema de
recursión para naturales (teorema 1.1), existe una única función h : NÑ A
tal que hp0q � a y hpspnqq � fphpnqq.
Obsérvese que por la definición de fpxq, �x P Apx r fpxqq. Por lo tanto,�n P Nphpnq r fphpnqqq y, como hpspnqq � fphpnqq, tenemos que�n P Nphpnq r hpspnqqq.
Veamos que h es un isomorfismo.
Primero demostraremos que �n P N�m P Npm P n Ñ hpmq r hpnqq. Lo
haremos probando que D � tn P N : �mpm P n Ñ hpmq r hpnqqu es un
conjunto inductivo.
Como �m P Npm R 0q, 0 P D.
Supongamos que n P D y demostremos que spnq P D. Sea m P N tal que
m P spnq � nY tnu.
Si m P n, entonces, por hipótesis de inducción, hpmq r hpnq. Por otro
lado, sabemos que hpnq r hpspnqq y, como r es transitiva, hpmq r hpspnqq.
Si m � n, entonces hpmq � hpnq y, como hpnq r hpspnqq, tenemos que
hpmq r hpspnqq.
Por lo tanto, spnq P D y D es inductivo.
Como h es una función entre órdenes totales y�n P N�m P Npm P nÑ hpmq r hpnqq,
por el ejercicio 1.2.3, h es inyectiva y, además,�n P N�m P Npm P nØ hpmq r hpnqq.
Falta demostrar que h es sobre, es decir, que imphq � A (la imagen de h
es A). Supongamos que Azimphq � H. Como Azimphq � A y xA, ry es un
buen orden, sea p el r-mı́nimo de Azimphq. Entonces B � tq P A : q r pu
está acotado por p y B � imphq. Además, B � H, pues si B � H, p seŕıa
el r-mı́nimo de A, es decir, a � p; por lo tanto, p � a � hp0q P imphq,
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10 1. Tipos de orden
contradiciendo el hecho de que p no está en la imagen de h. Por lo tanto,
B � H. Tenemos que B � imphq � A, que B � H y que B está acotado
superiormente por p, entonces, por el inciso (iv) de nuestras hipótesis, existe
q0 P B tal que q0 es el r-máximo deB. Como q0 P B, q0 r p y q0 P imphq, pues
p es el r-mı́nimo de Azimphq. Por lo tanto, q0 � hpmq para algún m P N.
Obsérvese que p es el r- mı́nimo del conjunto ty P A : q0 r yu (p es el mı́nimo
de los r-mayores que q0), pues si hubiera p
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r p tal que p1 fuera r-mı́nimo dety P A : q0 r yu, entonces q0 r p1 r p y q0 no seŕıa el r-máximo de B. Aśı, p es
el r-mı́nimo de ty P A : q0 r yu. Ahora, por la definición de f , fpq0q � p �
el r-mı́nimo de ty P A : q0 r yu, entonces fpq0q � fphpmqq � hpspmqq. Por
lo tanto, p � fpq0q P imphq, contradiciendo que p P Azimphq.
Concluimos que imphq � A y, por lo tanto, xN, Py �
h
xA, ry. %
Con este teorema hemos dado una caracterización de xN, Py, pues po-
demos concluir que xN, Py es el único (salvo isomorfismo) buen orden no
vaćıo sin extremo derecho y tal que todo subconjunto no vaćıo de él acotado
superiormente tiene máximo.
1.2.2. Construcción y caracterización de xZ, Zy
En la sección anterior se dieron las ideas principales de la construcción
de xN, Py y también una caracterización de xN, Py como tipo de orden. El
siguiente paso es la definición conjuntista de los números enteros. Antes
recordamos las definiciones de suma y multiplicación en N.
Definición 1.13 Sea m P N. Definimos la operación sumar m usando el
teorema de recursión para naturales (teorema 1.1) de la siguiente manera.
Dados m P N y la función sucesor s : N Ñ N, por el teorema de recursión
para naturales, existe una única función m�: NÑ N tal que m� p0q � m
y �n P N m� pspnqq � spm� pnqq. Aśı, definimos la operación suma en N
como la función �N : N� NÑ N tal que �m,n P N m�N n � m� pnq.
Definición 1.14 Sea m P N. Definimos la operación multiplicar m usando
el teorema de recursión para naturales (teorema 1.1) de la siguiente manera.
Dados 0 P N y la función sumar m, m�: NÑ N, por el teorema de recursión
para naturales, existe una única función m �: NÑ N tal que m � p0q � 0 y�n P N m � pspnqq � m� pm � pnqq.
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1.2. Construcción y caracterización de las estructuras
numéricas 11
Aśı, definimos la operación multiplicación en N o producto en N como la
función �N : N� NÑ N tal que �m,n P N m �N n � m � pnq.
Las notaciones de la suma en los naturales como �N y de la multiplica-
ción como �N pueden parecer excesivas. Sin embargo, definiremos la suma y
la multiplicación en los enteros con base en las de los naturales por lo que
usamos esta notación para evitar confusiones. Se pueden demostrar (en la
mayoŕıa de los casos por inducción) todas las propiedades conocidas de la
suma y multiplicación para naturales, como ser conmutativas y asociativas;
que la multiplicación se distribuye sobre la suma; las leyes de cancelaciónde
la suma y de la multiplicación; la existencia de los neutros; la compatibilidad
de las operaciones con el orden, etc.
Ahora, la idea de la construcción de los números enteros es hacer de la
operación aritmética de la sustracción, que sólo está definida parcialmente
en los números naturales, una operación “completa”. Después de definir a
los números enteros como conjunto, veremos cómo se extienden las opera-
ciones de suma y multiplicación del conjunto N al conjunto Z. Sin embargo,
dejaremos las demostraciones de las propiedades de estas operaciones como
ejercicios dado que estos resultados realmente pertenecen al campo del álge-
bra. Más bien nos enfocaremos en caracterizar a xZ, Zy como tipo de orden.
Existe una manera de definir la resta o sustracción para algunos pares
ordenados de números naturales: si pm,nq P N�N es tal quem ¥ n (es decir,
n P m o m � n), entonces se puede demostrar que existe un único natural
k tal que m � n� k, y definimos a m�n como k. Pero si pm,nq P N�N es
tal que m   n, no existe ningún número natural k tal que m � n� k (pues
se puede demostrar que �n, k P Npn ¤ n � kq y entonces para cualquier k,
m   n ¤ n�k), por lo que m�n no está definido. Si queremos definir m�n
para este último caso, tendŕıamos que encontrar un “nuevo” individuo que
sea solución de la ecuación m � n� x. Por ahora, representamos a la resta
m� n o a la solución de la ecuación m � n � x como el par pm,nq sin dar
ninguna restricción en cuanto a la relación de orden que exista entre m y n.
Es importante notar que siempre que m ¥ n, la solución de la ecuación
m � n � k es única, pero existen muchas ecuaciones distintas cuyas solu-
ciones son la misma. Por ejemplo, la solución de la ecuación 3 � 1� x es la
misma que la de 7 � 5�y (es decir, 3�1 � 7�5 � 2). Esto quiere decir que
hay pares ordenados de números naturales que queremos que representen al
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12 1. Tipos de orden
mismo número entero, como es el caso de los pares p3, 1q y p7, 5q. En general,
queremos que pa, bq y pc, dq representen al mismo entero si la solución de las
ecuaciones a � b � x y c � d � y es la misma. Entonces podemos definir
una relación sobre N� N en la que dos pares ordenados estén relacionados
si esto sucede:pa, bq r pc, dq si y sólo si existe k P N tal que a � b�N k y c � d�N k.
Sin embargo, hay pares ordenados de naturales que seŕıa deseable que es-
tuvieran relacionados y que no están r-relacionados. Por ejemplo, p1, 2q yp2, 3q no están r-relacionados pues no hay k P N tal que 1 � 2 �N k y
2 � 3 �N k, pero nuestra intuición indica que deben representar al mismo
(nuevo) individuo.
Para solucionar este problema, obsérvese que si pa, bq r pc, dq, como existe
k P N tal que a � b �N k y c � d �N k, sumando estas dos ecuaciones
adecuadamente �N a � b�N kd�N k � c
a�N pd�N kq � pb�N kq �N c
y utilizando las leyes de asociatividad, conmutatividad y cancelación de la
suma en los naturales, podemos definir una nueva relación binaria sobreN� N de la siguiente manera:pa, bq � pc, dq si y sólo si a�N d � b�N c.
Obsérvese que todos los pares ordenados que están r-relacionados tam-
bién están �-relacionados, pero además hay nuevos pares ordenados que
śı están �-relacionados, como son p1, 2q y p2, 3q. Más aún, se puede demos-
trar que la relación � es una relación de equivalencia (ejercicio 1.2.7 de esta
sección), y gracias a este hecho podemos definir a los enteros como las clases
de equivalencia inducidas por �.
Escribimos pa, bq como la clase de equivalencia del par ordenado pa, bq,
es decir, pa, bq � tpm,nq : pa, bq � pm,nqu.
Definición 1.15 Sea Z � N� N {�� tpa, bq : pa, bq P N�Nu, es decir, seaZ el conjunto cociente de N�N módulo �. Z es el conjunto de los números
enteros y a sus elementos los llamamos enteros.
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1.2. Construcción y caracterización de las estructuras
numéricas 13
Los enteros negativos se definen como aquellos pa, bq tales que a P b.
Los enteros positivos son aquellos pa, bq tales que b P a. Ahora definimos el
orden común en Z.
Definición 1.16 Definimos la relación binaria  Z sobre Z de la siguiente
manera: pa, bq  Z pc, dq si y sólo si a�N d P b�N c.
Se puede demostrar que  Z está bien definida y que xZ, Zy es un orden
total. El tipo de orden de xZ, Zy se denota como ω� � ω. En la sección
1.3 se definirá la suma de tipos de orden y se podrá demostar que el tipo
de orden de xZ, Zy es efectivamente la suma del tipo de orden de xN, Qy
más el de xN, Py (ejercicio 1.3.8). Sin embargo, por ahora ω�� ω sólo es una
manera de denotar el tipo de orden de xZ, Zy.
Para definir las operaciones usuales en los enteros, podemos apelar a
la motivación de su construcción. Como pa, bq y pc, dq “representan” las
soluciones de las ecuaciones a � b �N x y c � d �N y, para “representar”
a la suma de pa, bq con pc, dq se necesitan encontrar s y t de forma que
s � t�N px�N yq. Por lo tanto, sumando las primeras dos ecuaciones,�N a � b�N xc � d�N y
a�N c � pb�N dq �N px�N yq
se puede ver cuál es la definición adecuada de la suma en los enteros.
Definición 1.17 Definimos la operación suma en Z como la función�Z : Z� ZÑ Z tal que dados pa, bq, pc, dq P Z,pa, bq �Z pc, dq � pa�N c, b�N dq.
De manera similar, para definir la multiplicación de pa, bq y pc, dq, sa-
biendo que pa, bq y pc, dq “representan” las soluciones de las ecuaciones
a � b �N x y c � d �N y, se necesitan encontrar s y t de forma que
s � t �N px �N yq. Por lo tanto, multiplicando la primera ecuación por y,
a �N y � b �N y �N x �N y,
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14 1. Tipos de orden
sumando a �N d de ambos lados de la igualdad,
a �N d �N a �N y � a �N d �N b �N y �N x �N y,
factorizando a del lado izquierdo de la igualdad,
a �N pd�N yq � a �N d �N b �N y �N x �N y,
sustituyendo d�N y por c,
a �N c � a �N d �N b �N y �N x �N y,
sumando b �N d de ambos lados de la igualdad,
a �N c �N b �N d � a �N d �N b �N d �N b �N y �N x �N y,
factorizando b del lado derecho de la igualdad,
a �N c �N b �N d � a �N d �N b �N pd�N yq �N x �N y,
sustituyendo d�N y por c,
a �N c �N b �N d � a �N d �N b �N c �N x �N y,
se puede ver cuál es la definición adecuada de la multiplicación en los enteros.
Definición 1.18 Definimos la operación multiplicación en Z como la fun-
ción �Z : Z� ZÑ Z tal que dados pa, bq, pc, dq P Z,pa, bq �Z pc, dq � pa �N c �N b �N d, a �N d �N b �N cq.
Se puede demostrar que las operaciones de suma y multiplicación aśı de-
finidas son conmutativas y asociativas, y que la multiplicación se distribuye
sobre la suma. También se puede demostrar que p0, 0q es neutro para la
suma y que p1, 0q es neutro para la multiplicación. Además, para cualquier
entero pa, bq existe un inverso aditivo �pa, bq y �pa, bq � pb, aq. De esta
manera se puede definir la operación sustracción (de manera completa) en
los enteros como pa, bq � pc, dq � pa, bq �Z p�pc, dqq. Asimismo, se puede de-
mostrar que las operaciones son compatibles con el orden  Z , es decir que
la suma preserva las desigualdades, que la multiplicación por positivos no
iguales a p0, 0q también las preserva, y que la multiplicación por negativos
“voltea” la desigualdad.
Sobre todo hay que destacar que, a diferencia de lo que sucede en N,
para cualesquiera pa, bq, pc, dq P Z la ecuación pa, bq � pc, dq �Z x tiene una
única solución en Z, pues la motivación para construir a los enteros fue
justamente que se cumpliera esta afirmación.
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1.2. Construcción y caracterización de las estructuras
numéricas 15
Más aún, si denotamos con 0Z a la clase p0, 0q y con 1Z a la clase p1, 0q,
la estructura pZ, Z ,�Z , �Z , 0Z , 1Zq resulta ser lo que en álgebra se denomi-
na un dominio entero ordenado, pues, además de cumplir las propiedadesmencionadas, se tiene que la multiplicación de dos enteros es 0Z si y sólo
si alguno de los dos enteros es 0Z (lo que se llama “no tener divisores de
cero”).
También podemos definir el valor absoluto de un entero pa, bq, denotado
como |pa, bq|, de la siguiente manera:|pa, bq| � " pa, bq si pa, bq ¥Z 0Z ,�pa, bq si pa, bq  Z 0Z ,
y demostrar todas las igualdades y desigualdades conocidas que involucran
al valor absoluto con las operaciones en Z.
Veamos ahora que el tipo de orden de xZ, Zy es una “extensión” del
tipo de orden de xN, Py.
Lema 1.1 xN, Py Æ xZ, Zy, es decir, el tipo de orden ω es menor o igual
que el tipo de orden ω� � ω.
Demostración. Debemos dar una función inyectiva EZ de N en Z tal que�n P N�m P Npn P mØ EZpnq  Z EZpmqq.
Definimos EZ : NÑ Z como EZpnq � pn, 0q.
Primero demostraremos que �n P N�m P Npn P mÑ EZpnq  Z EZpmqq.
Sean n,m P N tales que n P m. Tenemos que EZpnq � pn, 0q y que EZpmq �pm, 0q. Como n�N 0 � n y 0�Nm � m por la definición y la conmutatividad
de la suma en N, n�N 0 P 0�N m y EZpnq  Z EZpmq.
Como EZ es una función entre órdenes totales que cumple que�n P N�m P Npm P nÑ EZpmq  Z EZpnqq,
por el ejercicio 1.2.3, EZ es inyectiva y, además,�n P N�m P Npm P nØ EZpmq  Z EZpnqq.
Por lo tanto, xN, Py Æ xZ, Zy y ω ¤ ω� � ω. %
De hecho, podemos decir que EZ es un morfismo inyectivo entre las es-
tructuras xN, P,�N , �N , 0, 1y y xZ, Z ,�Z , �Z , 0Z , 1Zy, es decir que EZ , además
de satisfacer que pN, Nq Æ EZ xZ, Zy, cumple lo siguiente:�n P N�m P NpEZpnq �Z EZpmq � EZpn�N mqq.
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16 1. Tipos de orden�n P N�m P NpEZpnq �Z EZpmq � EZpn �N mqq.EZp0q � 0Z .EZp1q � 1Z .
Se deja como ejercicio probar que ω � ω� � ω, pues ω es un buen orden y
ω� � ω no lo es. Por lo tanto, ω   ω� � ω.
Ahora ya estamos listos para caracterizar a xZ, Zy como tipo de orden.
Teorema 1.3 Sea xA, ry un orden total no vaćıo sin extremos tal que todo
subconjunto no vaćıo de A acotado superiormente tiene r-máximo y todo
subconjunto no vaćıo de A acotado inferiormente tiene r-mı́nimo. EntoncesxA, ry � xZ, Zy.
Demostración. Sea xA, ry un orden total tal que:
(i) A � H,
(ii) �a P ADb P ADc P Appb r aq ^ pa r cqq,
(iii) para todo B � A, si B � H y Dy P A�x P B px r y_x � yq, entoncesDw P B �x P B px r w _ x � wq, y
(iv) para todo B � A, si B � H y Dz P A�x P B pz r x_ z � xq, entoncesDv P B �x P B pv r x_ v � xq.
Sea p0 P A y sean A� � tp P A : p0 r pu y A� � tp P A : p r p0u.
Como xA, ry es un orden total y no tiene extremo derecho, xtp0uYA�, ry
es un orden total y no tiene extremo derecho. Como todo subconjunto no
vaćıo de tp0u YA� está acotado inferiormente por p0, todo subconjunto no
vaćıo de tp0u Y A� tiene r-mı́nimo, por lo que xtp0u Y A�, ry es un buen
orden. Además, todo subconjunto no vaćıo de tp0u YA� acotado superior-
mente tiene r-máximo, pues esto se cumple en xA, ry. Por lo tanto, por el
teorema 1.2, xtp0u Y A�, ry es isomorfo a xN, Py. Sea f� : N Ñ tp0u Y A�
un isomorfismo.
Análogamente podemos ver que xA� Y tp0u, r�1y � xN, Py, donde r�1
es la relación inversa de r (véase el ejercicio 1.2.10 de esta sección). Por lo
tanto, sea f� : NÑ A� Y tp0u un isomorfismo.
Obsérvese que, por ser f� y f� isomorfismos, f�p0q � p0 � f�p0q.
Se deja al lector(ejercicio 1.2.9) demostrar que para todo pn,mq P Z
tal que pn,mq ¥Z 0Z , existe un único k P N tal que pk, 0q P pn,mq y que
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1.2. Construcción y caracterización de las estructuras
numéricas 17
para todo pn,mq P Z tal que pn,mq ¤Z 0Z , existe un único k P N tal
que p0, kq P pn,mq. Entonces podemos ver a Z como la unión tpk, 0q : k PNu Y tp0, kq : k P Nu.
Definimos g : ZÑ A de la siguiente manera:
gpn,mq � " f�pkq si pn,mq ¥Z 0Z y pk, 0q P pn,mq,
f�pkq si pn,mq ¤Z 0Z y p0, kq P pn,mq.
Por las observaciones anteriores, g está bien definida y es la unión de dos
isomorfismos compatibles (i.e. que coinciden en los puntos que sus dominios
tienen en común). Se puede demostrar que g es un isomorfismo y, como
A � A� Y tp0u YA�, tenemos que xZ, Zy �g xA, ry. %
Con este teorema hemos dado una caracterización de xZ, Zy, pues po-
demos concluir que xZ, Zy es el único (salvo isomorfismo) orden total no
vaćıo sin extremos, y tal que todo subconjunto no vaćıo acotado de él tiene
mı́nimo y máximo. Por lo tanto el tipo de orden ω� � ω tiene el siguiente
aspecto:
0 1 2 3 4�1�2�3
Figura 1.4: Tipo de orden ω� � ω
1.2.3. Construcción y caracterización de xQ, Qy
Al igual que como construimos xZ, Zy a partir de xN, Py completando la
operación resta sólo parcialmente definida en xN, Py, construiremos xQ, Qy
a partir de xZ, Zy completando la operación división.
La suma, la multiplicación y la resta están definidos para cualquier par
de números enteros, pero la división no, pues dados a, b P Z no siempre es
posible encontrar un c P Z tal que a � b �Z c (por ejemplo, si a � 15 y
b � 2, no existe tal c en Z). Obsérvese que hemos dejado de denotar a los
elementos de Z como pn,mq con n,m P N, pues conviene relajar la notación.
Diremos que a P Z es divisible entre b P Z si existe c P Z tal que a �
b �Z c. Queremos extender la estructura de los números enteros para que todo
elemento a de esta estructura extendida sea divisible por cualquier elemento
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18 1. Tipos de orden
b de la misma, pero también pretendemos que esta extensión preserve todas
las reglas aritméticas válidas en Z. En particular, como 0Z �Z x � 0Z para
todo x P Z, el sistema extendido también debe cumplir esta igualdad. Aśı,
la ecuación a � 0Z �Z x puede tener muchas soluciones o no tener ninguna;
si a � 0Z , no tiene ninguna, y si a � 0Z , tiene una infinidad. Por esto es
que nuestra estructura extendida sólo cumplirá que para todo elemento a y
todo elemento b � 0Z existe un único x tal que a � b � x.
Sea Q 1 � Z�pZzt0Zuq. Al igual que sucedió al construir Z, hay pares or-
denados de enteros en Q 1 que representan al mismo “cociente”. Por ejemplo,
las ecuaciones 4 � 2 �Z x tiene la misma solución que la ecuación 8 � 4 �Z x y
entonces queremos que 4{2 sea el mismo número que 8{4. Aśı que esta vez
también definimos una relación sobre Q 1 de la siguiente manera:pa, bq r pc, dq si y sólo si existe k P Z tal que a � b �Z k y c � d �Z k.
Sin embargo, en esta ocasión, de manera similar a como sucedió en la
construcción de Z, hay pares ordenados de enteros que seŕıa deseable que
estuvieran relacionados y que no están r-relacionados. Por ejemplo, 6{4 y 3{2
no están r-relacionados pues no hay k P Z tal que 6 � 4 �Z k y 3 � 2 �Z k, pero
nuestra intuición indica que deben representar al mismo (nuevo) individuo.
Para solucionar este problema, obsérvese que si pa, bq r pc, dq, como en-
tonces existe k P Z tal que a � b �Z k y c � d �Z k, multiplicando estas dos
ecuaciones adecuadamente�Z a � b �Z kd �Z k � c
a �Z pd �Z kq � pb �Z kq �Z c
y utilizando las leyes de asociatividad, conmutatividad y cancelación de la
multiplicación en los enteros (observando que en el caso en que k � 0Z
tendŕıamos que a � 0Z y c � 0Z y la igualdad de la siguiente definición
también se cumpliŕıa), podemos definir la relación binaria sobre Z�pZzt0uq
de la siguiente manera:pa, bq � pc, dq si y sólo si a �Z d � b �Z c.
Obsérvese que todos los pares ordenados que están r-relacionados tam-
bién están �-relacionados, pero además hay nuevos pares ordenados que
śı están �-relacionados, como son 6{4 y 3{2. Más aún, se puede demostrar
que la relación � es una relación de equivalencia (ejercicio 1.2.12 de esta
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1.2. Construcción y caracterización de las estructuras
numéricas 19
sección), y gracias a este hecho podemos definir a los racionales como las
clases de equivalencia inducidas por �.
Denotamos la clase de equivalencia del parordenado pa, bq como a{b, es
decir, a{b � tpc, dq : pa, bq � pc, dqu.
Definición 1.19 Sea Q � Q 1 {� � ta{b : pa, bq P Q 1u, es decir, sea Q el
conjunto de las clases de equivalencia de Q 1 módulo � . Q es el conjunto de
los números racionales y a sus elementos los llamamos racionales.
Para definir el orden en los racionales primero debemos notar que todo
racional se puede representar como la clase de equivalencia de un elementopa, bq P Q 1 donde b ¡Z 0Z , pues
a
b
� �a�b donde b ¡Z 0Z ó � b ¡Z 0Z .
Definición 1.20 Definimos la relación binaria  Q sobre Q de la siguiente
manera:
si b ¡Z 0Z y d ¡Z 0Z , ab  Q cd si y sólo si a �Z d  Z b �Z c.
Se puede demostrar que  Q está bien definida y que xQ, Qy resulta ser
un orden total. El tipo de orden de xQ, Qy se denota con η. Recordemos
que lo que nos interesa es construir la estructura numérica de los racionales
para después caracterizarla como tipo de orden, por lo que ahora definimos
las operaciones usuales.
Para definir las operaciones usuales en los racionales, podemos apelar a la
motivación de su construcción. Como a{b y c{d representan a las soluciones
de las ecuaciones a � b �Z x y c � d �Z y, para representar a la suma de a{b
con c{d se necesita encontrar s y t de forma que s � t �Z px �Z yq. Por lo
tanto, multiplicando la primera ecuación por d,
a �Z d � b �Z d �Z x,
multiplicando la segunda ecuación por b,
c �Z b � b �Z d �Z y,
sumando las dos ecuaciones anteriores,pa �Z dq �Z pc �Z bq � pb �Z d �Z xq �Z pb �Z d �Z yq,
factorizando b �Z d del lado derecho de la igualdad,
a �Z d �Z c �Z b � pb �Z dq �Z px�Z yq,
se puede ver cuál es la definición adecuada de la suma en los racionales.
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20 1. Tipos de orden
Definición 1.21 Definimos la operación suma en Q como la siguiente fun-
ción �Q : Q� QÑ Q tal que dados a{b, c{d P Q,
a
b
�Q cd � pa �Z dq �Z pb �Z cqb �Z d .
De manera similar, para definir la multiplicación de a{b y c{d, sabiendo
que a{b y c{d representan a las soluciones de las ecuaciones a � b �Z x y
c � d �Z y, se necesitan encontrar s y t de forma que s � t �Z px �Z yq. Por lo
tanto, multiplicando las dos primeras ecuaciones,�Z a � b �Z xc � d �Z y
a �Z c � pb �Z dq �Z px �Z yq
se puede ver cuál es la definición adecuada de la multiplicación en los racio-
nales.
Definición 1.22 Definimos la operación multiplicación en Q como la si-
guiente función �Q : Q� QÑ Q tal que dados a{b, c{d P Q,
a
b
�Q cd � a �Z cb �Z d.
Se puede demostrar que las operaciones de suma y multiplicación aśı de-
finidas son conmutativas y asociativas, y que la multiplicación se distribuye
sobre la suma. También se puede demostrar que 0{1 es neutro para la su-
ma y que 1{1 es neutro para la multiplicación. Además, al igual que como
se cumple en los enteros, para cualquier racional a{b existe un inverso adi-
tivo �a{b y �a{b � p�aq{b; aśı, se define la operación sustracción como
a{b�Q c{d � a{b�Q p�c{dq. De hecho, también como sucede en los enteros,
para cualesquiera a{b, c{d P Q la ecuación a{b � c{d �Q x tiene una única
solución en Q. Asimismo, se pueden definir los racionales positivos como
aquellos a{b tales que a{b ¡Q 0{1, y a los negativos como los racionales que
no son positivos ni cero. De manera similar a como sucede en los enteros, se
puede demostrar entonces que las operaciones son compatibles con el orden Q , es decir que la suma preserva las desigualdades, que la multiplicación
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1.2. Construcción y caracterización de las estructuras
numéricas 21
por positivos no iguales a 0{1 también las preserva, y que la multiplicación
por negativos cambia el sentido de la desigualdad.
Sobre todo hay que destacar que, a diferencia de lo que sucede en Z, se
puede demostrar que para cualesquiera a{b, c{d P Q, si c{d � 0{1, la ecuación
a{b � c{d�Qx tiene una única solución en Q, pues la motivación para construir
a los racionales fue justamente que se cumpliera esta afirmación. De hecho,
por cumplir con las propiedades mencionadas, la estructuraxQ, Q ,�Q , �Q , 0Q , 1Qy
donde 0Q es la clase 0{1 y 1Q la clase 1{1, es lo que en álgebra se denomina
un campo ordenado.
Además, la estructura construida xQ, Qy, cuyo tipo de orden denotamos
como η, es realmente una extensión de xZ, Zy, pues tomando EQ : Z Ñ Q
donde EQppq � p{1Z , tenemos que xZ, Zy Æ xQ, Qy, lo cual equivale a que
ω� � ω ¤ η.
Más aún, la función EQ es un morfismo inyectivo entre las estructuras
algebraicas pZ, Z ,�Z , �Z , 0Z , 1Zq y pQ, Q ,�Q , �Q , 0Q , 1Qq, es decir que EQ ,
además de satisfacer que xZ, Zy Æ EQ xQ, Qy, cumple que�p P Z �q P Z pEQppq �Q EQpqq � EQpp�Z qqq, que�p P Z �q P Z pEQppq �Q EQpqq � EQpp �Z qqq, y queEQp0Zq � 0Q y EZp1Zq � 1Q .
Ahora cumplimos el principal objetivo de esta sección: caracterizar axQ, Qy como tipo de orden.
Recordemos que un conjunto A es numerable si existe una función bi-
yectiva f : N Ñ A; este hecho lo entedemos como que A tiene la misma
cardinalidad o misma cantidad de elementos que N (véase la introducción a
la sección 1.2.4).
Lema 1.2 xQ, Qy es un orden total denso, sin extremos y numerable.
Demostración. El hecho de que xQ, Qy es un orden total se deja como
ejercicio. La prueba de que Q es numerable se puede ver en [Am05].
Para ver que esta estructura es sin extremos, basta ver que para todo
a{b P Q, se tiene que a{b�Q 1Q  Q a{b  Q a{b�Q 1Q .
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22 1. Tipos de orden
Para ver que xQ, Qy es denso, sean a{b, c{d P Q con a{b  Q c{d.
Sin pérdida de la generalidad podemos suponer que b, d ¡Z 0Z . Entoncespa�Zdq �Z pb�Zcq
2�Zb�Zd P Q y se cumple que ab  Q pa�Zdq�Z pb�Zcq2�Zb�Zd  Q cd .
Por lo tanto, xQ, Qy es denso, sin extremos y numerable. %
De manera que el tipo de orden η tiene el siguiente aspecto:
Figura 1.5: Tipo de orden η
En la próxima sección veremos que, aunque en esta figura η aparenta
ser una ĺınea continua, en realidad tiene muchos huecos.
Los siguientes dos teoremas demuestran el mismo hecho: que xQ, Qy es
el único (salvo isomorfismo) orden total denso, sin extremos y numerable.
Las demostraciones de estos teoremas son distintas, pero ambas utilizan el
procedimiento conocido en inglés como el método “back-and-forth”. La fra-
se “back-and-forth” se usa en la lengua inglesa para hablar de una acción
hecha “de ida y vuelta” o “en un sentido y en el sentido inverso”. La idea de
este procedimiento consiste en construir un isomorfismo primero decidiendo
a dónde mandar un elemento del dominio y después tomando un elemento
del codominio para decir de cuál elemento del dominio será imagen. Esta
elección de elementos en el dominio y el codominio se repite una cantidad
numerable de veces hasta abarcar a todos los elementos de ambos y la cons-
trucción se hace de tal forma que la función resultante sea un isomorfismo.
Entonces se llama “forth” (“ida” o “en un sentido”) a la parte del proce-
dimiento en que se elige un elemento del dominio y se decide cuál será su
imagen, y se llama “back” (“vuelta” o “en el sentido inverso”) a la parte
del procedimiento en que se elige un elemento del codominio y se decide de
cuál elemento del dominio será imagen. Teniendo en cuenta esta forma de
construir isomorfismos podemos entender mejor las demostraciones de los
siguientes dos teoremas.
Aunque el teorema que a continuación presentamos se debe a Cantor,
el proceso “back-and-forth” es posiblemente un método de demostración
posterior.
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1.2. Construcción y caracterización de las estructuras
numéricas 23
Teorema 1.4 (Cantor) Cualesquiera dos órdenes totales, densos, sin ex-
tremos y numerables son isomorfos.
Demostración. Sean xA, ry y xB, sy dos órdenes totales, densos, sin ex-
tremos y numerables. Como A y B son numerables, sean A � tan : n P ωu
y B � tbn: n P ωu de forma que ambas enumeraciones sean sucesiones
inyectivas (es decir, no repiten elementos de A o B).
Definimos dos sucesiones tcn : n P ωu y tdn : n P ωu por recursión (véase
la figura 1.6):
(i) c0 � a0 y d0 � b0;
(ii) sea k ¡ 0 y supongamos definidos cm y dm para toda m   k,
• si k es impar, definimos dk como bj P B donde j es el mı́nimo
natural tal que �m   kpbj � dmq, y definimos ck como ai P A
donde i es el mı́nimo natural tal que ai guarda la misma relación
en el orden r con respecto a c0, c1, ... y ck�1 que la relación que
guarda dk en el orden s con respecto a d0, d1, ... y dk�1; podemos
encontrar tal ai gracias a que xA, ry es denso y sin extremos.
• si k es par, definimos ck como ai P A donde i es el mı́nimo natural
tal que �m   kpai � cmq, y definimos dk como bj P B donde j es
el mı́nimo natural tal que bj guarda la misma relación en el orden
s con respecto a d0, d1, ... y dk�1 que la relación que guarda ck
en el orden r con respecto a c0, c1, ... y ck�1; podemos encontrar
tal bj gracias a que xB, sy es denso y sin extremos.
Claramente, tcn : n P Nu � A y tdn : n P Nu � B. Ahora probemos que
A � tcn : n P Nu por inducción fuerte utilizando que A � tan : n P Nu.
- Si n � 0, como c0 � a0, a0 P tcn : n P Nu.
- Supongamos que �i   kpai P tcn : n P Nuq, entonces�i   kDn P Npai � cnq. Sea n0 el máximo n P N tal que cn � ai para
algún i   k. Queremos demostrar que ak P tcn : n P Nu.
Si ak � cn para algún n ¤ n0, entonces ak P tcn : n P Nu.
Si �n ¤ n0pak � cnq, entonces
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24 1. Tipos de orden
• si n0 es impar, n0�1 es par y por lo tanto, por la construcción de
la sucesión tcn : n P ωu, tenemos que ak � cn0�1 P tcn : n P Nu.
• si n0 es par y ak � cn0�1, entonces ak P tcn : n P Nu. Pero si
n0 es par y ak � cn0�1, entonces �n ¤ n0 � 1pak � cnq y, como
n0 � 2 es par, por la construcción de la sucesión tcn : n P ωu,
tenemos que ak � cn0�2 P tcn : n P Nu.
Por lo tanto, A � tan : n P Nu.
Análogamente se puede demostrar que B � tdn : n P Nu.
Sea h : AÑ B tal que �n P Nphpcnq � dnq. Entonces h es un isomorfismo
y xA, ry � xB, sy, es decir xA, ry y xB, sy tienen el mismo tipo de orden. %
A
B
h
a0
b0
c0
d0
a1
b1
c1
d1
a2
b2
c2
d2
a3
b3
c3
d3
a4
b4
c4
d4
a5
b5
a6
q qqqq
qqqqq
Figura 1.6: Construcción de las sucesiones tcn : n P ωu y tdn : n P ωu a
partir de las sucesiones tan : n P ωu y tbn : n P ωu
Por el lema y teorema anteriores sabemos que entonces xQ, Qy es el
único (salvo isomorfismo) orden total, denso, sin extremos y numerable.
Como ya djimos anteriormente, el siguiente teorema prueba esto mismo,
pero la demostración es un tanto distinta y también refleja el “aspecto” que
tiene xQ, Qy.
Teorema 1.5 (Cantor) Todo orden total sin extremos, denso y numerable
es isomorfo a xQ, Qy.
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1.2. Construcción y caracterización de las estructuras
numéricas 25
Demostración. Sea xP, Py un orden total sin extremos, denso y numera-
ble. Como P y Q son numerables, sean P � tpn : n P ωu y Q � tqn : n P ωu
de forma que ambas enumeraciones sean sucesiones inyectivas.
Diremos que una función h de un subconjunto de P en Q es un isomor-
fismo parcial de P en Q si �p, p1 P domphqpp  P p1 Ø hppq  Q hpp1qq.
Primero probaremos la siguiente afirmación: si h es un isomorfismo par-
cial de P en Q tal que domphq es finito, para cualesquiera p P P y q P Q
existe un isomorfismo parcial hp,q de P en Q tal que h � hp,q, p P domphp,qq
y q P imphp,qq.
Sea h � tppi1 , qi1q, ppi2 , qi2q, ..., ppik , qikqu un isomorfismo parcial de P enQ, donde pi1  P pi2  P ...  P pik . Entonces también qi1  Q qi2  Q ...  Q qik .
Sean p P P y q P Q.
Si p P domphq y q P imphq, entonces definimos hp,q � h.
Si p R domphq, entonces puede suceder que p  P pi1 , que pik  P p, o que
pir  P p  P pir�1 con 1 ¤ r   k. Tomamos qn P Q, donde n es el mı́nimo
natural tal que qn guarda la misma relación en el orden  Q con respecto a
qi1, qi2 , ... y qik que la relación que guarda p en el orden  P con respecto a
pi1, pi2 , ... y pik . Es decir, qn P Q, donde n es el mı́nimo natural tal que: si
p  P pi1 , entonces qn  Q qi1 (tal qn existe pues Q es sin extremo izquierdo);
si pik  P p, entonces qik  Q qn (tal qn existe pues Q es sin extremo derecho);
y si pir  P p  P pir�1 con 1 ¤ r   k, entonces qir  Q qn  Q qir�1 (tal qn
existe pues Q es denso).
Sea h1 � h Y tpp, qnqu, entonces h1 es un isomorfismo parcial de P en Q
y p P domph1q.
Si q P imph1q, sea hp,q � h1.
Si q R imph1q, escribimos
h1 � tppj1 , qj1q, ppj2 , qj2q, ..., ppjk , qjkq, ppjk�1, qjk�1qu,
donde pj1  P pj2  P ...  P pjk  P pjk�1. Entonces también se tiene que
qj1  Q qj2  Q ...  Q qjk  Q qjk�1. Por lo tanto, puede suceder que q  Q qj1,
que qjk�1  Q q, o que qjr  Q q  Q qjr�1 con 1 ¤ r   k. Tomamos pm P P,
donde m es el mı́nimo natural tal que pm guarda la misma relación en el
orden  P con respecto a pj1, pj2, ... y pjk�1 que la relación que guarda q
en el orden  Q con respecto a qj1, qj2, ... y qjk�1. Es decir, pm P P, donde
m es el mı́nimo natural tal que: si q  Q qj1, entonces pm  P pj1 (tal pm
existe pues P es sin extremo izquierdo); si qjk�1  Q q, entonces pjk�1  P pm
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26 1. Tipos de orden
(tal pm existe pues P es sin extremo derecho); y si qjr  Q q  Q qjr�1 con
1 ¤ r   k, entonces pjr  P pm  P pjr�1 (tal pm existe pues P es denso).
Sea h2 � h1 Y tppm, qqu, entonces h2 es un isomorfismo parcial de P enQ, p P domph2q y q P imph2q. Por lo tanto, definimos hp,q � h2.
Aśı, hemos probado que si h es un isomorfismo parcial de P en Q tal
que domphq es finito, para cualesquiera p P P y q P Q existe un isomorfismo
parcial hp,q � h tal que p P domphp,qq y q P imphp,qq.
Ahora, definimos por recursión una sucesión de isomorfismos parciales
de la siguiente manera:
h0 � H,
hn�1 � phnqpn,qn ,
donde phnqpn,qn es la extensión de hn que cumple pn P dompphnqpn,qnq y
qn P impphnqpn,qnq.
Finalmente si definimos h ��nPN hn, entonces xP, Py �h xQ, Qy. %
Aśı, hemos caracterizado a xQ, Qy como tipo de orden. Además, pode-
mos demostrar el siguiente poderoso resultado.
Corolario 1.1 Todo orden total numerable xS, 
S
y puede sumergirse iso-
mórficamente en xQ, Qy, es decir, hay una función inyectiva S Ñ Q, que
preserva el orden, lo cual se denota con xS, 
S
y Æ xQ, Qy.
Demostración. La demostración de este corolario es muy parecida a la
prueba del teorema anterior.
Como S y Q son ambos conjuntos numerables, sean S � tsn : n P ωu
y Q � tqn : n P ωu de forma que ambas enumeraciones sean sucesiones
inyectivas.
Podemos demostrar que para cualquier isomorfismo parcial h de xS, 
S
y
en xQ, Qy con dominio finito y cualquier elemento s P S, existe un isomor-
fismo parcial hs de xS, Sy en xQ, Qy tal que h � hs y s P domphsq.
Sea h � tpsi1 , qi1q, psi2 , qi2q, ..., psik , qikqu un isomorfismo parcial de S enQ, donde si1  S si2  S ...  S sik . Entonces también qi1  Q qi2  Q ...  Q qik .
Sea s P S.
Si s P domphq, entonces definimos hs � h.
Si s R domphq, entonces puede suceder que s  
S
si1, que sik  S s, o que
sir  S s  S sir�1 con 1 ¤ r   k. Tomamos qn P Q, donde n es el mı́nimo
natural tal que qn guarda la misma relación en el orden  Q con respecto a
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1.2. Construcción y caracterización de las estructuras
numéricas 27
qi1, qi2 , ... y qik que la relación que guarda s en el orden  S con respecto a
si1, si2, ... y sik . Es decir, qn P Q, donde n es el mı́nimo natural tal que:
si s  
S
si1, entonces qn  Q qi1 (tal qn existe pues Q es sin extremo izquierdo);
si sik  S s, entonces qik  Q qn (tal qn existe pues Q es sin extremo derecho);
y si sir  S s  S sir�1 con 1 ¤ r   k, entonces qir  Q qn  Q qir�1 (tal qn
existe pues Q es denso).
Sea hs � hY tps, qnqu, entonces hs es un isomorfismo parcial de xS, Sy
en xQ, Qy, h� hs y s P domphsq.
Ahora, definimos por recursión una sucesión de isomorfismos parciales:
h0 � H
hn�1 � phnqsn dondephnqsn es la extensión de hn tal que sn P dompphnqsnq.
Finalmente si h � �nPN hn, entonces xS, Sy Æh xQ, Qy. %
Entonces podemos concluir que hay una copia dentro de xQ, Qy de
cualquier orden total numerable; es decir, todo orden total numerable puede
ser encajado isomórficamente en cualquier orden total numerable denso y
sin extremos.
1.2.4. Construcción y caracterización de xR, Ry
Todas las estructuras numéricas que hasta ahora hemos caracterizado
tienen la misma cardinalidad. De manera similar a como hemos definido
que dos órdenes totales tengan el mismo tipo de orden, la noción de que dos
conjuntos tengan la misma cardinalidad puede definirse sin que sea necesario
definir el concepto de número cardinal.
Definición 1.23 Sean A y B conjuntos cualesquiera. Decimos que A tiene
la misma cardinalidad que B, o que A es equipotente a B, si y sólo si existe
una función biyectiva f : AÑ B. Este hecho lo denotamos como A � B.
Se puede ver que la relación “tener la misma cardinalidad” es de equiva-
lencia sobre la clase (propia) de todos los conjuntos. Sin embargo, las clases
de equivalencia inducidas por esta relación no siempre son conjuntos, por lo
que elegir un representante de cada una para definir los números cardinales
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28 1. Tipos de orden
no puede hacerse a la ligera. En el caṕıtulo 3 de este libro definimos for-
malmente cuáles son estos números cardinales que representan a cada clase
de equivalencia.
Por ahora, lo interesante es notar que N, Z y Q tienen la misma cardina-
lidad, llamada, como ya mencionamos, numerable. Durante un tiempo los
matemáticos se preguntaron si todos los conjuntos infinitos teńıan la misma
cardinalidad, pero Cantor descubrió que existen conjuntos infinitos que no
son numerables. Este descubrimiento se convirtió, según autores como Ka-
namori (ver [Ka96], en particular la nota al pie de página número 6), en el
origen del desarrollo de la Teoŕıa de Conjuntos.
El conjunto potencia de A, PpAq, es el conjunto de todos los subconjun-
tos de A. Claramente, existe una función inyectiva g : A Ñ PpAq definida
como gpaq � tau. Sin embargo, lo que Cantor demostró es que A no es equi-
potente con PpAq (véase por ejemplo [Am05]), es decir, demostró que la
cardinalidad de PpAq es “más grande” que la de A para cualquier conjunto
A. Como consecuencia de este resultado, se tiene que el conjunto infinito
PpNq no es numerable. Por otro lado, se puede demostrar que PpAq tiene
la misma cardinalidad que la del conjunto A2 � tf |f : A Ñ t0, 1uu (véase
por ejemplo [Am05]). En particular, PpNq tiene la misma cantidad de ele-
mentos que el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos. El conjunto
de los números reales, que construiremos a continuación, es uno de los con-
juntos más famosos en matemáticas y no es numerable. Intuitivamente esto
es porque al representar a los números reales en sistema binario obtenemos
esencialmente a todas las sucesiones de ceros y unos.
Al igual que en los naturales y en los enteros, existen ecuaciones en los
racionales que no tienen solución y este hecho puede motivar la necesidad de
extender la estructura numérica de los racionales. Sin embargo, a diferen-
cia de las construcciones de los enteros y racionales, que se hacen mediante
la compleción de operaciones algebraicas (la resta y la división respectiva-
mente), veremos que la construcción de los reales como extensión de los
racionales tiene una naturaleza netamente conjuntista.
Las observaciones para determinar que xQ, Qy tiene huecos han sido
conocidas desde tiempos de los griegos, aunque la problemática no estuvie-
ra expresada precisamente en estos términos. La escuela pitagórica, no se
sabe si Pitágoras mismo, descubrió que no exist́ıa ningún número racional
cuyo cuadrado fuera el número 2. En términos modernos, esta escuela descu-
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1.2. Construcción y caracterización de las estructuras
numéricas 29
brió que la ecuación x �Q x � 2 no tiene solución en Q. Pero lo que resultó un
golpe más fuerte para la escuela pitagórica fue el descubrimiento de que no
todos los segmentos de recta tuvieran medida racional; la terminoloǵıa de
la época era que hab́ıa segmentos de recta inconmensurables, es decir, sin
posibilidad de medirse. Se cree que este descubrimiento se hizo cuando se
intentaba dar la razón entre el lado de un cuadrado cuyos lados fueran de
medida unitaria y la diagonal de este cuadrado. A través del teorema de
Pitágoras y del hecho de que ningún racional al cuadrado es 2, se descu-
brió que la diagonal de este cuadrado era inconmensurable. Este hecho lo
entendemos en términos modernos como que la hipotenusa de un triángulo
rectángulo de lado 1 mida
?
2 y que este número no sea racional. A partir de
ese momento y durante muchos años la mayoŕıa de los matemáticos griegos
separó a la geometŕıa de la aritmética, hablando de segmentos inconmen-
surables y considerando que el uso de los números para medir longitudes
y áreas era contrario al “idealismo platónico”. Sin embargo, los números
racionales en forma de cocientes de enteros eran conocidos y utilizados en
la Grecia Antigua. Además, el matemático Arqúımedes usó estos números
en su estudio de las áreas y los volúmenes, y sus ideas de aproximar áreas
y volúmenes con racionales de manera sucesiva se acercan a la concepción
moderna de los números reales. Este comienzo de la historia de los números
reales puede consultarse en [BePi63].
Durante muchos siglos los matemáticos utilizaron los números reales
sin que existiera una definición exacta de ellos. Afortunadamente, la idea
intuitiva que se teńıa del sistema de números reales era lo suficientemente
acertada como para que rara vez se llegara a conclusiones falsas. Con base
en esta concepción informal se creó, por ejemplo, el cálculo de Newton y
Leibniz. No fue sino hasta finales del siglo XIX con el trabajo de Cantor y
particularmente el de Dedekind que la pregunta “¿qué es un número real?”
fue resuelta.
El hecho de que xQ, Qy tenga huecos se puede formalizar con la termino-
loǵıa de tipos de orden: en xQ, Qy no todos los subconjuntos superiormente
acotados tienen supremo (o, equivalentemente, no todos los subconjuntos
inferiormente acotados tienen ı́nfimo).
Es decir, la motivación para completar a xQ, Qy es la misma de que
existen segmentos de recta cuya medida no es racional, pero el planteamiento
está en términos de las definiciones relacionadas con el comportamiento
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30 1. Tipos de orden
de los órdenes totales. Para decir cuál es la longitud de un segmento de
recta dado AB tomamos el conjunto S de todos los números racionales
positivos x tales que x es menor o igual que la distancia de A a B (medida
en términos de un segmento unitario fijo), entonces si d es el  Q-máximo
de S, d es la longitud del segmento AB. Sin embargo, no siempre sucede
que S tenga  Q-máximo; por ejemplo, si AB es la diagonal de un cuadrado
cuyos lados miden lo mismo que el segmento unitario, podemos ver que el
conjunto S � tq P Q : 0  Q q y q �Q q ¤Q 2u y que S no tiene  Q-máximo.
Precisamente el conjunto S es un subconjunto superiormente acotado de Q
que no tiene supremo. Por lo tanto, la motivación para la construcción de
la estructura xR, Ry es que sea una extensión de xQ, Qy en la que todo
subconjunto superiormente acotado tenga supremo (esta afirmación a veces
es llamada el axioma del supremo).
Primero analicemos qué sucede si cortamos un orden total xA, ry cual-
quiera. La idea intuitiva de lo que hacemos cuando cortamos un orden total
es simplemente la de cortarlo con unas tijeras cuyas navajas sean infinita-
mente delgadas. La definiciónformal es la siguiente.
Definición 1.24 Una cortadura de un orden total xA, ry es un par orde-
nado pB,Cq, donde B y C son subconjuntos ajenos no vaćıos de A tales que
A � B Y C y si b P B y c P C entonces b r c.
Entonces dada una cortadura pB,Cq de un orden total xA, ry se puede
dar alguna de las siguientes cuatro situaciones.
1. B tiene un r-máximo y C tiene un r-mı́nimo, como en la figura 1.7.1;
2. B tiene un r-máximo y C no tiene un r-mı́nimo, como en la figura
1.7.2;
3. B no tiene un r-máximo y C tiene un r-mı́nimo, como en la figura
1.7.3; o
4. B no tiene un r-máximo y C no tiene un r-mı́nimo, como en la figura
1.7.4.
El tipo de cortadura enumerada como la 1 se puede denominar como
un “salto”. Este tipo de cortadura no existe en xQ, Qy, pues si hubieran
B y C tales, como xQ, Qy es denso, habŕıa un q P Q entre el r-máximo
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1.2. Construcción y caracterización de las estructuras
numéricas 31
de B y el r-mı́nimo de C, y entonces la unión de B y C no podŕıa ser Q.
Sin embargo, todos los demás tipos de cortaduras pueden darse en xQ, Qy.
Las cortaduras enumeradas como la 2 y la 3 son equivalentes en el sentido
de que en ambos casos el subconjunto B tiene supremo; en el caso 2, el
supremo seŕıa el r-máximo de B, y en el caso 3, éste seŕıa el r-mı́nimo de
C. El tipo de cortadura enumerada como la 4 se puede denominar como
un “hueco” y estas cortaduras son precisamente las que no quisiéramos que
fueran posibles en la extensión xR, Ry de xQ, Qy. Es decir, queremos quexR, Ry sea una compleción de xQ, Qy que resulte ser un orden total en el
que las únicas cortaduras posibles sean las de tipo 2 o 3, de forma que todo
subconjunto de xR, Ry superiormente acotado tenga supremo.
1.
CB
2.
CB
3.
CB
4.
CB
Figura 1.7: Tipos de cortaduras
Construyamos entonces al sistema de los números reales basándonos en
el trabajo de Dedekind.
Definición 1.25 Un conjunto I es un segmento incial de Q si y sólo si
(i) H � I � Q,
(ii) �r, s P Qppr  Q s^ s P Iq ùñ r P Iq, y
(iii) Dr P I�q P Ipq ¤Q rq.
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32 1. Tipos de orden
Obsérvese que si I es un segmento inicial de Q, entonces el par ordenadopI,QzIq es una cortadura de xQ, Qy. Más aún, si I es un segmento inicial
de Q, entonces pI,QzIq es una cortadura de tipo 3 o 4, pues por el inciso
(iii) I no tiene máximo.
Definición 1.26 Una cortadura de Dedekind es una cortadura pI,QzIq
donde I es un segmento inicial de Q.
La idea genial de Dedekind fue la de tomar a los segmentos iniciales de
racionales precisamente como los números reales.
Definición 1.27 Sea R el conjunto de todos los segmentos iniciales de Q,
es decir, R � tI : I es un segmento inicial de Qu. R es el conjunto de los
números reales y a sus elementos los llamamos reales.
Por lo tanto, los números reales son los segmentos inciales que correspon-
den a las cortaduras del tipo 3 o 4. Esto es natural, pues, como ya discutimos,
las cortaduras de tipo 1 son imposibles en xQ, Qy, y las de tipo 2 son equi-
valentes a las de tipo 3 y no queremos repetir individuos. De hecho podemos
pensar que cuando una cortadura de Dedekind es de tipo 3 el número real
que le corresponde es un racional y cuando es de tipo 4 el número real que
le corresponde es un “individuo nuevo” o un irracional. En otras palabras,
dado r P Q, Ir � tq P Q : q  Q ru es un segmento inicial de Q (como se
demuestra en el siguiente lema) y la cortadura de Dedekind pIr,QzIrq es de
tipo 3. Sin embargo, existen segmentos iniciales I de Q, como por ejemplo
I � tq P Q : q ¤Q 0 _ q2  Q 2u, tales que �r P QpI � Irq y una cortadura
de Dedekind pI,QzIq correspondiente a esta clase de segmentos es de tipo
4. Cabe mencionar que al cortar el orden total xQ, Qy la probabilidad de
que la cortadura resultante sea de tipo 3 es más bien baja, aunque śı pueda
suceder, esto es intuitivamente (gracias a nuestro conocimiento previo de
aritmética cardinal y al hecho de que la cardinalidad de R es no numerable)
porque la cardinalidad de Q es numerable y la cardinalidad de sus huecos
es mayor.
Es claro ahora por qué dijimos en la introducción de esta sección que la
construcción del conjunto R es de naturaleza netamente conjuntista, pues los
números reales son subconjuntos de números racionales y los supremos de
estos subconjuntos son ellos mismos. Es decir, la manera en que Dedekind
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1.2. Construcción y caracterización de las estructuras
numéricas 33
decidió llenar los huecos fue definiendo al conjunto de todos los racionales
a la izquierda de un hueco como el punto que llena ese hueco.
Como por definición R � PpQq, podemos por lo pronto afirmar que la
cardinalidad de R es menor o igual que la cardinalidad de la potencia de Q, es
decir que |R| ¤ 2ℵ0 (véase [Am05] para la aritmética cardinal involucrada).
Lema 1.3 Para todo r P Q, Ir � tq P Q : q  Q ru es un segmento inicial deQ.
Demostración. Sea r P Q. Como Q es sin extremo izquierdo, existe q P Q
con q  Q r, por lo que Ir � H. Claramente Ir � Q y, como r R Ir, Ir � Q.
Por lo tanto, H � Ir � Q.
Sea q P Ir y sea t P Q tal que t  Q q, entonces t  Q q  Q r y, por la
transitividad de  Q, t P Ir.
Sea q P Ir. Como xQ, Qy es denso y q  Q r, existe p P Q tal que
q  Q p  Q r. Por lo tanto, Ir no tiene  Q-máximo. %
Veremos que estos segmentos iniciales Ir con r P Q son los correspon-
dientes a los “números racionales en R”. Aśı, reaparece el sabor conjuntista
de esta construcción, pues los racionales ahora serán subconjuntos de racio-
nales. Como ya discutimos, hay muchos otros segmentos iniciales que no se
pueden escribir de esta forma y éstos son los que llenan los huecos, es decir
los correspondientes a los números irracionales.
Ahora definimos el orden en R de forma que extienda el orden en Q e
incluya los “huecos”.
Definición 1.28 Definimos la relación binaria  R sobre R de la siguiente
manera:
I  R J si y sólo si I � J.
Ahora veamos que es correcto hablar del tipo de orden de xR, Ry.
Lema 1.4 xR, Ry es un orden total.
Demostración. Claramente  R es antirreflexivo y transitivo, pues se defi-
nió como la contención propia entre segmentos iniciales.
Veamos que  R es tricotómica. Sean I, J P R tales que I � J e I � R J .
Queremos demostrar que J  R I, es decir que J � I. Sea q P J . Como por
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34 1. Tipos de orden
hipótesis I � J , IzJ � H, entonces sea r P IzJ . Como q, r P Q y xQ, Qy
es un orden total, q  Q r o r ¤Q q. Si r ¤Q q, como q P J y J es segmento
inicial de Q, r P J , lo que contradice que r P IzJ .
Por lo tanto, q  Q r. Como I es segmento inicial de Q y r P I, q P I y
J � I. Pero por hipótesis J � I, entonces J � I y J  R I.
Por lo tanto, para todo I, J P R sucede una de las siguientes situaciones:
I  R J , J  R I o I � J . Para ver que sólo puede suceder una de estas
situaciones, basta recordar que  R se definió como la contención propia. %
Denotamos con λ al tipo de orden de xR, Ry.
Figura 1.8: Tipo de orden λ
Aunque en aparencia el tipo de orden λ se vea igual que el tipo de orden
η (figura 1.5), sabemos que son muy distintos, pues demostraremos que λ,
a diferencia de η, no tiene “huecos”.
Demostremos ahora que la estructura R realmente es una extensión deQ.
Lema 1.5 El tipo de orden η es menor o igual que el tipo de orden λ, es
decir xQ, Qy Æ xR, Ry.
Demostración. Sea ER : QÑ R definida como sigueERprq � Ir � tq P Q : q  Q ru.
Veamos que �r, r1 P Qpr  Q r1 Ñ ERprq  R ERpr1qq.
Sean r, r1 P Q tales que r  Q r1. Entonces para todo q P Ir, q P Ir1 , pues
si q  Q r, como r  Q r1, q  Q r1. Además, como ya vimos antes, Ir � Ir1 .
Por lo tanto, Ir � Ir1 y ERprq  R ERpr1q.
Como ER es una función entre órdenes totales y además se cumple que�r, r1 P Qpr  Q r1 Ñ ERprq  R ERpr1qq, por el ejercicio 1.2.3, ER es inyectiva