La derivada2 - César Esquivel

Vista previa del material en texto

La derivada
Equipo 1
Arturo Treviño Castañeda
Jorge Luis Chavez Cantoriano
César Antar Esquivel González
derivación
La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
La definición de derivada es la siguiente:
La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.
La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. 
DEFINICION DE DIFERENCIAL
El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.
Informalmente, el diferencial dy se define mediante la expresión:
donde f'(x) es la derivada de f con respecto a x, y donde dx es una variable real adicional (de manera que dy es una función de dos variables x, y dx). La notación es tal que la expresión:
derivada DE FUNCIÓNES ALGEBRAICAS
Derivada de una función de una variable:
	La derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero.
Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es derivable o que tiene derivada.
	La definición puede darse mediante símbolos, en la siguiente forma:
	Dada la función 
		(1) 
Consideremos un valor inicial fijo en x.
Demos a x un incremento ; entonces obtenemos para la función y un incremento , siendo el valor final de la función.
(2)
Para hallar el incremento de la función, restamos (1) de (2); se obtiene
(3)
Dividiendo los dos miembros por incremento de la variable independiente, resulta:
(4)
El límite del segundo miembro cuando es, por definición , la derivada de , o sea, según (1), de y, y se representa por el símbolo . Luego, la igualdad
(A)
Define la derivada de [ de ] con respecto a X.
	De (4) obtenemos también
Principales reglas de la derivada
La derivada de una constante es igual a cero.								
La derivada de una variable con relación a ella misma es igual a uno.
La derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones.
La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de dicha función.
La derivada de un producto de funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda, mas la segunda función por la derivada de la primera.
La derivada de la potencia de una función siendo el exponente constante es igual al producto del exponente por la función elevada al exponente disminuido en una unidad, multiplicado esto por la derivada de la función.
	Si f (x) = x, entonces:
La derivada de un cociente es igual al denominador por la derivada del numerador menos el numerador, por la derivada del denominador entre el cuadrado del denominador.
La derivada del cociente de una función y una constante es igual a la derivada de la función entre la constante.
Formulas de derivación
Ejemplos resueltos
Aplicando las propiedades de los logaritmos obtenemos: 
bibliografÍa
El cálculo – Luis Leithold – 7 ed.
Calculo diferencial e integral – Wiiliam Anthony Granville