06-Capítulo 06-Edición 2021-rev 31 01 2021 - Alma Montana

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Teoría de control automático de procesos – Edición 2020 Cap.6-Sistemas de orden superior 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 204 
 
Capítulo 6 
Sistemas de orden superior 
6.1 Introducción 
Como se ha indicado en el capítulo 2, ítem 2.3.5, los sistemas de orden superior son aquellos en 
los cuales la relación dinámica entre las variables de interés, i.e. variable manipulada y 
controlada; variables de perturbación y controlada, etc., viene dada por ecuaciones diferenciales 
de orden “n” como la indicada por la ecuación 2.87. Este comportamiento es consecuencia de la 
existencia de varias resistencias y capacidades conectadas en serie, serie paralelo o 
combinaciones más complejas con realimentaciones internas, etc., siendo esta situación 
característica de sistemas que se pueden encontrar en procesos químicos y físico-químicos 
reales. 
La presencia de las mencionadas resistencias y capacidades hará que estos sistemas de orden 
superior sean más lentos para responder ante cambios en las variables de entrada. En este 
sentido, en este material se analizarán dichas respuestas frente a entradas en escalón y a señales 
sinusoidales de frecuencia variable, i.e. análisis en frecuencia. En el capítulo 2, apartado 2.3.5 a 
2.3.6 se mostraron, de forma introductoria, las respuestas a “lazo abierto” de los sistemas de 
orden superior ante entradas en escalón. En este capítulo se profundizará sobre las mismas, así 
como también sobre los diagramas de Bode y Nyquist de estos sistemas (análisis en frecuencia). 
Por otro lado, y debido a que el desarrollo de las ecuaciones diferenciales de orden superior 
mencionadas en sistemas reales puede tornarse dificultosa e impráctica, se indicarán 
metodologías denominadas de identificación a partir de la curva de reacción, las cuales se 
basan en la aplicación de un estímulo en la entrada al sistema físico real, o de un conjunto de 
estímulos, y del subsiguiente análisis de la respuesta del mismo, en función del tiempo. Luego, 
mediante técnicas específicas, se obtendrá el modelo matemático del sistema mencionado en la 
forma de funciones de transferencia. Para los casos más simples, dichas técnicas consistirán en 
la aplicación de una función forzante del tipo escalón de magnitud “H” en la variable de 
entrada, i.e. variable manipulada o de perturbación, dependiendo del caso particular, y del 
análisis de la respuesta, en función del tiempo, de la variable de salida de interés de dicho 
sistema, i.e. la variable controlada. En la realidad, la aplicación de estas técnicas deberá hacerse 
de forma repetida y con saltos escalón de signos positivos (“hacia arriba”) y negativos (“hacia 
abajo”) y de variada magnitud para luego recolectarlos valores de la variable de salida en 
función del tiempo obtenidos de cada ensayo. A su vez, los procesos químicos y físico-químicos 
encontrados en la rama de la Ingeniería Química suelen tener comportamientos no lineales, 
como se indicó en los sistemas hidráulicos del capítulo 2, ítem 2.3.1.1. A esto se suma el hecho 
de que estos procesos se operan a diferentes regímenes de carga, lo cual hace que los parámetros 
característicos como por ejemplo, los tiempos muertos, las constantes de tiempo y las ganancia 
estáticas cambia en con la misma y, por lo tanto, sean válidos en entornos acotados. 
Métodos de identificación más complejos involucran sistemas multi-variables con técnicas de 
análisis en frecuencia o de redes neuronales, por ejemplo, que son estudiados en cursos más 
avanzados de control y reservados para aplicaciones específicas en donde son desarrollados “a 
medida” por empresas especializadas de software de control automático y que generalmente 
forman parte de proyectos de optimización energética, de productividad y/o calidad, lo cual 
justifica económicamente las importantes inversiones requeridas para su desarrollo. 
6.2 Clasificación de los sistemas de orden superior 
Una primera clasificación de los sistemas de orden superior es la siguiente manera: 
1. Sistemas de orden superior puros: Son aquellos formados solo por un número dado 
de resistencias y capacidades interconectadas. 
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2. Sistemas de orden superior más tiempo muerto: ídem anterior, solo que se le 
incorpora el elemento de retardo distancia-velocidad o tiempo muerto puro. 
3. Sistemas de primer orden más tiempo muerto: Estos sistemas rara vez se presentarán 
en los sistemas reales exactamente como tales, pero resultan muy útiles para aproximar 
a los del tipo 1 y 2. 
4. Sistemas con respuesta inversa: Estos sistemas se presentan en casos muy puntuales y 
resultan de la combinación de dos sistemas con ganancias estáticas de signo opuesto y 
con el resto de los parámetros generalmente diferentes. Se mencionan en este material 
debido a que describen respuestas que pueden resultar difíciles de interpretar debido a 
que las mismas toman primero una dirección para luego de un tiempo cambiar a otra, 
6.2.1 Sistemas de orden superior puros 
Los mismos resultan de aplicar transformadas de Laplace a ecuaciones diferenciales del tipo de 
la ec. 2.88 derivando en funciones de transferencia del tipo de la ecuación 3.76. En general, 
estos sistemas a su vez se representan como formados por “n” sistemas de primer orden en serie 
con constantes de tiempo diferentes. De esta forma se tiene: ����
���� = ���	
� + 1��	
��� + 1� … �	�� + 1��	�� + 1� ���. 6.1� 
La ecuación 6.1 representada en diagramas en bloque será: 
 
 
 
Figura 6.1 
En la figura 6.1 se recuerda que los bloques conectados en serie se multiplican algebraicamente. 
A modo de simplificación, en general se modela a estos sistemas como formados por “n” 
sistemas de primer orden con la misma constante de tiempo “T” conectados en serie. De esta 
forma, se tiene: ����
���� = ���	� + 1�
 ���. 6.2� 
Como ejemplos típicos de sistemas de orden superior formados por “n” sistemas de primer 
orden en serie que se pueden encontrar en procesos químicos y físicos-químicos se tienen las 
columnas de destilación y de absorción líquido-líquido y gas-líquido. Ambos tipos de equipos 
poseen un cierto número importante de platos, reales o teóricos; siendo que cada plato contiene 
capacidades y resistencias conectadas en seria a la transferencia de calor y de energía que, a su 
vez, son interactuantes. De esta manera, un cambio en escalón en el caudal de líquido del 
solvente en la cima de la columna de absorción líquido-líquido producirá una respuesta muy 
lenta y gradual en el contenido del solvente en la corriente de fondo (compuesta por el solvente 
enriquecido con el componente extraído). De forma similar, un cambio en el caudal de reflujo 
en una columna de destilación afectará rápidamente a la composición de la cima de la misma, 
mientras que la composición del producto de fondo se verá afectada por este cambio de una 
forma muy lenta y gradual. De la misma forma, un cambio en el caudal de vapor al rehervidor, 
afectará rápidamente a la composición del producto de fondo, mientras que la composición del 
producto de cima se verá afectada de forma muy lenta y gradual. 
6.2.1.1 Respuesta de sistemas de orden superior puros ante entradas en escalón 
Como se introdujo en el capítulo 2, ítem 2.3.6, los sistemas puros de orden superior formado por 
“n” sistemas de primer orden con la misma constante de tiempo “T” y con ganancia estática 
global KP, responden ante una entrada en escalón de magnitud H con una forma “sigmoidea”, la 
cual viene descripta por la ecuación de Vladimir-Strejec similar a la ecuación 2.90: 
�� 1�	�� + 1� 1�	�� + 1� 1�	
� + 1� … U(S) X(S) 
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���� = ��� �1 − �1 + �1! 	 + ��2! 	� + ⋯ + �
�
���� − 1�! 	�
���! ��� "# $ + �% ���. 6.3� 
���� = ��� '1 − ( �)*! 	)
)+�
���
)+% �
�� "# , + �% ���. 6.4�
 
Las gráficas de las respuestas de la ecuación 6.3 son análogas a las mostradas en la figura 2.18, 
aplicando también la propiedad de que para casos de orden “n” mayor o igual a 2, se tiene que 
para el tiempo t=n*T se verificará el 60% de la evolución de la respuesta, es decir: ���+
"� ≅ 0,6��� + ���+%� ��� 6.5� 
Recordar que, para los sistemas de primer orden, se debe aplicar la propiedad del 63,2% para 
que se corresponda (de forma exacta) con la constante de tiempo del sistema de primer orden 
puro. 
Dichas respuestas también pueden obtenerse fácilmente por medio del Program CC, como se 
muestra en el ejemplo 6.1. 
Ejemplo 6.1: Respuesta de sistemas de orden “n” a una función forzante escalón: 
Sea un sistema que tiene una ganancia estática Kp=2 (adimensional) y está formado por “n” 
funciones de transferencia g1 con constante de tiempo T de 1 segundo. Evaluar la respuesta del 
sistema para “n” de 1 a 10 ante una entrada en escalón de magnitud H=1 (adimensional). 
 
 
Figura 6.2 
Los comandos usados para la construcción de las curvas de la figura 6.2 son: 
CC>Kp=2 
CC>g1=1/(1*s+1) 
CC>g2=g1*g1 
CC>g3=g2*g1 
CC>g4=g3*g1 
CC>g5=g4*g1 
CC>g6=g5*g1 
CC>g7=g6*g1 
CC>g8=g7*g1 
CC>g9=g8*g1 
CC>g10=g9*g1 
CC>time(Kp*g1,Kp*g2,Kp*g3,Kp*g4,Kp*g5,Kp*g6,Kp*g7,Kp*g8,Kp*g9,Kp*g10) 
Como puede observarse en la figura 6.2, a medida que el orden de un sistema se incrementa, la 
respuesta del mismo ante una entrada en escalón evidencia un tiempo cada vez mayor a partir 
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del cual el mismo comienza a “responder”. Este comportamiento es, a los fines prácticos, un 
tiempo muerto, a pesar de que el sistema efectivamente no tiene ningún elemento de tiempo 
muerto puro, tal como se mostró en el ejemplo 6.1, siendo, por lo tanto, un pseudo-tiempo 
muerto. Más adelante en este capítulo se mostrará cómo se puede aproximar al mismo a un 
elemento de tiempo muerto puro. 
 
6.2.1.2 Análisis en frecuencia de sistemas de orden superior puros 
Para realizar el análisis en frecuencia de sistemas de orden superior como los detallados en la 
ecuación 6.1, se hará uso de las respuestas vistas para sistemas de primer orden y de las 
propiedades que indican que para sistemas en serie las relaciones de amplitudes o magnitud 
se multiplican, los decibeles se suman (basado en la propiedad del logaritmo de un 
producto) y los ángulos de desfasaje se suman (ecuaciones 6.5 a 6.7): 
23
3�4 = 2 3
3
��4 23
��3
��4 … 23�3�4 ���. 6.6� 
20567 23
3� 4 = 20567 2 3
3
��4 + 20567 23
��3
��4 + ⋯ + 20567 23�3�4 ���. 6.7�
 9
 = 9
�� + 9
�� + ⋯ + 9� ���. 6.8� 
En las ecuaciones 6.6 en adelante, Ai hace referencia a la amplitud de salida del sistema “i”, al 
igual que 9; es el desfasaje del sistema “i” a una dada frecuencia angular ω.
 Específicamente, para los sistemas de orden superior formados por “n” sistemas de primer orden 
en serie con la misma constante de tiempo T y con ganancia global KP se tendrá; 
23
3� 4 = ��<�	�=� + 1�
 ���. 6.9� 
20567 23
3�4 = 20567 ��<�	�=� + 1�
 ���. 6.10� 9
 = − . ?�? �=	� ���. 6.11� 
Estas propiedades son consecuencia del álgebra de diagramas en bloque la cual indica que 
sistemas en serie se multiplican; del reemplazo de la variable “s” por “jω” en el análisis en 
frecuencia en estado estable; de los números complejos resultantes y de la operación de 
multiplicación de los mismos, i.e. multiplicación de los módulos y suma de los argumentos. 
De la ecuación 6.10 fácilmente se deduce que cuando n=1 el ángulo de desfasaje para muy altas 
frecuencias (virtualmente infinitas) será de -90°, para n=2; -180°, n=3; -270°, n=4; -360° y así 
sucesivamente. Recordar que el signo negativo indica retraso de fase, es decir desplazamiento 
hacia la derecha de la variable de salida con respecto de la entrada. 
Para el caso de las relaciones de amplitud se verificará que las asíntotas de bajas frecuencias 
serán para todos los casos iguales a 20567��, mientras que para la frecuencia de corte = = 1 	# 
y para las asíntotas de alta frecuencia se tendrán valores afectados por el orden “n”. ´En el 
ejemplo 6.2 se muestran estas propiedades. 
Ejemplo 6.2: Diagramas de Bode de sistemas de orden “n”: 
Considérense sistemas con KP=1 (adimensional), T=1 segundos y orden “n” desde 1 a 10. 
Obtener mediante las ecuaciones 6.10 y 6.11 los valores de las asíntotas de bajas frecuencias y 
la endiente de la asíntota de altas frecuencias y los valores de magnitud y desfasaje a la 
frecuencia de corte y el desfasaje a frecuencia “infinita”. Obtener mediante el Program CC los 
diagramas de Bode y de Nyquist de estos sistemas. 
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En la tabla 6.1 se muestran los resultados obtenidos. En la figura 6.3 se muestra el diagrama de 
Bode y en las 6.4 y 6.5 los diagramas de Nyquist de estos sistemas. La figura 6.5 es la forma 
polar del mismo. 
 
Tabla 6.1 
 
Figura 6.3 
En el diagrama de Bode de la figura 6.3 pueden corroborarse los puntos característicos 
mostrados en la tabla 6.1. Observar cómo la pendiente de cada asíntota de altas frecuencias se 
va incrementando en -6 dB por cada orden que sea agrega y como los valores de desfasaje a 
frecuencia infinita se corresponden con los calculados en la tabla 6.1. 
 
Figura 6.4 
Kp 1
T 1
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Asíntota de bajas 
frecuencias; Ndb @ ω =0
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Ndb @ ω =1/T -3,01 -6,02 -9,03 -12,04 -15,05 -18,06 -21,07 -24,08 -27,09 -30,10
Ndb p/ ω =1000 rad/seg -60,00 -120,00 -180,00 -240,00 -300,00 -360,00 -420,00 -480,00 -540,00 -600,00
Ndb p/ ω =2000 rad/seg -66,02 -132,04 -198,06 -264,08 -330,10 -396,12 -462,14 -528,16 -594,19 -660,21
Pendiente de la asíntota de 
alta frecuencia (db/octava)
-6,02 -12,04 -18,06 -24,08 -30,10 -36,12 -42,14 -48,16 -54,19 -60,21
ϕ @ ω =1/T (°) -45 -90 -135 -180 -225 -270 -315 -360 -405 -450
ϕ @ ω infinita(°) -90 -180 -270 -360 -450 -540 -630 -720 -810 -900
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Figura 6.5 
Como se indicó, a medida que el orden crece en una unidad más, se agregan -90° al desfasaje a 
frecuencia infinita, lo cual hace que en el correspondiente diagrama de Nyquist barra un 
cuadrante más. De esta forma, un sistema con n=8 dará “dos vueltas” al diagrama, por ejemplo. 
Estas propiedades serán empleadas cuando se analice la estabilidad de los lazos de control de 
procesos formados por sistemas de orden superior. Se adelanta que es de particular interés la 
frecuencia a la cual el sistema o proceso evidencia un desfasaje de -180°, o lo que es 
equivalente, un retraso de 180° (el signo negativo indica retraso de fase). 
Los comandos empleados para obtener las figuras 6.3, 6.4 y 6.5 son los siguientes. Para obtener 
el diagrama de Nyquist en la forma polar se debe recurrir a la siguiente ruta 
Plot/Change/Grid/Polar. 
CC>g1=1/(s+1) 
CC>g2=g1*g1 
CC>g3=g2*g1 
CC>g4=g3*g1 
CC>g5=g4*g1 
CC>g6=g5*g1 
CC>g7=g6*g1 
CC>g8=g7*g1 
CC>g9=g8*g1 
CC>g10=g9*g1 
CC>bode(g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8,g9,g10) 
CC>nyquist(g1,g2,g3,g4,g5,g6,g7,g8,g9,g10) 
 
6.2.2 Sistemas de orden superior más tiempo muerto 
Los mismos resultan de agregar un elemento de tiempo muerto puro a los sistemas de orden 
superior. Considerando en caso más común de “n” sistemas de primer orden con la mismaconstante de tiempo “T” y con ganancia estática global KP, se tiene: ����
���� = ���	� + 1�
 ��@.� ���. 6.12� 
La ecuación 6.11 representada en diagramas en bloque será: 
 
 
 
Figura 6.6 
�� 1�	� � 1� 1�	� � 1� 1�	� � 1� … U(S) X(S) ��@.� 
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6.2.2.1 Respuesta de “n” sistemas de primer orden en serie más tiempo muerto ante 
entradas en escalón 
De forma análoga a lo indicado para “n” sistemas de primer orden con constante tiempo “T” y 
ganancia estática KP, la respuesta ante una entrada en escalón de magnitud H viene dada por la 
ecuación de Vladimir-Strejec, con el agregado del tiempo muerto: 
���� = ��� �1 − �1 � �� − A�1! 	 � �� − A��2! 	� � ⋯ � �� − A�
�
���� − 1�! 	�
���! �B�CBD�E $ � �% ���. 6.13� 
En forma compacta se tiene: 
���� = ��� '1 − ( �� − A�)*! 	)
)+�
���
)+% �
B�CBD�E , � �% ���. 6.14�
 
Debe recordarse que el agregado de tiempo muerto puro desplazará las respuestas hacia la 
derecha una magnitud igual a “L” unidades de tiempo. En programas como el Program CC o 
MATLAB, trabajando en el dominio de Laplace, el tiempo muerto se agrega mediante la 
aproximación de Padé, como se indicó previamente en este material (ecuación 4.47), la cual se 
introduce mediante el comando pade(L,N), siendo “L” el tiempo muerto y “N”, en este caso, el 
orden del polinomio de la aproximación de Padé. En el ejemplo 6.3 se compara la respuesta de 
un sistema de orden “n” puro con la de un sistema del mismo orden pero con el agregado de un 
tiempo muerto “L”. Como se indicó, en el análisis de la respuesta de estos sistemas ante la 
entrada de funciones forzantes del tipo escalón, la aproximación de Padé brinda una respuesta 
ondulatoria de baja amplitud para 0 ≤ � ≤ A, como consecuencia del cociente de polinomios de 
funciones de transferencia que la conforma, la cual, en general, no genera problemas en el 
modelado y simulación de los lazos de control, excepto en el caso de la acción del modo 
derivativo de control, como se verá en el capítulo 7. 
Ejemplo 6.3: Efecto del tiempo muerto “L” en la respuesta a un salto escalón en sistemas 
de orden superior: 
Comparar la respuesta de un sistema con función de transferencia g1=2/(10s+1)
3 y de otro con 
g2=[2/(10s+1)
3
]*e
-5s
 ante la entrada de una función forzante escalón con H=1,5. Los valores de 
las ganancias estáticas y del salto escalón son adimensionales y las constantes de tiempo están 
expresadas en segundos. 
Resolución: 
Con el Program CC la resolución es la siguiente: 
CC>g1=2/(10*s+1)^3 
CC>g2=2/(10*s+1)^3*pade(5,3) 
CC>H=1.5 
CC>time(H*1,H*g1,H*g2) 
 
Figura 6.7 
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En la figura 6.7 se observa como el sistema con tiempo muerto L=5 posee una respuesta ante la 
entrada en escalón desplazada 5 unidades de tiempo hacia la derecha con respecto a la del 
sistema sin tiempo muerto. El orden N=3 en la aproximación de Padé se toma como un valor 
típico, a pesar de que el Program CC permite hasta un N=10. Esto último no es aconsejable ya 
que al proseguir con los cálculos las funciones de transferencia se hacen muy grandes y en 
medio de una operación el programa puede interrumpirse. Debe observarse que el agregado de 
tiempo muerto funciona como el incremento de un orden superior “intermedio”. En este 
principio se basa el método de aproximación de Vladimir-Strejec para aproximar sistemas de 
orden superior cuyas respuestas no presentan un orden definido. 
 
6.2.2.2 Análisis en frecuencia de “n” sistemas de primer orden en serie más tiempo muerto 
Para el caso de “n” sistemas de primer orden con la misma constante de tiempo “T” y ganancia 
estática KP se tiene que: 
 
23
3�4 = ��<�	�=� � 1�
 ���. 6.15� 
20567 23
3�4 = 20567 ��<�	�=� � 1�
 ���. 6.16� 9
 = − . ?�? �=	� − =. A ���. 6.17� 
Observar que la diferencia con respecto a las ecuaciones 6.8 a 6.10 se evidencia en el ángulo de 
desfasaje debido al efecto del tiempo muerto puro el cual es igual a −=. A. Esto último tiene un 
efecto muy fuerte en el mencionado desfasaje, ya que a medida que la frecuencia angular se 
incrementa en el análisis en frecuencia, también lo hace proporcionalmente el desfasaje, no 
estabilizándose (*6.1) de forma asintótica en ningún momento. En este sentido, el diagrama de 
Nyquist de sistemas que poseen elementos de tiempo muerto puro tendrán una forma de espiral 
que dará infinitas vueltas, i.e., barriendo infinitas veces cuadrante a cuadrante a medida que la 
frecuencia aplicada sube y al mismo tiempo que se verifica una disminución de la amplitud, 
formando, por lo tanto, una espiral que se cierra sobre el origen. (*6.1: La referencia al valor de 
estabilización del ángulo de desfasaje para frecuencias altas no debe confundirse con la 
estabilidad o inestabilidad de un lazo de control, puesto que el primero hace referencia 
simplemente al valor de desfasaje que se tiene cuando = → ∞ mientras que lo segundo se 
refiere a si el lazo de control logra seguir un cambio en el valor en el valor de consigna, i.e. 
set-point, o bien cómo se comporta ante la entrada de una perturbación, específicamente a si la 
variable controlada oscila de forma convergente con una determinada relación de decaimiento, 
i.e amplitudes decrecientes, lo cual es un comportamiento estable, o bien oscila con amplitudes 
crecientes, lo cual es el comportamiento inestable. 
Esta es la razón, desde el punto de vista del análisis en frecuencia, por la cual aún un tiempo 
muerto pequeño puede dotar de inestabilidad potencial a cualquier sistema no susceptible de 
tornarse inestable, en teoría, de forma aislada, ya que siempre habrá funciones periódicas que se 
puedan descomponer en sinusoidales (de acuerdo con la teoría de las transformadas de Fourier) 
con una frecuencia tal que haga que el desfasaje alcance el valor de -180° y por lo tanto 
susceptible de verificarse la mencionada inestabilidad. Sin embargo, se aclara que al hacer 
análisis en frecuencia de estos sistemas con programas como el Program CC o el MATLAB se 
debe recurrir a la aproximación de Padé, como se indicó previamente, pero como la misma es un 
cociente de polinomios, no se llegará a ver el fenómeno de que el desfasaje llegue a infinito, 
sino que se estabilizará en un valor finito, pero de gran valor absoluto y con signo negativo al 
ser de retraso. En el ejemplo 6.4 se ilustra este efecto, para un sistema de orden superior “n” y 
con un determinado tiempo muerto “L” para distintos valores del orden N de la aproximación de 
Padé. 
Ejemplo 6.4: Realizar los diagramas de Bode y Nyquist de los sistemas g1 y g2 del ejemplo 6.3. 
Además, calcular a qué frecuencia se produce el desfasaje de -180° para g1 y para g2. Para este 
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último caso, calcularlo con la ecuación 6.17 y comparar con el dato extraído del Bode obtenido 
de g2 la cual contiene la aproximación de Padé. Usar para la misma un orden N=3. 
Resolución: 
En el Program CC se tiene: 
CC>g1=2/(10*s+1)^3 
CC>g2=2/(10*s+1)^3*pade(5,3) 
CC>g1 
 2 
 g1(s) = ——— 
 (10s+1)^3 
CC>g2 
 2( -s^3 +2,4s^2 -2,4s +0,96) 
 g2(s) = —————————————— 
 (10s+1)^3(s^3 +2,4s^2 +2,4s +0,96) 
 
CC>bode(g1,g2) 
CC>figure 
CC>nyquist(g1,g2) 
 
Buscando cuidadosamente en el diagrama de Bode o en el de Nyquist de la figura 6.8 se tiene 
que, con la aproximación de Padé, a una frecuencia de aproximadamente 0,115 r/s se 
corresponde un desfasaje de -180° (-π radianes). Si usamosla ecuación exacta 6.17 resolviendo 
con iterativamente (con Solver) para un desfasaje de -180° se tiene que la frecuencia exacta 
deberá ser: 
 
Tabla 6.2 
 
Figura 6.8 
 
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Figura 6.9 
Se puede concluir de la tabla 6.2 que a pesar de que la aproximación de Padé difiera a 
frecuencias muy altas en el desfasaje respecto del tiempo muerto “verdadero”, genera una 
buena aproximación en la zona del desfasaje de -180° que es el que importa para el análisis de 
la estabilidad de los lazos de control como se verá en el capítulo 7. 
 
6.2.3 Sistemas de primer orden más tiempo muerto 
Estos sistemas pueden encontrarse de forma “pura” en casos muy puntuales de sistemas de 
primer orden en los cuales el elemento sensor se halla ubicado a una distancia dada “d” 
verificándose el efecto “distancia-velocidad” y por lo tanto el tiempo muerto puro. Sin embargo, 
su principal ventaja es que constituyen una herramienta de modelado de sistemas de orden 
superior que resulta muy útil y sencilla para los fines del control automático de procesos. La 
forma más sencilla de “reducir” un sistema de orden superior a uno de primer orden más tiempo 
muerto es a través de la curva de respuesta de estos últimos sistemas a una entrada de escalón a 
lazo abierto mediante técnicas gráficas y numéricas. En control automático estas técnicas 
pueden replicarse en procesos reales para hallar la relación entre la variable manipulada y la 
controlada o entre las variables de perturbación y la variable controlada, por ejemplo. 
Básicamente consisten en el trazado de la recta tangente al punto de inflexión de la curva de 
respuesta a una entrada en escalón de magnitud H(el punto de inflexión es aquel en el cual la 
curva sigmoidea de respuesta pasa de cóncava a convexa) y de la determinación del tiempo 
muerto aparente “La” como el tiempo transcurrido entre el instante en el que se aplicó el salto en 
escalón en la variable de entrada y aquel en el cual la mencionada recta tangente corta a la recta 
horizontal que pasa por el valor inicial de la variable de salida. Este tiempo muerto, como se 
detalla en el ejemplo 6.5, es un tiempo muerto aparente o pseudo-tiempo muerto, ya que será 
mayor que aquellos que se puedan atribuir como reales al proceso. Esta situación se considera 
ventajosa en el modelado de sistemas para control automático, puesto que los tiempos muertos 
en general son los “elementos difíciles” en el control automático y los causantes de oscilaciones 
e inestabilidades en los lazos de control. Luego de determinado el mencionado tiempo muerto, 
se deberá determinar el valor de la constante de tiempo “T” y el de la ganancia estática KP, 
como se indica a continuación. La constante de tiempo “T” será igual a “ta-La”, siendo “ta” la 
constante de tiempo aparente, la cual es igual al tiempo que transcurre desde que se aplica el 
salto escalón en la entrada y aquel en el cual la variable de salida alcanza el valor que se 
corresponde con el 63,2% de la evolución total de la misma, es decir: 
���+�I� ≅ 0,632��� + ���+%� ���. 6.18� 
De esta forma se tiene: �J = 	 + AJ ���. 6.19� 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2020 Cap.6-Sistemas de orden superior 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 214 
 
 	 = �J − AJ ���. 6.20� 
La determinación del valor de la ganancia estática KP para sistemas autorregulantes, i.e., 
aquellos a los cuales al aplicar un salto escalón la respuesta del sistema se estabiliza en un valor 
estable luego de un tiempo suficientemente largo (a diferencia por ejemplo de los sistemas 
capacitivos puros), es la siguiente: ���→K� = ��� + ���+%� ���. 6.21� 
O bien en términos prácticos, ���+L"� ≅ ��� + ���+%� ���. 6.22� 
Por lo tanto se tendrá que: 
�� ≅ ���+L"� − ���+%�� ���. 6.23� 
6.2.3.1 Respuesta de un sistema de primer orden más tiempo muerto ante entradas en 
escalón 
Un sistema de primer orden más tiempo muerto responde ante una entrada en escalón de 
acuerdo con la ecuación 6.24: 
���� = �� . � 21 − �����@� "# 4 + �% �ec. 6.24� 
La ecuación 6.24 debe escribirse en rigor de la siguiente forma: 
���� = O �% ∀ 0 ≤ � < A�� . � 21 − �����@� "# 4 + �% ∀ � ≥ AS �ec. 6.25� 
De la ecuación 6.25 puede verse fácilmente que la salida del sistema U(t) permanece igual al 
valor inicial U0 mientras el tiempo sea menor o igual al tiempo muerto, o tiempo muerto 
aparente, según corresponda, y luego los valores vienen dados por la respuesta de un sistema de 
primer orden ante una entrada en escalón. Debe notarse además que el hecho de restar “L” a la 
variable independiente tiempo “t”, hace que toda la curva de respuesta del sistema de primer 
orden se desplace “L” unidades de tiempo a la derecha. 
6.2.3.2 Análisis en frecuencia de sistemas de primer orden más tiempo muerto 
El análisis en frecuencia de sistemas de primer orden más tiempo muerto viene dado por las 
ecuaciones 6.26 a 6.28. La relación de amplitudes es igual a la de un sistema de primer orden ya 
que el tiempo muerto puro tiene relación de amplitudes igual a 1 para todo valor de frecuencia 
angular, mientras que el desfasaje resulta de sumar en de ambos sistemas, siendo el del 
elemento de tiempo muerto igual a −=. A. Como se indicó anteriormente, el desfasaje del 
elemento de tiempo muerto es directamente proporcional a la frecuencia aplicada, con lo cual 
cuando la misma tienda a infinito, también lo hará el ángulo de retraso. A aproximar por Padé, 
caben las mismas conclusiones hechas en el ítem 6.2.2.2 en lo que respecta al valor de 
estabilización del desfasaje 
23�3�4 = ��<�	�=� + 1� ���. 6.26� 
20567 23�3�4 = 20567 ��<�	�=� + 1� ���. 6.27� 9 = −?�? �=	� − =. A ���. 6.28� 
 
 
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6.2.3.2 Aproximación de sistemas de orden superior mediante primer orden más tiempo 
muerto 
Como se indicó en la introducción del ítem 6.2.3, este método es el más usado en control 
automático para obtener una función de transferencia que represente satisfactoriamente el 
comportamiento de un sistema de orden superior cuya función de transferencia se desconoce. El 
mismo no produce un modelo que serpa capaz de predecir punto a punto los valores de la salida 
del sistema U(t) cuando se aplique un salto escalón en la entrada a lazo abierto de magnitud H, 
pero contendrá tres parámetros fundamentales: un tiempo muerto L, una constante de tiempo T y 
una ganancia estática KP. A diferencia del método de Vladimir-Strejec, este método no es capaz 
de “predecir” todos los puntos de U(t) del sistema real, como se indicó, pero eso no es 
excluyente en control automático por realimentación, puesto que los 3 parámetros arriba 
indicados permiten ajustar controladores con performances adecuadas ya que captan la esencia 
de la dinámica de respuesta del sistema y de su magnitud. El método que se presenta a 
continuación es el estándar y consiste en el trazado de la recta tangente al punto de inflexión y 
determinar el valor de “L” entre el punto de aplicación del salto escalón de magnitud H y el 
punto en donde la recta tangente corta a la horizontal que pasa por U0. Finalmente el valor de 
“ta” se determina como aquel tiempo en el cual la curva de respuesta alcanza el valor 
correspondiente al 63,2% y se calcula con la ecuación 6.18 
 
Figura 6.10 
Para determinar la constante de tiempo T se emplea la ecuación 6.20 y para calcula KP se 
emplea la ecuación 6.23. Luego, con estos 3 valores se aplica la ecuación 6.25 y se compararan 
los resultados. En la figura 6.11 se muestra la forma de la aproximación.Los parámetros 
mencionados pueden optimizarse por medio de la herramienta de cálculo iterativo Solver de 
Excel. Para hacer esto se deben disponer en una tabla los valores de tiempo y los de U(t) 
correspondientes. En la columna siguiente se coloca la ecuación 6.25 con los valores de KP, T y 
L estimados por el método de la recta tangente, mientras que en la tercera columna se hace la 
diferencia de ambos valores elevada al cuadrado y se suma al final. Finalmente, se le instruye a 
Solver que manipule los 3 parámetros mencionados de modo de que la diferencia al cuadrado 
sea la mínima, optimizando los valores de dichos parámetros. Es muy importante remarcar que 
no los autores no recomiendan tomar como el valor de “ta” a aquel tiempo en el cual la recta 
tangente corta al valor de Uf ya que esto dará una constante de tiempo demasiado grande. Esto 
es debido a que dicho método tiene por objetivo “medir” la pendiente máxima de la velocidad 
de respuesta del sistema frente a una entrada en escalón, siendo empleado en métodos de ajuste 
como el de Cohen-Coon, por ejemplo. Se insta por lo tanto al/la lector/a que no emplee esa 
forma de determinar la constante de tiempo “T” para aproximar a un sistema de primer orden 
más tiempo muerto porque será incorrecta. 
Ejemplo 6.5: Dada la curva de respuesta de un sistema, cuya función de transferencia se 
desconoce, mostrada en la figura 6.11, obtener una función de transferencia aproximada de 
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primer orden más tiempo muerto, sabiendo que el salto escalón aplicado usado para perturbar al 
sistema tuvo una magnitud H igual a 2. EL tiempo está expresado en segundos y la salida U(t) 
está expresada en forma de variables de desviación adimensional. 
 
Figura 6.11 
Resolución: El valor de estabilización de U(t) es de 2,6. Recordando que H=2; el valor de KP es 
igual a (2,6-0)/(2-0)=1,3. Por la recta tangente, el valor de L es de 3,9 segundos y el ta es de 16,3 
segundos (valor que se corresponde con 1,643 en U(t) el cual se obtiene de hacer 
0,632*1,3*2=0,632*2,6, es decir el 63,2% de la respuesta). Por lo tanto, la constante de tiempo 
T es 16,3-3,9=12,4 segundos. Para corroborar si estos ajustes son correctos, se compara en la 
figura 6.12, usando una aproximación de Padé con orden N=3; 9 y 10. 
Los comandos usados en el Program CC fueron: 
CC>g1=1.3/(5*s+1)^3 
CC>H=2 
CC>time(H*1,H*g1) 
CC>Kp=1.3 
CC>T=12.4 
CC>L=3.9 
CC>g2=Kp/(T*s+1)*pade(L,3) 
CC>g2 
 
 1,3( -s^3 +3,077s^2 -3,945s +2,023) 
 g2(s) = ———————————————— 
 (12,4s+1)(s^3 +3,077s^2 +3,945s +2,023) 
 
CC>g3=Kp/(T*s+1)*pade(L,10) 
*** Error: Quadruple or transfer function is too big. Use a smaller model or upgrade the 
program. 
 
CC>g4=Kp/(T*s+1)*pade(L,9) 
CC>figure 
CC>time(H*1,H*g1,H*g2) 
CC>figure 
CC>time(H*1,H*g1,H*g4) 
 
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Figura 6.12 
 
Figura 6.13 
Del ejemplo 6.5 se concluyen que la versión “demo” del Program CC no admite un N=10, y que 
la diferencia entre la aproximación de Padé con N igual a 3 o 9 (figura 6.13) no es demasiado 
significativa, razón por la cual se elige el N=3. Por otro lado, se observa que la curva de 
respuesta del salto escalón del modelo de primer orden más tiempo muerto “corta” a la curva 
real en el 63,2%. Las diferencias entre ambas respuestas pueden reducirse haciendo uso de 
Solver como se explicó en el ítem 6.2.3.2. En la práctica si se tiene una tabla de datos de U(t) 
vs. tiempo, la misma se debe graficar usando Excel, por ejemplo, y luego se aplican las mismas 
técnicas vistas y luego la ecuación 6.25 para corroborar la calidad del ajuste. 
Observación: La función g1 usada para construir, en este caso, la curva real fue: 
g1=1.3/(5*s+1)^3. 
 
Ejemplo 6.6: Aproximar la función de transferencia g1=1.3/(5*s+1)^3a una de primer orden 
más tiempo muerto. Luego, realizar los diagramas de Bode y Nyquist de ambos sistemas y sacar 
conclusiones. Calcular la frecuencia para un caso y el otro en el cual se produce un desfasaje de 
-180° y sacar conclusiones. 
Resolución: En el ejemplo 6.5 se halló que la aproximación para la función g1 es 
g2=[1.3/(12.4*s+1)]*e-(3.9*s), por lo tanto, en el Program CC se deben ingresar los siguientes 
comandos: 
CC>g1=1.3/(5*s+1)^3 
CC>g2=[1.3/(12.4*s+1)]*pade(3.9,3) 
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CC>g2 
 
 1,3( -s^3 +3,077s^2 -3,945s +2,023) 
 g2(s) = ————————————————— 
 (12,4s+1)(s^3 +3,077s^2 +3,945s +2,023) 
 
CC>bode(g1,g2) 
CC>figure 
CC>nyquist(g1,g2) 
 
 
Figura 6.14 
 
Figura 6.15 
 
De observar las figures 6.14 y 6.14, puede observarse que la aproximación de primer orden más 
tiempo muerto posee una mayor relación de amplitudes a un desfasaje de -180°. 
 
Aplicando las ecuaciones 6.9 a 6.11 para el análisis en frecuencia de sistemas de orden superior 
formado por “n” elementos de primer orden en serie y resolviendo de forma iterativa con Solver 
se tiene que a una w=0,3464 rad/seg, el desfasaje φ = - 180° y la relación de amplitudes será de 
0,1625 o -15,783 dB y las ecuaciones 6.26 a 6.28 para lo propio para los sistemas de primer 
orden más tiempo se tiene a w=4484 rad/seg el desfasaje φ = - 180° y la relación de amplitudes 
será de 0,2301 o -12,76 dB. Estos valores se pueden corroboran con el cursor “Trace On” del 
Program CC en los correspondientes diagramas de Bode y Nyquist. 
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Estas diferencias se deben a un efecto indirecto del tiempo muerto, puesto que el mismo no 
afecta directamente a la relación de amplitudes, pero si a la frecuencia a la cual se produce un 
desfasaje de -180°, Esto es debido a que se introduce un tiempo muerto puro en la aproximación 
(recordar que el sistema original es solo de orden n=3) y que a su vez este tiempo muerto es 
algo mayor por el efecto del trazado de la recta tangente. Modelar un sistema con un mayor 
tiempo muerto le otorga mayor robustez al diseño subsiguiente del controlador que se va a usar, 
puesto que es uno de os elementos más difíciles para el control. Finalmente, se recuerda que a 
frecuencia “infinita” el sistema de primer orden más tiempo muerto puro daría un desfasaje de 
“- ∞°”, debido a que −=. A → −∞ cuando = → ∞, lo cual no se observa en los diagramas de 
Bode y Nyquist de las figuras 6.14 y 6.15 debido a las aproximaciones de Padé usadas. En este 
sentido si dibujamos “a mano alzada” un diagrama de Bode de un sistema de primer orden más 
tiempo muerto, deberemos dibujar que el desfasaje baja de forma monótona con respecto a la 
frecuencia, o a su logaritmo, mientras que en un diagrama de Nyquist, un espiral que da se 
“enrolla” dando infinitas vueltas hacia el (0,0) en el plano (Re,Im). 
 
6.2.4 Sistemas con respuesta inversa 
Los sistemas con respuesta inversa son aquellos que presentan una respuesta que, inicialmente, 
posee una dirección opuesta a la de la función forzante aplicada, evidenciando luego un cambio 
gradual en la dirección de dicha respuesta hacia el mismo sentido de la función forzante 
aplicada. Este comportamiento es radicalmente diferente a los casos analizados hasta el 
momento y es consecuencia de dos efectos contrapuestos que se suman, en donde uno de ellos 
domina durante un tiempo y luego pasa a dominar el otro efecto. El mismo solo se evidencia en 
un númerolimitado de sistemas o unidades que forman parte de los procesos químicos y físico-
químicos. 
Como ejemplo de sistemas que pueden evidenciar este comportamiento se indican: 
a) Respuesta del nivel de agua en una caldera ante el aumento en el caudal de agua de 
alimentación a la misma manteniendo el caudal de combustible constante, 
b) Respuesta del nivel de líquido en el fondo de una torre de destilación, la cual cuenta con 
un rehervidor por circulación forzada, al aumentar el caudal del vapor al mismo. 
En el caso “a”, se verifica que, al ingresar agua de alimentación, la cual se halla a menor 
temperatura, a una caldera de producción de vapor, se verifica una disminución del volumen de 
agua en la misma, debido a que el agua presenta burbujas de vapor retenidas que se condensan 
al ingresar el agua a una temperatura menor que la que se tiene en el interior de la caldera. 
Luego, si se mantiene constante el caudal de combustible, la tasa de vaporización se mantendrá 
constante y el nivel de líquido volverá a subir. En el ejemplo 6.7 se ilustra este caso. 
En el caso “b”, se tiene que, si se incrementa en forma de escalón el caudal de vapor al 
rehervidor, poniendo en manual el controlador de temperatura TC, y registra la evolución del 
nivel del líquido de fondo de la torre de destilación en función del tiempo, dejando el control de 
nivel de fondo, LC, en manual y con la válvula de control en una posición fija, se verificará una 
respuesta como la mostrada en la figura 6.17. Esto es debido a que, al ingresar más vapor, se 
produce una mayor vaporización en el rehervidor, y los vapores del producto del fondo de la 
columna generados en el interior del rehervidor desplazan más líquido hacia el fondo de la torre 
de destilación, lo cual es detectado por el indicador de nivel. Luego de un tiempo se normaliza 
la tasa de vaporización en el rehervidor, y como consecuencia de esto, un mayor caudal de 
vapores de producto ascenderá por la torre de destilación, haciendo que se reduzca el nivel en el 
fondo de la misma (ver figura 6.17). Esto último resulta de un balance entre el caudal de líquido 
que baja del primer plato de destilación (numerado desde abajo hacia arriba en orden 
ascendente) y el caudal de líquido que es vaporizado, y por lo tanto asciende, por la torre de 
destilación. Se aclara que el caudal de recirculación forzada al rehervidor se mantiene constante 
durante todo el análisis para no alterar el valor del coeficiente global de transferencia de calor. 
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En ambos casos, y en todos aquellos en los que se presente este tipo de respuesta, el control se 
dificulta significativamente. Una de las opciones para poder llevar a cabo un buen control 
consiste en modelar al tiempo de “inversión”, i.e. tiempo transcurrido desde el instante en el que 
se aplica la función forzante escalón en la entrada y el instante en el cual el sistema revierte su 
respuesta en el mismo sentido de la función forzante aplicada (ver figura, como un tiempo 
muerto. De esta forma el sistema con respuesta inversa pasará a ser uno de tiempo muerto más 
primer orden, por ejemplo, y deberá ser tratado como tal. En el capítulo 7 de este material se 
indicará como ajustar controladores para este tipo de sistemas con alto tiempo muerto. 
 
Figura 6.16 
 
 
Figura 6.17 
Ejemplo 6.7: 
Supóngase que se tiene una caldera del tipo tubos de humo (i.e. gases calientes de la 
combustión) en la cual la relación funcional dinámica hidráulica entre el caudal de reposición 
de agua desmineralizada y des-aireada fría y el nivel de agua en ebullición en su interior viene 
dada por la función de transferencia g1=K’/s (sistema capacitivo puro con K’=0.2 m de 
nivel/(m
3
/minuto) de caudal) mientras que la relación funcional dinámica que modela el efecto 
térmico entre el caudal de entrada de agua fría de reposición antes mencionada y el nivel de 
agua en la caldera, también antes indicado, viene dada por la función de transferencia 
g2=KP/(T*s+1), i.e. sistema de primer orden, con KP=-1 m de nivel(/m
3
/minuto) de caudal y 
T=1minuto. Determinar la evolución que tendrá el nivel de líquido en el interior de la caldera, 
i.e. hacer la gráfica de nivel vs. tiempo, a partir del instante en el que el caudal de agua de 
reposición se incrementa de forma escalón en una magnitud de 1 m
3
/minuto, sabiendo que el 
caudal de combustible quemado en la caldera se mantiene inalterado. Determinar el tiempo de 
inversión en minutos. Realizar además el diagrama de bloques que permita indicar el efecto 
combinado de las funciones de transferencia indicadas. 
Resolución: Para determinar la respuesta usaremos el Program CC. Antes se remarca el hecho 
de que el efecto modelado por g1 tiene signo positivo, ya que, desde el punto de vista 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2020 Cap.6-Sistemas de orden superior 
 
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hidráulico, un aumento en el caudal de entrada producirá un aumento en el nivel de líquido en la 
caldera. Por otro lado, el efecto térmico sobre el nivel del líquido que producen las burbujas de 
vapor entrampado en el seno del mismo, tendrá signo negativo en la ganancia estática, ya que la 
entrada de agua fría causa la condensación del vapor y la reducción del volumen. En la figura 
6.18 se indican ambos efectos de las mencionadas funciones de transferencia en la forma de un 
diagrama en bloques. 
 
Figura 6.18 
Se remarca que, para este caso en particular, el efecto combinado evidenciará respuesta inversa 
solo si K’*T < KP. 
Los comandos ingresados en el Program CC son: 
CC>g1=0.2/s 
CC>g2=-1/(s+1) 
CC>g3=g1+g2 
CC>time(1,g1,g2,g3) 
 
La gráfica obtenida se muestra en la figura 6.19: 
 
Figura 6.19 
De la figura 6.19 se tiene que el tiempo de inversión es de 4,97 minutos, aproximadamente 5 
minutos. 
 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2020 Cap.6-Sistemas de orden superior 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 222 
 
Bibliografía del capítulo 6: 
 
1. Teoría de control automático de procesos. Apuntes originales de la cátedra, UTN-
FRRo-IQ Autores: Eduardo Darío Mutazzi; Jorge Caporale basados en el libro 
Dinámica de Sistemas de Katsuhiko Ogata, 1° Edición. 
2. Chemical Process Control – An Introduction to Theory and Practice. George 
Stephanopoulos. Prentice Hall-1984. 
3. Control Automático de Procesos, Teoría y Práctica, Smith y Corripio, 2° Edición, 
Editorial Limusa-Wiley.