3 - 02 - Modelos Matemáticos - Guillermo Tepichin

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26/08/2014
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Modelado de procesos
Dra. Marta Basualdo
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Modelos
• Representación aproximada de la realidad
• Abstracción: Incluimos solo aquellos aspectos 
y relaciones que son de interés.
• Modelos físicos, cualitativos, cuantitativos,…
• Usos de los modelos: diseño, entrenamiento, 
“qué pasa si….”, decisiones,...
• ¿Como generarlos, resolverlos, utilizarlos, 
validarlos?
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¿Qué es un modelo matemático?
• Conjunto de ecuaciones que relacionan las 
variables de interés del proceso y representan 
adecuadamente su comportamiento
• Siempre son aproximaciones de la realidad
• Distintos modelos para distintos objetivos y 
tipos de procesos
• Compromiso entre facilidad de uso y 
exactitud
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Modelos en control
El diseño de un sistema de control típicamente requiere un delicado
balance entre limitaciones fundamentales y soluciones de compromiso.
Para poder lograr este balance, es necesario tener una comprensión
cabal del proceso en cuestión.
Esta comprensión usualmente se captura en un modelo matemático.
Teniendo un modelo, es posible predecir el impacto de distintos diseños
posibles sin comprometer al sistema real.
En esta sección vamos a discutir brevemente cómo
• elegir el nivel adecuado de complejidad de un modelo;
• linealizar modelos no lineales;
• obtener experimentalmente modelos elementales.
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Los modelos matemáticos nos brindan los medios de 
capturar
el comportamiento de un sistema sujeto a condiciones 
iniciales,
entradas de control y perturbaciones mediante un conjunto
de ecuaciones matemáticas.
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Complejidad de modelos
• Al construir un modelo es importante tener en cuenta
que todo proceso real es complejo, por lo que cualquier
intento de construir una descripción exacta de la planta
es usualmente una meta imposible de alcanzar.
• Afortunadamente, la realimentación usualmente nos
permite tener éxito aún con modelos muy simples,
siempre y cuando éstos capturen las características
esenciales del problema.
• Es importante destacar que los modelos empleados
para control usualmente difieren de los utilizados, por
ejemplo, para diseño del proceso.
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Construcción de modelos
Dos enfoques diferenciados para la construcción de modelos:
Experimental. Se basa en pensar al sistema como una caja negra.
En este enfoque se postula una determinada estructura de
modelo, a la que que se varían los parámetros, bien vía prueba
y error, o bien vía algún algoritmo, hasta que la el
comportamiento dinámico del modelo se ajusta al observado en
la planta mediante ensayos.
Analítico. Se basa en el uso de leyes físicas (conservación de
masa, energía y momento). El modelo se obtiene a partir de las
leyes fenomenológicas básicas que determinan las relaciones
entre todas las señales del sistema.
En la práctica es común combinar ambos enfoques.
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Identificación
Técnica que permite obtener el 
modelo a partir de datos 
experimentales de entrada-salida 
del proceso 
t
t
YU
U
Y
Proceso
Modelo
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Obtención del Modelo 
SISTEMA
MV1
MV2
VARIABLES
MANIPULADAS
DV1
VARIABLES DE PERTURBACIÓN
CV1
CV2
CV3
VARIABLES 
(MEDIBLES?)
CONTROLADAS
VARIVABLES DEPENDIENTES
VARIABLES DE SALIDA
(DEPENDIENTES)
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Validación del modelo
Proceso
u
tiempo
y
tiempo
Modelo
ym
tiempo
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Procesos continuos y de eventos 
discretos
q
h
Procesos continuos:
Las variables evolucionan
continuamente en el tiempo
y pueden tomar cualquier 
valor en un rango dado
Procesos de eventos:
Las variables solo cambian
en instantes discretos
y pueden tomar solo un 
número finito de valores 
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Procesos Continuos / Eventos
• Procesos Continuos
– Descritos principalmente por DAEs o PDE.
– Interés fundamental: la trayectoria de algunas 
variables
• Procesos de eventos discretos
– Descritos principalmente por secuencias de 
actividades. 
– Interés fundamental: el comportamiento 
estadístico de algunas variables. 
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Modelos estáticos y dinámicos
q
h
A
d h
d t
q k h  
q k h 
Modelo estático: 
Relaciona las variables en un
estado de equilibrio
Modelo dinámico:
Relaciona las variables a
lo largo del tiempo
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Respuesta dinámica
tiempo
q
h
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Modelos estáticos y dinámicos
• Modelos estáticos
– Representan situaciones de equilibrio
– Descritos mediante ecuaciones algebraicas
– Orientados a diseño
• Modelos dinámicos en tiempo continuo
– Representan la evolución temporal
– Descritos mediante DAE y PDE
– Uso mas general: control, entrenamiento,...
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Modelos para control por 
computadora (digital) 
ProcesoComputadora D/A
A/D
y(kT)
u(kT)
 modelos en tiempo discreto
 deben relacionar las variables de entrada y salida
en los instantes de muestreo kT
 Ecuaciones en diferencias y((k+1)T)=f(y(kT),u(kT))
y(t)
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¿Como obtener modelos?
Mediante razonamientos,
usando leyes físicas,
químicas, etc
Mediante experimentación
y análisis de datos
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•En particular, revisaremos algunas propiedades básicas
de las representaciones externas (funciones
transferencias), representaciones internas (ecuaciones
de estado) y los diagramas de bloques, modelos
matemáticos muy comúnmente usados en ingeniería de
control.
•Presentaremos algunas premisas de cómo obtener
modelos matemáticos en forma analítica. La derivación de
modelos matemáticos de procesos teniendo en cuenta que
es una disciplina compleja en sí misma.
Modelos y representaciones típicas en control
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Modelos de conocimiento
• Se obtienen mediante razonamientos y la 
aplicación de principios de conservación de 
masa, energía, momento, etc. y otras leyes 
particulares del dominio de aplicación
• Tienen validez general
• Requieren conocimiento profundo del 
proceso y de las leyes fisico-químicas
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Modelos de conocimiento
Metodología de modelado:
Establecer los límites y objetivos del modelo
Establecer las hipótesis básicas
Escribir las ecuaciones usando leyes de 
conservación y del dominio de aplicación
Estimar el valor de los parámetros
Validar el modelo
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MODELOS DE CONOCIMIENTO (ANALÍTICOS)
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Tipos de modelos
• Parámetros concentrados
• Parámetros distribuidos
• No-lineales
• Lineales
• Tiempo
• Frecuencia
• ….
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Ejemplo: nivel en un tanque
Conservación de masa
Acumulación=
flujo entrada q - flujo salida F
m masa en el depósito
A sección del depósito
 densidad, k constante
q
h
F
hkq
td
hd
A
hkF ghpp
ppSkSvF hAm
 Fq
td
md
01
011




p0
p1
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Ejemplo: nivel en un tanque
Conservación de masa
Acumulación=
flujo entrada q - flujo salida F
m masa en el depósito
A sección del depósito
 densidad, k constante 
u posición de la válvula
q
h
F
Ecuación diferencial 
no-lineal
AhV hukq
td
hd
A
hukF hAm
 Fq
td
md



Ecuación 
algebraica
u
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Modelos en variables de estado
)t),t(p),t(u,x(g)t(y
)t),t(p),t(u),t(x(f
dt
)t(xd


Variables 
manipuladas
Respuestas 
observables
u y
x
x Estados
perturbacionesp
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Simulación
Integrando numéricamente 
el modelo pueden 
obtenerse los valores del 
volumen de líquido en 
función de los valores de q
q
h
F AhV hA
uk
q
A
1
td
hd

Integración numérica 
mediante el método de 
Euler
t)t(h
A
k)t(u
)t(q
A
1
)t(h)tt(h 


 
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Causalidad
q
h
F
Causalidad física: 
causas y efectos
q h F
hkF
Fq
td
hd
A


Causalidad 
computacional: 
orden de cálculo de 
las variables
q h F
El uso del modelo (¿Qué 
pasa si..? Control, etc.) 
requiere una determinada 
causalidad computacional. 
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Hipótesis
q
h
F
q
h
F
ci
c
Fcqc
td
Vcd
i 
Mezcla perfecta Flujo pistón
)
F
V
t(c)
Av
Ah
t(c)
v
h
t(c)t(c iii 
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Formulación
q
h
F
ci
c
)cc(q
td
cd
V
Fcqc)Fq(c
td
cd
V
Fcqc
td
Vd
c
td
cd
V
V
Vc
c
Fq
td
Vd
Fcqc
td
)Vc(d
ii
i
i












Mezcla perfecta
 constante
Volumen V
Concentración 
ci
30
Computabilidad
q1
h1
F1
h2
F2
0q hh0 hh)hhsgn(kF
 hkF ?hh hhkF
FFq
dt
dh
A Fq
dt
dh
A
imaxi212111
222212111
212
2
211
1
1



q2
Leyes + 
restricciones
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Reactor Químico Isotérmico
Reactor
FT
AT
Productos
Materia prima
Reacción:
A
A, B
A B
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Modelo Matemático
A  B
F
CA CB T
CAi , Ti
Producto A
Balance másico del producto A
Balance másico del producto B
Hipótesis:
•Mezcla perfecta en el reactor
•Temperatura T constante
•Volumen constante V
V
d c
d t
Fc Fc Vke cA Ai A
E
RT
A  

V
d c
d t
Fc Vke cB B
E
RT
A  

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Conservación de energía
T temperatura, V voltaje
m masa en el depósito
H entalpia, ce calor específico
A sección del depósito
 densidad, R resistencia
q
Ecuación diferencial no-lineal
Rc
V
)TT(q
td
Td
Ah
 Ahm TcH si
 
R
V
HqHq
td
)mH(d
e
2
i
e
2
i




V R T
Hipótesis:
T uniforme en el depósito 
Aislamiento perfecto 
densidad constante
Ti
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Procesos de parámetros distribuidos
x
Ti F
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Proceso de parámetros distribuidos
x
Ti Ti+1Ti-1
Ts
F
T depende de la posición y del tiempo
Se divide el proceso en celdas de ancho x en las que 
T pueda considerarse uniforme
Balance de energía en un elemento
Limite cuando x  0
T(x,t)
x
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Proceso de parámetros 
distribuidos
x
Ti Ti+1Ti-1
Ts
FT(x,t)
e
s
2
e
is
0x
i1i
0x2
i
0x
e
isi1i
2
i
isie1ie
ie
2
cr
))t,x(TT(U2
x
)t,x(T
r
F
t
)t,x(T
cr
)TT(U2
lim
x
)TT(
lim
r
F
td
Td
lim
cr
)TT(U2
x
)TT(
r
F
td
Td
)TT(xUr2TcFTcF
td
Tcxrd






























r
Balance 
energético
Ecuaciones en 
derivadas 
parciales
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Modelos de conocimiento
• Formados por conjuntos de ecuaciones 
diferenciales y algebraicas frecuentemente 
no lineales
• Útiles para evaluaciones más realistas de 
diseños, estructuras de control, etc.
• Requieren ciertos conocimientos
• Difíciles de manipular matemáticamente
• Se resuelven mediante simulación
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Modelos linealizados
• Aproximaciones lineales de las ecuaciones 
no-lineales
• Mas fáciles de manipular matemáticamente 
pero su rango de validez es limitado
hkq
td
hd
A  hq
td
hd
A 
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Linealización
Desarrollo en serie de Taylor sobre un punto de 
operación u0, y0, z0, ….
...)zz(
z
f
)yy(
y
f
)uu(
u
f
)z,y,u(f)z,y,u(f
0)z,y,u(f 0)z,y,u(f
0
0
0
0
0
0
000
000








 zzz yyy uuu 0z
z
f
y
y
f
u
u
f
000
000







Ecuación lineal en las nuevas variables u, y, z
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Modelo Linealizado del Tanque
q
h
F
Ecuación diferencial lineal
0qh
h2
k
dt
hd
A
1
q
f
 
h2
k
h
f
 A
h
f
0)qq(
q
f
)hh(
h
f
)hh(
h
f
q,h,h 0)q,h,h(f
0hkq
td
hd
A
0
0000
0
0
0
0
0
0
000





















Variables desviación 
h = h - h0
q = q - q0
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Simulación
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
0 10 20 30 40
TIME
h
h_l
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
0 10 20 30 40
TIME
q
4
5
6
7
8
0 10 20 30 40
TIME
h
h_l
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
0 10 20 30 40
TIME
q
Respuestas del modelo no –lineal y linealizado para 2 saltos en q
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Modelo Linealizado del Tanque
q
h
F
El valor de los coeficientes depende del punto 
de linealización
k
h2
K 
k
h2A
qKh
dt
hd
q
k
h2
h
dt
hd
k
h2A
0qh
h2
k
dt
hd
A
00
00
0




Variables desviación 
h = h - h0
q = q - q0
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Modelos linealizados
t
t
YUU0
U
Y0
Y
las variables u e y son
cambios sobre un punto de 
operación U0 , Y0
El rango de validez está limitado a un entorno del punto de 
operación
Proceso
)t(Y)t(Y)t(y
)t(U)t(U)t(u
0
0


44
Modelos en variables de estado
h.1h
qh
dt
hd
q
A
1
h
hA2
k
dt
hd
0





q
h
Cxy
BuAx
td
xd


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Modelos en variables de estado
DuCxy
BuAx
td
xd


x variables de estado: 
conocido su valor en el instante 
inicial y los valores de u(t) a lo 
largo del tiempo, puede 
determinarse el valor de las 
salidas a lo largo del tiempo
  
t
t
tAttA dBuetxetx
0
0 )()()( )(0
)(Solución 
analítica:
46
Equivalencia
Cxy
BuAx
td
xd

 u y
zPCy
PBuz)P(PA
td
zd
 zP xPxz
1-
1-
1-


    
  zCPy
uPB zPAP
td
zd
1-
1-


Existen muchas representaciones 
equivalentes entrada-salida
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Autovalores
Cxy
BuAx
td
xd

    
  zCPy
uPB zPAP
td
zd
1-
1-


0IA 
0IA
0PIAP
0P)IA(P
0PPPAP
0IPAP
1
1
11
1









Los autovalores son 
invariantes en 
representaciones 
equivalentes
48
PROBLEMA 
INICIAL 
(DOMINO TEMPORAL) 
PROBLEMA 
TRANSFORMADO 
(DOMINO COMPLEJO) 
SOLUCIÓN 
(EN TÉRMINOS DE LA 
VARIABLE S) 
SOLUCIÓN 
(EN TÉRMINOS DE LA 
VARIABLE REAL t) 
Trasnformada de Laplace 
Anti - trasnformada de Laplace 
Mnipulación en el 
domino complejo 
(más fácil que en el 
dominio temporal) 
Transformada de Laplace
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Transformada de Laplace
 
Laplace de compleja le variabjs
dte)t(f)s(F)t(f
0
st

 

L
f(t) función temporal
f(t) = 0 para t < 0
t
f(t)
   
)s(G)s(F
)t(g)t(f
)t(gf(t) si



LL Cambio de 
variable t  s
50
Transformada de Laplace
   
)s(G)s(F
)t(g)t(f
)t(gf(t) si



LL
Cambio de 
variable t  s
Resolución del problema en el dominio s X(s)
Interpretación y expresión de la solución en el 
dominio t
Cambio de 
variable s  t
  


 
j
j
st1 dse)s(X)s(X)t(x L
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51
Ejemplo
 
s
k
s
e
kdtkedte)t(f)s(F)t(f
0
st
0
st
0
st 



 L
f(t) función salto
f(t) = 0 para t < 0
f(t) = k para t >= 0
t
f(t)=k
Tablas de transformadas de las 
funciones mas comunes
52
Tabla de Transformadas
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Tabla de transformadas
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Propiedades de la T. Laplace
 
 
 
)s(G)s(Fd)t(g)(f
)s(sFlim)t(flim
)s(Fe)dt(f
)0(f
dt
)0(df
s)s(Fs
dt
)t(fd
)0(f)s(sF
dt
)t(df
)s(bG)s(aF)t(bg)t(af
dte)t(f)s(F)t(f
0
0st
sd
2
2
2
0
st




























L
L
LL
L
L
  


 
j
j
st1 dse)s(F)s(F)t(f L
Transformada inversa
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55
Otra consideración de relevancia práctica es la
inclusión del actuador en el proceso de modelado.
Los actuadores son, en general, bastante alineales, y
usualmente tienen su propia dinámica que, a veces,
puede hasta dominar otras características del
proceso (como suele pasar con válvulas, actuadores
hidráulicos, rectificadores controlados)
Asi, de aquí en más, cuando nos refiramos al modelo
de la planta, entenderemos que este modelo también
incluye los actuadores, cuando sea necesario.
56
Tiene sentido hablar de 
linealización de sistemas reales?
• Aunque casi todo sistema real tiene características no lineales,
muchos sistemas pueden describirse razonablemente por
modelos lineales al menos dentro de ciertos rangos de
operación.
• Como normalmente un sistema de control opera en las
cercanías de un equilibrio, se hace una linealización alrededor
de este equilibrio. El resultado es un modelo lineal, mucho más
simple, pero adecuado para el diseño de control.
• Para un mismo sistema no lineal, la linealización alrededor de
distintos puntos de equilibrio dará, en general, distintos modelos
linealizados.
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57
Sistemas lineales, estacionarios, en 
tiempo continuo
Los sistemas que vamos a considerar están descriptos
por modelos lineales, estacionarios, en tiempo 
continuo. Éstos pueden siempre representarse poruna ecuación diferencial ordinaria de la forma
58
Transformada de Laplace
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30
59
Funciones transferencia
60
Transformando de ecuaciones de 
estado a función de transferencia
Cxy
BuAx
td
xd

 Tomando transformadas de 
Laplace, con condiciones 
iniciales nulas:
 
   
   )t(gBAsICG(s) )s(U)s(G)s(Y
)s(BUAsIC(s) Y)s(BUAsI)s(X
)s(CX)s(Y
)s(BU)s(XAsI )s(BU)s(AX)s(sX
1
11
L





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61
Función de Transferencia
G(s) es una función racional en la variable s
  BAsICG(s) 1
 
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m1
asa...sasa
bsb...sbsb
BAsICG(s)

 



Solo contiene operaciones 
racionales +-*/
)s(D
)s(N
asa...sasa
bsb...sbsb
G(s)
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m 

 



62
Representaciones matemáticas de 
modelos linealizados
)s(D
)s(N
asa...sasa
bsb...sbsb
G(s)
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m 

 



Cxy
BuAx
td
xd


 
t
0
d)t(u)(g)t(y
Variables 
de estado
Respuesta 
impulsional
Función de 
transferencia
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32
63
Algunas definiciones pertinentes a 
funciones transferencia:
64
Polos y ceros
)s(D
)s(N
asa...sasa
bsb...sbsb
G(s)
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m 

 



Ceros de G(s) = raíces de N(s) = 0
Polos de G(s) = raíces de D(s) = 0
0.382- ,618.2sen polos 01s3s
3sen cero 03-s
)382.0s)(618.2s(
3s
1s3s
3s
G(s)
2
2








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33
65
¿Por qué son importantes los polos 
(y los ceros)?
• Como se verá mas adelante, el tipo de 
respuesta temporal a una determinada 
entrada depende de las posiciones de los 
polos (y ceros) del sistema.
• Igualmente la estabilidad está ligada a las 
posiciones de los polos
66
Polos y Autovalores
 
)s(D
)s(N
BAsICG(s) 1  
    BAsIdet
AsIadj
CBAsICG(s) 1

 
  0AsIdet 
Autovalores de A = polos de G(s) 
(salvo cancelaciones polo/cero)
Polos: raices de D(s) = 0
Autovalores: raices de 
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34
67
Realizabilidad Física
q
h
1s
K
)s(G


Sistema físico continuo
Existe
Dada una función de 
transferencia G(s)
¿Puede existir un sistema 
físico cuya función de 
transferencia sea G(s)?
68
Realizabilidad
Para que G(s) sea fisicamente realizable: m  n
)s(D
)s(N
asa...sasa
bsb...sbsb
G(s)
01
1n
1n
n
n
01
1m
1m
m
m 

 



En caso contrario:
















)s(U
2s
1
dt
)t(du
)t(y
)s(U
2s
1
s)s(U
2s
1s2s
)s(Y
2
1-L
Para una entrada en salto en u(t) tendría que dar una 
y(t) infinita
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35
69
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA (SISO y MISO)
70
Modelo en FT de Primer Orden del 
Tanque. 
q
h
F
k
h2
K 
k
h2A
qKh
dt
hd
00 

Tomando Transformadas de Laplace:
 
 
1s
K
G(s) G(s)Q(s)H(s) )s(Q
1s
K
)s(H
)s(KQ1s)s(H )s(KQ)s(H)s(sH
qKh
dt
hd








  LL
1s
K

Q(s) H(s)
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36
71
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA (MIMO)
72
Matriz de Transferencia
En un proceso con varias entradas y salidas (MIMO) 
G(s) es una matriz de funciones de transferencia
  BAsICG(s) 1 


























)s(U
)s(U
)s(G)s(G
)s(G)s(G
)s(G)s(G
)s(Y
)s(Y
)s(Y
2
1
3231
2221
1211
3
2
1
u1
u2
y1
y2
y3
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73
Ejemplo de resolución mediante la 
transformada de Laplace
   
 
tiomindosiomindotiomindo
......
2s
1
1s2s
5.0s
L)s(YL)t(y
2s
1
1s2s
5.0s
)s(Y
2s
1
)s(U)s(U
1s2s
5.0s
)s(Y
)s(U5.0s1s2s)s(Y)s(U5.0)s(sU)s(Y)s(sY2)s(Ys
u5.0
td
ud
Ly
td
yd
2
td
yd
L
0 tpara e)t(u;0
td
)0(yd
;0)0(yu5.0
td
ud
y
td
yd
2
td
yd
2
11
22
22
2
2
t2
2
2

































74
Descomposición en fracciones simples
 
 
   
 
 
   
 
ttt2
2
1
222
2
2
22
2
1
2
11
te5.1e5.2e5.2
1s
5.1
1s
5.2
2s
5.2
L)t(y
5.2bb25.5c2b2a5.00s
a5.22s
c5.11s
)2s(1s
)2s(c
)2s()1s(
)2s)(1s(b
)2s(1s
1sa
2s
1
1s
5.0s
1s
c
1s
b
2s
a
2s
1
1s
5.0s
2s
1
1s
5.0s
L
2s
1
1s2s
5.0s
L)s(YL)t(y





















































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38
26/08/2014
39
78
Estabilidad de funciones transferencia
• Estabilidad entrada-salida. 2 Decimos que un sistema es 
estable entrada-salida, o BIBO estable, si toda entrada 
acotadaproduce una salida acotada.
• Teorema. [Estabilidad entrada-salida] Un sistema lineal,
estacionario y de tiempo continuo es estable entrada-salida
si todos los polos de su función transferencia tienen parte 
real negativa.
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40
79
Entradas Normalizadas
u y
t
u
t
u t
u
t
u
impulso
salto
rampa
t=0
t=0
t=0
t=0
seno
80
Sistemas de primer orden
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81
Ganancia
t
u
y
u
y
)0(G
)s(sU
)s(sY
limK
u
y
K
0s





equilibrio en
)1s)......(1s)(1s(
)1s)......(1s(K
)s(G
n21
m1


 tiempode constante K. gananciay 
1
- ceros , 
1
- polos formato 

82
Sistemas capacitivos puros
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42
83
Sistemas de segundo orden
84
Función de transferencia de sistemas con
retardo
En general, vamos a considerar funciones transferencia 
racionales y propias, que corresponden a sistemas 
lineales, estacionarios y de dimensión finita (orden 
finito).
Una excepción de gran importancia en la práctica es el caso
de sistemas con retardo entre entrada y salida. 
Estrictamente, estos sistemas tienen dimensión infinita. 
Sin embargo, su representación mediante función 
transferencia es aún tratable, aunque deja de ser racional.
La función transferencia de un retardo de T segundos es de
la forma
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43
85
Ejemplo: Sistema intercambiador de calor. Un ejemplo
simple de un sistema con retardo es el intercambiador de calor
de la figura.
Notar que K;T y t dependen de la velocidad del ventilador, que 
puede ser variable. Aunque muy simple, este tipo de modelo es 
muy común en aplicaciones de control de procesos.
86
Aproximación de Pade
 
 
12
ds
s
2
d
1
12
ds
2
ds
1
e 2
2
ds



G(s) con un retardo d no es racional. Si se 
necesita, puede aproximarse el retardo por una 
expansión en serie:
)1s)......(1s)(1s(
)1s)......(1s(Ke
)s(G
n21
m1
ds



s
2
d
1
s
2
d
1
e ds



Aproximación 
de Pade de 
primer orden
Aprox. de 
2º orden:
resppade
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87
SISTEMAS CON RESPUESTA INVERSA 
(NO MÍNIMA FASE)
88
Bloques en serie
G1(s) G2(s)
U(s) Y(s)X(s)
Y(s) = G2(s)X(s) = G2(s)G1(s)U(s) = G(s)U(s)
G (s)
Y(s)U(s)
G(s) = G2(s)G1(s)
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45
89
Diagramas de bloques
• Capturan la esencia del sistema en un formalismo 
gráfico abstracto de simple manipulación. 
Representan el flujo y procesamiento de las señales 
dentro del sistema.
90
Álgebra de bloques
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46
91
Álgebra de bloques
92
Álgebra de bloques
26/08/2014
47
93
Representación en diagrama de bloques
de las Ecuaciones de Estado
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48
26/08/2014
49
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50
Ejemplo de Modelo Matricial Industrial
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51
101
Respuesta en frecuencia
• Respuesta en frecuencia
• Diagramas de Bode
• Diagramas de Nyquist
102
Respuesta en régimen permanente
La respuesta en régimen permanente de un sistema
es la señal yrp(t) a la que tiende la respuesta y(t) del
sistema una vez extinguidos los transitorios — es
decir, para valores suficientemente grandes de t,
El concepto de respuesta en régimen permanente sólo
tiene sentido si el sistema es estable (BIBO).
Típicamente, la respuesta en régimen permanente se
estudia para entradas de tipo escalón o sinusoidal.
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52
103
Respuesta en frecuencia
La respuesta en régimen permanente de un sistema a señales
sinusoidales en unrango de frecuencias es lo que se
conoce como la respuesta en frecuencia del sistema.
El interés de tratar entradas sinusoidales está en que la
respuesta del sistema a estas señales contiene información
sobre la respuesta a señales más generales.
De hecho, toda señal periódica puede descomponerse en una
serie de senos y cosenos, por el Teorema de Fourier.
Conociendo la respuesta del sistema a las componentes
sinusoidales de la señal de entrada, puede reconstruirse por
Fourier la señal de salida.
104
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53
105
Teorema. (Respuesta en RP a entradas sinusoidales)
Consideremos una función transferencia estable G(s) de
orden n (o sea, con n polos, todos ellos con parte real
negativa).
Entonces, la respuesta en régimen permanente a una
entrada
106
Diagramas de Bode
• El eje de abscisas es logarítmico en w, es decir, lineal en log(w),
donde el logaritmo es de base 10. Así se consigue una
representación compacta sobre un rango amplio de frecuencias.
La unidad del eje es la década, es decir, la distancia entre w y
10w para cualquier valor de w.
• La magnitud de la respuesta en frecuencia se mide en decibeles
[dB], es decir, unidades de 20log /G( jw)/.
• La fase se mide en escala lineal en radianes o grados.
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107
Gráfico aproximado de los diagramas de Bode
Los programas como MATLAB poseen comandos especiales para calcular
y graficar diagramas de Bode. Sin embargo, existen reglas muy simples
que permiten esbozar estos diagramas prácticamente sin hacer cálculos.
Reemplazando s= jw
108
• Una ganancia simple K tiene magnitud y fase
constantes. El diagrama de magnitud es una línea
horizontal en 20log /K/ dB y la fase es una línea
horizontal en 0 rad (si K > 0).
• El factor sk tiene un diagrama de magnitud que es
una línea recta con pendiente igual a 20k
dB/década, y fase constante igual a kπ/2.
Así vemos de (4) y (5) que el diagrama de Bode de cualquier
función transferencia puede obtenerse sumando y restando
magnitudes (en dB) y fases de factores simples.
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109
Diagrama de Bode exacto (línea gruesa) y aproximado (línea
fina).
110
Diagrama de Nyquist
• Una herramienta clásica y durable para determinar la
estabilidad de un lazo de realimentación es el criterio de
estabilidad de Nyquist. En el criterio de Nyquist, la
estabilidad del sistema a lazo cerrado se determina a partir
de la respuesta en frecuencia del sistema a lazo abierto,
G0(s)K(s), que se grafica en un diagrama polar y da
información del lazo cerrado
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111
112
Tipos de modelos