Estatica - Pedro Mendoza

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INTRODUCCION 
En esta asignatura comieza el tramo de conocimientos que el ingeniero utiliza para el 
cálculo y diseño de máquinas, elementos de máquinas y estructuras. 
Una simple mirada al plan de estudios nos dice que Estabibidad II, Mecánica del 
Sólido, e Ingeniería Mecánica del 3ª nivel y Elementos de Máquinas del 4ª nivel se sustentan 
en Estabilidad I que pertenece al 2ª nivel, la que a su vez se opoya en Física I y Algebra y 
Geometría Analítica del 1ª nivel 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estabilidad es la capacidad de una estructura o de sus elementos de conservar una 
forma inicial determinada de equilibrio elástico necesaria para cumplir con su función. 
Este concepto de Estabilidad junto con el de Resistencia y Rigidez son los pilares 
básicos con que el ingeniero diseña los elementos de máquinas, máquinas y estructuras en 
general. 
Resistencia es la capacidad de una estructura, de sus partes y elementos, de 
contrarrestar cargas externas determinadas sin deteriorarse al punto de no poder cumplir con 
su función. 
Rigidez es la propiedad de una estructura o de sus elementos de oponenerse a las 
las deformaciones (cambios de forma y dimensiones) originadas por las cargas exteriores de 
acuerdo con las exigencias de funcionamiento. 
Estos conceptos se apoyan en la mecánica estudiada en física. 
 
 
Estabilidad I
Ingeniería Mecánica III
Estabilidad II
Mecánica del Sólido
Elementos de Máquinas
Álgebra y 
Geometría
Analítica
Física I
UTN INGENIERIA 
FRR MECANICA 
ESTABILIDD I Ing. Rodolfo A. Maggi 1
 Estática 
 Rígidos 
 Dinámica 
 Sólidos 
 Resistencia de Materiales 
 Deformable 
 Mecánica 
 Teoría de elasticidad 
 
 Incompresibles Hidráulica 
 Fluidos 
 Compresibles 
 
En la primera parte de la materia seguiremos lo indicado en rojo y en la segunda lo indicado 
en azul. 
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE LA ESTATICA 
En el estudio de la Estática vamos a trabajar con conceptos que llamamos 
fundamentales porque son axiomáticos y el punto de partida de todo lo que desarrollaremos. 
Los clasificaremos en Principios, Cantitades e Idealizaciones 
• PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA ESTÁTICA 
Llamamos principio físico a una ley universal obtenida empíricamente. Los principios 
físicos no son demostrables mediante razonamientos, se verifican experimentalmente 
mediante evidencias prácticas. 
El estudio de la estática se funda en cuatro principios físicos llamados principios 
fundamentales o postulados de la estática: 
I. Ley del paralelogramo de las fuerzas (principio de la adición vectorial de fuerzas) 
"Dos fuerzas (F1 y F2) que actúan simultáneamente sobre un punto material (A) 
pueden ser reemplazadas por una sola, llamada resultante (R), dada por la diagonal del 
paralelogramo que tiene lados paralelos e iguales a las fuerzas dadas." 
 
 
 
 
 
Que la resultante R pueda reemplazar a F1 y F2 significa que R produce el mismo 
efecto físico sobre el punto material. Luego son equivalentes. 
A 
R 
F1 
F2 
FIG. 1
UTN INGENIERIA 
FRR MECANICA 
ESTABILIDD I Ing. Rodolfo A. Maggi 2
 
 
 
 
 
Este principio establece implícitamente que la equivalencia física entre las fuerzas y su 
resultante corresponde a la equivalencia geométrica entre los vectores representativos de las 
fuerzas (componentes) y el vector suma de los mismos. 
 
 
 
 
Generalizando este principio para un mayor número de fuerzas: 
"Un conjunto de fuerzas que actúa simultáneamente sobre un mismo punto material 
puede ser sustituido por una sola fuerza actuante sobre el punto material obtenida por la 
suma vectorial de todos los vectores representativos de las fuerzas que componen el 
conjunto." 
II. Principio de transmisibilidad de una fuerza: 
“Una fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido no altera su efecto sobre el mismo si se 
desplaza su punto de aplicación a lo largo de su recta de acción”. 
 
 
 
 
Como: │F1│= │F2│= │F3│ y producen el mismo efecto sobre el cuerpo de centro de 
gravedad A1, luego será: F1≡ F2 ≡ F3 
Que no altera su efecto significa que no se mantienen las condiciones de reposo o 
movimiento del cuerpo. 
Si el cuerpo es deformable la acción de la fuerza producirá cambios en la forma del 
mismo, luego no es posible deslizar la fuerza a lo largo de su recta de acción sin alterar la 
deformación que la fuerza origina en el cuerpo. Solo es aplicable a cuerpos rígidos. 
 
A 
R 
F1 
F2 
FIG. 3
A3 A1 A2 
F1 F3F2 
│F1│= │F2│= │F3│ F1≡ F2 ≡ F3 
Fig. 4 
A R 
F1 
F2 
FIG.2
A ≡
UTN INGENIERIA 
FRR MECANICA 
ESTABILIDD I Ing. Rodolfo A. Maggi 3
F - F 
FIG. 5 
III. Principio de equilibrio estático: 
"Las fuerzas que actúan sobre un punto material en reposo se encuentran en equilibrio 
estático, si su resultante es nula” 
Si bien fue expresado antes que Isaac Newton formulara sus tres leyes fundamentales 
de la mecánica la primera y la segunda ley dan sustento. 
PRIMERA LEY. Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la 
partícula permanecerá en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se moverá con 
velocidad constante en una línea recta (si originalmente estaba en movimiento). 
SEGUNDA LEY. “Cuando sobre un punto material actúan una o más fuerzas adquirirá 
una aceleración de dirección y sentido coincidentes con la dirección y sentido de la resultante 
de las fuerzas, y con intensidad proporcional a la de esta resultante”. 
Su expresión matemática queda dada por la ecuación: 
 “ F “ es la resultante 
 F = m x a " a " la aceleración 
 "m " la masa 
 A la Estática le interesa el caso particular que se presenta cuando el punto material 
se encuentra en reposo. En dicho caso la aceleración a será nula, y la resultante también 
lo será. F = 0 
El término reposo significa reposo respecto a la tierra en donde establecemos 
nuestro sistema de referencia. 
IV. Principio de acción y reacción: 
"La interacción entre dos puntos materiales que se encuentren en contacto directo 
o a distancia uno del otro, puede ser representada por dos fuerzas de igual magnitud y de 
sentidos opuestos que actúen sobre la 
recta que los une.” 
Al igual que el anterior le dan 
sustento la tercera Ley de Newton y la 
Ley Universal de Atracción de los 
Cuerpos. 
TERCERA LEY. “Las fuerzas de 
acción y reacción de cuerpos en contacto 
tienen la misma magnitud, la misma línea 
de acción y sentidos opuestos”. 
La Ley de Gravitación establece que: “Dos partículas de masa M y m se atraen 
mutuamente con fuerzas iguales y opuestas F y - F de magnitud F proporcional al producto 
se sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r que los separa.”. 
Se expresa por la fórmula: 
 
UTN INGENIERIA 
FRR MECANICA 
ESTABILIDD I Ing. Rodolfo A. Maggi 4
2r
mM ×
F = G G: constante universal de gravitación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• CANTIDADES BASICAS 
Las cuatro cantidades que se utilizan en la mecánica del cuerpo rígido son Longitud, 
Tiempo, Masa y Fuerza, en estática Tiempo y Masa no tienen relevancia sí en dinámica. 
Longitud. Es necesaria para ubicar la posición de un punto en el espacio y de esta 
forma describir el tamaño de un sistema físico. Una vez que se define una unidad estándar 
de longitud, puede definirse cuantitativamente distancias y propiedades geométricas de un 
cuerpo como múltiplos de esa unidad de longitud. 
Tiempo. El tiempo se concibe como una sucesión de eventos. 
Masa. La masa es una propiedad de la materia por la cual podemos comparar la 
acción de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como una atracción 
gravitacional entre dos cuerpos y proporciona una medida cuantitativa de la resistencia que 
presenta la materia al cambio de velocidad. 
Fuerza. En general, la fuerza es considerada como un "tirón" o “empuje” ejercido por 
un cuerpo sobre otro. Esta interacción puede ocurrircuando existe un contacto directo entre 
los cuerpos, por ejemplo, un objeto apoyado sobre la mesa, y puede presentarse también a 
lo largo de una distancia determinada cuando los cuerpos están separados físicamente. 
Como ejemplos de este último caso están incluidas las fuerzas eléctricas, magnéticas y 
gravitacionales. En cualquier caso, una fuerza se caracteriza por su magnitud, dirección, 
punto de aplicación y sentido. 
• IDEALIZACIONES. 
Los modelos o idealizaciones se utilizan en mecánica con la finalidad de simplificar la 
aplicación de la teoría en la resolución de los problemas. 
Definiremos las idealizaciones más importantes para la Estática. Cuando se requiera 
en el estudio de algunos casos incorporaremos otras. 
Partícula. Posee masa pero de tamaño relativo poco significativo. 
Por ejemplo, el tamaño de la Tierra es insignificante comparado con el tamaño de su 
órbita, luego la Tierra se puede tomar como una partícula cuando se estudia su movimiento 
orbital en un modelo. 
F 
- F 
m 
M 
Fig.6 
UTN INGENIERIA 
FRR MECANICA 
ESTABILIDD I Ing. Rodolfo A. Maggi 5
Cuando un cuerpo se idealiza como partícula, los principios de la mecánica se 
simplifican de manera importante, debido a que la geometría del cuerpo no se tomará en 
cuenta en el análisis del problema. 
Cuerpo rígido. Un conjunto formado por un gran número de partículas que 
permanecen separadas entre sí por una distancia fija antes y después de aplicar la carga. 
Como resultado de aplicar este concepto, las propiedades del material de que está 
hecho cualquier cuerpo que se suponga rígido no se tendrá que considerar cuando se 
analicen las fuerzas que actúan sobre éste. 
En la mayoría de los casos, las deformaciones reales que se presentan en estructuras, 
máquinas, mecanismos, etcétera, son relativamente pequeñas, y la suposición de cuerpo 
rígido es apropiada para efectos de análisis de algunos casos, cuando esto no ocurra 
entraremos en el campo de la Resistencia de Materiales. 
Fuerza concentrada. representa el efecto de una carga que se supone actúa en algún 
punto de un cuerpo. Podemos representar este efecto por medio de una fuerza concentrada, 
siempre y cuando el área sobre la cual se aplica la carga sea relativamente pequeña 
comparada con el tamaño del cuerpo. 
OBJETIVOS DE LA ESTÁTICA 
Las fuerzas F, - F de las figuras 5 y 6 así como las F1, F2, F3 de la figura 4 son 
externas a los cuerpos sobre los que actúan. 
En el caso de la figura 5 el sistema estará en equilibrio estable si lo consideramos en 
un espacio ideal en el que no actúan otras fuerzas como la gravitacional pero si lo ubicamos 
en la tierra deberán existir otras fuerzas para que el conjunto se mantenga en reposo. Son 
las fuerzas que vinculan los cuerpos al espacio del sistema tierra. Estas fuerzas vinculares 
estarán ejercidas por cuerpos o elementos destinados a tal función y por tanto serán fuerzas 
del mismo tipo que F y - F, es decir fuerzas externas debidas a la interacción entre el cuerpo 
y el vinculo a tierra. 
El primer Objetivo de la Estática lo constituye la determinación de estas fuerzas 
externas y reactivas que nacen en los elementos que mantienen fija una determinada 
estructura, designadas como reacciones de vínculo. 
Por la definición de cuerpo rígido deberá haber entre las partículas que lo componen 
fuerzas que lo mantengan unido, es decir que le den resistencia para soportarlas, a estas 
fuerzas las llamaremos fuerzas internas. 
Como ejemplo: una montaña de arena es un conjunto de partículas pero no es un 
cuerpo rígido porque los granos de arena no están unidos entre sí y la distancia entre ellos 
cambia según las circunstancias. Si un cuerpo de peso P se deposita sobre ella la misma se 
desmoronara hasta alcanzar un punto de equilibrio según el valor de P 
UTN INGENIERIA 
FRR MECANICA 
ESTABILIDD I Ing. Rodolfo A. Maggi 6
P 
Montaña 
de arena
Cuerpo de peso P 
Ante Despué
FIG. 7 
P 
 
 
 
 
 
 
 
 
El segundo Objeto de la Estática es determinar las fuerzas internas que origina la 
resistencia del cuerpo a la acción de las fuerzas externas activas y reactivas. 
Las fuerzas externas (activas y reactivas) representan la acción de otros cuerpos 
sobre el cuerpo rígido considerado y son las únicas responsables del comportamiento 
externo del cuerpo rígido. Estas harán que el cuerpo se mueva o asegurarán que 
permanezca en reposo. 
Las fuerzas internas son las que mantienen unidas las partículas que constituyen el 
cuerpo rígido. Representan las interacciones entre ellas y son las que equilibran a las fuerzas 
externas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observemos con un ejemplo estos conceptos: Se considera una pieza prismática de 
eje recto cuya sección transversal tiene dimensiones mucho menores que su largo. Por el 
extremo superior la pieza está fija a tierra y libre por el inferior. Si se desprecia su peso y se 
aplica una fuerza F en su extremo libre en la dirección del eje AB, se originará en el elemento 
de fijación, como consecuencia del principio de acción y reacción, una fuerza igual a - F (FIG. 
9). 
F 
Caso real 
Modelo 
o 
Idealización
FIG. 8 
F B 
n n
Sección 
Transversal 
A 
A
B
UTN INGENIERIA 
FRR MECANICA 
ESTABILIDD I Ing. Rodolfo A. Maggi 7
 Si se practica un corte transversal de la barra en la sección n-n, para mantener 
unidas las parles originadas por aquél, es necesario aplicar las fuerzas N y - N (iguales y 
opuestas) en ambas caras para mantener el equilibrio del sistema. 
Antes del corte las partes estaban unidas, N y - N deberían haber existido como 
fuerzas internas a ambos lados del corte. Como interacciones de las partículas situadas a 
cada lado del corte. 
También podemos aplicar el principio de transmisibilidad (FIG. 10) cambiando el punto 
de aplicación de F al punto C, la reacción en A no variara. Pero debajo de C la fuerza N será 
igual a cero y mayor que cero por encima de C. 
Luego el principio de transmisibilidad es aplicable para los efectos externos que 
producen las fuerzas externas sobre un cuerpo rígido pero no para los efectos internos. 
Redefinamos o mejor dicho completemos el principio de transmisibilidad: 
 “Una fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido no altera su efecto externo sobre el 
mismo si se desplaza su punto de aplicación a lo largo de su recta de acción”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro esta puede existir si el segundo ofrece 
resistencia por lo tanto las fuerzas siempre aparecen de a pares como expresa la 3ª Ley 
de Newton. Con igual magnitud, dirección sobre la misma recta de acción y de sentido 
contrario. 
SISTEMAS DE FUERZAS 
Es el conjunto de fuerzas que actúan sobre una partícula o sobre un cuerpo rígido. 
A 
B 
- F 
F 
n n 
F 
 F 
A A 
B B 
- F - F 
n n C 
FIG.10
F 
- F 
- N 
N
FIG. 9 
UTN INGENIERIA 
FRR MECANICA 
ESTABILIDD I Ing. Rodolfo A. Maggi 8
Se pueden clasificar según sus características en: 
 Paralelas o Colineales (FIG.11) 
 Concurrentes 
 No paralelas (FIG, 12) 
 en el Plano 
 Paralelas (FIG.13) 
 No Concurrentes 
 Sistemas No paralelas (FIG, 14) 
 de 
 Fuerzas Paralelas o Colineales (FIG.15) 
 Concurrentes 
 No paralelas (FIG, 16) 
 en el Espacio 
 Paralelas (FIG.17) 
 No Concurrentes 
 No paralelas (FIG, 18) 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F1 
F3 F2 
Y 
O X 
F4 
FIG. 11 
F1
F3 F2
Y 
O X 
F4
FIG. 12 
F3 F2 
F1 Y 
O X 
F4 
FIG. 13 
F3
Y 
O X 
F1 
F2 
F4
FIG. 14 
UTN INGENIERIA 
FRR MECANICA 
ESTABILIDD I Ing. Rodolfo A. Maggi 9
 
SISTEMAS DE FUERZAS EQUIVALENTES 
Si el cuerpo rígido sobre el que actúan las fuerzas se encuentra libre y puede ser 
concebido como un punto materialsabemos que el efecto producido por las fuerzas 
consistirá en imprimirle aceleración. 
Si el cuerpo no es libre, sino que se encuentra fijado a tierra mediante dispositivos 
especiales llamados vínculos o enlaces, la acción de las fuerzas actuantes se transmitirá de 
partícula a partícula a través del cuerpo a los vínculos y finalmente a tierra donde se 
originarán reacciones cuyos valores hay que determinar (1ª objetivo de la estática). 
Para resolver este problema conviene simplificar el planteo sustituyendo el sistema de 
fuerzas actuantes por otro SISTEMA EQUIVALENTE constituido por el menor número 
posible de componentes que produzca las mismas reacciones, llamamos a esta operación: 
“Reducción del Sistema de fuerzas” y al nuevo: “Sistema Equivalente”. 
La equivalencia entre Sistemas de fuerzas la indicaremos con el siguiente símbolo Ξ 
Veremos que siempre es posible reducir los sistemas de fuerzas en el plano 
concurrentes y no concurrentes paralelas (FIG. 11, FIG. 12 y FIG. 13) a una única fuerza 
llamada Resultante del Sistema. 
En el resto de los casos se podrá reducir a una fuerza y una cupla o una única 
cupla Resultante del Sistema. 
F3
Z 
O
Y 
F1 
F2 
X 
FIG. 18 
O 
F2 
X 
Y
F1 
F3 Z 
FIG. 17 
Z 
Y
O
F1
F3 FIG. 16 
F2 
X 
Z 
Y 
O 
F1 
F3 
FIG. 15 
F2 X 
UTN INGENIERIA 
FRR MECANICA 
ESTABILIDD I Ing. Rodolfo A. Maggi 10
Por último también veremos que los sistemas de fuerzas paralelas pueden tratarse 
como un caso particular de los sistemas concurrentes en el plano y en el espacio. 
REDUCCIÓN DE SISTEMAS DE FUERZAS 
La reducción de sistemas de fuerzas puede hacerse por métodos gráficos o 
algebraicos. En ambos casos es importante establecer la representación de las fuerzas por 
vectores. 
Las fuerzas no obedecen las reglas de la adición definidas en la aritmética Por 
ejemplo, dos fuerzas que actúan en una partícula formando un ángulo recto, una de 4 kg y 
otra de 3 kg, producen sobre la misma una fuerza de 5 kg y no una de 7 kg. 
Las fuerzas no son las únicas expresiones de la física que siguen la ley del 
paralelogramo para la adición, los desplazamientos, las velocidades, las aceleraciones y los 
momentos son otros ejemplos de cantidades reales que poseen magnitud y dirección y que 
se suman siguiendo la ley del paralelogramo. Estas cantidades pueden representarse 
matemáticamente por vectores, mientras que aquellas cantidades físicas que no tienen 
dirección, tales como el volumen, la masa o la energía se representan por números 
ordinarios o escalares. 
En ingeniería tratamos con muchas cantidades que tienen tanto magnitud como 
dirección y que se pueden expresar como vectores. Un vector se representa gráficamente 
por medio de una flecha, la dirección de la flecha indica la dirección del vector, y la longitud 
de la flecha se define como proporcional a la magnitud. 
Vector: “Expresión matemática que pose magnitud, dirección y sentido, y que se suma 
de acuerdo con la ley del paralelogramo”. 
Los distinguiremos en estos apuntes de las cantidades escalares mediante el uso de 
negritas (F), para la magnitud del vector que determina la longitud de la flecha 
correspondiente se usarán letras cursivas (F). 
Un vector que representa una fuerza que actúa sobre una partícula tiene un punto de 
aplicación bien definido (A), la partícula misma. A tal vector se le llama vector fijo o ligado, y 
no puede cambiarse su posición sin modificar las condiciones del problema. 
 
 
 
Sin embargo, otras cantidades Físicas, tales como las cuplas, se pueden representar 
por vectores que pueden moverse libremente en el espacio; a estos vectores se les llama 
vectores libres (FIG. 20 b). Cuando podemos aplicar el principio de transmisibilidad los 
vectores fijos se transforman en vectores deslizantes (FIG. 4). 
Dos vectores de la misma magnitud, dirección y sentido se dice que son iguales, 
tengan o no el mismo punto de aplicación, los vectores iguales pueden representarse por la 
misma letra. 
F 
A 
F = 10 u 
FIG. 19 
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ESTABILIDD I Ing. Rodolfo A. Maggi 11
 
 
 
 
 
El vector negativo de un vector P se define como aquel que tiene la misma magnitud P 
y una dirección opuesta a la de P, se representa por - P. A los vectores P y - P se les llama 
vectores iguales y opuestos. 
Dos magnitudes escalares son iguales cuando se las puede representar por el mismo 
número, Dos cantidades vectoriales son iguales sólo si sus magnitudes y direcciones son 
iguales. 
Resumiendo para describir una fuerza que actúa sobre un elemento estructural, se 
deben especificar la magnitud de la fuerza y su dirección. Para describir la posición de un 
avión respecto a un aeropuerto, se deben especificar la distancia y la dirección del 
aeropuerto al avión. El primero será un vector fuerza y el segundo un vector posición. 
REDUCCIÓN DE SISTEMAS PLANOS DE FUERZAS CONCURRENTES 
PROCEDIMIENTOS ANALÍTICOS 
Generalmente resulta conveniente expresar la fuerza por dos componentes 
ortogonales entre si, que suelen tomarse horizontal y vertical. 
 R = X + Y 
 R = X i + Y j 
 
 i y j son los versores o vector unidad 
 de x e y respectivamente 
 
 R, X e Y son las magnitudes o módulos de 
 R, X e Y respectivamente 
 
X e Y se denominan componentes rectangulares o cartesianas de R 
Consideremos ahora un sistema de 3 fuerzas F1, F2, F3 como se ve en la FIG. 22 ¿cual 
será el sistema equivalente al mismo de menor número de fuerzas? 
 F1 = X1 i + Y1 j 
 F2 = X2 i + Y2 j 
 
 F3 = X3 i + Y3 j 
 
 
22 YXR +=
( ) ( ) ( )jYYYiXXXFFF 221321321 +++++=++∑
X
Y
Y 
X 
R
FIG.21 
- P 
P 
P P 
P = P 
P + (- P) = 0 
FIG. 20 a b 
UTN INGENIERIA 
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ESTABILIDD I Ing. Rodolfo A. Maggi 12
 
 
 
 
 
 
 
 Luego podemos decir los sistemas de las FIG. 22, FIG. 23 y FIG. 24 son equivalentes.
 
 Si el sistema de la FIG.22 se aplicara sobre una partícula en reposo este le 
imprimiría un movimiento rectilineo uniforme de aceleración a igual a: 
# Para que la partícula permanezca en reposo deberá ser: 
 R = 0 
 
# Para equilibrar la acción del sistema de fuerzas aplicado deberíamos agregar una 
fuerza – R al mismo. 
Luego, para que un sistema de fuerzas concurrentes en el plano este en equilibrio la 
sumatoria de las componentes rectangulares de las fuerzas debe ser cero. 
 
REDUCCION DE SISTEMAS ESPACIALES DE FUERZAS COCURRENTES 
Componentes de un vector (fuerza) en el espacio. 
 
X, Y, Z son las componentes de la 
Θx, Θy, θz son los ángulos que forma 
 R con sus componentes respectivas
 
 R = X + Y + Z => R = X i + Y j + Z k (1) 
 
 
 
 X = R cos θx => 
 
 
 Y = R cos θy => 
 
 
 Z = R cos θz => 
 
 
 Los cos θx, cos θy y cos θz se denominan cosenos directores de la recta de acción 
de la fuerza R y si llamamos r al versor de R tendremos: 
m
Ra =
0=∑ iX 0=∑ iY
222 ZYXR ++=
R
X
=cosθX
X 
ΘX 
A
Z 
Y 
Z 
Y 
ΘY 
Θ Z X 
R 
FIG. 25 
R
Y
=cosθ y
R
Z
=cosθz
∑ iXX =
∑ iYY =
X1 
F3 
Y 
Y3 
X3 
F2 
X2 
Y2 F1 
Y1 
X 
FIG. 22 
R 
Y 
X 
FIG. 23 FIG. 24 
≡ ≡
R = X i + Y j 
 X = X1+ X2 + X3 
 Y = Y1+ Y2 + Y3 
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R = R r = R cos θx i + R cos θy j + R cos θz k dividiendo por R 
r = cos θx i + cos θy j + cos θz k => rx = cos θx ry = cos θy y rz = cos θz 
como el modulo del versor es por definición uno (1): 
 1 = cos2 θx + cos2 θy + cos2 θz 
 
Reducción. 
Consideremos ahora un sistema de 3 fuerzas F1, F2, F3, F4 en el espacio (FIG. 22) y 
ubicando el sistema de ejes de referencia en el punto de concurrencia.¿Cual será el sistema 
equivalente al mismo de menor número de fuerzas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumando las componentes rectangulares de cada una de las fuerzas obtenemos el 
sistema equivalente se la FIG. 23 que no es otra cosa que las componentes de la resultante 
del sistema de fuerzas. 
 X1 = F1 cosθ1x 
F1 = X1 i + Y1 j + Z1 k Y1 = F1 cosθ1y 
 Z1 = F1 cosθ1z 
 X2 = F2 cosθ2x 
 F2 = X2 i + Y2 j + Z2 k Y2 = F2 cosθ2y 
 Z2 = F2 cosθ2z 
R = ∑F1 + F2 + F3 + F4 
 X3 = F3 cosθ3x 
 F3 = X3 i + Y3 j + Z3 k Y3 = F3 cosθ3y 
 Z3 = F3 cosθ3z 
 
 X3 = F4 cosθ4x 
 F2 = X4 i + Y4 j + Z4 k Y3 = F4 cosθ4y 
 Z3 = F1 cosθ4z 
Si aplicáramos este sistema a una partícula libre en reposo en el espacio por la 2ª ley 
de Newton sabemos que le imprimiría una aceleración proporcional a la masa de la misma, si 
la partícula debe mantenerse en reposo a través de algún medio que la fije a tierra deberá 
2
z
2
y
2
x rrr1 ++=
F4 
FIG.26
F3 
F2
F1 
Y
X
Z 
Z FIG.27 
∑Zi 
∑Yi 
∑Xi X 
Y 
≡ 
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ESTABILIDD I Ing. Rodolfo A. Maggi 14
aplicársele una fuerza reactiva (3ª ley de newton) de la misma dirección y magnitud pero de 
sentido contrario a resultante del sistema (- R). 
Luego, - R será la equilibrante de sistema y la sumatoria de todas las fuerzas que 
actúan sobre la partícula debe ser nula. 
∑Fi = 0 para lo cual la sumatoria de las componentes rectangulares debe ser 
también cero. 
∑Xi = 0 Condición necesaria y suficiente para el equilibrio de una partícula en el 
∑Yi = 0 espacio sobre la que actúa un sistema de fuerzas concurrentes. 
∑Zi = 0 
 
MOMENTO DE UNA FUERZA. 
Estudiamos un sistema de fuerzas concurrentes actuando sobre una partícula y 
establecimos que las condiciones de equilibrio en el espacio son: 
“La sumatoria de las componentes cartesianas de todas las fuerzas del sistema debe 
ser igual a cero”. 
Si esto no ocurre la resultante del sistema producirá un movimiento de traslación de la 
partícula de acuerdo con la 2ª ley de Newton. 
Si el sistema actúa sobre un cuerpo rígido y tuene resultante nula el efecto sobre el 
mismo será idéntico al que produce sobre la partícula cualquiera sea el punto de aplicación 
del sistema. 
Si el sistema actúa sobre un cuerpo rígido y tiene resultante distinta de cero el efecto 
sobre el mismo será idéntico al que produce sobre la partícula, si y sólo si el sistema actúa 
sobre el centro de masa del cuerpo. Si lo hace sobre cualquier otro punto además de 
trasladarse el cuerpo tenderá a rotar. 
Para estudiar este efecto es necesario introducir conceptos de Momento de una 
Fuerza con respecto a un punto y de Momento de 
una Fuerza con respecto a un eje. 
Cuando vimos las componentes de un 
vector en el espacio utilizamos como sistema de 
referencia un sistema de coordenadas cartesiano 
derecho, los ejes x (horizontal) e y (vertical) están 
en el plano frente al observador con la dirección 
positiva de x hacia la derecha del mismo y la 
dirección positiva de y hacia arriba, el eje z se 
ubica por la regla de la mano derecha, que 
establece que la dirección positiva de z se 
obtendrá colocando la palma de la mano derecha 
frente al segmento positivo de x, los cuatro dedos extendidos de la misma buscando el 
segmento positivo de y, el pulgar apuntará en la dirección positiva de z. 
 
FIG. 28 
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PRODUCTO ESCALAR 
El Producto Escalar de dos vectores 
esta dado por la expresión: 
F1 x F2 = F1 . F2 . cosθ (1) 
Goza de las propiedades 
conmutativa y distributiva. 
Si expresamos F1 y F2 por sus 
componentes rectangulares: 
F1 = x1. i + y1. j + z1. k 
F2 = x2. i + y2. j + z2. k tenemos: F1 x F2 = = x1. x2 + y1. y2 + z1. z2 
Luego el ángulo entre las fuerzas es despejando de (1): 
 
 
Aplicación: 
Definimos como proyección de la fuerza F sobre el eje de versor e que pasa por O al 
escalar Fe igual a: 
 Fe = F. cos θe 
Que será positivo (+) si coincide con el sentido 
del eje que ocurre cuando: 
0˚ ≤ θ < 90˚ 
Negativo (-) cuando: 
90˚< θ ≤ 180˚ 
Y cero (0) para: θ = 90˚. 
Expresando F y e por sus componentes rectangulares se tiene: 
Fe = x. ex + y. ey + z. ez = x. cos θx + y. cos θy + z. cos θz 
PRODUCTO VECTORIAL 
El Producto Vectorial de dos vectores está dado por la expresión: M = F1Λ F2 
 1) El modulo esta dado por: M = F1. F2. sen θ 
 con: 0< θ ≤ 180° 
 2) Siendo: M ┴λ y el sentido dado por la regla de 
 Con las condiciones: la mano derecha. 
 3) Goza de la propiedad distributiva pero no se 
 pueden conmutar los factores ya que al 
 hacerlo cambia el sentido del vector resultante (- M). 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
zyx.zyx
zzyy.xx
 cosθ
++++
++
=
OAFe =
F1
F2 
Z X
Y
λA
O
FIG. 29 
Fe
O
Y
Z FIG. 30 
F Θe 
A 
e 
X
θ 
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 θ sen F. . OAMO =
O
F 
π 
θ 
π ⊥OM
FIG. 32 
A 
d
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicación: 
El vector posición OA, es la 
distancia de A a O. 
El plano π es el 
determinado por OA Y F 
 Se define como Momento 
de la Fuerza F con respecto a O 
al producto vectorial de OA y F. 
 
Al aplicar la regla de la 
mano derecha el sentido de giro 
que el extremo de los cuatro 
dedos produce al intentar llevar 
OA a la posición de F es igual al 
que le imprime F aplicado en A al 
cuerpo rígido haciéndolo rotar 
alrededor de un eje perpendicular a π que pasa por O. 
 
El módulo de MO es: 
 
 MO = d. F 
 
 
 F OA M O ∧=
FIG. 33 
O
F 
θ
π⊥OM
d
π A 
FIG. 31 
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FIG. 34 
 F OA MOF ∧=
Y 
X 
Z 
O
A 
F 
Si d es distancia se mide en unidades de longitud (cm; m; etc.) y F en unidades de 
fuerza (kg; t; N; etc.) la unidad de MO será: tm; Nm; kgcm; etc. 
Para que MO sea cero (0) debe ser cero F ó d, físicamente no tiene sentido hablar de F 
= 0 ya que no habría acción externa sobre el cuerpo, d = 0 es cuando la recta de acción de F 
pasa por O. 
Físicamente MO indica la rotación que la fuerza imprime al cuerpo, la recta de acción 
de MO es el eje de rotación, la magnitud de MO es proporcional a la intensidad de la 
aceleración angular del movimiento de rotación. 
Expresando OA y F por sus componentes rectangulares tendremos: 
 
 
 
Si el cuerpo esta fijo a un nuestro sistema de referencia (tierra) a través de algún 
mecanismo el mismo ejercerá un momento – MO igual al que produce F, equilibrando al 
mismo. 
Las componentes 
rectangulares del momento 
serán: 
 
 
 
 
 
 
 
Si el centro de momentos es un punto cualquiera C (cX , cY, cz) que no coincide con el 
centro de coordenadas O (0; 0; 0) tendremos: 
 
Con: 
 (xA, yA, zA) coordenadas del punto de aplicación A de F 
 (xC, yC, zC) coordenadas del punto C centro de momentos 
 
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FFF
OAOAOA
zyx
zyx 
kji
F OA M O =∧=
 . M . M . M zyx kjiM
O
F ++=
( ) ( ) ( ) k j i . z z . y- y . x- xCA CACACA −++=
 OAF plano ⊥OFM
 y. z - z . yM FOAFOAX =
 z . x- x. z M FOAFOAY =
 x. y- y. xM FOAFOAZ =
 F M O ∧= CA
TRIPLE PRODUCTO MIXTO 
El Triple Producto Mixto o Triple Producto Escalar se indica por la expresión: 
 Realizando primero el producto vectorial se obtiene un 
nuevo vector perpendicular al plano que forman OA y F y después el producto escalar de 
este último con e, el resultado será un escalar. 
El orden de los factores puede permutarse cíclicamente como se indica: 
 
 Expresando los tres vectores mediante suscomponentes rectangulares obtendremos 
el triple producto en forma de determinante: 
 
 
 
 # Cuando dos vectores son paralelos el triple producto es nulo (0) 
# Cuando la terna es derecha el escalar del triple producto es positivo (+) en caso 
contrario negativo (-). 
Aplicación: 
Se define Momento de una Fuerza con respecto a un Eje Oe a la proyección sobre 
dicho eje, del vector momento de la fuerza F con respecto a un punto de eje 
 Donde e es el Versor del eje Oe, luego: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e F OA ×∧
OA e F OA F ee F OA ×∧=×∧=×∧ 
 θ cos . M M eoOe =
eM O MOe ×=
eee
FFF
OAOAOA
zyx
zyx
zyx
 =×∧ e F OA 
B 
XB 
XA 
ZA 
YB 
ZB 
F 
A
Θe 
ΘB 
O
MO 
e 
e 
MOe
MBe
MB 
X 
Z 
Y
FIG. 35 
YA BAF plano ⊥BM
 OAF plano ⊥OM
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 Siendo: => 
 Que es un triple producto vectorial o triple producto mixto por lo tanto MOe es como 
indica la escritura, un escalar cuyas unidades son las mismas que las del momento de una 
fuerza con respecto a un punto (kgcm; tm; Nm). 
 Utilizando las componentes rectangulares: 
 
 
 
 Si el eje e no pasara por O y lo hiciera por un punto cualquiera B podemos expresar: 
 
 
 Donde las componentes del vector BA están dadas por la diferencia entre las 
coordenadas del extremo A y el origen B. 
 Veremos como esta expresión matemática es útil para el estudio de la mecánica, para 
ello observemos la Fig. 36 de un cuerpo rígido sometido a la acción de una fuerza F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FMO ∧= OA 
eee
FFF
OAOAOA
Oe
zyx
zyx
zyx
 OA M =×∧= e F
 e F OA MOe ×∧=
eM e F B BA MBe ×=×∧=
O 
P 
F 
ΘFπ
Fπ 
A 
e 
π 
Fe 
FIG.36 
d 
Θe 
FPAMP ∧= 
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La fuerza F esta reemplazada por el sistema equivalente (Fe ; Fπ) donde 
 Fe es la componente de F en la dirección del eje e y Fπ la componente de F 
perteneciente al plano π . 
El plano π es perpendicular a el eje e que corta al mismo en el punto P 
y contiene al punto A, punto de aplicación de F . 
Los vectores OP, OA y PA son vectores posición, los dos primeros de A 
y P con respecto a un punto cualquiera del eje e O y PA del punto de 
aplicación de F con respecto a la intersección de π con e . 
E l momento de F con respecto al eje será: 
Observando que: F = Fe + Fπ y OA = OP + PA la ecuación anterior toma la forma:
 
 Operando: 
 
 
 
Pero cuando dos vectores son paralelos el triple producto es nulo (0), lo que hace que 
los tres primeros términos del segundo miembro sean nulos quedando: 
 
 
 1ª observación: cos θe es 1 (uno) ya que θe = 0˚ 
 2ª observación: 
 luego: Me = Fπ . d como conclusión: 
“Solo produce Momento respecto de un eje la componente de 
la fuerza comprendida en el plano perpendicular al mismo.” 
El efecto fisico de F sobre el cuerpo rigido con respecto a un eje es: 
“Rotación alrededor del eje originado por la componente 
comprendida en el plano perpendicular al mismo y de traslación a 
traves de eje causada por la componente paralela al mismo.” 
Se acuerda que si Me tiende a hacer girar el cuerpo en el sentido de giro de las 
agujas del reloj será positivo y negativo (antihorario) en caso contrario. 
Me = 0 cuando Fπ ó d sean cero, esto ocurre cuando la dirección de F es 
paralela a e ( la proyección será un punto), ó cuando F corte a e (d=0) 
Si proyectamos MP sobre la terna de ejes de referencia tendremos las conponentes 
del mismo sobre cada eje si a éstas las multiplicamos por el correspondiente versor 
tendremos el giro que tiende imprimirle F al cuerpo alrededor de cada uno de los ejes de 
referencia. 
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 e F OA Me ×∧=
( ) e F F πe PA OP Me ×+∧+=
 eF e F eF e F πeπe PA PA OP OP Me ×∧+×∧+×∧+×∧=
( ) eππe θ cos θ sen . F . PA PA M .=×∧= eFπ
d θ sen . PA π =
MPx = MP . i MPy = MP . j MPz = MP . k 
que son las componentes del momento de una fuerza con respecto al punto O 
 
y recordando las expresiones de sus modulos 
 
podemos decir: Los momentos de una fuerza con respecto a los ejes x,y,z del sistema 
de referencia son iguales a las componentes del momento de la fuerza con respecto al 
centro de coordenadas O respectivamente. 
“El momento de una fuerza con respecto a un eje es independiente del punto 
perteneciente al eje del cual se tome” 
Utilizaremos la fig.32 y tomando momentos con respecto al eje e a través de P y de 
O: 
 
 
 Por que OP y e tienen la misma dirección 
 
 
CUPLAS 
“Lamamos cupla a un sistema formado por dos fuerzas paralelas de igual magnitud.” 
F +(-F) = 0 
M = F X d > 0 
En este sistema la suma 
vectorial de fuerzas es cero por 
tanto la resultante es una cupla 
es nula. 
 Si tomamos momentos con 
Con respecto al punto O: 
 
 
 
Y como: 
M: Momento del par de fuerzas F y –F (cupla) de magnitud: 
 
 y. z - z . yM FOAFOAX =
 z . x- x. z M FOAFOAY =
 x. y- y. xM FOAFOAZ =
 . M . M . M kjiM ZYX
O
F ++=
 eFPA e MP MPe ×∧=×=
( ) e F PA e F OP e FPA OP eFOA e MO ×∧+×∧=×∧+=×∧=×= MOe
0 e F OP =×∧
O
A
d
B
-F
π
Z
Y 
X
F
M 
MO 
FIG. 37 
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) ( ∧ OB+ ∧OA = F- FM
FM )OBOA( = ∧ - 
)(∧AB= BA= BA = OBOA -F F M ∧⇒ - 
d •F = θ sen • F • BA = M
PeOe M M e F PA =×∧=
Si en vez de tomar momentos respecto a O tomáramos otro punto cualquiera C 
tendríamos: 
 y como 
Luego podemos decir que: 
“ El momento del par con respecto a cualquier 
 punto del espacio es constante.” 
Esto nos permite decir que mientras se mantenga constante la magnitud : F x d la 
fuerza F podrá tener cualquier dirección, sentido y magnitud 
 
 
 
 
 
 
Ambos sistemas de fuerzas son equivalentes y el efecto físico sobre el cuerpo rígido 
que actúen será el mismo, producir una rotación en el sentido contrario alas agujas del reloj 
(para este caso particular). 
El vector representativo de la cupla es perpendicular al plano π, de magnitud M = F x d 
 y será un vector libre. Es decir que no será un vector aplicado como es F, sea cual sea el 
punto del cuerpo que se aplique el efecto es el mismo mientras F x d se mantenga constante. 
Si trabajamos en un sistema de referencia (x, y, z) las componentes de M son: Mx, My, 
Mz. 
COMPOSICIÓN DE PARES 
ε plano formado por F1 y - F1 
λ plano formado por F2 y - F2 
 F1 + F2 = R y 
- F1 + (- F2) = - R 
 
 
 
Por tanto podemos decir que la suma de dos cuplas es igual a la suma vectorial de 
vectores libres representativos de los mismos. 
 
) ( CA+ CA = F- FM ∧∧ F M BA= BA = CBCA ∧⇒ - 
A
d 
B 
-F
π
F M 
A
d1
B 
-F1 π
F1
M ≡
FIG. 38 
)+ ( BA= ∧ BA = 21 F F R M ∧
2121 M MFF M + = ∧ BA + ∧ BA=
FIG. 39
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 M = M1 + M2 + M3 
 M = Σ M i 
 M1 : ( X1; Y1 ; Z1 ) 
 M2 : ( X2; Y2 ; Z2 ) 
 M3 : ( X3; Y3 ; Z3 ) 
 X = X1 + X2 + X3 
M : ( X; Y ; Z ) Y = Y1 + Y2 + Y3 
 Z = Z1 + Z2 + Z3 
 
COMPOSICION DE UN PAR Y UNA FUERZA 
Tenemos un cuerpo rígido sobre el que actúa una fuerza F aplicad en O y una cupla M 
⊥ al plano π que contiene a F (veremos este caso particular que tiene aplicación en estática) 
 
 
 
 
 
 
Aplicamos en A un sistema de fuerzas nulo (F y –F) y tendremos que la fuerza F 
aplicada en O y la –F aplicada en A forman una nueva cupla –M de igual magnitud que la 
inicial M, es decir que se anulan tendremos un nuevo sistema com. Una fuerza F aplicada en 
A que produce el mismo efecto sobre el cuerpo queel sistema original. 
Luego: “Una cupla y una fuerza ortogonales pueden ser reducidos a una sola fuerza 
de igual magnitud, sentido y dirección que la original pero aplicada a una distancia d = M/F 
del punto de aplicación de la fuerza dada.” 
El nuevo punto de aplicación A se ubica de forma tal que el momento de F con 
respecto a O produzca el mismo efecto que M. 
Por tanto se puede realizar lo inverso, es decir, si tenemos una fuerza F aplicada en 
un punto dado de un cuerpo rígido podremos reemplazarla por una fuerza igual aplicada en 
un punto arbitrario O agregando una cupla M igual al momento de la fuerza dada con 
respecto a O. 
Fּכ π 
π 
A
π ⊥ M
O 
≡ ≡ A
Fּכ π 
π 
FIG. 41 
A
d = M/F 
F 
- F 
π⊥ M
O A
F 
A 
π 
O
d
M1 
M3 
M2 
M 
FIG. 40 
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 Aplicación: 
Tenemos un sistema de fuerzas aplicadas en el cuerpo rígido F1; F2; F3 y la terna de 
referencia a tierra x; y; z 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicamos en O los sistemas nulos (FO1;- FO1), (FO2;- FO2), (FOC;- FO2) 
 
 
 
 
 
 
 
Es fácil observar que: MOF1 = OA1 Λ F1 que será ⊥ a FO1 ; lo mismo 
ocurre con el resto de las fuerzas y también que: M = MOF1 + MOF2 + MOF3 
La fuerza resultante R es igual a: R = FO1 + FO2 + FO3 = F1 + F2 + F3 
por tanto: M = MOR = Σ MOFi 
 Luego podemos deducir que cualquiera sea el punto que tomemos como centro de 
reducción R será siempre igual y lo llamamos invariante del sistema de fuerzas, mientras 
que los momentos MOR variara punto a punto. 
Si tomáramos como centro de reducción un punto cualquiera distinto de O P 
tendríamos: R y MPR donde R es igual al anterior (Invariante del Sistema de Fuerzas) y
 MOR ≠ MPR e igual a: 
FO3 
Z 
Y 
XO
FO2 
FO1 
MOF2 
MOF1 
MOF3 
Z 
Y
X O
M
R
≡
FIG. 43 
A1
A3 
A2 
Z 
Y 
X O 
F1 
F3 
F2 
FO3 
A1
A3 
A2 
Z 
Y
X O
F3 
F2 
F1 
FO2 FO1 
- FO1 
- FO3 
- FO2 
≡
FIG. 42 
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 MPR = ∑PAi Λ Fi 
 Pero podemos escribir: PAi = PO + OAi => MPR = ∑(PO+OAi)Λ Fi 
 Como PO es constante: MPR = POΛ∑ Fi + ∑ OAi Λ Fi 
 Recordando que: R =∑ Fi y que MOR = ∑ OAi Λ Fi 
 Tendremos que: MPR = PO Λ R + MOR 
 Por último si hiciéramos el producto escalar R x MPR (proyección del vector momento 
sobre la recta de acción de R): 
 R x MPR = R x ( PO Λ R + MOR) = R x PO Λ R + R x MOR y recordando 
que el triple producto vectorial en el que 2 vectores son paralelos es cero: 
 R x MPR = R x MOR = Cte 
 La proyección del vector momento sobre la recta de acción de R es el segundo 
invariante del sistema de fuerzas. 
 Si por algún mecanismo el cuerpo rígido se encontrara fijo al sistema de referencia 
(tierra) sobre éste se generará por la 3ª Ley de Newton un sistema: (- M; - R) que es un 
sistema reactivo. 
 El sistema (- M; - R) equilibra al sistema (FA; FB; 
FC). El cuerpo rígido se encuentra en estado de reposo. 
 Recordando el 3º Principio de la estática que 
decía: 
 "Las fuerzas que actúan sobre un punto material 
en reposo se encuentran en equilibrio estático, si su 
resultante es nula” 
 Y parafraseándolo: 
 “Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido 
en reposo se encuentran en equilibrio estático, si su resultante es nula y la suma de los 
momentos de las fuerzas con respecto a cualquier punto del espacio también sea cero” 
 ∑ Fi = 0 y ∑ Mi = 0 (expresión vectorial) 
 Si utilizamos las componentes rectangulares de las fuerzas tendremos las ecuaciones 
escalares: 
 
 
 
X = ∑ Xi = 0 MOX = ∑ MX = 0 
 
Y = ∑ Yi = 0 MOY = ∑ MY = 0 
 
Z = ∑ Zi = 0 MOZ = ∑ MZ = 0 
A 
C 
B 
Z 
Y
X
O
- M 
- R
F
F
F
FIG. 44 
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 Donde Xi ; Yi ; Zi son las componentes de las fuerzas sobre los ejes x; y; z 
respectivamente y MX; MY; MZ los momentos de las componentes de las fuerzas con respecto 
a los ejes x; y; z 
CHAPAS 
En el diseño de maquinas, equipos y estructuras se utilizan partes que las conforman 
con largos y anchos de dimensiones relativas grandes con respecto al espesor, tienen un 
plano de simetría paralelo al plano que forman el ancho y el largo en la mitad del espesor de 
forma tal que las cargas que soportan están distribuidas de igual manera a ambos lados del 
plano de referencia haciendo que la resultante de las cargas pertenezca a dicho plano. 
Chapas Rígida: 
“Conjunto de partículas rígidamente unidas entre sí ubicadas en un mismo plano en el 
que actúan las cargas que soporta”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicación: 
 Consideramos una chapa rígida K y 
hacemos pasar el centro de coordenadas del sistema de 
referencia por O, luego el plano xy es el plano de carga y el 
eje z es perpendicular al mismo. 
Tomando momentos con respecto a O: 
MO = OA Λ R donde MO es paralelo a z y tiene el 
mismo sentido. 
 
 
O X 
Y 
R 
A 
FIG.46 
( ) kk
kji
Mo ×x• y-y•x=×yz
yx
=
zyx
zyx= ROAROA
RR
OAOA
RRR
OAOAOA
Longitud
A
n
c
h
o 
Espesor 
FIG. 45 
Plano de simetría o plano de carga
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MO = MZ = XOA . YR - YOA . XR Podemos sacar una colusión muy útil al ser todos los 
momentos colineales con z la Σ MZ se puede realizar escalarmente. 
 CUERPOS RIGIDOS VINCULADOS 
Vamos a analizar el equilibrio de los cuerpos rígidos vinculados en el plano, 
trabajaremos con chapas que ya habíamos definido con anterioridad. 
CINEMATICA DE LA CHAPA RIGIDA 
Supongamos el cuerpo rígido (CH) de la FIG. 
42 el que se traslada a la posición nueva (CH’) el 
punto A se desplazo a A’, el vector AA’ indica el 
desplazamiento ocurrido. 
AA’ = ∆x + ∆y 
∆x y ∆y son los desplazamientos en la 
dirección de los eje x e y 
Definición: “Un punto tiene en el plano dos grados de libertad de movimiento 
rectilíneos independientes” 
Si el punto estuviera en el espacio: 
 AA’ = ∆x + ∆y + ∆z tiene tres grados de libertad 
Por definición de chapa rígida los puntos que la conforman tienen sus distancias 
relativas inalterables, si consideramos la chapa CH nuevamente con una traslación en la 
dirección de x los puntos A, B y C mantendrán sus distancias relativas. 
AA’ = BB’ = CC’ 
AC = A’C’ 
AB = A’B’ 
BC = B’C’ 
Pero la acción de fuerzas externas 
sobre los cuerpos no sólo produce la traslación de los mismos, 
como vimos, también le imprimen movimiento de rotación. Si 
fijamos A y hacemos girar la chapa alrededor del eje 
perpendicular al plano de simetría, que pasa por A, un ángulo 
φ el resto de los puntos que conforman la chapa describirán 
una trayectoria de arco de circunferencia con centro en A, 
como lo hace el punto B. 
En Estabilidad trabajaremos siempre con el supuesto 
que los desplazamientos permitidos son muy pequeños. Si φ 
se hace muy pequeño el arco BB’ es aproximadamente igual al 
vector BB’ que no es otra cosa que el vector desplazamiento de la rotación φ. 
A
A’ 
Y
XO
∆y 
∆x 
CH’ 
FIG. 47 
CH 
A 
B’ 
C’ C 
B 
A’ 
FIG. 48 
A 
B’ 
B 
Φ 
FIG. 49 
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Cuando φ 0 podemos decir que: 
BB’ ≈ BB’’ ≈ AB . tg φ ≈ AB . φ 
“Los desplazamientos de los puntos en la rotación son 
perpendiculares a la recta que une al punto con el centro de 
rotación” 
Luego cuando tenemos rotaciones infinitesimales 
expresamos el desplazamiento BB’ por el vector BB’ 
perpendicular al centro de rotación. 
Si conocemos el desplazamiento ∆A y ∆B de dos 
puntos cualesquiera de la chapa rígida, A y B, podemos 
hallar el centro de rotación O trazando gráficamente las 
rectas normales a los desplazamientos conocidos. 
Concluimos que: 
“La chapa posee en el plano tres grados de libertad, dos se traslacióny uno de 
rotación”. 
En el caso de traslación aplicando el 
procedimiento anterior se tiene que O estará 
en el infinito ya que las rectas normales a los 
desplazamientos son paralelas. Por tanto el 
centro de rotación es impropio. 
“Todo movimiento de una chapa en el 
plano es una rotación con centro en un 
punto propio ó impropio del mismo”. 
VINCULOS 
Llamamos vínculo a todo dispositivo que total o parcialmente condiciona los 
movimientos de un cuerpo. 
Si llamamos grado de libertad a los movimientos posibles de la chapa con respecto al 
sistema de referencia tierra tendremos: 
Vínculos de 1º grado son los que limitan un grado de libertad. 
Vínculos de 2º grado son los que limitan dos grados de libertad. 
Vínculos de 3º grado son los que limitan tres grados de libertad. 
Cada vínculo posee tanto característica cinemática (de movimiento) como estática (de 
fuerza). 
La característica cinemática determina cuales movimientos de una chapa impide el 
vínculo y cuantos grados de libertad elimina. La característica estática del vínculo determina 
cuales reacciones pueden surgir en él. 
∆A 
A 
O 
∆B 
B 
FIG. 51 
∆A 
A 
O ∞ 
∆B 
B 
FIG. 52 
∆C 
C 
A 
B’ 
B 
Φ’ 
FIG. 50 
B’’ 
90º 
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Examinemos tres tipos de vínculos en los sistemas planos. 
1. El vínculo del primer tipo es una barra con articulaciones en los extremos 
(llamada biela), 
Característica cinemática: el vínculo impide el movimiento de traslación de la chapa 
en la dirección de la barra, elimina un grado de libertad. 
Característica estática: en el vínculo se puede originar una fuerza de reacción 
dirigida a lo largo de la barra. 
2. El vínculo del segundo tipo es una articulación. 
Característica cinemática: la articulación impide el movimiento de traslación de la 
chapa (en ambas direcciones x e y). Elimina dos grados de libertad. 
Característica estática: se puede originar en la articulación una fuerza reactiva en 
cualquier dirección, que puede descomponerse en las componentes paralelas a los ejes x e 
y. La articulación, desde el punto de vista cinemático es equivalente a dos barras, es decir, a 
dos vínculos del primer tipo. 
3. El vínculo del tercer tipo empotramiento ó soldadura. 
Característica cinemática: el empotramiento ó soldadura impide por completo los 
tres desplazamientos, o sea, no permite movimientos ni de traslación, ni de rotación. 
Destruye los tres grados de libertad de la chapa. 
Característica estática: puede surgir una fuerza de reacción de cualquier dirección 
que pase por el punto característico del 
vínculo y un momento con respecto a 
este punto. La fuerza puede 
descomponerse en las componentes 
paralelas a los ejes x e y. 
Cinemáticamente, es equivalente 
a tres bielas o a una articulación y una 
biela. Tres vínculos simples ó uno doble 
y uno simple. 
En la tabla siguiente extraída del 
libro MECANICA VECTORIAL PARA 
INGENIEROS de Beer y Johnston, se 
muestran esquemas de vínculos físicos 
para el plano, los movimientos que 
limitan y que reacciones generan. 
Los vínculos que necesita una 
chapa esta determinada por el tipo de 
los mismos que se utilicen partiendo de 
la premisa que se deben eliminar los 
tres grados de libertad ya establecidos. 
Pueden ser 3 simples, uno doble y uno 
simple ó uno triple. 
Habíamos dicho que el primer 
objetivo de la Estática es obtener las 
fuerzas reactivas que originan las 
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cargas externas sobre los cuerpos. Estas fuerzas reactivas se establecen en los vínculos o 
apoyos y las llamamos reacciones, son las incógnitas a resolver que de acuerdo a lo visto 
serán (en el plano) tres. 
Para obtener las reacciones plantearemos las ecuaciones de equilibrio: 
∑ X = 0 ∑ Y = 0 ∑ M = 0 
Si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas decimos que el problema 
esta estáticamente determinado y llamaremos al sistema Isoestático. 
Puede ocurrir que el sistema tenga más vínculos de los necesarios (teóricamente) por 
requerimientos de diseño, métodos constructivos, etc. y tendremos más incógnitas que 
ecuaciones. Son sistemas estáticamente indeterminados y los llamamos hiperestáticos. 
Puede ocurrir que el sistema tenga menos vínculos de los necesarios, salvo algunas 
casos particulares que analizaremos más adelante estarán en equilibrio inestable. Los 
llamamos hipoestáticos. 
Por lo general en la práctica los sistemas son hiperestáticos y sólo en unas pocas 
ocasiones son isoestáticos, los hipoestáticos casi no tienen aplicación práctica. 
Que el sistema esté estáticamente determinado indica que se pueden hallar las 
fuerzas reactivas utilizando únicamente las ecuaciones de equilibrio, simplificando la tarea 
incluso para determinar las fuerzas internas que es el segundo objetivo de la Estática, no 
dependen de las dimensiones y la forma de las secciones transversales, ni tampoco del 
material de los elementos estructurales por separado. 
Que el sistema no esté estáticamente determinado indica que no se pueden hallar las 
fuerzas reactivas utilizando únicamente las ecuaciones de equilibrio. el estudio del estado de 
deformación del sistema. En los problemas hiperestáticos, la determinación de las fuerzas 
internas está ligada a las dimensiones, forma y material de los elementos en general y 
también de las dimensiones, de la forma de las secciones transversales y del material de los 
elementos estructurales por separado, Haciendo mas compleja la solución. 
Adoptando algunas premisas muchas veces se pueden tratar los hiperestáticos como 
isoestáticos. 
 
CASOS PARTICULARES ISOESTATICOS (Análisis 
Cinemático) 
 Los vínculos A, B, C en la FIG. 53 restringen los 
desplazamientos en el sentido de y pero no de x, por lo tanto 
tiene un centro de rotación impropio, al haber un grado de 
libertad no eliminado. 
En la FIG. 54 tenemos dos casos en los que el sistema 
puede rotar en D y en A respectivamente. 
En todos los casos hay los vínculos necesarios pero 
A 
B 
C 
 
FIG. 53 
Y 
X 
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algunos de ellos no cumplen con las condiciones cinemáticas requeridas esos vínculos los 
llamamos vínculos aparentes. 
 
 
 
 
 
CADENAS CINEMATICAS DE CHAPAS 
Generalmente las estructuras y mecanismos 
utilizados en máquinas y equipos están compuestos por 
más de una chapa. Estás estarán unidas entre sí por 
vínculos que llamaremos internos para diferenciarlos de 
los que fijan la estructura a tierra que llamamos externos. 
Al conjunto de chapas interconectadas entre sí la 
denominamos cadena cinemática de chapas y estás 
pueden ser abiertas o cerradas según veremos. 
Consideremos dos chapas CH1 y CH2, como vimos 
cada chapa tiene tres grados de libertad y ambas en 
conjunto seis. 
Primeramente las vinculamos entre sí con un 
pasador o articulación en el punto A. Ambas chapas 
podrán girar alrededor del punto A. 
Ahora fijamos a tierra la chapa CH1 por medio de 
un vínculo doble en B y un vínculo simple en C limitando 
sus tres grados de libertad, la chapa CH2 podrá rotar 
alrededor de A igual que antes pero no tendrá posibilidad 
traslación porque el punto A pertenece a ambas y la 
chapa rígida CH1 esta inmovilizada. 
Por último bastara colocar un vínculo simple que 
fije a tierra la chapa CH2 para que el conjunto este 
impedido de trasladarse o rotar. 
Tendremos así que utilizamos vínculos externos 
para fijar ambas chapas a tierra que le imponen cuatro 
condiciones de vínculo, es decir que tendremos cuatro 
incógnitas debido a reacciones en los mismos y un vínculo doble interno en A con dos 
incógnitas. 
Hemos construido una Cadena Cinemática Abierta de Chapas. 
FIG. 54 
D 
C B 
A 
C 
A ≡ D 
B 
CH1 CH2
CH1 CH2
A 
CH1 CH2
A 
CH1 CH2
A 
B 
B 
C
D
FIG. 55 
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Cada chapa individualmente tiene tres grados de libertad originalmente al tener dos 
chapas teníamos que resolver seis grados de libertad externos, en la cadena cinemática 
abierta de dos chapas tenemos que resolver cuatro grados de libertad externos y dos grados 
de libertad internos en ambos casos tenemos seis incógnitas. Esto lo podemos expresar 
matemáticamente por: 3x2 = 4+2 = 6 
Donde el primer miembro de la ecuación corresponde al sistema original y el segundo 
a la cadena cinemática. 
En el primer miembro 2 son las chapas y 3 el número de grados de libertad de las 
mismas y en el segundo 4 es el número de vínculos externos y 2 los internos, podemos 
generalizar: 
 C : nº de chapas 
 3xC = Re + Ri Re: vínculos externos 
 Ri: vínculos internos 
 
3xC - Ri = Re Ri = 2(C- 1) ya que el vinculo interno es doble y las chapas 
restantes luego de fijar la primera con tres vínculos externos son (C-1) 
3xC – 2(C- 1) = 3xC – 2xC + 2 = 
“El nº de vínculos externos o grados de libertad de una Cadena Cinemática Abierta de 
Chapas es el nº de chapas más dos”. 
Si unimos la última chapa con la primera tendremos una cadena cinemática cerrada. 
Luego todas las chapas están unidas por articulaciones (vínculos internos) y los grados de 
libertad son: 
Ri = 2xC 3xC – 2xC = 
“El nº de vínculos externos o grados de libertad de una Cadena Cinemática Cerrada 
de Chapas es el nº de chapas”. 
ANALISIS CINEMÁTICO DE CADENAS DE CHAPAS 
Que los vínculos externos sean igual a los grados de libertad de la cadena cinemática 
sea está cerrada o abierta no garantiza que sistema sea estable, hay que analizar que no 
haya vínculos aparentes como en las chapas simples que vimos anteriormente 
El método para establecer si un vínculo es aparente consiste en quitarlo dejando a la 
cadena con un grado de libertad menos pudiendo esta rotar con un centro de rotación propio 
o impropio según corresponda al desplazamiento posible (rotación ó traslación) y hallando el 
centro de rotación por las perpendiculares a los desplazamientos verificando que la recta de 
acción del vinculo eliminado no pase por dicho centro. 
 
 
 
 
(C + 2) = Re 
C = Re 
CH1
CH3
C
A1-2
A2-3B
A 
FIG. 56 
CH2
CH1
CH3
C
A1-2
A2-3B
A 
FIG. 57 
CH2
O 
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La cadena cinemática de la FIG. 56 tiene el vínculo B aparente como puede verse en 
la FIG 57. 
Si reemplazáramos la articulación (vínculo 
doble) de la unión de dos chapas por dos vínculos 
simples como dos bielas tendríamos una 
articulación ficticia como muestra la FIG.58 el 
punto O será el centro de rotación de una chapa 
cuando se supone fija a la otra. 
Si llamamos vínculos cinemáticamente 
eficientes a los que no son aparentes podemos 
concluir que: 
 “Las cadenas cinemáticas de C chapas 
son isoestáticas cuando tienen C+2 vínculos simples cinemáticamente eficientes para 
cadenas abiertas y C vínculos simples cinemáticamente eficientes para cadenas 
cerradas”. 
SISTEMAS PLANOS DE BARRAS 
Llamamos barra al elemento estructural que posee dos dimensiones pequeñas 
respecto de la tercera de gran longitud y soportan cargas sobre su eje longitudinal, la carga 
es coolineal con su eje de mayor longitud. 
Si la cadena cinemática se construye con barras tendremos sistemas planos de barras 
que pueden ser: 
Sistemas invariantes son los sistemas de cuerpos sólidos unidos entre sí, que 
permiten traslaciones relativas de los cuerpos solo al deformarse el material. 
Sistemas variantes son los sistemas, de cuerpos sólidos unidos entre sí que permiten 
traslaciones relativas finitas de los cuerpos sin deformación del material. 
Sistemas de variabilidad instantánea son los sistemas de cuerpos sólidos unidos 
entre sí que permiten traslaciones relativas infinitesimales sin deformación del material, luego 
de lo cual se tornan invariantes, representan casos excepcionales de sistemas invariantes 
Un ejemplo simple de sistema invariante puede ser el formado por dos barras unidas 
entre sí mediante la articulación B y fijadas 
a tierra por articulaciones en los puntos A y 
C (FIG. 59). Dado que con tres lados se 
puede construir sólo un único triángulo, el 
ABC, el sistema es invariante. 
Este, como cualquier otro sistema 
invariante, es capaz de recibir sobre sí 
cualquier carga y equilibrarla con sus 
fuerzas internas hasta la iniciación de la 
rotura del material. 
A éste sistema lo llamamos Arco 
Triarticulado 
El sistema compuesto por tres 
barras unidas entre sí y sujetas a un cuerpo fijo por medio de articulaciones (FIG. 60a) 
CH1 
CH2 
O 
FIG.58 
A 
P1
C 
B 
P2
P3 
FIG. 59
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representa un ejemplo simple de sistema variante, capaz de deformarse sin variar el largo de 
sus barras. 
Ante una carga determinada, independientemente de la magnitud de ella, el equilibrio 
puede ser estable, inestable e indiferente. Cualquier sistema variante puede recibir sobre sí y 
equilibrar con sus fuerzas internas, sin cambiar su forma, sólo cargas apropiadas a la forma 
dada. 
Si el sistema variante, por la configuración que se le dio, no puede equilibrar a la carga 
se pone en movimiento, este movimiento se prolongará hasta que el sistema adquiera la 
forma adecuada para su equilibrio estable o encuentre cualquier obstáculo en su camino que 
sirva de vínculo complementario. El sistema deja de ser variante. En tales casos, el sistema 
variante “va acomodándose” a la carga, recibe grandes desplazamientos hasta que ocupa la 
posición de equilibrio estable, si su resistencia mecánica es la adecuada, FIG 60b. 
Naturalmente, sólo las formas estables de equilibrio de los sistemas variantes pueden, 
en alguna medida, ser utilizadas en la práctica. 
SISTEMAS RETICULADOS PLANOS 
Son sistemas planos de barras invariantes que se 
generan por adición de barras con articulaciones como 
las cadenas cinemáticas pero que al ser invariantes se 
pueden considerar como una chapa única soportando 
cargas en el plano que contiene los ejes principales de 
las barras. 
Según la forma de generación se dividen en: 
Reticulados Simples, Reticulados Compuestos y 
Reticulados Complejos. 
RETICULADOS SIMPLES. 
Supongamos tres barras articuladas entre si de 
modo que constituyan una cadena cinemática abierta con 
cinco grados de libertad, FIG. 61a Si articulamos entre si 
las dos barras extremas restringiremos en el conjunto dos 
grados de libertad, quedando sólo tres y comportándose 
como una única chapa rígida, FIG. 61b. Tres barras 
rígidas articuladas entre si conforman un sistema 
invariable y eliminando tres grados de libertad con la 
a 
b 
c 
d 
FIG, 61 
P 
A 
D
C B P
D 
C
B
A
FIG. 60
a b
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precaución de que ningún vínculo sea aparente se tiene un sistema isostático. 
Si a dos cualesquiera de los vértices del triángulo así obtenido, les articulamos dos 
nuevas barras coplanares, el resultado será una nueva cadena cinemática de tres chapas 
con cinco grados de libertad, FIG. 61c. Articulando entre si los extremos de las dos barras 
agregadas al triángulo primitivo, restamos al conjunto dos grados de libertad, con lo que 
quedarán sólo tres y se comportará como una única chapa rígida, FIG. 61d. Articulando 
nuevos pares de barras coplanares a vértices consecutivos o no consecutivos del reticulado 
que se va formando y articulándolas entre si se obtiene un reticulado. Si esta conformado 
sólo por triángulos se llama reticulado simple. 
Si llamamos "p" al número de pares de barras que se agregan al triángulo primitivo, el 
número total de barras b será: 
 b = 2p + 3 pero cada par de barrasgenera un nuevo nudo “n” ó articulación 
que se suma a los tres originales: 
 n = p + 3 p = n – 3 reemplazando en la igualdad anterior el nº 
de barras con relación a los nudos será: 
 
 Condición de rigidez del reticulado simple 
 
 
 El nº de incógnitas será: I = b + Re (Re: Grados de libertad externos) 
 
El nº de ecuaciones: E = 2n (x = 0; y = 0 en cada nudo) 
Luego: Condición de isostatícidad del reticulado simple 
 
 
 
 
 
 
 
Reticulados Compuestos. 
Tenemos dos reticulados 
simples que cumplen con la 
condición de rigidez como se ven 
en la FIG. 63 y los unimos 
mediante vínculos cinemática 
mente eficaces obteniendo un 
reticulado compuesto. Los tres 
b = 2n- 3 
A 
C
B
A; B: C no son 
colineales 
FIG. 63 
FIG. 62 
2n = b + Re 
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vínculos pueden ser simples o uno doble y uno simple FIG. 64 con la única condición de que 
no sean aparentes. 
 
 
 
 
 
Llamando con b` las barras del reticulado de la derecha y con b`` las de la izquierda, 
análogamente con los nudos tendremos: 
 b`= 2n` - 3 
 b``= 2n``- 3 
 b` + b`` = 2(n`+ n``) - 6 
 Si consideramos el caso de la FIG. 63 tendremos 3 bielas que son asimilables a 3 
barras con lo cual el nº de barras será: 
 b` + b`` + 3 = 2(n`+ n``) – 6 + 3 
 Y si llamamos b al nº total de barras o sea el primer miembro y n al de nudos o sea 
n`+ n`` nos queda: 
 
Que es la Condición de rigidez del reticulado simple. 
Si analizamos el segundo caso FIG. 59 ocurrirá lo mismo como podemos ver: 
 b = b`+ b`` + 1 y n = n`+ n`` - 1 n -1 = n`+ n`` 
 b` + b`` + 1 = 2(n -1) – 6 + 1 
Que es la Condición de rigidez del reticulado simple luego podemos afirmar que la 
condición de rigidez es la misma para ambos sistemas, simple y compuesto. 
Puede demostrarse que si el sistema estuviera compuesto por más de dos sistemas 
simples rígidos la condición de rigidez no varía. 
Veamos la condición de isostaticidad, ambos sistemas analizados se pueden 
considerar como una chapa sola rígida, por lo tanto el nº de vínculos externos necesario 
debe ser tres y recordando que: 
I = E I = b + Re y E = 2n 2n = b + Re 
Caso de la FIG. 63: 
 n = 7; b = 11 2 x 7 = 11 + 3 
Caso de la FIG. 64: 
 n = 11; b = 19 2 x 11 = 19 + 3 
b = 2n - 3
b = 2n - 3
FIG. 65 
FIG. 64 
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Si fuera un sistema compuesto como el de la FIG: 65 que es una cadena cinemática 
abierta de dos chapas hay que recordar que el nº de grados de libertad externos que hay que 
considerar es C + 2 
b = 10 n = 7 2 x 7 = 10 + 4 
Con la condición de isostaticidad ocurre lo mismo que con la condición de rigidez 
Reticulados Complejos. 
Consideremos la cadena cinemática cerrada de la FIG. 66, 
tendrá 5 grados de libertad externas igual al nº de chapas o barras 
en este caso. Nos interesa transformarlo en un reticulado rígido de 
una sola chapa, si eliminamos 2 grados de libertad externos 
colocando 2 barras como muestra la FIG. 67 tendremos un 
reticulado complejo. 
Veamos si cumple la condición de rigidez de los reticulados: 
b = 7; n = 5 7 = 2 x 5 – 3 
Si hubiésemos agregado una barra más el sistema seria estable pero con barras 
superabundantes y no sería isostático. 
Si hubiésemos agregado una barra sola sería un sistema variante FIG.68 
 
 
 
 
 
HIPÓTESIS DE CÁLCULO 
Para determinar los esfuerzos que se originan en las barras se formulan dos hipótesis 
que, con la suficiente aproximación, permiten abordar el cálculo con sencillez. 
Primera hipótesis: las barras se encuentran articuladas en los nudos. 
Segunda hipótesis: las fuerzas exteriores actúan solamente en los nudos. 
Cuando sobre un elemento actúan sólo dos fuerzas la condición de equilibrio 
establece que las mismas deben tener la misma recta de acción ser de igual magnitud y 
sentido contrario, por las hipótesis establecidas las cargas actuarán sobre el eje longitudinal 
de la barra ya que las fuerzas concurrentes 
en los nudos tendrán una resultante S 
cumpliendo con la condición de 
isostaticidad que establece una incógnita 
por barra. 
S S 
FIG. 69 
FIG. 66 
FIG. 67 FIG. 68 
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