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BIBUOT~ UCM IIfJIII 111111111111111111111'11111111111111111111111111111111 530303413X JULIO REY PASTOR PEDRO PI CALLEJA C ~ S ARA. T R E JO - L - Aná lisis matemático Volumen 1: Análisis algebraico • Teoría de ecuaciones Cálculo infinitesimal de una variable ',. " . (".tr, ' ,)"f\:: .. ~ , l·' .. _ . ., "'). "'\: .... ~. "'.1 '1·:- "· .~ ,,--..;;'-,;;,; .",Y' EDITOR I AL ~#' "::~:E-:E:X.VS:Z ti~ Moreno 372 ' Ouenos Aires Estár. p.-chtt lldas y penadas pe;- ta ley la reproducCiÓn y la d ifusión lotales o parCiales de eóla obra, en cualqUIer fOtme, por medios mer.-ánicos o electrónicos. indus'lie por lotocopia grabacién magnetofónica y cualquier otro sistema de alrnacenam¡enlo óe Intormación, sir. el previo COIlsentlm.enlc esenIo del edilor Todos loS , Iw!lc;hos III$IIIV. \lII,. lit" u,D. 19/J:!\ EDI lOAIAL KN'ElUSZ SA U""'I()II AllljI 1,~h'J l .htr.I(>t!'1o 1111(\ a:.,al,lllcu Id Iny t i 123 OCf'1Ví1 OO/Clórr. jl/lío ,111 r I UII'lO DE EOICION I\RllCtJllt~A A,!'U.' '' ' lI'1unlll'l\ ÍNDICE GENERAL PÁG. P'resenta,ción . . . . . . ... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XVII Nota a 1ft segunda. edición ......................... XIX Nota (l lt[ séptima edición . . .. ...................... XIX Plan de la obra..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . xx 1. F llla lidlld y estrOlctura. grafia general. 2. Contenido. CAPÍTULO 1 3. Biblio- FUNDAMENTACIóN DEL NúMERO RACIONAL § 1. Int roducción lógica . ............ .. ............ 1 1. Un idad y conjunto. 2. L6gica deductiva. 3. Méto- dos de demostración. 4. Conceptuación matemática. 5. Igualdad. Relaciones de equivalencia. 6. Definiciones por abstracción. 7. Axiomática. 8. Est ructura de la Matemática. E jel'clclOS. § 2. El númel'o natUl'al .......... . ................ lE L Diversas f undamentaclones delnúmel'o l1atUl'1l1, 2. In- c!u!!ción cOJlJpleta, Axiomas de PEA NO, 3. Definicioncs pOI' recun encia. 4. Opel'aciones fnndamentales. 5. De- finición de mayo!' y menOl'. Le~Tes de la desigualdad. 6. Leyes fo rm:..les: l)l'incipio ele permanencia. 7. Con- cepto deE den. 8, Col"re:;,pondencia. 9. Conjuntos fi - ni tos. 10. N úmer o _<:1Irdinat 11. C011jUlltos numera- liles: - ~ercieios. - ----- El número entero 1. Definición de número entero. 2. Enwl'os positivos y negativos. 3. Suma, producto y desigualdad. 4. Ley unifon ne y leyes formales. 5. Isomol'Íismo entre los nú- meros naturales y los enteros positivos. 6. La sustrae- ('ión. Operaciones enteras. 7. Módúlos de las operacIones Jundarnell18les. 8. Produ d us éle valor nulo. 9. Regla de los signos y de la desigualdad. 10. Re presentación gráfica. 11. La f acultad de abstracción. Ejercicios. 30 ~ ·1. Sím holos nmnél'icos y operatorios. Polinomios ... 39 1. Símbolos nwnéricos. 2. Monomios. 3. Símbolo n. 11. Simholo!:. 5. Producto de potencias de igual base. O. f;lI llre.,i rl!, de paréntesis. 7. Polinomios. 8. P r o· fi li e 41 11 · rlus Ru mn s. !l. Producto de varias sumas. 10. n .. totol l. 11. Vnlor numérico dc un polhlOm io. ret!! e • VI íNDICE GENERAL PÁG. ~ 5. Divisibilidad numér icl1 . .... .. ....... .. ........ 46 1. División entera. 2. Divisibilidad y orden parcial. 3. La. divisibilidad r especto 8 la Ildicidn y a la sustracción. 4. La divisibilidad respecto l\ la mul tiplicación. 6. Má- ximo común divisor y 1l1ínimo común múltiplo de dos nú- meros. 6. El algoritmo de EUCLIDES. 7. DiviSOl'es ~. múltiplos comunes de valios nÚhu:!rOIl. 8. Descomposi- ción en fadores primos: teol'emll fundumental. 9. Apli- caciones del teorema fundamental. 10. Obtenci6n de to- dos los divisores de un número. 11. Congl'uencias y cla- ses residuales. 12. Operaciones con clases residuales, Gl'UpOS, anillos, cuerpos. Ejercicios. § 6. El número racional .......................... 65 1. Definición de número l·aciollal. 2. Suma y pl'odudo de números racionales: leyes fOl·nlales. 3. l!:'ol11orfismo con los entel·OS. 4. La división en el campo racional. Operaciones racionales. 5. La desigualdad en el campo de los números racionales. 6. Repl'csentación gráfica de los números racionales. 7. Potencias de exponente en- tero. 8. Series de f l'acciones ¡gUilles y desiguales. 9. Medias aritméticas, geométricas y armónicas. Ejer- cicios, Votas al Capítulo 1 ... , ..... ,..................... . 77 L El álgebra de BOOLE. 11. E l algoritmo de la Hume- raclOn. III. Complementos sobre divisibilidad numérica. IV. Biblivg.'afía. CAPÍTULO Il EL NÚMERO REAL Y EL NúMERO COMPLEJO § 7. . Concepto de número real ....... , . . . . . . . . . . . . . . 93 1. Segmentos inconmensurables y resolución aproximada de ecuaciones. 2. SuCeSiO!l€S. _ 3._~.Ilrruú111aciones de- cimales y Sil .genenIíiacíóll. _ 4.. Definición de número í'eal' por sucesiones de intervalos encajarlos. 5. Opera- clc:in-es··runaamentales y desig ualdad enhe números reales. 6. Clases contiguas y cortaduras de DEDEKIND. 7. Com- .. tu~.tE.s..Jinea!es.: interval~s. Ejercicios. § 8. Potencias y logaritmos de los números reales ... 111 1. Raíz arltméticn. 2. Cltlcu]o de radicales. 3. Racio- nalización de denominadOI·CE>. 4. Potencias de exponente raci.onal. 6. Variación y l'cpl'osental!ión gráfica de las potencinli de exponente racional. '6. Potencias de expo- nente real: su Vil riación. 7. LOb'1!.ritmos de los números ~ 9. }'eales posi tivos: su variación. 8. CllIeulo logarítmico. Ejercicios, Concepto de número complejo 1. Orig(>Tl aritmético de los númel'os complejos. 2. De- finición de número complejo. Operaciones fundamentuk!f. 126 íNVICE GENERAL Vil PÁG, 3. Representación geométrica., 4. Módu lo y argumento de un número comp lejo, 5. Las operaciones racionales en el campo complejo. Ejercicios. ~ 10. Potencias y raíces en el campo complejo ........ 137 l. P()tencias de exponente entero. 2. Raíces de los nú- meros complejos: represen t.aciÓn gráfica, 3. Raíz cua- lirada en fOI'ma binómica. 4. Raíces de los números rea- les. 5. Raíces primitivas de la unidad. EjerciCios. Nntcl8 al Capít?llo Il . . ...... , . • ....... , .. ,......... 144 1. Plenitud y unidrlad del sistema de los númel'os reales. n . El infini to matemlitico. UI. Sistemas hipel'comple- jos. IV. EibliUl!" ·afia. CAPíTULO IU COMBINATORIA. ÁLGEBRA LINEAL ~ 11. Análisis combinatorio ........................ 153 § 12. 1. Variaciones. 2. Permutaciones. 3. Combinaciones. 4. Números combinatol'ios. 5. Sustituciones. 6. Sus- tituciones cu:culares: descomposicióll en ciclos. Ejer· cicios. Poten das de binomios y polinomios 1. Potencia de un binomio. E jercici()s. 2. Potencia de un polinomío. 166 § 13. Determinantes ................. ,..... . ....... 170 1. Origen tIe la teol'ia ele los detemtinantes. 2. Deter- m inantes de segundo y tel'Cel' Ol·den. 3. Determinantes de orden cualquiera : sus pl·opie<lades. 4. Desarrollo de un det erminante. 5. Menores complementar ios. Regla de LAP LACE. 6. PI'odudo de detenl1inantes. 7, Determi- nantes especiales. E jercicios. § 14. Cálculo de matrices .. , ................... , . .. 191 ~ 15. 1. Definiciones. 2. Dependencia lineal de filas y colum- nas. 3. Cal'Rctel'Í st ica de un a matriz; su cálculo. E jercicios. Sistemas de ecuaciones lineales ' ...... . ... , ... . l . E xpl'esiones algebraicas: su valor numérico. 2. Plan· teamiento y ü'ansfol'mación de ecuaciones. 3. Teorema fun damental de equivalencia en los sistemas de ecuaciones lineales; método de l'educcÍón. 4. Regla de CIlAMER. 5. Sistema genel'al de ecuaciones lineales. (j. Sistemas de ecuaciones li neales homogéneas. 7. Susti tuciones lí· nea l1'6. E j ercicios. 195 ,Vol'Us lit CU1Ji1nlo l/J .. ............... . . . '.' . . . . . . .. 214 1. C J'lLf)()~ de I>U:!ItiluciOll tls entrc permutaciones. h lll1l1'rlÚl •• JI. Bi- ~U[ CAPi'l'UL.O IV ALGORITMO AL<:Jt:BRAICO § 16. Principio de identidad. Operaciones racionales con polinomios . . . . ................ ..... ......... 221 l. Principio de identidad de los polinomios de una valla· ble. 2. Principio de identidad {le polinomios de var.ias variables. 3. Opel'ac ion es enteras con polinomios. 4. División entera de dos polinomios de una varia ble. 5. Di· visión de un poJinomio por o.: - a . G. División elltel'a de dos polinOllli()s (le vadas variables. '7. Mét odo de los coeficientes indeterminados. Ejercicios. ~ 17. Divisibilidad a lgebraica ........ . ...... .. .... . . 231 1. Concepto de irred ll('ibil idad en un campo racional. 2. Teo- remas fun damentales de la divisibilidad algebraica entre polinomios de Ulla o más val· iabIes. 3. Máximo común divisor y mínimo comú'\ múltiplo de los polinomios de una variable. 4. :Máximo com ún divisor y mínimo común múltiplo .le los polin omios de varias variables. 5. Des- composición en factore- primos d~ un polinomio de una o más variables: teorelna fund amental. E jercicios. 18. Ceros de dos polinomios de lIna va dable . . . . . . .. 245 1. Teor ema fun damental uel álgebra. 2. Descomposición f actorial. Relaciones entre las l'ElÍct=~ y los coeficientes. Ejercicios. 19. Resolución elemental de ecuaciones por radicales . 25ü 1. Ecuación de segundo grado. 2. Ecuaciones reducibles a cuadráticas. 3. Ecuación cúbica. 4. Ecuación cuár- tica. Ejercicios. Tolas al Ca pítulo IV ......... ..... . ,. . .. ...... .... 265 J. Números algebraico s y trascenilentes. clásicos de! álgebra. ITI. Bibliografía. CAPÍTULO V EL UMITE ARITMÉTICO JI. Problemas 20. Suces;iooes de números nales .......... ... ... . 273 J. J.ll1litci;¡ fini Lo!; e infinito!!. 2. Prupiedades de los Ií- mit.ow 'i" iLua. ~. S urQHioll('!I ~llIlcnidas en otra. 4. Su- c.ulbn It!onfilonas {h mim ru" rCIII c!.q. 5. Límites de os- c:1I.cIAII o( I! IIn . 1ICA!&Í"n. 11. Critl'río general de conver- Ir 1'11:11., ~1If:4lllil)lilll!l rell'lIllIr~. F.jcrcicios. 21 . ... I~ulll d Ih~,i~. .. ..... . ... ............. . .. 282 l . hui dI! lal! IIJH; rUt'¡O Il Il.'l raciuualcs. 2. y,imite dll los , .,..,'1,11108 y 11Ot.IIU1IlIl. 3. Llmitl!s de potencias en 108 íNDICE GENERAL casos singulal·es. 4. Límites indeterminados. número e. 6. Sucesiones de números complejos. cicios . 5. El EjCl'- IX PAG. • ~ 22. Sedes numéricas ... ... . ' ..... , . , . . . . . . . . . . . .. 295 1. Propiedades generales de las sel'i~ . 2. Seri.es de tér- minos positivos: criterios de cOllvergencia. 3. Series al- temadas. 4. Series de tél"luinos posit i v os y negati- vos. ó. Series de té.t·millos complejos. 6. Operaciones con series. E jel'cicios. Notas al Cn]lít1Jlo V l. A l goritmos g en e ral es de conve rgencia y sumación. n. Al·itmética d e ci m a l de los números aproximados. 1I1. Fracciones continuas. IV. Bibliografía. CAPÍTULO VI LAS FUNCIONES REALES Y LA CONTINUIDAD 330 • ~ 2!l. La noción de función ......................... 353 1. V axiables y c on stante s. 2. Noción de función. 3. Campo de existencia. F unciones uniformes y multifor- mes. Defini ción general de función. 4. Característica de una función . Fu nciones de varias val'iables. 5. Breve re- seña histórica. 6. Exp1'esión algorítmica de funciones. 7. Funciones r acionalcs y f unciones enteras. 8. Funcio- nes algebraicas y cut'vas algebraicas. Funciones tI'ascen- dentes. 9. Funciones pares e impares, 10. Función p otencial. 11. Funcion es crecientes o decl·ccientes. 12. Func iones io ve l'Slls. 13. Función de fllllción. 14. Cotas y ext remos de variables o conjuntos reales. Ejel'cicios. - ~ 201. El Umite funcional ..... . .. .. ................. 372 1. El límite de una fun ción. 2. Propiedades de los limi- tes. 3. InfinitésimoH. 4. Cálculo de límites. 5. Lí- · mite infinito y límite pa1'a x ~ oo. 6. Forma t opológica <le la definición de límite. 7, Criterio de cOllvel'gencia de BOLZANo-CAUCRY. 8. Lhnites de oscilación. 9. Li- mite aritmético y limite funcional E jercicios. I 26. Noción de ·continuidad. Discontinuidades ....... 387 l . Continuidad.. 2. Divel.'sag claRes dc discontinuidades. 3. Discontinuidades evitables. Vel'dadero va lor. 4. Lí- mites laterales y disco n tinuidades de Pl'imera especie. 5. Continuidad lateral y continuidad en un intervalo. 11. Discontinuidades de segunda especie. 7. Operaciones con la" funciones continuas. Ejercicios. ~fi. I'rupi('d:ldf.!!-I de las funciones continuas en un in- I~n"alo cCl"mdo " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 396 1. CQn.'rvllción .Ie l'igno en el entOTIlO de Ull ptlnto. 2. rOl d III!! hm.; it~llc" '·ontinnas. 3. Resoludón de x ecuaciones. 4. La propicclnl l D tle 10.1 fllnciones conti- nuas. 6. Máximos y mínimo! d" tllncluucs continuas. 6. C ontinuidad uni!Ol'lnf;:. T(.~)l'clnfl. .1. Hl::olNE-CANTOR. EjerciclOi:l. Notas al Capítulo VI (. Nota histórica sobn, la contin uidad. lineales. In. E l lema de BOKEL y sus IV. Discontinuidades puntuales y totales. semicontinuas. VI. Bibliografía. CAPíTULO VII n. Con,;untos aplicaciones. V. F unciones rp LAS FUNCIONES TRASCENDENTES ELEMENTALES 401 § 27. Funciones exponencial, logarítmica y potencial 411 1. Función exponencial. 2. La continuidad en las fUI1 - ciones lnonótonas. 3. Función )ogaritmica. 4. Fun· ción potenciaL Ejercicios. § 28. Funciones circulares ......... . . . . . . . . . . . . . . . .. 4]4 § 29. 1. Funciones circulares. 2. E l limite de (sen :1) Ix para x .... O. 3. Peri odici dad. 4. Función sinusoi daL 5. Funciones cir culares inversas. 6. Continuidad de las funciones circulares. Ejercicios. Funciones hiperbólicas 1. Funciones hiperbólicas. ca. Ejercicios. 2. Representación parBrnétri- 425 Notas al Capítulo VII ......... .. ............... ... 428 r. Curvas de PEA N O. n. Tablas de funciones. CA PÍTULO VIII F UNCIONES DERIVABLES I § 30. Concepto de derivada ........ . .... ...... . ..... 433 1. Incrementos y razún incremental. 2. Noción de deri- vada. 3. Cálculo directo de algunas derivadas. 4. In- terpretación geométrica de ]a derivada. 5. Derivaoas laterales. Derivada infinita. 6. La fu n ció n deriva- da. 7. Ángulo de dos curvas. 8. Continuidad de las lunciones derivables. Ejercicios. ; § 31. Las primeras aplicaciones de la derivada ..... .. 442 1. Ecuación de la tangente B una curva plana unifor- me. 2. Ecuación de la normal. 3. Segmentos cletel'- minados pOI' la tangente y la normal. 4. Movimien lo rectiUneo. Velocidad. Ejercidos. • ~ 32. íNDlCE GENERAL Cálculo de la derivada ....................... . 1. Linealidad de la derivación. 2. Derivada del logarit· mo. 3. Derivada de una función de función. 4. El método de la derivada logarítmica. Reglas uel producto y del cociente. 5. Derivación de determinantes. 6. De- rivadas de las funciones potencial y exponencial. 7. De- rjvada s de las funciones circular es. 8. Derivada de la fun ción inverSa. 9. Aplicación a las funciones cjrculare~ inversas. 10. Del'Ívadas de las funciones hiperbólica~ directas e inversas. 11. Tabla de derivadas. Ejerci· cios. XI PÁG. 446 • ~ 33. Variación de las funciones ...... . ............. 457 1. Criterios de crecimiento y decrecimiento. 2. Máximos y mh\inl0S relativos. 3. Condición necesaria de máximo o de mínimo. 4. Deterrmn8ción de máximos y míni- mos. 6. Cr iterio 1 Q: Variación de la función. 6. Cri- terio 2Q : Variación de la de r ivada nrimera. 7. Criterio 30: Mediante la derivada segunda. - 8. Simplificaciones en el cálculo de máximos y mínimos. 9. Coneavidad. Puntos de inflexión. 10. Estudio de la variación. Ejer- cicios. :.. :\4. La diferencial . . ......... . ................... 469 1. Definición de diferencial y expl'"sión analítica. 2. Re- presentación geomótrica. 3. Relación con el incremen- to. 4. Regla:; oe djferenciaci0n. 5. Diferencial de una función de función. 6. Tangente y normal a una CUl'Va plana nada en forma pa ramétrica. 7. Tangentes a la!' curvas planas en coordenadas polares. Ejercicios. Notas al Capítulo VIII................... .. ........ 474 l. Orígenes del Cálculo diferencial. CAPÍTULO IX TEOREMAS DEL VALOR MEDIO y CONSECUENCIAS J f :tÓ. TeOl'emas del valor medio . _ . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 477 1. El teorema del incremento fin ito y su significado geo· métrico. 2. Demostración del t e o r e m a de LAGRAN- roE. 3. Consecuencia. Teorema fun damenta) del Cálculo il)tegral. 4.. Acotaci6n del error en u na función. 6. [nteqwlación lineal. Acotación del error. 6. Cálculo aprolCim8do de logaritmos. 7. Derivación gráfica. 8. Teorema de CAUClj:Y. E jercicio.s . • t :.tlj. I .... imites indeterminados ...... _ . . . . . . . . . . . . . . . . 483 L ¡"orma %. Regla de BERN OULLI-L'HoSPI'I'AL. 2. Apli- C:1lI:ión reiterada. 3. Ge neralizaciones. Límite para '" - 00, y forma 00 /00. 4. Fo rmas 0.00 e 00 _ ca. Ií. r,")"n"8 exponl"ncialea oo·, O·, l ·JO. 6. Sustitución de vnrl,,1J1 QtdVlllvJI!.c:B. Ejcrcl['i08 . ~ 42. iNDICE CENERAL Eliminación algebraica 1. Eliminación: método del máximo común divisor. 2. Método de eliminación de EULER. 8. Método de eli - minación de BÉZOUT. 4. Sistemas de dos -:!cuaciones con uos incó¡rnitas. Teorema general de BÉZOUT. 5. Método de KRONECKER. Ejercicios . Xl11 PÁc. 573 . \'ota8 al GU ]1 í.t ulo X . ................. . ....... .. .... 588 L Coeficielll,t,~ 'liferenciales o deriva das generalizadas de PEANO. n. Derivadas sucesivas de una funci ón de fun- ción. 111. Funciones simétricas de las raíces: disCl'irni- nante. IV. Resolución g-l·á.fica de ecuadones : método de LILL. V. Bibliografía. CAPÍTULO Xl SERIES DE POTENCIAS • ~ @ Propiedades generales ... . .... . ....... . ... .. .. 601 1. Campo y l'adio de convergencia. 2. Operaciones con series de potencias. 3. Series de funciones. Convergen · cia unifol1ne. 4. Convergencia uniforme de ser ies de potencias. 5. Del'ivada3 y primitivas. Ejercicios . • ~ 44. DesarrolIos en series de potencias . .......... , . 612 L Definición y unicidad. 2. DeS8l'1'ol1o pUl' la fúr mula de MAC-LAURIN. 3. Función racioTlal. D~al'l'ollo por ,lí- visión. 4. Método de los t ,'eficient('s inrleterminaclos, Ej ercicios . • 45. Aplicarión a las trascendentes elementales 1. Función f'X ponen ci al y ::;: e'. 2. F Ulll:,mes circulares e hiperbólicas. 3. Las lI'ascemlt'nles elclUlI,tales en el campo complejo. 4. Ser ie l,",garítmica. 5. St!¡ ie binó- mica. 6. Desarrollos .le las fUlIcion .. s cirt:ulal't!s ¡m'el'- sas. Ejercicios. Nflfas al Capítulo XI 1. Teoremas taubel'ianos, n. El númer0 71'. nI. Pro- duct{)s infinitos. IV. Bibliografía. CAPÍTULO XII INTERPOLACIóN y DIFERENCIAS FINITAS 620 632 § 46. Interpolación entre \alores cualesquiera .... . ... 641 1. Teorema rle existencia. 2. F ó rm u 1 a de LAGRAN- Gr.. 3. La interpolación parabólica progresiva. 4. Des- ('ompoll¡ ie1n d~ u nA fracción alg-ebraica en f racciones aUn· 111411. j.rolllloL XIV ÍNDICE GENERAL PÁG. § 47. Interpolación entre valores equidistantes ....... 650 1. Diferencias sucesivas de una función. 2. Operadores simbólicos. 3. Diferencias sucesivas de un polinomio. 4. Diferencias sucesivas de los factoriales. 5. Fórmula de NEWTON·GREGORY. 6. Término complementario y pa- so al límite. Ejercicios. Notas al Capítido XII .............................. 656 l. Diferencias divididas. n. Empleo de diferencias cen- trales. 111. Bibliografía. CAPÍTULO XIII 6 EL ÁREA Y LA INTEGRACIóN § 48. Concepto de integral según Cauchy ............ 663 1. Noción de área en el plano. 2. El área del tl'apezoi- de. 3. La integral definida. 4. Cálculo directo de al- gunas integrales. 5. Propiedades de la integral defini- da. 6. Teorema del valor medio. Ejercicios. § 49. Integral de Riemann ......................... 674 1. La integral según RIEII1ANN. 2. Integrales inferio)' y supel'ior. Ejercicios. § 50. Integral y primitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 677 1. La función integral y su derivada. 2. Reg1a de BA- RROW. 3. Sobre la aplic:ación de la regla de BARROW. 4. Integrales generalizadas. Ejercicios. Notas al Capítulo XIII ................... . ......... 683 1. Orígenes de la noción de integral. n. La integl'al co- mo límite según la 1101"ma. IU. Condiciones de integra- biJídad (R). IV. Del'ivada acotada no integrable (R). V. Bibliografía. CAPÍTULO XIV [) CALCULO DE PRIMITIVAS y APLICACIONES § 51. Métodos generales de integración .............. 691 1. Primitivas inmediatas. 2. Integración por descompo- SlClOn. S. Integración por sustitución. 4. Integl'ales calculables por sustitución. 5. Integración por partes. Ejercicios. § 62. Integración de clases particulares de funciones .. 704 ]. Funciones l'Ileifll\alcs. 2. Irracionales algebraicos. 3. 1 ¡' III1~iolle~ l'tl.cioll/d{·l' d(' bu¡ funciolles circulares. Eier. "idlll!. ÍNDICE GENERAL xv PÁG. § /)3. Cálculo de algunas integrales definidas ......... 716 1. Integrales calculables mediante primitivas. 2. Algunas integrales calculables por partes. 3. Fórmula de WA- LLJS. 4. Fórmula de STJRLING. 5. Integral de POlS· SON. Ejercicios. NoLas al Capítulo XIV ............................. 722 l. Tabl¡¡s de integ-rales. CAPÍTULO XV APLICACIONES GEOM~TRICAS y FtSICAS , I M. Áreas y volúmenes ........................... 723 1. Áreas en coordenadas cartesianas. 2. Áreas en coor- denadas polares. 3. Volumen de un sólido de revolución. 4. Volumen por secciones. 5. Áren de una superficie de revolución. Ejercicios. ri r;. Rectificación de curvas planas ................ 732 I GG. 1. L.onru.w..d_ de-.ull- mea. 2. Vector d s. Cosenos direc- tores de la tangente. 3. Rectificación de la elipse. In- tegrales elípticas. 4. Curvas planns en coordenadas po· lares. 5. Curvatura de curvas planas. 6. Curvatura en coordenadas polares. 7. Vértices de las curvas en ge· neral. 8. Evoluta. 9. Variación total y longitud. Ejercicios. Aplicaciones físicas 1. Trabajo en un desplazamiento rectiJineo. 2. Tl'abajo ele expansión de un gas. 3. Medias cuadráticas. Ejer- cicios. 747 Nol lUl al Capítulo XV .............................. 752 l. Convergellcia según la norma. n. Principio de semi- (~ofltinuid8d inferior. nI. Bibliografía. C APÍTULO XVI INTEGRACIóN APROXIMADA I 7. Inlegración numérica ................... ' . . . .. 757 l. Objeto del capitulo. 2. Fórmula de los h-apecios. :l. Mú~odo de SIMPSON. 4.. Integración por desarrollo en IIl,l.ri.. ó. F órmula de integración de GAUSS. (l. Apli- 4;llcifln dr los método!> de interpolación. Ejercicios. ln t.cKrn~ión gráfi<':.1 ... .. ........ . . . ........... 767 1. '1'I 1.i1pt. '1611 W-rUiCll de hmciones escal()nadas. 2. Inte· rru '/IIn "rlil'i,'u di fUfl cioncR cualosquiera. Ejercicio!!. VI 59. ÍNDICE GE~ERAL Integración mecánica L Intégrafo de ABDANK ABAKANOWJTZ. 2. Planímetros «le ruede cilla integradora. 3. Planímetl'o de PRYTZ. Ejercicios. PÁG, 771 lotas al Capít1.llo XVI ...... .... .............. o •• o. 779 1. Método de P. MAKSION. n. Fórmula sumatoria de EUJ,ER-l\ÍAC LAURINo 111. P olinomios de L E G E N D n E. IV. Biblio~affao ?esp~.(l'sta8 a eje.rcicios .. o • o •••• o • : . • • •••••.••• o • • • • 789 ndice de símbolos y abrc'viahL'ras .... o • . ••••.• o o ••• o. 811 ndice ((l/abético ... o o • o ••• o ••••• o o o o o •••••• o •• o • " 819 PRESENT ACIóN 1,,'18 libros en que dunmte cuatro decenios e;¡:p~lsirnos diver- r/l /IIRR ele t.u Matemática, con 1'eflejos del estado p,.,'ogresi- tLc (llcanzado en los países c)'cadm'es, me1'ecie1'on tan be- 1,1" Ilco!Jula en el mun(lo de origen hispánico, que con eUos Iu"" Im'mado varias generaciones de estudiosos e i1westiga- • 1/. Ifllumes no solamente conocen va la moderna lite'mtura ,. f'II"I, sino que colabora:n en ella, hecho que hab?'ía 1Ja'reci- (Hq'fJ.lliMe V fabuloso a las mentes españolas de comien.zos dl/'IJ, PC?'O por Jw.1agad01' que sea este balance, el propio 11 I'l m.enos satisfecho de sus ob'ras, que va 'iW 1'eflejan !' modo con que la Matemática está a punto de 1'C01'ga- _ •• ".,, : 11 desde hace años viene estím'ulando a sus jóvenes ti.,. " "I1t1J1'c1'1deT la pul¡licació1'I de lil,..,.().') en que t enga eco ,."'''',, 1' IW nuevo rumbo, al q~Le ningún país puede quedar nfl. lf 'I'W ya (''1~en·ta con fieles devotos y aun col.abomdores • ( I'n Bspaña e HispanoamlÍ1'ica., ( fe IJUI r,(fda año que ])asa se hace má ... 'I sensible esta necesi- , 111'07,i() autor se ha decidido al fin a oTganiza.r la publi- .l"nn. di; "n nuevo t1'atado de Análisis matemMico, que re- tflli" lu bueno (le lo clá,c;ico y de lo 'I1fflJísitl'W, Con ent~l.$ias- 1 11, ·,.,ú.l. 11 competen.cia insuperable pusieron rrw.no a la obra. d" ttmirlOS colaboradores, pl.enamente au,to1'izados paTa 11' '/wlIlo les agTadm'a de nuesb'os lib"ros, innovando li- 1 III '~1I- el 'resto, y aquí sale l1 luz el prirner f'rllto de su ,llr(1 nu.,.tn esfue1'zo, 'i'calizandv el milagro, no sU1Jerado en UIt'/'(f/,un, 1IIatemá,f;ica, de O1"!1{fnizar ~ma 01:l1'a que es a. la 111 ,'tltlucción, texto y enci.clo1)fJdüt biblíog1'áfica., '/j Ufictt I'.Sic últim.o calificativo la info1"1nac.-i6n exhaustiva , " ,WlJgl'o.'W.~ 'I'calizados hasta. el dÚL dentro del campo de- ,¿n , 11 11.(1 incm'lJOrada (l,iln a los libros ext-rnnjcros , La no d. d" "il/1tflZn en ejemplos y ejercicios, ,'csneltos y cuidado- ,H 11 l';GciiYIUld()s, avawm su utilwad didáctica. "'(ln, f¡J.¡; cO!/7,f.?li·lf.TU 1W.Ta la re1w~7aci6n a:nsüula po¡' los ,,.,Ill llrlrlfllm'c,o; 1m sido nucsb'a, laTga ausc'nc-ia, que impidió • , r crm '~!t r; Xi1Ja mirwc:ioSÜla.d fjnLn pfl:rte cle la obra, en- "1" ,,,l,, tUL :':(,1'(1.', cJi.'1lnnfes opiniones, como se hizo con todo 1111 11 ¡¡/",mmt t;ft1IÍllllm:, (U¡j(P1!rfo establecido 'Un c'i'iterio 1ne, " "'/. "191ft/JI 8, 8't ]¡,nnol' do 1m. ndcJ'tos les pertenece XVJII PRESENTACIÓN pues, pO?' ente1'O, pe1'O la 1'esponsabilidad del conhmto -¡'ecae sob','e los tres. Es seguro, pO't ineluctable ley biológica, que de haber proseguido hasta el final nuestra infe1'vención critica, la ob1'a habría. 1'esultado menos novedosa e inte1'esante, más a1)e- gada al molde ya clásico desde comienzos de siglo. Pero hasta los más recalcitrantes misoneistas reconocerán una, gran mo- demción en las innovaciones del nuevo estilo, mientras que los esp'íritw; revolucionarios las juzgu1'án insuficientes,. y esa dis- crepancia de criticas se1'á la mejor prenda de acierto ecuánime. Jóvenes y viejos alardeamos de ecuanimidad, declarándonos amantes de la renovación perfectiva; pe'ro la discrepancia sur- ge al trazar la di'visoria entre lo conveniente y lo 1'epudiable. En nuestro diminuto pleito, ni los autores, aun puestos de aC'/U3rdo, ni siquiera el públicf) actual, pueden juzgar con acier- to. Se1"á la tendencia f1·i1.mfadom, por la cantidad y calidad de sus frutos, la que dictará S7¿ fallo inapf5lable. En la ciencia, com.o en los planos más pTofundos 1/ vitales de la cultura, "ai posteTi l'ardua senterlza" J, R EY PASTOR. Hamburgo, octubre de 19-51. NOTA A LA SEGUNDA EDICIóN Una importante mejora respecto de la primera edición cons iste en la l'IIt'sta a l día de la abundante bibliografía citada, incluyendo muchas nue- IIIIM Ob l ' S S. de las cuales se da, según acostumbramos, una breve orienta- rlO'm crí tica. Hemos prücurado hacer más 8<lequibles los conceptos que la experien- 1,1" tlocente ha mostrado resultaban demasiado abstr actos para el princi- 1,lunte, particularmente al introducir y ampliar el concepto de número. Se 1", completado el concepto general de definición recurrente, dando esque- 111118 de demostración de las leyes generales de la aritmética, suficientes [ lira q ue puedan ser desanoI1ados sin esfuerzo por los alumnos aventa- "dos. En la misma forma se ha completado la nota sobre el ál~bra de IIlOJ.E y el apartado que incluye la in h'odllcción del número real me- /linnte sucesiones regulares o de CAUCHY, S e ha procm'atlo también hacer más asequible el importante pará- !ll'nfo dedicado a la divisibili dad algebr-aica. Se ha completado la nota sobre la aritmética decimal de los números 'Jlroxirnados, agregando en particular un apartado ,sobre operaciones abre· \'I.das. ' E n la nota sobre funciones derivadas se da demostración completa .Inlplificada del teorema de SCHFEFFER, del que se dará para el caso de rUOl'iones vectoriales en el volumen 1I otra demost'l'ación basada en un 1 ma de ZYGMUND. Se ha perfeccionado el estudio de los ~eros de las funciones continuas )' In nomencIatUl'a de los ól'denes infinitesimales e infinitos, Con la ejemplificación correspondiente, se ha incluído en el método d" GRAFFE un procedimiento de control de los cálculos efectuados, com- ,.Jlltando una contribución publicada por J. P. LOMBARDI. Se ha perfeccionado la exposición y ejemplificación del teorema ge- IIUDl de B~ZOUT. Se ha simplificado el ejemplo de conjunw genel'alizado de CANTOR de 1I1[',alioa positiva que se aplica al de VOLTERRA de derivada acotada no in- t'¡¿'l'a.ble (R). Se completa el estudio de ]a sustitución de variables en la Integral (R) definida. Además de los citados, se han efectuado numerosos otros agregados 11 modificaciones menOl'es, y se han subsanado errores y el'l'ntas hallados pUl' nosotros mismo.s o por queridos colegas y a lumnos. Les expresamos IMlr ello nuestro. agradecimiento, en particular al Dr. GERMÁN FERNÁNDEZ, flor las valiosas indicaciones didácticas que ha tenido la gentileza de ha- urrnQ! negar. NOTA A LA SÉPTIMA EDICIóN E l dtmo de mejoras sefialadas en la Nota a la segunda edición, ha '/mtinue.do en mayor o menor medida Cll las sucesivas ediciones poste- riores. Las más importantes hechas e1l esta séptima edición pueden verse e., Cap, I-Mta 1, § 11-1, § 13-4, § 20-4, § 33-9, Cap. IX-nota VI, § 38-6, • 41 (reestructurado), § 52-2, Resp. a § lS-ej, 5, Entre los innumerables cambi:ls de detaUe están los de §§ 13-1, 16-5, 17-2 y 3, 22-2 Y 6, y 51-4, CliP, XI-nota 2 y fi guras 39 y 87, En el hallazgo de CHatas y errores Illu'adecemos la valiosa ayuda de .... legaB y alumnos, en especial los doctol'es G. FERNÁNDEZ y J , GORDON, )' el licenciado J. D. BENÍTEZ, PLAN DE LA OBRA 1. FINALIDAD y ESTRUCTURA, - He aquí una obm de co/.a· boración, en que se 'pretende aunar experiencias diversas de publicaciones anf;ertim"e.<:¡ y pTáctica docente, med'iante una la- bor de conjunto y c?-ítica mutua. Destinado el libro a servir de base a C1WSOS jewmaUvoR de inici.ación u,niversitaria en las Fa- cultades de Ciencias, prcpu,rrtto'rios de estudios superioTes de IngeniC'ría o de dúctoT'fldo en J?í.si ca 1J Matemática, la selección dé mater-ías se ha quiado 1)01' los 7)larws de est1tdio de las uni- versidades 1J escuelas técnicas profesionales de Hispanoamé· rica, en particula.r de la Argentina, PC?'O sin sujetarse a ningún programa determinado. antes bien, con afán de s?l.peraciún y aliento nnovador. Si la M atemático, es irnportante como fundamento de mu- cha par"te de la Ciendo, y rl,p la Técnica, no lo es solamente por trata?' del espacio 1/ de la cantidad, súw mucho más pr"ofund4- mente por constitui'/" el conjunto de sistemas hipotético-ded?wti- vos 1/ de sus aplicaciones. Más importancia Que los 'resultados y casos en que pueda aplicarse 1ma fórmulc~ matemática tiene la obtención de nuevos métodos y la su'ma de experiencia8 mentales con que va enri- queciendo nuesl'J"a f(wultad n~ci,(ml!l " PO?" ello, en la enseñanza de la Matemática debe 1)reponclerar .m valor fo'rmativo, pues la adquis'¿ción de una disCi1Jlil'la -¡f¡,enfal es tal v tZ el elemento más valioso de toda ecl'ucación científica. La ar.itmetización de la- Matemática, IO{JmdlJ, en el siglo XIX, r"edujo eMa. ciencia a 11..'/ln larga. cadena de dedll ,'''iones y cons· tTucciones, a partir del númer"o natuml. De ahí que 1)Tevio al estudio del Cálculo infinitesimal, cr'eamos imp?'escüdible una introducción algebTaica, sobTe el concepto de núme1'o y I:-;¡I.'~ ope· mciones, y un análisis deplwado del concepto de límite (oit- mético, C'!?la adquisición clara y prccis(~ ha de ser WlO de los principales r¡bjetivos a obtene?' ~~ II ln formadón del principiante. Éstas no son exigencias de mMe¡¡¡ático Pll1"O, pues nada más contr-aproclucente que llenar la mente del fut1.¿ro ingenic1"O con vagos j1< .. ::()"S de ¡Jf11abras, (le sabor metafísico, que disimulen l.a OSClf,1'iliad J{' pen:s;/miento , Si por llega?' 1'ápidarnente a las aplicaciones del Cálculo infinitesimal, r esucitamos antiguas de- PLAN DE LA OBIlA XXI fitlidmuJs de curva, de tangente, de infinitésimo, de diferencial, 11(),'tmWx que después de laTga cavilación sob1'e los "p'untos con- 1I ,'r¡¿1 ¡'I>OS" de una C:U1'va, sob're el infinitésimo que ni es cero ni I ¡f"llC 1Jalor ninguno, sobTe los i:nfinitéshnos que se desprecian Hin "ltem?' la exactitud del -resultado, todo deberá descansar en 1tI1f./, fe ciegl~ y aceptar'se corno dogfma, sin que sea posible des- l' ,'tftr y desarrollar el. espírit'lt C'l'ítico. Hace tiempo que se 1,wlie1'on en claro los antC1'iol'€S conceptos y que el Cálculo in- finitesim.a l dejó de ser l}Ielafísi ca 1mm hace1'se Aritmética, es tl,' ri,.. claro, sencillo. limpio de nebulosidades y libre de discu- ~I'lr/W!'r. Pues bielo, nadie como rl técnico debe ser exigente en t'llt,rielad y p'recisión; nada más leJano de la Metafísica que el hi,.,'ro y el hormigón. I?n lo, exposición de Zas teorías elementales hemos tenido "tlIJI en CUt?nta la evolu.ción de la Matemática en los últimos u{f./lX, pues es natuml que aquéllas sufran las variadas influen- r/lls que las modifican y adaptan a la línal general del pensa- ,J,irnto de cada época. Así, al ir pasando de lo particula?' a lo 11 nrral en el proceso de abstracción que ca1'acterizo, a la Ma- t. mática modc1'na, hemos señalado bien las impm'tantes ven- '"jlls con que ésta, utiliza el fornw.lismo lógico en sus máximas llOxilH1idades, y la econmnía de esfueTzo y mayor penetración ,Id conocimiento q'ue con ello se log'ra, Sin embm'go, no por , 11 dejamos de conside1'ar equivocado el int1'oducir los concep- ,.,,. e:ü:nentales como casos paTNculares de los contenidos en t tI?'ias 1n "denws que abm'can el má,~ amplio grado de genera- IMml 11 abi!! t'racción. CO'Yrl,O ha dicho el pTofeso1" PASCAL, "hacer ""'Ncender de lo a.lto los conceptos de l Aná,lisis es didácticamente "llIivocado, hwfóricamente absurdo, conceptualmente hiper- ,,,,ilico y cientíjica11unte inútil" . No debe pedirse a jóvenes l,tI"¡ igen cia.8, lo (Iye la histm1,a del pensamiento humano de- IIIIt1'.'1t'ra 1'equie1'e tiem po, eje1'cifnción y adecuada adaptación "'''I/fal. Por ello procuram08 siempre introducú' CÚ11ceptos nuevos 11,,.rliante 'una ejemplificación pre1Jia. concreit: y fumiliar, dan- "" 1/M'a cada teoría una 1;iBión int1dtiva, que sitúe adecuada- 1I1("'l/te en la atención del lecto?' el propósito perJeguido. Claro t,i que éste debe aspi'rar a que los conceptos elementales se IIHim:ilen, a fin de p'rCpara?' para estudios superiO?'es, labor po- f Me y adecuada por la enorme simplificación alcanzada en el I/tUI/tt'rollo de la Matemática mode1'1w, como saben todos aque- IIm~ qu.e sig1wn la evolución de las nuevas ideas, y cuyo mno- 1'; m.iento m ás o menos ce1'cano posee todo profesor univeni- Uu-in. Rl texto en letra grande elftá. destinado a la generalidad de l08 alum- ",," t tcnico8 ?J cien HfiC!OB, y es lo mínimo que considentmo8 deben aouocer ,.,. que aspira?t a una formaci6n básica en Matemática. El texto en letra /'.flueña se destina a 108 que a.e¡nren a salir de la común mediocridad y a XXII PLAN DE LA OBRA los que deseen prepararse adecuaaamenU para untt carrera cienHlica o técnico·c-i.entifica, Exísten, además, nolas de final de capítulo que comp~ tan puntos importantes y pndenrlen ab1'¡1' hO?'izontes a los lectores de '110· cación desarrollada, y, al mismo tierl/po. hacer interesante el lib ,'() a los que tengan ~ma formación matemática anterior. En todo el 7Jolmnen se tcnna cada parágm-fo (§), dividido en apm'w, dos. como unidad fundamental de referencia, y '¡ia seguido de ejercicios pTo¡Jue8tos. que a veces sirven tambi6n para completar el texto, y que en todo caso ofrecen al lector, mediante BU resolución, la mejor p1'ueba de que ha llegado a cDm¡n'ender y asimilar el contenido del corre8pondiente parágrafo, Al final del volumen se illc!t,ye una liMa de solucwnes <le lOIl ejercicios que a ello se p1'esteu . y en los más difíciles, de indicaciones p<lra llegar' a eltas. 2, CONTENIDO. - El índice uene?'al (la el programa Q?'denado de l08 temas tratados, Aquí no pasamos revista a todos eUos, si?1O a aquellos en 108 que creemos conveniente 8eñalar alguna pa,rtic~tlcr.?'idad impo?·tante. E8 común en 108 t?'atado8 de Análisis matemático p1'cocuparse 9mwho por introd~lC"Ír 1'igm'osa11le'l'lte el concepto de número ?'cal, suponiendo ¡Jer· rectamente conocido el de núme,'o ,'acional, Cualqt,iera sea el nivel alcan- zado en estudi08 preuniversitarios, sie1nlJ1'c realü,ado8 en edad muy tern, prana, nuest?'a experiencia docente considera como gratuita la anterior supOSición. A.~í, el p1'úner capítldo de la abl'a se dedica, a la fundatnenta, ción del númM'o 1'acional, Empieza por una b"eve introducción lógica sobre la e8lructu~'a y métodos de la Matemática, en un nivel elemental, que puede ser bien comprendido por un p)'incipiante, y con el objeto de fací· litar la exposición postm"¡or de lap dÍ1>e¡'sas ampliaciones del concepto de núme¡'o y la, unidad metodológica con que se efectúan. Cuestión muy discul,uta fué la manera de inf.roducil' en el § 2 el nú, mero natu,1'al, Final?nente adoptarmo8 su definición más sencilla, debida a PEANO, ql(e se apoya esencialmente en el prmcipio de inducción comple/,a, Si bien el 8ignificado eSÍ1-icto de las operaciones de suma J¡ pl'oducto es ca?'dinal, las propiedades ca1'acterí8ticas 11 pa1'ticulares de l08 números naturales. que son las más inmediatas a nuestra mente, las qlle 8e refieren a conjuntos disc¡'etos y fil1itos, q~Ledan labol-i08amente establecidas en la teoría general de conjunt08, con definicwnes y teore?nas poco intuitivos, Dado que las obra,s de iniciación universitar'Ía hasta ahOTa eSC1'itas en ca-8tellano han dado preferencia al método cardinal, y a ellas pueden 1'c· feriTse lOIl qlte opten por bIte, 8e1'Ú sicmpl'o interesante que ex ista alguna otra qHe dé por lo menos un Tá,pido esquema del método reC'lu'rente. Se ha achacado a éste el Teque1'ir reiteradamente vwnótonas demostTaciones induct'ivas, q1le cm'ecen de val()j' heurístico. E,~ta crítica justa P1!ede ser mitigada si se renunc,ja, más aun en un estudio inicial, a defene?'se en desa?Tollar con todo detalle esas demost?'aciones lenta,s y penosa.s que per- tm'ba'n la vi8ión de conjunto y la linea de pensamiento seg7tida. Eslo no ha de ser defecto en el valor !Ol-mativo del estudio, si en éste 8e ha insis· tido previamente sob¡'e el ca,'ácter fundamentalmente lógico del desarrollo matemáttco, ni ha d¡¡ ob8truú' el llaClente espíritu cl,ítico de los alumno8 capaces, S1. se dejan a su c","go, como eje-rcicio, demostraciones fáciles de obtene'r P01' allalouía, con pequeñas indicacion'88 opm'hwas. L os demás aceptan sin 7'epllgnanCÍ(L /lea "demoBtntóle" algo que para ellos es la "evidencia" misma, El § 4 mue8tra ya q'ue ]lO 8ólo la parle conceptual, sino t ambién la técnica operatoria. ha rne¡'ecido nuestra atención. El § {j deBacI'~'oUa los principios esenciales de la divisibilida<i numh'ica desde un punto de vista supel'Wr, que facilite luego la cla'Ta co?nprensi6n de la divis-ibiMdad alge, braica, tan dific-i.l de captar por los principiante8; 'en letra chica se han incluido ope?'aciones con claBe8 ,'esidu.ales y los conceptos de g"upo, anillo PLAN DE LA OBRA XXIII 11 "'''I/'''Il, cuya í,np01'taneia básica en el Áloebra moderna queda bien ,,., .. 10. Ile relieve en el texto posterior del mismo tipo de letra, el Ga¡nttllo 11 8e dedica al número ,'eal y al número complejo, Siem- ",.,. C'n bU8ca del método de mejor comprensión intuitiva, es decir, más ,'I',l!l'11tI1l a 108 conceptos 1~8Ua/,es en la práctica, se introduce el número ,.,,,l (§ 7) mediante 81~cesiones monótonas contiguas, por ser gelleraliza, .h, imnOLliata de las aproximaciones decimales con que se está acostum' "ratlo a dar como resueltas ecuaciones del tipo de la pitagórica, C1~yO exa- "'." V la conexa existencia de segmentos inconmenslu'ables juzgamos es .!I tllr;llr exordio, tanto histórica como raci.onalmente, pa1'a justificar la t" I rndtcctJi6n del nueve concepto, Sin embargo, también se considera·n 108 ", j ' .. /! métoclo8 que e:dsten para "completar" la ,'ecta nzcional, En el nú- NI.I'I, /:omplc;o 8e lleoa s610 a la radicación (§ 10), dejando pa?'a, el capí- '"'" Xl int1'odu.dr ?U1turalmente, por prolongación analítica, la8 definicio- """, do potenciación y looaritma.ción cuc!lesquiera, Al final del capítulo Il, JI U tlcttt J 80bre plenitud y unicidad de les númer08 reales sirve pan!' que fJ.1 Imtar en la nota 11 del infinito ma.temático, se dé la demost"ación que """ parece ~n6s natural de 7lo-ntl'l7l.crabilidad del contimw, mostrando bien '1"/1 8i quulihamo8 c·ircunscribirnOI1 o. conside?'(p' conjuntos 'Ilume'l'ablell, IUI'wíamos de renunciar a "C01n7Jle ta1"" la recta, En la nota 111 sobre 8i8- '''111M hipc¡'com¡llejos, tiC marca bien cómo se pasa de los espacioB "veclo- ríalrs" a los conju'ntos "numéricos", situa.?ldo adecuada.mente el teorema fillRi de la AJ'itmética 1I la ü wvQ1"lancia. de 108 cualernio8. En el capítt¡[o 11/ Be ha tratado el Análisis combinato1'io (§ 11) lo IHtÍS rápidamente posible, dejando paJ'a la nota 1 de final de capítulo r/ftlllliar 108 D~"U1JOB de 81lstittlcwncs entre permutaciones. La fórmula de l ,t:IIl;-.¡ IZ sobre 1)otencia de ~m polinomio (§ 12), se da con todo el detalle "'Ir ?lle?'/lC4lt¡ 81W aplicaciones posteriores, pues el de8cu.idm'lo ahora. di- ill,,,lttt luego manejar por ejemplo la fórmula de TAYLOR en varias va- ,i,, /,les, Por 8'1' i'mportancia fundamental 11 cada día rttaYOJ' en el estudio ,/ .. las ?nOdenla-v teo?'ías físicas, c?'ec?nos imprescindible el estudio de 108 _¡,flemas de tcuaC101leS lineales (§ 15) en todos los caS08, sobt"e todo el t"''''nna d!; noucH t -FnORENIUS, C011 8U conexo cálc.do de matrices (§ 1.1.) . I'/"r¡,jamer..te 8e C(I'ltsideran el planteamiento, [.a transformación 11 la equi- "ctlcncic de eClIacicne8, t1'atando de evitar el descuido usual con que se 'l1tfa lO estas C1testiones, El ca,pí.tufo IV, sobre algoritmo algebya-¡co, está encarado en fM'ma b.lstllnte nueva respecto a lo que IIUCle hacerse f'lt laR textos antenormen- t. a¡m"ecidoB en castellano. Después del § 16, des tinado al principio de ic/.mtidoo 'Y opcmmonea racionales, 8e insiste (§ 17) en el fundamental mmcepto de in'cducibilidad en tln campo racional iI 108 teoremas de la dí- 1,llCibiUdad algebraica que <le altí se deducen, Luego se hace la distinción ,flcJlclal de la diviSIbilidad algebraica- en tre polinomios de "u.na" o "1nás" l'(lriablcs, acla·?'ada en ambos caS08 con adecuados ejempl08 elementale8, JI mediante la int,'oducoió-n del concept o de ideal se desarrolla el primer f'flllfl, en 10)'ma completamente para.leú:L a la. divisibilidad nmnédc{t, mien- IrITS 8e sóicuum ltt8 nuevas circun8tnncias del segundo. Se da 1Wa. detallada ,l.mu>stracwn del teorema ftmdamental del Álgebra '(§ 18) por el método ./.. la. disminución dd módulo 11 se pasa a la "e8oltleión por "adicales de 1n.tJ ecua.ciones elementales (§ 19) , Al da,· el C1ite,..io generat ele oontleroencia, se introducen UtS 81ICClSio- IIIJa regula,'cs (de C AUCRY o de CANTOR) C(lmo método pa?'a definir el nú- mero ?'eal, indica.ndo mw ventajas teóricas 'Y ~s inconvenientes didácticos, So t1'atan con cuidado los casos singulares de límites de potencias, con ,jemploB de todos elW8, di8tinuuiendtJ bien los CaBOS de o8cilación de los ,le üldetermmadón. Los criterios clti8'ico8 de convergencia de las series lIe té?'?1tinos positivos Be rristematizan bien. mediante 108 crit erios de com- /mración ele primera 11 de segunda especie, sin olvidar el que se deduce ",e 1/1- comparaci6n de primero. especie con la. serie armón-wa generalizado,.- XXIV PLAN DE LA QBRA -muy senciUo y útil, análogo al potetzcial de las ulúg?'ales ge'll.cTaZi:utdas, y que a pesar de eUo S6 descuida en m uchos textos elementale8, Nwm.ero- B08 ejernplos y ()bserVacWnes aclaran el a l.cance de los dÜ!tintos criLel"ios. Pm'n la convergencia condicio'lal BIl dan los clásic()s de AREL y cts DIRICH· LET, L as operaciones de producto y cociento c/c sC1'ics incluyen u n eje·m,plo poco conocid(), qlle hem os elcmcntali;mclo y sim1)lificado nl sacm'lo dJJ las mem orias originales c/(: PRlN('ZtiUM. Al final del capítulo V, en la nota 1, sobre algoritmo,~ de e01' "" , 'ge'/lcie~ y swnaci6n, se estlulia la transforma- ci6n de TOEI'LIT7., OOl>. 6¡~ aplicaciól1 a lo,s medias arifmilicfls 11 g e07llir,"Íca8 deducida8 de unCl· éltCesión, el criterio de S'fOLZ, 108 te-Of'ml1lIS de IvlERTENS ti ABEL sobre ;.,'oducto de series y sobre todo, la, sistematización qw' la tl'ans!ormari-5(t de TOEPLIT'Z establece en 10.9 m étodos dc sumacwn o c('¡¿ver- gen cia ge >! i!,?'(tlizarla, En la nota 11 S~ da 1m(/, 1'ó,pida e:rllosici.ó, de la Aritméti'm dcámal de los n Úllte /'os (f-])I'oX'Ímado8. La nota I II, lkdicada a !1'accir;f/C8 continuas, empieza dando cl p1'oceso con que ésllls se ongimtn, ]Jal'r. así int?'oducir, en forma l'á]}it.la y fl imultúnea, las ¡i-1I ~t.as y lcu in· d.,jinidas, Va luego el cstucli(. dl' las "('(lucidas, ele lO$ te(' ,'emos (le apro- :¡;imaeión y de las a'Jllica,,¡ont' s a la n!wcs<:nta.ción de ir 1'Uciona·lc8 y reso- lución de ecuaciones dio{ ánfjr(l,S. S, · ha dejado para el mpítalo Xl la ex- posición de lo s productos ,¡¡¡finitr-:;:. con el fin de pod~r to11w,r 10[aritm08 en el caso com plejo ; las srrie8 ?lItíltiJ,lcs 8e han di'jrtdo para el volumen 11, El eapittclo VI trattt de las !WU'iflllC8 1'cafell y de la CDneinllidad Las definiciones rigur(lsa:; SI! emt'nrinn dellpuls de adeC1u¡.da prepal'acwn ti se a.clal'an mediant" nUnI{'}'OS(;/; ejemplos. En la n ota 11 se dislinguen con prec'lsión no acoriulIlbrrtrla los l'untrs llmite8 rc{cnmtes, ya sra a IOB conjuntos pun tua.le.9 ya SI a a Ia.s 8:/"'''8i" ,(cs. En el capít~!l(> l ' JI se dt'sfn.ca ditff ,:ticl171/,cmte la Ílllpol tancia funda- mental de las /1/,'cio 'licS tm·llcrllclt lite,. elementales: CXpoll. ·lwinl, louarít- flliea. y potencia'; cÚ'clflarcs: hiperb'Jlicas, Al estudiar la 1'ep¡'cscntadón para.mildea 8C intt'odllCC la tlcfim'c'olt (uwWica de CUT'lJU pla.ncI. cnya o.m· plitud 81' cjrm',li¡ü'(! ('1/ In /, ¡Ia I ,((, firl//I r/,. {'fI/;íf1do, media1lle I((,~ clw~'as de PEANo, r.a 11ota· 11 81' (lerfil'ft (L tablaR de funcirme¡;, ?/Icncionnl!do lo realizado {I ~ti'iJlame1itc pr,r nMT amclictJ.1l08 e i:Jlglcses, El C,I/,íf7rl" 1'111, ¡;"nrt' im/ciones c7erhrabl('s, iJl trodnCi' el concepto con la ¡,oeibil-il7ad de f}1If, le dent'ada sea ú nicn ú~fh1itG (con sign o ([",ter- minado ), El capítlf1" IX, sob"c teoremas del valor 1lll'dj" y cm¡,~tre1Ir71C'l(1.8, em' ln'j>~a da·ndo la 1'dl't! itr ti. i lh'a dl' l teorema del TI1Cl'C"'If'nto finito, ]Jara lllcoo l'recis(l1' Slt a.lrOIll'll V dcmost'mrlo en Jonna ,-¡gl/rosa 1/ ge,1!C'ralizada. La udmiRivn (le (¡"",t,mdn 'Ú?t1CII 111fi1/íta pcrmiJ.e traf'lr en f orma completa 108 lím.ites in d eIO'ltd'1Utd()s, (.Lcla?'GlIdo cm/. adecuados ejemplos el alcance de la l'egla de BERNOI TT l.J-L'HoSPl'fAJ.. Sf, d(m lo:! ól·dell f.8 fUllda11lf?)¡tales de infiJriflul, su. 1¡' i tl r a[c;:a, 110 a1''lui?ltc(riana y 811. aplicación al est.uilio de a8ínlofns y ¡F. ecciones e¿sintóticas de fas C'1,,'I ' aS ¡,lemas, donde, u'¡Jal'táj1- donos de lo. exp o8iei otre8 I(.SI1a.[68, se di8 h'ngu6 bien el caso de ?'ama parCl- (¡ó lica , de aquel en q11e 6x iste dú'ccción nsill.tótica p€ro no asíntota, ni pI'opia., ". impropia, Asimismo, se p}'eci~/(t en los ejercidos la distinción e1Jtre ( á nfota 11 posición lfrnité de la tangente, CU1l0 pltnto de contacto se alejo. 8(jb~'e la. rama {le c1trt'a C011sidcradn, La 1Wta IV, sobre. 'P1'opiedades de la funci6n deri~,adG, t~'ata de la cmL'I-'ergencia. u nifonne de la razón in- cr,'menfal y dd tem'1!1n.a de DARIloux. [.0, llota V, sobre nÚ?1te1'os dCritl ad08 U funciones derivada,¡¡, es 1nuy profunda, habib!do8e ctnlllCouido I'xponer 108 clásicos teOJ"cmas de SClIEEPl'ER con de1ltostraciones breves y sil/trl.leas. La nota VI SB dedica al t eorema ftmdam.ental del CálC'lllo integral, ú/.tro- du.cien do la función ternaria de CANTOR, q1UJ, modificada adecuadamente, sirve para d a ?' un ejem plo ?nuy sencillo de 1M) cumplimiento de dicho teo- rema para funciones c01ttinu.l1.8, si se f,xige solamente la igualdad de de- rivadas, 8i1~ 80lJrentender que sean finitas. En la, notG VII 1'U una eXP()' l'J.AN DE LA OBRA xxv .'1' "'" ,:I4I/Lrlllj~li%ajla del ejemplo de VAN DER W AERDEN de función conti· 1I11It, I/.r' Gil lutW 1'lUIto carece de det"ivada finita, n i aun lateral. l'/ r.t',lí/ulu X se dedica a la. flrt'nntla de TAYLOR 11 a. las ecuacioncs tJUit',rfU'mH, Cuma uplica,~ión de la derivación BV.ceBiv a ( § 88) se tmtan /", ':II1'tllI t'/'cI/,es 111últiple8 de las funcion es Cot~tin1(aS, p ara lo cual es muy .,,11 lA, pn'd8ió-n con ql~e se ha int1'odu ddo el orden i nfinitesimal, 'Y que " ... i/in! cshu!iar con O'ran gen m'alidad en las hip ótet>is, la v alidez de la. , ,,.,,,,,111 rlf" 'CAYLon y de las diferente8 f (Jrmas de su té·rnn'no co-mpl,emen- fI",.'tI. I.a fórmula de TAYLOR (§ 99) 86 int?'Oat((J~ 1wturalmento, mediante '" Huri,;n illt1(itit'a de polinomio "()sc1.Ila(loY' , para lo que se h an estudiado ",'p,',amente 10B órdenes di¡ contacta de dos C1lr'i:as plallas. En aproxima- I/tH. ¡¡IIcnl, 8e trata la TeBol1(ción numérica de eauuianeB cuale8quiera ,.,1111111 .. la. regla ele NKW'TO'\'-FoURIER, en conexión con el extenBO § .1;1 ,.".,. .. 1'(/lI/IIICión numérica de eC1.Iucium:;s algebraicas con Beparaci6n de 1'1111'''/1 iI teol'e'1l/a.. de S1'OOllt, cá.lclllo dc raíces 1'aciona[c8, 1?'1'acitmales y " .. m/,I'· julI, e idea del método de GRAFFE. Va of:'¡'o 1)urá·{lrafo ( § .1;2) 80bre '",ilmricJll algeb?'aica, En el -método de EULER, e8 de señala?' la f orma !n tl l"riaJ .(le la resultante dada modernamente PO)' E. T_ W HITl'AKER, y .,,1,,· .. tildo la demosh-aaió71 8encillo, y rioura/w. que hemwB obtenida cn el , ... de- que los dos polinomios de grado m y n ten gan el In. c. d, precisa- ,.t ,,1,. ,re [¡mdo T> 1. E st(J n os 8í"ve para de'mosh-a1' en forma bnnJe d ' ... rf' .It(~ gelleral de BÉZOVT, acabando el pa¡'ágrafo con el método de di- .I/lflri/;¡¡ de KRO:\'ECK F.Jl. A p¡'ovechamo8 la ocasión pm'a lamentar qu e en ",1/1'1'"11 lerdo8 dedicados a in genieras, '11 1nl1Ch Q m tÍs a fisi c08 o mate'lllá- """", 8(' omil-an totalmente est.as cuestiones , algu1LlUJ de las cllales san t am- 1""" de' 11a1o)' p¡'áctico. La 'Ilota I/l, 8()bre funciones sin!ét)'icas de las mí- 11 JI IliscrimnlClnte, ademlÍ8 ele su importan.cia en la t coria 8u perior de la r""""lci6n aloe b raica, fíiwe panl, ivs:tif icar l08 pro~climientos ya emplea- "'" mI el capítillo IV para la res()lucitÍn de laB ecuaciones ele'fllentaleB, " rO. nota IV, soln-e , 'csoZlrción gráfica de ecuaci one8, nos dctenc1nQs so· ',,.. .. #4)110 ~Il el 'mét (Jdo de LU,L, dando de la N (J mografia una adecuada ""¡"IItación hiblio{/1'áfica en la nora si.g1{ienle, 1<:1 capitulo Xl, sobre 8C'I'Íes (le potencias , empieza estudiando 8US pro- "¡,,,"tt/es oene1'al68 en el cam pv complejo, inehlso la conve1'gencia unifor- ti •• , tema a tratm' ?mis extensamente tm el volmnen Il . Los pal'lÍ.yrafos ,lfI,ri .. nles se dedican a 108 m étodos ele dcsarrollo y a lee a1J!icación a las 'r'tllft'~ulente$ ele7ne11talc8, Aun mIando la 1>rolonoaciÓ1¡ (l,nalítica se t·ra· " ... ·,1 t'1/. el volumen III. se estudian ahora las tras()en<len te8 elem-entales en . 1 /~1-I11Jl(J complejo, para dar 1ft teoría a.l'Ítlllétka de las funciones circu- l'trt'8 e introducir natu.ralmente las dcfi1l.1cúmes de lJotenC'Íación de expo- ... "t" complejo y de logaritmaeión y potenciac'ió1t C'ualesq1l1era, Asi se }1I.r¡fira la importancia i nt?'inSfca de la admiYable f 6rmula de EULER. rulO liga las cinco números más importantf!s ele la mate?nática : ei7T + 1 = O, GIIl Il,mw la U'nea de pensamiento que en for-ma no rigurosa ttiguw el 'miB- /ti" l~ULER para obtener la. serie exponencial en el campo complejo, cama 'hu (l + x/n)" pal'a n ~ 00 , 7'amóién queda !)ompletamente justificado "'~ rjtlmplo pumdójico original, que se dió en el capitulo TT, pa.ro, explicar "1 ,·ntl'ic.c1fÍn de tomar siemp"'c base po8itiva en el estudio de la poten- i lL4"iÓ¡1 011. d cam po ,'eul. La neta JI trata de 108 métodos ']Jara calcula-r ""I1U'1'OSQ.8 ciJ~'as del número 'Ir, dando c'UI.mta del error de SHANKS, des· ""bin'/o €1t 1946 p 01' F'ERGUSON. L a nota 111 se dedica a 108 producw8 In fillitos, tl"nta impO?'tante, que se aplica p osteri01'men te, ent1'e otras elles· II/tII/'8, a la Tco?'ín de Funcio71P,8, '11 '1nl.' se d<:,qcui da en muchoB te:'Ctos , El cwpít.ulo XIl, s()brr inlcr¡wlaci6n y diferencias finitas, da prime- I'I""('lIle, 1m la forma. más sencilla 11 prá.ctica pomble, la fó rmula de LA- r21CII NGF: 11 la. interpolttcwY! parab úlica p'"og1-fei1,a, olJroveckando la p·rimera ,m,." cBnldia1' la fl f8 cQ?1Zposición de 1ma /1'acción algebraica en fracC'iom /J ,'-m "ks. Se est1lClin. llleoo en particula,' la interpolaoión entre va·lores '/"ú,lillffmtes, dando los ú.tiles o1lerado1'cs si mbólicos, llegánd ose a la fór- XXVI PLA N DE LA OBRA mula de NEWToN-GREGORY po,' vm'ios caminos, En la nota 1 se eatltdütr, las dif e1'encic¡,8 divididas 11 su aplicación a la o blención de las f ónllulas de LAGRANGE y de NEWTON, y a la únpo1'tante significación que meclia11ú ellas adquieTen los coeficientes diferenciales de PEANO, definidos en la nota I del capítulo X, En la nota II se estudia el empl,ec de difeTencias centTales con la intuitiva notación de SREPPARD, así como sencillas de?nos, tm.ciones de las fó1'm.ulas de EESSEJ, y STlRLINC, previa deducción de la de NEWTON-GAUSS y uso pníctico del ténnino complemenl4r-io en caela caso; la distinta 1¡iilidad de 108 diferentes fórmulas queda 4clarada. me· dian/.e oportunos d-iag1'amas y la notación de SJlEPPARD, El capít.ulo XIII introduce el concepto de integral según CAUeRY (§ 48), con todo rigor, pero basándolo en la ?loción intuitiva. de área. Se dedica el b1'eve § 49 a la integ"al de R IEMANN, y en el § 50, so(n-e inte- gral y 'jJ1'imitiva, S6 estudia c.on todo cuidado la aplicaciÚll más gencmli- zuda posible. de la 1'e{}la de EARROW , pa1'a lo que 66 dan también breves nociones 'de integrales gene?'alizadas, de intervalo infinito o de inteurt:mdo infinito, y cuyo est~(dio delenMo se de-ja 2)(ra el volumen n, y paTa el1I1 el de la teoria SU1Je rÚJr de la integ)'ación y 8U aplicación a las se/'ies de FOURIER, La nota 111, sobre condiciones de integmbilidad (R), da las debidas a R IEMANN, Du BOIS REYMOND y LEBESCUl1:, esta última mediante la definición dú'ecta de conj~mto de medida nula, La 11(;ta 11', 8ob¡'e deri, vado, acotada n o integrable (R), deBan'olla en forma unifica ¡¡ elemfmtal el clásico ejemplo de V OLTERRA, En el callít1llo X IV (Cálculo de wimiHvas y alJlicaciones), el § 51 estudia los métodos gene1'ales de integración, con numel'OSOIl ejemplo8; la sustitución de va.riable en la integral definida se ha hecho en condicione8 C'/tidad08amente estu.diadas para qlJe quede justificada en caS06 -nlÚS gene.· ,'ales que los que suelen daTse en textos de ot1'OS (tutores, El capítulo XV, 8ob,'e aplic(%Ciones geométricas 1I físicas, empieza con el cálculo de áreas 'JI volúmenes que Buele hacerse en todos los textDs, peTO tratando cuidadosamente la atribuc..-ión de signo al á1'ea 01"ientada, c'uestión 80b,'e la que se '(TI'opone un ejerC'lcio mUI¡ instntct'ivo. En la rec- tificaci6)~ de ClW1.'LlS planas (§ 55) se procura que, sin pe1'de?' ngol', el tema se desaY1'olle en fonlla progresiva ,'eBpecto a su difiC'/tltad, Se dice algo sobre integrales elípticas, y se 8iOI,e con curvatura, véJ·tices y evo- luta, esto últ.imo o. completar en el volumen ll, E l parág}'o.fo acaba con variación total y longitnd, incluyendo el crit fJ,'¡o de JORDAN, que constituye lma de las jt!8tificaciones parct in h'oducir lo, integral de LEBESGOEl, a tra- tar en el volu'men l/l. Se deja para laB n otas finales del capítulo el CO?l- side1'aT la convergencia seglÍn la no1'1l/.a en 108 conceptos ele longitud 1/ variación, con el conexo lema de DARDOUX, 1'eferente a la definición de integral, y la demost1'«ción de la continuidad de la longitud, así como el prinCipio de semico-ntinuidad infe?'ior, básico en la genend&:ación de la teoría a las superficies según LEBESGUE, y q~le se ve"á en el volumen ¡lI. El último capít~llo de este volumen se dedica a la integmción apro- ximada, desa1'Tollada en fOTma bastante COml)leta. El par{¡¡jrafo más im- pOTtante (§ 57) t1'ata de la integración nmné-l'ica, 1! se empieza pOI' la f Ó1'- mula de lo.'! trapecios, cuya inclu8ión se fu8t.ifica en vista c/e Sil pe" /~c ciona-miento mediante la fórmula de EULER-MACLAURIN, que 8e incluye en la nota JI de final de capítulo. En el método de SIMPSON se da el resro de PEANO, y ot'ro menos p1'Cc1S0, pc,'O más jácihneHt.e obtenible. Se aproo vecha la integración po?' desa.rrollo en s61'ie 1)a1'a int1'oducú' como ejern' pl08 la función er1'or, la integral-seno, la exponencial-integral 'Y la loga- ritmo-integral. La fÓTmula de integración de GAUSS se empiem a eswd-iar en forma element41, pasando luego al caso general -mediante l08 polino- mws de LEGENDRE, que son objeto de la no ta III de final de capitulO. L a aplicación de los método8 de interpola.ción completa la obtención de la fÓ"mula untC1'ior y da también la antigva, aunque menos pTeflJ7'ible, fór- mula de NE\VTON-COTES, El § 58 trat.o, de integ1'ación g?'áfica, incluyendo PLAN DE LA OBRA XXVII I "tút ll d. tBcala8, lama a veces descuidado, y muest?-a bien la ventaja ti . /".ltllO,. la compensación por verticales y no por horizontales para el I f 11(. rl tl la curva integnll, El último parágrafo (§ 59) trata de la in- , o m e/l!". 1l1Ccúllica, e:¡;poniendo sólo los principi08 [Jene1'ales en que se tuUlIJ,I l't kl fl,'afo8 y planímetros, Se tTata la teoTia geneml de los planí· ''' '''''111 .fe ruedecilla iniegmdom., dando cuenta de las principales causaB ., wrT'U', El parágrafo termina con la desc1'ipci6n del notable y sencillo ¡J 'ltll, t "0 .te PRYTZ 11 un bosque.io d-e BU teoría, basada en un principio f l' "1.(1 rt. 10/1 anteno1'es, Ii, IlmUOGRAFfA GENERAL. - I,a última nota de C(l,a(l, capítulo Be de • .. • /a1" orientación bihliográfica, en forma c1'ítica y explicativa. Por 'r, I/fI " I/'tt[ se cit.an libros y 110 memorias, y entre aquéllo8 Be han elegido ' ,~I '1"e conlliae,'amo8 'más apropiados pm'a Be1" consultados por nuestros ''' . WI'.:II , o bien representan ci'ma8 'maes/,ras, de influencia deciswa en la " ", ,,.'/,,, ,Iel pensamiento cientí.fi,co. En elUJB, no sólo podrá efect1tarl<e un ,l"rll" más amplio de ÜMJ dive1'sas teorías aquí expuestas, sino que tamo 1" #le Imcontntrcin citadas las monografías originales, que podrán con- ,udlar .' fJuellos qi~ quieran emp¡'ender un estudio más profundo de la .'1,$11 'lue inte/·ese . Alrm'a , 11 con co.¡·ácter general, citaremos pr'imeTo la obra enciclopé- ('1.1 """'11[da, de 'Útil consulta para toda teoria matemática, con 101< resu.l- ' " ., •• " obllmido8 hasta la fecha de su publicación 11 ab~mdantí8ima biblio· 11"1,. /1" de m emorias originales, cuyo titido es: «lUllklopadie cler Mathematischen WisBenschaflen, (19 volúmenes. pu- ',UC"l\,lfIf; por Teubner, Leipzig, 1898-1931. Comenzada l'ecientemente su .II,' lólI) • &.Iu ha sido tTaduciaa en parte Il.I ÍTancés. con' artículos refundidos. "liJO 1)1 título: Ií ll clIdopédie des Sientes MCltJ!ématiques pures el appliquées. (Gau· 11,\ 1'. V illars, París, 1904-1931). Un r esumen enciclopédico, más sintético que la obra anterior, indican .1 1.lh liog rafía flll1damental, se da en el: "tJ#len/8 Reperto-rimll del' hiihel'en Mathe1llatik. (21). ed.; 1: AnalYBis, . ll'IlCl.1o por E. SALKOWSKl; 1. A lnebra, Diffe¡'ential- ~md Integrahech- itll"p. 1 91 O; 2. Di/!enntialgleickv.ngen, Funktionentkeorie, 1927; 3. Reelle lit kUonen, N (mere E n twicklunilen, Zahlentheorie, 1929; II: Geometrie, .11"1,1,10 pOI' H, E. TIMERDING; 1 Gnmdlagen und ebene Gemneh'ie. 1910; ""mnglJOtlletrie, 1922; Teubner, Ldpzig-BerlinL U lIlI visión general de la Matemática, con carácter de divulgación y l\l., .. 1os de muy variado mérit(). es proporcionada por la lectura de: 1:/~lIcyclopédie F?·aTu;aise. Ton10 1; L'outillage 'mental; tercel'a parte: I Af~'h é11lo.f¡¡qtle. dirigida por P. MONTEL, (13 l'ue du Four, París, 1937). Mllnllal encJiclopédico de Matemática elemental para profesores y • " "1111 011 es : W~;¡ll:n-WELLsTEIN: En;:;yklopiidie de1' Elementannathematik. (1: Arith. MI '¡¡', I\lycb.'u ,md Analysis, por H. WEBER, 51). ea., refundida por P. "'"""'N, 1934 ; JI: E lemente de)' Geo11lctrie, por H. WEBER. J. WELLSTEIN W .''''COBSTHAL, a ... ed., 1915; III: A ngewandte Elementannathematikj I M'." '(! l1Iatiscl!e PhY8ik, por H. WEBER y J. WELLSTEIN, SI¡. ed., refun- 1\,1. " .. r R. H. WEBER, 1923; 2. Da1'8tel/ende Geometrie, g1'aphische Statik, 1 'M" /frkl'inlichkeit8rech1l,vng, politische A1'ithmetik und Ast1·onom.ie. por J. WP!J.t.STEI N, H. WEBER, H. BLEICHER y otros, 31!- ed., 1924; Teubner, 1 ' ,tt l¡:-BerHn ). m,l'a más reciente, también de carácter enciclopédico elemental, es: l.. IlERzOLARI, L. G. V rvANTl. D. GIGLI: Enciclopedia clelle matemat'¡· J. . "' .. m.entarl. (1 : Análi sis, :1. voIs., 1930-32; II: Gcome/,na, 2 vol S., I i'I7 .!Ur : IlI: Matemáticas aplicadas. 2 vols., 1947-4B; Hoepli, Milán), XXVIII PLAN DE LA OBRA Libro de orientación bibliográfica, descuidando la de origen latino, pero útil po,: su en general bien seleccionado contenido en la de origen anglogermán;co, es: . PARKE, ~ G. IlI: Cuide to the LiteT"at.U1·e oi Mathemat-ics and Phy- sies -includillg rA lated vJorks on cnflinecríng S cicJICC (21). edic. ampliada, Dover, N. Y., 1(58) . En el segundo y tercer votumen será rmblicv.da la parte a.e Análisis infinitesim.al que completa los programas usuales cursados en nucst m s universidades sobre la propedéutica, tanto de la Ingeniería como ck laB materias BV_periores de los doctorados en Física y Matemtitíca. CAPiTULO 1 FUNDAMENTACIóN DEL NúMERO RACIONAL § 1. INTRODUCCIÓN LÓGICA J. Unidad y conjunto. ~ La idea de um:dad nace en nos- • ~nlg al distinguir o individualizar un objeto del resto del uní- v rBO, prescindiendo (haciendo a bstracción) de todas sus de- lñils cualidades (v. g.: al tomar conciencia del yo como algo IlItinto del no-yo). La idea de unidad lleva implícita en ella 1/1 idea de pluralidad o conjunto de entes. Estas ideas de unidad y conjunto son primitivas, es decir, J'lO reducibles a otras más simples, y tienen valor puramente laUvo, pues todo ente es, a su vez, un conjunto de otros entes 110 lo componen, y todo conjunto puede considerarse a su vez mo una nueva unidad, pudiéndose formar con estas unidades mpuestas (también llamadas de orden superior) nuevos con- 'unlos, y así sucesivamente. EJEJ\-IPLO 1. Pueden considerarse como unidades de los conceptos pos- ,lores y como conjuntos de los anteriores, los conceptos siguientes: letras, lIUabAS, palabras, párrafos, páginas . .:apítulos, libros, bibliotecas. O como ... hR visto en Aritmétíca elemental : unidad, decena, centena, millar, etc. Hay dos caminos para definir o determinar un conjunto, támbién Uamado clase, métodos que los lógicos designan por :lllen.si6n y por comprensión. Para expresar que el conjunto M consta de los elementos a, b, e, escribiremos M = {a, b, e}, o i n: a, b, C; con ello damos la extensión del conjunto M al IIunciar cada una de las unidades que lo componen. Este mé- tDdo para determinar los conjuntos es el más frecuente en la vidn ordinaria, pero sólo es apropiado para conj untos con po- R elementos. Por otra parte, Jos conjuntos infinitos (§ 2-9) 1l,1() pueden definirse por comprensión, es decir, dando u,n. cri- , no que permita reconocer para cada ente arbitrario, si per· tfm€ce o no al conjunto. Para evitar antinomias (expresiones contradictorias), al- ¡fU nos autores consideran que solamente puede ·formarse un mjunto con objetos que existan (§ 1-4) anteriormente. Así, finir un conjunto M es dar una propiedad caracteristica P, 114:rteneciente a ciertos elementos de un conjunto N. anterior- m nte definido. tste es el género próximo, y P la diferencia fB71eclfica. 2 1. FUNDAMEX"TACJÓN DEL Nlt!l1ERO RACIONAL § 1 -1 También se enuncian las siguientes condiciones pal'U definir un ('''n- junto: ., a) Los element.os que forman el conjunto han de ser entes bien definidos (puntos, números, etc,). b) Para cada uno de estos elementos no hay otra alternativa que la de pertenecer o no al conjunto. e) Para cada par de elementos Il considerar no hay otra alternativa que la de estar formado o no por elementos distintos, Cuando la condición impuesta P es contradictoria, no existe ningún elemento que la cumpla, y se dice que define un con- junto vacío, que suele simbolizarse por O. EJEMPLO 2. Son vacíos los conjuntos siguientes: triángulos equiláte- ros rectángulos; números primos pares mayores que 2. . Un solo elemento a puede también concebirse como un con- j unto ~ a ~ que consta de la sola unidad a, pero en este caso son conceptos distintos los de unidad a y conj unto r a} que e lJa sola forma. Prescindir de esta distillci6n u otras, así como introducir conceptos y raZ011amientos en círculo vicioso (tal la expresión "el conjunto de todos los conjuntos"), da lugar a antinomias o paradojas · famosas, como las de CERVANTES (Don Qnijote de la. Mancha, 21). parte, cap. LI), BURALI. FORTI. RUSSELL, etc. Éstas c01'l'esponden al siguiente tipo de proposición: "Es una regla que t.odas Jas reglas tienen excepciones". Si la regla anterior tiene excepción, entonces debe baber alguna regla sin excepción, contr a lo afirmado por la proposiCIón, que queda asl sin sentido. Para expresar que un elemento a pertenece a un conjunto M suele escribirse a E M (a es elemento de M). Si todos los elementos de un conjunto N son también elementos del conjun- to M, se dice que N está contenido o incluído e.n M, y se escribe .. N«)M. Entonces se dice también que 1\1 comprende a N, y se escribe M (::::) N. Diremos que el conjunto N es una pa?'te o conj'unto parcial de otro, !vI, cuando perteneciendo todo ele- mento de N a !vI, hay en éste algún elemento que no pertenece a N y entonces se escribe N ( <)!vI, o bien: M (> ) N. Podemos suponer, siempre, que el conjunto vacío está contenido en cual- qUIer otro. Si Be verifica a la vez N«)M y M«)N (todo ele- mento de N pertenece a M y todo elemento de 1\1 pertenece a N), se dice que los conjuntos M y N son iguales o idénticos, y se escribe M = N. En íntima relación con las nociones de unidad y conjunto están los conceptos, que en Lógica suelen clasificarse en in- dividuales y específicos: los primeros se refieren a objetos particulares; los segundos, a grupos de objetos que tienen cier- tas propiedades comunes. A cada concepto específico corres- ponde un conjunto: el de los objetos a los cuales es aplicable. Por consiguiente, también los conceptos pueden determinarse por extensi6n o pO?' comprensión. • Por nt:.!c.ncs ti[Jo~1"f, fi c ft .s usamos el s ímLolo ( ~ ) en IUJ,!.ar tleJ m;ís us unl S. ~ I -2 INTRODUCCiÓN LÓGICA 3 EJEMPLO 3. El concepto "alumno de primer año" puede determinarse J'aSllndo lista (por extensión) o por un cer tifi cado de inscripción (por comprensión) . Cuanto mas general es un concepto, es decir, cuanto menor es su comprensión, tanto mayor es su extensión. EJEMPLOS: 4. El concepto "argentino" es más genet'al que "l'osari- 110"; la condición de vivir en Rosario, sumada a la comprensión del con- ('el}to "argentino", reduce la extensión de éste, 6. El concepto "polígono regular" tiene la comprensión "equilátero y equiángulo"; suprimiendo esta segunda condición, el conC{)pto BE) gene- ,'aliza y quedan incluidos nuevos entes (p. ej., los }'ombos). Sin embargo, pura los triángulos la distinción es aparente, plles la propiedad "equián- !&Ulo" es consecuencia de "equilátero"; esto demuestra que a veces dismi · nuyendo la comprensión, no aumenta la extensión. 2. Lógica deductiva. - a) Una teoría matemática es un conjunto de proposiciones que se siguen según el esquema de In deducción lógica. Se entiende por proposición una expreslón .Ie la cual tenga sentido inequívoco decir si es verdadera o falsa. La determinación del criterio de v€l'dad de las proposicio- nes es a veces una cuestión extra lógica, que pertenece a otro ('ampo del conocimiento; por ejemnlo, "San Martín murió en (i'rancia" es una proposición cuya verdad pertenece a la His- toria; en cambio, decir: "El enfermo morirá, o no morirá". es ('nunciar una proposición verdadera Púr su misma estructura lógica. En todo proceso de deducción lógica, o 1'azonarniento, las l)fOposiciones de partida forman 10 que se llama la hipótesis, y la conclusión a que se llega es la tesis. En un razonamiento válido, la tesis se deduce o es una consecuencia lógica de la hi- pótesis; también se dice que la hipótesis irnplica ]a tesis. Todo razonamiento se puede descomponer en varios de] tipo más simple, llamados 8üogisrno8, que el ledor ya conoce. Por ejemplo: Hipótesis o P1'emisas: a) Todos los triángulos son polígo- nos; b) Todos los polígonos son figuras geométricas. Tesis o conclusión: Todos los triángulos son figuras geo- métricas. Decir que "todos los T son P" significa que "cada T es un P", pero puede h3ber algún P que no sea T; si en cambio todos los P fuesen también T, se diría que la clase o conjunto de los 'r es idéntica a la de los P. Podemos representar la clase de todos los T por el conjunto de los puntos limitados por un contorno cerrado; entonces la L FUNDAMF.:>::TACl(¡r-; DEL NÚMERO RACIONAL § 1 ·2 premisa a) anterior significa que el con- junto de los P contiene al de los T, pudién- dose sintetizar gráficamente en la figu- ra 1 el razonamiento expuesto. Tales ilusLraciones g ráfi cas del silogismo son llamadas por algunos au t or es "diagramas de V ENN", atribuyéndolas al lógico inglés JOHN VENN (muerto en Ul2iJ), con notorio desconocimiento de la prioridad de EULER, que las usó en sus Carla8 a Ull(t princc:m de At.emania (1770). con el fin. según dcda, de que " t odo sal te a la vista". En un razonamiento válido. la verdad de la t esis se reduce a la verdad supuesta de la hipótesis; pero la validez de un razonamiento es al[1o cNstinto ele la verdad de las PI'oposic'W- nes q~1e en él infen'ienen. Dicho de otro modo: La verdad forYllal o corrección lógica es distinta de la verdad matm'ial o ,'cal, es decil', del cuntenido de las proposiciones. E.rEMPLO!':: l. He aquí un razonamiento cOlTecio, en que la conclusión es v61'da.(1ua, a unque las dos pl'emisas oe la hipót eSIs son fa,{¡;as (fig, 1) : TIipótesi8 : a) Todos los triángulos son poliedros ; b) Todos lo~ poliedros son figul'as planas, Tesis: Todos los triángulos son figuras :planas. 2. Razonamiento correcto, en que hipótesis y conclusión son falsa.s: Hipótesis : a) Todos Jos triángulos son poliedros: b) Todos los policdl'OS son númer os pI'irnos, Te81~8: Todos los triángulos son números primos, 3. Razonamiento f¡¡COITt'cto, en que la h ip6tesis es vet'{ladera, pero falsa la conclusión (fig. 2): Hipótesis: a) Todos los planetas son astros; b) El Sol es un astro. Tesis : El Sol es UlJ planeta. Hg, 3. 4, RRzonnmiento iJ1Cf)j'!'cdll. en (1Uf' 8011 vel'dadcras las hipótesis y la concl usión : Hi¡)6tesis: tl ) Tooas las estrellA!; son astros: b) El Sol es un nstl'O, Tesis; El Sol es una eshella, En este caso. )a tesis (aunque verdadera) no es consecuencia lógica du la hipótesis, INTRODUCCIÓ N LÓClC", G. Las clases de objetos pueden relacionarse por tipos de proposicio- IIC¡; di¡;tintBs a las vistas en los ejemplos anteriores, sob:l'€ las que tam- hléu se razona, Así, por ejelllPlO; Hipótt;>lÍ8: a) Ningún valiente es cobarde; b) Alguna persona es valiente. ~resiJJ: Alguna persona no eS cobarde. E n l'ambi(), la conclusi(m "Ninguna P ers.ona es Cobarde" no puedo <I"ducirM de la hipútesis hecha (fig, 3). EJERCICIOS: 1. Designando por V y F la verdad o f alsedad de 1'Ct:ZO· j1amir:nlo, ltipótesiR y tesis, los ejemplos 1 a 4 corresponden a los tipos: V) F ~ V : V ) F ~ F¡ F) V ~ F; ~) V ~ V. Vpn¡;e que de los ocho tipos distintos, sól() es inlposiblc el V) V ~ F 2, Construir ejemplos de los tres tipos l'estantes. b) La int~üción geométrica de la posición cOTl'elativa que dos círcu· los pueden ocupar en el plano sirvió a J. DfAZ G ERGONNE para establecer, ('11 1816, el siguien te cuadro de 'rdacion.cs entre dos clCtses de objetos, re- pr\!sentando la amplitud <te cada dl'culo la extensión del correspondiente ('UnCe}lto específic.ll (§ 1-1) que tenemos de la clase o conjUl1to ele objetos 11 que se ref iere: 1Q ) Exclusión; ej,: círculos P y e ( fig, 3): 2<:') b l tersecci6n; ej, : círculos P y V (fig, 3); 31! ) Idl'l¡Jitla.d; coincidencia de los círculos ; 4" ) IIWhtJli611; ej,: posición del cí rculo T l'e"~lecto al f' ( fig, 1); 59) CClIII};I'(,71Siúu; ülVe.l'sa del anter ior, P n~>:Ipecto a T (fig. 1), Si se forman las 25 pRrcjas" q UE' pueden obtenerse al tomar dos de "'s as relaciones como premisas de hipótesis, los correspondientes diagra, mas darán la conduliión a que pllelle llegarse o no según los casos. Estl:: método gráfico de fOl'mar l'a~onamielltos es el 11a111ndo algoritmo de D1AZ t :I1:RCONNE. EJEMPLOS: 6. Si están relacionadas por exclusión las clases P y C. IlRí L'(IUlO las e y V (lig. 3), sólo podrá a fi rmarse de las P y V que su rl!ladón mutua puede sel' cualqniet'a ele las del cuadro de Df AZ GER· I;OKNE. 7, Si están relacionadas Tlor inclusión la clase T respecto a la P, y JII P resp cct() a la F (fig, l), podrá seguramente afi rmarse que la clase ' f' est á incluída en la F, E l algo\'i Lmo de DiAz G ERGONNE da ya un a representación más clara y completa de los silogismos que lB. reali~da pm.' A RISTÓTELES, pel'o el IlI'ogreso f undamen tal en este sentido, lo realiza G E ORGES · BOOLE haC'Í1I 1><50, en tl'lLbajos sobre el análisis matemático de la lógica y la investiga· ,'iÍln de las leyes del pensamiento, deslllTollando la llamada "álgebra de 1')['86S" (véase nota 1), E sta " lógica simbólica" y su desarrollo posterior ,'n variarlas direcciones, no constituye un met'o pasatiempo de los mate, IlllÍ.ticos, sino que responde a 1ma real necesidad. Muchas paradojas y cOJ1fusiones eJi lógica p rovienen de la falta de ".'ccísión y de las dcliciencias del lengua je ordinal·io, E.rEMPLOS: 8. Los apóstoles son doce ; Pedro y Pablo son apóstoles, 'IICJi:O son doce, 9, La dUl'a experiencia de quien conoció el "gato de nueve colas" en la antigua marina inglesa puede " justificarse lógica mente" por el siguien- te seuclo-razonamien«J ; Ningún gato tiene ocho colas; todo gato tiene una cola más que r,ingÚn gato; por tanto, todo gato tiene nueve colas, • EA <1ech', variaciones bimnkls d'n n,-., cUdú n ( ~ 11-1) _ l . FUJIIl>AMENTAClÓN DEL NÚM&J\O RACIONAL § 1 -3 3. Métodos de demostración. - Dado el teorema "H impli. ca T", hay varios teoremas relacionados con él. Dos teoremas s~ lJaman 'recíproco8 cuando cada uno tiene corno hipótesis la tesis del otro; se llaman contrarios los Que tienen como hiv6· tesis y tesis proposiciones respectivamente contrarias (H y no~H, T y no-T). He aqui indicados el teorema dado (que Uamaremo8 di- ,,'uto) y además el reciproco, el conh'8rio y el recíproco del contrario (o contrario del reciproco), que llamaremos contra- reclp? oeo. H Implico T 4 ree. ) T Implico H -S': 1 ~ro fE!e\~~ '::e' 1 (.o~.orn ... _ ~ ~ no-H ImplicO no-1 4- rec. ) no-llmpllco no-H La validez de un teorema. no implica la de su recíproco, como puede verse en los diagramas figuras 4 y 5, en los cuales los circulos representan 1M extensiones de conjuntos definido~ (por comprensión) por las proposiciones JI y T. f'ig. 4. - T .... r ....... dlrecto Fig. ~. - T ..,remB rI!Clllro- FIII.6 • y cOlllnort"cillroco l. co (y contrario) . El teorema directo expresa que H es suficiente para que se cumpla T; el recíproco dice que H es neeé8ario para que se cumpla T. Si son válidos ambos teoremas, directo y recíproco, entonces H y T son equivalentes (H = T. fig. 6). Y se dice que H eB condición necesaria iI suficiente para que se cumpla T. Tal ocurre en el ejemplo: H = "El triángulo ABe es equiláte. 1'0"; T = "El triángulo ABe es equiángulo", Dos teoremas cont1'a.rrecíP1'oC08 son equivalentes, es decir, la validez de uno de ellos implica la del otro. Esto puede verse en ef diagrama figura 4, considerando las regiones exteriores a cada uno de los circulos. Como consecuencia, son equivalen- tes 108 teoremas l'ecíproco y contrario de uno dado. El método de razonamiento que consiste en probar el teo· rema directo valiéndose del contrarrecíproco, se llama ''"por reducción al absurdo"; es decir, que para demostrar que "H implica T", se acepta la falsedad de T (no.T), y de ella se deduce la falsedad de H (no-H). .: I " IKTIlC)J)Ut' (' IÓr-. L(l(;U' A í La obsel'vación de que la validez d(!l teorema directo no implica la del recipl'ocO es esencial tenerla en cuenta en los métodos ,'('(I,~ctivQS de demostración o resolución de problemas (mal llamados, por tradición, mé- todos analíticos) ; en éstos se supone la cuestión T \'eSuelta. y de este hecho se deducen conseeuencías T" Tt. . , .• T .. , para reduc·ir la cuesti6n T a una conocida T.; si en la cadena de }'eclucciones éstas se hacen me- diante equivalencias, la validez de T. equivaMl'á a la de T; 11iH-O si sMo Be harl!- consideradD im1llictuJiones, ?ID pod,'e1n08 declueir sit! 'más la validez de T de la 1i4lidez de T •• siendo necesario para ello invertir la cadena y compl'obar si de la validez de T. se deduce la de T.-~ y as[ hasta llegar de T, a T; es decir, habl'eJl1os de verificar la validez de los recípl'ocos, pues 108 directos solamente implican los contral'l'eclprocos, esto es,. sola- mente la falsedad de T. probaría la falsedad de T, Es muy COl11\ID en Geometda analítica y en la resoluci611 de e(!uaciones olvidar la I?bserva- cíón antel'ior. sin darse cuenta de que, 'Por ejemplo, supuesta cIerta. la igualdad 1 = 2, transformándola correctamente h\Vil'tiendo 81.15 términos 2 = 1 Y sumando miembro a miembro: 3 = 8, la valide¡; de esta igualdad no asegura )a de partida, 4, Conceptuación matemática. - En la estructura de la Matemática, además de las proposiciones y teoremas que los relacionan, ent ran los conceptos sobre los cuales ellos versan. La extensión de los conceotos matemáticos es infinita, pero su comprensión ea necesariamente finita. POl' esto, de las dos maneras de fijar o definir un concepto: por extensión y por comprensión (§ 1-1) debe emplttarse Ja segunda para los con- ceptos matemáticos, OU'as dos caractel'isticas de ]a Matemática que la aproxi- man a la LÓgica y la distinguen de las ciencias naturales son éstas: sus razonamientos son hipotético-deductivos, y sus de- finiciones son nominales y no reales. EJEMPLO l. EnumerBr las fronteras de la Argentina es definir una C08a ya existente, es una defil'1icién real; 'pero si danJol! un nombl'e a los habitantes de una j'egión (1 barrio, hacemos una definición nominal. Los tipos de conceptuación que más interesan a la Mate- mática son: 10, las definiciones explícitaJJ; 29, las definiciones por abstracción; 39 , las
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