Apuntes de Mecánica de Fluidos - Laura Rentería

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Propiedades de los fluidos: 
 
En general los sólidos y los líquidos son poco compresibles y los gases muy 
compresibles; pero ningún cuerpo es estrictamente incompresible. Sin embargo, auque 
el fluido incompresible no existe en la realidad. 
Por lo tanto se considera a los líquidos como fluidos incompresibles y se resuelven 
aceptablemente los problemas que ellos comprenden haciendo esta suposición. 
 
Densidad específica o absoluta, peso específico y densidad relativa: 
 
Estos cuatro parámetros no constituyen propiedades distintas, sino cuatro expresiones 
distintas de la misma propiedad. 
 
Densidad específica o absoluta: 
 
La densidad es la masa por unidad de volumen: 
V
m=ρ La densidad absoluta es función de la temperatura y la presión. La 
variación de la densidad absoluta de los líquidos es muy pequeña, salvo a muy alta 
presiones; pero se desprecia dicha variación. 
 
Peso específico: 
 
Peso específico es el peso por unidad de volumen: 
V
W=γ El peso específico es función de la temperatura y de la presión aunque en 
los líquidos no varía prácticamente con esta última. 
 
Densidad relativa: 
 
Densidad relativa es la relación entre la masa del cuerpo a la masa de un mismo 
volumen de agua destilada a la presión atmosférica y 4º C. 
 
Volumen específico: 
 
El volumen específico es el recíproco de la densidad absoluta: 
ρ
υ 1= 
 
Compresibilidad: 
 
En los fluidos lo mismo que en los sólidos se verifica la ley fundamental de la 
elasticidad: 
El esfuerzo unitario es proporcional a la deformación unitaria. En nuestro caso, el 
esfuerzo unitario considerado es el de compresión, p∆ la deformación unitaria de 
volumen 
υ
υ∆=∆
V
V
 por tanto la ley anterior se traduce en la siguiente fórmula: 
υ
υ∆−=∆ Ep 
Viscosidad: 
 
Viscosidad dinámica: 
 
Un líquido puede soportar esfuerzos de compresión pero no de tracción. Los sólidos y 
fluidos pueden estar sometidos también a esfuerzos cortantes o esfuerzos tangenciales. 
En los fluidos la deformación aumenta constantemente bajo la acción del esfuerzo 
cortante, por pequeño que éste sea. 
 
 
 Supongamos un 
elemento ABCD de forma 
rectangular en un cuerpo 
sólido sujeto a un esfuerzo 
cortante, sufre un cambio de 
forma al paralelogramo 
A´B´CD. Se llama 
deformación unitaria por 
esfuerzo cortante a la 
expresión αε tg
Lc
=∆= 
El esfuerzo cortante (Sc) es: 
cGSc ε= Donde G es el 
módulo de cizalladura y cε es la deformación unitaria. 
Entre las moléculas de un fluido existen fuerzas moleculares que se denominan fuerzas 
de cohesión. Al desplazarse unas moléculas con relación a las otras se produce a causa 
de ellas una fricción. El coeficiente de fricción interna se denomina viscosidad y se 
designa con la letra η. El estudio de la viscosidad comprende a los fluidos newtonianos. 
En la fig. un fluido 
comprendido entre dos placas 
paralelas, de las cuales la 
inferior es fija. La placa 
superior se mueve al estar 
sometida a una fuerza F. Las 
capas intermedias deslizan 
unas sobre otras. 
La ley descubierta por 
Newton afirma que la fuerza 
F es proporcional a la 
superficie A de la placa en 
movimiento, al gradiente de 
velocidad y la viscosidad dinámica o absoluta η: 
dy
dv
AF η= Un fluido no ofrece resistencia a la deformación por esfuerzo cortante. 
Esta es la característica que distingue esencialmente un fluido de un sólido. 
� En un fluido ideal, η=0. 
� En un fluido real la viscosidad dinámica tiene valor finito distinto de cero. 
� Cuanto mayor sea η, mayor será la fuerza para mover la placa a una cierta 
velocidad. 
� La viscosidad produce una resistencia a la deformación. 
La viscosidad, como cualquiera otra propiedad del fluido, depende del estado del fluido 
caracterizado por la presión y la temperatura. 
Un fluido newtoniano es aquel fluido, cuya η depende de la presión y temperatura, pero 
no del gradiente de velocidad. 
Las unidades de η son Pa.s 
 
Viscosidad Cinemática: 
 
En hidrodinámica intervienen junto con las fuerzas debidas a la viscosidad las fuerzas 
de inercia, que dependen de la densidad. Por eso tiene un significado importante la 
viscosidad dinámica referida a la densidad, o sea la relación de la viscosidad dinámica a 
la densidad, que se denomina viscosidad cinemática: 
ρ
ην = La unidad más común es el centistoke (cSt) 1 cSt = 10-2 m2/s 
La viscosidad cinemática varía en los líquidos prácticamente solo con la temperatura. 
 
Tensión superficial: 
 
La tensión superficial es una fuerza que, produce efectos de tensión en la superficie de 
los líquidos, allí donde el fluido entra en contacto con otro fluido no miscible, 
particularmente un líquido con un gas o con un contorno sólido. El origen de esta fuerza 
es la cohesión intermolecular y la fuerza de adhesión del fluido al sólido. 
 
Tensión de vapor 
 
En la superficie libre de un líquido a cualquier temperatura hay un constante 
movimiento de moléculas que escapan de dicha superficie, el líquido se evapora. Si el 
líquido se encuentra en un recipiente cerrado, y sobre su superficie queda un espacio 
libre, este espacio se llega a saturar de vapor y ya no se evapora más líquido. Es decir 
todo fluido tiene para cada temperatura una ps llamada presión de saturación del vapor a 
esa temperatura; o lo que es lo mismo a cada presión corresponde una temperatura ts 
llamada temperatura de saturación del vapor a esa presión. 
 
Fluido ideal 
 
Un fluido ideal es aquel fluido cuya viscosidad es nula. 
 
Presión 
 
Definición y propiedades: 
 
Se llama presión del cuerpo sobre la superficie horizontal de apoyo, debida a la fuerza 
vertical W, a la relación: 
AWp /= El cuerpo está en equilibrio gracias a otra fuerza igual a W y de sentido 
contrario que ejerce el suelo, llamada R, que es normal al suelo. Figura 1 
 
Si cortamos la figura 1 por un plano π (fig. 2), y asilamos la parte superior manteniendo 
el equilibrio, el fluido está sometido a una fuerza proporcional a su masa, que es la 
fuerza de gravedad y a una fuerza proporcional a su superficie y normal a ella, que es la 
fuerza de presión. La presión en un punto cualquiera es: 
0
lim
→∆
=
∆
∆=
A
dA
dFp
A
Fp
p
 
Se consideran las cinco siguientes propiedades: 
 
Primera propiedad: 
La presión en un punto de un fluido en reposo es igual en todas direcciones (principio 
de Pascal). Se demuestra de la siguiente manera: 
 
La figura representa un prisma 
triangular de fluido aislado. El 
prisma tiene una longitud unitaria 
según el eje “y”. Se tendrá: 
dzpdFpx x= Fuerza debida a la 
presión según el eje x 
dxpdFpz z= Fuerza debida a la 
presión según el eje z 
dspdFpn n= Fuerza debida a la 
presión sobre la cara ds (sup. 
Inclinada) 
2
dxdz
gdW ρ= Fuerza de la gravedad. 
Como el prisma está en equilibrio: 
∑ =→=− 00* Fxsendspdzp nx θ 
∑ =→=− 00cos* Fzdspdxp nz θ 
Donde la fuerza de gravedad se ha omitido por ser un diferencial de segundo orden; 
pero 
dsdzsen /=θ dsdx/cos =θ 
Luego 
0=− dzpdzp nx 0=− dxpdxp nz 
Por lo tanto px = pz = pn 
Como el ángulo θ es arbitrario, siendo las diferencias infinitamente pequeñas, queda 
demostrada la primera propiedad. 
 
Segunda propiedad: 
La presión en todos los puntos situados en un mismo plano horizontal en el seno de un 
fluido en reposo es la misma. 
 
Tercera propiedad: 
En un fluido en reposo la fuerza de contacto que ejerce en el interior de un fluido una 
parte del fluido sobre la otra contigua al mismo tiene la dirección normal a la superficie 
de contacto. Como esta fuerza normal es la presión, en el interior del fluido en reposo 
no existe más fuerza que la debida a la presión. 
La estática de los fluidos reales no se diferencia en nada de la estática de los fluidos 
ideales. 
 
Cuarta propiedad: 
La fuerza de la presión en un fluido en reposo se dirige siempre hacia el interior del 
fluido, es decir, es una compresión, jamás una tracción. 
 
Quinta propiedad: 
La superficie libre de un líquido en reposo es siempre horizontal. Supongamos que σ es 
la superficie libre deun líquido, no horizontal. Cortando con un plano π no horizontal y 
aislando la parte superior del líquido se ve que, siendo las fuerzas elementales de 
presión que el líquido inferior ejerce sobre el líquido aislado normales al plano π, su 
resultante también lo será y no podrá estar en equilibrio con la fuerza de gravedad W. 
ver figura 
 
 
Presión atmosférica 
 
Sobre la superficie libre de un líquido reina la presión del aire o gas que sobre ella 
existe. Esta presión puede adquirir un valor cualquiera en un recipiente cerrado; pero si 
el recipiente está abierto, sobre la superficie libre del líquido reina la presión 
atmosférica pam debida al peso de la columna de aire que gravita sobre el fluido. La 
presión atmosférica varía con la temperatura y la altitud. 
 
Presión absoluta y presión excedente o relativa 
 
La presión se puede expresar como presión absoluta pabs o como presión relativa pe 
Las presiones absolutas se miden con relación al 0 absoluto (vacío total o 100% de 
vacío) y las presiones relativas con relación a la atmósfera. 
Los manómetros miden presiones relativas. Para hallar la presión absoluta con exactitud 
habrá que sumar a la presión leída en el manómetro la presión atmosférica medida 
exactamente con un barómetro. 
ameabs ppp += 
 
Hidrostática: 
 
Ecuación fundamental de la hidrostática del fluido incompresible: 
 
Del líquido en reposo de la figura, aislamos un volumen infinitesimal formado por un 
prisma rectangular de base A y altura dz. Se escoge un plano de referencia horizontal 
z=0. La presión en la base inferior del prisma es p, la presión en la parte superior p+dp. 
La ecuación de equilibrio en la dirección del eje z será 0)( =−+− AdzgAdpppA ρ ; o 
sea: gdz
dp −=
ρ
 
Si se integra la ecuación 
anterior, se obtiene: 
ρ
21
12 )(
pp
zzg
−
=− 
Separando términos se 
obtiene: 
gz
p
gz
p
2
2
1
1 +=+
ρρ
 
Entonces obtenemos la 
ecuación fundamental 
de la hidrostática del 
fluido ideal y real 
incomprensible: Czg
p =+
ρ
 
Gráfico de presiones: 
 
La presión de un fluido entre la superficie libre y un punto cualquiera del líquido 
expresada en presiones absolutas, será: ghpp amabs ρ+= 
En la ecuación anterior pam es la ordenada al origen y la pendiente de la recta es gρ. Si 
se trata de presiones relativas la presión atmosférica es igual a cero y se tiene 
entonces: ghp ρ= . Se grafica de la siguiente manera: 
 
Instrumentación de medida de presiones: 
 
Los aparatos que sirven para medir las presiones se denominan manómetros. Los 
manómetros pueden clasificarse según los siguientes criterios: 
Según la naturaleza de la presión medida: 
� Instrumentos que miden la presión atmosférica, barómetros. 
� Instrumentos que miden la presión relativa, o presión con relación a la 
atmósfera: manómetros, miden las sobrepresiones o presiones relativas 
positivas; vacuómetros, miden las depresiones o presiones relativas negativas. 
� Instrumentos que miden la presión absoluta: manómetros de presión absoluta. 
� Instrumentos para medir diferencia de presiones: manómetros diferenciales. 
� Instrumentos para medir presiones muy pequeñas: micrómetros. 
Clasificación según el principio de funcionamiento: 
� Los manómetros se clasifican en mecánicos y eléctricos. El principio de 
funcionamiento en los primeros consiste en equilibrar la fuerza originada por la 
presión que se ejerce con otra fuerza, a saber, con el peso de una columna de 
líquido en los piezómetros. Esta fuerza se mide mecánicamente. 
� En los eléctricos la presión origina una deformación elástica, que se mide 
eléctricamente. 
 
Presión hidrostática sobre una superficie plana sumergida: 
 
Se considera 
la superficie 
plana 
sumergida A 
formando un 
ángulo α con 
el plano 
piezométrico. La presión p en cada punto multiplicada por dA forma un sistema de 
fuerzas elementales paralelas dFp, normales al plano A cuya resultante es una fuerza 
normal también a dicho plano. La intersección de esta fuerza con la superficie A 
determina un punto C, que se llama centro e presión, que no coincide con el centro de 
gravedad G de A. 
Determinación de la fuerza: 
Según la figura, para un elemento dA se tiene: 
z – altura geodésica 
g
p
hp ρ
= Altura de presión: profundidad del punto con respecto a la superficie 
libre o plano piezométrico 
h – altura piezométrica 
Según la ecuación fundamental de la hidrostática Czg
p =+
ρ
y observando la figura se 
tiene: αρα
ρ
sengypseny
g
p
** =→= la fuerza elemental dFp debida a la presión 
sobre dA será: 
dAsengypdAdFp ** αρ== 
Como todas las fuerzas son paralelas dFp, la resultante Fp debida a la presión será: 
∫ ∫== ydAsengdFF pp αρ * 
Según la definición de centro de gravedad: 
∫ = AyydA G 
Entonces se tiene: 
AhgAysengF GGp )(** ραρ == Es decir: 
La resultante de fuerzas debida a la presión sobre una superficie plana sumergida es 
igual al producto de la densidad del líquido, por la aceleración de la gravedad, por la 
profundidad del centro de gravedad con relación al plano piezométrico y por el área de 
la superficie. 
 
Determinación del centro de presión C: 
yc es la coordenada del centro de presión y tomando momento con relación al eje O-x se 
tiene: 
∫ ∫== dAysengydFyF pCp
2* αρ 
Reemplazando Fp por la ecuación del inciso anterior se tiene: 
G
x
C Ay
J
ydA
dAy
y ==
∫
∫
2
 
Donde: Jx es el momento de inercia; yG la coordenada del centro de gravedad y A el 
área de la superficie. 
Es decir, la distancia yc de una superficie plana a la intersección de dicho plano 
piezométrico es igual al cociente de los momentos segundo y primero de la superficie 
con relación a dicha intersección. 
 
Presión hidrostática sobre una superficie curva cilíndrica sumergida: 
 
 
Se considera una superficie curva 
cilíndrica CD como la de la figura. 
Las resultantes debidas a la presión 
se determina por dos componentes 
Fpx y Fpz. 
 
Obtención de la componente 
horizontal Fpx: 
La componente horizontal de la 
resultante de las presiones que un 
fluido ejerce sobre una superficie 
curva cilíndrica es igual en 
magnitud y de sentido contrario a la 
resultante de las presiones que el 
fluido ejerce sobre la proyección de 
la superficie sobre un plano vertical 
y tiene la misma línea de acción, pasa por el centro de presión de dicha proyección. 
 
Obtención de la componente vertical Fpz: la componente vertical de la resultante de las 
presiones que un líquido ejerce sobre una superficie curva es de igual magnitud y 
sentido contrario al peso de la columna vertical del líquido contenido entre esta 
superficie y el plano piezométrico. 
 
Principio de Arquímedes. Flotación: 
 
Todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje ascensional igual al peso 
del líquido que desaloja. 
Fp1 fuerza de presión igual al peso 
del líquido (cara superior) 
Fp2 fuerza de presión igual al peso 
del líquido (cara inferior) 
El empuje ascensional es la 
resultante de estas dos fuerzas: 
12 ppA FFF −= 
Sobre el cuerpo sumergido actúa 
su peso W o sea la fuerza de la 
gravedad, y se tiene: 
• AFW ≥ El cuerpo se 
hunde totalmente 
• AFW ≤ El cuerpo flota 
• AFW = el cuerpo se 
mantiene en la sumergido 
posición que se le deje 
 
Equilibrio de los cuerpos totalmente sumergidos (submarinos, dirigibles) 
 
En este caso se cumple W=FA 
a Si el centro de gravedad G, punto de aplicación de la fuerza W, está situado por 
debajo del centro de gravedad del fluido desplazado, O, el par M tenderá a 
restaurar el equilibrio, equilibrio estable. 
b Si G, está por encima de O, el par M tenderá a aumentar la desviación, equilibrio 
inestable. 
c Si G, coincide con O, la perturbación por una fuerza extraña no produce par 
alguno, equilibrio indiferente. 
Equilibrio de los cuerpos parcialmente sumergidos (barcos) 
 
En este caso el peso W del barco es igual al del líquido desalojado por la porción 
sumergida, según el principio de Arquímedes. 
Se llama: 
� Al plano N-N plano de flotación, en el que la superficie libre del agua cortaal 
barco totalmente cargado y en la posición normal del barco (sin desviación). 
� Eje de flotación E-E al eje vertical que pasa por el centro de gravedad del barco 
y es normal al plano de flotación. 
Se consideran tres centros que se encuentran en el eje de flotación, cuando no hay 
desviación: 
� Centro de gravedad del barco, G. 
� Centro de gravedad del líquido desalojado, O. 
� Metacentro (M), punto de intersección del eje de flotación con la dirección del 
empuje FA. 
Pueden ocurrir tres casos: 
a-) Si M está por encima de G, se forma un par que tiende a restablecer el equilibrio, 
equilibrio estable. 
b-) Si M esta por debajo de G, el par formado aumenta la desviación, equilibrio 
inestable. 
c-) Si M coincide con G, el equilibrio es indiferente. 
 
Equilibrio relativo de los líquidos 
 
Supongamos un líquido en un recipiente que se mueve, el líquido se mueve por lo tanto, 
puede suceder que las partículas del líquido no cambien de posición con relación al 
recipiente, es decir que el líquido está en equilibrio relativo. En un líquido en equilibrio 
relativo la superficie libre ya no es horizontal. 
 
Recipiente con aceleración lineal constante: 
 
La partícula A de peso W esta sometida a fuerzas exteriores Fp y el peso W. La fuerza 
de inercia es el vector Wa/g (se ejerce sobre la reacción de A). El principio de 
D´Alembert dice que la suma de todas las fuerzas es igual a cero por lo tanto: 
∑ = 0xF 0/ =− gWaFpx 
∑ = 0yF 0=−WFpy 
De donde: 
gWaFpz /= WPy = 
gaWgWatagFF pypx //)(/ === α
O sea: 
Cgatag == /)(α 
La superficie libre ya no es 
horizontal, pero sí un plano cuya 
pendiente es la relación de la 
aceleración horizontal a la 
aceleración de la gravedad. Los 
planos de igual presión son 
paralelos a la superficie libre. 
 
 
Recipiente girando a ω = C 
 
La aceleración de de cada partícula es variable en este caso. Aplicando como antes el 
principio de D´Alembert se tiene: 
∑ = 0xF 02 =− xg
W
Fpx ω 
∑ = 0yF 0=−WFpy 
De donde 
x
g
W
Fpx
2ω= WFpy = y xg
tgFF pypx
2
)(/
ωα == 
Ahora el ángulo α es variable, como se ve en la figura: 
dx
dy
x
g
tg ==
2
)(
ωα 
Integrando la ecuación 
anterior nos da: 
C
g
x
y +=
2
22ω
 
La constante C = 0, si x=0 
para y=0, obteniéndose 
finalmente la ecuación 
g
x
y
2
22ω= 
 
 
Ecuación fundamental de la hidrodinámica o ecuación de Bernoulli 
 
Regimenes de corriente. Línea, hilo y tubo de corriente: 
 
Conviene distinguir los siguientes regimenes de corriente: 
� Corriente permanente y corriente variable. Permanente: si en cualquier punto del 
espacio por donde circula el fluido no varían con el tiempo las características de 
éste, en particular su presión y velocidad. Variable si sucede lo contrario. 
� Corriente uniforme y no uniforme: Uniforme: si en cualquier sección transversal 
a la corriente la velocidad en puntos homólogos es igual en magnitud y 
dirección. No uniforme: caso contrario. 
� Corriente laminar y turbulenta: Laminar: si es perfectamente ordenada de 
manera en que el fluido se mueve en láminas paralelas. Turbulenta: lo contrario. 
El camino que recorre una partícula de 
fluido en su movimiento se llama 
trayectoria de la partícula. En régimen 
permanente la trayectoria coincide con 
la llamada línea de corriente, que es la 
curva tangente a los vectores de la 
velocidad en cada punto. 
Las líneas de corriente sirven para 
representar gráficamente los flujos de 
los fluidos llamados bidimensionales. 
El trazado de las mismas se hace de 
manera que entre cada dos líneas 
consecutivas circule el mismo caudal, 
∆Q. 
El tubo de corriente, es un tubo imaginario o real cuya pared lateral está formada por 
líneas de corriente. Si el área transversal de un tubo de corriente es infinitesimal el tubo 
se llama hilo o filamento de corriente. 
 
Definición de caudal 
 
Caudal Q es el volumen de fluido por unidad de tiempo que pasa a través de una sección 
transversal a la corriente. 
Llamando dA al elemento infinitesimal 
de área, siendo cn la componente de la 
velocidad normal a ese elemento se 
tendrá: 
∫=→= dAcQdAcdQ nn 
Si c es la velocidad media normal a la 
sección A, se deduce: 
A
Q
ccAQ =→= 
 
 
Ecuación de continuidad: 
 
Ecuación de continuidad para un hilo de corriente: 
 
En un hilo de corriente: 
� No entra ni sale fluido lateralmente, porque la velocidad es tangencial al hilo de 
corriente. 
� En régimen permanente el hilo de corriente es estacionario. 
� No se crea ni destruye masa. 
Por lo tanto se tiene: 
CdAcdAc == 111111 ρρ 
Se puede reemplazar ρ por su volumen específico 
ρ
υ 1= 
Ecuación de continuidad del fluido incompresible para un tubo de corriente: 
 
La ecuación de continuidad para un tubo de corriente y un fluido incompresible, se 
obtiene integrando, la siguiente ecuación 
∫ ∫ === CcdAdQQ 
Donde c es la componente normal de la velocidad en cada elemento dA. 
Esta elución de manera práctica puede escribirse: 
CAcQ == 
 
Fuerzas que actúan sobre un fluido: 
 
Las fuerzas que pueden intervenir en los problemas de mecánica de fluidos son: 
� La fuerza de gravedad. 
� La fuerza causada por la diferencia de presiones 
� La fuerza de viscosidad. Es nula en el fluido ideal 
� La fuerza de elasticidad. No entra en juego en el fluido incompresible. 
� La tensión superficial. Juega de ordinario un papel poco importante. 
La gravedad es externa al fluido. Las otras son internas. 
 
Ecuaciones diferenciales del movimiento de un fluido ideal, o ecuaciones 
diferenciales de Euler. 
 
Componentes de aceleración en un punto: 
 
Los puntos A1 y A2 están infinitamente próximos a una distancia ds. Sean vx, vz y vy las 
componentes del vector velocidad v, del punto A; v será tangente a la trayectoria. 
En general la velocidad v en cada punto del fluido dependerá del punto de que se trate y 
del tiempo que se 
considere. 
En un instante t 
determinado estas 
ecuaciones nos dan la 
velocidad del fluido en 
cada punto del espacio, es 
decir la configuración del 
flujo en ese instante; 
mientras que un punto 
determinado (x, y, z) las 
mismas ecuaciones nos 
dan la variación de la 
velocidad con el tiempo 
en ese punto. Se tiene por 
tanto: 
dz
z
v
dy
y
v
dx
x
v
dt
t
v
dv xxxxx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= Idem en las direcciones z e y. 
Luego se divide todo por dt y se obtiene: 
z
x
y
x
x
xxx v
z
v
v
y
v
v
x
v
t
v
dt
dv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= Idem en las direcciones z e y. 
Ya que: 
zyx vdt
dz
v
dt
dy
v
dt
dx === 
Las ecuaciones anteriores nos dan las componentes de la aceleración en cada punto y 
cada instante de tiempo. Si el movimiento es permanente, en un punto cualquiera del 
espacio la velocidad no varía con el tiempo; por lo tanto 
 
Y por lo tanto las ecuaciones de la aceleración en régimen permanente serán: 
z
x
y
x
x
xx v
z
v
v
y
v
v
x
v
dt
dv
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= Idem en las direcciones z e y 
 
Ecuaciones de Euler: 
 
Se considera el punto A, en el centro del paralelepípedo de la figura siguiente: 
siendo ( )zyxfp ,,= la presión 
en A, la presión en la cara 
vertical izquierda será: 
2x
pdx
pdpp
∂
∂−=+ y en cara 
vertical derecha: 
2x
pdx
pdpp
∂
∂+=+ 
sobre el paralelepípedo actúa la 
fuerza de gravedad dW, siendo la 
misma dxdydzgdW ρ= . La 
segunda ley de Newton nos 
proporciona la siguiente ecuación: dydz
x
pdx
pdydz
x
pdx
p
dt
dv
dxdydz x 





∂
∂+−





∂
∂−=
22
ρ 
dividiendo ambos términos por la masa del paralelepípedo y simplificando se tiene: 
x
p
dt
dvx
∂
∂−=
ρ
1
, análogamente es para el eje y, al eje z se el agrega el término de la 
gravedad y finalmente se obtienen las ecuaciones de Euler, que son las siguientes: 
x
p
dz
v
v
y
v
v
x
v
v xz
x
y
x
x ∂
∂−=
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
1
 
x
p
dz
v
v
y
v
v
x
v
v yz
y
y
y
x ∂
∂−=
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
1
 
x
p
g
dz
v
v
y
v
v
x
v
v zz
z
y
z
x ∂
∂−−=
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
ρ
1
 
 
0=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂
t
z
t
y
t
x
Ecuación de Bernoullipara el fluido ideal: primera deducción por integración de las 
ecuaciones de Euler según una línea de corriente: 
 
Tomando las ecuaciones anteriores en forma sintetizada y multiplicando por dx, dy y dz 
respectivamente y sumando las tres se obtiene: 






∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−−=++ dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
gdzdz
dt
dv
dy
dt
dv
dx
dt
dv zyx
ρ
1
 
Se sabe que 
dt
dx
vx = y así con las demás componentes. El primer término se transforma 
en 2
2
1
dv 
Al suponer que el régimen es permanente, p no es función de t, y su diferencial total 
será: dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
dp
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂= Por lo tanto la ecuación anterior se transforma en: 
0
2
2
=++ dvgdzdp
ρ
 
Integrando esta última ecuación entre dos puntos 1 y 2, siguiendo una misma línea de 
corriente, que en régimen permanente coincide con la trayectoria del movimiento y 
siguiendo con la hipótesis de un fluido incompresible ( C=ρ ), se tiene: 
22
2
2
2
2
2
1
1
1 vgz
pv
gz
p
++=++
ρρ
. Esta ecuación, son válidas solamente para el fluido 
ideal e incompresible que se mueve en régimen permanente. Además los puntos entre 
los que se establecen estas ecuaciones se suponen que están situados en una misma línea 
de corriente. 
 
Energía potencial o geodésica: 
 
Es igual al trabajo que la fuerza de gravedad puede ejercer cuando su altura desciende 
de z1 a z2. 
 
Energía de presión: 
 
En un tubo piezométrico la energía de presión realiza el trabajo de elevar hasta una 
altura 
g
p
ρ
, que es la altura equivalente de presión. Por eso si se retira una partícula de 
líquido de la parte superior del tubo piezométrico de nuevo la presión hace que el 
líquido ascienda a la misma altura. 
 
Energía cinética: 
 
La energía cinética total de m kg de fluido es 
2
2mv
Ev = 
Deducción energética de la ecuación de Bernoulli para un hilo de corriente en 
régimen permanente: 
 
En un fluido ideal no hay viscosidad, rozamiento, por tanto ni transformación energética 
de energía hidráulica en energía térmica. Además en régimen permanente la trayectoria 
de una partícula de fluido coincide con una línea de corriente. 
Sumando los tres tipos de energía 
considerados por la mecánica de 
fluidos, se tiene: 
22
2
2
2
2
2
1
1
1 vgz
pv
gz
p ++=++
ρρ
 
 
 
 
 
 
 
Ecuación de Bernoulli expresada en alturas equivalentes: 
 
C
g
v
z
g
p =++
2
2
1
1
1
ρ
 
 
Ecuación de Bernoulli para el fluido real: 
 
En un fluido real la viscosidad origina un rozamiento tanto con el contorno cuanto de 
las partículas de fluido entre sí. Entonces la ecuación de Bernoulli no se cumple. 
Naturalmente se sigue cumpliendo el principio de conservación de la energía o primer 
principio de la termodinámica. Es decir además de las tres energías enumeradas 
anteriormente aparece la energía de fricción. 
Dicha energía se expresa en forma de altura de pérdida, Hr. 
La ecuación es la siguiente: 
g
v
z
g
p
H
g
v
z
g
p
r 22
2
2
2
2
21
2
1
1
1 ++=−++ − ρρ
 
 
Ecuación de Bernoulli generalizada 
 
La energía del fluido en el punto 1 – la energía perdida entre el punto 1 y 2 + la energía 
suministrada al fluido por las bombas que haya entre el punto 1 y 2 – la energía cedida 
por el fluido a las turbinas o motores que haya entre el punto 1 y el punto 2, ha de ser 
igual a la energía en el punto 2. Entonces se tiene la siguiente ecuación: 
g
v
z
g
p
HHH
g
v
z
g
p
tbr 22
2
2
2
2
21
2
1
1
1 ++=−+−++ ∑ ∑− ρρ
 
Donde Hb altura de las bombas y Ht altura absorbida por los motores instalados. 
 
Algunas aplicaciones de la ecuación de Bernoulli: 
 
Salida por un orificio: Ecuación de Torricelli 
 
Sea el depósito de la figura de forma cualquiera que contiene un líquido, por ejemplo 
agua, y que tiene en la parte inferior un orificio O provisto de una tubería T, que termina 
en una válvula V. Supondremos que el líquido se comporta como un fluido ideal. 
Aplicando la ecuación 
de Bernoulli entre 1 y 
2 se obtiene: 
gHv 22 = 
Esta velocidad: es 
igual a la que 
adquiriría una 
partícula de fluido al 
caer libremente desde 
una altura H. Es una 
velocidad teórica de 
salida en condiciones 
ideales. Y no depende del peso específico del fluido. 
 
Tubo de Pitot: 
 
 
La figura muestra un esquema del tubo de 
Pitot para medir la presión total, también 
llamada presión de estancamiento (suma 
de la presión estática y de la presión 
dinámica). En la embocadura del tubo, 
punto 1, se forma un punto de 
estancamiento o remanso, la velocidad allí 
se reduce a cero y la presión, según 
Bernoulli aumenta hasta el valor: 
g
v
g
p
g
p
g
p t
2
2
001 +==
ρρρ
 donde pt es la 
presión total o de estancamiento o 
remanso. 
 
Teoría del tubo de Prandtl 
 
Es un tubo de Pitot combinado con un tubo 
piezométrico: el tubo de Pitot mide la presión 
total; el piezométrico mide la presión estática y el 
tubo de Prandtl mide la diferencia de las dos, que 
es la presión dinámica. 
Este tubo al igual que el de Pitot genera en 1 un 
punto de estancamiento 0______ 11 == vpp t 
En el punto 0 la corriente no perturbada tiene la 
presión p0 y la velocidad v0, que es la que se 
quiere medir. 
El punto 1 es la entrada al tubo de Pitot y el punto 2 es un piezómetro con diversas 
entradas laterales que no perturban la corriente y miden la presión estática. 
Despreciando las diferencias de altura de velocidad y geodésicas entre 0 y 2 y 
despreciando pérdidas se tendrá: otvv =2 02 pp = donde v0t es la velocidad teórica en 
la sección 0. Aplicando Bernoulli entre 0 y 1 se tiene: 
1
2
0
0 2
p
v
p t =+ ρ y 
2
2
0
21
tvpp ρ=− 
Yendo por el interior manómetro de 1 a 2, se podrá aplicar la ecuación fundamental de 
la hidrostática: 
gaglglgapp m ρρρρ −−++= 21 
Combinando ecuaciones se tiene 
( ) ( )lgvglv mtmt ρ
ρρρρρ −=⇒−= 2
2 0
2
0 
 
Experimentación en Mecánica de Fluidos: 
 
Las variables que pueden intervenir en un problema cualquiera de mecánica de fluidos 
se puede reducir a ocho: la fuerza F, la longitud L, la velocidad v, la densidad ρ, la 
viscosidad dinámica η, la aceleración de la gravedad g, la velocidad del sonido c y la 
tensión superficial σ. 
Las ocho variables enumeradas anteriormente se han logrado a reducir a cinco variables 
o números adimensionales, que son: 
� Número de Euler, 
ρ
υ
/2 p
Eu
∆
= 
� Número de Reynolds, 
η
ρυL=Re 
� Número de Froude, 
Lg
Fr
υ= 
� Número de Mach, 
c
Ma
υ= 
� Número de Weber, 
L
We
ρσ
υ
/
= 
De esta manera, en el caso general el estudio de un fenómeno consistiría en la 
investigación experimental de la función: 
( )WeMaFrfEu ,Re,,= 
Entonces: 
1. Si sólo interviene la fuerza debida al gradiente de presiones, se utiliza el número 
de Euler. 
2. Si además del gradiente de presiones interviene la gravead, )(FrfEu = 
3. Si además de la fuerza del gradiente de presiones interviene solo la viscosidad, 
(Re)fEu = 
4. Si además de la fuerza debida al gradiente de presiones interviene solo la 
elasticidad, )(MafEu = 
5. Si además de la fuerza de presiones intervine la tensión superficial, )(WefEu = 
Teoría de modelos: 
 
1. El modelo ha de ser geométricamente semejante al prototipo. Es evidente que 
si no se cumple esta condición la comparación de resultados entre el modelo 
y el prototipo es imposible. 
2. El modelo ha de ser dinámicamente semejante al prototipo. Para que los 
fenómenos en el modelo y en el prototipo sean comparables no basta que los 
modelos de estructuras o máquinas hidráulicas sean geométricamente 
semejantes a los prototipos. Para ello es necesario que las velocidades, 
aceleraciones, fuerzas, etc., se hallen también en relaciones bien 
determinadas. 
 
Resistencia de los fluidos en general: 
 
Paradoja de D´alembert: 
 
Suponemos que el fluido es ideal e irrotacional. 
Por tanto la figura representa el caso del cilindro 
circular en corriente uniforme, en el infinito de un 
fluido ideal e irrotacional. La velocidad en cada 
punto de la superficie del cilindro es: 
θsenvvs ∞= 2 
Donde vs = velocidad del fluidoen un punto de la 
superficie; v∞ velocidad de la corriente 
imperturbada; θ ángulo que fija la posición del punto. 
Aplicando Bernoulli entre 0 y un punto cualquiera del cilindro, se tiene: 
2
2
2
2 s
spp
υρυρ +=+ ∞∞ 
Donde ( ) ( )θρυυυρ 2222 41
22
senppp ss −+=−+= ∞∞∞∞ 
Finalmente: 
θ
ρυρυ
2
22 412/2/
sen
ppps −=∆=−
∞∞
∞ 
Las fuerzas debidas a la presión son normales al cilindro. La simetría de la siguiente 
figura, nos dice que: 
� la resultante de todas las fuerzas que el fluido ejerce sobre 
el cilindro en dirección normal al movimiento (empuje 
ascensional) es nula; 
� La resultante de todas las fuerzas en la dirección del 
movimiento (arrastre), es nula. 
Un cilindro se movería en un fluido ideal (η=0) sin experimentar 
resistencia alguna. 
Pero el agua y el aire siendo muy poco viscosos ofrecen a un 
cilindro en movimiento una gran resistencia. Este hecho se conoce 
como la paradoja de D´alembert. 
La explicación de esto no conduce a dos conceptos: la capa límite 
y el desprendimiento de la capa límite. 
La explicación de la paradoja se resume en los dos puntos 
siguientes: 
� La capa de fluido contigua al cilindro se adhiere al mismo por su viscosidad; a 
consecuencia de lo cual la velocidad del fluido junto al cilindro es nula. Esta 
velocidad aumenta rápidamente, hasta que pasada un película de fluido (capa 
límite), toma la velocidad que corresponde a las líneas de corriente. 
De acuerdo con la ecuación de Newton: 
dy
dvητ = ; la velocidad es muy grande, 
por lo tanto el esfuerzo de corte también 
y su resistencia. Esta resistencia se 
conoce como resistencia de superficie. 
� El cilindro tiene una forma roma y las líneas de corriente se separan como se 
indica en la figura (desprendimiento de la capa límite); creándose bajo del 
cilindro remolino que originan una depresión, con lo cual si el cilindro se 
moviera y el fluido no, dicho cilindro experimentaría una resistencia de forma. 
 
Capa límite: resistencia de superficie 
 
Se estudia la distribución de 
velocidades a lo largo del punto A. 
Aproximando un tubo de Prandtl al 
punto se mide una velocidad v, aunque 
debido a la viscosidad se sabe que 
dicha velocidad es nula, en la figura de 
la derecha se observa una distribución 
de velocidades en al capa límite: 
� Si el fluido fuese ideal la 
distribución de velocidades sería la a. 
� Si los efectos de viscosidad son muy apreciables (Reynolds bajo) la distribución 
de velocidades es parabólica (curva b). 
� Si los efectos de la viscosidad son poco apreciables, la distribución es 
logarítmica (curva d). La curva c representa un caso intermedio. 
� La curva d diverge de la a en un a película muy fina (centésimas de mm, por 
ejemplo), esta película se denomina capa límite 
 
Esta capa límite: 
� Tiene un espesor muy pequeño 
� En ella se hacen sentir lo efectos de viscosidad y rozamiento. 
La resistencia a la deformación debida a la viscosidad tiene lugar en el seno de todo 
fluido real; pero si la viscosidad es pequeña solo tiene importancia en la capa límite y se 
denomina rozamiento de superficie o peculiar. 
 
Régimen laminar y turbulento: 
 
El movimiento en régimen laminar es ordenado, estratificado: el fluido se mueve como 
clasificado en capas que no se mezclan entre sí. 
El movimiento en régimen turbulento es caótico. Las partículas del fluido se mueven 
desordenadamente y las trayectorias de las mismas se entrecruzan formando pequeños 
remolinos aperiódicos. 
No es menester que haya remolinos observables macroscópicamente para que se dé 
movimiento turbulento. Macroscópicamente el movimiento puede ser suave y uniforme. 
La distribución de velocidades en una tubería de sección circular es parabólica (en 
régimen laminar). Y en el turbulento es logarítmica 
 
Capa límite laminar y turbulenta: 
 
La figura representa una placa fija con borde de ataque afilado sumergida en una 
corriente uniforme en el infinito, v∞, constante y paralela a la placa. El fluido en 
contacto con la placa por 
adherencia queda fijo, y las capas 
sucesivas sufren un frenado. 
A medida que la corriente avanza 
por la placa, mas capas de fluido 
quedan afectadas por este frenado. 
El espesor δ de la capa límite queda 
definido convencionalmente como 
la distancia desde al superficie al 
punto en que su velocidad difiere de la velocidad correspondiente al fluido ideal en un 1 
por 100. 
 
Número de Reynolds: parámetro adimensional de resistencia. 
 
El tránsito de régimen laminar a turbulento, fenómeno que depende de la viscosidad y 
que influye en la resistencia (item anterior), se verifica también para un número de 
Reynolds determinado. Definido así: 
υ
υ x∞=Re donde x es la distancia desde el borde de ataque de la placa. 
También será función de del número de Reynolds el espesor de la capa límite, 
(Re)/ fx =δ 
 
Número crítico de Reynolds 
 
Cuando el número de Re > 12000 la corriente era turbulenta, este sería el número crítico 
de Reynolds superior. Pero con Re = 40000 se han logrado corrientes laminares, por lo 
tonto el número Re superior es indeterminado. 
Cuando Re ≤ 2000 la corriente era necesariamente laminar. Este es el número crítico 
inferior de Re. 
La velocidad que hace crítico al Re se llama velocidad crítica. 
 
Desprendimiento de la capa límite: resistencia de forma 
 
En un conducto divergente, la presión 
aumenta en la dirección de la corriente y el 
gradiente de presiones se opone al 
movimiento y tiende a retardar el flujo, con 
lo que se suma este efecto con el efecto 
decelerador producido por el esfuerzo 
cortante. Entonces la capa límite se separa 
del contorno. 
Viendo la figura. El flujo en las proximidades del contorno se va continuamente 
decelerando a causa de la viscosidad hasta que en el punto A la velocidad sería cero. La 
forma del contorno exigiría aún una disminución mayor de la velocidad, porque allí el 
contorno diverge; pero como esto es imposible el flujo se separa del contorno al mismo 
tiempo que se produce un contraflujo producido por el gradiente de presiones adverso. 
Aguas abajo de la línea de desprendimiento se crea una zona de baja presión. 
La resistencia de forma es la producida por un gradiente de presiones adverso que se 
origina al desprenderse la capa límite y que depende en gran manera de la forma del 
contorno. 
Por lo tanto, la resistencia de superficie está causada directamente por la viscosidad; la 
resistencia de forma directamente por el gradiente de presiones; pero indirectamente por 
la viscosidad, que junto con la forma adversa del contorno producen el desprendimiento 
de la capa límite. 
 
Resistencia de forma: contornos romos y contornos bien fuselados 
 
El contorno bien fuselado bien 
fuselado de la figura, evita en el 
fluido real el fenómeno de 
desprendimiento, y por lo tanto la 
resistencia de forma, reduciéndose 
la resistencia de superficie en la 
capa límite. 
 
 
Esta figura representa un fluido en 
movimiento sobre un contorno angular 
(forma roma). En el punto A la velocidad 
se haría teóricamente infinita, como esto es 
imposible, en el fluido real la corriente se 
desprende. 
 
 
 
 
Resistencia de Superficie: Pérdidas primarias en conductos cerrados o tuberías 
 
Pérdidas primarias y secundarias en las tuberías: 
 
Las pérdidas primarias son las pérdidas de superficie en el contacto del fluido con la 
tubería (capa límite), rozamiento de unas capas de fluido con otras (régimen laminar) o 
de partículas de fluido entre sí (régimen turbulento). Tienen lugar en flujo uniforme, por 
tanto principalmente en los tramos de tubería de sección constante. 
Las pérdidas secundarias son las pérdidas 
de forma, que tienen lugar en las 
transiciones (estrechamiento o 
expansiones de la corriente), codos, 
válvulas, y toda clase de accesorios de la 
tubería. 
En el cálculo de las pérdidas de carga en 
tuberías juegan un papel discriminante 
dos factores: el que la tubería sea lisa o 
rugosa y el que el régimen de corriente sea laminar o turbulento.Ecuación general de las pérdidas primarias: Ecuación de Darcy-Weisbach 
 
Los experimentos realizados con tuberías de agua de diámetro constante demostraron 
que la pérdida de carga era directamente proporcional al cuadrado de la velocidad media 
en la tubería y a la longitud de la tubería e inversamente proporcional al diámetro de la 
misma. La fórmula fundamental que expresa lo anterior es la siguiente: 
gD
L
H rp 2
2υλ= Donde: Hrp es la pérdida de carga primaria, λ coeficiente de 
pérdida de carga, L longitud de la tubería, D diámetro de la tubería, v velocidad media. 
 
Diagrama de Moody o Rouse: 
� Resuelven todos los problemas de pérdidas de cargas primarias 
� Pueden emplearse en tuberías de sección no circular sustituyendo el diámetro 
por el radio hidráulico Rh 
� Se usa para determinar el coeficiente λ 
 
El factor λ: 
Es adimensional. Depende de la velocidad, del diámetro de la tubería, de la densidad ρ, 
de la viscosidad η y de la rugosidad k, la cual, puede expresarse en unidades de longitud. 
De lo que se deduce: ),,,,( kDf ηρυλ = 
En el caso más general, este coeficiente, es función de dos variables adimensionales, Re 
y la rugosidad relativa. 
Por tanto si λ =cte. 
� Hrp varía proporcionalmente a L, si Q y D permanecen cte. 
� Hrp es directamente proporcional a Q
2, si L y D permanecen cte. 
� Hrp es inversamente proporcional a D
5, si Q y L permanecen cte. 
� Q es inversamente proporcional a L si Hrp y D permanecen cte. 
� Q es directamente proporcional a rpH si L y D permanecen cte. 
� Q es directamente proporcional a D5/2, si L y Hrp permanece cte. 
� D es inversamente proporcional a Hrp 
1/5 si L y Q permanecen cte. 
� D es directamente proporcional a L1/5, si Hrp y Q son cte. 
� D es directamente proporcional a Q2/5, si Hrp y L son cte. 
 
Cálculo de λ en régimen lamina: fórmula de Poiseulle 
 
Si el flujo es laminar la corriente es relativamente lenta, la viscosidad relativamente 
grande y la corriente no es perturbada por las protuberancias del contorno; más aún, si 
se inicia una turbulencia la viscosidad la destruye. Por tanto: en régimen laminar λ no es 
función de la rugosidad. 
Aplicando la primera ley de 
Newton: 021 =−− Tpp ωω 
T es la fuerza debida al corte, p 
presiones en centro de gravedad 
de la sección. 
Se tiene: 
0222
2
1 =+− dr
d
rLrprp
υηπππ 
Simplificando y despejando dv: rdr
L
p
d
η
υ
2
∆−= 
Integrando la ecuación anterior nos da: Cr
L
p +∆−= 2
4 η
υ 
La constante C se determina por las condiciones en los límites que son v=0 para r = R y 
por tanto 
2
4
R
L
p
C
η
∆= , llevando este valor a la ecuación anterior obtenemos: )(
4
22 rR
L
p −∆=
η
υ 
La máxima velocidad se da para r = 0. Es más fácil trabajar con la velocidad media 
2R
Q
π
υ = 
El caudal comprendido entre dos circunferencias concéntricas con el eje de la tubería de 
radios r y (r + dr) será: 
)(
4
22 22 rR
L
p
rdrrdrdQ −∆==
η
πυπ 
Integrando la ecuación anterior se obtiene: 
η
π
L
Rp
Q
8
4∆= , luego reemplazando esta 
ecuación en la de la velocidad media, se tiene: 
η
υ
L
pR
8
2∆= 
Se reemplaza R por D/2 y se despeja la variación de presiones, se obtiene la ecuación de 
Poiseuille: 2
32
D
L
p
υη=∆ 
Multiplicando y dividiendo el segundo término por gρυ2 y sabiendo que 
g
p
H rp ρ
∆= se 
obtiene la siguiente ecuación: 
gD
L
Hrp
2Re
64 2υ= donde Re/64=λ y 
η
ρυD=Re 
La ecuación de Pouseuille, demuestra que: la pérdida de carga en régimen laminar en 
tuberías tanto lisas como rugosas es directamente proporcional a la primera potencia de 
la velocidad. 
Esta ecuación es válida solo para flujo laminar. 
 
Cálculo de λ en régimen turbulento y tuberías lisas: para 100000Re2000 ≤≤ fórmula 
de Blasius 
 
Como las tuberías son lisas λ no es función de la rugosidad relativa, k/D, ya que ésta es 
nula, o sea (Re)f=λ 
Para estos casos se aplica: 4/1Re
316,0=λ 
 
Cálculo de λ en régimen turbulento y tuberías lisas para 100000Re≥ fórmula 
primera de Kárman-Prandtl 
 
En base a estudios experimentales se llego a la siguiente ecuación: 
80,0)log(Re2
1 −= λ
λ
 
 
Cálculo de λ en régimen turbulento y tuberías rugosas: 
 
Si Re es elevado λ es función de k/D, de lo contrario λ es función de Re. 
Si Re tiene un valor intermedio, se tendrá )/(Re, Dkf=λ 
 
Tuberías comerciales o de rugosidad natural: 
 
Fórmula de Colebrook-White )
51,2
70,3
/
log(2
1
λλ R
Dk +−= 
Segunda ecuación de Kárman-Prandtl 74,1
2
log2
1 +=
k
D
λ
 
 
Diagrama de Moody 
 
Está construido en papel doblemente logarítmico y es la representación gráfica de dos 
ecuaciones: la de Poiseuille es una recta (flujo laminar) y la ecuación de Colebrook-
White donde λ es función de Re y k/D. 
 
Diámetro de tubería más económico 
 
El diámetro más económico será aquel que 
reduzca a un mínimo la suma del coste de la 
tubería y el valor en pesos de la energía perdida 
por rozamiento, ambas reducidas a un año. 
El coste anual de la tubería se podrá expresar 
como: 5
2
D
DC
βα += donde α y β son 
constantes. El diámetro más económico que hace 
el coste anual mínimo se obtendrá derivando la 
ecuación anterior con relación al diámetro, 
igualándolo a cero y despejando el diámetro: 
5/1
2
5





=
α
β
D 
En el gráfico, curva a es el coste de potencia perdida por año y la curva b el coste anual 
de la tubería. Sumando ambas se obtiene la c. 
 
Resistencia de superficie: pérdidas primarias en conductos abiertos o canales 
 
En contraposición a los conductos cerrados o tuberías, en los canales: 
� La corriente no está totalmente rodeada por un contorno sólido, sino que tiene 
una superficie libre a la presión atmosférica. 
� Las formas de sección transversal son mucho más variadas. 
 
Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 de la siguiente figura, se deduce que la 
energía potencial en un canal con corriente uniforme la disminución de energía 
potencial es consumida por la pérdida de altura total. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Radio hidráulico 
 
El concepto de radio hidráulico, Rh, nos sirve para poder utilizar las fórmulas de pérdida 
de carga en conductos de sección no circular constante. Se llama radio hidráulico al 
cociente del área transversal ocupada por la corriente por el perímetro mojado de esta 
sección: 
ltransversaciónmojadoperímetro
transveralárea
Rh _sec__
_= 
La fórmula de Darcy-Weisbach, se puede expresar de la siguiente manera: 
gR
L
H
h
rp 24
2υλ= 
 
Velocidad en un canal con movimiento uniforme. Primera fórmula: fórmula de 
Chézy 
 
Reemplazando Hrp por la diferencia de alturas geodesias, se tiene: 
hgR
L
zz
8
2
21
υλ=− o sea 
hgR
s
L
zz
8
2
21 λυ==− Donde s es la pendiente del 
canal y v velocidad en el canal de sección constante. Despejando v se obtiene: 
sR
ggsR
h
h
λλ
υ 88 == 
Y finalmente la ecuación de Chézy es: sRC h=υ 
Las dimensiones de C son [ ] [ ] 12/1 −TL depende solamente de la rugosidad esta constante, 
en régimen turbulento. 
Se puede obtener el valor de esta constante con el diagrama de Moody en función de λ, 
Por la fórmula de Bazin o por la fórmula de Kutter. 
 
Coeficiente C de la fórmula de Chézy. Primera fórmula: fórmula de Bazin 
 
hR
m
C
+
=
1
87
 Donde m sale de una tabla 
Coeficiente C de la fórmula de Chézy. Segunda fórmula: Fórmula de Kutter 
 
hR
n
s
snC





 ++
++
=
00155,0
231
00155,01
23
 n es el coeficiente de rugosidad sale de una tablita 
también 
 
Velocidad en un canal con movimiento uniforme: segunda fórmula: fórmula de 
Manning 
 
2/13/21 sR
n h
=υ n coeficiente de rugosidad, misma tabla que para la de Kutter 
 
Resistencia de forma: Pérdidas secundarias en conductos cerrados o tuberías 
 
Las pérdidas secundarias se pueden calcular por dos métodos: 
� Primer método: por una fórmula especial y un coeficiente de pérdidas 
adimensional de pérdidas secundarias. 
� Segundo método: por la misma fórmula de las pérdidas primarias sustituyendo 
en dicha fórmula la longitud de la tubería, L por la longitud equivalenteLe. 
 
Primer método: Ecuación fundamental de las pérdidas secundarias. 
 
Análoga a la fórmula de Darcy-Wesibach la fórmula es la siguiente: 
g
Hrs
2
2υξ= Donde ξ es un coeficiente adimensional de pérdidas 
secundarias. 
 
El coeficiente ξ de la ecuación fundamental de las pérdidas secundarias 
 
Este coeficiente depende del tipo de accesorio, del número de Reynolds, de la rugosidad 
y hasta de la configuración de la corriente antes del accesorio. 
Para Re ≥ 1.105 a 2.105 no depende prácticamente del número de Reynolds. Los 
coeficientes ξ para los diferentes accesorios que se aducen en las secciones siguientes 
son experimentales. 
� Salida brusca: los valores de ξ depende de la longitud del trozo de tubería que 
penetra en el depósito y del espesor de la tubería. 
� Salida suave: en este caso la pérdida es mucho menor. 
� Ensanchamientos bruscos y suaves: el coeficiente ξ para 
este caso vale: 
22
1













−=
D
d
mξ donde m se obtiene 
de tabla (11-12 mataix) 
� Contracciones bruscas y suaves: existe un ábaco para 
obtener los valores de ξ 
� Tes: son de dos tipos, de confluencia (a) y divergencia 
(b). Se calculan por separado las pérdidas de energía 
correspondientes al caudal lateral Ql y al caudal recto Qr. 
� Codos: representa dos tipos de pérdidas, las producidas por la fuerza centrífuga 
que origina un flujo secundario y las producidas por la separación. 
� Válvulas: el coeficiente ξ depende del tipo de válvula, del diseño particular 
dentro de cada tipo y del grado de apertura dentro de la válvula 
 
Coeficiente total de pérdidas ξ 
 
La ecuación fundamental de las pérdidas secundarias tiene la misma forma que la de las 
pérdidas primarias si se hace en esta última: ξλ =
D
L
 
Si la conducción es de sección constante la pérdida secundaria quedará expresada de la 
siguiente forma: ∑ 




 +++=
gD
L
H nrs 2
...
2
21
υλξξξ 
Si la conducción no es constante: ∑ 





++=
gD
L
H rs 2
.......
2
1
1
1
υλξ 
Segundo método: Longitud de tubería equivalente: 
 
Este método consiste en considerar las pérdidas secundarias como longitudes 
equivalentes y luego se aplica la ecuación fundamental de las pérdidas primarias: 
( )
gD
LL
H er 2
2υλ ∑+= Donde ∑ eL son la longitudes equivalentes de los distintos 
artefactos de la tubería. 
 
Gráfico de la ecuación de Bernoulli con pérdidas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Redes de distribución: 
 
Tuberías en serie: 
 
Se aplican las siguientes fórmulas: 
........21 === QQQ .....321 +++= rrrr HHHH 
........22
2
11 2 == DD υυ 
El caudal que circula por los tramos es el mismo. 
La pérdida total es igual a la suma de las 
pérdidas parciales. 
Se cumple la ecuación de continuidad. 
 
 
 
Tuberías en paralelo: 
 
Se utilizan las siguientes ecuaciones: 
..........321 +++= QQQQ 
...........321 === rrr HHH 
En efecto: 
El caudal total se reparte entre todas las tuberías. 
La presión al comienzo pa y al fin pb de cada rama es la 
misma para todas las amas, luego la caída de altura de 
presión, Hr será también igual en todas las ramas. 
 
Orificios, tubos, toberas y vertederos. Instrumentación de medida de caudales en flujo 
libre y de nivel 
 
Orificios, tubos y toberas: 
 
En este caso el chorro a la salida 
del orificio se contrae. La sección 
de chorro contraída se llama vena 
contracta, que si el orificio es 
circular se demuestra 
empíricamente que tiene lugar a 
distancia D/2 de la pared del 
depósito. 
Planteando Bernoulli entre 1 y 2 
(vena contracta) se llega a: 
g
hh
2
2
2
21
υ+= Donde v2=vt es la velocidad en la vena 
contracta, porque se han despreciado las pérdidas. 
Por tanto, hgt ∆= 2υ , la velocidad real de la vena contracta será tvC υυ = , donde Cv es 
un coeficiente de velocidad. 
El caudal desaguado por el orificio será igual a la sección transversal de la vena 
contracta multiplicada por la velocidad en esa sección. La sección de la vena contracta 
será (Ac): 
ACA cc = Donde Cc es el coeficiente de contracción y A sección del orificio. 
Y el caudal es: hgAChgACCAQ qvcc ∆=∆== 22υ 
Donde Cq = CcCv es un coeficiente de caudal y ∆h es la diferencia de alturas 
piezométricas antes y después del orificio. 
Siguiendo un camino análogo se llegaría a la misma ecuación para los siguientes casos: 
� Orificio en el fondo del depósito. 
� Orificio sumergido. 
� Orificio en depósito a presión que desagua en la atmósfera. 
� Tubos y toberas diversos. 
Los valores de los coeficientes anteriores se obtienen experimentalmente. Algunos de 
los más principales para orificios y tubos diversos de sección circular pueden verse en 
tabla 14-1 del mataix. 
 
Aplicaciones: 
 
Se pueden agrupar en dos clases: control de flujo y medición de caudales. 
Para la medición de caudales, se utiliza la cuba Danaide, que mide caudales de 5 a 500 
l/s. La fórmula general es la siguiente: 
hg
d
nCQ q ∆= 24
2π
 Donde n es el número de orificios y d el diámetro de un 
orificio. 
 
Desagüe por una compuerta de fondo 
 
En el fondo no hay contracción; pero sí en 
la lámina superior. 
Escribiendo Bernoulli entre las secciones 
1 y 2, esta última en la vena contracta 
g
h
g
h
22
2
2
2
2
1
1
υυ +=+ 
Por la ecuación de continuidad: 
1
2
1
22
1 h
aC
h
h cυυυ == 
b es constante y no hay contracción lateral. 
Entonces el caudal será: 
hgabCQ q ∆= 2 
 
Régimen variable: tiempo de desagüe de un depósito 
 
El caso de la figura es un caso de régimen 
variable. 
En un instante cualquiera t, el líquido tiene el 
nivel h, y transcurrido un tiempo infinitamente 
pequeño dt el nivel del líquido ha descendido, 
dh. En estante t el caudal viene dado por la 
ecuación: hgAC
dt
d
Q q 20==
τ
 
τd es el diferencial volumen, desaguado en el 
tiempo dt. 
A0 es el área del orificio, constante. 
Y dtghACd q 20=τ 
Por otra parte Adtd =τ Donde A sección transversal del depósito en el instante t, 
variable. 
Igualando ambas ecuaciones, se tiene: 
dtghACAdh q 20=− 
Donde el signo negativo significa que una diferencial de tiempo positiva se produce una 
dh negativa. Despejando dt e integrando entre los tiempos 1 y 2, tenemos: 
∫∫ −=−=
2
1 0
2
1
12
2
h
h q
t
t ghAC
Adh
ttdt 
La ecuación general del tiempo de desagüe de un depósito es: dh
ghC
A
t
h
h d
∫=
1
2 2
 
Donde A=f(h), si se conoce dicha función se puede integrar analíticamente o 
gráficamente. 
 
Vertederos: 
 
Vertedero es un dique o pared que intercepta la corriente, causando una elevación del 
nivel aguas arriba, y que se emplea para control de nivel o para medición de caudales. 
La altura de la lámina conviene medirla a una distancia de 3a. Donde a es el espesor de 
la lámina en el vertedero. 
En los vertederos el caudal es función de la única variable, h, lo que simplifica la 
medida, así como la adaptación del instrumento a integradores. 
 
Tipos de vertederos: 
 
Se clasifican en: 
� Según la altura de la lámina aguas abajo. 
� Según la disposición en planta del vertedero con relación a la corriente. 
� Según el espesor de la pared. 
 
Vertederos de pared delgada: 
 
En éstos la parte superior del vertedero que está en contacto con la lámina de líquido 
suele ser una chapa de unos 5 mm de espesor, achaflanada. Técnica hablando, esta 
chapa es el vertedero y en ella se practican diversas aberturas. 
Los vertederos de pared delgada, según la forma de la abertura, se clasifican en 
rectangulares, trapezoidales, triangulares y parabólicos. 
Los vertederos rectangulares se clasifican en vertederos sin contracción lateral y con 
contracción lateral. 
 
Vertederos de pared gruesa: 
 
Pueden utilizarse como medidores de flujo aunque con menos precisión que los de 
pared delgada. 
 
Fórmulas de los vertederos de pared delgada 
Vertedero rectangular: 
Se considera un área elemental bdydA= en el plano del 
vertedero. 
Donde b es el ancho de la abertura, constante. En el vertedero sin contracción lateral 
b=B, B es el ancho del vertedero. 
Escribiendo Bernoulli entreun punto 1 en la estación de medida de la altura de la 
lámina y un punto cualquiera situado en la lámina, tendremos: 
 yh
g
h −+=
2
2υ
 
Luego: gy2=υ 
El caudal diferencial teórico será: 
dyygbgybdydQt
2/122 == 
Integrando entre 0 y h y multiplicando 
por coeficiente de caudal (Cq) se obtiene: 
ghbhCQ q 2= , el coeficiente de caudal 
oscila entre 0,64 y 0,79. 
Para un vertedero rectangular sin contracción lateral Cq se calcula de la siguiente 
manera: 














+
+





+
+=
2
1
50,01
60,1
1
1615,0
c
q zhh
C Esta fórmula es válida siempre que 
mmhmm 80025 ≤≤ y mmzc 300= y finalmente 1/ ≤czh 
Y para vertederos con contracción lateral Cq vale: 














+





+












+





−
+




+=
2
2
2
50,01
60,1
3615,3
037,0578,0
c
q zh
h
B
b
h
B
b
B
b
C 
 
Vertedero Triangular: 
 
Se emplea para medir caudales pequeños, inferiores a 6 
l/s. El ángulo α puede ser cualquiera, es muy frecuente 
el vertedero triangular con 90=α 
Procediendo de manera análoga a los rectangulares: 
dAgydQt 2= , donde xdydA 2= 
yh
x
tg
−
=
2
α
, luego el caudal teórico será: 
( )∫ −=
h
t dyyyhtggQ
0
2/1
2
22
α
 integrando esto y 
multiplicando por Cq, para obtener el caudal real se tiene: 
ghhChtggCQ qq 215
8
2
2
15
8 22/5 == α 
El coeficiente Cq para 90=α vale 593,0=qC 
Se toma aproximadamente Cq=C 
La fórmula del vertedero rectangular sin contracción y con contracción será: 2/3ChQ = 
La fórmula para el vertedero triangular será: 2/5ChQ = 
Sobrepresiones y depresiones peligrosas en estructuras y máquinas hidráulicas: 
Golpe de ariete y Cavitación: 
 
Golpe de ariete: 
El golpe de ariete es un fenómeno transitorio y por 
tanto de régimen variable, en que la tubería ya no es 
rígida y el líquido es compresible. 
Para el estudio de este fenómeno se considera cierre 
instantáneo de válvulas. Al cerrarse por completo la 
válvula instantáneamente, en la válvula se origina 
una onda de presión que se propaga con velocidad c, 
la cual en el instante considerado tiene una dirección 
contraria a la velocidad v del fluido: se ha creado una 
onda elástica, o sea una onda de presión que se 
propaga por la tubería. El tiempo que tarda la onda 
en recorrer una vez la distancia entre la válvula y el 
embalse es cLt /0 = . Al cabo de un tiempo 04tT = el 
ciclo se repite. Viendo la figura, se deduce lo 
siguiente: 
1. No hay perturbación. Régimen permanente. 
2. Tiempo 0. La válvula se cierra instantáneamente. La velocidad del líquido se 
anula a partir de la válvula, no instantáneamente, en toda la tubería. 
3. Tiempo 
c
L
t
2
1
2/0 = La onda de presión se ha propagado hacia el embalse con 
celeridad c y el frente de onda ha llegado a la mitad de la tubería. Mitad derecha 
de la tubería dilatada por sobrepresión y v=0. Mitad izquierda diámetro normal y 
el fluido circula con velocidad v hacia la válvula. 
4. Tiempo cLt /0 = . La onda de presión ha llegado al embalse. En toda la tubería 
el líquido está en reposo, v=0, pero no en equilibrio. Toda la tubería está 
dilatada. Como un resorte que se expansiona, el agua en la tubería comienza a 
moverse con velocidad v, pero en sentido contrario. 
5. Tiempo 
c
L
t 2/32/3 0 = . La mitad de la tubería se ha contraído a su diámetro 
normal. La onda sigue propagándose hacia la derecha con velocidad c. 
6. Tiempo 
c
L
t
2
2 0 = . Diámetro de toda la tubería normal. Todo el fluido de la 
tubería en movimiento desde la válvula hacia el embalse con velocidad v. No 
hay sobrepresión; pero la inercia de la presión continúa disminuyendo, la onda 
elástica se sigue propagando, ahora con depresión desde la válvula hacia el 
embalse con la velocidad c. Diámetro de la tubería se reduce. 
7. Tiempo 
c
L
t
2
5
2/5 0 = . La depresión ha alcanzado la mitad de la tubería. La mitad 
derecha de la tubería contiene agua en reposo y a una presión por debajo de la 
normal. 
8. Tiempo 
c
L
t 33 0 = . El agua en toda la tubería está en reposo; pero no en 
equilibrio, y el agua inicia su movimiento de izquierda a derecha con velocidad 
v. 
9. Tiempo 
c
L
t
2
7
2/7 0 = . En la mitad izquierda de la tubería el fluido está en 
movimiento con velocidad v hacia la válvula. La mitad sigue en reposo y con 
depresión. 
10. Tiempo 
c
L
t 44 0 = . Diámetro de la tubería normal. Todo el fluido en movimiento 
con velocidad v hacia la válvula. 
Teóricamente este movimiento oscilatorio continuaría indefinidamente. Prácticamente 
la deformación de la tubería y viscosidad del líquido disipa energía y las oscilaciones se 
amortiguan. 
 
Fórmulas de la presión máxima o sobrepresión: 
 
El cálculo de la sobrepresión depende del tiempo de cierre tc de la válvula. El cierre 
puede ser: 
� Instantáneo 0=ct . Caso teórico. 
� Rápido 020 ttc ≤≤ . La presión máxima es la misma que en el cierre instantáneo. 
En el cierre rápido una onda de presión no tiene tiempo de ir al estanque, 
reflejarse y volver a la válvula, antes de que termine medio ciclo. 
� Lento 02ttc ≥ . La presión máxima es menor que en los dos casos anteriores, 
porque la depresión de la onda elástica llega a la válvula antes de que se 
complete el medio ciclo e impide el aumento ulterior de la presión. 
 
Presión máxima en cierre total o parcial instantáneo de la válvula en una tubería 
elástica: 
 
El fluido se decelera, lo que da lugar a una fuerza de inercia: 
t
mFi ∆
∆−= υ donde ∆t no 
es el tiempo de cierre de la válvula; sino el tiempo que ha transcurrido para que una 
cierta masa de fluido que ocupa una longitud de tubería reduzca su velocidad a un cierto 
valor ∆v. lAm ρ= 
Siendo ∆v: 
� cierre total: υυ −=∆ 
� cierre parcial: υυυ −=∆ ´ 
Llevando estos valores a la ecuación de la fuerza, se obtiene: 
En cierre total: 
t
lAFi ∆
= υρ y en cierre parcial ( )
t
lAFi ∆
−= ´υυρ 
La sobrepresión será: AFp i /=∆ ; siendo tlc ∆= / 
Fórmula de Joukowski: υρcp =∆ 
Fórmula de Allievi: ( )´υυρ −=∆ cp 
Para el cálculo de c, Joukowski propuso la siguiente fórmula: 
δ
ρ
E
DE
E
c
0
0
1+
= 
Donde: 
� c es la celeridad onda elástica del fluido en la tubería, m/s 
� E0 módulo de elasticidad de volumen del fluido, N/m2 
� E módulo de elasticidad de la tubería 
� δ espesor de la tubería, m. 
 
Presión máxima en cierre lento uniforme total de una válvula en tubería rígida: 
 
Consideremos la fuerza de inercia debida a la deceleración del fluido que circula por 
una tubería de sección A, longitud L con velocidad v en el tiempo de cierre de la válvula 
c
Ltc =
2
. 
dt
d
ALFi
υρ−= , 
ct
L
p
υρ2=∆ , pero 
cc ttdt
d υυυ −=−= 0 
Se obtiene la siguiente ecuación: 
ct
L
p
υρ
2=∆ Ecuación de Michaud 
 
Cavitación: 
 
La cavitación es un fenómeno que se produce siempre que la presión en algún punto o 
zona de la corriente de un líquido desciende por debajo de un cierto valor mínimo 
admisible. 
Escribiendo Bernoulli entre los puntos 
1 y 2 y considerando presiones 
absolutas, resulta: 
2
2
22
21
2
11
22
z
gg
p
H
gg
p
r ++=−+ −
υ
ρ
υ
ρ
 Donde 
ambpp =1 
Despejando se obtiene: 
212
2
1
2
22
2 −
−−−−= ramb Hzgg
p
g
p υυ
ρρ
 
Según esta ecuación ambpp ≤2 : 
� Teóricamente puede bajar solo hasta el 0 absoluto, porque la presión absoluta no 
puede ser negativa. 
� Prácticamente existe un límite inferior de la presión mayor que 0 que es el 
siguiente: spp ≥ , donde ps es la presión de saturación del vapor a la temperatura 
en que se encuentre el fluido. 
Un líquido entra en ebullición a una presión determinada, llamada presión de saturación, 
que depende de la temperatura correlativamente llamada temperatura de saturación, ts. 
El comienzo de la ebullición del líquido es también el comienzo del fenómeno de 
cavitación. El peligro de la cavitación es mayor cuando: 
� Cuanto menor sea pamb, o sea la presión barométrica del lugar; 
� Cuanto mayor sea la altura de velocidad creada en la zona de depresión. 
� Cuanto mayor seaz2 o respectivamente z1. 
� Cuanto más se eleve la bomba o la turbina con relación al nivel inferior; 
� Cuanto mayor o menor sean las pérdidas. 
 
Descripción de la cavitación: 
 
Cuando la corriente en un punto de una estructura o de una máquina alcanza una presión 
inferior a la presión de saturación de vapor, el líquido se evapora y se originan en el 
interior del líquido cavidades de vapor, de ahí el nombre de cavitación. Estas cavidades 
o burbujas de vapor arrastradas por la corriente llegan a zonas en que reina una presión 
muy elevada, y allí se produce una condensación violenta del vapor. 
 
Teorema del impulso en mecánica de fluidos: 
 
Sea una partícula de fluido de masa m sometida a una fuerza F durante un intervalo de 
tiempo. Según la 2da ley de Newton: 
dt
d
mF
υ= 
Separando variable e integrando, siendo m constante, se obtiene: 
∫ −=
2
1
12 )(
t
t
mFdt υυ , 
Donde ∫
2
1
t
t
Fdt , es el impulso de la fuerza F, variable en el tiempo por lo general 
mv es la cantidad de movimiento de la partícula. 
El llamado teorema del impulso en mecánica de fluidos se obtiene: 
� Integrando entre dos secciones de un tubo de corriente 
� Expresando la ecuación en función del caudal y de la densidad. 
 
Deducción del teorema del impulso o de la cantidad de movimiento: 
 
Considerando aislada la porción de fluido comprendidas entre las secciones de control 1 
y 2. El fluido ha cambiado su 
cantidad de movimiento al 
variar la sección del tubo, así 
como al variar la dirección de 
v, luego a estado sometido a 
una fuerza. Estas fuerzas son: 
� Las fuerzas normales 
de presión: Fp1 
ejercida por el fluido 
eliminado a la 
izquierda de la sección 
1 y Fp2 a la derecha de la sección 2. 
� Las fuerzas tangenciales T1 y T2 en estas mismas direcciones debidas a la 
viscosidad, pueden despreciarse. 
� La resultante R´, de todas las fuerzas normales y tangenciales ejercidas por las 
paredes laterales del tubo o por el fluido circundante. 
� La fuerza de la gravedad W. 
También en este tubo, se ha aislado un filamento de corriente de longitud diferencial o 
infinitesimal. 
Para demostrar el teorema se hace lo siguiente: 
Se aplica la segunda ley de Newton 
dt
d
mF
υ= , que se la puede descomponer en sus tres 
componentes cartesianas, acá se deducirá el teorema para el eje x. Para una partícula se 
tiene: 
x
xx
x dQddt
d
dQdt
dt
d
mdF υρυρυ === Donde dFx es la resultante de todas las 
fuerzas que actúan sobre la partícula. 
Integrando la ecuación anterior a lo largo del filamento de corriente, siendo la densidad 
y dQ constantes (hipótesis adoptadas), se tendrá: 
∫ ∫ −==
2
1
2
1
12 )( xxxx dQddQdF υυρυρ . Integrando sobre todos los filamentos de corriente 
comprendidos entre las secciones 1 y 2, se tiene el teorema del impulso: 
( )∫ −= dQdQF xxx 12 υυρ , donde Fx es la resultante de todas las fuerzas exteriores, ya 
nombradas anteriormente, a la masa de fluido aislada. Las fuerzas interiores son iguales 
y opuestas, por lo tanto se reducen a cero. 
Una expresión práctica de este teorema se obtiene al suponer que las secciones son 
régimen uniforme, entonces las velocidades serán constantes y por lo tanto se obtiene la 
siguiente expresión para cada dirección cartesiana: 
( )12 xxx QF υυρ −= 
La ecuación de cantidad de movimiento es aplicable a fluidos reales. 
 
Aplicaciones: 
Fuerza sobre un codo: 
 
El fluido, al cambiar en un codo su cantidad de movimiento, está sometido a un sistema 
de fuerzas cuya resultante viene dada por la ecuación anterior, pero expresada en forma 
vectorial. 
 
Fuerza sobre un álabe y potencia de una turbina de acción: 
 
Un solo álabe fijo: 
 
El chorro incide en el álabe con la 
velocidad c1. Despreciando el 
rozamiento c2=c1. La fuerza que el 
fluido ejerce sobre el álabe es la 
reacción. Descomponiendo en el 
plano y observando lo siguiente, se 
obtiene la fuerza sobre el álabe: 
11 cc x = y αcos22 cc x = 
01 =yc y αsencc y 22 = 
Entonces: ( )αρ cos21 ccQFx −= y αρ sencQFy 2−= , en z la fuerzas son nulas. 
 
Un solo álabe en movimiento: 
El álabe se mueve 
con movimiento de 
traslación y con 
velocidad u, en la 
misma dirección que 
el chorro. La 
velocidad relativa 
del agua con 
respecto al álabe a la entrada será ucw −= 11 . Despreciando el rozamiento la velocidad 
a la salida w2 será igual a w1 en módulo. Se ve que: 
( ) ( ) 121212 wwuwuwcc −=+−+=− 
ucw x −= 11 ( ) αcos12 ucw x −= 
01 =yw ( ) αsenucw y −= 12 
En este caso el caudal que llega al rodete no es el caudal del chorro, ya que el álabe se 
mueve con velocidad u, con lo que el chorro se alarga dada vez más y el caudal que hay 
que utilizar es el siguiente: ( )ucd −1
2
4
π
, donde d es el diámetro del chorro. Tendremos 
entonces la fuerza sobre el álabe: 
( ) ( )αρπ cos1
4
2
1
2
−−= ucdFx ( ) αρπ senuc
d
Fy
2
1
2
4
−−= 
Un rodete: 
 
Al aplicar las ecuaciones anteriores a un rodete, que consta de una serie de álabes 
dotados de la misma velocidad u se aprovecha ya el caudal total del chorro que sale del 
inyector o caudal total Q de la turbina, y en este caso se tendrá: 
( ) ( )αρ cos121 −−= ucQFx ( ) αρ senucQFy 21 −−= 
Como el álabe no se desplaza en la dirección y, la fuerza Fy no realiza trabajo. La 
potencia teórica de la turbina será: 
( )( )uucQP αρ cos11 −−= 
 
Turbomáquinas hidráulicas: Generalidades 
 
Una máquina hidráulica es aquella en que el fluido que intercambia su energía no varía 
sensiblemente de densidad en su paso a través de la máquina, por lo cual en el diseño y 
estudio de la misma se hace la hipótesis de que la densidad es cte. 
 
Clasificación de las máquinas hidráulicas: 
 
Las máquinas hidráulicas se clasifican en Turbomáquinas y máquinas de 
desplazamiento positivo. 
En las máquinas de desplazamiento positivo, también llamadas máquinas volumétricas, 
el órgano intercambiador de energía cede energía al fluido o el fluido a él en forma de 
energía de presión creada por la variación de volumen. 
En las Turbomáquinas, denominadas también máquinas de corriente, los cambios en la 
dirección y valor absoluto de la velocidad juegan un papel esencial. 
Ecuación fundamental de las Turbomáquinas o ecuación de Euler: primera forma: 
 
Planos de representación de una Turbomáquinas: 
Los dos planos de representación de una turbomáquina son el plano o corte meridional 
(fig a) y el plano o corte transversal (fig b). 
En el corte 
meridional que 
contiene al eje de 
la máquina, b1 
ancho del rodete a 
la entrada, b2 a la 
salida y s es la 
superficie anterior 
del rodete. 
En el corte 
transversal de una 
bomba se ve el 
álabe del rodete en su verdadera forma, los diámetros de entrada y salida de de los 
álabes D1 y D2 son acotados, así como el diámetro del eje de. 
 
Deducción de la ecuación de Euler 
 
Supondremos que una bomba funciona en régimen permanente y que al girar crea una 
depresión en el rodete penetrando el fluido en el interior de la bomba. Sea c1 la 
velocidad absoluta de una partícula de fluido a la entrada del álabe. El rodete tiene una 
velocidad periférica 
60
1
1
nD
u
π= . Con relación al álabe el fluido se mueve con una 
velocidad w1, llamada velocidad relativa a la entrada. Las tres velocidades c1, u1 y w1 
están relacionadas según la mecánica del movimiento relativo, por la ecuación vectorial: 
111 ucw −= . Suponemos que álabe (o su tangente) tiene la dirección de w1, con lo que la 
partícula no choca al álabe a la entrada. La partícula guiada por el álabe sale del rodete 
con una velocidad w2, que será tangente al mismo en el punto 2. En el punto 2 el álabe 
tiene la velocidad periférica u2. La velocidad absoluta a la salida c2, es: 
222 uwc += 
Del teorema de la cantidad de movimiento, se deduce el teorema del momento cinético. 
En efecto, este teorema nos brinda la siguiente ecuación: 
( )12 ccdQdF −= ρ . Luego tomamos momento con respecto al eje de la máquina y 
obtenemos ( )1122 clcldQdM −= ρ , que es el teorema del momento cinético. 
Ahora se supone que todoslos filamentos de corriente sufren la misma desviación, lo 
cual a su vez implica que el número de álabes es infinito para que el rodete guíe al 
fluido perfectamente. Aplicando ahora esta hipótesis llamada teoría unidimensional, al 
integrar la ecuación anterior, se obtiene finalmente: 
( )1122 clclQM −= ρ , de la figura se deduce que 111 cosαrl = 222 cosαrl = 
Por lo tanto se obtiene: ( )111222 coscos ααρ crcrQM −= 
Este momento multiplicado por el número de revoluciones será igual a la potencia que 
el rodete comunica al fluido. 
( )111222 coscos ααρωω crcrQMPu −== 
Si se llama Yu a la energía específica intercambiada entre el rodete y el fluido, en 
nuestro caso la energía específica que el rodete de la bomba comunica al fluido, y G al 
caudal másico que atraviesa el rodete, se tendrá: 
( ) ( )mH
s
m
g
m
kg
s
m
Q
kg
J
Y
s
kg
GWP uuu 

















=










= 2
3
3
ρ 
Donde Hu es la altura equivalente a la energía intercambiada en el fluido. 
( ) 




=





=





= 2
2
s
m
gmH
s
m
Yu
kg
J
Y uu 
( )111222 coscos ααρωρ crcrQYQ u −= , Pero 
11 ur =ω 22 ur =ω ucc 111 cos =α ucc 222 cos =α 
Donde c1u, c2u son proyecciones de c1 y c2 sobre u1 y u2 o componentes periféricas de las 
velocidades absolutas a la entrada y salida de la bomba. 
Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se obtiene la ecuación de Euler: 
uuu cucuY 1122 −= 
La ecuación anterior corresponde a bombas, ventiladores y compresores son máquinas 
generadoras: el rodete imparte energía al fluido. 
Las turbinas hidráulicas, turbinas de vapor y turbinas de gas son máquinas motoras: el 
fluido imparte energía al rodete. 
uuu cucuY 2211 −= 
Por lo tanto se tendrá ( )uuu cucuY 2211 −−+= , donde + corresponde a máquinas 
motoras y – a máquinas generadoras. 
Dividiendo la ecuación anterior por g, obtenemos la ecuación de Euler expresada en 
forma de alturas, lo cual resulta más práctico: 
g
cucu
H uuu
2211 −−+= , Hu también se denomina altura hidráulica, en las Turbomáquinas 
hidráulicas. 
 
Triángulos de velocidades: notación internacional 
 
Las siguientes ecuaciones vectoriales: 
111 wuc += 222 wuc += 
Se representan mediante dos triángulos, que se llaman triángulo de entrada y triángulo 
de salida, respectivamente. 
c1m componente 
meridional de la 
velocidad absoluta del 
fluido a la entrada. 
1α Ángulo que forman 
las velocidades c1 y u1 
1β Ángulo que w1 con –
u1 
Segunda forma de la ecuación de Euler: 
 
Del triángulo de entrada se deduce trigonométricamente que: 
ucucucucuw 11
2
1
2
1111
2
1
2
1
2
1 2cos2 −+=−+= α 
( )21212111 2/1 wcucu u −+= 
Asimismo, del triángulo de salida se deduce que: 
( )22222222 2/1 wcucu u −+= 
Llevando estos valores a la ecuación de Euler y dividiendo por g, tendremos: 







 −+−+−−+=
g
cc
g
ww
g
uu
H u 222
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1 
Planteando Bernoulli entre la entrada y la salida del rodete, puntos 1 y 2, sin tener en 
cuenta las pérdidas, se tendrá: 







 −+−+−−+=
g
cc
zz
g
pp
Hu 2
2
2
2
1
21
21
ρ
 
De las ecuaciones anteriores, se tiene: 
Altura de presión del rodete: (signo + turbinas; signo – bombas) 







 −+−−+=




 −−+=
g
ww
g
uu
g
pp
H p 22
2
1
2
2
2
2
2
121
ρ
 
Altura dinámica del rodete: 
g
cc
Hd 2
2
2
2
1 −−+= 
 
Grado de reacción: 
 
El grado de reacción de una turbomáquina se refiere al modo como trabaja el rodete. 
Grado de reacción teórico 
u
p
H
H
=σ , donde Hu es siempre positivo. 
Las máquinas en que el grado de reacción es igual a cero se llaman de acción. Todas las 
bombas son de reacción. 
 
Clasificación de las turbomáquinas según la dirección del flujo del rodete: 
 
� La figura a corresponde a la trayectoria de una partícula en una máquina radial. 
� La figura b es una máquina axial 
� La figura c es una máquina radioaxial, llamada también de flujo mixto, o semi-
axial 
En la máquina radial la velocidad en ningún 
punto tiene componente axial. 
En la máquina axial la velocidad en ningún 
punto tiene componente radial. 
En la máquina radio-axial la velocidad tiene 
componentes según los tres ejes. 
En ninguna máquina falta la componente 
periférica. 
 
Turbomáquinas hidráulicas: bombas rotodinámicas: 
 
Definición y clasificación de las bombas: 
 
Bomba es una máquina que absorbe energía mecánica y restituye al líquido que la 
atraviesa energía hidráulica. 
Las bombas se clasifican: 
1. Bombas rotodinámicas: todas y solo las bombas que son turbomáquinas 
pertenecen a este grupo. Su funcionamiento se basa en la ecuación de Euler. 
2. Bombas de desplazamiento positivo. A este grupo pertenecen no solo las 
bombas alternativas, sino las rotativas llamadas rotoestáticas. Su funcionamiento 
se basa en el principio de desplazamiento positivo. 
 
Clasificación de las bombas rotodinámicas: 
 
� Según la dirección del flujo: flujo radial, axial y radioaxial. 
� Según la posición del eje: bombas de eje horizontal, vertical y de eje inclinado. 
� Según la presión engendrada: de baja presión, media y alta. 
� Según el número de flujos en la bomba: de simple aspiración o doble. 
� Según el número de rodetes: de un escalonamiento o de varios. 
 
Elementos constitutivos: 
En la fig, se representa una bomba radial de eje 
horizontal, en la cual pueden verse los siguientes 
elementos: 
1. Rodete, gira solidario con el eje de 
la máquina. 
2. Corona directriz, recoge el líquido 
del rodete y lo transforma en 
energía cinética. 
3. Caja espiral, transforma la energía 
dinámica en energía de presión. 
4. Tubo difusor troncocónico, realiza 
una etapa de difusión o sea de 
transformación de energía dinámica 
en energía de presión. 
 
 
Donde empieza y donde termina la máquina? Secciones de entrada E y de salida S 
 
La sección de entrada de una bomba se toma antes de la brida de conexión del tubo de 
aspiración, sección E (fig anterior). La sección de salida se toma después de la brida de 
conexión del tubo de impulsión, sección S en la fig anterior. 
 
El rodete: clasificación de las bombas por el número específico de revoluciones: 
 
Los rodetes se clasifican en cuatro tipos según la forma de sujeción de los álabes: 
� Rodete cerrado de simple 
aspiración (a): las caras anterior y 
posterior forman una caja: entre 
ambas caras se fijan los álabes. 
� Rodete cerrado de doble aspiración 
(b). 
� Rodete semiabierto de simple 
aspiración (c): sin la cara anterior, 
los álabes se fijan solo en cara posterior. 
� Rodete abierto de doble aspiración sin cara anterior ni posterior (d): los álabes se 
fijan en el núcleo o cubo del rodete. 
La clasificación más precisa de las bombas rotodinámicas es una clasificación numérica, 
asignando a toda la familia de bombas geométricamente semejantes un número, a saber, 
el número específico de revoluciones. El mismo se define de la siguiente manera: 
4/52/1 −= HnPns , este número oscila, en bombas, entre 35 y 1800 expresado en unidades 
convenientes. (Por ej rpm) 
 
El sistema difusor: 
 
Consta de tres elementos: 
1. corona directriz 
2. caja espiral 
3. cono difusor 
 
Cebado de la bomba: 
 
Las bombas rotodinámicas no son autocebantes. Las bombas de émbolo y en general 
todas las de desplazamiento positivo, sí. 
Si la bomba está llena de aire el incremento de presión creada por la bomba, suponiendo 
en el aire la densidad normal 3/29,1 mkgaire=ρ , H=100m 
Entonces la altura a la que subiría el agua por la tubería de aspiración, sería: 
m
H
p aire 129,0
1000
==∆ ρ 
Si la bomba está llena de agua el incremento de presiones creado por la bomba será: 
m
H
p agua 100
1000
==∆
ρ
, y la bomba ya podrá aspirar. 
 
Instalación de una bomba: 
 
Una instalación consta de una serie de metros de tubería y de accesorios; en los tramos 
rectos hay pérdidas primarias y en los accesorios pérdidas secundarias. El conjunto de 
estas pérdidas constituye las pérdidas exteriores a la bomba, Hr-ext.