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EJERCICIOS DE ANÁLISIS DE SISTEMAS Y SEÑALES CONTENIDO INTRODUCCIÓN CAPÍTULO I Sistemas y señales. definición y clasificación CAPÍTULO II Introducción al análisis de señales. CAPÍTULO III Representación de sistemas en tiempo continuo. CAPÍTULO IV Representación de sistemas en tiempo discreto. CAPÍTULO V Introducción a la Serie de Fourier. CAPÍTULO VI Introducción a la Transformada de Fourier. PENDIENTE. INTRODUCCIÓN El presente trabajo pretende cubrir el temario correspondiente a la materia de Análisis de Sistemas y señales, y su principal objetivo es el de fortalecer la experiencia teórica y práctica del proceso de enseñanza aprendizaje. CAPÍTULO I SISTEMAS Y SEÑALES. DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO Ejemplo btmxtxHty +== )())(()( btxtxmtytytxHtxHty btxtxmtxtxHty btmxtxHty btmxtxHty total 2))()(()()())(())(()( ))()(())()(()( )())(()( )())(()( 2121213 2121 222 111 ++=+=+= ++=+= +== +== Como puede apreciarse, el sistema es lineal sólo si b=0; esto es, si la recta pasa por el origen; de otro modo, es no lineal. Ejemplo Sea la ecuación diferencial 00 00 )0()(; :1 )()()()( yyxyuy dx dy nSi uxb dx udxbyxa dx ydxa nn n nn n ===+ = +=++ LL teyty teytytyty eteytyeeyty s tLsX s tLsX bienO nconvoluciódeteormaelpordXeeyty s sXysY sXsYyssY t T t tttt t tt += +=+= ++−=−+= ==== +=↔ + + = =+− − − −−−− −− −− ∫ 0 0213 0201 22211 0 )( 0 0 0 )( ;2)()()( ;1)(;1)( ;1))(()(;1))(()( .)()( 1 )()( )()()( µµ τττ Como puede verse, el sistema representado por la ecuación diferencial es lineal, si y sólo si las condiciones iniciales son nulas. Ejemplo. Sistema lineal y variante en el tiempo. )()( 2 tftty = Ejemplo. )(2))(()( txtsentxHty π== Prueba de linealidad. )()( )](2cos)(2)(2cos)(2[)]()([2)( )](2)(2[)()()( )(2)();(2)( 3 122121 21213 2211 tyty txtxsentxtxsenttxtxtsenty txsentxsenttytyty txtsentytxtsenty T T ≠ +=+= +=+= == πππππ ππ ππ El sistema es no lineal. Prueba de invariancia en el tiempo. Sea )(2)()( )(2))(( 000 00 ttxsentttty ttxtsenttxH −−=− −=− π π El sistema es variante en el tiempo. Ejemplo. )()( )](cos)()(cos)([)]()([)( )]()([)()()( )()();()( )())(()( 3 122121 21213 2211 tyty txtsenxtxtsenxttxtxtsenty tsenxtsenxttytyty ttsenxtyttsenxty ttsenxtxHty T T ≠ +=+= +=+= == == El sistema es no lineal. Ahora, probando la invariancia en el tiempo: )()()( )())(( 000 00 ttsenxtttty tttsenxttxH −−=− −=− Evidentemente, el sistema es variante en el tiempo. Ejemplo. )1()1()();1()1()( )1()1()( 222111 −−++=−−++= −−++= txtxtytxtxty txtxty )())()(()( )1()1()1()1()( 321 22113 tytxtxHty txtxtxtxty T =+= −−+++−−++= El sistema es lineal. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DISCRETOS. SISTEMAS DISCRETOS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO. Ejemplo )()( nnxny = Linealidad: )()()( 213 nnxnnxny += ))()(()( 21 nxnxnnyT += El sistema es lineal Invariancia en el tiempo: )())(( 00 nnnxnnxH −=− )()())( 000 nnxnnnny −−=− El sistema es variante en el tiempo. CAPÍTULO II INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE SEÑALES FUNCIONES PARES E IMPARES Es importante conocer el origen de la nominación par e impar. Por ejemplo, sean las siguientes funciones 32 ,,,)( tttktx = Aplicando el concepto de paridad, se tiene la siguiente tabla )(tx )( tx − Paridad k k par t t− impar 2t 2t par 3t 3t− impar Tabla. Paridad de las funciones, de acuerdo al exponente de la variable independiente. Si ahora se aplica este concepto a las funciones seno y coseno, se puede demostrar que el seno es una función impar, y el coseno, par. Yendo más allá todavía, si se desarrolla cada una de estas funciones por sus respectivas Series de Taylor, efectivamente cada una de ellas involucra sólo términos con potencias impares o potencias pares, respectivamente. Esto se estudiará más completamente en el tema de Series de Fourier. Finalmente, toda señal puede representarse como la suma de sus componentes par e impar; esto es )]()([ 2 1))(( )]()([ 2 1))(( txtxtximpar txtxtxpar −−= −+= Así, si se tiene que ))(((0)())(())((()( )()( txpartxtximpartxpartx txtx =+=+= −= Y si ))(()(0)( )()( tximpartxtx txtx =+= −−= TRANSFORMACIÓN DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE. El argumento de una señal puede variar en la siguiente forma 0ttn =+ βα Sea, por ejemplo, la función u(t)= )3(2)2()1()1()2( 12222 −−−−−++−+ −−−−− ttttt µµµµµ Se desea graficar, y además, analizarla para diferentes transformaciones del argumento. El programa de Matlab fundsom.m que se presenta a continuación, permite determinar diferentes transformaciones respecto al argumento de una función o señal. ***************************************************** %Señales fundamentales. %Desplazamiento de la variable independiente t. %Señal rampa adelantada en dos segs. clear figure(1) t=[-10:0.1:10]; for k=1:length(t) if t(k)<-2 ur1(k)=0; else ur1(k)=t(k)+2; end end subplot(2, 3, 1) plot(t, ur1, 'w-') title('ur1: rampa adelantada dos segs. ') grid %Señal rampa adelantada en un segundo. for k=1:length(t) if t(k)<-1 ur2(k)=0; else ur2(k)=t(k)+1; end end subplot(2, 3, 2) plot(t, ur2, 'w-') grid title('ur2: rampa adelantada un seg.') %Señal rampa atrasada en un seg. for k=1:length(t) if t(k)<1 ur3(k)=0; else ur3(k)=t(k)-1; end end subplot(2, 3, 3) plot(t, ur3, 'w-') grid title('ur3: rampa atrasada un seg. ') %Rampa atrasada en dos segs. for k=1:length(t) if t(k)<2 ur4(k)=0; else ur4(k)=t(k)-2; end end subplot(2, 3, 4) plot(t, ur4, 'w-') grid title('ur4: rampa atrasada dos segs. ') %Escalon atrasado en tres unidades. for k=1:length(t) if t(k)<3 ue(k)=0; else ue(k)=1; end end subplot(2, 3, 5) plot(t, ue, 'w-') grid title('ue: escalón atrasado tres segs. ') %Señal total ut: ur1-ur2+ur3-ur4-2ue. ut=ur1-ur2+ur3-ur4-2*ue; subplot(2, 3, 6) plot(t, ut, 'w-') grid title('Señal total ut: ur1-ur2+ur3-ur4-2ue') %Transformación de la variable independiente t: alfa tn+beta=t0. ab=input('alfa t+beta=t0: [a1 b1; a2 b2]=') figure(2) for k=1:2 alfa1=num2str(ab(k, 1)); beta1=num2str(ab(k, 2)); tn(k, :)=(t-ab(k, 2))/ab(k, 1); subplot(1, 2, k) plot(tn(k, :), ut, 'w-') title('u(alfa t+beta)') grid [x1, y1]=ginput(1) text(x1, y1, 'alfa=') [x2, y2]=ginput(1) text(x2, y2, alfa1) [x1, y1]=ginput(1) text(x1, y1, 'beta=') [x2, y2]=ginput(1) text(x2, y2, beta1) end Programa fundsom.m. Generación de una función con funciones fundamentales y variación del argumento tiempo. -10 -5 0 5 10 0 2 4 6 8 10 12 ur1: rampa adelantada dos segs. -10 -5 0 5 10 0 2 4 6 8 10 12 ur2: rampa adelantada un seg. -10 -5 0 5 10 0 2 4 6 8 10 ur3: rampa atrasada un seg. -10 -5 0 5 10 0 2 4 6 8 ur4: rampa atrasada dos segs. -10 -5 0 5 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ue: escalón atrasado tres segs. -10 -5 0 5 10 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Señal total ut: ur1-ur2+ur3-ur4-2ue Figura. Etapas de generación de la señal u(t)= )3(2)2()1()1()2( 12222 −−−−−++−+ −−−−− ttttt µµµµµ . Programa Matlab fundsom.m -10 -5 0 5 10 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 u(alfa t+beta) alfa= 1 beta= 0 -20 -10 0 10 20 30 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 u(alfa t+beta) alfa= -0.5 beta= 2 Fig. Señal u(t)= )3(2)2()1()1()2( 12222 −−−−−++−+ −−−−− ttttt µµµµµ con transformaciones del argumento. Programa Matlab fundsom.m FUNCIONES PERIÓDICAS FUNCIONES PERIÓDICAS CONTINUAS. Se dice que una señal es periódica si cumple con el siguiente algoritmo )()( ,...1,0);()( mNnxnx mmTtxtx += =+= Donde T es el período en segundos, de la función continua, y N para la discreta. De la misma forma como se analizan las señales fundamentales, puede hacerse con las sinusoidales. A continuación se presentan algunos ejemplos. 3 10 3 5 3 51 6 55.2 ;5.2; 6 5;0 6 5;1 ) 3 ()(3.4 3 5 6 10 1 6 55.2 ;5.2; 6 25 6 5 6 5 3 ;0 6 5 3 ;1 ) 3 ()(2.3 5525;5;0;0 ;;0;1 )cos()cos()(1 )()()(1.2 5; 5 22; 5 2coscos)(.1 00 00 0 0 0 0 =+−→−= − − ==== =−= +−= == − ===−=−=−== === += =−=→−=== − == =+=−= −=+= −=+= ===== Ttttt ba w txtx ttT w tt w ba w txtx Tttt a bttt tbatba wtbawttx txbatxtx T T wtwttx π π π π πππ En forma tabular, lo anterior queda como sigue 0t wt tx cos )( = t )( )(1 tx tx − = t ) 3 ( )(2 w tx tx π + = t ) 3 ( )(3 w tx tx π +− = 0 1 0 1 6 25 1 6 5 1 5.2 1− 5.2 1− 3 5 1− 3 10 1− 5 1 5 1 6 25 1 6 5 1 Tabla. Valores de la función x(t)=coswt, para diferentes transformaciones del argumento. A continuación se presenta un programa en Matlab que resuelve el problema de transformación del argumento. %Programa de análisis de funciones sinusoidales continuas y discretas. %x(t)=cos(awt+b). x(n)=cos(awn+b). clear 'Datos de la señal: Continua: ns=1; discreta: ns=0.' ds=input('[Naturaleza señal: ns Frecuencia angular: w Número de casos: n]='); ns=ds(1); w=ds(2); n=ds(3); % Período de la onda. T=2*pi/w; %Vector de tiempo: vt. if ns==1 vt=[0:0.1:T]; else vt=[0:T]; end 'Parámetros del argumento: A' A=input('[a11 a12; ... ; an1 an2]= '); %************************* %Análisis de los n casos. for cas=1:n xt(cas, :)=cos(A(cas, 1)*w*vt+A(cas, 2)); subplot(2, 2, cas) if ns==1 plot(vt, xt(cas, :), 'w-') title('f(t)=x(at+b)') else plot(vt, xt(cas, :), 'wo') title('f(n)=x(an+b)') end grid aa=num2str(A(cas, 1)); bb=num2str(A(cas, 2)); [x, y]=ginput(1) text(x, y, 'a=') [x, y]=ginput(1) text(x, y, aa) [x, y]=ginput(1) text(x, y, 'b=') [x, y]=ginput(1) text(x, y, bb) end Programa Matlab funpercd.m. Graficación de señales con diferentes transformaciones en el argumento. x(t)=coswt. w=2pi/5. x1(t)=x(-t); x2(t)=x(t+pi/3w); x3(t)=x(-t+pi/3w). Las gráficas resultantes se dan a continuación. 0 1 2 3 4 5 -1 -0.5 0 0.5 1 f(t)=x(at+b) a= 1 b= 0 0 1 2 3 4 5 -1 -0.5 0 0.5 1 f(t)=x(at+b) a= -1 b= 0 0 1 2 3 4 5 -1 -0.5 0 0.5 1 f(t)=x(at+b) a= 1 b= 0.8333 0 1 2 3 4 5 -1 -0.5 0 0.5 1 f(t)=x(at+b) a= -1 b= 0.8333 Fig. Resultados del programa funpercd.m para la función twtAtx 5 2coscos)( π== , para diversas transformaciones del argumento: ).()( batxtx +→ FUNCIONES PERIÓDICAS DISCRETAS. La periodicidad en los sistemas discretos también es un tema de interés. Se dice que una señal es periódica si cumple con lo siguiente. X(n)=x(n+mT); T=1, 2, … Donde T es el período de la función. De la misma manera que sucede en las funciones continuas, en las discretas también se presentan las transformaciones del argumento. A continuación se presentan algunos ejemplos. 6 5 6 25 1 3 5 ;5; 6 5 1 3;0 ) 3 ()(3.4 6 25 1 3 5 ;5; 6 25 6 5 6 5 1 3;0 ) 3 ()(2.3 ;5255;5;0;0 )()(1.2 5; 5 2 5 2 coscos)(.1 00 00 00 →−= − − === − −== +−= = − ===+−→−=−== += =+−→−==== −= == == wnnwnn w nxnx wnnTwnn w nxnx Tnnnn nxnx Tw nwnnx ππ π ππ π π π Estos resultados se pueden obtener con el programa Matlab funpercd.m, aplicado a sistemas discretos. Esto se muestra en seguida. 0 1 2 3 4 5 -1 -0.5 0 0.5 1 f(n)=x(an+b) a= 1 b= 0 0 1 2 3 4 5 -1 -0.5 0 0.5 1 f(n)=x(an+b) a=-1 b=0 0 1 2 3 4 5 -1 -0.5 0 0.5 1 f(n)=x(an+b) a=1 b= 0.8333 0 1 2 3 4 5 -1 -0.5 0 0.5 1 f(n)=x(an+b) a= -1 b= 0.8333 Fig. Función x(n) para diferentes transformaciones en el argumento, con base en el programa funpercd.m. FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA La función exponencial compleja es una función que resulta en diferentes operaciones matemáticas. Una de ellas es, por ejemplo, en la solución de ecuaciones diferenciales o en diferencias de segundo orden. Estas se conocen como exponenciales amortiguadas. A continuación se analizarán estas funciones. FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA CONTINUA Sea la función )()()( )(cos;;)( )()(cos 21 21 txtxeeAeeAtx jbbjsenBeBBeAAAetx tbjtbtjsenBj jjBt <=== +=+==== ++ θϕϕθ ϕθ ϕϕ Como puede verse, x(t) resulta ser el producto de una función exponencial real por otra exponencial compleja. A la exponencial real tbeA 1 se le denomina comúnmente, función envolvente, y es la que determina el desarrollo de la función total. A continuación se presentarán algunos ejemplos relativos a las diferentes combinaciones de exponenciales. Ejemplo )(cos)( 5.0;1;)( 5.0 tjsentetx jBAAetx t Bt ππ π += +−=== − Resolviendo para los principales valores de la función real, se tiene la siguiente tabla. t te 5.0− tπcos te t πcos5.0− 0 1 1 1 1 0.6065 -1 -0.6065 2 0.3678 1 0.3678 Tabla. Diferentes valores de la función . )(cos)( 5.0 tjsentetx t ππ += − El siguiente programa presenta el desarrollo de diferentes condiciones de la función exponencial compleja continua. ***************************************************** %Programa de funciones exponenciales complejas continuas y discretas. %x(t)=Aexp(Bt). x(n)=Aexp(Bn). clear %Naturaleza de la señal: Continua: ns=1. Discreta: 0. %Casos por analizar: cas. nsc=input('[Naturaleza cont.: 1 disc.: 0 Casos] '); ns=nsc(1); cas=nsc(2); %Formas exponenciales. A=input('exponencial A=/A/<A: '); aa=num2str(A); B=input('Exponencial B(1, k)=/B(1, k)/<B(1, k): [sig(1, 1)+jw(1,1 ) ...sig(1, n)+jw(1, n)] '); %Período mayor de x(t). for k=1:cas w(1, k)=imag(B(1, k)); sig(1, k)=real(B(1, k)); T(k)=2*pi/w(1, k); end TT=max(T); if ns==1 vt=[0:0.01:2*TT]; else vt=[0:2*TT]; end for k=1:cas bb=num2str(B(1, k)); xt(k, :)=A*exp(B(1, k)*vt); subplot(1, cas, k) %Se grafica sólo parte real de x(t). if ns==1 plot(vt, real(xt(k, :)), 'w-', vt, abs(A)*exp(sig(1, k)*vt), 'w-', vt, - abs(A)*exp(sig(1, k)*vt), 'w-') grid title('Real [x(t)=Aexp(Bt)]') else plot(vt, real(xt(k, :)), 'wo', vt, abs(A)*exp(sig(1, k)*vt), 'wo', vt, - abs(A)*exp(sig(1, k)*vt), 'wo') hold plot(vt, real(xt(k, :)), 'w-', vt, abs(A)*exp(sig(1, k)*vt), 'w-', vt, - abs(A)*exp(sig(1, k)*vt), 'w-') grid title('Real [x(n)=Aexp(Bn)]') end [c, d]=ginput(1) text(c, d, 'A=') [e, f]=ginput(1) text(e, f, aa) [g, h]=ginput(1) text(g, h, 'B=') [m, n]=ginput(1) text(m, n, bb) end Programa Matlab funexp.m para graficar funciones exponenciales complejas, continuas y discretas. 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Real [x(t)=Aexp(Bt)] A= 1 B= -0.5+3.142i 0 1 2 3 4 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Real [x(t)=Aexp(Bt)] A= 1 B= 0+3.142i 0 1 2 3 4 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 Real [x(t)=Aexp(Bt)] A= 1 B= 0.5+9.425i Fig. Gráficas del programa funexp.m, para la señal continua , para diferentes valores de A y B. BtAetx =)( FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA DISCRETA De la misma manera que se desarrollan las funciones continuas, se hace con las funciones exponenciales discretas. La forma general de la exponencial compleja discreta es: )()()( ;;)( θσσθ θ σ ++ == +=== wnjnnjwj jBn eeAeeAnx jwBeAAAenx Por supuesto que se sigue cumpliendo el concepto que existe en las exponenciales continuas: la componente neA σ también es la envolvente de la parte sinusoidal. Sin embargo, en el caso de las funciones discretas sucede algo que no se presenta en las continuas. Cuando a la función discreta se le varía la frecuencia en múltiplos de π2 : mπ2 , la función resultante es la misma. Esto se puede explicar como sigue: jwnnmwjw mnnjw jwnBn eee w mnx eAenx ===+ == ++ )2() 2( ))21(( )( π ππ Esto no sucede con las continuas, debido a que con cualquier variación de frecuencia, la función se modifica. O sea: mtjjwttmwj jwtBt eee w mtx eAetx πππ 2)2())21(( )( ==+ == + Donde se ve claramente que sólo para valores enteros de t corresponderían los valores de las dos funciones en cuestión. Los ejemplossiguientes pretenden aclarar este concepto. Sea el ejemplo siguiente, donde se utilizan diferentes funciones envolventes y frecuencias angulares. 4 9 32 1)2 4 ( 32 1;1) 4 ;1) 432 1;1) )(.1 πππ π π jjBAc jBAb jBAa Aenx Bn +=++== == +−== = 0 5 10 15 20 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Real [x(n)=Aexp(Bn)] A= 1 B= -0.03125+0.7854i 0 5 10 15 20 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Real [x(n)=Aexp(Bn)] A= 1 B= 0+0.7854i 0 5 10 15 20 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Real [x(n)=Aexp(Bn)] A= 1 B= 0.03125+7.069i Fig. Gráficas del programa funexp.m para la señal exponencial compleja discreta , para diferentes valores de A y B. BnAenx =)( En la figura anterior se puede ver que cuando se varía la frecuencia en un valor de π2 , la función sinusoidal interna sólo varía por el efecto de la envolvente, pero no su frecuencia original. Ahora bien, haciendo referencia a la función exponencial compleja continua de la figura correspondiente, cuando se varía su frecuencia en la misma cantidad, la función resultante es totalmente diferente a la original, lo cual era de esperarse. CAPÍTULO III REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS EN TIEMPO CONTINUO Ejemplo 1. Se tiene un circuito eléctrico RL con su ecuación de equilibrio 0);()()( ≥=+ ttvtRi dt tdiL A continuación se obtienen las diferentes soluciones del sistema. a) Respuesta de entrada cero. La ecuación diferencial está dada por 0)0();()()( 001 ≥==+ tyytxtyadt tdya f Donde RaLa Vtvtxtxtity f == ==== 01 )()()()()( La ecuación característica es 1 0 01 0 a a s y asa −= =+ La solución homogénea será 0)( 0)( 1 0 ≥= ≥= − − tCeti tCety t L R zi t a a zi La constante C se calculará cuando se tenga la respuesta total. b) Respuesta de estado cero, utilizando la respuesta al impulso. Para obtener la respuesta de estado cero, a partir de la respuesta al impulso, se aplica la condición inicial (completamente diferente a la condición real) tal que 0)( 1 0 ≥= − tkety t a a zi Laa ktke dt tyd N N t a a tN zi N 111)( 0 1 1 )( 1 1 1 0 ====→= − = = −− =− − τ τ τ τ τ Así 01)( 01)( 1 0 1 ≥= ≥= − − te L ti te a ty t L R zi t a a zi Ahora bien, )()()()( )()( ττττ −−=−=− = tutythth txtx zif f ∫∫ ∫ −−∞ ∞− ∞ ∞− =−−= −= t t L R zizs ffzs de L VdtutiVuti dthxty 0 )( )()()()( )()()( τττττ τττ τ Donde los límites se determinan por los escalones en cuestión. Así 0];1[)( ][)( 00 ≥−= == − −− ∫ te R Vti ee R Vdee L Vti t L R zs tL Rt L R t L Rt L R zs ττ τ Y la respuesta total del sistema es )()()( tititi zszi += 0];1[)( ≥−+= −− te R VCeti t L Rt L R Finalmente, sustituyendo la condición inicial 0)0( Ii = 0];1[)( 0 ≥−+= −− te R VeIti t L Rt L R Donde se aprecia la parte transitoria, aquella que depende del tiempo, y la parte permanente, aquella que es constante. Como puede verse, este método de obtención de la respuesta total del sistema, utilizando la respuesta al impulso, es bastante completo así como elaborado. Existen diversos métodos analíticos, entre ellos el de la Transformada de Laplace, misma que se realizará en seguida. Aplicando Transformada de Laplace, se tiene 0]1[)( ]1[)( )( )( 10 )( 1 ][)()( )( ))(( )())0()(( 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 00 1 1 0 1 01 0 1 0 1 0 01 01 0101 01 1 0 1 0 1 0 ≥−+= −+= −=−→+ + ==→ + = + ++=↔ + + = + + = +=+ =+− −− −− − te R VeIti e a VeIti a a a as a as a ass B a ass a ass A a as B s A a VeItisI a as sa VI asa s VIa sI s VIaasasI s VsIaissIa t L Rt L R t a at a a t a a La cual es, por supuesto, la misma solución. Ejemplo 2. Ahora se trata de un circuito RLC, donde la ecuación de equilibrio es . 5 112 2)0(1)0( 0);()(1)()( 00 0 FCHLR VvvAIi ttvdi C tRi dt tdiL cc t ==Ω= ==== ≥=++ ∫ ττ a) Transformada de Laplace. Se tiene 0);()(1)()( 0 ≥=++ ∫ ttVdiCtRidt tdiL t ττ 0;)()(1)()(2 2 ≥=++ t dt tdVti Cdt tdiR dt tidL Así )()()()()( 1012 2 2 txdt tdxbtya dt tdya dt tyda f==++ { } 2 0 2 12 2 1 2 0 2 12 0 2 1 0 2 1 00 2 0 2 12 2 1 0 2 1 0 2 1 00 01 2 2 10101002 01 2 2 10101002 000 101 2 2 10 )()()( 10 10)()( 10)(10)( )()()( )0()0()0( )]0()([)()]0()([])0()0()([ a as a as a b a as a as x a by a aysy sYsYsY a as a as a bx a by a aysy asasa bxbyaysyasY s tuLsX asasa ssXbxbyaysyasY yyyyxx xssXbsYayssYa dt dysysYsa zszi ++ + ++ −++ =+= ++ +−++ = ++ +−++ = == ++ +−++ = === −=+−+−− • • • • • − • −− −− − − La respuesta de entrada cero está dada por 4)1( 3)1( 52 2)( 4 02 02 02 :0 )()()()( ; :0)0( )( 22 0 0 0 102 0000102 0012 0 0 2 0 2 12 0 2 1 0 2 1 00 ++ −+ = ++ − = −= =++ =++ =++ =++ = =++ == ++ −++ = • • • • • • • s s ss ssY Así y RyL RyL aya xbvyaya tSi tvbtvatia dt tdia seaooriginalrencialinegrodifeecuaciónladecalculasey voltajedefuenteladeinicialcondiciónvx Si a as a as x a by a aysy sY zi c c zi 0]2 2 32)[cosexp()( ≥−−= ttsentttyzi Y la respuesta de estado cero: 02)exp(5)( ≥−= ttsenttyzs De esta manera, la solución total será =+= )()()( tytyty zszi 0]2cos22 7)[exp( ≥+− tttsent INTEGRAL DE CONVOLUCIÓN Anteriormente se analizó la ecuación integral: ∫ ∞ ∞− −= τττ dthxty )()()( De manera abreviada, también se representa como sigue: )(*)()( thtxty = Esta ecuación se denomina integral de convolución, y juega un papel muy importante en el análisis de señales. Así como es muy importante en el dominio el tiempo, también lo es en el dominio de Laplace. A continuación se obtiene su transformada. { } )()()( )()( )()()(;; )()( )()()()()( 00 00 0 0 00 sHsXsY duuhedxe duduhexesYdtdutu dtdthxe dtdthxedthxtyL sus sus st st = = ===−= −= −=−= ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∞ −∞ − ∞ −∞ − ∞ ∞ − ∞∞ −∞ ∞− ττ τττ τττ ττττττ τ τ Como puede apreciarse, en el dominio del tiempo tiene dos contextos, el primero, la forma analítica, y el segundo, la forma gráfica. A continuación se presentan algunos ejemplos, para mayor información. Ejemplo Se tiene un sistema continuo, cuya entrada y respuesta al impulso están dadas por )(2)();()( 1 3 1 tethttx t − − − == µµ a) Solución analítica. Esta solución está dada por =−= ∫ ∞ ∞− τττ dthxty )()()( 0);1( 3 22 3 0 )(3 ≥−= −−−∫ tede t t t ττ Lo anterior se basa en que , tanto la entrada como la respuesta al impulso se desarrollan con funciones escalón, con sus intervalos propios. Esto significa que los límites de integración serán desde donde comienza la entrada hasta donde termina la respuesta al impulso, convolucionada, en el sentido positivo del tiempo. b) Solución gráfica. Esta solución es más directa cuando las funciones de entrada y de respuesta al impulso son geométricas; esto es, con áreas fácilmente calculables, pues no es necesario realizar ninguna integración, sino sólo obtener el área de intersección entre la entrada y la respuesta al impulso. El programa cnv3.m siguiente proporciona esta solución. Sin embargo, es necesario analizar más a fondo este método. ***************************************************** %Análisis de Sistemas y Señales. SOM. Abril/08. %Integral de convolución. clear '************************************************' 'Datos de entrada.Para suministrar datos se utiliza la instrucción keyboard.' 'Sistemas continuos/discretos: scont: 1/0; tiempo: t, entrada x(t): xt; respuesta al impulso h(t): ht.' 'Ejemplo: scont=1; t=[-5:0.01:5]; xt=us(t)ht=2*exp(-3*t).*us(t); return.' '***********************************************' keyboard %************************************************ %Determinación de variación de t para cualesquier límites. vart=(t(length(t))-t(1))/(length(t)-1);%Gráficas de x(t) y de h(t). subplot(2, 3, 1) if scont==1 plot(t, xt, 'w-') else plot(t, xt, 'wo') end title('x(t)') axis([t(1) t(length(t)) min(xt) max(xt)*2]) grid subplot(2, 3, 2) if scont==1 plot(t, ht, 'w-') else plot(t, ht, 'wo') end title('h(t)') axis([t(1) t(length(t)) min(ht) max(ht)*2]) grid %Gráficas de x(tao) y de h(t-tao). tao=t; %Transformacion de la variable independiente. tao=> t-tao. if scont==1 t1=[-1.5 0 1.5]; else t1=[1]; end subplot(2, 3, 3) if scont==1 plot(tao, xt, 'w-') else plot(tao, xt, 'wo') end title('x(tao)') axis([t(1) t(length(t)) min(xt) max(xt)*2]) grid subplot(2, 3, 4) for k=1:length(t1) if scont==1 plot(t1(k)-tao, ht, 'w-') else plot(t1(k)-tao, ht, 'wo') end axis([t(1) t(length(t)) min(ht) max(ht)*2]) grid on hold on end title('h(t-tao)') %Cálculo de la convolución x(t)*h(t). Función conv. yzst=vart*conv(xt, ht); ymax=max(yzst); ymin=min(yzst); tconv=[2*t(1):vart:2*t(length(t))]; subplot(2, 3, 5) if scont==1 plot(tconv, yzst, 'w-') else plot(tconv, yzst, 'wo') end axis([t(1) t(length(t)) ymin ymax*2 ]) grid title('x(t)*h(t)') Programa cnv3. Solución de respuesta por integral de convolución. )(tyzs -5 0 5 0 0.5 1 1.5 2 x(t) -5 0 5 0 1 2 3 4 h(t) -5 0 5 0 0.5 1 1.5 2 x(tao) -5 0 5 0 1 2 3 4 h(t-tao) -5 0 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 x(t)*h(t) Fig. Gráficas de respuesta de la integral de convolución. Ejemplo: . Programa cnv3.m. )(2)();()( 131 tethttx t −−− == µµ Como puede verse en la figura anterior, la respuesta al impulso, h(t-tao), se traslapa con la entrada solamente cuando el lado vertical es mayor que cero; o sea −∞→∞→== −==+→=− ττττ τττβατττ ::0 00 000 t tt Esto indica que h(t-tao) está en el intervalo ],( t−∞ , y por tanto, el área de traslape con la entrada está en . Finalmente, el área se calcula con la misma integral del método analítico. ],0[ t A continuación se presentan otros ejemplos, para mayor información al respecto. Ejemplo. -5 0 5 0 0.5 1 1.5 2 x(t) -5 0 5 0 0.5 1 1.5 2 h(t) -5 0 5 0 0.5 1 1.5 2 x(tao) -5 0 5 0 0.5 1 1.5 2 h(t-tao) -5 0 5 0 0.5 1 1.5 2 x(t)*h(t) Fig. Respuesta de la integral de convolución por el método gráfico. ).2()1()();1()()( 1111 −−−=−−= −−−− ttthtttx µµµµ Programa cnv3.m. En este problema se aprecia que tanto x(t) como h(t) son funciones fáciles de integrar, lo que permite una solución más directa. Así 2:21:1 1 00 0 0 00 −==−== −= − − ==+→=− tt ttt ττττ ττττβατττ Siguiendo el sentido positivo del eje τ , el traslape de )( τ−th con )(τx comienza con el lado 1−= tτ y termina con el de 2−= tτ . Esto indica que el área sólo existe en dos condiciones, a saber: ttÁrea ttt ttÁrea ttt −=−−= <<<−<<<− −=−= <<<−<−<< 3)1)(2(1( 32;120;12 1)1)(1( 21;110;10 τ τ De esta manera, la gráfica final quedará dada por los intervalos de t y por las rampas así indicadas por las áreas. Ejemplo. Se hace referencia con el circuito RL, anteriormente visto, donde se tenía )()()( )( )()()( 10 1 0 1 1 0 0 01 01 sIsIsI LaRa a asa sV a as I asa sVIasI zszi += == + + + = + + = Ahora bien, tomando en cuenta que la respuesta al impulso es, precisamente, la relación de la entrada V(s), con la salida I(s) , con condiciones iniciales nulas, se tiene que 0;)(;1)( 1)( )( 1 )( )()( 1 0 1 1 0 1 ≥== =↔ + == − − tVtve L th e a th a asasV sIsH t L R t a a Así las cosas, la solución por integral de convolución será 0);1()1()( 0 )( ≥−=−== −−−− ∫ teR Ve R Le L Vde L VtI t L Rt L Rt L R t t L R zs τ τ Ejemplo. Ahora, un sistema de segundo orden. Sea el ejemplo del circuito RLC anterior, donde )(10)( 1 ttx −= µ 0);2 2 12(cos)( 4)1()( )()( 1;1;2;5;)()( 2 1210 01 2 2 1 ≥−=↔ ++ == ==== ++ = − ttsenteth s s sX sYsH baaa asasa ssXbsY t Aplicando el método gráfico se tiene -5 0 5 0 5 10 15 20 x(t) -5 0 5 0 0.5 1 1.5 2 h(t) -5 0 5 0 5 10 15 20 x(tao) -5 0 5 0 0.5 1 1.5 2 h(t-tao) -5 0 5 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x(t)*h(t) Figura. Respuesta de entrada cero de un sistema de segundo orden. Programa cnv3.m. .0);25.02(cos)();(10)( 1 ≥−== − − ttsentethttx tµ Analizando las ecuaciones anteriores, se aprecia que la salida del sistema puede obtenerse a partir de la función de transferencia, la cual es la relación salida a entrada, con condiciones iniciales iguales a cero. Así )()()(; )( )()( sXsHsY sX sYsH == La última expresión está dada también por la integral de convolución; o sea ∫ ∞ ∞− ↔−= )()()()()( sHsXdthxtyzs τττ Lo cual confirma lo visto anteriormente. Así las cosas, regresando al método gráfico, se ve que la respuesta de estado cero )(tyzs Existe solamente en −∞→∞→== −==− ττττ ττττ :;:0 ; 00 00 t tt Así, los límites de integración serán t≤≤τ0 , por lo que ∫ −−−= −− t t zs dtsentety 0 )( ))(25.0)(2(cos10)( ττττ Aplicando transformada de Laplace: − ++ + = 4)1( 110)( 2s s s sYzs 4)1( 25 2 ++ss = 4)1( 10 2 ++s 0;25)( ≥= − ttsenety tzs Misma que se había obtenido antes. ESTABILIDAD DE SISTEMAS CONTINUOS La estabilidad de un sistema dinámico se basa en las dos siguientes condiciones. a) Un sistema es estable si y sólo si su respuesta es acotada, cuando se le alimenta una señal acotada. b) Se dice que un sistema es estable, cuando a pequeñas variaciones de su entrada, corresponden pequeñas varia ciones en su salida. La estabilidad de un sistema puede analizarse por diferentes métodos, a saber Integrabilidad absoluta de la respuesta al impulso. Criterio de Routh. Criterio de Nyquist. Criterio de Nichols. En este documento se abordarán solamente los dos primeros. Los restantes se dejan para estudios posteriores. INTEGRABILIDAD ABSOLUTA DE h(t). Anteriormente se estudio la integral de convolución, como ∫ ∞ ∞− −= τττ dthxty )()()( Ahora, como valor absoluto, se tiene ∫ ∞ ∞− −≤ τττ dthxty )()()( Y si la entrada está acotada en M Mtx ≤)( ∫ ∞ ∞− ≤ ττ dhMty )()( ∫ ∞ ∞− ∞<↔∞< ττ dhty )()( Así, pues, un sistema es estable sí y sólo si su respuesta al impulso es absolutamente integrable. Ejemplo Sea el ejemplo anterior, tal que )(2)();()( 1 3 1 tethttx t − − − == µµ Obteniendo la integral absoluta de , se tiene )(th ∫ ∞ ∞− =ττ dh )( 3 2]10[ 3 2] 3 2[2 0 3 0 3 =−−=−= ∞− ∞ −∫ ττ τ ede Lo cual indica que se trata de un sistema estable. Esto se puede verificar en el estudio anterior de la integral de convolución, donde se aprecia que 3 2)( ≤tyzs . CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH. Este criterio establece que todo polinomio posee tantas raíces con parte real positiva, como cambios de signo se realicen en la primera columna de un arreglo respectivo. A continuación se explica esto. Sea el polinomio 0...)( 0 1 1 =++= − − asasasF n n n n El arreglo de Routh es tal que, para n=4: 00 00 00 0 0 0 3 4123 301 3 4123 3 403 3 41232 13 3 024 4 as a aaaa aaa a aaaa s a aaa a aaaas aas aaas − − − −− Así pues, si este polinomio representa la ecuación característica del sistema en estudio, este sistema será estable si la primera columna del arreglo de Routh no posee ningún cambio de signo. Sin embargo, puede suceder que existan sistemas donde el arreglo de Routh no puede construirse de manera directa. Esto sucede cuando algún elemento de la primera columna del arreglo es igual a cero, o bien, toda un renglón es igual a cero. Estos casos se denominan casos particulares, pero se dejará su estudio para programas de Ingeniería de Control posteriores. A continuación se dan algunos ejemplos básicos. Ejemplo. Sea el sistema del cicuito RLC anterior, donde 0);2 2 12(cos)( 4)1()( )()( 2 ≥−=↔++ == − ttsenteth s s sX sYsH t Aplicando el Criterio de Routh: 05 02 51 052)( 0 2 2 s s s sssF =++= Como puedeapreciarse, la primera columna no posee ningún cambio de signo, y por tanto, la ecuación característica no posee ninguna raíz con parte real positiva. Esto se verifica con las raíces del polinomio característico, las cuales están en js 21 2 2042 ±−= −±− = Esto significa que todas las componentes de la salida son estables, por estar en el semiplano izquierdo de s, y por tanto, así lo es el sistema. CAPÍTULO IV REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO. Los sistemas discretos tienen una máxima importancia, actualmente, por todo el campo que ha sido abierto por la computación digital. La discretización de sistemas continuos proporciona una operación con suficientes ventajas, lo cual ha conducido al análisis y diseño con transformaciones adecuadas. De la misma manera en que se pueden manejar los sistemas continuos con la transformada de Laplace, también se puede hacer con la transformada discreta z. Así pues, en lo que sigue se tratará la transformada z con su definición, teoremas y aplicaciones. LA TRANSFORMADA Z COMO RESULTADO DE LA MODULACIÓN POR IMPULSOS. Físicamente, la transformada z de una función continua proviene de una modulación por impulsos, proceso por el cual se llega a lo siguiente )(tf ∑ ∞ = −= 0 )()( k kzkTfzF Así pues, la transformada z de una función se desarrolla en forma muy similar a la transformada s de Laplace, sólo que en el dominio de las variables discretas. A continuación se presenta una tabla de trasformadas en z, así como sus principales teoremas. m mn aTat n az za m wTzz wTzz ws s wt wTzz zsenwT ws w senwt ez z ase az z a z Tz st z z s t zFsF t tf )()!1( 2)m-1)...(n-n(n 1cos2 )cos( cos 1cos2 1 )1( 2 )( 1 1)( 1 )( 1 )( )( )( 1 222 222 22 2 1 0 −− + +− − + +−+ − − − − +− ±± − − m µ µ µ )()()(*)( 1)()1()( )()0( ])()([)( )()( )()( )()( )()()()( 1 1 0 zGzFtgtf zzFzlímf zzlímFf zkTfzFznTtf zFznTtf dZ zdFzttf zeFtfe zbGzaFtbgtaf zdatransformadeTeoremas n k kn n aTat →−∞ ∞→ −+ − − ++ − − = − − ± ∑ m Tabla. Transformadas z y teoremas principales. MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN DE SISTEMAS CONTINUOS. La discretización de sistemas continuos puede realizarse a través de diferentes métodos, a saber Métodos de integración. Métodos de retención. Métodos de transformación. La tabla siguiente muestra los diferentes métodos de discretización de sistemas continuos. En este documento sólo se tratará el método de integración. Los otros dos se destinan a estudios más avanzados, por ejemplo, Análisis y Síntesis de Control Digital. a) Métodos de integración. De manera muy general, los metodos de integración se basan en la integración de una función continua. Por definición, la integral de una función es el área bajo la misma función. El método recibe un nombre, según el área que se considere. Así, se tienen Método rectangular hacia atrás. Método rectangular hacia adelante. Método trapezoidal. Método rectangular hacia atrás. En este caso, el área bajo la curva se compone de dos segmentos, uno que se mide desde el origen, hasta donde empieza el rectángulo. La segunda área está dada por el rectángulo, en dirección hacia atrás, comenzando en el lado final del rectángulo, donde la función f(t) se convierte en f(kT), hasta el punto donde termina la primera área. Para mayor información, sea el siguiente ejemplo. Ejemplo. 11 1 11)( )( )]()([)()( .)]()([)()( )())()(()( 1 1)( )( )( .);()()( );()()( 1 1 0 0 + − = +− = +− = −+= −+−= → =−= + == =+ =+ − − ∫ ∫ Tz zTzz Tz Tz T zX zY TzYzXzYzzY sdiferenciaenEcuaciónTkTykTxTkTykTy kTtSi tydttytxtdy s sH sX sY ceroaigualesinicialessCondicionesXsYssY txty dt tdy t t Si se comparan las dos funciones de transferencia, se concluye que la 1)( 1)( 1 + ↔ zH sH . O sea, la s de la transformada de Laplace se transforma en Tz zzH 1)(1 − = . Esto se puede generalizar como se muestra en la siguiente tabla. Método: Por integración Transformada s Transformada z Rectangular hacia a tras (RHAT) )(sH Tz zssH 1)( −→ Rectangular hacia a delante (RHAD) )(sH T zssH 1)( −→ Trapezoidal (TRAP) )(sH )1( )1(2)( + − → zT zssH Tabla. Tabla de discretización por integración. De acuerdo con esto, una función continua puede discretizarse, quedando ésta, finalmente, tan aproximada como el método lo permita. A continuación se presentan algunos ejemplos relativos. Ejemplo. Sea el mismo sistema de primer orden mencionado en el análisis anterior. Discretizando por los tres métodos de integración, se tiene 0;) 3 1( 3 1) 3 1( 3 1)(; 3 1 1 3 1 13 1 1 )1( )1(2 1)(:.) 1);1()(; 11 1)(:.) 0;) 2 1( 2 1)(;1; 2 12 1)( 1211 1)( )( )(:) 0;)( 1)()(; 1 1)( )( )( 1 1 ≥+= − + = − + = + + − = =−== + − = ≥== − = − = + − == ≥= =∆= + == − − − kky z z z z zT zzHTRAPMc kkkyz T zzHRHADMb kkyT z zzH z z Tz zzHzU zYRHATMétodoa tety ssU s sH sU sY kk k t δ Analíticamente hablando, la aproximación más apropiada para este caso se ve en la tabla siguiente Método RHAT RHAD TRAP k y(k) y(t) 0 0.5 0 0.333 1 1 0.25 1 0.444 0.367 2 0.125 0 0.148 0.135 3 0.0625 0 0.049 0.049 Tabla. Solución discreta de la ecuación diferencial )()()( txty dt tdy =+ , por métodos de integración. SUMATORIA DE CONVOLUCIÓN De la misma manera en que se obtuvo la respuesta de estado cero de un sistema continuo, también puede hacerse para un sistema discreto. En la ecuación que sigue, x es la señal de entrada y h es la respuesta al impulso. Así ),()()( ))(()())()(())(()( )()()( ∑ ∑∑ ∑ ∞ −∞→ ∞ −∞→ ∞ −∞→ ∞ −∞→ = −=−== −= m zs mm zs m mnhmxny mnHmxmnmxHnxHny mnmxnx δδ δ Esta ecuación es para todo sistema. Sin embargo, dado que los sistemas que se presentan en este documento se refieren a los causales, lineales e invariantes en el tiempo, es conveniente obtener la ecuación respectiva. Así, se tiene ∑ = −= n m zs mnhmxny 0 )()()( Esta sumatoria puede expresarse en dominio z como sigue )()()( )()()()( )()()()()( 000 000 0 zHzXzY zuhzmxzuhmx umn zmnhmxzmnhmxzY zs u um mmu mum n nmn n m zs = = =− −=−= − ∞ = ∞ = −−− ∞ −= ∞ = − ∞ = ∞ = ∞ = − ∞ = ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ De esta manera sucede que la sumatoria de convolución en z también es el producto de las trasnformadas respectivas. SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS. Una ecuación en diferencias para un sistema causal, lineal e invariante en el tiempo está dada por )()()( 00 nxmnxbmnya f M m m N m m =+=+ ∑∑ == Donde indica el orden del sistema. MN ≥ Al igual que en los sistemas continuos, la solución general del sistema se compone de la de entrada cero y de la de estado cero; o sea )()()( nynyny zszi += Su solución también se obtiene por diversos métodos, algunos de los cuales se tratarán aquí. Ejemplo. Se tiene el sistema discreto )1()2()(2)1(3)2( +++=++++ nxnxnynyny Condiciones iniciales iguales a cero. a) Respuesta de entrada cero. 0)( =nyzi b) Respuesta de estado cero, para . 0)2()( ≥−= nnx n Aplicando la transformada z, se tiene +−∑ = − ])()([ 1 0 2 n nznyzyz )(2])()([3 0 0 zyznyzyz n n +−∑ = − = +−∑ = − ])()([ 1 0 2 n nznxzxz ])()([ 0 0 ∑ = −−+ n nznxzxz Si las condiciones iniciales son iguales a cero, se tiene la respuesta de estado cero. Así +)(2 zyz )(2)(3 zyzzy + = +)(2 zxz )(zzx )( 2)2)(1( )1( )( )( zH z z zz zz zx zy = + = ++ + = De este modo, la respuesta al impulso será 0)2()( ≥−= nnh n Y la respuesta de estado cero será 2 2 )2( )( )()()( + = = z zzy zxzHzy 0)2)(1()( )2()( )!1( )2)...(1( )( )2( )( )1(1 )1( 2 1 ≥−+↔ −↔ − +−− ↔ − + = −− +− − nnzy nzyz m amnnn az z z zzyz n zs n mn m Ejemplo. 0; 2 )1()1()( 2 )1( )1( )( )()!1()2)...(1( )(])()([)]1([)( )1( )( )1()1(1)1( )()()( 1 )( )( )( 0);()();()( 3 1 0 0 3 33 2 2 ≥ + =+= − ↔ − = − ↔ − +−− =−=+= − = − = − = −− == − == ≥== +− = −∑ nnnngny nn z zzG az za m mnnn zzGznfzGzngZzY z zzG z zz z z z z z zzHzXzY z zzH zX zY nnunhnnunx m mn n n Es interesante analizar la aproximación de los sistemas continuos, utilizando la transformada z. Anteriormente se resolvieron sistemas continuos, empleando el concepto de integral de convolución, en formas analítica y gráfica. Ahora se expondrá este concepto, aplicando la sumatoria de convolución. Ejemplo Sea el ejemplo anterior 0);()();()( ≥== nnunhnnunx . A continuación se presentan las gráficas correspondientes. -5 0 5 0 2 4 6 8 10 x(t) -5 0 5 0 0.5 1 1.5 2 h(t) -5 0 5 0 2 4 6 8 10 x(tao) -5 0 5 0 0.5 1 1.5 2 h(t-tao) -5 0 5 0 5 10 15 20 25 30 x(t)*h(t) Figura. Gráficas de la solución por sumatoria de convolución. . Programa cnv3.m. 0);()();()( ≥== nnunhnnunx 0.0 mmnt =−→=− ττ . Analizando, se tiene nm mmnmm mnmmmmmn ≤≤ −∞→∞→== −==+→=− 0 ::0 00 000 βα Así ∑ = −= n m zs mnhmxny 0 )()()( ...:1043210)0()4()1()3()2()2()3()1()4()0( ;63210)0()3()1()2()2()1()3()0(;3210)0()2( )12()1()02()0(;110)0()1()01()0(;0)00()0(:)( =++++=++++ =+++=+++=++=+ +−+−=+=+−=− hxhxhxhxhx hxhxhxhxhx hxhxhxhxhxnyzs O sea ...106310)( ...43210 ny n zs ESTABILIDAD DE SISTEMAS DISCRETOS Cuando se estudiaron los sistemas continuos se estableció la condición necesaria y suficiente para lograr la estabilidad de un sistema. Esta era la de la integrabilidad absoluta de la respuesta al impulso. En el caso discreto se tiene ∑ ∑ ∞ −∞→ ∞ −∞→ ≤ ∞<≤ −= m m mhMny Mnx mnhmxny )()( )( )()()( Entonces, si ∞<→∞<∑ ∞ −∞→ )()( nymh m Esto última da la pauta para concluir que los sistemas discretos serán estables, si y sólo si la respuesta al impulso es absolutamente sumable, lo cual concuerda con el concepto asentado en los sistemas continuos. Ejemplo. Se tiene un sistema tal que )()();()( 11 nnhnnx −− == µµ ∑ ∞ −∞→ ∞→++= m mh ...11)( Lo cual indica que se trata de un sistema inestable. Ejemplo. 0);()();()( ≥== nnunhnnunx ∑ ∞ −∞→ ∞→++= m mh ...11)( Por lo tanto, también es inestable. Ejemplo. 0)2()( ≥−= nnh n ∑ ∞ −∞→ ∞→++−+−= m mh ...168421)( El sistema es inestable. Tomando como referencia, ahora, el plano s de la Transformada de Laplace, se puede llegar a una equivalencia en el plano z. A continuación se procede al análisis. Anteriormente se vio que los sistemas en el plano s se desarrollan de modo tal que .:0)Re( .:0)Re( .:0)Re( establetecríticamensistemas inestablesistemas establesistemas > = < Ahora se trata de encontrar el equivalente de estabilidad, utilizando la transformada z. Esto puede hacerse con la transformación . sTez = -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Plano s: s=sigma+jw -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 Plano z: z=real(z)+jimag(z) Figura. Gráfica de relación de estabilidad entre los planos s y z. La transformación es para . sTez = Como puede verse en la Figura anterior, la relación de estabilidad entre los planos s y z es evidente, a saber 10)Re(.10)Re(.10)Re( >↔>=↔=<↔< zszszs . Sin embargo, del mismo modo que sucedía en los sistemas continuos, la mayoría de las veces no se pueden ubicar, de manera inmediata, los polos del sistema. Es aquí donde interviene el estudio de la teoría de los sistemas dinámicos. La ingeniería de Control considera este concepto. Como se dijo antes, un sistema puede operar en dos modos de conexión, a saber, malla abierta y malla cerrada, dependiendo si existe o no retroalimentación. La teoría de Sistemas de Control establece la estabilidad de los sistemas para la conexión en malla cerrada. En este contexto se puede referir al Criterio de Estabilidad de Routh, para sistemas continuos, y el Criterio de Estabilidad de Jury, para los discretos, hablando de manera muy general. Así pues, en seguida se procederá a analizar el Criterio de Estabilidad de Jury. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE JURY Este criterio se basa en un arreglo matricial, el cual se forma con base en la ecuación característica como sigue )(zF Sea 0...)( 0 =++= nn azazF Para mayor simplificación, considérese el orden del sistema como n=3. Así a) Arreglo de Jury. 3210Re zzzznglón 01231 aaaa 30 03 2 aa aa b = 20 13 1 aa aa b = 10 23 0 aa aa b = 3 012323 bbbn −= 2102 aaaa Tabla. Arreglo de Jury para sistema de tercer orden. c) Condiciones de estabilidad. Son las siguientes. ....4 0 0 )1(.3 0)1(.2 .1 2010 0 −− << ⎩ ⎨ ⎧ < > − > > nn n ccbb imparn parn F F aa Es también necesario asentar que tanto el Criterio de Routh como el Criterio de Jury poseen casos particulares; esto es, aquellos casos en que no puede terminarse de construir el arreglo respectivo. Sin embargo, estos casos se dejan para un estudio posterior. Enseguida se presentan algunos ejemplos para reafirmar los conceptos. Ejemplo. Se tiene el sistema de segundo orden, dado por el circuito RLC anterior, donde 52 )( )( )( 2 ++ == ss ssH sX sY Aplicando uno de los métodos de discretización vistos anteriormente, por ejemplo, el método rectangular hacia atrás, se tiene 0125.05.0)( 125.05.0 )1(125.0 52212 )1( 5)1(2)1( 1 )( 1)( 2 2222 2 =+−= +− − = +−++− − = + − + − − = − = zzzF zz zz zzzzz zz z z z z z z zH z zzHRHT Aplicando el Criterio de Jury, se tiene a)Arreglo. No es necesario, pues no se requiere calcular un tercer renglón: 2n-3=1. b) Condiciones de estabilidad. ..4 ..0625.1)1( .;0)1(.3 ..0625.0)1( 0)1(.2 ..125.01 .1 0 necesarioesNo CumpleF parnF CumpleF F Cumple aa n >=− >− >= > > > De acuerdo con lo anterior, esl sistema en cuestión es estable. Esto se puede verificar al comparar la gráfica de h(t) obtenida anteriormente, la cual se observa que tiende a cero; esto es, su área es finita. *Ejemplo. Se tiene la ecuación característica 02.025.08.0)( )8.0)(5.0)(5.0( )]8.0)(5.0()8.0)(5.0()5.0)(5.0[()8.05.05.0()( 0)8.0)(5.0)(5.0()( 234 234 =+−−= −−+ +−−+−+−+−−+= =−−+= zzzzzF z zzzzF zzzzzF El arreglo de Jury es 4320 zzzzzR 09.075.096.05 18.025.02.04 2.025.08.013 02.025.08.012 18.025.02.001 −− −− −− −− −− 1 01 10 3 −==b 8.02.01 8.00 2 = − =b 25.0 25.01 25.00 1 =− − =b 2.0 8.01 2.00 0 −=− =b 96.0 12.0 2.01 2 =−− −− =c 75.0 8.02.0 25.01 1 −=− − =c 09.0 25.02.0 8.01 0 −=− − =c Las condiciones de estabilidad son Cumple cc Cumple bbd CumpleF parnFc CumpleF Fb Cumple aaa n n n 96.009.0 12.0 ) 035.1)1( :0)1() 015.0)1( 0)1() 2.01 ) 20 10 0 < < < < >=− >− >= > > > − − De esta manera se determina que el sistema es estable. La comprobación está en que todas las raíces de F(z) efectivamente están dentro del círculo unitario. SERIES DE FOURIER INTRODUCCIÓN Fundamentalmente, la Serie de Fourier puede aplicarse en la solución de sistemas en tiempo continuo, al igual que se hizo con la Transformada de Laplace, partiendo de una ecuación diferencial y obteniendo una operación del tipo algebraico que simplifica considerablemente el esfuerzo matemático. La teoría principal sigue a continuación. Anteriormente se estudió la integral de convolución como ∫ ∞ ∞− −= τττ dtxhtyzs )()()( Si la entrada es exponencial, , se conoce como función propia del sistema. Si además, el sistema es estable, y si es válida en , se tiene )()( 1 tetx jwt −= µ )(th 0≥t ∫ ∞ − − −= 0 1 )( )()()( ττµτ τ dtehty tjwzs Dado que t≤τ : ∫ −= t tjw zs dehty 0 )()()( ττ τ ∫ ∞ −= 0 )()( ττ τ deh tjw ∫ ∞ −− t tjw deh ττ τ )()( )()()( 0 )( tydehty p tjw zs == ∫ ∞ − ττ τ Donde la integral con límites ∞<≤τt tiendea cero, debido a la estabilidad del sistema. De acuerdo con esto, siendo cero la respuesta transitoria, la respuesta final será sólo de estado permanente, . )(ty p Finalmente, se tiene )()()( 0 tydehety p jwjwt p == ∫ ∞ − ττ τ Como puede verse, la integral en cuestión es precisamente la transformada de Laplace de , cuando )(th jws = . Así jws jwt p sHety == )()( A la función de transferencia así evaluada se le denomina valor propio del sistema. ANÁLISIS DE SERIES DE FOURIER DE SEÑALES PERIÓDICAS CONTINUAS En este punto se iniciará uno de los temas más importantes en el análisis de señales y sistemas: La Serie de Fourier. Ella tiene aplicación en la obtención de ecuaciones de señales periódicas, así como en la obtención de la respuesta en estado permanente de los sistemas. ECUACIÓN DE SÍNTESIS O SERIE EXPONENCIAL DE FOURIER Primeramente, se retomará un concepto visto anteriormente, como es el de desarrollar una señal de entrada en una sumatoria infinita )()( 2 1 2 1)cos()( )()()( θθθ +−+ = +=+= = wtjwtj jwsp eewttx sHtxty jwtjwtjwtjjwtj eaeaeeee 112 1 2 1 +=+= −− −− θθ Donde se tiene ∗ − − === 111 2 1 aconjugadoaea jθ En forma general ∑ ∞ −∞→ = k jkwt k eatx )( Esta ecuación se conoce como la Ecuación de Síntesis o Serie Exponencial de Fourier. Los coeficientes son los coeficientes espectrales o coeficientes de la Serie Exponencial de Fourier. ka La salida del sistema, , o simplemente, , está dada por )(typ )(ty ∫ ∞ ∞− −= τττ dtxhty )()()( = =∑∫ ∞ −∞→ −∞ τττ dhea k tjkw k )( )( 0 ∑ ∞ −∞→k jkwt kea ∫ ∞ − 0 )( ττ τdeh jkw jkwsssHsH esHaty kk k jkwt kk =→= = ∑ ∞ −∞→ |)()( )()( Donde se aprecia que existe una respuesta al impulso para cada frecuencia. Ejemplo. Sean 01 2 02 11 0012 2 2 1)( :1 2 1 2 1cos)( )()()()( asas sH baSi eaeaeewttx txbtya dt tdya dt tyda jwtjwtjwtjwt ++ = == +=+== =++ − − − Ahora θθθ jj jwtjwt k jkwt kk ejwHjwHejwHjwHjwH wwa wa awwaajwaw jwH jwHeajwHeaesHaty − − − − ∞ −∞→ =−=<= − < +− = ++− = +−== ∑ )()(;)()()( tan )( 11)( )()()()( 2 0 11 2 1 22 001 2 11 )( 1 )( 1 )()()( θθ ++− − += wtjwtj ejwHaejwHaty Ahora, sustituyendo los valores de los coeficientes , se tiene, finalmente 11 aya− )cos()()( θ+= wtjwHty Este resultado proporciona una información muy valiosa, pues se observa que la respuesta final del sistema, de estado permanente, es precisamente el producto de las amplitudes y la suma de los ángulos de la señal de entrada y la función de transferencia, para cada frecuencia que opera en el sistema. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES ESPECTRALES Los coeficientes espectrales se calculan del siguiente modo Sea la siguiente integral en un período T ∫ =− T jmwtdtetx 0 )( dtea k wtmkj T k∑ ∫ ∞ −∞→ − )( 0 ∫∫ ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = =−+−=− TT wtmkj mk mkT dtwtmkjsenwtmkdte 00 )( 0 ])()[cos( Esto debido a que la integral en un ciclo completo de una función seno o coseno es igual a cero. Entonces Tadtetx m T jmwt∫ =− 0 )( ∫ −= T jkwt k dtetxT a 0 )(1 Esta ecuación de los coeficientes espectrales se denomina Ecuación de Análisis. SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER A continuación se presenta la Serie Exponencial de Fourier en términos de senos y cosenos. Se tiene +== ∑ ∞ −∞→ 0)( aeatx k jkwt k ∑ ∞ = − −+ 1 ][ k jwt k jkwt k eaea ∑ ∞ = − ∗ ++= 1 0 ][ k jwt k jkwt k eaeaa Donde se supone que . Ahora, si kk aa − ∗ = kj kk eAa θ= Entonces ∑ ∞ = ++= 1 0 )cos(2)( k kk kwtAatx θ Esta ecuación es la Serie de Fourier de Cosenos. Ahora, si ∫ −= T jkwt k dtetxT a 0 )(1 = ∫ − T dtjsenkwtkwttx T 0 ))[cos(1 ∫= T k ykwtdttxT B 0 cos)(2 ∫= T k senkwtdttxT C 0 )(2 kkkk ajCBa − ∗ =−= )( 2 1 Entonces ∑ ∞ = − ∗ ++= 1 0 ][)( k jkwt k jkwt k eaeaatx ∑ ∞ = −++−+= 1 0 ])(2 1)( 2 1[ k jkwt kk jkwt kk ejCBejCBa ∑ ∞ = −− −−++= 1 0 )](2 1)( 2 1[ k jkwtjkwt k jkwtjkwt k eejCeeBa += 2 )( 0Btx ∑ ∞ =1 cos k k kwtB ∑ ∞ = + 1k k senkwtC Ecuación conocida como la Serie Trigonométrica de Fourier. CONDICIONES DE DIRICHLET Estas condiciones determinan si una función puede o no ser representada por la Serie de Fourier. Éstas son • Integrabilidad absoluta en cualquier período. •Número finito de máximos y mínimos en un intervalo de tiempo finito. •Discontinuidades finitas en número, en un intervalo finito de tiempo. Ejemplo Se tiene una señal cuadrada con magnitud unitaria, período T=4 segundos y duración 2 segundos. Obtener a) Los primeros diez coeficientes espectrales, y la Serie de Fourier de cosenos. También la Serie Trigonométrica de Fourier. Solución La descripción de la señal de entrada es como sigue. A lo largo del período T se tiene ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ <≤ <≤ <≤ = 431 310 101 )( t t t tx Pero también ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤− = TenvalorOtro t tx 0 111 )( Así 2 24 ππ === T wT ∫ −= T jkwt k dtetxT a 0 )(1 ∫ − = 1 1 0 1 dt T a = 2 1)2(1 = T +−= − − 1 1] 1[ 4 1 jkwt k ejkw a 2 1][ 4 1 π π senk k ee kwj jkwjkw =−−= − ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = park imparksenk kak 0 2 1 π π Por lo que L3311 3 11 −− =−=== aaaa ππ Como puede verse, kkk aaa −− ∗ == a) Así, la Ecuación de Síntesis o Serie de Fourier de cosenos será L+−+= ++= ∑ ∞ = tttx kwtAatx k kk 2 3cos 3 2 2 cos2 2 1)( )cos(2)( 1 0 π π π π θ b) La Serie Exponencial queda LLL +++=++++= ++= −− − ∞ = − ∗ ∑ tjtjjwtjwt k jkwt k jkwt k eeeaaeatx eaeaatx 22 101 1 0 1 2 11)( ][)( ππ ππ c) Finalmente, la expresión en Serie Trigonométrica de Fourier será Dado que ∑ ∞ = ++= 1 0 cos 2 )( k k kwtB B tx ∑ ∞ =1k k senkwtC kkk aa θ∠= { }∫ == T kk yakwtdttxT B 0 Re2cos)(2 { }k T k asenkwtdttxT C Im2)(2 0 −== ∫ kkkk ajCBa − ∗ =−= )( 2 1 Se tiene ahora { } { } L L +−+= =−======= tttx CBaBaB k 2 3cos 3 2 2 cos2 2 1)( 0 3 22)1(2Re21) 2 1(2Re2 31100 π π π π πππ La cual, por supuesto, es la misma que por los métodos anteriores. A continuación, obtener mismo inciso a), con los siguientes cambios: b) )( 0ttx − Solución Cuando la entrada sufre un desplazamiento en el tiempo, los coeficientes espectrales son tales que ∑ ∞ −∞→ −=− k ttjkw k eattx )( 0 0)( ∑ ∞ −∞→ −= k jkwtjkwt k eea 0 == − 0jkwtkk eab 1;2 1 0 2 = − tesenk k jk ππ π Por lo que Ljbjbab ππ 3 11 3100 −=−== c) dt tdx )( En este caso se tiene == ∑ ∞ −∞→k jkwt k edt da dt tdx )( ∑ ∞ −∞→k jkwt k ejkwa Así == kk jkwab 222 1 ππ π senkjsenk k jkw = Por lo que L 22 0 310 jbjbb −=== Ejemplo Se tiene una onda triangular periódica de pendiente 2 1 , que empieza en t=-4 segs. Obtener a) La Ecuación exponencial de Fourier. b) La ecuación trigonométrica de Fourier. c) Gráficas de análisis y de síntesis del sistema. Solución a) No se especificó la amplitud, por lo que se escoge una de 0.5. Así también, el período será de T=4. La descripción de la señal de entrada es como sigue. A lo largo del período T se tiene ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <≤ <≤− +− <≤ = 31 432 2 1 2 10 2 )( t tt t tt tx Los coeficientes serán ∫ −= T jkwt k dtetxT a 0 )(1 == ∫ T dttx T a 0 0 )( 1 ∫ 1 0 2 [1 dtt T ++−+ ∫ 3 1 )1 2 ( dtt 0])2 2 ( 4 3 =−∫ dt t jkwtjkwtjkwtjkwtjkwt jkwtjkwt jkwt T jkwt k e jkw e jkw tdte jkw e jkw tdtte e jkw vdtedvdtdutu vduuvudvdtte dtetx T a −−−−− −− − − −−=+−= −==== −== = ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ 2 0 )( 11 1 )(1 Así ∫∫∫∫ −−−− −++−+== 4 3 3 1 1 00 )2 2 (1)1 2 (1 2 1)(1 dtet T dtet T dtet T dtetx T a jkwtjkwtjkwt T jkwt k = [ 8 1] )( 1[ 8 1 1 02 ++− −− jkwtjkwt e jkw e jkw t +−+ −−− 312 ] 2 )( 1 jkwtjkwtjkwt e jkw e jkw e jkw t [ 8 1 + 432 ] 4 )( 1 jkwtjkwtjkwt e jkw e jkw e jkw t −−− +−− = +−+−−− ] )( 1 )( 11[ 8 1 22 jkw e jkw e jkw jkwjkw −−+ −−− 332 3 2 )( 13[ 8 1 jkwjkwjkw e jkw e jkw e jkw ++−− −−− ]2 )( 11 2 jkwjkwjkw e jkw e jkw e jkw ++−−+ −−− 442 4 4 )( 14[ 8 1 jkwjkwjkw e jkw e jkw e jkw ]4 )( 13 33 2 3 jkwjkwjkw e jkw e jkw e jkw −−− −++ += 2)( 1[ 8 1 jkw ak − − 3 2)( 2 jkwe jkw jkwjkw e jkw e jkw −− − 2 4 2 )( 2 )( 1 ] += 1[ )(8 1 2jkw ak − − 32 jkwe ]24 jkwjkw ee −− − =1a =−−+− −−− ]221[ 2 1 222 3 2 π π π π jjj eee 22 2]2121[ 2 1 ππ jjj −=+−+− )( 111 adeConjugadoaa ∗ − = =−−+−= −−− ]221[ 8 1 43 22 πππ π jjj eeea ...0]2121[ 8 1 2 =+−−− π La Serie exponencial de Fourier es LLLL +−+=+++== −−− ∞ −∞→ ∑ jwtjwtjwtjwt k jkwt k e jejeaeaeatx 2211 22)( ππ b) La Serie trigonométrica de Fourier será LLL +=+=+ − = − tsensenwt j eetx jwtjwt 2 44] 2 [4)( 222 π πππ c) Gráficas del sistema. Primeramente, se tiene el programa Matlab que resuelve grá ficamente el problema. %UNAM. FI. DIE. DEPTO. CONTROL. SOM. JULIO/2008. %Series de Fourier. Integración por método trapezoidal. %********************************************* clear %1. Sección de datos de la función por sintetizar. T=input('Período T= '); w=2*pi/T; %*************************************************** **************************** % 2. Ecuación de análisis. Espectro de la función. %Número de intervalos de integración. nint=input('[Número de intervalos de integración]='); 'Intervalos de integración y ecuaciones de intervalos: ' 'Nota: En este paso se utiliza la instrucción keyboard.' 'Los vectores de intervalos deben ser de la misma dimensión.' 'Ejemplo: t1=[0:0.01:1]; t2=[1:0.01:2]; t3=[2:0.01:3]; t4=[3:0.01:4];' 'ti(1, :)=[0:0.01:1];...' 'Ejemplo: x1=t1/2; x2=-t2/2+1; x3=t3/2-2;' 'xt(1, :)=ti(1, :)/2;...' 'Regresar de keyboard con escrito return' keyboard %****************************************** % 3. Sección de cálculo de a(k). n=1; for k=-10:10 ik(n)=k; ak(n)=0; for r=1:nint %Máximos y mínimos de x(t). minxt(r)=min(xt(r, :)); maxt(r)=max(xt(r, :)); ak(n)=ak(n)+1/T*trapz(ti(r, :), xt(r, :).*exp(-j*k*w*ti(r, :))); end n=n+1; end %*********************************************** %4. Sección de gráficas. % Gráfica de función original. minm=min(minxt); maxm=max(maxt); subplot(2,2,1) for r=1:nint plot(ti(r, :), xt(r, :), 'w-', ti(r, :)+T, xt(r, :), 'w-', ti(r, :)-T, xt(r, :), 'w-') axis([-10 10 1.2*minm 1.2*maxm]) hold on end grid % Nombre de la función por sintetizar. 'Nombre de la función por sintetizar (utilizar title(...)): ' keyboard %**************************************** %Espectro de la función x(t). subplot(2, 2, 2) for n=1:length(ak) plot([ik(n) ik(n)], [0 real(ak(n))], 'w-') hold on end grid title('Re a(k)') subplot(2, 2, 3) for n=1:length(ak) plot([ik(n) ik(n)], [0 imag(ak(n))], 'w-') hold on end grid title ('Imag a(k)') %*************************************************** ***************** %Síntesis de x(t) por Series de Fourier. m=1; TT=[0:0.01:T]; sxt=zeros(1, length(TT)); for k=-10:10 sxt=sxt+ak(m)*exp(j*k*w*TT); m=m+1; end subplot(2, 2, 4) plot(TT, sxt, 'w-') title('Síntesis de x(t) por Series de Fourier') grid Programa Matlab serfo1.m para determinar coeficientes y síntesis de una función periódica, aplicando Series de Fourier. -10 -5 0 5 10 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Función triangular -10 -5 0 5 10 -2 -1 0 1 2 3 x 10-17 Re a(k) -10 -5 0 5 10 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 Imag a(k) 0 1 2 3 4 -0.5 0 0.5 Síntesis de x(t) por Series de Fourier Fig. Análisis y síntesis de una función triangular, aplicando Series de Fourier. Resultados del programa serfo1.m. Ejemplo Graficar funciones de análisis y síntesis de la función rectangular anterior. Utilizando el programa serfo1.m, se tiene -10 -5 0 5 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Función rectangular -10 -5 0 5 10 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Re a(k) -10 -5 0 5 10 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 Imag a(k) 0 1 2 3 4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Síntesis de x(t) por Series de Fourier Fig. Análisis y síntesis de una señal rectangular, aplicando el programa serfo1.m, para Series de Fourier. EJERCICICOS ADICIONALES. SEMESTRE 2009-1. 1. Determinar linealidad e invariancia en t. )())(()() txttxHtya == += )()( 13 txtty )(2 txt =+= ))()(()( 21 txtxHtyT )())()(( 321 tytxtxt =+ El sistema es lineal. )())(( )(()() 00 000 ttxtttxH ttxttttyb −=− −−=− Sistema variante en t. 2. Transformación del argumento de x(t). La transformación del argumento de una función x(t) se puede obtener analíticamente y utilizando el programa Matlab gensenkb.m., el cual se presenta a continuación. Análisis de Sistemas y Señales. SOM. Generación de señales por %señales elementales. %Programa que utiliza instrucción "keyboard" para trazo de funciones. %Para salir de keyboard, teclear "return". clear 'Ejemplo: Sistema continuo/discreto (1/0): contdisc=1; número de gráficas: n=1;' 'Renglones y columnas de gráficas: reng=1; col=1; Tiempo: t=[- 5:0.1:5];' 'Transformación en t: at+b=t0: nalfa(1)=1; nbeta(1)=1; x(t) a graficar: xt(1, :)=t.*us(t);' keyboard for k=1:n numk=num2str(k); numalfa=num2str(nalfa(k)); numbeta=num2str(nbeta(k)); subplot(reng, col, k) if contdisc==1 plot(t, xt(k, :), 'w-') else plot(t, xt(k, :), 'wo') end axis([-10 10 -2 2]) [a, b]=ginput(1) if contdisc==1 text(a, b, 'x(alfa*t+beta)') else text(a, b, 'x(alfa*n+beta)') end [c, d]=ginput(1) text(c, d,'alfa=') [e, f]=ginput(1) text(e, f, numalfa) [g, h]=ginput(1) text(g, h, 'beta=') [p, q]=ginput(1) text(p, q, numbeta) [r, s]=ginput(1) text(r, s, 'Fig.') [v, z]=ginput(1) text(v, z, numk) grid end Programa gensenkb.m para transformación del argumento en x(t). Se tiene la función de la Fig. (1): -10 -5 0 5 10 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x(alfa*t+beta) alfa= 1 beta= 0 Fig. 1 -10 -5 0 5 10 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x(alfa*t+beta) alfa= 1 beta= 1 Fig. 2 Figuras 1 y 2: Señal x(t) compuesta de funciones elementales: )1()(:2.).3()2(2)1(2)()(:1. 11222 +=−−−+−−= −−−− txtxFigtttttxFig µµµµ . Programa Matlab gensenkb.m. Obtener a) La ecuación de la señal x(t). La ecuación puede obtenerse analizando cada una de las partes de x(t). Así )1()(:2.).3()2(2)1(2)()( 11222 +=−−−+−−= −−−− txtxFigtttttx µµµµ b) La señal x(t) desplazada como x(t+1). La ecuación que permite evaluar la transformación del argumento de x(t) stá dada por 0tt =+ βα Así 2,3;1,2;0,1;1,0;1,1; 0000 0 ======−==== − = tttttttt t t βα α β Lo cual se puede verificar en la Fig. (2) arriba presentada. Ahora, sea la Figura 1 de un sistema discreto: -10 -5 0 5 10 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x(alfa*n+beta) alfa= 1 beta= 0 Fig. 1 -10 -5 0 5 10 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x(alfa*n+beta) alfa= 1 beta= -1 Fig. 2 Figuras1 y 2 de un sistema discreto. )1()(:2.);4(5.0)2()(5.0)(:1. 1222 −=−+−−= −−− txtxFigttttxFig µµµ De la misma manera que en los sistemas continuos, se tiene: a) Ecuación de x(n). )4(5.0)2()(5.0)( 222 −+−−= −−− nnnnx µµµ c) La transformación en el tiempo está dada por 5,4;3,2;1,0;1,1; 0000 ======−== − = nnnnnnnn βα α β Esto se verifica en la Fig.2 superior. 3. Representación de sistemas continuos. Se tiene el sistema 0;0)0(;0)0(;)()()( 0001 ≥=====+ txxyydt tdxtya dt tdya Aplicando Transformada de Laplace, se tiene 0);1()1()( )11( )( )()() )()( 0..;0)() )( )()()()( ))0()(()())0()(() 1 0 0 1 01 1 2 1 0 1 1 01 1 01 0101 101 ≥−=−= + −= + += + = + = = == + = + = += + + + − = −=+− − − − te a be B Aty BssB A Bs D s C Bss A asa ssXbsYc ttx ICtyb Bs As a as s a b sH tyty asa ssXb asa xbyasY xssXbsYayssYaa t a a Bt zs zs zi zszi µ 4. Representación de sistemas discretos. Ahora,se tiene zb za bz az zU zYzH zUazzUzYbzzYa nnuICnaununbyny + + = + + == +=+ ==−+=−+ − − −− − 1 1 11 1 1 1 )( )()( )()()()() )()(;0..);1()()1()( µ )b Ahora bien, por definición, si C. I. =0, la respuesta de entrada cero es cero. También se puede verificar, adelantando la ecuación en diferencias: 0)(;0)(;0)()( )()()()( )(])()([)(])(([ )()1()()1( 0 0 0 0 ===+ +=+ +−=+− ++=++ ∑∑ = − = − tyzYzYbzzY zaUzzUzbYzzY zaUznuzUzzbYznyzYz naununbyny zizizizi n n n n 11 1 1)( 1 )( 1 1 1 11 1 )( 11 )()()() 11 2 ≥ + + +− + − =↔ −+ + + ++ − = − + + = −+ + == −− n b ab b babty zb a bz b b bazY z B bz A z z bz azzUzHzYc nn zszs zs 5. Serie de Fourier. a) Sea la función periódica rectangular, representada por el programa Matlab serfo1.m: -10 -5 0 5 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Función rectangular -10 -5 0 5 10 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Re a(k) -10 -5 0 5 10 -1 -0.5 0 0.5 1 x 10-20 Imag a(k) 0 1 2 3 4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Síntesis de x(t) por Series de Fourier Figura 1. Síntesis de una función triangular, realizada por el programa Matlab serfo1.m. Analíticamente, su representación por Series de Fourier es como sigue. ⎩ ⎨ ⎧ <≤ <≤− = 31;0 11;1 )( t t tx Así ... 2 1)11( 4 1 4 11 )(1 1 1 1 10 0 =+=== = −− − ∫ ∫ tdt T a etx T a T jkwt k Esto último puede verificarse en la gráfica respectiva de . ka b) Supóngase que ahora se adelanta la función triangular en tres segundos (o se atrasa en un segundo). En este caso, se tiene ⎩ ⎨ ⎧ <≤+−= <≤−= = +−= =−=−=+=−+= − <≤ −= =−==− − <≤ += 42;5.15.0)( 20;5.05.0)( )( 5.15.0)( 5.1;5.0;21;45.0;25.0 )5.0,4(),5.0,2( 42 5.05.0)( 5.0;5.025.0;5.0 )5.0,2(),5.0,0( 20 )( 32 21 tttx tttx tx ttx bmmbmbm pp t ttx mmb pp t bmttx ])5.15.0()5.05.0([ 4 1)(1 4 2 2 0 0 ∫∫∫ −−− +−+−== dtetdtetdtetxTa jkwtjkwt T jkwt k 0)]31()64(0)11[( 4 1]5.1 4 [ 4 1 ]5.0 4 [ 4 1])5.15.0()5.05.0([ 4 1)(1 4 2 2 2 0 24 2 2 0 0 0 =+−−+−+−−=+−+ +−=+−+−== ∫∫∫ tt ttdttdttdttx T a T Con k=1: =+−−=− −−−−∫ 202 2 0 )]1 )( 1(5.0[)5.05.0( jkwtjkwtjkwtjkwt e jkw e jkw e jkw tdtet = 2 22 22 2 2 4 )2 )( 82(5.0)1 )( 11 )( 12(5.0 π πππ −= =−+=−++−− −−− jjjjwjw e jw e jw e jw jwjwjw ∫ −+− 4 2 )5.15.0( dtet jkwt =+−−−= −−− 422 )] 3 )( 1(5.0[ jkwtjkwtjkwt e jkw e jkw e jkw t 22 22 2 244 2 4 4)282(5.0 )3 )( 123 )( 14(5.0 ππππ −=++−− =−+++−−−= −−−−−− jj e jw e jw e jw e jw e jw e jw jwjwjwjwjwjw 2221 2)44( 4 1 πππ −=−−=a Ahora, aplicando la propiedad de desplazamiento, en este caso, con un adelanto de 3 segundos, se tiene 0)( 0 jkwt kk ebattx =→+ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0;0 0; 2)( 2 2 k kksen kjbk π π ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = 0;0 0; 2)( 2 0 2 k keksen kja jkwt k π π 22 2 3 21 2)(22 πππ π −=−== j j e j a j … El programa Matlab serfo1.m verifica estos resultados, como a continuación se presentan. -10 -5 0 5 10 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Función triangular -10 -5 0 5 10 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 Re a(k) -10 -5 0 5 10 -4 -2 0 2 4 x 10-17 Imag a(k) 0 1 2 3 4 -0.5 0 0.5 Síntesis de x(t) por Series de Fourier Fig. 2. Síntesis de una función triangular. Programa serfo1.m. Período T=4 segs. BIBLIOGRAFÍA 1. Simon Haykin, Barry Van Veen. Señales y Sistemas. Limusa Wiley. México. 2006. 2. William E. Boyce, Richard C. Diprima. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Limusa Wiley. México. 2006. 3. Gloria Mata Hernández et al. Análisis de Sistemas y Señales. UNAM. Facultad de Ingeniería. México, 2002. 4. Papoulis Athanasios. Signal Analysis. McGraw-Hill Book Company. 1977. U. S. A. 5. Francisco José Rodríguez Ramírez. Dinámica de Sistemas Físicos. UNAM. 19--. 6. Shepley L. Ross. Introducción a las ecuaciones diferenciales. McGraw-Hill. México, 1989. 7. Hugh Hildreth Skilling. Circuitos en Ingeniería Eléctrica. CECSA. 1965. México.
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