0690319

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO
FACULTAD DE CIENCIAS
INTRODUCIR “CRANKING” EN EL MODELO
SEMIMICROSCÓPICO DE CÚMULOS
NUCLEARES Y TRANSICIONES DE FASE
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
FÍSICO
P R E S E N T A:
GIOVANI ERICK MORALES HERNÁNDEZ
DIRECTOR DE TESIS:
DR. PETER OTTO HESS BECHSTEDT
2012
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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Hoja de Datos del Jurado
1. Datos del alumno
Morales
Hernández
Giovani Erick
5539258132
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
F́ısica
303103611
2. Datos del tutor
Dr
Peter Otto
Hess
Bechstedt
3. Datos del sinodal 1
Dr
Roelof
Bijker
Bijker
4. Datos del sinodal 2
Dra
Myriam
Mondragón
Ceballos
5. Datos del sinodal 3
Dr
Huitzilin
Yépez
Mart́ınez
6. Datos del sinodal 4
Dr
Enrique
López
Moreno
7. Datos del trabajo escrito
Introducir “cranking” en el modelo semimicroscópico de cúmulos nucleares y
transiciones de fase
-
125p
2012
2
Índice general
1. Objetivo. 5
2. Introducción. 6
3. Descripción del Modelo Fenomenológico Algebraico de Cúmu-
los (PACM) y del Modelo Semimicroscópico Algebraico de Cúmu-
los (SACM). 9
4. Estados coherentes y transiciones de fase para el PACM
y el SACM. 19
4.1. El Modelo Fenomenológico Algebraico de Cúmulos (PACM). . . 19
4.1.1. Estado coherente para el PACM. . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.2. Enerǵıa potencial para el PACM. . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2. El Modelo Semimicroscópico Algebraico de Cúmulos (SACM). . . 33
4.2.1. Estado coherente para el SACM. . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2.2. Enerǵıa potencial para el SACM. . . . . . . . . . . . . . . 34
5. Ajuste de los parámetros de interacción para el sistema
16O+�→20Ne. 46
6. Transiciones de fase en el PACM y en el SACM con “cranking”. 49
6.1. Estudio de las transiciones de fase en PACM con “cranking” para
el caso del sistema
16O+�→20Ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2. Estudio de las transiciones de fase en SACM con “cranking” para
el caso del sistema
16O+�→20Ne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7. Conclusión y futuro. 52
A. Grupos unitarios. 54
B. El modelo de vibrones. 61
3
C. Presentación general de los estados coherentes. 64
C.1. Estados coherentes estándar. El oscilador armónico unidimensional. 64
C.2. El Modelo Fenomenológico Algebraico de Cúmulos (PACM). . . 68
C.2.1. Estado coherente para el PACM. . . . . . . . . . . . . . . 68
C.3. El Modelo Semimicroscópico Algebraico de Cúmulos (SACM). . . 69
C.3.1. Estado coherente para el SACM. . . . . . . . . . . . . . . 69
D. El método del “cranking”. 70
E. Transiciones de fase con “cranking”. 74
E.1. Definición de transición de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
E.2. Transiciones de fase y su relación con F́ısica Nuclear. . . . . . . . 74
E.2.1. Transiciones de fase térmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . 74
E.2.2. Transiciones de fase cuánticas. . . . . . . . . . . . . . . . 75
E.3. Determinación de las transiciones de fase con “cranking” y su
orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
E.4. Transiciones de fase para el PACM con “cranking” (caso general). 77
E.4.1. Transición de la Región I a la Región II . . . . . . . . . . 80
E.4.2. Transición de la Región III a la Región IV para B ≤ 0 . . 81
E.5. Transiciones de fase para el SACM con
“cranking” (caso general). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
F. Cálculo expĺıcito de los valores de expectación en PACM. 85
G. Cálculo expĺıcito de los valores de expectación en SACM. 91
H. Cálculo expĺıcito de los valores de expectación de ⟨L̂x⟩ y ⟨L̂2⟩
para el PACM y el SACM. 102
H.1. Cálculo expĺıcito de los valores de
expectación de ⟨L̂x⟩ y ⟨L̂2⟩ para el PACM. . . . . . . . . . . . . . 103
H.2. Cálculo expĺıcito de los valores de
expectación de ⟨L̂x⟩ y ⟨L̂2⟩ para el SACM. . . . . . . . . . . . . . 107
I. Cálculo expĺıcito de L̂x y L̂
2 en términos de � para el PACM y
el SACM. 110
J. Cálculos expĺıcitos importantes relacionados al PACM. 113
K. Cálculos expĺıcitos importantes relacionados al SACM. 117
4
Caṕıtulo 1
Objetivo.
El objetivo principal de esta tesis es estudiar las Transiciones de Fase (entre
las simetŕıas SU(3) y SO(4)) con “cranking” para un núcleo ligero formado por
2 cúmulos esféricos. El núcleo ligero sera descrito mediante dos modelos alge-
braicos como lo son: El Modelo Fenomenológico Algebraico de Cúmulos (PACM,
por sus siglas en inglés) el cual no toma en cuenta el principio de exclusión de
Pauli y el Modelo Semimicroscópico Algebraico de Cúmulos (SACM, por sus
siglas en inglés) que si toma en cuenta el principio de exclusión de Pauli. Para
ambos modelos se realizará un estudio sobre las Transiciones de Fase y se dis-
cutirán los resultados obtenidos.
5
Caṕıtulo 2
Introducción.
Los Modelos de Cúmulos Algebraicos como el Modelo Fenomenológico Alge-
braico de Cúmulos (PACM, por sus siglas en inglés) y el Modelo Semimicroscópi-
co Algebraico de Cúmulos (SACM, por sus siglas en inglés) fueron propuestos
para la descripción de núcleos ligeros considerando que estos pueden estar con-
formados por dos cúmulos nucleares separados entre si [1,2]. El Modelo de Vi-
brones pertenece al grupo del PACM [3,4] mientras que SACM [1,2] pertenece
al grupo de modelos semimicroscópicos. Una descripción más detallada de am-
bos modelos, se dará a conocer en los siguientes caṕıtulos. En términos gen-
erales, la mayor diferencia entre ambos modelos es que en el SACM se toma
en cuenta el Principio de Exclusión de Pauli, mientras que en el PACM no. En
nuestro caso, utilizaremos estos dos modelos algebraicos para poder describir al
sistema 16O+� →20Ne. Este sistema tiene la peculiaridad de estar conforma-
do por dos cúmulos que son esféricos. En ambos modelos, nos restringimos a
ciertas simetŕıas dinámicas (casos ĺımite), por lo que el Hamiltoniano que rep-
resenta al sistema, será puesto en términos de ciertos operadores invariantes
llamados operadores de Casimir que son obtenidos a partir de ciertas cadenas
de grupos. Una desventaja por parte de los modelos algebraicos es que es dif́ıcil
visualizar las propiedades geométricas de los cúmulos. Para poder analizar estas
propiedades, se opta por un mapeo geométrico para ambos modelos algebraicos,
utilizando el método de estados coherentes [5].
Los Estados Coherentes no solamente han sido aplicados al IBA (Interact-
ing Boson Approximation, por sus siglas en inglés) o a moléculas [6,7], sino
que también a otros modelos algebraicos, los cuales tienen un origen dentro
del modelo de capas. En [8] el mapeo geométrico, usando el método de estados
coherentes vectorial [9], fue aplicado, mapeando del modelo pseudo-simpléctico
[10] al modelo geométrico del núcleo [11]. El mapeo geométrico es de gran uso
para el cálculo de espectros nucleares [12,13] y para predecirlos en el caso de
núcleos super pesados [14]. En [15], el método de estados coherentes fue usado
para obtener el mapeo geométrico del Modelo Semimicroscópico Algebraico de
Cúmulos (SACM) [1,2].
6
El valor esperado del Hamiltoniano algebraico con respecto al estado coher-
ente es mejor conocido como el Potencial Semi-Clásico [16]. A través del com-
portamiento de estepotencial, como una función en un espacio de parámetros
(parámetros que controlan la transición de una simetŕıa a otra) las transiciones
de fase, aśı como su orden pueden ser estudiados, investigando los efectos que
causa el principio de exclusión de Pauli, para el caso del SACM.
El interés del mapeo geométrico, usando estados coherentes no se ha per-
dido. Una de las principales razones es que sistemas de muchas part́ıculas en
conjunción con las transiciones de fase pueden ser fácilmente tratados.
En años recientes, las transiciones de fase en moléculas atómicas y nucleares
fueron investigadas [17,18,19,20], con la ayuda del método de estados coherentes.
El tipo de cambio de fase discutidos ah́ı, importante para el contexto de estudios
presentados en esta contribución, está relacionado al ĺımite SU(3) y SO(4) y
las transición entre ellos en una molécula, la cual puede consistir de dos átomos
o dos núcleos. Nosotros nos limitaremos a 2 cúmulos descritos por los modelos
algebraicos como lo son el PACM y el SACM. Aunque hay mucha investigación
en transiciones de fase para el PACM, la aplicación actual a núcleos es muy rara.
Sólo en [21], en los inicios del Modelo de Vibrones, y en [22] hemos encontrado
aplicaciones a sistemas de cúmulos nucleares.
Hay una forma que se puede considerar como una extensión para tratar
Hamiltonianos dentro y fuera de simetŕıas dinámicas. Nos referimos al méto-
do del “cranking” [23,24] el cual impone rotaciones al sistema, esto nos per-
mitirá generar bandas de enerǵıa rotacionales y nos permitirá un cálculo de
momentos de inercia. Cambios en el comportamiento rotacional están relaciona-
dos con transiciones de fase cuánticas para estados excitados, de las cuales se
hablará de una forma más detallada en el apéndice E. De esta manera, el método
del “cranking”, no sólo nos permite estudiar diferentes transiciones de fase sino
que también nos da gran información del espectro y de los momentos de inercia.
El formalismo del “cranking” ha sido aplicado [31,32] al IBA (Interacting Boson
Approximation, por sus siglas en inglés) [25].
El presente trabajo tiene la siguiente estructura:
En el caṕıtulo 3: Se da una explicación general de los modelos de cúmulos
algebraicos PACM y SACM. En este caṕıtulo también se propone un Hamilto-
niano para un sistema de dos cúmulos esféricos con “cranking”.
En el caṕıtulo 4: Para ambos modelos (PACM y SACM) se introducirán los
estados coherentes respectivos para poder hacer el mapeo geométrico de estos
modelos algebraicos de cúmulos de tal manera que al tomar el valor esperado
del Hamiltoniano para dos cúmulos esféricos con “cranking”, podamos obtener
una Superficie de Enerǵıa Potencial (PES, por sus siglas en inglés) o potencial
7
semi-clásico.
En el caṕıtulo 5: Se da el ajuste de parámetros de interacción para el sistema
16O+�→20Ne.
En el caṕıtulo 6: Dada la superficie de enerǵıa potencial obtenida para el
PACM y el SACM en el caṕıtulo 4, se muestra un estudio computacional de las
transiciones de fase para ambos modelos y se aplica al sistema de 16O+�→20Ne
utilizando el ajuste dado en el caṕıtulo 5. Se presenta una discusión de los re-
sultados obtenidos.
En el caṕıtulo 7: Por último, se darán las conclusiones de todo el trabajo
realizado en esta tesis, además se plantean las posibles aplicaciones futuras.
8
Caṕıtulo 3
Descripción del Modelo
Fenomenológico Algebraico
de Cúmulos (PACM) y del
Modelo Semimicroscópico
Algebraico de Cúmulos
(SACM).
Hoy en d́ıa se cuentan con diferentes modelos para la descripción de molécu-
las y cúmulos. A principios de los ochenta un modelo fenomenológico algebraico
de cúmulos mejor conocido como el Modelo de Vibrones (VM por sus siglas en
inglés) fue introducido para la descripción de estados quasi-moleculares y esta-
dos de cúmulos [3].
En su forma original, el VM tiene una estructura de grupo U(4) para tomar
en cuenta el movimiento relativo de un sistema de 2 cúmulos. Sus aplicaciones
se encuentran en el área de sistemas de núcleos ligeros [40-42] y otros sistemas
moleculares atómicos. Al ser combinado con un modelo de bosones interactu-
antes o con un modelo de fermiones interactuantes, se logro una descripción de
los grados de libertad internos de los cúmulos, por lo que el enfoque algebraico
permitió describir sistemas de cúmulos más complicados, incluyendo ejemplos
de núcleos pesados [4].
Por muchos años, varios métodos de teoŕıa de grupos han sido utilizados
para el estudio de cúmulos, pero la relación entre el enfoque fenomenológico
y microscópico no ha quedado clara. En otras palabras, faltaba el fundamento
9
microscópico del VM y sus extensiones.
La aplicación del VM a algunas bandas de cúmulos bien establecidas para
núcleos ligeros, muestran la necesidad de modificar las suposiciones del espacio
modelo [2] y el factor espectroscópico de cúmulo [2,22]. El VM parece ser que
funciona en la descripción de cúmulos pero sigue mostrando problemas en la
construcción de estados, por ejemplo en el ĺımite de SO(4) con L = 0 (definido
en el apéndice B), el valor esperado para el operador n̂� =
(
�̂† ⋅ �̂
)
conm = 0,±1
es dado por [43]:
⟨n̂�⟩ =
N − 1
2
(3.1)
El problema es que cuando N aumenta, la estructura de los estados cambia,
implicando no convergencia de los mismos. La descripción completa del VM se
da en el apéndice B de éste trabajo.
Con la modificación del sector de movimiento relativo en la parte de en-
foque fenomenológico los sistemas de dos cúmulos doblemente mágicos pod́ıan
describirse razonablemente bien, sin embargo, el espacio del modelo todav́ıa no
era apto para otros sistemas de cúmulos [2]. Para superar estas dificultades se
propuso un enfoque semimicroscópico algebraico a los problemas de cúmulos
nucleares [2].
En el Modelo de Vibrones y sus extensiones, en conjunto mejor conocidos
como el Modelo Fenomenológico Algebraico de Cúmulos (PACM por sus siglas
en ingles), la estructura de grupo muestra dos vertientes. No sólo los estados
base están caracterizados por las etiquetas de la representación de los grupos
sino que también las interacciones se expresan en términos de los operadores del
grupo. Este método nos lleva a una simplificación más: para casos especiales se
pueden obtener las soluciones anaĺıticas del problema de eigenvalores y para el
caso general la matriz de ecuaciones que hay que resolver no tiene una dimensión
demasiado grande. Uno de los posibles conjuntos de bases para la descripción
del movimiento relativo se obtiene por medio del grupo SU(3). Este enfoque es
fácil de aplicar pero sus funciones de onda no están antisimetrizadas.
La conexión entre la descripción fenomenológica y microscópica esta dada
por la presencia del grupo SU(3), es decir, mediante la aplicación del oscilador
armónico base. A partir de esta conexión, el Modelo Semimicroscópico Alge-
braico de Cúmulos (SACM por sus siglas en ingles) toma en cuenta el principio
de exclusión de Pauli y la interacción cúmulo - cúmulo se expresa en términos
de los generadores del grupo.
Para el PACM y el SACM es elegido el modelo de Elliot SU(3) [33] para la
descripción de cúmulos individuales. En principio uno también podŕıa utilizar
el IBA [25], como se realiza en muchos modelos algebraicos de cúmulos [4]. Es
elegida esta posibilidad porque en el SACM (y el PACM) los cúmulos tienen
que ser descritos dentro del modelo de capas que se representa apropiadamente
10
por el mismo modelo de Elliot.
Por todo lo anterior, se considera que el movimiento relativo se describe por
medio del modelo de vibrones mientras que los grados internos de libertad (es-
tructura interna) se tratan en términos del modelo de capas del SU(3) y los
estados prohibidos de la base acoplada SU(3) se exluyen.
Como se puede ver en el apéndice B donde se hace referencia al VM, para el
SACM se puede realizar una misma construcción en términos de operadores(vec-
toriales de esṕın 1 y escalares de esṕın 0) de creación y aniquilación bosónicos.
Como los grados internos de libertad se pueden entender en términos del modelo
de capas del oscilador armónico, entonces los grados de libertad vendŕıan siendo
oscilaciones en 3 dimensiones las cuales pueden ser descritas en términos de los
operadores bosónicos vectoriales �̂�(� = 0,±1).
Hablando ahora de los operadores bosónicos escalares para el SACM, mejor
conocidos como operadores �̂, estos tienen la finalidad de establecer un corte
para mantener constante el número de bosones totales N̂ = n̂� + n̂�.
Hay ciertas condiciones que los operadores bosónicos vectoriales y escalares
cumplen:
1. La componente contravariante del operador de aniquilación es relacionada
con la componente covariante mediante:
�̂m = (−1)1−m�̂−m (3.2)
Algo parecido ocurriŕıa con �̂†m.
2. Las relaciones de conmutación para los operadores bosónicos (vectoriales
y escalares) de creación y aniquilación son:
[�̂m′ , �̂†m] = �
m′
m [�̂, �̂
†] = 1 (3.3)
Dada la construcción anterior en términos de operadores bosónicos de creación
y aniquilación, uno puede construir con ellos a los generadores del grupo Û(3)
y Û(4):
Generadores de Û(3)
�̂†m�̂
m
′
(3.4)
Generadores adecionales para Û(4)
�̂†m�̂
m
′
�̂†m�̂ �̂
†�̂m �̂†�̂ (3.5)
11
En el lenguaje de teoŕıa de grupos, el SACM (aśı como el PACM) para dos
cúmulos está descrito por la siguiente estructura de grupos:
SUC1(3) ⊗ SUC2(3) ⊗ SUR(3) ⊃
∣ (�1, �1) (�2, �2) (n�, 0)
⊃ SUC(3) ⊗ SUR(3) ⊃
(�C , �C) (n�, 0)
⊃ SU(3) ⊃ SO(3) ⊃ SO(2)
(�, �) �L M ⟩
(3.6)
Aqúı (�k, �k) se refiere a la representación irreducible de SUCk del k-ésimo
cúmulo, (�, �) es la representación irreducible de SU(3), (�C , �C) es la repre-
sentación irreducible de SUC(3), mientras que L es el momento angular total,
M la proyección del mismo y n� es el número de quantas de oscilación relativas.
En el caso de �, esta es utilizada para distinguir ocurrencias múltiples de una
L en (�, �). La cadena anterior puede ser utilizada para la clasificación de los
estados del SACM y del PACM.
Como podemos observar en la ecuación (3.6), los estados base del SACM
(y del PACM) se caracterizan por tener como etiquetas a las representaciones
irreducibles (números cuánticos) propias de cada grupo. En términos de repre-
sentaciones irreducibles, lo que se está realizando es un acoplamiento de repre-
sentaciones irreducibles (�k, �k) pertenecientes a SUCk(3) con la representación
irreducible (n�, 0) perteneciente a la parte relativa SUR(3). Dicho acoplamiento
resulta en un conjunto de representaciones irreducibles totales (�, �) (tomando
en cuenta el principio de exclusión de Pauli para el SACM, pero no aśı para el
PACM). Entonces, dado el acoplamiento de representaciones irreducibles para
2 cúmulos, se obtiene que:
(�1, �1)⊗ (�2, �2)⊗ (n�, 0) =
∑
(�,�)
m1,2�,�(�, �) (3.7)
Como se dijo anteriormente, el SACM toma en cuenta principio de exclusión
de Pauli, pero para esto es necesario imponer una condición mı́nima que nos
garantice un mı́nimo de cuantas de oscilación relativas, a dicha condición se le
llama Condición de Wildermuth. De esta manera, para el SACM hay un número
mı́nimo de cuantas n0 de oscilación relativa mientras que en el PACM el número
mı́nimo de cuantas de oscilación relativa n0 es cero (ya que no toma en cuenta
el principio de exclusión).
Una vez que se han obtenido las representaciones irreducibles totales, es-
tas últimas son comparadas con las representaciones irreducibles del Modelo de
Capas SU(3). Finalmente nos quedamos con las representaciones irreducibles
12
totales que coincidan con las representaciones irreducibles del Modelo de Ca-
pas. Las representaciones irreducibles que se obtuvieron son las pertenecientes
al Espacio de Hilbert considerado en el SACM.
De manera gráfica, lo que estamos haciendo es una intersección del Espacio
del Modelo de Capas con el Espacio Preliminar dado por la ecuación (3.7). El
espacio obtenido de la intersección es el espacio del modelo SACM.
 ESPACIO
PRELIMINAR
 ESPACIO DEL 
 MODELO DE 
 CAPAS
 ESPACIO MODELO
 DE SACM
Figura 3.1: Representación gráfica de la intersección entre el espacio preeliminar
y el espacio del modelo de capas.
Un ejemplo t́ıpico de aplicación del SACM es sobre el núcleo 20Ne descrito
por el sistema de dos cúmulos 16O y � (16O+� →20Ne) los cuáles se toman
como cúmulos esféricos sin estructura. Esto es sólo una definición porque como
sabemos, cada uno de estos cúmulos esta conformado por nucleones. A contin-
uación se muestran los diagramas de ocupación de capas correspondientes a los
núcleos 16O y � para el sistema unido 20Ne.
Figura 3.2: Modelo de Capas para cúmulos individuales (16O,�) y para el sistema
unido (20Ne).
13
Del anterior diagrama se puede observar que para el 16O, el número total
de cuantas en el modelo de capas es 12 ya que 4 ⋅ 0 + 12 ⋅ 1 = 12. Para el caso
de la part́ıcula �, el número total de cuantas en el modelo de capas es 0 ya que
4 ⋅ 0 = 0. De ambos casos se obtiene un total de 12 cuantas de oscilación. Si
ahora se toma el caso del sistema de cúmulos unido 20Ne, el número de cuantas
de oscilación total es 20 ya que 4 ⋅ 0 + 12 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 = 20. La diferencia entre el
número total de cuantas de oscilación relativas de los sistemas individuales 16O
y � y el sistema de cúmulos unido 20Ne es 8.
De lo anterior, llegamos a la conclusión que para que exista el sistema 20Ne
(con sus 20 cuantas en el modelo de capas), es necesario añadir 8 cuantas como
mı́nimo. Si se añadieran menos de 8 cuantas (digamos 7 cuantas), significaŕıa
que para que pudiera existir el sistema 20Ne, se tendŕıa al menos un nucleón en
un estado que se encuentra ya en su máxima ocupación, violando aśı el Principio
de Exclusión de Pauli.
Figura 3.3: Violación del Principio de Exclusión de Pauli.
Por lo tanto, para que exista el sistema 20Ne con sus 20 cuantas de oscilación,
es necesario un mı́nimo n0 = 8 de cuantos de oscilación relativa. Dicha condición
se conoce como la Condición de Wildermuth.
Como se puede observar en el apéndice B, para el caso del VM, general-
mente los operadores de cantidades f́ısicas (como el Hamiltoniano) pueden ser
expresados en términos de un acoplamiento hasta cierto orden de los gener-
adores del grupo, por lo que el problema de eigenvalores es resuelto por diag-
onalización numérica. Sin embargo, es muy importante el caso ĺımite, llamado
simetŕıa dinámica.
Para el modelo del SACM (o del PACM), si sólo tomamos en cuenta la parte
del movimiento relativo, encontraremos que hay dos casos ĺımites que presentan
soluciones anaĺıticas. Dichas simetŕıas dinámicas son la simetŕıa dinámica de
SU(3) y la simetŕıa dinámica de SO(4). La cadena de grupo que corresponde a
cada simetŕıa dinámica se muestra a continuación:
14
SIMETRÍA DINÁMICA SU(3)
UR(4) ⊃ SUR(3) ⊃ SOR(3) ⊃ SOR(2)
[N, 0, 0, 0] (n�, 0) LR MR
(3.8)
n� = N,N − 1, . . . , 1, 0
LR = n�, n� − 2, . . . , 1 o 0
MR = LR, LR − 1, . . . ,−LR
SIMETRÍA DINÁMICA SO(4)
UR(4) ⊃ SOR(4) ⊃ SOR(3) ⊃ SOR(2)
[N, 0, 0, 0] (!, 0) LR MR
(3.9)
! = N,N − 2, . . . , 1 o 0
LR = !, ! − 1, . . . , 1, 0
MR = LR, LR − 1, . . . ,−LR
El ĺımite SU(3), corresponde a la vibración del sistema alrededor de una for-
ma de equilibrio esférica (para el PACM), mientras que el ĺımite SO(4) describe
la deformación dipolar estática. Se muestra en la Figura 3.4 para los modelos
del PACM y del SACM, los ĺımites de SU(3) y SO(4) de forma grafica.
15
Figura 3.4: Representaciones gráficas de las simetŕıas SU(3) y SO(4) para los
modelos del PACM y del SACM. Como se puede ver, para SACM hay una
distancia mı́nima entre los centros de los cúmulos obtenida a partir del número
mı́nimo de cuantas relativas presentes en este modelo (r0 ≈
√
n0) [15].
Un sistema cuántico puede ser representado por un Hamiltoniano. Dicho
Hamiltoniano puede ser invariantebajo un algebra g = {gi} si [H, gi] = 0, de
este modo, se dice que el sistema tiene una simetŕıa descrita por dicha algebra g.
Si en vez de considerar un algebra, se considera una cadena de algebras, se puede
introducir el concepto de simetŕıa dinámica. Cuando es tomada en cuenta una
simetŕıa dinámica, el Hamiltoniano se puede expresar en términos de operadores
invariantes (operadores de Casimir) pertenecientes a la cadena de algebras. Para
nuestro caso, utilizaremos un Hamiltoniano que es la suma de Hamiltonianos
descritos por la simetŕıas dinámicas de SU(3) y de SO(4), a cada uno de los
Hamiltonianos propios de una simetŕıa dinámica, los multiplicaremos por una
función que depende de la variable x. El Hamiltoniano que se usará describe un
sistema de 2 cúmulos esféricos, que se aplicará al sistema nuclear 16O+�→20Ne.
Dicho Hamiltoniano puede expresarse como:
16
Ĥ = xĤSU(3) + (1− x)ĤSO(4) (3.10)
donde
ĤSU(3) = ℏ!n̂� + (a− bΔn̂�)Ĉ2(�, �) + �L̂2 (3.11)
ĤSO(4) =
c
4
[(�̂† ⋅ �̂†)− (�̂†)2][(�̂ ⋅ �̂)− (�̂)2] + �L̂2 (3.12)
Donde Δn̂� = n̂� − n0, n̂� =
(
�̂† ⋅ �̂
)
=
∑
m �̂
†
m�̂
m con m = 0,±1 y n0 es
el número mı́nimo de quantas. Recordemos que para el PACM n0 = 0 y para el
SACM n0 ∕= 0. El resultado de aplicar el segundo operador de Casimir de SU(3)
a un estado ∣ ⟩ (cualquier estado perteneciente a un multiplete, en especial, un
estado de mı́nimo peso) es:
Ĉ2(�, �) ∣ ⟩ = (�2 + �2 + ��+ 3�+ 3�) ∣ ⟩ (3.13)
Para el caso de dos cúmulos esféricos (con (�k, �k) = (0, 0), (�C , �C) = (0, 0)
y (�, �) = (n�, 0)), el operador de Casimir de segundo orden para SU(3) esta
dado por n̂�(n̂� + 3), es decir, Ĉ2(�, �) = Ĉ2(n�, 0) = n̂�(n̂� + 3).
El operador de momento angular total coincide en este caso con el del
movimiento relativo, es decir, L̂2 = L̂2R donde R denota movimiento relativo.
El operador L̂2, en términos de los operadores L̂± y L̂0, puede ser expresado
como:
L̂2 =
1
2
(L̂+L̂− + L̂−L̂+) + L̂
2
0 (3.14)
Las definiciones para L̂+, L̂− y L̂0 están dadas por:
L̂+ = −2[�̂† ⊗ �̂]1+1
L̂− = 2[�̂
† ⊗ �̂]1−1
L̂0 =
√
2[�̂† ⊗ �̂]10 (3.15)
con
[�̂† ⊗ �̂][S]m =
∑
m1m2
(1m11m2∣Sm)�̂†m1 �̂m2 =
=
∑
m1m2
(1m11m2∣Sm)�̂†m1(−1)
1−m2 �̂−m2 (3.16)
Esto es visto con más detenimiento en el apéndice H.
En ĤSU(3) se encuentran términos de interacción de tres cuerpos del tipo
Δn̂�n̂
2
�. Dicho término es de gran importancia para la estabilización del espec-
tro. Para obtener un espectro estable, el parámetro a tiene que ser negativo al
17
igual que el parámetro b. El término ℏ! se fija como (45A− 13−25A− 23 )[34] y para
el sistema 16O+�→20Ne tenemos que ℏ! = 13.2MeV. En cuanto al parámetro
de control x, este vaŕıa entre 0 y 1, lo que indica que x = 0 corresponde al ĺımite
SO(4) mientras que x = 1 corresponde al ĺımite SU(3).
La introducción del “cranking” en los modelos del PACM y del SACM se
realiza sumando el término −ΩL̂x siendo Ω la frecuencia rotacional del sistema
de dos cúmulos. El Hamiltoniano obtenido es el siguiente:
ℋ̂ = Ĥ− ΩL̂x (3.17)
Este Hamiltoniano describe una rotación alrededor del eje x, el cual es per-
pendicular al eje z que conecta a ambos cúmulos. El operador L̂x, en términos
de los operadores L̂± y L̂0, puede ser expresado como:
L̂x =
1
2
(L̂+ + L̂−) (3.18)
con las mismas definiciones para L̂+ y L̂− vistas en (3.15).
Desarrollando y juntando términos comunes, se encuentra que el Hamiltoni-
ano (3.17) puede expresarse como:
ℋ̂ = x
{
(ℏ! + 3a+ 3bn0)n̂� + [a− b(3− n0)]n̂2� − bn̂3�
}
+ �L̂2 + (1− x) c
4
{
(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)− (�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)− (�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)
}
+ (1− x) c
4
{
(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)
}
− ΩL̂x (3.19)
El Hamiltoniano (3.19) y el uso del método de estados coherentes (que
será visto con más detenimiento en el apéndice C), serán importantes para la
obtención del potencial para nuestro sistema de cúmulos rotantes. El potencial
al que nos estamos refiriendo se define como:
V (�) = ⟨�∣ℋ̂∣�⟩ (3.20)
donde � representa la medida de la distancia entre cúmulos.
El potencial (3.20), como se verá más adelante en el caṕıtulo 4, lo caracteriza
la siguiente forma:
V (�) = KṼ (�) (3.21)
donde K es una contante.
A Ṽ (�) se le define como Potencial Efectivo y será suficiente, como se verá en
el Caṕıtulo 6, para poder hacer el análisis correspondiente de las Transiciones
de Fase para los modelos del PACM y del SACM con “cranking”.
18
Caṕıtulo 4
Estados coherentes y
transiciones de fase para el
PACM
y el SACM.
En este caṕıtulo se definirán los Estados Coherentes (estados de prueba)
para los modelos del PACM y del SACM. Los Estados Coherentes son de gran
ayuda para obtener los valores de expectación (con respecto a dichos Estados
Coherentes) del Hamiltoniano (3.19). De esta manera podemos obtener el mapeo
geométrico para los modelos del PACM y del SACM . (Los cálculos expĺıcitos
realizados para los estados coherentes se pueden ver en los apéndices F, G, H e
I).
4.1. El Modelo Fenomenológico Algebraico de
Cúmulos (PACM).
A continuación se muestra el estado coherente utilizado y el mapeo geométri-
co para el PACM.
4.1.1. Estado coherente para el PACM.
Nos concentraremos en la parte de movimiento relativo de este modelo, de
esta manera, el estado coherente para el PACM es [5,15]:
∣�⟩ = NN [�̂† + (� ⋅ �̂†)]N ∣0⟩ (4.1)
El estado coherente conjugado para el PACM es:
⟨�∣ = NN ⟨0∣[�̂ + (�∗ ⋅ �̂)]N (4.2)
19
donde
NN =
1√
N !(1 + (� ⋅ �))N
(4.3)
es la constante de normalización.
y (
� ⋅ �̂†
)
=
∑
m
�m�̂
†
m (�
∗ ⋅ �̂) =
∑
m
�∗m�̂
m (4.4)
Aqúı � es la notación corta para los coeficientes complejos �m(m = 1, 0,−1).
Es importante decir que el estado coherente (4.1) con coeficientes complejos �m
es la combinación lineal más general de los operadores bosónicos de creación
del PACM manteniendo N constante. También es importante decir que �m con
“cranking” es diferente del caso estático dado que en el caso del “cranking”:
�∗m = �−m (4.5)
4.1.2. Enerǵıa potencial para el PACM.
El principal objetivo de definir el estado coherente (4.1) es tomar el valor
esperado del Hamiltoniano (3.19) con respecto a dicho estado coherente, obte-
niendo aśı la superficie de enerǵıa potencial (por sus siglas en inglés, PES). La
PES se define como:
V (�) = ⟨�∣ℋ̂∣�⟩ (4.6)
De la ecuación (3.19), observamos que el valor esperado del Hamiltoniano
en el PACM está dado por:
V (�) = ⟨ℋ̂⟩ = ⟨�∣ℋ̂∣�⟩ = x
{
(ℏ! + 3a)⟨n̂�⟩+ [a− 3b]⟨n̂2�⟩ − b⟨n̂3�⟩
}
+ �⟨L̂2⟩+ (1− x) c
4
{
⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩ − ⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩ − ⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩
}
+ (1− x) c
4
{
⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩
}
− Ω⟨L̂x⟩ (4.7)
20
Los valores de expectación respecto al estado coherente (4.1) de los oper-
adores que aparecen en (4.7) son listados en la tabla 4.1.
⟨n̂�⟩ = N (�
∗⋅�)
[1+(�∗⋅�)]
⟨n̂2�⟩ = N
(�∗⋅�)
[1+(�∗⋅�)] +N(N − 1)
(�∗⋅�)2
[1+(�∗⋅�)]2
⟨n̂3�⟩ = N
(�∗⋅�)
[1+(�∗⋅�)] + 3N(N − 1)
(�∗⋅�)2
[1+(�∗⋅�)]2 +N(N − 1)(N − 2)
(�∗⋅�)3
[1+(�∗⋅�)]3
⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩ = N(N − 1) (�
∗⋅�̃∗)(�⋅�̃)
[1+(�∗⋅�)]2
⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩ = N(N − 1) (�
∗⋅�̃∗)
[1+(�∗⋅�)]2
⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩ = N(N − 1) (�⋅�̃)[1+(�∗⋅�)]2
⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩ = N(N − 1)− 2N2 (�
∗⋅�)
[1+(�∗⋅�)] + 2N
(�∗⋅�)
[1+(�∗⋅�)]
+N(N − 1) (�
∗⋅�)2
[1+(�∗⋅�)]2
⟨L̂x⟩ = N
{[�∗×�̃]1−1−[�∗×�̃]1+1}
[1+(�∗⋅�)]
⟨L̂2⟩ = 2N (�
∗⋅�)
[1+(�∗⋅�)] − 2
√
3N(N − 1) [
[�∗×�̃]1×[�∗×�̃]1]
0
0
[1+(�∗⋅�)]2
Tabla 4.1: Elementos de matriz relevantes en el modelo del PACM.
21
De esta manera, el potencial que se obtiene para el PACM en términos de
�, a partir de (4.7) y de la tabla 4.1 es:
V (�) = ⟨ℋ̂⟩ = ⟨�∣ℋ̂∣�⟩ = x(ℏ! + 3a)
[
N
(�∗ ⋅ �)
[1 + (�∗ ⋅ �)]
]
+ x(a− 3b)
[
N
(�∗ ⋅ �)
[1 + (�∗ ⋅ �)]
+N(N − 1) (�
∗ ⋅ �)2
[1 + (�∗ ⋅ �)]2
]
− xb
[
N
(�∗ ⋅ �)
[1 + (�∗ ⋅ �)]
+ 3N(N − 1) (�
∗ ⋅ �)2
[1 + (�∗ ⋅ �)]2
]
− xb
[
N(N − 1)(N − 2) (�
∗ ⋅ �)3
[1 + (�∗ ⋅ �)]3
]
+ �
⎡⎢⎣2N (�∗ ⋅ �)
[1 + (�∗ ⋅ �)]
− 2
√
3N(N − 1)
[
[�∗ × �̃]1 × [�∗ × �̃]1
]0
0
[1 + (�∗ ⋅ �)]2
⎤⎥⎦
+ (1− x) c
4
[
N(N − 1)(�
∗ ⋅ �̃∗)(� ⋅ �̃)[1 + (�∗ ⋅ �)]2
]
− (1− x) c
4
[
N(N − 1) (�
∗ ⋅ �̃∗)
[1 + (�∗ ⋅ �)]2
]
− (1− x) c
4
[
N(N − 1) (� ⋅ �̃)
[1 + (�∗ ⋅ �)]2
]
+ (1− x) c
4
[
N(N − 1)− 2N2 (�
∗ ⋅ �)
[1 + (�∗ ⋅ �)]
+ 2N
(�∗ ⋅ �)
[1 + (�∗ ⋅ �)]
]
+ (1− x) c
4
[
N(N − 1) (�
∗ ⋅ �)2
[1 + (�∗ ⋅ �)]2
]
− Ω
[
N
{
[�∗ × �̃]1−1 − [�∗ × �̃]1+1
}
[1 + (�∗ ⋅ �)]
]
(4.8)
Lo que se hace ahora es tomar un factor común que forma parte de cada uno
de los términos por los que está compuesto el potencial en PACM. Dicho factor
es N(N − 1)(N − 2)(−xb). Una vez hecho esto, se juntan términos comunes y
se nombran ciertos coeficientes Aij para simplificar la expresión del potencial.
De esta manera, el potencial (4.8) para el PACM en términos de � se puede
expresar como:
22
V (�) = N(N − 1)(N − 2)(−xb)
[
[A11(�
∗ ⋅ �)] 1
[1 + (�∗ ⋅ �)]
+
[
A12
(
[�∗ × �̃]1−1 − [�∗ × �̃]1+1
)] 1
[1 + (�∗ ⋅ �)]
+
[
A13(�
∗ ⋅ �)2 +A14
[
[�∗ × �̃]1 × [�∗ × �̃]1
]0
0
+A15 {(�∗ ⋅ �̃∗)(� ⋅ �̃)}
] 1
[1 + (�∗ ⋅ �)]2
−A15
{[
(�∗ ⋅ �̃∗) + (� ⋅ �̃)
]
− (�∗ ⋅ �)2 − (1 + (�∗ ⋅ �))2
} 1
[1 + (�∗ ⋅ �)]2
+
(�∗ ⋅ �)3
[1 + (�∗ ⋅ �)]3
]
(4.9)
donde los coeficientes Aij están listados en la tabla 4.2.
A11 =
[
x(ℏ!+4a−4b)+2�−(N−1)(1−x) c2
]
(N−1)(N−2)(−xb)
A12 = − Ω(N−1)(N−2)(−xb)
A13 =
x(a−6b)
(N−2)(−xb)
A14 = − 2
√
3�
(N−2)(−xb)
A15 =
(1−x) c4
(N−2)(−xb)
Tabla 4.2: Coeficientes Aij para el potencial dado por la ecuación (4.9).
Para obtener una simplificación del potencial de la ecuación (4.9), es nece-
sario tomar en cuenta una cierta parametrización. Esta parametrización con-
sidera una base cartesiana de los coeficientes �m, con (m = x, y, z). Estos se
relacionan con las componentes esféricas �m∗(m∗ = 1, 0,−1) mediante:
�±1 =
1√
2
(�x ± i�y)
�0 = �z (4.10)
usando:
�x = � cos(�) sin(�)
�y = � sin(�) sin(�)
�z = � cos(�) (4.11)
23
se obtiene:
�±1 =
�√
2
exp±i� sin(�)
�0 = � cos(�) (4.12)
Esta nueva parametrización tiene la siguiente propiedad.
�∗m = �−m (4.13)
También se usa la definición:
�̃m = (−1)1−m�−m (4.14)
De esta manera, obtenemos que:
(�∗ ⋅ �) =
∑
m
�∗m�m = �
2
(� ⋅ �̃) =
∑
m
�m�̃m = −�2 cos(2�)
(�∗ ⋅ �̃∗) =
∑
m
�∗m�̃
∗
m =
∑
m
(�m�̃m)
∗ = −�2 cos(2�){
[�∗ × �̃]1−1 − [�∗ × �̃]1+1
}
= �2 cos(�) sin(2�)[
[�∗ × �̃]1 × [�∗ × �̃]1
]0
0
= −�
4 sin2(2�)
2
√
3
(4.15)
Mas detalles de estas expresiones pueden consultarse en los apéndices H e I.
De este modo, a partir de (4.9) y de (4.15), se obtiene que el potencial para el
PACM en términos de �, � y � es:
V (�, �, �) = N(N − 1)(N − 2)(−xb)
[
B11
�2
[1 + �2]
+B12
�4
[1 + �2]2
+
�6
[1 + �2]3
+B13
{
1 + 2 cos(2�)
�2
[1 + �2]2
}]
(4.16)
donde los coeficientes Bij están listados en la tabla 4.3.
B11 =
{x(ℏ!+4a−4b)+2�−(1−x) c2 (N−1)−Ω cos(�) sin (2�)}
(N−1)(N−2)(−xb)
B12 =
{x(a−6b)+� sin2(2�)+(1−x) c4 [cos2(2�)+1]}
(N−2)(−xb)
B13 =
(1−x) c4
(N−2)(−xb)
Tabla 4.3: Coeficientes Bij para el potencial dado por la ecuación (4.16).
24
Para poder tener un potencial solamente en términos de funciones sin(2�),
es necesario tomar en cuenta que para B12 se cumple:
� sin2(2�) + (1− x) c
4
[cos2(2�) + 1] = (1− x) c
2
+ sin2(2�)[� − (1− x) c
4
] (4.17)
La igualdad (4.17) se mostrara en el apéndice J. Con lo anterior, obtenemos que
los coeficientes Bij que aparecen en la ecuación (4.16) pueden reescribirse de la
siguiente manera:
B11 =
{x(ℏ!+4a−4b)+2�−(1−x) c2 (N−1)−Ω cos(�) sin (2�)}
(N−1)(N−2)(−xb)
B12 =
{x(a−6b)+(1−x) c2 +sin2(2�)[�−(1−x) c4 ]}
(N−2)(−xb)
B13 =
(1−x) c4
(N−2)(−xb)
Tabla 4.4: Coeficientes Bij para el potencial dado por la ecuación (4.16), donde
se ha reescrito B12 de acuerdo a la ecuación (4.17).
Juntando los términos que tienen como factor común a
(1−x) c4
(N−2)(−xb) en (4.16)
y utilizando los coeficientes de la tabla 4.4 se obtiene:
V (�, �, �) = N(N − 1)(N − 2)(−xb)
[
C11
�2
[1 + �2]
+ C12
�4
[1 + �2]2
+
�6
[1 + �2]3
+ C13
{
1 + [2− sin2(2�)] �
4
[1 + �2]2
+ 2 cos(2�)
�2
[1 + �2]2
− 2 �
2
[1 + �2]
}]
(4.18)
donde los coeficientes Cij están listados en la tabla 4.5
C11 =
{x(ℏ!+4a−4b)+2�−Ω cos(�) sin (2�)}
(N−1)(N−2)(−xb)
C12 =
{x(a−6b)+� sin2(2�)}
(N−2)(−xb)
C13 =
(1−x) c4
(N−2)(−xb)
Tabla 4.5: Coeficientes Cij para el potencial dado por la ecuación (4.18).
25
Para obtener un potencial más fácil de manipular algebraicamente realizemos
el siguiente cambio de variable:
�2 =
�2
[1 + �2]
(4.19)
donde el rango de � es de 0 a 1, ya que el rango de � es de 0 a ∞.
De esta manera, el potencial (4.18) en términos de �, � y � puede escribirse
de la siguiente manera:
V (�, �, �) = N(N − 1)(N − 2)(−xb)
[
C11�
2 + C12�
4 + �6
]
+N(N − 1)(N − 2)(−xb)
[
C13([cos(2�)− 1]�2 + 1)2
]
(4.20)
donde se uso la igualdad:
1 + [2− sin2(2�)] �
4
[1 + �2]2
+ 2 cos(2�)
�2
[1 + �2]2
− 2 �
2
[1 + �2]
=
= ([cos(2�)− 1]�2 + 1)2 (4.21)
La igualdad (4.21) se muestra en el apéndice J. De la ecuación (4.20), toman-
do en cuenta que:
([cos(2�)− 1]�2 + 1)2 = [cos(2�)− 1]2�4 + 2[cos(2�)− 1]�2 + 1
podemos redefinir a (4.20) agrupando términos con � del mismo orden. En-
tonces, el potencial que obtenemos es:
V (�, �, �) = N(N − 1)(N − 2)(−xb)
[
D11�
2 +D12�
4 + �6 +D13
]
(4.22)
donde los nuevos coeficientes Dij para (4.22) se muestran en la tabla 4.6:
D11 = C11 + C132[cos(2�)− 1] =
=
x(ℏ!+4a−4b)+2�−Ω cos(�) sin (2�)+(1−x) c2 (N−1)[cos(2�)−1]
(N−1)(N−2)(−xb)
D12 = C12 + C13[cos(2�)− 1]2 =
x(a−6b)+� sin2(2�)+(1−x) c4 [cos(2�)−1]
2
(N−2)(−xb)
D13 = C13 =
(1−x) c4
(N−2)(−xb)
Tabla 4.6: Coeficientes Dij para el potencial dado por la ecuación (4.22).
26
Es conveniente tener un potencial tal que V (�, �, �) = 0 en � = 0, para esto,
es necesario restar el término N(N − 1)(N − 2)(−xb)D13 a (4.22). Restando
dicho término y usando para D12 que:
� sin2(2�) + (1− x) c
4
[cos(2�)− 1]2
= (1− x) c
2
[1− cos(2�)] + sin2(2�)[� − (1− x) c
4
] (4.23)
La igualdad (4.23) se mostrara en el apéndice J.
Utilizando este último resultado se obtiene:
V (�, �, �) = N(N − 1)(N − 2)(−xb)
[
E11�
2 + E12�
4 + �6
]
(4.24)
Donde los coeficientes Eij se muestran en la tabla 4.7:
E11 =
x(ℏ!+4a−4b)+2�−Ω cos(�) sin (2�)+(1−x) c2 (N−1)[cos(2�)−1]
(N−1)(N−2)(−xb)
E12 =
x(a−6b)−(1−x) c2 [cos(2�)−1]+sin
2(2�)[�−(1−x) c4 ]
(N−2)(−xb)
Tabla 4.7: Coeficientes Eij para el potencial dado por la ecuación (4.24).
Para poder hacer que nuestro potencial (4.24) dependa solamente de una
sola variable, en este caso la variable � (que es una medida de distancia entre
cúmulos), es necesario tomar condiciones sobre � y �. Lo anterior hara que el
potencial (4.24) se vuelva más fácil de manipular algebraicamente. Para poder
obtener condiciones sobre � y �, se minimiza (4.24) con respecto a dichas vari-
ables. Las condiciones que obtenemos sobre � y � son las siguientes:
∂V (�, �, �)
∂�
= NΩ sin(�) sin(2�)�2 = 0
⇒ sin(�) = 0⇒ � = 0⇒ cos(�) = 1 (4.25)
Dado que cos(�) = 1, entonces:
∂V (�, �, �)
∂�
= −N
(
(1− x)c(N − 1) sin(2�) + 2Ω cos(2�)
)
�2
+N(N − 1)
(
[4� − (1− x)c] sin(2�) cos(2�) + (1− x)c sin(2�)
)
�4 = 0
(4.26)
27
entonces:
⇒
(
− 2Ω cos(2�)− (1− x)c(N − 1) sin(2�)
)
�2
+
(
[4� − (1− x)c](N − 1) sin(2�) cos(2�) + (1− x)c(N − 1) sin(2�)
)
�4 = 0
(4.27)
Si hacemos un cambio de variable:
v = cos(2�)√
1− v2 = sin(2�) (4.28)
tenemos que (4.27) puede ser expresada como:
(A∗v +B∗
√
1− v2)�2 + (C∗v
√
1− v2 +D∗
√
1− v2)�4 = 0 (4.29)
donde A∗,B∗,C∗ y D∗ en (4.29) están definidos en la tabla 4.8.
A∗ = −2Ω
B∗ = −(1− x)c(N − 1)
C∗ = [4� − (1− x)c](N − 1)
D∗ = (1− x)c(N − 1)
Tabla 4.8: Coeficientes utilizados en la ecuación (4.29).
Haciendo un poco de algebra como se muestra con detenimiento en el apéndice
J, la ecuación (4.29) puede expresarse como:
Av4 +Bv3 + Cv2 +Dv + E = 0 (4.30)
donde A,B,C,D y E en (4.30) están definidos en la tabla 4.9.
28
A = C2∗�
4
B = 2C∗(D∗�
4 +B∗�
2)
C = −
[
(C2∗ −D2∗)�4 − 2B∗D∗�2 −B2∗ −A2∗
]
D = −2C∗(D∗�4 +B∗�2)
E = −
[
D2∗�
4 + 2B∗D∗�
2 +B2∗
]
Tabla 4.9: Coeficientes pertenecientes a la ecuación (4.30). Las definicionesde
A∗, B∗, C∗ y D∗ están dadas en la tabla (4.8).
La solución a la ecuación (4.30) para la variable v está dada por:
v = − B
4A
+
±s
√
p+ 2y ±t
√
−(3p+ 2y ±s 2qp+2y )
2
(4.31)
donde los dos ±s (uno frente a
√
p+ 2y y el otro frente a 2qp+2y ) deben tener el
mismo signo, ya que son dependientes. Para el caso de ±t, este es independiente
por lo que tenemos la libertad de escoger el signo que queramos. Los coeficientes
y, p, q pertenecientes a (4.31), son dados en la tabla 4.10. Los coeficientes y,
p, q, como se puede observar, dependen de los coeficientes A, B, C, D y E ya
definidos en la tabla 4.9. También en la tabla 4.10 se muestran otras definiciones
(R, S, U y V ), importantes para poder obtener el coeficiente y.
29
p = −3B
2
8A2 +
C
A
q = B
3
8A3 −
BC
2A2 +
D
A
w = −3B
4
256A4 +
CB2
16A3 −
BD
4A2 +
E
A
R = −p
2
12 − w
S = − p
3
108 +
pw
3 −
q2
8
U = 3
√
−S2 ±
√
S2
4 +
R3
27
V =
{
− R3U si U ∕= 0
− 3
√
S si U = 0
y = − 56p+ U + V
Tabla 4.10: Coeficientes que aparecen en la ecuación (4.31) y las definiciones de
R, S, U y V , importantes para obtener el coeficiente y.
Como podemos ver, la solución (4.31) a la ecuación de cuarto orden (4.30) es
algo complicada. Esta solución permite expresar al cos(2�) y al sin(2�) en térmi-
nos de � y Ω para luego poder estudiar las transiciones de fase en el PACM con
“cranking” al observar el comportamiento del potencial V (�,Ω) al variar � para
una cierta Ω. Esto será objeto de estudio en un trabajo futuro.
Ahora es necesario simplificar el potencial (4.24) considerando el ĺımite es-
pecial de SU(3) para poder obtener información acerca de las Transiciones de
Fase. Es importante decir también que para el sistema especifico 16O+�→20Ne
que se va a estudiar, el mejor lugar para reproducir resultados experimentales,
es cerca del ĺımite SU(3). El potencial (4.24) en el ĺımite SU(3), es decir, en
x = 1 es:
V (�, �, �) = N(N − 1)(N − 2)(−b)
[
G11�
2 +G12�
4 + �6
]
(4.32)
Donde los coeficientes Gij se muestran en la tabla 4.11.
30
G11 =
(ℏ!+4a−4b)+2�−Ω cos(�) sin (2�)
(N−1)(N−2)(−b)
G12 =
(a−6b)+� sin2(2�)
(N−2)(−b)
Tabla 4.11: Coeficientes Gij para el potencial V (�, �, �) dado por la ecuación
(4.32) en el caso ĺımite SU(3).
Al igual que para el caso de la ecuación (4.24), para hacer que nuestro
potencial (4.32) dependa solamente de la variable � , y de esta manera, se
vuelva más fácil de manipularlo, se toman nuevamente condiciones sobre � y �
en el ĺımite SU(3), para esto es necesario minimizar (4.32) con respecto a dichas
variables. Las condiciones que obtenemos sobre � y � son las siguientes:
∂V (�, �, �)
∂�
= NΩ sin(�) sin(2�)�2 = 0
⇒ sin(�) = 0⇒ � = 0⇒ cos(�) = 1 (4.33)
Dado que cos(�) = 1, entonces:
∂V (�, �, �)
∂�
= −2NΩ cos(2�)�2
+ 4�N(N − 1) sin(2�) cos(2�)�4 = 0
⇒ sin(2�) = Ω
2�(N − 1)
1
�2
(4.34)
Las condiciones anteriores para � y � nos muestran que se trabajara con
cúmulos rotantes en el plano y-z alrededor del eje x ya que el ángulo polar � es
diferente de cero pero el ángulo azimutal � es nulo. En el caso espećıfico de �, se
puede ver que sin(2�) es también dependiente de � dado que el potencial (4.32)
está conformado no solamente por un término al cuadrado en � sino que tam-
bién está conformado por un término de orden cuatro, además de un término
de orden seis el cual no contribuye en nada al valor de sin(2�) porque no tiene
ningún coeficiente multiplicándolo que dependa de � como ocurre con los térmi-
nos de orden dos y cuatro en �. Esto influirá en el estudio de las transiciones
de fase en el PACM con “cranking”.
Sustituyendo (4.34) y (4.33) en (4.32) obtenemos:
V (�) = N(N − 1)(N − 2)(−b)
[
A�2 −B�4 + �6 + C
]
(4.35)
31
donde A, B y C están listados en la tabla 4.12
A = (ℏ!+4a−4b)+2�(N−1)(N−2)(−b)
B = (a−6b)(N−2)(b)
C = −Ω
2
4�(N−1)2(N−2)(−b)
Tabla 4.12: Coeficientes A, B y C para el potencial V (�) dado por la ecuación
(4.35).
Recapitulemos lo que se ha hecho anteriormente. En la última parte del
caṕıtulo 3, en la ecuación (3.21), se introdujo el potencial efectivo. En el apéndice
E se da un análisis general de las transiciones de fase para el PACM con “crank-
ing” considerando un cierto potencial efectivo dado por la ecuación (E.8).
En el caso del PACM con “cranking” para el ĺımite SU(3), el potencial
efectivo obtenido de (4.35) es:
Ṽ (�) = A�2 −B�4 + �6 + C (4.36)
mientras que la constante es K = N(N − 1)(N − 2)(−b). El potencial efectivo
que se obtuvo, coincide en forma con el obtenido en la ecuación (E.8).
Con el potencial (4.35) se realizara el estudio computacional de las transi-
ciones de fase en PACM con “cranking”. A primera vista, se puede decir que
NO HABRÁ TRANSICIÓN DE FASE PARA EL PACM CON “CRANKING”
EN EL LÍMITE SU(3) ya que como se observa en la ecuación (4.35), el término
de frecuencia rotacional Ω se encuentra en el coeficiente C, y dado esto, al ir
variando dicha frecuencia, lo que se lograra será una subida o una bajada en
enerǵıa del potencial. Esto se verá con más detenimiento en el caṕıtulo 6 cuando
se considere el sistema16O+�→20Ne.
32
4.2. El Modelo Semimicroscópico Algebraico de
Cúmulos (SACM).
Ahora se muestra el estado coherente utilizado y el mapeo geométrico real-
izado para el SACM.
4.2.1. Estado coherente para el SACM.
Al igual que en el caso del PACM, nos concentraremos en la parte de
movimiento relativo entre los cúmulos dentro de este modelo, además de que
también se tomará en cuenta un número mı́nimo de cuantos de oscilación relati-
vo n0 diferente de cero. De esta manera, el estado coherente que se utilizará para
el SACM está dado por [15]:
∣�⟩ = N !
(N + no)!
NN,n0
dn0
d
n0
[�̂† + 
(� ⋅ �̂†)]N+n0 ∣0⟩ (4.37)
El estado coherente conjugado para el SACM es:
⟨�∣ = N !
(N + no)!
NN,n0
dn0
d
n0
⟨0∣[�̂ + 
(�∗ ⋅ �̂)]N+n0 (4.38)
donde
N−2N,n0 =
(N !)2
(N + n0)!
dn0
d
n01
dn0
d
n02
[1 + 
1
2(�
∗ ⋅ �)]N+n0 (4.39)
es la constante de normalización.
En este estado coherente n0 corresponde al número mı́nimo de bosones � y
el número total de bosones ahora está dado por N
′
= N +n0. Nuevamente � es
la notación corta para los coeficientes complejos �m(m = 1, 0,−1). La expresión
(4.39) para la constante de normalización en SACM es dada de esta manera para
simplificar los cálculos. Se debe entender que al final de la operación diferencial,
el valor de 
 tiene que tomarse como 1. En el caso en que n0 = 0 esta ecuación
se reduce al estado coherente considerado para el PACM.
33
4.2.2. Enerǵıa potencial para el SACM.
Ahora tomemos el valor esperado del Hamiltoniano (3.19) con respecto al
estado coherente de la ecuación (4.37), obteniendo aśı la Superficie de Enerǵıa
Potencial (Potential Energy Surface, PES) para el SACM.
De la ecuación (3.19), observamos que el valor esperado de nuestro Hamil-
toniano en el SACM es:
⟨ℋ̂⟩ = ⟨�∣ℋ̂∣�⟩ = x
{
(ℏ! + 3a+ 3bn0)⟨n̂�⟩+ [a− 3b+ bn0]⟨n̂2�⟩ − b⟨n̂3�⟩
}
+ �⟨L̂2⟩+ (1− x) c
4
{
⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩ − ⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩ − ⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩
}
+ (1− x) c
4
{
⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩
}
− Ω⟨L̂x⟩ (4.40)
Definiendo:
Fpq(�
2) =
(N !)2
(N + n0)!
N+n0−max(p,q)∑
k=max(n0−p,n0−q,0)
(
N + n0 −max(p, q)
k
)
×
×
[
(k + p)!
(k + p− n0)!
] [
(k + q)!
(k + q − n0)!
]
�2k (4.41)
Los valores de expectación de los diferentes operadores que aparecen en la
ecuación (4.40) con respecto al estado coherente (4.37) se muestran en la tabla
4.13.
34
⟨n̂�⟩ = (N + n0)(�∗ ⋅ �)F11(�
2)
F00(�2)
⟨n̂2�⟩ = (N + n0)(�∗ ⋅ �)
F11(�
2)
F00(�2)
+ (N + n0)(N + n0 − 1)(�∗ ⋅ �)2 F22(�
2)
F00(�2)
⟨n̂3�⟩ = (N + n0)(�∗ ⋅ �)
F11(�
2)
F00(�2)
+ 3(N + n0)(N + n0 − 1)(�∗ ⋅ �)2 F22(�
2)
F00(�2)
+(N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)(�∗ ⋅ �)3 F33(�
2)
F00(�2)
⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩ = (N + n0)(N + n0 − 1)(�∗ ⋅ �̃∗)(� ⋅ �̃)F22(�
2)
F00(�2)
⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩ = (N + n0)(N + n0 − 1)(�∗ ⋅ �̃∗)F
N−2
20 (�
2)
F00(�2)
⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩ = (N + n0)(N + n0 − 1)(� ⋅ �̃)F
N−2
20 (�
2)
F00(�2)
⟨(�̂† ⋅ �̂†)(�̂ ⋅ �̂)⟩= (N + n0)(N + n0 − 1)− 2(N + n0)2(�∗ ⋅ �)F11(�
2)
F00(�2)
+2(N + n0)(�
∗ ⋅ �)F11(�
2)
F00(�2)
+ (N + n0)(N + n0 − 1)(�∗ ⋅ �)2 F22(�
2)
F00(�2)
⟨L̂x⟩ = (N + n0)
{
[�∗ × �̃]1−1 − [�∗ × �̃]1+1
} F11(�2)
F00(�2)
⟨L̂2⟩ = 2(N + n0)(�∗ ⋅ �)F11(�
2)
F00(�2)
−2
√
3(N + n0)(N + n0 − 1)
[
[�∗ × �̃]1 × [�∗ × �̃]1
]0
0
F22(�
2)
F00(�2)
Tabla 4.13: Valores de expectación relavantes para el SACM.
35
De esta manera, el potencial que se obtiene en el SACM en términos de �,
a partir de (4.40) y de los resultados de la tabla 4.13 es:
V (�) = x(ℏ! + 3a+ 3bn0)(N + n0)(�∗ ⋅ �)
F11(�
2)
F00(�2)
+ x(a− 3b+ bn0)[(N + n0)(�∗ ⋅ �)
F11(�
2)
F00(�2)
]
+ x(a− 3b+ bn0)[(N + n0)(N + n0 − 1)(�∗ ⋅ �)2
F22(�
2)
F00(�2)
]
− xb[(N + n0)(�∗ ⋅ �)
F11(�
2)
F00(�2)
+ 3(N + n0)(N + n0 − 1)(�∗ ⋅ �)2
F22(�
2)
F00(�2)
+ (N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)(�∗ ⋅ �)3
F33(�
2)
F00(�2)
]
+ 
[2(N + n0)(�
∗ ⋅ �)F11(�
2)
F00(�2)
]
− 
[2
√
3(N + n0)(N + n0 − 1)
[
[�∗ × �̃]1 × [�∗ × �̃]1
]0
0
F22(�
2)
F00(�2)
]
+ (1− x) c
4
[(N + n0)(N + n0 − 1)(�∗ ⋅ �̃∗)(� ⋅ �̃)
F22(�
2)
F00(�2)
− (N + n0)(N + n0 − 1)(�∗ ⋅ �̃∗)
FN−220 (�
2)
F00(�2)
− (N + n0)(N + n0 − 1)(� ⋅ �̃)
FN−220 (�
2)
F00(�2)
+ (N + n0)(N + n0 − 1)− 2(N + n0)2(�∗ ⋅ �)
F11(�
2)
F00(�2)
+ 2(N + n0)(�
∗ ⋅ �)F11(�
2)
F00(�2)
+ (N + n0)(N + n0 − 1)(�∗ ⋅ �)2
F22(�
2)
F00(�2)
]
− Ω(N + n0)
{
[�∗ × �̃]1−1 − [�∗ × �̃]1+1
} F11(�2)
F00(�2)
(4.42)
Al igual que en el PACM, se toma nuevamente un factor común que forma
parte de cada uno de los términos por los que está compuesto nuestro potencial
para el SACM. Dicho factor común es (N +n0)(N +n0− 1)(N +n0− 2)(−xb).
Después de lo anterior, se juntan términos que estén multiplicados por una
misma relación
Fij
Fkm
y se simplifica la expresión del potencial nombrando ciertos
coeficientes Aij . De esta manera, el potencial para el SACM en términos de �
es:
36
V (�) = (N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)(−xb)
[(
A11(�
∗ ⋅ �)
+A12
(
[�∗ × �̃]1−1 − [�∗ × �̃]1+1
))F11(�2)
F00(�2)
+
(
A13(�
∗ ⋅ �)2 +A14
[
[�∗ × �̃]1 × [�∗ × �̃]1
]0
0
)F22(�2)
F00(�2)
+ (�∗ ⋅ �)3F33(�
2)
F00(�2)
+A15
([
(�∗ ⋅ �̃∗)(� ⋅ �̃) + (�∗ ⋅ �)2
] F22(�2)
F00(�2)
)
−A15
([
(�∗ ⋅ �̃∗) + (� ⋅ �̃)
]FN−220 (�2)
F00(�2)
− 1
)]
(4.43)
donde los coeficientes Aij se están listados en la tabla 4.14
A11 =
[
x(ℏ!+4a−4b+4bn0)+2�−(N+n0−1)(1−x) c2
]
(N+n0−1)(N+n0−2)(−xb)
A12 = − Ω(N+n0−1)(N+n0−2)(−xb)
A13 =
x
[
a−b(6−n0)
]
(N+n0−2)(−xb)
A14 = − 2
√
3�
(N+n0−2)(−xb)
A15 =
(1−x) c4
(N+n0−2)(−xb)
Tabla 4.14: Coeficientes Aij para el potencial dado por la ecuación (4.43).
Tomando nuevamente para (4.43) la parametrización (4.12) y las expresiones
(4.15), se obtiene que el potencial para el SACM en términos de �,� y � es:
V (�, �, �) = (N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)(−xb)
[
B11�
2F11(�
2)
F00(�2)
+B12�
4F22(�
2)
F00(�2)
+ �6
F33(�
2)
F00(�2)
+B13
(
1 + 2 cos(2�)�2
FN−220 (�
2)
F00(�2)
)]
(4.44)
donde los coeficientes Bij están listados en la tabla 4.15
37
B11 =
[x(ℏ!+4a−4b+4bn0)+2�−(N+n0−1)(1−x) c2−Ω cos(�) sin (2�)]
(N+n0−1)(N+n0−2)(−xb)
B12 =
[x(a−b(6−n0))+� sin2(2�)+(1−x) c4 [cos
2(2�)+1]]
(N+n0−2)(−xb)
B13 =
(1−x) c4
(N+n0−2)(−xb)
Tabla 4.15: Coeficientes Bij para el potencial dado por la ecuación (4.44).
Dado lo anterior, nuevamente es conveniente tener un potencial tal que
V (�, �, �) = 0 en � = 0. Para lograr esto, es necesario investigar el compor-
tamiento de las relaciones
Fij
Fkm
para �→ 0. El comportamiento es el siguiente:
F11(�
2)
F00(�2)
≈ n0(N+n0)�2
F22(�
2)
F00(�2)
≈ n0(n0−1)(N+n0)(N+n0−1)�4
FN−220 (�
2)
F00(�2)
≈ N(N−1)(n0+1)(n0+2)2(N+n0)(N+n0−1)
F33(�
2)
F00(�2)
≈ n0(n0−1)(n0−2)(N+n0)(N+n0−1)(N+n0−2)�6
Además de tomar en cuenta dicho comportamiento, también se necesita restar el
término (N +n0)(N +n0− 1)(N +n0− 2)(−xb)B13 al potencial (4.44). De esta
manera, el potencial que se obtiene a partir de las consideraciones anteriores
sobre (4.44) es el siguiente:
V (�, �, �) =
= (N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)(−xb)
[
C11
(
�2
F11(�
2)
F00(�2)
− n0
(N + n0)
)
+ C12
(
�4
F22(�
2)
F00(�2)
− n0(n0 − 1)
(N + n0)(N + n0 − 1)
)
+
(
�6
F33(�
2)
F00(�2)
− n0(n0 − 1)(n0 − 2)
(N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)
)
+ C13�
2F
N−2
20 (�
2)
F00(�2)
]
(4.45)
donde los coeficientes Cij están listados en la tabla 4.16
38
C11 =
x(ℏ!+4a−4b+4bn0)+2�−Ω cos(�) sin (2�)−(1−x) c2 (N+n0−1)
(N+n0−1)(N+n0−2)(−xb)
C12 =
x(a−b(6−n0))+(1−x) c2 +sin
2(2�)[�−(1−x) c4 ]
(N+n0−2)(−xb)
C13 =
(1−x) c2 cos(2�)
(N+n0−2)(−xb)
Tabla 4.16: Coeficientes Cij para el potencial dado por la ecuación (4.45).
Para C12 también se tomo en cuenta:
� sin2(2�) + (1− x) c
4
[cos2(2�) + 1] = (1− x) c
2
+ sin2(2�)[� − (1− x) c
4
] (4.46)
La igualdad (4.46) se mostrara en el apéndice K.
Como podemos observar, el potencial (4.45) es nulo en el ĺımite �→ 0, dado
el comportamiento que presentan las
Fij
Fkm
cuando �→ 0 y dado que se ha resta-
do el término constante (N+n0)(N+n0−1)(N+n0−2)(−xb)B13 en el potencial.
Al igual que en el PACM, para poder hacer que nuestro potencial (4.45) de-
penda solamente de una sola variable, en este caso la variable � (distancia entre
cúmulos para el SACM), es necesario tomar condiciones sobre � y � minimizando
la ecuación (4.45) con respecto a dichas variables:
∂V (�, �, �)
∂�
= Ω(N + n0) sin(�) sin(2�)
(
�2
F11(�
2)
F00(�2)
− n0
(N + n0)
)
= 0
⇒ sin(�) = 0⇒ � = 0⇒ cos(�) = 1 (4.47)
Ya que cos(�) = 1, entonces:
∂V (�, �, �)
∂�
= −2Ω(N + n0) cos(2�)
(
�2
F11(�
2)
F00(�2)
− n0
(N + n0)
)
+
[
4� − (1− x)c
]
(N + n0)(N + n0 − 1) sin(2�) cos(2�)×
×
(
�4
F22(�
2)
F00(�2)
− n0(n0 − 1)
(N + n0)(N + n0 − 1)
)
− (1− x)c(N + n0)(N + n0 − 1) sin(2�)�2
FN−220 (�
2)
F00(�2)
= 0 (4.48)
39
de esta manera:
− 2Ω cos(2�)
(
�2
F11(�
2)
F00(�2)
− n0
(N + n0)
)
+
[
4� − (1− x)c
]
(N + n0 − 1) sin(2�) cos(2�)×
×
(
�4
F22(�
2)
F00(�2)
− n0(n0 − 1)
(N + n0)(N + n0 − 1)
)
− (1− x)c(N + n0 − 1) sin(2�)�2
FN−220 (�
2)
F00(�2)
= 0 (4.49)
Si hacemos un cambio de variable:
v = cos(2�)√
1− v2 = sin(2�) (4.50)
tenemos que (4.49) puede ser expresada como:
A∗v +B∗v
√
1− v2 + C∗
√
1− v2 = 0 (4.51)
donde A∗,B∗,C∗ y D∗ en (4.51) están definidos como:
A∗ = −2Ω
(
�2 F11(�
2)
F00(�2)
− n0(N+n0)
)
B∗ =
[
4� − (1− x)c
]
(N + n0 − 1)
(
�4 F22(�
2)
F00(�2)
− n0(n0−1)(N+n0)(N+n0−1)
)
C∗ = −(1− x)c(N + n0 − 1)�2 F
N−2
20 (�
2)
F00(�2)
Tabla 4.17: Coeficientes utilizados en la ecuación (4.51).
Haciendo un poco de algebra que se muestra con más detenimiento en el
apéndice K, obtenemos que la ecuación (4.51) puede expresarse como:
Av4 +Bv3 + Cv2 +Dv + E = 0 (4.52)
donde A, B, C, D y E en (4.52) están definidos como:
40
A = B∗
B = 2B∗C∗
C = (C2∗ +A
2
∗ −B2∗)
D = −2B∗C∗
E = −C2∗
Tabla 4.18: Coeficientes pertenecientes a la ecuación (4.52). Las definiciones de
A∗, B∗, C∗ y D∗ son dadas en la tabla 4.17.
La expresión de la solución para (4.52) es la misma que la dada en PACM
ya que nuevamente se trata de una ecuación de cuarto orden, de esta manera
(4.31) es igualmente solución de (4.52) con los mismos coeficientes de la tabla
4.10 pero con A, B, C, D y E diferentes (Ver la tabla 4.9 para el PACM y la
tabla 4.18 para el SACM).
Al igual que el PACM, la solución a la ecuación de cuarto orden (4.52) es
algo complicada, por lo que para estudiar las transiciones de fase en el SACM
con “cranking” (al ir variando Ω desde Ω = 0 hasta un cierto Ω = Ωlim donde
ocurre la transición de fase) nos restringiremos al caso cuando � << 0 dado
que como se ve en el apéndice E (para el caso de transiciones de fase en el
SACM), siempre nos encontraremos con un extremo en � = 0, por lo tanto,
basta considerar dicho caso. Tomando en cuenta las expresiones obtenidas
Fij
Fkm
de la ecuación (4.41) y desarrollando hasta segundo orden en �, tenemos que:
�2
F11(�
2)
F00(�2)
≈ n0
(N + n0)
+
N(n0 + 1)
(N + n0)
�2
�4
F22(�
2)
F00(�2)
≈ n0(n0 − 1)
(N + n0)(N + n0 − 1)
+
2Nn0(n0 + 1)
(N + n0)(N + n0 − 1)
�2
�6
F33(�2)
F00(�2)
≈ n0(n0 − 1)(n0 − 2)
(N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)
+
3Nn0(n0 + 1)(n0 − 1)
(N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)
�2 (4.53)
Los Cálculos Expĺıcitos se muestran en el apéndice K.
41
De esta manera, el potencial que se obtiene para � << 1 a partir de la
ecuación (4.45) con la condición cos(�) = 1 es el siguiente:
V (�, �) ≈ (N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)(−xb)
[
D11
(
N(n0 + 1)
(N + n0)
�2
)
+D12
(
2Nn0(n0 + 1)
(N + n0)(N + n0 − 1)
�2
)
+
(
3Nn0(n0 + 1)(n0 − 1)
(N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)
�2
)]
(4.54)
donde los coeficientes Dij están listados en la tabla 4.19
D11 =
x(ℏ!+4a−4b+4bn0)+2�−Ω sin (2�)−(1−x) c2 (N+n0−1)
(N+n0−1)(N+n0−2)(−xb)
D12 =
x(a−b(6−n0))+(1−x) c2 +sin
2(2�)[�−(1−x) c4 ]
(N+n0−2)(−xb)
Tabla 4.19: Coeficientes Dij para el potencial dado por la ecuación (4.54).
A (4.54) también se le puede ver como:
V (�, �) ≈
≈ (N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)(−xb)
[(
Ac +Bc + Cc − ΩDc
)
�2
]
(4.55)
donde los coeficientes Ac, Bc, Cc y Dc de la ecuación (4.55) están listados
en la tabla 4.20
Ac =
N(n0+1)
[
x(ℏ!+4a−4b+4bn0)+2�−(1−x) c2 (N+n0−1)
]
(N+n0)(N+n0−1)(N+n0−2)(−xb)
Bc =
2Nn0(n0+1)
[
x(a−b(6−n0))+(1−x) c2 +sin
2(2�)[�−(1−x) c4 ]
]
(N+n0)(N+n0−1)(N+n0−2)(−xb)
Cc =
3Nn0(n0+1)(n0−1)
(N+n0)(N+n0−1)(N+n0−2)
Dc =
N(n0+1) sin(2�)
(N+n0)(N+n0−1)(N+n0−2)(−xb)
Tabla 4.20: Coeficientes para el potencial dado por la ecuación (4.55).
42
Si nombramos Ãc = Ac + Bc + Cc, entonces tenemos que (4.55) puede ex-
presarse como:
V (�, �) ≈ (N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)(−xb)
[(
Ãc − ΩDc
)
�2
]
(4.56)
Al igual que en el PACM, nos restringiremos al caso de la simetŕıa dinámica
SU(3) con x = 1 para el estudio de las transiciones de fase. Es importante decir
nuevamente que para el sistema especifico 16O+� →20Ne que se va a estudiar,
el mejor lugar para reproducir resultados experimentales, es cerca del ĺımite
SU(3). Dado lo anterior, el potencial que se obtiene en el ĺımite SU(3), a partir
de (4.56), es el siguiente:
V (�, �) ≈ (N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)(−b)
[(
ASU(3) − ΩDSU(3)
)
�2
]
(4.57)
donde los coeficientes ASU(3) y DSU(3) están listados en la tabla 4.21
ASU(3) =
N(n0+1)
[
(ℏ!+4a−4b+4bn0)+2�
]
(N+n0)(N+n0−1)(N+n0−2)(−b)
+
2Nn0(n0+1)
[
(a−b(6−n0))+� sin2(2�)
]
(N+n0)(N+n0−1)(N+n0−2)(−b)
+ 3Nn0(n0+1)(n0−1)(N+n0)(N+n0−1)(N+n0−2)
DSU(3) =
N(n0+1) sin(2�)
(N+n0)(N+n0−1)(N+n0−2)(−b)
Tabla 4.21: Coeficientes para el potencial dado por la ecuación (4.57).
Para poder obtener condiciones sobre � en el ĺımite SU(3), es necesario min-
imizar (4.57) con respecto a dicha variable. De esta manera, la condición que
obtenemos sobre � es la siguiente:
Dado que cos(�) = 1,
∂V (�, �)
∂�
= −2NΩ(n0 + 1) cos(2�)�2
+ 8�Nn0(n0 + 1) sin(2�) cos(2�)�
2 = 0
⇒ sin(2�) = Ω
4�n0
(4.58)
43
Las condiciones anteriores para � y � nos muestran que se trabajara con
cúmulos rotantes en el plano yz alrededor del eje x ya que el ángulo polar �
es diferente de cero pero el ángulo azimutal � es nulo. En el caso espećıfico de
�, se puede ver que sin(2�) es independiente de � dado que el potencial (4.55)
está conformado solamente por un término al cuadrado en �. Esto, como se
verá más adelante, influirá en el estudio de las Transiciones de Fase en SACM
con “cranking”.
Por lo tanto el Potencial que se obtiene en términos de � y Ω al sustituir
(4.58) en (4.57) es el siguiente:
V (�) ≈ (N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)(−b)
[(
A− Ω2B
)
�2
]
(4.59)
donde los coeficientes A y B están listados en la tabla 4.22.
A =
N(n0+1)
[
(ℏ!+4a−4b+4bn0)+2�
]
(N+n0)(N+n0−1)(N+n0−2)(−b)
+
2Nn0(n0+1)
[
(a−b(6−n0))
]
(N+n0)(N+n0−1)(N+n0−2)(−b)
+ 3Nn0(n0+1)(n0−1)(N+n0)(N+n0−1)(N+n0−2)
B = N(n0+1)8�n0(N+n0)(N+n0−1)(N+n0−2)(−b)
Tabla 4.22: Coeficientes para el potencial dado por la ecuación (4.59).
Con el potencial (4.59) se realizara el estudio computacional de transiciones
de tase en el SACM con “cranking”.
Como podemos observar en (4.59), fue necesario reescribir el potencial efec-
tivo supuesto en (E.35) restringiéndose al caso � → 0 para el ĺımite SU(3),
obteniéndose como potencial efectivo:
Ṽ (�) ≈
(
A− Ω2B
)
�2 (4.60)
con la constante K = (N + n0)(N + n0 − 1)(N + n0 − 2)(−b).
44
Dado nuestro potencial efectivo (4.60), podemos hacer un análisis de transi-
ciones de fase para el SACM con “cranking”, entonces:
1. Si
(
A− Ω2B
)
> 0
Para Ω2 = 0 se tiene que A > 0, condición que nos indica la existencia
de un mı́nimo para nuestro potencial (4.59) y que corresponde a un
mı́nimo esférico.
2. Si
(
A− Ω2B
)
= 0
Entonces Ω2 = Ω2lim =
A
B , condición que nos indica el caso ĺımite para
que el mı́nimo del potencial (4.59) se convierte en un máximo, lo que
corresponde al caso ĺımite en que el mı́nimo esférico se convierta en
un mı́nimo deformado.
3. Si
(
A− Ω2B
)
< 0
Para Ω2 > Ω2lim se tiene que A > 0, condición que nos ı́ndica la
existencia de un máximo para el potencial (4.59) y que corresponde
la existencia de un mı́nimo deformado.
A primera vista, podemos decir que HABRÁ TRANSICIÓN DE FASE DE
SEGUNDO ORDEN PARA EL SACM CON “CRANKING” PARA � << 1 EN
EL LÍMITE SU(3) ya que el análisis realizado en el apéndice E de transiciones de
fase para el SACM en, permite ver que hay dos mı́nimos esféricos que se funden
en un sólo mı́nimo esférico el cual sufre un cambio a un mı́nimo deformado
(a partir de una cierta Ω2 = Ω2lim =
Ac
Bc
) lo que corresponde al cambio de un
mı́nimo a un máximo del potencial (4.59) respectivamente. Esto se ve con más
detenimiento en el caṕıtulo 6 para el sistema 16O+�→20Ne.
45
Caṕıtulo 5
Ajuste de los parámetros de
interacción para el sistema
16O+�→20Ne.
Como caso particular de estudio de las transiciones de fase en los modelos
del PACM y del SACM con “cranking” se tomará el ejemplo de los dos cúmulos
esféricos 16O+� que conforman al núcleo ligero 20Ne. Al tomar un caso especial,
es posible realizar un ajuste de parámetros del modelo. En este caso, el ajuste
es realizado en el modelo del SACM, aunque este también será utilizado en el
modelo del PACM. El ajuste de parámetros nos ayudara a poder reproducir el
espectro de enerǵıas del sistema con que se está trabajando, teniendo mejores
resultados cerca de los ĺımites de las simetŕıas dinámicas del modelo. Principal-
mente se pueden obtener mejores resultados cerca del ĺımite SU(3), ĺımite que
al final nos restringimos en este trabajo para un análisis de las transiciones de
fase. El ajuste de parámetros puede mejorar si nos tomamos x ∕= 1, pero esto
será llevado a cabo en trabajos futuros.
Para poder realizar el ajuste de parámetros en el ĺımite SU(3), es necesario
utilizar ciertas enerǵıas experimentales dadas en la tabla 5.1.
E(0+1 )[MeV]= 0
E(0+2 )[MeV]= 8.7
E(2+1 )[MeV]= 1.634
Tabla 5.1: Enerǵıas experimentales para el caso 16O+�→20Ne.
46
Ajustando estas enerǵıas se obtuvo un ajuste muy bueno de los parámetros
de interacción del espectro experimental de 16O+� →20Ne. Con este ajuste es
posible obtener finalmente el espectro en el ĺımite SU(3). Este ajuste puede
compararse con el espectro experimental. Esta comparación se muestra en la
Figura 5.1 [39]:
Figura 5.1: Comparación entre el espectro experimental y el espectro obtenido
ajustando los parámetros del Hamiltoniano para el sistema 16O+�→20Ne en el
ĺımite SU(3) [39].
47
Finalmente se muestra en la tabla 5.2 la lista de parámetros de interacción
ajustados [16].
ℏ![MeV]= 13.2
a[MeV]= −0.500
b[MeV]= −0.009
�[MeV]= 0.208
Tabla 5.2: Lista de parámetros de interacción ajustados para el caso del sistema
16O+�→20Ne.
Otros valores importantes por conocer del sistema 16O+� →20Ne son las
probabilidades de transición cuadrupolar eléctrica B(E2) dadas en la tabla 5.3:
BTEO(E2; 2
+
1 −→ 0
+
1 )[W.u] BEXP (E2; 2
+
1 −→ 0
+
1 )[W.u]
20.314869 20.3
BTEO(E2; 3
−
1 −→ 1
−
1 )[W.u] BEXP (E2; 3
−
1 −→ 1
−
1 )[W.u]
30.8680478 50.8
Tabla 5.3: Lista de probabilidades de transición cuadrupolar eléctrica B(E2)
para el caso delsistema 16O+�→20Ne.
48
Caṕıtulo 6
Transiciones de fase en el
PACM y en el SACM con
“cranking”.
6.1. Estudio de las transiciones de fase en PACM
con “cranking” para el caso del sistema
16O+�→20Ne.
Teniendo los mismos parámetros de interacción ya ajustados como en el
SACM, se procede ahora a sustituirlos en el potencial (4.35) para poder ver
su comportamiento para una frecuencia de rotación dada. De esta manera, el
potencial que se obtiene para el PACM a partir de (4.35) en el ĺımite SU(3),
usando los coeficientes de la tabla 5.2 es el siguiente:
V (�)[MeV ] =
= (11.88[MeV ])
[
(11.7697)�2 − (4.9556)�4 + �6 − Ω2(0.1104/[MeV ]2)
]
(6.1)
El comportamiento del potencial (6.1) para una frecuencia rotacional dada
en [MeV] se muestra en la Figura 6.1.
49
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Β
- 30 000
- 20 000
-10 000
0
10 000
20 000
30 000
V H Β L
W 4 =150
W 3 =100
W 2 = 50
W 1 = 0
Figura 6.1: Potencial (6.1) para el PACM con “cranking” como función de �
para una frecuencia rotacional Ω dada en [MeV].
Como podemos observar en la Figura 6.1, para el potencial de la ecuación
(6.1) tenemos un mı́nimo esférico en Ω1 = 0. Al ir aumentando la frecuencia
rotacional Ω, el potencial (6.1) va bajando en enerǵıa pero sin obtener un cambio
de un mı́nimo esférico a un mı́nimo deformado. De esta manera se concluye que
para el modelo del PACM con “cranking” en el caso de 16O+�→20Ne NO SE
OBTIENE UNA TRANSICIÓN DE FASE.
6.2. Estudio de las transiciones de fase en SACM
con “cranking” para el caso del sistema
16O+�→20Ne.
Dado el Potencial (4.22), es posible hacer el análisis de transiciones de fase
en SACM con “CRANKING” para el sistema 16O+�→20Ne.
Para el caso del SACM, el ajuste experimental de parámetros de interacción
que se muestra en la tabla 5.2. De esta manera, al igual que se hizo en el
PACM, estos parámetros se sustituyen en el potencial (4.59) para poder ver
su comportamiento para una frecuencia de rotación dada. El potencial que se
obtiene a partir de (4.59) (donde se tomo la condición � << 1 en el ĺımite
SU(3)) usando los parámetros de interacción de la tabla 5.2, es el siguiente:
V (�) ≈ (61.56[MeV ])
[(
(8.0491)− Ω2(0.1318/[MeV ]2)
)
�2
]
(6.2)
El comportamiento del potencial (6.2) como función de � para una frecuencia
rotacional Ω dada en [MeV] es:
50
0.5 1.0 1.5 2.0
Α
- 2000
-1000
1000
2000
V H Α L
W 3 = H 2 W 2 L 1� 2
W 2 = H Ã � D L 1� 2
W 1 = 0
Figura 6.2: Potencial (6.2) para el SACM con “cranking” como función de �
para una frecuencia rotacional Ω dada en [MeV].
De la Figura 6.2, puede comprobarse lo dicho anteriormente en el análisis de
las transiciones de fase para el SACM con “cranking”. Para Ω1 = 0 se tiene un
mı́nimo esférico en el potencial (6.2), al ir aumentando la frecuencia rotacional
Ω se llega a una frecuencia rotacional limite Ωlim donde se sufre el cambio
a un mı́nimo deformado. De esta manera se concluye que para el modelo del
SACM con “cranking” en el caso de 16O+� →20Ne SE OBTIENE UNA
TRANSICIÓN DE FASE DE 2o ORDEN ya que hay el cambio de un
mı́nimo esférico a un mı́nimo deformado lo que corresponde a un cambio de un
mı́nimo a un máximo en el potencial (6.2) respectivamente.
51
Caṕıtulo 7
Conclusión y futuro.
En este trabajo se hizo la introducción de “cranking” a los modelos alge-
braicos de cúmulos PACM y SACM. Ambos modelos tienen las mismas inter-
acciones pero sus espacios modelo son diferentes dado que PACM no respeta el
principio de exclusión de Pauli mientras que SACM si lo hace.
Con el Hamiltoniano para los modelos del PACM y del SACM, resultante
de la introducción del “cranking” y caracterizado por las simetŕıas dinámicas
de SU(3) y SO(4), se realizo el mapeo geométrico con la ayuda del método de
estados coherentes obteniendo de esta manera un potencial geométrico con el
cual se estudiaron las transiciones de fase en el PACM y SACM con “cranking”.
Dada la dificultad del estudio de las transiciones de fase en ambas simetŕıas
dinámicas, se decidió realizar el estudio solamente en el ĺımite de SU(3) para
ilustrar en ambos modelos los efectos del “cranking”, además de que en el SACM
se decidió tomar el caso � << 1. Lo anterior nos proveyó de un análisis ade-
cuado para las transiciones de fase para el PACM y el SACM, sin embargo, se
reporta el formalismo general.
Finalmente, se ajustaron experimentalmente los parámetros de interacción
en el SACM (también usados en el PACM) para el caso 16O+� →20Ne, y se
ovtuvo el espectro de enerǵıa para dicho sistema, además se encontró el compor-
tamiento del potencial para ambos modelos para el caso cuando los parámetros
son fijos y se tiene una frecuencia rotacional o un ángulo de rotación variable.
Con todo lo anterior se realizo el estudio de transiciones de fase deseado. El
resultado fue que para el PACM no hay transición de fase, mientras que para el
SACM hay una transición de fase de segundo orden en Ω = Ωlim donde Ω es la
frecuencia rotacional del “cranking”.
En un trabajo de investigación futuro, se esperara resolver de una forma
adecuada la ecuación de cuarto orden obtenida a partir de la minimización del
potencial en � para ambos modelos y poder ver el comportamiento del potencial
tomando en cuenta la condición sobre � obtenida. Dado lo anterior, se espera
52
aplicar el método del “cranking” para otros sistemas de cúmulos que conformen
núcleos ligeros realistas, estudiando de igual manera efectos de “backbending′′.
53
Apéndice A
Grupos unitarios.
Cuando se habla de una simetŕıa, tanto en mecánica clásica como en mecánica
cuántica, es igual que hablar de una invariancia de las leyes f́ısicas por las que
está gobernado un sistema f́ısico ante una cierta transformación (traslaciones
espaciales, traslaciones temporales, rotaciones, etc) que se aplica al sistema. Por
lo anterior, se puede decir que las leyes f́ısicas son las mismas, antes y después
de aplicar transformación. Simetŕıas al final de cuentas implican leyes de conser-
vación (conservación del momento lineal,la enerǵıa, momento angular, etc) para
el mismo sistema y degeneración de estados. Un teorema importante por men-
cionar es el Teorema de Noether, dicho teorema establece que si las ecuaciones
de Euler-Lagrange (que describen el movimiento de un sistema), son invariantes
bajo una transformación de coordenadas t, q → t′(t), q′(q, t) (llamada transfor-
mación de simetŕıa), entonces existe una integral de movimiento, es decir, una
cantidad conservada [26] o ley de conservación [27].
Las herramientas matemáticas para estudiar y describir a las simetŕıas son
mejor conocidas como teoŕıa de grupos. La definición de grupo es la siguiente:
Un grupo G puede ser definido como el conjunto de elementos (transforma-
ciones) {a,b,c,... } para los cuales la operación multiplicación o producto a*b
está bien definida, la cual cumple las siguientes propiedades [26]:
1. Si a y b son dos elementos cualesquiera de G, entonces el producto a*b
es también elemento de G. Por lo anterior, se dice que G es cerrado bajo
la multiplicación de sus elementos.
2. Hay un elemento identidad e en G tal que a ∗ e = e ∗ a = a para cada
elemento a de G.
3. Para cada elemento a de G existe un elemento inverso a−1, tal que
a−1 ∗ a = a ∗ a−1 = e.
4. La multiplicación de elementos de G es asociativa (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).
54
Definiciones muy importantes relacionadas con grupos son las siguientes [26].
1. Nosotros llamaremos un grupo abeliano si se satisface que:
a ∗ b = b ∗ a
para cada elemento de G, es decir, si la multiplicación entre los elementos
del grupo es conmutativa.
2. Nosotros llamaremos un grupo continuo si sus elementos son funciones
de una o más variables continúas.
3. Nosotros llamaremos un grupo continuamente conectado si se en-
cuentra una variación continua del grupo de parámetros la cual permita
ir de un elemento arbitrario de G a otro elemento del grupo.
4. Nosotros llamaremos un grupo compacto si existe un conjuntoan de
elementos del grupo, los cuales converjan a un elemento del grupo, es
decir:
limn→∞an = a
5. Dos conjuntos {a,b,c,... } y {a’,b’,c’,... } son llamados grupos isomorfi-
cos si existe una transformación biyectiva entre los elementos de ambos
grupos, es decir,
a↔ a′ b↔ b′ tal que a ∗ b↔ a′ ∗ b′
6. Si un grupo G1 es isomorfico a otro grupo G2, cuyos elementos son ma-
trices, se dice que G2 es la representación matricial de G1.
Entre los grupos de transformaciones de mayor interés en f́ısica se encuen-
tran los grupos matriciales U(n), SU(n), O(n) y SO(n).
A continuación, se da una breve explicación de cada uno de ellos, tomando en
cuenta que lo siguiente sólo se cumplirá en la representación irreducible matricial
[28].
Grupo U(n). Es el grupo de matrices unitarias complejas. Al referirnos
a una matriz unitaria, nos referimos a la matriz cuya inversa es igual a
su transpuesta conjugada U−1(n) = U†(n).
Grupo SU(n). Es el grupo de matrices especiales unitarias complejas con
determinante igual a 1.
Grupo O(n). Es el grupo de matrices ortogonales reales. Al referirnos a
una matriz ortogonal, nos referimos a una matriz cuya inversa es igual a
su transpuesta O−1(n) = OT (n).
Grupo SO(n). Es el grupo de matrices especiales unitarias reales, es
decir, matrices reales con determinante igual a 1.
55
Todos estos grupos son ejemplos t́ıpicos de los grupos de Ĺıe. Los grupos
de Ĺıe son grupos continuos que dependen de n parámetros. Los operadores de
dicho grupo pueden ser representados de forma general mediante [26]:
U(�1, �2, . . . , �n) = exp(−i
n∑
�=0
��L̂�) (A.1)
Donde �� son los parámetros del grupo y L̂� son los generadores del grupo.
De esta definición para los grupos de Ĺıe, podemos darnos cuenta que sus
elementos son funciones diferenciables de sus parámetros, obteniendo los gener-
adores del grupo si es que se diferencia con respecto a la vecindad del operador
identidad U(�) = 1, es decir [26]:
∂Û(�)
∂��
∣�=0= −iL̂� (A.2)
Dado un cierto grupo de Ĺıe, siempre se puede construir un álgebra cerrada
con los generadores del grupo, es decir, siempre es posible construir reglas de
conmutación entre los generadores del grupo:
[L̂i, L̂j ] = CijkL̂k (A.3)
Donde Cijk son las constantes de estructura las cuales establecen un inter-
cambio entre los elementos del grupo [26].
El rango de un grupo se puede definir como el número más grande de gener-
adores que conmutan entre śı. Otra caracteŕıstica muy importante de los grupos
de Ĺıe es que ellos poseen ciertos operadores invariantes que conmutan con
los generadores, dichos operadores son mejor conocidos como operadores de
Casimir Ĉ�. El número de operadores de Casimir � es justamente el rango del
grupo, esto es mejor conocido como teorema de Racah [26]. La importancia
de los operadores de Casimir es que dado que conmutan con los generadores del
grupo, se pueden encontrar eigenfunciones simultaneas entre ambos (operadores
de Casimir y generadores del grupo), además de encontrar ciertos eigenvalores
que son propios de un cierto multiplete de estados, es decir, de un conjunto de
estados degenerados.
Existen varios métodos para construir los operadores de Casimir para un
cierto grupo. En el caso de SU(n) los operadores de Casimir tienen que ser
polinomios homogéneos en los generadores.
Ĉ� =
∑
ij
a�ij . . . L̂iL̂j . . . (A.4)
56
donde a�ij son funciones definidas de las constantes de estructura [26].
Dentro de todos los sistemas que podŕıan presentar simetŕıas en sus leyes
f́ısicas y que son estudiadas mediante teoŕıa de grupos se encuentran los núcleos.
Al hablar de un núcleo, se está hablando de un sistema formado (en general)
por vaŕıas part́ıculas que interactúan fuertemente, dichas part́ıculas son tanto
protones como neutrones ambas mejor conocidas como nucleones.
Para poder estudiar el núcleo, es conveniente considerar el oscilador armónico
en tres dimensiones (3D). Tomarse al oscilador armónico como campo promedio
para el estudio de nuestro sistema, permite construir un formalismo matemático
basado en operadores bosónicos de creación y aniquilación (b̂†i y b̂
i respectiva-
mente) de quantas de oscilación N lo cual permite hacer transiciones a un nivel
N a un nivel superior N+1 o a un nivel inferior N-1. Dichos operadores cumplen
con las siguientes propiedades.
[b̂i, b̂†j ] = �ij [b̂
i, b̂j ] = [b̂†i , b̂
†
j ] = 0 (A.5)
(b̂†i )
† = b̂i (b̂i)
† = b̂†i (A.6)
b̂†i ∣ N⃗⟩ =
√
Ni + 1 ∣ N1, N2, ...Ni−1, Ni + 1, Ni+1, ...⟩ (A.7)
b̂i ∣ N⃗⟩ =
√
Ni ∣ N1, N2, ...Ni−1, Ni − 1, Ni+1, ...⟩ (A.8)
∣ N⃗⟩ =∣ N1, N2, ...Ni−1, Ni, Ni+1, ...⟩ (A.9)
Para ver a que grupo unitario pertenece el álgebra anterior, se toman como
generadores de grupo a Ĉji = b̂
†
i b̂
j , donde b̂†i y b̂
j como se vio antes, son los
operadores bosónicos de creación y aniquilación respectivamente. De (A.7) y
(A.8) podemos definir.
Ĉii ∣ N⃗⟩ = Ni ∣ N⃗⟩ con Ĉii = b̂
†
i b̂
i (A.10)
Si se toma
N̂ =
∑
k
Ĉkk (A.11)
entonces
N̂ ∣ N⃗⟩ =
∑
k
Ĉkk ∣ N⃗⟩ =
∑
k
Nk ∣ N⃗⟩ = N ∣ N⃗⟩ (A.12)
Las reglas de conmutación que satisfacen los generadores Ĉji son:
[Ĉji , Ĉ
q
p ] = [b̂
†
i b̂
j , b̂†pb̂
q] = b̂†i [b̂
j , b̂†pb̂
q] + [b̂†i , b̂
†
pb̂
q]b̂j =
= b̂†i (b̂
†
q[b̂
j , b̂q] + [b̂j , b̂†p]b̂
q) + (b̂†p[b̂
†
i , b̂
q] + [b̂†i , b̂
†
p]b̂
q)b̂j =
= b†i [b̂j , b̂
†
p]b
q + b̂†p[b̂
†
i , b̂
q]b̂j =
= b̂†i �jpb̂
q − b̂†p�qib̂j = �jpb̂
†
i b̂
q − �qib̂†pb̂j = �jpĈ
q
i − �qiĈ
j
p (A.13)
57
Por lo tanto los generadores forman un álgebra de Lie. A continuación se
construye una matriz de generadores tomando en cuenta la representación de
una part́ıcula. Para dicha representación, se cumple que:
b̂†i ∣ 0⟩ =∣ i⟩ ⟨i ∣= ⟨0 ∣ b̂
i (A.14)
b̂i ∣ 1⟩ =∣ 0⟩ ⟨0 ∣= ⟨1 ∣ b̂†i (A.15)
b̂i ∣ 0⟩ = 0 0 = ⟨0 ∣ b̂†i (A.16)
⟨i ∣ Ĉqp ∣ j⟩ = ⟨0 ∣ b̂ib̂†pb̂q b̂
†
j ∣ 0⟩ =
= ⟨0 ∣ (b†pbi + [bi, b†p])(b
†
jb
q + [bq, b†j ]) ∣ 0⟩ =
= ⟨0 ∣ b†pbib
†
jb
q + b†pb
i[bq, b†j ] + [b
i, b†p]b
†
jb
q + [bi, b†p][b
q, b†j ] ∣ 0⟩ = �ip�qj (A.17)
Lo que implica que
Ĉji = �ip�qj (A.18)
Es decir, Ĉji = �ip�qj es una matriz que tiene 1 en la intersección del i-esimo
renglón con la j-esima columna, mientras que en las demás entradas de la matriz
hay solamente ceros. De esta manera, la traza de Ĉji es definida como:
tr(Ĉji ) = �ij (A.19)
Para cumplir con el objetivo de encontrar el grupo al que corresponde la for-
mulación con la que se ha venido trabajando, nos tomamos una transformación
finita cuyos generadores sean Ĉji :
exp(i
∑
ij
�ijĈ
j
i ) (A.20)
De esta manera, el determinante de dicha transformación es:
det[exp(i
∑
ij
�ijĈ
j
i )] = exp(i
∑
ij
�ijtr(Ĉ
j
i )) =
= exp(i
∑
ij
�ij�ij) = exp(i
∑
i
�ii) = exp(iΦ) (A.21)
El grupo que puede cumplir esta propiedad es U(n), es decir, el grupo uni-
tario de n dimensiones. Para dicho grupo hay n2 generadores y parámetros.
Para poder hacer la transición de U(n) a SU(n), es necesario tomar en cuen-
ta la siguiente definición para los generadores de SU(n) [26]:
Ĉji = Ĉ
j
i −
�ij
n
∑
k
Ĉkk (A.22)
58
Dicha definición está en términos de los generadores de U(n).
Si se toma la suma de los elementos de la diagonal de la matriz de los
generadores, se obtiene:
∑
i
Ĉii =
∑
i
Ĉii −
1
n
N̂
n∑
i=1
1 = N̂ − 1
n
N̂n = 0
con
N̂ =
∑
m
Ĉmm
n∑
i=1
1 = n (A.23)
Estos generadores también forman un álgebra de Lie.
[Ĉji, Ĉ
q
p] = �jpĈ
q
i − �iqĈ
j
p (A.24)
Tomándose nuevamente una transformación finita cuyos generadores sean
ahora Ĉji, el determinante obtenido en este caso es:
det[exp(i
∑
ij
�ijĈ
j
i)] = exp(i
∑
ij
�ijtr(Ĉ
j
i)) = exp(i
∑
i
�itr(Ĉ
i
i)) =
= exp(i
∑
i
�i ⋅ 0) = exp(0) = 1 (A.25)
El grupo que puede cumplir esta propiedad es SU(n) que es el grupo especial
unitario en n dimensiones. Dicho grupo tiene n2 − 1 generadores y parámetros.
Una vez definidos los generadores tanto para U(n) como para SU(n), se
puede construir con estos mismos los operadores de Casimir para cada grupo.
Para poder realizar esto, es necesario