Cálculo de Derivadas - Ejercicios

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ESCUELA	SUPERIOR	POLITÉCNICA	DEL	LITORAL	
FACULTAD	DE	CIENCIAS	NATURALES	Y	MATEMÁTICAS	
CÁLCULO	DE	UNA	VARIABLE	
DEBER	5	–	DERIVADAS	
	
2.1 	INTRODUCCIÓN	A	LA	DERIVADA	
	
1) Realice	una	estimación	de	la	pendiente	de	la	curva,	utilizando	la	cuadrícula	y	una	regla	
en	los	puntos	𝑃"	𝑦	𝑃%.	
	
	
2) Un	objeto	se	deja	caer	desde	lo	alto	de	una	torre	de	100	 𝑚 	de	altura.		Su	altura	por	
encima	del	nivel	del	suelo,	al	cabo	de	t	segundos,	es	100 − 4.9𝑡%.		¿Cuál	es	su	rapidez	
2	segundos	después	de	que	se	suelta	?	
	
3) La	altura	𝑆,	medida	en	pies	a	la	que	se	encuentra	un	balón	por	encima	del	suelo	a	los	
𝑡	 𝑠 	está	dada	por	𝑆 𝑡 = −16𝑡% + 40𝑡 + 100.	Aplicando	la	definición	de	derivada:	
	
a) Determine	su	velocidad	instantánea	para	𝑡 = 2	 𝑠 .	
b) Determine	cuándo	su	velocidad	instantánea	es	igual	a	cero.	
	
4) Demuestre	que	la	recta	𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏	es	su	propia	recta	tangente	en	cualquier	punto	
𝑥7,𝑚𝑥7 + 𝑏 .	
	
2.2		DEFINICIÓN	DE	LA	FUNCIÓN	DERIVADA	
	
5) Aplicando	la	definición	de	la	derivada,	calcule	la	pendiente	de	la	recta	tangente	en	el	
valor	𝒙 = 𝒄	especificado:	
	
a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1, 𝑐 = −1	
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥= − 4, 𝑐 = 2	
c) 𝑓 𝑥 = "
>?
, 𝑐 = 1	
d) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥), 𝑐 = 1/2	
	
6) Aplicando	la	definición	de	la	función	de	la	derivada	determine	la	ecuación	de	la	recta	
tangente	a	la	curva:	𝑦 = E
>?	F	G
,	en	el	punto	 2, 1 .	
	
7) Aplicando	la	definición	de	la	función	de	la	derivada	determine	la	ecuación	de	cada	
una	 de	 las	 rectas	 normales	 a	 la	 curva	𝑦 = 𝑥% − 4𝑥	que	 sean	 paralelas	 a	 la	 recta	
𝐿:		𝑥 + 8𝑦 − 8 = 0	.	
	
2.3		DERIVADA	EN	UN	PUNTO	
	
8) Demuestre	que	la	función	𝑓	definida	por	𝑓 𝑥 = 𝑥
?
K,	𝑥 ∈ ℝ,	no	es	derivable	cuando	
𝑥 = 0.	
	
9) Dada	la	función		𝑓:ℝ ↦ ℝ		definida	por:	
	
𝑓 𝑥 = 2 − 𝑥 − 1 − 1	
	
a) Bosqueje	en	el	plano	cartesiano	la	gráfica	de	la	función		𝑓	.	
b) Exprese	la	regla	de	correspondencia	de		𝑓		como	una	función	por	tramos.	
c) Determine:	
i) 𝑓O −2 	
ii) 𝑓O 0 	
iii) 𝑓O 1 	
iv) 𝑓O 2 	
v) 𝑓O 4 	
	
10) En	qué	puntos	la	derivada	de	la	función	𝑓 𝑥 = 𝑥=	coincide	en	valor	numérico	con	la	
propia	función?	
	
2.4	TEOREMA	DE	LA	DERIVABILIDAD	Y	LA	CONTINUIDAD	
	
11) Analice	la	continuidad	y	la	derivabilidad	de	la	función:	
	
( ) 1 , 0
, 0
x
f x
x x
<⎧
= ⎨ ≥⎩
	
	
12) Analice	la	continuidad	y	la	derivabilidad	de	la	función:	
	
( ) 3
1 1 , 0
, 0 2
3 2, 2
x
x
f x x x
x x
⎧ + <⎪
⎪⎪= ≤ <⎨
⎪ + ≥⎪
⎪⎩
	
	
	 	
13) Dada	la	función	de	variable	real		𝑓		cuya	regla	de	correspondencia	es:	
	
( ) ( )
23 4 1 , 2
3 , 2
x xf x
x x
⎧ − − ≤⎪= ⎨
− >⎪⎩
	
	
Pruebe	que		𝑓		es	continua	pero	no	derivable	en		𝑥 = 2.	
	
14) Calcule	los	valores	de	las	constantes	𝑎	y	𝑏	de	la	regla	de	correspondencia	de	la	función	
𝑓		para	que	ésta	sea	derivable	en	𝑥 = 2.	
	
( )
23 , 2
, 2
x x
f x
ax b x
⎧− ≤
= ⎨
+ >⎩
	
	
15) Califique	la	siguiente	proposición	como	VERDADERA	o	FALSA:	
	
“Si	𝑓	no	es	una	función	diferenciable,	entonces	𝑓	no	es	continua.”	
	
DEMUÉSTRELA	en	caso	de	ser	VERDADERA	o	proporcione	un	CONTRAEJEMPLO	en	caso	de	ser	
FALSA.	
	
Respuesta:	Falsa.	
	
2.5	CÁLCULO	DE	DERIVADAS	(Hasta	reglas	de	derivación)	
	
16) Aplicando	las	reglas	conocidas,	derive	las	siguientes	funciones:	
	
a) f x( ) = π x2 	
b) f x( ) = x5 − x4 + x3 − x2 + x −1	
c) 
 
f x( ) = 50
x5
	
d) f x( ) = 2
x2
− 1
x
	
e) f x( ) = x x2 +1( ) 	
f) f x( ) = 1+ x1− x 	
g) 
 
f x( ) = x
2 +1
x
	
h) f x( ) = xex 	
i) f x( ) = x25x 	
j) f x( ) = x4 2x + x2 	
k) f x( ) = 3log2 x( ) + 2log3 x( ) 	
l) f x( ) = x ln x( ) 	
m) f x( ) = x
2
ln x( ) 	
n) f x( ) = 5sen x( )+ 2cos x( ) 	
o) f x( ) = sen x( )
x
	
p) 
 
f x( ) = sen x( ) + cos x( )
tan x( ) 	
q) f x( ) = exsen x( )ln x( ) 	
r) 
 
f x( ) =
ex csc x( ) + ln x( )
x2
2
	
s) 
 
f x( ) = 1
2
π x cos x( ) + log x( )
x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
− x1000 	
	
17) Escriba	con	sus	propias	palabras	a	qué	es	igual	la	derivada	de:	
	
a) La	suma	de	dos	funciones	de	una	variable	real	𝑓	y	𝑔.	
b) La	resta	de	dos	funciones	de	una	variable	real	𝑓	y	𝑔.	
c) El	producto	de	dos	funciones	de	una	variable	real	𝑓	y	𝑔.	
d) El	cociente	de	dos	funciones	de	una	variable	real	𝑓	y	𝑔.	
	
18) Demuestre,	de	ser	posible,	que	la	derivada	de	una	función	impar	es	una	función	par.	
	
19) Demuestre,	de	ser	posible,		que	la	derivada	de	una	función	par	es	una	función	impar.	
	
20) Sean	las	funciones	de	variable	real	𝑓	y	𝑔	diferenciables	∀𝑥 ∈ ℝ;	y,	los	valores	reales	
𝑘	y	𝑚.	Aplicando	la	definición	de	la	derivada,	demuestre	que:	
	
 
d
dx
k f x( ) − m g x( )( ) = k f ' x( ) − m g ' x( ) 	
	
21) Si	 𝑓,	𝑔	 y	 ℎ	 son	 funciones	 tales	 que	 ( ) ( ) ( )( ) ( )xgxf
xgxfxh
43 −
= ,	 𝑓 3 = 2,	𝑔 3 = −2,	
𝑓′ 3 = 2,	𝑔′ 3 = 2.	Obtenga	el	valor	de	ℎ′ 3 .		
	
22) Determine	las	ecuaciones	de	las	rectas	tangentes	a	la	función		𝑓:		ℝ ↦ ℝ	 	definida	
por		𝑓 𝑥 = 4𝑥= − 2𝑥 + 1,	que	son	paralelas	a	la	recta		𝑦 = 10𝑥 + 2.	
	
23) Determine	la	ecuación	de	la	recta	normal	a	la	función	 y = x3 − 4x 	en	 x = 1 .	Bosqueje	
en	un	plano	cartesiano	las	gráficas	de	la	función	y	la	recta	normal.	
	
24) Suponga	que		𝑓		es	una	función	lineal	continua	tal	que:	
	
𝑓O 𝑥 = −2,			∀𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚	𝑓	
𝑓 −3 = 9	
	
a) Determine	la	regla	de	correspondencia	de	la	función		𝑓.	
b) Bosqueje	la	gráfica	de	la	función		𝑓		en	el	plano	cartesiano.	
	
25) Sean	 las	 funciones	 de	 una	 variable	 real	 cuyas	 reglas	 de	 correspondencia	 son	 las	
siguientes:	𝑓 𝑥 =
𝑥	−	32
𝑥2	+	2
		y		𝑔 𝑥 = 𝑥
2	+	1
𝑥2	+	2
.	
	
¿Para	qué	valores	de	𝑥,	las	funciones	𝑓	y	𝑔	tienen	rectas	tangentes	paralelas?