Analisis-matricial-para-resolver-sistemas-lineales-con-metodos-directos

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
 DE MÉXICO 
 
 FACULTAD DE CIENCIAS 
 
 
ANÁLISIS MATRICIAL PARA RESOLVER 
SISTEMAS LINEALES CON MÉTODOS DIRECTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T E S I S 
 
 
 QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
 ACTUARIA 
 P R E S E N T A : 
 
MICHELLE YADIRA CASTELLANOS REYES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TUTOR: 
M. EN C. JOSÉ LUIS NAVARRO URRUTIA 
2010 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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Hoja de Datos del Jurado 
 
1. Datos del alumno 
Castellanos 
Reyes 
Michelle Yadira 
22331923 
Universidad Nacional Autónoma de México 
Facultad de Ciencias 
Actuaría 
9438814-7 
 
2. Datos del tutor 
M en C 
José Luis 
Navarro 
Urrutia 
 
3. Datos del sinodal 1 
Dr. 
Alejandro 
Alvarado 
García 
 
4. Datos del sinodal 2 
M en C 
María Guadalupe Elena 
Ibargüengoitia 
González 
 
5. Datos del sinodal 3 
M en C 
Agustín Alberto 
Rosas 
Medina 
 
6. Datos del sinodal 4 
M en C 
Pedro 
Reyes 
Pérez 
 
7.Datos del trabajo escrito. 
Análisis matricial para resolver sistemas lineales con métodos directos 
90 p 
2010 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gracias a todos los que 
hicieron esto posible. 
Contenido
Introducción v
1 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonor-
males 1
1.1 Sistemas de Ecuaciones Lineales . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Propiedades básicas de matrices . . . . . . . 7
1.1.2 Eliminación gaussiana . . . . . . . . . . . . 15
1.1.3 Ortogonalidad (Proceso de Gram-Shmidt) y
norma vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.4 Norma matricial . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 El Número de Condición de una Matriz 35
2.1 Errores por redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Residuo de una solución aproximada. Sistemas mal
condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Métodos Directos para Resolver Sistemas Lineales 53
3.1 Factorización de Matrices . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.1 Factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1.2 El método de Cholesky o el método de la
ráız cuadrada para matrices simétricas . . . 69
3.1.3 Factorización para matrices tridiagonales . . 75
3.1.4 Factorización QR . . . . . . . . . . . . . . . 81
4 Conclusiones 87
iii
iv
Bibliograf́ıa 89
Introducción
Al trabajar con sistemas de ecuaciones lineales, en la práctica no
es extraño producir un programa lineal con muchos miles de ren-
glones y un número aparente ilimitado de columnas. En tales
problemas es necesario aplicar algún método para convertir los
grandes problemas en uno o varios problemas más pequeños, de
manera que su tamaño sea manejable. Los sistemas de ecuaciones
lineales son una de las herramientas matemáticas de modelación
más comunes en las aplicaciones. Estos sistemas se pueden re-
solver por medio de métodos directos o por métodos iterativos
(donde los cálculos tienen sentido sólo si la solución numérica está
cerca de la solución exacta del problema original). Estos cálculos
se realizan con algoritmos numéricamente estables.
En la actualidad hemos sido testigos del rápido desarrollo de las
computadoras y con ellas el uso de programas para resolver sis-
temas lineales por distintos métodos, aśı mismo han sido una he-
rramienta para mejorar la estabilidad en la solución.
Esta obra tiene como objetivo divulgar el uso de los método di-
rectos para resolver sistemas lineales por medio de la factorización
de la matriz de coeficientes. Esto conlleva esencialmente dos eta-
pas: transformación del sistema original a otro u otros sistemas
equivalentes más simples y luego encontrar la solución del nuevo
sistema (que es equivalente al original). La transformación del
sistema original a uno más -simple- toma muchas formas, la más
común de ellas es el proceso de eliminación gaussiana (que veremos
v
vi Introducción
en el primer caṕıtulo), esta es una de las herramienta escenciales
e importantes en la solución directa de los sistemas de ecuaciones
lineales.
La factorización es un procedimiento sistemático para resolver
problemas lineales de escala no muy grande (menor de un millón)
[5]. El tipo de factorización que se aplicará a cada sistema depen-
derá del tamaño y la forma de cada matriz.
En el primer caṕıtulo, damos las definiciones básicas referen-
tes a matrices, sus propiedades más utilizadas a través de toda la
tesis, como son: el proceso de eliminación gaussiana, el proceso de
Gram-Shmidt, norma vectorial y norma matricial.
En el segundo caṕıtulo, hacemos un análisis matricial, para
los sistemas mal condicionados, con el fin de conocer el compor-
tamiento del sistema y el comportamiento de la solución.
En el tercer caṕıtulo, desarrollamos cuatro factorizaciones ma-
triciales, para obtener la solución de un sistema lineal -grande- o
dif́ıcil y convertirlo en sistemas -fáciles- o sencillos de resolver.
En el último caṕıtulo concluimos con algunos comentarios y
observaciones de este trabajo.
Michelle Yadira Castellanos Reyes
Caṕıtulo 1
Sistemas de Ecuaciones
Lineales y Vectores
Ortonormales
En este caṕıtulo damos la definiciones básicas, teoremas y proce-
sos, que serán utilizados para los fines de este trabajo.
1.1 Sistemas de Ecuaciones Lineales
Las ecuaciones son igualdades entre expresiones algebraicas que
aparecen en la resolución de problemas, como son los de deter-
minar el valor de una cantidad o una magnitud en el supuesto
de que haya de cumplir determinadas condiciones. Los árabes in-
trodujeron el término de álgebra para referirse a toda una serie
de métodos estandarizados que permitian resolver cuestiones me-
diante procedimientos determinados por la forma del problema.
Más tarde se desarrolló un simbolismo algebraico y las ecuaciones
se convirtieron en el instrumento indispensable para reducir pro-
blemas complicados a términos más simples. La introducción
1
2 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
por Descartes,1 de los sistemas de coordenadas permitió expre-
sar gráficamente las ecuaciones mediante ĺıneas y puntos, lo cual
contribuyó a que naciera el concepto de función.
La igualdad formal define una relación de equivalencias en el con-
junto de expresiones algebraicas. Algunas de las posibles igual-
dades formales entre dos expresiones algebraicas son válidas con
independencia del valor numérico de dichas expresiones, es decir,
con independencia de los valores que puedan tomar las indetermi-
nadas o variables; por ejemplo consideremos
3xy − 6xz = 3x(y − 2z) (1.1)
(x+ y)2 = x2 + 2xy + y2 (1.2)
(1.1) y (1.2) son igualdades que se cumplen con independencia de
cuáles sean los valores asignados a las variables x, y y z. Una
igualdad de este tipo se denomina identidad.
En cambio, existen otras igualdades entre expresiones algebraicas
que sólo son válidas para determinados valores de las variables;
son las llamadas propiamente ecuaciones, por ejemplo
x+
1
7
x = 19 (1.3)
las variables que intervienen en ella acostumbran a recibir el nom-
bre de incógnitas.
Las ecuaciones se clasifican de acuerdo con el grado máximo de
las variables que intervienen en ellas. Lasecuaciones más sencillas
son las ecuaciones de primer grado, llamadas también ecuaciones
lineales.
1René Descarte, matemático y filósofo que también dedicó mucha atención
a la f́ısica, observando fenómenos naturales, es uno de los grandes nombres en
el estudio y resolución de ecuaciones.
Sistema de Ecuaciones Lineales 3
Las ecuaciones lineales aparecen asociadas en muchas ocasiones
a problemas algebraicos que pueden plantearse en el marco de la
vida cotidiana, y una vez que se ha formulado la ecuación, es claro
que nos interesa determinar su solución.
Por ejemplo, supongamos que se trata de resolver la siguiente
cuestión: ¿Cuál es la distancia que ha de recorrer un excursion-
ista que sigue un determinado itinerario si se sabe que, cuando
ha recorrido 2
5
de camino, está todav́ıa a 1 km de distancia de la
mitad de la ruta prevista?
Si llamamos x la distancia que se quiere calcular y convirtiendo el
enunciado en una ecuación, resulta que:
2
5
x+ 1 =
1
2
x (1.4)
para resolver (1.4), simplemente despejamos la variable y tenemos
que x = 10 km que es la distancia que ha de recorrer el excursio-
nista.
Resolver el problema anterior es sencillo, ya que la ecuación
obtenida es una ecuación lineal con una incógnita.
En la práctica existen problemas donde las ecuaciones obtenidas
son más de una y también el número de variables, las cuales se les
nombra sistema de ecuaciones.
El siguiente ejemplo muestra una problemática donde se re-
quiere un sistema de ecuaciones lineales, con tres incógnitas y tres
ecuaciones:
El promedio de las temperaturas del Distrito Federal (DF), Jalisco
(Ja) y Monterrey (Mo) fue de 88 oF durante cierto d́ıa de verano,
en Monterrey fue de 9 oF mayor que el promedio de las temperatu-
ras de las otras dos cuidades, en el Distrito Federal fue 9 oF menor
que la temperatura promedio de las otras dos ciudades. ¿Cuál fue
4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
la temperatura en cada ciudad?
x+ z
2
+ 9 = y (1.5)
y + z
2
− 9 = x
x+ y + z
3
= 88
resolviendo el sistema (1.5) por sustitución2 u otro método3,
obtenemos la solución
x = DF = 82 oF
y = Mo = 94 oF
z = Ja = 88 oF.
Cuando el problema es mayor, hay muchas incógnitas por de-
terminar y deben satisfacer a todas las ecuaciones. En estos ca-
sos ya no es sencillo resolver por medio de sustitución, debido
al número de operaciones que hay que realizar. Para facilitar el
trabajar con sistemas de ecuaciones, los coeficientes de estas se
transcriben de forma ordenada en un arreglo de columnas y ren-
glones, llamadas matrices.
Para los fines que perseguimos, los elementos de las
matrices siempre estarán contenidos en el campo de los
números reales (R).
1 Definición. Una matriz A de n×m es un arreglo rectangular
de elementos con n renglones y m columnas y denotaremos por
Anm, donde no sólo es importante el valor de un elemento, sino
también su posición en el arreglo.
2El método por sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales,
se puede consultar en cualquier libro de algebra, por ejemplo Baldor.
3El el caṕıtulo 3, veremos otros métodos para encontrar la solución de
sistemas de ecuaciones lineales.
Sistema de Ecuaciones Lineales 5
Observación. Utilizaremos la notación [aij], para determinar
la matriz A, cuando hacemos referencia a sus elementos y también
utilizaremos A sin subindices, para definir una matriz cuando no
haya confusión acerca del tamaño de la matriz.
Por ejemplo, sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1mxm = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2mxm = b2
...
...
... (1.6)
an1x1 + an2x2 + · · ·+ anmxm = bn
Si consideramos únicamente el lado izquierdo de las igualdades
de (1.6), obtenemos la matriz Anm, y si nos fijamos en la parte
derecha, obtenemos la matriz bn1.
Anm =

a11 a12 · · · a1m
a21 a22 · · · a2m
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · anm
 y bn1 =

b1
b2
...
bn

considerando el sistema (1.6) con ambos lados de la igualdad, ob-
servemos que la matriz asociada Cn(m+1), no es otra cosa que un
arreglo entre las matrices Anm y bn1,
Cn(m+1) = [Anm|bn1] =

a11 a12 · · · a1m b1
a21 a22 · · · a2m b2
...
...
. . .
...
...
an1 an2 · · · anm bn

donde [Anm | bn1] se lee, la matriz aumentada. Observemos que
no es necesario escribir todas las ecuaciones completas en cada
paso ni retener las variables xi en los cálculos, pues siempre per-
manecen en su misma columna. La única variante de un sistema a
6 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
otro se presenta en los coeficientes de las incógnitas y en los valo-
res del lado derecho de las ecuaciones, por tal razón en el álgebra
lineal, a menudo un sistema lineal se reemplaza por una matriz
que contiene toda la información necesaria, lo cual nos permite
manipular el sistema de una manera más sencilla para determinar
su solución, de forma fácil y compacta.
Observación. Dos matrices A y B son iguales, si tiene el
mismo tamaño y si aij = bij para cada i = 1, 2, . . . n, y j =
1, 2, . . . ,m.
2 Definición. Un Espacio vectorial real V es un conjunto
de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas
suma y multiplicación por un escalar que satisfacen diez axiomas,
que se enumeran a continuación.
1. Si x̄ y ȳ ∈ V , entonces x̄ + ȳ ∈ V (V es cerrado para la
suma).
2. Para todos x̄, ȳ, z̄ ∈ V, (x̄+ ȳ)+ z̄ = x̄+(ȳ+ z̄) (ley asociativa
de la suma).
3. Existe un vector 0̄ ∈ V , tal que para todo x̄ ∈ V, x̄ + 0̄ =
0̄ + x̄ = x̄ (0̄ es el neutro aditivo).
4. Si x̄ ∈ V , existe un vector −x̄ ∈ V , tal que x̄ + (−x̄) = 0̄
(−x̄ es el inverso aditivo de x̄).
5. Si x̄, ȳ ∈ V , entonces x̄ + ȳ = ȳ + x̄ (ley conmutativa de la
suma de vectores).
6. Si x̄ ∈ V , y α es un escalar, entonces αx̄ ∈ V (V es cerrado
para la multiplicación escalar).
7. Si x̄, ȳ ∈ V y si α es un escalar, entonces α(x̄+ ȳ) = αx̄+αȳ
(primera ley distributiva).
Sistema de Ecuaciones Lineales 7
8. Si x̄ ∈ V y si α y β son escalares, entonces (α+β)x̄ = αx̄+βx̄
(segunda ley distributiva).
9. Si x̄ ∈ V y si α y β son escalares, entonces α(βx̄) = (α ·β)x̄,
donde α ·β es el producto punto de escalares, (ley asociativa
de la multiplicación por escalar).
10. Para todo vector x̄ ∈ V, 1x̄ = x̄ (1 es el neutro multiplica-
tivo).
1.1.1 Propiedades básicas de matrices
Las matrices constituyen un método adecuado para expresar y
tratar un sistema lineal. Veamos un poco del álgebra asociada a
ellas y sus propiedades, para poder resolver problemas que con-
tengan sistemas de ecuaciones lineales.
Podemos dar a las matrices Mmn ∈ R, estructura de espacio
vectorial, ya que en realidad sus columnas y sus renglones en el
arreglo son vectores columna o vectores renglón respectivamente,
y cumplen con los axiomas de espacio vectorial, como veremos a
continuación.
Definimos la suma de matrices y el producto de una matriz por
un número real.
3 Definición. Sean Anm y Bnm matrices, entonces la suma de
Anm y Bnm, denotada Anm +Bnm, es la matriz de tamaño n×m
cuyos elementos son aij + bij, para cada i = 1, 2, . . . , n y para
cada j = 1, 2, . . . ,m.
4 Definición. Sea Anm y α ∈ R, entonces la multiplicación de
la matriz Anm por el escalar α, denotada αAnm, es una matriz de
tamaño n×m cuyos elementos son αaij, para cada i = 1, 2, . . . , n
y para cada j = 1, 2, . . . ,m.
8 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
Observación. La matriz nula es aquella cuyos elementos aij =
0, para toda i = 1, . . . , n y para toda j = 1, 2, . . . ,m.
Observación. La matriz −A, es aquella cuyos elementos son
−aij, para toda i = 1, . . . , n y para toda j = 1, 2, . . . ,m.
1.1 Teorema. Sean Anm, Bnm y Cnm matrices y sean α y β ∈ R,
entonces se cumplen las siguientes propiedades
1. Anm +Bnm = Bnm + Anm
2. (Anm +Bnm) + Cnm = Anm + (Bnm + Cnm)
3. Anm + 0nm = 0nm + Anm = Anm
4. Anm + (−Anm) = −Anm + Anm = 0nm
5. α(Anm +Bnm) = αAnm + αBnm
6. (α + β)Anm = αAnm + βAnm
7. α(βAnm) = (αβ)Anm.
La demostraciónde este teorema es muy similar a la prueba
que se hace con los números reales y se puede ver en cualquier
texto elemental de álgebra lineal, por lo que no se realizará en
este trabajo.
5 Definición. Se dice que una matriz A es cuadrada si el número
de renglones es igual al número de columnas. En este caso se dice
que la matriz A es de tamaño n× n, y la denotaremos por An.
6 Definición. Se dice que D es matriz diagonal si
D =
{
dij = 0 para i 6= j.
}
.
Sistema de Ecuaciones Lineales 9
Observación. La matriz identidad (I) es una matriz
diagonal con dij = 1, para i = j.
7 Definición. Sea An, se dice que Un es matriz triangular supe-
rior de An, si todos sus elementos debajo de la diagonal son cero.
Análogamente se dice que Ln es matriz triangular inferior de An
si todos sus elementos por encima de la diagonal son cero.
Además podemos definir un producto de matrices de la siguien-
te manera:
8 Definición. Sean Anm y Bmp matrices. El producto matricial
de Anm y Bmp, denotamos AnmBmp, es una matriz Cnp cuyos ele-
mentos cij están dados por
cij =
m∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aimbmj,
para cada i = 1, 2, . . . , n, y j = 1, 2, . . . , p, es decir
(
ai1, ai2, · · · , aim
)

b1j
b2j
...
bmj
 = cij.
1.2 Teorema. Sean las matrices Anm, Bmk, Ckp, Dmk y α ∈ R.
Se tienen las siguientes propiedades
1. Anm(BmkCkp) = (AnmBmk)Ckp
2. Anm(Bmk + Ckp) = AnmBmk + AnmCkp
3. ImBmk = Bmk y BmkIk = Bmk
4. α(AnmBmk) = (αAnm)Bmk = Anm(αBmk).
Una manera de probar estas propiedades es desarrollando los
dos lados de la igualdad de cada inciso y se llegará al mismo re-
sultado en cada caso.
10 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
9 Definición. Se dice que una matriz An es no singular, si existe
una matriz A−1n , tal que AnA
−1
n = A
−1
n An = In. A la matriz A
−1
n
se le llama inversa de An. Si la inversa de An no existe, se dice
que An es singular.
1.3 Teorema. Sean las matrices An y Bn no singulares, entonces
1. A−1n es única
2. A−1n es no singular y (A
−1
n )
−1 = An
3. (AnBn)
−1 = B−1n A
−1
n .
Demostración.
Para la demostración no usaremos los subindices de las matrices,
se da por entendido que el tamaño de las matrices en este teorema
es n.
1. Supongamos que la inversa de A no es única, entonces sean
A−1 y B−1, inversas de la matriz A.
Partimos del hecho que A = A y si multiplicamos por B−1 y
A−1 del lado izquierdo y derecho respectivamente en ambos
lados de la igualdad obtenemos
B−1AA−1 = B−1AA−1
asociamos de la siguiente manera
(B−1A)A−1 = B−1(AA−1)
por hipótesis B−1 y A−1 son inversas de A, entonces
IA−1 = B−1I
por el Teorema (1.2 - inciso 3)
A−1 = B−1
lo que nos lleva a una contradicción, por lo tanto la inversa
de A es única.
Sistema de Ecuaciones Lineales 11
2. Por hipótesis A−1 es no singular, entonces existe (A−1)−1
por definición de inversa, definición (9)
(A−1)−1A−1 = I
si multiplicamos la igualdad por A y asociamos
(A−1)−1(A−1A) = IA
por definición de inversa y por el Teorema (1.2 - inciso 3)
(A−1)−1 = A.
3. Por hipótesis existe A−1, B−1 y (AB)−1, por definición de
inversa
(AB)−1(AB) = I
por demostrar
B−1A−1(AB) = I
asociamos
B−1(A−1A)B = I
por definición de inversa
B−1IB = I
B−1B = I
I = I
como la inversa es única, entonces (AB)−1 = B−1A−1. �
10 Definición. La transpuesta de una matriz Anm = [aij], se de-
nota por At, donde la i-ésima columna de At es el i-ésimo renglón
de Anm, es decir, A
t = [aji] = Amn, (intercambio de renglones y
columnas).
Observación. Una matriz cuadrada A será simétrica si A = At.
12 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
1.4 Teorema. Las siguientes operaciones son relativas a la trans-
puesta de una matriz, y son válidas siempre que se cumpla la
definición de suma y producto de matrices
1. (At)t = A
2. (A+B)t = At +Bt
3. (AB)t = BtAt
4. Si A−1 existe, (A−1)t = (At)−1.
Demostración.
1. Sea
A = [aij],
al transponer por definición,
At = [aji],
si aplicamos la definición de transpuesta por segunda vez,
(At)t = [aij] = A.
2. Por hipótesis la suma de A y B está definido entonces, trans-
ponemos
(A+B)t = [a+ b]ji = [aji] + [bji],
por definición de transpuesta
[aji] + [bji] = A
t +Bt.
3. Por hipótesis existe el producto AB, entonces [aij][bjk], por la
definición (5) producto de matrices, el número de columnas
(j) de A debe ser igual al número de renglones (j) de B.
Si transponemos a A y a B, tenemos, At = [aji] y B
t = [bkj],
Sistema de Ecuaciones Lineales 13
para que el producto sea factible por definición del producto
de matrices, ahora el número de columnas de B coinciden
con el número de renglones de A, es decir, BtAt.
El primer renglón de este producto es la primera columna de
(AB)t, los otros renglones de (AB)t también coinciden con
las columnas de BtAt.
4. Por definición de inversaAA−1 = I, y tomando la transpuesta
(AA−1)t = I t
por el punto anterior (producto de transpuestas)
(A−1)tAt = I t
multiplicamos por (At)−1 y asociando términos
(A−1)t(At(At)−1) = I t(At)−1
por definición de inversa
(A−1)tI = I t(At)−1
I = I t por ser una matriz simétrica, por lo tanto
(A−1)t = (At)−1. �
Ahora veamos la definición del determinante de una matriz, ya
que es un concepto fundamental del álgebra lineal, con el cual se
determina la existencia y la unicidad de la solución de los sistemas
de ecuaciones lineales.
11 Definición.
1. Si A1 = [a], entonces el detA = a.
2. Sea An, el menor Mij es el determinante de la submatriz
(n− 1)× (n− 1) de An, que se obtiene al suprimir el i-ésimo
renglón y la j-ésima columna de la matriz An.
14 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
3. El cofactorAij asociado aMij se define conAij = (−1)i+jMij.
4. El determinante de la matriz An, cuando n > 1, está dado
por
detA =
n∑
j=1
aijAij =
n∑
j=1
(−1)i+jaijMij.
1.5 Teorema. Sean las matrices An y Bn, entonces se cumplen
las siguientes proposiciones:
1. Si un renglón o columna cualquiera de An tiene exclusiva-
mente elementos cero, entonces el detAn = 0.
2. Si obtenemos Ãn a partir de An intercambiando los renglones
i y j, con i 6= j, entonces el det Ãn = −(detAn).
3. Si An tiene dos renglones iguales o dos columnas iguales,
entonces detAn = 0.
4. Si obtenemos Ãn a partir de multiplicar el i-ésimo renglón
de An por un escalar λ, entonces det Ãn = λ(detAn).
5. Si obtenemos Ãn a partir de sumarle al i-ésimo renglón de
An el producto del j-ésimo renglón de An por el escalar λ,
entonces det Ãn = detAn.
6. El det(AnBn) = (detAn)(detBn).
7. detAtn = detAn.
8. Cuando A−1n existe, detA
−1
n = (detAn)
−1.
9. Si An = [aij] es una matriz triangular superior o triangular
inferior (o diagonal), entonces detAn =
∏n
i=1 aii.
Sistema de Ecuaciones Lineales 15
La demostración de este teorema se puede ver en [1].
En este trabajo sólo consideraremos sistemas de ecua-
ciones lineales que tengan solución y que esta sea única.
A continuación se presenta el resultado más importante que
relaciona la no singularidad, la eliminación gaussiana, los sistemas
lineales y los determinantes de las matrices, que son las condiciones
básicas para que el sistema tenga solución única.
1.6 Teorema. Las afirmaciones que siguen son equivalentes para
cualquier matriz An
1. La ecuación Anx̄ = 0̄, tiene la solución única x̄ = 0̄.
2. El sistemaAnx̄ = bn1, tiene una solución única para cualquier
vector columna n dimensional b̄.
3. La matriz An es no singular, es decir, existe A
−1
n .
4. detAn 6= 0.
5. La eliminación gaussiana con intercambio de renglones puede
efectuarse en el sistema Anx̄ = bn1, para cualquier vector b̄
columna n dimensional.
La demostración de este teorema se puede ver en [1].
1.1.2 Eliminación gaussiana
La eliminación de Gauss, es uno de mejores métodos para resolver
sistemas lineales. Es por eso que lo utilizaremos para resolver
sistemas de n ecuaciones lineales, el método consiste en aplicar
16 Sistemas de Ecuaciones Lineales y VectoresOrtonormales
ciertas operaciones para simplificar el sistema lineal
E1 : a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
E2 : a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
...
...
...
En : an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn
las operaciones que se aplican sobre cualquier sistema de ecua-
ciones, llamadas operaciones elementales, son:
• La ecuación Ei puede multiplicarse por una constante λ 6=
0, y la ecuación resultante se emplea en vez de Ei. Esta
operación se denota por (λ Ei) → Ei.
• La ecuación Ej puede multiplicarse por una constante λ y
sumarse a la ecuación Ei, la ecuación resultante se emplea en
vez de Ei. Esta operación se denota por (Ei + λEj)→ (Ei).
• El orden de las ecuaciones Ei y Ej puede intercambiarse.
Esta operación se denota por (Ei) ↔ (Ej).
A partir de estas operaciones elementales podemos trans-
formar un sistema lineal en otro, y al resolver el nuevo
sistema no se altera la solución del sistema original, es
decir, los sistemas son equivalentes.
Si queremos resolver el sistema Anx̄ = bn1, podemos transfor-
mar la matriz de coeficientes An, por medio de las operaciones
elementales, en una matriz triangular superior. Si el sistema es
denotado por A(1)x̄ = b(1), para indicar el estado original del sis-
tema, entonces el proceso de eliminación gasussiana está dado por:
Primer paso de eliminación
Si a
(1)
11 6= 0, podemos eliminar la incógnita x1 de las ecuaciones
Sistema de Ecuaciones Lineales 17
siguientes. El paso t́ıpico es restar de la i-ésima ecuación (i :
2, 3, . . . , n) la primera, multiplicada por
mi1 =
a
(1)
i1
a
(1)
11
(i = 2, 3, . . . , n),
este número mi1 se conoce como el multiplicador asociado con la
i-ésima ecuación.
Después de realizar esta operación la i-ésima ecuación tendrá nuevos
coeficientes a
(2)
ij y b
(2)
i cuyos valores son a
(2)
i1 = 0 y
a
(2)
ij = a
(1)
ij −mi1a
(1)
1j , (i = 2, 3, . . . , n),
b
(2)
i = b
(1)
i −mi1b
(1)
1 .
Después de la aplicación de las operaciones anteriores para cada
renglón i = 2, 3, . . . , n, obtenemos el nuevo sistema A(2)x = b(2)
dado expĺıcitamente por
a
(1)
11 x1 + a
(1)
12 x2 + · · ·+ a
(1)
1nxn = b
(1)
1
a
(2)
22 x2 + · · ·+ a
(2)
2nxn = b
(2)
2
...
...
...
a
(2)
n2x2 + · · ·+ a(2)nnxn = b(2)n .
Observación. Nótese que si se resuelve computacionalmete el
problema, para almacenar los coeficientes aij y bij, podemos es-
cribir sobre los a
(1)
ij los nuevos valores a
(2)
ij que se acaban de cal-
cular. Podemos guardar también los multiplicadores mi1 en donde
teńıamos los coeficientes a
(1)
i1 siempre y cuando recordemos que to-
dos los elementos debajo de la diagonal principal en la primera
columna de A(2) son en realidad iguales a cero.
Segundo paso de eliminación
Ahora el objetivo es eliminar la incógnita x2 desde la tercera
18 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
ecuación hasta la última. Si a
(2)
22 6= 0, en primer término calcu-
lamos los multiplicadores
mi2 =
a
(2)
i2
a
(2)
22
(i = 3, 4 . . . , n),
los nuevos coeficientes a
(3)
ij y b
(3)
i sern a
(3)
i2 = 0 y
a
(3)
ij = a
(2)
ij −mi2a
(2)
2j , (i = 3, 4 . . . , n),
b
(3)
i = b
(2)
i −mi2b
(2)
2 .
Luego de aplicar estas operaciones a cada renglón i = 3, . . . , n,
obtenemos el nuevo sistema A(3)x = b(3) definido por
a
(1)
11 x1 + a
(1)
12 x2 + a
(1)
13 x3 + · · ·+ a
(1)
1nxn = b
(1)
1
a
(2)
22 x2 + a
(2)
23 x3 + · · ·+ a
(2)
2nxn = b
(2)
2
a
(3)
33 x3 + · · ·+ a
(3)
3nxn = b
(3)
3
...
...
...
a
(3)
n3x3 + · · ·+ a(3)nnxn = b(3)n .
Continuando de esta manera, después de n−1 pasos de eliminación
obtenemos un sistema de la forma
a
(1)
11 x1 + a
(1)
12 x2 + a
(1)
13 x3 + · · ·+ a
(1)
1nxn = b
(1)
1
a
(2)
22 x2 + a
(2)
23 x3 + · · ·+ a
(2)
2nxn = b
(2)
2
a
(3)
33 x3 + · · ·+ a
(3)
3nxn = b
(3)
3
...
...
...
a(n)nnxn = b
(n)
n .
que se denotará por A(n)x = b(n). Este procedimiento es aplica-
ble toda vez que cada uno de los coeficientes a
(1)
11 , a
(2)
22 , a
(3)
33 , . . . , a
(n)
nn
(denominados pivotes), sean distintos de cero.
Sistema de Ecuaciones Lineales 19
Cuando se realiza computacionalmente este proceso la matriz
An se reescribe en forma sucesiva, en cada paso de eliminación,
almacenando los nuevos coeficientes a
(k)
ij y los correspondientes
multiplicadores mik en los lugares antes asignados a las variables
eliminadas. Hasta obtener el sistema triangular superior
Unx̄ = bn1, tal que Un = A
(n), bn1 = b
(n).
Es claro que no necesariamente las entradas uij de la matriz U
concuerden con las entradas de la matriz original, sin embargo,
son equivalentes. Observemos que como el nuevo sistema es tri-
angular superior, podemos efectuar sustitución regresiva, para
encontrar la solución.
xn =
b
(n)
n
a
(n)
nn
,
xi =
b
(i)
i −
∑n
j=i+1 a
(i)
ij xj
aii
, i = n− 1, n− 2, . . . , 1.
Consideremos el sistema (1.5), expresado en la matriz de coefi-
cientes y apliquemos la eliminación gaussiana para encontrar la
solución.
1.1.1 Ejemplo.
[A|b] =
 1 −12 −12 −9−1
2
1 −1
2
9
1
3
1
3
1
3
88

Para comenzar la fase de triangulación superior, tomamos [A(0)|b(0)]
como [A|b].
Para obtener ceros debajo de a11 = 1, usamos las sustracciones;
1) (E2 − a21a11E1)→ E2
= [−1
2
, 1,−1
2
: 9] +
1
2
[1,−1
2
,−1
2
: −9] = [0, 3
4
,−3
4
:
9
2
]
20 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
2) (E3 − a31a11E1)→ E3
= [
1
3
,
1
3
,
1
3
: 88]− 1
3
[1,−1
2
,−1
2
: −9] = [0, 1
2
,
1
2
: 91]
la matriz aumentada [A(1)|b(1)] resultante es
=
 1 −12 −12 −90 3
4
−3
4
9
2
0 1
2
1
2
91

Para obtener ceros debajo de a22 =
3
4
, usamos la sustracción;
(E3 − a32a22E2)→ E3
= [0,
1
2
,
1
2
: 91]− 2
3
[0,
3
4
,−3
4
:
9
2
] = [0, 0, 1 : 88]
La matriz triangular superior resultante es [A(2)|b(2)]
=
 1 −12 −12 −90 3
4
−3
4
9
2
0 0 1 88

y el sistema de ecuaciones es
x− 1
2
y − 1
2
z = −9 (1.7)
3
4
y − 3
4
z =
9
2
z = 88
Aqúı termina el proceso de eliminación y ahora aplicando susti-
tución regresiva, obtenemos la solución del sistema (1.7)
z = 88
y = 94
x = 82
La cual es solución del sistema original (1.5).
Sistema de Ecuaciones Lineales 21
Pivoteo
El método de eliminación de Gauss tal y como se ha presentado
hasta el momento, por definición, los pivotes no pueden ser cero,
ya que es necesario dividir entre ellos.
Si el primer coeficiente es cero, en la esquina superior izquierda,
la eliminación de las incognitas de las otras ecuaciones es imposi-
ble. Lo mismo es cierto en toda etapa intermedia. Observe que en
una posición pivote puede aparecer un cero, aún si el coeficiente
original en ese sitio no era cero. En términos generales, no se
sabe si aparecera un cero sino hasta que se intenta, al realizar en
verdad el proceso de eliminación. En muchos casos este problema
puede restablecerse, por lo que la eliminación puede continuar.
Un sistema aśı sigue siendo no singular; es sólo el algoritmo lo que
requiere reparación. En otros casos es inevitable la falla. Estos
sistemas incurables son singulares, no tienen solución o tienen una
infinidad de estas, por lo que no es posible encontrar un conjunto
completo de pivotes.
Si bien es cierto que no podemos eliminar completamente la in-
estabilidad, podemos controlarla permutando el orden de los ren-
glones (operaciones elementales) y/o columnas de la matriz. A
esta técnica se le conoce como pivoteo y ha sido utilizada desde
la aparición de las computadoras (alrededor de 1950).
El pivoteo consiste en que si durante el proceso de eliminación
se obtiene un pivote nulo, por ejemplo a
(k−1)
kk , se debe buscar en
la parte inferior de la columna k-ésima un coeficiente no nulo, es
decir de entre los a
(k−1)
ik , i = k + 1, . . . , n, se toma uno que sea
distinto de cero. Se sustituye entonces la fila k (y su término inde-
pendiente, b
(k−1)
k por la fila i (y su término independiente b
(k−1)
i )
que se haya escogido.
22 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
1.1.2 Ejemplo. Seael sistema
2x+ 2y − 4z = −1 (1.8)
x+ y + 5z = −2
x+ 3y + 6z = −5
[A(0)|b(0)] =
 2 2 −4 −11 1 5 −2
1 3 6 −5
 ,
multiplicamos el primer renglón por (−1
2
) y lo sumamos el segundo
y tercer renglón
[A(1)|b(1)] =
 2 2 −4 −10 0 7 −3
2
0 2 8 −9
2
 ,
en este caso el segundo pivote a22 = 0 y es imposible usarlo para
continuar con la eliminación gaussiana, ya que no podemos dividir
entre esta entrada, aplicamos pivoteo, es decir, intercambiamos el
segundo y tercer renglones
[A(2)|b(2)] =
 2 2 −4 −10 2 8 −9
2
0 0 7 −3
2
 ,
aqúı termina el proceso, ya que los elementos debajo de la diagonal
son todos cero. Ahora proseguimos con la sustitución regresiva
para obtener la solución del sistema (1.8)
(x, y, z)t = (7,−9
2
,
3
2
)t.
La eliminación gaussiana es la base para hacer una de las des-
composiciones más importante y más usada en la práctica que
veremos en el caṕıtulo 3.
Sistema de Ecuaciones Lineales 23
1.1.3 Ortogonalidad (Proceso de Gram-Shmidt)
y norma vectorial
Haremos una breve introducción al concepto de ortogonalidad.
Recordemos la definición de subespacio y base vectorial.
12 Definición. Un subconjunto W de un espacio vectorial V se
denomina subespacio de V , si W es un espacio vectorial bajo la
adición y la multiplicación escalar definidas sobre V .
Si W es un conjunto formado por uno o más vectores de un
espacio vectorial V , entonces W es un subespacio de V , si y sólo
si se cumplen las siguientes condiciones.
1. Si ū y v̄ son vectores en W , entonces ū+ v̄ están en W .
2. Si α es cualquier escalar y ū es cualquier vector en W , en-
tonces αū está en W .
13 Definición. Base. Un conjunto de vectores {v1, v2, · · · , vn}
forma una base para V si
1. {v1, v2, · · · , vn} es linealmente independiente.
Recordemos que {v1, v2, · · · , vn} son linealmente indepen-
dientes, si existen n escalares {α1, α2, . . . , αn} y si la ecuación
α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0
sólo se satisface si α1 = α2 = · · · = αn = 0.
2. {v1, v2, · · · , vn} genera V , es decir cualquier vector de v̄ en V
se puede escribir en términos de {v1, v2, · · · , vn}, por ejemplo
v̄ = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn.
Vectores y subespacios ortogonales
Se requiere una base para convertir construcciones geométricas en
24 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
cálculos algebraicos, y se necesita una base ortogonal para que es-
tos cálculos sean sencillos. Además de vectores, los subespacios
también pueden ser perpendiculares.
El primer paso es encontrar la longitud de un vector , que se
denota por ‖x̄‖,
14 Definición. Una función ‖‖ se llama norma vectorial si para
cualquier vector x̄ y ȳ ∈ Rn, se satisfacen los siguientes axiomas:
1. ‖x̄‖ > 0,
2. ‖x̄‖ = 0⇔ x̄ = 0,
3. ‖ax̄‖ = |a|‖x̄‖ para cualquier número real a,
4. ‖x̄+ ȳ‖ 6 ‖x̄‖+ ‖ȳ‖ (desigualdad del triángulo),
La norma vectorial en dos dimensiones proviene de la hipotenusa
de un triangulo rectángulo. El cuadrado de la longitud que fue
proporcionada por Pitágoras es:
‖x̄‖2 = x21 + x22.
En el espacio tridimensional, x̄ = (x1, x2, x3) es la diagonal de un
paralelepipedo, entonces la longitud en tres dimensiones es
‖x̄‖2 = x21 + x22 + x23.
La extensión a x̄ = (x1, · · · , xn) en n dimensiones es inmediata.
Por el teorema de Pitágoras multiplicando por n − 1 veces, la
longitud de ‖x̄‖ ∈ Rn es la ráız cuadrada positiva de x̄tx̄:
longitud al cuadrado
‖x̄‖2 = x21 + x22 + · · ·+ x2n = x̄tx̄. (1.9)
Sistema de Ecuaciones Lineales 25
Siguiendo con la idea de la definición (14), enunciamos las nor-
mas vectoriales más generales.
15 Definición. Sea p > 1. La norma de Hölder, o norma-p, se
define como:
‖x̄‖p = (
n∑
i=1
|xi|p)
1
p .
En particular, para p = 1 obtenemos la norma-1
‖x̄‖1 =
n∑
i=1
|xi|, (1.10)
la norma-2 (o norma euclidiana, por ser semejante a la fórmula de
la distancia en geometŕıa), para p = 2,
‖x̄‖2 = (
n∑
i=1
|xi|2)
1
2 , (1.11)
y la norma-∞, es decir para p =∞, es
‖x̄‖∞ = máx16i6n|xi|. (1.12)
Vectores ortogonales
En el plano generado por x y y, estos vectores son ortogonales
en el supuesto de que formen un ángulo recto. Si a estos vec-
tores aplicamos el teorema de Pitagoras (a2 + b2 = c2), obtenemos
Lados de un triangulo rectángulo
‖x‖2 + ‖y‖2 = ‖x− y‖2.
Al aplicar la fórmula de longitud (1.9), esta prueba de ortogonali-
dad en Rn se vuelve
(x21 + · · ·+ x2n) + (y21 + · · ·+ y2n) = (x1 − y1)2 + · · ·+ (xn − yn)2
26 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
desarrollando los binomios del lado derecho de la igualdad contiene
un término −2xiyi extra de cada (xi − yi)2.
miembro derecho
= (x21 + · · ·+ x2n)− 2(x1y1 + · · ·+ xnyn) + (y21 + · · ·+ y2n),
es decir
0 = −2(x1y1 + · · ·+ xnyn).
Se tiene un triangulo rectángulo cuando la suma de los términos
del producto xiyi es cero (vectores ortogonales), es decir
x̄tȳ = x1y1 + · · ·+ xnyn = 0.
Esta suma es x̄tȳ =
∑
xiyi = ȳ
tx̄, el vector x̄t multiplicando
por el vector columna ȳ, se denomina producto interior .
Lo anterior es la prueba del siguiente teorema.
1.7 Teorema. El producto interno x̄tȳ es cero si y sólo si x̄ y ȳ
son vectores ortogonales, para el caso en que x̄, ȳ 6= 0̄, ya que el
vector cero es ortogonal a cualquier vector.
Subespacios ortogonales
16 Definición. Dos subespacios V y W del mismo espacio Rn
son ortogonales si cada vector v̄ en V es ortogonal a cada vector
w̄ en W : v̄tw̄ = 0̄ para toda ū y w̄.
Bases Ortogonales
En una base ortogonal, todos los vectores son perpendiculares en-
tre śı. Los ejes coordenados son mutuamente ortogonales. Esta
situación es casi óptima, y la única mejoŕıa es fácil de realizar:
cada vector se divide entre su longitud con la finalidad de hacerlo
un vector unitario. Aśı se cambia una base ortogonal a una base
ortonormal .
Sistema de Ecuaciones Lineales 27
17 Definición. Los vectores q1, · · · , qn son ortonormales si
qTi qj =
{
0 siempre que i 6= j, proporcionando la ortogonalidad
1 siempre que i = j, proporcionando la normalización
Una matriz con columnas ortonormales se denomina Q.
Un buen ejemplo es considerar la base canónica de R2, la
cual está formada por {e1, e2}, donde e1 = (1, 0) y e2 = (0, 1),
son los ejes más conocidos y no sólo son perpendiculares, si no
que también son horizontal y vertical, respectivamente. Entonces
Q = I2. Si consideramos la base canónica de Rn, está formada por
{e1, · · · , en} y Q = In.
Al rotar los ejes sin modificar los ángulos a los que se cortan son
ejemplos de Q(matrices ortogonales).
Si se tiene un subespacio de Rn, los vectores canónicos ei
pueden no estar en ese subespacio. Sin embargo, el subespacio
siempre tiene una base ortonormal, que puede construirse en forma
sencilla a partir de cualquier base dada. Esta construcción que
transforma un conjunto sesgado de ejes en un conjunto perpendi-
cular, se denomina ortogonalización de Gram-Schmidt.
1.8 Teorema (Proceso de Gram - Schmidt). Sea W un subespa-
cio no nulo de Rn con base S = {ū1, ū2, . . . , ūm}, entonces, hay
una base ortonormal T = {w̄1, w̄2, . . . , w̄m} para W .
Demostración.
Esta se realizará de forma constructiva, es decir, construiremos
gradualmente la base T deseada.
El primer paso consiste en encontrar una base ortogonal T ∗ =
{v̄1, v̄2, . . . , v̄m} para W .
Primero elegimos cualquiera de los vectores de S, digamos ū1, y
lo llamamos v̄1; v̄1 = ū1. Después buscamos un vector v̄2 en el
subespacio W1 de W generado por {ū1, ū2} que sea ortogonal a v̄1.
28 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
Como v̄1 = ū1, W1 es también el subespacio generado por {v̄1, ū2}.
Hagamos,
v̄2 = c1v̄1 + c2ū2.
Intentaremos determinar c1 y c2 de modo que v̄1 · v̄2 = 0. Ahora,
0 = v̄2 · v̄1 = (c1v̄1 + c2ū2) · v̄1 = c1(v̄1 · v̄1) + c2(ū2 · v̄1). (1.13)
Como v̄1 6= 0̄, porque, v̄1 · v̄1 6= 0, y al resolver para c1 y c2 en
(1.13), obtenemos
c1 = −c2
ū2 · v̄1
v̄1 · v̄1
.
Donde podemos asignar un valor arbitrario no nulo a c2. Si hace-
mos c2 = 1, obtenemos
c1= −
ū2 · v̄1
v̄1 · v̄1
.
Por lo tanto,
v̄2 = c1v̄1 + c2ū2 = ū2 − (
ū2 · v̄1
v̄1 · v̄1
)v̄1.
Observe que hasta este momento hemos construido un subconjunto
ortogonal v̄1, v̄2 de W .
A continuación, determinaremos un vector v̄3 que está en el sub-
espacio W2 de W generado por {ū1, ū2, ū3} y es ortogonal a v̄1
y v̄2. Por supuesto, W2 es también el subespacio generado por
{v̄1, v̄2, ū3}, ya que, sea,
v̄3 = d1v̄1 + d2v̄2 + d3ū3.
Trataremos que d1 y d2 sean tales que
v̄3 · v̄1 = 0 y v̄3 · v̄2 = 0.
Ahora,
0 = v̄3 ·v̄1 = (d1v̄1+d2v̄2+d3ū3)·v̄1 = d1(v̄1 ·v̄1)+d3(ū3 ·v̄1), (1.14)
Sistema de Ecuaciones Lineales 29
0 = v̄3 ·v̄2 = (d1v̄1+d2v̄2+d3ū3)·v̄2 = d2(v̄2 ·v̄2)+d3(ū3 ·v̄2). (1.15)
En la obtención de los dos lados derechos de (1.14) y (1.15) usare-
mos el hecho de que v̄1 · v̄2 = 0. Observe que v̄2 6= 0̄, porque, al
despejar d1 y d2, respectivamente, obtenenos
d1 = −d3
ū3 · v̄1
v̄1 · v̄1
y d2 = −d3
ū3 · v̄2
v̄2 · v̄2
.
Podemos asignar un valor arbitrario, no nulo, a d3. Si d3 = 1,
obtenemos
d1 = −
ū3 · v̄1
v̄1 · barv1
y d2 = −
ū3 · v̄2
v̄2 · v̄2
.
Por lo tanto,
v̄3 = ū3 − (
ū3 · v̄1
v̄1 · v̄1
)v̄1 − (
ū3 · v̄2
v̄2 · v̄2
)v̄2.
Observe que hasta el momento tenemos un subconjunto ortogonal
{v̄1, v̄2, v̄3} de W .
Ahora determinaremos un vector v̄4 en el subespacio W3 de W ge-
nerado por el conjunto {ū1, ū2, ū3, ū4} (y por lo tanto, por {v̄1, v̄2,
v̄3, ū4}), que sea ortogonal a v̄1, v̄2 y v̄3. Podemos escribir
v̄4 = ū4(
ū4 · v̄1
v̄1 · v̄1
)v̄1 − (
ū4 · v̄2
v̄2 · v̄2
)v̄2 − (
ū4 · v̄3
v̄3 · v̄3
)v̄3.
Continuando de esta manera hasta obtener un conjunto ortogonal
T ∗ = {v̄1, v̄2, . . . , v̄m} de m vectores. Entonces, T ∗ es una base
para W . Para terminar, normalizamos los v̄i, es decir, hacemos
w̄i =
1
‖v̄i‖
v̄i (1 6 i 6 m),
entonces T = {w̄1, w̄2, . . . , w̄m} es una base ortonormal para W .
�
El siguiente ejemplo ilustra el proceso de Gram-Schmidt,
30 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
1.1.3 Ejemplo. Supongamos que los vectores independientes son
ū1, ū2, ū3:
ū1 =
 10
1
 , ū2 =
 10
0
 , ū3 =
 21
0
 ,
De acuerdo al teorema (1.8), v̄1 = ū1, después buscamos el vector
v̄2 generado por {ū1, ū2} que es ortogonal a v̄1
v̄2 = ū2 − (
ū2v̄1
v̄1v̄1
)v̄1
= (1, 0, 0)− ((1, 0, 0)(1, 0, 1)
(1, 0, 1)(1, 0, 1)
)(1, 0, 1)
= (
1
2
, 0,−1
2
)
Para determinar v̄3
v̄3 = ū3 − (
ū3v̄1
v̄1v̄1
)v̄1 − (
ū3v̄2
v̄2v̄2
)v̄2
= (2, 1, 0)− ((2, 1, 0)(1, 0, 1)
(1, 0, 1)(1, 0, 1)
)(1, 0, 1)− (
(2, 1, 0)(12 , 0,−
1
2)
(12 , 0,−
1
2)(
1
2 , 0,−
1
2)
)(
1
2
, 0,−1
2
)
= (0, 1, 0)
Ahora normalizando los vectores {v̄1, v̄2, v̄3}
w̄1 =
v̄1
‖v̄1‖
= (
1√
2
, 0,
1√
2
)
w̄2 =
v̄2
‖v̄2‖
= (
1√
2
, 0,− 1√
2
)
w̄3 =
v̄3
‖v̄3‖
= (0, 1, 0)
La matriz ortonormal es
Q =
[
q1 q2 q3
]
=
 1√2 1√2 00 0 1
1√
2
− 1√
2
0
 .
Sistema de Ecuaciones Lineales 31
Matrices ortogonales
18 Definición. Sea Q una matriz (cuadrada o rectangular) que
tiene columnas ortonormales, entonces QtQ = I:
Columnas
Ortonormales
=

− qt1 −
− qt2 −
− qtn −

 | | |q1 q2 qn
| | |

=

1 0 · 0
0 1 · 0
· · · ·
0 0 · 0
 = I
Observación. Si una matriz ortogonal Q es una matriz cuadrada
con columnas ortonormales, Qt es Q−1. Si Q es rectangular Qt es
sólo una inversa izquierda.
1.1.4 Norma matricial
La norma ‖A‖ de una matriz A, debe satisfacer los mismos tipos de
condiciones que una norma vectorial, con una condición adicional.
19 Definición. Una función ‖‖ se llama norma matricial si para
matrices A y B cualesquiera se satisfacen los siguientes axiomas:
• ‖A‖ > 0,
• ‖A‖ = 0⇔ A = 0,
• ‖aA‖ = |a|‖A‖ para cualquier número real a,
• ‖A+B‖ 6 ‖A‖+ ‖B‖ (desigualdad del triángulo),
32 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
• ‖AB‖ 6 ‖A‖‖B‖ (compatibilidad).
Las normas ‖A‖1 y ‖A‖∞ para una matriz An, son compatibles
con las normas vectoriales ‖x̄‖1 y ‖x̄‖∞, y estan definidas por,
20 Definición. Sea p > 1 un número entero. La norma-p de una
matriz A se define por
‖A‖p = máx‖x̄‖p=1‖Ax̄‖p = máx‖x̄‖6=0
‖Ax̄‖p
‖x̄‖p
.
Para calcular
‖A‖∞ = máx‖x̄‖∞=1‖Ax̄‖∞
por la fórmula (1.12), obtenemos
‖Ax̄‖∞ = máx16i6n|
n∑
j=1
aijxj| 6 máx16i6n
n∑
j=1
|aij||xj|
6 ‖x̄‖∞máx16i6n
n∑
j=1
|aij|.
Si ahora demostramos que en la última desigualdad se alcanza la
igualdad para un vector x̄, entonces ‖A‖∞ = máx16i6n
∑n
j=1 |aij|.
Con este objetivo, se fija un i, y se elije x̄ = {xj}nj=1, donde xj =
sign{aij}. En este caso, ‖x̄‖∞ = 1,
∑n
j=1 aijxj =
∑n
j=1 |aij|, y
‖Ax̄‖∞ = ‖x̄‖∞máx16i6n
∑n
j=1 |aij. As
‖A‖∞ = máx16i6n
n∑
j=1
|aij|. (1.16)
Se llama la norma máxima por filas (máxima suma absoluta
de los renglones).
Sistema de Ecuaciones Lineales 33
Ahora demostremos que
‖A‖1 = máx16j6n
n∑
i=1
|aij| (1.17)
En efecto, según (1.10), tenemos
‖Ax̄‖1 =
n∑
i=1
|
n∑
j=1
aijxj| 6
n∑
i=1
n∑
j=1
|aij||xj|
6
n∑
i=1
[máx16j6n|aij|(
n∑
j=1
|xj|)]
= ‖x̄‖1(máx16j6n
n∑
i=1
|aij|).
Si ahora demostramos que en la última desigualdad se alcanza la
igualdad para un vector x̄, entonces, ‖A‖1 = máx16j6n|aij
∑n
i=1 |aij|.
Sea máx16j6n
∑n
i=1 |aij| se alcanza para j = k, y elegimos un
x̄ = {xj}nj=1 donde todos xj son nulos excepto xk = sign{aik}. En
este caso, ‖x̄‖1 = 1, por lo tanto, ‖Ax̄‖1 =
∑n
i=1 |
∑n
j=1 aijxj| =∑n
i=1 |aik| = ‖x̄‖1máx16j6n
∑n
i=1 |aij|. La fórmula (2.13) queda
demostrada. Se llama la norma máxima por columnas, (máxima
suma absoluta de las columnas).
1.1.4 Ejemplo. En este caso tomaremos la norma infinito. Sea
A =
 1 2 −10 3 −1
5 −1 1
 ,
34 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Vectores Ortonormales
Entonces
3∑
j=1
|a1j| = |1|+ |2|+ | − 1| = 4
3∑
j=1
|a2j| = |0|+ |3|+ | − 1| = 4
3∑
j=1
|a3j| = |5|+ | − 1|+ |1| = 7
por lo tanto
‖A‖∞ = máx{4, 4, 7} = 7.
Concluimos este caṕıtulo, donde hemos proporcionado las bases
para continuar con los fines de este trabajo.
Caṕıtulo 2
El Número de Condición
de una Matriz
En este caṕıtulo análizaremos algunos ejemplos, con el fin de hacer
más claro el concepto de un sistema mal condicionado y las impli-
caciones al estar en un caso de esta forma para obtener el conjunto
solución.
2.1 Errores por redondeo
En la mayoŕıa de los casos usados en la práctica, no se logra hallar
una solución exacta del problema matemático planteado. Esto
ocurre principalmente porque la solución no se puede expresar en
términos de funciones elementales o en otras funciones conocidas.
Los métodos numéricos reducen el procedimiento de resolución de
un problema a operaciones aritméticas, que pueden ser realizadas
por una computadora. Según el grado de complejidad del pro-
blema, la exactitud requerida, el método aplicado, entre otras,
puede ser necesario realizar desde varias decenas hasta una gran
cantidad de operaciones aritméticas. La solución obtenida por un
método numérico es aproximada, es decir, hay cierta diferencia no
35
36 El Número de Condición de una Matriz
nula entre la solución exacta y la solución numérica. Las causas
principales de la diferencia son las siguientes:
• Falta de correspondencia entre el modelo matemático y el
fenómeno f́ısico real;
• Errores en los datos iniciales;
• Errores de un método numérico usado para resolver el mo-
delo matemático;
• Errores por redondeo en las operaciones aritméticas.
Los errores por redondeo son inevitables y se producen cuando
se usan números que tienen un número finito de cifras significa-
tivas para representar números exactos. Su nivel de confiabilidad
depende de los números máquina.
Nos enfocaremos en este último punto, ya que sólo trabajaremos
con encontrar la solución usando métodos directos sin embargo,
los primeros tres tipos de errores a menudo son más grandes que
los errores por redondeo.
Muchos de los problemas de error por redondeo se pueden mi-
nimizar por medio de prácticas de programación adecuadas o la
aplicación de los algoritmos correctamente. En el caṕıtulo uno
vimos la aplicacióndel pivoteo durante el proceso de eliminación
gaussiana cuando un pivote se hace cero, sin embargo para este
caṕıtulo aplicaremos está permutación de filas no sólo cuando el
pivote es exactamente cero. Cuando los pivotes tienen valores
pequeños se pueden producir grandes errores de redondeo, ya que
siempre se divide por el valor del pivote. Por consiguiente, para
reducir los errores por redondeo conviene escoger el pivote máximo
en valor absoluto. Para ello, hay dos técnicas posibles: al estar
realizando el proceso de eliminación gaussiana,
Condicional de una Matriz 37
1. En el k−ésimo sistema se toma como pivote el coeficiente
mayor en valor absoluto de la columna k situado por debajo
de la fila k inclisive. Para ello es necesario permutar las filas
k y la correspondiente al pivote escogido en la matriz y su
término independiente. Esta técnica se denomina método de
Gauss con pivotamiento parcial.
2. En el k−ésimo sistema, se toma como pivote el coeficiente
mayor en valor absoluto de la submatriz de orden n − k
definida por los coeficientes que quedan por debajo de la fila
k y a la derecha de la columna k. Para ello, se permuta la fila
k (y el término independiente asociado) y las columnas k con
las correspondientes al coeficiente que cumpla la condición
citada. Al final del proceso deben ponerse en orden inicial las
componentes del vector solución, puesto que su posición ha
sido modificada al realizar las permutaciones de columnas.
Esta técnica es el método de Gauss con pivotamiento total.
Estas dos últimas estrategias producen métodos numéricamente
estables. El método de Gauss sin pivotamiento no es necesaria-
mente estable4.
2.1.1 Ejemplo. Consideremos el siguiente sistema lineal
.0001x1 + x2 = 1 (2.1)
x1 + x2 = 2
Resolvemos por eliminación gaussiana con pivote, entonces
4La estabilidad, es una caracteŕıstica muy importante de la calidad de cada
método. La estabilidad caracteriza la manera de propagación de los errores
iniciales durante los cálculos en el algoritmo. Si el incremento de los errores
iniciales es considerable y sin ningún control, entonces el método numérico se
llama inestable. Al contrario, si los errores en los cálculos dependen continua-
mente de los errores iniciales (es decir, se reducen a cero cuando los errores
iniciales tienden a cero), entonces el método se llama estable.
38 El Número de Condición de una Matriz
hacemos intercambio de renglones
PA1 =
(
1 1 2
.0001 1 1
)
continuando con el proceso de eliminación, multiplicamos el primer
renglón por (−.0001) y lo sumamos al segundo renglón,
PA2 =
(
1 1 2
0 .9999 .9998
)
hacemos sustitución regresiva, con redondeo N = 3
x2 = 1
x1 = 2− x2 = 1.
Por otro lado, resolvemos sin hacer el pivote
A =
(
.0001 1 1
1 1 2
)
multiplicamos el primer renglón por (− 1
.0001
) y lo sumamos al se-
gundo renglón,
A2 =
(
.0001 1 1
0 .9999 .9998
)
hacemos sustitución regresiva, con redondeo N = 3
x2 = 1
.0001x1 = 1− x2 = 0.
Al sustituir en (2.1) con N=3, la solución que obtuvimos con piv-
oteo
.0001(1) + (1) = 1
(1) + (1) = 2
Condicional de una Matriz 39
si satisface el sistema.
Con la segunda solución sin pivoteo,
.0001(1) + (0) = 1
(1) + (0) 6= 2
no satisface el sistema.
Hemos visto que el pivoteo mejora la exactitud de la solución
del problema, sin embargo hay otra técnica que tambien mejora la
exactitud de la solución, y es aumentar la precisión 5 del cálculo.
Al aplicarlos conjuntamente el resultado es aun más favorable.
2.1.2 Ejemplo. La solución exacta del siguiente problema en
forma de arreglo es aquella en donde todas las soluciones valen
1, debido a que los términos libres son la suma de los coeficientes
del mismo renglón:
1.334E − 4 4.123E + 1 7.912E + 2 −1.544E + 3 −711.5698662
1.777 2.367E − 5 2.070E + 1 −9.035E + 1 −67.87297633
9.188 0 −1.015E + 1 1.988E − 4 −0.961801200
1.002E + 2 1.442E + 4 −7.014E + 2 5.321 13824.12100
 .
En la solución de este problema se consideran dos casos:
a) Se resuelve el sistema sin pivoteo y después con pivoteo, usando
precisión simple.
b) Se repite el problema resolviendo con doble precisión.
Solución
a) Precisión simple6:
i Sin pivoteo Con pivoteo
1 0.95506 0.99998
2 1.00816 1
3 0.96741 1
4 0.98352 1
5La precisión es el número de bits que se usan en las computadoras.
40 El Número de Condición de una Matriz
Los resultados en precisión simple sin pivoteo son muy desalenta-
dores, pero el pivoteo mejora la exactitud en forma significativa.
b) Doble precisión 6
i Sin pivoteo Con pivoteo
1 0.9999 9999 9861 473 1.0000 0000 0000 002
2 1.0000 0000 0000 784 1.0000 0000 0000 000
3 0.9999 9999 9984 678 1.0000 0000 0000 000
4 0.9999 9999 9921 696 1.0000 0000 0000 000
La doble precisión mejora la exactitud, incluso sin pivote. Pero con
el pivoteo, aquella aumenta todav́ıa más.
Cualquier solución de un sistema lineal, se debe considerar
como una solución aproximada, debido a los errores de redondeo.
2.2 Residuo de una solución aproximada.
Sistemas mal condicionados
Si ˜̄x es una solución aproximada del sistema Anx̄ = bn1, entonces
su error es la diferencia
ē = x̄− ˜̄x
Generalmente este error es desconocido, pero siempre podemos
calcular el residuo
r̄ = Anx̄− An ˜̄x
puesto que Anx̄ es justamente la parte derecha bn1. El residuo debe
proporcionar una medida de la precisión de la solución aproximada
6Estos datos se obtuvieron de [3], donde describe la información: los
cálculos se llevaron a cabo en una VAX, cuya precisión es casi la misma que la
de la PC de IBM y las mainframe de IBM. La precisión simple de CDC y Cray
es aproximadamente del doble de VAX, IBM PC y de la mainframe de IBM.
Por lo tanto, si se utilizan CDC o Cray con precisión simple en este problema,
los resultados sern equivalentes a los que se muestran aqúı con doble precisión.
Condicional de una Matriz 41
x̄, en aquellos casos donde el error se debe principalmente a los
errores por redondeo. Si r̄ es el vector nulo, entonces ˜̄x es la
solución exacta y, por tanto, ē es el vector nulo.
Si x̄ es una buena aproximación de la solución, debemos esperar
que r̄ sea pequeña.
Hay sistemas de ecuaciones, sin embargo, para los cuales el
residuo no provee una buena medida de la precisión de una solución.
Estos son sistemas en los cuales pequeños cambios en los coefi-
cientes del sistema producen grandes cambios en la solución. Tales
sistemas se denominan sistemas mal condicionados.
2.2.1 Ejemplo. En este ejemplo veamos el residual (r̄) y como
la solución obtenida se aproxima a la solución exacta.
Sea
A =
(
0.780 0.563
0.913 0.659
)(
y1
y2
)
=
(
0.217
0.254
)
= bn1,
y sea
˜̄x1 =
(
0.341
−0.087
)
y ˜̄x2 =
(
0.999
−1.001
)
,
donde ˜̄x1 y ˜̄x2 son aproximaciones a la solución exacta x̄.
¿Son ˜̄x1 y ˜̄x2 buenas aproximaciones?, si ˜̄x = x̄, entonces r̄ = 0̄.
Como no sabemos la solución exacta, entonces
r̄ = An ˜̄x− bn1, (2.2)
es claro que esperamos que r̄ sea muy pequeña.
Sustituimos ˜̄x1 en (2.2)
0.780(0.341) + 0.563(−0.087)− 0.217 = 0.000001
0.913(0.341) + 0.659(−0.087)− 0.254 = 0
r̄1 = (10
−6, 0)t
42 El Número de Condición de una Matriz
Ahora sustituimos ˜̄x2 en (2.2)
0.780(0.999) + 0.563(−1.001)− 0.217 = 0.0013
0.913(0.999) + 0.659(−1.001)− 0.254 = −0.0015
r̄2 = (0.0013,−0.0015)t
Al comparar r̄1 y r̄2, concluimos que ˜̄x1 es mejor aproximación a
la solución exacta que ˜̄x2, ya que, r̄1 < r̄2.
Tomando esto en cuenta, r̄1 es casi cero. A pesar de esto, ˜̄x1 no es
una buena aproximación a la solución exacta, ya que al resolver
por eliminación gaussiana la solución exacta es y1 = 1 y y2 = −1,
de tal manera que ˜̄x2, es la mejor aproximación.
¿Por qué, al analizar los residuos, obtenemos conclusiones erró-
neas? Para dar respuesta, examinemos el sistema lineal
Ax̄ = b̄ (2.3)
cuando detAn 6= 0 y bn1 6= 0. En este caso, el sistema lineal tiene
solución única x̄ 6= 0. Análicemos ahora un sistema perturbado
A(x̄+ ε̄) = b̄+ δ̄
donde ε̄ y δ̄ son los erroresde la solución x̄ y del vector b̄, respec-
tivamente. Es claro que
Aε̄ = δ̄ y ε̄ = A−1δ̄. (2.4)
Dividiendo el error relativo ‖ε̄‖/‖x̄‖ en la solución y por el error
relativo ‖δ̄‖/‖b̄‖, en (2.3) y (2.4) obtenemos
‖ε̄‖
‖x̄‖
‖δ̄‖
‖b̄‖
=
‖b̄‖
‖x̄‖
· ‖ε̄‖
‖δ̄‖
=
‖Ax̄‖
‖x̄‖
· ‖A
−1δ̄‖
‖δ̄‖
6 ‖A‖‖A−1‖, (2.5)
Condicional de una Matriz 43
21 Definición. Sea la matriz An. El número
Cond(A) =
{
‖A‖‖A−1‖, si A no es singular
∞, si A es singular
se denomina número de condición de la matriz A
Se deduce de (2.5) y de la definición (21) que
‖ε̄‖
‖x̄‖
6 Cond(A)
‖δ̄‖
‖b̄‖
, (2.6)
es decir, el error relativo de la solución del problema (2.3) se estima
mediante el error relativo del vector b̄ multiplicado por el número
de condición de la matriz.
Veamos que también el número de condición es una caracteŕıstica
importante de la solución del sistema lineal (2.3), respecto a un
error en la matriz A.
Supongamos que b̄ es exacto pero A contiene un error E,
(A+ E) = Å, (2.7)
aśı en lugar de la solución exacta (2.3) tenemos una solución
aproximada
(A+ E)xapx = b, (2.8)
44 El Número de Condición de una Matriz
de (2.3) obtenemos
x̄ = A−1b̄,
= A−1(Åx̄apx)
= A−1(A+ Å− A)x̄apx
= (I + A−1(Å− A))x̄apx
= x̄apx + A
−1(Å− A)x̄apx
x̄− x̄apx = A−1Ex̄apx,
‖x̄− x̄apx‖ = ‖A−1Ex̄apx‖
6 ‖A−1‖‖E‖‖x̄apx‖
= ‖A−1‖‖A‖‖E‖
‖A‖
‖x̄apx‖
‖x̄− x̄apx‖
‖x̄apx‖
= Cond(A)
‖E‖
‖A‖
de lado izquierdo de la igualdad tenemos el error relativo de la
solución y del lado derecho el condicional multiplicado por el error
relativo de la matriz A, que es pequeño y no afecta al condicional.
Con esto podemos ver que la diferencia entre la solución exacta y
la aproximada puede ser casi tan grande como el condicional de
A.
Por eso cuando el Cond(A) es -pequeño- o moderado, el error re-
lativo en la solución del problema (2.3) está acotado y depende
continuamete del error relativo de b en el sentido de que ‖x−xapx‖‖xapx‖
tiende a cero junto con ‖E‖‖A‖ . En esta situación, la matriz A se llama
bien condicionada. Sin embargo, si el número de condición de
la matriz A es muy grande, entonces el error en la solución ‖x−xapx‖‖xapx‖
ya no es controlable a pesar de que el error ‖E‖‖A‖ es muy pequeño.
En esta situación, la matriz A se llama mal condicionada, y es
posible esperar problemas graves con la precisión de la solución
calculada.
Ahora es posible contestar la pregunta sobre el comportamiento
extraño de las soluciones en el ejemplo (2.2.1), lo que está pasando
Condicional de una Matriz 45
se debe al mal condicionamiento de la matriz y de acuerdo con la
estimación (2.6), un error pequeño en el vector b̄ o en la matriz A,
produce un error grande en la solución.
Hemos visto que para un sistema mal condicionado, el residuo
no es necesariamente una buena medida de la precisión de la
solución.
Otra indicador del mal condicionamiento es el determinante.
2.2.2 Ejemplo. Tomemos dos sistemas lineales y comparémoslos;
x+ y = −3
x+ 1.016y = 5 (2.9)
y
x+ y = −3
x+ 1.02y = 5 (2.10)
Ambas ecuaciones son muy parecidas, podriamos suponer que
la solución no debeŕıa ser muy variable entre ambas. Si hicieramos
redondeo N = 3, las ecuaciones seŕıan exactamente igual, pero si
conservamos todos sus d́ıgitos, la solución de (2.9) es
x = −503
y = 500
y la solución de (2.10) es
x = −403
y = 400
Observamos que las soluciones son muy distintas, ¿A qué se debe?
Si hubiésemos redondeado en (2.9), la solución obtenida seŕıa in-
correcta.
46 El Número de Condición de una Matriz
Notemos que un ligero cambio en los coeficientes provoca cambios
significativos en la solución.
El determinante de ambos sistemas (2.9) y (2.10) son 0.016 y 0.02
respectivamente.
El teorema (1.6), dice que, si el determinante es distinto de
cero, entonces la solución del sistema es única, pero sabemos que
si el determinante es cero, no habŕıa solución o habŕıa una in-
finidad de soluciones. Pero en estos dos sistemas el determinante
es - casi - cero. Este comportamiento tiene significado y es muy
importante, hay que poner la suficiente atención ya que se trata
de matrices especiales.
La pregunta inmediata es ¿Qué tipo de matrices son estas?,
¿Podremos obtener una solución estable?.
Estas matrices son llamadas matrices casi singulares, si conside-
ramos las matrices A y B de los sistemas (2.9) y (2.10) respecti-
vamente
A =
(
1 1
1 1.016
)
B =
(
1 1
1 1.02
)
y hacemos un ligero cambio en el elemento a22 en A o el elemento
b22 en B, es decir, en lugar de 1.016 y 1.02 redondeamos a 1
(N = 2), el determinante de ambas seŕıa cero, es decir, una matriz
es casi singular si se hace singular cuando alguno de sus elementos
sufre pequeños cambios relativos. Una forma precisa para definirlo
es la siguiente:
Primeramente normalizamos la matriz de los coeficientes de A
dividiendo cada fila de A por la raiz cuadrada de la suma de los
cuadrados de los elementos de aquella fila. Esto es, si A está
definida por
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann

Condicional de una Matriz 47
y αk por
αk = (a
2
k1 + a
2
k2 + · · ·+ a2kn)
1
2 k = 1, 2, . . . , n)
entonces el determinante normalizado de A esta definido por:
|Anorm| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11
α1
a12
α1
· · · a1n
α1
a21
α2
a22
α2
· · · a2n
α2
...
...
. . .
...
an1
αn
an2
αn
· · · ann
αn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =
|A|
α1α2 · · ·αn
Una matriz A se dice mal condicionada, si la |Anorm| es pequeña
comparada con 1.
Aplicando este criterio al sistema (2.10), obtenemos
α1 =
√
2
α2 =
√
2.0404
de aqúı
|Anorm| =
(1)(1.02)− (1)(1)√
2
√
2.0404
≈ 0.01
Para problemas en los cuales el determinante normalizado es 0(10−k),
un cambio en la k−ésima o anterior cifra significativa de cualquiera
de los coeficientes de A puede producir cambios de 10k en la
solución.
Sin embargo el determinante no es suficiente para detectar el
mal condicionamiento.
2.2.3 Ejemplo. Tenemos el sistema lineal
8x+ 9y = 17
7x+ 8y = 15 (2.11)
donde,
A =
(
8 9
7 8
)(
x
y
)
=
(
17
15
)
.
48 El Número de Condición de una Matriz
En este caso el detA = 1, no está cerca del cero como vimos en
el ejemplo (2.1.3), sin embargo es una matriz que no está bien
condicionada.
Si resolvemos el sistema (2.4) con la fórmula x̄ = A−1b̄, se tiene
x̄ =
1
64− 63
(
8 −9
−7 8
)(
17
15
)
tal que,
x̄ =
(
1
1
)
,
esta solución es única, por el teorema (1.6), sin embargo los
puntos
x̄2 =
(
0
1.8819
)
y x̄3 =
(
2.125
0
)
satisfacen el sistema (2.4) si el redondeo es N=2, sustituimos x̄2 y
x̄3 en (2.11), obtenemos
8(0) + 9(1.8819) = 16.937 ≈ 17
7(0) + 8(1.8819) = 15.055 ≈ 15
8(2.125) + 9(0) = 17.000 = 17
7(2.125) + 8(0) = 14.875 ≈ 15
Observemos las pendientes de ambas rectas:
y = −8
9
x+
17
9
y = −7
8
x+
15
8
las pendientes son casi iguales, entonces las rectas generadas por
estas ecuaciones son casi paralelas, en consecuencia, aunque cam-
bios relativos pequeños en ai1, ai2 y bi producen pequeños movimien-
tos de estas gráficas, estos pequeños movimientos pueden efectuar
Condicional de una Matriz 49
grandes movimientos del punto de intersección de las rectas.
El mal condicionamiento corresponde a renglones casi propor-
cionales de y. Aśı puede dicernirse por inspección. Desafortunada-
mente, no existe tal criterio general para detectar el mal condi-
cionamiento por inspección de alguna matriz An cuando n > 2.
En el siguiente ejemplo se expone una matriz conocida mal condi-
cionada.
2.2.4 Ejemplo. La matriz de Hilbert [Morris] se define como
A = [aij],
donde
aij =
1
i+ j − 1
,
de la cual se sabe que está mal condicionada, incluso para un or-
den pequeño.
Calculemos a) (A−1)((A−1)−1) y b) (detA)(detA−1) para de-
terminar la matriz de Hilbert de 4× 4.
A =

1 1
2
1
3
1
4
1
2
1
3
1
4
1
5
1
3
1
4
1
5
1
6
1
4
1
5
1
6
1
7
 .
Se obtiene los siguientes resultados,
a) (A−1)((A−1)−1) =
1.0001183 −0.0014343 0.0032959 −0.0021362
−0.0000019 1.0000000 −0.0001221 0.0000610
0.0000000 0.0000000 0.99993900.0000305
0.0000000 −0.0000305 0.0000610 0.9999390
 .
b) (detA)(detA−1) = (1.6534499E − 07)(6047924) = 0.99999393
50 El Número de Condición de una Matriz
La matriz de Hilbert de tamaño 2 × 2 y 3 × 3 cumplen con
las propiedades de inversa y del determinante. El producto de
los determinantes se desv́ıa de la unidad al aumentar el orden de
la matriz, es decir, a partir de la matriz de tamaño 4 × 4. Sin
embargo, la desviación de (A−1)(A−1)−1 de la matriz identidad
detecta las matrices mal condicionadas en forma más clara que el
producto de los determinantes.
Después del breve anális de matrices, enlistamos las las siguien-
tes caracteŕısticas para sistemas mal condicionados:
• Un ligero cambio en los coeficientes provoca cambios signi-
ficativos en la solución,
• Los elementos de la diagonal de la matriz de coeficientes
tienden a ser menores que los elementos que no pertenecen
a la diagonal,
• El producto (detA)(detA−1) difiere en forma significativa
de 1,
• El resultado de (A−1)−1 es muy distinto de A,
• El producto (A)(A−1) difiere en grado sumo de la matriz
identidad,
• El producto (A−1)(A−1)−1 difiere más de matriz identidad
que lo que difiere el producto (A)(A−1).
El calcular la norma de una matriz A, es indistinto usar norma
uno o norma infinito, y es importante destacar que si el número
de condición de una matriz A calculado con normas diferentes,
estas son equivalentes. Esto quiere decir que, si A esta bien (o
mal) condicionada, calculada con alguna de las dos normas antes
mencionadas, entonces también está bien (o mal) condicionada si
Condicional de una Matriz 51
el calculo se hace con la otra norma.
Mientras que en teoria, el número de condición de una matriz
depende totalmente de las normas de la matriz y de su inversa,
en la práctica, el calculo de la inversa está sujeto a errores de
redondeo y es dependiente de la exactitud con la que se estén
realizando los cálculos. Si las operaciones involucran aritmética
con N digitos significativos de precisión, el número de condición
aproximado para la matriz A, es la norma de la matriz multipli-
cada por por la norma de la apriximación de la inversa de A, que se
obtiene usando aritmética de N digitos. En realidad, este número
de condición dependerá incluso del método usado para calcular la
inversa de A.
Una prueba sencilla para el mal condicionamiento que no re-
quiere el cálculo de la inversa, es resolver el sistema para un vec-
tor adicional del miembro derecho que difiera ligeramente de b,
a partir de (2.5) se observa que una matriz de coeficientes mal
condicionada produce soluciones para b, y el vector adicional del
miembro derecho son significativamente diferentes entre śı.
52 El Número de Condición de una Matriz
Caṕıtulo 3
Métodos Directos para
Resolver Sistemas Lineales
En este caṕıtulo veremos como resolver sistemas de ecuaciones lin-
eales con métodos directos, que son por medio de la factorición de
la matriz de coeficientes del sistema.
3.1 Factorización de Matrices
Sin duda en el ámbito cient́ıfico y tecnológico se presentan pro-
blemas que involucran matrices, es natural que el objetivo como
primer paso es resolverlos. Para ésto hay diferentes métodos para
encontrar la solución, para utilizar algún método, se consideran,
de acuerdo las preferencias de cada usuario; aquel que proporcione
la mayor velocidad en el cálculo o que consuma la menor canti-
dad de memoria (ambas condiciones son mutuamente excluyentes),
por ello la decisión de qué método usar deberá considerarse al mo-
mento de tener que resolver un problema particular. Los métodos
de solución para sistemas lineales se dividen en dos grupos: los
de aproximación y los directos. Nosotros estaremos interesados en
53
54 Métodos Directos para Resolver Sistemas Lineales
los métodos directos.
Los métodos directos de resolución de sistemas lineales son
aquellos que permiten obtener la solución después de un número
finito de operaciones aritméticas. Este número de operaciones es
en función del tamaño de la matriz.
En el primer caṕıtulo, vimos como resolver un sistema line-
al por medio de la eliminación gaussiana y sustitución regresiva.
Ahora veremos como obtener la solución por medio de una facto-
rización de la matriz de coeficientes, existen diferentes algoritmos
para factorizar una matriz, el algoritmo a escoger depende del
tipo de la matriz aprovechando las ventajas del algoritmo en cada
caso.
El factorizar la matriz de coeficientes A, del sistema Ax̄ = bn1,
como el producto de matrices, podemos obtener matrices con una
estructura más simple que el del problema original y por ende en-
contrar su solución será más sencillo.
La matriz de coeficientes A, con que trabajaremos en
esta sección es cuadrada.
3.1.1 Factorización LU
Veamos como resolver el sistema una vez obtenida la factorización
LU . Se desea resolver el sistema
Anx̄ = bn1, (3.1)
y suponemos que An tiene factorización LnUn, el sistema (3.1) se
puede escribir como
Anx̄ = (LnUn)x̄ = bn1,
Factorización de Matrices 55
donde Ln es una matriz triangular inferior, y Un es una matriz
escalonada (es decir, triangular superior). Asociando términos
Anx̄ = Ln(Unx̄) = bn1, (3.2)
si definimos a
ȳ = Unx̄ (3.3)
y sustituimos en (3.2)
Lnȳ = bn1, (3.4)
resolvemos para ȳ, como la matriz Ln es triangular inferior este
sistema puede resolverse mediante la sustitución progresiva. Ya
encontrados los valores de ȳ en (3.4), ahora resolvemos para x̄ en
(3.3) y como Un es escalonada, este sistema puede resolverse en
caso de tener solución mediante la sustitución regresiva. Y aśı
obtenemos la solución del sistema original (3.1).
En lo sucesivo indicaremos como realizar una factorización LU ,
para la matriz de coeficientes del sistema lineal (3.1), antes intro-
ducimos algunos elementos necesarios.
22 Definición. Una matriz de tamaño n×n se denomina matriz
elemental si se puede obtener a partir de la matriz identidad In al
efectuar una sola operación elemental en los renglones.
3.1 Teorema. Si la matriz elemental E resulta de la ejecución
de ciertas operaciones en los renglones de In y sea An, entonces el
producto EA es la matriz que se obtiene cuando la misma opera-
ción en los renglones se efectúa en An.
Demostración.
56 Métodos Directos para Resolver Sistemas Lineales
Sea la matriz identidad
In =

111 0 · · · · · · · · · · · · 0
0
. . . . . .
...
...
. . . 1ii
. . .
...
...
. . . . . . . . .
...
...
. . . 1jj
. . .
...
...
. . . . . . 0
0 · · · · · · · · · · · · 0 1nn

Para las matrices elementales (E), se da por entendido
que su tamaño es de n× n, en consecuencia no se usaran
los subindices que lo indiquen. Existen tres operaciones ele-
mentales:
Primera operación elemental. Sea E(1), la matriz elemental
que se obtuvo de multiplicar el i-ésimo renglón de In por el es-
calar α 6= 0. Al multiplicar E(1)An
=

1 0 · · · · · · 0
0
. . . . . .
...
...
. . . α1ii
. . .
...
...
. . . . . .
...
0 · · · · · · 0 1


a11 · · · · · · · · · a1n
...
. . .
...
...
...
ai1 · · · aii · · · ain
...
...
...
. . .
...
an1 · · · · · · · · · ann

=

a11 · · · · · · · · · a1n
...
. . .
...
...
...
αai1 · · · αaii · · · αain
a(i+1)1 · · · a(i+1)i · · · a(i+1)n
...
...
...
...
...
an1 · · · · · · · · · ann

Que es justamente multiplicar el escalar α por el i-ésimo renglón
de An.
Segunda operación elemental. Sea E(2), la matriz elemental
Factorización de Matrices 57
que se obtuvo de intercambiar el renglón i de In por el renglón j
de In. Al multiplicar E(2)An
=

1 0 · · · · · · · · · · · · 0
0 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 0
.
.
. 1jj
.
.
.
.
.
.
.
.
. 1
.
.
.
.
.
.
.
.
. 1ii
.
.
. 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . 1 0
0 · · · · · · · · · · · · 0 1


a11 · · · · · · · · · · · · · · · a1n
.
.
..
. .
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ai1
.
.
. aii
.
.
.
.
.
.
.
.
. ai1
.
.
.
.
.
.
. .
.
. .
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
aj1
.
.
.
.
.
.
.
.
. ajj
.
.
. ajn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.
. .
.
.
.
an1 · · · · · · · · · · · · · · · ann

=

a11 · · · · · · · · · · · · · · · a1n
...
...
...
...
...
...
...
aj1 · · · · · · · · · ajj · · · ajn
...
...
...
...
...
...
...
ai1 · · · aii · · · · · · · · · ain
...
...
...
...
...
...
...
an1 · · · · · · · · · · · · · · · ann

Que es justamente intercambiar el i-ésimo renglón con el j-ésimo
renglón de An.
Tercera operación elemental. Sea E(3), la matriz elemental
que se obtuvo de sumar al j-ésimo renglón de In, el producto del
escalar α 6= 0 por el i-ésimo renglón de In. Al multiplicar E(3)An
=

111 0 · · · · · · · · · · · · 0
0
. .
.
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . 1ii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. α1ii
. .
. 1jj
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 0
0 · · · · · · · · · · · · 0 1nn


a11 · · · · · · · · · · · · · · · a1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ai1
. .
. aii
. .
.
.
.
.
.
.
. ai1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
aj1
.
.
.
.
.
.
.
.
. ajj
.
.
. ajn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 · · · · · · · · · · · · · · · ann

58 Métodos Directos para Resolver Sistemas Lineales
=

a11 · · · · · · · · · · · · · · · a1n
...
. . . . . .
...
...
...
...
ai1
. . . aii
. . .
...
... ai1
...
...
. . . . . . . . .
...
...
αai1 + aj1 · · · αaii + aji · · · αaij + ajj · · · αain + ajn
a(j+1)1 · · · · · · · · · · · · · · · a(j+1)n
...
...
...
...
...
...
...
an1 · · · · · · · · · · · · · · · ann

Que es justamente sumarle al j-ésimo renglón de An, el producto
del escalar α por el i-ésimo renglón de An. �
3.2 Teorema. Toda matriz elemental es invertible, y la inversa
también es una matriz elemental y del mismo tipo.
Demostración.
La matriz identidad (In)es una matriz no singular, su determi-
nante es el producto de los elementos de su diagonal, por ser una
matriz diagonal, y su valor es igual a 1, entonces existe su inversa.
Existen tres tipos de matrices elementales, si tomamos las matri-
ces elementales del teorema (3.1), E(1), E(2) y E(3):
Primera matriz elemental. Sea E(1) la matriz elemental que se
obtuvo a partir de multiplicar el i-ésimo renglón de In por α. E(1)
sigue siendo una matriz diagonal, entonces su determinante es el
escalar α 6= 0, entonces existe su inversa E−1(1) y se debe cumplir
E(1)E
−1
(1) = In
al obtener el determinante de ambos lados de la igualdad
det(E(1)E
−1
(1)) = det(In)
det(E(1)) det(E
−1
(1)) = 1
α det(E−1(1)) = 1
Factorización de Matrices 59
α es un escalar, entonces por el inverso multiplicativo ∈ R, el
det(E−1(1)) debe ser
1
α
, para que se cumpla
α(
1
α
) = 1
entonces
E−1(1) =

1 0 · · · · · · 0
0 1
. . .
...
...
. . . 1
α
. . .
...
...
. . . 1
...
0 · · · · · · 0 1

que es del mismo tipo que E(1).
Segunda matriz elemental. Sea E(2) la matriz que se ob-
tuvo a partir de intercambiar el i-ésimo renglón de In, con el j-
ésimo renglón de In. Entonces el det(E(2)), por el teorema (1.5 -
proposición 2), es (−1), entonces existe E−1(2) y se debe cumplir
E(2)E
−1
(2) = In
al obtener el determinante de ambos lados de la igualdad
det(E(2)E
−1
(2)) = det(In)
det(E(2)) det(E
−1
(2)) = 1
(−1) det(E−1(1)) = 1
entoces el det(E−12 ) es (-1), lo que nos dice que (E
−1
2 ) es del mismo
tipo que (E2).
Tercera matriz elemental. Por último, sea E(3) la matriz que
se obtuvo de sumarle al j-ésimo renglón de In, el producto del
escalar α 6= 0 por el i-ésimo renglón de In. El det(E3) es 1, por
el teorema (1.5 - proposición 5). Entonces su inversa existe, y se
debe cumplirse que
E(3)E
−1
(3) = In
60 Métodos Directos para Resolver Sistemas Lineales
Si tomamos el producto de E(3)A del teorema (3.1), observamos
el j-ésimo renglón, ya que es el renglón que se afecta al hacer el
producto, el resto de los elementos deben ser iguales a la matriz
In,
(αai1 +aj1, αai2 +aj2, · · · , αaii+aji, · · · , αaij+ajj, · · · , αain+ajn)
el elemento que esta en la j-ésima columna del producto E(3)A
debe valer 1 y el resto de los elementos deben ser ceros, como el
valor de los elementos aii = ajj = 1 ya que están en la diagonal,
entonces
αaii + aji = 0
α = −aji
aji = −α
entonces
E−1(3) =

111 0 · · · · · · · · · · · · 0
0
. . . . . .
...
...
. . . 1ii
. . .
...
...
. . . . . . . . .
...
... −λ1ii
. . . 1jj
. . .
...
. . . . . . 0
0 · · · · · · · · · · · · 0 1nn

que es del mismo tipo que E(3).
Por lo tanto las matrices inversas de las matrices elementales
existen y son del mismo tipo. �
3.3 Teorema. El producto de matrices triangulares inferiores es
triangular inferior, y el producto de matrices triangulares superio-
res es triangular superior.
Factorización de Matrices 61
Demostración.
Sea An = [aij] y Bn = [bij] matrices triangulares inferiores, y sea
Cn = [cij] el producto Cn = AnBn, probaremos que [cij] = 0 para
i < j; por la definición de multiplicación de matrices,
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj
Para i < j, y si agrupamos
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aij−1bj−1j︸ ︷︷ ︸+ aijbjj + · · ·+ ainbnj︸ ︷︷ ︸
Por hipótesis las matrices An y Bn son triangular inferior, por lo
que en el primer grupo se tienen los términos bij = 0 y en el se-
gundo grupo se tienen los términos aij = 0 ya que i < j, de esto
se sigue que cij = 0, para i < j, que es lo que se queŕıa demostrar.
La demostración para matrices triangulares superiores es equi-
valente. Sea A = [aij] y B = [bij] matrices triangulares superiores,
y sea Cn = [cij] el producto Cn = AnBn, probaremos que [cij] = 0
para i > j; por la definición de multiplicación de matrices,
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj
Para i > j, y si agrupamos
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aij−1bj−1j︸ ︷︷ ︸+ aijbjj + · · ·+ ainbnj︸ ︷︷ ︸
Por hipótesis las matrices An y Bn son triangular superior, por
lo que en el primer grupo se tienen los términos aij = 0 y en el
segundo grupo se tienen los términos bij = 0 ya que i > j, de esto
se sigue que cij = 0, para i > j, que es lo que se queŕıa demostrar.
�
Ahora continuaremos con el método de descomposición. Sea
An una matriz y supóngase que An se ha reducido a una forma
62 Métodos Directos para Resolver Sistemas Lineales
escalonada Un mediante una sucesión de operaciones elementales.
Por el teorema (3.1) cada una de estas operaciones se puede efec-
tuar multiplicando por la izquierda de An por una matriz elemental
apropiada. De esta forma es posible encontrar matrices elemen-
tales E(1), E(2), . . . , E(k) tales que
E(k) · · ·E(2)E(1)An = Un. (3.5)
Por el Teorema (3.2), sabemos que cada una de las matrices E(1), E(2),
. . . , E(k) son invertibles, de modo que es posible multiplicar por la
izquierda ambos miembros de la ecuación (3.5), por
E−1(k), . . . , E
−1
(2) , E
−1
(1) ,
para obtener
A = E−1(1)E
−1
(2) · · ·E
−1
(k)Un, (3.6)
Si suponemos que al reducir la matriz An a la matriz Un no se
efectuó ningún intercambio de renglones y por el teorema (3.3), se
sigue que la matriz
Ln = E
−1
(1)E
−1
(2) · · ·E
−1
(k), (3.7)
es triangular inferior. Entonces sustituyendo (3.7) en (3.6), se
obtiene
An = LnUn.
3.1.1 Ejemplo. Tomemos el ejemplo (1.1.1) donde aplicamos
eliminación gaussiana, ahora factorizaremos la matriz de coefi-
cientes A, lo haremos paso por paso para ver el desarrollo del
método, aún cuando ya se tiene a U .
Sea
A =
 1 −12 −12−1
2
1 −1
2
1
3
1
3
1
3
 y b =
 −99
88
 ,
para obtener la descomposición, A se reducirá a una forma escalo-
nada U y luego L se calculará a partir de (3.7). Recordemos que
Factorización de Matrices