ARITMÉTICA AREA A

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO
CEPRU
CENTRO DE ESTUDIOS PRE
UNIVERSITARIO - UNSAAC
“AÑO DEL FORTALECIMIENTO DE LA SOBERANÍA NACIONAL”
CICLO PRIMERA OPORTUNIDAD 2023
ÁREA “A”
ARITMÉTICA
DIRECTORIO CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO -UNSAAC
DIRECTOR:
F Dr. FRANCISCO MEDINA MARTINEZ
INTEGRANTES:
F Dr. SANTIAGO SONCCO TUMPI
F Ing. VICTOR DUEÑAS AQUISE
F Mgt. CAYREL GENOVEVA JIMENEZ PAREDES
PERSONAL ADMINISTRATIVO:
F PEDRO PAUL LABRA QUISPICURO
F TEODORO WILDER MORA CARRILLO
F JODY MURILLO NEYRA
F WILBER CELSO GAMERO HANDA
F AMERICO FARFAN PORTOCARRERO
F FREDY ROLANDO GOMEZ YARAHUAMAN
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO CEPRU-UNSAAC 
 
 
1 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
TEORÍA DE CONJUNTOS 
 
CONCEPTO: Un conjunto es la agrupación, reunión o colección de objetos bien definidos, que tienen 
cierta característica en común y cumplen una regla de correspondencia. 
 
A estos objetos bien definidos se les denomina elementos 
 
Ejemplo: 
 
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} La característica en común que tienen estos elementos es que son números naturales 
y lo podemos expresar como: 
 
 
 
 
 
 
 
Notación: Generalmente a los conjuntos se les denota por medio de las letras mayúsculas A, B, C, … y 
a los elementos por letras minúsculas a, b, c, . . . , x, y, z. 
 
Sin embargo, debemos recordar que hay conjuntos que pertenecen a otros conjuntos más grandes, así 
por ejemplo: 
 
Sean los conjuntos: A = {3, {4, 5}, 6} 
 B = {4, 5} 
Observamos que B  A 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Naturales: () Está formado por todos los números que utilizamos en el proceso de contar, esto es: 
  = {0, 1, 2, 3, 4, . . . } 
 
Enteros: () Está formado por el conjunto de los enteros positivos, el cero y los enteros negativos, esto 
es: 
 
 = { ... , –3, –2, –1, 0, 1, 2, …} 
Donde: + = {1, 2, 3, 4, …} 
 – = {. . ., –3, –2, –1} 
Entonces:  = +  –  {0} 
Además se tiene: 
0
+ ={0, 1, 2, 3, . . . } =  
 
0
− ={0, –1, –2, –3, . . . } 
Racionales: () Sus elementos son el resultado de la división de dos números enteros, en el que el 
denominador sea distinto de cero, esto es: 
A = {x / x    1 ≤ x ≤ 7} 
característica 
Regla de 
correspondencia 
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2 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
  = {
b
a
/ a  , b    b  0} 
 = {... ,–2,–1, 0, 1, 2, …,1/2,–2/9, … } 
Irracionales: ( [] ) Está formado por todos los números que tienen representación decimal infinita no 
periódica, es decir que no se pueden expresar como fracción, esto es: 
[] = { 3 , 3 5 , , e, . . .} 
Reales: (): Sus elementos son la unión de los racionales con los irracionales, esto es: 
  =   ][ 
 = { ... ,–2,–1, 0, 1, 2, …,1/2,–2/9, … 3 , 3 5 , , e, . .} 
 
Determinación de conjuntos 
 
1. Por comprensión o forma constructiva: Es cuando sólo se da a conocer la característica y la regla 
de correspondencia del conjunto. 
 
Ejemplos: 
A = {x / x    –1 ≤ x < 4} 
B = {4x / x    x < 6} 
C = {x / x es una vocal} 
 
2. Por extensión o forma tabular: Es cuando se denota o se nombra a cada uno de sus elementos. 
 
Ejemplos: Determinemos por extensión los conjuntos de los ejemplos anteriores, esto es: 
 
A = {–1, 0, 1, 2, 3} 
B = {0, 4, 8, 12, 16, 20} 
C = {a, e, i, o, u} 
 
Representación gráfica de conjuntos 
1. Diagramas de Venn – Euler 
Son regiones planas cerradas que se utilizan para representar gráficamente los conjuntos, así por 
ejemplo: 
 
 
 
 
 
Lo más importante de los diagramas, es su interpretación, esto es: 
 
Sean A, B y C 3 conjuntos tales que: 
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3 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinemos la región o regiones que representan a: 
 
A = {a, d, e, g} Todos los que están en A, sin restricciones 
Sólo A = {a} Al indicar sólo A, exceptúa a los demás, es decir que son los elementos de A pero 
que no estén en B ni en C 
B y C = {f, g} Están en B y C al mismo tiempo 
Sólo B y C = {f} Al indicar sólo B y C, exceptúa al conjunto A 
Sólo uno de ellos = {a, b, c} Están sólo en A o sólo en B o sólo en C 
Dos de ellos = {d, e, f} En dos conjuntos a la vez 
Ninguno de ellos = {h} Fuera de los tres conjuntos 
 
2. Diagramas de Lewis Carrol: 
Se utiliza para representar gráficamente conjuntos disjuntos (separados) o complementarios, así por 
ejemplo cuando tengamos conjuntos de la forma: 
 
H = Hombres su complemento M = Mujeres 
B = Personas que bailan su complemento B’ = Personas que no bailan 
 
Gráficamente tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determinemos las regiones que representan a: 
– Todos los hombres: H = {1, 3} 
– Las personas que Bailan: B = {1, 2} 
– Hombres que Bailan: HB= {1} 
– Mujeres que no Bailan: MNoB = {4} 
 
 
A B 
C 
a b 
c 
d 
e 
f 
g 
h 
U 
H M 
B 
NoB 
1 2 
3 4 
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4 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
Nota: Si A = {a, b} es unitario, 
entonces: a = b 
CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO: 
Representa el número de elementos diferentes entre sí que tiene un conjunto y se denota por 
Card(A) o simplemente n(A), esto es: 
 
Si A = {x/x    x < 37}, entonces, los elementos del conjunto A, son: 
 A = {0, 1, 2, . . . , 36} 
 es decir: Card (A) = n(A) = 37 
 
Si B = {2, 5, {3}, {2}, 3, 2, {7}, 5} 
Observemos que el conjunto B tiene 6 elementos diferentes entre sí: 2, 5, {3}, {2}, 3, {7}, 
luego 
Card (B) = n(B) = 6 
 
 
CLASES DE CONJUNTOS 
De acuerdo al número de elementos, los conjuntos se clasifican en: 
 
1. Nulo o Vacío 
Es aquel conjunto que carece de elementos así, por ejemplo: A =  
B = { } 
C = {x/x  x < 0}  n(C) = 0 
Propiedades:   {} 
  {} 
 ≠ {} 
 
2. Unitario: Es el conjunto que posee un sólo elemento, se le denomina también singleton o conjunto 
singular 
 
Ejemplo: 
A = {} No es conjunto vacío, puesto que su único elemento es  
 n(A) = 1 
B = {5, 5} = {5} 
C = {7, 7, 7} = {7} 
 
3. Finito: Son aquellos conjuntos en los que se puede determinar el número de elementos así, por 
ejemplo: 
 
A = {x/x  x < 104}  n(A) = 104 
 
B = {x/x, –20  x  10}  n(B) = 31 
 
4. Infinito: Son aquellos conjuntos en los que no se pueden determinar el número de elementos así, 
por ejemplo: 
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5 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
 
A = {x/x  5 < x}  n(A) =? No se puede determinar 
B = {x/x  2  x  3}  n(B) =? 
 
5. Universal: Sirve de referencia para estudiar otros conjuntos incluidos en él y puede ser finito o 
infinito así, por ejemplo: 
 
U = {x/x  x<12} 
A = {x/x es impar} 
 A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} sólo los impares menores que 12 
 B = {x/x<5} 
 B = {0, 1, 2, 3, 4} sólo los naturales menores que 5 
 
Observemos que en A y en B no hay necesidad de especificar que x puesto que existe el conjunto 
universal que sirve de referencia, gráficamente se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 
 
1. Relación de Pertenencia: 
Esta relación está definida de elemento a conjunto, esto es: 
 
Sea A = {2, 5, {7}, {2, 6}, 3, {3}}, entonces podemos afirmar que: 
 3  A {7}  A 
{6}  A ; puesto que {6} no está en el conjunto A 
{2, 6}  A 
{5}  A ; puesto que {5} no está en el conjunto A, debe ser 5A 
 
Debemos tomar en cuenta que un elemento pertenece a un conjunto si se encuentra escrito tal y 
como se presenta en el conjunto, si no lo estuviera, se dice que ese elemento no pertenece al conjunto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
U 
Debemos observar que la relación de pertenencia 
y no pertenencia relaciona un elemento con un 
conjunto, esto es: 
 
 
 elemento a conjunto 
 
 
 
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Nota: Si algún elemento del 
conjunto A no pertenece al 
conjunto B, entonces se dice 
que el conjunto A no está 
incluido en el conjunto B y se 
denota por A  B 
Por lo que, si nosotros observamos la relación de pertenencia, asumimos: 
 {5}  {2, {5} 3  {2, {3}} 
 
 elemento conjunto elemento conjunto 
 
2. Relación de Inclusión: 
Un conjunto A está incluido en otro conjunto B si y sólo si todos los elementos de A también 
pertenecen a B, simbólicamente se tiene: 
 A  B   x  A  x  B 
 Equivalentemente se tiene: A  B   x  A  x  B 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
Y se puede leer como: 
A está incluido en B 
A está contenido en B 
A está dentro de B 
A es subconjunto de B 
O recíprocamente: 
 B incluye a A 
 B contiene a A 
 B es superconjunto de A 
 
La no inclusión: A  B   x  A  x  B 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
Diagrama Lineal (De Hasse) 
Se utiliza para representar gráficamente la inclusión o comparabilidad de dos o más conjuntos así, por 
ejemplo: 
 
 Diagrama de Venn – Euler Diagrama lineal 
 
I) 
 
 
 
 
 
A 
B 
A  B Utilizando un diagrama 
lineal, la relación de 
inclusión A  B se expresa 
como: 
B 
 
 
 
A 
A 
B 
B 
A 
A  B A  B 
A 
 
B 
 
A  B 
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II) 
 
 
 
 
 
 
III) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La representación lineal de los conjuntos numéricos es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
B 
A A  B  C 
C 
C 
A  B  C 
A 
B 
B A 
A  C  B  C 
C 
C 
A  C  B  C 
D 
B 
A  B; B  C; B  
D 
C 
A B 
A 
C D 
A  B; B  C; B  
D 
 
 = 
 
+ 
 
– 
 
 
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8 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
Propiedades de la relación de inclusión: 
1. Todo conjunto está incluido en sí mismo. A  A (Reflexiva) 
 
2. Si A  B  B  A  A = B (Antisimétrica) 
 
3. Si A  B  B  C  A  C (Transitiva) 
 
Observaciones: 
1. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. 
2. El número de subconjuntos que se pueden formar a partir de los elementos de un conjunto, está dado 
por: 
 de subconjuntos = 2n 
3.  de subconjuntos propios = 2n – 1 
4.  de subconjuntos no vacíos = 2n – 1 
5.  de subconjuntos propios no vacíos = 2n – 2 
 
Así, por ejemplo: Sea A = {1, 5, {6}} 
 # de subconjuntos = 23 = 8 
 # de subconjuntos propios = 23 – 1 = 8 – 1 = 7 
 # de subconjuntos no vacíos = 23 – 1 = 8 – 1 = 7 
 # de subconjuntos propios no vacíos = 23 – 2 = 8 – 2 = 6 
Estos son: 
   A {1, 5}  A 
 {1}  A {1, {6}}  A 
 {5}  A {5, {6}}  A 
{{6}}  A 
 {1, 5, {6}}  A 
 
Es posible calcular el número de subconjuntos unitarios, binarios, ternarios, etc., sin necesidad de 
colocar uno a uno, para esto utilizaremos los números combinatorios, esto es: 
 
 # subconj unitarios = 
n
1C = n 
 # subconj binarios = 
n
2C 
 # subconj ternarios = 
n
3C y así sucesivamente 
 
donde las combinaciones son arreglos de “n” elementos tomados de “m” en “m” en el que el orden 
no importa y se calcula como: 
 
 nm
n!
C
m!(n m)!
=
−
 n  m , n, m  o
+ 
Así, por ejemplo: 52
5!
C
2!3!
=
5 4 3 2 1   
=
2 1 3 2 1   
 
 52
5 4
C
2 1

=

 
 52C 10= 
Subconjuntos 
unitarios 
 
Subconjuntos 
binarios 
 
Subconjuntos 
ternarios 
 
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9 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
 Propiedades: 
1. noC 1= 
2. n1C n= 
3. nnC 1= 
4. nn 1C n− = 
5. n nm n mC C −= (complementario) 
 
Método práctico para el cálculo de combinaciones 
 
 52
a partir del 5 tomar 2 factores consecutivos
C
a partir del 2 tomar 2 factores consecutivos
= 
5
2
5 4
C
2 1

=

 
5
2C 10= 
 
Ejemplo: Si el conjunto A = {2, {4}, {2,4}, 5, 6, 9}; n(A) = 6, entonces: 
 # subconj unitarios = 
6
1C = 6 
 # subconj binarios = 
6
2
6 5
C
2 1

=

= 15 
 # subconj ternarios = 
6
3
6 5 4
C
3 2 1
 
=
 
= 20 
 Y así sucesivamente. 
 
 
SUBCONJUNTOS PROPIOS 
Un conjunto A es subconjunto propio de B si se verifican dos condiciones: 
i) A  B 
ii) A  B 
es decir, todos los subconjuntos de A son subconjuntos propios de A, excepto el mismo A, y se calcula 
como: 
 
 
 
 
 
Nota: Un subconjunto es impropio si es un subconjunto de un conjunto dado y es igual a dicho conjunto 
 
 
 
 
 
 
 de subconj propios = 2n – 1 
 de subconj propios no vacíos = 2n – 2 
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10 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
CONJUNTO POTENCIA 
Denominado también conjunto de partes y es aquel conjunto cuyos elementos son todos los 
subconjuntos que se pueden formar a partir de un conjunto dado, para determinar el número de 
elementos del conjunto potencia, es equivalente a calcular el número de subconjuntos de un conjunto 
dado, esto es: 
 
 
 
 
Así, por ejemplo: Sea el conjunto A = {5}, 
 los subconjuntos de A son: , {5} 
 entonces, n[P(A)] = 21 = 2 
 luego: P(A) = {, {5}} 
 
Si B = {a, b}, los subconjuntos de B son , {a}, {b}, {a, b} 
 entonces, n[P(A)] = 22 = 4 
 luego: P(A) = { , {a}, {b}, {a, b} } 
 
Propiedades: 
➢  conjunto A, P(A) existe y es único 
➢ X  P(A)  X  A 
➢   P(A) 
➢   P(A) 
➢ A  P(A) 
➢ A = B  P(A) = P(B) 
➢ Si A  B  P(A)  P(B) 
➢ Si A y B son disjuntos, entonces P(A)  P(B) = {} (no son disjuntos) 
➢ P(A)  P(B)  P(A  B) 
➢ P(A)  P(B) = P(A  B) 
3. Relación de Igualdad: 
 
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos, simbólicamente se tiene: 
 
 A = B  A  B  B  A 
 
 Si A = {2, 5} o también si A = {2, 5} 
 y B = {2, 5} y B = {5, 2} 
 son iguales son iguales 
 
Por tanto, podemos afirmar que si los conjuntos: 
A = {a, b} y 
n[P(A)] = 2n 
NOTA 
El orden de los elementos 
no altera la igualdad de 
conjuntos 
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11 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
 
 B = {c, d} son iguales, entonces se verifica una y sólo una de las siguientes igualdades: 
 
 a = c  b = d ó a = d  b = c 
 
es decir, pueden estar en el mismo orden o en orden cambiado. 
 
Propiedades: 
1. Todo conjunto es igual a sí mismo 
A = A (Reflexiva) 
 
2. Si A = B  B = A (Simétrica) 
3. Si A = B  B = C  A = C (Transitiva) 
 
CONJUNTOS COMPARABLES 
Dos conjuntos A y B son comparables si sólo uno de ellos está incluido en el otro, simbólicamente se 
tiene: 
 
A y B son comparables  o bien A  B o bien B  A 
 
En forma equivalente se dice que dos conjuntos A y B no son comparables si ninguno de ellos está 
incluido en el otro, esto es: 
 
 A y B no son comparables  A  B  B  A 
 
Ejemplo: 
Si A = {2, 4, 6} y B = {4, 6} 
Como B  A  A y B son comparables 
 
 
 
NOTA: Si dos conjuntos A y B son iguales entonces no son comparables. 
 
 
CONJUNTO PRODUCTO 
 
Llamado también producto cartesiano y es aquel conjunto cuyos elementos son pares ordenados (a, b) 
donde “a” es la primera componente y “b” es la segunda componente, esto es: 
 
 A×B = {(a, b)/ aA  bB} 
 n(A×B) = n(A)×n(B) 
Ejemplo: 
Sean los conjuntos: 
 A = {2, 5} 
 B = {1, 3, 4} 
 
 A×B={(2,1), (2,3), (2,4), (5,1), (5,3), (5,4)} 
NOTA 
Se dice que dos conjuntos A y B no 
son comparables si se verifica que: 
A  B  B  A 
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12 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
 B×A={(1,2), (1,5), (3,2), (3,5), (4,2), (4,5)} 
 
Luego: n(A×B) = n(A)×n(B) 
 n(A×B) =2×3 
 n(A×B) = 6 
 
Propiedades: 
1. (a, b)  (b, a) 
2. A×B ≠ B×A, si A ≠ B 
3. A×A = A2 (sólo notación) 
4. n(A×B) = n(B×A) 
 
OPERACIONES CON CONJUNTOS 
1. UNIÓN (  ) 
La unión del conjunto A con el conjunto B es otro conjunto formado por todos los elementos que 
pertenecen al conjunto A o pertenecen al conjunto B o pertenecen a ambos. Simbólicamente, se tiene: 
 
A  B = {x/xA  xB} 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observamos que la unión es todo y que si un conjunto está incluido en otro, entonces la unión es el más 
grande de los dos, con esta idea podemos entender mejor las siguientes propiedades. 
 
Propiedades: 
1. A  A = A (Idempotencia) 
2. A  B = B  A (conmutativa) 
3. (A  B)  C = A  (B  C) (asociativa) 
4. A   = A 
5. A  U = U 
6. Si A  B  A  B = B 
7. A  (A  B) 
8. B  (A  B) 
A B 
A  B 
A B 
A  B 
A 
B 
A  B 
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13 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
2. INTERSECCIÓN (  ) 
La intersección del conjunto A con el conjunto B es otro conjunto formado por todos los elementos 
que pertenecen al conjunto A y pertenecen al conjunto B al mismo tiempo, simbólicamente se tiene: 
 
A  B = {x/xA  xB} 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propiedades: 
1. A  A = A (idempotencia) 
2. A  B = B  A (conmutativa) 
3. (A  B)  C = A  (B  C) (asociativa) 
4. A   =  
5. A  U = A 
6. Si A  B  A  B = A 
7. Si A y B son disjuntos  A  B =  
8. (A  B)  A 
9. (A  B)  B 
La unión respecto a la intersección 
10. A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
 A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (Leyes Distributivas) 
11. A  (A  B) = A 
 A  (A  B) = A (Leyes de absorción) 
 
3. DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS (–) 
La diferencia del conjunto A con el conjunto B es otro conjunto formado por todos los elementos que 
pertenecen al conjunto A pero no pertenecen al conjunto B, simbólicamente se tiene: 
 
A – B = {x/xA  xB} 
Gráficamente 
 
 
 
 
A B 
A  B =  
A 
B 
A  B 
A B 
A – B 
A B 
A – B 
A 
B 
A – B =  
A B 
A  B 
NOTA 
Se dice que dos conjuntos A y B son 
disjuntos o ajenos si se verifica 
que: 
 A  B =  
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14 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
Propiedades: 
1. A – A =  
2. A – B  B – A 
3. A –  = A 
4.  – A =  
5. A – U =  
6. (A – B)  A 
7. A – (A – B) = A  B 
8. Si A  B  A – B =  
9. Si A y B son disjuntos  A – B = A 
 B – A = B 
10. (A – B)  A 
11. (B – A)  B 
12. (A  B) – C = (A – C)  (B – C) 
13. (A  B) – C = (A – C)  (B – C) 
 
4. DIFERENCIA SIMÉTRICA () 
 
La diferencia simétrica del conjunto A con el conjunto B es otro conjunto formado por todos los 
elementos que pertenecen a la unión de A con B pero no pertenecen a la intersección de A con B, 
simbólicamente se tiene: 
 
A  B = {x/x(AB)  x(AB)} 
Es decir: 
A  B = (A  B) – (A  B) o también 
A  B = (A – B)  (B – A) 
 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propiedades: 
1. A  A =  (idempotencia) 
2. A  B = B  A (conmutativa) 
3. (A  B)  C = A  (B  C) (asociativa) 
4. A   = A 
A B 
A  B 
A B 
A  B 
A 
B 
A  B 
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15 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
5. A  U = U – A = A' 
6. A  B =   A = B 
7. Si A  B  A  B = B – A 
8. Si A y B son disjuntos  A  B = A  B 
9. (A  B)  (B  C) = (A  B  C) – (A  B  C) 
 
5. COMPLEMENTO: A', AC, AA, C 
El complemento del conjunto A es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al 
conjunto universal y que no pertenecen al conjunto A, es decir están fuera de A, simbólicamente se 
tiene: 
 
A' = {x/xU  x A} 
A' = U – A 
Gráficamente. 
 
 
 
 
 
Propiedades: 
1. A' existe y es único 
2. (A')' = A 
3.  ' = U 
4. U ' =  
5. A  A' = U 
6. A  A' =  
7. A – B = A  B' 
8. (A  B)' = A'  B' 
9. (A  B)' = A'  B' 
 
Nota: De acuerdo al número de elementos, se puede verificar que: 
 
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(AB) 
n(AB) = n(A) + n(B) – n(AUB) 
n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC) 
 
 
 
A 
U 
A’ 
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16 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
EJERCICIOS 
 
1. El valor de verdad de las siguientes proposiciones es: 
 
I. Si A  B =  , entonces A = B 
 II. Si A  B  A – B =  
 III. Si A = B  A  B 
 
a) VVV b) VVF c) VFV d) FVV e) FFV 
 
2. ¿Cuántas de las siguientes operaciones con conjuntos 
son conmutativos? 
 
I. Unión 
II. Intersección 
III. Diferencia 
IV. Diferencia simétrica 
V. Producto cartesiano 
 
a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) Todas 
 
3. Dado el conjunto: 
1 4 2 1 14= +   + A {x / x ; x } 
Indicar los resultados verdaderos. 
I. La suma de sus elementos es 25. 
II. Tiene 31 subconjuntos propios. 
III. Su mayor elemento es 6. 
 
 a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) I y III 
 
4. Indicar cuántas de las siguientes proposiciones son falsas 
 
I. A  (A  B) = A 
II. A  (A  B) = A 
III. (A  )  C = A  C 
IV. A  (B  U) = (A  U)  (A  B) 
 
a) 0 b) 1 c) 3 d) 2 e) 4 
 
5. Indique cuántas de las siguientes proposiciones son 
verdaderas: 
 
I. Todo conjunto tiene subconjuntos propios 
II. Dos conjuntos diferentes entre sí, no siempre son 
disjuntos 
III. Si n(A) = 5, entonces P(A) tiene 31 subconjuntos 
propios 
IV. Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces P(A) y 
P(B) son también disjuntos. 
 
a) 1 b) 0 c) 2 d) 4 e) 3 
6. Determinar por extensión el conjunto: 
A = {x /x  , x2 – 12x + 27 = 0} 
 
a) {9, –3} b) {–3, –9} c) {9} 
d) {3, 9} e) {–9, 3} 
 
7. Determinar por extensión el conjunto: 
B = {x /x  , x2 + 12x – 28 = 0} 
 
a) {14, –2} b) {2, –14} c) {2} 
d) {14} e) {14, 2} 
 
8. Hallar la suma de los elementos del siguiente conjunto: 
 
B = {4x – 1/ x  –2  x  3} 
a) 20 b) 13 c) 21 d) 18 e) 22 
 
9. Sea: 
C = { (3x – 1) / x    –3 < 4x + 9 < 29} 
Calcular la suma de los elementos de C. 
 
a) 26 b) 15 c) 19 d) 25 e) 14 
 
10. Determinar el cardinal del conjunto D 
Si: D = {x2 + 1/ x, x es par  –2x<16} 
 
a) 8 b) 10 c) 7 d) 6 e) 9 
 
11. Determinar la suma de elementos del conjunto B 
Si: B = {
2 36
6
−
+
x
x
/ x es impar; 5 < x < 15} 
 
a) 40 b) 18 c) 25 d) 16 e) 4 
 
12. Determinar la suma de los elementos del conjunto 
 
A = {x   / 5x + 1 < 3x + 11 < 4x + 10} 
a) 5 b) 3 c) 8 d) 6 e) 9 
 
13. ¿Cuántos elementos tiene el siguiente conjunto? 
 
 E = {(2x – 5) / 3 < x < 6} 
 
a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8 
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14. Dados los conjuntos: 
A = { x   / –12 < x + 6 < 20} 
B = { x / x    4 < x2 < 36} 
¿Cuántos elementos tiene AxB? 
 
a) 155 b) 186 c) 31 d) 62 e) 93 
 
15. Si A = {
7x 8
3
++  / 45 < 9x2 + 9 < 90} 
Calcular la suma de los elementos de A. 
 
a) 17 b) 9 c) 8 d) 21 e) 7 
 
16. Si A = {x / 
3x 2
2 6
5
+
  } 
 B = { x / 
x 1
2
+
   x < 20 } 
 Calcular: n(A) + n(B) 
 
 a) 12 b) 9 c) 8 d) 10 e) 11 
 
17. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son falsas? 
 
 n() = 0 n({}) = 1  = {} 
   {}   P(B) {0} = {} 
 
a) 5 b) 6 c) 3 d) 2 e) 4 
 
18. Si: n[ P(A U B) ] = 256 n(A) – n(B) = 1 
 n(A  B) = 3 Hallar: n(B) 
 
a) 5 b) 3 c) 8 d) 6 e) 7 
 
19. Dado tres conjuntos A, B y C se tiene que n(A – B) = 4; 
n(AUB) = 11, además:A  B = {3, 4, 5, 6} y A – C = {5} 
 
Hallar n(AB) 
 
a) 5 b) 6 c) 12 d) 8 e) 7 
 
20. Sean A, B y C conjuntos, donde: 
n(A) = 45 n(B) = 80 n[P(C)] = 256 
n[P(A  B  C)] = 32 n[(A  B) – C] = 20 
Hallar: n(AB) 
a) 45 b) 68 c) 25 d) 81 e) 75 
 
 
21. Si A = {4, 5, {4, 3}, 1, {{2, 3, 4}, 5}, {7} } 
¿Cuántas proposiciones son verdaderas? 
 * {4, 3}  A * {4, 3}  A * 4, 5  A 
 * {2, 3, 4}  A * {4, 5}  A * {2}  A 
 * {7}  A * {4, {4,3}}  A *   A 
 
a) 8 b) 6 c) 5 d) 7 e) 4 
 
22. Si B = {1, 2, A} donde A = {1, 3} 
¿Cuántas proposiciones son verdaderas? 
 * 3  B * A  B * A  B 
 *   B * A  {1, 3} *   A 
 * {1, A}  B * A  P(A) *   P(B) 
 
a) 8 b) 6 c) 5 d) 7 e) 4 
 
23. Dados los conjuntos A, B, C y D, tales que: 
n[(BC) – D]  0 
n[A x (BCD)] = 70 
5 x n(BC) = n(D) 
 Calcular n[A x (BC)] 
 
 a) 14 b) 30 c) 28 d) 40 e) 35 
 
24. Para dos conjuntos A y B se cumple que: n(AB) = 6 
además: 
 
n[P(A)]+ n[P(B)] = 40 
Determinar: n[P(AB)] 
 
 a) 4 b) 8 c) 16 d) 2 e) 32 
 
25. Sean A, B, C  U, tales que: 
n(U) = 93 n(C) = 46 
n[(B  C) – A] = 7 n[(A  B  C)’] = 0 
n(A) = n(B) = 41 n[(A  B) – C] = 9 
n[A – (B  C)] = 18 Hallar n(ABC) 
 
a) 7 b) 3 c) 9 d) 5 e) 1 
26. Dado el conjunto: 
 
C = {x/x es una letra de la palabra “princesita”} ¿Cuántos 
subconjuntos propios no vacíos tiene C? 
 
 a) 254 b) 1022 c) 1023 d) 511 e) 510 
 
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27. Si los conjuntos: 
A = {2a + 12 , 5a} B = {22, 3a + 2b} 
Son singletones. Hallar el valor de: a + b 
 
a) 2 b) 10 c) 8 d) 6 e) 9 
 
28. Dado el conjunto singular A = {3a – 3b + 2; a + b; 14}. 
Determinar el número de subconjuntos propios de C, si: 
C = { a, 2a, b, 2b – 1} 
 
a) 15 b) 7 c) 3 d) 16 e) 8 
 
29. Hallar: m + n , sabiendo que los conjuntos A y B son 
iguales. 
 
A = {n2 + 1, –6} B = {2 – m, 10} 
Además, m, n   
 
a) 12 b) 11 c) 7 d) 10 e) 8 
 
30. Dados los siguientes conjuntos iguales: 
 
A = {a + 3, a + 1} B = {7 – a, 9 – a} 
C = {6 , b + 2} D = {c + 7, 6 – b} Calcular: a + b + c 
a) 8 b) 7 c) 9 d) 3 e) 4 
 
31. Si el conjunto A tiene 63 subconjuntos propios, ¿cuántos 
de estos subconjuntos son binarios? 
 
a) 15 b) 10 c) 8 d) 6 e) 9 
 
32. Si un conjunto tiene 28 subconjuntos binarios. ¿Cuántos 
subconjuntos ternarios tiene? 
 
a) 52 b) 50 c) 64 d) 56 e) 32 
 
33. Determinar el número de subconjuntos binarios del 
conjunto A, si A = {(x2 – 1) / 0 < x  4} 
a) 120 b) 150 c) 64 d) 128 e) 32 
 
34. Consideremos dos conjuntos comparables cuyos 
cardinales son números que se diferencian en 4, además 
la diferencia de los cardinales de sus conjuntos potencia 
es 480. Halle el número de elementos que posee la 
intersección. 
 
a) 5 b) 2 c) 4 d) 32 e) 16 
 
35. Se desea preparar un jugo surtido con 6 frutas 
diferentes, ¿cuántos jugos diferentes se puede 
preparar? 
 
a) 64 b) 63 c) 57 d) 66 e) 6 
 
36. Una señora sale a pasear todos los días con dos o más 
de sus perritos. Con mucho cuidado, procuró llevar cada 
día a un grupo diferente. Si en total tiene 10 perritos. ¿Al 
cabo de cuantos días tendrá que llevar necesariamente 
a un grupo repetido? 
 
a) 255 b) 1014 c) 1023 d) 1013 e) 257 
 
37. Karol compra 9 baldes de pintura de diferentes colores. 
Los mezcla en igual proporción. ¿Cuántos nuevos 
matices se puede obtener? 
 
a) 512 b) 503 c) 511 d) 502 e) 501 
 
 
38. En un salón de clases de 45 alumnos, 22 están 
matriculados en física y 28 en química, ¿Cuántos 
alumnos están matriculados en los dos cursos? 
 
a) 4 b) 10 c) 2 d) 12 e) 5 
 
39. En una asamblea de 120 integrantes de un club, 70 son 
artistas, 52 son deportistas y 6 no son artistas ni 
deportistas. ¿Cuántos son artistas y deportistas? 
 
a) 8 b) 6 c) 15 d) 12 e) 3 
 
40. De un grupo de 40 personas se sabe que: 15 de ellos no 
estudian ni trabajan, 10 personas estudian y 3 personas 
estudian y trabajan. ¿Cuántos de ellos realizan una sola 
actividad? 
 
a) 23 b) 22 c) 25 d) 21 e) 24 
 
41. En un congreso internacional de Estudiantes el 60% de 
los participantes hablan inglés y el 30% alemán. Si el 
20% de los que hablan inglés hablan también alemán, y 
son 120 los que hablan sólo inglés; entonces el número 
de estudiantes que no hablan inglés ni alemán, es: 
 
a) 55 b) 50 c) 45 d) 60 e) 65 
 
42. Si de 90 alumnos del centro de idiomas de la UNSAAC, 
53 no estudian quechua, 58 no estudian inglés y 38 no 
estudian quechua ni inglés, entonces, el número de 
alumnos que estudian sólo quechua o sólo inglés, es: 
a) 25 b) 20 c) 15 d) 35 e) 38 
 
43. En una reunión de 80 científicos, se notó que el número 
de hombres que usaban anteojos era igual que el 
número de mujeres que no usaban anteojos, además los 
hombres que no usaban anteojos era el séxtuplo del 
número de mujeres que si usaban. Hallar cuantas 
mujeres había, si el número de personas que usaban 
anteojos era la tercera parte de los que no usaban 
anteojos. 
 
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO CEPRU-UNSAAC 
 
 
19 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
a) 40 b) 25 c) 20 d) 15 e) 10 
 
44. De un grupo de 120 personas se observa que: 
➢ 4 docenas de personas son varones del extranjero 
➢ 3 docenas de mujeres son peruanas 
➢ El número de mujeres extranjeras excede en 24 al 
número de varones peruanos. 
¿Cuántos varones hay en dicha reunión? 
 
a) 54 b) 29 c) 55 d) 60 e) 45 
 
45. De 120 estudiantes, 60 aprobaron Aritmética, 80 
aprobaron Competencia Lingüística, 90 aprobaron 
Historia y 40 aprobaron los 3 cursos. ¿Cuántos 
aprobaron exactamente dos cursos, si todos aprobaron 
por lo menos un curso? 
a) 18 b) 20 c) 30 d) 28 e) 25 
 
46. En una ciudad el 60% de la población va al cine y el 
35% va al teatro. Si el 20% de la población va al cine y 
también al teatro. ¿Qué porcentaje no va al teatro ni al 
cine? 
 
a) 15% b) 16% c) 25% d) 28% e) 30% 
 
47. El 65% de una población no prefiere practicar fútbol, el 
50% no prefiere practicar natación, si el 55% prefiere 
practicar fútbol o natación pero no los dos deportes a la 
vez. ¿Qué porcentaje prefieren dos deportes a la vez? 
 
a) 15% b) 16% c) 21% d) 18% e) 10% 
 
48. En un club deportivo el 65% del total juega Tenis, 140 
juegan Frontón. Si el 20% no sabe jugar ni Tenis ni 
Frontón y otro 20% juega los dos deportes. ¿Cuántos 
juegan Tenis y Frontón? 
 
a) 50 b) 20 c) 80 d) 60 e) 30 
 
49. En una clínica trabajan 60 personas, de las cuales 30 
son peruanos y 15 son colombianos, hay 20 médicos y 
de éstos 8 son peruanos y 5 son colombianos ¿Cuántos 
de los que no son peruanos, no eran médicos ni 
colombianos? 
 
a) 8 b) 12 c) 15 d) 10 e) 11 
 
50. En una oficina, 20 empleados conversan en voz baja 
para no despertar a los 10 que duermen, 18 están 
echados, 3 de ellos duermen y 5 conversan en voz baja. 
Si en total hay 50 empleados. ¿Cuántos se pueden decir 
que quizás estén trabajando? 
 
a) 8 b) 12 c) 15 d) 10 e) 11 
 
51. De un grupo de 84 estudiantes se sabe que 57 estudian 
inglés, 23 estudian alemán, 36 estudian francés, 4 
estudian los 3 idiomas, 11 estudian sóloalemán y todos 
estudian por lo menos un idioma. ¿Cuántos estudian 
sólo uno de los idiomas o estudian los tres idiomas? 
 
a) 54 b) 52 c) 56 d) 60 e) 62 
 
52. En un determinado instante de una fiesta, se notó que el 
número de hombres que bailaban eran el doble del 
número de mujeres que no bailaban; además el número 
de mujeres era la mitad del número de hombres. Hallar 
cuántos hombres no bailaban en dicho instante, si el total 
de asistentes fue de 90 
 
a) 24 b) 32 c) 40 d) 36 e) 35 
 
53. Se hizo una encuesta a 88 personas sobre preferencias 
respecto a las revistas A y B, se observa que: el número 
de los que prefieren las dos revistas a la vez, es la 
tercera parte de los que prefieren A, la cuarta parte de 
los que prefieren B y la quinta parte de los que no 
prefieren ninguna de las dos revistas. ¿Cuántos 
prefieren la revista A? 
 
a) 28 b) 24 c) 30 d) 16 e) 36 
 
54. De 100 alumnos que han rendido 3 exámenes, se 
observa que 30 aprobaron el primero, 39 el segundo y 
48 el tercero; 15 no aprobaron ninguno, 15 aprobaron los 
dos primeros, 11 aprobaron el segundo y el tercero y 12 
aprobaron el primero y el tercero. ¿Cuántos aprobaron 
los tres cursos? 
 
a) 10 b) 9 c) 6 d) 8 e) 5 
 
55. En un cesto hay manzanas, peras y naranjas. Un grupo 
de 30 niños comieron las frutas de la siguiente manera: 
14 niños comieron manzanas, 20 niños comieron peras 
y 17 niños comieron naranjas; 7 niños comieron 
manzanas y peras; 9 niños comieron peras y naranjas y 
10 niños comieron naranjas y manzanas. ¿Cuántos 
niños comieron los tres tipos de frutas? 
 
a) 4 b) 2 c) 10 d) 3 e) 5 
 
56. De 43 personas que practican natación o tenis, se sabe 
que el número de hombres que practican sólo tenis es 
menor en 11 que el número de personas que practican 
ambos deportes, y es también igual a la tercera parte del 
número de mujeres que practican sólo natación. Calcule 
la máxima cantidad de hombres que practican sólo un 
deporte. 
 
a) 29 b) 26 c) 28 d) 31 e) 35 
 
57. A un grupo de 80 personas se hizo una encuesta sobre 
sus preferencias entre los helados de fresa, lúcuma y 
vainilla, se observa que 40 prefieren fresa, 50 lúcuma y 
60 vainilla. ¿Cuántas personas prefieren tres sabores, si 
la cantidad de personas que prefieren un solo sabor es 
máxima? 
 
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20 CEPRU ORDINARIO 2022-1 
 
a) 51 b) 29 c) 25 d) 60 e) 35 
 
58. En un edificio donde hay 32 personas, se sabe que 16 
compran en el mercado, 15 en la bodega y 18 en el 
supermercado, 5 en los dos últimos, 6 en los dos 
primeros y 7 en el primero y último. ¿Cuántas personas 
compran sólo en el mercado? 
 
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 5 
 
59. En un colegio de los 60 alumnos, 40 son hombres, a 30 
alumnos la biblioteca les presta libros de Aritmética a 
cada uno y 12 mujeres tuvieron que comprar dicho libro. 
¿Cuántos hombres compran el libro si se supone que 
todos los alumnos tienen el libro? 
 
a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 
 
60. Una encuesta a 500 alumnos del CEPRU reveló lo 
siguiente: 329 prefieren Matemática; 186 Física; 295 
Química; 83 Matemática y física; 63 Física y Química; 
217 Matemática y Química. Si a 3 alumnos no les gusta 
ninguna de las tres asignaturas indicadas. ¿Cuántos 
prefieren a lo más dos asignaturas? 
 
a) 50 b) 53 c) 450 d) 447 e) 438 
 
61. De un grupo de personas se observa que, los que 
practican Fútbol también practican Básquet y los que no 
practican Fútbol son 220 además los que no practican 
Básquet ni Vóley son 129 y los que practican Básquet o 
Vóley pero no Fútbol, son 7 veces los que practican 
Fútbol ¿Cuántas personas conforman el grupo? 
 
a) 236 b) 224 c) 229 d) 230 e) 233 
 
62. De un grupo de 590 alumnos, se observó que 200 no 
postularon a la UNSAAC, 300 no postularon a la UNSA 
y 50 no postularon a ninguna de estas dos. ¿Cuántos 
postularon a ambas universidades? 
 
a) 100 b) 120 c) 125 d) 130 e) 140 
 
63. Cien espectadores escuchan a tres cantantes, 40 
aplauden al primero, 39 aplauden al segundo y 48 al 
tercero, 10 aplauden a los 3, 9 aplauden solo a los dos 
primeros, 19 aplauden solo al tercero, 21 espectadores 
no aplauden. ¿Cuántas personas aplaudieron por lo 
menos a dos cantantes? 
 
a) 19 b) 21 c) 38 d) 42 e) 27 
 
64. En el cumpleaños de Jazmín hay 60 invitados y se 
observa que la cantidad de invitados que tienen celular, 
pero no reloj son la quinta parte de los que tienen celular 
y reloj y la cuarta parte de los que tienen reloj, pero no 
celular. Si 30 invitados no tienen celular ¿Cuántas 
personas no tienen celular ni reloj? 
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 
 
65. En el mes de agosto un estudiante dejó de estudiar 
Aritmética durante 13 días, 12 días estudio Algebra y 13 
días estudió sólo Aritmética. Durante cuántos días 
estudió los otros cursos 
 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 
 
66. En una reunión donde hay 100 personas, se sabe que 
40 no tienen hijos, 60 son hombres, 10 mujeres están 
casadas, 25 personas casadas tienen hijos y hay 5 
madres solteras. ¿Cuántos hombres son padres 
solteros? 
 
a) 20 b) 41 c) 30 d) 26 e) 25 
 
67. En un aula 80 alumnos han rendido 3 exámenes de ellos 
42 aprobaron el primero, 38 el segundo, 49 el tercero, 18 
los tres exámenes; si ninguno de ellos desaprobó los tres 
cursos. ¿Cuántos alumnos aprobaron por lo menos 2 
exámenes? 
 
 a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32 
 
68. De un grupo de 100 personas de la tercera edad se tiene 
la siguiente información: 
➢ 30 jugaron fútbol alguna vez 
➢ 20 nunca jugaron tenis 
➢ 5 personas nunca jugaron futbol ni tenis 
¿De las personas que nunca jugaron fútbol, cuántas 
jugaron tenis alguna vez? 
 
a) 60 b) 41 c) 73 d) 36 e) 65 
 
69. Anghely recordaba que en el mes de marzo que es su 
cumpleaños, 17 días comió chocolates, 25 días comió 
gomitas y el 31 de marzo no comió dulces. ¿Cuántos 
días comió gomitas y chocolates y qué día es sus 
cumpleaños? 
 
a) 5 días, 4 de marzo 
b) 10 días, 25 de marzo 
c) 12 días, 26 de marzo 
d) 8 días, 31 de marzo 
e) 11 días, 17 de marzo 
 
70. A un matrimonio asistieron 150 personas, el número de 
hombres es el doble del número de mujeres. De los 
hombres, 23 no usan reloj, pero si tienen terno y 42 
tienen reloj. De las mujeres, las que no usan minifalda 
son tantas como los hombres que no usan terno ni reloj 
y 8 tienen mini y reloj. ¿Cuántas mujeres usan minifalda, 
pero no reloj? 
a) 8 b) 6 c) 5 d) 9 e) 7 
SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES 
 
Se llama sistema de los números naturales al conjunto: 
 = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ..... } 
el cual está provisto de dos operaciones binarias llamadas ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN y además está 
dotado de dos relaciones, la relación de igualdad y la relación menor que. 
 
ADICIÓN 
sumasumandos
A + B = S 
 
PROPIEDADES 
a) Propiedad de clausura o cerradura. La suma de dos números naturales es otro número natural. 
a,b se cumple: a b c ; c 
 
b) Propiedad asociativa. La forma de agrupar a los sumandos no altera la suma. 
a ; b ; c se cumple: a (b c) (a b) c 
c) Propiedad de la existencia del elemento neutro aditivo. (Elemento Identidad aditiva) Viene a ser el 
“0”, porque al sumarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural. 
! 0 tal que: a a a0 0 , a 
d) Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo. No se cumple. 
e) Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma. 
a,b se cumple: a b b a 
f) Propiedad de monotonía. Si en ambos miembros de una igualdadse suma el mismo número natural, 
entonces el resultado será otra igualdad. 
a ; b ; c Si a b a c b c 
g) Propiedad cancelativa. Si en ambos miembros de una igualdad existe un mismo sumando, podemos 
cancelarlo y resultará otra igualdad. 
a ; b ; c Si a c b c a b 
 
MULTIPLICACIÓN 
 
 
 
 
 
PROPIEDADES 
a) Propiedad de clausura: El producto de dos números naturales es otro número natural 
a,b se cumple a b c , c 
b) Propiedad Asociativa: La forma de agrupar a los factores no altera el producto. 
a , b , c se cumple: 
a (b c) (a b) c 
c) Propiedad de la existencia del elemento Neutro Multiplicativo: (Elemento identidad multiplicativo) 
Viene a ser el “1”, porque al multiplicarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo 
número natural. 
!1 tal que: a a a1 1 , a 
d) Propiedad de la existencia del elemento inverso multiplicativo. No se cumple. 
e) Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. a,b se cumple: 
a b b a 
f) Propiedad distributiva: La operación de multiplicación se distribuye respecto a la adición. 
 
a , b , c se cumple: 
a×(b+c)= a×b + a×c
 
 
(b+c)×a b×a + c×a 
g) Propiedad del elemento absorbente: Viene a ser el cero y es tal que: a se cumple: 
a×0=0×a=0 
 
RELACIÓN DE IGUALDAD 
Un número natural se puede representar de varias maneras diferentes, por ejemplo: 
12 = 5+7 = 4 x 3 = 2 +10 = 6 x 2 = ..... 
 
PROPIEDADES 
a) a,b a b ó a b Propiedad de dicotomía. 
b) a a , a Propiedad reflexiva. 
 A x B = P 
 
 FACTORES PRODUCTO 
A: multiplicando 
B: multiplicador 
P: producto 
c) Si a b b a Propiedad simétrica. 
d) Si a=b b=c a=c Propiedad transitiva. 
e) Si a=b a×c=b×c , c 0 
f) f) a b = a x b 
 
RELACIÓN MENOR QUE 
 
Sean a,b , 
a b n , n /a n b0 
 
Determina que el sistema de los números naturales sea ordenado 
 
PROPIEDADES 
 
a) a b b a 
b) 2) a b a b o´ a b 
c) a b o´ a b o´ a b Propiedad de tricotomía 
d) Si a b b c a c Propiedad transitiva 
e) Si a b a c b c si c o 
f) Si a c b c a b 
g) Si a c b c a b si c 0 
 
 
SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS 
 
Se llama sistema de los números enteros al conjunto: 
 = {….;-4;-3;-2;-1;0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; … } 
0 
el cual está provisto de tres operaciones bien definidas llamadas ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN Y 
SUSTRACCIÓN; además está dotado de dos relaciones: la relación de igualdad y la relación menor que. 
 
ADICIÓN 
 
sumasumandos
A + B = S 
Esta operación cumple todas las propiedades mencionadas en la adición de los números naturales, al que es 
necesario agregarle la Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo: 
Para cada a , ! a tal que: 
a ( a) a a 0 
 
SUSTRACCIÓN 
 
 
 
 Se verifica que: 
 
 
 
 
MULTIPLICACIÓN 
 
 
 
 
 
Esta operación cumplen todas las propiedades mencionadas en la multiplicación de los números naturales. 
 
RELACIÓN DE ORDEN MENOR QUE 
Sean a,b a b c tal que a c b
 
a b si b a 
Esta relación establece que el sistema de los números enteros es ordenado y además, cumple con las 
propiedades dadas para la relación menor definida en el sistema de los números naturales. 
 
 
 A x B = P 
 
 FACTORES PRODUCTO 
A: multiplicando 
B: multiplicador 
P: producto 
M: Minuendo S: Sustraendo 
D: Diferencia 
 
 
M-S=D
M=S+D
Si M-S=D M-D=S
2M=M+S+D


 


Ejemplos: 
2<5 , ya que existe el entero positivo 3, tal que 2+3=5 
8 no es menor que 6, ya que no existe un entero positivo de manera que sumado a 8 se obtenga 6 
6 no es menor que 6, ya que no existe un número positivo que sumado a 6 resulte 6 
 
PROPIEDADES 
 
1) Si a b a c b c si c o 
Si a b a c b c si c o 
2) Si a c b c a b 
 Si a c b c a b si c 0 
 Si a c b c a b si c 0
 
3) 
a b o a o b o a o b o
 
 
4) 
a b o a o b o a o b o
 
5) 
a b a b
 
 
DIVISIÓN ENTERA 
 
 Si se tiene que: 
 
 
A) División Exacta ( r = 0 ) 
 
 
 
 
B) División Inexacta ( r  0 ) 
 
 
 División por Defecto. 
 
 (“r” es el residuo por defecto) 
 
 
 Ejemplo: 
 
  61 = 8 x 7 + 5 (5 es el residuo por defecto) 
 
División por Exceso. 
 
 (“ re“es el resto por exceso) 
 
 
 Ejemplo: 
 
  61 = 8 x 8 – 3 (3 es el residuo por exceso) exceso 
 
 
PROPIEDADES 
 
A) r + re = d 
 
B) 0 < r < d Luego, para una división por defecto se cumple: 
 residuo mínimo es: 1 
 residuo máximo es: d - 1 
 
C) sí: se cumple: 
 
 
D) eq q 1 eq : es el cociente por exceso 
 q : es el cociente por defecto 
 
Dados dos números enteros, sumándolos se obtiene un resultado entero que es la suma, restándolos se halla 
un resultado que es la diferencia y multiplicándolos se obtiene un resultado que es el producto. En cambio, 
cuando se los divide (el mayor entre el menor) se obtiene dos resultados enteros que son el cociente y el 
D 
 
d 
 
r 
 
q 
 
D = d . q + r 
D 
 
d 
 
re 
 
 
 
q +1 
 
D = d . (q+1) – re 
D: dividendo 
d: divisor 
q: cociente 
 r: residuo 
 
D 
 
d 
 
r 
 
q 
 
D 
 
d 
 
0 
 
q 
 
D = d x q ó 
D
q
d
=
61 8
5 7
61 8
64 8
3
K
M L
+
+ +
D d
r q
K
M L
d
residuo, todos los cuales están relacionados por una expresión llamado algoritmo de la división y es este que 
lo caracteriza, a saber 
D = d . q + r ó D = d . (q+1) – re 
 
Todo ello hace que sea interesante plantear diversas situaciones matemáticas. Es de notar que el citado 
algoritmo es la aplicación de tres propiedades fundamentales, la propiedad de cerradura de la adición, 
sustracción y multiplicación. No implica este hecho que la división esté definida en los enteros. 
 
COMFORMACIÓN DE NÚMEROS 
 
 
. a5b3c8 numerodeseiscifrasdonde :a,b,c sondigitos
cona "a" es la cifra significativa.
1
0
 
 . abc abc abc abc2 
 . (a )(b )(c ) abc3 2 5 8 258 
 
. a5b3c8 a0b0c0
. aaaa a( )
. ( a)( b)( c) abc
4 50308
5 1111
6 2 2 2 2
 
 7.- En todo número de dos cifras: ab donde a>b ; se cumple: 
 si ab ba xy entonces x + y = 9 
8.- En todo número de tres cifras: abc , donde a>c; se cumple: si abc cba xyz entonces y = 9 ; x + 
z = 9 
9.- En todo número de cuatro cifras: abcd ; donde a > d; se cumple: 
abcd dcba pqrs donde: p + q + r + s = 18 
 
7.-COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA) 
 
El complemento aritmético de un número natural es otro número natural, que representa la cantidad que le 
falta a aquel para ser igual a la unidad del orden inmediato superior de dicho número. 
Para un número de una cifra: 
CA(a) = 10 – a 
Para un número de dos cifras: 
CA( ab ) = 100 – ab = ( a)( b)9 10 
Para un número de “n” cifras: 
nCA(ab ... dc) ab ... dc
(9-a)(9-b) ... (9-d)(10-c)
10
 
 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS. 
 
1. La diferencia de 2 números es 530 si al sustraendo le restamos 42 y al minuendo le aumentamos 75. ¿Cuál 
es la nueva diferencia? 
a) 647 . b) 547 c) 117 
d) 430 e) 466 
 
2. En una operación de sustracción, la suma del minuendo con el sustraendo y diferencia es igual a 838. 
Calcular el minuendo. 
a) 414 b) 419 . c) 369 
d) 360 e) 838 
 
3. Si abc 3mn cba= + , hallar el máximo valor de a + b + c + m + n 
a) 38 b) 39 c) 32 
d) 36 e) 35 
 
4. La suma de dos números es 472, su cociente es 5 y el resto 40. ¿Cuál es el menor? 
a) 360 b) 72. c) 400 
d) 318 e) 98 
 
5. La suma de los términos de unaresta es 15684 y si restamos la diferencia del sustraendo nos da 4788. 
Hallar la suma de las cifras de la diferencia. 
a) 11 b) 13 c) 15. 
d) 17 e) 19 
 
6. La diferencia de dos números de 3 cifras cada uno es 819. Si se invierte el orden de las cifras del sustraendo, 
la diferencia es ahora 126.Hallar el minuendo si las cifras del minuendo y el sustraendo suman 33. 
a) 872 b) 891 c) 927 
d) 957 e) 982 
 
7. Hallar un numeral de 3 cifras significativas que aumenta en 270 cuando se invierte el orden de sus dos 
primeras cifras, y que disminuye en xy5 cuando se invierte las cifras de unidades y centenas. 
a) 893 b) 762 c) 851 
d) 782 e) 691. 
 
8. Si a dos números enteros se les disminuye y aumenta 6 unidades respectivamente, el producto de ellos 
aumenta en 204 unidades. ¿Cuál es la diferencia de los números? 
a) 20 b) 30 c) 40. 
d) 41 e) 45 
 
9. Si la suma de los productos parciales de abc por 31 es 1032, entonces el valor de a + b + c es: 
a) 15 b) 18 c) 22 
d) 10 e) 8 
 
10. Al multiplicar un número de tres cifras por 999 se obtiene un número cuyas últimas cifras son 327. calcule la 
suma de cifras del número. 
a) 15 b) 16 c) 17 
d) 20 e) 14 
 
11. Al multiplicar dos números uno de los cuales es mayor que el otro en 10 unidades, un postulante cometió un 
error disminuyendo en 4 la cifra de las decenas en el producto. Al dividir el producto obtenido por el menor de 
los factores (para comprobar el resultado) obtuvo en el cociente 39 y en el resto 22. Hallar el producto 
correcto. 
a) 1151 b) 1191 c) 1231 
d) 1271 e) 1311 
 
12. La diferencia de 2 números es 832; su cociente es 17, y el residuo el más grande posible. 
Encontrar la suma de los números. 
a) 881 b) 993 c) 934 
d) 890 e) 930 
 
13. La suma de los 4 términos de una división es 425, si se multiplica por 5 el dividendo y el divisor y se vuelve a 
resolver la operación, la suma de los términos sería 2073. 
Hallar el cociente. 
a) 13. b) 12 c) 11 
d) 14 e) 17 
 
14. Dos números naturales son tales que si se les resta 2 y 1 respectivamente. Su producto es igual a 15. Hallar 
la suma de los números. 
a) 10 b) 11 c) 7 
d) 13 e) 8 
 
 
15. Si la suma de los complementos aritméticos de los xy , yx es 79; 
halle x + y. 
a) 10 b) 9 c) 12 
d) 11 e) 13 
 
16. La suma de los términos de una multiplicación es 500. Si se cuadriplica al multiplicando, la suma de los 
nuevos términos de la multiplicación es 1400. Entonces, el valor del multiplicador es: 
a) 250 b) 300 c) 150 
d) 200 e) 100 
 
 
 
 
17. El cociente de una división entera es 11 y el resto es 39. Hallar el dividendo si es menor que 500.Dar como 
respuesta el número de soluciones posibles. 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
18. Si la suma de los complementos aritméticos de abc , bca y cab es 1668, entonces el complemento 
aritmético de a + b +c, es: 
a) 88 b) 73 c) 78 
d) 83 e) 95 
 
19. Al dividir un número entre 15, el residuo es 12. ¿Cuál será el residuo si se le divide entre 5? 
a) 3 b) 1 c) 4 
d) 2. e) 0 
 
20. Al dividir un número entre 5 el residuo es 3 y al dividirlo entre 8 es 6. Si los cocientes se diferencian en 9, 
¿qué resto dará al dividir el número por 7? 
a) 6. b) 3 c) 1 
d) 5 e) 2 
 
21. Encontrar un número entero tal que al dividirlo entre 82 deje como resto por defecto el duplo del cociente por 
exceso y como resto por exceso, el triple del cociente por defecto. 
a) 1256 b) 1346 c) 1420 
d) 1446 e) 1344 
 
22. En una división entera el cociente por defecto es 9, los residuos por defecto y por exceso son iguales y la 
suma del dividendo y divisor es 210. 
Hallar el dividendo. 
a) 190 b) 150 c) 180 
d) 170 e) 160 
 
23. Si el complemento aritmético de ab7 es igual a nnn ab7+ , entonces el valor de 2a + b es: 
a) 7 b) 6 c) 8. 
d) 9 e) 10 
 
 
24. En una división entera inexacta por defecto, el cociente es 32 y el residuo es 7. Si al dividendo se le aumenta 
200 unidades y se efectúa nuevamente la división, el cociente y el residuo aumentan 3 y 2 unidades 
respectivamente, ¿en cuántas unidades es mayor el dividendo que el divisor, en la división inicial? 
a) 3207 b) 3702 c) 2053 
d) 2253 e) 2434 
 
25. Determine la suma de las cifras del mayor número entero de tres cifras que al ser dividido por otro número de 
dos cifras se obtiene los restos por defecto y por exceso que son dos números enteros cuyo producto es 377. 
a) 18 b) 23 c) 19 
d) 25 e) 26 
 
26. Si ( ) ( )CA ab4 cc a 5 00− = + , entonces el valor de a + b + c es: 
a) 10 b) 11 c) 12 
d) 13 e) 9 
 
27. Si el complemento aritmético de un número de tres cifras se divide entre el mismo número, se obtiene un 
residuo máximo; entonces el complemento aritmético de la suma de las cifras del número, es: 
a) 5 b) 2. c) 3 
d) 4 e) 1 
 
28. Si el complemento aritmético de ( )a7b b 2+ es igual a ( )d 1 bcd− , entonces el valor de a b c d+ + + ,es 
a) 18 b) 17 c) 13 
d) 15 d) 19. 
 
 
 
 
 
 
29. Si: 
 
abcd 7 243
dbca 6 494
 =
 =
 
El complemento aritmético de las sumas de las cifras del producto abdc 8 es: 
a) 25 b) 35 c) 65 
d) 75. e) 85 
 
30. Si él CA xyzw bb y 1 w 1 00( ) ( )( )= + − + y x w 14+ = , el valor de x y z b w+ + + + , es 
a) 21 b) 25 c) 18 
d) 37 e) 32 
 
 
31. Al multiplicar un número A de cuatro cifras por 999 se obtiene un número que termina en 5352. Calcule la 
suma de las cifras del número A. 
a) 18 b) 19 c) 20 
d) 21 e) 22 
 
32. Si en lugar de multiplicar un número N por ab se multiplica por ba , este producto más N unidades es el 
doble del producto original. Hallar : (a + b) 
a) 8 b) 9 c) 10. 
d) 12 e) 14 
 
33. Se divide 86x43x entre b0b . Se obtiene 4b84 de cociente y como residuo 67. 
Hallar el valor de: (x - b) 
a) 6 b) 1 c) 2 
d) 3. e) 4 
 
 
34. El dividendo de una división termina en 305 y el cociente es 526. Si el residuo es máximo, ¿Cuál es la 
suma de las cifras del divisor si tiene 3 cifras? 
a) 15 b) 18 c) 20 
d) 21 e) 19 
 
35. Hallar el valor de (c + d) si al dividir 5cd entre ab resulta como cociente ba y bb como residuo. 
a) 9 b) 10 c) 11 
d) 12 e) 13 
 
36. Si a la suma de 35 números impares consecutivos se le resta 42, entonces la cifra de la unidad del 
resultado final es: 
a) 1 b) 3 c) 5 
d) 7 e) 9 
 
37. Un número capicúa de cuatro dígitos se divide entre dos números consecutivos. En ambos casos el 
cociente es 45. Si los residuos obtenidos suman 73, determine la suma de los dígitos del menor número 
capicúa que cumple con las condiciones establecidas. 
a) 12 b) 14 c) 16 
d) 18 e) 20 
 
38. Al multiplicar un número A de cuatro cifras por 999 se obtiene un número que termina en 5352. Calcule la 
suma de las cifras del número A. 
a) 18 b) 19 c) 20 
d) 21 e) 22 
 
39. La suma de un número N de tres cifras, con el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 1392; 
además la diferencia de sus respectivos complementos aritméticos es un número de tres cifras cuya cifra 
de las unidades es el doble de las cifras de las centenas. Determine la suma de las cifras de N. 
a) 21 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 14 
40. Al sumar los complementos aritméticos de todos los números de tres cifras diferentes que se pueden 
formar con las cifras: m, n y p, tal que m > n > p, se obtiene 2670. Determine el valor de: m + n + p 
a) 12 b) 13 c) 15 
 d) 14 e) 10 
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO CEPRU-UNSAAC. 
 
 
1 
 
3.- SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES 
 
Llamaremos sistema de los números racionales al conjunto 
a
a b b 0
b
, provisto 
de dosoperaciones binarias adición (+) y multiplicación (.) (leyes de composición interna) y las 
relaciones de orden e igualdad, es decir: 
 
1era LEY DE COMPOSICION INTERNA 
 
: 
 (a,b) (a,b) a b 
 
Además, debe cumplirse los axiomas siguientes: 
 
clausura o cerradura. 
 
a,b entonces a b 
 
a) Propiedad asociativa. 
 
a (b c) (a b) c , a,b,c 
 
b) Propiedad conmutativa. 
 
a b b a , a,b 
 
c) Propiedad de la existencia del elemento neutro aditivo. 
 
0 0 0a , a a a 
 
d) Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo. 
 
0a , a a ( a) ( a) a 
 
OBSERVACIÓN 1 
 
➢ El elemento neutro aditivo es único 
➢ El elemento inverso aditivo es único 
 
 
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO CEPRU-UNSAAC. 
 
 
2 
 
. 2da LEY DE COMPOSICION INTERNA 
 
: 
 (a,b) .(a,b) a.b 
 
Además, debe cumplirse los axiomas siguientes: 
 
a) CLAUSURA O CERRADURA. 
 
a,b entonces a.b 
 
b) PROPIEDAD ASOCIATIVA. 
 
a.(b.c) (a.b).c , a,b,c 
 
c) PROPIEDAD CONMUTATIVA. 
 
a.b b.a , a,b 
 
d) PROPIEDAD DE LA EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO 
MULTIPLICATIVO. 
 
1 1 1a , a. .a a 
 
e) PROPIEDAD DE LA EXISTENCIA DEL ELEMENTO INVERSO 
MULTIPLICATIVO. 
 
1 1 10 1a , a a.(a ) (a ).a 
 
f) PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO A LA 
ADICIÓN 
 
 a,b,c 
 
 a.(b c) a.b a.c distributiva por izquierda 
 
 (b c).a b.a c.a distributiva por derecha 
 
 
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO CEPRU-UNSAAC. 
 
 
3 
 
g) PROPIEDAD DEL ELEMENTO ABSORBENTE 
 
a.0 0.a 0 , a 
 
OBSERVACIÓN 2 
 
➢ El elemento neutro multiplicativo es único 
➢ El elemento inverso multiplicativo es único 
 
OBSERVACIÓN 3 
 
la operación binaria de la sustracción (ley de composición interna) está totalmente definida en 
la operación binaria de la división (ley de composición interna) está totalmente definida en 0 
 
RELACIÓN DE IGUALDAD 
 
PROPIEDADES 
 
a) a,b a b ó a b Propiedad de dicotomía. 
b) a , a a Propiedad reflexiva. 
c) a,b , sí a b b a Propiedad simétrica. 
d) a,b,c , sí a= b b=c a=c Propiedad transitiva. 
e) a=b a×c=b×c , paratodoc a,c , 
 
RELACIÓN MENOR QUE 
 
PROPIEDADES 
 
a) a b b a 
b) a b a b o´ a b 
c) a b o´ a b o´ a b Propiedad de tricotomía 
d) Si a b b c a c Propiedad transitiva 
e) Si a c b c a b 
f) Si c 0 a c b c a b 
g) a,b a b c tal que a c b 
h) a,b a b o a o b o a o b o 
i) a,b a b a b 
 
 
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4 
 
DENSIDAD DE UN CONJUNTO 
 
Un conjunto A es denso con respecto a la relación de orden, si para dos elementos diferentes a,b A 
donde a b , siempre existe por lo menos un elemento cA, tal que: 
 
a c b 
 
De lo anterior se concluye, que: 
 
1º) Los conjuntos y son densos. 
2º) Los conjuntos y no son densos. 
 
 
NÚMEROS FRACCIONARIOS 
 
 
Son los números racionales que no son números enteros. 
 
FRACCIONES 
 
Son números fraccionarios positivos. 
 
 
 
a
f
b
 
 
 
Donde: a, b  Z+ y a no es múltiplo de b 
 
 
OPERACIONES CON FRACCIONES: 
 
 
▪ Suma: 
a c a d b c
b d b d
 
▪ Producto: 
a c a c
b d b d
 
▪ División: 
a c a d a d
b d b c b c
 
 
 
 
CLASES DE FRACCIONES 
 
1) SEGÚN SU VALOR RESPECTO A LA UNIDAD 
 
Numerador 
 
 
Denominador 
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5 
 
a. Fracción propia. 
 
El valor de la fracción es menor que la unidad: 
a
f 1 a b
b
 
 
b. Fracción impropia 
 
El valor de la fracción es mayor que la unidad: 
a
f 1 a b
b
 
NOTA: 
 
Toda fracción impropia se puede expresar como la suma de un entero más una fracción propia 
(fracción mixta). 
 
Ejm: 
 
7 1 1
3 3
2 2 2
 
 
2) SEGÚN SU DENOMINADOR 
 
a. Fracción decimal. 
 
Su denominador es potencia entera de 10. 
 
b. Fracción común u ordinaria 
 
Su denominador no es potencia entera de 10. 
 
3) POR GRUPO DE FRACCIONES 
 
a. Fracciones homogéneas. 
 
Un grupo de fracciones son homogéneas cuando todos sus denominadores son iguales. 
 
 
b. Fracciones heterogéneas. 
 
Un grupo de fracciones son heterogéneas cuando al menos un denominador es diferente de los demás. 
 
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6 
 
4) POR LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS. 
 
a. Fracción reductible. 
 
Sus términos tienen más de un divisor común. 
 
b. Fracción irreducible. 
 
Sus términos tienen como único divisor común a la unidad. 
 
NOTA: 
 
A partir de una fracción irreducible se puede obtener una fracción equivalente a ella. 
 
a k.a
f k
b k.b
 
PROPIEDAD: 
 
Dada las fracciones irreductibles 1 2
a c
f y f
b d
 
 
a c
Si k k b d
b d
 
 
 
Si a los términos de una fracción propia se les suma un mismo valor entero positivo, la nueva 
fracciona si formada será mayor que la primera 
 
1 2 1 2
a a m
f 1 y f f f ;m
b b m
 
 
Si a los terminos de una fraccion impropia se le suma un valor , la nueva fracción así formada 
será menor que la primera 
 
1 2 1 2
a a m
f 1 y f f f ;m
b b m
 
 
 
 
 
 
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7 
 
NÚMEROS DECIMALES 
 
Número decimal exacto
Numero Decimal Periodico Puro
Número decimal inexacto
Periodico Mixto
 
 
CONVERSIÓN DE FRACCIONES A DECIMALES 
 
1. Generatriz de un número decimal exacto. 
 
abc
0,abc
1000
 
 
2. Generatriz de un número decimal inexacto periódico puro. 
 
abc
0,abc
999
 
 
3. Generatriz de un número decimal inexacto periódico mixto. 
 
 
 
abxyz ab
0,abxyz
99900
 
 
 
1) Número decimal exacto: 
 
 
Una fracción irreductible origina un número decimal exacto cuando el denominador esté conformado 
por sólo factores primos 2 o 5 o ambos. El número de cifras decimales es el mayor exponente de 2 o 
5 del denominador. 
 
 
 
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8 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 3 cifras decimales 
 
2) Número decimal inexacto periódico puro. 
 
Una fracción irreductible origina un número decimal inexacto periódico puro si el denominador 
no tiene como factores primos a 2 ni 5. El número de cifras del periodo es la cantidad de cifras 
del menor número formados por cifras 9 que contengan exactamente al denominador de la fracción 
generatriz. 
2
2
3
2
2
3
9 3
99 3 11
999 3 37
9999 3 11 101
99999 3 41 271
999999 3 7 11 13 37
 
 
Ejemplo: 
 
 
 , OJO SOLO CONSIDERAR 173 
 
Tienen 6 cifras en el periodo por que el menor número de cifras 9 que lo contiene es 999 999 y 
tiene 6 cifras. 
 
 
3) Número decimal inexacto periódico mixto. 
 
Una fracción irreductible origina un número decimal inexacto periódico mixto cuando al 
descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran los primos 2 y/o 5 y otros 
factores primos diferentes. El número de cifras decimales está dado por las reglas anteriores. 
 
Ejemplo: 
 
 
 
Tienen 2 cifras decimales no periódicos y 3 cifras decimales periódicos puros. 
 
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9 
 
REBOTES 
FÓRMULAS 
 
 
 
 
 
Donde: 
Hi : Altura inicial. 
Hf : Altura final. 
n : Nro. de rebotes. 
R : Recorrido hasta que se detenga. 
b
a
f = : Fracción que se eleva después de cada rebote que da. 
 
PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES DE AREAS. 
 
PROPIEDAD DE LA MEDIANA. 
 
En todo triángulo , la mediana divide a esta en dos trángulos de áreas iguales. 
 
 S 
 
 S 
 
PROPIEDAD DE LAS MEDIANAS. 
 
 
 
 
 
 
En todo triángulo las medianas dividen a ésta en 6 triángulos de áreas iguales. 
 
PROPIEDAD DE LA DIAGONAL. 
A todo rectángulo una de sus diagonales lo divide en dos triángulos de áreas iguales. 
 
 S 
 S 
 
PROPIEDAD DE LAS DIAGONALES DE UN RECTANGULO 
En todo rectángulo, las diagonales dividen a éstaen 4 triángulos de áreas iguales. 
 
 
 
 
 
i
n
f H
b
a
H .





= iH
f
f
R .
1
1






−
+
= 
S 
S 
S 
S S 
S 
S 
S 
S S 
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10 
 
B 
2rA =
 
Area de un triángulo cualesquiera. 
 
 
 h 
 
 
 
Área de un cuadrado. 
 L 
 
 L L 
 
 L 
2Area L= ; L = medida de su lado 
 
Área de un rectángulo. 
 b Area ab= 
 a 
donde: 
a = medida de su lado mayor 
b = medida de su lado menor 
 
Área del círculo. 
 
 
 r 
 
 donde: r = radio;  = 3.1416 
 
 
 EJERCICIOS. 
 
1. El número de fracciones impropias con numerador 41, es: 
A) 40 B) 39 C) 38 D) 41 E) 42 
 
2. Simplificar 
2 1333
x
0 3666
,
,
= 
A) 5 181, B) 5 18, C) 5 181, D) 5 181, E) 5 81, 
 
Area = 
2
.hB
 
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11 
 
3. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 11/8 tienen como denominador un número de tres cifras? 
 
A) 120 B) 116 C) 112 D) 118 E) 150 
 
4 . En las siguientes proposiciones con respecto al sistema de los números racionales, escribir (V) si es verdadera o 
(F) si es falsa. 
I . La operación de la sustracción no está totalmente definida. 
I I . 
a c
ad bc
b d
   
III. 
1 1
a b
a b
   
La secuencia correcta es: 
 
A) FVV B) FVF C) FFV D) FFF E) VVV 
 
5. El número de fracciones propias que originan números decimales periódicos puro, de 2 cifras diferentes en su 
periodo es: 
A) 80 B) 98 C) 78 D) 45 E) 90 
 
6. Si ( )0 7
11 9
,+ = +
a b
a b , entonces el valor de a + b es: 
A) 5 B) 4. C) 3 D) 6 E) 7 
 
7. La mayor fracción reductible de denominador 180, que está comprendido entre 
1
10
y 
2
9
, es 
A) 
35
180
 B) 
38
180
 C) 
39
180
 D) 
36
180
 E)
42
180
 
 
8. La fracción que genera a 0.2 ; cuyo numerador está comprendido entre 15 y 35, su denominador entre 50 y 75, 
es: 
A) 
30
68
 B) 
32
68
 C) 
30
72
 D) 
20
72
 E) 
16
72
. 
 
9. La suma de los términos de la fracción generatriz de 0 9xy, es 34. Calcule el valor de 𝑥 + 𝑦. 
A) 12 B) 1 C) 7 D) 8 E) 15 
 
10. Dada la fracción irrectuctible que origina al número decimal 0 074, . Si se suman un número entero a su numerador 
y resta el mismo número a su denominador, se obtiene una fracción impropia, entonces el menor valor de dicho 
número entero es: 
A) 12 B) 11 C) 14 D) 13 E) 15 
 
11. Si la fracción irreductible
mn
22
genera el decimal nn2 , Hallar el valor de 𝑚 + 𝑛. 
A) 12 B) 9 C) 12 D) 8 E) 11 
 
 
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12 
 
12. En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa. 
La secuencia correcta es: 
I. 
ab0
0 0ab
999
, = 
II. 
ab0
0 ab0
999
, = 
III. 
ab a
0 a0b
900
,
−
= 
La secuencia correcta es: 
 
A) FFF B) VVF C) FVF D) FFV E) VFV 
 
13. La cantidad de fracciones impropias de términos impares consecutivos mayores que 1 227, es: 
A) 4 B) 2 C) 5 D) 6 E) 3 
 
14. En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa 
I. 
a c
ad bc
b d
   
II. 
a c
b d
, entonces 
a 1 a c c
b 2 b d d
 
 +  
 
 
III. a b/ es fracción propia 
a
0 1
b
  
IV. 
abc a
0 abc a 0 b 0 b 0
900
, , , ,
−
=    , La secuencia correcta es 
 
A) FVVF B) VVFF C) FVFF. D) VFFV E) FFVF 
 
15. En el sistema de los números racionales , dadas las proposiciones: 
I. La suma de las facciones propias es fracción propia. 
II. Si 
a c
b d
 , con b y d positivos, entonces ad bc 
III. Si 
a
b
es fracción propia, entonces 
b
a
es fracción impropia. 
IV. Si 
a
b
es fracción impropia, entonces 1
a
b
− es fracción propia. 
V. El resultado de dividir una fracción impropia con su reciproco es también impropia. 
 
 La cantidad de proposiciones falsas es: 
 
A) 5 B) 4 C) . D) 1 E) 2 
 
16. La suma de todas las fracciones de términos consecutivos y que están comprendidos entre 1/10 y 11/15, es: 
A) 7/6. B) 46/24 C) 31/20 D) 17/12 E) 49/30 
 
 
 
 
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13 
 
17. En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadero o (F) si es falsa 
I. a b c si a b c 0 entonces ac bc, , , ,      
II. 
1 1 1 1a a a a 1
a a a
, ! /−   =   =  = 
III. Ningún número entero es un número fraccionario. 
IV. Todo número racional es un numero fraccionario 
 
La secuencia correcta es 
A) VFVF B) VVFF C) FVFV D) VVFV E) FFFV 
 
18. Sean 𝑎 el número de cifras no periódicas y 𝑏 el número de cifras periódicas del número decimal que corresponde 
a la fracción 
7
108
Halle (𝑏 − 𝑎). 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 
 
19. Sea la fracción 
3
1
f
2 11
=

,genera un número decimal denominada periódica 
A) Pura con 3 decimales 
B) Mixta con 3 decimales en la parte no periódica y 2 decimales en la parte periódica. 
C) Mixta con 3 decimales en la parte no periódica y 1 decimal en la parte periódica. 
 D) Mixta con 2 decimales en la parte no periódica y 2 decimal en la parte periódica. 
E) Pura con 5 decimales 
 
20. Sea la fracción 
3 2 2
1
f
2 5 3 11
=
  
 
 
El tipo de número decimal que origina esta fracción es: 
A) Exacta con 5 cifras decimales 
B) Inexacta periódica pura con 3 cifras en el periodo 
C) Inexacta periódica mixta con 2 cifras en la parte no periódica y 3 cifras en el periodo 
 D) Inexacta periódica mixta con 5 cifras en la parte no periódica y 3 cifras en el periodo 
E) Inexacta periódica mixta con 3 cifras en la parte no periódica y 2 cifras en el periodo. 
 
21. Si 
21
0
23
,= a xy , el valor de x + y es: 
A) 11 B) 10 C) 12 D) 13 E) 9 
 
22. Si la suma de dos fracciones irreductibles es 7, ademas, la suma de los numeradores es 28; el valor de la suma 
de los denominadores es: 
A) 8 B) 4 C) 6 D) 16 E) 14 
 
23. Si 
aaa
bbb
y 
( )
( )
CA ba
CA ab
son equivalentes, además a y b son números primo, hallar el valor de: a – b . 
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 
 
 
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14 
 
24. Si 0=
a
abcdef
f
, , entonces el valor de f - a, es 
A) 2 B) 9 C) 6. D) 8 E) 5 
 
25. Si 
mn
np
; 
m
n
 y 
6m
4n
son fracciones equivalentes, hallar el valor de m + n + p. 
A) 13 B) 14 C) 15 D) 17 E) 19 
 
26. La piscina de Melissa contiene agua hasta sus 2/7 partes de su capacidad. Si le añadimos 540 litros de agua, el 
nivel de agua sube hasta los 4/5 de su capacidad total. Si añadimos 540 litros a la piscina, ¿qué cantidad de agua 
faltará para llenarla? 
A) 200 B) 120 C) 180 D) 210 E) 2 
 
27. Si de un depósito que está lleno 
1
3
de lo que no está lleno, se vacía 
1
8
 de los que no se vacía ¿Qué parte del 
volumen del depósito quedara con liquido? 
A) 
3
7
 B) 
3
5
 C) 
2
9
 D) 
3
8
 E) 
7
13
 
 
28. La cantidad de cifras de la parte decimal no periódica original por la fracción 
 
Es 
6 15
400 64 7
f
5 2 13 17
 
=
  
 es: 
 
A) 6 B) 5 C) 15 D) 9 E) 7 
 
29. De un cajón de naranja, María coge dos naranjas, Carla retira un cuarto del resto, Mario la mitad de lo que queda 
y José un onceavo de lo que toma Mario. Si al final solo queda treinta, entonces el número de naranjas que hubo 
inicialmente es: 
A) 94 B) 88 C) 86 D) 29 E) 90. 
 
30. Seala fracción 
a
3
 (irreductible), con a > 0. Al numerador le agregamos el número A ∈ N y al denominador 2A; se 
obtiene una fracción equivalente que es la mitad de la fracción original. Entonces la suma de todos los valores 
posibles de a es: 
A) 4 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15 
 
31. fracción irreducible es tal que ( )
b a 1
0 a 1 a
37 2
,
+ 
= + 
 
. Determine el valor de a + b. 
A) 7 B) 18 C) 12 D) 6 E) 9 
 
32. Si, 
ab
0 db
cc
,= además, ab db 100+ = , determine la suma de los valores de a + b. 
A) 7 B) 8 C) 13 D) 17 E) 15 
 
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15 
 
33. Si 
mnp
pnm
es equivalente a 
5
17
, cual es el valor de: m + p – n 
A) 6 B) 4 C) 0 D) 2 E) 1 
 
 
PROBLEMAS SOBRE REBOTES. 
 
1.- Se deja caer una pelota desde una cierta altura y cada vez que rebota se eleva a una altura que es igual a la 
mitad de la altura de donde ha caído anteriormente. Si después del tercer rebote se elevó 30 cm. Calcular la altura 
de donde se dejó caer inicialmente. 
A)2m 20cm B)2m 40cm C)2m 60cm D)2m 80cm E)2m 45cm 
 
2.- Una bola de fútbol cae desde una altura de 400 m. Después de cada rebote se eleva nuevamente hasta una 
altura la mitad del anterior. Que altura se elevará la bola después de haber rebotado por segunda vez. 
A) 60m B)50m C)100m D)180m E)200m 
 
3.- Una bola cae desde una altura de 6,25 metros y en cada rebote alcanza una altura que es los 2/5 de la altura que 
alcanzó en el rebote anterior luego del cuarto rebote se elevo a una altura de: 
A)0,16m B)0,005m C)0,05m D)0,25m E)0,008m 
 
4.- Su suelta una pelota desde una altura de 24m, entonces la longitud de la trayectoria descrita por esta pelota 
hasta quedar en reposo es 36m. Decir entonces que fracción de la anterior pierde la pelota. 
A)3/5 B)2/5 C)1/5 D)2/3 E)4/5 
 
5.- En cada rebote una pelota alcanza los dos tercios de la altura anterior. Determinar la trayectoria del recorrido de 
la bola hasta que se detenga, si se deja caer de una altura inicial de 17 m. 
A)85m B)102m C)93m D)51m 
 
PROBLEMAS SOBRE PISCINAS. 
 
1.- De un recipiente lleno de agua; se saca los 3/5 de los 5/8 de su capacidad y quedan todavía 62,5 hl. ¿Cuántos 
hectolitros de agua puede contener el recipiente? 
A)80 B)100 C)85 D)120 E)11 
 
2.- Un cilindro contiene aceite hasta 1/3 de su capacidad. Si se añaden 15 litros más, el tanque contendrá aceite hasta 
su mitad. ¿Cuál es la capacidad del tanque?(en litros) 
a) 108 b)102 c)90 d)84 e) 96 
 
3.- Después de sacar de un tanque 1600 litros de agua, el nivel de la misma descendió de 2/5 a 1/3 ¿cuantos litros 
habrá que añadir para llenar el tanque? 
A) 3200 B) 4800 C) 24 000 D) 16000 E) 12000 
 
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16 
 
4.- Si a un tanque de agua le agrego 1/3 de lo que tiene, obtendré 56 litros más que la mitad de lo que habrá. 
¿Cuántos litros de agua hay en el tanque? 
A) 80 B) 90 C) 84 D) 94 E) 86 
 
PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES DE AREAS. 
 
1.- En la figura ABCE es un trapecio y ACE es un triángulo equilátero ¿Qué fracción del área total es el área de las regiones 
sombreadas? 
a) ½ . 
b) 1/3 
c) 2/3 
d) ¾ 
e) ¼ 
2.- ¿ Qué parte del área de la región sombreada es la no sombreada?. Se intersectan dos cuadrados iguales. 
a) 1 / 8 
b) 3 / 4 
c) 1 / 6. 
d) 2 / 7 
 
 
 
 
 
3.- ¿ Qué fracción del área del cuadrado ABCD representa la región sombreada ? . PQRS son puntos medios. 
a) 1 / 2 
b) 1 / 3 
c) 1 / 4 
d) 2 / 5 
e) 1 / 5. 
 
 
 
 
4.- El cuadrilátero ABCD es un cuadrado y el punto Q es el punto de intersección de sus diagonales. ¿ Qué fracción 
de la región cuadrada ABCD , es el área de la región sombreada ? 
 
a) 3 / 4 
b) 4 / 5 
c) 2 / 3 
d) 3 / 5 
e) 1 / 4 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17 
 
5.- La figura mostrada es un hexágono regular ¿ Qué parte del área de la región sombreada es el área de la región 
no sombreada? 
a) 1 / 3 
b) 1 / 2 . 
c) 1 / 4 
d) 1 / 5 
e) 1 / 6 
 
 
 
6.- ¿Qué parte del área de la región rectangular es el área de la región sombreada? 
a) 1 /3 
b) 1 / 4 . 
c) 1 / 5 
d) 1 / 2 
 
 
 
7.- ¿Qué fracción del área del círculo mayor, es la parte sombreada? AB es radio. 
 
a) 1 / 4 . 
b) 1 / 3 
c) 1 / 8 
d) 3 / 4 
 
 
 
 
 
8.- ¿Qué fracción del área del cuadrado representa la región sombreada? 
 
a) 1 / 4 
b) 2 / 5 
c) 1 / 2 
d) 3 / 4 
 
 
 
9.- ¿Qué fracción del área total representa la parte sombreada en la siguiente figura. 
 
a) 1/4 
b) 1/3 
c) 1/5 
d) 1/6 
e) 1/7 
 
 
 
 
 
A 
D 
B 
C 
TEMA 4 
SUCESIONES Y SUMATORIAS NOTABLES 
SUCESIÓN 
Es un conjunto de números que aparecen ordenados, en forma general una sucesión 
numérica se escribe así: 
, , , ,     1 2 3 ka a a a 
El número “ 1a ” se le llama primer término de la sucesión, el número “ 2a ”, segundo término, 
el número “ 3a ”, tercer término, etc. 
Generalmente los términos se obtienen unos de otros en virtud de una ley constante. 
 
PROGRESIONES ARITMÉTICAS 
Definición.- Se llama progresión aritmética o por diferencia, a una sucesión de números, en 
la cual cada término siguiente después del primero, se obtiene sumándole al anterior una 
cantidad constante llamada razón o diferencia de la progresión. 
 
PROGRESIÓN ARITMÉTICA LINEAL (O DE PRIMER ORDEN) 
Es una sucesión numérica cuyo término general presenta la forma: 
 = +na An B , donde A y B son constantes y n 
 Notación de una Progresión Aritmética: 
, , , , 
 
−   
+ + +
1 2 3 n 1 na a a a a
r r r
 
Por definición: −= +n n 1a a r 
Además: 
( )= + −n 1a a n 1 r ó 0n aa r n=  + 
1 1
−
= +n
a a
n
r
 ó 
−
= n 0
a a
n
r
 
( )+
= 
1 na a
S n
2
 
Donde: 
 : Inicio de la progresión Aritmética 
1a : Primer término 
na : Término de lugar “n” ó último término 
r : Razón o diferencia 
n : Número de términos 
S : Suma de términos 
0a : termino anterior al primero 
Tipos de progresiones Aritméticas 
• Si: r 0 , la P.A. es creciente 
Ejemplo 
, , , , .... 4 9 14 19 ; = − = r 9 4 5 0 
• Si: r 0 , la P.A. es decreciente 
Ejemplo 
, , , , .... −7 4 1 2 ; r 4 7 3 0= − = −  
Observaciones 
• La progresión se llama limitada cuando tiene un número finito de términos, llamándose 
al primer y al último término extremos: 
Ejemplo 
 
 
 
• La progresión se llama ilimitada cuando tiene infinitos términos: 
Ejemplo: 
, , , , ..... 1 2 3 4a a a a 
• En toda P.A si cantidad de términos es par; la suma te términos equidistantes 
siempre es la misma 
 
Ejemplo: 
 Términos centrales 
;
suman 36
suman 36
suman 36
8 12; 16; 20 ; 24; 28
 
• En toda P.A si cantidad de términos es impar; la suma te términos equidistantes 
siempre es el doble del termino central 
Ejemplo: 
 
 
 
 
, , , .... , 1 2 4 na a a a
"n" términos
;

suman 38
suman 38
suman 38
termino central 
1 7; 13; 19; 25; 31; 37
De los anterior en P.A de cantidad de términos impar 
 
( )centralS t n=  
 
Existen progresiones aritméticas de orden superior y se pueden clasificar según el grado del 
polinomio en que se puede expresar el término general de la misma. 
PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE SEGUNDO ORDEN 
Es una sucesión numérica cuyo término general es un polinomio de segundo grado en n, es 
decir. 
 
2
n An Ca Bn= + + , donde A, B ,C son constantes y n 
• La regla practica para hallar