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“Sistemas lineales” 
Planeación didáctica del tema 
Tópicos SISTEMAS LINEALES 
Temas Métodos directos: Gauss-Jordan, Máximo elemento pivote, valores y 
vectores característicos. 
Métodos indirectos: Jacobi y Gauss- Seidel 
Objetivos 
específicos 
Proponer solución al modelo matemático generado, como un sistema de 
ecuaciones simultáneas. 
Tomar decisiones sobre la elección entre métodos directos e indirectos 
para sistemas de ecuaciones lineales. 
Implementar el método de Gauss-Jordan, el de Jacobi y el de Gauss- Seidel. 
Programar y/o usar un software para la resolución de problemas. 
Interpretar los resultados y el concepto de error en el contexto del 
problema. 
Niveles de 
comprensión 
Niveles Evidencia de aprendizaje 
1. Reproducción 
de conocimiento 
Reproduce el concepto de linealidad al distinguir si 
una representación puede ser definida como un 
modelo matemático de sistemas lineales. 
Evidencia de aprendizaje 2.1a, 2.1b, 2.1c, 2.1d 
2. Realización de 
procesos 
mentales para 
convertir datos a 
información 
Distingue variables y explica qué representan en un 
sistema de ecuaciones lineales. 
Aplica procedimientos de métodos directos e 
indirectos. 
Evidencia de aprendizaje 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6 
3. Desarrollo de 
un plan o una 
secuencia de 
pasos lógicos 
Explica y relaciona ideas en una situación real y 
compleja. 
Desarrollar un modelo matemático básico que 
muestra cómo funciona un fenómeno. 
Soluciona un problema y justifica una solución con 
argumentos lógicos. 
Realiza un análisis de sensibilidad, bajo un conjunto 
dado de suposiciones. 
Evidencia de aprendizaje 2.7, 2.8 
4. Pensamiento 
matemático 
(razonamiento 
y abstracción) 
Escribe el código fuente y presenta el ejecutable- 
Ingeniería en Computación. 
Evidencia de aprendizaje 2.9 
 
Ingeniería Civil, Industrial, Mecánica, Eléctrica- 
Electrónica: Sintetiza ideas en nuevas 
representaciones (elaborar un pseudocódigo, 
diagrama de flujo y programa en código, escribir un 
ensayo). 
2 
 
Evidencia de aprendizaje 2.9 
 
Recursos 
digitales: 
Ejecutables elaborados por integrante proyecto PAPIME 
Gauss- Jordan 
Máximo elemento pivote 
Jacobi 
Gauss-Seidel 
 
Video elaborado para el proyecto: 
https://youtu.be/tOdr0I-rAdM 
 
De apoyo: 
https://www.youtube.com/watch?v=85INoJkycAU 
http://proyectodescartes.org/ingenieria/algebra_lineal.htm 
https://matrix.reshish.com/es/|gauss-jordanElimination.php 
http://setosa.io/ev/eigenvectors-and-eigenvalues/ 
Test de 
reposición 
Ponte a prueba 
Tema para 
participación 
en foro 
Opcional: Diseñar un screencast en el que se muestre tu propuesta de 
enseñanza de un método mediado por tecnologías digitales. 
 
Encuesta de 
satisfacción 
Preguntas de reflexión 
Referencias 
bibliográficas 
- Anton H. (1994). Introducción al Álgebra Lineal. Limusa, México. 
- Chapra S.C. & Canale R.P. (2010). Numerical Methods for Engineers. 
McGraw Hill, U.S. 
- Forsythe A., Keenan T., Organick R., Stenberg W. (1973). Lenguajes de 
diagramas de flujo. Técnicas de Computación. Limusa, México. 
- Golovina. (1974). Álgebra Lineal y algunas de sus aplicaciones. Moscú: 
Mir. 
- Grossman S.I. & Flores Godoy J.J. (2013). Álgebra Lineal. McGraw Hill. 
México 
- Kharab A. & Guenther R.B. (2012). An Introduction to Numerical Methods. 
A MATLAB Approach. Taylor & Francis Group, U.S. 
- Nieves Hurtado A. & Domínguez Sánchez F.C. (2014). Métodos Numéricos 
Aplicados a la Ingeniería. Grupo Editorial Patria. México. 
 
 
 
 
https://youtu.be/tOdr0I-rAdM
3 
 
Contenido 
 
Presentación 4 
Objetivos específicos 5 
¿Qué vas a aprender? 5 
Lo que debes saber antes de comenzar 7 
Autoevaluación diagnóstica 8 
Investiga y define 8 
NIVEL 1 10 
¿En qué situaciones se emplean modelos matemáticos de sistemas de ecuaciones 
lineales? 11 
¿Qué pasa si…? 11 
Actividades de aprendizaje 13 
NIVEL 2 13 
Modelo matemático de sistemas de ecuaciones lineales 14 
 Actividades de aprendizaje 18 
Métodos directos e indirectos 20 
Método de Gauss- Jordan 24 
Actividades de aprendizaje 29 
Método de Jacobi 30 
Método de Gauss- Seidel 34 
Actividades aprendizaje 39 
Foro de discusión 40 
NIVEL 3 40 
Ejemplos de aplicación 41 
Actividades aprendizaje 47 
NIVEL 4 53 
Antes del proyecto 53 
 Eigenvalores y eigenvectores 56 
Actividades aprendizaje 59 
Ponte a prueba 60 
Test de reposición 60 
Preguntas de reflexión 62 
Rúbricas de evaluación 63 
 
 
Nota: Los ejercicios mostrados en este documento se pueden resolver cualquier 
paquete informático (MAPLE, MATLAB, Geogebra,…), o lenguaje formal de 
programación (Visual Basic, Lenguaje C, Python,…). En este documento, los ejemplos se 
presentan en Excel debido a su accesibilidad. 
4 
 
 
 
Existen diversos métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Su elección 
depende de la propia complejidad del sistema, o sea, del número de ecuaciones, del 
número de incógnitas, de los componentes que conforman al sistema, y en general, de 
los atributos del sistema en consideración. 
 
Los sistemas lineales que normalmente se trabajan en el aula son de dos o tres 
ecuaciones con dos o tres incógnitas, respectivamente, que se suelen resolver por 
medio de los llamados métodos de sustitución, igualación y suma/resta. 
 
Estos métodos pierden eficacia a medida que va aumentando el número de ecuaciones 
y de incógnitas. Aunado a lo anterior, se sabe que muchos fenómenos del desempeño 
profesional del ingeniero, se plantean como ecuaciones y sistemas de ecuaciones con 
más de tres ecuaciones y tres incógnitas, de aquí la importancia, primero, de hacer el 
modelo matemático representativo del fenómeno, y después, tomar la decisión del 
método numérico más adecuado para alcanzar la solución y su interpretación. 
 
El propósito educativo del presente documento, es el de presentar el estudio de los 
métodos numéricos fundamentales de resolución y discusión de los sistemas lineales; 
un método clásico directo, el de Gauss-Jordan, en el cual se encuentra una solución 
mediante un algoritmo finito, mientras que los métodos indirectos, tales como el Jacobi 
y el de Gauss- Seidel se construyen en una sucesión que converge hacia la solución, 
deteniéndose cuando la precisión está dentro de los límites de una tolerancia 
preestablecida. 
 
El texto está organizado por niveles de aprendizaje, del uno al cuatro, en donde se 
entremezclan cápsulas explicativas sobre la naturaleza de los sistemas lineales con la 
presentación de solución de problemas, paso a paso, que se describen con modelos 
matemáticos, principalmente, aquellos que se presentan en el desempeño profesional. 
 
Consecuentemente, en cada nivel, existen actividades de aprendizaje interactivas que 
coadyuvan al desarrollo de habilidades de razonamiento matemático y estrategias de 
solución en un entorno de ingeniería, con ejercicios, ligas a sitios de internet e incluso, 
se proporciona software didáctico, para hacer más significativo y efectivo el 
aprendizaje. 
 
Presentación
5 
 
Cada nivel tiene un propósito, tal es el caso que el nivel 1, está referido a la adquisición 
del conocimiento. En este nivel el estudiante requiere recordar sus conocimientos 
previos y ubicar en forma concreta fenómenos proclives a ser tratados con Métodos 
Numéricos. El nivel 2 trata del uso de conceptos y habilidades cognitivas que permitan 
la aplicación de métodos de solución para los sistemas lineales. 
 
El nivel 3, tiene una orientación estratégica para razonar acerca de los algoritmos, y 
para tomar decisiones en la solución de problemas, es un nivel de análisis y síntesis. 
Finalmente, el nivel 4, va hacia el diseño, tiene una orientación en la que el estudianteuse lo que ha aprendido, no solo en la asignatura de Métodos Numéricos, también en 
otros contextos académicos y externos, que se refleje en su creación. 
 
Las actividades aquí presentes constituyen un apoyo a la docencia, cuyo diseño también 
favorece el trabajo colaborativo en un intento de emular el futuro profesional y, por 
tanto, conduzcan a que el estudiante valore la importancia del conocimiento y su 
comportamiento ético y profesional. 
 
 
 
 
Los objetivos específicos de esta sección son: 
 
a. Proponer solución al modelo matemático generado, como un sistema de 
ecuaciones lineales simultáneas. 
b. Tomar decisiones sobre la elección entre métodos directos e indirectos. 
c. Implementar el método de Gauss-Jordan, el de Jacobi y el de Gauss- Seidel. 
d. Programar y/o usar un software para la resolución de problemas numéricos. 
e. Interpretar los resultados y el concepto de error en el contexto del problema. 
 
¿Qué vas a aprender? 
 
A continuación, te ayudamos a comprender los objetivos. 
 
El planteamiento de un problema requiere de estructurar información. Para ello, se 
requieren identificar variables que están presentes en el problema/ proceso/ 
fenómeno, y después distinguir de entre esas variables, cuáles son conocidas y cuáles 
desconocidas, e incluso, la relación entre todas variables. 
Objetivos específicos
6 
 
 
Un modelo matemático es una representación ideal y cuantitativa de un sistema y/o 
un fenómeno, en el cual se muestran relaciones predominantes entre sus componentes. 
 
Un modelo matemático se compone de parámetros (objetos/ símbolos que representan 
atributos del sistema y que permanecen constantes durante el estudio), variables 
(objetos/ símbolos que cambian en el tiempo durante el estudio) y relaciones 
funcionales (describen la forma en cómo cambian las variables y cómo afectan a los 
parámetros). 
 
El modelo matemático de un sistema de ecuaciones lineales se representa así: 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 = 𝑏1 
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 = 𝑏2 
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 = 𝑏3 
 
Este sistema está conformado por tres ecuaciones (un modelo de ecuaciones lineales 
puede ser de n ecuaciones), con tres incógnitas 𝑥𝑖 (variables expresadas a la primera 
potencia) y con parámetros de la forma 𝑎𝑖𝑗 . 
 
Una forma compacta de reescribir al modelo matemático es de la forma matricial 
𝐴𝑥 = 𝑏 
 
Donde, se le llama matriz de coeficientes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗], i representa el renglón/fila, y j 
representa la columna. 
 
𝑥 = [𝑥𝑖], es el vector solución que debe determinarse y 𝑏 = [𝑏𝑖] es el vector de términos 
independientes. 
 
En general, los métodos que resuelven modelos de sistemas lineales se clasifican en dos 
tipos: directos e indirectos. 
 
En un método directo se obtiene un número fijo de pasos que no están sujetos a errores 
por iteraciones, aunque sí por cálculos aritméticos. Entre los más importantes se 
encuentran: eliminación gaussiana, máximo elemento pivote, descomposición LU, por 
inversa de la matriz, Gauss- Jordan y descomposición de Cholesky. 
 
Los métodos indirectos también llamados métodos iterativos son muy útiles en sistemas 
lineales mayores de orden 15 (o sea, n=15 renglones i*15 columnas j). 
Están estructurados en la forma simbólica: 
𝑦1 = 𝑦0 + ∆𝑦0 
7 
 
𝑦2 = 𝑦1 + ∆𝑦1 
… 
𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1 + ∆𝑦𝑛−1 
 
El valor actual es igual, al valor anterior más un incremento que depende del 
procedimiento en cuestión. 
 
En estos métodos se realizan iteraciones para aproximarse a la solución de 𝑥 = [𝑥𝑖], 
aprovechando las características de la matriz de coeficientes A, y tratando de usar un 
menor número de pasos que en un método directo. Algunos de los métodos más 
conocidos son Jacobi, Gauss-Seidel y sobrerrelajaciones sucesivas (SOR). 
 
Los métodos indirectos aceleran la convergencia hacia una solución, aunque se asocian 
al concepto de error por las operaciones que conllevan cocientes entre elementos 𝑎𝑖𝑗 
de la matriz y 𝑎𝑖𝑖 de la diagonal principal, esto especialmente, cuando 𝑎𝑖𝑖 es 
relativamente pequeño con respecto 𝑎𝑖𝑗 . 
 
Un tema adicional a los métodos directos e indirectos, es el estudio de los valores 
propios o eigenvalores, que sirven para valorar la estabilidad del modelo matemático, 
mediante la asociación de un polinomio a la matriz de coeficientes A, que 
necesariamente debe ser cuadrada. Las raíces del polinomio, representación de A, 
definen justamente los valores propios. 
 
¿Qué hacer cuando se tiene un sistema de ecuaciones de dimensión alta? Por ejemplo, 
un sistema de 100𝑥100, o mayor. Desde esta perspectiva, los métodos tradicionales 
para la solución de problemas de este tipo, como cálculo de las incógnitas o inversión 
de una matriz, pierden sentido, por el número de operaciones, la velocidad del cálculo 
y el error. Por ello, programar y/o usar software es una herramienta que no solo 
favorece la realización de miles de operaciones, también favorece la alfabetización 
digital, y más aún, desarrolla habilidades de razonamiento lógico, ya que pensar en 
métodos numéricos implica también, pensar en algoritmos computacionales. 
 
 
 
La solución de sistemas de ecuaciones lineales es un tema clásico de las matemáticas, 
con bases conceptuales en la Teoría de Matrices que comprende la ortogonalización de 
vectores, la existencia y unicidad de las soluciones. 
 
Lo que deber saber antes de comenzar
8 
 
Los sistemas de ecuaciones lineales son usados para representar problemas físicos que 
involucran la relación entre varias propiedades. Las variables representan propiedades 
a ser estudiadas, y las ecuaciones describen la interacción entre las variables y un 
sistema de ecuaciones lineales la relación entre ecuaciones. 
 
Autoevaluación diagnóstica 
 
Sea el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas: 
𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 = 6 
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 3 
−𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 5 
 
a. Del sistema original, generar una matriz ampliada 
 
 
 
 
 
 
b. Generar de la matriz de coeficientes, una matriz triangular superior 
 
 
 
 
 
 
c. Generar la transpuesta de la matriz de coeficientes 
 
 
 
 
 
 
Investiga y define: 
 
Te recomendamos ver el siguiente video, el cual te orientará con el manejo del lenguaje 
matricial: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=85INoJkycAU 
https://www.youtube.com/watch?v=85INoJkycAU
9 
 
 
a. Una matriz cuadrada: ______________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
 
b. Una matriz rectangular: _____________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
 
c. Una matriz antisimétrica: ___________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
 
d. Una triangular superior: ____________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
 
e. Una triangular inferior: _____________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
 
f. Una matriz identidad: _______________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
 
g. Una matriz transpuesta: ____________________________________________________________ 
________________________________________________________________________________________________ 
 
h. Una matriz dispersa: ________________________________________________________________ 
_______________________________________________________________________________________________ 
 
i. Una matriz nula: _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 
 
 
(Para la revisión de algunos conceptos sobre sistemas lineales, revisa el sitio 
interactivo http://proyectodescartes.org/ingenieria/algebra_lineal.htm). 
 
 
 
 
 
 
 
http://proyectodescartes.org/ingenieria/algebra_lineal.htm
10 
 
NIVEL 1 
 
 
 
En principio vale la pena pensar en modelos matemáticos de sistemas lineales, en una 
primera etapa, como una situación estática cuando la salida es proporcional a su 
entrada. 
 
En Ingeniería, muchas de las leyes fundamentales de conservación que involucran 
masa, energía y momentos, se modelan como sistemas de ecuaciones lineales. Se 
pretende que se visualice el balance entre ecuaciones, cuyo un conjunto de las mismas 
representen el comportamiento de un sistema. A continuación, se presentan esquemas 
que pueden modelarse como sistemas lineales. 
 
Tabla 2.1 Situaciones que se pueden modelar como sistemas lineales 
 
Un balance de masa- Las propiedades del sistema 
se definen por las reacciones de cada variable y 
por los parámetros de los flujos de entrada. Las 
salidas son iguales a las entradas. Por ejemplo, 
entra un flujo (con parámetros determinados) a 
𝑥1, cuyas salidas directas son dos flujos con 
parámetros que inciden en 𝑥2 𝑦 𝑥3. Así, lo mismo 
ocurre localmente a cada entrada y salida de cada 
variable. 
 
Fuerzas en equilibrio- Se trata de encontrar las 
fuerzas y las reacciones asociadas a una 
estructura estática. Las fuerzas F están en 
tensión y/o compresión. Existen reacciones 
externas H y V que también son fuerzas, y que 
caracterizan cómo la estructura se relaciona con 
la superficie de soporte. 
 
Corrientes y voltajes en circuitos- La corriente 
asociada al circuito se desconoce, tanto en 
magnitud como en dirección. La dirección se 
define en forma arbitraria. Se emplean las leyes 
de Kirchoff y de Ohm, como expresiones de 
conservación de la energía. 
¿En qué situaciones se emplean modelos matemáticos de 
sistemas lineales?
11 
 
 
Sistemas con resortes/ muelleo- Un sistema 
compuesto por tres masas está suspendido 
verticalmente con una serie de resortes. En el 
inciso a., el sistema en la posición inicial, esto es, 
antes de la extensión y compresión de los 
resortes. El inciso b., el sistema después de 
soltarse. Nótese que las posiciones de las masas 
cambiaron su posición con respecto a la original. 
La segunda ley de Newton es útil en este caso. 
 
Análisis del flujo del tráfico. Se tiene una red de 
vialidades, cuyos nodos representan semáforos. 
Se trata de conocer los autos que cruzan por los 
nodos, con el fin de ajustar el cambio de luces de 
los semáforos. 
El principio es el siguiente: El número de carros 
que llega a una intersección debe ser igual al 
número de carros que sale de la intersección. 
 
Obviamente, los ejemplos de la tabla 2.1, se le pueden agregar componentes dinámicos, 
en donde el tiempo se incorpora, y en lugar de considerar 𝑥𝑖 bajo una perspectiva 
estática, ahora sería 𝑥𝑖(𝑡). En los sistemas lineales, también se puede pensar en 
inecuaciones, lo cual es de área de estudio de la Investigación de Operaciones, y hasta, 
puede involucrarse conceptos probabilísticos. 
 
 
 
Los sistemas lineales se pueden clasificar en función de sus soluciones. 
 
Tabla 2.2 Posibilidades de soluciones 
 Si la solución del sistema es única se llama compatible 
determinado. 
En forma matricial se verá el sistema original y después 
de que se aplica un método numérico, ambas variables 
corresponden a un resultado: 
[
3 2 | 18
−1 2 | 2
]~ [
𝟏 0 | 𝟒
0 𝟏 | 𝟑
] 
El sistema es consistente, las rectas se intersectan en un 
solo punto de solución única. Este tipo de sistemas son 
¿Qué pasa si...?
12 
 
 
de gran interés, ya que las coordenadas del punto de 
intersección representan la solución simultánea del 
sistema. 
El sistema es linealmente independiente. 
 
 
 
El sistema se llama incompatible, ya que no presenta 
consistencia, es decir, no admite ninguna solución. 
De forma matricial, el sistema original a la izquierda y su 
equivalente a la derecha después de tratar de ser 
solucionado: 
[
−
1
2
1 | 1
−
1
2
1 |
1
2
]~ [
−
1
2
1 | 1
𝟎 𝟎 | −
𝟏
𝟐
] 
El sistema es inconsistente. Gráficamente, las rectas son 
paralelas entre sí. En forma matemática existe una 
inconsistencia ya que los coeficientes de las variables son 
nulos (véase los ceros) y el término independiente no lo 
es. 
 
 
Una ecuación está puesta sobre la otra, tiene múltiples 
soluciones. 
En forma matricial, el sistema equivalente del original se 
verá así: 
[
−
1
2
1 | 1
−1 2 | 2
]~ [
−
1
2
1 | 1
𝟎 𝟎 | 𝟎
] 
Las rectas pasan por los mismos puntos. Se observa en la 
forma matricial que los coeficientes y el término 
independiente son todos ceros. 
El sistema es linealmente dependiente. 
 
 
 
 
 
13 
 
Evidencia de aprendizaje 2.1 
De los siguientes ejemplos, escribe con tus propias palabras si los esquemas pueden ser 
pueden ser modelados como sistemas lineales, ¿por qué si/no? 
 
2.1a ¿Puede ser modelado como 
sistema lineal? Si/ No 
Explicación: 
 
 
2.1b ¿Puede ser modelado como 
sistema lineal? Si/ No 
Explicación: 
 
 
 
Cursos enseñados por 
Estudiantes 
de: 
Ciencias Ingeniería Ciencias de 
computación 
Ciencias 70% 10% 15% 
Ingeniería 20% 90% 10% 
Ciencias de 
computación 
10% 0% 75% 
 
2.1c ¿Puede ser modelado como 
sistema lineal? Si/ No 
Explicación: 
 
2.1d ¿Puede ser modelado como 
sistema lineal? Si/ No 
Explicación: 
 
NIVEL 2 
 
Enhorabuena, has pasado al segundo nivel, ya puedes reconocer situaciones que 
pueden ser modeladas como sistemas lineales. 
 
Ahora, se trata de que puedas organizar, representar e interpretar variables y cómo 
estas se organizan en un modelo matemático. Recuerde que un modelo matemático es 
aquel que usa técnicas matemáticas (funciones, ecuaciones, gráficas, tablas, 
14 
 
probabilidades,…) para la representación de un determinado proceso o fenómeno del 
mundo real. 
 
 
Modelo matemático de sistemas de ecuaciones lineales 
 
El proceso para elaborar un modelo matemático es: 
 
 
Ejemplo. 
 
Al construir un edificio, se requieren 4800 𝑚3 de arena, 5810 𝑚3 de grano fino y 
5690 𝑚3 de grano grueso. Las canteras de donde se extraerá el material tienen la 
composición que se describe a continuación: 
 
Cantera 
 
1 
2 
3 
Porcentaje de 
Arena Grano fino Grano grueso 
52 30 18 
20 50 30 
25 20 55 
 
¿Cuántos metros cúbicos deben transportarse desde cada cantera para cumplir con los 
requisitos? 
Solución 
1. Identificar el problema
Se trata de determinar qué se debe resolver y 
determinar qué se quiere hacer.
2. Formular el modelo matemático
Se determinan variables involucradas en el proceso, y sus atributos 
pej. dependientes, independientes, parámetros.
Luego, se formula la ecuación o procedimiento que mejor describa y 
se ajuste a la idealización del modelo.
3. Resolución o interpretación
Se aplican conocimientos matemáticos, y procesos 
analíticos o numéricos para resolver el problema. Luego, 
se interpretam los resultados
4. Verificación y validación
Se comparan los datos teóricos con los datos reales. Esto 
determina las necesidades de ajuste del modelo, para 
mejorar resultados.
15 
 
 
El problema indica lo siguiente: Para construir un edificio existen ciertos 
requerimientos totales como son arena, grano fino y grano grueso. Estos tipos de 
materiales se extraen de tres canteras de las cuales se conocen los porcentajes para 
cada una de ellas. 
 
Con esta información, se determinan primero las variables del problema que, en este 
caso, se llaman: 
𝑥1 
𝑥2 
𝑥3 
𝑥1, representa los 𝑚
3 que se transportan de cada cantera para cubrir el requisito de 
arena. 
𝑥2, representa los 𝑚
3 que se transportan de cada cantera para cubrir el requisitode 
grano fino. 
𝑥3, representa los 𝑚
3 que se transportan de cada cantera para cubrir el requisito de 
grano grueso. 
 
Las cantidades solicitadas son 
𝑏1 
𝑏2 
𝑏3 
 
𝑏1, es la cantidad solicitada para cubrir el requisito de arena. 
𝑏2, es la cantidad solicitada para cubrir el requisito de grano fino. 
𝑏3, es la cantidad solicitada para cubrir el requisito de grano grueso. 
 
Las cantidades necesarias unitarias de arena, grano fino y grano grueso asignadas a los 
requerimientos totales de 𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3 son los llamados 
𝑎𝑖𝑗 ∀ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑛 
Siendo n, los requerimientos totales. 
 
Con esta información, se construye a continuación, el modelo matemático del problema. 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 = 𝑏1 
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 = 𝑏2 
𝑎31𝑥1 + 𝑎32𝑥2 + 𝑎33𝑥3 = 𝑏3 
Una forma compacta de reescribir al modelo matemático es 
𝐴𝑥 = 𝑏 
 
De la descripción del problema relacionado con Ax=b, se tiene que 
16 
 
 
𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 B 
0.52 0.30 0.18 4800 
0.20 0.50 0.30 5810 
0.25 0.20 0.55 5690 
 
 
Esto significa que el 52% de 𝑥1 (arena), el 30% de 𝑥2 (grano fino) y el 18% de 𝑥3 (grano 
grueso) deben satisfacer la cantidad necesaria a utilizar, que son 4800. 
 
Las otras ecuaciones se interpretan de igual forma. 
 
0.52𝑥1 + 0.30𝑥2 + 0.18𝑥3 = 4800 
0.20𝑥1 + 0.50𝑥2 + 0.30𝑥3 = 5810 
0.25𝑥1 + 0.20𝑥2 + 0.55𝑥3 = 5690 
 
Se ha creado el modelo matemático (sistema de ecuaciones), que es análoga a la tabla. 
 
Nota. No siempre ocurre así, es importante tener en cuenta la forma en cómo se 
construyó el modelo. 
 
Ejemplo. Considere el problema de encontrar las corrientes en las diferentes partes de 
un circuito eléctrico con resistencias, como se muestra a continuación 
 
 
Solución 
 
Los flujos de corriente en circuitos están gobernados por las leyes de Kirchhoff. La 
primera ley indica que la suma de voltajes en un circuito cerrado es cero. Esto significa 
17 
 
que en un nodo, la suma de corrientes que entran en ese nodo, es igual a la suma de 
corrientes que salen. 
 
La segunda ley establece que la caída de voltaje en una resistencia, es el producto de la 
corriente y la resistencia 𝑉 = 𝑅𝐼. 
 
En el circuito, se observan tres ciclos de corriente separados. Se aplican ambas leyes de 
Kirchhoff en un sistema de ecuaciones lineales. 
 
En el ciclo 1; la corriente 𝑖1 tiene relación directa y única con la resistencia 𝑅6, no 
obstante las resistencias 𝑅2 𝑦 𝑅1, tiene relación, no solo con 𝑖1, también con 𝑖2 e 𝑖3. Al 
aplicar la segunda Ley de Kirchoff, se obtiene: 
 
𝑅6𝑖1 + 𝑅1(𝑖1 − 𝑖2) + 𝑅2(𝑖1 − 𝑖3) = 𝑉1 
 
En el ciclo 2; el análisis permite generar la segunda ecuación: 
 
𝑅3𝑖2 + 𝑅4(𝑖2 − 𝑖3) + 𝑅1(𝑖2 − 𝑖1) = 𝑉2 
En el ciclo 3; 
 
𝑅5𝑖3 + 𝑅4(𝑖3 − 𝑖2) + 𝑅2(𝑖3 − 𝑖1) = 𝑉3 
 
Al realizar una simplificación algebraica y ordenar el sistema en forma matricial se 
obtiene el siguiente modelo: 
[
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅6 −𝑅1 −𝑅2
−𝑅1 𝑅1 + 𝑅3 + 𝑅4 −𝑅4
−𝑅2 −𝑅4 𝑅2 + 𝑅4 + 𝑅5
] [
𝑖1
𝑖2
𝑖3
] = [
𝑉1
𝑉2
𝑉3
] 
 
Ejemplo. Un tendero gasta $1000.00 en comprar enseres de $10.00, $40.00 y $120.00 
pesos. 
¿Cuántos ha comprado de cada clase si en total ha adquirido 40 enseres? 
Generar el modelo matemático del caso y describirlo 
 
Solución 
 
Sean x, y, z el número de enseres de $10.00, $40.00 y $120.00. Esto se traduce al lenguaje 
algebraico como: 
10𝑥 + 40𝑦 + 120𝑧 = 1000 
 
La segunda parte, indica que el total de cada clase genere en total 40 enseres, es decir; 
18 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 40 
El modelo matemático es: 
10𝑥 + 40𝑦 + 120𝑧 = 1000 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 40 
 
Descripción. El sistema generado se constituye de tres incógnitas y dos ecuaciones. Es 
un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones, por lo que al 
solucionarse el mismo, a una de las incógnitas se le asignará un valor, a modo de 
parámetro y acorde al contexto del problema. 
 
AHORA, ¡ES TU TURNO! 
 
A continuación, se te presentan dos ejemplos en los cuales se requiere que identifiques, 
clasifiques y expliques los componentes del sistema. Con lo anterior, se organice la 
información en una tabla descriptiva, la cual es útil para generar el modelo matemático 
que representa al sistema. 
 
Evidencia de aprendizaje 2.2 
 
El fabricante de café SABROSO cosechado en Coatepec, Ver. maneja tres tipos de café A, 
B y C, que exporta a Estados Unidos. 
 
Desea mejorar la calidad del sabor de su producto de exportación, y para ello, necesita 
mezclar los tres tipos de grano que cuestan 1.20, 1.60 y 1.40 dólares/libra, 
respectivamente. 
 
El fabricante cuenta con un presupuesto de 57600 dólares para la compra de los granos 
de café. 
 
El número de libras necesarias de cada tipo de grano debe satisfacer un inventario de 
40000 libras que tiene el fabricante en su bodega. 
 
Al mezclar el café y evitar un resultado de sabor amargo, el productor determina que la 
cantidad usada del componente B, debe ser el doble de la del componente A, excluyendo 
al C. 
 
2.2a Realiza una búsqueda en internet y explica qué es un precio unitario 
No olvides mencionar la referencia de tu consulta. 
 
 
19 
 
 
 
 
2.2b Identifica las variables del problema 
 
 
 
 
 
 
2.2c Explica lo qué significa cada variable 
 
 
 
 
 
 
2.2d ¿Cómo influye la siguiente sentencia “al mezclar el café y evitar un sabor amargo, 
el productor determina que la cantidad usada del componente B, debe ser el doble de 
la del componente A, excluyendo al C”, en la combinación de los tres componentes? 
 
 
 
 
 
 
 
Evidencia de aprendizaje 2.3 
 
La capacidad semanal de producción de Metalurgia Mexicana es de 600 toneladas de 
tres diferentes aleaciones. Recibe semanalmente 31 viajes, que hacen un total de 15 ton 
de carbón, 39 ton de cromo y 546 ton de hierro 
 
La composición de producción es la siguiente 
Mineral Hierro forjado Acero inoxidable Hierro fundido 
Carbón 1% 1% 4% 
Cromo - 15% 3% 
Hierro 99% 84% 93% 
 
20 
 
2.3a Identifica las variables 
 
 
 
 
 
 
2.3b Explica lo que significa cada variable 
 
 
 
 
 
 
2.3c Explica la tabla 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para proceder a conocer los métodos directos e indirectos, es necesario estudiar qué 
significa resolver un sistema de ecuaciones lineales y bases fundamentales que 
soportan a los métodos. 
 
La expresión del tipo 
𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏 
 
Se llama ecuación algebraica o lineal de primer grado donde 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛 representan 
variables o incógnitas y 𝑎1, 𝑎2, … 𝑎𝑛 representan elementos conocidos de K (cuerpo 
numérico de ℝ,ℂ,ℚ) que se denominan coeficientes. 
 
b, es el término independiente, de manera que, un sistema de ecuaciones lineales es un 
conjunto, de expresiones de la forma S 
Métodos directos e indirectos
21 
 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 
… 
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 
 
Donde 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏 ∈ 𝐾, ∀𝑖 = 1,2,… ,𝑚 ∀𝑗 = 1,2,… , 𝑛 
En las incógnitas, 𝑥𝑖𝑗, el primer subíndice de las “i”, significa la posición que ocupa el 
sistema en el renglón, y “j”, se refiere a la posición de la columna. 
𝑥1𝑗 = 𝑏1 ∀ 𝑗 = 1, 𝑛 
𝑥2𝑗 = 𝑏2 ∀𝑗 = 1, 𝑛 
… 
𝑥𝑛𝑗 = 𝑏𝑛 ∀𝑗 = 1, 𝑛 
 
El sistema de ecuaciones lineales S puede representarse como 
 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
… … … …
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
] 𝑥 = [
𝑥1
𝑥2
…
𝑥𝑛
] 𝑏 = [
𝑏1
𝑏2
…
𝑏𝑛
] 
 
Y se expresa en forma simplificada como una multiplicación Ax=b. 
 
La matriz A, se llama Matriz de Coeficientes, x, es el vector de incógnitas y b, es el 
vector de términos independientes. 
 
En ocasiones, cuando se desea resolver el sistema, esto es, determinar los valores del 
vector de incógnitas x, que satisfaga a todo el vector de términos independientes b, se 
puede expresar como una matriz ampliada: 
 
𝐴 = [
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 | 𝑏1
𝑎21𝑎22 … 𝑎2𝑛 | 𝑏2
… … … … | …
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 | 𝑏𝑚
] 
 
Con base en lo anterior, y bajo una perspectiva de Álgebra Lineal, dos sistemas de 
ecuaciones lineales 𝑆1 y 𝑆2 con un mismo número de incógnitas: 
 
𝑆1: 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 
𝑆2: 
𝑐11𝑥1 + 𝑐12𝑥2 + ⋯+ 𝑐1𝑛𝑥𝑛 = 𝑑1 
S 
22 
 
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 
… 
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 
 
𝑐21𝑥1 + 𝑐22𝑥2 + ⋯+ 𝑐2𝑛𝑥𝑛 = 𝑑2 
… 
𝑐𝑚1𝑥1 + 𝑐𝑚2𝑥2 + ⋯+ 𝑐𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑑𝑚 
 
 
Se llaman sistemas equivalentes si tienen las mismas soluciones, es decir; si toda 
solución del primero es solución del segundo, y recíprocamente. 
 
Nota: Así que, bajo esta definición, no es necesario que los sistemas dados, posean el 
mismo número de ecuaciones. 
 
Ejemplo. Sean los dos sistemas propuestos: 
x-y=-3 
2x+y=6 
4x-4y=-12 
x-y=-3 
2x+y=6 
 
Los dos sistemas pertenecen al espacio ℝ, y son dos sistemas equivalentes, porque 
ambos tienen como única solución (1, 4). De hecho, una observación más detallada 
sobre el primer sistema denota que la ecuación 
 
x-y=-3, ha sido multiplicada por 4, para generar 
4x-4y=-12 
 
Nota: Con el ejemplo, se tiene un precedente que indica la existencia de 
transformaciones lineales entre las ecuaciones de un sistema que admiten que uno pase 
a otro equivalente. 
 
Las transformaciones son importantes, ya que indican que operaciones se pueden 
realizar al momento de resolver un sistema lineal, es decir; se trata de hallar, si existen, 
números que pueden tomar las variables o incógnitas de modo que se satisfagan 
simultáneamente todas las ecuaciones. 
 
Las siguientes transformaciones que dan lugar a otro sistema equivalente son: 
 
a. Intercambiar el orden de ecuaciones de un sistema. Ejemplo: 
 
𝑥 − 𝑦 = −3 → 2𝑥 + 6 = 6
2𝑥 + 𝑦 = 6 𝑥 − 𝑦 = −3
 
 
b. Multiplicar ambas partes de la igualdad por un elemento de K. Ejemplo: 
23 
 
 
𝑥 − 𝑦 = −3 (𝑝𝑜𝑟 4) → 4𝑥 − 4𝑦 = −12 
 
c. Eliminar una ecuación del sistema que resulta en una combinación lineal de las 
demás. Ejemplo: 
𝑥 − 𝑦 = −3 2𝑥 + 6 = 6
2𝑥 + 𝑦 = 6 → 𝑥 − 𝑦 = −3
4𝑥 − 4𝑦 = −12
 
Al eliminar la tercera ecuación, se observa no se modifica la solución del sistema 
de ecuaciones lineales. 
 
d. Sustituir una ecuación del sistema por la suma de ella, más otra ecuación del 
sistema multiplicada por un elemento K diferente de cero. Ejemplo: 
 
𝑥 − 𝑦 = −3 (−2𝑅1 + 𝑅2) 𝑥 − 𝑦 = −3
2𝑥 + 𝑦 = 6 → 0 + 3𝑦 = 12
 
 
Se observa que se ha sustituido una ecuación, por una combinación lineal de ella, 
mediante una operación que se llama suma/resta de renglones. En este caso, del 
renglón 1 𝑅1 al renglón 2 𝑅2, siendo (-2) el escalar multiplicador: −2𝑥 + 2𝑦 = −6 que 
cuando se suma al segundo renglón 2𝑥 + 𝑦 = 6, ha permitido eliminar una variable del 
renglón 𝑅2. 
 
Las transformaciones mencionadas permiten generar un sistema escalonado, en el cual 
todos los coeficientes que se encuentran debajo de la diagonal principal 
𝑎11, 𝑎22, 𝑎33, … 𝑎𝑛𝑛 son nulos, tal como se observa a continuación: 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 
𝑎22𝑥2 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 
… 
𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 
 
Las trasformaciones aquí mencionadas dan origen a sistemas equivalentes, que 
mantienen la misma solución. El método de Gauss-Jordan consiste en transformar el 
sistema de ecuaciones dado en otro equivalente, con la condición de eliminar una 
incógnita con cada operación, tal es el caso que si en un inicio se tienen n incógnitas, al 
realizar las transformaciones y combinaciones lineales necesarias en una segunda 
etapa, el sistema tendrá n-1 incógnitas, luego n-2, y así sucesivamente. 
 
24 
 
Posteriormente, se trata de suprimir de cada incógnita sobre el elemento pivote 
(primer elemento no nulo de cada fila). Bajo este enfoque, el pivote se encuentra en la 
diagonal principal. 
 
 que normalmente, se identifica en la posición de la diagonal principal, así que el sistema 
quedará: 
 
𝑎11𝑥1 …………… = 𝛼1 
𝑎22𝑥2 …… = 𝛼2 
…………… 
𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 = 𝛼𝑛 
A continuación, se describe al método de Gauss- Jordan. 
 
Método de Gauss-Jordan 
 
Un método directo es aquel que asume que se obtendrá una solución exacta a un 
sistema Ax=b, mediante un número finito de pasos. 
 
En el método de Gauss Jordan se dispone de una matriz en la cual se realizan sucesivas 
eliminaciones de incógnitas mediante transformaciones elementales de fila y columna, 
tales como, multiplicar por un escalar distinto de cero, suma/resta entre renglones e 
intercambio de filas, para obtener un sistema equivalente, en cuyo lado izquierdo, esto 
es, la matriz de coeficientes A presentará la forma de una matriz identidad I, y del lado 
de términos independientes, la solución que satisface al sistema. 
 
Se presenta un ejemplo ilustrativo que muestra la filosofía de un número finito de 
operaciones y la idea de solución exacta, siempre y cuando, las operaciones se pudieran 
efectuar con aritmética infinita. 
 
Ejemplo. Se presenta un sistema de orden 2x2: 
𝑥 − 𝑦 = −3
2𝑥 + 𝑦 = 6
 
 
Resolver por el método de Gauss-Jordan. 
Solución 
 
Se genera una matriz A* ampliada y se realizan transformaciones sobre los renglones R 
[
1 −1 | −3
2 1 | 6
] − 𝟐𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 
 
25 
 
Se ha eliminado una incógnita: 
[
1 −1 | −3
0 3 | 12
] 
𝟏
𝟑
𝑹𝟐 
 
En la diagonal principal se busca tener la forma de una matriz Identidad I. 
[
1 −1 | −3
0 1 | 4
] 𝑹𝟐 + 𝑹𝟏 
 
Observe que de las operaciones propuestas sobre los renglones R, el último 
corresponde en donde se realizará la transformación, tal como sucede 𝑹𝟐 + 𝑹𝟏, la 
operación es tomar el renglón 2 y sumarlo al renglón 1, el resultado se refleja en 𝑹𝟏. Las 
combinaciones generan un sistema equivalente que contiene la solución que satisface 
al sistema original. 
[
1 0 | 1
0 1 | 4
] 
𝑥 = 1 𝑦 = 4 
 
Gauss Jordan tiene un enfoque didáctico, pero pierde precisión cuando el orden de la 
matriz aumenta, o cuando la diferencia entre cifras significativa es grande. El pivoteo 
que se realiza sobre la diagonal principal con Gauss Jordan, se vuelve ineficiente 
conforme aumenta el orden de la matriz. 
 
El método de Gauss-Jordan, en forma similar, a la eliminación gaussiana, logra la 
obtención de soluciones mediante la reducción de la matriz de coeficientes en un 
sistema equivalente en forma de matriz, en el que cada ecuación tiene una incógnita 
menos que la anterior. Primero, se genera una matriz triangular superior, y al continuar 
con eliminaciones, se obtiene una matriz diagonal. 
 
Los elementos de la diagonal principal darán los resultados buscados. 
 
Ejemplo. Resolver el sistema lineal, mediante el método de Gauss- Jordan 
𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 = 7 
𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 = 13 
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 5 
Solución 
1. Conformar la matriz de coeficientes, con el vector de términos independientes 
en una matriz aumentada: 
𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥3 = 7 
𝑥1 + 6𝑥2 − 𝑥3 = 13 
2𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 5 
[
1 4 1 | 7
1 6 −1 | 13
2 −1 2 | 5
] 
26 
 
 
Con lo anterior se ha formulado el sistema como una matriz aumentada 
 
2. Se pivotea sobre los elementos de la diagonal principal, de tal forma que dicho 
pivote sea convierta al número uno (1). Se efectúan combinaciones lineales 
sobre los renglones restantes con el objetivo que se generen ceros en la columna 
del pivote. Se prosigue este método hasta lograr conformar una matriz 
identidad, la cual es un sistema equivalente con el original. Aquí se usará la letra 
R para denotar los cambios en cada renglón. 
 
Recordar que las operaciones permitidas son: Multiplicación por un escalar distinto de 
cero, suma/resta entre renglones e intercambio de filas, y la estrategia es eliminar las 
variables denotadas en color rojo. 
 
[
1 4 1 | 7
𝟏 6 −1 | 13
𝟐 −𝟏 2 | 5
] 
−𝑅1 + 𝑅2 
−2𝑅1 + 𝑅3 
-1+1, -4+6, -1-1, -7+13 de la primera 
operación 
-2(1)+1, -2(4)+6,-2(1)-1, -2(7)+13 
de la segunda operación 
 
Para la nomenclatura, se afecta los renglones R que aparecen al final de cada operación. 
Los cambios de ambas operaciones se reflejan en la segunda operación, es decir de 
−𝑅1 + 𝐑𝟐, el cambio se reflejará en 𝑹𝟐, y de la operación 
−2𝑅1 + 𝑅3, el cambio se reflejará en 𝑅3, quedando 
[
1 4 1 | 7
0 2 −2 | 6
0 −9 0 | −9
] 
 
Del tercer renglón ha quedado con casi una forma unitaria [0 −9 0 | −9]. Se 
intercambia fila, la segunda por la tercera. Además, se obtiene el inverso multiplicativo, 
para hacer un pivote de renglón ya intercambiado (-1/9𝑹𝟐): 
[
1 4 1 | 7
0 −9 0 | −9
0 2 −2 | 6
] − 𝟏/𝟗𝑹𝟐 ≅ [
1 4 1 | 7
0 1 0 | 1
0 2 −2 | 6
] 
 
[
1 4 1 | 7
0 1 0 | 1
0 2 −2 | 5
] 
−2𝑅2 + 𝑅3 
El cambio en 
𝑅3 
[
1 4 1 | 7
0 1 0 | 1
0 0 −2 | 4
] 
−
1
2
𝑅2 
27 
 
[
1 𝟒 𝟏 | 7
0 1 0 | 1
0 0 1 | −2
] 
Son las 
variables por 
eliminar 
 
Ya se tienen pivotes unitarios en la diagonal principal. Se ha generado una matriz 
triangular superior (Upper). La estrategia ha sido la siguiente, partir de la esquina 
superior izquierda hacia abajo para generar ceros por debajo de los pivotes. 
 
El procedimiento ahora será al revés, de los renglones inferiores hacia arriba, para 
hacer ceros sobre los pivotes. 
[
1 4 1 | 7
0 1 0 | 1
0 0 1 | −2
] 
−4𝑅2 + 𝑅1 
El cambio en 
𝑅1 
[
1 0 1 | 3
0 1 0 | 1
0 0 1 | −2
] 
−𝑅3 + 𝑅1 
El cambio en 
𝑅1 
[
1 0 0 | 5
0 1 0 | 1
0 0 1 | −2
] 
¡Listo! 
 
𝒙𝟏 = 𝟓,𝒙𝟐 = 𝟏,𝒙𝟑 = −𝟐 
 
Hay que mencionar que la forma de resolver este sistema no es única. Cada uno puede 
elegir el camino para la reducción de la matriz. Todo depende de tu creatividad e 
intuición para eliminar las variables. Por ejemplo, 
[
1 4 1 | 7
1 6 −1 | 13
2 −1 2 | 5
] [
1 4 1 | 7
0 2 −2 | 6
0 −9 0 | −9
] 
−𝑅1 + 𝑅2 
−2𝑅1 + 𝑅3 
 
Hasta aquí se ha realizado lo mismo. Ahora véase lo siguiente 
[
1 4 1 | 7
0 2 −2 | 6
0 −9 0 | −9
] 
−
9
2
𝑅2 + 𝑅3 
 
[
1 4 1 | 7
0 2 −2 | 6
0 0 −9 | 18
] 
 
De aquí se ve, que no se realizó un intercambio de renglones y que la variable 
𝑥3 = −2. Se sugiere que el estudiante convierta los pivotes de la diagonal principal en 
1, y elimine el resto de las variables. 
 
28 
 
Asimismo, para ver el desarrollo algebraico del método, ingrese al ejecutable de Gauss- 
Jordan, el cual le permitirá resolver sistemas de ecuaciones simultáneas, mostrando de 
manera detallada el proceso de solución. 
 
REVISA EL EJECUTABLE DE GAUSS- JORDAN 
 
Ejemplo. Resolver el sistema lineal por el método de Gauss-Jordan. 
 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 5 
2𝑥 + 2𝑦 = 7 
5𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 1 
Solución 
De nuevo se genera una matriz A* 
 
[
1 −2 1 | 5
2 2 0 | 7
5 −3 4 | 1
]
−𝟐𝑹𝟏 + 𝑹𝟐
−𝟓𝑹𝟏 + 𝑹𝟑
 
Aquí ya se realizaron dos operaciones sobre el renglón 2 y el renglón 3, y se suprimieron 
dos incógnitas debajo del pivote 𝑎11. 
 
≅ [
1 −2 1 | 5
0 6 −2 | −3
0 7 −1 | −24
]−
𝟕
𝟔
𝑹𝟐 + 𝑹𝟑 
 
Se trata de eliminar ahora la posición 𝑎32, debajo del pivote 𝑎22 = 6, por ello, la 
multiplicación de -7/6. 
≅ [
1 −2 1 | 5
0 6 −2 | −3
0 0
8
6
| −
123
6
] 
Se puede trabajar con fracciones o números decimales: 
≅ [
1 −2 1 | 5
0 1 −0.333 | −0.5
0 0 1.333 | −20.5
] ≅ [
1 0 0 | 9.1246
0 1 0 | −5.6246
0 0 1 | −15.3754
] 
 
Se deduce que, por las operaciones sistemáticas, es conveniente hacer uso de 
computadoras. El resultado es 
𝑥 = 9.1246
𝑦 = −5.6246
𝑧 = −15.3754
 
 
29 
 
Ejemplo. Describir las características de los siguientes sistemas lineales S: 
 
Sistema de ecuaciones 
lineales 
Solución 
5𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 2 
−3𝑦 + 𝑧 = 6 
𝑧 = 4 
 
El sistema se ha presentado en forma escalonada que, si se 
representa matricialmente, se llama Upper U (Triangular 
Superior). El número de incógnitas es igual al número de 
ecuaciones. Este sistema tiene una única solución, por lo 
tanto, es compatible determinado. 
5𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 1 
3𝑦 + 𝑧 + 2𝑡 = 2 
𝑧 + 3𝑡 = 5 
 
El sistema de nuevo se ha presentado bajo la estructura U. 
Sin embargo, son más las incógnitas que las ecuaciones, 
por lo tanto, es un sistema compatible indeterminado. Esto 
requiere que se asigne arbitrariamente un valor a t. 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 10 
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 8 
 
El sistema tiene tres incógnitas y tres ecuaciones. Observar 
a detalle la primera y tercera ecuación. 
La tercera ecuación, en su lado izquierdo, es una 
combinación lineal, no siendo el caso de su lado derecho 
que debiera tener el valor 12. Es un sistema incongruente 
y no tiene solución. Se sugiere que el alumno pruebe esto. 
 
Evidencia de aprendizaje 2.4 
 
Resuelve por Gauss- Jordan, el siguiente sistema. 
𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 9 
−𝑥1 + 3𝑥2 = −4 
2𝑥1 − 5𝑥2 + 5𝑥3 = 17 
 
Escribe tu respuesta en una hoja, tómale una foto y súbela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
Método de Jacobi 
 
Un método iterativo en la solución de un sistema lineal con la forma Ax=b, se puede 
resolver al construir una sucesión convergente a la solución del sistema. 
 
Los métodos indirectos no generan una solución exacta, aunque su gran ventaja es su 
eficiencia con respecto a los métodos directos, tanto por la disminución en el número 
de operaciones, como por la reducción del error por redondeo. Esto es particularmente, 
cierto, en sistemas con un alto porcentaje de entradas 𝑎𝑖𝑗 = 0, en la matriz de 
coeficientes A, a las que se conocen como matrices dispersas. 
 
Los métodos indirectos también son útiles para sistemas de ecuaciones lineales de 
orden mayor a 15. 
 
Existen diferentes métodos para la solución del sistema. Aquí se describen brevemente 
dos métodos clásicos. El de Jacobi y el de Gauss-Seidel. Hay que tomar en cuenta que 
los métodos iterativos en sistemas lineales comienzan con una aproximación inicial 
𝑥(0), que se convierten a una solución x aproximada, mediante un procedimiento que 
transforma el sistema matricial 𝐴𝑥 = 𝑏, en un sistema equivalente de la forma 𝑥 =
𝑥(𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟) + 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜, se calculan aproximaciones sucesivas que, con base en 
ciertas condiciones, convergen a la solución exacta del sistema lineal. 
 
La base de los dos métodos, se encuentra en la Teoría del Punto Fijo, la cual indica, bajo 
una perspectiva geométrica, que una función de variable real y=g(x) es continua en el 
intervalo [a, b]. El objetivo es aproximar una solución P, en el intervalo [a, b] de la 
ecuación g(x)=x 
 
 
31 
 
P es un punto fijo, porque g(P)=P y la solución se encontrará en la intersección de las 
gráficas. 
𝑦 = 𝑔(𝑥) y 𝑦 = 𝑥 
 
De manera que, 𝑥0 es un vector que se elige arbitrariamente, como una aproximación 
inicial a la solución exacta P. 
 
Al aplicar el algoritmo de Jacobi o de Gauss- Seidel, se seguirá una trayectoria como la 
mostrada en la segunda gráfica, y las abscisas de los puntos 
�⃗⃗�𝑘 = (𝑥𝑘 , 𝑔(𝑥𝑘)) 
 
Sobre la función g, tenderá a llegar a una solución para P. 
 
Dos condiciones iniciales se requieren para ambos métodos: 
Las matrices sean de orden nxn, o sea, sean cuadradas, y la segunda condición, los 
mayores valores de los coeficientes se encuentren en la diagonal principal. Por ejemplo, 
 
𝟓𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 4 
3𝑥 + 𝟖𝑦 + 4𝑧 = 15 
𝑥 + 𝑦 + 𝟑𝑧 = 9 
 
Así que, sea T una matriz cuadrada de orden n y 𝑐̅, un vector fijo ∈ ℝ 
𝑔(𝑥) = 𝑇�̅� + 𝑐̅ 
 
Para cada �̅� ∈ ℝ, se dice que g es una transformación afín en el espacio de ℝ, esto es, los 
métodos son consistentes si: 
𝑔(𝑥) = 𝑇�̅� + 𝑐 ̅ ⇔ 𝐴𝑥 = 𝑏 
 
El método de Jacobi para n renglones en Ax=b, es el siguiente: 
𝑥𝑖 = ∑(−
𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
𝑎𝑖𝑖
𝑛
𝑗=1
) +
𝑏𝑖
𝑎𝑖𝑖
 
para i=1,2,…n 
Lo anterior en forma descriptiva, para una matriz de orden 3x3 en la primera iteración, 
se establece un valor inicial y un factor de convergencia 
𝑥(0), 𝛿 
𝑥1 = (𝑏1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3)/𝑎11 
32 
 
𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21𝑥1 − 𝑎23𝑥3)/𝑎22 
𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31𝑥1− 𝑎32𝑥2)/𝑎33 
En la segunda iteración, los valores obtenidos para x, se introducen en la siguiente 
iteración. De esta forma, conforme se generen nuevos valores, se retienen para la 
siguiente iteración. 
𝑥1 = (𝑏1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3)/𝑎11 
𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21𝑥1 − 𝑎23𝑥3)/𝑎22 
𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2)/𝑎33 
El método finaliza cuando 
|𝑥𝑖 − 𝑥
(𝑛)
𝑖| ≤ 𝛿 
Nota. Los métodos solo funcionan para matrices cuadradas y deben realizarse los 
intercambios de renglones necesarios, para lograr que los coeficientes de las variables 
en la diagonal principal sean los de MAYOR VALOR, en valor absoluto. 
 
Ejemplo. Resolver por el método de Jacobi el siguiente sistema de ecuaciones lineales. 
−𝑥1 + 2𝑥2 = 3 
4𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 11 
2𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 16 
Solución 
𝟒𝒙𝟏 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 11 
−𝑥1 + 𝟐𝒙𝟐 = 3 
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝟒𝒙𝟑 = 16 
 
Se realizó un intercambio de renglones para ordenar el sistema de manera 
diagonalmente dominante. 
 
1. Despejar la variable de mayor coeficiente para obtener ecuaciones que puedan 
ser iteradas (esto es, aplicar el inverso multiplicativo): 
𝒙𝟏 =
11
4
−
1
2
𝑥2 −
1
4
𝑥3 
𝐱𝟐 =
3
2
+
1
2
𝑥1 
𝒙𝟑 = 4 −
1
2
𝑥1 −
1
4
𝑥2 
 
2. Asignar una aproximación inicial al valor de las variables (esto se realiza de 
manera arbitraria). Normalmente, se comienza con 𝑥0 = (0,0,0). Nótese que el 
33 
 
superíndice 0, no se refiere a un exponente, más bien, el número de iteración. 
Asimismo, se asigna un 𝛿 < 0.001, que define la condición de paro. 
 
Para la primera iteración se tiene 
𝑥1 = (
11
4
,
3
2
, 4) 
 
Lo anterior es el resultado de sustituir los valores iniciales sobre las ecuaciones. 
3. Se compara con el delta y dado que los resultados son mayores, se continúa con 
las iteraciones. 
 
 
𝑥1 = (
11
4
,
3
2
, 4) 
 
𝒙𝟏 =
11
4
−
1
2
𝑥2 −
1
4
𝑥3 
𝐱𝟐 =
3
2
+
1
2
𝑥1 
𝒙𝟑 = 4 −
1
2
𝑥1 −
1
4
𝑥2 
𝑥1
2 =
11
4
−
1
2
(
3
2
) − (
1
4
)(4) = 𝟏 
𝑥2
2 =
3
2
+
1
2
(
𝟏𝟏
𝟒
) =
𝟐𝟑
𝟖
 
𝑥3
2 = 4 −
1
2
(
𝟏𝟏
𝟒
) −
1
4
(
𝟑
𝟐
) =
𝟏𝟖
𝟖
 
Observa que el resultado de la segunda iteración, tomó los valores de la primera que 
se sustituyeron en cada variable. 
 
4. Se realiza otra iteración para clarificar aún más el procedimiento. Los valores 
obtenidos de la segunda iteración, son los que ahora permiten realizar la 
tercera iteración. 
𝑥2 = (1,
23
8
,
18
8
) 
 
𝒙𝟏 =
11
4
−
1
2
𝑥2 −
1
4
𝑥3 
𝐱𝟐 =
3
2
+
1
2
𝑥1 
𝒙𝟑 = 4 −
1
2
𝑥1 −
1
4
𝑥2 
𝑥1
2 =
11
4
−
1
2
(
𝟐𝟑
𝟖
) − (
1
4
)(
𝟏𝟖
𝟖
) =
24
32
=
𝟑
𝟒
 
𝑥2
2 =
3
2
+
1
2
(𝟏) = 𝟐 
𝑥3
2 = 4 −
1
2
(𝟏) −
1
4
(
𝟐𝟑
𝟖
) =
𝟖𝟗
𝟑𝟐
 
 
La continuación de iteraciones se continúa hasta que los valores sucesivos de las 
variables cumplen con 𝛿 < 0.001. 
La aproximación de la solución es 
𝒙𝟏
𝟏𝟐 = 𝟏 
34 
 
𝒙𝟐
𝟏𝟐 = 𝟐 
𝒙𝟑
𝟏𝟐 = 𝟑 
 
Nótese que se realizan 12 iteraciones para resolver numéricamente este sistema de 
ecuaciones lineales. Por ello, la necesidad de emplear las computadoras. 
 
TE INVITAMOS A QUE REVISES EL EJECUTABLE DE ESTE PROGRAMA TITULADO 
JACOBI 
 
 
Método de Gauss-Seidel 
 
El método de Jacobi es conocido también como un método de desplazamientos 
simultáneos, ya que en cada iteración, los componentes del vector 𝑥𝑛+1 son obtenidos 
simultáneamente a partir de los componentes del vector 𝑥𝑛. 
 
Ahora, si al aplicar el método de Jacobi sobre un sistema lineal, converge a la solución 
exacta, entonces se puede pensar en ir utilizando los componentes del vector a medida 
que se van calculando, y esto es exactamente lo que ocurre con el método de Gauss-
Seidel. 
 
La mejora sobre el método de Jacobi, se presenta con Gauss Seidel. Su algoritmo se basa 
en lo siguiente: 
𝑥𝑖
𝑘 =
−∑ (−
𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗
(𝑘)
𝑎𝑖𝑖
𝑖−1
𝑗=1 ) − ∑ (𝑎𝑖𝑗
𝑛
𝑗=𝑖+𝑛 𝑥𝑗
(𝑘−1)) + 𝑏𝑖
𝑎𝑖𝑖
 
para i=1,2,…n 
 
 
El método de Gauss- Seidel, también es un método de desplazamientos sucesivos, ya 
que los componentes del vector 𝑥𝑛+1, son calculados utilizando los componentes ya 
obtenidos del mismo vector. En forma descriptiva, en este método se establece un valor 
inicial y un factor de convergencia. 
 
Nota: Se reitera la necesidad de que exista en la matriz de coeficientes, una diagonal 
estrictamente dominante, es decir; cada elemento de la diagonal es el mayor en valor 
absoluto que la de los demás elementos de la misma fila. 
 
35 
 
En una primera iteración, se propone un valor inicial 𝑥(0), 𝛿, el cual permite obtener los 
valores 𝑥(1). De 𝑥1, se aplica inmediatamente su valor, para obtener 𝑥2, y ambos nuevos 
valores, se usan para obtener 𝑥3. Las fechas muestran las disposiciones de los valores 
de 𝑥(1). 
𝑥(0), 𝛿 
𝑥1 = (𝑏1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3)/𝑎11 
 
𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21𝑥1 − 𝑎23𝑥3)/𝑎22 
 
𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2)/𝑎33 
 
Segunda iteración. De forma similar a la primera iteración, se usan los valores obtenidos 
en forma simultánea. 
𝑥1 = (𝑏1 − 𝑎12𝑥2 − 𝑎13𝑥3)/𝑎11 
 
𝑥2 = (𝑏2 − 𝑎21𝑥1 − 𝑎23𝑥3)/𝑎22 
 
𝑥3 = (𝑏3 − 𝑎31𝑥1 − 𝑎32𝑥2)/𝑎33 
 
Nótese que se usa inmediatamente el último valor disponible de x, para calcular un 
conjunto de nuevas x, con base en el conjunto de x anteriores. 
El método finaliza cuando 
|𝑥𝑖 − 𝑥
(𝑛)
𝑖| ≤ 𝛿 
 
Ejemplo. Resolver el sistema lineal, por medio del método de Gauss- Seidel. 
 
𝟒𝒙𝟏 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 11 
−𝑥1 + 𝟐𝒙𝟐 = 3 
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝟒𝒙𝟑 = 16 
 
1. De nuevo el sistema organizado con una diagonal dominante, se despeja la 
variable de mayor coeficiente para obtener ecuaciones que puedan ser iteradas: 
𝒙𝟏 =
11
4
−
1
2
𝑥2 −
1
4
𝑥3 
𝐱𝟐 =
3
2
+
1
2
𝑥1 
𝒙𝟑 = 4 −
1
2
𝑥1 −
1
4
𝑥2 
36 
 
2. Se usa un superíndice para hacer referencia al número de iteraciones, además, 
de que se asigna una aproximación inicial al valor de las variables. Por ejemplo, 
𝑥0 = (0,0,0) para iniciar el proceso de iteración, con 𝛿 < 0.001. 
 
Con el método de Gauss-Seidel, el nuevo componente calculado se usa para obtener el 
valor de la siguiente variable, sin tener que evaluar todo el sistema bajo los valores 
iniciales. 
𝑥1
1 =
𝟏𝟏
𝟒
 
 
𝑥2
1 =
3
2
+
1
2
(
𝟏𝟏
𝟒
) =
𝟐𝟑
𝟖
 
 
𝑥3
1 = 4 −
1
2
(
𝟏𝟏
𝟒
) −
1
4
(
𝟐𝟑
𝟖
) =
𝟔𝟏
𝟑𝟐
 
De tal forma que 
𝑥1
1 =
𝟏𝟏
𝟒
 
𝑥2
1 =
𝟐𝟑
𝟖
 
𝑥3
1 =
𝟔𝟏
𝟑𝟐
 
 
Se continúa con la segunda iteración, para clarificar el procedimiento 
𝑥2 = (
11
4
,
23
8
,
61
32
) 
 
 
𝒙𝟏 =
11
4
−
1
2
𝑥2 −
1
4
𝑥3 
 
𝐱𝟐 =
3
2
+
1
2
𝑥1 
 
𝒙𝟑 = 4 −
1
2
𝑥1 −
1
4
𝑥2 
 
𝑥1
2 =
11
4
−
1
2
(
𝟐𝟑
𝟖
) −
1
4
(
𝟔𝟏
𝟑𝟐
) =
𝟏𝟎𝟕
𝟏𝟐𝟖
 
 
𝑥2
2 =
3
2
+
1
2
(
𝟏𝟎𝟕
𝟏𝟐𝟖
) =
𝟒𝟗𝟏
𝟐𝟓𝟔
 
 
𝑥3
2 = 4 −
1
2
(
𝟏𝟎𝟕
𝟏𝟐𝟖
) −
1
4
(
𝟒𝟗𝟏
𝟐𝟓𝟔
) =
𝟑𝟏𝟕𝟕
𝟏𝟎𝟐𝟒
 
 
 
De tal forma que 
𝑥1
2 =
𝟏𝟎𝟕
𝟏𝟐𝟖
≅ 𝟎. 𝟖𝟑𝟔 
37 
 
𝑥2
2 =
𝟒𝟗𝟏
𝟐𝟓𝟔
≅ 𝟏. 𝟗𝟏𝟖 
𝑥3
2 =
𝟑𝟏𝟕𝟕
𝟏𝟎𝟐𝟒
≅ 𝟑. 𝟏𝟎𝟐 
 
Las iteraciones continúan hasta que las diferencias de los tres valores correspondientes 
al vector X sean menores que 𝛿 < 0.001. 
 
La aproximación de la solución es 
𝒙𝟏
𝟓 = 𝟏 
𝒙𝟐
𝟓 = 𝟐 
𝒙𝟑
𝟓 = 𝟑 
Con este método se realizaron 5 iteraciones para resolver numéricamente este sistema 
de ecuaciones lineales. 
Nota: 
 
(1) La convergencia del método de Gauss Seidel, al igual que Jacobi, se logra cuando 
el valor absoluto del coeficiente dominante se encuentra en la diagonal 
principal del sistema de ecuaciones. 
(2) El método de Gauss- Seidel converge en menos iteraciones que las requeridas 
por el método de Jacobi. 
 
TE INVITAMOS A QUE REVISES EL EJECUTABLE DE ESTE PROGRAMA TITULADO 
GAUSS- SEIDEL 
 
Ejemplo. Resolver por el método de Jacobi y el método de Gauss- Seidel, el siguiente 
sistema lineal. 
4𝑥 + 𝑦 = −3 
𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 10 
𝑦 + 4𝑧 = 1 
 
Solución 
Para ambosmétodos se realiza un despeje de los elementos de la diagonal principal con 
el mayor valor absoluto 
𝑥 = −0.75 − 0.25𝑦 
𝑦 = 2.5 − 0.25𝑥 − 0.25𝑧 
𝑧 = 0.25 − 0.25𝑦 
 
 
 
38 
 
Se propone que el valor inicial sea 𝑥0 = (0,0,0), se establece un 𝛿 ≤ 0.001 
Por el método de Jacobi Por el método de Gauss- Seidel 
𝑥1 = −0.75 
𝑦1 = 2.5 
𝑧1 = 0.25 
Segunda iteración: 
𝑥2 = −0.75 − 0.25(2.5) = −1.375 
𝑦2 = 2.5 − .25(−0.75) − 0.25(0.25)
= 2.625 
𝑧2 = 0.25 − 0.25(2.5) = −0.375 
Tercera iteración: 
𝑥3 = 2.937 
𝑦3 = 2.953 
𝑧3 = −4.84 
⋯ 
𝑥6 = −1.5 
𝑦6 = 3 
𝑧6 = −0.5 
 
𝑥1 = −0.75 
𝑦1 = 2.5 − 0.25(−0.75) = 2.669 
𝑧1 = 0.25 − 0.25(2.687) = −0.422 
Segunda iteración: 
𝑥2 = −0.75 − 0.25(2.687) = −1.422 
𝑦2 = 2.5 − 0.25(−1.422) − 0.25(−0.422)
= 2.961 
𝑧2 = 0.25 − 0.25(2.961) = −0.490 
Tercera iteración: 
𝑥3 = −01.490 
𝑦3 = 2.995 
𝑧3 = −0.499 
⋯ 
𝑥4 = −1.5 
𝑦4 = 3 
𝑧4 = −0.5 
 
 
Es importante indicar que la elección del punto inicial no influye en la convergencia, 
aunque sí habrá variaciones en el número de iteraciones para llegar a una solución 
acorde al delta o tolerancia. 
 
Ejemplo. A continuación, se presenta un sistema tridiagonal, resolver por Gauss- Seidel 
[
 
 
 
 
4 −1 0 0 0
−1 4 −1 0 0
0 −1 4 −1 0
0 0 −1 4 −1
0 0 0 −1 4 ]
 
 
 
 
[
 
 
 
 
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
𝑥5]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
100
200
200
200
100]
 
 
 
 
 
 
Se sugiere comenzar con: (25, 50, 50, 50, 25), y con una tolerancia de 0.001 
Solución 
 
Primera iteración 
 
Segunda iteración Sexta iteración 
[
 
 
 
 
44.333
74.733
90.558
80.014
46.203]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
46.133
84.714
92.444
84.912
46.230]
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
 
46.154
84.615
92.307
84.615
46.154]
 
 
 
 
 
 
39 
 
Séptima iteración Una matriz tridiagonal presenta elementos distintos de 
cero en la diagonal principal que muestra un patrón de 
comportamiento. 
Debido a que la diferencia entre la sexta y séptima 
iteración es nula, y tomando en cuenta que el delta, el 
proceso se detiene: 
|𝑥(7) − 𝑥(6)|
|𝑥(6)|
= 0 
[
 
 
 
 
46.154
84.615
92.307
84.615
46.154]
 
 
 
 
 
 
 
 
AHORA, ¡ES TU TURNO! 
 
 
Evidencia de aprendizaje 2.5 
 
Resuelve por el método de Jacobi, el siguiente sistema. 
10𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 44 
𝑥1 + 2𝑥2 + 10𝑥3 = 61 
2𝑥1 + 10𝑥2 + 𝑥3 = 51 
 
Escribe tu respuesta en una hoja, tómale una foto y súbela. 
Nota: (1) Recuerda intercambiar filas para que el sistema lineal te quede con 
coeficientes dominantes en la diagonal principal. 
(2) Te sugerimos asignar, para este caso, una aproximación inicial de (1, 1, 1) 
(3) 𝛿 < 0.001 
 
 
 
 
 
 
 
Evidencia de aprendizaje 2.6 
 
Resuelve por el método de Gauss- Seidel, el siguiente sistema. 
10𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 44 
2𝑥1 + 10𝑥2 + 𝑥3 = 51 
𝑥1 + 2𝑥2 + 10𝑥3 = 61 
Actividades de aprendizaje
40 
 
Escribe tu respuesta en una hoja, tómale una foto y súbela. 
Nota: 
(1) Te sugerimos asignar, para este caso, una aproximación inicial de (1, 1, 1) 
(2) 𝛿 < 0.001 
 
 
 
 
 
 
 
FORO DE DISCUSIÓN. Diseñar un screencast en el que se muestre tu propuesta de 
enseñanza de un método mediado por tecnologías digitales. 
 
BIENVENIDO AL NIVEL 3 
 
En este nivel se integran tus conocimientos del nivel 1 y 2 y para ello, requieres poner 
en práctica tu pensamiento estratégico. En esta sección te ayudaremos a desarrollarlo. 
 
Fig. 2.1 Conceptualización del pensamiento estratégico en métodos numéricos 
 
 
La figura 2.1 se refiere a realizar actividades desde plantear un fin, analizar los medios 
con los que se cuenta, hasta la interpretación de resultados. Justamente, en esta sección 
te presentaremos ejemplos. 
 
41 
 
 
 
Situación del problema y organización de la información… 
 
Una fábrica de concreto almacena tres mezclas básicas (A, B, C) del mismo, que se 
presentan a continuación. Las cantidades se miden en gramos y cada “unidad” de 
mezcla pesa 60 gramos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con base en la tabla anterior, la fábrica puede formular mezclas especiales revolviendo 
combinaciones de las tres básicas. Se tienen las siguientes dudas: 
 
a. ¿Se puede hacer una mezcla que consista en 1 000 g de cemento, 200 g de agua, 1 000 
g de arena, 500 g de grava y 300 g de tobas? 
b. ¿Por qué sí o por qué no? 
c. De ser posible, ¿cuántas unidades de cada una de las mezclas A, B y C se necesitan para 
formular la mezcla especial? 
 
La realización del modelo matemático… 
 
La información organizada en el planteamiento del problema, es del tipo Ax=b, donde 
A es una matriz de coeficientes, x es un vector y b, es un vector. Los datos del problema 
aplicado al modelo matemático, indican para la primera duda (inciso a), que sí es 
posible generar un modelo matemático. 
(
 
 
20 18 12 |1000
10 10 10 | 200
20 25 15 |1000
10 5 15 | 500
0 2 8 | 300)
 
 
 
No obstante, vale la pena hacer algunas precisiones. Se observa que la matriz de 
coeficientes es de orden 5x3, es rectangular (dimensión m x n). Por esta condición se 
tendrán dos opciones; o un sistema indeterminado (con un número infinito de 
Ejemplos de aplicación
 A B C 
Cemento 20 18 12 
Agua 10 10 10 
Arena 20 25 15 
Grava 10 5 15 
Tobas 0 2 8 
42 
 
soluciones), que conduzca a combinaciones lineales. O como segunda opción, que sea 
un sistema incompatible, esto es, el vector de términos independientes 
(
 
 
1000
200
1000
500
300 )
 
 
 no 
pertenece al espacio de la matriz de coeficientes Ax. 
 
 
 
 
Los métodos numéricos de solución… 
 
La matriz de coeficientes no es cuadrada, por tanto, no se pueden emplear los dos 
métodos indirectos estudiados en este capítulo. 
Además, queda la duda de cómo se podrían ordenar las filas para lograr coeficientes 
dominantes en la diagonal principal. 
 
Las opciones se remiten a métodos directos. Dado que estas notas tienen un interés 
didáctico y de demostración de la aplicación de conceptos sobre espacios vectoriales, 
se escoge el método de Gauss Jordan. En la praxis, el método del máximo elemento 
pivoteo y/o LU serían los más adecuados por la aproximación de los resultados. 
 
A continuación, se presenta el proceso de solución del sistema. 
 
Se puede resolver manualmente. Recuerda que se afectan los renglones R que aparecen 
al final de cada operación. Esto es, en la primera operación aparece −
1
2
𝑅1 + 𝑅2, lo cual 
implica que el primer renglón se multiplicó en su totalidad por −
1
2
, y la suma con 𝑅2, se 
reflejó en el renglón 𝑅2: 
20 18 12 | 1000
0 1 4 | 300
20 25 15 | 1000
10 5 15 | 500
0 2 8 | 300
 
 
− 
 
 
 
 
 
 
 
Para resolverlo, puedes acceder a https://es.symbolab.com/, sitio que contiene una 
calculadora útil. 
 
El resultado, se presenta a continuación. En la diagonal principal se tienen valores 
unitarios: 
43 
 
(
 
 
1 0 0 | 68
0 1 0 | 36
0 0 1 | −84
0 0 𝟎 | 𝟗𝟎𝟎
0 0 0 | 0 )
 
 
 
 
 Interpretación de resultados… 
 
El resultado desde una perspectiva indica que el sistema es inconsistente. 
Véase los resultados desde la perspectiva del contexto del problema: 
 A B C Totales 
Cemento 1 0 0 68 
Agua 0 1 0 36 
Arena 0 0 1 -84 
Grava 0 0 0 900 
Tobas 0 0 0 0 
 
Con respecto a los incisos b y c, se tiene la siguiente respuesta. No es posible hacer una 
mezcla especial de 1 000 g de cemento, 200 g de agua, 1 000 g de arena, 500 g de grava 
y 300 g de tobas. Se observan dos incongruencias. 
 
Los resultados descritos en lenguaje natural son: para lograr la mezcla especial de cada 
componente, 
 Para la mezcla A, se requieren 68 gramos de cemento. 
 Para la mezcla B, se requieren 36 gramos de agua. 
 Para la mezcla C, no se requiere arena, HAY UN ADEUDO de 84 gramos, ¿cómo 
es posible esto? 
 Con respecto a la grava, sin requerir de esta, GENERARÁ 900 gramos, lo cual es 
un ABSURDO. 
 Finalmente, no se requiere material de tobas. 
 
En el modelo matemático existen combinaciones lineales entre las ecuaciones,razón 
por la cual, hay un renglón de ceros, lo que denota dependencia lineal. Más aún, por el 
orden de la matriz rectangular, el sistema muestra la existencia de una inconsistencia 
del sistema lineal, lo que tiene como consecuencia la imposibilidad de hallar una 
solución por los métodos clásicos de eliminación gaussiana. 
 
Hasta aquí ha quedado resuelto el problema. 
 
 
44 
 
Ejemplo. 
 
Situación del problema… 
 
Una compañía de electrónica produce transistores, resistencias y chips de 
computadora. Cada transistor requiere de cuatro unidades de cobre, una de zinc y dos 
de vidrio. 
Cada resistor requiere de tres unidades de cobre, tres de zinc y una unidad de vidrio. 
Cada chip de computadora requiere de dos, una y tres unidades de materiales, 
respectivamente. 
 
Los suministros de estos materiales varían de una semana a la otra, de modo que la 
compañía necesita determinar una corrida de producción diferente cada semana. 
 
Por ejemplo, cierta semana las cantidades disponibles de los materiales son 960 
unidades de cobre, 510 unidades de zinc y 610 unidades de vidrio. 
a. ¿Se puede configurar un modelo matemático para tal caso?, ¿cuál sería la solución al 
caso? 
¿Cómo organizo la información? 
 
Planteamiento del problema. Una sugerencia para la configuración del planteamiento 
del problema es mediante la elaboración de una tabla, en la cual los productos, esto es, 
los transistores, resistencias y chips de computadora se ubiquen como las columnas. 
Los recursos y/o los requerimientos de cada producto, se ubican en los renglones. 
 
Producto 
Recursos 
Transistores T Resistencias R Chips C 
Cobre C 4 3 2 
Zinc Z 1 3 1 
Vidrio V 2 1 3 
 
La realización del modelo matemático… 
 
De acuerdo con el inciso a. la configuración del sistema de ecuaciones que modela la 
situación sobre la producción de transistores (T), resistencias (R) y chips (C) que se 
debe fabricar en esa semana, se presenta a continuación: 
4T+3R+2C= 960 
T+3R+C= 510 
2T+R+3C=610 
Sujeto a: 
45 
 
𝑇 ≥ 0, 𝑅 ≥ 0, 𝐶 ≥ 0 
δ=0.1 
El modelo matemático indica que 
4T+3R+2C= 960 Se tiene disponible de cobre, para esa semana, 960 
unidades. Además, se sabe de antemano que para cada T, 
se requieren de cuatro unidades, para cada R, tres 
unidades y para cada C, dos unidades 
T+3R+C= 510 
2T+R+3C=610 
Una situación similar ocurre con las 510 unidades de zinc 
y las 610 unidades de cobre 
Además, nótese que en la diagonal principal han quedado 
los coeficientes dominantes, esto es, los de mayor valor 
absoluto. 
 
Además, de mucha importancia, son las condiciones para la interpretación de los 
resultados, 𝑇, 𝑅 𝑦 𝐶 ≥ 0 que, en este caso, deben ser mayores de cero, ya que se trata 
de piezas físicas. 
 
Por otro lado, dado que existen errores asociados a los cálculos numéricos, los 
resultados no siempre llegan a ser exactos, por ello, se define un valor para un factor de 
convergencia, en este caso, δ=0.1. 
Este número dependerá del grado de precisión que se busca, como se tienen piezas 
únicas de T, R y C, no tendría sentido una precisión menor. 
 
 Los métodos numéricos de solución… 
 
Nótese que, el sistema de ecuaciones lineales tiene en la diagonal principal los 
coeficientes dominantes. 
4T+3R+2C= 960 
T+3R+C= 510 
2T+R+3C=610 
 
Por el tipo de sistema, los dos métodos indirectos de Jacobi y Gauss Seidel llegarán a 
converger a una solución, siempre y cuando la magnitud del coeficiente de una 
incógnita diferente en cada ecuación del conjunto, sea suficientemente dominante con 
respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuación, en valor absoluto. 
 
Como se habrá notado, en el método de Gauss- Seidel conforme un nuevo valor de x se 
calcula, éste se usa inmediatamente en la siguiente ecuación para determinar el otro 
valor de x. De esta forma, si la solución es convergente, se empleará la mejor 
aproximación disponible. 
46 
 
 
Dado que ambos métodos son aproximados, el uso de la computadora sea hace 
necesario. Se presentan impresiones de pantalla para ambos casos con Excel. 
Observe que se ha introducido la matriz y los valores iniciales, son propuestos por cada 
uno, y siguen el orden del vector resultante. 
 
 
 
Con respecto a los cálculos, a continuación, se presenta la forma de hacerlos: 
 
 
 
 
Al “arrastrar” todas las filas hacia abajo, se observará que el sistema adquiere 
estabilidad en la aproximación que muestre diferencias de acuerdo con el delta 
establecido. Se presenta una impresión de pantalla de los resultados. 
Nótese que la celda en amarillo representa el 
cálculo de 
𝑇 =
960
4
−
3
4
𝑅 −
1
2
𝐶 
Lo mismo ocurre para los nuevos valores de 
R y C, en el segundo y tercer renglón. 
La finalización se define como 
|𝑥𝑖 − 𝑥
(𝑛)
𝑖| ≤ 𝛿 que, en Excel se ha 
introducido con los comandos 
=MAX(ABS(B9-E9),ABS(C9-F9),ABS(D9-
G9)). Esto es, toma la máxima diferencia 
de la iteración anterior con respecto a la 
actual. 
 
 
47 
 
 
 
Mientras que aproximadamente en la iteración 16 ya se había logrado el resultado en 
Gauss Seidel, en el método de Jacobi aún se requieren de más iteraciones. Los resultados 
que satisfacen al sistema son: 
Transistores T=120 Resistencias R=100 Chips C=90 
 
Interpretación de resultados… 
 
Los resultados son: para los transistores se requieren 120 componentes, para las 
resistencias 100 piezas y para los chips 90. Estos resultados satisfacen la corrida de 
producción indicada. 
 
Hasta aquí se da por terminado el caso. 
 
 
 
Evidencia de aprendizaje 2.7 
 
Una empresa agrícola maneja tres tipos de cosechas (C1, C2, C3), y dependiendo del 
estado del tiempo se genera una determinada utilidad o pago. 
 
Se requiere un estudio de planeación para determinar el tipo de cosecha que genere la 
máxima utilidad con base en el estado del tiempo, entendiendo lo anterior como la 
ganancia que cada cosecha genera con respecto al estado del tiempo 
 
Para el estado del tiempo bueno (N1), la ganancia de la cosecha C1 sería de $40,000.00. 
El de la cosecha tipo dos C2, sería de $50,000.00, y el de la cosecha tipo tres C3, sería de 
$60,000.00. 
 
Evidencia de aprendizaje
48 
 
Si el estado del tiempo es variable, identificado por (N2), las nuevas ganancias serían: 
para C1, $60,000, para C2, $40,000.00 y para C3, $20,000.00 
 
Ahora, si el estado del tiempo es malo identificado por (N3), las nuevas ganancias serían 
de: C1- $10,000.00, C2-$15,000.00 y C3- $12,000.00 
 
Como no hay certeza en el estado del tiempo, se estima que la posibilidad de ocurrencia 
de N1 es del 25%, la probabilidad de ocurrencia para N2 es del 50%, y para N3, del 25%. 
Con base en lo anterior 
 
2.7a Explica el problema en términos de conceptos, es decir, interpreta la información 
y organízala. 
 
 
 
 
 
 
2.7b Genera el modelo matemático y resuélvelo. Medita bien el inciso a., donde se 
pretende obtener la ganancia de cada cosecha por respecto al estado del tiempo. 
Nota: Se sugiere utilices una forma matricial. Sube tus resultados con una fotografía. 
 
 
 
 
 
 
 
2.7c Interpreta los resultados, ¿qué tipo de cosecha conviene más? 
 
 
 
 
 
Resulta que el servicio meteorológico envía un reporte del tiempo a la empresa, 
indicando que el estado del tiempo N1, ahora, tiene una posibilidad del 50%, el N2 del 
25% y el N3 del 25%. 
 
2.7d Con estos últimos datos, ¿Cuál es la nueva solución? 
49 
 
 
 
 
 
 
 
2.7e Al cambiar las posibilidades del estado del tiempo, ¿qué se infiere de los resultados 
obtenidos? 
 
 
 
 
 
 
Evidencia de aprendizaje 2.8 
 
De acuerdo con la European Lung Foundation, la contaminación del aire interior es el 
término utilizado para describir la exposición a ciertas sustancias que se encuentran en 
viviendas, comercios, colegios, transporte y estaciones de metro. En espacios cerrados, 
se llegan a detectar más de 900 compuestos en elaire interior y algunos contaminantes 
pueden estar 2-5 veces más concentrados en el interior, que en el exterior de los 
edificios. 
 
Se requiere calcular el sistema de ventilación de un restaurante, cuya vista de 
proyección es la siguiente. 
 
Figura 2.2 Distribución de cargas de aire 
50 
 
 
En la figura 2.2, el restaurante consiste de tres áreas. Los cuadros 1 y 2, corresponden 
a las áreas de fumar y de niños, respectivamente. Las áreas 3 y 4, corresponden a las 
áreas de la parrilla (donde se tiene un asador), y del comedor. 
 
En la figura, las flechas en un solo sentido representan los flujos volumétricos de aire 
limpio (gasto Q 𝑚3/ℎ𝑟, concentración de aire c 𝑚𝑔/𝑚3). 
 
Las flechas de doble sentido, representan una mezcla difusa de contaminantes y aire 
(unidades 𝑚3/ℎ𝑟, aunque no se sabe la concentración de mezclas 𝑐1 − 𝑐3, 𝑐2 − 𝑐4). 
 
Además, existen cargas de monóxido de carbono CO provenientes de las secciones de 
fumar y del asador descompuesto, esto es, las secciones 1 y 3, tienen fuentes de CO, que 
se distribuyen a las secciones 2 y 3 (flechas gruesas, en unidades 𝑚𝑔/ℎ𝑟). 
 
Usted, como inspector de salubridad quiere determinar un balance de aire puro y CO, 
para las diferentes secciones del restaurante y tomando en cuenta las mezclas de 
concentraciones (tomando en cuenta que la suma total de cargas debe ser cero, o sea, 
la suma de las entradas debe ser igual a la suma de las salidas). 
 
Por ejemplo, en la sección de fumar 1 y tomando en cuenta los flujos representados por 
la letra 𝑄𝑖 y las concentraciones de monóxido de carbono por las letras 𝑐𝑖 , siendo la 
carga el producto 𝑄𝑖𝑐𝑖 , el balance correspondiente es: 
 
0 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 − 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑚𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 1−3 
 
Téngase en cuenta que las cargas de flujos y las cargas de mezclas se constituyen por el 
gasto Q y la concentración del aire (en el esquema 2 𝑚𝑔/𝑚3). 
 
Que en forma simbólica se escribe: 
 
0 = 𝑊𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 + 𝑄𝑎𝑐𝑎 − 𝑄𝑎𝑐1 + 𝐸13(𝑐3 − 𝑐1) 
 
Nótese que se han usado subíndices 1 y 3, que se refieren a las concentraciones 
asociadas a las secciones correspondientes a las mostradas en el esquema del 
restaurante. Además, la representación de la flecha bidireccional de las secciones 1 y 3, 
se ha representado como 𝐸13(𝑐3 − 𝑐1) 
 
Al sustituir con valores 
 
51 
 
0 = 2000 + (200)(2) − 200𝑐1 + 25(𝑐3 − 𝑐1) 
Simplificando y transponiendo términos, resulta en: 
225𝑐1 − 25𝑐3 = 2400 
 
Obviamente, se requieren generar otras ecuaciones similares para las secciones 
restantes y conocer las concentraciones requeridas. 
 
2.8a Interpreta la información del modelo matemático que representa la concentración 
de CO en cada sección del restaurante (considerando las concentraciones se encuentran 
en un estado estable) 
 
En la sección 1. 𝑊𝑓𝑢𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 + 𝑄𝑎𝑐𝑎 − 𝑄𝑎𝑐1 + 𝐸13(𝑐3 − 𝑐1) = 0 
En la sección 2. 𝑄𝑏𝑐𝑏 + 𝐸24(𝑐4 − 𝑐2) + 𝑄𝑑𝑐4 − 𝑄𝑐𝑐2 = 0 
En la sección 3. 𝑄𝑎𝑐1 + 𝐸13(𝑐1 − 𝑐3) + 𝑊𝑝𝑎𝑟𝑟𝑖𝑙𝑙𝑎 − 𝑄𝑎𝑐3 + 𝐸34(𝑐4 − 𝑐3) = 0 
En la sección 4. 𝑄𝑎𝑐3 + 𝐸34(𝑐3 − 𝑐4) − 𝑄𝑑𝑐4 + 𝐸24(𝑐2 − 𝑐4) − 𝑄𝑑𝑐4 = 0 
 
Considera que tu comunicación de la interpretación del modelo sea clara y precisa 
 
 
 
 
 
2.8b Sustituye los valores en el modelo matemático del sistema de ventilación 
 
 
 
 
 
 
 
2.8c Elige el método numérico de solución y justifica su uso 
 
 
 
 
 
2.8d Resuelve el caso. Elige la opción correcta. 
 
Nota. Apóyate con el ejecutable SISTEMAS LINEALES 
52 
 
 
Si deseas usar Excel para resolver el caso. Puedes usar los comandos MINVERSA para 
la matriz de coeficientes y luego, MMULT, para multiplicar la matriz inversa por el 
vector de términos independientes. 
 
i. 
𝑐1 13.10 
𝑐2 15.79 
𝑐3 21.86 
𝑐4 21.31 
 
ii. 
𝑐1 8.10 
𝑐2 12.34 
𝑐3 16.90 
𝑐4 16.48 
 
iii. 
𝑐1 6.10 
𝑐2 10.97 
𝑐3 14.91 
𝑐4 14.55 
 
 
2.8e Interpreta los resultados desde el contexto del problema. 
 
Nota. El envenenamiento por monóxido de carbono causa multitud de efectos debido 
a la inhibición de la oxidación celular, cuyo envenenamiento leve causa vómitos, 
dolor de cabeza, malestar debilidad, fatiga y falta de respiración. 
 
 
 
 
 
 
 
 
¿Qué pasaría si…? 
 
2.8e Del modelo matemático, se ajusta y ahora las cargas de fumadores y de la parrilla 
aumentan a 3000 y 5000 𝑚𝑔/ℎ𝑟, respectivamente. 
¿Qué observas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
NIVEL CUATRO 
 
 
Este nivel es de profundización. Requiere pensamiento estratégico y también formas de 
pensamiento matemático abstracto. Es un nivel en el cual requerirás sintetizar, 
reflexionar y evaluar casos. 
 
El apartado toma dos temas aparentemente no relacionados. El primero, te muestra y 
explica pseudocódigos y algoritmos, como una base para que tengas la capacidad de 
desarrollar tus propios programas de computación, y no dependas de diseños ya 
elaborados. 
Fig. 2.2 Tópicos de profundización 
 
El segundo, te permite generar estudios “finos” para el diseño de sistemas lineales, 
mediante la evaluación de la estabilidad entre las ecuaciones lineales dentro del modelo 
matemático. 
 
Cualquiera que sea tu elección, te conducirá al final a generar tu propuesta. 
 
Algoritmos de programación 
 
Al ingeniero le puede resultar de particular interés la representación del método 
numérico en forma de un algoritmo que facilitará la codificación del mismo en cualquier 
lenguaje de programación, para hacer adecuaciones pertinentes si son necesarias. Una 
forma sencilla de comenzar es con el pseudocódigo, o sea, describir con lenguaje 
natural, las acciones sucesivas y lógicas que constituyen al método numérico elegido. 
 
El pseudocódigo… 
 
Dado que el pseudocódigo es un lenguaje intermedio entre el lenguaje natural y el de 
programación, por ejemplo, Excel, MATLAB, MAPLE, C++, Python etc., no tiene en 
realidad una composición estandarizada, pero es un mecanismo muy útil de ordenación 
Antes del proyecto...
Diseño de 
algoritmos
Estabilidad 
de sistemas 
lineales
Conducción 
de tu 
propuesta
54 
 
lógica de ideas. A continuación, se presenta un pseudocódigo de sistemas lineales, 
basado en Gauss Jordan y el algoritmo del mismo (Fig. 2.3). 
 
Fig. 2.3 Pseudocódigo y algoritmo de Gauss-Jordan 
1. Dar el orden de la matriz 
2. Dar los coeficientes de la matriz 
aumentada 
3. Seleccionar un elemento de la 
diagonal principal 
4. Por columnas y en el renglón 
correspondiente, proporcionar el 
coeficiente de la diagonal principal y 
convertirlo en 1, y dividir todo el 
renglón entre dicho elemento 
5. Con los renglones restantes, calcular 
combinaciones lineales para 
convertir el vector en cuestión en 
vector unitario 
6. Imprimir resultados 
7. Fin 
 
 
 
Nota: Recordar que un diagrama de flujo es la representación gráfica de un algoritmo. 
 
El diseño y uso de algoritmos que luego se puedan traducir en un lenguaje de 
computadora, posibilita obtener resultados numéricos no solo del caso presentado, 
sino de distintos problemas. En este sentido, un algoritmo es un modelo que representa 
una evidencia tangible de pensamiento matemático. Ahora, te presentamos el algoritmo 
de Jacobi. 
Fig. 2.4 Algoritmo de Jacobi 
55 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 1. Inicio 
2. 2. Dar el orden de la matriz (n) 
3. 3. Dar el δ (factor de convergencia) 
4. 4. Dar los coeficientes de la matriz 
4.1 Ordenar los elementos de la diagonal 
principal de acuerdo a este método 
5. 5. Dar los valores iniciales (𝑋𝐼𝑖, 𝑖 = 1, 𝑛) 
6. 6. Dar un control, kick-off (bandera) 
7. 7. Mientras kick-off se encuentre activo, hacer 
7.1 Calcular el valor del vector en función del 
término independiente 
7.2 Se recorren las columnas para completar el 
valor del vector en función de las variables 𝑥𝑖 =
𝑥𝑖 −
𝑎𝑖𝑗∗𝑋𝐼𝑖