Copia de ADICION Y SUSTRACCION 2021-II - Patricia Torres

Vista previa del material en texto

1
ADICION Y SUSTRACCION
2021-2
12
PREUNIVERSITARIO
2
CONJUNTOS 
NUMÉRICOS
3
Sin embargo, con el 
tiempo aparecieron 
nuevos usos para los 
números y, con los 
usos, nuevos 
números.
El Hueso de 
Ishango (actualm
ente exhibido en 
el Real Instituto 
Belga de Ciencias 
Naturales​ se cree 
que fue usado 
hace más de 20 
000 años para 
aritmética natural.
ℕ
En el transcurso de la historia, los 
números surgieron naturalmente 
para contar (números cardinales: 
uno, dos, tres, etcétera) y, a la vez, 
para ordenar (números ordinales: 
primero, segundo, tercero, 
etcétera). Por este motivo, el primer 
conjunto de números que aparece 
es el de los números naturales.
https://es.wikipedia.org/wiki/Hueso_de_Ishango
https://es.wikipedia.org/wiki/Real_Instituto_Belga_de_Ciencias_Naturales
4
La noción de número natural es tan … 
!natural! … que es sumamente difícil 
definirlos de manera formal y sin 
utilizar otros conjuntos anteriores. Fue 
finalmente Giuseppe Peano quien en 
1889 los introdujo axiomáticamente en 
su libro Arithmetices principia, nova 
methodo exposita.
Los números naturales se 
pueden sumar y multiplicar. Y, 
a veces, se pueden restar. Sin 
embargo, no se puede restar a 
un numero natural otro mayor, 
porque el resultado ya no
es un numero natural. 
5
Es así como, para poder restar, se 
necesitan el cero y los números 
negativos. A la humanidad le tomo 
siglos aceptar estos nuevos 
números. Hoy en día, los números 
negativos son de uso cotidiano. 
Los naturales dan lugar así a los 
enteros. Con los enteros se puede 
multiplicar, sumar y restar.
ℤ
6
Los números enteros no permiten divisiones si no 
se esta dispuesto a tener resto. Si trabajamos en 
geometría, incluso si se adoptan unidades de 
medida tales que las cantidades a medir sean 
enteras, poco se podrá hacer si no se utilizan 
fracciones, es decir sin introducir los números 
racionales. Por ejemplo, el Teorema de Tales habla 
de longitudes proporcionales, que 
inmediatamente dan lugar a las fracciones.
Pero pronto se ve que si se quiere medir 
distancias, tampoco alcanza con números 
racionales. Por el Teorema de Pitágoras, la 
diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1 metro, 
mide √2 metros. Y este numero, no es racional. 
Hacen falta entonces los números reales.
ℚ
7
Pero tampoco alcanza con los enteros, los racionales o 
los reales. Por ejemplo, la ecuación x
2
+ 1 = 0 no tiene 
solución en los números reales. Los números
complejos se introdujeron, precisamente, para resolver
este tipo de ecuaciones, aunque fueron mirados con
mucha desconfianza durante tres siglos. Hizo falta que
matemáticos de la talla de Leonard Euler y Carl 
Friedrich Gauss los usaran para que la comunidad 
científica dejara de lado los prejuicios. Hoy en día, no 
solo se usan para resolver este tipo de ecuaciones. Las 
ecuaciones de James Clerk Maxwell, por ejemplo, que 
explican los campos electromagnéticos, precisan de los 
números complejos.
ℝ
ℂ
8
Si bien las nociones de números naturales, enteros,
racionales o reales eran saber popular en el siglo XVII, 
cuando Isaac Newton y Gottfried Leibniz introdujeron el
calculo infinitesimal, las fuertes criticas que recibió esta 
teoría, por el obispo George Berkeley en el siglo XVIII,
entre otros, obligaron a sentar bases precisas para todos 
estos conjuntos numéricos.
9
Una vez definidos los naturales, la definición de los 
enteros y los racionales es sencilla. Los reales, en 
cambio, son materia mucho mas delicada. Hay distintas 
definiciones posibles de los números reales, con 
distintos grados de formalidad. Desde “los puntos de 
una recta” hasta las cortaduras de Dedekind (propuestas 
por Julius Dedekind a comienzos del siglo XX), pasando 
por definiciones axiomáticas, o mas implícitas como 
“números con desarrollos decimales infinitos”. 
10
Para “suavizar” su introducción, primero se los presenta de 
manera algo mas informal, utilizando la noción de limite. Si se 
cuenta con los reales, los números complejos se pueden 
presentar algebraicamente, como sumas a + bi, donde a y b son 
números reales e i es una solución de la ecuación x2 + 1 = 0. 
Esta es la forma en que los presento William Rowan Hamilton en 
la primera mitad del siglo XIX, trescientos anos después de que 
Gerolamo Cardano y Lodovico Ferrari los utilizaran por primera 
vez. Y esta es la forma en que los conocemos hoy.
11
ADICIÓN - SUSTRACCIÓN
12
ADICIÓN
Definición.- Es una operación binaria, la cual es representada mediante la 
ayuda del símbolo “+”, y asigna a cada pareja de elementos un tercer 
número como resultado de la operación 
Par de 
elementos
Operación Número asignado 
como resultado
ℤxℤ + ℤ (2, 3) 5+
En forma práctica se asume la terminología
Ejemplo: 3 + 5 + 8 + 7 = 23
En general:
𝑺 = 𝑺𝟏 + 𝑺𝟐 +⋯+ 𝑺𝒏
Suma Sumandos
13
LEYES FORMALES
1.- Clausura o Cerradura
La suma de dos o más números enteros resulta otro número entero.
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ → 𝑎 + 𝑏 = 𝑐 → 𝑐 ∈ ℤ
Nota.- Para el caso de los números naturales (ℕ) también cumpla esta ley.
2.- Asociativa
Dadas ciertas cantidades de sumandos la suma total también resulta al 
hacer grupos de sumandos.
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄
3.- Conmutativa
El orden de los sumandos no altera la suma total.
𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂
4.- Modulativa
Para todo número entero existirá su elemento neutro o módulo de la 
suma denotada por cero, tal que se cumpla: 𝒂 + 𝟎 = 𝒂
14
5.- Uniformidad
Si se tienen varias igualdades, estas se pueden sumar miembro a 
miembro resultando otra igualdad.
𝒂 = 𝒃
𝒄 = 𝒅
𝒂 + 𝒄 = 𝒃 + 𝒅
6.- Monotonía
𝑎 = 𝑏 𝑎 < 𝑏 𝑎 > 𝑏
𝑐 < 𝑑 𝑐 < 𝑑 𝑐 < 𝑑
𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑 𝑎 + 𝑐 ¿ ? 𝑏 + 𝑑
No se puede 
anticipar el 
resultado, pues, 
puede ser >, < ó =
15
APLICACIÓN 1:
𝑎𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑎 + 𝑐𝑎𝑏
Resolución:
Si :(a + b + c)2 = 324
Calcule el valor de:
Tenemos :
(a + b + c)2 = 182 a + b + c = 18
Ordenando :
𝑎 𝑏 𝑐 +
𝑏 𝑐 𝑎
𝑐 𝑎 𝑏
8
1 1+ b + c + a = 19
9
1
19
16
Calcule el valor de : a + b – c
Si: 𝑎74𝑏 + 5𝑏𝑎2 + 𝑐7𝑎 = 𝑏𝑏𝑎68
APLICACIÓN 2:
Resolución:
Ordenando:
𝑎 7 4 𝑏 +
5 𝑏 𝑎 2
𝑐 7 𝑎
𝑏 𝑏 𝑎 6 8
De los millares llevo 1, entonces: b = 1
En las unidades 1 + 2 + a = 8; entonces: a = 5
En las decenas 4 + 5 + 7 = 16; llevo 1
En las centenas 1 + 7 + 1 + c = *5; entonces c = 6
1 11
a =5 ; b = 1 ; c = 6 
Nos piden : a + b - c = 0
1
1
1 1
5
5
5
5
6
17
Efectúe : 3436(8) + 6544(8) + 367(8)
3 4 3 6(8) +
6 5 4 4(8)
3 6 7(8)
𝟏(𝟖)
6 + 4 + 7 = 17
En las unidades: 
En el orden 2: 
2 +3 + 4 + 6 = 15 
En el orden 3: 
1 + 4 + 5 + 3 = 13
17 = 21(8)
2
15 = 17(8)
7
1
13 = 15(8)
5
1
En el orden 4: 
1 + 3 +6 = 10 10 = 12(8)
2
1
1
APLICACIÓN 3:
Resolución:
18
APLICACIÓN 4:
Resolución:
Sabiendo que:
2143(𝑛) + 3541(𝑛) = 𝑐𝑏𝑎26(𝑛) − 6512(𝑛)
Calcule a + b + c + n
Ordenando como adición
2143(𝑛) +
3541(𝑛)
6512(𝑛)
15526(𝑛)
Orden 1: 3 + 1 + 2 = 6; lo que implica que n es mayor que 6
Orden 2: 4 + 4 + 1 = 9; queda 2 y llevo 1 lo que implica que n = 7
Orden 3: 1 + 5 + 5 + 1 = 12; queda 5 y llevo 1
Orden 4: 2 + 3 + 6 + 1 = 12; queda 5 y llevo 1
Orden 5: 1 que llevaba
De donde:
a = 5
b = 5
c = 1
n = 7
Suma = 18
19
SUMATORIA
෍
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑖 → 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
→ 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎
→ 𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎
𝑆í𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑆𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 (𝑆𝑖𝑔𝑚𝑎)
Propiedades:
Siendo K una constante.
𝟏)෍
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑖 ± 𝑔 𝑖 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑓(𝑖) ±෍
𝑖=1
𝑛
𝑔(𝑖)
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:෍
𝑖=1
𝑛
𝑖2 − 𝑖 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑖2 −෍
𝑖=1
𝑛
𝑖
20
𝟐) ෍
𝑖=1
𝑛
𝐾𝑓 𝑖 = 𝐾෍
𝑖=1
𝑛
𝑓(𝑖) 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: ෍
𝑖=1
5
3𝑖 = 3෍
𝑖=1
5
𝑖
𝟑) ෍
𝑖=1
𝑛
𝐾 = 𝑛𝐾 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: ෍
𝑖=1
7
4 = 7 4 = 28
𝟒) Propiedad Telescópica
෍
𝑖=1
𝑛
𝑓 𝑖 − 𝑓 𝑖 − 1 = 𝑓 𝑛 − 𝑓(0)
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: ෍
𝑘=1
𝑛
1
𝑘
−
1
𝑘 + 1
=
1
1
−
1
𝑛 + 1
=
𝑛
𝑛 + 1
21
SUMAS ESPECIALES1.- Suma de los “n” primeros números naturales
𝑺𝒏 =෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 +⋯+ 𝒏 =
𝒏. 𝒏 + 𝟏
𝟐
𝑆 = 1 + 2 + 3 +⋯+ 14
Ejemplo: 
=
14. 14 + 1
2
𝑆 = 105
2.- Suma de los “n” primeros naturales pares
S = 2 + 4 + 6 +⋯+ 28 = 14. (14 + 1) 𝑆 = 210
Ejemplo: 
𝑛 = 14
𝑺𝟐𝒏 =෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝟐𝒊 = 𝟐 + 𝟒 + 𝟔 +⋯+ 𝟐𝒏 = 𝒏. (𝒏 + 𝟏)
22
3.- Suma de los “n” primeros naturales impares
S = 1 + 3 + 5 +⋯+ 27
𝑛 = 14
=142 𝑆 = 196
Ejemplo: 
𝑺𝟐𝒏−𝟏 =෍
𝒊=𝟏
𝒏
(𝟐𝒊 − 𝟏) = 𝟏 + 𝟑 + 𝟓 +⋯+ 𝟐𝒏 − 𝟏 = 𝒏𝟐
4.- Suma de los cuadrados de los “n” primeros naturales
𝑆 = 12 + 22 + 32 +⋯+ 142
Ejemplo: 
=
14. 14 + 1 . (2.14 + 1)
6
𝑆 = 1015
𝑺𝒏𝟐 =෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊𝟐 = 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟑𝟐 +⋯+ 𝒏𝟐 =
𝒏. 𝒏 + 𝟏 . (𝟐𝒏 + 𝟏)
𝟔
23
5.- Suma de los cubos de los “n” primeros naturales
𝑆 = 13 + 23 + 33 +⋯+ 143
Ejemplo: 
=
14. 14 + 1
2
2
𝑆 = 11025
𝑺𝒏𝟑 =෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊𝟑 = 𝟏𝟑 + 𝟐𝟑 + 𝟑𝟑 +⋯+ 𝒏𝟑=
𝒏. 𝒏 + 𝟏
𝟐
𝟐
S = 1.2 + 2.3 + 3.4 +⋯+ 14. 14 + 1 =
6.- Suma de los productos de 2 naturales consecutivos
Ejemplo: 
14. 14 + 1 . (14 + 2)
3
𝑆 = 1120
෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊. (𝒊 + 𝟏) =
𝒏. 𝒏 + 𝟏 . (𝒏 + 𝟐)
𝟑
= 𝟏. 𝟐 + 𝟐. 𝟑 + 𝟑. 𝟒 + ⋯+ 𝒏. 𝒏 + 𝟏
24
OBSERVACION:
𝑺 = 𝟏 + 𝒂 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 +⋯+ 𝒂𝒏=
𝒂𝒏+𝟏 − 𝟏
𝒂 − 𝟏
Suma de términos en Progresión Aritmética
𝑺 = 𝒕𝟏 + 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑 +⋯+ 𝒕𝒏 =
𝒏
𝟐
(𝒕𝟏 + 𝒕𝒏)
25
Calcule el valor de (a + b + c + d )
si: 𝑎1𝑏 + 𝑎2𝑏 + 𝑎3𝑏 +⋯+ 𝑎7𝑏 = 𝑑8𝑐6
APLICACIÓN 5:
Resolución: 
Ordenando:
𝑎1𝑏 +
𝑎2𝑏
𝑎3𝑏
𝑑8𝑐6
7. b = …6 b = 8
En las unidades: 
En las decenas: 
5 = 
En las centenas: 
3+ 7.a
…
𝑎7𝑏
‘’7’’ sumandos
7 .8 = 56
6
5
+ 1 + 2 + 3 +… + 7
8
8
8
8
33
7.8
2
3
3
= ..83
a = 5 ; b = 8 ; c = 3 ; d = 3
Nos piden : a + b + c + d = 19
a = 5
3
3+ 7.5 = 38
26
María se compra un libro de química y el primer día lee tres páginas, el
segundo día lee 5; el tercer día, 7; el cuarto día, 9 y así sucesivamente. Si
luego de tres semanas de haber empezado a leer el libro todavía le falta leer
tantas páginas como las leídas en el décimo quinto día, ¿cuántas páginas
tiene el libro?
APLICACIÓN 6:
Resolución: Dia 
N° pag
1
3
2
5
3
7
…
…
21
43
2. 21+ 1El día 15 lee : 2. 15 + 1 = 31
Falta leer 31 paginas
N° de paginas = 3 + 5 + 7 + …+ 43 + 311+ - 1
2.22-1
222
N° de paginas = 222+ 31- 1
N° de paginas = 514
27
SUMA DE NÚMEROS CONDICIONADOS
Ejemplo 1.- Calcule la suma de 
todos los números pares de 3 cifras 
que empiezan en cifra impar.
Resolución:
Si el número es de 3 cifras será de la forma abc donde “a”
toma los valores 1, 3, 5, 7 ó 9 por ser cifras impares.
Como los números son pares su cifra terminal “c” tomará 
valores pares 0, 2, 4, 6 ó 8; y dado que no hay restricciones 
para “b” tomará todos los valores menores a 10.
a b c
1 0 0
3 1 2
5 2 4
7 . 6
9 . 8
.
9
5 x 10 x 5 = 250 números
Para calcular la suma de estos 250 
números se procede del siguiente 
modo:
En las unidades: se divide la cantidad 
de números entre la cantidad de 
valores que toma la cifra de unidades 
y se multiplica por la suma de todos 
los valores que toma la cifra de 
sus unidades.
En forma análoga se procede para las 
decenas, centenas, etc.; luego se aplica 
una suma abreviada el resultado es la 
suma de todos los 250 numerales 
𝑈:
250
5
0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 1 000
𝐷:
250
10
0 + 1 + 2 +⋯+ 9 = 1 125
𝐶:
250
5
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 1 250
Suma Total:
1 000 +
1 125
1 250
137 250 Respuesta
28
Calcule la suma de todos los números capicúas de tres cifras que se 
pueden formar con las cifras 0, 1, 3, 7, 8 y 9. 
Sean los números de la forma:
𝑎 𝑏 𝑎
0 1
1 3
3 7
7 8
8 9
9
6x5 = 30 números
Observación: 
𝑎 ≠ 0
𝑈:
30
5
1 + 3 + 7 + 8 + 9 = 168
𝐷:
30
6
0 + 1 + 3 + 7 + 8 + 9 = 140
𝐶:
30
5
1 + 3 + 7 + 8 + 9 = 168
Suma Total: 1 6 8 +
1 4 0 
1 6 8 
Respuesta: 1 8 3 6 8
Misma cantidad 
que el de las 
unidades dado que 
es un número 
capicúa
APLICACIÓN 7:
Resolución: 
29
Si “S” es la suma de todos los números de la forma:
𝑥 2𝑥 − 1 𝑦
𝑦
2
𝑧(
𝑧
3
)
Calcule la suma de las cifras de “S” cuando se expresa en base 100
𝑥 2𝑥 − 1 𝑦
𝑦
2
𝑧 (
𝑧
3
)
1 1 0 0 0 0
2 3 2 1 3 1
3 5 4 2 6 2
4 7 6 3 9 3
5 9 8 4 - -
5 5 4 = 100 
Basta 
evaluar los 
valores que 
pueden 
tomar x, y, z 
dado que 
deben estar 
entre 0 y 9
Pero 
tomando en 
cuenta a las 
otras tres 
cifras que 
tienen 
restricciones
Resolviendo por órdenes:
𝑈𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠:
100
4
0 + 1 + 2 + 3 = 150
𝐷𝑒𝑐𝑒𝑛𝑎𝑠:
100
4
0 + 3 + 6 + 9 = 450
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑠:
100
5
0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 200
𝑀𝑖𝑙𝑙𝑎𝑟:
100
5
0 + 2 + 4 + 6 + 8 = 400
𝐷𝑒𝑐𝑒𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑟:
100
5
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 500
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑟:
100
5
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 300
Sigue……..
Resolución: 
APLICACIÓN 8:
30
Sumando en base 10 aún:
150
450
200
400
500
300
35424650
Pero en base 100 sería:
(35)(42)(46)(50) (100)
Por lo tanto la suma de cifras sería:
35 + 42 + 46 + 50 = 173
Respuesta: 173
Al pasar a base 100, cada 
dos cifras de la base 10 es 
una cifra en la base 100, 
dado que 100 = 102
+
31
Resolución: 
Determine la suma de cifras de:
7 + 97 + 997 + … + 999…997
80 cifras
Ordenando : 7
97
997
999…999997
…
80 cifras
10 - 3
100 - 3
1000 - 3
10000…0000 - 3
…81 cifras
80 sumandos
… 3 . 80 =240
- 240111111…1110
11111…1110
81 cifras
-
240
1111…10870
81 cifras
Nos piden la suma de cifras : 1 . 77 + 8 + 7 = 92
APLICACIÓN 9:
32
SUSTRACCIÓN
Definición.- La sustracción se define como la operación inversa a la adición 
que consiste en dada dos cantidades minuendo y sustraendo, se debe hallar 
una tercera que nos indique el exceso de la primera con respecto a la segunda, 
la cual se llamará diferencia.
ℤ xℤ
_
ℤ 𝑎, 𝑏 𝜖 ℤ
2 ⟶𝐷 𝜖 ℤ
6, 2 𝜖 ℤ2 ⟶ 4 𝜖 ℤ
M: minuendo
S: sustraendo
D: diferencia
En general se cumple que:
M – S = D
M + S + D = 2M 
Donde :
Propiedad :
Observación: 
Las cantidades que intervienen 
en una sustracción deben de ser 
homogéneas: 
20 mesas – 6 mesas = 14 mesas
33
APLICACIÓN 10:
Resolución: M – S = D
La suma de los tres términos de una sustracción es 840, además el
sustraendo es la quinta parte del minuendo. Calcule la suma de cifras de
la diferencia.
Del dato : M + S + D = 840
2M
M = 420
El sustraendo es la quinta parte del minuendo. 
𝑆 =
𝑀
5
=
420
5
S = 84
La diferencia : M – S = D
420 – 84 = D D = 336
La suma de cifras de la diferencia es : 12
34
LEYES FORMALES
Clausura.- En naturales es restrictiva. En enteros, la diferencia de dos 
números enteros es otro número entero
ℕ: 7 − 9 = −2 𝜖 ℕ; ℤ: 15 − 18 = −3 𝜖 ℤ
Ley del Inverso Aditivo.- Si se tiene un número “a” existirá uno y sólo un 
número denominado (-a) tal que: a + (-a) = 0 
Uniformidad.- Dadas dos igualdades se podrán restar miembro a miembro, 
dando como resultado otra igualdad
a = b
c = d
a – c = b - d
35
𝑎 = 𝑏 𝑎 < 𝑏 𝑎 > 𝑏 𝑎 < 𝑏
𝑐 < 𝑑 𝑐 = 𝑑 𝑐 < 𝑑 𝑐 < 𝑑
𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑑 𝑎 − 𝑐 < 𝑏 − 𝑑 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑑 𝑎 − 𝑐 ¿ ? 𝑏 − 𝑑
El resultado 
no se puede 
anticipar 
pudiendo ser 
>, <, =
Ejemplo.-
9 < 15
4 < 10
5 = 5
8 < 16
4 < 10
4 < 6
12 < 22
8 < 20
4 > 2
Monotonía.-
36
Resolución:
Calcule el valor de: e + v + m’’ si:
3𝑒𝑣𝑚 − 𝑒𝑣𝑚3 = 1593
Ordenando:
𝑒 𝑣 𝑚 3 +
1 5 9 3
3 𝑒 𝑣 𝑚
Nos piden :
e + v + m = 12
3 + 3 = m m = 6
En las unidades: 
En las decenas: 
6 + 9 = 15 v = 56
En las centenas: 
1 +5 + 5 = 11 e = 1
3𝑒𝑣𝑚 − 𝑒𝑣𝑚3 = 1593 3𝑒𝑣𝑚 = 𝑒𝑣𝑚3 + 1593
6
5
5
1
1
APLICACIÓN 11
37
LA SUSTRACCIÓN EN OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Ejemplo: C𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 432(5) 𝑦 143(5)
Resolución: Se dispone los términos de manera vertical para trabajar de 
acuerdo al orden.
3° 2° 1°
𝑀𝑖𝑛𝑢𝑒𝑛𝑑𝑜 ⟶ 4 3 2(5)
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑟𝑎𝑒𝑛𝑑𝑜 ⟶ 1 4 3(5)
𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ⟶ ……………………
⟵ 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛
Orden Procedimiento
1
2
3
Al final se tiene que:
4 3 2(5) −
14 3(5)
2 3 4(5)
Como a 2 no se le puede disminuir 3, lo 
que se hace es regresar del orden 2 una 
vez la base, es decir 5 unidades, luego 5 
+ 2 – 3 = 4 queda 
Ahora en este orden se tiene 3 – 1 = 2 
pero a 2 no podemos disminuir en 4, 
regresamos entonces del orden 3 una 
vez la base: 5 + 2 – 4 = 3 queda
En este orden se tiene ahora 4 – 1 = 3, 
entonces 3 – 1 = 2
38
PROPIEDADES:
472 -
274
198
834 -
438
396
731 -
137
594
𝑎𝑏𝑐 −
𝑐𝑏𝑎
𝑚𝑛𝑝
𝑚 + 𝑝 = 9
𝑛 = 9
Para una base diferente de 10
𝑆𝑒𝑎 𝑁 = 𝑎𝑏𝑐(𝑘),
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 𝑐 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
𝑎𝑏𝑐(𝑘) − 𝑐𝑏𝑎 𝑘 = 𝑚𝑛𝑝(𝑘)
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:
632(7) −
236(7)
363(7)
𝑆𝑒𝑎 𝑁 = 𝑎𝑏𝑐𝑑, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 𝑑
𝒂) 𝑆𝑖 𝑏 ≠ 𝑐: 𝑎𝑏𝑐𝑑 − 𝑑𝑐𝑏𝑎 = 𝑚𝑛𝑝𝑞
→ 𝑚 + 𝑛 + 𝑝 + 𝑞 = 18
𝒃) 𝑆𝑖 𝑏 = 𝑐: 𝑎𝑏𝑏𝑑 − 𝑑𝑏𝑏𝑎 = 𝑚𝑛𝑝𝑞
→ 𝑚 + 𝑞 = 9; 𝑛 = 𝑝 = 9
Para otra base diferente de 10
𝑆𝑒𝑎 𝑁 = 𝑎𝑏𝑐𝑑(𝑘), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 𝑑
𝒂) 𝑆𝑖 𝑏 ≠ 𝑐: 𝑎𝑏𝑐𝑑 𝑘 − 𝑑𝑐𝑏𝑎 𝑘 = 𝑚𝑛𝑝𝑞(𝑘)
→ 𝑚+ 𝑛 + 𝑝 + 𝑞 = 2(𝑘 − 1)
𝒃) 𝑆𝑖 𝑏 = 𝑐: 𝑎𝑏𝑏𝑑(𝑘) − 𝑑𝑏𝑏𝑎 𝑘 = 𝑚𝑛𝑝𝑞(𝑘)
→ 𝑚+ 𝑞 = 𝑘 − 1; 𝑛 = 𝑝 = 𝑘 − 1
𝑚 + 𝑝 = 𝑘 − 1
𝑛 = 𝑘 − 1
39
Resolución: 
De los datos :
Calcule el valor de: a .b . c si:
𝑎𝑏𝑐 = 𝑐𝑏𝑎 + 2𝑥𝑦; 𝑎𝑏𝑐 = 1333 − 𝑐𝑏𝑎
𝑎𝑏𝑐 = 𝑐𝑏𝑎 + 2𝑥𝑦
𝑎𝑏𝑐 − 𝑐𝑏𝑎 = 2 𝑥 𝑦
9 7
𝑎𝑏𝑐 − 𝑐𝑏𝑎 = 297
𝑎𝑏𝑐 = 1333 − 𝑐𝑏𝑎 𝑎𝑏𝑐 + 𝑐𝑏𝑎 = 1333
𝑎𝑏𝑐 = 815
a = 8 ; b = 1 ; c = 5 
Nos piden :
a . b . c = 40
APLICACIÓN 12
40
COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)
Definición.- Se denomina complemento aritmético de un número natural a la 
cantidad que le falta a dicho número para ser igual a una unidad del orden 
inmediato superior.
CA (35) CA(35)= 65= 100 – 35
CA (642) CA(642)= 358= 1000 – 642
En general: 
𝑪𝑨 𝑵 = 𝟏𝟎𝒌 −𝑵
Siendo k el número de cifras que tiene N
CA (3254) CA(3254)= 6746= 10000 – 3254
Ejemplos: 
41
En otra base diferente de 10
𝐶𝐴 𝑁 𝑏 = 10…0 𝑏 −𝑁(𝑏) = 𝑏
𝑘 −𝑁 𝑏
“k” ceros
Siendo k el número de cifras que tiene N(b)
𝑪𝑨 𝒂𝒃𝒄𝒅 𝒌 = 𝒎𝒏𝒑𝒒 𝒌
d + q = k ; c + p = k-1
b + n = k-1 ; a + m = k-1
Ejemplo:
Calcule el CA de 45(6)
𝐶𝐴 42 8 = 100 8 − 42(8)
1 0 0(8) −
4 2(8)
3 6(8)
Forma practica
𝐶𝐴 42 8 = 36 8
42
Calcule el valor de “k – mn” si se cumple que; con 
𝐶𝐴 𝑚𝑛
𝑘
5
13
=
𝑚
3
2𝑛
𝑘
8
(13)
Aplicando el método práctico:
𝑚 +
𝑚
3
= 12
𝑛 + 2𝑛 = 12
𝑘
5
+
𝑘
8
= 13
𝑘 −𝑚 𝑥 𝑛
Respuesta: 4
𝑘 ≠ 0
⟶ 𝑘 = 40
⟶ 𝑛 = 4
⟶ 𝑚 = 9
= 40 − 9 𝑥 4
𝑘 − 𝑚 𝑥 𝑛 = 4
APLICACIÓN 13
Resolución: 
43
Calcule el valor de (a + b) si: 
𝐶𝐴 1𝑎𝑏 + 𝐶𝐴 2𝑎𝑏 + 𝐶𝐴 3𝑎𝑏 +⋯+ 𝐶𝐴 9𝑎𝑏 = 41𝑎𝑏
1000 − 1𝑎𝑏 + 1000 − 2𝑎𝑏 +⋯+ 1000 − 9𝑎𝑏 = 41𝑎𝑏
9000 − 1𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏 +⋯+ 9𝑎𝑏 = 4 100 + 𝑎𝑏
9000 −
(1𝑎𝑏 + 9𝑎𝑏)
2
𝑥 9 = 4 100 + 𝑎𝑏
9 000 − 500 + 𝑎𝑏 𝑥 9 = 4 100 + 𝑎𝑏
400 = 10 𝑥 𝑎𝑏 ⟶ 𝑎𝑏 = 40
Respuesta: a + b = 4
APLICACIÓN 14
Resolución: 
𝐶𝐴 1𝑎𝑏 + 𝐶𝐴 2𝑎𝑏 +⋯+ 𝐶𝐴 9𝑎𝑏 = 41𝑎𝑏
44
Calcule el complemento aritmético del número
𝑀 = 9 . 10𝑛+1 + 10𝑛−1
Dé como respuesta la suma de sus cifras
Resolución:
𝑀 = 9 . 10𝑛+1 + 10𝑛−1
Se puede expresar:
𝑀 = 9 . 102 . 10𝑛−1 + 10𝑛−1
Factor común:
𝑀 = 10𝑛−1 900 + 1
𝐶𝐴 𝑀 = 99000…000
(n+1) cifras
La suma de 
cifras es 18
𝐶𝐴(10𝑘 . 𝑁) = 10𝑘 . 𝐶𝐴(𝑁)OBSERVACION:
En el problema :
=901 𝑥 10𝑛−1
𝑀 = 901 𝑥 10𝑛−1
𝐶𝐴(𝑀) = 𝐶𝐴(901.10𝑛−1)
𝐶𝐴(𝑀) = 10𝑛−1. 𝐶𝐴(901)
99
APLICACIÓN 15
45
PROBLEMAS RESUELTOS
46
La utilidad de un negocio fue de : 𝒌𝒌𝒂𝟔𝟖 soles , pero se le descuenta 
𝒂𝟕𝟒𝒃 soles por concepto de deudas . Lo que queda se reparte entre los dos 
socios , tocándoles a cada uno 𝟕𝒃𝒂𝟐 soles y al otro 𝒅𝒄𝟕𝒂 soles .si letras 
diferentes tienen valores diferentes , calcule el valor de : ‘’a + b + c + d + k’’
A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 20
Problema 01
Resolución: 
𝐾𝐾𝑎68 − 𝑎74𝑏 = 7𝑏𝑎2 + 𝑑𝑐7𝑎
𝑎74𝑏
7𝑏𝑎2
𝑑𝑐7𝑎
𝐾𝐾𝑎68
En las unidades: 𝑏 + 2 + 𝑎 = 8
En las decenas: 4 + 𝑎 + 7 = 16
𝑎 = 5 ∧ 𝑏 = 1
En las centenas: 1 + 7 + 𝑏 + 𝑐 = 1𝑎
8 + 1 + 𝑐 = 15 𝑐 = 6
1 + a + 7 + 𝑑 = 𝑘𝑘 𝑑 = 9 ∧ 𝑘 = 2
a + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑘 = 5 + 1 + 6 + 9 + 2 = 𝟐𝟑
47
Problema 02
Resolución: 
Juan reparte 𝒂𝒃𝒄𝒂 soles entre sus tres hijos : José , Alonso y Oliver 
tocándole a cada uno 𝟏𝒂𝒃 , 𝒃𝟓𝒂 y 𝒅𝒃𝟕 soles respectivamente .¿cuantos 
soles mas recibe Oliver que lo que reciben José y Alonso juntos?.
A) 373 B) 351 C) 113 D) 387 E) 378
1𝑎𝑏
𝑏5𝑎
𝑑𝑏7
𝑎𝑏𝑐𝑎
𝑏 + 𝑎 + 7 = 10 + 𝑎 𝑏 = 3
En el tercer orden: a=1
En el segundo orden: 1+1+5+3=10, c=0
En el tercer orden: 1+1+3+d= 10+3, d=8
José recibe: 113 , alonso recibe: 351
Juntos: 113+351=464 , Oliver recibe: 837
Oliver recibe: (837 – 464)=373 Más que José y Alonso juntos
48
Problema 03
Resolución: 
Mariane camina entre dos puntos A y B de la siguiente manera: avanza
3m y retrocede 1m; avanza 5, 7, 9 y así sucesivamente y retrocede un
metro cada vez que avanza. Si la última vez que camino hacia delante
avanzó 41m. Calcule la distancia desde “A” a “B”, si luego de su último
avance no retrocedió:
A) 411 B) 421 C) 391 D) 380 E) 420
Avanza y retrocede:
+3
-1
+5
-1
+41
-1
𝑑 = 3 − 1 + 5 − 1 + 7 − 1 +⋯+ 39 − 1 + 41
𝑑 = 1 + 3 + 5 +⋯+ 41 − 1 − 1 − 1 −⋯− 1
21 impares 20 veces 
= 212 − 20 = 421
49
Calcule el valor de :
Problema 04
Resolución: 
E= 110(2) + 130(4)+ 150(6)+ 170(8)+…
20 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠
A) 22 500 B) 33 250 C) 22 540 D) 31 000 E) 30 200
E = 110(2) + 130(4)+ 150(6)+ 170(8)+ . . . +1 39 0(40)
E = 22 + 2 1 + 42 + 4 3 + 62 + 6 5 + . . . +[402 + 40 39 ]
E = 2{ (22−1 + 42 − 2 + 62 − 3 + . . . + 402 − 20 }
E = 2{ 22 12 + 22 + 32+ . . . +202 − 1 + 2 + 3+. . . +20 }
E = 2{ 22
20 𝑥 21 𝑥 41
6
−
20 𝑥 21
2
} = 𝟐𝟐 𝟓𝟒𝟎
Clave C
50
Calcule el valor de E , si : 
E = 63 + 693 + 6993 + 69993 +…+ 69999…93
A)
7
9
10𝑛+1 + 9𝑛 − 10 B) 
1
9
10𝑛−1 − 9𝑛 − 10 C) 
7
9
10𝑛+1 − 9𝑛 − 10
D) 
7
9
10𝑛 − 9𝑛 − 10 E) 
7
9
10𝑛+1 − 9𝑛 + 10
Problema 05
Resolución: 
(n-1) cifras
𝐸 = 63 + 63 11 + 63 111 +⋯+ 63 111…11
(n) cifras
𝐸 = 63 1 + 11 + 111 +⋯+ 111…11
(n) cifras
𝐸 = 7 9 + 99 +⋯+ 999…99
(n) cifras
𝐸 = 7 10 + 102 +⋯+ 10𝑛 − 𝑛
𝐸 = 7
10𝑛+1 − 10
9
− 𝑛
𝑬 =
𝟕
𝟗
𝟏𝟎𝒏+𝟏 − 𝟗𝒏 − 𝟏𝟎
51
Si :
𝑎𝑏𝑐(7)+ 𝑏𝑐𝑎(7) + 𝑐𝑎𝑏(7) = 𝑚
𝑏
3
𝑏
3
1(7), calcule el valor de: 𝑎 × 𝑐 + 𝑏
A) 9 B) 10 C) 7 D) 8 E) 6
Problema 06
Resolución: 
𝑎 𝑏 𝑐 7
𝑏 𝑐 𝑎 7
𝑐 𝑎 𝑏 7
𝑚
𝑏
3
𝑏
3
1 7
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 =. . 1 7
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 11 7 = 8
𝑏
3
= 8 + 1 = 12 7
𝑏
3
= 2, 𝑏 = 6
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 8 𝑏 = 6 ∧ 𝑎 = 1 ∧ 𝑐 = 1
𝒂𝒄 + 𝒃 = 𝟕
52
Problema 07
Resolución: 
En una sustracción, al sustraendo le sumamos 140 y restamos el
cuádruple de la suma del sustraendo más la diferencia, obteniéndose
como resultado el minuendo. Sabiendo que el sustraendo es el mayor
número posible cuya suma de cifras es 3 y que la diferencia es un número
positivo. Calcule la suma de los términos de dicha sustracción.
A) 56 B) 68 C) 72 D) 78 E) 84
𝑀 − 𝑆 = 𝐷
𝑆 + 140 − 4 𝑆 + 𝐷 = 𝑀
𝑆 + 140 = 5𝑀
𝑆 = 30
𝑀 = 34
𝑀 + 𝑆 + 𝐷 = 2𝑀 = 𝟔𝟖
53
Si :CA(𝟏𝒂 ) + CA(2 × 𝒂𝟏 )+ CA(2 × 𝒂𝟏𝒂 ) = 9284 , Calcule el valor de a
A) 8 B) 7 C) 9 D) 6 E) 5
Problema 08
Resolución: 
Si a > 5
100 − 1𝑎 + 1000 − 2 𝑎1 + 10000 − 2 𝑎1𝑎 = 9284
1𝑎 + +2 𝑎1 + 2 𝑎1𝑎 = 1816
223𝑎 + 32 = 1816
𝒂 = 𝟖
54
Problema 09
Resolución: 
Si :CA(𝒂𝒃𝒖 ) =𝒆𝒆𝒆 y además a + u = 13, Calcule el valor de ‘’a + b + u + e ‘’
A) 16 B) 18 C) 19 D) 22 E) 24
𝑒 + 𝑢 = 10
𝑏 + 𝑒 = 9
𝑎 + 𝑒 = 9
𝑒 + 𝑢 + 𝑎 + 𝑒 = 10 + 9
𝑎 + 𝑢 + 2𝑒 = 19
13
𝑒 = 3
u = 7
𝑏 = 6
𝑎 = 6
𝑎 + 𝑏 + 𝑢 + 𝑒 = 𝟐𝟐
55
Al restar 𝒄𝒃𝒂 de 𝒂𝒃𝒄 se observo en la diferencia que la cifra de las 
centenas es el doble que la cifra de las unidades. Si la diferencia excede 
al sustraendo en 414 unidades. Calcule el valor de a + b + c.
A) 17 B) 21 C) 16 D) 12 E) 18
Problema 10
Resolución: 
𝑎 𝑏 𝑐
𝑐 𝑏 𝑎
𝑥 9 𝑦
minuendo
sustraendo
diferencia
𝑥 + 𝑦 = 9
𝑥 = 2𝑦
2𝑦 + 𝑦 = 9, 𝑦 =3 ∧ 𝑥 = 6
𝐷 = 𝑆 + 414
693 = 𝑐𝑏𝑎 + 414
𝑐𝑏𝑎 = 279
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝟏𝟖
56
Calcule la suma de todos los números de la forma :
𝑎 3𝑎
𝑏
3
𝑐 + 5 𝑏
𝑐
2
,dar como respuesta la suma de cifras del resultado.
A) 28 B) 29 C) 30 D) 36 E) 44
Problema 11
Resolución: 
𝑎 3𝑎
𝑏
3
𝑐 + 5 𝑏
𝑐
2
0
1
2
5
7
9
0
3
6
9
0
1
2
3
1
2
3
3
6
9
𝑈 =
36
3
0 + 1 + 2 = 36
𝐷 =
36
4
0 + 3 + 6 + 9 = 162
𝐶 =
36
3
5 + 7 + 9 = 252
𝑀 =
36
4
0 + 1 + 2 + 3 = 54
D𝑀 = 12 3 + 6 + 9 = 216
𝐶𝑀 = 12 1 + 2 + 3 = 72
3 × 4 × 3 = 36
36
162
252
54
216
72
6580449
Suma de cifras = 36
57CLAVE: D
Problema 11 - otra forma 
Resolución 
Calcule la suma de todos los números de la forma 𝑎 3𝑎
𝑏
3
𝑐 + 5 𝑏
𝑐
2
, dar como respuesta la suma de cifras del resultado.
A) 28 B) 29 C) 30 D) 36 E) 44
𝑎 3𝑎
𝑏
3
𝑐 + 5 𝑏
𝑐
2
𝟏
𝟐
𝟑
𝟑
𝟔
𝟗
𝟎
𝟏
𝟐
𝟑
𝟓
𝟕
𝟗
𝟎
𝟑
𝟔
𝟗
𝟎
𝟏
𝟐
3 4 3X X = 36 números
Cuando los valores que pueden tomar las
cifras están en progresión aritmética, la
suma de todos los números se puede
calcular como
𝑆 =
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 +𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟
2
𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠
𝑆 =
130500 + 393992
2
36
𝑺 = 𝟗 𝟒𝟒𝟎 𝟖𝟓𝟔
෍𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔 = 𝟑𝟔
58
Problema 12
Resolución
Cinco amigos recogieron en una isla un cierto número de cocos y acordaron repartirlos
al día siguiente. Durante la noche uno de ellos decidió separar su parte y para ello dividió
el total en cinco partes y dio el coco que sobraba a un mono y se fue a dormir.
Enseguida, otro de los amigos hizo lo mismo ,dividiendo lo que había quedado por 5,
dando el coco que sobraba a un mono, uno tras otro hicieron lo mismo, dando a un
mono el coco que sobraba. En la mañana se repartieron los cocos sobrantes quedando
un coco ¿Cuál es el número mínimo de cocos que se recogieron?
A) 14521 B) 14581 C) 14621 D) 15581 E) 15621
Total Mono Se lleva Queda 
1ro
2do
3ro
4to
5to
𝑵 = 𝟓𝑨 + 𝟏 𝟏 𝑨 𝟒𝑨
𝟒𝑨 = 𝟓𝑩 + 𝟏 𝟏 𝑩 𝟒𝑩
𝟒𝑩 = 𝟓𝑪 + 𝟏 𝟏 𝑪 𝟒𝑪
𝟒𝑪 = 𝟓𝑫 + 𝟏 𝟏 𝑫 𝟒𝑫
𝟒𝑫 = 𝟓𝑬 + 𝟏 𝟏 𝑬 𝟒𝑬
Al final 4𝐸 = 5𝐹 + 1 , es lo que se
reparten al día siguiente, tocándole a
cada uno en este reparto 𝐹 cocos
Al expresar 𝑁 en términos de 𝐹 tenemos
𝑁 = 15𝐹 + 11 +
265(𝐹 + 1)
1024
𝑁 es mínimo cuando 𝐹𝑚í𝑛 = 1023
𝑵𝒎í𝒏 = 𝟏𝟓 𝟔𝟐𝟏
59
Problema 13
Resolución: 
Si 𝑒𝑣𝑚 + 𝑚1𝑣5 + 5 +𝑚 𝑣𝑚 = 𝑚 + 1 𝑚09, calcule el valor de
“ e + v + m”
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
𝒆 + 𝒗 +𝒎 = 𝟔
Clave B
𝒆 𝒗 𝒎
𝒎 𝟏 𝒗 𝟓
(𝟓 +𝒎) 𝒗 𝒎
𝒎+ 𝟏 𝒎 𝟎 𝟗
1 𝒎 = 𝟐
2 𝒗 = 𝟎
3 𝒆 = 𝟒
60
Problema 14
Resolución: 
Si se cumple
m+ 𝑒𝑚(2𝑚 − 1)(2𝑚) + 𝑛𝑣(5 + 𝑚)(7 − 𝑚)(2𝑚) = 1 10 𝑚6(2𝑚)
calcule el valor de “ e + v + m + n”
A) 16 B) 15 C) 18 D) 19 E) 17
𝒆 + 𝒗 +𝒎+ 𝒏 = 𝟏𝟔
Clave A
𝒎
𝒆 𝒎 (𝟐𝒎− 𝟏)
𝒏 𝒗 𝟓 +𝒎 (𝟕 −𝒎)
𝟏 𝟏𝟎 𝒎 𝟔
1 𝒎 = 𝟔 (𝟐𝒎 > 𝟏𝟎 𝒚 𝟕 −𝒎 ≥ 𝟎)
2 𝒆 + 𝒗 = 𝟗
3 n = 𝟏
61
Calcule el valor de E : 
E = 9 + 99 + 999 + … + 9999…99. Dar como respuesta la suma de cifras.
A) 50 B) 47 C) 45 D) 40 E)38
Problema 15
Resolución: 
40 cifras
𝐸 = 9 + 99 + 999 +⋯+ 999…99
40 cifras
𝐸 = 10 − 1 + 102 − 1 + … + 1040 − 1
𝐸 = 111…110 - 40
41 cifras
𝑺𝑪 = 𝟒𝟓𝐸 = 111…1070
41 cifras
Clave C
62
Calcule el valor de E si: 
𝐸 = ෍
𝑛=1
10
2(𝑛3 + 3𝑛2 + 4𝑛)
A) 7424 B) 7650 C) 8850 D) 8800 E) 8425
Problema 16
Resolución: 
𝑬 = 𝟖𝟖𝟎𝟎 Clave D
𝐄 = ෍
𝐧=𝟏
𝟏𝟎
𝟐(𝐧𝟑 + 𝟑𝐧𝟐 + 𝟒𝐧)
𝐄 = 𝟐𝐱 (
𝟏𝟎 𝟏𝟎 + 𝟏
𝟐
)𝟐 + 𝟔 𝐱
𝟏𝟎 𝟏𝟎 + 𝟏 (𝟐 ∗ 𝟏𝟎 + 𝟏)
𝟔
+ 𝟖𝐱
𝟏𝟎(𝟏𝟎 + 𝟏)
𝟐
63
63
A partir de: 4𝑦7𝑎 − 1𝑏𝑦3 = 𝑦6𝑥𝑥, calcular el valor de (x + y)
A) 12 B) 15 C) 7 D) 5 E) 10
Problema 17
Resolución: 
𝑦 6 𝑥 𝑥
1 𝑏 𝑦 3
4 𝑦 7 𝑎
Si y = 2, x = 5
a = 8, b= 6
x + y = 7
64
64
En una sustracción el minuendo es 𝑒𝑣𝑚 , el sustraendo es 𝑣𝑒6 y la
diferencia es 𝑘𝑚2, calcule el valor de “e+m+k-v”
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 15
Problema 18
Resolución: 
𝑒 𝑣 𝑚
𝑣 𝑒 6
𝑘 𝑚 2
Si m= 8, 𝑣 + 10 − 𝑒 = 𝑚
𝑒 − 𝑣 = 2
𝑒 + 𝑚 + 𝑘 − 𝑣 =
𝑒 − 1 − 𝑣 = 𝑘, 𝑘 = 1
2 + 8 + 1 = 𝟏𝟏
65
65
Problema 19
Resolución: 
𝑞 = 9 ∧ 𝑝 + 𝑟 = 9 𝑝 𝑞 𝑟
𝑟 𝑞 𝑝
1 0 8 9
1089 × 𝑚𝑛 = 79479
𝑚𝑛 =
79497
1089
= 73
𝒎+𝒏 = 𝟏𝟎
66
66
Problema 20
Resolución: 
𝑎 𝑏 𝑏 7 + 𝑏 𝑎 𝑎 7 = 7 × 𝑏 𝑏 𝑏 7
49𝑎 + 8𝑏 + 49𝑏 + 8𝑎 = 7 × 57𝑏
57 𝑎 + 𝑏 = 7 × 57𝑏
𝑎 + 𝑏 = 7𝑏
𝑎 = 6𝑏
𝑏 = 1 ∧ 𝑎 = 6
𝑏𝑎 𝑏𝑎 = 1616 = 22
𝑏𝑎𝑏𝑎
2
= 222 = 3 × 7 + 1 2
= 9 × 72 + 6 × 7 + 1 = 1261 7
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 = 10
67
Si a un número se le quita 32 unidades se obtiene su complemento
aritmético, en cambio si se le quita 274 unidades se obtiene la mitad de su
C.A. Determinar la suma de las cifras de dicho complemento:
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
Problema 21
Resolución: 
Sean los números: X y CA(X)
X -32 = CA(X) …(1)
X -274 = 
CA(X)
2
…(2)
2X -548 = CA(X) …(3)
De (1) y (3); 
X= 516; y CA(X)= 484 
La suma es: 4+8+4=16
CLAVE E
68
Problema 22
Resolución: 
La suma de los CA de los números 𝑒10 ; 𝑒11 ; 𝑒12 ; …; 𝑒89 es 52040. 
Calcular el valor de e.
(1000-𝑒10) +⋯+ (1000−𝑒89) = 52040
80000-(𝑒10 +⋯+ 𝑒89) = 52040
100e+…+100e+ (10 +⋯+ 89) = 27960
8000e+(10 +⋯+ 89) = 27960
e= 3
(𝑒10 +⋯+ 𝑒89) = 27960
80 veces
8000e= 24000
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
CLAVE C
69
Problema 23
Resolución: 
Si al sumar los CA de todos los números de tres cifras diferentes que se 
pueden formar con las cifras m, n y p, se obtiene 2670, ¿Cuánto es el 
valor de m+n+p?.
(1000-𝑚𝑛𝑝) + (1000−𝑚𝑝𝑛) + (1000−𝑛𝑝𝑚)
+(1000−𝑛𝑚𝑝) + (1000−𝑝𝑚𝑛)+(1000−𝑝𝑛𝑚)
= 2670
6000-(𝑚𝑛𝑝 +𝑚𝑝𝑛 + 𝑛𝑝𝑚 + 𝑛𝑚𝑝 + 𝑝𝑚𝑛 +
𝑝𝑛𝑚) = 2670
(𝑚𝑛𝑝 +𝑚𝑝𝑛 + 𝑛𝑝𝑚 + 𝑛𝑚𝑝 + 𝑝𝑚𝑛 +
𝑝𝑛𝑚) = 3330
Descomponiendo 
polinómicamente:
m+n+p= 15
111(m+n+p) = 1665
A) 15 B) 24 C) 18 D) 10 E)19
CLAVE A
70
Problema 24
Resolución: 
En un estuche hay tres tipos de lapiceros cuyas cantidades son x, y, z; 
con estas cantidades se forman el siguiente número P=𝑥𝑦𝑧𝑦0 x1015 . Si
la suma de cifras del complemento aritmético de P es 22, halle el 
máximo número de lapiceros que hay en el estuche. 
CA(𝑥𝑦𝑧𝑦0 ∗ 1015) =1016xCA(𝑥𝑦𝑧𝑦)
Descomponiendo 
Polinómicamente el C.A:
A) 15 B) 14 C) 16 D) 18 E)12
1016*CA(𝑥𝑦𝑧𝑦) =(10000- 𝑥𝑦𝑧𝑦 )*1016
(9-x)*1000+(9-y)*100+(9-z)*10+
(10-z ))*1016
Suma de cifras:
(9-x)+(9-y)+(9-z)+(10-y)=22
(37-x-2y-z)=22
(x+y+z)+y=15 …(1)
Para maximizar la suma de lapiceros 
en (1):
y=1 (x+y+z)=14 Luego:CLAVE B
71
Problema 25
Resolución: 
Si CA 𝑎𝑏𝑐𝑑 = 𝑎𝑏𝑐
Calcule el valor de ‘’a + b + c + d ‘’.
A) 18 B) 24 C) 20 D) 23 E) 19
𝒅 + 𝒄 = 𝟏𝟎
𝒄 + 𝒃 = 𝟗
𝒃 = 𝟎
CA 𝑎𝑏𝑐𝑑 = 𝑎𝑏𝑐
𝒃 + 𝒂 = 𝟗
𝒂 = 𝟗
𝟗
𝟎
𝒄 = 𝟗
𝟗
𝒅 = 𝟏
𝑵𝒐𝒔 𝒑𝒊𝒅𝒆𝒏:
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 = 𝟏𝟗
72
Problema 26
Resolución: 
Las cifras significativas del sistema octanario, se permutan circularmente
formándose números de 7 cifras distintas en base 8. Si efectuamos, la adición
de dichos números, la suma es E, Calcule la cifra de mayor orden de E en base 8.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
1234567(8) + 2345671(8) + 3456712(8) +⋯+ 7123456(8)𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟓; 𝟔; 𝟕
1234567(8) +
2345671(8)
3456712(8)…
7123456(8)
𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏
𝟏 + 𝟐 + 𝟑 +⋯+ 𝟕=
𝟕. 𝟖
𝟐
= 𝟐𝟖 𝟐𝟖 = 𝟑𝟒(𝟖)
𝟒(𝟖)
𝟑
𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒐 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏
𝟐𝟖+ 𝟑= 𝟑𝟏 𝟑𝟏 = 𝟑𝟕(𝟖)
𝟕
𝟑
𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒓𝒄𝒆𝒓 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏
𝟐𝟖+ 𝟑= 𝟑𝟏 𝟑𝟏 = 𝟑𝟕(𝟖)𝟕
𝟑
𝟕
𝟑
𝟕
𝟑
𝟕
𝟑
𝟕𝟑𝑬 =
𝑳𝒂 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏 𝒆𝒔 𝟑
73
Problema 27
Resolución: 
En una sustracción la diferencia es un numeral de dos cifras. Si al minuendo se le
disminuyen 10 unidades y se duplica al sustraendo, la diferencia se reduce a su
tercera parte. Pero si solo hubiésemos duplicado el sustraendo el orden de las
cifras de la diferencia inicial se invierte. Calcule la suma de los términos de la
sustracción inicial.
A) 110 B) 90 C) 112 D) 120 E) 102
𝐌− 𝐒 = 𝐃 ;𝑫 = 𝒂𝒃
𝑴− 𝑺 = 𝒂𝒃
(𝑴 − 𝟏𝟎) − (𝟐𝑺) =
𝒂𝒃
𝟑
𝑴 − 𝟐𝑺 = 𝒃𝒂…(𝟏)
… (𝟐)
…(𝟑)
𝒉𝒂𝒄𝒆𝒎𝒐𝒔 ∶ 𝟑 − (𝟐)
𝟏𝟎 = 𝒃𝒂 −
𝒂𝒃
𝟑
𝟐𝟗𝒃 = 𝟑𝟎 + 𝟕𝒂
2 4
𝒂 = 𝟒 ; 𝒃 = 𝟐
𝒓𝒆𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝟏 𝒚 𝟑
𝑴− 𝑺 = 𝟒𝟐
𝑴 − 𝟐𝑺 = 𝟐𝟒
𝑴 = 𝟔𝟎
𝑺 = 𝟏𝟖
𝑳𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔 ∶
𝟐𝑺 = 𝟏𝟐𝟎
74
Problema 28
Calcule la suma de los términos de la siguiente sucesión.
Resolución: 
Clave E 
"n"terminos
11;15,21;29;39;....
)𝑎
𝑛 𝑛2 + 3𝑛 + 29
6
)𝑏
𝑛 𝑛2 − 3𝑛 + 29
6
)𝑐
𝑛 𝑛2 + 3𝑛 + 29
2
)𝑒
𝑛 𝑛2 + 3𝑛 + 29
3
)𝑑
𝑛 𝑛2 + 3𝑛 + 29
4
𝑆𝑛 = 11𝐶1
𝑛 + 4𝐶2
𝑛 + 2𝐶3
𝑛
𝑆𝑛 = 11
𝑛 !
1! 𝑛 − 1 !
+ 4
𝑛 !
2! 𝑛 − 2 !
+ 2
𝑛 !
3! 𝑛 − 3 !
= 11 𝑛 + 2 𝑛 − 1 𝑛 +
1
3
𝑛 − 2 𝑛 − 1 𝑛 =
𝑛(𝑛2+3𝑛+29)
3
75
Problema 29
Resolución: 
A) 128 B) 337 C) 328 D) 674 E) 828
Clave D 
Si 𝑆𝑛 = 𝑛
3 + 3𝑛 es la suma de los “n” primeros términos de una sucesión 
cuadrática cuyo término enésimo es 𝑎𝑛 . Calcule el valor de 𝑎10 + 𝑎12
𝑺𝟏𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 +⋯+ 𝒂𝟏𝟏 + 𝒂𝟏𝟐 = 𝟏𝟐
𝟑 + 𝟑 𝟏𝟐 = 𝟏𝟕𝟐𝟖 + 𝟑(𝟏𝟐)
𝑺𝟏𝟏 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 +⋯+ 𝒂𝟏𝟎 + 𝒂𝟏𝟏 = 𝟏𝟏
𝟑 + 𝟑 𝟏𝟏 = 𝟏𝟑𝟑𝟏 + 𝟑(𝟏𝟏)
Restando:
𝒂𝟏𝟐 = 𝟒𝟎𝟎
𝑺𝟏𝟎 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 +⋯+ 𝒂𝟗 + 𝒂𝟏𝟎 = 𝟏𝟎
𝟑 + 𝟑 𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟑(𝟏𝟎)
𝑺𝟗 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 +⋯+ 𝒂𝟖 + 𝒂𝟗 = 𝟗
𝟑 + 𝟑 𝟗 = 𝟕𝟐𝟗 + 𝟑(𝟗)
Restando:
𝒂𝟏𝟎 = 𝟐𝟕𝟒
𝒂𝟏𝟎 + 𝒂𝟏𝟐 = 𝟐𝟕𝟒 + 𝟒𝟎𝟎 = 𝟔𝟕𝟒
76
Problema 30
Resolución: 
A) 7295 B) 7395 C) 7397 D) 7405 E) 7495
Clave A 
Calcule la suma de todos los números de 3 cifras de la sucesión.
1 ; 7 ; 17 ; 31 ; 49 ; …..
Sea la sucesión : 1 7 17 31 49 ,… , 𝑎𝑛 , … . , 𝑎𝑚6 10 14 18 ,…
4 4 4 4 ,…
𝑎𝑛 = 1𝐶0
𝑛−1 + 6𝐶1
𝑛−1 + 4𝐶2
𝑛−1 = 1 1 + 6 𝑛 − 1 + 4
(𝑛 − 2)(𝑛 − 1)
2
= 2𝑛2 − 1
𝑎𝑛 número de 3 cifras: Entonces 10
2 ≤ 2𝑛2 − 1 < 103 luego 7,1 ≤ 𝑛 < 22,37
Para n=8 ; 𝑎𝑛=127 ; Para m=22 ; 𝑎𝑚=967 
𝑆22 = 𝐶1
22 + 6𝐶2
22 + 4𝐶3
22 = 22 + 6
22 × 21
2
+ 4
22 × 21 × 20
6
= 7568
𝑆7 = 𝐶1
7 + 6𝐶2
7 + 4𝐶3
7 = 273, 𝑆 = 𝑆22 − 𝑆7 = 7568 − 273 = 𝟕𝟐𝟗𝟓