02-Capítulo 02-Edición 2021-rev 24 02 2021 - Alma Montana

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Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.2-Modelado matemático 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 79 
 
Capítulo 2 
Modelado matemático para el control automático en la variable tiempo 
2.1 Introducción 
Para describir cómo las variables controladas reaccionan, y evolucionan en el tiempo, ante 
cambios en las variables manipuladas y de las de perturbación se deben emplear ecuaciones 
diferenciales basadas en los balances de materia, energía, cinética de reacciones químicas, 
cantidad de movimiento y fuerzas, etc. para describir los estados transitorios. A esta parte del 
estudio del control automático, se la conoce como dinámica de sistemas y procesos, la cual se 
ocupa de describir de forma dinámica a los sistemas, en particular en esta etapa sin la presencia 
de controladores ni de las características del lazo cerrado de control por realimentación. 
Esto implica la obtención y el uso de ecuaciones diferenciales. A continuación, se desarrollarán 
una serie de sistemas típicos en los procesos químicos y sus derivados, de modo de crear una 
biblioteca de los mismos, la cual permitirá comprender y describir los sistemas que se presentan 
en la realidad. 
2.2 Variables de desviación 
Por cuestiones matemáticas que se expondrán en el capítulo 3, los balances que se efectuarán se 
harán en forma de variables de desviación. Dada una variable “u”, la variable de desviación de 
la misma se expresará como se muestra en la ecuación 2.1: 
 ����� = ���� − �� �
�. 2.1� 
Las variables de desviación se interpretan como el cambio que el sistema sufrirá partiendo desde 
un valor inicial dado, denotado en este caso como u0, el cual se denomina condición inicial de 
la variable. Si es sistema se encuentra en equilibrio antes de introducir cualquier cambio, la 
variable de desviación tomará un valor igual a cero, al igual que cuando el sistema esté en 
estado estacionario. Cuando se simulen los sistemas en programas tales como MatLab/Simulink 
o Program Classic Control (Program CC), se observará que todas las entradas impuestas y 
salidas parten de valor cero, excepto que el usuario especifique una condición inicial dada, la 
cual se incorporará como una constante que se sumará a todos los valores de la variable de 
desviación que el programa de simulación empleado vaya calculando. 
2.3 Modelado de sistemas típicos de los procesos químicos 
2.3.1 Sistemas de retardo de primer orden. 
2.3.1.1 Sistema hidráulico con descarga por gravedad 
Si se analiza un sistema formado por un tanque cilíndrico regular de sección transversal A, con 
una entrada de líquido superior y una salida inferior por un lateral (figura 2.1). En la salida se 
tiene una válvula que permite introducir, y variar, una resistencia Rh (resistencia hidráulica) al 
pasaje del líquido. En el interior del tanque hay un determinado nivel de líquido h(t). El caudal 
de entrada es Fe, y puede variarse a voluntad. El nivel de líquido, h(t), depende del balance entre 
el caudal de entrada y de salida, debido a la acumulación en el sistema. El caudal de salida, Fs, 
depende del nivel h(t) (flujo por gravedad) y de la resistencia hidráulica impuesta Rh. 
 
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Figura 2.1 
Realizando un balance de masa en estado transitorio considerando densidad constante: 
�� − �� = ���� �
�. 2.2� 
�� − �� = ���. ℎ��� = �
�ℎ����� �
�. 2.3� 
Para introducir las variables de desviación, se realiza el mismo balance expresado en ecuación 
2.3 pero en estado estacionario, es decir con Fei=Fsi y h=hi=constante. 
��� − ��� = 0 = � �ℎ��� �
�. 2.4� 
Restando miembro a miembro la ecuación 2.4 de la 2.3, se tiene: 
 
������ − ���� − ������ − ���� = � ��ℎ��� − ℎ���� �
�. 2.5� 
De observarse como las variables de desviación tienen el mismo tratamiento que las variables 
normales, pero su uso provee de consistencia matemática. 
A las variables de desviación se las denotará con una barra horizontal superior. De esta forma, la 
ecuación 2.5 queda de la siguiente forma (ecuación 2.6): 
������ − ������ = � �ℎ������ �
�. 2.6� 
El caudal Fs seguirá la siguiente ecuación de acuerdo con el balance de energía mecánica en un 
fluido incompresible (ecuación de Bernoulli), también conocida como teorema de Torricelli: 
�� = � !2"ℎ��� �
�. 2.7� 
En la ecuación 2.7 “k” es un factor que tiene en cuenta las pérdidas de energía mecánica por 
fricción y “a” la sección transversal de flujo. Reformulando la misma y agrupando todos los 
términos excepto el nivel en una constante $, se tiene: 
�� = $!ℎ��� �
�. 2.8� 
La ecuación 2.8 podría introducirse en la 2.6 pero se obtendría una ecuación diferencial en 
variables de desviación de tipo no lineal, la cual no puede resolverse mediante las herramientas 
denominadas Transformadas de Laplace que se indican en el capítulo 3,puesto que las mismas 
solo pueden aplicarse a ecuaciones diferenciales en variables de desviación y lineales. 
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De esta forma, se elevan ambos miembros de la ecuación 2.8 y se despeja el nivel en función del 
caudal haciendo β=1/$2: 
ℎ��� = &�����' �
�. 2.9� 
Con el fin de linealizar la ecuación diferencial 2.9, se define la resistencia hidráulica Rh 
mediante la siguiente ecuación general de flujo de una magnitud: 
)�*+,- 
. /� ��0� �
 1/�2- = 3 )�*+,- 
. /� 1�
45� ,*6�/0-4� 7 8
0,0�
.�,�9 �
�. 2.10� 
������ = �ℎ��� 8:; �
�. 2.11� 
En hidráulica, la ecuación 2.11es válida para flujo laminar y permitirá obtener una expresión 
lineal de la ecuación 2.9y así poder obtener una ecuación diferencial lineal en la ecuación 2.6. 
Reordenando la ecuación 2.11: 
8: = �ℎ��� ������; �
�. 2.12� 
A los fines de obtener una ecuación que permita calcular a Rh, se deriva la ecuación 2.9en 
función de Fs y combinando con la ecuación 2.12 se tiene: 
8: = 2&����� �
�. 2.13� 
De la ecuación 2.9resulta que& = ℎ��� �����'⁄ y reemplazando en la ecuación 2.13 para eliminar el 
coeficiente β se obtiene: 
8: = 2 ℎ��������� �
�. 2.14� 
Estos valores de Rh dependen de los valores de nivel y caudal de salida en cada instante, siendo 
que el segundo depende a su vez del primero. Sin embargo, en este tipo de análisis se considera 
un valor determinado de diseño o de operación del sistema, denominado centro del entorno de 
linealización. Este concepto permite la linealización de este tipo de ecuaciones, pero limita el 
rango en el cual las mismas son exactas, pudiendo solo aplicarse dentro del mencionado 
entorno. Fuera del mismo, el error será tanto mayor cuanto mayor sea el alejamiento del centro. 
De este modo, si se elige a (h0,Fs0) como centro del entorno mencionado resulta: 
8:� = 2 ℎ����� �
�. 2.15� 
La ecuación 2.15 es una forma aproximada de calcular el valor de la resistencia hidráulica. En la 
figura 2.2 se observa la diferencia entre las ecuaciones 2.9 y 2.15. 
A su vez, como se considera constante a Rh dentro del entorno de linealización, se verificará que 
la tangente es la pendiente de la ecuación lineal aproximada que se desea obtener, por lo tanto: 
8:� = �ℎ���� =
∆ℎ�∆�� �
�. 2.16� 
Si consideramos al ∆Fs(t)de la ecuación 2.16como al cambio de Fs(t) respecto del valor inicial Fsi, 
se tendrá que: 
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∆����� = ����� − ��� = ������ �
�. 2.17� 
Y para el nivel ∆h(t) de la ecuación 2.16 también se podrá escribir: 
∆ℎ��� = ℎ��� − ℎ� = ℎ���� �
�. 2.18� 
De esta forma, podremos escribirla ecuación 2.16 y despejando a ������ se tiene: 
������ = ℎ����8:� �
�. 2.19� 
Finalmente reemplazandola ecuación 2.19 en la 2.6, reordenando y multiplicando ambos 
miembros por Rh0, queda: 
>?@ABC�D� = >?@E F?B�D�FD + ?B�D� �
�. 2.20� 
La ecuación 2.20 es una ecuación lineal de primer orden expresada en términos de variables 
de desviación que describe como variará el nivel de líquido “h” en función de tiempo como 
consecuencia de un cambio en el caudal de entrada “Fe”, alrededor del punto de linealización 
“0”.Esta ecuación es fundamental para la descripción de los sistemas de retardo de primer 
orden, los cuales juegan un papel central en el estudio de la dinámica de sistemas para 
control automático. El orden de un sistema queda determinado por el de la ecuación 
diferencial que describe su dinámica. 
 
Figura 2.2 
Importante: Todo lo hecho en referencia a la linealización indicada anteriormente es solo 
requerido en casos en donde aparecen ecuaciones no lineales en al menos una de las ecuaciones 
que relacionan las variables. Cuando las mismas son lineales naturalmente, la linealización 
antes efectuada no es necesaria. 
Ejemplo 2.1: Si el caudal de entrada varía de un valor Fei a otro Fef, siendo ∆Fe=Fef-Fei, 
resolver la ecuación 2.20 para obtener h=h(t). Considerar válida la hipótesis del entorno de 
linealización. 
8:�∆�� = 8:�� �ℎ������ + ℎ���� �
�. 2.21� 
Esta ecuación se resolverá por el método del factor integrante. 
1
� ∆�� =
�ℎ������ +
ℎ����8:�� �ec. 2.22� 
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A la sección transversal “A”, se la simboliza de forma general con la letra “C”, por capacidad de 
acumulación (no volumétrica). Por lo tanto Rh0.A=Rh0.C. Al valor Rh0.C se lo denomina 
constante de tiempo del sistema “T” (o τ, dependiendo de la fuente bibliográfica). Como se 
indicó en el capítulo 1, la constante de tiempo muestra cuán rápido o lento será un sistema con 
resistencia y capacidad para responder. A mayor “T”, más lento será el sistema y viceversa. En 
este ejemplo, las unidades de Rh0 son de L/L
3/tiempo=tiempo/L2. Las de C son L2. Por lo tanto 
Rh0.C=T tendrá unidades de tiempo. En general, se expresa a T=R.C. 
De esta forma la ecuación 2.22 queda: 
1
) ∆�� =
�ℎ������ +
ℎ����8) �ec. 2.22� 
Si resolvemos esta ecuación por el método del factor integrante, se tiene: 
I = 
KL� MN9 �ec. 2.23� 
I = 
� MN9 �ec. 2.24� 
Multiplicando ambos miembros de la ecuación 2.22 por el factor integrante de la ecuación 2.24. 
1
) ∆��
� MN9 = �ℎ������ 
� MN9 + ℎ����8) 
� MN9 �ec. 2.25� 
� Oℎ����
� MN9 P
�� =
1
) ∆��
� MN9 �ec. 2.26� 
Reordenando la ecuación 2.26: 
� Oℎ����
� MN9 P = 1) ∆��
� MN9 . �� �ec. 2.27� 
Integrando ambos miembros de la ecuación 2.27: 
Q � Oℎ����
� MN9 P = Q 1) ∆��
� MN9 . �� �ec. 2.28� 
ℎ����
� MN9 = 1) ∆�� Q 
� MN9 . �� �ec. 2.29� 
ℎ����
� MN9 = RC) ∆��
� MN9 + ��ec. 2.30� 
En la ecuación 2.30, “a” es la constante de integración. Dividiendo ambos miembros por et/RC: 
ℎ���� = R. ∆�� + �
T� MN9 �ec. 2.31� 
Para determinar el valor de la constante “a”, se tiene que para t=0, 
0 = R. ∆�� + ��ec. 2.32� 
� = −R. ∆���ec. 2.33� 
Combinando la ecuación 2.33 con la 2.31 y operando: 
ℎ���� = R. ∆�� − R. ∆��
T� MN9 �ec. 2.34� 
ℎ���� = R. ∆�� O1 − 
T� MN9 P �ec. 2.35� 
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ℎ��� = R. ∆�� O1 − 
T� MN9 P + ℎ��ec. 2.36� 
Recordando que T=R.C, se tiene: 
?�D� = RRRR. ∆AC OU − CTD V9 P + ?W�ec. 2.37� 
La ecuación 2.37 representa la evolución que tendrá el nivel de líquido frente a un aumento 
brusco en el caudal de entrada de un valor inicial a otro final. La mencionada ecuación es una de 
las más usadas en el análisis de la respuesta dinámica de sistemas de primer orden. La forma de 
incremento realizada en Fe se usará muy frecuentemente tanto en el análisis de la respuesta 
dinámica de los sistemas, así como también en el estudio de la respuesta de los lazos cerrados de 
control y se la denomina variación en salto escalón. 
En esta ecuación aparece el número de Euler, “e”, base de los logaritmos naturales, el cual es un 
número irracional, aproximadamente igual a 2,71828…. El mismo aparece debido a que en la 
ecuación analizada se presenta dh/h=d (ln h). El número “e” fue descubierto por el matemático 
suizo Johannes Euler cerca del año 1614 y usado por primera vez por el matemático escocés 
John Napier en 1618. Luego se fueron encontrando numerosas aplicaciones en la matemática y 
en las ciencias aplicadas. Una forma de calcular el número “e” es la que se muestra en la 
ecuación siguiente: 
 = X 1.!
Z
[\�
= 1 + 10! +
1
1! +
1
2! + ⋯ 
La definición del número “e” se hace en base a que el área bajo la hipérbola y=1/x entre 1 y el 
número “e” sea igual a uno. Esta definición fue usada por Huygens en 1661. (Fuente: 
Wikipedia) 
Q 1^
_\�
_\`
�^ = 1 
Ejemplo 2.2: Análisis de la respuesta de un sistema de retardo de primer orden ante una 
entrada en escalón hacia arriba (salto escalón positivo) 
Este análisis se basará en el siguiente ejemplo: Dado un tanque cilíndrico regular con un 
diámetro de 2 metros. Al mismo ingresan 20 m3/hora y sale la misma cantidad, estableciéndose 
un nivel hi=3,18 metros. Calcular y graficar la evolución que presentará el mismo si el caudal de 
entrada se incrementa en forma de salto escalón de 20 a 21 m3/hora. Realizar los cálculos en 
tiempos expresados en múltiplos enteros de la constante de tiempo T. 
Resolución: 
A=C=(3,1416*22)/4=3,1416 m2 
Rh0=2*hi/Fsi=2*3,184/20=0,318 (hora/m
2) 
T= Rh0C=RC=0,318(hora/m
2)*3,1416(m2)=0,9990 =1 hora 
∆Fe1=Fe1-Fe0=21-20=1 m
3/hora 
Calculando h(t) para distintos valores de tiempo múltiplos enteros de T: 
ℎ��� = 8a�� 31 − 
TObcP7 + ℎ� 
ℎ��� = 0,318.1 31 − 
TObcP7 + 3,18 
ℎ��\�� = 0,318.1�1 − 
T�� + 3,18 = 3,18 * 
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ℎ��\`e� = 0,318.1�1 − 
T`� + 3,18 = 3,381 * ℎ��\'e� = 0,318.1�1 − 
T'� + 3,18 = 3,455 * ℎ��\fe� = 0,318.1�1 − 
Tf� + 3,18 = 3,482 * ℎ��\ge� = 0,318.1�1 − 
Tg� + 3,18 = 3,492 * 
ℎ��\he� = 0,318.1�1 − 
Th� + 3,18 = 3,496 * ℎ��→Z� = 0,318.1�1 − 
TZ� + 3,18 = 3,498 * 
En la figura 2.3 se muestra la gráfica de estos valores y otros intermedios calculados con 
planilla de cálculo de MS Excel. 
Observar que la variable independiente tiempo está, con signo negativo, en el exponente del 
número de Euler. A medida que el tiempo sube, e(-t/T) decrece. Ya con valores de t=5*T, e-5 es 
igual a 0,0067, por lo que (1-e-5)=0,9933. Por esta razón, para estos sistemas de retardo de 
primer orden se habla de que se necesita de un tiempo de 5 veces su constante de tiempo para 
que el mismo evolucione completamente. Esto es válido tanto para entradas en la forma de 
escalón como otros tipos, como se detallará más adelante en este material. 
Para tiempos aún mayores, e(-t/T) será prácticamente cero, y por lo tanto (1-e(-t/T)) valdrá 
prácticamente uno. Esto explica la pendiente decreciente que presenta la curva de la figura 2.2, 
hasta estabilizarse en: 
ℎj = 8a�� + ℎ� �
�. 2.38� 
ℎj − ℎ� = 8a�� �
�. 2.39� 
Esta ecuación nos indica que, sabiendo los valores de la resistencia hidráulica, la magnitud del 
salto escalón aplicado en el caudal de entrada y el valor inicial, es muy sencillo calcular el valor 
de estabilización. 
La conclusión más importante que podemos sacar, y de relación directa con el control 
automático de procesos, es que ante una entrada que se produce muy rápidamente como el salto 
escalón en la entrada (Fe), el nivel de líquido, h, no responde inmediatamente, si no que requiere 
de 5 veces la constante de tiempo, como se indicó anteriormente. Sin embargo, se toma como 
valor característico el punto en el cual t=T, en donde se tiene que: 
T� e9 = 
Te e9 = 
T` = 0,368 
1 − 
T� e9= 1 − 
Te e9 = 1 − 
T` = 1 − 0,368 = 0,632 
ℎ��\e� = R. ∆���1 − 
T`� + ℎ� = R. ∆��0,632 + ℎ� 
ℎ��\e� − ℎ� = R. ∆���1 − 
T`� + ℎ� = 0,632R. ∆�� 
ℎ��\e� − ℎ� = 0,632R. ∆�� �ec. 2.40� 
Comparando las ecuaciones 2.39 y la 2.40 se puede arribar a la importante conclusión de que 
cuando t=T el sistema ha tenido un incremento respecto del valor inicial del 63,2% del 
incremento máximo que se tendrá para tiempos muy grandes (matemáticamente, tiempo 
infinito, pero en la realidad, tiempos mayores a 5 veces la constante de tiempo del sistema), 
Es decir, 
�ℎ��\e� − ℎ�� = 63,2% de �ℎj − ℎ�� �ec. 2.41� 
Para este ejemplo, este valor se verifica cuando t=1 hora, y es igual a h(t=T)=3,381 m 
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Gráficamente: 
 
Figura 2.3 
Los porcentajes de la respuesta del sistema de primer orden para valores característicos del 
tiempo expresados como múltiplos de la constante de tiempo T son: 
ℎ��\�� − ℎ� = 8a�� O1 − 
TOmcPP = 8a�� . �1 − 
T�� = 8a�� . 0 = 0% �
 8a�� �
�. 2.42� 
ℎ��\e� − ℎ� = 8a�� 31 − 
TOccP7 = 8a�� . �1 − 
T`� = 8a�� . 0,632 = 63,2% �
 8a�� �
�. 2.43� 
ℎ��\fe� − ℎ� = 8a�� 31 − 
TOncc P7 = 8a�� . �1 − 
Tf� = 8a�� . 0,95 = 95% �
 8a�� �
�. 2.44� 
ℎ��\he� − ℎ� = 8a�� 31 − 
TOocc P7 = 8a�� . �1 − 
Th� = 8a�� . 0,993 = 99,3% �
 8a�� �
�. 2.45� 
ℎ��→Z� − ℎ� = 8a�� O1 − 
TOpc PP = 8a�� . �1 − 
TZ� = 8a�� . 1 = 100% �
 8a�� �
�. 2.46� 
La ecuación 2.43 es de suma importancia en el análisis dinámico de sistemas en control 
automático. Esto es debido a que en los sistemas reales la forma de calcular la constante de 
tiempo T se hace de forma inversa a partir de la respuesta del sistema ante una entrada en 
escalón, es decir no a partir de la ecuación T=R.C, ya que los valores de la resistencia y la 
capacidad no son fáciles de calcular de forma directa. 
La otra propiedad importante de la respuesta de un sistema de retardo de primer orden a un salto 
escalón en la entrada es la recta tangente a la misma en t=0. Para hallar esta ecuación, 
derivamos la ecuación 2.37: 
�ℎ����� =
8. ∆��q 
T� e9 �
�. 2.47� 
�ℎ��\���� =
8. ∆��q 
T� e9 = 8. ∆��q �ec. 2.48� 
La recta tangente al origen tendrá por pendiente la expresión de la ecuación 2.48. EL punto de 
paso será el (t,h)=(0,0), por lo cual dicha recta tangente será: 
ℎ��� = 8. ∆��q . � �
�. 2.49� 
En función de la misma, se tiene que si se proyecta la recta tangente en t=0 hasta que corte el 
valor final de estabilización, el tiempo en el que esto ocurre es igual a la constante de tiempo T. 
Esta propiedad solo debe utilizarse para sistemas de primer orden puros o ideales. 
3,18
3,2
3,22
3,24
3,26
3,28
3,3
3,32
3,34
3,36
3,38
3,4
3,42
3,44
3,46
3,48
3,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Respuesta de h (m) a un escalón en Fe (m3/hora)
h (m)
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En la figura 2.4 las ecuaciones 2.42 a 2.46 y 2.49 se muestran gráficamente en función del 
parámetro adimensional t/T: 
 
Figura 2.4 
La figura 2.4 es muy importante y muestra la respuesta característica de un sistema de primer 
orden ante una entrada en escalón. 
Ejemplo 2.3: Análisis de la respuesta de un sistema de retardo de primer orden ante una 
entrada en escalón hacia arriba y luego hacia abajo (salto escalón positivo y negativo) 
Basándonos en el análisis precedente, con un caudal de entrada de 21 m3/hora, el nivel de 
equilibrio es de 3,498 m. Si se vuelve a reducir en forma de escalón el caudal a 20 m3/hora, el 
salto escalón aplicado será de -1 m3/hora, y la ecuación que dará el nivel de líquido para cada 
instante de tiempo (expresado en horas) será, basándonos en la ecuación 2.37: 
ℎ��� = 8a�� 31 − 
TObcP7 + ℎ� 
ℎ��� = 0,318. �−1� 31 − 
TObrP7 + 3,498 
ℎ��� = −0,318 + 0,318. 
TObrP + 3,498 = 0,318. 
T� + 3,18 
Si queremos graficar este evento a partir de un tiempo de 5 horas por ejemplo, (5*T, siendo T=1 
hora), deberemos hacer una modificación en la variable tiempo, para poder desplazar esta 
ecuación 5*T unidades a la derecha, para este caso particular. Para lograr esto, se debe restar a 
la variable tiempo esta cantidad de la que requerimos se haga el desplazamiento a la derecha, es 
decir:ℎ��The� = −0,318 + 0,318. 
TObsocc P + 3,498 = 0,318. 
T��Th� + 3,18 
Para determinar Fs(t)se parte de la ecuación 2.19, de la cual se deduce, “deshaciendo” las 
variables de desviación, que: Fs(t)=Fs0*(h(t)-h0)/Rh0 
En la figura 2.5 y 2.6 se representan gráficamente estas respuestas, luego de dar valores al 
tiempo “t” desde 0 a 5 horas por un lado y luego de 5 hasta 10 horas: 
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Figura 2.5 
 
Figura 2.6 
De observar las figuras 2.5 y 2.6 se concluye que, en los sistemas de primer orden, al cabo de un 
tiempo t=5*T, luego de haber haberse producido un cambio en la entrada en forma de escalón, 
la respuesta del sistema se estabiliza, i.e. deja de variar, en un nuevo valor, haciendo también lo 
propio al retornar al valor de caudal inicial de 20 m3/hora. Por lo tanto, los sistemas de primer 
orden son auto-regulables. La figura 2.5 muestra cómo mientras Fe(t)es mayor a Fs(t), h(t)crece 
en el tiempo, pero, mientras que esto ocurre Fs(t) también crece, reduciendo la diferencia (Fe(t)- 
Fs(t))y consecuentemente la velocidad con la que h(t) crece (o decrece) en el tiempo y así 
sucesivamente hasta que Fe(t)= Fs(t) y por lo tanto, h(t) permanece constante en el tiempo. 
Como conclusión general, se puede decir que todo sistema de primer orden puro vendrá 
descripto por la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden: 
tuvB �D� = V FwB�D�FD + wB�D��
�. 2.50� 
En la ecuación 2.50 u(t) es la variable “efecto” que se verá afectada por la variable “causa”, m(t). 
T es la constante de tiempo, como se indicó, y Kp es un parámetro denominado ganancia 
estática. La constante de tiempo T siempre será igual al producto resistencia por capacidad del 
sistema analizado, mientras que Kp dependerá de las ecuaciones que modelan al sistema y de las 
unidades que vinculan las magnitudes de las variables m(t) y u(t). Como ejemplo, en los sistemas 
térmicos se tendrá que la constante de tiempo vendrá dada aproximadamente por la expresión de 
la ecuación 2.51: 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.2-Modelado matemático 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 89 
 
q = *. �xy. � �
�. 2.51� 
Nótese que C=m.cp es la capacidad calorífica y R=1/(U.A) es la resistencia al pasaje de calor a 
través de la superficie de intercambio. 
2.3.2 Sistemas integradores o capacitivos puros 
2.3.2.1 Sistema hidráulico con descarga mediante bomba 
En el sistema de almacenamiento de líquido como el detallado en la figura 2.7, se tiene que el 
caudal de salida de líquido, FS, es impulsado por una bomba de desplazamiento positivo, por 
ejemplo, de pistón o a engranajes, lo que genera que dicho caudal sea independiente del nivel de 
líquido h(t) en el interior del tanque cilíndrico regular de sección transversal “A”. Notar que en 
bombas de desplazamiento positivo no se debe colocar una válvula de bloqueo a la descarga 
para regular caudal (en los capítulos siguientes se explicará la forma de hacer esta regulación). 
El balance de masa en estado estacionario (estado inicial) y luego transitorio será: 
��� − ��� = 0 = � �ℎ��� �
�. 2.52� 
 
Figura 2.7 
����� − ����� = � �ℎ����� �
�. 2.53� 
Si se resta miembro a miembro la ecuación 2.52 de la 2.53 y recordando que FS es constante en 
todo momento del análisis (i.e., FS(t)=FSi) y haciendo uso de las variables de desviación: 
������ = � �ℎ������ �
�. 2.54� 
Para el caso en el cual Fe(t)varía enla forma de un escalón a partir de un valor de Fei en una 
magnitud ∆Fe se tiene que: 
∆����� = � �ℎ������ �
�. 2.55� 
Resolviendo por integración se tiene: 
Q �ℎ���� = Q 1� ∆������� �
�. 2.56� 
ℎ���� = 1� ∆������ �
�. 2.57� 
ℎ��� = 1� ∆������ + ℎ� �
�. 2.58� 
La ecuación 2.58 permite concluir que, de producirse un aumento en forma de escalón en el 
caudal de entrada, el nivel de líquido subirá linealmente, y viceversa. Esto es debido a que, a 
diferencia del caso hidráulico de primer orden antes visto, el caudal de salida no depende del 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.2-Modelado matemático 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 90 
 
nivel de líquido. Esto nos lleva a la conclusión de que los sistemas capacitivos puros o 
integradores no son auto-regulables. Esto indica que, de persistir el cambio en el caudal de 
entrada, o en el caso más general una diferencia constante en el tiempo entre el caudal de 
entrada y el de salida, el recipiente podrá inundarse o vaciarse fácilmente. Observar que, si el 
sistema fuese de primer orden, con igual sección “A” y con el mismo cambio escalón en Fe, le 
demanda 5*T (5 horas en el ejemplo dado) para ir desde 3,18 m a 3,5 m, mientras que, para el 
sistema capacitivo puro, demanda 1 hora. Resulta importante aclarar que los sistemas 
capacitivos puros o integradores vienen descriptos por ecuaciones diferenciales de primer orden, 
pero no se los llama así para diferenciarlos de los sistemas de primer orden “verdaderos”, antes 
vistos. En estos últimos interviene una capacidad y una resistencia en presencia de un cambio 
que da lugar a una fuerza impulsora que genera una variación en otra variable, la de salida, cuta 
dinámica viene gobernada por la capacidad y resistencias mencionadas. En los sistemas 
integradores no interviene una resistencia en la determinación de dicha dinámica, sino 
únicamente una capacidad, y de ahí su nombre. 
Ejemplo 2.4: Supóngase que se tiene el sistema mostrado en la figura 2.7. El tanque posee una 
sección circular con un diámetro de 2 m y A=3,1416 m2. En el mismo, el nivel de líquido, h0, es 
de 3,18 metros, el cual se mantiene constante en el tiempo debido a que ingresan y salen del 
tanque 20 m3/hora, i.e., Fe0=Fs0=20 m
3/hora. a) Graficar, en función del tiempo, el efecto que 
tiene sobre el nivel de líquido, h(t) el subir en forma de escalón el caudal de entrada Fe(t) de 20 a 
21 m3/hora para un periodo de 5 horas y compararlos con la respuesta que daría, ante el mismo 
cambio en Fe(t) un sistema de primer orden como el analizado en el ejemplo 2.2, en el cual 
Rh0=0,318 hora/m
2 y C=3,1416 m2, analizando también el efecto sobre Fs(t) en este caso. b) 
Comparar cómo responderá el sistema capacitivo puro con respecto al de primer orden si se 
retorna el caudal de entrada de forma escalón de 21 a 20 m3/hora en t=5 horas. Sacar 
conclusiones. 
Resolución: Para obtener la respuesta del sistema capacitivo puro o integrador se debe usar la 
ecuación 2.58 con ∆�� = 21 − 20 = 1 *f/ℎ4 y h0=3,18 metros. Para el caso del sistema de 
primer orden, se tendrán los mismos resultados obtenidos en el ejemplo 2.3. En las figuras 2.8 y 
2.9 se muestran las respuestas al inciso (a), mientras que en las figuras 2.10 y 2.11 se muestra la 
respuesta al inciso (b). En estas gráficas, puede verse la naturaleza auto-regulante de los 
sistemas de primer orden, a diferencia de los sistemas capacitivos puros o integradores, ya que 
en el primero, al retornar a Fe=20 m3/hora, h(t) retorna al valor de equilibrio, mientras que en el 
capacitivo puro, deja de crecer, habiendo acumulado un cierto volumen 
 
Figura 2.8 (ejemplo 2.4) 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.2-Modelado matemático 
 
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Figura 2.9 (ejemplo 2.4) 
 
Figura 2.10 (ejemplo 2.4) 
 
Figura 2.11 (ejemplo 2.4) 
En la figura 2.11 puede observarse la naturaleza integradora del sistema capacitivo puro, ya que 
al retornar el caudal de entrada Fe(t) al valor inicial, el nivel h(t) deja de aumentar ya que se 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.2-Modelado matemático 
 
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vuelve a establecer que Fe(t)=Fs(t)=20 m
3/hora, pero ha acumulado una determinada cantidad de 
líquido, llevando el nivel de 3,18 m a 4,78 m. Esta acumulación es proporcional al tiempo de la 
duración de la diferencia entre Fe(t) y Fs(t), mientras que el sistema de primer orden retorna 
gradualmente a su posición de equilibrio. 
Ejemplo 2.5: Ídem ejemplo 2.4, con la diferencia que el cambio escalón en Fe(t) es de 20 a 19 
m3/hora en t=0. Analizar para el caso del sistema capacitivo puro y para el del sistema de primer 
orden. 
Resolución: Aplicando las ecuaciones 2.37 y 2.58 en una planilla de cálculo de Excel, se 
obtienen las curvas que se muestran en las figuras 2.12 y 2.13. Obsérvese como el nivel del 
sistema de primer orden se auto-regula, mientras que el nivel del sistema capacitivo puro 
continúa disminuyendo, tendencia que continuará mientras se mantenga la diferencia entre la 
salida y la entrada, tal como se indicó en el enunciado del problema. Este comportamiento es 
muy común en la evolución de los niveles de liquido en los tambores separadores gas-líquido, 
tambores de reflujo y fondos de torres de destilación, en los cuales la salida de líquido es 
independiente su nivel, etc. Esta independencia puede darse en el caso de que se tenga una 
bomba para impulsar el caudal de salida, como se indicó previamente, y también en los casos en 
los cuales, el líquido es impulsado por la diferencia de presiones entre la presión existente sobre 
la superficie libre del líquido (P1) y la que se tenga aguas debajo de la válvula de control en la 
salida de líquido (P2), ∆{ = {̀ − {', sea significativamente mayor que la presión hidrostática 
de la columna de líquido, es decir ∆{ ≫ }"∆ℎ. Es decir, en tal caso también se tendrá un 
sistema capacitivo puro. 
 
Figura 2.12 (ejemplo 2.5) 
 
Figura 2.13 (ejemplo 2.5) 
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Efecto de la variación del caudal de salida, FS 
En la gran mayoría de los sistemas de control de nivel, la variable manipulada es el caudal de 
salida, como se muestra en la figura 2.14. La bomba empleada aquí es de tipo centrífuga, ya que 
si la misma fuese del tipo de desplazamiento positivo (a pistón, a engranajes, etc.) no se podría 
aplicar este control de caudal (ver capítulo 8 para más detalles). 
 
Figura 2.14 
Para analizar el efecto que esta variable tiene en el nivel, se supondrá que el caudal de entrada 
permanece constante y se resolverá de forma análoga a lo hecho en las ecuaciones 2.53 a 2.58: 
−������ = � �ℎ������ �
�. 2.59� 
Para el caso en el cual Fs(t)varía en la forma de un escalón a partir de un valor de Fsi en una 
magnitud ∆Fs se tiene que: 
−∆����� = � �ℎ������ �
�. 2.60� 
Resolviendo por integración se tiene: 
Q �ℎ���� = Q − 1� ∆������� �
�. 2.61� 
ℎ���� = − 1� ∆������ �
�. 2.62� 
ℎ��� = − 1� ∆������ + ℎ� �
�. 2.63� 
De la ecuación 2.63 se concluye que con Fe(t) constante, una reducción en Fs(t) producirá un 
aumento en h(t) y viceversa. Matemáticamente esto viene indicado mediante el signo negativo al 
inicio de la ecuación 2.63. Las implicancias de esto son que, en un sistema de control como el 
de la figura 2.14, el controlador LC deberá aumentar la salida de Fs para reducir h(t) y viceversa. 
Este modo de acción en control se conoce como directo (direct, en inglés), y se interpreta como 
que si PV aumenta, OP aumentará, para mantener la realimentación negativa, y la consecuente 
estabilidad, en el lazo de control. Por su parte se tiene también la opción de poner al controlador 
en modo reverso (reverse,en inglés) en el cual si PV aumenta, OP debe disminuir, también con 
el objetivo de mantener la realimentación negativa en el lazo. El primer caso es típico cuando se 
tiene al nivel como variable controlada y como variable manipulada a un caudal de salida, y 
también cuando una presión se controla por medio de la manipulación de un venteo de gases o 
vapores, o bien cuando se desea controlar temperatura de un sistema exotérmico con el caudal 
de un agente de refrigeración, etc., mientras que el segundo es común en el control de 
temperatura con manipulación del caudal de vapor, por ejemplo. Como se indicó en el capítulo 
1, estos modos se deben configurar en el mismo controlador, en base a la lógica con la que 
responde el sistema a controlar. Finalmente, si se desea visualizar el efecto de un aumento de 
FS(t) en h(t) se tendrá una respuesta para el sistema capacitivo puro análoga a la figura 2.12, 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.2-Modelado matemático 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 94 
 
mientras que ante una disminución de FS(t) se tendrá una equivalente a la detallada en la figura 
2.8, también para el sistema capacitivo puro o integrador. 
2.3.3 Sistemas de segundo orden 
2.3.3.1 Sistema formado por una masa suspendida de un resorte con elemento de fricción 
viscosa 
Los sistemas de segundo orden cuya descripción dinámica puede describirse por medio del 
ejemplo de la masa suspendida de un resorte y adosada a un elemento de fricción viscosa 
corresponden a sistemas mecánicos, en los cuales están presente la inercia por la presencia de la 
masa, la restitución impartida por el resorte o elemento elástico, y la fricción interna de este 
elemento y con el aire identificada con la fricción viscosa. En los procesos químicos o los 
sistemas que los forman, este tipo de comportamiento es muy infrecuente, solo encontrándose 
en cierta medida en los sistemas de medición de nivel, por la presencia de vasos comunicantes, 
lo cual genera que el aumento de nivel en una de las ramas hará que haya flujo hacia la 
adyacente y así sucesivamente, dando una oscilación concierto grado. Sin embargo, la utilidad 
de los sistemas de segundo orden en el estudio del control automático de procesos o 
sistemas químicos reside en que sus respuestas “a lazo abierto” ante entradas en escalón 
son totalmente análogas a la que la mayoría de los lazos cerrados de control tienen ante 
cambios en escalón en el valor fijado de consigna (set-point). A su vez se aclara, que los 
sistemas de segundo orden que si son frecuentes en los procesos químicos son aquellos 
formados por dos sistemas de primer orden conectados en serie, es decir, si tomamos como 
ejemplo la figura 2.1, la salida de Fs del primer tanque sería la entrada de otro tanque con la 
misma configuración, pudiendo tener, desde luego, cada uno diferente sección trasversal y 
diferente resistencia hidráulica. Estos sistemas no presentan respuestas oscilantes y serán 
estudiadas en secciones siguientes de este material. 
 
En la figura 2.15 se muestra un esquema del sistema masa-resorte-amortiguador mencionado 
anteriormente. El alargamiento del resorte producido por el propio peso m.g de la masa 
suspendida se toma como condición de origen. Supongamos que la masa está formada por un 
bloque de hierro. El amortiguador consiste de un émbolo con holgura adosado a un vástago, que 
se puede llenar con diferentes líquidos de variada viscosidad o bien dejarse vacío. Imagínese 
que se coloca un imán a una distancia “x” por debajo de la masa de hierro, la misma se verá 
atraída por una fuerza F de forma permanente. 
 
Figura 2.15 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.2-Modelado matemático 
 
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Esta forma de aplicar la fuerza F será del tipo escalón. Esta fuerza llevará a la masa “m” hacia 
abajo una distancia z(t), movimiento al cual se le opondrá el resorte, con una fuerza k.z(t) (ley de 
Hooke de los materiales elásticos) y el rozamiento viscoso del amortiguador con una fuerza p.v, 
siendo “v” la velocidad de movimiento del émbolo en el fluido elegido. La fuerza resultante 
determinará la aceleración de la masa. Un balance de fuerzas en la masa “m” nos dará: 
~��� − 5��� − 6���� = *���� �
�. 2.64� 
Expresando la velocidad “v” y la aceleración “a” en la forma de las derivadas de “z” 
correspondientes: 
~��� − 5��� − 6 �5����� = *
�'5�����' �
�. 2.65� 
Reordenando: 
 
~��� = * �
'5�����' + 6
�5����� + 5��� �
�. 2.66� 
Dividiendo ambos miembros por 1/k, se tiene: 
31 7 ~��� = O
*
 P
�'5�����' + O
6
 P
�5����� + 5��� �
�. 2.67� 
La ecuación 2.67 es una ecuación diferencial de segundo orden, se ahí el nombre de los sistemas 
que describe. Para normalizar, y generalizar, la ecuación 2.67 se definen los siguientes 
parámetros: 
q�' = * => q� = !
*
 �
�. 2.68� 
2�q� = 6 => � =
6
2 q� �
�. 2.69� 
�x = 1 �
�. 2.70� 
A TC se la denomina constante de tiempo característica del sistema, al coeficiente “ξ" se lo 
denomina coeficiente de amortiguamiento y a Kp, ganancia estática del sistema. El coeficiente 
“ξ” puede tomar valores de cero (sistema con amortiguamiento nulo), entre 0 y 1 (sistema hipo-
amortiguado), igual a 1 (sistema críticamente amortiguado) y mayor a 1 (híper-amortiguado). 
Observar que el coeficiente “ξ” es proporcional al coeficiente de fricción viscoso “p”. Esto nos 
indica que a mayor “ξ”, mayor es el grado de amortiguamiento. Si la fuerza aplicada F se aplica, 
como se indicó, en forma de salto escalón, de magnitud ∆F, la solución a la ecuación diferencial 
(z(t)) vendrá dada por los distintos valores que puede tomar “ξ”. Dichas resoluciones se aceptan 
si demostración en este material debido al gran trabajo matemáticos que requieren. Se 
analizarán únicamente las respuestas estacionarias en cada caso. 
Caso A: Sistema hipo-amortiguado (1<ξξξξ<0)<0)<0)<0) y amortiguamiento nulo (ξξξξ=0=0=0=0)))):::: 
5��� = �x∆~
⎣⎢
⎢⎡1 − 1
!1 − �'
T�O bc�P0
.-���� + ���
⎦⎥
⎥⎤ �
�. 2.71� 
�� =
!1 − �'
q� �
�. 2.72� �� = �"T`
!1 − �'
�
 �
�. 2.73� 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.2-Modelado matemático 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 96 
 
Observación: Para evaluar el caso de amortiguamiento nulo, ξξξξ=0, =0, =0, =0, tomar, solo a la hora de hacer 
cálculos, un valor de este coeficiente igual a 0,0001, por ejemplo, para evitar dividir por cero. 
Caso B: Sistema críticamente amortiguado (ξξξξ=1=1=1=1)))):::: 
5��� = �x∆~ �1 − 31 + �q�7 
TO bc�P� �
�. 2.74� 
Caso C: Sistema híper-amortiguado (ξξξξ>>>>1111)))):::: 
5��� = �6∆~ �1 − 
−�O �q�P ��-0ℎ � �q� !�
2 − 1� + ���2 − 1 0
.ℎ �
�
q� !�
2 − 1��� �
�. 2.75� 
0
.ℎ = 
��
�T`� − 
T���T`�
2 �
�. 2.76� �-0ℎ =
���T`� + 
T���T`�
2 �
�. 2.77� 
En la figura 2.16 se muestran las respuestas de los 4 casos arriba mencionados, empleando las 
ecuaciones 2.71 a 2.77, con un valor de ∆F de 1 N (newton) aplicado a una masa de 1 Kg, la 
cual está suspendida de un resorte que posee una constante k=100 N/m y diferentes valores de 
fricción viscosa, “p” (Kg/segundo) que darán como resultado distintos valores del coeficiente 
de amortiguamiento épsilon “ξ”(adimensional) a saber: cero (amortiguamiento nulo); 0,1768; 
0,3536; 0,7071 (hipo-amortiguado); 1 (críticamente amortiguado); 1,4142 y 4 (híper-
amortiguado). 
Para este ejemplo, se tiene que Tc=0,03162 segundos; Kp=0,1 m/N. Calculando con MS Excel y 
graficando, se obtiene lo indicado en la figura 2.16. De estas curvas de respuesta, puede 
concluirse lo siguiente: 
a) Para sistemas con amortiguamiento nulo (ξ=0) una entrada en escalón (fuerza aplicada 
“F”, en este caso) hace que la salida (desplazamiento, “z”) oscile de forma continua con 
una señal sinusoidal de amplitud constante. Este tipo de respuesta es simular a la que 
presentan lazoscerrados de control ante una entrada en escalón en el SP, por ejemplo, 
cuando los mismos están por inestabilizarse como consecuencia de los valores de los 
parámetros de ajuste del controlador (como se detalla de forma introductoria en el 
Capítulo 1). En capítulos siguientes se analizará esta situación con más profundidad. 
b) Para los casos hipo-amortiguados (0<ξ<1), la respuesta es también oscilatoria, pero con 
amplitud decreciente, convergiendo en un valor de equilibrio que será Kp∆F+z0 en este 
caso; es decir, el producto de la ganancia estática multiplicado por la magnitud del salto 
escalón aplicado más la condición inicial. Este tipo de respuesta es similar a la que 
tienen los lazos cerrados de control en general. En función de esto, en la figura 2.12, se 
detallan los parámetros como sobrepaso (overshoot, en inglés) y relación de 
decaimiento (decay-ratio, en inglés). Estos dos parámetros son muy utilizados en las 
mencionadas respuestas de los lazos cerrados de control, para evaluar, en el primer 
caso, qué magnitud PV (c) se pasará del valor de SP (r) pedido, y de forma indirecta, 
cuántas oscilaciones le demandará a la respuesta de PV terminar convergiendo en SP. 
c) Para el caso híper-amortiguado (ξ>1), se observa que las respuestas no son oscilatorias, 
y serán tanto más lentas cuanto mayor sea el coeficiente de amortiguamiento. 
Para todos estos casos de valores de coeficiente de amortiguamiento, las respuestas de los 
sistemas de segundo orden poseen una respuesta en el origen, es decir, en t=0, que difieren 
significativamente de las de primer orden. En la figura 2.17 se observa este comportamiento, 
poniendo, como ejemplo, para el primer orden una constante de tiempo de 0,316 segundos, una 
ganancia estática del sistema KP=1 y un salto escalón de magnitud 0,1. Este comportamiento 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.2-Modelado matemático 
 
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“divide” característica de las respuestas de los sistemas de primer orden de las de orden 
superior. Observar que las de segundo orden, independientemente del coeficiente de 
amortiguamiento, comienzan a subir con una pendiente muy inferior a la de de primer orden. Se 
aclara, que las respuestas a lazo abierto de los sistemas de segundo orden a entradas en escalón 
son comparables en todo el rango de tiempo con las de orden superior solo para los sistemas 
híper-amortiguados, tema que se tratará en capítulos siguientes. 
Observación: El sistema masa-resorte-amortiguador no es propio de los procesos físico-
químicos pero sin embargo se incluye aquí por su comportamiento análogo a los lazos cerrados 
de control por realimentación, para los distintos valores del coeficiente de amortiguamiento, ξ, 
ante una entrada en escalón. Esto es debido a que los lazos de control por realimentación darán 
curvas de respuesta similares a las mostradas en la figura 2.16, principalmente las del tipo 
0<ξ<1 (hipo-amortiguado), mientras las del tipo ξ=0 (amortiguamiento nulo) son análogas a las 
de respuesta de un control por realimentación cuando el mismo está a punto de inestabilizarse 
(esto se detallará al estudiar el método de ajuste de Ziegler-Nichols). Las respuestas cuando ξ>1 
se presentan para controladores muy bien ajustados o sintonizados, de modo de que no se 
verifique el fenómeno indeseable del sobre-paso u overshoot. Las ecuaciones 2.71 y 2.74 a 2.77 
no se usarán como tales, es decir directamente, en el estudio de lazos de control en esta obra, 
presentándose aquí solo a los efectos de estudiar el tema y a título informativo. Sin embargo, las 
ecuaciones 2.78 a 2.81 revisten importancia para el estudio de características especiales de las 
respuestas de los lazos de control como se indicó precedentemente. 
 
 
Figura 2.16 
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9
D
e
sp
la
za
m
ie
n
to
, 
z 
(m
);
 F
u
e
rz
a 
ap
lic
ad
a,
 
F 
(N
)
tiempo (segundos)
Respuesta de sistemas de segundo orden a una entrada en escalón
(lazo abierto)
Fuerza aplicada z1 (eps.0) z2 (eps. 0,1768) z3 (eps. 0,3536)
z4 (eps. 0,7071) z5 (eps. 1) z6 (eps. 1,4142) z7 (eps. 4)
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Figura 2.17 
Analizando con más detalle la respuesta de los sistemas de segundo orden hipo-amortiguados 
(ver figura 2.18), los parámetros de sobrepaso, relación de decaimiento, período y frecuencia de 
oscilación poseen las siguientes ecuaciones: 
 
�-+4
6�0- �-�
40ℎ--�� = �� = 
s��
!rs�� �
�. 2.78� 
 
8
/��,ó. �
 �
��,*,
.�- ��
��� 4��,-� = )� = 
s���
!rs�� = 3��7
' �
�. 2.79� 
 
{
4í-�- �
 -0�,/��,ó. = { = 2�q�
!1 − �'
 �
�. 2.80� 
�4
��
.�,� �
 -0�,/��,ó. O4�� 09 P = �N =
!1 − �'
q� �
�. 2.81� 
El efecto del coeficiente de amortiguamiento “ξ” sobre el sobrepaso y la relación de 
decaimiento se muestran en la figura 2.19. Llevando la analogía a los lazos cerrados de control, 
es importante remarcar que un sobrepaso elevado puede ser problemático, ya que la variable 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.2-Modelado matemático 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 99 
 
controlada “sobrepasará” al valor de consigna pedido (set-point) en una magnitud tal que podrá 
hacer que se sobrepasen limitaciones físicas de un equipo o sistema (caso de la variable presión, 
por ejemplo), o bien especificaciones de procesos que harán que un producto se altere, 
descomponga o se dispare una reacción, por ejemplo (caso de la variable controlada 
temperatura, por ejemplo). De esta forma, los ajustes de los controladores se buscan de modo de 
tener un sobrepaso de 5% como máximo. En lo que respecta a la relación de decaimiento, en el 
pasado dicho parámetro era usado como criterio de diseño, por ejemplo, en el método de 
Ziegler-Nichols se buscaba una C/A=1/4. Este criterio de relación de decaimiento (no el método 
de ZN) es considerado actualmente como demasiado agresivo para los procesos químicos. En 
capítulos siguientes se estudiará con profundidad estos conceptos y su aplicación. 
Para el caso especial de los sistemas como amortiguamiento nulo (ξ=0), se tendrá que los 
mismos responderán en forma de oscilación continua ante una variación tipo escalón en la 
variable de entrada (figura 2.16). Dicha oscilación posee una frecuencia característica 
denominada frecuencia natural, y su correspondiente período, vienen expresados por las 
ecuaciones 2.82 y 2.83 respectivamente: 
�[ = 1q� �
�. 2.82� {[ = 2�q� �
�. 2.83� 
 
 
Figura 2.18 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.2-Modelado matemático 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 100 
 
 
Figura 2.19 
 
2.3.3.2 Sistema de segundo orden formado por dos elementos de primer orden en serie 
Si por ejemplo, se disponen dos tanques vinculados como se muestra en la figura 2.20, se tendrá 
un sistema de segundo orden formado por dos sistemas de primer orden en serie sin interacción. 
La respuesta de este sistema ante una entrada en escalón en el caudal de entrada (∆Fe) del 
primer tanque será: 
 
Figura 2.20 
 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Coeficiente de amortiguamiento (Épsilon)
Efecto del coeficiente de amortiguameinto sobre 
el sobrepaso y la relación de decaimiento
Sobrepaso
Relación de 
decaimiento
Rh1
Fe
Fs1
h1
h2
A1
A2
Rh2
Fs2
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.2-Modelado matemático 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 101 
 
( ) i
T
t
T
t
ePt heTeT
TT
FKh +
















−
−
+∆=
−−
21
21
12
1
1.. (ec. 2.84) 
 
La ganancia estática Kp será igual al producto de ambas resistencias hidráulicas,es decir, 
Kp=Rh1*Rh2. La respuesta de este sistema ante una entrada en escalón es no oscilante (híper-
amortiguada) y válida solamente para los casos en donde las constantes de tiempo son 
diferentes, siendo que T1=Rh1*A1 y T2=Rh2*A2. En los próximos capítulos se analizará cómo 
tratar el caso de sistemas conectados en serie con iguales constantes de tiempo, ya que para este 
caso la ecuación 2.84 no se puede aplicar. 
 
2.3.4 Sistemas de primer orden más tiempo muerto 
Sea un sistema de calentamiento de un fluido de proceso por medio de vapor de agua, como el 
de la figura 2.21, se analizará el efecto de la ubicación del sensor en la dinámica de la medición 
de la temperatura de salida del producto del intercambiador de calor. 
 
Figura 2.21 
Colocando al controlador en modo manual y aplicando un incremento a la apertura de la válvula 
en forma de salto escalón, se producirá un salto escalón en el caudal de vapor de agua, FV. Si la 
temperatura del fluido ni bien sale del intercambiador se denota con ϴ2 y asumiendo que la 
misma responde a una dinámica de un sistema de primer orden con ganancia estática “KP” y 
constante de tiempo “T” y es medida con el sensor TE-1. Por otro lado, el sensor TE-2 se halla a 
una distancia “d” de la salida del intercambiador, lo que implica que existe un tiempo muerto 
puro L=d/v, siendo “v” la velocidad de desplazamiento del líquido por la tubería, y “d” la 
distancia al sensor. De esta forma, el sensor TE-2 detectará las temperaturas que sean medidas 
por el sensor TE-1, pero desplazadas “L” unidades en el tiempo hacia la derecha. 
Matemáticamente, este desplazamiento a la derecha se logra restando “L” a la variable tiempo, 
para la temperatura medida por el sensor TE-2, como se detalla en las ecuaciones 2.85 y 2.86. 
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���D�V�TU = tu. ∆A  OU − CTD V9 P + ���W��ec. 2.85� 
���D�V�T� = tu. ∆A  3U − CT�DT¡� V9 7 + ���W��ec. 2.86� 
Si, como ejemplo, se tiene que el fluido ingresa a 20°C, y el KP=2°C/(Kg/hora de vapor); T=2 
segundos; L=1 segundo; ∆FV=10 Kg/hora de vapor (de 20 a 30 Kg/hora) y ϴ2(i)=60°C, 
gráficamente se tendrá (ver figura 2.22): 
 
Figura 2.22 
En la figura 2.22 puede observarse el desplazamiento hacia la derecha una magnitud igual al 
tiempo muerto L. Cuando se emplea la ecuación 2.86 en MS Excel debe tenerse en cuenta que 
para valores de tiempo menores a L, el resultado de la ecuación dará valores menores a la 
condición inicial. Por este motivo deberán ponerse a mano los valores numéricamente iguales al 
valor inicial para todo tiempo menor a L. 
La incorporación de tiempo muerto a cualquier otra respuesta temporal se hará siguiendo el 
mismo procedimiento de restar L a la variable tiempo, es decir (t-L). 
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fv
, K
g/
h
o
ra
°C
tiempo (segundos)
Efecto del tiempo muerto
TE-1 (°C) TE-2 (°C) Fv, Kg/hora
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El sistema de primer orden más tiempo muerto es uno de los más importantes en el modelado en 
control automático, ya que permite aproximar los denominados sistemas de orden superior (de 
enésimo orden o simplemente de orden “n”). 
2.3.5 Sistemas de orden superior 
Por sistemas de orden superior se entiende a aquellos en los cuales el transporte de magnitudes 
tales como materia, energía y cantidad de movimiento que relacionan la variable de entrada o 
causa y la variable de salida, o efecto, debe “pasar” a través de un número dado de resistencias y 
capacidades interconectadas en serie, paralelo, serie-paralelo o bien con arreglos de 
realimentaciones internas debido a la interacción de las mismas. 
Dada una variable de salida “u(t)” que es afectada por una variable de entrada χ(t), se tendrá la 
siguiente ecuación diferencial lineal de orden “n” que las vincula, de modo similar a la obtenida 
para el sistema masa-resorte-amortiguador (ecuación 2.66): 
6[��,¢� �
[������[ + 6[T`��,¢�
�[T`������[T` + ⋯ + 6���,¢�
��������� + ⋯ + 6`��,¢�
������� + 6���,¢����� = ��£� �ec. 2.87� 
En la ecuación 2.87 los coeficientes pi(u,t) son parámetros que vinculan las magnitudes y, que, en 
el caso más general, dependen tanto del valor de la variable “u” como del tiempo. Un ejemplo 
de esto lo constituyen los coeficientes peliculares en la transmisión de calor; las constantes de 
velocidad de reacción, etc. A la función χ(t) se la denomina en forma general como función 
forzante, ya que un cambio en la misma hará que u(t) comience a variar en el tiempo. Este 
concepto se ampliará en los capítulos siguientes de este material. 
Para desarrollar los modelos que se emplearán en el nivel de control automático que cubre este 
material, se hará la simplificación de asumir que los coeficientes pi(u,t) serán constantes. Este 
procedimiento fue el seguido al definir la resistencia hidráulica como constante en el entrono de 
linealización para los sistemas hidráulicos de primer orden. Al hacer esta simplificación, los 
coeficientes “p” se denominarán con la letra “m”: 
*¤ �
[������[ + *¤T`
�[T`������[T` + ⋯ + *�
��������� + ⋯ + *`
������� + *����� = ��£� �ec. 2.88� 
Resolver estas ecuaciones dado un determinado cambio en χ(t) implicará una serie de pasos 
matemáticos que no se detallarán en este material. Sin embargo, en el capítulo 3 se mostrará 
cómo resolver estas ecuaciones diferenciales mediante la técnica de las transformadas de 
Laplace, con la introducción de la variable compleja “s=a+j.b”. Las transformadas de Laplace 
constituyen el lenguaje fundamental para el empleo de programas de simulación de sistemas y 
lazos de control, tales como Program Classic Control (Program CC), Matlab/Simulink, etc. 
2.3.5.1 Respuesta de los sistemas de orden superior a entradas en escalón 
Si a un sistema de orden superior formado, por ejemplo, “n” tanques conectados en serie de 
forma no interactuante (es decir, el nivel de líquido en un tanque no afecta a la descarga del 
inmediato anterior, ver figura 2.23), se le aplica un salto escalón en el caudal de entrada al 
primer tanque, Fe, de magnitud ∆Fe, el nivel del enésimo tanque, hn(t), variará de acuerdo con la 
siguiente ecuación (ec. 2.89) 
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2.89) (ec. 
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++++−∆=
−
−
−
 
Observación: Las ecuaciones 2.89 y 2.90 se aceptan sin demostración y corresponden a un 
método conocido como de Vladimir-Strejec, válido para la respuesta en escalón de “n” sistemas 
de primer orden en serie sin interacción, con y sin tiempo muerto (para el caso de tiempo muerto 
ver la ecuación 2.90). 
 
Figura 2.23 
En la figura 2.24 se muestran las respuestas del nivel h(t) de sistemas de 1°, 2°, 3°, 4° y 5° orden, 
con KP=1 m/m
3/hora (1*) y T=1 minuto (para todos los sistemas, i.e. todos los tanques tienen la 
misma sección trasversal “A” y todas las válvulas la misma resistencia hidráulica, “Rh”) para un 
cambio en ∆Fe=1 m
3/hora. Observar como a medida que sube el orden, la curva de respuesta 
posee una forma sigmoidea más pronunciada. Esto trae aparejado los tiempos muertos aparentes 
antes mencionados, ya que, por ejemplo, para 4 ° y 5° orden se observa que por 0,6 minutos en 
el primero y 1 minuto en el segundo, el sistema parece no haber reaccionado, siendo que el salto 
escalón en Fe se aplicó en t=0. 
(1*) Este valor de KP es demasiado alto para la realidad, pero se coloque como ejemplo,que se 
debe recordar (luego se explicará la razón), que para sistemas de en serie, las ganancias estáticas 
se multiplican. Por este motivo, al usar KP=1 se simplifica la realización del gráfico y su análisis 
conceptual. 
 
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Figura 2.24 
De la figura 2.24 se desprende la regla de que para los sistemas de orden “n” formados por “n” 
sistemas de primer orden en serie con la misma constante de tiempo “T”, en los valores de 
tiempo iguales a n*T se verifica que se tiene, aproximadamente, el 60% de la respuesta del 
sistema al intersectar la correspondiente curva de respuesta del sistema frente a una entrada en 
escalón. En la figura 2.25 se aprecian los porcentajes más exactos correspondientes a cada 
orden. Sin embargo, la propiedad considerada válida es laque hace referencia al 60%. Se 
remarca que para n=1 (primer orden), el porcentaje exacto es 63,2%, siendo esta última 
propiedad una de las más importante en la identificación de sistemas en control automático. 
Otra forma de visualizar la propiedad de que en t=n*T se tiene aproximadamente el 60% de la 
respuesta (excepto para sistemas de primer orden, como se indicó previamente) es graficar las 
respuestas en función de t/(n*T). Esta forma de representación se conoce como normalización 
del tiempo. En la figura 2.26 se muestran las respuestas a la entrada en escalón en sistemas de 
orden n=1 hasta orden n=5, en donde puede apreciarse que la mayoría de las respuestas se 
intersectan cerca del 60% del total para t/(n*T)=1. 
2.3.6 Sistemas de orden superior más tiempo muerto 
Los sistemas de orden superior se pueden combinar con los elementos de tiempo muerto, de la 
misma forma que se detalló para los sistemas de primer orden. Esta situación puede darse con 
tiempos muertos puros o bien con lo que se conoce como tiempos muertos aparentes, los cuales, 
no son estrictamente lo que su nombre lo indica, pero el comportamiento dinámico de los 
sistemas es tal que a los fines prácticos producen el mismo efecto. Este concepto se ampliará 
más adelante en este material. 
 
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Figura 2.25 
2.3.6.1 Respuesta a salto escalón en la entrada para sistemas de orden “n” más tiempo 
muerto 
Supóngase ahora que se desea describir cómo variará la composición de un componente “i” en 
el plato enésimo (xi,n) de una torre de destilación (la numeración de los platos será ascendente, 
siendo el plato número 1 el rehervidor), cuando se varía en forma de escalón en caudal de vapor 
en el rehervidor, FV, manteniendo constantes la alimentación en caudal y composición, el caudal 
de reflujo a la torre, la presión de la misma, etc., en una magnitud ∆FV. En este sistema, las 
constantes de tiempo serán las correspondientes a la transferencia de masa y energía en cada 
plato y los tiempos muertos al transporte físico hecho por los vapores ascendentes y la corriente 
líquida descendente. La suma de estos tiempos muertos, dará un tiempo muerto total “L”. Las 
constantes de tiempo en cada plato podrán ser diferentes. Sin embargo, el conjunto de platos de 
destilación se aproximará a n-sistemas de primer orden en serie, con o sin tiempo muerto, según 
corresponda. 
Entonces, para el caso general de un sistema de un sistema de orden “n” más tiempo muerto, se 
tendrá una expresión como la de la ecuación 2.90 (ec. de Vladimir-Strejec) 
( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
)90.2.( 
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
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−
−
++
−
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−
+−∆=
−−
−
−
 
En la ecuación 2.90, Kp, ganancia estática, representa la relación dimensional entre el caudal de 
vapor, FV (Kg/hora, por ejemplo), y la composición del componente “i” en el plato “n” 
(fracción en masa o en volumen; por ejemplo). Esto indica que KP es el coeficiente que tiene las 
unidades. Además, luego de estabilizado el sistema, i.e., en el “estado estacionario” (e.e.) 
posterior al cambio en el caudal de vapor, se verificará que: 
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�∆^�,[����∆�¥��� = �x �
�. 2.91� 
Notar que para el caso de la ecuación 2.91, �∆�¥��� es la misma altura del salto escalón 
aplicado, ya que por la propia naturaleza de la función escalón, se produce la variación en t=0 y 
luego se mantiene constante por el tiempo que dure la experiencia. 
Generalizando la ecuación 2.91 con la notación de la ecuación 2.87 se tendrá: ∆���∆��� = �x �
�. 2.92� 
Independientemente del orden, los sistemas de orden superior estudiados son de tipo auto-
regulantes. Por ejemplo, si tomamos la ecuación 2.90, el valor de estabilización de la 
composición xi,n como consecuencia del cambio ∆FV, será (ver ecuación 2.93): 
( ) ( )
)93.2.( .
0,,
ecxFKx niVPtni +∆= 
 
Figura 2.26 
 
Bibliografía del capítulo 2: 
1. Teoría de control automático de procesos. Apuntes originales de la cátedra, UTN-
FRRo-IQ Autores: Eduardo Darío Mutazzi; Jorge Caporale basados en el libro 
Dinámica de Sistemas de Katsuhiko Ogata, 1° Edición. 
2. Ingeniería de control moderna. Katsuhiko Ogata, Segunda Edición. Prentice Hall-1993. 
3. Chemical Process Control – An Introduction to Theory and Practice. George 
Stephanopoulos. Prentice Hall-1984. 
4. Process Control – Peter Harriot-Chemical Engineering Series, 1967.