unidad 7-a Funciones

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Funciones
Lic. Patricia Girimonte
Nociones básicas de funciones 
 
Definición: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, una función de 
A en B es una correspondencia que a cada elemento de A le asigna 
un único elemento de B. 
Se nota BAf ⎯→⎯: 
 
 
 
 
 
B 
A 
f 
a f(a)=b 
2
3
Donde A es el Dominio de la función, y B es Codominio. 
 
Si Aa , Bbaf =)( es el elemento del conjunto B que le 
corresponde. 
La Imagen de una función se define como: 
 )(,/Im xfyAxexisteByf == 
 
Bf Im 
4
Una función RRAf ⎯→⎯: se representa gráficamente en un 
sistema de ejes cartesianos. En el eje x o eje de abscisas, se 
representan los valores del dominio y en el eje y o eje de 
ordenadas los valores de la imagen de la función. 
 
Notación: una función suele notarse como )(xfy = 
 
Observación: No toda correspondencia entre dos conjuntos es una 
función. 
 
Es función 
 
No es función 
 
5
6
Función lineal 
RRf ⎯→⎯: definida como bmxxf +=)( Rbm , 
es una función lineal. 
Domf =R 
Imf =R 
El gráfico de una función lineal es una recta, donde m es la 
pendiente y b es la ordenada al origen. 
 
 
Ejemplos: 
1) RRf ⎯→⎯: 32)( += xxf 
 
 
 
7
 
2) RRf ⎯→⎯: 53)( +−= xxf 
 
 
 
 
8
9
 
3) RR:f ⎯→⎯ 3=)x(f 
 
 
 
 
10
En general: 
m >0 m <0 m = 0 
 
 
¿ 2=x es una recta? ¿Es una función lineal? 
 
Nota: las rectas verticales no son funciones 
La forma bmxxf +=)( es la forma explícita de la recta, también 
se la puede expresar de otras maneras. 
Forma canónica 
00 )()( yxxmxf +−= 
A partir de esta forma sabemos que la pendiente es m y pasa por el 
punto ),( 00 yx . 
Ejemplo: 
1)1(3)( +−= xxf 
Podemos graficar la función lineal directamente 
11
12
Forma implícita 
0.. =++ cybxa 
Ejemplo: 
0426 =++− yx. 
Para graficar es más sencillo pasar a la forma explícita. 
Si despejamos 
23
2
46
462
0426
−=
−
=
−=
=++−
xy
x
y
x.y
yx.
 
13
Función cuadrática 
 
RRf ⎯→⎯: definida como cbxaxxf ++= 2)( con 
0,,,  aRcba es una función cuadrática. 
Domf =R 
El gráfico de una función cuadrática es una parábola. 
 
 
14
Ejemplos: 
1) RRf ⎯→⎯: 23)( 2 ++= xxxf 
 
 
 
 
 
15
 
1) RRf ⎯→⎯: 45)( 2 −+−= xxxf 
 
 
 
 
16
 
En general: 
0a 
 
0a 
 
 
 
El gráfico es cóncavo positivo 
 
El gráfico es cóncavo negativo 
 
 
17
Vértice de una parábola 
 
a
b
xv
2
−
= 
a
bc.a
y
v
4
4 2−
= 
 
Una parábola es simétrica respecto de la recta vertical vxx = . 
Esta recta vertical es el eje de simetría. 
 





=
0
0
Im
asiyR
asiyR
f
v
v
 
18
Ejemplo: 
RRf ⎯→⎯: 23)( 2 ++= xxxf 
2
3
1.2
3
−=
−
=vx 
4
1
14
3214 2
−=
−
=
.
..
y
v
 
El eje de simetría es 
2
3
−=x 
Imf=
4
1
−R 
19
Forma canónica de la función cuadrática 
 
vv yxxaxf +−=
2)()( 
Ejemplo: 
La función 23)( 2 ++= xxxf se expresa en forma canónica 
como 
4
1
2
3
2
−





+= x)x(f 
20
Raíces de una función cuadrática 
Para hallar las raíces de una función cuadrática cbxaxxf ++= 2)(
se resuelve la ecuación cuadrática 02 =++ cbxax . 
Las raíces se obtienen mediante la fórmula: 
a
cabb
x
.2
.42
2,1
−−
= 
La expresión cab .42 −= se llama discriminante. 
21
• Si 0 la función tiene dos raíces reales distintas 1x y 2x . El 
gráfico de la función corta dos veces al eje x y la forma 
factorizada es ))(()( 21 xxxxaxf −−= 
• Si 0= la función tiene una raíz real doble 1x . El gráfico de 
la función “corta” una vez al eje x y la forma factorizada es 
2
1)()( xxaxf −= 
• Si 0 la función no tiene raíces reales. El gráfico de la 
función no corta al eje x. No se puede escribir la función en 
forma factorizada. 
22
Ejemplos: 
1) 0132 2 =+− xx 
 




=
=


=

=
−−
=
2
1
1
4
13
4
13
2.2
1.2.4)3(3
2
12
2,1
x
x
x 
 
Podemos expresar a la función en forma factorizada 
)
2
1
)(1(2)( −−= xxxf 
 
23
 
 
 
 
Observación: A partir del gráfico podemos observar que el vx es el 
punto medio de la dos raíces. Compruébelo analíticamente 
 
24
2) 012
2 =++ xx 
 



−=
−=

−
=
−
=
−−
=
1
1
2
02
2
02
1.2
1.1.422
2
1
2
2,1
x
x
x 
Podemos expresar a la función en forma factorizada 2)1()( += xxf 
 
 
Observación: A partir del gráfico podemos observar que el vx
coincide con la única raíz real. Compruébelo analíticamente. 
 
25
3) 022
2 =++ xx 
 
2
42
1.2
2.1.422 2
2,1
−−
=
−−
=x 
En el conjunto de números reales no tiene solución, decimos 
entonces que no existen raíces reales. 
 
 
26
Función módulo 
RRf ⎯→⎯: definida como xxf =)( siendo 



−

=
0
0
xsix
xsix
x 
Domf=R , Imf= 0R 
 
27
Una forma más general 
RRf ⎯→⎯: definida como cbxaxf +−=)( 
 
Ejemplos 
1) RRf ⎯→⎯: xxf −=)( 
 
28
2 ) RRf ⎯→⎯: 32)( +−= xxf 
 
 
 
 
 
Función Inversa
29
 
A B 
Dada una función BAf →: , si se cumple que By existe un 
único Ax tal que yxf =)( , entonces la función se dice 
biyectiva y existe su función inversa. 
Es decir para que exista función inversa la correspondencia entre 
los elementos de A y los elementos de B debe ser biunivoca. 
Función Inversa
30
Dada BAf →: biyectiva, se define su función inversa 1−f
ABf →− :1 tal que si abfbaf == − )()( 1 
Ejemplos: 
1) RRf →: 52)( +−= xxf 
Reescribimos 52 +−= xy 
Para hallar la función inversa despejamos x 
Función Inversa
31
Entonces RRf →− :1
2
5
2
1
)(1 +−=− xxf 
32
Observar que los gráficos de f y 1−f son simétricos respecto de la 
recta y=x. 
33
Observar que los gráficos de f y 1−f son simétricos respecto de la 
recta y=x. 
34
 
1) RRf →: 2)( xxf = no satisface que Ry existe un 
único Rx tal que yxf =)( , 
Por ejemplo f(2)=4 y f(-2)=4. 
35
Para que exista inversa tenemos que restringir el dominio de la 
función. 
Si definimos 00: → RRf 2)( xxf = o 00: → RRf 
2)( xxf = entonces si existe la función inversa. 
Sea 00: → RRf 2)( xxf = 
 
xy
xy
=
= 2
 como 0x entonces xyxx == 
Luego la función inversa es 00:1 →− RRf xxf =− )(1 
36
37
Si definimos 00: → RRf ,luego la función inversa es 
00:1 →− RRf xxf −=− )(1 
38
Función exponencial 
RRf ⎯→⎯: definida como xaxf =)( , 1,0  aa , es una 
función exponencial. 
Domf =R , Imf =R>0 
Ejemplos 
1) RRf ⎯→⎯: xxf 3)( = 
 
39
 
2) RRf ⎯→⎯: 
x
xf 





=
2
1
)( 
 
 
 
 
40
 
En general: 
a >1 
 
0< a <1 
 
 
Es estrictamente creciente 
 
Es estrictamente decreciente 
 
 
41
Caso particular 
RRf ⎯→⎯: xexf =)( donde e es un número irracional que se 
aproxima por 2,72. 
 
 
 
42
Una expresión más general: 
RRf ⎯→⎯: 
 0
)( 0)( yakxf
xx
+=
−
, 0,1,0  kaa 
 
Domf=R 
 





=
0
0
Im
0
0
ksiyR
ksiyR
f 
43
Ejemplos: 
1) RRg ⎯→⎯: )2(3)( −= xxg 
 
 
 
 
 
 
44
2) RRg ⎯→⎯: xxg 3
2
1
)( = 
 
 
 
 
 
45
 
3) RRg ⎯→⎯: 13)( −= xxg 
 
 
 
 
 
46
 
3) RRg ⎯→⎯: xxg 3)( −= 
 
 
 
 
 
47
La función exponencial entre otras aplicaciones es utilizada para 
modelar crecimiento de poblaciones. 
ta
o ePtP =)( 
Donde: 
oP es la población en el instante inicial que se considere 
a es una constante de proporcionalidad, es decir, el crecimiento 
po por unidad de tiempo que se considera constante en el período 
es estudiado 
t es la variable tiempo en una unidad determinada 
 
48
Ejemplo: 
tetP 1,03,1)( = 
P(t) es la población en miles 
t es el tiempo en años 
 
¿Cuál es la población inicial? 
¿Cuál es el porcentaje de crecimiento por año? 
¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que la población se duplique? 
 
49
Función logarítmica 
La función logarítmicaes la función inversa de la función 
exponencial. 
Se define como RRf ⎯→⎯ 0: xxf alog)( = , 1,0  aa 
Ejemplos: 
1) RRf ⎯→⎯ 0: xxf 2log)( = 
 
50
3) RRf ⎯→⎯ 0: xxf
2
1log)( = 
 
 
En general: 
a >1 0< a <1 
 
Es estrictamente creciente Es estrictamente decreciente 
51
Casos particulares: 
Si 10=a se dice logaritmo decimal y en general se nota 
xxf log)( = 
 
Si ea = se dice logaritmo natural o neperiano y en general se nota 
xxf ln)( = 
 
52
Propiedades del logaritmo: 
1- yxyx aaa .logloglog =+ 1,0,,  ayxa 
2-
y
x
yx aaa logloglog =− 1,0,,  ayxa 
3- xbx a
b
a loglog = 1,0,,  ayxa 
Además por ser la función logarítmica la función inversa de la 
función exponencial 
4- baba =log 1,0  aa 
5- ba
ba =
log
1,0,  aba 
53
En el caso particular del logaritmo natural 
Rxxex =ln 
0ln = xxe x 
 
Una expresión más general: 
RxRf ⎯→⎯ 0: 00 )(log)( yxxkxf a +−= , 0,1,0  kaa 
Domf= 0xR  , Imf=R 
 
 
54
Ejemplo: 
RRg ⎯→⎯1: , )1ln(2)( −= xxg 
 
 
 
 
 
 
55
Función homográfica 
  RxRf ⎯→⎯− 0: definida como 0
0 )(
)( y
xx
k
xf +
−
= , 0k , 
Domf=  0xR − Imf=  0yR − 
El gráfico es una hipérbola. 
La recta vertical 0xx = es una asíntota vertical 
La recta horizontal 0yy = es una asíntota horizontal 
Si k>0 es estrictamente decreciente 
Si k <0 es estrictamente creciente. 
56
Ejemplos: 
1)   RRf ⎯→⎯− 2: 3
)2(
1
)( +
−
=
x
xf 
 
 
Imf=  3−R 
57
 
2)   RRf ⎯→⎯−− 1: 2
)1(
1
)( −
+
−
=
x
xf 
 
Imf=  2−−R 
 
 
58
TRIGONOMETRÍA
¿Qué es un ángulo?
• Desde el punto de vista de la Geometría: porción de plano determinada
por dos semirrectas llamadas lados, con un origen común llamado
vértice.
59
• Desde el punto de vista de la Trigonometría: consideramos una
semirrecta como base o lado inicial y otra, con origen común, que gira
desde su posición coincidente con el lado inicial hasta otra posición. Si
la segunda semirrecta gira en sentido opuesto a las agujas del reloj, el
ángulo que se forma es positivo, de lo contrario es negativo. En general
consideraremos un par de ejes cartesianos y el lado inicial coincidente
con el eje x:
60
La amplitud del ángulo puede medirse en grados sexagesimales o
en radianes. Nosotros utilizaremos radianes porque es la forma
que necesitaremos medirlos para definir las funciones
trigonométricas.
Cuando medimos en radianes, estamos dando el valor del arco de
circunferencia que describe el ángulo, cuando lo graficamos
sobre una circunferencia de radio 1, con vértice en el centro de
coordenadas. Como unidad se toma:
1 radián= ángulo cuya longitud de arco vale 1.
(corresponde a un ángulo de aproximadamente 58°)
61
Valores útiles y equivalencias:
Medida en radianes de un ángulo igual a un giro completo= 2π
Luego: una medida de 360° equivale a 2π.
Por lo tanto:
180° equivale a π
90° equivale a π/2
60° equivale a ……
30° equivale a …..
62
Definición de funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas pueden definirse a partir de
un triángulo rectángulo o a partir de una circunferencia .
Daremos las dos pero cuando hablemos de función
trigonométrica vamos a relacionarlo más con la definición
en base a la circunferencia.
63
• A partir de un triángulo rectángulo
Sea ABC un triángulo rectángulo y α uno de sus ángulos, como
se muestra en la figura.
Se definen:
hipotenusa
opuestocatetosen =
hipotenusa
adyacentecatetocos =

==
cos
sen
adyacentecateto
opuestocatetotg
opuestocateto
hipotenusa
sen
1
eccos =

= adyacentecateto
hipotenusa
cos
1
sec =

=
opuestocateto
adyacentecateto
tg
1
gcot =

=
64
• A partir de una circunferencia
Considerando la circunferencia de radio 1, que usualmente se la
llama circunferencia trigonométrica, cualquier número real t se
corresponde con el arco de algún ángulo generado, como ya
definimos, a partir de la rotación de un lado:
Cada arco t se corresponde con un único punto
del plano P que tendrá coordenadas x e y
65
Se define las funciones trigonométricas a partir de dichas 
coordenadas:
ytsen =
xtcos =
tcos
tsen
x
yttg ==
ytsen
teccos 11 ==
xtcos
tsec 11 ==
y
x
ttg
tgcot == 1
Luego, los valores de abscisa y ordenada del punto P son los valores
de las funciones seno y coseno.
66
Si la circunferencia es de radio r se puede generalizar de la siguiente
forma:
r/ytsen =
r/xtcos =
tcos
tsen
x
yttg ==
y
r
tsen
teccos == 1
x
r
tcos
tsec == 1
y
x
ttg
tgcot == 1
Pero en este caso los valores de x e y ya no son directamente los
valores de seno y coseno.
67
Sólo con la definición sobre la circunferencia trigonométrica 
podemos calcular los valores de las funciones trigonométricas 
para algunos ángulos especiales:
00 ==ysen
10 ==xcos
00 ==x
ytg
00 cotg ni eccos existen No
110 ==
tcos
sec
Del mismo modo calculemos ahora para π /2 ; π ; 2/3 π ; 2 π ; 3 π :
68
Para otros arcos no es tan sencillo pero podemos memorizar la 
construcción de la siguiente tabla, siguiendo estos pasos:
Calculamos las raíces enteras y copiamos la fila de coseno en el orden
inverso para los valores obtenidos para la función seno:
0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚
0 π/6 π/4 π/3 π/2
seno
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚
0 π/6 π/4 π/3 π/2
seno
coseno
0 2
1
2
2
2
3
1
01
2
3
2
2
2
1
69
Podemos determinar también el signo de las funciones 
trigonométricas según el cuadrante hasta el que abarque el arco:
70
Y también podemos determinar el signo y el valor de funciones
trigonometricas para arcos que se relacionan con los que figuran
en nuestra tabla de valores:
Supongamos que queremos hallar sen150˚. Como 150˚= 180˚-30˚, 
o sea, el arco correspondiente es π-π/6:
sen(π-π/6)=senπ/6=1/2
cos(π-π/6)=-cosπ/6=
2
3
De manera similar podríamos encontrar las funciones trigonométricas de
π+π/6; 2π-π/6 ; 2π+π/6; ...
71
Igualdad Pitagórica
Volviendo a la interpretación de seno y coseno sobre la
circunferencia de radio 1 considerando que el radio es la
hipotenusa de un triángulo rectángulo y que los valores de seno
y coseno son las medidas de los catetos, deducimos que:
sen2α+cos2α=1
Y por lo tanto:
sen2α = 1 - cos2α ; Cos2α = 1 - sen2α
72
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y 
DIFERENCIA DE ÁNGULOS
Las funciones seno y coseno verifican las siguientes relaciones 
al considerar la suma y resta de ángulos:
sen(a+b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)
sen(a-b) = sen(a) cos(b) - sen(b) cos(a)
cos(a+b) = cos(a) cos(b) - sen(a) sen(b)
cos(a-b) = cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b)
73
De donde se puede deducir:
sen(2a)=2sen(a)cos(a)
cos(2a)=cos2(a)-sen2(a)
También puede deducirse, aunque no de forma tan inmediata, la 
relación entre las funciones trigonométricas de un ángulo y de 
su mitad:
2
a2cos1(a/2)2sen −=
2
a2cos1(a/2)2osc +=
74
TEOREMA DEL SENOY TEOREMA DEL COSENO
Recordemos la definición de seno y coseno a partir de un
triángulo rectángulo:
hipotenusa
opuestocatetosen =
hipotenusa
adyacentecatetocos =
75
Se pueden demostrar dos teoremas que establecen una relación
entre las funciones trigonométricas de los ángulos del mismo
triángulo:
Teorema del seno: en cualquier triángulo los lados de un
triángulo mantienen una relación de proporcionalidad con el
seno del ángulo opuesto.
== sen
c
senβ
b
senα
a
Ejercicio de aplicación:
Dos observadores colocados a 110 metros de separación en la
orilla de un río están mirando una torre en la orilla opuesta.
Midieron los ángulos de elevación de su vista hacia la torre, y
fueron de 43˚ y 57˚ y respectivamente. ¿A qué distancia está el
primer observador de la torre?
76
Teorema del coseno: en cualquier triángulo un lado al cuadrado
es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el
doble producto de dichos lados y el coseno del ángulo que
forman.
−+= cosba22c2b2a
Ejercicio de aplicación:
Una valla cuyo perímetro tiene forma triangular mide 20
metrosen su lado mayor, 6 metros en otro y 60º en el ángulo
que forman entre ambos. Calcular cuánto mide el perímetro de
la valla.
77
Ahora que ya sabemos cómo calcular las funciones
trigonométricas y conocemos las relaciones entre ellas podemos
ver qué tipo de curva se obtiene al graficar sus valores en un
par de ejes coordenados. Para ello vamos a tener en cuenta que:
1. Los valores de seno y coseno corresponden a los valores de
ordenada y abscisa de puntos sobre la circunferencia de
radio 1. Por lo tanto nunca serán mayores al valor 1 ni
menores a -1
2. Luego de vueltas completas de 360˚(2π), el punto
correspondiente al arco es el mismo que si no se hubiera
hecho el giro completo, por lo tanto los valores de las
funciones se repiten.
78
Funciones trigonométricas 
Función seno 
RRf ⎯→⎯: definida como xsenxf =)( 
Domf =R , Imf =[-1,1] 
Es una función periódica de período 2π. 
 
79
¿Cómo se modifica el gráfico si componemos a la función seno con 
funciones lineales? 
Ejemplos: 
1) RRg ⎯→⎯: )2()( xsenxg = 
Domg =R Img =[-1,1] 
Es una función periódica de período π 
 
80
2) RRg ⎯→⎯: xsenxg 2)( = 
Domg =R Img =[-2,2] 
Es una función periódica de período 2π 
Podemos visualizar el cambio de amplitud realizando ambas 
funciones en un mismo gráfico. 
 
 
 
g(x)=2sen x 
f(x)=sen x 
81
3) RRg ⎯→⎯: )()( −= xsenxg 
Domg =R Img =[-1,1] 
 
 
 
 
f(x)=sen x 
g(x)=sen (x-π) 
82
Función coseno 
RRf ⎯→⎯: definida como xxf cos)( = 
Domf =R Imf =[-1,1] 
Es una función periódica de período 2π 
 
 
83
 
Ejemplo: 
RRg ⎯→⎯: )2cos()( xxg = 
Domg =R Img =[-1,1] 
Es una función periódica de período π 
 
 
84
Función tangente 
RZkkxRxRf ⎯→⎯






+=− ,
2
/: 

 xtgxf =)( 
Domf =






+=− ZkkxRxR ,
2
/ 

 
Imf =R 
 
 
85
Funciones inversas 
Para definir las inversas de las funciones seno, coseno y tangente, 
debemos restringir el dominio. 
Función arcoseno 
]
2
,
2
[]1,1[:

−⎯→⎯−f xarcsenxf =)( 
 
86
 
Función arcocoseno 
],0[]1,1[: ⎯→⎯−f xarcxf cos)( = 
 
 
 
 
87
 
Función arcotangente 
]
2
,
2
[:

−⎯→⎯Rf xarctgxf =)(