CONJUNTOS 1 - Jair García

Vista previa del material en texto

Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 
68 Una introducción a las matemáticas de la computación 
 
 
 
Unidad II: Teoría de conjuntos 
 
2.1 Principios básicos. 
2.1.1 Definiciones básicas. 
2.1.2 Conjuntos finitos e infinitos. 
2.1.3 Representación de un conjunto. 
2.1.4 Conjunto Universo o Universo de discusión. 
2.1.5 Conjunto Vacío. 
2.1.6 Igualdad de conjuntos. 
2.1.7 Subconjuntos. 
2.1.8 Cardinalidad. 
2.1.9 Conjunto potencia. 
 
2.2 Operaciones entre conjuntos. 
2.2.1 Unión. 
2.2.2 Intersección. 
2.2.3 Complemento. 
2.2.4 Complemento relativo o diferencia. 
2.2.5 Diferencia simétrica. 
2.2.6 Producto Cartesiano. 
 
2.3 Álgebra de conjuntos. 
 
2.1 PRINCIPIOS BÁSICOS 
 
A fines del siglo XIX, el matemático ruso George Cantor (1854-1918) trató de unificar los 
distintos campos de las matemáticas por medio de la noción de conjuntos. 
 
2.1.1 Definiciones básicas 
 
Definición2.1.1 (Conjunto) 
Un conjunto es cualquier colección de objetos bien definidos por medio de alguna o 
algunas propiedades en común, de dichos objetos. Por objeto entenderemos no sólo cosas físicas, 
como discos, computadores, etc., si no también abstractos, como son números, letras, etc. A los 
objetos se les llama elementos del conjunto. 
 
Representamos a los conjuntos por medio de letras mayúsculas, así A, B, C, etc. nos 
representan conjuntos. 
 
Ejemplo 2.1.1 
a) A=Conjunto de los números dígitos. 
b) Z=Conjunto de los números enteros. 
c) C=Conjunto de las letras del alfabeto. 
d) D=Conjunto de las soluciones de la ecuación x2–6x+5=0. 
e) E=Conjunto de estudiantes de la Escuela Superior de Cómputo. 
 
Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 
69 Una introducción a las matemáticas de la computación 
 
 
 
f) F=Conjunto de números 2,4,6,8,10,... 
g) G=Conjunto de vocales: a,e,i,o,u. 
 
En la definición hacemos uso del adjetivo bien definido, este se usa para indicar que dado 
un objeto es posible determinar si este se encuentra o no en un cierto conjunto. 
 
Así, si consideramos el número –3 y el conjunto N de los números naturales es posible 
determinar que –3 no está en ese conjunto, así como también es posible determinar que –3 está en 
el conjunto Z de los números enteros. 
 
Definición 2.1.2 (Elemento) 
Se llaman elementos o miembros a los objetos que componen un conjunto; y se denotan 
con letras minúsculas, como: a, b, x, y, etc. Para indicar que un objeto x pertenece o es miembro 
de un conjunto A, escribimos x ∈ A, que se lee “x elemento de A” y, si no pertenece al conjunto 
A, escribimos x ∉ A, que se lee “x no es elemento de A”. 
 
Ejemplo 2.1.2 
Sea N=Conjunto de los números naturales, determinar si lo siguiente es falso o verdadero. 
a) 0∈N Falso. 
b) 1∈N Verdadero. 
c) 3∉N Falso. 
d) –1∈N Falso. 
e) –2∉N Verdadero. 
f) 8∈N Verdadero. 
g) –3∉N Verdadero. 
 
2.1.2 Conjuntos finitos e infinitos 
 
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. 
 
Los conjuntos finitos tienen un número fijo de elementos. 
 
Ejemplo 2.1.3 
Conjuntos finitos: 
a) A=Conjunto de los números dígitos. 
b) B=Conjunto de las letras del alfabeto. 
c) C=Conjunto de las soluciones de la ecuación x2 – 6x + 5 = 0. 
d) D=Conjunto de los estudiantes de la ESCOM. 
e) E=Conjunto de las vocales. Etc. 
 
Los conjuntos infinitos, como su nombre lo dice tienen un número infinito de elementos, 
así no es posible contar cuantos elementos tiene el conjunto y decimos que es un conjunto no 
numerable. 
 
 
 
Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 
70 Una introducción a las matemáticas de la computación 
 
 
 
Ejemplo 2.1.4 
Conjuntos infinitos: 
a) Z=Conjunto de los números enteros. 
b) A=Conjunto de los números primos. 
c) N=Conjunto de los números naturales. 
d) B=Conjunto de estrellas. 
e) C=Conjunto de números mayores que dos. 
 
2.1.3 Representación de un conjunto 
 
Los conjuntos se pueden representar de dos formas: 
1) Conjuntos por extensión (en forma explícita, o de manera enumerativa). 
Los conjuntos están dados por extensión o en forma explícita cuando se enumeran sus 
elementos, agrupando estos entre llaves. 
 
Ejemplo 2.1.5 
Si A denota el conjunto de las vocales, tenemos A={a,e,i,o,u}. 
 
Hay conjuntos que por tener un número infinito de elementos no quedan completamente 
determinados con esta representación. 
 
Ejemplo 2.1.6 
Si P denota el conjunto de números enteros pares; usando la representación por extensión 
se tiene, P={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} en donde los punto suspensivos, ..., indican que la lista 
prosigue indefinidamente. 
 
2) Conjuntos por comprensión (o en forma implícita) 
Un conjunto está dado por comprensión o en forma implícita cuando se representa por 
medio de la propiedad o las propiedades que caracterizan a los elementos que pertenecen a 
él. 
 
Ejemplo 2.1.7 
a) Si A es el conjunto de las vocales, se representa por: 
A={x | x es una vocal}, Se lee “ A es el conjunto de las x tales que x es una vocal”. 
 
b) Si B es el conjunto de todos los enteros entre 1 y 5, se representa por: 
B={x | x es un entero y 1< x < 5}, “ B es el conjunto de las x tales que x es un entero mayor 
que 1 y menor que 5”. 
 
c) Si P es el conjunto de los enteros pares, se representa por: 
P={ Zx∈ | x es par} ó P = {x | x es un entero y x es par}. 
 
Observe que mediante esta notación es posible determinar completamente el conjunto de 
los números pares. 
 
 
 
Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 
71 Una introducción a las matemáticas de la computación 
 
 
 
Ejemplo 2.1.8 
Representar el conjunto A=conjunto de los números dígitos, por compresión y por 
extensión. 
 
Por comprensión: 
A={x | x es un números dígito}. 
Se lee “A es el conjunto formado por todas las x tales que x es un número dígito”. 
 
Por extensión: 
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 
Se lee “ A es el conjunto formado por 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9”. 
 
Ejemplo 2.1.9 
a) Representar los siguientes conjuntos por extensión. 
A={x | x es un número primo menor a 20}. 
A={2,3,5,7,11,13,17,19}. 
 
b) B={x | x es un número entero mayor a 20}. 
B={21,22,23,...}. 
 
c) C={x | x cumple x3+4x2+4x=0}. 
C={-2,0}. 
 
d) D={x | x es un número real menor a 7 y mayor a 2 }. 
D=(2,7). 
 
Ejemplo 2.1.10 
Represente los siguientes conjuntos por comprensión. 
a) A={2,4,6,8}. 
A={x | x es un entero par mayor que cero y menor que 10}. 
 
b) B={a,o,e,z,p,t}. 
B={x | x es una letra de la palabra zapote}. 
 
c) C={2,3,5,7}. 
C={x | x es un número primo menor que 8}. 
 
d) D={2,3}. 
D={x | x es un entero mayor que 1 y menor que 4}. 
 
Observe que la representación que se da no es única, por ejemplo el conjunto D también se 
puede representar por D={x | x es un número primo menor que 4} o bien D={x|x es solución de 
la ecuación (x – 2)(x – 3) = 0} etc. 
 
Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 
72 Una introducción a las matemáticas de la computación 
 
 
 
2.1.4 Conjunto Universo o Universo de discusión 
 
Definición 2.1.3 (Conjunto universo) 
Llamamos conjunto universo y lo denotamos por U, al conjunto del cual se seleccionan los 
elementos para formar conjuntos. 
 
Ejemplo 2.1.11 
Sea U el conjunto de los enteros positivos, esto es U=Z. 
Este conjunto es el universo para los conjuntos siguientes: 
B={x | x es un entero y 51 ≤≤ x }. 
P={x | x es un número entero y x es par}. 
 
En general identificamos al conjunto universo como un todo, pero no representamos de una 
manera única a este “todo”, así habrá ocasiones que un conjunto sea considerado conjunto 
universo y en otras no, por ejemplo: considerando el conjunto P de los número pares, se tiene que 
Z (conjunto enteros) es un conjunto universo para él; pero si consideramos el mismo conjunto Z, 
tenemos que Q (racionales) es un conjunto universo de él. Así Z es un conjunto universo en 
ocasiones y en otras no. Además puede haber varios conjuntos universos para un solo conjunto, 
por ejemplo el mismo conjunto P de números pares tiene por conjunto universo a Z (conjunto de 
los enteros) o a Q (conjunto se los racionales)o a R (conjunto de los reales) o incluso a C 
(conjunto de los complejos), en general podemos decir que para números el conjunto universo 
más grande es C (números complejos). 
 
Ejemplo 2.1.12 
Sea A={2,4,6,8} y B={x | x es mayor que 1 y menor que 9}. 
¿Podría B ser una representación del conjunto A? 
Solución 
No, B no es una descripción adecuada del conjunto A, amenos que hayamos considerado 
anteriormente que los elementos a considerar son enteros pares. 
 
Al adoptar esta convicción, decimos que estamos especificando el universo de discurso o 
simplemente universo, así sólo elegiremos elementos de U para formar nuestros conjuntos. 
 
De esta manera si U es el conjunto de los enteros pares entonces B es una descripción 
adecuada de A. 
 
Ejemplo 2.1.13 
Describa el conjunto B={x | x es mayor que 1 y menor que 9}. 
a) Si U es conjunto de todos los reales. 
b) Si U es el conjunto de los enteros. 
Solución 
a) B=(1,9). 
b) B={2,3,4,5,6,7,8}. 
 
 
 
 
Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 
73 Una introducción a las matemáticas de la computación 
 
 
 
Ejemplo 2.1.14 
Si U=N, enumerar los elementos de los siguientes conjuntos. 
a) A={x | x2≤20}. 
b) B={x | x2 –x–6=0}. 
c) C={x | x+2=5}. 
d) D={x | x2>10 }. 
Solución 
a) A={1,2,3,4}. 
b) B={3}. 
c) C={3}. 
d) D={4,5,6,7,8,...}. 
 
Ejemplo 2.1.15 
Si U=Z, enumere los elementos de los conjuntos del ejemplo 2.1.14. 
Solución 
a) A={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}. 
b) B={-2,3}. 
c) C={3}. 
d) D={...-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,4,5,6,7,8,9,10,...}. 
 
Observe que los conjuntos cambian dependiendo del universo de discurso que se utilice. 
 
2.1.5 Conjunto Vacío 
 
Si identificamos un conjunto que se refiera a un todo, debe ser posible identificar un 
conjunto que se refiera a lo opuesto, esto es, a nada y este conjunto es precisamente el conjunto 
vacío. 
 
Definición 2.1.4 (Conjunto vacío) 
El conjunto vacío o nulo es un conjunto que no tiene elementos, el conjunto vacío se 
representa por: ∅, (FI) o bien por {}. 
 
Ejemplo 2.1.16 
El conjunto A={x | x2 =4 y x es impar} nos representa al conjunto vacío ya que no hay un 
valor para x que cumpla la condición. 
 
No confundir el conjunto A=∅ con el conjunto A={∅}, ya que el primer conjunto indica 
que no tiene ningún elemento y el segundo conjunto indica que tiene un elemento y ese elemento 
es el conjunto vacío. 
 
Ejemplo 2.1.17 
Conjuntos vacíos: 
a) A={x | x es un número real y es solución de la ecuación x2+1 =0}. 
b) B={x | x es un número entero mayor que 5 y menor que 2}. 
c) C={x | x es una persona que vive y tiene más de 200 años de edad}. 
 
Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 
74 Una introducción a las matemáticas de la computación 
 
 
 
d) D={x | x es un número natural que satisface la ecuación x2+4x+4=-2}. 
e) E={x | x2 =4 y x es impar}. 
 
2.1.6 Igualdad de conjuntos 
 
Definición 1.2.5 (Igualdad de conjuntos) 
Decimos que dos conjuntos A y B son iguales y denotamos A=B, si A y B constan de los 
mismos elementos, i.e. si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento de B pertenece a 
A. 
 
Ejemplo 2.1.18 
Los siguientes conjuntos son iguales. 
a) A={g,u,a,d,a,l,a,j,a,r,a}=B={a,u,d,l,j,g,r}. 
b) A={x | x es un número primo par}=B={2}. 
c) A={a,e,i,o,u}={x | x es una vocal de la palabra murciélago}=B={ x| x es una vocal}. 
 
Ejemplo 2.1.19 
Sean A={1,2} y B={x | x2∈U}, donde U={1,2,3,4,5}. 
¿A y B son iguales?. 
Solución 
Si x=1, x2=1∈U; si x=2, x2=4∈U; si x=3, x2=9∉U. 
Así, B={1,2}, por lo tanto A=B. 
 
Ejemplo 2.1.20 
Sean E={x | x2–3x+2=0}, F={2,1} y G={1,2,2,1,6/3}. 
¿Cómo son los conjuntos E, F y G?. 
Solución 
Para determinar E de manera enumerativa, hay que encontrar las soluciones de la ecuación 
cuadrática x2 –3x +2 = 0, teniendo x2–3x+2=(x–2)(x–1)=0, así x=1 y x=2. 
Luego E={1,2}, F={2,1}={1,2}=E y, G={1,2,2,1,6/3}={1,2,2,1,2}={1,2} (ya que se 
repiten los 1’s y 2’s y debe presentarse al conjunto de forma “simplificada”) Por lo tanto E=F=G. 
 
Observe que si se tienen los conjuntos A = {p,a,p,a,l,o,a,p,a,n} y B = {n,o,p,a,l}, estos 
conjuntos son iguales ya que todo elemento de A es elemento de B y todo elemento de B es 
elemento de A, por lo tanto podemos considerar un conjunto sin repetir sus elementos, esto es, de 
forma simplificada. 
 
2.1.7 Subconjuntos 
 
Definición 2.1.6 (Subconjunto) 
Si todos los elementos de un conjunto A son también elementos de un conjunto B, esto es, si 
cuando x∈A entonces x∈B (simbólicamente x∈A→x∈B), decimos que A es un subconjunto de 
B o que A está contenido en B y se escribe: 
BA⊆ (A está contenido en B) o 
 AB ⊇ (B contiene a A) 
 
Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 
75 Una introducción a las matemáticas de la computación 
 
 
 
Si A no es subconjunto de B se escribe BA⊄ . 
Si además existe un elemento de B que no este en A, decimos que A es un subconjunto 
propio de B y se denota BA⊂ o AB ⊃ . 
 
Ejemplo 2.1.21 
a) Sean A={1,2,3,4,5,6}, B={2, 4,5} y C={1,2,3,4,5}, para estos conjuntos se cumple: 
AB ⊆ , CB ⊆ y AC ⊆ 
 
b) A={ x | x es un entero positivo }. 
B={ x | x es un entero } 
A es un subconjunto propio de B. 
 
c) C={x | x es solución de la ecuación x2 – 1 = 0}. 
D={-1,1}. 
C no es un subconjunto propio de D, ya que son iguales. 
 
Ejemplo 2.1.22 
Clasificar los siguientes conjuntos, como iguales, subconjuntos o ninguno. 
a) A={ x | x es un número primo}. 
B={ x | x es un número natural}. 
 
b) C={x | x es una letra de la palabra papaloapan}. 
D={x | x es una letra de la palabra nopal}. 
 
c) E={0,1,2,3,..., 9}. 
F={x | x es un número natural}. 
 
d) G={x | x satisface la ecuación x(x–1)(x+3)(x–5)=0}. 
H={-3,0,1,5}. 
 
Solución 
a) A⊂B. 
b) C=D. 
c) E≠F. 
d) G=H. 
 
Propiedad 2.1.1 
Si A es cualquier conjunto diferente del vacío, entonces AA⊆ . Esto es, cualquier conjunto 
diferente del vacío es subconjunto de si mismo. 
 
Propiedad 2.1.2 
El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto distinto del vacío, esto es ∅ A⊂ . 
Demostración 
La demostración de este teorema se hace por contradicción. 
 
Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 
76 Una introducción a las matemáticas de la computación 
 
 
 
Supongamos que el conjunto vacío no es subconjunto de un conjunto A, ∅⊄A, esto 
significa que hay un elemento en el conjunto vacío que no es elemento del conjunto A, lo cual no 
puede ser ya que el conjunto ∅ no tiene elementos y por lo tanto el conjunto vacío es 
subconjunto de cualquier conjunto. 
 
Teorema 2.1.1 
Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A=B si y sólo si BA⊆ y AB ⊆ . 
Demostración 
⇒ ) Supongamos que A=B. 
Queremos demostrar que: BA⊆ y AB ⊆ . 
BA⊆ ) Para comprobar esta contención basta ver que 
si x∈A entonces x∈B. 
Sea x∈A→x∈B, ya que por hipótesis A=B. 
 
AB ⊆ ) Para comprobar esta contención basta ver que 
si x∈B entonces x∈A. 
Sea x∈B→x∈A, ya que por hipótesis A=B. 
⇐ ) Supongamos ahora que BA⊆ y AB ⊆ . 
Queremos demostrar que A=B, esto es, que cada elemento de A pertenece a B y cada 
elemento de B pertenece a A. 
Como BA⊆ , entonces para todo x ∈ A se tiene que x∈B. 
Como AB ⊆ , entonces para todo x ∈ B se tiene que x∈A. 
Luego A = B. 
Por lo tanto lo expuesto en el teorema se cumple. 
 
Teorema 2.1.2 
Si A⊂B y B⊂C, entonces A⊂C. 
Demostración 
Sea x∈A, como A ⊂ B, entonces x∈B, por otra parte, si x∈B, como B⊂C, entonces x∈C y, 
por lo tanto A⊂C. 
 
Teorema 2.1.3 
Sean A, B y C conjuntos. Entonces: 
i) AA⊆ 
ii) Si BA⊆ y AB ⊆ entonces A=B. 
 
2.1.8 Cardinalidad 
 
Definición 2.1.7 ( Cardinalidad) 
Sea A un conjunto, la cardinalidad de A es el número de elementos diferentes del conjunto 
A y se representa por |A|. 
 
Ejemplo 2.1.23 
Sea U=Z. 
 
Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 
77 Una introducción a las matemáticas de la computación 
 
 
 
a) A={x | x2+1=0} |A|=0. 
b) B={x | x2–1=0} |B|=1. 
c) C={x | x2–5x+6} |C|=2. 
d) D={x | x(x–1)(x–2)=0} |D|=3. 
e) E={p,a,p,a,l,o,a,p,a,n} |E|=5. 
 
2.1.9 Conjunto potencia 
 
Definición 2.1.8 (ConjuntoPotencia) 
Sea A un conjunto finito, llamaremos conjunto potencia al conjunto formado por todos los 
subconjuntos de A. El conjunto potencia se denota como P(A) o bien 2A. 
 
Ejemplo 2.1.24 
Consideremos los conjuntos A={1}, B={1,2}, C ={1,2,3} y D={1,2,3,4}. 
Los subconjuntos de A son: 
∅,{1}. 
Así, el conjunto potencia de A, P(A) es 
P(A)={∅,{1}} 
Los subconjuntos de B son: 
∅,{1},{2},{1,2}. 
Así, el conjunto potencia de B, P(B) es 
P(B)={∅,{1},{2},{1,2}}. 
Los subconjuntos de C son: 
∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}. 
Así, el conjunto potencia de C, P(C) es 
P(C)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. 
Los subconjuntos de D son: 
∅,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 
{2,3,4},{1,2,3,4}. 
Así, el conjunto potencia de D, P(D) es 
P(D)={∅,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,
4},{2,3,4},{1,2,3,4}}. 
 
Observe que el conjunto potencia de cualquier conjunto A contiene al conjunto vacío y al 
mismo conjunto A. 
 
Observe que: 
• El conjunto A tiene un elemento y su conjunto potencia tiene 2 elementos. 
• El conjunto B tiene 2 elementos y su conjunto potencia tiene 4 elementos. 
• El conjunto C tiene 3 elementos y su conjunto potencia tiene 8 elementos. 
• El conjunto D tiene 4 elementos y su conjunto potencia tiene 16 elementos. 
 
Lo anterior sugiere una relación para el número de elementos del conjunto potencia a partir de 
los elementos del conjunto. 
 
 
Unidad II: Teoría de conjuntos Principios básicos 
78 Una introducción a las matemáticas de la computación 
 
 
 
Propiedad 2.1.3 
Si n>0 es el número de elementos de A entonces el número de elementos de P(A) es 2n. 
 
Ejemplos 2.1.25 
Determine el conjunto potencia y la cardinalidad de los siguientes conjuntos. 
a) A={x | x2+1=0} |A|=0. 
P(A)={{}} |P(A)|=0. 
 
b) B={x | x2–1=0} |B|=1. 
P(B) = {{1},{}} |P(B)|=21=2. 
 
c) C={x | x2–5x+6} |C|=2. 
P(C)={{2},{3},{2,3},{}} |P(C)|=22 =4. 
 
d) D={x | x(x–1)(x–2)=0} |D|=3. 
P(D) = {{0},{1},{2},{0,1},{1,2},{1,2},{0,1,2},{}} |P(D)|=23=8. 
 
e) F={1,2,{2,3}} |F|=3. 
P(F)={{1},{2},{{2,3}},1,2},{1,{2,3}},{2,{2,3}},{1,2,{2,3}}, Ø} |P(F)|=8. 
 
f) G={a,e,i,o,u} |G|=5. 
P(G)={Ø,{a},{e},{i},{o},{u},{a,e},{a,i},{a,o},{a,u},{e,i},{e,o},{e,u},{i,o},{i,u}, 
{o,u},{a,e,i},{a,e,o},{a,e,u},{a,i,o},{a,i,u},{a,o,u},{e,i,o},{e,i,u},{e,o,u},{i,o,u}, 
{a,e,i,o},{a,e,i,u},{a,e,o,u},{a,i,o,u},{e,i,o,u},{a,e,i,o,u}} P(G)|=32. 
 
g) H={a,b,c} |H|=3. 
P(H)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},Ø } |P(H)|=8. 
 
h) I={{Ø},{1}} |I|=2. 
P(I)={{{Ø}},{{1}},{{Ø},{1}},Ø} |P(I)|=4. 
 
i) J={Ø,5} |J|=2. 
P(J)={{Ø}, {5}, {Ø, 5}, Ø} |P(J)|=4. 
 
	Ejemplo 2.1.3
	Ejemplo 2.1.8
	Ejemplo 2.1.9
	Ejemplo 2.1.10
	Solución
	Solución
	Solución
	Solución
	Ejemplo 2.1.22
	Teorema 2.1.1
	Demostración
	Teorema 2.1.3
	Propiedad 2.1.3