UNIDAD I AFC - Jair García

Vista previa del material en texto

13/02/2012
1
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ANÁLISIS FUNDAMENTAL DE CIRCUITOS 
NIVEL: I
Objetivo General: Analizar circuitos eléctricos a partir de los teoremas y
técnicas fundamentales para la resolución de circuitos eléctricos, mediante
la realización de exámenes exploratorios, prácticas de laboratorio,
i ió l b j i i i i i di id lexposición oral, trabajo escrito, tareas, participaciones individuales y
grupales.
Descripción General de Contenidos:
UNIDAD I :     Leyes de Kirchhoff en Corriente Directa y Alterna
UNIDAD II:    Técnicas en el Análisis de Circuitos en Corriente Directa y Alterna
UNIDAD III:  Teorema de Circuitos
Elaborado por: M. en C. RocioAlmazán Farfán, y M. en C. Juan Carlos Martínez Díaz.
UNIDAD TEMÁTICA I:
LEYES DE KIRCHHOFF EN 
CORRIENTE DIRECTA Y ALTERNA
1 1 Operación del Amperímetro, 1.1 Operación del Amperímetro, 
Voltímetro, Ohmetro y Osciloscopio
1.2 Fasores
1.3 Ley de Ohm
1.4 Ley de Kirchhoff del Voltaje
1.5 Ley de Kirchhoff de Corrientes
1.1 Operación del Amperímetro, Voltímetro, 
Óhmetro y Osciloscopio
Instrumento de Medición
Es un aparato que se usa para comparar magnitudes físicas
mediante un proceso de medición. Como Unidades de Medida se utilizan
objetos y sucesos previamente establecidos como estándares o patrones y
de la medición resulta un número que es la relación entre el objeto de
estudio y la unidad de referencia.
Algunos aspectos importantes en la Medición
Se denomina precisión a la capacidad de un instrumento de dar
el mismo resultado en mediciones diferentes realizadas en las mismas
condiciones.
Se denomina sensibilidad, es la mínima magnitud en la señal de
entrada requerida para producir una determinada magnitud en la señal de
salida, dada una determinada relación señal/ruido.
Un multímetro, también denominado polímetro, tester o multitester, es
un instrumento eléctrico portátil para medir directamente magnitudesun instrumento eléctrico portátil para medir directamente magnitudes
eléctricas activas como corrientes y potenciales (tensiones) o pasivas
como resistencias, capacidades y otras. Las medidas pueden realizarse
para corriente continua o alterna y en varios márgenes de medida cada
una. Los hay analógicos y posteriormente se han introducido los
digitales cuya función es la misma (con alguna variante añadida).
MULTIMETRO DIGITAL
Figura  1.1:  Multímetro Digital y sus funciones.
Display 
Primario
Display 
Secundario
Figura  1.2:  El Multímetro de Banco y sus 
funciones.
Terminales de 
entrada y fusible de 
la corriente
Teclado para medición 
de funciones
Selección automática 
del rango y 
comparador
Teclado para 
operaciones 
matemáticas
Botón de 
encendido y 
apagado
13/02/2012
2
Encendido del Multímetro
Simplemente se 
presiona en botón 
de encendido 
“Power”
Conexión de las terminales de entrada
Depende de lo que 
se requiera medir se 
conectan las puntas 
caimán (se explica 
con más detalle más 
adelante)
Figura 1.3. Encendido del Multímetro
Amperímetro
Es un instrumento que sirve para medir la intensidad de corriente que
circula por un circuito eléctrico.
Para medir dicha intensidad, tenemos que conectar las terminales del
amperímetro como se índica en la siguiente figura, con el elemento donde
queremos medir la intensidad, con el objetivo de que la corriente circule
por el amperímetro.
Se puede medir con este instrumento,  tanto corriente continua como 
corriente alterna, en rangos de uA, mA y A. 
Figura 1.4: Conexión del Amperímetro en el circuito bajo medición.
Clasificación:
‐Magnetoeléctrico
‐ Electromagnético
‐ Electrodinámico
Figura 1.5. Tipos de Amperímetro
OPERACIÓN DEL AMPERÍMETRO
Conexión de las terminales positiva y 
negativa para la medición de la corriente  
menor de 10 A RMS en CD y en CA
Conexión de las terminales positiva y 
negativa para la medición de la corriente 
mayor de 10 A RMS  en CD y en CA 
Figura 1.6. Conexión de las terminales del 
Amperímetro
Voltímetro
Se utiliza para medir la diferencia de potencial entre dos puntos de
un elemento conductor, y la conexión para medir este parámetro
es de la manera como se muestra en la siguiente figura con el
elemento a medir.
Se puede medir dicho parámetro tanto en corriente continua como
en corriente alterna.
Figura 1.7.  Conexión del Voltímetro en el Circuito bajo medición.
Se puede clasificar los voltímetros por los principios en los que se basan su
funcionamiento en:
• Voltímetros electromecánicos
• Voltímetros electrónicos
• Voltímetros vectoriales
• Voltímetros digitales
Figura 1.8. Ejemplos de Voltímetros
13/02/2012
3
OPERACIÓN DEL VOLTÍMETRO
Conexión de las terminales positiva y Conexión de las terminales positiva y 
negativa para la medición del voltaje  en 
CD y en CA
Figura 1.9. Terminales del Voltímetro
Óhmetro
Es un instrumento que mide el valor de una resistencia al conectarlo
entre sus terminales.
Para realizar dicha medición, se realiza la conexión de la siguiente
manera:
Siendo el resistor un elemento pasivo, internamente el instrumento de
medición tendrá un elemento activo, que produzca una corriente, y que
el Galvanómetro interno en el mismo instrumento, detecte esta
corriente.
Figura 1.10. Conexión del Óhmetro en el Circuito bajo medición.
Si R= ∞ (circuito abierto) no circulará corriente por dicho circuito, por
tanto en el Galvanómetro Rx = ∞, la aguja del Galvanómetro marcará
corriente nula (extremo izquierdo de la escala).
El Óhmetro se compone de una pequeña batería interna para aplicar
un voltaje a la resistencia bajo prueba, y el Galvanómetro medirá la
corriente que circula a través de la resistencia.
En los Óhmetros actuales, la batería ha sido sustituida por un circuito
que genera una corriente, la cual circula en la resistencia bajo prueba.
Por otro circuito interno se mide el voltaje en los extremos de la
resistencia y el valor de dicha resistencia se obtendrá mediante la Ley
de Ohm.
Ec. 1.1
OPERACIÓN DEL ÓHMETRO
Conexión de las terminales para laConexión de las terminales para la
medición de la resistencia (como el resistor
no tiene polaridad, no importa que las
puntas se conecten invertidas)
Figura 1.11. Terminales del Ohmetro
Osciloscopio
Es un instrumento que sirve para realizar mediciones tanto en
Corriente Directa como en Corriente Alterna, y permite la
visualización de señales, y medir sus características eléctricas.
Figura 1.12. Osciloscopio Digital
13/02/2012
4
Características Generales
1.     Área de Presentación
2.    Icono que muestra el modo de adquisición
a. Modo de Muestreo
b. Modo de detección de picos
c. Modo promediado
    E t d  d  Di2.    Estado de Disparo
3.    Marcador que muestra la posición de disparo horizontal
4.    Muestra el tiempo en la línea central de la retícula
5.    Marcador que muestra el nivel de disparo por flanco, o por ancho de 
pulso
6.    Marcador de pantalla que muestra los puntos de referencia a tierra de 
las formas de onda mostradas.
7.    Un icono de flecha indica que la forma de onda está invertida
8.    Lecturas que muestran los factores de escala vertical de los canales
9.    Un icono BW indica que el canal tiene un ancho de banda
10.   Lectura que muestra el ajuste de la base de tiempos principal
11.   Lectura que muestra el ajuste de la base de tiempos de ventana si se 
utiliza
12.   Lectura que muestra la fuente utilizada para el disparo
13.   Icono que muestra el tipo de disparo seleccionado
14.   Lectura que muestra el valor numérico del nivel de disparo por flanco
15.   Presentación de mensajes útiles, algunos se muestran solo por tres 
segundos
16.   Lectura que muestra la frecuencia de disparo
Controles Verticales
Posición de Cursor 1 y cursor 2 para canal 
CH1 y CH2
Sitúa verticalmente la forma de onda, se ilumina un 
LED que indica la función alternativa de los mandos 
para mover los cursores
MENÚ CH1 y CH2
Muestra la selección del menú  vertical, y activa y 
desactiva la presentación de la forma de onda del canal
Menú MATH
Muestra el menú de operaciones matemáticas de 
forma de onda y también paraactivar y desactivar la 
forma de onda matemática
VOLTS/DIV (CH1 y CH2)
Selecciona factores de escala calibrados. Figura 1.13. Controles Verticales
Controles Horizontales
Position
Ajusta la posición horizontal de todas las 
formas de onda matemáticas y de canal. La 
resolución de ese control varia en función 
de la base de tiempos.
Menú HORIZONTAL
Muestra el menú horizontal
SEC/DIV
Selecciona el ajuste tiempo/división 
horizontal (factor de escala) de la base 
de tiempos principal o de ventana. Si se 
activa Definir Ventana, se cambia el 
ancho de la zona de ventana al cambiar 
la base de tiempos de la ventana Figura 1.14. Controles Horizontales.
Controles de Disparo
NIVEL Y SELECCIÓN
Cuando se utiliza un disparo por flanco, la principal función del 
mando LEVEL es establecer el nivel de amplitud que la señal 
debe cruzar para provocar una adquisición. 
Menú TRIGGER
Muestra el menú disparo
SET LEVEL 50% (ESTABLECER EN 50%)
El nivel de disparo se establece en el punto medio vertical entre los 
picos de la señal de disparo
FORCE TRIGGER  (FORZAR DISPARO)
Completa una adquisición con independencia de una señal de 
disparo adecuada. Este botón no tiene efectos si la adquisición se ha 
detenido ya
TRIGGER VIEW (VER SEÑAL DISPARO)
Muestra la forma de onda de disparo en lugar de la forma de onda de 
canal mientras se mantiene pulsado este botón.
Figura 1.15. Controles de Disparo.
Botones de Control y de Menú
SAVE/RECALL(ALM./REC.)
Muestra el menú para configuraciones 
y formas de ondas.
MEASURE(MEDIDAS) 
Muestra el menú de medidas 
automáticas.
ACOURSE(ADQUISICIÓN)
Muestra el menú para configuraciones 
y formas de ondas.
AUTOSET(AUTOCONFIGURAR)
Establece automáticamente los 
controles de osciloscopio para generar 
una presentación útil de las señales de 
entrada.
UTILITY(UTILIDADES)
Muestra el menú Utilidades.
CURSOR(CURSORES)
Muestra el menú Cursores. Los 
controles de posición vertical 
ajustan la posición del cursor 
mientras se muestra el menú 
Cursores. 
DISPLAY(PANTALLA)
Muestra el menú Pantalla.
HARDCOPY(SEC. 
ÚNICA)
Adquiere una sola forma de 
onda y se detiene.
RUN/STOP(ACTIVAR/PARA
R)
Adquiere formas de onda 
continuamente o detiene la 
aquisición.
Figura 1.16. Descripción de botones y Menú.
13/02/2012
5
Conectores
CH1, CH2
Conectores de entrada para la 
presentación de formas de onda
PROBE COMP(COMP SONDA)
Compensación de voltaje de salida y tierra de la sonda. Utilice 
este botón para igualar eléctricamente la sonda al circuito de 
entrada del osciloscopio. Los conectores blindados de BNC y 
tierra de compensación de sonda se conectan a tierra y se 
consideran terminales de tierra.
EXT TRIG(DIPS.EXT.)
Conector de entrada para una 
fuente de disparo externo. Utilice 
el menú Disparo para seleccionar 
la fuente de disparo Ext. O 
Ext./5.
Figura 1.17. Descripción de Conectores.
1. Medición de la señal de ajuste en la terminal de 
prueba de calibración del Osciloscopio.
Ajuste los controles de 
Volts/Div y de posición a 
una escala que permita 
visualizar un ciclo 
completo de la señal de 
prueba de calibración.
Figura 1.18. Señal de Ajuste
Energizar el Osciloscopio.
Puntas para 
Osciloscopio.
Ubicar la terminal de prueba 
de calibración.
Conectar la terminal de 
prueba a la terminal del 
canal 1 con las puntas para 
Osciloscopio.
Seleccionar la fuente de 
disparo del canal 1.
2.   Comprobación del funcionamiento del Generador de Señales (Onda 
Seno), para la obtención de Señales en el Osciloscopio.
Ajuste la frecuencia de la señal 
de salida del Generador a 
10kHz y la amplitud a 10Vpp 
para una onda seno 
(señal verde).
Energizar el Generador de 
Señales
Conectar la terminal de 
salida del Generador de 
Señales a la terminal del 
canal 1 del Osciloscopio 
con los conectores 
BNC – BNC.
Figura 1.19. Señal proveniente de un Generador de Funciones (señal senoidal).
3.  Comprobación del funcionamiento del Generador de 
Señales (Onda Cuadrada y Triangular)
Se juste la frecuencia de la 
señal de salida del Generador  
y la amplitud para una 
ondacuadrada
(señal azul).
Ajuste de la frecuencia 
de la señal de salida del 
Generador a 10kHz y la 
amplitud a 10Vpp para 
una onda triangular
(señal amarilla).
Figura 1.20. Señal proveniente de un Generador de Funciones (señal cuadrada y triangular).
4.  Comprobación del funcionamiento del Generador de 
Señales 
Selecciona la posición de 
acoplamiento en CD, CA 
y GND.
Active la generación de
voltaje de OFFSET en el
Generador de Señales
Se selecciona la posición de 
acoplamiento a GND y se 
verifica que la traza cruce en 
el centro de la graticula del 
Osciloscopio. 
Seleccione una señal 
triangular de 5Vpp a una 
frecuencia de 10kHz y 
conéctela a la entrada del 
canal 1 del Osciloscopio.
Generador de Señales.
Figura 1.21. Tipos de acoplamientos de la Señal.
13/02/2012
6
5.  El Osciloscopio como Graficador X‐Y con señales de CD
Se medirá el desplazamiento cartesiano del haz electrónico sujeto a distintas 
polaridades de tensión de CD en las terminales de entrada del osciloscopio.
Canal 1 (Verde)
Posición X
Canal 2 (Azul)
Posición Y
Empleé los controles 
de Posición X y 
Posición Y, para 
colocar los trazos de 
ambos canales en el 
Ponga el Osciloscopio en modo X‐Y con 
los selectores de acoplamiento de ambos 
canales en la posición GND (tierra)
En algunos Osciloscopios este modo de operación se selecciona  
girando la perilla de base de tiempo (VOLTS/DIV) hasta la posición 
X‐Y, en otros modelos existe un botón para seleccionar el modo.
ORIGEN (la referencia 
0Vx, 0Vy), con el 
punto en el centro de 
la pantalla del 
Osciloscopio.
Figura 1.22. Graficador X ‐ Y.
1.2 FASORES
1.2.1 NÚMEROS COMPLEJOS
1.2.2 COORDENADAS POLARES
1.2 FASORES
uc
ci
ón
Un fasor es un tipo de vector; se emplea para representar
funciones del tiempo que varían en forma senoidal.
A continuación se muestra un fasor así como los elementos
que lo componen:
Magnitud
Longitud de la “flecha”
In
tro
du
Longitud de la flecha ,
es la medida de una
cantidad.
El ángulo 
(con respecto a 0°),
representa la posición
angular.
Magnitud = 4, Ángulo de fase(°
Magnitud = 3, Ángulo de fase-45° (ó 315°)
Figura 1.23. Gráfica Fasorial.
a 
se
no
Un ciclo completo de una onda seno puede ser
representado por la rotación de 360° de un fasor.
El valor instantáneo de la onda seno en cualquier punto
es igual a la distancia vertical desde la punta del fasor
hasta el eje horizontal.
O
nd
a
La longitud del fasor es igual al valor pico de la onda seno
(puntos de 90° y 270°). El ángulo del fasor medido a partir
de 0° es el punto angular correspondiente de la onda seno.
Figura 1.24. Rotación del fasor.
Representación fasorial para un ángulo específico:
Muestra un fasor de voltaje en una posición angular de 45° y el
punto correspondiente en la onda seno. En este punto el valor
instantáneo de la onda seno está relacionado con la posición y
con la longitud del fasor.
La longitud del fasor es el valor pico del voltaje sinusoidal, Vp.
Por lo tanto, el lado opuesto del triángulo, que es el valor
instantáneo, se expresa como:
v = Vp sen Ec. 1.1
Figura 1.25. Posición de un fasor en la onda seno.
s 
Fa
so
ria
le
s
Se usan para demostrar la relación relativa de dos o más
ondas seno de igual frecuencia:
Se utiliza un fasor en una posición fija para representar una onda seno
completa porque una vez establecido el ángulo de fase entre dos o más
ondas seno de la misma frecuencia o entre la onda seno y una referencia,
el ángulo de fase permanece constante durante todos los ciclos.
Di
ag
ra
m
as
Figura 1.26. a)Representación de la onda seno, b) 
Diagrama Fasorial.
13/02/2012
7
ul
ar
 d
e 
un
 fa
so
r Un ciclo de una onda
seno se describe
cuando un fasor gira
360° o 2 radianes.
Mientras más rápido
gira, más rápido se
describe el ciclo de la
onda seno
El periodo y la
frecuencia están
relacionados con la
velocidad de rotación
del fasor
La velocidad de
rotación se llama
Cuandoun fasor gira
2 radianes, se
describe un ciclo
Ve
lo
ci
da
d 
an
gu
rotación se llama
velocidad angular y
se designa mediante
 (omega)
completo
El tiempo requerido
para que el fasor
recorra 2 radianes
es el periodo de la
onda seno
Dado que el fasor gira
2 radianes en un
tiempo igual al
periodo T:
La velocidad angular
se expresa como:
ul
ar
 d
e 
un
 fa
so
r Puesto que: Entonces se tiene: Cuando un fasor gira a una
velocidad angular ,
entonces t es el ángulo
descrito por el fasor en
cualquier instante
Se establece:
Al sustituir  por 2f se
obtiene:Relación 
ángulo‐tiempo
Ve
lo
ci
da
d 
an
gu
La ecuación para el valor
instantáneo de un voltaje
sinusoidal, v=Vpsen se
escribe:
Es posible calcular el valor
instantáneo en cualquier
punto en el tiempo a lo
largo de la curva de la onda
seno si se conocen la
frecuencia y el valor pico
ul
ar
 d
e 
un
 fa
so
r
EJEMPLO 1
¿Cuál es el valor de un voltaje sinusoidal 3s después
del cruce por cero hacia positivo cuando Vp=10V y
f=50kHz?
Ve
lo
ci
da
d 
an
gu SOLUCIÓN
Ec. 1.2
co
m
pl
ej
o 
 Al eje horizontal se le llama eje real
 Al eje vertical se le llama eje imaginario
En circuitos eléctricos se utiliza un prefijo para designar
números que quedan sobre el eje imaginario y distinguirlos así
de los números localizados sobre el eje real. Este prefijo se
conoce como operador j .
1.2.1 Números Complejos
El
 p
la
no
 c
Figura 1.27. Presentación del plano complejo.
la
r e
n 
el
 p
la
no
 
pl
ej
o 
El eje real positivo representa cero grados.
Prosiguiendo en sentido contrario al de las manecillas del
reloj, el eje +j representa 90°.
El eje real negativo representa 180°.
El eje –j corresponde a 270°.
Y tras una rotación completa de 360°, se regresa al eje real
positivo.
Po
sic
ió
n 
an
gu
l
co
m
p
Figura 1.28. Posiciones angulares en el plano complejo.
de
 u
n 
pu
nt
o 
en
 e
l 
om
pl
ej
o
Un punto localizado en el plano complejo se clasifica como
real, imaginario, o como una combinación de los dos tipos
(complejo). Por ejemplo:
Puntos Reales: ‐3, +4, +6
Puntos Imaginarios: +2j, +4j, ‐4j
Puntos Complejos: ‐3+2j, 4+4j, 6‐4j
Re
pr
es
en
ta
ci
ón
 d
pl
an
o 
co
Figura 1.29. Representación de puntos en el plano complejo.
13/02/2012
8
r d
e 
j
Si el valor real positivo de +2 se multiplica por j, el resultado es
+2j. Esta multiplicación ha movido efectivamente el +2 a través
de un ángulo de 90° hasta el eje +j. Asimismo, multiplicar +2
por –j lo hace girar ‐90° hasta el eje –j.
Por tanto, j se considera como un operador rotatorio.
Matemáticamente el operador j tiene un valor de . Si +2j se
multiplica por j, se obtiene:
Este calculo coloca el valor sobre el eje real negativo, por consiguiente:
Va
lo
r
Al multiplicar un numero real
positivo por se le convierte
en un numero real negativo, lo
cual, es una rotación de 180°
en el plano complejo.
Figura 1.30. El operador  j.
ng
ul
ar
 y
 P
ol
ar Las formas rectangular y polar son dos formas de números complejos quese utilizan para representar cantidades fasoriales.
************ Forma Rectangular ************ 
Una cantidad fasorial se representa en forma rectangular mediante
la suma algebraica del valor real (A) de la coordenada y del valor (B)
de la coordenada, expresado en la siguiente forma general:
1.2.2 Coordenadas Polares
Ec. 1.3
Fo
rm
a 
Re
ct
an Ejemplos: 8+3j, 6‐7j, ‐3+9j, ‐5‐10j.
************ Forma Polar ************ 
Las cantidades fasoriales también se pueden escribir en forma polar,
la cual se compone de la magnitud fasorial (C) y la posición angular
con respecto al eje real positivo (), expresada en la siguiente
forma general:
Ejemplos: , , ,
Ec. 1.4
s 
en
tre
 fo
rm
a 
ar
 y
 p
ol
ar
************ De forma rectangular a forma polar ************
El primer paso es determinar la magnitud del fasor , el cual es
calculado por la ecuación:
A continuación, el ángulo (que es el ángulo que forma el fasor
con el eje real positivo) que se expresa como una función
tangente:
Ec. 1.5
C
on
ve
rs
io
ne
s
re
ct
an
gu
l tangente:
Y la fórmula general para convertir de forma rectangular a forma
polar es:
Ec. 1.6
Ec. 1.7
s 
en
tre
 fo
rm
a 
ar
 y
 p
ol
ar
EJEMPLO 2
Convierta los siguientes números complejos de forma
rectangular a forma polar:
a) b) 
a) La magnitud del fasor dado es:
Como el fasor está en el primer cuadrante:
Por lo que el fasor dado en la forma polar se escribe
C
on
ve
rs
io
ne
s
re
ct
an
gu
l Por lo que el fasor dado en la forma polar se escribe
como:
b) La magnitud del fasor dado es:
Como el fasor esta en el cuarto cuadrante:
Por lo que el fasor dado en la forma polar se escribe
como:
s 
en
tre
 fo
rm
a 
ar
 y
 p
ol
ar ********** De forma polar a forma rectangular **********
Para obtener la forma rectangular, se deben encontrar los lados
A y B del triángulo utilizando las reglas de trigonometría:
Ec. 1.8
C
on
ve
rs
io
ne
s
re
ct
an
gu
l
La fórmula de conversión de polar a rectangular es:
Ec. 1.9
Ec. 1.10
s 
en
tre
 fo
rm
a 
ar
 y
 p
ol
ar
EJEMPLO 3
Convierta las siguientes cantidades polares a forma
rectangular:
a) b) 
a) La parte real del fasor dado es:
La parte j de este fasor es:
Por lo que el fasor se escribe como:
C
on
ve
rs
io
ne
s
re
ct
an
gu
l o lo que el aso se esc be co o:
b) La parte real del fasor dado es:
La parte j de este fasor es:
Por lo que el fasor se escribe como:
13/02/2012
9
 m
at
em
át
ic
as ********** Adición **********
Los números complejos deben estar en forma rectangular para
poder sumarlos. La regla es:
Sumar las partes reales de cada número complejo para obtener 
la parte real de la suma. A continuación, se suman las partes j de 
cada numero complejo para obtener la parte j de la suma.
O
pe
ra
ci
on
es
 
Ejemplo 4 
Sumar los siguientes conjuntos de números complejos
a)  8+5j y 2+1j     b) 20‐10j y 12+6j.
SOLUCION:
a) (8+5j) + (2+1j) = (8+2) + (5+1)j = 10+6j
b) (20‐10j) + (12+6j) = (20+12) + (‐10+6)j = 32‐4j
 m
at
em
át
ic
as ********** Sustracción **********
Igual que en la adición, los números complejos deben estar en
forma rectangular para poder restarlos. La regla es:
Restar las partes reales de cada número complejo para obtener 
la parte real de la diferencia. A continuación restar las partes j 
de los números para obtener la parte j de la diferencia.
O
pe
ra
ci
on
es
 
Ejemplo 5
Restar los siguientes conjuntos de números complejos
a)  1+2j de 3+4j     b) 10‐8j de 15+15j.
SOLUCION
a) (3+4j) ‐ (1+2j) = (3‐1) + (4‐2)j = 2+2j
b) (15+15j) ‐ (10‐8j) = (15‐10) + (15+8)j = 5+23j
 m
at
em
át
ic
as
********** Multiplicación **********
La multiplicación de dos números complejos en forma rectangular se
realiza multiplicando cada término de un número por ambos términos
del otro y combinando luego los términos reales resultantes y los
términos j resultantes.
Ejemplo: (5 + 3j)(2 ‐ 4j) = 10 ‐ 20j + 6j +12 = 22 – 14j
La multiplicación de dos números complejos es mas fácil cuando
O
pe
ra
ci
on
es
 La multiplicación de dos números complejos es mas fácil cuando
ambos están en forma polar, por lo que es mejor convertirlos a forma
polar antes de multiplicarlos. La regla es:
Multiplicar las magnitudes, y sumar los ángulos 
algebraicamente
Ejemplo 6
Multiplicar                   por  
=
 m
at
em
át
ic
as
********* División **********
La división de dos números complejos en forma rectangular se logra multiplicando
tanto el numerador por el complejo conjugado del denominador y combinando
luego los términos para finalmente simplificar. El complejo conjugado de un
número se encuentra cambiando el signo del término j. Por ejemplo:
La división es mas fácil cuando ambos están en forma polar, por lo que es mejor
convertirlos a forma polar antes de dividirlos. La regla es:
  
   j
j
j
jjj
jj
jj
j
j
512
164
203020
164
20104020
4242
42510
42
510
2
2
.











O
pe
ra
ci
on
es
 
Dividir lamagnitud del numerador entre la magnitud del denominador para 
obtener la magnitud del cociente. Restar a continuación el ángulo del 
denominador del ángulo del numerador para obtener el ángulo del cociente.
Ejemplo 7
Divida                    entre
Impedancia de circuitos RC en serie
En un circuito puramente resistivo, la impedancia es simplemente
igual a la resistencia total. En un circuito puramente capacitivo, la
impedancia es igual a la reactancia capacitiva total. Tanto la resistencia
como la reactancia capacitiva determinan la impedancia de un circuito
RC dispuesto en serie:
1.3 LEY DE OHM
En el circuito RC en serie mostrado a continuación, la impedancia 
total es la suma fasorial de R y –JXc y se expresa como:
Figura 1.31. Impedancia en un circuito 
RC.
Ec.1.11
La aplicación de la Ley de Ohm a circuitos RC en serie implica el uso
de las cantidades fasoriales Z, V e I, las tres formas equivalentes de la
ley de Ohm son:
Ejemplo 8
En la figura la corriente se expresa en forma polar como
Determine el voltaje de fuente expresado en forma polar.
La magnitud de la reactancia capacitiva es:
Al convertir a forma polar se obtiene:
Figura 1.32. Circuito para el cálculo Vs.
13/02/2012
10
Al convertir a forma polar se obtiene:
Usando la ley de Ohm para determinar el voltaje de la fuente:
La magnitud del voltaje de fuente es de 3.76V a un ángulo de ‐57.8° con
respecto a la corriente; el voltaje aparece retrasado en 57.8° con
respecto a la corriente.
************* Ley de Ohm *************
Cuando se utilice la ley de Ohm en circuitos de CA el voltaje y la corriente
deben expresarse consistentemente, es decir, ambos como valores pico,
ambos como valores promedio, y así sucesivamente.
Si se aplica voltaje sinusoidal entre los extremos de un
resistor, se produce una corriente sinusoidal. Ésta es de
magnitud cero cuando el voltaje es de cero, y es máxima
cuando el voltaje es máximo.
Cuando el voltaje cambia de polaridad, la corriente invierte
su dirección.
Por lo que se dice:
El Voltaje y la Corriente están en fase entre sí
Figura 1.33.   Generador de ondas seno
************* LKV y LKC *************
Las leyes del voltaje y de la corriente de Kirchhoff se aplican tanto a
circuitos de CD como a CA. En la figura se muestra la ley de voltaje de
Kirchhoff en un circuito resistivo que tiene una fuente de voltaje
sinusoidal.
Ley de Kirchhoff de Voltaje: Establece que “La suma algebraica de todos
l lt j (t t d f t d íd ) l li d
1.4 LEY DE KIRCHHOFF DE VOLTAJE
1.5 LEY DE KIRCHHOFF DE CORRIENTE
los voltajes (tanto de fuentes como de caídas) localizadas en una
trayectoria cerrada única es cero”.
Figura 1.34.  Ley de Kirchhoff de Voltaje
Ley de Kirchhoff de Corriente: Establece que, “La suma de las corrientes que
entran a un nodo (corriente total de entrada) es igual a la suma de las corrientes
que salen de dicho nodo (corriente total de salida).
Figura 1.35.  Ley de Kirchhoff de Corriente.
La potencia en circuitos de CA resistivos se determina del mismo
modo que para circuitos de CD, excepto que se deben utilizar valores
rms de corriente y voltaje.
¿Qué son los valores rms?
Es el valor equivalente del voltaje y/o corriente de una
onda seno a un voltaje y/o corriente de CD del mismo valor en
función de su efecto de calentamiento.
Potencia
f f
La fórmulas generales de potencia se replantean para un circuito de
CA como:
Ec. 1.12
Ec. 1.13
Ec. 1.14
Análisis de Circuitos de CA 
EJEMPLO 9
1) Determine la caída del voltaje pico desconocido de la figura 1.36a).
2) Determine la corriente rms total en la figura 1.36b).
3) Determine la potencia total en la figura 1.36b) si Vrms=24V.
Figura 1.36.  a), b) Ejemplos de análisis en C.A.
13/02/2012
11
SOLUCIÓN
1) Determine la caída del voltaje pico desconocido de
la fig. 1.36a).
Usando la LKV para determinar V3:
Convirtiendo el valor rms en valor pico
Ec. 1. 15
SOLUCIÓN
2) Determine la corriente rms total en la fig. 1.36b).
Usando la LKC para determinar ItotUsando la LKC para determinar Itot.
3) Determine la potencia total en la fig. 1.36b) si
Vrms=24V.
Ec. 1.16
Ec. 1.17
Ejemplo 10
Análisis de Circuitos de C.D. 
Encuentre el valor de I1 e I2 aplicando LKC en la siguiente red.
Figura 1 37  Circuito para el análisis en C D
La ecuación del Nodo I:
3mA – I1 + I2 = 0
La ecuación del Nodo II:
I1 – 12mA + 4mA = 0
Ec. 1.18
Ec. 1.19
Figura 1.37. Circuito para el análisis en C.D.
Resolviendo:
I1 = 12mA – 4mA 
I1 = 8mA
De Ec. 1.19
De Ec. 1.18 3mA – 8mA + I2 = 0
I2 8 A 3 AI2 = 8mA – 3mA
I2 = 5mA