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C10GL GRP03 - El presente documento muestra el coloquio
de desarrollo del método de Gauss
Metodos Numericos (Universidad de las Fuerzas Armadas de Ecuador)
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AREA DE CONOCIMIENTO: ANÁLISIS FUNCIONAL 
Ficha de Objeto de 
aprendizaje 1 
Unidad I (Cálculo Científico, Aproximaciones y Errores) Versión 1.0 
GRUPO: 03-06 
Diego Fonseca, Santiago Lozada, Christian Fernandez, Andres Pulupa, Josselyne 
Briceño, Kathy Flores 
ASIGNATURA ANÁLISIS NUMÉRICO 
 
1. Tema 
Integración numérica por el método de Gauss Legendre 
2. Formulación Matemática 
Gauss Legendre para dos puntos 
el método de integración numérica por Gauss Legendre consiste en determinar los coeficientes 
de una ecuación de forma ( ) ( ) 
La cual es aplicada para dos puntos como se muestra en la siguiente figura 
 
En donde c son los coeficientes desconocidos, a diferencia de los otros métodos de integración 
numérica los valores de xo y x1 no se encuentran fijos a los extremos sino que son variables las 
cuales se deben encontrar por lo tanto como en el método del trapecio supone que la ecuación se 
ajusta la integral de una constante y de una ecuación lineal, para este caso se supone que el 
método ajusta con exactitud también la integral de una función parabólica (y=x2) y cubica 
(y=x3) ya que al suponer esto se puede obtener fácilmente las 4 incógnitas donde se tiene: 
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 ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ 
De donde se tiene los valores de los coeficientes c así como las de las incógnitas al resolver el 
sistema de ecuaciones quedando como: √ √ 
Así la ecuación inicial se tiene que: ( √ ) ( √ ) 
Esto es utilizado para un caso particular de limites 1 y -1 para una generalización se tiene 
aplicando un cambio de variable para tener otros límites de integración y se realiza suponiendo 
un variable xd la cual esta relacionan con la variable x teniendo así: 
Si el límite inferior x=a corresponder a xd=-1, estos valores se sustituyen en la ecuación anterior 
teniendo: ( ) 
De igual forma para b donde xd=1 tenemos ( ) 
Estas ecuaciones se resuelven para obtener 
Donde la ecuación x queda ( ) ( ) 
Diferenciando la ecuación anterior se tiene que: 
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Y las anteriores dos ecuaciones se pueden sustituir por x y dx transformando así el intervalo de 
integración. 
Gauss Legendre para n puntos 
Para la realización del método para n puntos se realiza el mismo procedimiento teniendo en este 
caso: ( ) ( ) ( ) 
En donde se obtendran por un sistema de n+1 integrales. 
2.1. Requisitos Preliminares 
para este caso se requiere entender el funcionamiento de la integración numérica por el método 
del Newton-Cotes el cual engloba los dos siguientes métodos: 
Método del trapecio 
Parte de: 
 ∫ ( ) ∫ ( ) 
Siendo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Quedando así la forma de integración ( ) ( ) ( ) 
Método de Simpson 1/3 
define la integración como: 
 ∫ ( ) ∫ ( ) 
Representando a la función f(x) por medio de Legrende ∫ [ ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )] 
Una ves realizado la expansión se tiene que [ ( ) ( ) ( )] 
Donde 
 
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2.2. Demostraciones 
 
Gauss Legendre 
AFIRMACIÓN JUSTIFICACIÓN 
(1) ∫ ( ) ( ) ( ) A partir de la ecuación 1, cuya integral se desea encontrar, a partir de valores que representan raíces 
de polinomios ortogonales. 
W(x) es una función de ponderación no negativa en 
[a,b] 
(2) ( ) = 1 ( ) = x ( ) ( )= ( ) = ( ) ( ) = ( ) 
Basados en los 5 polinomios de Legendre 
(3) ( ) ( ) Polinomio de grado n en ecuación (3) 
(4) ∫ ( ) Usando la definición de Fórmula de integración Gaussiana, los límites de la integración se extienden 
al intervalo [-1,1] 
(5) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) Aproximación de la integral definida, donde son coeficientes ponderados, sin embargo se debe encontrar (2n+2)constantes para ( ) [ ] 
con n1 raíces distintas 
(6) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ∫ ( ) 
A partir de una relación con el polinomio 
interpolador, donde p(x) va a ser el polinomio de 
interpolación de Lagrange se desarrolla (6) 
(7) ∫ ( ) Calculo de coeficientes de ponderación 
utilizando la relación con Lagrange 
(8) ( ) ∑ ( ) ( ) Por definición, el polinomio de Lagrange para 
aproximar cualquier polinomio ( ) que pasa 
por n+1 puntos expresado como (8) 
(9) ∫ ( ) ∑ ( ) ∫ ( ) Utilizando la comparación suma integración 
(10) ∫ Comparando con la función general (5) Y (9), se 
deduce que (10) 
 
(11) 
 ( ) , = 0 para cuando x = , y para 
j≠k. 
El polinomio de relación tendrían una doble 
condición como se ve en (11) 
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(12) ( ) [ ( ) ( ) ] 
 ( ) ( ) 
 
y para j≠k. en la ecuación (12), se aplica derivación por L’Hopital, y es una de las raíces 
polinómicas de Lagendre 
(13) ( ) ( ) El polinomio puede expresarse como (13) 
(14) ( )∫ ( ) dx Los Coeficicentes de ponderacón se definen como (14) 
 
Para los límites de integración 
 
(15) ( ) ( ) dz Relación lineal de variables, en el intervalo [-1,1] 
(16) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) Extensión de la fórmula integral de f(x) en función de t 
(17) ∫ ( ) ∑ Se define la cuadratura de Gauss como (17) 
(18) ∫ ( ) ∑ (( ) ( ) ) 
 
Expresión ampliada de la ecuación de Gauss 
Legendre (18) 
 
 
 
 
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2.3. Teoría de Errores 
La teoría de error se especifica mediante: [( ) ] ( )[( ) ] ( )( ) 
Donde n es el número de puntos menos uno y ( )( ) 1 a (2n+2)-enésima derivada de la 
función, después del cambio de variable con localizada en algún lugar en el intervalo desde -1 
hasta 1. 
3. Referencias 
 
Burden, R., & Faires, D. (1995). Análisis numérico (Séptima edición). Youngstown State 
University. 
Chapra, S., & Canale, R. (2006). Métodos numéricos para Ingenieros (Quinta edición). México: 
Catedrático del Departamento de Física y Matemáticas. 
Chapras, S., & Raymond, C. (2006). Métodos numéricos para Ingenieros (5ta edición). México. 
Mathews, J. (2000). Métodos numéricos con Matlab (1st ed.). Madrid: PRENTICE HALL 
Iberia. 
Mugruza, C. (2008). Métodos Numéricos con MatlLab. Lima: Peruvian University of 
Technology. 
Nieves, A., & Domínguez, F. (2006). Métodos numéricos aplicados a la Ingeniería (Segunda 
Edición). COMPAÑÍA EDITORIAL CONTINENTAL. 
Osorio, R. (2007). Métodos Numéricos en Química con Matlab. Editorial de Antioquia. 
Santa Cruz, A. (2017). Matemática superior. Retrieved from 
http://www.modeladoeningenieria.edu.ar/mei/repositorio/catedras/msa/apuntes/Capitulo
_02.pdf 
Solución de Ecuaciones no lineales. (2017). Retrieved from 
http://campus.usal.es/~mpg/Personales/PersonalMAGL/Docencia/TeoriaTema7Calculo
CA11-12.pdf 
 
 
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