SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES - Gil Casas

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 
 
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: 
Torres Bugeau C.; Lasserre A.; García A. Elementos de Álgebra y Geometría Analítica. Vol. II. 
EdiUnju Editorial. Jujuy. Argentina. 2009. 
Di Caro, H. Álgebra y Elementos de Geometría Analítica I. Gráfica Munro Editora. Argentina. 
1.984. 
Rojo, Armando. Álgebra II. Editorial Ateneo. Buenos Aires. Argentina. 1.998. 
Sagastume Berra, A. Fernández, G. Álgebra y Cálculo Numérico. Editorial Kapelusz. Buenos Aires. 
Argentina. 1.960. 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
El estudio de un sistema de ecuaciones lineales comprende: 
1) Analizarlo: es decir, averiguar si tiene solución, y en caso afirmativo cuantas tiene. Para ello 
se considera el teorema de Rouché-Frobenius que afirma:” un sistema de ecuaciones 
lineales tiene solución si y solo si el rango de la matriz del sistema (o matriz de los 
coeficientes) es igual al rango de la matriz ampliada”. 
2) Resolverlo: es decir, de ser posible, encontrar el conjunto solución. Para esto existen varios 
métodos como por ejemplo el de eliminación de Gauss, Gauss-Jordan, Crámer, Matriz 
inversa, entre otros. 
 
Ejemplo 1: Dado el sistema de ecuaciones lineales, escribir la matriz del sistema, la matriz 
incógnita, la matriz de los coeficientes independientes y la matriz ampliada. Luego expresar el 
sistema de ecuaciones en forma matricial. 





=+++
=−++
−=+−+
72
42
8323
wzyx
wzyx
wzyx
 
Matriz del sistema es la matriz que se obtiene de encolumnar los coeficientes del sistema: 










−
−
=
2111
1211
1323
A  R3x4 
Matriz de las incógnitas es la matriz columna formada por las incógnitas: 












=
w
z
y
x
X  R4x1 ; 
Matriz de los términos independientes es la matriz columna formada por los términos 
independientes del sistema: 









−
=
7
4
8
B  R3x1 
Matriz Ampliada es la matriz que se obtiene al agregarle a la matriz del sistema, matriz A, la 
matriz columna B: 
 









 −
−
−
=
7
4
8
2111
1211
1323
'A  R3x5 
Sistema en forma matricial: A  X = B  









−
=























−
−
7
4
8
2111
1211
1323
w
z
y
x
 
Ejemplo 2: Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas representarlos 
gráficamente, interpretarlos y analizarlos. En los casos que correspondan, resolverlos. 
 
a) 





=+
=−
=+
42
1
52
yx
yx
yx
 
Como observamos su representación gráfica consiste en 
tres rectas que se interceptan en el punto común. Por lo 
tanto el sistema es compatible determinado. Dicho punto 
P(2 , 1) es la solución del sistema. 
b) 



=+
=+
333
1
yx
yx
 
Su representación gráfica consiste en dos rectas 
coincidentes por ser la segunda ecuación proporcional a la 
primera. El sistema es compatible indeterminado. Dos de 
las infinitas soluciones son los puntos P(1,0) y Q(0 , 1). 
 
c) 



=+
=+
72
52
yx
yx
 
En este caso su representación gráfica consiste en dos 
rectas paralelas que no tienen puntos en común. Por lo 
tanto el sistema es incompatible y no tiene solución. 
 
 
Ejemplo 3: Dados los sistemas de ecuaciones lineales analizarlos. Resolverlos por el Método de 
Gauss, si correspondiera. 
a) 





=++
=++−
=+−
75
33
22
zyx
zyx
zyx
 → 










−
−
=
7
3
2
511
131
211
'A 
 
Mediante operaciones elementales entre filas se encuentra la matriz escalonada: 
 
(A) = (A’) = 2 < 3  Sistema Compatible Indeterminado (SCI). 
La última matriz corresponde al siguiente sistema equivalente: 





=
=+
=+−
00
2/5)2/3(
22
zy
zyx
 ; despejando “y” de la segunda ecuación: 
2
35 zy −= 
, al reemplazar en la primera se obtiene: 
2
79 zx −= 
Solución general = 





 
−
=
−
= zzyzxRzyx
2
35;
2
79),,( 3 
Soluciones particulares: en este caso se las encuentra dando valores a la variable “z” 
Z 
2
79 zx −= 
2
35 zy −= Solución Particular 
0 9/2 5/2 (9/2 , 5/2 , 0) 
1 1 1 (1 , 1 , 1) 
-1 8 4 (8 , 4 , -1) 
 
b) 
 





=+
=−
=+
92
4
32
yx
yx
yx
 → 










−=
9
4
3
12
11
21
'A 
Tomando como pivote el primer elemento de la primera fila y anulando los restantes 
elementos de la primera columna: 
Para poder tener un pivote igual a 1 en el lugar del elemento a22 se multiplica la segunda 
columna por (-
3
1 ) y luego, mediante operaciones elementales entre filas, se anula el 
elemento restante de la segunda columna: 
(A) = 2  (A’) = 3  (A)  (A’) Sistema Incompatible (SI), no tiene solución. 
 
Ejemplo 4: Dados los sistemas de ecuaciones lineales analizarlos. Resolverlos por el Método de 
Gauss –Jordan, si correspondiera. 
a) 





=++
=−+
−=+−
2
62
43
zyx
zyx
zyx
  









 −
−
−
=
2
6
4
111
121
311
'A 
Tomamos como pivote al primer elemento de la primera fila para formar el vector canónico 
en la primera columna: 
se multiplica por 1/2 la tercera fila para trabajar con esta y formar el vector canónico en la 
segunda columna: 
 
(A’) = 3 
por último, se opera para encontrar el vector canónico que falta en la matriz A: 
(A) = (A’) = 3 = número de incógnitas  Sistema Compatible Determinado (SCD) 
Sistema equivalente de acuerdo a la última matriz: 





=++
−=++
=++
200
100
100
zyx
zyx
zyx
  x = 1 , y = 2  z = -1 
Solución única = {(x , y , z)  R3 / x = 1 ; y = 2 ; z = − 1 } ó { (1 , 2 , −1) } 
b) 
 





−=−+
=−+
=−+−
1963
0642
13
wyx
wyx
wzyx
  










−−
−
−−
=
1
0
1
1063
6042
1113
'A 
La tercera columna es un vector canónico: 
 










−−
−
−−
1
0
1
9063
6042
1113
El círculo indica que es posible encontrar otro vector canónico diferente en la columna de la 
parte ampliada, para ello primero se multiplica por -1 a la tercera fila y luego se suma esta 
fila a la primera: 
Obteniéndose un vector canónico diferente en la última columna de A’: 
 
  (A)  (A’)  Sistema Incompatible (SI), no tiene solución. 
 
Ejemplo 5: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales empleando, si fuera posible, la 
Regla de Cramer. 





=++
=−+
−=+−
2
62
43
zyx
zyx
zyx
 
Para encontrar los valores de las incógnitas se calcula el determinante que se obtiene de 
reemplazar en el determinante del sistema la columna de la variable que se está buscando 
por la columna de los términos independientes y a este se lo divide por el determinante del 
sistema. Esto último exige que el determinante asociado al sistema debe ser distinto de cero. 
Entones 










−
−
=
111
121
311
A  02
111
121
311
=−
−
= 
es un sistema cuadrado ( igual número de ecuaciones que de incógnitas) , y el determinante 
de la matriz del sistema (determinante del sistema) es distinto de cero por lo tanto tiene 
solución única, es decir el sistema es compatible determinado, (A) = (A’) = 3, entonces 
aplicaremos la Regla de Cramer. 
 Solución única = {(x , y , z)  R3 / x = 1 ; y = 2 ; z = − 1 } ó { (1 , 2 , −1) } 
Los sistemas de ecuaciones lineales que no son cuadrados y/o compatibles indeterminados, 
también se pueden resolver aplicando la Regla de Cramer, transformándolos en sistemas 
cuadrados de tal manera que el determinante del sistema del nuevo sistema debe ser distinto de 
cero. 
Ejemplo 6: Dado el sistema de ecuaciones lineales, resolverlo, si es posible, empleando el método 
de la matriz inversa. 
Forma matricial del sistema de ecuaciones: A  X = B; 
Si A  Rnxn y  =A 0   A-1 , entonces: X = A-1  B 





=++
=−+
−=+−
2
62
43
zyx
zyx
zyx
  










−
−
=
111
121
311
A  02
111
121
311
=−
−
=   A-1 
Se trata de un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, y como el 
determinante de la matriz del sistema es distinto de cero entonces es posible aplicar el 
métodode la matriz inversa. 
La inversa de la matriz A es: 










−−
−−
−
=−
2/312/1
211
2/522/3
1A 
 ; ; 12
2
2
112
126
314
==
−
−−
=


=
xx 1
2
2
2
211
621
411
−=
−
=
−−
=


=
zz2
2
4
2
121
161
341
==
−
−
=


=
yy
X = A-1  B  










−
=










+−
+−
−+−
=









−











−−
−−
−
=










1
2
1
362
464
5126
2
6
4
2/312/1
211
2/522/3
z
y
x
 
Entonces: 










−
=










1
2
1
z
y
x
  Sol. única = {(x, y, z)  R3 / x = 1 ; y = 2 ; z = − 1} ó {(1, 2 , −1)} 
Los sistemas de ecuaciones lineales que no son cuadrados y/o compatibles indeterminados, 
también se pueden resolver aplicando el método de la matriz inversa, transformándolos en sistemas 
cuadrados de tal manera que el determinante del sistema del nuevo sistema debe ser distinto de 
cero, para que se pueda calcular la matriz inversa. 
Ejemplo 7: Dado los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos analizarlos. Resolverlos 
empleando el método de Gauss-Jordan en el primer sistema y el método de Gauss en el segundo 
sistema. a) 





=++
=++
=++
032
0423
0
zyx
zyx
zyx
 b) 





=++
=−+
=−+
022
0423
0
zyx
zyx
zyx
 
Los sistemas homogéneos admiten siempre la solución trivial, es decir: x1 = x2 = … = xn = 
0. Si ésta es la única solución, el sistema será compatible determinado, pero si además 
admite otra solución, será compatible indeterminado. 
a) 





=++
=++
=++
032
0423
0
zyx
zyx
zyx
 
(A) = (A’) = 2 < 3 (número de incógnitas)  Sist. Compatible Indeterminado 
Sistema equivalente: 



=+−
=+
0
02
zy
yx
 
 



=
−=
yz
yx 2
 
Además de la solución trivial: x = y = z = 0, admite infinitas soluciones de acuerdo al valor 
que se le asigne a y (nº real), expresando a la solución general de la siguiente manera: 
Solución General = {(x, y, z)  R3 / x = − 2 y ; z = y ; y  R} ó {(− 2 y , y , y)} con y  R. 
b) 





=++
=−+
=−+
022
0423
0
zyx
zyx
zyx
  
 
 
(A) = (A’) = 3 = Número de incógnitas  Sist. Compatible Determinado 
Sistema equivalente: 





=
=+
=−+
05
0
0
z
zy
zyx
  única solución, la trivial: x = y = z = 0. 
Solución única = {(x, y, z)  R3 / x = 0 ; y = 0 ; z = 0} ó {( 0 , 0 , 0)}