Copia de CLASE 18 1 - Jared Sánchez

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TEMA:
RAZONAMIENTO LOGICO
2021-2
18.1
PREUNIVERSITARIO
CONTENIDO
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• Argumentación
• Inferencias lógicas
• Reglas de la inferencias
• Lógica de Clases 
ARGUMENTACIÓN
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• Argumentar es defender una idea sobre la base de otras
ideas generalmente aceptadas como ciertas.
• Los puntos de partida o datos con los cuales se inicia 
la argumentación reciben el nombre de PREMISAS. 
• Lo que pretendemos que quede justificado, recibe el 
nombre de CONCLUSIÓN.
• Las premisas son antecedidas por indicadores de 
razón Como: dado que . . ., 
se sigue de . . .,
puesto que . . ., 
a partir de . . ., etc.
• Las conclusiones vienen antecedidas por los 
indicadores de conclusión como:
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ARGUMENTACIÓN
por lo tanto . . .,
por ello . . .,
en consecuencia . . ., etc.
• Una argumentación puede estar plagada de premisas
y conclusiones pero puede no ser válida, para validarla es 
necesario analizar
los procesos de pensamiento que enlazan las premisas
con las conclusiones intermedias y la conclusión final.
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Ejemplos de argumentos
ARGUMENTACIÓN
I. Yo soy anciano, casi todos los ancianos son inteligentes, luego yo
soy inteligente.
II. Yo soy anciano, los ancianos tienen todos 18 años, luego yo 
tengo18 años.
III. Yo soy menor de edad, los menores de edad no pueden ir a prisión 
si delinquen, luego si cometo un delito no voy a prisión.
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INFERENCIAS LÓGICAS
• Lógica general. Es la ciencia que estudia la estructura
como el contenido del pensamiento, se divide en:
Formas del pensamiento
• concepto
• juicio
• razonamiento
• Racionamiento. Es la operación discursiva por medio de la cual
se obtiene un conocimiento nuevo,inferido partiendo de otros
conocimientos nuevos, es decir un razonamiento es una inferencia
Tipos de
razonamiento
• Inductivo
• deductivo
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Razonamiento Inductivo. Se observa patrones para resolver problemas 
Razonamiento deductivo. Se determina la validez de los argumentos 
Lógicos.
Inferencia. Es un conjunto de proposiciones tales que una de ellas 
llamada conclusión, debe ser consecuencia de las otras llamadas
Premisas o lo que es lo mismo, de la conclusión debe estar implicada
por la conjunción de las premisas.
Se dice que una inferencia es válida cuando su razonamiento es correcto
y una inferencia no válida cuando el razonamiento es incorrecto.
INFERENCIAS LÓGICAS
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DERIVACIÓN Y VALIDEZ DE LOS 
RAZONAMIENTOS 
• La derivación es el análisis de la validez de los razonamientos, 
haciendo uso de implicaciones notables ( reglas de inferencia ) 
y equivalencias notables (equivalencias de formulas lógicas). 
En estas reglas no intervienen las estructuras de las proposiciones, 
solo su valor de verdad. En las reglas de inferencia las premisas 
se consideran siempre verdaderas y el razonamiento está direccionado
( no se puede usar la regla para llegar de las conclusiones a las 
premisas) lo que no sucede en las equivalencias notables.
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INFERENCIAS VÁLIDAS Y NO VÁLIDAS
Verdad y Validez. Es muy importante notar que “valido” y “verdadero” 
no es lo mismo.
Primero. Debe aclararse, que si afirmamos que una determinada 
inferenciaes válida, no por eso su conclusión debe ser verdadera. 
Segundo. Los valores de verdad o falsedad se aplican sólo 
a lasproposiciones, y una inferencia no es una proposición sino una relación 
entre proposiciones.
Tercero. Puede ocurrir que la inferencia, sea no válida, y que 
tanto las premisas como la conclusión sean verdaderas. 
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Ejemplo
.
Las manzanas son comestibles 
El sol sale por el este
C: Aristóteles fue un filósofo
Todas las proposiciones son verdaderas, pero si lo analizamos
lógicamente es obvio que no se tiene una inferencia 
válida
𝐩𝟏:
𝐩𝟐:
INFERENCIAS VÁLIDAS Y NO VÁLIDAS
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INFERENCIAS LÓGICAS
Forma vertical Forma 
horizontal
Premisa
s
𝐩𝟏
𝐩𝟐
𝐩𝟑
⋮
𝐩𝐧
C ⟶
Conclusión
𝐩𝟏 ∧ 𝐩𝟐 ∧ 𝐩𝟑 ∧. . . ∧ 𝐩𝐧 ⟹ 𝐂
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𝐒𝐈𝐋𝐎𝐆𝐈𝐒𝐌𝐎 𝐞𝐬 𝐮𝐧 𝐫𝐚𝐳𝐨𝐧𝐚𝐦𝐢𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐪𝐮𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚 𝐝𝐞 𝐭𝐫𝐞𝐬 𝐩𝐫𝐨𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬,
𝐝𝐨𝐧𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐭𝐞𝐫𝐜𝐞𝐫𝐚 𝐩𝐫𝐨𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐞𝐬 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐜𝐥𝐮𝐬𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚𝐬 𝐝𝐨𝐬 𝐩𝐫𝐢𝐦𝐞𝐫𝐚𝐬.
𝐩𝟏
𝐩𝟐
∴ 𝐩𝟑
𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
𝐚 = 𝐛 𝐩 > 𝐪
𝐛 = 𝐜 𝐪 > 𝒓
∴ 𝐚 = 𝐜 𝐩 > 𝐫
𝐍𝐨𝐭𝐚: 𝐄𝐧 𝐞𝐥 𝐬𝐢𝐥𝐨𝐠𝐢𝐬𝐦𝐨 𝐬𝐞 𝐨𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐞𝐧 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐧𝐜𝐥𝐮𝐬𝐢ó𝐧 𝐞𝐥 𝐭é𝐫𝐦𝐢𝐧𝐨
𝐜𝐨𝐦ú𝐧 𝐧𝐨 𝐡𝐚 𝐩𝐚𝐫𝐭𝐢𝐜𝐢𝐩𝐚𝐝𝐨.
INFERENCIAS LÓGICAS
Validación de Inferencias
INFERENCIAS LÓGICAS
Podemos tener la validez de una proposición:
1. Mediante la tabla de verdad
Ejercicio
Determine la validez de la inferencia
“Si un triángulo es escaleno, entonces tiene tres lados distintos. Pero
el triángulo tiene tres lados iguales, por lo tanto no es escaleno”.
Solució
n
Sean: p: “ El triángulo es escaleno ” 
q: “ El triángulo tiene tres lados distintos ”
El esquema de la inferencia es: p ⟶ q 
~ q 
∴ ~ p
Validamos mediante la tabla de verdad:
p q ( p q ) ( q ) p ⟶ ∧ ~ ⟶ ~
V V V F F V F 
V F F F V V F 
F V V F F V V
F F V V V V V
La inferencia es considerada válida, dado que el resultado de la 
tabla de verdad es una Tautología.
INFERENCIAS LÓGICAS
2. Mediante el método abreviado
INFERENCIAS LÓGICAS
Este método nos evita construir la tabla de verdad y permite suponer 
la conjunción de premisas verdaderas y la conclusión falsa.
( 𝐩𝟏 ∧ 𝐩𝟐 ∧ 𝐩𝟑 ∧ . . . 𝐩𝐧 ) → q
V V V V F
Se aplica los siguientes pasos:
a) Suponer que la conclusión es falsa
b) Suponer que todas las premisas son verdaderas.
c) Deducimos la validez de las variables en función de las reglas de 
verdad, pudiendo empezar por el operador de las premisas o por la 
conclusión que ofrece una sola 
posibilidad.
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d) Si cada variable cumple con una sola función veritativa, 
Premisas es verdadera y que la conclusión es falsa; 
por 
consiguiente, la inferencia no será válida ( no existe la
Diremos entonces se ha probado que la 
conjunción de 
implicación).
INFERENCIAS LÓGICAS
e) Si una variable tiene dos valores de verdad y falsedad a la vez, 
INFERENCIAS LÓGICAS
quedará demostrado que no es posible que la conjunción de 
premisas sea verdadera y la conclusión falsa. Por lo que hay
implicación y la inferencia será válida.
Ejempl
o
Si eres Director, eres maestro “ Si eres profesional eres maestro. 
Luego si eres Director, eres profesional 
p q 1ra. premisa⟶
r q 2da. premisa 
⟶
⟶
p r Conclusión ∴
INFERENCIAS LÓGICAS
Escribimos en forma horizontal:
( p q ) ( r p) ( p r)⟶ ⟶ ⟶⟶∧
V V F V
V V V F 
V 
F F
V(p)=V, V(q)=V, V(r)=F; las premisas son VERDADERAS, pero
la conclusión es FALSA.
Entonces el argumento es inválido.
INFERENCIAS LÓGICAS
Ejemplo
Hallar la validez de la inferencia por el método abreviado:
p q primera premisa⟶
q p segunda premisa⟶
p q 
conclusión
⟷
Solución
La inferencia puede escribirse en forma horizontal:
Premisa Premisa Conclusión
p q q p p 
q
⟶ ⟶ ⟷
INFERENCIAS LÓGICAS
Regla 1: suponer que la conclusión es falsa: Por tanto; p puede 
ser verdadera y q falsa (bicondicional) . 
p q q p p q
V F
F
⟶ ⟶ ⟷
¿Puede ser?
p : F
q : V
¡ 𝐂𝐥𝐚𝐫𝐨!
INFERENCIAS LÓGICAS
Regla 2:Que todas las premisas son VERDADERAS. 
p q q p p
q
⟶ ⟶ ⟷
V V F
Regla 3: Se conoce los valores de p, q deducida de la conclusión 
según la regla 1:
p=V q=F 
V F
INFERENCIAS LÓGICAS
Regla 4: Siendo p=V, para que la primera premisa resulte 
verdadera,entonces el valor de q debe ser verdadero (condicional).
p q q p p q ⟶ ⟶ ⟷
V V V F
V V F 
El valor de q =V lo trasladamos a la segunda premisa, y por lo tanto el 
valor de p también debe ser verdadero.
p q q p p q 
V V V V V F 
V V F
¿Cuáles son los valores de verdad de p y q? p= V , q= V , 
q= F
¿Y la 5ta. Regla?
En este caso no
Se aplica
INFERENCIAS LÓGICAS
Regla 6: Según esta regla, q toma dos valores de verdad, en 
consecuencia la inferencia es válida.
Observación:
Si se traslada el valor de q =F a la primera premisa y luego a la 
segunda, se obtiene que los valores de verdad de p=V , p=F. 
¡ Comprobar 
!
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IMPLICACIONES NOTABLES 
1. Modus Ponendo
Ponens:
𝒑 ⟶ 𝒒
𝒑
∴ 𝒒
2. Modus Tollendo
Tollens:
𝒑 ⟶ 𝒒
~ 𝒒
∴ ~𝒑
3.
Conjunción:
𝒑
𝒒
∴ 𝒑 ∧ 𝒒
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4. Simplificación :
5.
Adición:
6. Silogismo Disyuntivo:
INFERENCIAS LÓGICAS
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7. Silogismo Hipotético Puro:
𝒑 ⟶ 𝒒
𝒒⟶ 𝒓
∴ 𝒑 ⟶ 𝒓
8. Transitividad
Simétrica:
𝒑 ⟷ 𝒒
𝒒⟷ 𝒓
∴ 𝒑 ⟷ 𝒓
9. Dilema Constructivo
Compuesto:
𝒑 ⟶ 𝒒
𝒓 ⟶ 𝒔
𝒑 ∨ 𝒓
∴ 𝒒 ∨ 𝒔
10. Dilema Destructivo
Compuesto:
𝒑 ⟶ 𝒒
𝒓 ⟶ 𝒔
∼ 𝒒 ∨∼ 𝒔
∴ ∼ 𝒑 ∨∼ 𝒓
INFERENCIAS LÓGICAS
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EQUIVALENCIAS NOTABLES
𝐫𝐞𝐜𝐨𝐫𝐝𝐚𝐧𝐝𝐨 𝐚𝐥𝐠𝐮𝐧𝐚𝐬 𝐞𝐪𝐮𝐢𝐯𝐚𝐥𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚𝐬:
• 𝐃𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐂𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 𝒑 ⟶ 𝒒 ≡ ~𝒑 ∨ 𝒒
• 𝐃𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐁𝐢𝐜𝐨𝐧𝐝𝐢𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥 𝒑 ⟷ 𝒒 ≡ 𝒑⟶ 𝒒 ∧ 𝒒 ⟶ 𝒑
• 𝐋𝐞𝐲𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐓𝐫𝐚𝐧𝐬𝐩𝐨𝐬𝐢𝐜𝐢ó𝐧 𝒑 ⟶ 𝒒 ≡ ~𝒒 ⟶ ~𝒑
𝒑 ⟷ 𝒒 ≡ ~𝒒 ⟷ ~𝒑
• 𝐋𝐞𝐲𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐌𝐨𝐫𝐠𝐚𝐧 ~ 𝒑 ∨ 𝒒 ≡ ~𝒑 ∧∼ 𝒒
~ 𝒑 ∧ 𝒒 ≡ ~𝒑 ∨∼ 𝒒
• 𝐋𝐞𝐲𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐀𝐛𝐬𝐨𝐫𝐜𝐢ó𝐧 𝒑 ∧ 𝒑 ∨ 𝒒 ≡ 𝒑
𝒑 ∨ 𝒑 ∧ 𝒒 ≡ 𝒑
INFERENCIAS LÓGICAS
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Ejemplo
Se tiene: 𝒑 = ‟ 𝑻𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒗𝒐 𝒂 𝒄𝒆𝒏𝒂𝒓”
𝒒 = ‟ 𝑻𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒗𝒐 𝒂𝒍 𝒄𝒊𝒏𝒆”
𝒑 ∨ 𝒒 = ‟ 𝑻𝒆 𝒍𝒍𝒆𝒗𝒐 𝒂 𝒄𝒆𝒏𝒂𝒓 𝒐 𝒂𝒍 𝒄𝒊𝒏𝒆”
𝟏) 𝒑 ∨ 𝒒
𝟐) ∼ 𝒑
∴ 𝒒 𝑴𝑻𝑷
𝟏) 𝒑 ∨ 𝒒
𝟐) ∼ 𝒒
∴ 𝒑 𝑴𝑻𝑷
𝟏) 𝒑 ∨ 𝒒
𝟐) 𝒑
𝑵𝒐 𝒉𝒂𝒚 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊ó𝒏
𝟏) 𝒑 ∨ 𝒒
𝟐) 𝒒
𝑵𝒐 𝒉𝒂𝒚 𝒄𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊ó𝒏
INFERENCIAS LÓGICAS
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Ejemplo
:
1) p 
q 
∧
2) (p q) s Se tiene como ∧ ∨ ∼∼
∴ ∼ s
premisa principal 
la 
Disyunción 
⟵
⟵ Es una premisa 
cualquiera
Si la premisa cualquiera es la negación de alguna de las dos
Componentes, de acuerdo a MTP resulta la otra componente 
tal como está.
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INFERENCIAS LÓGICAS
Ejemplo:
Si la ballena es un mamífero entonces toma oxígeno del aire. Si toma
oxígeno del aire entonces no necesita branquias. La ballena es un
mamífero y habita en el océano. Por tanto, habita en el océano y no
necesita branquias.
Solución
Resolver el argumento lógico mediante reglas de inferencia en:
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Proposiciones:
p = La ballena es un mamífero
q = La ballena toma oxígeno del aire
r = La ballena necesita branquias
s = La ballena habita en el 
océano
1) p q 1ra. premisa⟶
2) q r 2ra. premisa⟶~
3) p s 3ra. premisa∧
Conclusión: s 
r
∧ ~
4) p S 3
5) q MPP 1,4
6) r MPP 2,5~
7) S S 3
8) S r L C 6,7∧ ~
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LOGICA DE CLASES
𝐂𝐋𝐀𝐒𝐄 𝐞𝐬 𝐚𝐪𝐮𝐞𝐥𝐥𝐨 𝐪𝐮𝐞 𝐫𝐞𝐮𝐧𝐞, 𝐜𝐨𝐥𝐞𝐜𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞𝐧 𝐚𝐥
𝐦𝐞𝐧𝐨𝐬 𝐮𝐧𝐚 𝐜𝐚𝐫𝐚𝐜𝐭𝐞𝐫𝐢𝐬𝐭𝐢𝐜𝐚 𝐞𝐧 𝐜𝐨𝐦ú𝐧.
𝐂𝐎𝐌𝐏𝐋𝐄𝐌𝐄𝐍𝐓𝐎 𝐞𝐬 𝐭𝐨𝐝𝐨 𝐥𝐨 𝐪𝐮𝐞 𝐥𝐞 𝐟𝐚𝐥𝐭𝐚 𝐚 𝐥𝐚 𝐂𝐥𝐚𝐬𝐞, 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐜𝐨𝐦𝐩𝐥𝐞𝐭𝐚𝐫 𝐞𝐥
𝐔𝐧𝐢𝐯𝐞𝐫𝐬𝐨.
𝐂𝐋𝐀𝐒𝐄 + 𝐂𝐎𝐌𝐏𝐋𝐄𝐌𝐄𝐍𝐓𝐎 = 𝐔𝐍𝐈𝐕𝐄𝐑𝐒𝐎
𝐂𝐋𝐀𝐒𝐄 𝐂𝐎𝐌𝐏𝐋𝐄𝐌𝐄𝐍𝐓𝐎
𝐋𝐚𝐬 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐭𝐚𝐬 𝐋𝐚𝐬 𝐧𝐨 𝐩𝐥𝐚𝐧𝐭𝐚𝐬
𝐋𝐨𝐬 𝐝𝐨𝐜𝐭𝐨𝐫𝐞𝐬 𝐋𝐨𝐬 𝐧𝐨 𝐝𝐨𝐜𝐭𝐨𝐫𝐞𝐬
𝐋𝐚𝐬 𝐞𝐧𝐟𝐞𝐫𝐦𝐞𝐫𝐚𝐬 𝐋𝐚𝐬 𝐧𝐨 𝐞𝐧𝐟𝐞𝐫𝐦𝐞𝐫𝐚𝐬
𝐄𝐥 𝐧𝐨 𝐝𝐞𝐥 𝐂𝐨𝐦𝐩𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐧𝐨 𝐞𝐬 𝐥𝐚 𝐧𝐞𝐠𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐂𝐥𝐚𝐬𝐞
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𝐂𝐔𝐀𝐍𝐓𝐈𝐅𝐈𝐂𝐀𝐃𝐎𝐑𝐄𝐒
𝐬𝐢𝐫𝐯𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐫𝐞𝐥𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐫 𝐚 𝐥𝐚 𝐂𝐥𝐚𝐬𝐞, 𝐚𝐥 𝐂𝐨𝐦𝐩𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐨 𝐚𝐦𝐛𝐨𝐬
𝐔𝐧𝐢𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚𝐥𝐞𝐬 𝐓𝐨𝐝𝐨𝐬 . . . 𝐍𝐢𝐧𝐠𝐮𝐧 . . .
𝐏𝐚𝐫𝐭𝐢𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫𝐞𝐬 𝐀𝐥𝐠𝐮𝐧𝐨𝐬 . . . 𝐀𝐥𝐠𝐮𝐧𝐨𝐬 . . . 𝐧𝐨 . . .
𝐄𝐱𝐢𝐬𝐭𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚𝐥
𝐀𝐟𝐢𝐫𝐦𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨 𝐍𝐞𝐠𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨
𝐋𝐚 𝐜𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐍𝐞𝐠𝐚𝐭𝐢𝐯𝐨, 𝐧𝐨 𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐜𝐚 𝐞𝐬𝐭𝐚𝐫 𝐧𝐞𝐠𝐚𝐧𝐝𝐨, 𝐬𝐨𝐥𝐨 𝐞𝐬 𝐮𝐧𝐚 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚
𝐝𝐞 𝐞𝐱𝐩𝐫𝐞𝐬𝐚𝐫𝐬𝐞 "𝐕𝐚𝐦𝐨𝐬 𝐚 𝐥𝐚 𝐩𝐥𝐚𝐲𝐚 𝐲 𝐬𝐢 𝐦𝐞 𝐚𝐡𝐨𝐠𝐨"
𝐏𝐑𝐎𝐏𝐎𝐒𝐈𝐂𝐈𝐎𝐍𝐄𝐒 𝐂𝐀𝐓𝐄𝐆𝐎𝐑𝐈𝐂𝐀𝐒:
𝐍𝐢𝐧𝐠𝐮𝐧 𝐒 𝐞𝐬 𝐏
𝐀𝐥𝐠𝐮𝐧𝐨𝐬 𝐒 𝐬𝐨𝐧 𝐏
𝐀𝐥𝐠𝐮𝐧𝐨𝐬 𝐒 𝐧𝐨 𝐬𝐨𝐧 𝐏
𝐓𝐨𝐝𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐒 𝐬𝐨𝐧 𝐏
LOGICA DE CLASES
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𝐆𝐑𝐀𝐅𝐈𝐂𝐀 𝐃𝐄 𝐏𝐑𝐎𝐏𝐎𝐒𝐈𝐂𝐈𝐎𝐍𝐄𝐒
𝐏𝐚𝐫𝐭𝐢𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐝𝐞 𝐥𝐚𝐬 𝐬𝐢𝐠𝐮𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬 𝐫𝐞𝐩𝐫𝐞𝐬𝐞𝐧𝐭𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬: 𝐪𝐮𝐞 𝐝𝐞𝐛𝐞𝐦𝐨𝐬 𝐚𝐜𝐞𝐩𝐭𝐚𝐫
𝐧𝐨 𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞
𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬
𝐬𝐢 𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞
𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬
𝐟𝐚𝐥𝐭𝐚
𝐢𝐧𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚𝐜𝐢ó𝐧
𝐕𝐞𝐫𝐛𝐨𝐬 ∶ 𝐬𝐞𝐫 𝐨 𝐞𝐬𝐭𝐚𝐫
𝐞𝐬 , 𝐬𝐨𝐧
𝐞𝐬 ≡ 𝐞𝐬𝐭á 𝐞𝐧
𝐬𝐨𝐧 ≡ 𝐞𝐬𝐭á𝐧 𝐜𝐨𝐧
𝐱
𝐩𝐮𝐞𝐝𝐞𝐧 𝐬𝐞𝐫 𝐜𝐚𝐦𝐛𝐢𝐚𝐝𝐨𝐬 𝐩𝐨𝐫:
LOGICA DE CLASES
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𝐑𝐞𝐩𝐫𝐞𝐬𝐞𝐧𝐭𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐠𝐫á𝐟𝐢𝐜𝐚𝐬
𝟏. 𝐂𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐔𝐧𝐢𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚𝐥 ∪ : 𝐓𝐨𝐝𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐩𝐨𝐬𝐢𝐛𝐥𝐞𝐬
𝟐. 𝐂𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐧𝐨 𝐯𝐚𝐜í𝐨: 𝐜𝐨𝐧𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐩𝐨𝐫 𝐥𝐨 𝐦𝐞𝐧𝐨𝐬 𝐮𝐧 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨
3. 𝐂𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐈𝐧𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐝𝐨: 𝐅𝐚𝐥𝐭𝐚 𝐢𝐧𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚𝐜𝐢ó𝐧
LOGICA DE CLASES
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4. 𝐂𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨 𝐕𝐚𝐜í𝐨 ∅ : 𝐜𝐚𝐫𝐞𝐜𝐞 𝐝𝐞 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬
5. 𝐂𝐨𝐦𝐩𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐝𝐞 𝐮𝐧 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨: 𝐬𝐨𝐧 𝐞𝐥𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐧𝐨 𝐩𝐞𝐫𝐭𝐞𝐧𝐞𝐜𝐞𝐧 𝐚 𝐥𝐚
𝐜𝐥𝐚𝐬𝐞 𝐒, 𝐬𝐞 𝐬𝐢𝐦𝐛𝐨𝐥𝐢𝐳𝐚 𝐜𝐨𝐧 𝐒
6. 𝐈𝐧𝐭𝐞𝐫𝐬𝐞𝐜𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐝𝐨𝐬 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐧𝐭𝐨𝐬
LOGICA DE CLASES
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𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧: 𝐒𝐞 𝐧𝐢𝐞𝐠𝐚𝐧
𝐈. 𝐓𝐨𝐝𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐒 𝐬𝐨𝐧 𝐏 𝐈𝐈𝐈. 𝐀𝐥𝐠𝐮𝐧𝐨𝐬 𝐒 𝐧𝐨 𝐬𝐨𝐧 𝐏
𝐈𝐈. 𝐍𝐢𝐧𝐠𝐮𝐧 𝐒 𝐞𝐬 𝐏 𝐈𝐕. 𝐀𝐥𝐠𝐮𝐧 𝐒 𝐞𝐬 𝐏
𝐂𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝:𝐔𝐧𝐢𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚𝐥
𝐂𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝: 𝐀𝐟𝐢𝐫𝐦𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚
𝐒𝐏 = ∅
𝐂𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝: 𝐏𝐚𝐫𝐭𝐢𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫
𝐂𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝:𝐍𝐞𝐠𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚
𝐒𝐏 ≠ ∅
𝐂𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝:𝐔𝐧𝐢𝐯𝐞𝐫𝐬𝐚𝐥
𝐂𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝:𝐍𝐞𝐠𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚
𝐒𝐏 = ∅
𝐂𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝: 𝐏𝐚𝐫𝐭𝐢𝐜𝐮𝐥𝐚𝐫
𝐂𝐚𝐥𝐢𝐝𝐚𝐝: 𝐀𝐟𝐢𝐫𝐦𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚
𝐒𝐏 ≠ ∅
LOGICA DE CLASES
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𝐏𝐫𝐨𝐛𝐥𝐞𝐦𝐚 𝟏.
𝐒𝐢:
• 𝐍𝐢𝐧𝐠ú𝐧 𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭í𝐟𝐢𝐜𝐨 𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐨.
• 𝐀𝐥𝐠𝐮𝐧𝐨𝐬 𝐜𝐚𝐭ó𝐥𝐢𝐜𝐨𝐬 𝐬𝐨𝐧 𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭í𝐟𝐢𝐜𝐨𝐬.
𝐄𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬:
𝐀) 𝐓𝐨𝐝𝐨 𝐜𝐚𝐭ó𝐥𝐢𝐜𝐨 𝐧𝐨 𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐨
B) 𝐍𝐢𝐧𝐠ú𝐧 𝐢𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐨 𝐞𝐬 𝐜𝐚𝐭ó𝐥𝐢𝐜𝐨
C) 𝐌𝐮𝐜𝐡𝐨𝐬 𝐜𝐚𝐭ó𝐥𝐢𝐜𝐨𝐬 𝐬𝐨𝐧 𝐭𝐞𝐨𝐥𝐨𝐠𝐨𝐬
D) 𝐓𝐨𝐝𝐨 𝐢𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐨 𝐧𝐨 𝐞𝐬 𝐜𝐚𝐭ó𝐥𝐢𝐜𝐨
LOGICA DE CLASES
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𝐍𝐢𝐧𝐠ú𝐧 𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭í𝐟𝐢𝐜𝐨 𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐨
𝐀𝐥𝐠𝐮𝐧𝐨𝐬 𝐜𝐚𝐭ó𝐥𝐢𝐜𝐨𝐬 𝐬𝐨𝐧 𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭í𝐟𝐢𝐜𝐨𝐬 𝐜𝐚𝐭ó𝐥𝐢𝐜𝐨𝐬 𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭í𝐟𝐢𝐜𝐨𝐬
𝐜𝐚𝐭ó𝐥𝐢𝐜𝐨𝐬
𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭í𝐟𝐢𝐜𝐨𝐬
𝐢𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐨𝐬
∴ 𝐀𝐥𝐠𝐮𝐧𝐨𝐬 𝐜𝐚𝐭ó𝐥𝐢𝐜𝐨𝐬 𝐧𝐨 𝐬𝐨𝐧 𝐢𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐨𝐬 𝐑𝐩𝐭𝐚. 𝐄
𝐱
𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 LOGICA DE CLASES
40
𝐏𝐫𝐨𝐛𝐥𝐞𝐦𝐚 𝟐.
𝐒𝐢:
𝐀𝐥𝐠𝐮𝐧𝐨𝐬 𝐢𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐨𝐬 𝐬𝐨𝐧 𝐯𝐢𝐬𝐢𝐨𝐧𝐚𝐫𝐢𝐨𝐬
𝐓𝐨𝐝𝐨 𝐯𝐢𝐬𝐢𝐨𝐧𝐚𝐫𝐢𝐨 𝐞𝐬 𝐧𝐨 𝐫𝐞𝐚𝐥𝐢𝐬𝐭𝐚
𝐞𝐧𝐭𝐨𝐧𝐜𝐞𝐬:
𝐀) 𝐓𝐨𝐝𝐨𝐬 𝐥𝐨𝐬 𝐢𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐨𝐬 𝐬𝐨𝐧 𝐫𝐞𝐚𝐥𝐢𝐬𝐭𝐚𝐬
𝐁) 𝐍𝐨 𝐞𝐬 𝐜𝐢𝐞𝐫𝐭𝐨 𝐪𝐮𝐞𝐦𝐮𝐜𝐡𝐨𝐬 𝐢𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐨𝐬 𝐧𝐨 𝐬𝐨𝐧 𝐫𝐞𝐚𝐥𝐢𝐬𝐭𝐚𝐬
𝐂) 𝐌𝐮𝐜𝐡𝐨𝐬 𝐢𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐨𝐬 𝐧𝐨 𝐬𝐨𝐧 𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐢𝐟𝐢𝐜𝐨𝐬
𝐃) 𝐌𝐮𝐜𝐡𝐨𝐬 𝐢𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐨𝐬 𝐧𝐨 𝐬𝐨𝐧 𝐫𝐞𝐚𝐥𝐢𝐬𝐭𝐚𝐬
𝐄) 𝐍𝐢𝐧𝐠ú𝐧𝐢𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐨 𝐞𝐬 𝐫𝐞𝐚𝐥𝐢𝐬𝐭𝐚
LOGICA DE CLASES
41
𝐈 𝐕
𝐍𝐑
𝐱
𝐕 𝐍𝐑
𝐱
𝐈 𝐕
𝐇𝐚𝐲 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐨𝐬 𝐢𝐧𝐠𝐞𝐧𝐢𝐞𝐫𝐨𝐬 𝐪𝐮𝐞 𝐧𝐨 𝐬𝐨𝐧 𝐫𝐞𝐚𝐥𝐢𝐬𝐭𝐚𝐬 Rpta. D
𝐒𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 LOGICA DE CLASES
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𝐈. 𝐓𝐨𝐝𝐨 𝐀 𝐞𝐬 𝐁 𝐈𝐈. 𝐓𝐨𝐝𝐨 𝐀 𝐞𝐬 𝐁
𝐍𝐢𝐧𝐠𝐮𝐧 𝐁 𝐞𝐬 𝐂 𝐀𝐥𝐠ú𝐧 𝐂 𝐞𝐬 𝐀
𝐈𝐈𝐈. 𝐍𝐢𝐧𝐠𝐮𝐧 𝐀 𝐞𝐬 𝐁 𝐈𝐕. 𝐓𝐨𝐝𝐨 𝐀 𝐞𝐬 𝐁
𝐀𝐥𝐠ú𝐧 𝐂 𝐞𝐬 𝐁 𝐓𝐨𝐝𝐨 𝐁 𝐞𝐬 𝐂
∴ 𝐍𝐢𝐧𝐠ú𝐧 𝐀 𝐞𝐬 𝐂 ∴ 𝐀𝐥𝐠ú𝐧 𝐂 𝐞𝐬 𝐁
𝐀 𝐁 𝐀 𝐁
𝐂 𝐂
𝐀 𝐁 𝐀 𝐁
∴ 𝐀𝐥𝐠ú𝐧 𝐂 𝐧𝐨 𝐞𝐬 𝐀 ∴ 𝐓𝐨𝐝𝐨 𝐀 𝐞𝐬 𝐂
𝐂 𝐂
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬 𝐚𝐝𝐢𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐞𝐬
LOGICA DE CLASES
43
𝐕. 𝐓𝐨𝐝𝐨 𝐀 𝐞𝐬 𝐁
𝐀𝐥𝐠ú𝐧 𝐁 𝐞𝐬 𝐂
𝐀 𝐁
𝐂
𝐱
∴ 𝐍𝐨 𝐭𝐢𝐞𝐧𝐞 𝐜𝐨𝐧𝐜𝐥𝐮𝐬𝐢ó𝐧 𝐥ó𝐠𝐢𝐜𝐚
LOGICA DE CLASES