Clase 8 Conservacion de la cantidad de movimiento- 2020 - Daniela Ugarte

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Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Conservación de la Cantidad de Movimiento 
Lineal
 Dinámica de un sistema de partículas
 Centro de masa
 Movimiento del centro de masa
 Cantidad de movimiento lineal de una 
partícula y de un sistema de partículas
 Principio de conservación de la cantidad de 
movimiento 
CAMINANTE
NO HAY CAMINO 
SE HACE CAMINO AL ANDAR
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
El siguiente video muestra el movimiento de unas clavas que se 
lanzan dos malabaristas.
Analizaremos el movimiento de las clavas:
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
En el video se vio que las clavas no se comportan como una partícula, 
porque todas sus partes no se mueven de igual manera.
Es evidente que la clava tiene dos movimientos combinados: de traslación y 
de rotación.
Pero si centramos la atención existe un punto particular de la clava, que 
sigue una trayectoria parabólica como el que se estudió el movimiento en 
dos dimensiones o tiro del proyectil. A ese punto especial se lo denomina 
“centro de masa” 
En la figura siguiente se detalla la trayectoria que sigue el centro de masa
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Dinámica de un sistema de partículas
Centro de masa
Consideramos un sistema formado por varias partículas de masas 
𝑚1, 𝑚2, 𝑚3, … La masa total es M = 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + … = σ𝑚𝑖
Cada partícula del sistema puede representarse mediante su 
masa “m” y su posición mediante su vector posición ҧ𝑟𝑖 cuyas 
componentes son 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 y 𝑧𝑖
Definimos el centro de masa del sistema 
ҧ𝑟𝑐𝑚 = 
𝑚1 ҧ𝑟1 + 𝑚2 ҧ𝑟2 + 𝑚3 ҧ𝑟3 + …
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + …
= 
σ𝑚𝑖 ҧ𝑟𝑖
𝑀
En término de las componentes del vector posición se puede 
escribir:
𝑥𝑐𝑚 = 
𝑚1𝑥1+𝑚2𝑥2+𝑚3𝑥3+⋯
𝑚1+𝑚2+𝑚2+⋯
= 
σ𝑚𝑖𝑥𝑖
𝑀
𝑥𝑐𝑚 𝑀 = σ𝑚𝑖𝑥𝑖
𝑦𝑐𝑚 = 
𝑚1𝑦1+𝑚2𝑦2+𝑚3𝑦3+⋯
𝑚1+𝑚2+𝑚2+⋯
= 
σ𝑚𝑖𝑦𝑖
𝑀
𝑦𝑐𝑚 𝑀 = σ𝑚𝑖𝑦𝑖
𝑧𝑐𝑚 = 
𝑚1𝑧1+𝑚2𝑧2+𝑚3𝑧3+⋯
𝑚1+𝑚2+𝑚2+⋯
= 
σ𝑚𝑖𝑧𝑖
𝑀
𝑧𝑐𝑚 𝑀 = σ𝑚𝑖𝑧𝑖
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Caso de partículas en sistema unidimensional, una sola componente
Caso de partículas en sistema bidimensional, dos componentes
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Caso de partículas en sistema con tres componentes
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Movimiento del centro de masa:
Consideramos un sistema compuesto de varias partículas de masas 𝑚1, 𝑚2, 𝑚3, …
y velocidades 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … relativas a un sistema inercial de referencia.
Definimos la velocidad del centro de masa por
ҧ𝑣𝑐𝑚 = 
𝑚1 ത𝑣1 + 𝑚2 ത𝑣2 + 𝑚3 ത𝑣3 + …
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + …
= 
σ𝑚𝑖 ത𝑣𝑖
𝑀
Observando que cantidad de movimiento lineal se define ഥp = m. ҧ𝑣 entonces 
podemos escribir: ҧ𝑣𝑐𝑚 = 
σ 𝑝𝑖
𝑀
= 
𝑃
𝑀
Donde P = σ𝑝𝑖 es el momentum o cantidad de movimiento lineal total del sistema
Podemos decir que el momentum total del sistema es el mismo que correspondería 
al caso en que toda la masa del sistema estuviese concentrada en el centro de 
masa moviéndose con velocidad ҧ𝑣𝑐𝑚 a veces llamada velocidad del sistema.
Si el sistema está aislado sabemos por el principio de conservación que 
∆p = 0 p = cte
Por lo tanto el centro de masa de un sistema aislado se mueve con velocidad 
constante con relación a un sistema inercial
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La aceleración puede determinarse:
𝑎𝑐𝑚= 
𝑑𝑣𝑐𝑚
𝑑𝑡
= 
(𝑚1.𝑎1+𝑚2.𝑎2+𝑚3.𝑎3+ …
𝑀
𝑎𝑐𝑚 .M = σ𝐹𝑖
La ecuación nos da la fuerza total o fuerza neta que actúa sobre un 
sistema de partículas, esta es igual a la masa total del sistema 
multiplicada por aceleración del centro de masa
Concluimos:
El movimiento traslacional total de un sistema de partículas puede ser 
analizado mediante las leyes de Newton, como si toda la masa 
estuviera concentrada en el centro de masa y considerando que la 
fuerza externa total se aplica en ese punto.
Corolario: en el caso que la fuerza externa neta sobre un sistema de 
partículas es igual a cero (σ𝐹𝑒𝑥𝑡 = 0) el centro de masa se moverá con 
velocidad constante
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
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EJERCICIO DE APLICACIÓN:
1.- Una granada que cae verticalmente explota en dos fragmentos iguales cuando se 
halla a una altura de 2000 metros y tiene una velocidad dirigida hacia debajo de 60 
m/s . Inmediatamente después de la explosión uno de los fragmentos se mueve hacia 
abajo a 80 m/s. Hallar la posición del centro de masa del sistema 10 s después de la 
explosión 
𝑣1 𝑣2
t = 10 s
2000 m CMj
Después de la explosión las fuerzas externas no han cambiado, entonces el centro de 
masa continua moviéndose de igual manera, su posición será:
y = 𝑦0 - 𝑣0𝑦t -
1
2
g 𝑡2 reemplazando los valores nos da y = 910 m 
utilizando sistema referencia +y 
Tomando sistema de referencia 𝑦0 = 0 en el punto de explosión +y
y = 𝑦0 + 𝑣0𝑦 t + 
1
2
g 𝑡2 reemplazando nos dá y = 1090m de caída 
respecto al piso la altura es y = 2000m – 1090m = 910m
Otra forma : Aplicando las ecuaciones de coordenadas del centro de masa :
𝑦𝑐𝑚 = 
𝑚1𝑦1+𝑚2𝑦2
𝑚1+𝑚2
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Calculamos la posición de cada fragmento
𝑦1 = 𝑦0 + 𝑣10𝑦 t -
1
2
g 𝑡2 tomando altura inicial 2000 m y la 
velocidad - 80 m/s nos da
𝑦1 = 710 m
Para el fragmento 2 
𝑦2 = 𝑦0 + 𝑣20𝑦 t -
1
2
g 𝑡2 tomando altura inicial 2000 m y la velocidad 
se debe calcular con la velocidad del centro de masa :
ҧ𝑣𝑐𝑚 = 
𝑚1 ത𝑣1 + 𝑚2 ത𝑣2
𝑚1 + 𝑚2
despejo v2 reemplazo valores y obtengo 
ҧ𝑣2 = 40 m/s
Reemplazo en ecuación de 𝑦2 y nos da 𝑦2 = 1110 m
Ahora reemplazo los valores calculados en:
𝑦𝑐𝑚 = 
𝑚1𝑦1+𝑚2𝑦2
𝑚1+𝑚2
y sabiendo que los fragmentos de la granada tienen 
m = ½ M de la granada
Reemplazo y da: y = 910 m
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EJERCICIO DE APLICACIÓN:
Desde el suelo se lanza un proyectil de masa 9,6 kg con una velocidad inicial de 
12,4 m/s con un ángulo de 54º sobre la horizontal. En algún momento después del 
lanzamiento una explosión lo fragmenta en dos partes. Una parte de masa 6,5 kg 
es observada 1,42 s después del lanzamiento a una altura de 5,9 m y a una 
distancia horizontal de 13,6 m.
Encuentre la ubicación del segundo fragmento y del centro de masa en ese 
mismo tiempo 
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EJERCICIO DE APLICACIÓN:
Desde el suelo se lanza…
Ubicamos la posición del centro de masa: 
𝑥𝑐𝑚= 𝑣𝑜𝑥 . 𝑡 = 12,4 m/s. cos 54° .1,42(s)=10,4 m
𝑦𝑐𝑚= 𝑣𝑜𝑦.𝑡 – 0,5 g.𝑡
2 = 4,3 m
El segundo fragmento
𝑥𝑐𝑚 𝑀 = σ𝑚𝑖𝑥𝑖 = m1 𝑥1 + m2 𝑥2 despejo 𝑥2 = 
𝑥𝑐𝑚 𝑀 − 𝑚1𝑥1
m2
reemplazo 𝑥2 = 3,7 m
𝑦𝑐𝑚 𝑀 = σ𝑚𝑖𝑦𝑖 = m1 𝑦1 + m2 𝑦2 despejo 𝑦2 = 
𝑦𝑐𝑚 𝑀− 𝑚1𝑦1
m2
𝑦2 = 0,9 m
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PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Consideramos dos partículas cada una ejerce una fuerza sobre la otra de manera que 
podemos escribir: 𝑭𝐴𝐵 = 
𝑑𝑃𝐴
𝑑𝑡
𝑭𝐵𝐴 = 
𝑑𝑃𝐵
𝑑𝑡
porque 
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= 
𝑑(𝑚𝑣)
𝑑𝑡
= m 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= m . a 
Teniendo en cuenta que estas fuerzas por el 3 principio de Newton son iguales pero de signos 
diferentes , entonces si sumamos su resultado es nulo
: 𝑭𝐴𝐵 + 𝑭𝐵𝐴 = 
𝑑𝑃𝐴
𝑑𝑡
+ 
𝑑𝑃𝐵
𝑑𝑡
= 0
𝑭𝐴𝐵 + 𝑭𝐵𝐴 = 
𝑑(𝑃𝐴+𝑃𝐵)
𝑑𝑡
= 0
Si definimos la cantidad de movimiento total como ത𝑃 = ത𝑃𝐴 + ത𝑃𝐵
Por lo tanto 𝑭𝐴𝐵 + 𝑭𝐵𝐴 = 
𝑑( ത𝑃)
𝑑𝑡
= 0
Que dice: La razón de cambio de la cantidad total de movimiento ത𝑃 , es cero.
Por lo tanto la cantidad de movimiento total del sistema es constante, aunque las cantidades 
de movimiento individuales de las partículas que constituyen el sistema pueden cambiar
También se puede decir que: SI LA SUMAVECTORIAL DE LAS FUERZAS EXTERNAS QUE ACTÚAN 
SOBRE UN SISTEMA ES CERO, LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO TOTAL DEL SISTEMA ES CONSTANTE. 
Las fuerzas internas no producen ningún cambio en la cantidad de movimiento total del 
sistema 
Entonces si 
𝑑( ത𝑃)
𝑑𝑡
= 0  ത𝑃 = constante 
𝑑𝑃𝐴
𝑑𝑡
= 
𝑑𝑃𝐵
𝑑𝑡
Permite expresar que ത𝑃𝑖 = ത𝑃𝑓
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IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Para definir Impulso, es necesario partir de la expresión de la segunda Ley de Newton 
que relaciona la fuerza externa y la cantidad de movimiento, en la forma:
σ ത𝐹 = 
𝑑 ҧ𝑝
𝑑𝑡
“la fuerza neta (suma vectorial de todas las fuerzas) que actúa sobre una partícula es 
igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento de la partícula “
Si la diferencial de la variable tiempo 𝑑𝑡 coincide con el incremento ∆𝑡 de podemos 
escribir: σ ത𝐹 = 
∆ ҧ𝑝
∆𝑡
donde el cambio de la cantidad de movimiento es: ∆ ҧ𝑝 = ҧ𝑝𝑓 - ҧ𝑝0
Se define el IMPULSO ( ҧ𝑱 ) como el producto de la fuerza neta y el intervalo de tiempo 
ҧ𝑱 = σ ഥ𝑭 ∆𝒕 = ഥ𝒑 suponiendo fuerza neta constante
Considerando las ecuaciones planteadas también se puede definir al IMPULSO de la 
fuerza neta ( ҧ𝐽 ) como la variación de la cantidad de movimiento 
ҧ𝑱 = ഥ𝒑
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Al aplicar la conservación de la cantidad de movimiento a un sistema, es importante 
recordar que la cantidad de movimiento es una cantidad vectorial , por lo tanto 
debemos usar suma vectorial para calcular la cantidad de movimiento total de un 
sistema.
Por lo que el empleo de componentes es adecuado y sencillo
Las ecuaciones son:
𝑃𝑥 = 𝑝𝐴𝑥 + 𝑝𝐵𝑥 + 𝑝𝐶𝑥 + …
𝑃𝑦 = 𝑝𝐴𝑦 + 𝑝𝐵𝑦 + 𝑝𝐶𝑦 + … P = 𝑃𝑥
2 + 𝑃𝑦
2 + 𝑃𝑧
2
𝑃𝑧 = 𝑝𝐴𝑧 + 𝑝𝐵𝑧 + 𝑝𝐶𝑧 + …
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