03-Capítulo 03-Edición 2021-rev 25 01 2021 - Manuel Encinos

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Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.3-Transformadas de Laplace 
y diagramas en bloque 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 108 
 
Capítulo 3 
Transformadas de Laplace y diagramas en bloque 
3.1 Introducción 
Para hacer un manejo más simple de las ecuaciones diferenciales que describen los 
componentes de un lazo de control, ya sea de forma individual (i.e. efecto de la variable 
manipulada y las de perturbación sobre el proceso o sistema a controlar, controladores en sí 
mismos, etc.) como combinada bajo la forma de lazos cerrados, se emplean dos herramientas 
matemáticas, a saber: 
1. Transformadas de Laplace. 
2. Diagramas en bloque. 
3.2 Transformadas de Laplace 
Como se indicó en el capítulo 2, la descripción dinámica de los sistemas se efectúa 
principalmente mediante el uso de ecuaciones diferenciales. A medida que los sistemas se 
tornan más complejos, dichas ecuaciones se vuelven muy engorrosas, así como también su 
combinación en la conformación de los modelos de los lazos de control. Debido a esto, el 
método que el control automático clásico ha venido usando para hacer dicha descripción 
matemática es el de transformar las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas. Esta 
transformación se hace por medio de la transformada de Laplace, la cual consiste en una 
operación matemática de integración definida en la variable tiempo, haciendo que la misma 
desaparezca como tal, resultando en el cambio de la misma por otra variable denotada con la 
letra “s”. Dicha variable “s” toma valores en el campo de los números complejos, es decir 
s=a+jb, siendo, “a” la parte real, “b” la parte imaginaria y � = √−1. En los próximos párrafos 
se desarrollará y explicará la lógica de este método, y la ventaja que el mismo aporta. Por esta 
misma razón, los principales simuladores usados en control (MATLAB/Simulink; Program 
Classic Control (CC); entre otros) emplean el lenguaje en la variable “s”. Resulta entonces muy 
importante poder familiarizarse con este lenguaje para poder efectuar la simulación de los 
sistemas y lazos de control antes mencionados, así como su ajuste o sintonía (i.e. encontrar los 
valores óptimos de los parámetros Kc, Ti y Td). 
 
La definición simplificada que utilizaremos de la transformada de Laplace de una función f(t) es: 
ℒ ��	
�� = 
 �−�
∞0+ �	
��
 	��. 3.1� 
El operador ℒ[f(t)] denota la transformación de una dada función en la variable tiempo f(t). Por 
razones que se explicará más adelante, se aplicará a funciones expresada en términos de 
variables de desviación. En la ecuación 3.1, el factor ���� se denomina núcleo o kérnel de la 
transformada. La razón por la cual se emplea este operador, se intenta resumir en la siguiente 
evolución histórica de descubrimientos y desarrollos matemáticos: 
• En 1572 el matemático italiano Rafael Bombelli realiza los primeros cálculos 
empleando números imaginarios. 
• En 1722 el matemático inglés Roger Cotes publicó la interpretación geométrica en el 
plano complejo de los números imaginarios y desarrolló la ecuación que los relaciona 
con los logaritmos: �� = ln����	�� + ��� 	��! 	��. 3.2�. 
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• En 1741 el matemático suizo Leonhard Euler expresó la misma ecuación, pero en la 
forma de la potencia compleja del número homónimo “e”, en lo que se denomina 
Fórmula de Euler: �# = �$%&' = �$����	�� + ��� 	��! 	��. 3.3� �&' = ���	�� + ��� 	�� 	��. 3.4� ��&' = ���	�� − ��� 	�� 	��. 3.5� 
• En 1744 el matemático francés Pierre Simon Laplace presentó su primer trabajo de las 
transformadas que llevan su nombre como propuestas a resoluciones de ecuaciones 
diferenciales, pero luego abandonó la investigación. 
• En 1811 el matemático francés Jean-Robert Argand desarrolló la representación gráfica 
e interpretación geométrica de la fórmula de Euler en el plano complejo (ver figura 3.1). 
En la figura 3.1 se ha reemplazado a la parte imaginaria “b” por un ángulo, ϕ (radianes). 
Este ángulo se puede reemplazar a su vez por la siguiente ecuación * = +. 
, 
introduciendo el análisis de los vectores rotatorios o fasores, como se detallará a 
continuación: �&, = �&-� = ���	+
� + ��� 	+
� 	��. 3.6� ��&, = ��&-� = ���	+
� − ��� 	+
� 	��. 3.7� 
 
 Para un fasor de módulo ρ, las ecuaciones 3.6 y 3.7 quedan: 0�&, = 0�&-� = 0���	+
� + 0��� 	+
� 	��. 3.8� 0��&, = 0��&-� = 0���	+
� − 0��� 	+
� 	��. 3.9� 
 
 
Figura 3.1 
 
Al hacer * = +. 
 el fasor de la figura 3.1 gira con una frecuencia angular +, siendo las 
proyecciones verticales funciones del �� 	+. 
� y las horizontales funciones del ���	+. 
�. 
Además, la propiedad de que al multiplicar con el operador “j” se puede ir rotando 90° 
sexagesimales en el plano, ya que si a un número posicionado en el eje real, lo multiplicamos 
por -1, “rotará” 180° para posicionarse en el semieje real negativo, siguiendo este razonamiento, 
si el número real “a” está en semieje real positivo, “j.a” habrá rotado 90° en el sentido anti-
horario; “j2.a” estará en el semieje real negativo al girar otros 90° y así sucesivamente. 
 
La demostración de la ecuación 3.3 se hace por medio del desarrollo de las funciones por medio 
del método de las series de Taylor. Quien decida profundizar en cuestiones puramente 
matemáticas podrá consultar fuentes como Wikipedia/Formula de Euler. 
 
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Las propiedades arriba expuestas llevaron al desarrollo de lo que se considera las antecesoras de 
las transformadas de Laplace, las cuales son las transformadas de Fourier. Las mismas fueron 
desarrolladas por el matemático francés Joseph Fourier en 1822 y toman la forma dada en la 
ecuación 3.10: 
 
34�	��5 = 3	-� = 1√26 
 ��&-�
%7
�7 �	���
 	��. 3.10� 
 
Las transformadas de Fourier hacen la transformación de funciones en la variable tiempo a la 
variable frecuencia angular +, lo cual es muy utilizado en análisis de ondas sonoras, por 
ejemplo, ya que permite aproximar funciones periódicas, por ejemplo, una onda cuadrada, por 
medio de una suma de senos y cosenos a través de la metodología de las series de Fourier, 
siendo que a mayor número de términos de la serie, mejor será la aproximación. Debe 
recordarse que, en esencia, el núcleo ��&-� se relaciona con estas dos funciones trigonométricas 
a través de la fórmula de Euler (ver figura 3.2) (para más información se puede remitir a 
Wikipedia/Transformadas de Fourier y Wikipedia/Series de Fourier). 
 
Figura 3.2 
Observar que el núcleo de la transformada de Fourier solo posee la parte imaginaria en el 
exponente, mientras que el núcleo de la transformada de Laplace cuenta además con la 
parte real. Esta parte real hace que el poder descriptivo de la misma sea mayor, porque tiene en 
cuenta la parte de decaimiento exponencial que describe el estado transitorio, es decir: 
���� = ��	$%&'�� = ��$���&'� 	��. 3.11� 
La estrecha relación entre las transformadas de Fourier y las de Laplace se observa en la obra 
Ingeniería de Control Moderna, de Katsuhiko Ogata, en la cual, la variable “s” es definida 
como: � = 8 + �+ 	��. 3.12� 
Siendo 8 la parte real y + la parte imaginaria. Esta notación tomará sentido en lo que se conoce 
como análisis en frecuencia de sistemas, en el cual se estudia cómo responden los sistemas que 
forman parte de los lazos de control ante la entrada de funciones sinusoidales de frecuencia +creciente desde valores muy bajos (cercanos a cero) a valores muy elevados. En estos casos, y 
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cuando se desea estudiar solo la respuesta estable de los sistemas, es decir, sin los efectos 
transitorios, se hace � = �+. En este punto la transformada de Laplace se reduce a la de Fourier. 
 
Así como se ha indicado que el paso de la variable tiempo a la variable “s” se denomina 
transformación, la operación matemática de pasar la solución obtenida en la variable “s” 
nuevamente a la variable tiempo, se la denomina anti-transformación. En la figura 3.3 se 
muestra conceptualmente la lógica de estos pasos. 
 
 
Figura 3.3 
 
Fue el ingeniero inglés Oliver Heaviside quien comenzó a emplear las transformadas de Laplace 
en un intento de resolver ecuaciones diferenciales en sistemas en vibración. Heaviside descubrió 
también que los operadores “d/dt” se podían tratar como variables algebraicas simbolizadas con 
“D”, i.e. “D=d/dt”. Combinando ambos aportes, desarrolló el método de resolver ecuaciones 
diferenciales a través de la transformación de las mismas a ecuaciones algebraicas en la variable 
“s”, resolviendo los polinomios obtenidos y anti-transformando la solución obtenida al dominio 
de la variable tiempo. 
Todo lo expuesto precedentemente muy probablemente le plantee al/la lector/a un desafío al 
pretender encontrar un sentido lógico e intuitivo a las transformadas de Laplace. Las 
transformadas de Fourier no se usarán en este material, simplemente se traen a colación de 
modo de dar un marco más lógico al desarrollo de las transformadas de Laplace. Para los fines 
del control automático de procesos, las mismas son una herramienta matemática muy 
importante de modelado de sistemas, la cual posee las siguientes ventajas: 
• Proveen de una forma simple y elegante para la resolución de ecuaciones diferenciales 
lineales resultantes del modelado en estado transitorio de los sistemas y procesos 
químicos. 
• Permite el desarrollo sencillo de modelos de entrada-salida, sumamente útiles para en el 
estudio, modelado y resolución de problemas de control automático. 
En los apartados siguientes se desarrollarán ejemplos que ilustrarán la forma de efectuar las 
operaciones de transformación del dominio tiempo al dominio “s”. Observar que la lógica 
primaria de resolución de estos problemas es la siguiente: 
1) Modelado de los sistemas o procesos en la variable tiempo (ecuaciones diferenciales). 
2) Transformación de las mismas al dominio “s” por medio de las transformadas de 
Laplace y obtención de ecuaciones algebraicas y modelos de entrada-salida. 
3) Modelado en la variable tiempo de las funciones que ejercerán los cambios en el 
sistema o proceso bajo análisis (i.e. cambio en el set-point del controlador, entrada de 
una perturbación, etc.). 
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4) Transformación de las funciones del paso 3 al dominio “s” (surgimiento de las 
funciones “forzantes”). 
5) Combinación, en el dominio “s”, de las funciones que describen el comportamiento del 
sistema o del lazo de control y el de la/s función/es forzante/s. 
6) Manipulación algebraica (división en fracciones parciales) y anti-transformación a la 
variable tiempo o empleo de programas específicos (MATLAB/Simulink, Program CC). 
Ejemplo 3.1: Aplicación de las transformadas de Laplace: 
Ejemplo 3.1.1: Si �	�� = ��$� , para 
 ≥ 0; la transformada de Laplace será: 
ℒ ��	
�� = 
 �−�
∞0 �−J
�
 = 
 �−�
∞
0 �−J
�
 = 
 �−	�+J�
∞
0 �
 = −1� + J 4�−	�+J�
50∞ 
ℒ��−J.
! = 1� + J 	��. 3.13� 
Ejemplo 3.1.2: Si �	�� = �$.� , para 
 ≥ 0; la transformada de Laplace será: 
ℒ ��	
�� = 
 �−�
∞0 �J
�
 = 
 �−�
∞
0 �J
�
 = 
 �−	�−J�
∞
0 �
 = −1� − J 4�−	�+J�
50∞ = 1� − J 
ℒ��J.
! = 1� − J 	��. 3.14� 
De estos ejemplos se puede observar que al resolver la integral, la variable “s” se trata como una 
constante al resolver la integral en la variable tiempo. 
3.3 Modelos “entrada-salida”: 
En referencia a los sistemas entrada-salida que las transformadas de Laplace permiten obtener, 
se indica que en este material se analizarán sistemas, y combinación de los mismos, que 
relacionan una variable de entrada o “causa” y una de salida o “efecto”. Estos sistemas se 
denominan de simple entrada, simple salida, o SISO (simple input, simple output). Los sistemas 
más complejos son de múltiple entrada, múltiple salida o MIMO (multiple input, multiple 
output). 
 
3.4 Funciones forzantes: 
Como se indicó en los capítulos 1 y 2, en control automático se analiza cómo responden los 
sistemas o procesos ante cambios en las variables manipuladas o de perturbación a lazo abierto 
o bien cómo responde un lazo cerrado de control ante un cambio en el set-point o bien ante la 
entrada de una perturbación, es decir, ante el cambio del valor de una magnitud que afecta a la 
variable controlada sin ser la variable manipulada. 
Para poder realizar estos análisis en el dominio de las transformadas de Laplace, la aplicación de 
los mencionados cambios se lleva a cabo por medio de la aplicación de funciones forzantes 
sobre los sistemas a analizar. A continuación, se detallan las principales funciones forzantes 
definidas en la variable tiempo y su transformación al dominio de la variable “s”. Las funciones 
forzantes se simbolizarán con la letra χ(t) o χ(s), según corresponda. 
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3.4.1 Función forzante salto escalón o de Heaviside: 
La misma se simboliza con H(t) en la variable tiempo y H(s) en el dominio de la transformada 
de Laplace (*3.1), y define matemáticamente de la siguiente forma: 
K	�� = L0 ∀ 
 < 0K ∀ 
 ≥ 0O 	��. 3.15� 
Esta función forzante es la más importante, y utilizada, en el análisis en control automático. En 
la ecuación 3.15, el valor H, es un número real, por lo que puede tomar valores positivos y 
negativos; es decir el la magnitud del cambio aplicado de forma súbita, y luego la función 
permanece en ese valor de forma indefinida. En la figura 3.4 se representa H(t): 
 
Figura 3.4 
En la figura 3.4 se muestran ambos valores en t=0 como vacíos, es decir que la misma no está 
definida en este punto. Esto es una razón estrictamente matemática. Desde el punto de vista 
físico, nos interesa entender que el valor de una magnitud dada, por ejemplo el valor de un 
caudal de vapor, el valor del set-point a un controlador, cambia de un valor a otro en una 
fracción de tiempo. Además, debe notarse que en la figura 3.4, H(t) está expresada en términos 
de variables de desviación, razón por lo cual parte de cero. Físicamente debe interpretarse como 
que H(t) va de un valor H0 a uno Hf, siendo KP − KQ = K. Debe recordarse que el/la lector/a 
debe familiarizarse con la expresión en variables de desviación, ya que es la forma en que 
presentan los resultados los programas específicos estándares (MATLAB/Simulink y Program 
CC). 
 
Si se aplica entonces la operación de transformadas de Laplace, o simplemente transformando, a 
la ecuación 3.15 se tiene: 
 
ℒ ��	
�� = 
 �−�
∞0 K�
 = K 
 �−�
∞
0 �
 = R K−�S O�−�
|0∞ = K� 	��. 3.16� 
K	�� = K� 	��. 3.17� 
Si H=1 se tiene el salto escalón unitario. Esta función es muy utilizada en los análisis de 
sistemas a lazo abierto y a lazo cerrado. Matemáticamente se tendrá: 
ℒ ��	
�� = 
 �−�
∞0 1�
 = 1 
 �−�
∞
0 �
 = R 1−�S O�−�
|0∞ = 1� 	��. 3.18� 
 
(*3.1) No debe confundirse H(t) o H(s) con h(t) o h(s), respectivamente, siendo que las últimas se 
emplean para denotar el nivel de líquido de un sistema. 
 
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3.4.2 Función forzante rampa: 
La misma se simboliza con R(t) en la variable tiempo y R(s)en el dominio de la transformada de 
Laplace (*3.2), y define matemáticamente de la siguiente forma: 
U	�� = L 0 ∀ 
 < 0V
 ∀ 
 ≥ 0O 	��. 3.19� 
En la figura 3.5 se muestra la representación de la ecuación 3.19. 
 
Figura 3.5 
Físicamente la rampa hace referencia a un incremento gradual y a tasa constante de una 
magnitud, como por ejemplo la temperatura de una masa de fluido que se va calentando 
gradualmente o bien el set-point a un controlador en el calentamiento de un horno de proceso, el 
cual debe calentarse desde temperatura ambiente hasta la de operación a una tasa dada para 
evitar daños por las dilataciones, por ejemplo. 
Transformando la ecuación 3.19 por Laplace se tiene: 
ℒ�V
! = 
 �−�
∞0 V
�
 = V 
 
�−�
∞
0 �
 	��. 3.20� 
 
Para resolver esta ecuación se debe usar integración por partes:W X�Y = XY − W Y�X 
 
ℒ�V
! = 
 �−�
∞0 V
�
 = Z− V
� �−�
[0
∞ + 
 V� �−�
∞0 �
 	��. 3.21� 
ℒ�V
! = 
 �−�
∞0 V
�
 = 	−0 + 0� + V� Z− 1� �−�
[0
∞ 	��. 3.22� 
 
ℒ�V
! = U	�� = V�2 	��. 3.23� 
Además se tienen las siguientes relaciones entre la función rampa, R(t), y la función escalón o 
de Heaviside, H(t): 
U	�� = 
 K	���\ �
 	��. 3.24� 
K	�� = �U	���
 	��. 3.25� 
(*3.2) No debe confundirse R(t) o R(s) con r(t) o r(s), respectivamente, siendo que las últimas se pueden 
emplear para denotar el set-point o referencia al controlador. 
 
 
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3.4.3 Función forzante pulso unitario ]^_	`�a: 
Esta función básicamente consiste en dos saltos escalón combinados, uno hacia arriba y otro, 
hacia el valor de partida, luego de una duración de “A” unidades de tiempo (*3.3), de modo de 
que el área descripta sea igual a la unidad. Por este motivo, la altura de los saltos escalones 
deberá ser igual a 1/A. La definición matemática viene dada por la ecuación 3.26: 
bc	�� = d 0 ∀ 
 < 0]1 ef a ∀ 0 < 
 < e0 ∀ 
 > e O(ec. 3.26) 
Gráficamente: 
 
Figura 3.6 
Físicamente esta función forzante se puede interpretar como que abrimos una válvula de vapor 
rápidamente y luego de un tiempo la cerramos, o bien que a lazo cerrado subimos el set-point en 
escalón y luego de un tiempo, lo bajamos de la misma forma. Observar que si se multiplica base 
por altura, A*(1/A) se obtiene a unidad como resultado, lo cual es a los fines de normalizar la 
función. Para transformar esta función por Laplace, se aplicará la estrategia de dividir a la 
función bc	��en dos escalones, a saber: 
 
Por lo tanto, se tendrá que bc	�� = �h	�� − �i	�� = �h	�� − �h	��c�(ec. 3.27). Transformando 
Laplace a la ecuación 3.27 se tiene: ℒ4be	
�5 = j ��1	
� − �1	
−e�� 	��. 3.28� 
Para resolver la ecuación 3.28 se deberá tener en cuenta que la operación de la integral se 
distribuye respecto de la resta, o suma, y que además, la transformada de una función 
desplazada en el tiempo es igual a la transformada de la función, multiplicada por ���c. Esta 
propiedad, la de transformadas de funciones desplazadas en el tiempo, se explicará a 
continuación. Por lo tanto se tiene, recordando la transformada de una función escalón, que: 
ℒ4be	
�5 = j ��1	
�� − j ��1	
−e�� = j ��1	
�� − �−�ej ��1	
�� 	��. 3.29� 
ℒ4be	
�5 = 1e� − �−�e 1e� 	��. 3.30� 
ℒ4be	
�5 = be	�� = 1e ]1 − �−�ea� 	��. 3.31� 
(*3.3) No debe confundirse esta magnitud denotada como A con la sección transversal homónima de un 
recipiente, por ejemplo. Debe prestarse atención a las unidades y al contexto en donde es analizada. 
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3.4.4 Función forzante impulso unitario o delta de Dirac ]^	`�a: 
La misma fue propuesta por el físico británico Paul Dirac para expresar la densidad de 
partículas subatómicas idealmente formadas por un punto. Los requerimientos matemáticos que 
deben tenerse para su definición estricta, así como las implicancias físicas que posee exceden el 
alcance de este material. Solo no limitaremos a definirla de la manera siguiente: 
b	�� = d 0 ∀ 
 < 0∞ � 
 = 00 ∀ 
 < 0 O(ec.3.32) 
Gráficamente: 
 
Figura 3.7 
Debe observarse que si se hace que e → 0 en la ecuación 3.26, se obtiene la ecuación 3.32. 
Físicamente esto indica, por ejemplo, que se abre al máximo muy rápidamente la válvula de 
vapor y se cierra también rápidamente. Para encontrar la transformada de Laplace de la 
ecuación 3.32 se hace uso de la ecuación 3.31, haciendo e → 0. Debido a la indeterminación, 
se aplica la regla de L´Hopital: 
limc→Q �	c� m	c�f = limc→Q �	c�´ m	c�´o 
Tomado como �	c� = 	1 − ���c� y m	c� = e�, en la ecuación 3.31, se tiene: 
ℒ4b	
�5 = lime→0 Z1e ]1 − �−�ea� [ = lime→0 Z��−�e� [ = 1 	��. 3.33� 
p4^	`�5 = ^	q� = r 	st. u. uv� 
3.4.5 Función forzante senoidal y cosenoidal: 
Para estudiar la estabilidad de los sistemas de control se realiza en control automático lo que se 
denomina análisis en frecuencia. Como se ha presentado en el capítulo 1 de este material, los 
lazos de control naturalmente responderán en formas oscilantes por efecto de la restitución 
originada por cálculo del error y las acciones subsiguientes tomadas en base al mismo. Estas 
oscilaciones serán de mayor amplitud cuanto más cerca esté el lazo de entrar en una condición 
inestable, generada, en parte, por condiciones de retraso de fase. De esta forma, la aplicación de 
una función forzante senoidal o sinusoidal, de frecuencia angular + variable será de interés en 
los capítulos siguientes para evaluar la inestabilidad mencionada. 
Definición de la función senoidal de amplitud unitaria: 
�h	�� = �� 	w� = �� 	+
� 	��. 3.35� 
f(t)
0
0 tiempo
∞→
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Definición de la función cosenoidal de amplitud unitaria: 
�i	�� = ���	w� = ���	+
� 	��. 3.36� 
Para efectuar las transformadas de Laplace, se hará uso de las siguientes identidades 
�� 	w� = �&x − ��&x2� 	��. 3.37� 
���	w� = �&x + ��&x2 	��. 3.38� 
Aplicando la transformada de Laplace a la función senoidal se tiene: 
ℒ��� 	+
�! = 
 ������ 	+
��
7Q = 
 ���� �
&x − ��&x2� �
7Q 
ℒ��� 	+
�! = 
 12� 4��	��&-�� − ��	�%&-��5�
7Q 
ℒ��� 	+
�! = 12� Z− R��
	��&-��� − �+ S + R��
	�%&-��� + �+ S[Q
7 = 12� y 1� − �+ − 1� + �+z 
ℒ��� 	+
�! = +�i + +i 	��. 3.39� 
Siguiendo un procedimiento similar, se tiene que: 
ℒ����	+
�! = ��i + +i 	��. 3.40� 
Para el análisis en frecuencia antes mencionado se usará la función sinusoidal de diferente 
amplitud y frecuencia variable. La función cosenoidal no se emplea en este análisis y se 
presenta aquí solo a título informativo. 
 
Se aclara que las funciones forzantes presentadas son las utilizadas más comúnmente, pero 
pueden haber tantas como se deseen, dependiendo del análisis que se quiera realizar en un caso 
particular dado. 
 
3.5 Transformadas de Laplace de funciones desplazadas en el tiempo: 
Si se tiene un función,�	��, que es desplazada en el tiempo “L” unidades, i.e. �	��{�,(ver figura 
3.8) se tendrá que la transformada de Laplace de esta última función será: 
 
Figura 3.8 
L
f(t)
0
y=f(t-L)
tiempo
0
y=f(t)
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ℒ��	
 − j�! = 
 �	
 − j�∞0 �−�
�
 	��. 3.41� 
Para resolver la ecuación3.41 se usarán las siguientes propiedades: ���� = ���{���	��{� 	��. 3.42� �
 = �	
 − j� 	��. 3.43� 
Reemplazando las ecuaciones 3.42 y 3.43 en la 3.41, cambiando los límites de integración y 
operando: 
ℒ��	
 − j�! = 
 �	
 − j�∞−j �−�j�−�	
−j��	
 − j� = �−�j 
 �	
 − j�
∞
−j �−�	
−j��	
 − j� 	��. 3.44� 
La función |	` − }� = ~ para todo ` < j y debido a que la ecuación 3.44 es una integral 
definida, es decir una suma, se tendrá que: 

 |	` − }�7�} s�q	`�}��	` − }� = 
 |	` − }�
7
} s�q	`�}��	` − }� 	st. u. v�� 
Por la misma razón expuesta antes, se podrá escribir que: 

 �	
 − j�7} ���	��{��	
 − j� = 
 �	
�
7
Q �����
 = ℒ��	
�! 	��. 3.46� 
Reemplazando la ecuación 3.46 en la 3.44 se tiene que: ℒ��	
 − j�! = ���{ℒ��	
�! 	��. 3.47� 
3.6 Transformadas de funciones especiales. 
3.6.1 Transformadas de Laplace de las derivadas: 
Dada una función �	
�y su derivada ��	
�/�
 la transformada de esta última será: 
ℒ ���	
��
 � = �ℒ��	
�! − �	0� 	��. 3.48� 
Al trabajar con variables de desviación, resulta equivalente en términos matemáticos a trabajar 
con condiciones iníciales nulas, con lo que la ecuación 3.48 queda: 
ℒ ���	
��
 � = �ℒ��	
�! 	��. 3.49� 
La demostración de lo anterior requiere la aplicación de integración por partes: 
ℒ ���	
��
 � = 
 y��	
��
 z7Q �����
 = ������	
�!Q7 + 
 �
7
Q �����
 	��. 3.50� 
ℒ ���	
��
 � = �0 − �	0�!Q7 + � 
 ����7Q �
 = �ℒ��	
�! − �	0� 	��. 3.51� 
De forma análoga, se acepta sin demostración que, para la derivada segunda, se tiene que: 
ℒ Z�i�	
��
i [ = �iℒ��	
�! − ��	0� − �′	0� 	��. 3.52� 
En la práctica se considera que�	0� = 0 y �′	0� = 0, por lo que se tiene: 
ℒ Z�i�	
��
i [ = �iℒ��	
�! 	��. 3.53� 
Para el caso de la derivada enésima, y considerando que�	0� = 0 y �′	0� = 0, se tiene: 
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ℒ ����	
��
� � = ��ℒ��	
�! 	��. 3.54� 
Esta capacidad que poseen las transformadas de Laplace de convertir derivadas de orden “n” en 
polinomios del mismo orden, constituye la principal propiedad de las mismas que fue usada por 
Oliver Heaviside para encontrar la forma de resolver la ecuaciones diferenciales mediante la 
conversión de las mismas en polinomios, para luego resolver los mismos a través de encontrar 
sus raíces y aplicar expansión por fraccionales parciales y finalmente anti-transformar las 
soluciones a la variable tiempo. 
3.6.2 Transformadas de Laplace de las integrales: 
Al aplicar la transformación de Laplace a la integral de una función, se tiene: 
ℒ Z
 �	
��Q �
[ = 1� ℒ��	
�! 	��. 3.55� 
Para demostrar la ecuación 3.55 se debe usar la integración por partes: 

 X�Y = XY − 
 Y�X 
 
ℒ Z
 �	
��Q �
[ = 
 R
 �	
�
�
Q �
S
7
Q �����
 	��. 3.56� 
 
X = R
 �	
��Q �
S 	��. 3.57� �Y = �����
 	��. 3.58� 
Por lo tanto: �X = �	
��
 	��. 3.59� Y = − 1� ���� 	��. 3.60� 
De esta forma, introduciendo las ecuaciones 3.57 a 3.60 en la regla de integración por partes se 
tiene: 

 R
 �	
��Q �
S
7
Q �����
 = Z− 1� ���� 
 �	
�
�
Q �
[Q
7 − 
 y− 1� ����z �	
��
 	��. 3.61� 7Q 
 

 R
 �	
��Q �
S
7
Q �����
 = Z− 1� ���� 
 �	
�
�
Q �
[Q
7 + 
 1� �����	
��
 	��. 3.62� 7Q 
ℒ Z
 �	
��Q �
[ = Z− 1� ���� 
 �	
�
�
Q �
[Q
7 + 
 1� �����	
��
 	��. 3.63� 7Q 
En la ecuación 3.63 se tiene que el primer término del segundo miembro valdrá cero cuando 
 → 0 porque la integral de �	
� valdrá cero, mientras que también tomará el valor de cero para 
 → ∞. De observar el segundo término del segundo miembro, se desprende fácilmente que, 
siendo la variable “s” constante, que contiene la transformada de Laplace de �	
�, por lo tanto 
queda demostrada la ecuación 3.55: 
ℒ Z
 �	
��Q �
[ = 	0 − 0� + 1� 
 �����	
��
 = 1� ℒ��	
�!
7
Q 	��. 3.65� 
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3.7 Propiedades y teoremas de las transformadas de Laplace. 
3.7.1 Propiedad de linealidad: 
Dadas dos funciones |r	`� y|�	`� y dos constantes�r y ��, y: 
�	
� = Jh�h	
� + Ji�i	
� 	��. 3.66� 
ℒ4J1�1	
� + J2�2	
�5 = J1ℒ4�1	
�5 + J2ℒ4�2	
�5 	��. 3.67� 
Esta propiedad se desprende directamente de las propiedades de las integrales. 
3.7.2 Teorema del valor final: 
Este teorema enuncia que: lim�→7 �	
� = lim�→Q��ℒ��	
�!� 	��. 3.68� 
Su significado es que si se desea saber qué valor tomarán una función |	`� cuando el tiempo 
tiene a infinito, dicha evaluación se puede hacer desde el dominio de la variable “s”, 
multiplicando a la transformada de dicha función por esta variable y evaluando su límite cuando 
“s” tiende a cero. Este teorema es muy importante y en el ya mencionado procedimiento de 
cálculo con transformadas de Laplace, permite determinar rápidamente, sin necesidad de anti-
transformación, el valor final que tomará una función. Más adelante en este material se 
mostrarán ejemplos de su aplicación, principalmente para determinar si en un lazo de control, 
con un determinado sistema o proceso y un dado algoritmo de control, se tendrá o no el error 
permanente, de estado estacionario u “off-set”. La ecuación 3.68 se acepta en este material sin 
demostración. 
3.7.3 Teorema del valor inicial: 
Este teorema enuncia que: lim�→Q �	
� = lim�→7��ℒ��	
�!� 	��. 3.69� 
De comparar las ecuaciones 3.68 y 3.69 se observa que son recíprocas. Este teorema no es tan 
utilizado en la práctica como el del valor final. De igual forma, la ecuación 3.69 se acepta en 
este material sin demostración. 
3.7.4 Relación biunívoca: 
La relación biunívoca hace referencia al hecho de que la transformación de una función �	
� en 
el dominio temporal al dominio de la variable “s” dará otra función, digamos, 3	�� = ℒ��	
�!, 
cumpliéndose a su vez que la anti-transformación de 3	��, i.e. llevándola nuevamente al 
dominio temporal, dará por resultado �	
�. Matemáticamente: 
 ℒ��	
�! = 3	�� ↔ ℒ�h�3	��! = �	
� 	��. 3.70� 
3.8 Transformación de ecuaciones diferenciales lineales de orden “n” por medio 
de las transformadas de Laplace. 
Como se vio en el capítulo 2, el modelado dinámico de un sistema dará una ecuación diferencial 
como la presentada en la ecuación 2.88, con los coeficientes ��independientes del tiempo; 
�� ��X�	���
� + ���h ���hX�	���
��h + ⋯ + �� ��X�	���
� + ⋯ + �h �X�	���
 + �QX�	�� = �	�� 	ec. 2.88� 
Al aplicar las propiedades de linealidad y transformadas de las derivadas, se tendrá: 
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�����	�� + ���h���h�	�� + ⋯ + �����	�� + ⋯ + �h��	�� + �Q�	�� = �	�� 	��. 3.71� 
Observar que al transformar una función, la misma es simbolizada con la misma letra que se usa 
para denotarla en la variable tiempo, solo que en mayúscula e indicado que la variable 
independiente es “s”. En la bibliografía específica de control automático esta forma de denotar 
las funciones varía de acuerdo con el autor, por lo cual se ha mantenido esta forma que se 
considera la más sencilla. Debe recordarse que todas estas variables son variables de desviación. 
Además, en este punto se hace evidente la necesidad ya planteada en el capítulo 2, de linealizar 
las ecuaciones diferenciales. 
Normalizando la ecuación 3.71 dividiendo ambos miembros por �Q se tiene: ���Q ���	�� + ���h�Q ���h�	�� + ⋯ + ���Q ���	�� + ⋯ + �h�Q ��	�� + �Q�Q �	�� = 1�Q �	��	��. 3.72� 
De la ecuación 3.72, se desprende que se puede despejar fácilmente �	�� al sacarlo como 
factor común y denotando a los coeficientes 
���� = J�se tiene: 
]J��� + J��h���h + ⋯ + J��� + ⋯ + Jh� + 1a��� = 1�Q �	�� 	��. 3.73� 
Reordenando de modo que la salida, �	��, esté en el numerador y la entrada, �	��, en el 
denominador, se tiene: 
�	��
�	�� = ]
1 �Qf a	J��� + J��h���h + ⋯ + J��� + ⋯ + Jh� + 1� 	��. 3.74� 
Al valor 1 �Qf se lo llama ganancia estática del proceso, es decir: 
�� = 1�Q 	��. 3.75� 
Finalmente se tendrá: �	��
�	�� = ��J��� + J��h���h + ⋯ + J��� + ⋯ + Jh� + 1 	��. 3.76� 
La ecuación 3.76 es el tipo de ecuaciones que se emplearán es este material para describir el 
comportamiento dinámico de los sistemas en control automático, recordando que se partió de 
una ecuación diferencial y se terminó en polinomios. A estos cocientes de polinomios se los 
denomina funciones de transferencia. 
Para ecuaciones diferenciales más complejas, el mismo procedimiento usado derivará en 
funciones de transferencia como las indicadas en la ecuación 3.76, pero con polinomios en el 
numerador y en el denominador, Sin embargo, las mismas no serán tratadas en este material 
debido a que no se suelen presentar en los sistemas que normalmente se encuentran en los 
sistemas que se presentan en los sistemas químicos. 
Si a un sistema es descripto por una ecuación como la 3.76 y se le aplica una función forzante 
�	��, la salida �	�� vendrá dada por: 
�	�� = ��J��� + J��h���h + ⋯ + J��� + ⋯ + Jh� + 1�	�� 	��. 3.77� 
Como se detalló precedentemente, la función forzante �	��tendrá una forma de un cociente de 
polinomios, por ejemplo, si la función forzante aplicada es un escalón de magnitud H, se tendrá 
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que X(s)=H/s. De esta forma, en un caso general U(s) tomará la forma de un cociente de 
polinomios en la variable “s”: 
�	�� = �	���	�� 	��. 3.78� 
Para obtener X	�� deberá anti-transformarse la ecuación 3.78, pero previamente deberán 
determinarse las raíces “a” del polinomio del denominador, �	��, las cuales pueden ser reales o 
complejas de acuerdo con el teorema fundamental del álgebra (teorema de Gauss), para poder 
expandir el cociente de polinomios en fracciones parciales. Si de dicha expansión se tiene que �	�� puede ser factorizado como el producto de “n” polinomios de bajo orden ��	�� del tipo 	� + J�� y 	� − J��, con � ≥ 1, se tendrá que la ecuación 3.78 se podrá escribir como: 
�	�� = �	���	�� = � R ����	��S
�� 
��h 	��. 3.79� 
En la ecuación 3.79, los parámetros Ci son constantes que se determinan en el proceso de 
expansión por fracciones parciales mencionado. Luego se debe anti-transformar ambos 
miembros de la ecuación 3.79, aplicando en el segundo miembro la propiedad de linealidad, 
obteniéndose: 
ℒ�h4�	��5 = X	�� = � ℒ�h R ����	��S
���
��h 	��. 3.80� 
Las anti-transformadas ℒ�h y ¡�¢�	£�z se obtienen de tablas (ver tabla 3.1). El tipo de raíces del 
polinomio del denominador (reales o complejas), �	��, dará lugar a los siguientes grupos de 
soluciones: 
a) Raíces reales distintas en el polinomio P(s): 
b) Raíces complejas distintas en el polinomio P(s): 
c) Raíces reales múltiples “pi” en el polinomio P(s): 
Los casos “a” y “b” darán soluciones del tipo como se detallan en la ecuación 3.81. Cuando las 
raíces son complejas, las ecuaciones derivarán en términos sinusoidales con amplitudes que 
pueden aumentar o decaer en el tiempo, obtenidos a partir de la fórmula de Euler. 
X�	�� = � ����$�������h 	��. 3.81� 
Como referencia, ver la anti-transformada número 6 de la tabla 3.1. 
Para los casos del tipo “c”, las soluciones serán del tipo: 
X�	�� = ��h + �i
 + �¤2! 
i + ⋯ + ���h	� − 2�! 
��i + ��	� − 1�! 
��h� ���� 	��. 3.82� 
Como referencia, ver las anti-transformadas 8 y 9 de la tabla 3.1. Para quien desee profundizar 
en los procedimientos matemáticos paso a paso de los cálculos que derivan en las ecuaciones 
3.81 y 3.82 se recomienda la lectura de los capítulos 7 y 8 del libro Chemical Process Control – 
An Introduction to Theory and Practice. George Stephanopoulos. Prentice Hall-1984 y del 
capítulo 2 del libro Control Automático de Procesos, Teoría y Práctica, Smith y Corripio, 2° 
Edición, Editorial Limusa-Wiley. Se indica que específicamente las ecuaciones 3.79 a 3.82 se 
presentan en este material a título informativo, siendo una herramienta matemática, que gracias 
a los programas de cálculo, no deberemos usar para hacer los cálculos “manualmente”. 
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Consecuentemente esta metodología matemática es la que debe emplearse si no se dispone de 
los programas específicos mencionados (MATLAB/Simulink y Program CC o similares). Si por 
el contario, si se dispone de los mismos, el planteo de los problemas de control puede partir del 
planteo de balances en estado transitorio para obtener las ecuaciones diferenciales y su posterior 
conversión de las mismas al dominio de las transformadas la Laplace o bien directamente de las 
transformadas de Laplace típicas y características de cada sistema (en los capítulos siguientes se 
explicara este procedimiento). Luego, las mismas se ingresan en los programas mencionados y 
se efectúan las simulaciones requeridas. 
Se recuerda que, conceptualmente, un valor de una variable en el dominio “s” equivale a un 
cambio o variación de la misma variable en el dominio tiempo. Esto quiere decir que si, por 
ejemplo, una variable vale cero en el dominio de Laplace, indica que se ha mantenido invariable 
en el tiempo. 
 
Se recomienda leer la tabla 3.1 y comparar cada f(t) con su transformada, F(s). 
 
Tabla 3.1 
 
Notas: 
• Unit impulse hace referencia a impulso unitario. 
• Unit step hace referencia a salto escalón unitario. 
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Tabla 3.1 (cont.) 
 
 
Tabla 3.1 (cont.) 
3.9 Resolución de ecuaciones diferenciales lineales por medio de las 
transformadas de Laplace. 
Para desarrollar un ejemplo sencillo, si se parte de la ecuación diferencial lineal de primer orden 
como la 2.50, la aplicación del procedimiento arriba indicado derivará en: 
���¦ 	�� = § �X�	���
 + X�	�� 	��. 2.50� ℒ4���¦ 	��5 = ℒ �§ �X�	���
 + X�	��� 	��. 3.83� 
��ℒ4�¦ 	��5 = §ℒ ��X�	���
 � + ℒ4X�	��5 	��. 3.84� ��¨	�� = §��	�� + �	�� 	��. 3.85� 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.3-Transformadas de Laplace 
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Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 125 
 
��¨	�� = 	§� + 1��	�� 	��. 3.86� �	��¨	�� = ��	§� + 1� 	��. 3.87� 
La ecuación 3.87 constituye la función de transferencia de los sistemas denominados de primer 
orden (debido a que el orden del polinomio del denominador es 1). El estudio de estos sistemas 
se hará en los capítulos siguientes de este material. Si al sistema de la ecuación 3.87 se le aplica 
un salto escalón de magnitud H en la variable m(t) se tendrá: 
¨	�� = K� 	��. 3.88� 
Por lo tanto: �	�� = ��	§� + 1� ¨	�� 	��. 3.89� 
Combinando las ecuaciones 3.88 y 3.89: 
�	�� = ��	§� + 1� yK� z 	��. 3.90� 
Normalizando el denominador de la ecuación 3.91 se tiene: 
�	�� = ��K§� ©� + hª« 	��. 3.91� 
De la tabla 3.1, fila 14, se tiene que si se hace J = 1 §f , se tiene que: 
X�	�� = ��K§ § ©1 − ��� ªf « 	��. 3.92� X�	�� = ��K ©1 − ��� ªf « 	��. 3.93� 
X	�� = ��K ©1 − ��� ªf « + X� 	��. 3.94� 
Si se compara la forma en la cual fue resuelta la ecuación 2.50 originalmente por el método del 
factor integrante versus el de la transformada de Laplace, se concluye que el último es más 
sencillo y mecánico. A modode ejemplo, si quisiéramos resolver el ejemplo 2.1 desarrollado en 
el capítulo 2, usando transformadas de Laplace en el Program CC o el MATLAB/Simulink, se 
tendría: 
Ejemplo 3.2: Resolución del ejemplo 2.1 en transformadas de Laplace: 
a) Resolución empleando el Program CC (*3.4): 
CC>Rh=0.318 (dar enter) 
CC>Kp=Rh (ídem) 
CC>T=1 (ídem) 
CC>deltaFe=1 (ídem) 
CC>H=deltaFe (ídem) 
CC>FT1=Kp/(T*s+1) (ídem) 
CC>>FT1 (ídem) 
 0,318 
 FT1(s) = --------- 
 s+1 
CC>time(H*FT1) (ídem) 
El comando time(…) en el Program CC aplica un salto escalón unitario a la función en la 
variable “s” que se halle en su argumento, i.e. “interior de lo paréntesis”. Al ejecutarlo, 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.3-Transformadas de Laplace 
y diagramas en bloque 
 
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directamente dará la gráfica de respuesta, como la indicada en la figura 3.9. Observa que se ha 
dado de llamar “H” a la magnitud del salto escalón en Fe, dado a llama “deltaFe”. 
(*3.4) Al instalar el Program CC y abrirlo, aparecerá una pantalla en la cual tendremos que hacer clic en 
el botón inferior a la derecha Run Program CC in Demo Mode, ya que se está usando el modo gratuito. 
Notar también que, como el comando time(…) aplica el salto 1/s y lo que se desea es aplicar el 
salto H/s, la constante H se multiplica directamente a la función de transferencia FT1. Esto se 
puede hacer sin problemas debido a la propiedad de linealidad de las transformadas de Laplace. 
Como se habrá podido observar, el emplear el lenguaje de las transformadas de Laplace en el 
mencionado programa, facilita mucho la resolución de problemas. Si en el mismo programa se 
hubiese querido obtener la ecuación de la respuesta al salto escalón, como la del tipo de la 
ecuación 3.93 (recordar que estos programas trabajan con variables de desviación), de deberían 
haber ingresado los siguientes comandos: 
CC>Rh=0.318(dar enter) 
CC>Kp=Rh (ídem) 
CC>T=1 (ídem) 
CC>deltaFe=1 (ídem) 
CC>H=deltaFe(ídem) 
CC>FT1=Kp/(T*s+1) (ídem) 
CC>ilt(FT1*H/s) (ídem) 
ans(t) = 0,318 - 0,318*exp(-t) for t >= 0 
El comando ilt(…) devuelve la inversa de la transformada de Laplace (inverse laplace 
transform) de la función en la variable “s” que se encuentre entre paréntesis. Si quisiéramos 
obtener una gráfica como la de la figura 3.9, deberíamos dar valores al tiempo (“t”) y 
confeccionar una tabla, por ejemplo, en una planilla de cálculo de MS Excel. Observar que en 
este caso debemos multiplicar a FT por H/s, ya que no se está ingresando el comando time(…). 
Debe notarse que el Program CC emplea un lenguaje natural, ya que reconoce a la variable “s” 
como tal. Finalmente se concluye, que trabajando en la variable “s” en un programa como el 
Program CC se facilitan notablemente los cálculos. 
 
Figura 3.9 
b) Resolución empleando MATLAB: 
En este programa, no se emplea la notación de variable “s” de la forma natural como se hace en 
el Program CC, sino que se debe carga el numerador, llamado “num1”, por ejemplo, y 
denominador, “den1”, de la función de transferencia entre corchetes, colocando los coeficientes 
de los polinomios según un orden descendente, y separador por espacios. El MATLAB tomará el 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.3-Transformadas de Laplace 
y diagramas en bloque 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 127 
 
último coeficiente como el de s^0, y hacia la izquierda irá haciendo s^1; s^2, etc. Luego, se 
aplica el comando “tf”, por “transfer function” en la forma FT1=tf(num1,den1) y el salto 
escalón de la misma magnitud H, se aplicará haciendo step(H*FT1), siendo “step” el comando 
que MATLAB usa para aplicar los salto escalón unitarios. i.e. 1/s. De esta forma se tiene que: 
>>num1=[0 0.318] (enter) 
>>den1=[1 1] (ídem) 
>>FT1=tf(num1,den1) (idem) 
>>FT1 (ídem) 
 FT1= 
 0.318 
 ----- 
 s + 1 
>>H=1 (ídem) 
>>step(H*FT1) (ídem) 
 
Figura 3.10 
En los capítulos siguientes se brindarán más ejemplos sobre la ejecución de ejercicios en los 
programas indicados y también como la herramienta Simulink de MATLAB. El objetivo de haber 
presentados estas dos resoluciones aquí es a modo de cierre entre el desarrollo matemático 
expuesto de las transformadas de Laplace, su empleo de la forma tradicional, i.e. transformado y 
anti-transformando, y su uso en los programas específicos, la cual es la forma en la cual 
trabajaremos. 
Debe recordarse que la ecuación 3.94 es la respuesta de un sistema de retardo de primer orden 
ante la entrada de una función en escalón a lazo abierto. El sistema de primer orden en si mismo 
viene modelado por la ecuación diferencial del tipo de la ecuación 2.50 en la variable tiempo o 
de su equivalente en la variable “s”, la ecuación 3.87. 
Si por el contrario se tiene un sistema de primer orden más tiempo muerto, en virtud de la 
ecuación 3.87 y de propiedad de desplazamiento de funciones en el dominio de la variable “s”, 
i.e. que se debe multiplicar por ��{�, siendo L el tiempo muerto, mostrada en la ecuación 3.47, 
se tendrá que un sistema de primer orden más tiempo muerto vendrá dado, en el dominio de la 
variable “s”, por: 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.3-Transformadas de Laplace 
y diagramas en bloque 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 128 
 
�	��¨	�� = ��	§� + 1� ��{� 	��. 3.95� 
En capítulos siguientes se analizará en profundidad la respuesta de los sistemas de primer orden 
más tiempo muerto, puesto que los mismos poseen la capacidad de aproximar muy 
satisfactoriamente a los sistemas de orden superior formados por múltiples capacidades y 
resistencias (i.e. múltiples sistemas de primer orden “en serie”). A su vez se indica, que, a la 
hora de usar programas tales como el MATLAB o Program CC, el término ��{� debe 
aproximarse mediante la aproximación polinómica de Padé (ver ítem 4.2.3 para más detalle) 
debido al método que emplean estos programas para resolver las ecuaciones en el dominio de 
Laplace. 
3.10 Aplicación de las transformadas de Laplace al algoritmo PID y sus 
variantes. 
De acuerdo con la ecuación 1.13, el algoritmo proporcional, integral y derivativo viene dado 
por: 
¬	�� = �­�	�� + �­§� 
 �	��
�
Q �
 + �­§® ��	���
 + ¬���­�$¯ 	��. 1.13� 
Considerado la condición inicial en t=0 y asumiendo e(0)=0, W �	��QQ �
=0 y que de(t)/dt=0 en 
t=0, y restando miembro a miembro se tiene: 
¬�	�� = �­�	̅�� + �­§� 
 �̅	��
�
Q �
 + �­§® ��	̅���
 
Aplicando las reglas de las transformadas de Laplace, se tiene: 
±	�� = �­²	�� + �­§� ²	��� + �­§®�²	�� 
±	�� = y�­ + �­§�� + �­§®�z ²	�� 	��. 3.96� 
³´,µ¶·	q� = ¸	q�¹	q� = ºt yr + r»�q + »�qz 	��. 3.97� 
La ecuación 3.97 se denomina función de transferencia del controlador PID, y se simboliza 
con GC(s), es decir GC(s)=Y(s)/E(s). A su vez, GC(s) se empleará para denotar a la función de 
transferencia de todas las posibles combinaciones de controladores, pudiendo ser estos P, PI, PD 
o PID como se muestra a continuación. 
• Proporcional puro: 
Para este caso, en la variable tiempo se tiene: 
¬	�� = �­�	�� + ¬¼Q 	ec. 1.15� 
En variables de desviación: ¬	Q� = �­�	Q� + ¬¼Q ¬	�� = �­�	�� + ¬¼Q ¬	�� − ¬	Q� = �­]�	�� − �	Q�a + ¬¼Q − ¬¼Q ¬�	�� = �­�̅	�� 
Aplicando transformadas de Laplace: 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.3-Transformadas de Laplace 
y diagramas en bloque 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 129 
 
±	�� = �­²	��	ec. 3.98� 
³´,µ	q� = ¸	q�¹	q� = ºt 	ec. 3.99� 
• Proporcional+integral: 
Para este caso, en la variable tiempo se tiene: 
¬	�� = �­�	�� + �­§� 
 �	��
�
Q �
 	ec. 1.16� 
Siguiendo un procedimientoanálogo al usado para el caso del PID se tiene: 
±	�� = �­ y1 + 1§��z ²	�� 	ec. 3.100� 
³´,µ¶	q� = ¸	q�¹	q� = ºt yr + r»�qz 	ec. 3.101� 
• Proporcional + derivativo: 
El algoritmo del modo PD en la variable tiempo es: 
¬	�� = �­�	�� + �­§® ��	���
 +¬¼Q	ec. 3.102� 
Nótese que debe incorporarse el bias por no tener modo integral. 
Pasando a variables de desviación de forma análoga a lo anteriormente hecho y aplicando 
trasformadas de Laplace se tiene: 
±	�� = �­²	�� + �­§®�²	��	ec. 3.103� 
 ³´,µ·	q� = ¸	q�¹	q� = ºt	r + »�q�	ec. 3.104� 
El modo PD es poco usado en la práctica. En el capítulo 7 se detallarán las razones de esto, pero 
se adelanta que no es capaz de solucionar el offset y que la derivada del error debe 
implementarse cuidadosamente para no producir salidas de control demasiado fuertes ante 
cambios en PV o SP, que aun siendo pequeños, ocurran en breves períodos de tiempo, dando 
altos valores de de(t)/dt. 
3.11 Funciones de transferencia, diagramas en bloque y su álgebra. 
Las transformadas de Laplace permiten desarrollar los modelos dinámicos de los sistemas en la 
forma defunciones de transferencia. El concepto de función de transferencia hace referencia 
a modelos del tipo de entrada-salida, siendo la entrada aquella magnitud que al variar afecta a 
otra que será la variable de salida (ver figura 3.9). De acuerdo a esta lógica, un dado elemento 
en estudio se presenta a modo de caja negra, en la cual una variable de salida, por ejemplo la 
temperatura de un fluido que se está calentando, θ2(t), está relacionada con una variable de 
entrada, por ejemplo un caudal de vapor, FV, a través de modificaciones o transformaciones que 
le impone la función que se haya dentro de dicha caja negra. Dicha función será del tipo de la 
indicada en la ecuación 3.76, obtenida por las transformadas de Laplace del modelo matemático 
dinámico del sistema en estado transitorio (i.e. ecuaciones diferenciales). 
La combinación de estos bloques se rige por reglas algebraicas básicas de suma, resta, 
multiplicación y división, llamándose por lo tanto álgebra de diagramas de bloque. En la 
misma, todas las señales y funciones de transferencia deben encontrarse en el domino de 
Teoría de control automático de proces
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari
Laplace, es decir, en términos de la variable “s
son: 
1. Para sistemas SISO, a cada bloque 
3.9). 
2. La salida de un bloque se determina como el producto de lo que ingresa al mismo 
multiplicado por la función de transferenc
3. Los efectos generados 
entrada, se determinan como la suma algebraica de la salida de cada bloque, siendo cada 
una de estas, fruto de la multiplicación de cada entrada por su correspondiente función 
de transferencia. 
4. A un sumador ingresan 
círculo y próximo a la entrada de la corriente
3.11.a y 3.12.b), fruto de la suma algebraica de todos los ingresos, considerando los 
signos de cada una. 
5. Si una señal se bifurca en dos o más variantes la misma no pierde intensidad por la 
división, teniendo todas las divisiones el mismo valor en todo instante de tiempo
3.11.c), ya que lo que fluye es información.
 
 
Figura 3.11.a 
Para expresar un sistema real en forma de
secciones o “bloques” según su función, 
se debe disponer de las funciones de transferencia de cada uno de ellos para conformar los 
distintos bloques. Los mismos se van interconectando entre sí de acuerdo con el sentido en el 
que la información recorre el sistema físico.
cerrado de control de temperatura por 
función de transferencia del controlador
salida será la orden al elemento de acción final, Y(s)
vapor, es decir Fv(s) el cual afectará a
Este valor puede ser, a su vez, afectado por la entrada de perturbaciones, D(s), las cuales pasan a 
través de su correspondiente función de transferencia homónima y se convierten en el efecto 
sobre ϴ2(s), los cuales se suman a los efectos
perturbaciones D(s) se pueden incluir al caudal de líquido F
mismo, ϴ1(s), etc. Todos estos efectos se sumarán al efecto que genera el controlador. Observar 
como el flujo de información de los eventos causa
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.3-Transformadas de Laplace 
y diagramas en bloque
Luciano G. Ferrari Página 
es decir, en términos de la variable “s”. Las reglas del álgebra de diagramas en bloque 
cada bloque ingresa una sola señal y lo abandona una sola (fig
La salida de un bloque se determina como el producto de lo que ingresa al mismo 
multiplicado por la función de transferencia en su interior (ecuación 3.101). 
generados sobre una misma variable de salida por varias variables de 
entrada, se determinan como la suma algebraica de la salida de cada bloque, siendo cada 
la multiplicación de cada entrada por su correspondiente función 
 2 o más señales, cuyos signos deben especificarse
círculo y próximo a la entrada de la corriente, y lo abandona una sola señal
, fruto de la suma algebraica de todos los ingresos, considerando los 
Si una señal se bifurca en dos o más variantes la misma no pierde intensidad por la 
división, teniendo todas las divisiones el mismo valor en todo instante de tiempo
, ya que lo que fluye es información. 
 
Figura 3.9 
¸	q� = 	½»�	q�¾	q� 	��. 3.105� 
 
Figura 3.11.b Figura 3.11
expresar un sistema real en forma de diagrama en bloques, el mismo debe ser dividido
según su función, identificando sus respectivas entradas y salidas. 
se debe disponer de las funciones de transferencia de cada uno de ellos para conformar los 
se van interconectando entre sí de acuerdo con el sentido en el 
l sistema físico. Si por ejemplo, se aplica esta lógica a un lazo 
cerrado de control de temperatura por realimentación, como el de la figura 1.30, la entrada de la 
función de transferencia del controlador (ecuación 3.97, por ejemplo) será el error E(s) y l
salida será la orden al elemento de acción final, Y(s) u OP(s). La misma afectará a
(s) el cual afectará a su vez a la temperatura de salida del calentador
afectado por la entrada de perturbaciones, D(s), las cuales pasan a 
correspondiente función de transferencia homónima y se convierten en el efecto 
os cuales se suman a los efectos producidos por el controlador. Dentro de las 
urbaciones D(s) se pueden incluir al caudal de líquido Fl(s), la temperatura de entrada del 
(s), etc. Todos estos efectos se sumarán al efecto que genera el controlador. Observar 
como el flujo de información de los eventos causa-efecto se van conformando. Luego, e
Transformadas de Laplace 
y diagramas en bloque 
Página 130 
”. Las reglas del álgebra de diagramas en bloque 
una sola señal y lo abandona una sola (figura 
La salida de un bloque se determina como el producto de lo que ingresa al mismo 
 
sobre una misma variable de salida por varias variables de 
entrada, se determinan como la suma algebraica de la salida de cada bloque, siendo cada 
la multiplicación de cada entrada por su correspondiente función 
señales, cuyos signos deben especificarse dentro de 
, y lo abandona una sola señal (figura 
, fruto de la suma algebraica de todos los ingresos, considerando los 
Si una señal se bifurca en dos o más variantes la misma no pierde intensidad por la 
división, teniendo todas las divisiones el mismo valor en todo instante de tiempo (figura 
 
11.c 
el mismo debe ser dividido en 
sus respectivas entradas y salidas. Luego 
se debe disponer de las funciones de transferencia de cada uno de ellos para conformar los 
se van interconectando entre sí de acuerdo con el sentido en el 
esta lógica a un lazo 
, la entrada de la 
será el error E(s) y la 
. La misma afectará al caudal de 
l calentador, ϴ2(s). 
afectado por la entrada de perturbaciones, D(s), las cuales pasan a 
correspondiente función de transferencia homónima y se convierten en el efecto 
Dentro de las 
(s), la temperatura de entrada del 
(s), etc. Todos estos efectos se sumarán al efecto que genera el controlador. Observar 
ormando.Luego, el valor 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.3-Transformadas de Laplace 
y diagramas en bloque 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 131 
 
de ϴ2(s) será medido por el sensor de temperatura y transmitido por la línea de transmisión de la 
señal hacia el punto de cálculo del error (realimentación), convirtiéndose en C(s) o PV(s), 
restándose del valor del set-point, R(s) o SP(s), dando por resultado E(s) y repitiéndose el ciclo. 
Como puede observarse, la información se va transfiriendo o propagando secuencialmente de 
sistema en sistema. De esta forma toma sentido el nombre de función de transferencia de cada 
bloque. 
Las funciones de transferencia poseen las siguientes características fundamentales: 
1. Son un modelo matemático de un sistema dado en el sentido de que constituye un 
método operacional de expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de 
salida con la de entrada. 
2. La función de trasferencia es una propiedad de un sistema en sí, independiente de la 
magnitud y naturaleza de la entrada o función forzante. 
3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada 
con la salida, no obstante, no brinda ninguna información respecto a la estructura física 
del sistema, siendo que las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente 
distintos pueden ser idénticas. Para el tipo de funciones de transferencia indicada en la 
ecuación 3.76, que son las que usaremos en este material, las unidades las poseerá la 
ganancia estática, KP, mientras que el denominador que contiene a la variable “s” es 
adimensional. 
4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se puede estudiar la salida o 
respuesta para diversas formas de entrada, permitiendo esto una comprensión de de la 
naturaleza del sistema. 
5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, se puede establecer 
experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la respuesta o salida 
del sistema. Una vez establecida, una función de transferencia brinda una descripción 
completa de las características dinámicas del sistema. 
6. Para los sistemas que se estudiarán en este material, los parámetros característicos de las 
funciones de transferencia se supondrán constantes en todo momento, lo cual es válido 
para sistemas denominado lineales. Sin embargo, los sistemas encontrados en los 
procesos químicos son no lineales, y por lo tanto significativamente más complejos, por 
lo que los modelos generados a partir de funciones de transferencia, así como los 
cálculos y simulaciones que los mismos permiten realizar, deben ser usados en entornos 
acotados y de forma prudente al intentar llevarlos a la práctica. 
Las interconexiones y operaciones entre los bloques se rigen por una lógica algebraica, i.e. 
suma, resta, multiplicación y división, dando lugar a lo que se denomina álgebra de diagramas 
en bloque. Esta es otra ventaja de las transformadas de Laplace, ya que si se operase con 
ecuaciones diferencias, no se podría hacer un uso tan sencillo de esta herramienta de 
combinación de sistemas. 
En la figura 3.10 se presenta el diagrama en bloques del lazo de control arriba mencionado. En 
el mismo se tiene que: 
• R(s): Set-point (SP) o valor de consigna ingresado al controlador. 
• C(s): Valor medido de la variable controlada al controlador (PV). 
• E(s): Error=R(s)-C(s). 
• Gc(s)=Y(s)/E(s): Función de transferencia del controlador PID 
• Gv(s)=Fv(s)/Y(s): Función de transferencia del elemento de acción, i.e. válvula de 
control. 
• Gp(s)= ϴ2(s)/FV(s): Función de transferencia del proceso. 
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y diagramas en bloque 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 132 
 
• Gd(s)= ϴ2(s)/D(s): Función de transferencia de la perturbación, por ejemplo, como un 
aumento en el caudal de carga fresca (D(s)) afecta a la temperatura de salida del 
rehervidor de la torre de destilación. Puede haber tantas perturbaciones como aquellas 
que se deseen contemplar en el modelado del lazo de control. 
• Gm(s)= C(s)/ϴ2(s): Función de transferencia del elemento de medición de la variable 
controlada. Este elemento se halla “en el medio” entre el valor real de la variable que se 
quiere controlar (ϴ2(s)) y el valor que el controlador “puede ver”, C(s). 
 
Figura 3.10 
 
Notar que los efectos de las perturbaciones sobre ϴ2(s) se ubican en la parte final del diagrama 
en bloques (ver figura 3.10). 
Como se indicó en el capítulo 1, en un lazo de control interesa analizar como un controlador es 
capaz de manejar el problema servo (i.e. frente a un cambio en R(s)) y el problema de 
regulación (i.e. ingreso de una perturbación D(s) con R(s) constante). El álgebra de diagramas 
en bloque permite obtener una ecuación que contemple ambos efectos. Para hacer esto, en 
primera medida se desarrollará el efecto que tiene R(s) sobre ϴ2(s) y luego el efecto de D(s) 
sobre ϴ2(s), y se sumarán ambos. De esta forma, se tiene: 
±	�� = ¿­	��²	�� = ¿­	��]U	�� − �	��a 	��. 3.106� 
3À	�� = ¿À	��±	�� = ¿À	��¿­	��]U	�� − �	��a 	��. 3.107� 
Ѳi	�� = ¿Â	��3À	�� = ¿Â	��¿À	��¿­	��]U	�� − �	��a 	��. 3.108� 
�	�� = ¿�	��ϴi	�� = ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	��]U	�� − �	��a 	��. 3.109� �	�� = ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	��U	�� − ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	���	��	��. 3.110� �	�� + ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	���	�� = ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	��U	�� 	��. 3.111� �	��]1 + ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	��a = ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	��U	�� 	��. 3.112� 
 �	��U	�� = ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	��1 + ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	�� 	��. 3.113� 
La ecuación 3.113 relaciona a un cambio en el set-point, R(s) con el correspondiente cambio en 
la variable controlada, C(s), como la “percibe” el controlador a través del elemento de medición, 
a lazo cerrado en un control por realimentación. 
Si se desea tener el efecto de R(s) sobre ϴ2(s), se debe tener en cuenta que C(s)=Gm(s).ϴ2(s): 
¿�	��Ѳi	��
U	��
=
¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	��1 + ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	�� 	��. 3.114� 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.3-Transformadas de Laplace 
y diagramas en bloque 
 
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Ѳi	��U	�� = ¿Â	��¿À	��¿­	��1 + ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	�� 	��. 3.115� 
En la mayoría de los casos, se tiene que ¿�	�� = 1, i.e. la función de transferencia identidad, 
indicando que la salida es siempre igual a la entrada, para todo tiempo, verificándose entonces 
que ϴ2(s)=C(s). Esto debe interpretarse como que el elemento de medición no genera retrasos 
en la medición, siendo además preciso y exacto, lo cual implica que la ganancia estática de 
¿�	��,�Â,�, debe ser igual a 1. Además, ¿Â	�� y ¿À	��se suelen combinar y expresar 
simplemente como ¿Â	��; i.e. se considera a la válvula de control como parte del “proceso” a 
controlar. Esto a su vez indica que a ¿Â	�� le ingresa directamente la salida del controlador, ±	��, 
y sale Äi	��, la cual es igual a �	�� en este caso por lo antes explicado. De esta forma, la 
ecuación 3.113 queda: 
�	��
U	��
=
¿Â	��¿­	��1 + ¿Â	��¿­	�� 	��. 3.116� 
Las ecuaciones 3.113 y 3.116 se emplean para evaluar la respuesta en modo “servo” del lazo de 
control (i.e. frente a cambios en el set-point), siendo la primera la más completa, y la segunda 
una versión simplificada. En el capítulo 7 se empleará la ecuación 3.116 para simular los lazos 
cerrados de control por realimentación. 
Para incluir la acción en modo “regulador” o “rechazo de perturbaciones”, i.e. la respuesta del 
controlador ante entradas de perturbaciones manteniendo al set-point constante; se tiene que el 
efecto de Å	��sobre Äi	��será: Ѳi	�� = ¿®	��Å	�� 	��. 3.117� 
Introduciendo la ecuación 3.117 en la 3.108y operando matemáticamente se tiene, en virtud de 
la superposición de los efectos: 
Ѳi	�� = ¿Â	��¿À	��¿­��]U	�� − �	��a + ¿®	��Å	�� 	��. 3.118� 
Introduciendo Ѳi	��de la ecuación 3.118 en la 3.109, y operando se tiene: 
�	�� = ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	��]U	�� − �	��a + ¿�	��¿®	��Å	�� 	��. 3.119� �	�� = ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	��U	�� − ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	���	�� + ¿�	��¿®	��Å	�� 	��. 3.120� 
Despejando �	�� de la ecuación 3.120 se tiene: 
�	��]1 + ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	��a = ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	��U	�� + ¿�	��¿®	��Å	�� 	��. 3.121� 
�	�� = ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	��1 + ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	�� U	�� + ¿�	��¿®	��1 + ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	�� Å	�� 	��. 3.122� 
Como se indicó anteriormente, si se tiene que ¿�	�� = 1, resulta que Äi	��=�	�� y si se 
incorpora a ¿À	�� dentro de ¿Â	��, la ecuación 3.122resulta: 
�	�� = ¿Â	��¿­	��1 + ¿Â	��¿­	�� U	�� + ¿®	��1 + ¿Â	��¿­	�� Å	�� 	��. 3.123� 
A su vez si queremos generalizar la ecuación 3.123 a un número “n” de perturbaciones Å�	��cada una con su función de transferencia ¿®�	��que pueden entrar al sistema, de la ecuación 
3.123 y de la 3.122 podremos concluir que: 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.3-Transformadas de Laplace 
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�	�� = ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	��1 + ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	�� U	�� + ¿�	��1 + ¿�	��¿Â	��¿À	��¿­	�� � ¿®�	��Å�	��
���
��h 	��. 3.124� 
De forma simplificada de acuerdo a las hipótesis antes planteadas: 
�	�� = ¿Â	��¿­	��1 + ¿Â	��¿­	�� U	�� + 11 + ¿Â	��¿­	�� � ¿®�	��Å�	��
���
��h 	��. 3.125� 
La ecuación 3.125 muestra cómo se superponen los efectos de cambios en el set-point y de 
varias perturbaciones. En el capítulo 7 de este material se mostrará como simular lazos cerrados 
de control por realimentación en base a la misma en programas como el Program CC o 
MATLAB (*) para encontrar los ajustes óptimos de los correspondientes controladores, i.e. los 
valores más adecuados de Kc, Ti y Td que satisfagan un criterio de performance determinado. 
Sin embargo, al final de este capítulo se presenta un ejemplo, resuelto en el Program CC, para 
ilustrar la forma de usar, la relativa simpleza y la gran capacidad de modelado que permiten las 
transformadas de Laplace. Al usar este programa, o el mismo MATLAB, estos efectos deben 
analizarse por separado, es decir, por un lado, el modo “servo” al aplicar un salto escalón al 
cociente C(s)/R(s) según la ecuación 3.116 y luego el modo “regulador” haciendo lo propio 
sobre el cociente Ѳ2(s)/D(s), con Ѳ2(s)=C(s). Esta situación no es problemática ya que se busca 
estudiar como el controlador responde ante ambas demandas. Si por el contrario se emplea 
Simulink, pueden analizarse los simultáneamente, lo cual está dirigido a una simulación más 
profunda de la performance del lazo de control ante una determinada situación en particular. 
(*) Este último programa cuenta con la herramienta Simulink, la cual permite trabajar directamente sobre 
los diagramas en bloque, armando el lazo de control en este lenguaje, e ingresando dentro de cada bloque 
las correspondientes funciones de transferencia, sin necesidad de aplicar el álgebra de diagramas en 
bloque para obtener las ecuaciones de los alzos cerrados. 
3.12 Aplicación del teorema del valor final para determinar el valor de 
estabilización de C(s) en un lazo de control por realimentación ante un cambio en 
el R(s). 
En la mayoría de los casos estudiados en los sistemas encontrados en los procesos químicos, 
¿Â	�� se puede aproximar de manera razonable mediante un sistema de primer orden más 
tiempo muerto, como se indica en la ecuación 3.126. Este tema se analizará en detalle en los 
próximos capítulos de este material. De esta forma se tiene que: 
¿Â	�� =
��
	§� + 1� ��{� 	��. 3.126� 
Si se analiza el caso del problema servo, i.e. Di(s)=0 y, por ejemplo, aplicando un salto escalón 
unitario en el set-point; se tendrá que R(s)=1/s. Si se ensaya la respuesta con un controlador 
proporcional puro, la ecuación 3.116 quedará: 
�	�� =
ÆÇ	ª�%h� ��{��­1 + ÆÇ	ª�%h� ��{��­ y
1�z 	��. 3.127� 
Si se quiere averiguar qué valor tomará C(t) cuando el sistema se estabilice, se puede aplicar el 
teorema del valor final (ecuación 3.68); con lo cual se tendrá: 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.3-Transformadas de Laplace 
y diagramas en bloque 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 135 
 
lim�→7 �	�� = lim�→Q ��	�� = lim�→Q È�
ÆÇ	ª�%h� ��{��­1 + ÆÇ	ª�%h� ��{��­ y
1�zÉ = ���­1 + ���­ 	��. 3.128� 
De esta forma, el error de estado estacionario, u “off-set” para el cambio aplicado en el set-point 
en forma de escalón unitario para control proporcional puro, será: 
����
 = 1 − ���­1 + ���­ 	��. 3.129� 
En la ecuación 3.129 puede verse que a medida que Kc sube, el offset se reducirá, pero no 
logrará anularse. Este tema será ampliado en detalle más adelante en este material. Se presenta 
aquí para mostrar como haciendo usado del teorema del valor final y la expresión del lazo 
cerrado, se puede calcular fácilmente el valor de estabilización de un lazo de control por 
realimentación sin necesidad de realizar una simulación completa. Por ejemplo, si Kp tiene el 
valor de 2 (adimensional) y a KC se le asigna el valor de toma el valor de 
Si por el contario, el algoritmo de control usado es del tipo proporcional más integral, y se 
analiza el mismo caso que para el control proporcional, se tendrá: 
�	�� =
ÆÇ	ª�%h� ��{��­ ©1 + hª��«1 + ÆÇ	ª�%h� ��{��­ ©1 + hª��« y
1�z 	��. 3.130� 
Usando el teorema del valor final para determinar el valor de estabilización de C(t): 
lim�→7 �	�� = lim�→Q ��	�� = lim�→Q È�
ÆÇ	ª�%h� ��{��­ ©1 + hª��«1 + ÆÇ	ª�%h� ��{��­ ©1 + hª��« y
1�zÉ = ���­ ©1 +
hª��«1 + ���­ ©1 + hª��« 	��. 3.131� 
lim�→7 �	�� = lim�→Q È ���­ ©
ª��%hª�� «1 + ���­ ©ª��%hª�� «É 	��. 3.132� 
lim�→7 �	�� = lim�→Q Z ���­	§�� + 1�§�� + ���­	§�� + 1�[ 	��. 3.133� 
lim�→7 �	�� = lim�→Q Z §�����­ + ���­§�� + §�����­ + ���­[ = 1 	��. 3.134� 
Por lo tanto, no habrá offset con el modo integral: 
����
 = 1 − 1 = 0 	��. 3.135� 
Para este caso aplican las mismas conclusiones antes enunciadas en referencia a las ventajas que 
ofrecen las transformadas de Laplace facilitando los cálculos. 
Ejemplo 3.3: Simulación de un lazo cerrado de control por realimentación en modo servo 
y regulador mediante las transformadas de Laplace y el álgebra de diagramas en bloque. 
Sea un “proceso” en el cual una corriente de líquido se calienta desde una temperatura Ѳ1 a una 
temperaturaѲ2mediante vapor de agua, como el mostrado en la figura 1.30.La variable 
controlada es Ѳ2, la variable manipulada es el caudal de vapor, FV y Ѳ1 es la variable de 
perturbación, Se considera que el caudal de líquido a calentar, FL, permanece constante. La 
función de transferencia que relaciona a Ѳ2(s) con FV(s) es del tipo primer orden más tiempo 
muerto con una ganancia estática KP=2 °C/(Kg/minuto), una constante de tiempo T=10 
Teoría de control automático de procesos – Edición 2021 Cap.3-Transformadas de Laplace 
y diagramas en bloque 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 136 
 
segundos, un tiempo muerto L=3 segundos, mientras que la función de transferencia que 
relaciona a Ѳ2(s) con Ѳ1(s) es del tipo primer orden más tiempo muerto con una ganancia estática 
KP=1 °C/°C, una constante de tiempo T=10 segundos, un tiempo muerto L=3 segundos. Simule 
el comportamiento de un lazo de control por realimentación primero con modo proporcional 
puro para tres casos con valores de KC1=0,5 %/°C;KC2=1 %/°C; KC3=1,5 %/°C y luego con 
modo proporcional más integral, analizando 3 casos con los mismos valores de KC 
anteriormente indicados y con Ti=10 segundos para estos 3 casos, para el modo “servo”, i.e. 
salto escalón unitario en el set-point mientras no hay cambio en la temperatura de entrada Ѳ1 
(perturbación) y luego en modo “regulador”, i.e. cambio en Ѳ1 manteniéndoseel set-point sin 
cambio. Determine en cada caso el valor del offset de los gráficos de respuesta de la simulación 
y compárelos con los predichos precedentemente por el teorema del valor final. Saque 
conclusiones. Nótese que estos valores de KC y de Ti son propuestos de forma arbitraria (en el 
capítulo 7 se estudiarán métodos para encontrar valores “óptimos” para este sistema de acuerdo 
con el criterio de performance de cada método.) 
Resolución con el Program CC: 
El elemento de tiempo muerto debe aproximarse mediante la aproximación de Padé (ver punto 
4.2.3) ya que el Program CC y el MATLAB no manejan el término exponencial de la variable 
“s” sino que deben operar con polinomios, siendo la mencionada aproximación un cociente de 
polinomios de orden N. Ingresando los datos proporcionados y simulando los lazos de control 
por realimentación indicados, se tiene: 
CC>%Ingreso de datos de la función de transferencia del proceso Gp 
CC>Kp=2 
CC>T=10 
CC>L=3 
CC>N=2 
CC>%Ingreso de la función de transferencia Gp 
CC>Gp=(Kp/(T*s+1))*pade(L,N) 
CC>%Aplicación de un salto escalón unitario a lazo abierto a Gp 
CC>time(Gp) (ver respuesta en figura 3.11) 
CC> %Ingreso de la ganancia proporcional y de la función de transferencia del algoritmo P puro 
CC>Kc1=0.5 
CC>Gc1=Kc1 
CC> %Ingreso de la función de transferencia del lazo cerrado en modo servo 
CC>Glc1=Gp*Gc1/(1+Gp*Gc1) 
CC> %Ídem anterior 
CC>Kc2=1 
CC>Gc2=Kc2 
CC>Glc2=Gp*Gc2/(1+Gp*Gc2) 
CC> %Ídem anterior 
CC>Kc3=1.5 
CC>Gc3=Kc3 
CC>Glc3=Gp*Gc3/(1+Gp*Gc3) 
CC>figure 
CC>%Se aplica un salto escalón unitario en el setpoint con control P puro 
CC>time(Glc1,Glc2,Glc3) (ver respuesta en figura 3.12) 
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y diagramas en bloque 
 
Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 137 
 
CC> %Ingreso de las funciones de transferencia de los algoritmos PI y de las correspondientes 
funciones de transferencia de lazo cerrado en modo servo 
CC>Ti=10 
CC>Gc4=Kc1*(1+1/(Ti*s)) 
CC>Glc4=Gp*Gc4/(1+Gp*Gc4) 
CC>Gc5=Kc3*(1+1/(Ti*s)) 
CC>Glc5=Gp*Gc5/(1+Gp*Gc5) 
CC>%Se aplica un salto escalón unitario en el setpoint con control P y PI 
CC>time(Glc1,Glc2,Glc3,Glc4,Glc5) (ver respuesta en figura 3.13) 
CC>%Ingreso de datos de la función de transferencia de la perturbación Gd y de las funciones 
de transferencia de lazo cerrado en modo regulador 
CC>Gd=(1/(T*s+1))*pade(L,N) 
CC>Glcd1=Gd/(1+Gd*Gc1) 
CC>Glcd2=Gd/(1+Gd*Gc2) 
CC>Glcd3=Gd/(1+Gd*Gc3) 
CC>Glcd4=Gd/(1+Gd*Gc4) 
CC>Glcd5=Gd/(1+Gd*Gc5) 
CC>figure 
CC>%Se aplica un salto escalón unitario en la perturbación con control P y PI y sin control 
CC>time(Gp,Glc1,Glc2,Glc3,Glc4,Glc5) (ver respuesta en figura 3.14) 
 
Figura 3.11 (respuesta a lazo abierto de Gp(s) ante un salto escalón en su entrada, i.e. variable manipulada) 
 
Figura 3.12 (respuesta en modo servo con control proporcional puro) 
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Autores: Jorge Caporale y Luciano G. Ferrari Página 138 
 
Cálculo de los valores de offset para cada valor de KC: 
• Valor de estabilización para KC1=2*0,5/(1+2*0,5)=0,5 
• Valor de estabilización para KC2=2*1/(1+2*1)=0,666 
• Valor de estabilización para KC3=2*1,5/(1+2*1,5)=0,75 
De comparar estos valores con los correspondientes valores de estabilización en la figura 3.12 
puede verificarse la validez del teorema del valor final. Debido a que el salto escalón aplicado 
en el set-point es de magnitud 1, los correspondientes valores de offset serán: 
• Offset para KC1=1-0,5=0,5 
• Offset para KC2=1-0,666=0,333 
• Offset para KC3=1-0,75=0,25 
En la figura 3.13 se observa la respuesta a una demanda “servo” o “servo-control”, i.e. ante un 
cambio en el set-point (unitario en este caso) sin cambio en ninguna de las perturbaciones. En la 
misma se aprecia que el modo integral elimina el off-set debido a que la integral del error no 
deja de evolucionar (aumentar o disminuir, según corresponda) hasta que el error se hace cero, 
eliminando en consecuencia el “off-set”. En las figuras 3.11 a 3.14 las ondulaciones en los 
primeros instantes de tiempo son debidas a la aproximación de Padé, como se verá en el punto 
4.2.3. 
 
Figura 3.13 (respuesta en modo servo con control P y PI) 
En la figura 3.14 se observa la respuesta a una demanda de “regulación” o “control regulatorio”, 
i.e. ante un cambio en una perturbación, unitario en este caso, a set-point constante. En la misma 
se observan que sin control la entrada de la perturbación produce un cambio de +2 unidades en 
la variable controlada, mientras que la incorporación de un control P reduce, pero no soluciona, 
este impacto, mientras que el modo integral lograr retornar a la variable controlada a su valor 
antes de la entrada de la perturbación, dando por lo tanto un cambio de cero en la misma. 
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Figura 3.14 (respuesta en modo regulador con control P, PI y sin control) 
Con este ejemplo se ha ilustrado como haciendo uso del álgebra de diagramas en bloque y de un 
programa de simulación que sea capaz de manejar las transformadas de Laplace, se puede 
simular el comportamiento de un sistema tanto a lazo abierto, como a lazo cerrado, tanto en 
modo de servo-control como de control regulatorio, para ciertos algoritmos de control, 
proporcional y proporcional más integrador en este caso, y para ciertos valores de ganancia 
proporcional Kc y tiempo integral Ti, fijados, en este caso arbitrariamente. En el capítulo 7 se 
detallarán métodos de ajuste o sintonía de controladores que permitirán calcular los valores de 
Kc, Ti y Td “óptimos” para cumplir un determinado criterio de performance. 
 
Bibliografía del capítulo 3: 
 
1. Teoría de control automático de procesos. Apuntes originales de la cátedra, UTN-
FRRo-IQ Autores: Eduardo Darío Mutazzi; Jorge Caporale basados en el libro 
Dinámica de Sistemas de Katsuhiko Ogata, 1° Edición. 
2. Chemical Process Control – An Introduction to Theory and Practice. George 
Stephanopoulos. Prentice Hall-1984. 
3. Control Automático de Procesos, Teoría y Práctica, Smith y Corripio, 2° Edición, 
Editorial Limusa-Wiley.