TEORIA DE CONJUNTOS

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1er Año
Prof. Renato Rodriguez Velardes 
MATEMÁTICA
TEMA: TEORÍA DE CONJUNTOS
IDEAS SOBRE CONJUNTOS
Palabras que se ofrecen como sinónimos de conjunto
✓Colección ✓Familia ✓Clase ✓Equipo ✓Grupo
❑ En matemáticas el concepto de conjuntos es considerado primitivo y no hay una 
definición de este, por tanto la palabra conjunto debe aceptarse lógicamente como 
un término no definido 
❑ Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien 
definida de objetos de cualquier clase. 
ELEMENTOS DE UN CONJUNTO
Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del 
conjunto.
Ejemplos 
➢ La letra “e” es un elemento del conjunto “vocales del español”
➢ Todo tigre es un elemento del conjunto “felinos”.
➢ El número 9 es un elemento del conjunto “números naturales”.
NOTACIÓN DE UN CONJUNTO
En general los conjuntos se representan por letras mayúsculas: A,B,C…X,Y,Z y los 
elementos, por letras minúscula: a,b,c,…x,y,z. Se acostumbra a escribir los 
elementos de los conjuntos entre llaves { } y separados por comas o punto y 
coma.
I. P = {a; b; c; d; e}; Este conjunto se lee: “Conjunto P cuyos elementos son: 
a, b, c, d y e” 
Ejemplos 
II. Q = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; Este conjunto se lee: “Conjunto Q cuyos elementos son: 
1, 2, 3, 4, 5 y 6. 
III. R = { } 
RELACIÓN DE PERTENENCIA 
OBSERVACIÓN: 
En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo: El 
conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }.
❑ Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo: 
❑ Para indicar que un elemento No pertenece a un conjunto se usa el símbolo: 
Ejemplo 
I. 1 ∈ B ( ) II. 4 ∈ B ( ) III. 6 ∈ B ( ) 
Se tiene el siguiente conjunto B={1;{2;3};4;5;{6}}, señalar con V si la proposición es verdadera o con F 
si es falsa.
IV. {2; 3} ∉ B ( ) V. 5 ∉ B ( ) VI. {6} ∈ B ( )
V
VFF
FV
OBSERVACIÓN: 
La relación de pertenencia sólo se establece entre un elemento y un conjunto.
NÚMERO CARDINAL 
Se denomina número cardinal o simplemente cardinal de un conjunto, al número 
de elementos de dicho conjunto. Se denota de la siguiente manera:
Car(A) = n(A) = Nº de elementos de A
Ejemplo: 
Determina el número cardinal del siguiente conjunto : A = {r, s, t, u, v, x, y, z}
Veamos: Contemos los elementos del conjunto A 
A = {r , s, t, u, v, x, y, z}
1 87652 3 4
( ) 8n A =
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Un conjunto puede determinarse de dos formas: Por extensión y por comprensión.
A. DETERMINACIÓN POR EXTENSIÓN:
Consiste en la enumeración efectiva de cada uno de sus elementos, es decir se nombra 
uno a uno sus elementos:
Ejemplos: 
✓ D={Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}
✓ R={Verano, Otoño, Invierno, Primavera}
✓ A = { 6;8;10;12;14;16;18 }
✓ B = {-9;-7;-5;-3;-1 }
B. DETERMINACIÓN POR COMPRENSIÓN:
Para expresar un conjunto de esta manera se señala una propiedad común a todos los elementos. 
A esta manera de nombrar un conjunto se denomina también: Forma abreviada o sintética de 
determinar un conjunto.
Si un conjunto Q se ha determinado por comprensión, mediante el uso de la propiedad K, aplicado a sus 
elementos, dicho conjunto se menciona así: “Q es el conjunto de las X tal que (/) tiene la propiedad K”
X : Es la variable que va a tener cualquier valor de algún elemento del conjunto.
Tal que : Es una barra oblicua (/).
Ejemplos: 
A = {El conjunto de los números naturales menores que 8}
R = {El conjunto de los números naturales menores que 100}
S = {x/x ∈ N; 𝒙𝟐 < 82}
CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS
CLASES DE CONJUNTOS
A. CONJUNTO VACÍO O NULO:
Es aquel que no tiene elementos, se denota por la letra griega “∅” (se lee fi), también se 
denota por: “{ }”
Ejemplos: 
1) A = {x/x es un virrey actual del Perú} 
A = ∅
A = { }
El conjunto “A” es vacío porque no existe virrey en la actualidad en el 
Perú.
2) B = {y/y es un número entero comprendido entre 12 y 13}
B = ∅
B = { }
El conjunto “B” Es vacío porque no existe número entero 
entre 12 y 13.
B. CONJUNTO UNITARIO:
También llamado singletón, es aquel que tiene uno y solo un elemento.
Ejemplos: 
1) E = {x ∈ N / 5 < x < 7}
Significa que “x” es mayor que 5, pero menor que 7, siendo: x = 6
E = {6}
2) F = {x/x = 8}
F = {8}
C. CONJUNTOS IGUALES:
Un conjunto “A” es igual a un conjunto “B”, si es que ambos conjuntos tienen los 
mismos elementos. 
A = {3; 5; 8}
B = {8; 5; 3}
A = B
Ejemplos: 
¿El conjunto P = {x ∈ N/2 < x< 6} es igual al conjunto Q = {x∈ N/3 ≤ x≤ 5}?
P = {3; 4; 5} 
Q = {3; 4; 5} 
P = Q
D. CONJUNTO DISJUNTOS:
Son aquellos conjuntos, que no tienen ningún elemento común. 
Ejemplo: 
Sean los conjuntos: A = {2; 4; 6; 8} , B = {1; 3; 5; 7; 9}
“A” y “B” son disjuntos, pues no tienen ningún elemento en común.
Usando los diagramas de Venn-Euler, se tiene:
A
2. 4.
6.
8.
B
.1 .3
.5.7
.9
E. CONJUNTO UNIVERSAL (U):
Es el conjunto que contiene, comprende o dentro del cual están todos los demás
conjuntos; se le simboliza por la letra U y gráficamente se le representa mediante un
rectángulo en cuyo vértice (uno cualquiera) se coloca la letra U.
U
F. CONJUNTOS EQUIPOTENTES:
Cuando los conjuntos tienen igual número de elementos.
A = {a, e, i, o, u} n(A) = 5 
B = {1; 2; 3; 4; 5} n(B) = 5 
“A” es equipotente con “B”
Ejemplo: 
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: 
A. INCLUSIÓN DE CONJUNTOS:
Se dice que el conjunto A es parte del conjunto B o que está incluido en B, si todos los
elementos de A están en B. Se le denota como “A ⊂ B” que se lee: “A incluido en B”.
Es decir: 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵
Sean los conjuntos: D = {3; 5; 7} y E = {2; 3; 4; 5; 6; 7}Ejemplo: 
Se observa que: “D” es subconjunto de “E” porque todos los elementos de “D” pertenecen
también a “E”. Simbólicamente lo expresamos así: D ⊂ E.
Representación usando 
diagrama de Venn-Euler. 
E
D
3. 5.
7.
2.
4.
6.
PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN:
1. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo A ⊂ A
2. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. ∅ ⊂ A
3. Si un conjunto está incluido en otro, y este en un tercero, entonces el primer conjunto 
está incluido en el tercer conjunto. Es decir, si A ⊂ B y B ⊂ C ⇒ A ⊂ C 
B. FAMILIA DE CONJUNTOS:
Ocurre cuando todos los elementos de un conjunto son conjuntos.
Ejemplo: 
A = {{2; 3}; {5; 2}; {7}; ∅} 
“A” es una familia de conjuntos, porque todos sus elementos son conjuntos.
D. CONJUNTO DE CONJUNTOS:
Ejemplo: 
Es aquel conjunto, donde al menos uno de sus elementos es un conjunto. 
B = {{3}; 5; 6}
C. SUBCONJUNTO PROPIO:
Si un conjunto “A” es un subconjunto de otro conjunto “B”, y este otro conjunto “B” tiene uno
o más elementos que no pertenecen al subconjunto “A”, se dice que: “A” es parte propia o
subconjunto propio de “B”.
Ejemplo:
Dados los conjuntos: A = {2; 7; 5; 3} , B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}
“A” es un subconjunto propio de “B”, pues los elementos de “A” están en “B” y “B” tiene 
elementos que no están en “A”
E. CONJUNTO POTENCIA:
Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado, si el conjunto dado es “A”, 
el conjunto potencia de “A” se denota por P(A) y se lee: “P de A”
Si el conjunto “A” tiene “n” elementos: P(A) = 2𝑛 subconjuntos.
Si: C = {5; 2; 7} hallar su conjunto potencia.Ejemplo: 
El número de subconjuntos del conjunto “C” se obtiene aplicando la fórmula: 
𝟐𝟑 = 8 subconjuntos. 
n(C) = 3 
Los subconjuntos de “C” son:
P(C) = {{5} , {2} , {7} , {5;2} , {5;7} , {2;7} , {5;2;7} , ∅}
n(P(C)) = 8 
UNIÓN DE CONJUNTOS
Simbólicamente se denotaría así:
A  B = {x / x  A ˅ x  B}
Y gráficamente así: 
La operación de reunión entre los conjuntos A y B, son todos los elementos que pertenecen al
conjunto “A” o al conjunto “B”. La operación de Unión tiene como símbolo: 
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
La intersección entrelos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen
tanto al conjunto A como al conjunto B; es decir; formado por los elementos comunes. La operación de
Intersección tiene como símbolo: 
Simbólicamente se denotaría así:
A  B = {x / x  A  x  B}
Y gráficamente así:
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
La diferencia del conjunto A menos el conjunto B, es el conjunto formado por los elementos del
conjunto A que no pertenecen al conjunto B; es decir, es el conjunto formado los elementos que sólo
pertenecen al conjunto A.
Simbólicamente se denota así:
A – B = { x / x  A  x  B}
Y gráficamente así:
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen al conjunto A o al conjunto B; pero no a ambos. Tiene como símbolo: 
Simbólicamente se representa así:
A  B = { x / x  [(A  B) – ( A  B ) ] }
También puede representarse así:
A  B = { x / x  [(A – B)  (B – A ) ] }
Y gráficamente así:
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO RESPECTO A UN CONJUNTO UNIVERSAL O DE
REFERENCIA
El complemento de un conjunto A, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al
conjunto universal; pero no pertenecen al conjunto A; es decir, los elementos sólo pertenecen al
conjunto U. Su símbolo es: A‘ ; CA
Simbólicamente sería así:
A’ = {x / x  U  x  A}
Gráficamente es:
01. Halla la suma de los elementos de: A = {(3x + 2) ∈ N / 𝒙 ∈ 𝑵 ; 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓} 
a) 33 b) 36 c) 48 d) 108 e) 72
Resolución: 
• Para determinar los elementos del “ conjunto A ” usaremos el valor numérico
x 3x+2
Clave: a) 33
2 3(2)+2 = 8
3 3(3)+2 = 11
4 3(4)+2 = 14
Luego: 
𝐀 = {𝟖, 𝟏𝟏, 𝟏𝟒}
Por tanto : 𝟖 + 𝟏𝟏 + 𝟏𝟒 = 33
02. Sea el conjunto: T ={a, x ∈ N / a =3 x /1< x ≤ 5 } Determinado por extensión es: 
a) T={6; 9; 12; 15}
b) T={1; 2; 3; 4: 5} 
c) T={2; 3; 4, 6} 
d) T={2; 3; 4; 5} 
e) T = {3; 6; 9; 12; 15} 
Resolución: 
• Para determinar los elementos del “ conjunto T ” usaremos el valor numérico
x 3x
2 3(2) = 6
3 3(3) = 9
4 3(4) = 12
5 3(5) = 15
Clave: a) 𝐓 = {𝟔; 𝟗; 𝟏𝟐; 𝟏𝟓}
Luego: 
𝐓 = {𝟔; 𝟗; 𝟏𝟐; 𝟏𝟓}
03. Hallar la suma de los elementos del conjunto: 
𝐀 =
𝒙 + 𝟏
𝟐
∈ ℕ ; 𝒙 ∈ ℕ ˄ 𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟏
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
Resolución:
𝑥 𝑥 + 1
2
3
4
5
6
7
3 + 1
2
=
4
2
= 2 ∈ ℕ
4 + 1
2
=
5
2
∉ ℕ= 2,5
5 + 1
2
=
6
2
= 3 ∈ ℕ
6 + 1
2
=
7
2
∉ ℕ= 3,5
7 + 1
2
=
8
2
= 4 ∈ ℕ
𝑥 𝑥 + 1
2
8
9
10
11
8 + 1
2
=
9
2 ∉ ℕ= 4,5
9 + 1
2
=
10
2
= 5 ∈ ℕ
10 + 1
2
=
11
2
∉ ℕ= 5,5
11 + 1
2
=
12
2
= 6 ∈ ℕ
Luego:
A = 2; 3; 4; 5; 6
෍ 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴 = 20
Clave: e) 𝟐𝟎
4. Calcula la suma de los elementos del conjunto: 𝐀 = 𝒙 + Τ𝟐 𝒙 ∈ ℕ ˄ 𝟏𝟏 ≤ 𝟑𝒙 + 𝟐 ≤ 𝟐𝟎
a) 25 b) 26 c) 24 d) 28 e) 27
Resolución:
11 ≤ 3𝑥 + 2 ≤ 20
11 − 2 ≤ 3𝑥 ≤ 20 − 2
9 ≤ 3𝑥 ≤ 18
3 ≤ 𝑥 ≤ 6
𝑥 = 3; 4; 5; 6
𝑥 + 2 = 5; 6; 7; 8
෍ = 26
A = 5; 6; 7; 8
Clave: b) 𝟐𝟔
05. Dado el conjunto: A= {6; 9; 12; {5}; {12}}. ¿Cuál de las afirmaciones es correcta?
1. 6; 9; 12 ∈ A
2. A es conjunto de conjuntos
3. {{1; 2}} ⊂ A
4. 6 ∈ {5; 9; 12}
5. 6 ⊂ A
Son ciertas:
a) 3 y 4 b) 1 y 2 c) 4 y 5 d) 2 y 5 e) 1 y 3
Resolución: 
1. 6; 9; 12 ∈ A ( )
2. A es conjunto de conjuntos ( )
3. {{1; 2}} ⊂ A ( )
4. 6 ∈ {5; 9; 12} ( )
5. 6 ⊂ A ( )
𝐕
𝐕
𝐅
𝐅
𝐅
Clave: b) 1 y 2
06. Dados los conjuntos iguales: A = {𝑎2+𝟑 ; b + 1} , B = {13; 19}. Considere a y b 
enteros. Indique la suma de los valores que toma: a + b
a) 16 b) 24 c) 30 d) 12 e) 27
Resolución: 
𝑎2 + 3 = 19 ⇒ 𝑎2= 16
𝒂 = {−𝟒; 𝟒}
𝑏 + 1 = 13
𝒃 = 𝟏𝟐
Luego:
a + b = - 4 + 12 = 8
a + b = 4 + 12 = 16
Clave: b) 24
07. Sean A, B y C tres conjuntos disjuntos, además: 4𝑛 𝐴 +𝑛 𝐵 +𝑛(𝐶)= 4096
Halla: n(A ∪ B ∪ C)
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5
Resolución: 
Si los conjuntos “A, B y C” son disjuntos no tiene elementos en común
𝟒𝟎𝟗𝟔
Por lo tanto se cumple: n A⋃𝐵⋃𝐶 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 + 𝑛(𝐶)
𝟒
𝟏𝟎𝟐𝟒 𝟒
𝟐𝟓𝟔 𝟒
𝟔𝟒 𝟒
𝟏𝟔 𝟒
𝟒 𝟒
𝟏
𝟒𝟎𝟗𝟔 = 𝟒𝟔
4𝑛 𝐴 +𝑛 𝐵 +𝑛(𝐶)= 4096
4𝑛 𝐴 +𝑛 𝐵 +𝑛(𝐶) = 46 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 + 𝑛 𝐶 = 6
Como ∶
n A⋃𝐵⋃𝐶 = 𝑛 𝐴 + 𝑛 𝐵 + 𝑛(𝐶)
𝐧 𝐀⋃𝑩⋃𝑪 = 𝟔
Clave: a) 6
08. Determinar cuántos elementos tiene cada uno de los siguientes conjuntos:
a) P(A) = 128 subconjuntos
b) P(B) = 163 subconjuntos
a) 7 y 7 b) 7 y 6 c) 6 y 5 d) 7 y 12 e) 4 y 6
Resolución: 
𝟏𝟐𝟖
Conjunto potencia de un conjunto A es: P A = 2𝑛(𝐴)
𝟐
𝟔𝟒 𝟐
𝟑𝟐 𝟐
𝟏𝟔 𝟐
𝟖 𝟐
𝟒 𝟐
𝟐
128 = 27
𝟐
𝟏
𝑛(𝑃 𝐴 ) = 27
2𝑛(𝐴) = 27
𝒏 𝑨 = 𝟕
𝑛(𝑃 𝐵 ) = 163
2𝑛(𝐵) = (24)3
2𝑛(𝐵) = 212
𝒏 𝑩 = 𝟏𝟐
Clave: d) 7 y 12
09. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto A, sabiendo que tiene 480 subconjuntos más 
que el conjunto B, el cual posee 5 elementos?
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
Resolución: 
Conjunto “B”: 𝑛(B) = 5 ⇒ 𝑛[𝑃 𝐵 ] = 25
𝑛[𝑃(𝐵)] = 32
Del dato: 𝑛[𝑃(𝐴)] = 𝑛[𝑃(𝐵)] + 480
𝑛[𝑃(𝐴)] = 32 + 480
𝑛[𝑃(𝐴)] = 512
2𝑛(𝐴) = 29
⇒ 𝒏 𝑨 = 𝟗
Clave: c) 9
10. Se tiene “n” pinturas de “n” colores básicos y se desea obtener 1013 nuevos tonos,
combinando partes iguales de 2; 3; 4; 5; …; n colores. Hallar “n”.
a) 5 b) 7 c) 8 d) 10 e) Más de 10
Resolución:
Con “n” colores básicos la cantidad de nuevos tonos debe ser :
2𝑛 − 1 − 𝑛 = 1013
Conjuntos 
unitarios 
∅
2𝑛 − 𝑛 = 1014
25 = 32
322 = 1024
(25)2= 1024
210 = 1024Si: 𝑛 = 10 ⇒ 210 − 10 = 1014
Por lo tanto, 𝒏 = 𝟏𝟎
Clave: d) 10
11. Para dos conjuntos M y N se tiene que: M ∪ N = {x / x ∈ ℕ ˄ 2 ≤ x ≤ 8} 
M ∩ N = {5} 
M – N = {4; 6; 7}
Hallar la suma de los elementos de N
a) 31 b) 18 c) 12 d) 15 e) 20
Solución:
M ∪ N = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} 
𝐍 = 2; 3; 5; 8
𝟕.
𝐌 𝐍
𝟔.
𝟒.
𝟓.
𝟐.
𝟑.
𝟖.
Σ(elementos de N) = 18
∴ Clave: b) 18
12. Si: n[P(A – B)] = 32 ; n[P(B – A)] = 16 ; n[P(A ∪ B)] = 1024
Calcula: 2∙n[P(A ∩ B)] + 3∙n(A ∩ B)
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12
Solución: Conjunto potencia: n P A = 2n(A)
✓ n[P(A – B)] = 32 
2n(A−B) = 25
n A − B = 5
✓ n[P(B – A)] = 16 
2n(B−A) = 24
n B − A = 4
✓ n[P(A ∪ B)] = 1024
2n(A∪B) = 210
n A ∪ B = 10
𝐀 𝐁
𝟓 𝟒𝟏
→ 𝟓𝟔 ←
n[P(A ∩ B)]= 2n(A∩B) = 21
n A ∩ B = 1
n[P(A ∩ B)] = 2
Luego:
2∙n[P(A ∩ B)] + 3∙n(A ∩ B) = 2∙2 + 3∙1
= 7 
∴ Clave: a) 7
13.- Si n(A) = 18 ; n(B) = 21 ; n(C) = 24 ; n(A ∩ B) = 10; n(B ∩ C) = 12; n(A ∩ C) = 11; n(A ∩ B ∩ C)=8
y además n(A U B U C)’ = 2, Hallar n(U).
SOLUCIÓN
𝑨 𝑩
𝑪
18 = = 21 
24 =
8
2
4 3 
5 7 
9 
2
𝑼
n(U) = 5 + 2 + 7 + 3 + 8 + 4 + 9 + 2
= 40
∴ Clave: e) 40
14. Dado los conjuntos A y B, subconjuntos del universo U, tal que: n(U) = 20 ; 
n(A ∩ B) = 3 ; n(A) = 12 ; n(B) = 11 . Hallar : n(A Δ B) 
a) 10 b) 17 c) 13 d) 15 e) 12
Resolución:
𝟗
𝑨 𝑩
𝟑 𝟖
𝑼
𝟏𝟐 = = 𝟏𝟏
= 𝟐𝟎
n(A △ B) = 9 + 8
= 17
Clave: b) 17
15. Si: A= { 1 ; 5 ; { 1 ; 7 } ; ∅ ; {8}} Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:
I. ∅ ∈ A II. ∅ ⊂ A III. 7 ⊂ A IV. { 1 ; 7 } ∈ A
a) VVFF b) VFFV c) FVFF d) VVVV e) FFVF 
Resolución: 
I. ∅ ∈ A ( )
II. ∅ ⊂ A ( )
III. 7 ⊂ A ( )
IV. {1;7} ∈ A ( )
𝐕
𝐕
𝐅
Clave: b) VVFV
𝐕
¡ Gracias !