04-Capítulo 04-Edición 2021-rev 30 01 2021 - Manuel Encinos

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Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 140 
 
Capítulo 4 
Sistemas de primer orden 
4.1 Introducción 
Como se ha indicado en el capítulo 3, ítem 3.9, los sistemas de primer orden vienen 
caracterizados por la siguiente función de transferencia “G(s)”: 
���� = �������� = �	�
� + 1� ���. 4.1� 
Se recuerda que KP es un parámetro que dependerá de las ecuaciones que rigen el 
comportamiento de u(t)(variable de salida) como consecuencia de un cambio en m(t)(variable de 
entrada), por ejemplo, KP=Rh para los sistemas hidráulicos modelado de la función de 
transferencia se hace para aplicarla en lazos de control en el ámbito industrial, se expresa en 
términos generalizados, es decir de % del rango o spam de u(t) sobre % del rango o spam de 
m(t). Como en general en estos casos, u(t) será PV y m(t) será OP, es decir la salida misma del 
controlador, la cual está expresada en % (recordemos que las características dinámicas de la 
válvula de control se suelen incluir a las del “proceso” o sistema), KP tendrá unidades de % del 
rango de PV/% de OP, es decir, %/%. 
Por otro lado, T es la constante de tiempo del sistema. La misma se expresa en unidades de 
tiempo, segundo, minutos, horas y se calcula como el producto R.C, siendo R la resistencia al 
pasaje de la magnitud transferida correspondiente a través de una dada “frontera”, i.e. materia, 
energía o cantidad de movimiento, mientras que C hace referencia a la capacidad para el 
almacenamiento de dicha magnitud. Las unidades de R y C deben ser homogéneas para dar 
como resultado al tiempo. 
En diagramas en bloque: 
 
 
 
 
De acuerdo con el álgebra de diagramas en bloque, la salida U(s) viene dada por: ���� = �������� ���. 4.2� 
���� = �	�
� + 1� ���� ���. 4.3� 
En este capítulo se analizará como responden los sistemas de primer orden ante la entrada de las 
funciones forzantes vistas en el capítulo 3, empleando transformadas de Laplace y luego 
transformando U(s) para obtener u(t). Se recuerda que los sistemas de primer orden puros y con 
parámetros KP y T constantes son prácticamente inexistentes en los sistemas que se encuentran 
en los procesos químicos por la no linealidad en las relaciones en las variables que las definen, y 
además por el hecho de que cambian con la temperatura, caudales, presiones, etc. Sin embargo, 
el comportamiento de los sistemas de primer orden se estudiará en profundidad ya que será muy 
útil para el modelado de sistemas de orden superior, lo cual se estudiará en capítulos posteriores 
de este material. 
4.2 Respuesta de los sistemas de primer orden ante diversas funciones forzantes 
4.2.1 Respuesta de sistemas de primer orden ante una entrada en escalón 
De acuerdo a lo visto en el capítulo 3, la función escalón de magnitud H, o de Heaviside, viene 
dada por: 
�	�
� + 1� ���� ���� 
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���� = �� ���. 4.4� 
Combinando las ecuaciones 4.3 y 4.4: ���� = �	�
� + 1� ��� � ���. 4.5� 
Normalizando el denominador de la ecuación 4.5 se tiene: 
���� = �	�
� �� + ��� ���. 4.6� 
De la tabla 3.1, fila 14, se tiene que si se hace � = 1 
� , se tiene que: 
 !�"� = �	�
 
 �1 − �$" �� � ���. 4.7� !�"� = �	� �1 − �$" �� � ���. 4.8� 
 �"� = �	� �1 − �$" �� � + ' ���. 4.9� 
Estas ecuaciones ya se habían deducido en las ecuaciones 3.88 a 3.94. Se repiten aquí solo por 
una cuestión de uniformidad del presente capítulo. 
Se recuerda que la ecuación 4.9 se rige por los valores que tomará la variable tiempo “t” relativa 
a la constante de tiempo, T, teniéndose lo ya indicado en las ecuaciones 2.42 a 2.46, pero de 
forma generalizada: 
 �")*� − ' = �+� �1 − �$�,-�� = �+��1 − �$*� = �+�. 0 = 0% 0� �+� ���. 4.10� 
1�2)3� − 14 = 567 �8 − 9$�33�� = 567�8 − 9$8� = 567. :, <=> = <=, >% ?9 567 �9@. A. 88� 
 �")B�� − ' = �+� �1 − �$�C-- �� = �+��1 − �$B� = �+�. 0,95 = 95% 0� �+� ���. 4.12� 
 �")D�� − ' = �+� �1 − �$�E-- �� = �+��1 − �$D� = �+�. 0,993 = 99,3% 0� �+� ���. 4.13� 
 �"→G� − = �+� �1 − �$�H- �� = �+��1 − �$G� = �+�. 1 = 100% 0� �+� ���. 4.14� 
De la ecuación 4.14 se observa que el valor final de estabilización (I → ∞� de la respuesta de !�"�a una entrada en escalón de magnitud H, a lazo abierto, en los sistemas de primer orden será 
KPH. Los valores mostrados en las ecuaciones 4.10 a 4.14 están todos referidos como 
porcentajes de este valor final. De los mismos se puede concluir que en t=T se tiene el 63,2% 
del valor final, el cual es un punto muy importante para, a través de la mencionada respuesta, 
estimar T cuando no puede calcularse como el producto R.C (por esta razón se la resalta en 
negrita). Luego, se observa que ya en t=3T se tiene una respuesta que el 95% de la final, y en 
t=5T un 99,3% del valor final. Esto último permite ver que no es necesario esperar a que 
transcurran tiempos muy grandes para apreciar el valor de estabilización. Tener presentes las 
propiedades de las ecuaciones 4.10 a 4.11 es de suma importancia en el entendimiento de la 
dinámica de sistemas de primer orden y de aquellos de orden superior “auto-regulantes”, ya que 
describen la parte esencial de la respuesta ante entradas en escalón con solo 5 puntos 
característicos. 
 
Recordar que sí con el objetivo de obtener la pendiente en un punto dado, se deriva la ecuación 
4.9 se tiene: 0 !�"�0I = −�	��$" �� �−1
 � = �	�
 �$" �� ���. 4.15� 
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Si queremos obtener la recta tangente a la curva de respuesta al salto escalón en t=0 se tiene: 
K0 !�"�0I L")* = �	�
 �$* �� = �	�
 ���. 4.16� 
La ecuación de la recta tangente en t=0 será: !�"� = M. I + N ���. 4.17� 
M = �	�
 ���. 4.18� 
En t=0, u=0, por lo tanto b=0, por lo tanto: 
 !�"� = �	�
 I ���. 4.19� 
La ecuación 4.19 es la ecuación de una recta tangente que pasa por el origen y que iguala al 
valor de estabilización KPH cuando t=T. Esto constituye una forma de verificar el valor de T y 
también de estimarlo, aunque se debe ser muy cuidadoso en el trazado de la recta tangente, 
como se explicará más adelante en este material. En la figura 4.1 (extraída de la figura 2.4) se 
observa la representación gráfica de la ecuación 4.9 y de la 4.19 y los porcentajes de la 
respuesta final para distintos valores característicos de tiempo. 
 
Figura 4.1 
Por otro lado, otra forma de graficar la respuesta indicada en la ecuación 4.9 se puede emplear 
una planilla de cálculo de MS Excel por ejemplo, colocando los valores de KP, H y T de forma 
constante o “paramétrica” y dándole valores a la variable tiempo “t” hasta como mínimo 5 veces 
T, y de a saltos los suficientemente pequeños como para que la curva sea suave. Si por el 
contrario, se desea emplear el Program CC o MATLAB, se deberá proceder como se indica en 
el siguiente ejemplo, en el cual se indica la forma abreviada de ingreso de la función de 
transferencia Gi(s), la cual, por simplicidad, se denota simplemente como “gi”, 
sobreentendiéndose que es gi(s). El subíndice “i” se agrega debido a que se ingresarán varias 
funciones de transferencia para comparar el efecto del valor de T y el de KP. 
Ejemplo 4.1: Respuesta de sistemas de primer orden a funciones forzantes tipo escalón 
Si se tienen las siguientes funciones de transferencia: 
g1=1/(5*s+1) 
g2=1/(10*s+1) 
g3=1/(20*s+1) 
g4=0.5/(10*s+1) 
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g5=1/(10*s+1) 
g6=2/(10*s+1) 
Aplicar un salto escalónde magnitud H=2 a todas ellas, mostrando en un agrupamiento g1; g2 y 
g3 con el fin de comparar el efecto de T y en otro g4; g5 y g6 con el fin de comparar el efecto de 
KP. 
Resolución con el Program CC: 
Los comandos ingresados son: 
 
Figura 4.1 
La palabra figure se agrega cada vez que se desee que el comando que genera un gráfico no pise 
al anterior, y de esa forma, el programa los va conservando. Después del ingreso de cada 
comando se debe dar “enter”. 
El gráfico de las respuestas de g1; g2 y g3 es: 
 
Figura 4.2 
El gráfico de las respuestas de g4; g5 y g6 es: 
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Figura 4.3 
Observar los valores dados por estas curvas y compararlos con las ecuaciones 4.9 a 4.14. De 
esta manera, se tiene que en la figura 4.2 como en todos los casos KP=1, el resultado de aplicar 
un salto escalón de magnitud H=2, hará que la respuesta de los sistemas tienda a KP*H=1*2=2. 
Sin embargo, a medida que la constante de tiempo T sea mayor, mayor tiempo le demandará al 
sistema alcanzar ese valor. En el caso de la figura 4.3 se tiene que los valores de estabilización 
varían debido a que se tienen diferentes valores de KP, pero siempre verificándose que el valor 
es estabilización en KP*H, así para g4 es 0,5*2=1; g5=1*2=2 y g6=2*2=4. Como en este caso se 
tiene que T=10 unidades de tiempo para las funciones de transferencia g4; g5 y g6, se tiene que 
en t=T=10 para g4 el valor adoptado es !�"� = :, <=>567 , específicamente: 
0,632*KP*H=0,632*1=0,632 para g4; 0,632*KP*H=0,632*2=1,264 para g5; 
0,632*KP*H=0,632*4=2,528 para g6. 
Resolución con el MATLAB: 
Aquí los comandos a ingresar son algo diferentes que en el Program CC, ya que en MATLAB 
no se ingresa la variable “s” ni el símbolo “*” para multiplicar, sino que los polinomios de las 
funciones de transferencia se ingresan entre corchetes, tanto para los numeradores como para los 
denominadores, colocándose los coeficientes de estos polinomios en el orden de “s” decreciente, 
es decir de orden “n” a orden cero, separados por espacios, y nombrando como “num_i” a cada 
numerado y “den_i” a cada denominador . Luego, la función de transferencia se ingresa 
mediante el comando “tf” tal como se muestra a continuación. Finalmente, el salto escalón 
unitario se ingresa con el comando “step”, mientras que la magnitud “H” se introduce 
multiplicando a las funciones de transferencia en virtud de la propiedad de linealidad de las 
transformadas de Laplace. Después del ingreso de cada comando se debe dar “enter”. 
>> num1=[0 1]; 
>> den1=[5 1]; 
>> num2=[0 1]; 
>> den2=[10 1]; 
>> num3=[0 1]; 
>> den3=[20 1]; 
>> num4=[0 0.5]; 
>> den4=[10 1]; 
>> num5=[0 1]; 
>> den5=[10 1]; 
>> num6=[0 2]; 
>> den6=[10 1]; 
>> g1=tf(num1,den1) 
 
 
 
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g1 = 
 1 
 --------- 
 5 s + 1 
Continuous-time transfer function. 
>> g2=tf(num2,den2) 
g2 = 
 1 
 ---------- 
 10 s + 1 
Continuous-time transfer function. 
>> g3=tf(num3,den3) 
g3 = 
 1 
 ---------- 
 20 s + 1 
Continuous-time transfer function. 
>> g4=tf(num4,den4) 
g4 = 
 0.5 
 ---------- 
 10 s + 1 
Continuous-time transfer function. 
>> g5=tf(num5,den5) 
g5 = 
 1 
 ---------- 
 10 s + 1 
Continuous-time transfer function. 
>> g6=tf(num6,den6) 
g6 = 
 2 
 ---------- 
 10 s + 1 
Continuous-time transfer function. 
>> H=2; 
>> step(H*g1,H*g2,H*g3) 
>> figure 
>> step(H*g4,H*g5,H*g6) 
Los gráficos obtenidos son para la respuesta de g1, g2 y g3 se muestran en la figura 4.4, y los de 
de g4, g4 y g6 en la figura 4.5. 
Como puede apreciarse, la carga de los comandos en el Program CC es más natural y sencilla. 
Por este motivo, para casos simples, emplearemos el Program CC. 
Aquí se han usado minúsculas por simplicidad para denotar a las funciones de transferencia, 
pero recordar que la convención adoptada en este material es que se empleará g(t) y G(s), por 
ejemplo. Además, en Program CC y MATLAB, al momento de definir a las funciones de 
transferencia se tiene que, el nombre a la izquierda del igual es libre, siempre y cuando no 
contenga espacios o nombre que el programa interprete como comandos. Como se habrá podido 
apreciar, los comandos time(…) en Program CC o step(…) en MATLAB no grafican el salto 
escalón unitario que aplican. Si se desea graficar al mismo, la forma más elegante de hacerlo es 
definir una función de transferencia unitaria auxiliar, “g_aux(s)=1”, y a la hora de aplicar dichos 
comandos incluir la operación H*g_aux en la sucesión de productos “H*gi”. De esa forma se 
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mostrará la magnitud del salto escalón aplicado, H, ya que la función de trasferencia identidad 
mostrará la salida de forma idéntica a la entrada para todo tiempo, 
 
Figura 4.4 
Los gráficos obtenidos son para la respuesta de g4, g4 y g6: 
 
Figura 4.5 
Si por el contrario, se desease obtener las respuestas en la variable tiempo, se puede hacer uso 
del comando ilt(…) del Program CC “inverse laplace transform”. Como el mismo no aplica 
ninguna función forzante, solo anti-transforma, se debe multiplicar a cada función de 
transferencia por la función forzante H/s, de acuerdo con el álgebra de diagramas en bloque. De 
esta forma se tiene: 
CC>ilt(g1*H/s) 
ans(t) = 2 - 2*exp(-0,2t) for t >= 0 
CC>ilt(g2*H/s) 
ans(t) = 2 - 2*exp(-0,1t) for t >= 0 
CC>ilt(g3*H/s) 
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ans(t) = 2 - 2*exp(-0,05t) for t >= 0 
CC>ilt(g4*H/s) 
ans(t) = 1 - exp(-0,1t) for t >= 0 
CC>ilt(g5*H/s) 
ans(t) = 2 - 2*exp(-0,1t) for t >= 0 
CC>ilt(g6*H/s) 
ans(t) = 4 - 4*exp(-0,1t) for t >= 0 
4.2.2 Respuesta de sistemas de primer orden ante una entrada en forma de rampa 
De acuerdo a lo indicado en el capítulo 3, la función forzante rampa de pendiente “k”, posee la 
siguiente expresión en transformadas de Laplace: 
���� = O�P ���. 4.20� 
Aplicando la misma a un sistema de primer orden se tiene: ���� = �	�
� + 1� ���� = �	�
� + 1� O�P ���. 4.21� 
 
Operando se tiene: 
���� = �	
 �� + ���
O�P = Q�	O
 R 1�� + ���
1�P ���. 4.22� 
Si hacemos a=1/T, se obtiene: 
���� = �	O� 1�� + �� 1�P ���. 4.23� 
Anti-transformando de acuerdo con la tabla 3.1, fila 19 se tiene: 
 !�"� = �	O� 1�P ��I − 1 + �$S"� ���. 4.24� 
Reemplazando a=1/T: 
 !�"� = �	O 1� ��I − 1 + �$S"� = �	O
 �I
 − 1 + �$" �� � ���. 4.25� !�"� = �	O �I − 
 + 
�$" �� � ���. 4.26� 
 �"� = �	O �I − 
 + 
�$" �� � + ' ���. 4.27� 
Para graficar la ecuación 4.27 se puede hacer uso de una planilla de cálculo de MS Excel, por 
ejemplo, dándoles valores a KP y T para definir el sistema de primer orden, a “k” para definir la 
pendiente de la rampa y a los valores de tiempo, graficando de forma superpuesta la rampa de 
entrada, con fines de comparar. Si, por el contario, se usa el Program CC, se debe tener en 
cuenta que el comando time (…), así como el comando step(…) de MATLAB, aplican un salto 
escalón unitario, y lo que deseamos aplicar aquí es una rampa. Para resolver esto, y si la función 
de transferencia del sistema de primer orden es “g1” por ejemplo, se aplica el comando time(…) 
a la función g1*k/s, ya que el escalón unitario, 1/s, aplicado por el comando time(…) hará 
(g1*k/s)*(1/s)=g1*k/s^2. Esta utilidad del comando time(…) se puede emplear virtualmente 
para cualquier función forzante, y generalizando la misma como FT(s),y la función de 
transferencia del proceso como gp(s), se deberá hacer, time(gp*FT*s). Cuando la función de 
transferencia a aplicar es un escalón, FT*s=1; cuando es una rampa FT=1/s^2 y FT*s=1/s, etc. 
Esta operación debe hacerse cuidadosamente y analizando bien las reglas del álgebra de 
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diagramas en bloque que se está aplicando. Más adelante en este material se indicará como usar 
la herramienta SIMULINK de MATLAB, la cual permite armar los diagramas en bloque sin 
necesidad de aplicar su álgebra. La misma se justifica para sistemas más complicados o para 
lazos de control, en donde el álgebra de diagramas en bloque lleva a funciones muy largas. Sin 
embargo, en este nivel es conveniente que la/el alumna/o se ejerciten para dominar dichas 
reglas. 
Para el caso de la función rampa, se ilustrará lo anterior con un ejemplo resuelto en el Program 
CC. 
Ejemplo 4.2: Respuesta de sistemas de primer orden con diferentes ganancias estáticas ante una 
función forzante del tipo rampa con pendiente k=1,5: 
• g4=0.5/(10*s+1) 
• g5=1/(10*s+1) 
• g6=2/(10*s+1) 
En Program CC se deben aplicar los siguientes comandos: 
• CC>g4=0.5/(10*s+1) 
• CC>g5=1/(10*s+1) 
• CC>g6=2/(10*s+1) 
• CC>k=1.5 
• CC>time(g4*k/s,g5*k/s,g6*k/s,1*k/s) 
Notar que nuestra “coma” se coloca como punto en la ventana de comandos del Program CC. 
Además, el último elemento del argumento del comando time(…), i.e. 1*k/s, es para que el 
sistema grafique la rampa aplicada, siendo el valor “1” la función de transferencia identidad. 
En la figura 4.6 se observa como los distintos sistemas de primer orden responden a una misma 
entrada en rampa. De la misma, se puede concluir que: 
a) Las respuestas de las tres funciones de transferencia se tornan rectas para I ≥ 5
, 50 
unidades tiempo en este caso ya que T=10 unid. de tiempo. 
b) Cuando KP> 1, la respuesta termina teniendo una pendiente mayor a la de la rampa de 
entrada (caso de “g6”). 
c) Cuando KP< 1, la respuesta termina teniendo una pendiente menor a la de la rampa de 
entrada (caso de “g4”). 
d) Cuando KP = 1, la respuesta termina teniendo la misma pendiente a la de la rampa de 
entrada (caso de “g5”), tornándose ambas paralelas paraI ≥ 5
. 
 
Figura 4.6 
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Para analizar las conclusiones arriba indicadas, se partirá de la ecuación 4.26 para I ≥ 5
. Esto 
es debido a que para estos valores de tiempo, �$" �� = �$D� �� = �$D = 0,0067, lo cual es 
despreciable a los fines prácticos, por lo tanto, la ecuación 4.26 se reduce a: !�"� = �	O�I − 
� ���. 4.28� !�"� = �	OI − �	O
 ���. 4.29� 
La ecuación 4.29 describe a una recta de pendiente �	O y ordenada al origen −�	O
 (la misma 
es “virtual”) para solo se observaría de proyectar el tramo recto hacia atrás en el tiempo).La 
función forzante rampa tiene, en la variable tiempo, la siguiente ecuación: MU �"� = OI ���. 4.30� 
Por lo tanto, de comparar la ecuación 4.30 con la 4.29 se concluye que la respuesta de un 
sistema de primer orden a una entrada en rampa, tendrá mayor pendiente que la rampa 
de entrada si KP> 1, tendrá la misma pendiente que la rampa de entrada si KP = 1 y menor 
pendiente que la rampa de entrada si KP< 1. 
 
4.2.2.1 Error dinámico 
El efecto denominado “error dinámico” se evidencia cuando ingresa una señal en forma de 
rampa a un sistema de primer orden con KP = 1. Si KP es diferente de uno, no es correcto hablar 
de error dinámico. A modo de análisis, considérese un termómetro de bulbo de mercurio 
sumergido en un baño de agua a temperatura ambiente, contenido en un recipiente aislado 
térmicamente y que puede ser calentado a voluntad por medio de un sistema de resistencias 
eléctricas. Si procedemos a calentar el baño de forma que su temperatura crezca de manera 
uniforme con pendiente “k”, es decir, “k” °C/segundo, se observará que el termómetro, en virtud 
de su constante de tiempo, mostrará en cada instante de tiempo una temperatura algo menor, en 
una cantidad denominada error dinámico. Si llamamos a θT a la temperatura indicada por el 
termómetro, θB a la del baño, A el área de intercambio de calor del bulbo, “m” la masa del 
mercurio (despreciando la del vidrio) y �	su calor específico, se tendrá que la transferencia de 
calor del baño hacia el fluido del termómetro para su calentamiento y dilatación vendrá dada 
por:: M�	 0V�0I = �W�VX − V�� ���. 4.31� 
El coeficiente de transmisión “global” de calor, U, se considerará constante, al igual que el �	 
del mercurio. En el estado estacionario, i.e. cuando la temperatura del fluido del termómetro se 
haya igualado con la del baño, se tendrá: 
M�	 0V�,YY0I = 0 = �WZVX,YY − V�,YY[ ���. 4.32� 
Restando miembro a miembro la ecuación 4.32 de la 4.31 y reordenando, se expresará esta 
última en términos de variables de desviación: 
M�	 0V̅�0I = �W�V̅X − V̅�� ���. 4.33� 
Reordenando la ecuación 4.33 se obtiene una ecuación lineal del primer orden: 
�M�	�W � 0V̅�0I + V̅� = V̅X ���. 4.34� 
El factor 
M�	 �W� posee unidades de tiempo, por ejemplo, segundos: 
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M�	�W ⌈=⌉ _
`Sab°d`Sa�Yb.`ef°d �MP = ��_ g0h� ���. 4.35� 
Por esta razón, se tiene que para este sistema, la constante de tiempo será: 
 = M�	�W ���. 4.36� 
Combinando las ecuaciones 4.36 y 4.35, se tiene: 
 0V̅�0I + V̅� = V̅X ���. 4.37� 
Aplicando transformadas de Laplace a la ecuación 4.37, se tiene: 
�i���� + i���� = iX��� ���. 4.38� 
Reordenando en la forma de función de transferencia: �
� + 1�i���� = iX��� ���. 4.39� i����iX��� = 1�
� + 1� ���. 4.40� 
Con este desarrollo matemático se ha demostrado que la temperatura indicada por un 
termómetro como el descripto, i����, no reaccionará inmediatamente ante cambios en la 
temperatura del baño, iX���. Esto se puede evidenciar en el hecho de que al sumergir un 
termómetro que se halla a temperatura ambiente en agua hirviendo, por ejemplo, le llevará al 
mismo un cierto tiempo en alcanzar la estabilidad. Este tiempo será, como se ha indicado en 
varias oportunidades, de aproximadamente 5T y debido a que, KP=1, ambas temperaturas 
coincidirán, como corresponde para un termómetro que está bien calibrado. En este caso, la 
función forzante aplicada es del tipo escalón, con una magnitud igual a la diferencia entre la 
temperatura ambiente y la de ebullición del agua. El valor de T no interviene en la calidad de la 
medición una vez alcanzada la estabilización, pero si en la velocidad de respuesta ya que a 
medida que este parámetro sea más grande, más tiempo le demandará al termómetro 
estabilizarse. 
Por otro lado, si se parte de agua a temperatura ambiente, y se introduce el termómetro en su 
interior y se va calentando gradual y linealmente el agua a una velocidad de k °C/seg como se 
indicó, se aplicará una función rampa y se observará el siguiente fenómeno: 
En la variable tiempo tendremos que: V̅X = OI ���. 4.41� 
De acuerdo con la ecuación 4.29, cambiando !�"� por V̅� para I ≥ 5
 se tendrá que: V̅� = �	OI − �	O
 ���. 4.42� 
Como KP=1, la ecuación 4.42 queda: V̅� = OI − O
 = O�I − 
� ���. 4.43� 
Comparando las ecuaciones 4.41 con la 4.43 se concluye que la temperatura indicada por el 
termómetro seguirá a la recta de calentamiento del baño pero en un instante de tiempo “t” 
indicará kT °C por defecto, i.e. “de menos”. A esta cantidad se la denomina error dinámico, 
porque no depende de la calibración del instrumento, pero si depende de la velocidad de 
calentamiento a la que se somete al baño y de la velocidadde respuesta del termómetro o 
elemento de medición, la cual viene caracterizada por la constante de tiempo T. De la ecuación 
4.43 se concluye también que la diferencia horizontal entre V̅X y V̅� es justamente la constante 
de tiempo T, mientras que la diferencia vertical es el error dinámico “Ed”, siendo jk = O
. Ver 
figura 4.7 para más detalle. 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 151 
 
Ejemplo 4.3: Cálculo del error dinámico: Supóngase que se tiene un termómetro con una 
constante de tiempo T=1 segundo y una velocidad de calentamiento lineal del baño de 
k=2°C/segundo y que el baño y el termómetro parten de 20°C, calcular: 
a) El error dinámico 
b) La temperatura que tendrá el baño y la que marcará el termómetro al cabo de 30 
segundos. 
Resolución: De acuerdo a los datos se tiene que, estando V en °C y “t” en segundos: jk = O
 = 2 °l��_ ∗ 1��_ = 2°l VX = OI + VX' ���. 4.44� VX = OI + VX' = 2I + 20 = 2 ∗ 30 + 20 = 80°l I = 30 ��_. > 5
 = 5 ��_. 
Por lo tanto, para I > 5
; V� = VX − O
, la temperatura indicada por el termómetro al cabo de 
los 30 segundos será: V� = 80 − O
 = 80 − 2 = 78°l 
Si se desea corroborar el cálculo anterior, se debe aplicar la ecuación 4.27 
V��"� = �	O �I − 
 + 
�$" �� � + V�' ���. 4.45� 
V��"� = O �I − 
 + 
�$" �� � + V�' , �	 = 1 ���. 4.46� 
V��"� = 1 ∗ 2 �30 − 1 + 1 ∗ �$B* �� � + 10°l V��"� = 1 ∗ 2�29 + 1 ∗ 2,54 ∗ 10$�B� + 20°l = 58 + 20 = 78°l 
Se concluye que los resultados arrojados por la ecuación 4.43 coinciden perfectamente con los 
de la ecuación 4.45. 
En la figura 4.8 se presentan las gráficas de las ecuaciones 4.44 y 4.45 confeccionadas en MS 
Excel: 
 
Figura 4.7 
Ed=k*T
T
Rampa de entrada de 
pendiente “k”
Respuesta del sistema 
de primer orden
t > 5*T
Tiempo
E
n
tr
a
d
a
 y
 s
a
li
d
a
 d
e
l 
si
st
e
m
a
 d
e
 p
ri
m
e
r 
o
rd
e
n
0
mi; ui
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Figura 4.8 
4.2.2.2 Error dinámico y la falsa “inercia térmica” 
Otro fenómeno que resulta interesante analizar es el que se presenta si en un momento dado se 
interrumpe la calefacción al baño y se observa el comportamiento del termómetro. En el 
momento exacto del corte de la fuente de calefacción, por ejemplo, una corriente eléctrica que 
circula por una bobina, se observará que el termómetro continuará mostrando una temperatura 
que se incrementa hasta que finalmente la misma se estabiliza. Este fenómeno suele ser mal 
entendido como debido a una “inercia térmica”, lo cual constituye un error debido a que la 
“inercia” como tal solo aplica a la conservación de la cantidad de movimiento lineal y/o angular, 
pero no a la transmisión de calor. La razón por la cual el termómetro continúa aumentando es 
porque el mismo está atrasado en k*T °C respecto de la temperatura real del baño. Al cortar la 
calefacción, la aislación en el recipiente hará que la temperatura en el mismo se mantenga 
aproximadamente constante y el termómetro responderá como lo hace un sistema de primer 
orden ante una entrada en escalón. Si luego de un dado intervalo de tiempo, mayor a 5T , en 
donde el baño queda a la última temperatura, VXo, se comienza a enfriar el baño mediante algún 
dispositivo de remoción de calor con una tasa constante k’, la cual tendrá signo negativo por ser 
un enfriamiento, por ejemplo -2°C/segundo, el fenómeno que se observará es que al enfriarse el 
baño, el termómetro marcará de más que éste en una cantidad igual a k’*T. en la figura 4.9 se 
muestran estos fenómenos. 
Como conclusión general, se indica que el error dinámico se presentará en todos aquellos casos 
en donde se tenga medición de una variable cuyo valor fluctúa en el tiempo en una forma de 
“diente de serrucho”, los cuales pueden imaginarse como rampa hacia arriba y hacia abajo. En 
referencia a esto, se observa que como Ed=kT, el valor de “k” no depende del instrumento, si no 
de con qué pendiente la señal de entrada está variando en forma de rampa; pero la constante de 
tiempo T depende de la construcción del termómetro y determina la velocidad de respuesta del 
mismo, razón por la cual se deben emplear elementos de medición de temperatura que tengan la 
constante de tiempo más baja posible. Aun así, las vainas de acero inoxidable donde los 
medidores de temperatura suelen estar ubicados, para protección de los mismos y cambio con el 
proceso en operación, agregan una constante de tiempo extra, que termina por aumentar la 
constante de tiempo total del elemento de medición. 
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
0 5 10 15 20 25 30
°C
t (segundos)
Temp. del baño. vs la indicada por el termómetro
temp. baño (°C)
temp. term. (°C)
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Figura 4.9 
4.2.3 Respuesta de sistemas de primer orden ante una entrada pulso unitario Zpq�2�[: 
En el capítulo 3, se indicó que la función pulso unitario puede visualizarse como formada por 
“dos saltos escalón”, uno hacia arriba en el instante t=0 y de altura H=1/A y otro hacia abajo en 
t=A de la misma magnitud, retornando al valor de partida, de modo de que el área bajo la 
“curva” cuadrada sea de (1/A)*A=1. De acuerdo con la ecuación 3.31 se tiene que, en 
transformadas de Laplace: 
ℒstW�I�u = tW��� = 1W Z1 − �−�W[� ���. 3.31� 
Un sentido físico para esta función forzante, podría ser, por ejemplo, la de abrir una válvula de 
vapor rápidamente una determinada magnitud y por un determinado tiempo y luego retornar la 
apertura también rápidamente al valor original. El hecho de que el área inscripta debajo de c la 
“curva” sea la unidad es solo a los fines de una normalización, y obliga a ajustar la magnitud del 
salto en virtud del tiempo de duración “A”, expresado en las unidades de tiempo que 
correspondan. En este sentido, cuando la función forzante pulso unitario se aplica a sistemas de 
primer orden, es fundamental comparar el valor relativo de “A” con respecto del valor de la 
constante de tiempo “T” del sistema, ya que, si W ≥ 5
 el sistema de primer orden tendrá 
tiempo de desarrollar completamente, a los fines prácticos, su respuesta, mientras que a medida 
que la duración “A” sea menor a este valor, esto no ocurrirá. La aplicación de la función 
forzante pulso unitario tal como se ha expresado en la ecuación 3.31 no se puede aplicar 
fácilmente mediante el comando time(…) del Program CC o el step(…) de MATLAB, aun 
haciendo el producto�. tW���ya queel término 9$vq no se puede aplicar como tal debido a la 
forma en la cual estos programas resuelven los polinomios en la variable “s” que derivan 
de transformar las ecuaciones diferenciales mediante las Transformadas de Laplace. De 
esta manera, el término,�$�w debe aproximarse mediante un cociente de polinomios, 
denominado “aproximación de Padé”. Esta aproximación fue desarrollada por el matemático 
francés Henry Padé cerca del año 1890, y permite hacer las aproximaciones con un determinado 
orden “N”, que será el orden de los polinomios que conforman el numerador y denominador. A 
medida que el orden “N” de la aproximación es mayor, “mejor” será la aproximación, pero más 
75
76
77
78
79
80
81
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
°C
Tiempo (segundos)
temp. baño (°C)
temp. term. (°C)
Corte del calentamiento
Inicio del enfriamiento
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 154 
 
larga será la ecuación resultante a resolver por el programa encuestión. En particular, para el 
caso de �$�w, la aproximación será: 
�$�w = 1 − �wP� � + �wfx � �P − �wCyx� �B + ⋯1 + �wP� � + �wfx � �P + �wCyx� �B − ⋯ ���. 4.47� 
Por ejemplo, la aproximación con orden N=1: 
�$�w ≅ 1 − 0,5W�1 + 0,5W� ���. 4.48� 
Cuando se desea aproximar el tiempo muerto puro, en la ecuación 4.48 se debe reemplazar 
simplemente “A” por “L”, quedando: 
�$�| ≅ 1 − 0,5}�1 + 0,5}� ���. 4.49� 
Recordar que esta semejanza con el tiempo muerto es debida a que la función pulso unitario se 
halla compuesta por la diferencia entre dos escalones superpuestos, estando el segundo 
desplazado “A” unidades de tiempo a la izquierda respecto del primer salto. Este tratamiento del 
tiempo muerto se ampliará cuando se trate el mismo como función de transferencia. 
La aproximación de la ecuación 4.47 puede hacerse fácilmente por medio de los programas 
Program CC y MATLAB ingresando el comando pade(A,N) o pade(L,N), habiendo 
especificado previamente “A”, o “L”, y “N”. En el caso del Program CC, el orden máximo de la 
aproximación que el programa admite es N=10, y si por ejemplo, se toma el caso de A=1, se 
tendrá de la ecuación 3.31, que: 
tw��� = �1 − �−��� ���. 4.50� 
Recordando además que el comando time(…) aplica la función 1/s, si se hace time(gi) siendo 
gi=1-pade(1,10), se obtendrá la gráfica de la función forzante pulso unitario como la de la figura 
4.10, en la cual en rojo se indica la función pulso unitario que se quiere lograr, y en azul la que 
la aproximación de Padé proporciona. De la misma se puede concluir que, para este caso, la 
aproximación de Padé no resulta una buena opción, aún con un orden elevado. Si se emplean 
valores de “n” menores, las aproximaciones serán aún de menor calidad. Dicha aproximación si 
resultará de mucha utilidad cuando se modele tiempo muerto, como se desarrollará más adelante 
en este material. 
 
Figura 4.10 
Si esta función forzante se aplica a un sistema de primer orden con función de transferencia de 
por ejemplo gp=1/(0.2*s+1), aplicando los comandos time(gi,gi*gp), la respuesta obtenida será 
la que se muestra en la figura 4.11: 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 155 
 
 
Figura 4.11 
De la figura 4.11 se puede observar que la respuesta del sistema de primer orden (en rojo) se 
halla compuesta por dos partes, primero la respuesta al salto con magnitud +1 partiendo de 0 y 
luego, la respuesta al asalto escalón de magnitud -1 partiendo de un valor de 1. Nótese que se 
eligió un T=0,2 unidades de tiempo, por lo que 5T=1, siendo A=1. Sin embargo, la misma no es 
precisa por lo antes indicado sobre las limitaciones de la aproximación de Padé. 
Por lo antes expuesto, se analizará la función pulso unitario como formada por dos saltos 
escalón, uno hacia arriba (+H) y otro hacia abajo (-H), superpuestos. De esta forma, se tiene 
que: 
a) La respuesta de un sistema de primer orden “u1(t)” para el salto escalón “hacia arriba” 
aplicado en t=0, será, de acuerdo con la ecuación 4.9: 
 ��"� = �	� �1 − �$" �� � + �' ���. 4.9� 
b) La respuesta de un sistema de primer orden “u2(t)” para el salto escalón “hacia abajo” 
aplicado en t=A, vendrá, para este caso, dada por: 
 P�"� = ��")w�−�	� �1 − �$�"$w� �� � ���. 4.51� 
Siendo M�"� = � �� , siendo � = 1 W� ���. 4.52� 
Nótese que la respuesta dada por la ecuación 4.51 se halla desplazada “A” unidades de tiempo a 
la derecha y parte del último valor que u1 habrá alcanzado cuando “se dispare” el escalón hacia 
abajo, es decir, u1(t=A). Si como ejemplo, se tiene que A=1; H=1, KP=1 y T=0,2 unid. tiempo, en 
MS Excel se puede construir una gráfica de respuesta como la que se muestra en la figura 4.9. 
 
Figura 4.9 
Si por ejemplo, se reduce el valor de A, se presentará la situación en la cual el sistema de primer 
orden, con T=0,2 unid. tiempo, no tendrá tiempo suficiente para desarrollar completamente su 
respuesta al primer salto escalón, cuando ya ingresa el segundo salto hacia abajo. A su vez, el 
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
m
u
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 156 
 
valor de H es igual a1/A, ya que para el pulso unitario A*H=1, por lo que una reducción de A 
implicará un aumento de H. Esto último es solo a los fines de normalización, para indicar, por 
ejemplo, el ingreso de una determinada cantidad de material (caudal de materia o energía 
multiplicado por el tiempo en donde dure la aplicación). De esta forma, para el mismo sistema 
de primer orden y para valores de A de 0,75, 0,5 y 0,25 se tendrán las respuestas mostradas en 
las figuras 4.10, 4.11 y 4.12 respectivamente, observándose como a medida que A disminuye, el 
valor alcanzado por u(t) es menor en términos relativos a la entrada m(t). 
 
Figura 4.10 
 
Figura 4.11 
 
Figura 4.12 
Se reitera que el hecho de que la función pulso sea unitaria, i.e., la reducción en el tiempo de 
aplicación obliga a aumentar su altura tal que H=1/A, no es mandatorio, es solo a los fines de 
una normalización. A su vez, la progresiva reducción del tiempo de duración A(*) y consecuente 
aumento de H, podrían hacer inferir que la respuesta u(t) también alcanzaría un valor máximo 
cada vez más alto a medida que A se reduce, pero en el apartado siguiente, al analizar el efecto 
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
m
u
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
m
u
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
m
u
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 157 
 
de la función forzante impulso unitario o Delta de Dirac, W → 0 => � → ∞, se clarificará esta 
situación. 
Un sentido físico importante que posee el pulso unitario generalizado a magnitudes que se 
pueden encontrar en la realidad, es que si el mismo “ingresa”, i.e. es aplicado, a un sistema de 
retardo, por ejemplo, de primer orden, se verificará que si su duración “A” es significativamente 
menor que 5*T la salida del sistema prácticamente no evidenciará cambio apreciable. 
(*) ¡Precaución!: Es muy importante que el/la lector/a tengan presente el contexto en el que se 
aplica el símbolo “A”, puesto que en el caso de la función pulso unitario el mismo representa el 
tiempo transcurrido entre el salto escalón +H y el –H, mientras que en el balance de masa de un 
sistema hidráulico puede usarse para denotar la sección transversal del recipiente involucrado y 
para el caso de balances que involucren la transferencia de calor, se usará para representar el 
área a través de la cual la energía térmica se transporta o intercambia. 
4.2.4 Respuesta de sistemas de primer orden ante una entrada impulso unitario o delta de 
DiracZp�2�[: 
Como se indicó en el apartado 3.4.4, ecuación 3.34, la función forzante impulso unitario en 
transformadas de Laplace posee la siguiente expresión: t��� = 1 ���. 3.34� 
Las consideraciones “físicas” de su aplicación se han explicado oportunamente y también en el 
apartado anterior, 4.2.3, y consisten en que W → 0 => � → ∞, siendo el “área” inscripta bajo la 
curva igual a 1, lo cual puede variarse a voluntad simplemente multiplicando por una constante. 
Al aplicar esta función forzante a un sistema de primer orden, se tendrá lo siguiente: 
���� = �	�
� + 1� ���� = �	�
� + 1� t��� = �	�
� + 1� . 1 ���. 4.53� 
Normalizando la ecuación 4.53 se tiene: 
���� = �	
Z� + 1 
� [ . 1 ���. 4.54�Si hacemos � = 1 
� ; la ecuación 4.54 queda: 
���� = �	
 1�� + �� . 1 ���. 4.55� 
De acuerdo con la fila 6 de la tabla 3.1 se tiene: 
 !�"� = �	
 �$S" = �	
 �$" �� ���. 4.56� 
O bien, saliendo de las variables de desviación: 
 �"� = �	
 �$" �� + ' ���. 4.57� 
En la ecuación 4.57, ' hace referencia al valor que tiene la variable de salida “u” al momento 
de aplicar el salto unitario. Esta ecuación es de aplicación sencilla en una planilla de cálculo 
como MS Excel, por ejemplo. De la misma se desprende que para t=0, !�"� = �	 
� . Por otro 
lado, para aplicar la función impulso unitario con el Programa CC por ejemplo, si se toma el 
mismo caso de función de transferencia de primer orden del apartado anterior 4.2.3, 
gp=1/(0.2*s+1), se deberá hacer time(gp*s), ya que el escalón 1/s aplicado por el comando 
time(…) quedará en la aplicación de la función forzante impulso unitario cuya transformada de 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 158 
 
Laplace es igual a la unidad al multiplicar por “s”, es decir (s*1/s)=1. De esta manera en el 
Program CC se deberán aplicar los comandos que se indican a continuación: 
CC>gp=1/(0.2*S+1) 
CC>time(s*gp) 
La respuesta obtenida se muestra en la figura 4.13: 
 
Figura 4.13 
En la figura 4.13 se observa que la respuesta parte de KP/T=1/0.2=5. Debido a que las 
transformadas de Laplace se aplican estrictamente a partir de 0+, el Program CC no muestra la 
parte de la respuesta en donde u(t) sube verticalmente desde cero hasta KP/T. Debe notarse que, a 
diferencia de la función pulso desarrollada en el apartado 4.2.3, el hecho de que el impulso 
unitario se aplique en el instante t=0 y con altura “infinita”, hace que el sistema de primer orden 
responda de forma diferente, i.e. sube rápidamente en un instante desde 0 hasta KP/T y luego 
decae exponencialmente, siempre hablando en términos de variables de desviación. 
4.2.5 Respuesta de sistemas de primer orden ante una entrada senoidal o sinusoidal: 
El análisis de la respuesta de sistemas, en este caso de primer orden, ante la aplicación de 
funciones forzantes de tipo sinusoidales, resulta de utilidad en el denominado “análisis en 
frecuencia”, el cual es empleado en la evaluación de la estabilidad de los lazos de control, lo 
cual se detalla más adelante en este material. En los lazos de control, especialmente en el caso 
del control por realimentación o feedback, el propio controlador, la configuración del lazo y el 
propio sistema que se está controlando darán lugar a funciones sinusoidales que “viajan” a 
través del mismo en el intento por parte del controlador de llevar el valor de la variable 
controlada (c o PV) hacia el valor del set-point (r o SP), como se mostró mediante un ejemplo 
en el capítulo 1, a pesar de que ninguno de los elementos que lo componen se comporte de 
forma aislada sinusoidalmente. En el análisis en frecuencia se introducen a propósito las 
funciones sinusoidales para analizar el comportamiento de cada sistema, elemento o del mismo 
“proceso”. 
De esta forma, la función forzante sinusoidal será del tipo: MU �"� = ��g��� = ��g��I� ���. 4.58� 
Generalizando la ecuación 4.58con una amplitud “A1” se tendrá: MU�"� = W���g��I� ���. 4.59� 
O bien: M�"� = W���g��I� + M* ���. 4.60� 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 159 
 
Aplicando transformadas de Laplace de acuerdo con la ecuación 3.39 se tiene: 
���� = W� ��P + �P ���. 4.61� 
Es importante remarcar, que la función de la ecuación 4.59, puede modelarse como generada 
por un vector que parte del origen (0,0) en un sistema cartesiano (x,y) y que se extiende con una 
magnitud o módulo A1. Si este vector se halla posicionado con un ángulo � con respecto al eje 
“x”, se tendrá que la proyección vertical contra el eje “y” será igual a A1.sen(�).Para transformar 
a esto último en una función periódica, debe visualizarse a ese vector girando con sentido anti-
horario con velocidad angular “ω” constante, siendo que ω= �/t. A un vector que gira de esta 
forma se lo denomina fasor. De esta forma, se verificará que�=ω.t y por lo tanto la función se 
tornará periódica, es decir, y(t)= A1.sen(ω.t). A su vez, se recuerda que el tiempo en el que el 
mencionado vector tarda en dar una vuelta o revolución completa se denomina periodo, el cual 
denotaremos “P” (no confundir con P de “proporcional”), siendo que la inversa de ese período, 
1/P, es la frecuencia “f”, medida en “hertz=seg-1”, es decir, f=1/P. Por lo tanto, como para una 
vuelta completa el fasor barre un ángulo de �=2π radianes, y que t=P unidades de tiempo, 
ω=(2π/P�=2πf. A la frecuencia “ω” se la denomina frecuencia angular, y se mide en 
radianes/segundo. 
Por lo tanto, si se aplica la función forzante de le ecuación 4.61 a un sistema de primer orden, se 
tendrá: ���� = �	�
� + 1� ���� = �	�
� + 1� W� ��P + �P ���. 4.62� 
Para anti-transformar la ecuación 4.62 y hallar la respuesta !�"� se debería aplicar el método de 
Heaviside. De esta forma si se expande en fracciones parciales la ecuación 4.62 se tendrá: 
���� = l�� + 1 
� +
lP� + �� + lB� − �� ���. 4.63� 
Donde C1, C2 y C3 son constantes que se deberán calcular. De la tabla 3.1 y aplicando la 
propiedad de linealidad, se tiene que: 
 !�"� = l��$" �� + lP�$��" + lB���" ���. 4.64� 
Introduciendo la fórmula de Euler: �$��" = �h���I� − ���g��I� ���. 4.65� ���" = �h���I� + ���g��I� ���. 4.66� 
Operando algebraicamente con las ecuaciones 4.62 a 4.66 y buscando valores particulares 
arbitrarios de la variable “s” para calcular C1, C2 y C3se acepta sin demostración que: 
 !�"� = �	W��
P�P + 1 �$" �� − �	W��
P�P + 1 �h���I� + �	W�
P�P + 1 ��g��I� ���. 4.67� 
Debido a que paraI > 5
, el término�$" �� es despreciable, se puede escribir: 
 !�"� = − �	W��
P�P + 1 �h���I� + �	W�
P�P + 1 ��g��I� ���. 4.68� 
Aplicando la identidad trigonométrica siguiente: ���h��N� + �P��g�N� = �B��g�N + �� �B = ���P + �PP 
� = I_$� ����P� 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 160 
 
Finalmente, se tiene que la ecuación 4.68 se convierte en las expresiones que dan la respuesta 
estable de un sistema de primer orden ante una entrada sinusoidal: 
1U�2� = 5�q8�3>�> + 8 v9���2 + �� �9@. A. <�� � = 2�$8�−�3� = −2�$8��3� �9@. A. �:� 
En las ecuaciones 4.69 y 4.70 el ángulo � se denomina ángulo de “desfasaje”, y físicamente 
debe interpretarse como que el sistema de primer orden responderá a una entrada sinusoidal 
dando por salida otra sinusoidal, pero desplazada un ángulo igual a �. El signo negativo del 
mismo indica que la onda de salida está retrasada respecto de la entrada. El mismo depende de 
la frecuencia de la sinusoidal forzante aplicada � y de la constante de tiempo del sistema de 
primer orden, T. El desfasaje de la ecuación 4.70 está expresado en radianes, para llevarlo a 
grados sexagesimales debe multiplicarse por el factor (360/2π). 
A su vez, la sinusoidal de salida posee una amplitud A2, la cual se explica a continuación. La 
ecuación 4.69 puede escribirse de la siguiente forma: !�"� = WP��g��I + �� ���. 4.71� 
Siendo la amplitud de la onda de salida A2: 
WP = �	W�√
P�P + 1 ���. 4.72� 
De acuerdo con la ecuación 4.72, A2 depende tanto de KP, A1, T y �. Debe notarse que la 
frecuencia angular de la onda de salida es la misma que la de la entrada (esto es válido para 
sistemas lineales) y se observa que a medida que esta frecuencia suba la amplitud de la onda de 
salida disminuirá y el desfasaje aumentará en valor absoluto, y con signo negativo. Cuando se 
trate el análisis en frecuencia,se verá que a medida que la frecuencia angular de la onda 
sinusoidal de entrada alcanza valores significativamente elevados, A2 tenderá a cero y el 
desfasaje a -90° sexagesimales de forma asintótica. 
A su vez es interesante evaluar la relación entre la amplitud de salida sobre la de entrada será: WPW� = �	√
P�P + 1 ���. 4.73� 
Debido a que las deducciones matemáticas que nos llevaron a las ecuaciones 4.69 y 4.70 son 
algebraicamente trabajosas, se dispone de un “atajo”que consiste en hacer s=j.ω directamente en 
la función de transferencia G(s) del sistema de primer orden, para obtener la relación de las 
amplitudes A2/A1 y el desfasaje �. Esta igualdad se hace debido a que, como se indicó al inicio 
del capítulo 3, cuando se trabaja con funciones “armónicas” estables en el tiempo, i.e. seno y 
coseno, la transformada de Laplace se reduce a la de Fourier. Esta simplificación posee como 
desventaja que no incluirá al término transitorio de dicha respuesta. Sin embargo, se elegirá este 
método debido a que dicho término transitorio no es demasiado relevante en el estudio que se 
emplea en control automático. Se aclara que para desarrollar el mismo, el/la lector/a debe poseer 
un conocimiento mínimo de números complejos. De esta forma, efectuando dicho reemplazo y 
operando, se tiene que: 
���)��� = �	�
�� + 1� = �	���
 + 1� �−��
 + 1��−��
 + 1� = �	 − ��
�	
P�P − ��
 + ��
 + 1 
����� = �	 − ��
�	
P�P + 1 = � �	
P�P + 1� − � � �
�	
P�P + 1� ���. 4.74� 
El módulo del número complejo dado por la ecuación 4.74 se calcula en base al teorema de 
Pitágoras: 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 161 
 
������� = �� �	
P�P + 1�P + � −�
�	
P�P + 1�P = ��	P + �P
P�	
P
�
P�P + 1�P = 1
P�P + 1 ��	P�1 + �P
P� 
������� = �	√
P�P + 1 ���. 4.75� 
Nótese que en pocos pasos matemáticos se ha llegado al mismo resultado que la ecuación 4.73. 
El argumento del número complejo dado por la ecuación 4.74 se obtiene en base a la tangente y 
viene dado por: 
�=arg������� = I_$�  ¡MZ�����[¢�Z�����[£ = I_$� ¤
− ��¥¦�f�f§�¥¦�f�f§� ¨ = I_$��−�
� ���. 4.76� � = −I_$���
� ���. 4.77� 
Ver la figura 4.15 para visualizar mejor lo precedentemente expuesto. 
Estas ecuaciones permiten visualizar las respuestas por ejemplo, haciendo uso de una planilla de 
cálculo. Sin embargo, mediante el Program CC se pueden ingresar directamente las funciones 
en la variable “s”. A continuación se provee de dos ejemplos de cómo obtener !�"� por medio 
del comando time(…) y visualizar tanto la respuesta transitoria como la estacionaria para 
distintos valores de frecuencia angular. 
Ejemplo 4.4: Respuesta se sistemas de primer orden ante una entrada sinusoidal: Si se 
tiene un sistema de primer orden que describe el comportamiento de la temperatura de salida de 
un calentador, θ2, con respecto al caudal de vapor de calefacción, FV, tal que KP=1 
°C/(Kg/min.), T=10 segundos y se hace variar dicho caudal de vapor de forma sinusoidal, de 
modo de que el valor máximo del mismo sea FV, máx=20 Kg/minuto, y el valor mínimo sea de FV, 
mín.=10 .Kg/minuto, verificándose que la variación en el caudal de entrada posee un período P1 
igual a 10segundos, obtener la gráfica de como variará la temperatura del fluido a la salida del 
calentador, en función del tiempo. El valor del caudal de vapor antes de hacer que el mismo 
varíe sinusoidalmente es de 15 Kg/min, mientras que el de la temperatura θ2 es de 70°C (valores 
medios de cada variable, respectivamente). 
Resolución: De los datos proporcionados se tiene: 
A1=0.5*(FV, máx -FV, mín.)=0.5*(20-10)=5 Kg/minuto 
P1=10 segundos 
ω=2π/P=2π/�10 segundos)=0,6283 rad/seg. 
Ingresando estos resultados y los demás datos proporcionados en el Program CC en la forma de 
los comandos que se muestran, se obtienen las respuestas de la figura 4.14. Debe recordarse que 
al usar el comando time(…) multiplicamos por “s” cuando queremos anular el efecto de “1/s” 
del salto escalón unitario aplicado por la misma, y por “1” cuando se quiere introducir la 
función de transferencia identidad para visualizar la función forzante aplicada. El hecho de 
multiplicar por la unidad no es un paso obligatorio y se hace solo a los fines de dejar evidencia 
de los pasos conceptuales correctos. En la figura 4.15 la curva en azul representa la variación 
sinusoidal del caudal de vapor, FV (entrada), y en rojo la de la temperatura θ2 (salida), De una 
observación cuidadosa de la misma, puede concluirse que: 
a) Ambas variables parten de cero, al ser variables de desviación. 
b) Los valores positivos y negativos se deben a lo anterior, siendo que en la realidad por el 
valor de cero se halla el valor medio de cada variable. 
c) El cambio en la temperatura de salida, θ2, es también sinusoidal y tarda 25 segundos 
aprox. en estabilizarse en la respuesta “estacionaria” (observar como el punto medio de 
la curva baja hasta ser cero). 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 162 
 
d) Ambas respuestas poseen el mismo período, i.e. 10 unidades de tiempo que en este caso 
son segundos, lo que es equivalente a decir quela frecuencia de la respuesta del sistema 
de primer orden es la misma a la frecuencia de la función sinusoidal aplicada. 
CC>A1=5 
CC>P1=10 
CC>w1=2*pi()/P1 
CC>w1 
 w1 = 0,6283185 
CC>M1=A1*w1/(w1^2+s^2) 
CC>Kp=1 
CC>T=10 
CC>G=Kp/(T*s+1) 
CC>time(s*M1*1,s*M1*G) 
 
 
Figura 4.14 
e) El valor máximo alcanzado por θ2(t), en la zona estable, es de 0,7856 °C (el mismo se 
obtiene de medirlo en el Program CC) mientras que el máximo de FV(t) es de 5 Kg/min. 
Este efecto en la amplitud de salida es debido a la variación continua de FV y depende 
de la frecuencia de esta variación, ω, siendo tanto más acentuado cuanto mayor sea ω. 
Conceptualmente se debe a que al sistema de primer orden le lleva un tiempo responder, 
y si FV varía más rápidamente, el sistema no tiene tiempo de desarrollar su respuesta. 
Este efecto es muy importante y se estudiará en detalle más adelante. Debe notarse que 
si el incremento en FV de +5 Kg/min hubiese sido en la forma de escalón mantenido por 
un tiempo de 5T=50 segundos o mayor, θ2 hubiese sufrido un incremento de 5°C. 
f) La función θ2(t) se halla desplazada a la derecha con respecto de FV(t). Por ejemplo, si 
se mide el tiempo, en la zona de la respuesta estable, entre un máximo en FV(t) y el 
correspondiente máximo en θ2(t) se tendrá que, para este ejemplo, el mismo se halla 
entre 2,2 y 2,3 unidades de tiempo (segundos). Por ejemplo, si se toman 2,25 segundos 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 163 
 
y se multiplican por la frecuencia de 0,6283 rad/seg se tiene un desfasaje de -1,415 
rad=-81°. Verificando esto con la ecuación 4.77 se tiene un valor de tg-1(0,6283*10)=-
1.413 rad, lo cual es coincidente. Es importante que no se confunda el desplazamiento 
hacia la derecha, o atraso, con el tiempo muerto puro antes visto. Si una señal sinusoidal 
se aplica a un elemento de tiempo muerto puro, su salida tendrá la misma amplitud que 
la entrada, y el desfasaje expresado en unidades de tiempo (*) será igual al tiempo 
muerto, a diferencia de lo que se ha observado para el caso del sistema de primer orden. 
Este efecto es también muy importante y se estudiará en detalle más adelante. 
(*) Recordar que el desfasaje entre dos ondas debe expresarse en forma de ángulo para tener en 
cuenta a la frecuencia “ω”. El mismo se calcula multiplicando a “ω” por el desfasaje en tiempo, 
de esta forma se tiene que � = −��IP − I��, siendo �, el ángulo de desfasaje, expresado en 
radianes, y t1 el tiempo en donde severifica un pico de la sinusoidal de entrada y t2 el tiempo del 
correspondiente pico de la sinusoidal de salida, ambas en la parte estable de las mismas. El 
signo negativo significa retraso. En la figura 4.15 se ilustra como ambas ondas sinusoidales se 
representan como vectores rotatorios o fasores. 
 
Figura 4.15 
Como se indicó, el efecto de la frecuencia de la onda de entrada es tal que a mayor frecuencia 
menor será la amplitud de la onda de salida y mayor será el desfasaje (en valor absoluto, pero 
tendrá signo negativo) expresado como ángulo. En el siguiente ejemplo se ilustra esto, 
trabajando sobre el caso anterior: 
Ejemplo 4.5: Efecto de la frecuencia de la sinusoidal de entrada en la respuesta del sistema 
de primer orden: 
a. Período de variación de FV=10 segundos 
b. Período de variación de FV=20 segundos 
c. Período de variación de FV=40 segundos 
d. Período de variación de FV=60 segundos 
Resolución: 
a. ω1=2π/10=0,6283 rad/seg. 
b. ω2=2π/20=0,3142 rad/seg. 
c. ω3=2π/40=0,3142 rad/seg. 
d. ω4=2π/60=0,1047 rad/seg. 
Los comandos en Program CC son: 
CC>A1=5 
CC>P1=10 
CC>P2=20 
CC>P3=40 
CC>P4=60 
CC>w1=2*pi()/P1 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 164 
 
CC>w2=2*pi()/P2 
CC>w3=2*pi()/P3 
CC>w4=2*pi()/P4 
CC>M1=A1*w1/(w1^2+s^2) 
CC>M2=A1*w2/(w2^2+s^2) 
CC>M3=A1*w3/(w3^2+s^2) 
CC>M4=A1*w4/(w4^2+s^2) 
CC>time(s*M1*1,s*M1*G) 
CC>figure 
CC>time(s*M2*1,s*M2*G) 
CC>figure 
CC>time(s*M3*1,s*M3*G) 
CC>figure 
CC>time(s*M4*1,s*M4*G) 
Las respuestas obtenidas se muestran en las figuras 4.16-a, b, c y d, todas para un tiempo de 100 
segundos, pero para frecuencias decrecientes, o períodos crecientes. Puede apreciarse 
claramente el efecto de la frecuencia sobre la reducción de la amplitud y el del aumento del 
desfasaje. Notar también que para un mismo intervalo de tiempo, a medida que la frecuencia se 
reduce, se tiene un menor número de ciclos en el mismo intervalo de tiempo de 100 segundos 
analizado en el ejemplo. 
 
(a) ω1=2π/10=0,6283 rad/seg. 
 
(b) ω2=2π/20=0,3142 rad/seg. 
 
(c) ω3=2π/40=0,1571 rad/seg. 
 
(d) ω4=2π/60=0,1047 rad/seg. 
Figura 4-16 
 
 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 165 
 
4.2.6 Análisis en frecuencia de sistemas de primer orden: 
4.2.6.1 Introducción: 
Como se indicó anteriormente, resultará de utilidad a la hora de analizar la estabilidad en el 
ajuste de controladores, el evaluar como un dado sistema, de forma aislada, responde a la 
entrada de funciones sinusoidales en un amplio espectro de frecuencias angulares, desde valores 
prácticamente cero a valores muy altos, nominalmente infinitos. En general, este análisis se hace 
en particular sobre la función de transferencia del “proceso”, es decir aquella que relaciona la 
salida del controlador (“y” u OP) con la variable controlada (“c” o PV), pero puede aplicarse a 
cualquiera de los elementos del lazo de control, y con sistemas de primer orden a sistemas de 
orden superior y con combinaciones con tiempo muerto, etc., como se detallará más adelante en 
este material. 
La razón de este análisis es que el mismo permitirá estimar los valores de ajuste de un dado 
controlador PID que produzcan que el lazo de control responda de forma inestable ante un 
cambio en el valor de consigna o set-point (“r” o SP) o ante una entrada de una perturbación. En 
este mismo sentido, dados un conjunto de parámetros 
Las funciones forzantes aplicadas en este análisis son del tipo sinusoidal debido a que el mismo 
lazo podrá generar este tipo de respuestas en todas sus variables frente a los cambios indicados 
en el párrafo anterior. La forma específica de las mismas dependerá de cuan cerca el ajuste del 
controlador esté de la condición de inestabilidad. 
El hecho de esta auto-generación de funciones sinusoidales, y la persistencia de las mismas en el 
lazo, llevo al matemático y físico sueco Harry Nyquist (*) a desarrollar, en 1932, una teoría 
denominada “teoría de la regeneración”, es decir, que en un lazo en estado estacionario con 
variables estables en el tiempo, un cambio en forma de escalón en el set-point, por ejemplo, 
podrá hacer que el mismo comience a oscilar, demandándole un tiempo en atenuar las 
oscilaciones y alcanzar un nuevo equilibrio con una variación sinusoidal en el valor de “c” (y 
del resto de las variables del lazo consecuentemente), o bien quede oscilando “perpetuamente” 
(inestabilidad marginal), o peor aún, las oscilaciones de “c” irán aumentando en amplitud 
(inestabilidad propiamente dicha). Nyquist sistematizó la forma de estimar, por medio de un 
diagrama en el plano complejo, qué “margen” tiene un sistema o proceso que se halla dentro de 
un lazo de control por realimentación dado para que el mismo se torne inestable como 
consecuencia de la acción del controlador. Además de Nyquist, quien realizó aportes 
significativos a estos análisis fue el ingeniero estadounidense Hendrix Wade Bode, quien en 
1938 desarrollo un sistema de diagramas que permiten realizar el mismo análisis que el de 
Nyquist. La forma de realizar estos análisis se conoce como criterios de estabilidad de Nyquist y 
de Bode, respectivamente, los cuales se estudiarán más adelante en este material. 
Debe tenerse presente que el objetivo, tanto del diagrama de Nyquist como el de Bode, es de 
mostrar el comportamiento visto en la figura 4-16, es decir, como la relación de amplitudes 
A2/A1 y el desfasaje φ varían a medida que la frecuencia angular de la onda aplicada, ω, va se 
hace variar desde cero a infinito. La amplitud de la onda de entrada A1, se mantendrá constante 
en todo momento, y para cada valor de ω se tendrá un par de ondas sinusoidales, la de entrada y 
la de salida. Para cada una de ellas quedará definidos dos parámetros, la mencionada relación de 
amplitudes A2/A1 y el desfasaje φ. Nyquist mostrará estos dos parámetros en la forma de fasores 
o vectores rotatorios, ya que ambas sinusoidales pueden ser representados por medio de los 
mismos y el desfasaje φ quedará representado en la separación angular de los mismos, todo en 
un mismo gráfico. Bode, por el contrario representará a una función del cociente A2/A1 en 
función del log(ω) en un gráfico y a φ en función del log(ω) en otro gráfico. Ambos muestran la 
misma información pero la forma de emplear cada uno presenta ciertas ventajas particulares que 
hace que en determinadas ocasiones se elija uno u otro. (*) Se pronuncia “naicuist”. 
4.2.6.2 Diagrama de Nyquist de sistemas de primer orden: 
Las bases e implicancias completas del análisis de Nyquist poseen una complejidad que excede 
los fines de este material, razón por la cual se presentará el mismo de la forma que resulta más 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 166 
 
útil para evaluar la estabilidad de los lazos de control. En este diagramase representa el lugar 
geométrico en el plano complejo del fasor ©⃗����(vector rotatorio que representa a la sinusoidal 
estable de salida), con respecto del fasor ©⃗Y���con magnitud unitaria, i.e. A1=1 (vector rotatorio 
que representa a la sinusoidal estable de entrada con amplitud unitaria) estando el primero 
desplazado un ángulo φ del segundo, recordando que el desfasaje� = −I_��
� para sistemas 
de primer orden. Debe recordarse que tanto ©⃗Y��� como ©⃗���� estarán girando en sentido anti-
horario con velocidad angular ω, y el segundo vendrá un ángulo φ detrás del primero (por eso se 
habla de atraso de fase). 
El fasor ©⃗Y��� se dibujará posicionado en el eje real y el de salida, ©⃗����, φ radianes o grados 
sexagesimales en sentido anti-horario, por ser un atrasode fase. Matemáticamente, se debe 
hacer s=jω en G(s) por lo antes expuesto en este capítulo y en el capítulo 3, con lo que se tiene: 
���)��� = ���������� = ©⃗�����©⃗Y���� = �	�
�� + 1� ���. 4.78� 
Operando: ©⃗������
�� + 1� = �	©⃗Y���� ���. 4.79� ©⃗��
�� + 1� = �	©⃗Y ���. 4.80� ©⃗� + �
�©⃗� = �	©⃗Y ���. 4.81� 
La ecuación 4.81 indica que el segundo término del primer miembro se halla a 90° del primero 
por estar multiplicado por “j”. En la figura 4.17 se representa lo anterior: 
 
Figura 4.17 
La traza semicircular en el cuarto cuadrante es el diagrama de Nyquist de un sistema de primer 
orden dado. Los fasores son auxiliares y no se representarán. Se puede observar que si se aplica 
el teorema de Pitágoras, considerando solo los módulos de los fasores componentes y no el 
efecto de j2=-1 a un dado triángulo rectángulo formado por ©⃗�, �
�©⃗� y �	©⃗Y se tiene: 
�©⃗��P + �
�©⃗��P = ��	©⃗Y�P ���. 4.82� 
�©⃗��P + 
P�P�©⃗��P = �	P�©⃗Y�P ���. 4.83� 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 167 
 
�
�©⃗��P�1 + 
P�P� = �	P�©⃗Y�P ���. 4.84� �©⃗���©⃗Y� = WPW� = �	√
P�P + 1 ���. 4.85� 
Se observa que las ecuaciones 4.75 y 4.85 son coincidentes. A su vez, en los módulos de los 
fasores que conforman cada uno de los triángulos rectángulos se tiene que: 
I_��� = �
�©⃗���©⃗�� = |
�| ���. 4.86� 
Debido a que se ha indicado que el desfasaje es en atraso en el caso de sistemas de primer 
orden, la coherencia matemática obliga a expresar a la ecuación 4.86 de la siguiente forma: I_��� = −
� ���. 4.87� 
Por lo tanto se tiene: � = −I_$��
�� ���. 4.88� 
Las ecuaciones 4.77 y 4.88 son coincidentes. 
De la observación de la figura 4.17 debe concluirse que cada punto que conforma el trazado 
semicircular, el cual es particular para sistemas de primer orden, resume la respuesta del sistema 
en cuestión para un dado valor de ω, siendo que el valor de la misma se halla de forma 
implícita, es decir no indicada directamente. Además, de la ecuación 4.85 puede concluirse que 
a medida que ω se incrementa, el módulo de ©⃗� disminuye, es decir, que cuando ω=0, ©⃗� =�	©⃗Y como indica la ecuación 4.81, mientras que cuando � → ∞, �©⃗�� → 0 y � → − ¬ 2� 
radianes o � → −90°, es decir cuando � → ∞ el fasor de salida tiene una magnitud 
prácticamente nula y se halla apuntando hacia abajo, a lo largo del semieje complejo negativo. 
Esto, expresado en términos de sinusoidales será que la sinusoidal de salida tendrá amplitud que 
tenderá a cero, pero la cresta de su onda se verificará 90° después de cuando se produzca la 
cresta de la sinusoidal de entrada. 
El diagrama de Nyquist puede también visualizarse también de forma sencilla por medio de 
coordenadas polares, siendo la “x” la parte real y la “y” la parte imaginaria. De esta forma se 
tendrá: ¢� = �©⃗��. �h���� ���. 4.89� ¡M = �©⃗��. ��g��� ���. 4.90� 
�©⃗�� = �	√
P�P + 1 �©⃗Y� ���. 4.91� � = −I_$��
�� ���. 4.92� 
Recordar que en el análisis estándar de Nyquist, �©⃗Y� = W� = 1 
Los valores característicos en el diagrama de Nyquist, con�©⃗Y� = 1, con serán: � → 0 => �©⃗�� = �	; � = −I_$��0� = 0 ���. 4.93� 
� = 1 
� => �©⃗�� = �	�
P ����P + 1
= �	√2 = 0,707�	; � = −I_$��1� = −45° ���. 4.94� 
� ≫ 1 => �©⃗�� ≅ �	
� ���. 4.95� � → ∞ => �©⃗�� → 0; � = −I_$��∞� = −90° ���. 4.96� 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 168 
 
La tabla 4.1 se resumen de los resultados de las ecuaciones 4.93 a 4.96 Z�©⃗Y� = 1[: 
Resumen de los valores del diagrama de Nyquist para sistemas de primer orden 
Frecuencia angular Amplitud de salida �©⃗�� Desfasaje � → 0 �	 → 0 � = 1 
� 0,707�	 −45° 
� ≫ 1 �	 
�� Depende del valor de � 
� → ∞ → 0 −90° 
Tabla 4.1 
4.2.6.2.1 Construcción de diagramas de Nyquist 
Si se desea construir un diagrama de Nyquist para un dado sistema “desde cero” por medio de la 
aplicación de funciones sinusoidales en un amplio rango de frecuencias y las mediciones de las 
correspondientes sinusoidales de salida, se incurrirá en una tarea que, al menos, insumirá mucho 
tiempo, y más aún en mucho casos no podrá ser efectuado de esta forma debido a los invasivo 
que resulta en el funcionamiento del sistema o proceso en cuestión. Sumado a esto, los 
diagramas de Nyquist, así también como los de Bode, son solo válidos en todo el espectro de 
frecuencias para sistemas lineales, es decir con parámetros constantes. Por estos motivos, se 
suele emplear el método de primero obtener la función de transferencia del proceso, y en base a 
la misma usar un programa como el Program CC o el MATLAB para, rápidamente, obtener el 
diagrama de Nyquist, por medio de la ejecución del comando nyquist(g), siendo “g” la función 
de transferencia analizada. En los siguientes ejemplos, se muestran cómo aplicar este 
procedimiento en el Program CC. A su vez se ilustran los efectos de KP y de T en las formas y 
propiedades de los diagramas de Nyquist resultantes. 
Ejemplo 4.6: Realizar el diagrama de Nyquist del siguiente sistema de primer orden: KP=1 
adimensional y T=5 segundos. 
Los comandos en el Program CC son: 
CC>g1=1/(5*s+1) 
CC>nyquist(g1) 
La respuesta dada por el programa se muestra en la figura 4.18. 
 
Figura 4.18 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 169 
 
En el menú “Change/Plot” se pueden variar los límites y divisiones de la escala. En particular, 
eligiendo la opción “Grid” y seleccionando “Polar”, la figura 4.18 cambia para dar la 4.19, en la 
cual se muestra el mismo diagrama pero en coordenadas polares: 
 
Figura 4.19 
Para “leer” los puntos que conforman el trazado semi-circular, debemos ir a “Plot/Trace On” o 
bien clic en el ícono (si este ícono se pulsa repetidamente se activa y desactiva 
alternativamente, estando en rojo cuando está activado y en negro cuando está desactivada). En 
las figuras 4.20, 4.21 y 4.21 se muestran, como al hacer clic en diferentes partes sobre el trazado 
con el “Trace On” activo, se colocará un rombo rojo en el lugar, indicando al pié del gráfico una 
serie de datos como ser frecuencia angular “ω”, componente real e imaginaria, módulo del fasor ©⃗� en valor real y en “decibeles” (esta magnitud se explicará en el apartado de diagramas de 
Bode) y el desfasaje o “fase” (phase en inglés) en grados sexagesimales. 
 
Figura 4.20 (ω0) 
 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 170 
 
 
Figura 4.21 (ω1/T) 
 
Figura 4.22 (ω“∞”) 
Analizando las figuras 4.18 a 4.22 debe notarse lo siguiente: 
a) El diagrama comienza en 1, con ω=0, debido a que Kp=1 por dato del ejemplo 
b) En los puntos de ω=0 rad/seg y ω=0,2 rad/seg se verifican los valores indicados en las 
ecuaciones 4.93 y 4.94 respectivamente. 
c) A medida que ω aumenta, la longitud entre el (0,0) y el punto correspondiente, va 
disminuyendo hasta ser cero para el caso de ω“∞” (el programa solo calcula hasta el 
valor de ω=39,81 rad/seg., el cual es suficientemente grande como para apreciar los 
efectos antes indicados). 
d) El punto marcado en negro en la posición (-1,0) es indicado automáticamente por el 
programa y es un punto de gran interés para evaluar la estabilidad de los sistemas de 
control, como se estudiará más adelante en este material. 
4.2.6.2.2 Efecto de la ganancia estática Kp en la forma del diagrama de Nyquist. 
En el siguiente ejemplo se ilustra como el valor de Kp influye en el módulo del fasor ©⃗�: 
Ejemplo 4.7: Realizar los diagramas de Nyquist de los siguientes sistemasde primer orden con 
diferentes valores de la ganancia estática Kp y el mismo valor de la constante de tiempo T: 
a) Kp=1 adimensional; T=10 unidades de tiempo. 
b) Kp=2 adimensional; T=ídem anterior. 
c) Kp=3 adimensional; T=ídem anterior. 
Ingresando los siguientes comandos en el Program CC: 
CC>g1=1/(10*s+1) 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.4-Sistemas de primer orden 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 171 
 
CC>g2=2/(10*s+1) 
CC>g3=3/(10*s+1) 
CC>nyquist(g1,g2,g3) 
 
Figura 4.23 
Aquí se observa como el valor de Kp afecta a la amplitud de la salida, y por lo tanto al tamaño 
de cada uno de los diagramas de Nyquist. En este ejemplo se evidencia también que el programa 
por defecto aplica una amplitud de entrada unitaria al hacer el análisis de Nyquist. Lo visto en 
este ejemplo se desprende directamente de las ecuaciones 4.85 y 4.88. 
4.2.6.2.3 Efecto de la constante de tiempo en la forma del diagrama de Nyquist. 
En el siguiente ejemplo se ilustra como el valor de T influye en el módulo del fasor ©⃗�: 
Ejemplo 4.8: Realizar los diagramas de Nyquist de los siguientes sistemas de primer orden con 
el mismo valor de ganancia estática Kp, pero diferente constante de tiempo T: 
a) Kp=1 adimensional; T=5 unidades de tiempo. 
b) Kp=1 adimensional; T=10 unidades de tiempo. 
c) Kp=1 adimensional; T=15 unidades de tiempo. 
CC>g1=1/(5*s+1) 
CC>g2=1/(10*s+1) 
CC>g3=1/(15*s+1) 
CC>nyquist(g1,g2,g3) 
En la figura 4,24 se muestra la respuesta del sistema: 
 
Figura 4.24 
De la figura 4.24 puede observarse que las tres respuestas ocupan el mismo lugar geométrico. 
La forma de corroborar que las 3 están juntas es posicionándose con el cursor “Trace On” sobre 
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ellas y pulsando las flechas hacia arriba o hacia abajo del teclado hará que el sistema pase de 
línea en línea, es decir, “line 1”  “line 2”  “line 3”, siguiendo el orden en el cual las 
funciones de transferencia fueron dispuestas al ejecutar el comando nyquist(…) arriba usado. 
Esto debe interpretarse como que se verifican los mismos valores de módulo y desfasaje pero 
a distintos valores de frecuencia angular dependiendo del valor de la constante de tiempo de 
cada sistema. Esto es debido a la combinación de ω y de T que hagan que ωT y ω2T2tengan el 
mismo valor para cada caso. En las figuras 4.25, 4.26 y 4.27 se muestra esto para el punto 
particular del desfasaje de -45°. 
 
Figura 4.25 
 
Figura 4.26 
 
Figura 4.27 
Cuando se analicen los sistemas de orden superior y las combinaciones de sistemas de primer 
orden y de órdenes superiores con tiempo muerto podrá apreciarse la utilidad del diagrama de 
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Nyquist como herramienta para la predicción y evaluación de la estabilidad de los mismos en lo 
que respecta a su control. 
4.2.6.3 Diagrama de Bode de sistemas de primer orden 
En el diagrama de Bode emplea dos gráficos para representar los resultados del análisis en 
frecuencia. En el primero a la relación de amplitudes A2/A1 antes mencionada en la forma de 
“decibeles” en el eje de las ordenadas del primer gráfico en función del logaritmo en base diez 
de la frecuencia angular ω, mientras que en segundo gráfico se representa el desfasaje en grados 
sexagesimales en función del log(ω). Otra forma de representar estas dos propiedades, se 
hacerlo en un mismo gráfico, colocando en el eje izquierdo los decibeles y en el derecho el 
desfasaje. La relación de amplitudes en decibeles se simboliza con N(dB) y se calcula como se 
indica en la ecuación 4.97. En la misma, se indica que la relación A2/A1 se indica con la letra N, 
es decir N=A2/A1. 
k̄° = 20±h_¯ = 20±h_ �WPW�� ���. 4.97� 
El desfasaje recordemos venía dada por: � = −I_$��
�� ���. 4.88� 
La razón por la cual se coloca en las abscisas el log(ω) es para poder “comprimirla”, es decir, 
colocar en un espacio razonable, debido a que se cubre un rango de frecuencias desde 
prácticamente cero hasta valores muy grandes, virtualmente infinito. 
De acuerdo con la ecuación 4.73 se tiene que: WPW� = �	√
P�P + 1 ���. 4.73� 
Combinando con la ecuación 4.73 con la 4.97 se tiene: 
k̄X = 20±h_ � �	√
P�P + 1� ���. 4.98� 
De la ecuación 4.98 se desprenden las siguientes conclusiones en función del valor de la 
frecuencia angular ω: ¯kX��→*� = 20±h_�	���. 4.99� 
¯kX��)²-� = 20±h_ ⎝
⎛ �	�
P ����P + 1⎠
⎞ = 20±h_ ��	√2� = 20±h_�	 − 20±h_√2 
¯kX��)²-� = 20±h_�	 − 3 ���. 4.100� 
¯kX��≫�� = 20±h_ � �	√
P�P + 1� ≅ 20±h_ � �	√
P�P� = 20±h_ � �	
��= −20±h_��� + 20±h_ ��	
 � ���. 4.101� 
La expresión indicada en la ecuación 4.99 se denomina “asíntota de bajas frecuencias”. La 
misma no depende de ω, razón por la cual, frente al log(ω) será una horizontal (ver figura 4.28). 
Notar también que cuando Kp=1, la misma pasará por cero decibeles. El valor de frecuencia 
ω=1/T se denomina “frecuencia de corte”, debido a que para valores de frecuencia por debajo de 
la misma la amplitud de salida no es significativamente menor a la de entrada, mientras que para 
valores por encima de la misma, la reducción de la amplitud de salida con respecto de la de 
entrada a medida que ω aumenta se evidencia notoriamente. Por este motivo, la frecuencia de 
corte divide la zona de “bajas frecuencias” (ω < 1/T) de la zona de “altas frecuencias” (ω > 1/T) 
Esta conclusión muestra claramente que hablar de bajas o altas frecuencias, en el caso del 
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análisis en frecuencia, debe siempre referirse al sistema que se está estudiando, en este caso, a 
través de la constante de tiempo T. Desde un punto de vista intuitivo someter a un sistema a una 
entrada sinusoidal y observar si el mismo puede o no seguirla, es algo que depende la velocidad 
de respuesta del mismo, la cual viene dada, para sistemas de primer orden, pro la constante de 
tiempo T, relativa a la velocidad con la cual la sinusoidal varía, es decir su frecuencia angular, 
ω. 
La expresión 4.100 indica que cuando ω=1/T habrá una distancia de 3 decibeles entre la asíntota 
de bajas frecuencias y el valor que toman la relación de amplitudes en decibeles a ese valor de 
frecuencia angular (ver figura 4.28). Esta propiedad es importante desde el punto de vista de que 
constituye una forma rápida de dibujar en diagrama de Bode de un sistema conociendo sus 
valores de Kp y T, como se explicará más adelante en este material. 
La ecuación 4.101 se denomina “asíntota de altas frecuencias”. Observando cuidadosamente a la 
misma se puede concluir que si se representa gráficamente frente al log(ω) será una recta de 
pendiente -20 dB y ordenada al origen 20log(Kp/T). Sin embargo, el valor de pendiente de esta 
asíntota se expresa en decibeles/octava, siendo una octava la distancia en frecuencia que existe 
entre un valor “alto” de ω, digamos ω1, y un valor de frecuencia ω2 el cual es el doble de ω1, es 
decir ω2=2.ω1. De esta forma se tiene: 
¯kX��²� = −20±h_���� + 20±h_ ��	
 � ���. 4.102� 
¯kX��f)P�²� = −20±h_�2��� + 20±h_ ��	
 � ���. 4.103� 
Haciendo la diferencia entre las ecuaciones 4.103 y 4.102 se tiene: ¯kX��f)P�²� − ¯k°��²� = −20±h_�2��� + 20±h_���� = −20±h_2 = −6 0N ���. 4.104� 
De la ecuación 4.104 se tiene que la pendiente de la asíntota de altas frecuencias para los 
diagramas de Bode de sistemas de primer orden es: 
Pendiente asíntota altas frecuencias = −6 0N h�I�»�� ���. 4.105� 
En el caso particular de ω=1/T la asíntota de altas frecuencias