Copia de 10,1 Funciones Trigonométricas II VF 2021-II - BYRON DAVID CEVALLOS TRUJILLO

Vista previa del material en texto

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
PRE 2021-II
10,1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II
10,1
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COTANGENTE
𝐟 = 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ2/ 𝐲 = 𝐜𝐨𝐭 𝐱 ; 𝐱 ≠ 𝐤𝛑; 𝐤 ∈ ℤ
𝑨
𝒔í
𝒏
𝒕𝒐
𝒕𝒂
𝐱
=
𝛑
𝐱
=
𝟐
𝛑
𝒙
=
𝟎
𝑿
𝒀
𝐏(𝛉; 𝐜𝐨𝐭(𝛉))
π
2
3π
2
Su gráfica es:
0 π 2π
T = π
Análisis de la Gráfica
✓ Dom f = ℝ − kπ /k ∈ ℤ
✓ Ran f = ℝ ;−∞ < cot 𝑥 < +∞
✓ Es una función impar: ∀x ∈ Dom f ,−x ∈ Dom f y cot −x = −cot(x)
✓ Es una función decreciente en intervalos de la forma kπ; k + 1 π ; ∀k ∈ ℤ
✓ Es una función periódica, siendo su periodo principal o mínimo igual a π
✓ Es discontinua en los puntos de la forma kπ/k ∈ ℤ
✓ Las ecuaciones de sus asíntotas son de la forma: x = kπ; ∀k ∈ ℤ
APLICACIÓN 01:
Determine el dominio de la función f definida por:
f x = 3cot 2x − 1; ∀k ∈ ℤ
A) ℝ − 2kπ B)ℝ −
kπ
2
C) ℝ −
2k + 1 π
2
D) ℝ −
2k + 1 π
4
E) ℝ −
kπ
4
RESOLUCIÓN:
Para que f se encuentre definida: 2x ≠ kπ ⇒ x ≠
kπ
2
∴ Dom(f) = ℝ −
kπ
2
CLAVE: B
Consideración:
Si se define: f x = Acot Bx + C
A, B ∈ ℝ − 0 ; C ∈ ℝ
⇒ Dom(f) = ℝ −
kπ
B
; ∀k ∈ ℤ
APLICACIÓN 02:
Determine el dominio de la función f definida por:
f x = 3cot 3x −
π
5
+ sen 2x + 3; ∀k ∈ ℤ
A) ℝ−
(5k + 2)π
10
B)ℝ −
(5k − 1)π
10
C) ℝ −
5k + 1 π
15
D) ℝ−
kπ
3
E) ℝ−
kπ
6
RESOLUCIÓN:
Para que f se encuentre definida: 3x −
π
5
≠ kπ ⇒ 3x ≠ kπ +
𝜋
5
⇒ 3x ≠
(5k + 1)π
5
⇒ x ≠
(5k + 1)π
15
∴ Dom(f) = ℝ −
(5k + 1)π
15
CLAVE: C
APLICACIÓN 03:
Determine el dominio de la función f definida por:
f x = sen 3x cot πsen 3x ; ∀k ∈ ℤ
A) ℝ − kπ B)ℝ −
kπ
2
C) ℝ −
kπ
3
D) ℝ −
kπ
6
E) ℝ −
kπ
12
RESOLUCIÓN:
Para que f se encuentre definida: πsen(3x) ≠ kπ ⇒ sen 3x ≠ k; k ∈ ℤ
Entonces: sen 3x ≠ −1; 0; 1
Y
X
𝐀
𝐁
𝐀′
𝐁′
Con ayuda de la C.T: 𝟎
𝟏
𝟎
−𝟏
3x ≠
kπ
2 ∴ Dom(f) = ℝ −
kπ
6
CLAVE: D
x ≠
kπ
6
APLICACIÓN 04:
Determine el rango de la función f definida por:
f x = 3cot2 2x − 1; si x ∈ ർ
π
6
; ቃ
π
3
A) −1; 2 B) 0; 1 C) −1; 0 D) −1; 1 E) ሾ−1; ۧ0
RESOLUCIÓN:
Dado que:
π
6
< x ≤
π
3
⇒
π
3
< 2x ≤
2π
3
Como la función cotangente es decreciente 
en: 
ർ
π
3
; ൨
2π
3
π
3
< 2x ≤
2π
3
⇒ cot(
π
3
) > cot(2x) ≥ cot(
2π
3
) ⇒
1
3
> cot 2x ≥ −
1
3
⇒ 0 ≤ cot2(2x) ≤
1
3
⇒ −1 ≤ 3cot2 2x − 1 ≤ 0
f(x)
∴ Ran(f) = −1; 0 CLAVE: C
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SECANTE
𝐟 = 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ2/ 𝐲 = 𝐬𝐞𝐜 𝐱 ; 𝐱 ≠
(𝟐𝐤 + 𝟏)𝛑
𝟐
; 𝐤 ∈ ℤ
𝑿
𝒀
𝐱
=
𝟑
𝛑 𝟐
𝐱
=
−
𝛑 𝟐
𝑨
𝒔
í𝒏
𝒕𝒐
𝒕𝒂
𝐱
=
𝟓
𝛑 𝟐
𝐱
=
𝛑 𝟐
Su gráfica es:
𝟎
𝟏
𝛑/𝟐 𝛑
−𝟏
𝟑𝛑/𝟐 𝟐𝛑
T = 2π
Análisis de la Gráfica
✓ Dom f = ℝ −
(2k+1)π
2
; ∀k ∈ ℤ
✓ Ran f = ;∞−ۦ ሿ−1 ∪ ሾ1; ۧ+∞ ;−∞ < sec x ≤ −1 v 1 ≤ sec x < +∞
✓ Es una función par: ∀x ∈ Dom f , −x ∈ Dom f y sec −x = sec(x)
✓ Es una función creciente en 2kπ; 2kπ +
π
2
; 2kπ +
π
2
; 2kπ + π ; ∀k ∈ ℤ
✓ Es una función periódica, siendo su periodo principal o mínimo igual a 2π
✓ Las ecuaciones de sus asíntotas son de la forma: x =
(2k+1)π
2
; ∀k ∈ ℤ
✓ Es una función decreciente en 2kπ −
π
2
; 2kπ ; 2kπ + π; 2kπ +
3π
2
; ∀k ∈ ℤ
✓ Es discontinua en los puntos de la forma 
(2k + 1)π
2
/k ∈ ℤ
APLICACIÓN 05:
Determine el dominio de la función f definida por:
f x = 4sec 5x + 1; ∀k ∈ ℤ
A) ℝ − 5kπ B)ℝ −
kπ
10
C) ℝ −
2k + 1 π
5
D) ℝ −
2k + 1 π
10
E) ℝ −
kπ
5
RESOLUCIÓN:
Para que f se encuentre definida: 5x ≠
(2k + 1)π
2
⇒ x ≠
(2k + 1)π
10
∴ Dom(f) = ℝ −
(2k + 1)π
10
CLAVE: B
Consideración:
Si se define: f x = Asec Bx + C
A, B ∈ ℝ − 0 ; C ∈ ℝ
⇒ Dom(f) = ℝ −
(2k + 1)π
2B
; ∀k ∈ ℤ
APLICACIÓN 06:
Determine el dominio de la función f definida por:
f x =
sen(2x)
sec(2x −
π
4)
; ∀k ∈ ℤ
A) ℝ−
(3k + 1)π
4
B)ℝ −
(4k + 3)π
8
C) ℝ −
2k + 1 π
8
D) ℝ−
kπ
4
E) ℝ −
kπ
8
RESOLUCIÓN:
Como el denominador no puede tomar el valor 0, para que f se encuentre definida:
2x −
π
4
≠
(2k + 1)π
2
⇒ 2x ≠ kπ +
3π
4
⇒ 2x ≠
(4k + 3)π
4
⇒ x ≠
(4k + 3)π
8
∴ Dom(f) = ℝ −
(4k + 3)π
8
CLAVE: B
RESOLUCIÓN:
Por definición de secante, en el tramo 0; π : x ≠
π
2
Además en la función: f x = 2 − sec(x) ⇒ 2 − sec(x) ≥ 0
⇒ sec(x) ≤ 2 ⇒ −2 ≤ sec x ≤ 2… (1)
Pero, sabemos que: −∞ < sec x ≤ −1 v 1 ≤ sec x < +∞…(2)
De (1) y (2): −2 ≤ sec x ≤ −1 v 1 ≤ sec x ≤ 2
APLICACIÓN 07:
Determine el dominio de la función f definida por: f x = 2 − sec(x) ;
A) ;0ۦ ቃ
π
3
U ൤
3π
4
; ۧπ B)
π
3
;
2π
3
−
π
2
C)0ۦ; ቃ
π
3
U ൤
2π
3
; ۧπ
En el intervalo 0; π .
D)
π
3
;
3π
4
−
π
2
E) ;0ۦ ቃ
π
6
U ቈ
5π
6
; ۧπ
En la C.T en 0; π :
X
Y
π/3
21
0
2π/3
−2
π
−1
Pero:
0 ≤ x ≤
π
3
v
2π
3
≤ x ≤ π
Notamos que:
x ∈ 0; π
∴ Dom(f) = ;0ۦ ቃ
π
3
U ൤
2π
3
; ۧπ CLAVE: C
APLICACIÓN 08:
Determine el rango de la función f definida por:
f x = sec x sec x + 4 ; x ≠
2k + 1 π
2
, k ∈ ℤ
A) ሾ−4; ۧ+∞ B) ሾ−2; + ۧ∞ C) ሾ2; ۧ+∞ D) ሾ4; ۧ+∞ E) ሾ8; ۧ+∞
RESOLUCIÓN:
En la función: f x = sec x sec x + 4 = sec2 x + 4sec x
⇒ f x = sec2 x + 4sec x + 4 − 4
sec 𝑥 + 2 2
⇒ f x = sec x + 2 2 − 4
Sabemos que: −∞ < sec x ≤ −1 v 1 ≤ sec x < +∞
−∞ < sec x + 2 ≤ 1 v 3 ≤ sec x + 2 < +∞
Entonces: −∞ < sec x + 2 ≤ 1 v 3 ≤ sec x + 2 < +∞
0 ≤ sec x + 2 2 < +∞ v 9 ≤ sec x + 2 2 < +∞
0 ≤ sec x + 2 2 < +∞
⇒ −4 ≤ sec x + 2 2 − 4 < +∞
f(x)
∴ Ran(f) = ሾ−4; ۧ+∞ CLAVE: A
FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSECANTE
𝐟 = 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ2/ 𝐲 = 𝐜𝐬𝐜 𝐱 ; 𝐱 ≠ 𝐤𝛑; 𝐤 ∈ ℤ
𝑿
𝒀
𝐱
=
𝛑
𝐱
=
𝟐
𝛑
𝐱
=
𝟑
𝛑
𝑨
𝒔í
𝒏
𝒕𝒐
𝒕𝒂
𝐱
=
𝟎
Su gráfica es:
0 𝛑/𝟐
𝟏
−𝟏
𝛑 𝟑𝛑/𝟐 𝟐𝛑
T = 2π
Análisis de la Gráfica
✓ Dom f = ℝ − kπ; ∀k ∈ ℤ
✓ Ran f = ;∞−ۦ ሿ−1 ∪ ሾ1; ۧ+∞ ;−∞ < csc x ≤ −1 v 1 ≤ csc x < +∞
✓ Es una función impar: ∀x ∈ Dom f ,−x ∈ Dom f y csc −x = −csc(x)
✓ Es una función creciente en 2kπ +
π
2
; 2kπ + π ; 2kπ + π; 2kπ +
3π
2
; ∀k ∈ ℤ
✓ Es una función periódica, siendo su periodo principal o mínimo igual a 2π
✓ Las ecuaciones de sus asíntotas son de la forma: x = kπ; ∀k ∈ ℤ
✓ Es una función decreciente en 2kπ; 2kπ +
π
2
; 2kπ +
3π
2
; 2kπ + 2𝜋 ; ∀k ∈ ℤ
✓ Es discontinua en los puntos de la forma kπ /k ∈ ℤ
APLICACIÓN 09:
Determine el dominio de la función f definida por:
f x =
2 csc 4x + 1
2 sen(4x) + 1
; ∀k ∈ ℤ
A) ℝ − kπ B)ℝ −
kπ
2
C) ℝ −
2k + 1 π
8
D) ℝ −
2k + 1 π
4
E) ℝ −
kπ
4
RESOLUCIÓN:
En la función f note que la única restricción la genera la función cosecante:
4x ≠ kπ ⇒ x ≠
kπ
4 ∴ Dom(f) = ℝ −
kπ
4
CLAVE: B
Consideración:
Si se define: f x = Acsc Bx + C
A, B ∈ ℝ − 0 ; C ∈ ℝ
⇒ Dom(f) = ℝ −
kπ
B
; ∀k ∈ ℤ
APLICACIÓN 10:
Determine el dominio de la función f definida por:
f x = 3csc πcos(4x) + 1; ∀k ∈ ℤ
A) ℝ − kπ B)ℝ −
kπ
4
C) ℝ −
2k + 1 π
8
D) ℝ −
2k + 1 π
4
E) ℝ −
kπ
8
RESOLUCIÓN:
En la función: f x = 3csc πcos(4x) + 1
Para que f se encuentre definida: πcos(4x) ≠ kπ ⇒ cos 4x ≠ k; k ∈ ℤ
Entonces: cos 4x ≠ −1; 0; 1 ⇒ 4x ≠
kπ
2
⇒ x ≠
kπ
8
∴ Dom(f) = ℝ −
kπ
8
CLAVE: E
APLICACIÓN 11:
Determine el rango de la función f definida por:
f x = csc
x
2
+ 4cos x ; x ∈
π
3
; π
A) 1; 4 B) −2; 4 C) −1; 3 D) −3; 4 E) 1; 3
RESOLUCIÓN:
En la función: f x = csc
x
2
+ 4 cos x
Se puede observar que en
π
3
; π :
g x = csc
x
2
h x = 4cos x
son decrecientes
Entonces f es decreciente 
en
π
3
; π :
π
3
≤ x ≤ π ⇒ f
π
3
≥ f x ≥ f π
f
π
3
= csc
π
6
+ 4cos(
π
3
)= 4
f π = csc
π
2
+ 4cos(π) = −3
∴ Ran(f) = −3; 4 CLAVE: D
APLICACIÓN 12:
Determine el rango de la función f definida por:
f x =
2cot2 x + 3
csc2 x + 2
; x ≠ kπ, k ∈ ℤ
A) 1; 2 B)ሾ1; ۧ2 C) 1; 3 D) ሾ1; ۧ3 E) 1; 4
RESOLUCIÓN:
En la función: f x =
2cot2 x + 3
csc2 x + 2
=
2 csc2 x − 1 + 3
csc2 x + 2
f x =
2csc2 x + 1
csc2 x + 2
=
2 csc2 x + 2 − 3
csc2 x + 2
⇒ f x = 2 −
3
csc2 x + 2
Pero ∀x ≠ kπ, k ∈ ℤ: 1 ≤ csc2 x < +∞
Entonces: 3 ≤ csc2 x + 2 < +∞
1
3
≥
1
csc2 x + 2
> 0 ⇒ −1 ≤ −
3
csc2 x + 2
< 0
⇒ 1 ≤ 2 −
1
csc2 x + 2
< 2
f(x)
∴ Ran(f) = ሾ1; ۧ2 CLAVE: B
PROBLEMA 01:
Determine el dominio de la función f definida por:
A) ℝ − kπ B) ℝ −
kπ
2
C) ℝ −
kπ
4
D) ℝ −
kπ
8
E) ℝ −
kπ
16
f x = cot x + cot 2x + cot 4x ; ∀k∈ ℤ
RESOLUCIÓN:
En la función: f x = cot x + cot 2x + cot 4x
Restricciones:
1°) cot x : x ≠ kπ
2°) cot 2x : 2x ≠ kπ ⇒ x ≠
kπ
2
3°) cot 4x : 4x ≠ kπ ⇒ x ≠
kπ
4
x ≠
kπ
4
∴ Dom(f) = ℝ −
kπ
4
CLAVE: C
PROBLEMA 02:
Determine el dominio de la función f definida por:
A) ℝ − kπ B) ℝ −
(2k+1)π
4
C) ℝ −
kπ
4
D) ℝ −
kπ
8
E) ℝ −
kπ
16
f x =
sec(x) + csc(x)
cot(2x)
; ∀k ∈ ℤ
RESOLUCIÓN:
En la función: f x =
sec(x) + csc(x)
cot(2x)
Analizando:
1°) sec(x) : x ≠
(2k + 1)π
2
2°) csc(x) : x ≠ kπ
3°) cot(2x) ∶ 2x ≠ kπ⇒ x ≠
kπ
2
4°) cot(2x) ≠ 0: 2x ≠
(2k + 1)π
2
x ≠
(2k + 1)π
4
De (1), (2), (3) y (4): x ≠
kπ
4
∴ Dom(f) = ℝ −
kπ
4
CLAVE: C
Consideración:
Si se define: f x =
A
tan(Bx)
A, B ∈ ℝ − 0
⇒ Dom(f) = ℝ −
kπ
2B
; ∀k ∈ ℤ
f x =
A
cot(Bx)
A, B ∈ ℝ − 0
⇒ Dom(f) = ℝ −
kπ
2B
; ∀k ∈ ℤ
f x =
A
sec(Bx)
A, B ∈ ℝ − 0
⇒ Dom(f) = ℝ −
(2k + 1)π
2B
; ∀k ∈ ℤ
f x =
A
csc(Bx)
A, B ∈ ℝ − 0
⇒ Dom(f) = ℝ −
kπ
B
; ∀k ∈ ℤ
PROBLEMA 03:
Determine el rango de la función f definida por:
f x = cot2 x + tan2 x ; si x ∈ ർ
π
12
; ቃ
π
8
A) 6; 12 B) ሾ6; ۧ12 C) 6; 14 D) ሾ6; ۧ14 E) ሾ8; ۧ12
RESOLUCIÓN:
En la función: f x = cot2 x + tan2(x)= cot2 x + tan2 x − 2cot x tan x + 2
cot x − tan(x) 2
f x = cot x − tan(x) 2 + 2= 2cot(2x) 2 + 2 ⇒ f x = 4cot2 2x + 2
Como: 
π
12
< x ≤
π
8 ⇒
π
6
< 2x ≤
π
4
⇒ 3 > cot(2x) ≥ 1
⇒ 14 > 4cot2 2x + 2 ≥ 6
f(x)
∴ Ran(f) = ሾ6; ۧ14 CLAVE: D
PROBLEMA 04:
Se ubican los puntos P y Q de la gráfica de la función f(x) = cot(x), en el 
intervalo < 0; π >, tal que la diferencia de sus abscisas es igual π/2 y la 
distancia entre ellos es 
π2 + 64
2
. Calcule la ordenada de P si es positiva.
A) 2 + 3 B) 3 C) 1 D) 1/ 3 E) 2 − 3
RESOLUCIÓN:
En la figura adjunta:
X
Y
0 π
P a; cot(a)
Q b; cot(b)
b − a = π/2 y d P; Q =
π2 + 64
2
d P; Q = b − a 2 + cot a − cot(b) 2 =
π2 + 64
2
π
2
2
+ cot a + tan(a) 2 =
π2
4
+ 16 ⇒ 4csc2 2a = 16
⇒ csc 2a = 2 ⇒ 2a =
π
6
⇒ a =
π
12
∴ cot a = 2 + 3 CLAVE: A
PROBLEMA 05:
Determine el dominio de la función f definida por:
A) ℝ − 5k B) ℝ −
k
5
C)
k
5
D) 5k E)
(2k+1)
10
f x = 1 − sec
πx
5
; ∀k ∈ ℤ
RESOLUCIÓN:
En la función: f x = 1 − sec
πx
5
1 − sec
πx
5
≥ 0Para que se defina:
⇒ sec
πx
5
≤ 1…(1)
Pero se sabe que: sec
πx
5
≥ 1…(2)
De (1) y (2): sec
πx
5
= 1
sec
πx
5
= −1; 1
⇒
πx
5
= kπ ⇒ x = 5k
∴ Dom(f) = 5k; k ∈ ℤ
CLAVE: C
PROBLEMA 06:
Determine el rango de la función f definida por:
f x = 3sec x + 2 3sen x ; si x ∈ ሾπ;
4π
3
>
A) ሾ−6; ۧ−3 B) ሾ−9; ۧ−3 C) ;9−ۦ ሿ−3 D) ;6−ۦ ሿ−3 E) ሾ−3; ۧ1
RESOLUCIÓN:
En la función: f x = 3sec x + 2 3sen x
Se puede observar que en ሾπ;
4π
3
>:
g x = 3sec x
h x = 2 3sen x
son decrecientes
Entonces f es decreciente en ሾπ;
4π
3
>: π ≤ x <
4π
3
⇒ f π ≥ f x > f
4π
3
f π = 3sec π + 2 3sen(π) = −3
f
4𝜋
3
= 3sec
4𝜋
3
+ 2 3sen(
4𝜋
3
) = −9
∴ Ran(f) = ;9−ۦ ሿ−3 CLAVE: C
PROBLEMA 07:
Determine el rango de la función f definida por:
f x = tan2 x + csc2 x + 4tan2 2x + 16tan2 4x ; x ∈ ቂ
π
32
; ඁ
5π
48
A) 15; 73 B)ሾ15; ۧ73 C) 43; 235 D) ሾ43; ۧ235 E) ሾ37; ۧ135
RESOLUCIÓN:
En la función: f x = tan2 x + csc2 x + 4tan2 2x + 16tan2 4x
tan2 θ = sec2 θ − 1
f x = sec2 x − 1 + csc2 x + 4 sec2 2x − 1 + 16 sec2 4x − 1
f x = sec2 x + csc2 x + 4sec2 2x + 16sec2 4x − 21
4csc2(2x)
4 × 4csc2(4x)
16 ×4csc2(8x)
La función quedaría expresada de la siguiente manera:f x = 64csc2 8x − 21
Como:
π
32
≤ x <
5π
48
⇒
π
4
≤ 8x <
5π
6
En la C.T:
X
Y
π
45π
6
2
1
2
1 ≤ csc(8x) < 2
Tendríamos:
1 ≤ csc2(8x) < 4
43 ≤ 64csc2 8x − 21 < 235
f(x)
∴ Ran(f) = ሾ43; ۧ235 CLAVE: D
PROBLEMA 08:
Determine el rango de la función f definida por:
f x = cot2 x + 2 csc(x) − 1; x ∈
5π
4
;
11π
6
A) 1; 4 B) 2; 6 C) 1; 6 D) −1; 6 E) −3; 6
RESOLUCIÓN:
En la función: f x = cot2 x + 2 csc(x) − 1
f x = csc2 x − 1 + 2 csc(x) − 1= csc(x) 2 + 2 csc(x) − 2
f x = csc(x) 2 + 2 csc(x) + 1 − 2 − 1
csc(x) + 1 2
Entonces: f x = csc(x) + 1 2 − 3
En la C.T:
5π
4
≤ x ≤
11π
6
X
Y
5π
4
11π
6
− 2
−1
−2
⇒ −2 ≤ csc x ≤ −1
2 ≥ csc(x) ≥ 1
3 ≥ csc x + 1 ≥ 2
9 ≥ csc x + 1 2 ≥ 4
6 ≥ csc x + 1 2 − 3 ≥ 1
f(x)
∴ Ran(f) = 1; 6 CLAVE: C
PROBLEMA 09:
Determine el rango de la función f definida por:
f x = csc
π
20
1 + sen2 x + 13cos2(x) − 1
A) 1; 5 B) 5; 3 C) 5 − 1; 5 + 1 D) − 5; 1 E) 0; 5
RESOLUCIÓN:
En la función: f x = csc
π
20
1 + sen2 x + 13cos2(x) − 1
E
Sea: E = sen2 x + 13cos2(x) = 1 − cos2 x + 13cos2(x) ⇒ E = 1 + 12cos2(x)
Como: 0 ≤ cos2 x ≤ 1; ∀x ∈ ℝ ⇒ 1 ≤ 1 + 12cos2 x ≤ 13 ⇒ 1 ≤ E ≤ 13
Entonces: 2 ≤ 1 + E ≤ 14 ⇒ 2 ≤ 1 + sen2 x + 13cos2(x) ≤ 14
Pero, como:
2 ≤ 1 + sen2 x + 13cos2(x) ≤ 14 ⇒
π
10
≤
π
20
1 + sen2 x + 13cos2(x) ≤
7π
10
Piden el rango de: f x = csc
π
20
1 + sen2 x + 13cos2(x) − 1
En la C.T:
X
Y
π
10
7π
10
5 + 1
1
5 − 1
1 ≤ csc
π
20
1 + sen2 x + 13cos2 x ≤ 5 + 1
0 ≤ csc
π
20
1 + sen2 x + 13cos2 x − 1 ≤ 5
∴ Ran(f) = 0; 5 CLAVE: E
Consideración:
Si se define: f x = asen2 x + bcos2 x ; x ∈ ℝ
⇒ menor a; b ≤ Ran(f) ≤ mayor a; b
PROBLEMA 10:
Si en la figura mostrada se cumple que:
5 BD = 7 AC
A)
1
74
B)
2
74
C)
3
74
D)
4
74
E)
5
74
. Calcule BC
X
Y
A
B
C
𝟎 𝛑/𝟐−𝛑/𝟐
D
𝐲 = 𝐬𝐞𝐜(𝐱)
𝐲 = 𝐬𝐞𝐧(𝐱)
𝐲 = 𝐜𝐨𝐬(𝐱)
RESOLUCIÓN:
En la figura
X
Y
A
B
C
𝟎 𝛑/𝟐−𝛑/𝟐
D
𝐲 = 𝐬𝐞𝐜(𝐱)
𝐲 = 𝐬𝐞𝐧(𝐱)
𝐲 = 𝐜𝐨𝐬(𝐱)
sea A(θ; 0) :
Entonces:
B θ; cos(θ)
C θ; sen(θ)
D θ; sec(θ)
BD = sec θ − cos(θ)
AC = sen θ
BC = sen θ − cos(θ)
De la condición: 5 BD = 7 AC
5 sec θ − cos(θ) = 7 sen(θ)
5
1
cos(θ)
− cos(θ) = 7 sen(θ)
⇒ 5
1 − cos2(θ)
cos(θ)
= 7 sen(θ)
⇒ 5
sen2(θ)
cos(θ)
= 7 sen(θ) ⇒ tan(θ) =
7
5
(θ; 0)
Como: 0 < θ <
π
2
tan θ =
7
5
θ
7
5
74
Calculamos: BC = sen θ − cos(θ)
BC =
7
74
−
5
74
∴ BC =
2
74
CLAVE: B
PROBLEMA 11:
Determine el rango de la función f definida por:
f x = 16csc2 2x + 5csc2(x)
A) ሾ15; ۧ+∞ B) ሾ20; ۧ+∞ C) ሾ25; ۧ+∞ D) ሾ30; ۧ+∞ E) ሾ50; ۧ+∞
RESOLUCIÓN:
En la función: f x = 16csc2 2x + 5csc2(x) ⇒ f x = 4 × 4csc2 2x + 5csc2(x)
Recuerde que: 4csc2 2x = sec2 x + csc2(x)
⇒ f x = 4 × sec2 x + csc2(x) + 5csc2(x)
⇒ f x = 4sec2 x + 4csc2(x) + 5csc2(x) ⇒ f x = 4sec2 x + 9csc2(x)
f x = 4 1 + tan2(x) + 9 1 + cot2(x) ⇒ f x = 4tan2 x + 9cot2 x + 13
Recuerde que: f x = 4tan2 x + 9cot2 x + 13
4tan2 x + 9cot2(x) ≥ 2 (4)(9)
4tan2 x + 9cot2 x + 13 ≥ 12 + 13
f(x)
Entonces: f(x) ≥ 25 ∴ Ran(f) = ሾ25; ۧ+∞ CLAVE: C
PROBLEMA 12:
Determine el rango de la función f definida por:
f x = sec4 x + csc4(x)
A) ሾ4; ۧ+∞ B) ሾ6; ۧ+∞ C) ሾ8; ۧ+∞ D) ሾ12; ۧ+∞ E) ሾ16; ۧ+∞
RESOLUCIÓN:
En la función: f x = sec4 x + csc4(x)
f x = sec4 x + csc4 x + 2sec2 x csc2 x − 2sec2(x)csc2(x)
sec2 x + csc2(x) 2
f x = sec2 x + csc2(x) 2 − 2sec2(x)csc2(x)
f x = sec2 x csc2(x) 2 − 2sec2 x csc2 x + 1 − 1
sec2 x csc2 x − 1 2
Luego: f x = sec2 x csc2 x − 1 2 − 1
f x = sec2 x + csc2 x − 1 2 − 1
f x = 1 + tan2 x + 1 + cot2 x − 1 2 − 1
f x = tan2 x + cot2 x + 1 2 − 1
Sabemos que: tan2 x + cot2(x) ≥ 2
tan2 x + cot2 x + 1 ≥ 3 ⇒ tan2 x + cot2 x + 1 2≥ 9
⇒ tan2 x + cot2 x + 1 2 −1 ≥ 8
f(x) ∴ Ran(f) = ሾ8; ۧ+∞
CLAVE: C
Otra forma de resolver sería por desigualdad de medias:
sec4 x + csc4(x)
2
≥ sec4(x) csc4(x)
sec4 x + csc4(x) ≥ 2sec2(x)csc2(x)
sec4 x + csc4(x) ≥ 2 sec2 x + csc2(x)
sec4 x + csc4(x) ≥ 2 1 + tan2 x + 1 + cot2(x)
sec4 x + csc4(x) ≥ 2 2 + tan2 x + cot2(x)
≥ 2f(x)
⇒ f(x) ≥ 8
∴ Ran(f) = ሾ8; ۧ+∞
CLAVE: C