06 - Ecuaciones_No_Lineales_en_IQ_MSA - Manuel Encinos

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MATEMMATEMÁÁTICA SUPERIOR APLICADATICA SUPERIOR APLICADA
 
SoluciSolucióón Numn Numéérica de rica de Ecuaciones No Ecuaciones No 
Lineales en IngenierLineales en Ingenieríía Qua Quíímicamica
Universidad TecnolUniversidad Tecnolóógica Nacional gica Nacional ––
 
Facultad Regional RosarioFacultad Regional Rosario
Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz 
03/12/200903/12/2009 MatemMatemáática Superior Aplicada tica Superior Aplicada 
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22
Ecuaciones No LinealesEcuaciones No Lineales (I)
(I)

 
Antes de plantear la resoluciAntes de plantear la resolucióón de Sistemas de Ecuaciones n de Sistemas de Ecuaciones 
No Lineales, resulta conveniente efectuar un breve repaso No Lineales, resulta conveniente efectuar un breve repaso 
de los mde los méétodos de resolucitodos de resolucióón de ecuaciones algebraicas no n de ecuaciones algebraicas no 
lineales (polinomios) y trascendentes.lineales (polinomios) y trascendentes.

 
La determinaciLa determinacióón de las ran de las raííces de una ecuacices de una ecuacióón algebraica n algebraica 
no lineal (polinomio) es uno de los problemas mno lineal (polinomio) es uno de los problemas máás antiguos s antiguos 
de las matemde las matemááticas que se presentan con frecuencia en la ticas que se presentan con frecuencia en la 
resoluciresolucióón de problemas reales.n de problemas reales.

 
Existe una gran variedad de mExiste una gran variedad de méétodos de resolucitodos de resolucióón que n que 
prueban la larga historia en el anprueban la larga historia en el anáálisis de este problema y lisis de este problema y 
de su importancia hasta la actualidad.de su importancia hasta la actualidad.
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Ecuaciones No Lineales (II)Ecuaciones No Lineales (II)

 
Estos mEstos méétodos se diferencian por la necesidad de:todos se diferencian por la necesidad de:

 
Obtener todas las raObtener todas las raííces de una ecuacices de una ecuacióón o n o úúnicamente nicamente 
algunas de ellas.algunas de ellas.

 
Determinar todas las raDeterminar todas las raííces reales o complejas, simples o ces reales o complejas, simples o 
mmúúltiples.ltiples.

 
De disponer de una 1era. aproximaciDe disponer de una 1era. aproximacióón para c/u de ellas.n para c/u de ellas.

 
DisponiDisponiééndose en la actualidad de computadoras ndose en la actualidad de computadoras 
digitales, resulta conveniente utilizar los mdigitales, resulta conveniente utilizar los méétodos mtodos máás s 
apropiados para obtenerlas.apropiados para obtenerlas.
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
 
Sea un a funciSea un a funcióón cualquiera de una variable que n cualquiera de una variable que 
llamamos llamamos f(xf(x))..

 
Se trata de encontrar un valorSe trata de encontrar un valor
 
x*x* para el que se cumpla para el que se cumpla 
f(xf(x*) = 0*) = 0. Si existe ese valor, se denomina . Si existe ese valor, se denomina raraíízz de la de la 
ecuaciecuacióón.n.

 
Pasos BPasos Báásicossicos::
1)1)
 
DeterminaciDeterminacióón de un valor aproximado de la ran de un valor aproximado de la raííz (valor de z (valor de
 
 
arranque de marranque de méétodo).todo).
2)2)
 
Mejoramiento de la soluciMejoramiento de la solucióón hasta un grado de precisin hasta un grado de precisióón n 
establecido.establecido.
SoluciSolucióón Numn Numéérica de Ecuaciones rica de Ecuaciones 
Algebraicas y Trascendentes de una VariableAlgebraicas y Trascendentes de una Variable
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Paso 1:Paso 1:
 
Se resuelve bajo consideraciones fSe resuelve bajo consideraciones fíísicas del problema que sicas del problema que 
se estudia o graficando la funcise estudia o graficando la funcióón y determinando dos valores de n y determinando dos valores de 
la variable independiente para los que la funcila variable independiente para los que la funcióón cambia de signo.n cambia de signo.
Por ejemplo:Por ejemplo:
 
Si para dos valores Si para dos valores xx-- y y xx++ se tiene:se tiene:
f(xf(x--) < 0) < 0 y y f(xf(x++) > 0) > 0
y y f(xf(x)) es una funcies una funcióón continua en el intervalo n continua en el intervalo [[xx--, , xx++] ] se puede se puede 
asegurar que existeasegurar que existe
 
x* x*  [[xx--,, xx++]]; entonces podemos elegir como ; entonces podemos elegir como 
valor de arranque: valor de arranque: xx00 = (x= (x--+ x+ x++)/2 )/2 
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66
x 4 senx f(x) = x-
 
4 senx
-3/2 4 -8.7124
-5/4 2.8284 -6.7554
- 0 -3.1416
-3/4 -2.8284 0.4722
-/2 -4 2.4292
-/4 -2.8284 2.0430
0 0 0
/4 2.8284 -2.0430
/2 4 -2.4292
3/4 2.8284 -0.4722
 0 3.1416
5/4 -2.8284 6.7554
3/2 -4 8.7124

Ejemplo: Ejemplo: f(xf(x) = x ) = x ––
 
4 4 senxsenx
CambioCambio
de de 
signosigno
CambioCambio
de de 
signosigno
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GrGrááfica de la Funcifica de la Funcióónn
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88

 
Luego, existe una raLuego, existe una raííz en el intervalo z en el intervalo ((--,,--33/4)/4)..

 
Entonces podemos elegir como primera aproximaciEntonces podemos elegir como primera aproximacióón a la n a la 
solucisolucióón el valor:n el valor:

 
Esto es, Esto es, xx00 = 2.5= 2.5 puede considerarse un valor aproximado de puede considerarse un valor aproximado de 
x*.x*.

 
AnAnáálogamente existe otra ralogamente existe otra raííz enz en
 
(3(3/4, /4, )) y un valor y un valor 
aproximado de aproximado de éésta rasta raííz es:z es:

 
Existe una tercer raExiste una tercer raííz en z en x = 0x = 0 cuya determinacicuya determinacióón resulta n resulta 
obvia.obvia.
0
x x 2.3562 3.1416x 2.5
2 2
  
  
0
x x 3.1416 2.3562x 2.5
2 2
   
  
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Paso 2: Paso 2: Mejorar la soluciMejorar la solucióón mediante la simple repeticin mediante la simple repeticióón del n del 
mméétodo o mediante la implementacitodo o mediante la implementacióón de un mn de un méétodo mtodo máás refinado s refinado 
hasta lograr el grado de precisihasta lograr el grado de precisióón requerido.n requerido.
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1010
DiscusiDiscusióón de la Convergencia (I)n de la Convergencia (I)

 
SoluciSolucióón Iterativa:n Iterativa:
 
Significa comenzar con una soluciSignifica comenzar con una solucióón inicial n inicial 
(aproximada ) y generar una secuencia de n(aproximada ) y generar una secuencia de núúmeros (serie):meros (serie):
tal que si existe tal que si existe 
entonces entonces x*x*
 
es una raes una raííz de la ecuaciz de la ecuacióón n f(xf(x*) = 0*) = 0..

 
Error Exacto en la IteraciError Exacto en la Iteracióón n:n n:

 
HipHipóótesis Usuales:tesis Usuales:
1)1)
 
Se debe cumplir que:Se debe cumplir que:
2)2)
 
Existe una raExiste una raííz z úúnica en nica en I = I = [[a, ba, b]]y pertenece a y pertenece a R.R.
    (1)Ix* a,b y f x C∈ ∈
 n 1 2 nx x , x , ..., x
n ne x x*  
   nnlím x x* y f x* 0  
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1111
DiscusiDiscusióón de la Convergencia (II)n de la Convergencia (II)

 
El error exacto en la iteraciEl error exacto en la iteracióón n nn no se conoce:no se conoce:
por lo tanto no puede utilizarse como criterio de por lo tanto no puede utilizarse como criterio de 
terminaciterminacióón de mn de méétodo.todo.

 
Tolerancia del Error:Tolerancia del Error:
oo
n n 1
n 1
x x
x



 
n ne x x*  
 n
n n 1
f x
x x 

 


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1212
Orden de Convergencia (I)Orden de Convergencia (I)

 
Un mUn méétodo iterativo se dice todo iterativo se dice convergente de orden pconvergente de orden p, si , si 
existe un nexiste un núúmero mero p p  RR tal que:tal que:
donde donde KK representa la constante asintrepresenta la constante asintóótica del error.tica del error.

 
A mayor orden de convergencia, el mA mayor orden de convergencia, el méétodo convergertodo convergeráá
 
a a 
mayor velocidad, lo cual no implica garantmayor velocidad, lo cual no implica garantíía de a de 
convergencia.convergencia.

 
AdemAdemáás del orden de convergencia, en el proceso de s del orden de convergencia, en el proceso de 
ccáálculo interviene el costo computacional por iteracilculo interviene el costo computacional por iteracióón n 
que es importante para definir la eficiencia del mque es importante para definir la eficiencia del méétodo.todo.
n 1 n 1
pn n
nn
x x* e
lím lím K 1 ; K 0
ex x*
 
 

   

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Orden de Convergencia (II)Orden de Convergencia (II)
Método Orden de 
Convergencia
Información 
Requerida para 
Calcular xn+1
Sustitución Directa Lineal 
(p=1)
F(xn ) = xn + f(xn )
Newton - Raphson Cuadrático 
(p= 2)
f(xn ) y f ’(xn ) 
Secante Superlineal
(p = 1.618)
f(xn ) y f(xn-1 )
Bisección Lineal 
(p =1)
f(xn ) y f(xn-1 )
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1414
Principales MPrincipales Méétodos Iterativostodos Iterativos

 
A los fines de su consideraciA los fines de su consideracióón en la resolucin en la resolucióón de n de 
problemas de ingenierproblemas de ingenieríía, podemos agruparlos en dos a, podemos agruparlos en dos 
categorcategoríías:as:
1.1.
 
MMéétodo de Aproximaciones Sucesivastodo de Aproximaciones Sucesivas
2.2.
 
MMéétodos de todos de LinealizaciLinealizacióónn
a)a)
 
Newton Newton ––
 
RaphsonRaphson
b)b)
 
Modificado de Newton para Resolver RaModificado de Newton para Resolver Raííces Mces Múúltiplesltiples
c)c)
 
Von Mises o Cuerdas ParalelasVon Mises o Cuerdas Paralelas
d)d)
 
SecanteSecante
e)e)
 
Regula Regula falsifalsi
 
y my méétodos relacionados.todos relacionados.
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MMéétodo de Aproximaciones Sucesivas (I)todo de Aproximaciones Sucesivas (I)

 
Dada la ecuaciDada la ecuacióón n f(xf(x) = 0) = 0 se la explicita de la siguiente se la explicita de la siguiente 
manera:manera:
x = x = F(xF(x) ) dondedonde
 
F(xF(x) )  x + x + f(xf(x))

 
La condiciLa condicióón suficiente de convergencia del mn suficiente de convergencia del méétodo es:todo es:
FF’’(x) (x) 
 
< 1< 1

 
Algoritmo:Algoritmo:

 
Para evitar oscilaciones e incluso divergencias se utiliza la Para evitar oscilaciones e incluso divergencias se utiliza la 
siguiente secuencia (siguiente secuencia (qq: acelerador de convergencia):: acelerador de convergencia):
  n 1 nx F x
 
   
nn 1
n 1 n n 1
Estimación : x F x
Mejora : x qx 1 q x

 

  
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1616
MMéétodo de Aproximaciones Sucesivas (II)todo de Aproximaciones Sucesivas (II)
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1717
MMéétodo de todo de WegsteinWegstein (I)
(I)

 
MMéétodo para acelerar la convergencia del mtodo para acelerar la convergencia del méétodo de todo de 
aproximaciones sucesivas.aproximaciones sucesivas.

 
De gran importancia para resolver sistemas de ecuaciones no De gran importancia para resolver sistemas de ecuaciones no 
lineales.lineales.

 
El mEl méétodo propone un valor mejorado de la solucitodo propone un valor mejorado de la solucióón de n de 
acuerdo a:acuerdo a:
de manera que: de manera que: 
se corrige se corrige xxnn+2+2 y continy continúúa.a.
   n 1 n n 1x q x 1 q x   
 n 1n 2x F x  
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1818

 
Distinguimos las siguientes etapas del mDistinguimos las siguientes etapas del méétodo:todo:
1)1)
 
Etapa de preparaciEtapa de preparacióón.n.
2)2)
 
Etapa de iniciaciEtapa de iniciacióón.n.
3)3)
 
Etapa general del mEtapa general del méétodo.todo.
MMéétodo de todo de WegsteinWegstein (II)
(II)
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1919
MMéétodo de todo de WegsteinWegstein (III)
(III)
1)1)
 
Etapa de PreparaciEtapa de Preparacióón:n:
Se generan tres valores de Se generan tres valores de xx a partir de una a partir de una 
estimaciestimacióón inicial n inicial xx0 0 utilizando el modelo sin utilizando el modelo sin 
variantes.variantes.
 

   

   
1 0
1 1
12 1
2 2
23 2
x F x
x x
x F x F x
x x
x F x F x


 

 
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2020
MMéétodo de todo de WegsteinWegstein (IV)
(IV)
2)2)
 
Etapa de IniciaciEtapa de Iniciacióón:n:
 
   
 
   
2 1
3 2
2 1 2 1
3 2 3
F x F xx x
w
x x x x
wq
w 1
x q x 1 q x

 
 


  
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2121
MMéétodo de todo de WegsteinWegstein (V)
(V)
3)3)
 
Etapa General del MEtapa General del Méétodo:todo:
 
 
   
 
   
nn 1
n n 1
n 1 n
n n 1 n n 1
n 1 n n 1
x F x
F x F xx x
w
x x x x
wq
w 1
x qx 1 q x



 
 


 
 


  
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2222
MMéétodo de todo de WegsteinWegstein (VI)
(VI)

 
Significado del MSignificado del Méétodo:todo:
 
La soluciLa solucióón mejorada en la etapa n mejorada en la etapa 
(n+1) se obtiene extrapolando la recta que pasa por:(n+1) se obtiene extrapolando la recta que pasa por:
hasta su interseccihasta su interseccióón con la recta n con la recta y = xy = x::

 
EcuaciEcuacióón de la Recta Secante:n de la Recta Secante:
oo
cuya interseccicuya interseccióón con la recta n con larecta y = x y = x es:es:
     n 1 n 1 n nx ,F x y x ,F x       
( ) ( ) ( )( )n n 1n n
n n 1
F x F x
y F x x x
x x
-
-
-
= + -
-
 
 
 
( ) ( )n ny F x w x x= + - 
    n 1 n nn 1 n 1
w 1x x x q x 1 q x
w 1 w 1
       
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2323
MMéétodo de todo de WegsteinWegstein (VII)
(VII)
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2424
MMéétodo de Newton todo de Newton RaphsonRaphson
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2525
MMéétodo de Newton todo de Newton RaphsonRaphson
 
de 2do. Ordende 2do. Orden
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2626
MMéétodo de Newton todo de Newton RaphsonRaphson
 
de 2do. Ordende 2do. Orden
 Forma AlternativaForma Alternativa
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2727
MMéétodo de Interpolacitodo de Interpolacióón Lineal on Lineal o
 Falsa PosiciFalsa Posicióónn
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2828
Ejemplos de AplicaciEjemplos de Aplicacióónn

 
A continuaciA continuacióón se presentan algunos ejemplos n se presentan algunos ejemplos 
de aplicacide aplicacióón de mn de méétodos numtodos numééricos en la ricos en la 
resoluciresolucióón de problemas tn de problemas tíípicos de Ingenierpicos de Ingenieríía a 
QuQuíímica.mica.

 
Obviamente, estos ejemplos no cubren todos Obviamente, estos ejemplos no cubren todos 
los campos que pueden analizarse en un curso los campos que pueden analizarse en un curso 
de este tipo.de este tipo.
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2929
EcuaciEcuacióón de Estado n de Estado SoaveSoave--RedlichRedlich--KwongKwong::
Determinar el volumen especDeterminar el volumen especíífico V de un gas a T y P dadas:fico V de un gas a T y P dadas:
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3030
Underwood:Underwood:
 
RelaciRelacióón de mn de míínimo reflujo de una nimo reflujo de una 
columna de destilacicolumna de destilacióón mn múúltiple etapa:ltiple etapa:
ColebrookColebrook::
 
Factor de fricciFactor de friccióón para el flujo turbulento a n para el flujo turbulento a 
travtravéés de una tubers de una tuberíía de un fluido incompresible :a de un fluido incompresible :
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3131
MMéétodo de los Operadores Diferenciales para la Determinacitodo de los Operadores Diferenciales para la Determinacióón de n de 
Soluciones AnalSoluciones Analííticas de Ecuaciones Diferenciales Homogticas de Ecuaciones Diferenciales Homogééneas neas 
Lineales de Orden n:Lineales de Orden n:
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3232
Tipos de RaTipos de Raííces y su Aproximacices y su Aproximacióónn
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3333
Tipos de RaTipos de Raííces y su Aproximacices y su Aproximacióónn
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3434
Tipos de RaTipos de Raííces y su Aproximacices y su Aproximacióónn
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3535
Tipos de RaTipos de Raííces y su Aproximacices y su Aproximacióónn
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3636
SoluciSolucióón Numn Numéérica de Ecuaciones No Linealesrica de Ecuaciones No Lineales
 Ejemplos y Archivos .mEjemplos y Archivos .m

 
Ejemplo_01.m:Ejemplo_01.m:
 
Calcula el factor de fricciCalcula el factor de friccióón a partir de la n a partir de la 
EcuaciEcuacióón de n de ColebrookColebrook
 
mediantemediante

 
Aproximaciones Sucesivas (Aproximaciones Sucesivas (XGX.mXGX.m).).

 
InterpolaciInterpolacióón Lineal (n Lineal (LI.mLI.m).).

 
NewtonNewton--RaphsonRaphson
 
((NR.mNR.m).).

 
Ejemplo_02.m:Ejemplo_02.m:
 
Resuelve la ecuaciResuelve la ecuacióón de estado n de estado SoaveSoave--RedlichRedlich--
 KwongKwong
 
mediante el mmediante el méétodo de Newtontodo de Newton--RaphsonRaphson
 
para polinomios para polinomios 
((NRpoly.mNRpoly.m).).

 
Ejemplo_03.m:Ejemplo_03.m:
 
Resuelve polinomios de grado n y funciones de Resuelve polinomios de grado n y funciones de 
transferencia utilizando el mtransferencia utilizando el méétodo de Newtontodo de Newton--RaphsonRaphson
 
con con 
divisidivisióón sintn sintéética (tica (NRsdivision.mNRsdivision.m).).
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3737
SoluciSolucióón Numn Numéérica de Ecuaciones No Linealesrica de Ecuaciones No Lineales
 Ejemplos y Archivos .mEjemplos y Archivos .m
MMéétodostodos

 
XGX.mXGX.m::
 
MMéétodo de Aproximaciones Sucesivas para todo de Aproximaciones Sucesivas para 
determinar una radeterminar una raííz de una ecuaciz de una ecuacióón no lineal.n no lineal.

 
LI.mLI.m::
 
MMéétodo de Interpolacitodo de Interpolacióón Lineal para determinar n Lineal para determinar 
una una raraóózz
 
de una ecuacide una ecuacióón no lineal.n no lineal.

 
NR.mNR.m::
 
MMéétodo Newtontodo Newton--RaphsonRaphson
 
para determinar una para determinar una 
raraííz de una ecuaciz de una ecuacióón no lineal.n no lineal.

 
NRpoly.mNRpoly.m::
 
MMéétodo Newtontodo Newton--RaphsonRaphson
 
para determinar para determinar 
una rauna raííz de una ecuaciz de una ecuacióón polinomial.n polinomial.

 
NRsdivision.mNRsdivision.m::
 
MMéétodo Newtontodo Newton--RaphsonRaphson
 
con divisicon divisióón n 
sintsintéética para determinar todas las ratica para determinar todas las raííces de una ces de una 
ecuaciecuacióón polinomial.n polinomial.
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3838
SoluciSolucióón Numn Numéérica de Ecuaciones No Linealesrica de Ecuaciones No Lineales
 Ejemplos y Archivos .mEjemplos y Archivos .m
FuncionesFunciones

 
Colebrookg.mColebrookg.m: : Contiene la EcuaciContiene la Ecuacióón de n de ColebrookColebrook
 expresada en forma que pueda resolverse mediante expresada en forma que pueda resolverse mediante 
Aproximaciones Sucesivas (utilizada en el Aproximaciones Sucesivas (utilizada en el 
Ejemplo_01.m).Ejemplo_01.m).

 
Colebrook.mColebrook.m: : Contiene la EcuaciContiene la Ecuacióón de n de ColebrookColebrook
 expresada en forma quepueda resolverse mediante expresada en forma que pueda resolverse mediante 
InterpolaciInterpolacióón Lineal o Newtonn Lineal o Newton--RaphsonRaphson
 
(utilizada en el (utilizada en el 
Ejemplo_01.m).Ejemplo_01.m).
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3939
Ejemplo 1: SoluciEjemplo 1: Solucióón de la Ecuacin de la Ecuacióón de n de ColebrookeColebrooke

 
Determinar la SoluciDeterminar la Solucióón de la Ecuacin de la Ecuacióón de n de ColebrookColebrook
 
Mediante los Mediante los 
mméétodos de:todos de:

 
SustituciSustitucióón Directa o Aproximaciones Sucesivasn Directa o Aproximaciones Sucesivas

 
InterpolaciInterpolacióón Linealn Lineal

 
NewtonNewton--RaphsonRaphson

 
Desarrollar una funciDesarrollar una funcióón de MATLAB para resolver ecuaciones n de MATLAB para resolver ecuaciones 
no lineales mediante los mno lineales mediante los méétodos de sustitucitodos de sustitucióón directa, n directa, 
interpolaciinterpolacióón lineal y Newtonn lineal y Newton--RaphsonRaphson. . 

 
Utilice estas funciones para calcular el factor de fricciUtilice estas funciones para calcular el factor de friccióón de la n de la 
EcuaciEcuacióón de n de ColebrookColebrook
 
para el flujo a travpara el flujo a travéés de una tubers de una tuberíía con a con 
/D = 10/D = 10−−44
 
y Re = 10y Re = 1055. Compare estos m. Compare estos méétodos.todos.
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4040
Ejemplo 1Ejemplo 1
Calculating the friction factor from the Colebrook equationCalculating the friction factor from the Colebrook equation
Reynolds No. = 1e5Reynolds No. = 1e5
Relative roughness = 1eRelative roughness = 1e--44
1 ) Successive substitution1 ) Successive substitution
2 ) Linear Interpolation2 ) Linear Interpolation
3 ) Newton 3 ) Newton RaphsonRaphson
0 ) Exit0 ) Exit
Choose the method of solution : 1Choose the method of solution : 1
Function containing the Colebrook equation : 'Function containing the Colebrook equation : 'ColebrookgColebrookg''
Starting value = 0.01Starting value = 0.01
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4141
Iteration x Iteration x g(xg(x))
1 0.01 0.0201683 1 0.01 0.0201683 
2 0.0201683 0.0187204 2 0.0201683 0.0187204 
3 0.0187204 0.0188639 3 0.0187204 0.0188639 
4 0.0188639 0.0188491 4 0.0188639 0.0188491 
5 0.0188491 0.0188506 5 0.0188491 0.0188506 
6 0.0188506 0.0188505 6 0.0188506 0.0188505 
f = 0.0189f = 0.0189
Ejemplo 1Ejemplo 1
03/12/2009 42
0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02
0.0188
0.019
0.0192
0.0194
0.0196
0.0198
0.02
0.0202
0.0204
 x
 g
(x
) 
[-
- 
: 
y=
x]
 x=g(x): fcn and path to root, (*: initial; o: root)
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4343
1 ) Successive substitution1 ) Successive substitution
2 ) Linear Interpolation2 ) Linear Interpolation
3 ) Newton 3 ) Newton RaphsonRaphson
0 ) Exit0 ) Exit
Choose the method of solution : 2Choose the method of solution : 2
Function containing the Colebrook equation : 'Colebrook'Function containing the Colebrook equation : 'Colebrook'
First starting value = 0.01First starting value = 0.01
Second starting value = 0.03Second starting value = 0.03
Ejemplo 1Ejemplo 1
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4444
Iteration x Iteration x f(xf(x))
0 0.01 2.9585 0 0.01 2.9585 
0 0.03 0 0.03 --1.68128 1.68128 
1 0.0227528 1 0.0227528 --0.723985 0.723985 
2 0.0202455 0.282098 2 0.0202455 0.282098 
3 0.0193536 3 0.0193536 --0.105158 0.105158 
4 0.0190326 4 0.0190326 --0.0385242 0.0385242 
5 0.0189165 5 0.0189165 --0.0140217 0.0140217 
6 0.0188744 6 0.0188744 --0.00509133 0.00509133 
7 0.0188592 7 0.0188592 --0.00184708 0.00184708 
8 0.0188536 8 0.0188536 --0.000669888 0.000669888 
9 0.0188516 9 0.0188516 --0.000242924 0.000242924 
10 0.0188509 10 0.0188509 --8.80885e8.80885e--005 005 
f = 0.0189f = 0.0189
Ejemplo 1Ejemplo 1
03/12/2009 45
0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
-1
0
1
2
3
4
 x
 f
(x
)
 Linear Interpolation: fcn and path to root (*: initial;o: root)
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4646
1 ) Successive substitution1 ) Successive substitution
2 ) Linear Interpolation2 ) Linear Interpolation
3 ) Newton 3 ) Newton RaphsonRaphson
0 ) Exit0 ) Exit
Choose the method of solution : 3Choose the method of solution : 3
Function containing the Colebrook equation : 'Colebrook'Function containing the Colebrook equation : 'Colebrook'
Starting value = 0.01Starting value = 0.01
Ejemplo 1Ejemplo 1
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4747
Ejemplo 1Ejemplo 1
Starting value = 0.01Starting value = 0.01
Iteration x Iteration x f(xf(x))
0.01 2.9585 0.01 2.9585 
1 0.0154904 0.825216 1 0.0154904 0.825216 
2 0.0183977 0.0982029 2 0.0183977 0.0982029 
3 0.0188425 0.00170492 3 0.0188425 0.00170492 
4 0.0188505 6.30113e4 0.0188505 6.30113e--007 007 
5 0.0188505 3.79039e5 0.0188505 3.79039e--011 011 
f = 0.0189f = 0.0189
03/12/2009 48
0.01 0.011 0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
 x
 f
(x
)
 Newton-Raphson: fcn and path to root (*: initial; o: root)
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4949
Ejemplo 2: DeterminaciEjemplo 2: Determinacióón den de
 
una rauna raííz de un z de un 
polinomio de grado n mediante el mpolinomio de grado n mediante el méétodo de todo de 
Newton Newton RaphsonRaphson
 
aplicado a la Ecuaciaplicado a la Ecuacióón de Estado n de Estado 
SoaveSoave--RedlichRedlich--KwongKwong..

 
Desarrollar una funciDesarrollar una funcióón de MATLAB para calcular una n de MATLAB para calcular una 
raraííz de una ecuaciz de una ecuacióón polinomial mediante el mn polinomial mediante el méétodo de todo de 
NewtonNewton--RaphsonRaphson..

 
Calcular el volumen especCalcular el volumen especíífico de un gas puro a una fico de un gas puro a una 
dada presidada presióón y temperatura utilizando la Ecuacin y temperatura utilizando la Ecuacióón de n de 
Estado Estado SoaveSoave--RedlichRedlich--KwongKwong: : 
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5050
Las constantes a y b de la EcuaciLas constantes a y b de la Ecuacióón se obtienen de la siguiente maneran se obtienen de la siguiente manera
donde Tc y donde Tc y PcPc
 
representan la temperatura crrepresentan la temperatura críítica y la presitica y la presióón crn críítica tica 
respectivamente. La variable respectivamente. La variable 
 
es una funcies una funcióón empn empíírica de la rica de la 
temperatura:temperatura:
El valor de S es funciEl valor de Ses funcióón del factor n del factor acacééntricontrico, , , del gas:, del gas:
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5151
Las propiedades fLas propiedades fíísicas del nsicas del n--butano son:butano son:
La constante general de los gases es:La constante general de los gases es:

 
Calcular el volumen especCalcular el volumen especíífico del vapor de nfico del vapor de n--butanebutane
 
a 500K y a a 500K y a 
presiones de 1 a 40 presiones de 1 a 40 atmatm..

 
Comparar los resultados grComparar los resultados grááficamente con aquellos obtenidos ficamente con aquellos obtenidos 
utilizando la Ley de los Gases Ideales.utilizando la Ley de los Gases Ideales.

 
¿¿QuQuéé
 
conclusiconclusióón saca de esta comparacin saca de esta comparacióón?n?
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5252
Input the vector of pressure range (Pa) = [1:40]*101325Input the vector of pressure range (Pa) = [1:40]*101325
Input temperature (K) = 500Input temperature (K) = 500
Critical temperature (K) = 425.2Critical temperature (K) = 425.2
Critical pressure (Pa) = 3797e3Critical pressure (Pa) = 3797e3
AcentricAcentric
 
factor = 0.1931factor = 0.1931
RESULTS:RESULTS:
Pres. = 101325.00 Ideal gas vol. =41.0264 Real gas vol. =40.8111Pres. = 101325.00 Ideal gas vol. =41.0264 Real gas vol. =40.8111
Pres. = 1013250.00 Ideal gas vol. = 4.1026 Real gas vol. = 3.883Pres. = 1013250.00 Ideal gas vol. = 4.1026 Real gas vol. = 3.88388
Pres. = 2026500.00 Ideal gas vol. = 2.0513 Real gas vol. = 1.828Pres. = 2026500.00 Ideal gas vol. = 2.0513 Real gas vol. = 1.82844
Pres. = 3039750.00 Ideal gas vol. = 1.3675 Real gas vol. = 1.140Pres. = 3039750.00 Ideal gas vol. = 1.3675 Real gas vol. = 1.14077
Pres. = 4053000.00 Ideal gas vol. = 1.0257 Real gas vol. = 0.795Pres. = 4053000.00 Ideal gas vol. = 1.0257 Real gas vol. = 0.79544
Ejemplo 2Ejemplo 2
03/12/2009 53
10
2
10
3
10
4
10
-1
10
0
10
1
10
2
 Pressure, kPa
 S
p
ec
if
ic
 V
o
lu
m
e,
 m
3 /
km
o
l
 Newton-Raphson: fcn and path to root (*: initial; o: root)
 Ideal
 SRK
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5454
Ejemplo 3: SoluciEjemplo 3: Solucióón de un Polinomio de Grado n y n de un Polinomio de Grado n y 
FunciFuncióón de Transferencia Utilizando el Mn de Transferencia Utilizando el Méétodo todo 
NewtonNewton--RaphsonRaphson
 
con Divisicon Divisióón Sintn Sintéética y Mtica y Méétodo todo 
de Autovalores.de Autovalores.
Consideremos el reactor isotConsideremos el reactor isotéérmico continuo tanque rmico continuo tanque 
agitado (CSTR) como el que se muestra en la siguiente agitado (CSTR) como el que se muestra en la siguiente 
Figura:Figura:
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5555
Las componentes A y R alimentan al reactor a Las componentes A y R alimentan al reactor a 
tasas Q y (q tasas Q y (q −−
 
Q), respectivamente. En el reactor se Q), respectivamente. En el reactor se 
desarrolla el siguiente esquema de reaccidesarrolla el siguiente esquema de reaccióón:n:
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5656
Este problema fue analizado por Douglas para Este problema fue analizado por Douglas para 
ilustrar las diversas tilustrar las diversas téécnicas de disecnicas de diseñño de sistemas o de sistemas 
de control simple con retroalimentacide control simple con retroalimentacióón En su n En su 
ananáálisis Douglas hizo las siguientes hiplisis Douglas hizo las siguientes hipóótesis:tesis:
1)1)
 
La componente R estLa componente R estáá
 
presente en el reactor en exceso de presente en el reactor en exceso de 
manera que las velocidades de reaccimanera que las velocidades de reaccióón puedan aproximarse n puedan aproximarse 
por expresiones de primer orden.por expresiones de primer orden.
2)2)
 
Las componentes B, C, D y E de la alimentaciLas componentes B, C, D y E de la alimentacióón son cero.n son cero.
3)3)
 
Se elige un conjunto particular de valores de velocidades y de Se elige un conjunto particular de valores de velocidades y de 
concentraciones de la alimentaciconcentraciones de la alimentacióón, constantes cinn, constantes cinééticas y ticas y 
volumen del reactor.volumen del reactor.
4)4)
 
Las perturbaciones se deben a cambios en la composiciLas perturbaciones se deben a cambios en la composicióón de n de 
la componente R en el recipiente.la componente R en el recipiente.
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5757

 
El objetivo del control es mantener la composiciEl objetivo del control es mantener la composicióón de la n de la 
componente C tan prcomponente C tan próóxima como sea posible al valor de xima como sea posible al valor de 
disediseñño en estado estacionario, a pesar del hecho que o en estado estacionario, a pesar del hecho que 
ingresen perturbaciones al sistema.ingresen perturbaciones al sistema.

 
Este objetivo se alcanza mediante la mediciEste objetivo se alcanza mediante la medicióón de la n de la 
composicicomposicióón real de C utilizando la diferencia entre el n real de C utilizando la diferencia entre el 
valor deseado y el valor medido para manipular el valor deseado y el valor medido para manipular el 
caudal de entrada Q de la componente A.caudal de entrada Q de la componente A.

 
Douglas desarrollDouglas desarrollóó
 
la siguiente funcila siguiente funcióón de transferencia n de transferencia 
para el reactor con un sistema de control proporcional:para el reactor con un sistema de control proporcional:
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5858

 
KcKc
 
es la ganancia del controlador proporcional.es la ganancia del controlador proporcional.

 
Este sistema de control es estable para valores de Este sistema de control es estable para valores de KcKc
 que suministran raque suministran raííces de la funcices de la funcióón de transferencia n de transferencia 
con parte real negativa.con parte real negativa.

 
Utilizando el mUtilizando el méétodo de Newtontodo de Newton--RaphsonRaphson
 
con divisicon divisióón n 
sintsintéética o el mtica o el méétodo de los autovalores, determine las todo de los autovalores, determine las 
raraííces de la funcices de la funcióón de transferencia para un rango de n de transferencia para un rango de 
valores de valores de KcKc
 
y calcule el valor cry calcule el valor críítico de tico de KcKc
 
por encima por encima 
del cual el sistema se vuelve inestable.del cual el sistema se vuelve inestable.

 
Escribir el programa de manera que pueda utilizarse Escribir el programa de manera que pueda utilizarse 
para resolver polinomios de grado n o funciones de para resolver polinomios de grado n o funciones de 
transferencia del tipo mostrado en la Ecuacitransferencia del tipo mostrado en la Ecuacióón anterior.n anterior.
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5959
ObsObséérvese lo siguiente:rvese lo siguiente:
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6060Algoritmo de la DivisiAlgoritmo de la Divisióón Sintn Sintééticatica
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6161
MMéétodo de los Autovalorestodo de los Autovalores
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6262
Vector of coefficients of the numerator polynomial = [2.98, 6.70Vector of coefficients of the numerator polynomial = [2.98, 6.705]5]
Vector of coefficients of the denominator polynomial =Vector of coefficients of the denominator polynomial =
[1, 11.5, 47.49, 83.0632, 51.2327][1, 11.5, 47.49, 83.0632, 51.2327]
Lower limit of the range of search = 0Lower limit of the range of search = 0
Upper limit of the range of search = 100Upper limit of the range of search = 100
1 ) Newton1 ) Newton--RaphsonRaphson
 
with synthetic divisionwith synthetic division
2 ) 2 ) EigenvalueEigenvalue
 
methodmethod
Method of root finding = 1Method of root finding = 1
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6363
KcKc
 
= 0.0000= 0.0000
RootsRoots
 
= = --4.35 4.35 --2.8591 2.8591 --2.8409 2.8409 --1.45 1.45 
KcKc
 
= 100.0000= 100.0000
RootsRoots
 
= = --9.851 9.851 --2.248 0.2995+5.701i 0.29952.248 0.2995+5.701i 0.2995--5.701i 5.701i 
KcKc
 
= 50.0000= 50.0000
RootsRoots
 
= = --8.4949 8.4949 --2.2459 2.2459 --0.3796+4.485i 0.3796+4.485i --0.37960.3796--4.485i 4.485i 
KcKc
 
= 75.0000= 75.0000
RootsRoots
 
= = --9.2487 9.2487 --2.2473 2.2473 --0.001993+5.163i 0.001993+5.163i --0.0019930.001993--5.163i 5.163i 
KcKc
 
= 87.5000= 87.5000
RootsRoots
 
= = --9.5641 9.5641 --2.2477 0.1559+5.445i 0.15592.2477 0.1559+5.445i 0.1559--5.445i 5.445i 
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6464
Kc = 81.2500Kc = 81.2500
Roots = Roots = --9.4104 9.4104 --2.2475 0.07893+5.308i 0.078932.2475 0.07893+5.308i 0.07893--5.308i 5.308i 
Kc = 78.1250Kc = 78.1250
Roots = Roots = --9.3306 9.3306 --2.2474 0.039+5.237i 0.0392.2474 0.039+5.237i 0.039--5.237i 5.237i 
Kc = 76.5625Kc = 76.5625
Roots = Roots = --9.29 9.29 --2.2473 0.01864+ 5.2i 0.018642.2473 0.01864+ 5.2i 0.01864--
 
5.2i 5.2i 
Kc = 75.7813Kc = 75.7813
Roots = Roots = --9.2694 9.2694 --2.2473 0.00836+5.182i 0.008362.2473 0.00836+5.182i 0.00836--5.182i 5.182i 
Kc = 75.3906Kc = 75.3906
Roots = Roots = --9.2591 9.2591 --2.2473 0.003192+5.173i 0.0031922.2473 0.003192+5.173i 0.003192--5.173i 5.173i 
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6565
KcKc
 
= 75.1953= 75.1953
RootsRoots
 
= = --9.2539 9.2539 --2.2473 0.0006016+5.168i 0.00060162.2473 0.0006016+5.168i 0.0006016--5.168i 5.168i 
KcKc
 
= 75.0977= 75.0977
RootsRoots
 
= = --9.2513 9.2513 --2.2473 2.2473 --0.0006953+5.166i 0.0006953+5.166i --0.00069530.0006953--5.166i 5.166i 
KcKc
 
= 75.1465= 75.1465
RootsRoots
 
= = --9.2526 9.2526 --2.2473 2.2473 --4.667e4.667e--005+5.167i 005+5.167i --4.667e4.667e--005005--5.167i 5.167i 
KcKc
 
= 75.1709= 75.1709
RootsRoots
 
= = --9.2533 9.2533 --2.2473 0.0002775+5.167i 0.00027752.2473 0.0002775+5.167i 0.0002775--5.167i 5.167i 
KcKc
 
= 75.1587= 75.1587
RootsRoots
 
= = --9.2529 9.2529 --2.2473 0.0001154+5.167i 0.00011542.2473 0.0001154+5.167i 0.0001154--5.167i 5.167i 
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KcKc
 
= 75.1526= 75.1526
RootsRoots
 
= = --9.2528 9.2528 --2.2473 3.438e2.2473 3.438e--005+5.167i 3.438e005+5.167i 3.438e--005005--5.167i 5.167i 
KcKc
 
= 75.1495= 75.1495
RootsRoots
 
= = --9.2527 9.2527 --2.2473 2.2473 --6.147e6.147e--006+5.167i 006+5.167i --6.147e6.147e--006006--5.167i 5.167i 
KcKc
 
= 75.1511= 75.1511
RootsRoots
 
= = --9.2527 9.2527 --2.2473 1.412e2.2473 1.412e--005+5.167i 1.412e005+5.167i 1.412e--005005--5.167i 5.167i 
KcKc
 
= 75.1503= 75.1503
RootsRoots
 
= = --9.2527 9.2527 --2.2473 3.985e2.2473 3.985e--006+5.167i 3.985e006+5.167i 3.985e--006006--5.167i5.167i
	MATEMÁTICA SUPERIOR APLICADA� �Solución Numérica de Ecuaciones No Lineales en Ingeniería Química
	Ecuaciones No Lineales (I)
	Ecuaciones No Lineales (II)
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	Ejemplos de Aplicación 
	Ecuación de Estado Soave-Redlich-Kwong:
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	Tipos de Raíces y su Aproximación
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	Solución Numérica de Ecuaciones No Lineales�Ejemplos y Archivos .m
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