Cuantizacion-de-sistemas-dependientes-del-tiempo-en-el-espacio-fase-extendido

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
POSGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS
CUANTIZACIÓN DE SISTEMAS DEPENDIENTES
DEL TIEMPO EN EL ESPACIO FASE EXTENDIDO
TESIS
Que para optar por el grado de:
MAESTRO EN CIENCIAS (FÍSICA)
Presenta:
DANIEL GUTIÉRREZ RUIZ
DR. JOSÉ DAVID VERGARA OLIVER
Instituto de Ciencias Nucleares
DRA. ROCÍO JÁUREGUI RENAUD
Instituto de Física
DRA. GABRIELA MURGUÍA ROMERO
Facultad de Ciencias
CIUDAD UNIVERSITARIA, CD. MX., ENERO DE 2017
 
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Índice
Agradecimientos ii
Resumen iii
1. Introducción 1
2. Transformaciones canónicas, sistemas con constricciones e integral de trayectoria 3
2.1. Transformaciones canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Sistemas con constricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. Esquemas de Schrödinger y Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4. Integral de trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Adiabaticidad en mecánica clásica 16
3.1. Teoría de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2. Variables ángulo-acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3. Cambio adiabático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4. Aro de Hannay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5. Oscilador armónico generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4. Adiabaticidad en mecánica cuántica 27
4.1. Evolución adiabática en mecánica cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2. Fase de Berry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3. Fase no abeliana de Wilczek-Zee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5. Análisis clásico del oscilador armónico con frecuencia dependiente del tiempo 42
5.1. Búsqueda de una transformación canónica que simplifique el problema . . . . . . . . . . . . . 42
5.2. Formulación en el espacio fase extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3. Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6. Análisis cuántico del oscilador armónico con frecuencia dependiente del tiempo 57
6.1. Kernel del oscilador armónico con frecuencia variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2. Análisis del efecto de la transformación canónica en la integral de trayectoria . . . . . . . . . 58
6.3. Formulación en el espacio fase extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.4. Análisis de Lewis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.5. Fase de Berry para el oscilador armónico generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7. Conclusiones y perspectivas 74
Referencias 75
i
Agradecimientos
Agradezco a:
Dios, por colmarme de gracias y permitirme concluir este trabajo.
Mi familia, en especial a mi mamá, por su apoyo incondicional.
Mi asesor, quien siempre fue comprensivo y paciente y me guió a través de las situaciones complicadas
que se presentaron.
Dr. Alejandro García Chung, quien me apoyó mucho y respondió varias dudas que surgieron a lo largo
del proyecto.
Mis amigos, por los buenos momentos que pasamos.
El apoyo otorgado por el proyecto IN103716 del Programa de Apoyo de Proyectos de Investigación e
Innovación Tecnológica (PAPIIT), el cual me permitió finalizar la tesis.
ii
Resumen
En este trabajo se analiza el oscilador armónico con frecuencia dependiente del tiempo desde el punto de
vista clásico y cuántico. Se introducen primero los fundamentos teóricos que permiten su estudio, para después
desarrollar la noción de adiabaticidad en mecánica clásica y en mecánica cuántica. El problema original se
puede mapear al oscilador armónico con frecuencia constante, sin embargo, la transformación efectuada no es
canónica ya que involucra también un reescalamiento temporal; es aquí donde surge la necesidad de estudiarla
desde el punto de vista del espacio fase extendido, en donde el tiempo se toma como una coordenada más.
Por otra parte, el análisis cuántico se hace por medio de la integral de trayectoria, y después, se añaden las
constricciones para hacer el tratamiento en el espacio fase extendido; esto provee un factor que acompaña al
kernel del oscilador armónico con frecuencia constante. Finalmente, se estudia un método que permite obtener
correcciones a orden arbitrario a la fase de Berry; ahí, se demuestra que el oscilador armónico generalizado
se puede mapear a un oscilador con frecuencia dependiente del tiempo, y a partir de este, se extrae la fase
de Lewis, que a la postre, servirá para calcular la fase de Berry.
iii
Capítulo 1
Introducción
La mecánica cuántica es una rama de la física cuyas bases fueron sentadas en la primera mitad del siglo XX,
no obstante, debido al alcance y al poder de esta, existían multitud de fenómenos esperando ser explicados en
la segunda mitad del siglo XX, y aún continúa vigente el estudio de efectos cuánticos en diferentes sistemas. La
formulación inicial de la mecánica cuántica, ya sea la de Schrödinger o Heisenberg, dejaba entrever algunos
aspectos que no se entendían del todo como el principio de superposición; sin embargo, cuando Feynman
introduce la integral de trayectoria, hace uso explícito de este principio y arroja luz para entenderlo un poco
mejor. Esta herramiento sería utilizada a la postre para construir una versión de la teoría cuántica de campos,
la cual es la teoría física moderna para entender de qué está hecho el universo.
El problema fundamental a tratar en este trabajo es el análisis clásico y cuántico del oscilador armónico
con frecuencia dependiente del tiempo. Este sistema aparece en varias ramas de la física [1], por ejemplo,
en el estudio de la propagación de campos de radiación en regiones cubiertas por materia con “constante”
dieléctrica dependiente del tiempo [2], el estudio del comportamiento de iones en trampas de Paul [3, 4], en
teoría cuántica de campos en espacios curvos [5, 6] y en el estudio de un campo escalar real en un universo
de Friedmann espacialmente plano [7], solo por mencionar algunas.
El análisis que haremos abarca encontrar la solución a la ecuación de movimiento, obtener el kernel, la
fase de Berry y el ángulo de Hannay. Uno de los primeros trabajos para entender el oscilador con frecuencia
variable desde el punto de vista cuántico es el de Lewis [8]; ahí se demuestra que es de gran utilidad encontrar
un invariante, esto es, una función I(q, p, t) que satisfaga İ = 0. El problema de encontrar invariantes para
sistemas dependientes del tiempo se estudia en [9, 10, 11]. La simetría de Noether subyacente asociada al
invariante es estudiada por Lutzky [12] y por Struckmeier [13]. Por otra parte, los trabajos de Hannay [14]
y Berry [15] son claves para entender la noción de adiabaticidad en mecánica clásica y mecánica cuántica,
respectivamente. Del tratamiento de Lewis [8] se puede entender la aparición de la fase deBerry como
resultado de una expansión en un paramétro adiabático [16].
Para transformar el problema del oscilador armónico con frecuencia variable al oscilador con frecuencia
constante se emplea una transformación canónica seguida de una transformación temporal [17, 18], las cuales
pueden ser entendidas a la luz del espacio fase extendido [19, 20, 21]. Es en el espacio fase extendido, es decir,
el espacio que surge de tomar al tiempo t como una coordenada más [22] y a su respectivo momento canónico
conjugado pt, en donde se aprecia que la transformación completa de coordenadas es una transformación
canónica. Así mismo, esta formulación permite deducir que como consecuencia del teorema de Liouville [23],
el volumen del espacio fase extendido dqdtdpdpt se conserva respecto al tiempo τ que se introduce como
1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 2
parámetro en la acción.
Al estudiar el sistema desde el punto de vista cuántico, se puede definir la transformación canónica en
términos de operadores [24], mientras que el kernel puede ser obtenido mediante la integral de trayectoria
[25]. Este resultado se encuentra también transformando el problema al del oscilador con frecuencia constante
al escribir la integral de trayectoria en el espacio fase [18].
El capítulo 2 comienza con el tratamiento de las transformaciones canónicas [26, 27]. Posteriormente, se
introduce el tratamiento de Dirac para sistemas con constricciones [28, 29, 30]. Finalmente, se aborda la
visión de la mecánica cuántica introducida por Feynman: la integral de trayectoria [31]; se establecen sus
principios y se llega a la fórmula para el cálculo del propagador dado un Hamiltoniano.
En el capítulo 3 se introducirá la noción de adiabaticidad en mecánica clásica siguiendo la exposición
de Calkin [32]. Primero, se repasará brevemente la teoría de Hamilton-Jacobi y las variables ángulo-acción,
siendo estas las variables naturales para describir fenómenos adiabáticos. Se verá que el cambio en la variable
ángulo en una excursión cíclica consta de dos contribuciones: una dinámica y una geométrica conocida como
ángulo de Hannay [14]. Después se estudiarán dos ejemplos para ilustrar la aparición del ángulo de Hannay.
En el siguiente capítulo se estudiará la adiabaticidad en el ámbito de la mecánica cuántica. Ahí, se
explorarán las consecuencias de estudiar un sistema bajo esta condición, en concreto, se verá cómo la función
de onda adquiere dos fases: una fase dinámica y una fase de naturaleza completamente geométrica conocida
como fase de Berry [15]. Se estudiarán dos ejemplos para observar la aplicación del formalismo desarrollado.
Posteriormente, se analizará brevemente la conexión entre geometría y la fase de Berry, en particular, se
mostrará que se puede introducir un tensor métrico para medir distancias en el espacio de parámetros.
Finalmente se abordará el estudio de Hamiltonianos con espectro degenerado que conducen a la fase no
abeliana de Wilczek-Zee, todo esto siguiendo la exposicion de Chruściński [33].
En el capítulo 5 se hace el análisis clásico del oscilador armónico con frecuencia variable. Se comienza
buscando una transformación canónica que simplifique el problema en base al invariante de Lewis. Poste-
riormente, se realiza el análisis en el espacio fase extendido y se concluye con la solución a la ecuación de
movimiento para un sistema con frecuencia exponencial donde se ilustra el mapeo entre el oscilador con
frecuencia variable y el oscilador con frecuencia constante.
En el sexto capítulo se deduce el kernel para el oscilador armónico con frecuencia dependiente del tiempo.
Enseguida, se analiza el efecto de la transformación canónica en la integral de trayectoria, lo cual permitirá
relacionar el kernel para frecuencia variable y el kernel para frecuencia constante. Después se estudia la
formulación de la integral de trayectoria en el espacio fase extendido, y por último, seguimos el trabajo de
Lewis para encontrar la fase del sistema, la cual, a través de una expansión perturbativa, proporcionará la
fase de Berry y correcciones a esta.
Finalmente, se presentan las conclusiones y perspectivas del trabajo.
Capítulo 2
Transformaciones canónicas, sistemas con
constricciones e integral de trayectoria
2.1. Transformaciones canónicas
Las ecuaciones de Euler-Lagrange correspondientes a un Lagrangiano L(q, q̇, t) son
∂L
∂qi
− d
dt
∂L
∂q̇i
= 0. (2.1)
Definimos la derivada Euleriana respecto a las coordenadas de la siguiente manera:
Êq =
∂
∂qi
− d
dt
∂
∂q̇i
. (2.2)
De aquí se sigue que las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden escribirse simplemente como
ÊqL = 0. (2.3)
También podemos definir la derivada Euleriana respecto a los momentos:
Êp =
∂
∂pi
− d
dt
∂
∂ṗi
, (2.4)
con
pi =
∂L
∂q̇i
. (2.5)
Sabemos que el Lagrangiano se escribe como1
L = q̇ipi −H(q, p, t). (2.6)
Entonces, pedir que las derivadas Eulerianas respecto a las coordenadas y a los momentos se anulen,
1Se usará la convención de suma de Einstein, la cual indica que un índice repetido está sumado.
3
CAPÍTULO 2. TRANSFORMACIONES, CONSTRICCIONES E INTEGRAL DE TRAYECTORIA 4
equivale a pedir que se satisfagan las ecuaciones canónicas de Hamilton, ya que
ÊqL = −
∂H
∂qi
− ṗi = 0, (2.7)
ÊpL = q̇i −
∂H
∂p
= 0. (2.8)
Esta es la llamada forma Lagrangiana de las ecuaciones de Hamilton. Ahora bien, sabemos que si aplicamos
la derivada Euleriana a la derivada total de una función F (q, p, t), esta se anula. Esto es,
Êq
dF
dt
= 0, Êp
dF
dt
= 0. (2.9)
De aquí podemos deducir que dos Lagrangianos que difieran por una derivada total resultan en las mismas
ecuaciones de movimiento. Una transformación canónica es aquella transformación que deja invariante la
forma Lagrangiana de las ecuaciones de Hamilton, y por tanto, los Lagrangianos correspondientes a las
coordenadas antiguas y a las nuevas difieren por la derivada total de una función F (q, p, t).
Las transformaciones canónicas son la generalización al espacio fase de las transformaciones puntuales
Qi = Qi(q, t), por este motivo, una transformación canónica provoca cambios no solo en la posición, sino
también en el momento, esto es, define nuevas variables Q y P como
Qi = Q(q, p, t), (2.10)
Pi = P (q, p, t). (2.11)
La idea detrás de una transformación canónica, como ya vimos, es que la forma Lagrangiana de las ecua-
ciones de movimiento de Hamilton permanezca invariante, es decir, que debe existir un nuevo Hamiltoniano
K tal que
Q̇i =
∂K
∂Pi
, Ṗi = −
∂K
∂Qi
. (2.12)
Los Lagrangianos correspondientes difieren por una derivada total. Por tanto, se debe cumplir
piq̇i −H = PiQ̇i −K +
dF
dt
, (2.13)
donde F , conocida como función generadora, es una función de las coordenadas antiguas, las coordenadas
nuevas y el tiempo. Si la función generadora es del tipo 2, esto es, F2 = F2(q, P, t), podemos escribir F =
F2 −QiPi, con lo cual (2.13) resulta
piq̇i −H = −QiṖi −K +
∂F2
∂qi
q̇i +
∂F2
∂Pi
Ṗi +
∂F2
∂t
. (2.14)
Identificando los coeficientes tenemos las ecuaciones de transformación
pi =
∂F2
∂qi
, Qi =
∂F2
∂Pi
, K = H +
∂F2
∂t
. (2.15)
Existe otra manera de abordar el tema de las transformaciones canónicas: el enfoque simpléctico; para
aplicarlo hay que poner todo en términos matriciales. Con tal motivo, podemos definir un vector columna η
CAPÍTULO 2. TRANSFORMACIONES, CONSTRICCIONES E INTEGRAL DE TRAYECTORIA 5
como
ηi = qi, ηi+n = pi, i = 1, ..., n. (2.16)
De la misma forma, definimos la derivada de H como un vector columna ∂H/∂η con componentes dadas
por (
∂H
∂η
)
i
=
∂H
∂qi
,
(
∂H
∂η
)
i+n
=
∂H
∂pi
. (2.17)
Además, definimos una matriz J de dimensión 2n× 2n:
J =
(
0 I
−I 0
)
, (2.18)
la cual tiene las siguientes propiedades:
JTJ = JJT = I, (2.19)
JT = −J, (2.20)
J2 = −I, (2.21)
detJ = 1. (2.22)
Usando lo anterior, las ecuaciones de Hamilton toman la forma matricial
η̇ = J
∂H
∂η
. (2.23)
Ahora efectuamos una transformación de coordenadas en el espacio fase, esto es, definimos nuevas coor-
denadas ζ = ζ(η, t) con
ζi = Qi, ζi+n = Pi. (2.24)Entonces, se puede mostrar [26] que la transformación es canónica si
MJMT = J, (2.25)
o bien,
MTJM = J, (2.26)
donde M es la matriz Jacobiana asociada a la transformación con componentes
Mij =
∂ζi
∂ηj
. (2.27)
La matriz M recibe el nombre de matriz simpléctica y la ecuación (2.25) se llama condición simpléctica.
Existe una manera más sencilla de averiguar si una transformación es canónica. Para este efecto, definimos
el paréntesis de Poisson entre dos funciones f y g del espacio fase como
{f, g}q,p =
∂f
∂qi
∂g
∂pi
− ∂f
∂pi
∂g
∂qi
. (2.28)
CAPÍTULO 2. TRANSFORMACIONES, CONSTRICCIONES E INTEGRAL DE TRAYECTORIA 6
Esta expresión se escribe fácilmente en forma simpléctica:
{f, g}q,p =
(
∂f
∂η
)T
J
∂g
∂η
. (2.29)
Si se toman las coordenadas del espacio fase como las funciones f y g, se obtienen los llamados paréntesis
de Poisson fundamentales:
{qi, qj}q,p = 0, {pi, pj}q,p = 0, {qi, pj}q,p = δij . (2.30)
En forma simpléctica se tiene que
{η,η}η = J. (2.31)
De aquí es fácil demostrar que
{ζ, ζ}η = J, (2.32)
o bien, de manera equivalente,
{Qi, Qj}q,p = 0, {Pi, Pj}q,p = 0, {Qi, Pj}q,p = δij . (2.33)
Con esto se puede ver que los paréntesis de Poisson fundamentales toman el mismo valor sin importar
las variables respecto a las que se calculan. De igual forma, se demuestra que los paréntesis de Poisson para
cualesquiera funciones f y g son invariantes bajo transformaciones canónicas, por lo cual se suele omitir el
subíndice.
Los paréntesis de Poisson tienen las siguientes propiedades (α y β son constantes):
{f, f} = 0, {f, g} = −{g, f}, (2.34)
{αf + βg, h} = α{f, h}+ β{g, h}, (2.35)
{fg, h} = f{g, h}+ {f, h}g, (2.36)
{f, {g, h}}+ {g, {h, f}}+ {h, {f, g}} = 0. (2.37)
Esta última relación se conoce como identidad de Jacobi.
El cambio en el tiempo de una función f = f(q, p, t) es
df
dt
=
∂f
∂qi
q̇i +
∂f
∂pi
ṗi +
∂f
∂t
. (2.38)
Si usamos las ecuaciones de Hamilton para sustituir las velocidades y los momentos encontramos que
df
dt
=
∂f
∂qi
∂H
∂pi
− ∂f
∂pi
∂H
∂qi
+
∂f
∂t
= {f,H}+ ∂f
∂t
, (2.39)
o bien, en notación simpléctica,
df
dt
=
(
∂u
∂η
)T
J
(
∂H
∂η
)
+
∂f
∂t
. (2.40)
CAPÍTULO 2. TRANSFORMACIONES, CONSTRICCIONES E INTEGRAL DE TRAYECTORIA 7
Podemos tomar como f a las posiciones o a los momentos, obteniendo así las ecuaciones de Hamilton,
q̇i = {qi, H}, ṗi = {pi, H}, (2.41)
o, compactándolas de forma simpléctica,
η̇ = {η, H}. (2.42)
Una propiedad importante a considerar es el cambio de un elemento de volumen del espacio fase bajo una
transformación canónica. El elemento de volumen del espacio fase en las coordenadas antiguas es
dη = dq1 · · · dqndp1 · · · dpn, (2.43)
y en las coordenadas nuevas es
dζ = dQ1 · · · dQndP1 · · · dPn. (2.44)
Sabemos que se cumple
dζ = |detM|dη, (2.45)
lo cual, usando la condición simpléctica (2.25), conduce a detM = ±1, por lo que
dζ = dη, (2.46)
esto es, el volumen del espacio fase se conserva bajo una transformación canónica.
El análisis de las transformaciones canónicas en mecánica cuántica se basa en mantener la estructura del
conmutador fundamental, es decir, que en las nuevas variables (Q,P ) se tenga que
[Qi, Pj ] = i~δij , (2.47)
siendo los demás conmutadores cero [34]. Para encontrar el operador en el espacio de Hilbert que corresponde
a una transformación canónica clásica se refiere al lector al artículo de Anderson [24], en donde se analizan
varias sutilezas.
2.2. Sistemas con constricciones
El tratamiento Hamiltoniano para un sistema dado es de suma importancia al cuantizar una teoría; por
este motivo, Dirac [28] desarrolló un método que permite llevar a cabo de manera consistente la cuantiza-
ción incluso cuando existen constricciones presentes. En otras palabras, en una teoría sin constricciones se
promueven los paréntesis de Poisson a conmutadores (salvo un factor de i~), pero cuando hay constricciones,
estas se deben incorporar, lo cual resulta en los paréntesis de Dirac. Nosotros haremos uso del método de
Dirac, ya que el introducir al tiempo como una coordenada más conlleva el manejo de una constricción; esto
es necesario si queremos realizar el análisis de sistemas clásicos en el espacio fase extendido.
CAPÍTULO 2. TRANSFORMACIONES, CONSTRICCIONES E INTEGRAL DE TRAYECTORIA 8
Supongamos un sistema con Lagrangiano L. Sabemos que la acción está dada por
S =
t2ˆ
t1
Ldt. (2.48)
Las ecuaciones de movimiento (ecuaciones de Euler-Lagrange) resultan de pedir que la variación de la acción
sea nula en la trayectoria solución. Además se utilizan las condiciones de frontera δq(t1) = δq(t2) = 0, donde
δq representa la variación en la coordenada q. Estas ecuaciones son:
d
dt
(
∂L
∂q̇i
)
− ∂L
∂qi
= 0, i = 1, ..., N, (2.49)
o bien, desarrollando la derivada total,
∂2L
∂q̇i∂q̇j
q̈j +
∂2L
∂q̇i∂qj
q̇j +
∂2L
∂q̇i∂t
− ∂L
∂qi
= 0. (2.50)
De aquí vemos que si la matriz Hessiana H, definida por
H =
[
∂2L
∂q̇i∂q̇j
]
, (2.51)
puede ser invertida, entonces las aceleraciones estarán dadas de manera única en términos de las posiciones
y velocidades.
Para pasar a la formulación Hamiltoniana necesitamos definir los momentos conjugados pi:
pi =
∂L
∂q̇i
. (2.52)
Vemos entonces que si detH = 0, los momentos no son todos independientes, por lo que habrá relaciones
del tipo
φj(q, p, t) ≈ 0, j = 1, ...,M. (2.53)
Estas relaciones se denominan constricciones primarias y son débilmente cero, lo cual significa que se
satisfacen sobre la hipersuperficie de constricción.
Ahora introducimos el Hamiltoniano canónico
H = q̇ipi − L (2.54)
y calculamos su variación:
δH = q̇iδpi + piδq̇i −
∂L
∂q̇i
δq̇i −
∂L
∂qi
δqi = q̇iδpi −
∂L
∂qi
δqi, (2.55)
donde se ha usado la definición de momento. Este Hamiltoniano es función de las coordenadas y los momentos.
Sin embargo, H no está determinado únicamente, ya que los δpi están sujetos a satisfacer las constricciones
primarias. Entonces, el Hamiltoniano canónico está definido en la hipersuperficie del espacio fase en donde las
constricciones son débilmente cero. Por tanto, si queremos extender H a todo el espacio fase, introducimos
CAPÍTULO 2. TRANSFORMACIONES, CONSTRICCIONES E INTEGRAL DE TRAYECTORIA 9
el Hamiltoniano total HT :
HT = H + λi(q, p, t)φi, (2.56)
con la acción correspondiente
S =
t2ˆ
t1
(piq̇i −HT )dt. (2.57)
Las ecuaciones de movimiento asociadas son
q̇i =
∂H
∂pi
+ λj
∂φj
∂pi
, (2.58)
ṗi = −
∂H
∂qi
− λj
∂φj
∂qi
, (2.59)
φ(q, p) = 0. (2.60)
Estas ecuaciones de movimiento tienen la forma
Ḟ ≈ {F,HT } = {F,H}+ λi{F, φi}, (2.61)
donde F = F (q, p, t).
Una condición de consistencia que pedimos es que las constricciones primarias se preserven en el tiempo,
por lo que se debe cumplir φ̇i ≈ 0, esto es,
φ̇i = {φi, H}+ λj{φi, φj} ≈ 0. (2.62)
Si esta ecuación se puede reducir a una relación solo entre coordenadas y momentos, y es independiente
de las constricciones primarias, se le nombra constricción secundaria. Si hay una constriccion secundaria
X(q, p, t) ≈ 0 debemos imponer una nueva condición de consistencia:
Ẋ = {X,H}+ λj{X,φj} ≈ 0. (2.63)
De nuevo, tenemos que checar si esta relación provee más constricciones secundarias. Una vez terminado
el proceso, tendremos K constricciones secundarias
φk ≈ 0, k = M + 1, ...,M +K. (2.64)
Existe una clasificación diferente de constricciones, estas son las llamadas constricciones de primera y
segunda clase. Una función F (q, p, t) es de primera clase si
{F, φj} ≈ 0. (2.65)
Por otro lado, F (q, p, t) es de segunda clase si no se cumple lo anterior. Hay que notar que el paréntesis
de Poisson de dos funciones de primera clase es también una función de primera clase.
Dirac conjeturó que todas las constricciones de primera clase generan transformaciones de norma, esto es,
CAPÍTULO 2. TRANSFORMACIONES, CONSTRICCIONES E INTEGRAL DE TRAYECTORIA 10
si tenemos una función T del espacio fase y un conjunto de parámetros {�i} de la transformación, entonces
δ�T = �i{T, φi}, (2.66)
y, por tanto, esta transformación no altera el estado físico al tiempo t.
Finalmente, supongamosque tenemos constricciones de segunda clase φi. Definimos una matriz M con
componentes
Mij = {φi, φj}. (2.67)
Entonces, si f y g son dos funciones del espacio fase, se define el paréntesis de Dirac {f, g}∗ como
{f, g}∗ = {f, g} − {f, φi}M−1ij {φj , g}. (2.68)
Esta operación satisface las propiedades del paréntesis de Poisson y es, precisamente, el que se promueve
a conmutador al cuantizar la teoría.
2.3. Esquemas de Schrödinger y Heisenberg
El problema central de la mecánica cuántica es determinar la evolución temporal del sistema en cuestión,
esto es, dado un estado inicial |ψ(t0)〉 al tiempo t0 se quiere determinar el estado |ψ(t)〉 al tiempo t. El
operador de evolución U(t, t0)2 es precisamente el que relaciona estos estados, de manera que
|ψ(t)〉 = U(t, t0)|ψ(t0)〉. (2.69)
Este operador satisface la ecuación
i~
dU(t, t0)
dt
= H(t)U(t, t0) (2.70)
con la condición inicial U(t0, t0) = I y dondeH(t) es el Hamiltoniano del sistema e I es el operador identidad.
Esto es consecuencia de que el estado |ψ(t)〉 satisfaga la ecuación de Schrödinger. El operador de evolución
es lineal y unitario, y la solución a la ecuación de Schrödinger para U(t, t0) es [35]
U(t, t0) = I−
i
~
tˆ
t0
dt′H(t′)U(t′, t0). (2.71)
Si estudiamos la ecuación (2.69) en el espacio de posiciones, resulta que
ψ(q, t) = 〈q|ψ(t)〉 = 〈q|U(t, t0)|ψ(t0)〉, (2.72)
donde hemos supuesto un sistema unidimensional. Ahora, insertemos la identidad escrita en términos de los
2En este capítulo los operadores serán escritos en negritas.
CAPÍTULO 2. TRANSFORMACIONES, CONSTRICCIONES E INTEGRAL DE TRAYECTORIA 11
autoestados |q0〉, esto es,
I =
∞̂
−∞
dq0|q0〉〈q0|. (2.73)
Obtenemos
ψ(q, t) =
∞̂
−∞
dq0〈q|U(t, t0)|q0〉ψ(q0, t0). (2.74)
Al elemento de matriz del operador de evolución 〈q|U(t, t0)|q0〉 se le llama kernel y se denota como
K(q, t; q0, t0). Podemos notar que es una cantidad de sumo interés, puesto que el conocerla nos permite
“propagar” la información desde el punto espaciotemporal (q0, t0) hasta el punto (q, t). De hecho, el kernel
resulta ser la amplitud de probabilidad de que una partícula localizada inicialmente en q0 al tiempo t0 se
encuentre en q al tiempo t. Se puede decir que el problema de determinar el kernel es, entonces, el problema
central de la mecánica cuántica, ya que dada una función de onda inicial ψ(q0, t0) podemos determinar
mediante (2.74) la función de onda ψ(q, t) para cualquier posición y tiempo.
El kernel satisface también la ecuación de Schrödinger. Para ver esto, definimos el operador de Schrödinger,
DS , como
DS = i~
∂
∂t
−H(q, p, t), (2.75)
y lo hacemos actuar sobre la función de onda ψ(q, t). Usando (2.74) obtenemos
DSψ(q, t) =
∞̂
−∞
dq0 [DSK(q, t; q0, t0)]ψ(q0, t0). (2.76)
Como DSψ(q, t) = 0, se sigue que
DSK(q, t; q0, t0) = 0; (2.77)
así mismo, notemos que debido a la condición inicial se debe cumplir K(q, t0; q0, t0) = δ(q − q0).
Podemos expresar el kernel de otra manera haciendo uso del esquema de Heisenberg. En el esquema usual
(de Schrödinger) los operadores son independientes del tiempo y los estados son los que evolucionan, pero en
el esquema de Heisenberg los estados están fijos y los operadores evolucionan en el tiempo [36]. El estado de
Heisenberg |ψH〉 se define como el estado |ψ(t0)〉. De esta manera, de acuerdo a (2.69) tenemos que
|ψH〉 = |ψ(t0)〉 = U†(t, t0)|ψ(t)〉. (2.78)
Analicemos ahora el valor esperado de un operador A, esto es,
〈A(t)〉 = 〈ψ(t)|A|ψ(t)〉 = 〈ψH |U†(t, t0)AU(t, t0)|ψH〉, (2.79)
así que si queremos escribir el valor esperado en el esquema de Heisenberg, debemos pedir que el operador
AH esté dado por
AH = U
†(t, t0)AU(t, t0), (2.80)
de manera que
〈A(t)〉 = 〈ψH |AH |ψH〉. (2.81)
CAPÍTULO 2. TRANSFORMACIONES, CONSTRICCIONES E INTEGRAL DE TRAYECTORIA 12
La ecuación de eigenvalores para el operador q es
q|q〉 = q|q〉. (2.82)
Multiplicamos ahora la ecuación por U†(t, t0) e insertamos I = U(t, t0)U†(t, t0) entre q y el estado |q〉,
obteniendo así
U†(t, t0)qU(t, t0)
[
U†(t, t0)|q〉
]
= q
[
U†(t, t0)|q〉
]
,
qH |q, t〉 = q|q, t〉, (2.83)
donde hemos definido |q, t〉 = U†(t, t0)|q〉. Podemos ver, entonces, que la ecuación de eigenvalores en el
esquema de Heisenberg tiene la misma estructura, siendo el autovalor q el mismo que en el esquema de
Schrödinger.
Si el Hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, la solución a la ecuación (2.70) con condición
inicial U(t0, t0) = I es
U(t, t0) = e
− i~H(t−t0). (2.84)
Entonces, un cálculo muy simple muestra que
∞̂
−∞
dq|q, t〉〈q, t| = I (2.85)
y
〈q′, t|q, t〉 = δ(q′ − q). (2.86)
De esta manera, el kernel K(q, t; q0, t0) puede ser expresado en el esquema de Heisenberg como
K(q, t; q0, t0) =
(
〈q|e− i~Ht
)(
e
i
~Ht0 |q0〉
)
= 〈q, t|q0, t0〉. (2.87)
A continuación, para ilustrar el cálculo de un kernel, abordaremos el problema más simple: la partícula
libre. El Hamiltoniano correspondiente es
H =
p2
2m
. (2.88)
Entonces, el kernel para ir de qa en ta a qb en tb es
K(qb, tb; qa, ta) = 〈qb|e−
i
~
p2
2m (tb−ta)|qa〉, (2.89)
Ahora, podemos insertar la identidad escrita en término de eigenestados del momento, de manera que el
operador exp(ip2/2m~) aplicado al autoestado |p〉 arroje el eigenvalor exp(ip2/2m~).
K(qb, tb; qa, ta) =
∞̂
−∞
dp〈qb|e−
i
~
p2
2m (tb−ta)|p〉〈p|qa〉 =
∞̂
−∞
dpe−
i
~
p2
2m (tb−ta)〈qb|p〉〈qa|p〉∗. (2.90)
Sabemos que el eigenestado del momento escrito en la base de posiciones es
〈q|p〉 = e
i
~ qp
√
2π~
, (2.91)
CAPÍTULO 2. TRANSFORMACIONES, CONSTRICCIONES E INTEGRAL DE TRAYECTORIA 13
por lo que
K(qb, tb; qa, ta) =
1
2π~
∞̂
−∞
dpe−
i
~
p2
2m (tb−ta)+
i
~p(qb−qa). (2.92)
Esta integral, al ser cuadrática en p, se puede realizar de manera sencilla completando el cuadrado,
obteniéndose así
K(qb, tb; qa, ta) =
√
m
2πi~(tb − ta)
exp
[
i
~
m(qb − qa)2
2(tb − ta)
]
. (2.93)
2.4. Integral de trayectoria
Como ya habíamos establecido, el problema central en mecánica cuántica es conocer el kernel del sistema
en cuestión. Richard Feynman [31] desarrolló una visión de la mecánica cuántica basada en el principio de
superposición que establece que para determinar el kernel de una partícula es necesario sumar sobre todas
las posibles trayectorias que pueda seguir la partícula, ya que cada una de ellas contribuye a la amplitud de
probabilidad de propagación de un punto a otro.
Podemos construir cuantitativamente la versión de Feynman de la mecánica cuántica de manera muy
sencilla. Supongamos que la partícula se encuentra al tiempo inicial ta en qa y queremos saber la amplitud
de probabilidad (kernel) de que la partícula se propague al punto qb en el tiempo tb con tb > ta. Sabemos que
K(qb, tb; qa, ta) = 〈qb, tb|qa, ta〉. (2.94)
Si ahora insertamos la identidad
I =
∞̂
−∞
dq1|q1, t1〉〈q1, t1|, (2.95)
donde ta < t1 < tb, obtenemos
K(qb, tb; qa, ta) =
∞̂
−∞
dq1〈qb, tb|q1, t1〉〈q1, t1|qa, ta〉. (2.96)
Hagamos más inserciones, para ello definamos t0 = ta, tN = tb, � = (tb − ta)/N y tj = ta + j� con
j = 0, ..., N y tal que ta < t1 < t2 < ... < tN−1 < tb. Entonces,
K(qb, tb; qa, ta) =
∞̂
−∞
dq1dq2 · · · dqN−1〈qb, tb|qN−1, tN−1〉 · · · 〈q2, t2|q1, t1〉〈q1, t1|qa, ta〉. (2.97)
De esta manera vemos que, según (2.97), para ir del punto qa en ta al punto qb al tiempo tb, debemos
sumar sobre todas las trayectorias intermedias que conecten estos dos puntos [37].
Cada elemento de matriz puede ser escrito como
〈qj+1, tj+1|qj , tj〉 = 〈qj+1|e−
i
~H�|qj〉, (2.98)
El Hamiltoniano depende de q y de p, por lo que podemos insertar una identidad escrita en términos de
CAPÍTULO 2. TRANSFORMACIONES, CONSTRICCIONES E INTEGRAL DE TRAYECTORIA 14
autoestados del momento:
〈qj+1|e−
i
~H�|qj〉 =
∞̂
−∞
dpj〈qj+1|pj〉〈pj |e−
i
~H�|qj〉. (2.99)
Si tomamos el límite N →∞, esto es, �→ 0, entonces
〈pj |e−
i
~H�|qj〉 = 〈pj |1−
i
~
�H|qj〉. (2.100)
Para evaluar este elemento de matriz hay que tomar en cuenta que el Hamiltoniano puede depender de
productos de q y p, por lo cual no es evidente de qué forma hay que ordenar estos productos. La elección más
frecuente es el ordenamiento de Weyl, el cual sumacada posibilidad de orden y la divide entre el número de
permutaciones posibles. Por ejemplo, si la función clásica a considerar es V (q, p) = q2p, el operador cuántico
correspondiente de Weyl sería
VW (q, p) =
1
3
(q2p+ qpq + pq2). (2.101)
Puede mostrarse [36] que, siguiendo el ordenamiento de Weyl,
〈pj |H(p, q)|qj〉 = 〈pj |qj〉H
(
pj ,
1
2
(qj+1 + qj)
)
, (2.102)
donde H es la función Hamiltoniana clásica. Entonces,
〈qj+1|e−
i
~H�|qj〉 =
∞̂
−∞
dpj〈qj+1|pj〉〈pj |1−
i
~
�H
(
pj ,
1
2
(qj+1 + qj)
)
|qj〉
=
∞̂
−∞
dpj
2π~
exp
(
− i
~
�H
)
exp
[
i
~
pj(qj+1 − qj)
]
. (2.103)
De esta manera, regresando a (2.97), encontramos que
K(qb, tb; qa, ta) = ĺım
N→∞
∞̂
−∞
N−1∏
j=1
dqj
N−1∏
j=0
dpj
2π~
exp
 i~
N−1∑
j=0
[
pj(qj+1 − qj)− �H
(
pj ,
qj+1 + qj
2
)] . (2.104)
Para simplificar la notación, se suele definir la medida DqDp como
DqDp = ĺım
N→∞
N−1∏
j=1
dqj
N−1∏
j=0
dpj
2π~
, (2.105)
así como reemplazar qj+1−qj con �q̇(tj), lo cual convierte a la suma que está en el argumento de la exponencial
en una integral. Por tanto,
K(qb, tb; qa, ta) =
q(tb)=qbˆ
q(ta)=qa
DqDp exp
 i
~
tbˆ
ta
dt(pq̇ −H)
 . (2.106)
CAPÍTULO 2. TRANSFORMACIONES, CONSTRICCIONES E INTEGRAL DE TRAYECTORIA 15
Si el Hamiltoniano es de la forma
H(p, q) =
p2
2m
+ V (q, t), (2.107)
se puede realizar la integral sobre los momentos al ser Gaussiana. Entonces,
∞̂
∞
dpj exp
[
i�
~
(
pj q̇j −
p2j
2m
)]
=
√
2mπ~
i�
exp
(
i�
~
mq̇j
2
)
, (2.108)
con lo cual,
K(qb, tb; qa, ta) =
( m
2πi~�
)N/2 q(tb)=qbˆ
q(ta)=qa
Dq exp
 i
~
N−1∑
j=0
�
(
mq̇2j
2
− V
(
qj+1 + qj
2
, t
)) . (2.109)
En forma abreviada, esta integral, conocida como integral de trayectoria Lagrangiana, es
K(qb, tb; qa, ta) = N
q(tb)=qbˆ
q(ta)=qa
Dq exp
 i
~
tbˆ
ta
dtL(q, q̇, t)
 , (2.110)
donde N es una constante de normalización.
Capítulo 3
Adiabaticidad en mecánica clásica
3.1. Teoría de Hamilton-Jacobi
Una de las formulaciones más importantes de la mecánica clásica desde el punto de vista teórico es la
de Hamilton-Jacobi. Es en esta formulación donde se cierra un ciclo: se comienza estudiando las ecuaciones
de Euler-Lagrange derivadas de la acción, después se pasa al formalismo Hamiltoniano mediante una trans-
formación de Legendre, y finalmente, por medio de las transformaciones canónicas se llega a la ecuación de
Hamilton-Jacobi, cuya solución es la acción misma. De esta manera, se logra resolver el problema de encontrar
la evolución de un sistema.
Antes de abordar el tema de las variables ángulo-acción conviene recapitular algunos resultados de la
teoría de Hamilton-Jacobi. Para una transformación canónica del tipo 2, esto es, cuando la función generadora
(denotada aquí como S) depende de q, P y t, las derivadas de S(q, P, t) son, como vimos en el capítulo anterior,
pi =
∂S
∂qi
, Qi =
∂S
∂Pi
, K = H +
∂S
∂t
, i = 1, ..., n. (3.1)
Si pedimos que el Hamiltoniano transformado K sea cero, se debe cumplir entonces
H
(
q,
∂S
∂q
, t
)
+
∂S
∂t
= 0. (3.2)
Esta es la ecuación de Hamilton-Jacobi cuya solución es la función generadora S, que a partir de ahora
llamaremos función principal de Hamilton. Es una ecuación diferencial parcial (en general, no lineal) en n+1
variables: q1, ..., qn, t. Ahora bien, las ecuaciones de Hamilton pueden ser trivialmente integradas, puesto que
Q̇ =
∂K
∂P
= 0, Ṗ = −∂K
∂Q
= 0. (3.3)
Lo anterior implica que Q = constante y P = constante.
Para resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi se necesita una solución completa, esto es, una solución que
dependa de n constantes de integración αi, i = 1, ..., n. De esta manera,
S = S(q1, ..., qn;α1, ..., αn; t). (3.4)
16
CAPÍTULO 3. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CLÁSICA 17
Las constantes de integración αi se toman como los nuevos momentos Pi, es decir, Pi = αi. La segunda
ecuación de transformación es, entonces,
Qi =
∂S
∂Pi
=
∂S
∂αi
≡ βi. (3.5)
Estas ecuaciones se pueden invertir para obtener qi = qi(α, β; t). Una vez hecho esto, se sustituyen las qi
en la primera ecuación de transformación, con lo cual se obtiene pi = pi(α, β; t). De esta forma, se ha resuelto
el problema de encontrar la evolución del sistema.
La función principal de Hamilton es en realidad la acción del sistema módulo una constante, tal como se
puede ver tomando su derivada total:
dS
dt
=
∑
i
∂S
∂qi
q̇i +
∑
i
∂S
∂Pi
Ṗi +
∂S
∂t
=
∑
i
piq̇i −H = L, (3.6)
donde se usó la ecuación de Hamilton-Jacobi y el hecho que los momentos Pi son constantes.
En el caso en que el Hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo, se propone que la solución a la
ecuación (3.2) sea
S = W (q) + T (t). (3.7)
Con esto, la ecuación se logra separar dando como resultado
S = W − Et, (3.8)
donde W es la función característica de Hamilton que cumple con
H
(
q,
dW
dq
)
= E, (3.9)
siendo E la energía del sistema. Si ponemos la dependencia completa en las constantes de movimiento,
entonces S es
S(q;α; t) = W (q1, ..., qn;α1, ..., αn)− E(α1, ..., αn)t. (3.10)
Un sistema se dice completamente separable si la función característica de Hamilton se puede escribir
como
W (q1, ..., qn;α1, ..., αn) =
n∑
a=1
Wa(qa;α1, ..., αn). (3.11)
Para ilustrar estos conceptos consideremos la partícula libre en tres dimensiones. El Hamiltoniano corres-
pondiente es
H =
1
2m
(
p2x + p
2
y + p
2
z
)
. (3.12)
Al no tener dependencia explícita del tiempo, la ecuación de Hamilton-Jacobi se reduce a
1
2m
[(
∂W
∂x
)2
+
(
∂W
∂y
)2
+
(
∂W
∂z
)2]
= E. (3.13)
CAPÍTULO 3. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CLÁSICA 18
Ahora resulta natural intentar la separación de variables (3.11). Proponemos
W = W1(x) +W2(y) +W3(z). (3.14)
Con esto, encontramos que
1
2m
[(
dW1
dx
)2
+
(
dW2
dy
)2
+
(
dW3
dz
)2]
= E. (3.15)
De aquí es claro que cada término debe ser constante. Llamaremos a estas constantes α2x, α2y y α2z,
respectivamente. Entonces,
E =
1
2m
(
α2x + α
2
y + α
2
z
)
. (3.16)
Las tres ecuaciones diferenciales ordinarias que resultan se integran trivialmente, con lo cual podemos
escribir la función característica de Hamilton como
W = xαx + yαy + zαz, (3.17)
y por tanto,
S = xαx + yαy + zαz −
1
2m
(
α2x + α
2
y + α
2
z
)
t. (3.18)
Podemos obtener ahora los momentos:
px =
∂S
∂x
= αx, py =
∂S
∂y
= αy, pz =
∂S
∂z
= αz, (3.19)
y las nuevas coordenadas:
βx =
∂S
∂αx
= x− αx
m
t, βy =
∂S
∂αy
= y − αy
m
t, βz =
∂S
∂αz
= z − αz
m
t. (3.20)
Invirtiendo las ecuaciones resulta la solución al sistema en términos de las constantes α y β.
x = βx +
αx
m
t, y = βy +
αy
m
t, z = βz +
αz
m
t. (3.21)
De aquí es claro que podemos identificar a las constantes βi con las posiciones iniciales y a αi con los
momentos iniciales.
3.2. Variables ángulo-acción
Ahora abordaremos la teoría de las variables ángulo-acción. Consideraremos sistemas para los que la ecua-
ción de Hamilton-Jacobi es completamente separable al menos en un sistema de coordenadas. Supondremos
también que el movimiento es acotado, por lo cual solo habrá dos movimientos posibles: oscilación y rotación.
CAPÍTULO 3. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CLÁSICA 19
Sean (q1, ..., qn) coordenadas generalizadas para las cuales se cumple
W (q;α) =
n∑
a=1
Wa(qa;α1, ..., αn). (3.22)
El momento pa conjugado a qa está dado por
pa =
∂S
∂qa
=
∂Wa
∂qa
. (3.23)
Esto muestra que para sistemas separables se puede considerar cada grado de libertad por separado. [32]
En el plano fase correspondiente a cada qa se lleva a cabo el movimiento de oscilación o rotación, lo cual
resulta en que el sistema sea periódico en cada qa.
Si integramos el momento respecto a su coordenada obtenemos
Wa =
ˆ
pa(qa;α1, ..., αn)dqa. (3.24)
Al tomar qa durante un ciclo manteniendo a las otras coordenadas fijas, el sistema regresa a su estado
original, haciendo que Wa cambie por
∆Wa =
˛
padqa. (3.25)
Con esto queda claro que Wa es una función multivaluada del estado del sistema. Pictóricamente, la
integral da como resultado el área en el plano fase encerrada por (o, para rotación, debajo de)la trayectoria.
Definimos la variable acción para el a-ésimo grado de libertad, Ia, como
Ia =
1
2π
∆Wa =
1
2π
˛
padqa. (3.26)
Por medio de esta definición podemos ver que las variables acción están dadas como función de las
constantes de separación α1, ..., αn, esto es,
Ia = Ia(α1, ..., αn). (3.27)
Si asumimos que estas ecuaciones son invertibles, podemos tomar a las variables acción como los nuevos
momentos. De esta manera, la función característica de Hamilton es
W (q; I) =
n∑
a=1
Wa(qa; I1, ..., In). (3.28)
Lo que falta ahora es encontrar la coordenada φa conjugada a Ia, la cual está dada por las ecuaciones de
transformación
φa =
∂W
∂Ia
. (3.29)
Estas coordenadas se llaman variables ángulo. Vemos entonces que W (q; I) es la función generadora de
la transformación canónica de las variables (q, p) a las variables ángulo-acción (φ, I).
Si el a-ésimo grado de libertad se toma durante un ciclo con los otros grados de libertad fijos, entonces el
CAPÍTULO 3. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CLÁSICA 20
cambio en la variable ángulo es 2π, tal como puede verse a continuación:
∆φa = ∆
∂W
∂Ia
=
∂∆Wa
∂Ia
=
∂(2πIa)
∂Ia
= 2π. (3.30)
El Hamiltoniano para los sistemas en consideración se escribe únicamente en términos de las constantes
α. Al realizar la inversión de (3.27), podemos escribir estas constantes en términos de las variables acción I,
con lo cual el Hamiltoniano dependerá solamente de estas últimas,
H = H(I1, ..., In). (3.31)
Lo anterior quiere decir que todas las variables ángulo son cíclicas. Además, las variables acción son
constantes, tal como se ve de (3.27). El Hamiltoniano K correspondiente a la transformación canónica con
función generadora W (q; I) es
K = H +
∂W
∂t
; (3.32)
pero W no depende del tiempo, por lo que K = H(I). Entonces, la evolución de las variables ángulo está
dada por las ecuaciones de Hamilton
dφa
dt
=
∂H(I)
∂Ia
= ωa(I), (3.33)
donde las frecuencias angulares ωa son constantes, puesto que dependen solamente de las variables acción.
Estas ecuaciones se integran fácilmente, dando como resultado
φa(t) = φa(0) + ωa(I)t. (3.34)
Las ecuaciones Ia = cte. junto con la anterior definen un toro n-dimensional.
A continuación, como ejemplo de aplicación del formalismo de las variables ángulo-acción, estudiaremos
el oscilador armónico unidimensional. El Hamiltoniano de este sistema es
H =
p2
2m
+
mω2
2
q2 = E ≡ α. (3.35)
donde E es la constante de separación y corresponde a la energía del sistema. Utilizamos ahora la definición
de la variable acción:
I =
1
2π
˛
pdq =
1
2π
˛ √
2mα−m2ω2q2dq. (3.36)
Es conveniente hacer el cambio de variable
q =
√
2α
mω2
sinθ. (3.37)
Con esto, la integral (tomada a un ciclo) es
I =
α
πω
2πˆ
0
cos2θdθ =
α
ω
. (3.38)
De aquí podemos escribir el Hamiltoniano como H = Iω. La ecuación de movimiento para la variable
CAPÍTULO 3. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CLÁSICA 21
ángulo es
dφ
dt
=
∂H
∂I
= ω, (3.39)
con lo cual llegamos a
φ(t) = φ(0) + ωt. (3.40)
3.3. Cambio adiabático
La noción de adiabaticidad yace en el borde de la estática y la dinámica: toma en cuenta efectos dinámicos
pero en el límite de cambios infinitamente lentos. Uno puede aplicar esta noción cuando el sistema se divide
en dos subsistemas con distintas escalas de tiempo [33]. Por ejemplo, si tenemos un péndulo oscilando y
movemos lentamente el soporte, hay dos escalas de tiempo: el periodo del péndulo (tiempo interno) Ti, y el
tiempo en que el soporte se mueve apreciablemente (tiempo externo) Te. Un proceso adiabático es aquel en
el que Te � Ti [38] .
El Hamiltoniano de un sistema depende generalmente de parámetros X = (X1, X2, ...). Nos interesa ave-
riguar qué sucede cuando estos parámetros cambian lentamente y de una forma no relacionada al movimiento
del sistema.
A continuación, analizaremos únicamente sistemas con un grado de libertad. Supongamos que tenemos un
Hamiltoniano H0(q, p,X) escrito en términos de variables canónicas q y p, y que depende de los parámetros
X. Inicialmente, estos parámetros son constantes; después se cambian adiabáticamente y se asume que las
variables (q, p) satisfacen las ecuaciones de Hamilton con parámetros dependientes del tiempo. El que esto
ocurra depende del sistema, los cambios y las variables canónicas usadas.
Queremos analizar cuáles son las ecuaciones que satisfacen las variables ángulo-acción (φ, I). En cada
instante t estas variables se obtienen a partir de (q, p) mediante una transformación canónica con función ge-
neradoraW (q, I,X(t)). Por tanto, las variables ángulo-acción satisfacen las ecuaciones canónicas de Hamilton
con Hamiltoniano
H(φ, I,X(t)) = H0(I,X(t)) +
(
∂W (q, I,X(t))
∂X
)
q,I
· dX(t)
dt
, (3.41)
donde el subíndice indica las variables que se mantienen constantes al momento de derivar. Entonces,(
∂W
∂X
)
φ,I
=∇W =
(
∂W
∂q
)
I,X
(
∂q
∂X
)
φ,I
+
(
∂W
∂X
)
q,I
= p∇q +
(
∂W
∂X
)
q,I
. (3.42)
De aquí se sigue que las ecuaciones de Hamilton para las variables ángulo-acción son
dφ
dt
=
∂H
∂I
=
∂H0
∂I
+
∂
∂I
[(
∂W
∂X
)
q,I
· dX
dt
]
= ω(I,X) +
∂
∂I
(−p∇q +∇W ) · dX
dt
(3.43)
y
dI
dt
= −∂H
∂φ
= − ∂
∂φ
[(
∂W
∂X
)
q,I
· dX
dt
]
= − ∂
∂φ
(−p∇q +∇W ) · dX
dt
, (3.44)
en donde ω(I,X) = ∂H0(I,X)/∂I y el operador nabla denota la derivada respecto a los parámetros man-
teniendo las variables ángulo-acción fijas. Si ahora suponemos que los parámetros cambian lentamente, de
CAPÍTULO 3. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CLÁSICA 22
manera que (1/|X|)(dX/dt) � ω, entonces el sistema pasa por muchos ciclos en el tiempo en que los pa-
rámetros cambian apreciablemente. Para calcular el cambio en las variables ángulo-acción en muchos ciclos
podemos, como aproximación, reemplazar el lado derecho de las ecuaciones por su promedio en un ciclo [15]
〈...〉 = 1
2π
2πˆ
0
...dφ. (3.45)
Se puede demostrar que al promediar el lado derecho de la ecuación de la acción el resultado es cero, y
por tanto, para cambios adiabáticos,
dI
dt
≈ 0, (3.46)
de donde se sigue que la variable acción es constante, es decir, es un invariante adiabático. En el caso del
oscilador armónico con frecuencia variable ω(t), la variable acción es, según (3.38),
I =
E(t)
ω(t)
, (3.47)
y es un invariante, esto es, el área definida por la elipse
p2
2m
+
mω2(t)q2
2
= E(t), (3.48)
permanece constante durante la evolución adiabática.
Para la ecuación de la variable ángulo, el promedio en un ciclo es
dφ
dt
≈ ω(I,X) + ∂A(I,X)
∂I
· dX
dt
, (3.49)
donde
A(I,X) = −〈p∇q〉+ 〈∇W 〉. (3.50)
Recordando que la variable acción es constante, podemos integrar la ecuación para obtener el cambio en
la variable ángulo en el intervalo de t0 a t:
∆φ ≈
tˆ
t0
ω(I,X)dt+
∂
∂I
tˆ
t0
A(I,X) · dX
dt
dt =
tˆ
t0
ω(I,X)dt+
∂
∂I
X̂
X0
A(I,X) · dX. (3.51)
El primer término representa el cambio dinámico, mientras que el segundo término, llamado cambio de
Hannay, representa un cambio debido a una trayectoria en el espacio de parámetros.
La variable ángulo está definida hasta una transformación canónica del tipo 2 generada por
F2 = φI
′ + Λ(I ′,X). (3.52)
Esto da como resultado
φ′ = φ+
∂Λ(I,X)
∂I
(3.53)
e
I ′ = I. (3.54)
CAPÍTULO 3. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CLÁSICA 23
El cambio inducido en A se encuentra de la ecuación de Hamilton para la variable ángulo transformada
dφ′
dt
=
dφ
dt
+∇
(
∂Λ
∂I
)
· dX
dt
= ω +
∂
∂I
(A +∇Λ) · dX
dt
. (3.55)
Comparando con (3.49) vemos que
A′ = A +∇Λ. (3.56)
Esto tiene precisamente la misma forma que una transformación de norma para el potencial vectorial
de la electrodinámica. El cambio de Hannay en la variable ángulo depende de la norma, sin embargo, para
circuitos cerrados en el espacio de parámetros, el cambio de Hannay
∆φH =
∂
∂I
˛
A(I,X) · dX (3.57)
es independiente de la norma, puesto que
¸
∇Λ · dX =
¸
dΛ = 0. A ∆φH se le llama ángulo de Hannay.
Podemos reescribir la integral de la uno-forma A · dX usando el teorema de Stokes. Ahora tomamos un
sistema con tres parámetros para poder usar la notación vectorial. Introducimos el vector B:B =∇×A. (3.58)
Recordando la definición de A, encontramos que
B = −〈∇× (p∇q)〉+ 〈∇× (∇W )〉 = −〈p∇× (∇q)〉 − 〈∇p×∇q〉, (3.59)
B = 〈∇q ×∇p〉, (3.60)
donde se anulan los términos que contienen el rotacional de un gradiente. Usando el teorema de Stokes,
tenemos que
∆φH =
∂
∂I
ˆ
B(I,X) · dS. (3.61)
3.4. Aro de Hannay
A continuación, se presentarán dos ejemplos que ilustran la aparición del ángulo de Hannay.
Primero, consideremos un aro sobre el cual está una cuenta que lo recorre con rapidez constante. El aro,
además, está rotando con una velocidad angular Ω = dθ/dt. La velocidad de la cuenta respecto al aro ṡ es
tangente al aro, y la velocidad del punto del aro en que la cuenta está instantáneamente localizada respecto
al sistema inercial subyacente es rΩ y es perpendicular al radio vector. El ángulo entre estas dos velocidades
es 3π/2− α. Usamos la ley de los cosenos para obtener
v2 = ṡ2 + r2Ω2 + 2ṡrΩsinα. (3.62)
El Lagrangiano (mv2/2) es
L(s, ṡ, t) =
m
2
(
ṡ2 + r2Ω2 + 2ṡrΩsinα
)
, (3.63)
CAPÍTULO 3. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CLÁSICA 24
y el momento conjugado a s es
p =
∂L
∂ṡ
= mṡ+mrΩsinα. (3.64)
Con esto, podemos construir el Hamiltoniano
H = pṡ− L = (p−mrΩsinα)
2
2m
− 1
2
mr2Ω. (3.65)
Las ecuaciones de Hamilton son
ds
dt
=
∂H
∂p
=
p
m
− rΩsinα, dp
dt
= −∂H
∂s
. (3.66)
Si ahora reemplazamos el lado derecho de las ecuaciones por el promedio temporal en la posición, obte-
nemos
ds
dt
≈ 〈 p
m
〉 − Ω
`
`ˆ
0
rsinαds = 〈 p
m
〉 − 2AΩ
`
,
dp
dt
≈ −1
`
`ˆ
0
∂H
∂s
ds = 0, (3.67)
donde A = 12
´ `
0
rsinαds es el área encerrada por el aro. Integramos la primera ecuación para obtener el
cambio en la posición, lo cual da
∆s =
T̂
0
ds
dt
dt =
p
m
T − 2A
`
∆θ. (3.68)
Aquí, ∆θ =
´ T
0
Ωdt es el ángulo al que se rota el aro. El primer término es el cambio dinámico y el segundo
término es el cambio de Hannay.
3.5. Oscilador armónico generalizado
El segundo ejemplo que abordaremos es el llamado “oscilador armónico generalizado” [14], cuyo Hamilto-
niano está dado por
H =
1
2
(
X(t)q2 + 2Y (t)qp+ Z(t)p2
)
, (3.69)
donde (X,Y, Z) son parámetros y se cumple XZ > Y 2. Lo primero que intentaremos será deshacernos del
término cruzado. Sea ξ = (q, p)T el vector columna de las variables canónicas; entonces, el Hamiltoniano se
escribe
H = ξTMξ, (3.70)
con
M =
1
2
(
X Y
Y Z
)
. (3.71)
Ahora introducimos nuevas variables canónicas tales que
ξ′ = Rξ, (3.72)
CAPÍTULO 3. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CLÁSICA 25
donde R es una matriz ortogonal (lo cual es posible debido a que M es simétrica). De aquí se sigue que
H = (RTξ′)TM(RTξ′) = ξ′T(RMRT)ξ′, (3.73)
y por tanto, la matriz transformada es
M ′ = RMRT. (3.74)
Pedimos que M ′ sea diagonal,
M ′ =
1
2
(
λ+ 0
0 λ−
)
, (3.75)
siendo λ+ y λ− los eigenvalores. El Hamiltoniano será, entonces,
H =
1
2
λ+q
′2 +
1
2
λ−p
′2. (3.76)
Al ser el determinante un invariante tenemos que
detM = detM ′ = XZ − Y 2 = λ+λ−. (3.77)
Como XZ−Y 2 > 0, los signos de λ+ y λ− son iguales, por tanto, las trayectorias en el espacio fase (q′, p′)
son elipses. El área que encierra una elipse es
A = π
√
2E
λ+
√
2E
λ−
=
2πE√
XZ − Y 2
, (3.78)
y de aquí se sigue que la variable acción es
I =
A
2π
=
E√
XZ − Y 2
. (3.79)
Si resolvemos la ecuación de Hamilton-Jacobi, encontramos que
W = − Y
2Z
q2 +
1
Z
ˆ √
2ZE − (XZ − Y 2)q2dq. (3.80)
Para hacer la integral, hacemos el cambio de variable
q =
√
2ZE
XZ − Y 2
sinφ, (3.81)
con esto, la función característica de Hamilton se escribe como
W = − Y
2Z
q2 +
E√
XZ − Y 2
(φ+ sinφcosφ). (3.82)
En un ciclo, φ incrementa en 2π, y por tanto, W incrementa en 2πE/
√
XZ − Y 2, por lo cual, la variable
acción es
I =
∆W
2π
=
E√
XZ − Y 2
=
E
ω
, (3.83)
CAPÍTULO 3. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CLÁSICA 26
donde ω =
√
XZ − Y 2. En términos de I, la función característica de Hamilton está dada por
W = − Y
2Z
q2 + I(φ+ sinφcosφ), (3.84)
el momento es
p =
∂W
∂q
= −Y
Z
q +
√
2ωI
Z
cosφ, (3.85)
y la variable ángulo es
∂W
∂I
= φ. (3.86)
Por tanto,
q =
√
2ZI
ω
sinφ, p =
√
2ZI
ω
(
−Y
Z
sinφ+
ω
Z
cosφ
)
. (3.87)
Supongamos ahora que los parámetros son variados adiabáticamente y el sistema es tomado alrededor de
un circuito cerrado. Para calcular el ángulo de Hannay necesitamos los promedios del gradiente de q y de p.
El vector B definido en (3.60) es, entonces,
B = 〈∇q ×∇p〉 = −1
2
∇
(
Z
ω
)
×∇
(
Y
Z
)
. (3.88)
Haciendo los cálculos pertinentes, encontramos que
B =
IR
4ω3
, (3.89)
y, por tanto, el ángulo de Hannay es
∆φH =
∂
∂I
ˆ
B · dS =
ˆ
R · dS
4ω3
, (3.90)
esto es,
∆φH =
ˆ
XdY ∧ dZ + Y dZ ∧ dX + ZdX ∧ dY
4 (XZ − Y 2)
3
2
. (3.91)
Capítulo 4
Adiabaticidad en mecánica cuántica
4.1. Evolución adiabática en mecánica cuántica
Para analizar la evolución adiabática consideremos un Hamiltoniano dependiente del tiempo H(t). Si
asumimos que el espectro de H es discreto y no degenerado, se propone que la ecuación de eigenvalores de
H se cumpla a cada instante de tiempo, esto es,
H(t)|n(t)〉 = En(t)|n(t)〉, (4.1)
donde los eigenestados cumplen con
〈n(t)|m(t)〉 = δnm. (4.2)
Podemos notar que |n(t)〉 no está definido de manera única. Si hacemos la transformación
|n(t)〉 → |n′(t)〉 = eiλn(t)|n(t)〉, (4.3)
con funciones arbitrarias λn(t), entonces (4.1) y (4.2) permanecen invariantes. Una transformación de este
tipo se llama transformación de norma.
La solución general a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
i~
∂
∂t
|ψ(t)〉 = H(t)|ψ(t)〉, (4.4)
se propone como una combinación lineal de los estados |n(t)〉, esto es,
|ψ(t)〉 =
∑
n
cn(t)e
iθn(t)|n(t)〉, (4.5)
donde
θn(t) = −
1
~
tˆ
0
En(τ)dτ (4.6)
es el factor de fase generalizado al caso en que la energía depende del tiempo.
27
CAPÍTULO 4. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CUÁNTICA 28
Si ahora se sustituye (4.5) en (4.4), se obtienen las siguientes ecuaciones para los coeficientes cm(t):
ċm(t) = −cm(t)〈m(t)|ṁ(t)〉 −
∑
k 6=m
ck(t)〈m(t)|k̇(t)〉exp [i (θk(t)− θm(t))] . (4.7)
Enseguida, derivamos (4.1) respecto al tiempo y proyectamos en el ket |m〉 tal que m 6= k:
〈m|k̇〉 = 〈m|Ḣ|k〉
Ek − Em
. (4.8)
La evolución de H(t) es considerada adiabática si
∣∣∣〈m|Ḣ|k〉∣∣∣� |Ek − Em|
∆Tkm
, (4.9)
donde ∆Tkm es el tiempo característico de transición entre los estados k ym. Esto quiere decir que los cambios
en H son lentos en comparación con la escala natural de tiempo del sistema, definida mediante la transición
entre estados energéticos [33]. En el límite adiabático ∆Tkm →∞ los cambios en H son infinitamente lentos,
esto es, ∣∣∣〈m|Ḣ|k〉∣∣∣→ 0, (4.10)
y por tanto, según (4.8),
〈m|k̇〉 → 0. (4.11)
Si sustituimos este resultado en (4.7), obtenemos la ecuación de evolución adiabática
ċm = −cm〈m|ṁ〉, (4.12)
con solución
cm(t) = cm(0)e
iφm(t), (4.13)
donde
φm(t) = i
tˆ
0
〈m(τ)|ṁ(τ)〉dτ. (4.14)
Usando la condición inicial cm(0) = δmn, y sustituyendo en (4.5), tenemos que
|ψ(t)〉 = eiθn(t)eiφn(t)|n(t)〉. (4.15)
Este es precisamente el teorema adiabático: si el sistema comienza en t = 0 en el eigenestado |n〉, entonces
permanece en él para todo tiempo, adquiriendo solamente un par de fases.
La fase adicional φn(t) fue ignorada por casi cincuenta años, debido a que con la libertad de norma
podemos tomar un nuevo eigenvector
|ñ(t)〉 = eiφn(t)|n(t)〉, (4.16)
de tal forma que
d
dt
|ñ(t)〉 = iφ̇n(t)|ñ〉+ eiφn(t)|ṅ〉. (4.17)
CAPÍTULO 4. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CUÁNTICA 29
Por tanto,
〈ñ| d
dt
|ñ〉 = iφ̇n + 〈n|ṅ〉 = iφ̇n − iφ̇n = 0. (4.18)
El eigenvector |ñ〉 que satisface esta ecuación, se dice que está en la norma de Born-Fock. Entonces, en
esta norma,
|ψ(t)〉 = eiθn(t)|ñ(t)〉. (4.19)
De esta manera, se remueve la fase adicional, sin embargo, hay situaciones en donde esto falla y la fase
adquiere un significado físico.
4.2. Fase de Berry
4.2.1. Fases en mecánica cuántica
Los estados puros en mecánica cuántica son representados por vectores en un espacio de Hilbert complejo.
A cada operador A le corresponde un valor esperado dado por
A→ 〈ψ|A|ψ〉, (4.20)
donde |ψ〉 es un vectorde estado normalizado a la unidad que pertenece al espacio de Hilbert. No obstante,
aún queda la posibilidad de que dos estados, |ψ〉 y |ϕ〉, produzcan el mismo valor esperado siempre y cuando
difieran en una fase; esto es claro de la ecuación (4.20). Es decir, |ψ〉 y |φ〉 son equivalentes si se cumple
|ψ〉 = eiα|ϕ〉. (4.21)
Debido a la igualdad del valor esperado, uno dice que esta fase no tiene significado físico. No obstante,
la interferencia cuántica es resultado de la aparición de una fase relativa entre dos estados. Por ejemplo,
supongamos que dos estados con una fase relativa se superponen. Esto resulta en una interferencia, cuya
intensidad está dada por
I ∝
∣∣1 + eiα∣∣2 = 4cos2(α/2). (4.22)
Entonces, buscando puntos de interferencia constructiva y destructiva se puede medir la fase.
4.2.2. Derivación de la fase de Berry
Hemos visto que durante la evolución adiabática el estado |n〉 adquiere dos fases: una fase dinámica
θn(t) = −
1
~
tˆ
0
En(τ)dτ, (4.23)
y una fase geométrica
φn(t) = i
tˆ
0
〈n(τ)|ṅ(τ)〉dτ. (4.24)
CAPÍTULO 4. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CUÁNTICA 30
Ahora consideremos una curva C sobre una variedad M de parámetros externos x. La dependencia
temporal del Hamiltoniano entra vía la dependencia de parámetros externos, tales como potenciales, campos,
etc. Supongamos que para cualquier x ∈M el Hamiltoniano H(x) tiene un espectro discreto, esto es
H(x)|n(x)〉 = En(x)|n(x)〉, (4.25)
con
〈n(x)|m(x)〉 = δnm. (4.26)
Los eigenvectores no están definidos de manera única, puesto que podemos hacer que difieran en una fase,
esto es
|n(x)〉 → |n′(x)〉 = eiαn(x)|n(x)〉, (4.27)
donde αn(x) es una función arbitraria de los parámetros.
Sabemos que
φ̇n = i〈n|ṅ〉, (4.28)
lo cual implica que podemos definir una uno-forma en M :
A(n) ≡ i〈n|dn〉, (4.29)
o, en coordenadas locales (x1, ..., xn),
A(n) = A
(n)
k dx
k, (4.30)
con A(n)k = i〈n|∂kn〉. Debido a que 〈n|dn〉 es imaginario puro1, podemos escribir
A(n) = −Im〈n|dn〉. (4.31)
Entonces,
φn(t) = i
tˆ
0
〈n(τ)|ṅ(τ)〉dτ =
ˆ
C
A(n), (4.32)
donde la uno-forma se integra en la curva C desde el punto x0 = x(0) hasta el punto xt = x(t).
En el caso de una evolución cíclica (x0 = xT para algún T > 0), entonces la fase geométrica es
γn(C) ≡ φn(T ) =
˛
C
A(n). (4.33)
Esta fase se conoce como fase de Berry, la cual corresponde a una evolución adiabática cíclica a lo largo de
C. Hay que remarcar que la fase de Berry aparece cuando el Hamiltoniano depende de dos o más parámetros,
puesto que la integral cerrada se anularía para un parámetro debido a la condición x0 = xT .
Cabe mencionar que se puede obtener el ángulo de Hannay ∆φH a partir de la fase de Berry γn(C) como
[15]
∆φH = −
∂γn(C)
∂n
. (4.34)
Esto es válido para sistemas cuadráticos, y es aproximado para cualquier otro sistema.
1Esto se sigue derivando la identidad 〈n|n〉 = 1 respecto a los parámetros.
CAPÍTULO 4. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CUÁNTICA 31
Usando el teorema de Stokes podemos reescribir la fase como
γn(C) =
ˆ
Σ
F (n), (4.35)
donde Σ es tal que ∂Σ = C y
F (n) = dA(n) = −Im〈dn| ∧ |dn〉. (4.36)
En coordenadas locales sobre M se tiene que
F (n) =
1
2
F
(n)
ij dx
i ∧ dxj , (4.37)
con
F
(n)
ij = −Im (〈∂in|∂jn〉 − 〈∂jn|∂in〉) = i (〈∂in|∂jn〉 − 〈∂jn|∂in〉) . (4.38)
Podemos notar que al realizar el cambio (4.27), la uno-forma A(n) transforma como
A(n) → A′(n) = A(n) − dαn, (4.39)
o bien,
A
′(n)
k = A
(n)
k − ∂kαn, (4.40)
esto es, transforma de la misma manera que el potencial vectorial de la electrodinámica. Debido a esto, se
le conoce también como potencial vectorial de Berry. Ahora bien, ya que d2αn = 0, la dos-forma F (n) es
invariante de norma, y por tanto, también lo es la fase de Berry γn(C). La cantidad F (n) juega el papel del
campo magnético obtenido a través del potencial vectorial A(n).
Finalmente, podemos expresar a F (n) en términos de los eigenvalores de la energía Ek. Insertando la
identidad
I =
∑
m
|m〉〈m| (4.41)
en (4.36), se sigue que
F (n) = −Im
∑
m6=n
〈m|dn〉 ∧ 〈m|dn〉 (4.42)
El término con m = n no contribuye ya que 〈n|dn〉 es imaginario puro. Ahora bien, (4.25) implica que,
para m 6= n,
〈m|dn〉 = 〈m|dH|n〉
En − Em
. (4.43)
Por tanto,
F (n) = −Im
∑
m 6=n
〈n|dH|m〉 ∧ 〈m|dH|n〉
(Em − En)2
. (4.44)
Una propiedad importante y fácil de demostrar de F (n) es∑
n
F (n) = 0. (4.45)
CAPÍTULO 4. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CUÁNTICA 32
4.2.3. ¿Cómo medir la fase de Berry?
Si tenemos una evolución adiabática cíclica, entonces podemos medir la fase relativa entre ψ(0) y ψ(T ).
Supongamos que el sistema inicia preparado en el estado |n〉 y se divide en t = 0 en dos subsistemas; uno
de ellos se cicla adiabáticamente y el otro no. Durante la evolución, ambos subsistemas adquirirán fases
dinámicas ϕ1 y ϕ2, respectivamente. El sistema que fue ciclado adquirirá adicionalmente una fase geométrica
γn(C). Si los dos subsistemas se combinan en t = T , entonces la intensidad de la superposición estará dada
por
I ∝ |exp [i (ϕ1 + γn(C))] + exp (iϕ2)|2
= 4cos2
[
1
2 (ϕ1 − ϕ2 + γn(C))
]
.
(4.46)
Por tanto, al conocer las fases dinámicas ϕ1 y ϕ2 podemos detectar la fase geométrica como un corrimiento
en el patrón de interferencia.
Otro tipo de experimento involucra dos o más estados del mismo Hamiltoniano. Supongamos que a t = 0
se tiene
ψ(0) = an|n〉+ am|m〉, (4.47)
donde |m〉 y |n〉 son eigenestados de H(0). Si H cambia adiabáticamente y H(T ) = H(0), entonces los estados
adquirirán fases dinámicas y fases geométricas, de tal forma que
ψ(T ) = amexp [i (ϕm + γm(C))] |m〉+ anexp [i (ϕn + γn(C))] |n〉. (4.48)
Si tenemos un observable A que no conmute con H(0)2, entonces,
〈ψ(T )|A|ψ(T )〉 = |am|2 〈m|A|m〉+ |an|2 〈n|A|n〉
+2Re (ama
∗
n〈n|A|m〉exp [i (ϕn − ϕm + γn(C)− γm(C))]) .
(4.49)
De esta manera, podemos detectar la diferencia de fases geométricas, γn(C)− γm(C), siempre que conoz-
camos las fases dinámicas ϕn y ϕm [33].
A continuación se presentan dos ejemplos para ilustrar la aparición de la fase de Berry en mecánica
cuántica.
4.2.4. Partícula de espín 1/2 en un campo magnético
Consideremos la evolución adiabática de una partícula con espín 1/2 en un campo magnético B que varía
lentamente. El Hamiltoniano correspondiente es
H(B) =
1
2
µσ ·B. (4.50)
Las componentes del campo magnético juegan el rol de los parámetros externos de los cuales depende el
2Se pide esto para que 〈n|A|m〉 6= 0 y haya término de interferencia.
CAPÍTULO 4. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CUÁNTICA 33
Hamiltoniano. Podemos escribir el campo magnético en coordenadas esféricas, de forma que
B = B(sinθcosϕ, sinθsinϕ, cosθ). (4.51)
Si | ±B〉 = | ± (θ, ϕ)〉 denotan eigenvectores del Hamiltoniano, esto es,
H(B)| ± (θ, ϕ)〉 = E±(B)| ± (θ, ϕ)〉, (4.52)
donde E±(B) = ±µB/2, entonces se encuentra que
|+ (θ, ϕ)〉 =
(
cos θ2
eiϕsin θ2
)
, | − (θ, ϕ)〉 =
(
−sin θ2
eiϕcos θ2
)
. (4.53)
Ya que los eigenvectores no dependen de B, es natural tomar como espacio de parámetros la esfera
bidimensional, esto es, M = S2. Insertando estos eigenvectores en (4.29) obtenemos
A(+) = i〈+(θ, ϕ)|∂θ|+ (θ, ϕ)〉dθ + i〈+(θ, ϕ)|∂ϕ|+ (θ, ϕ)〉dϕ, (4.54)
A(+) = −1
2
(1− cosθ)dϕ. (4.55)
Y, para A(−),
A(−) = −1
2
(1 + cosθ)dϕ. (4.56)
De aquí podemos obtener las dos-formas correspondientes
F (+) = dA(+) = −1
2
sinθdθ ∧ dϕ, (4.57)
F (−) = dA(−) =
1
2
sinθdθ ∧ dϕ. (4.58)
Se verifica fácilmente que se cumple (4.45):
F (+) + F (−) = 0. (4.59)
Ahora calculamos las fases de Berry asociadas a F (+) y F (−).
γ±(C) =
ˆ
Σ
F (±) = ∓1
2
ˆ
Σ
sinθdθ ∧ dϕ = ∓1
2
Ω(C), (4.60)
donde Ω(C) es el ángulo sólido subtendido por la curva C sobre la esfera S2. Si integramos sobre todo S2,
entonces ˆ
S2
F (±) = ∓1
2
2πˆ
0
π̂
0
sinθdθdϕ = ∓2π, (4.61)
1
2π
ˆ
S2
F (±) = ∓1. (4.62)
CAPÍTULO 4. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CUÁNTICA 34
Podemos obtener el mismo resultado utilizando (4.44):
F (+) = −Im 〈+|dH|−〉 ∧ 〈−|dH|+〉
(E− − E+)2
. (4.63)
Sabemos que
dH =
1
2
µ
3∑
k=1
σkdB
k, (4.64)
y
(E− − E+)2 = (µB)2. (4.65)
Por tanto,
F (+) = − 1
B2
3∑
k,l=1
Im [〈+|σk|−〉〈−|σl|+〉 − 〈+|σl|−〉〈−|σk|+〉] dBk ∧ dBl. (4.66)Si tomamos el punto B = (0, 0, B), se encuentra que
F
(+)
12 = −
1
2B2
, F
(+)
13 = F
(+)
23 = 0. (4.67)
Entonces, para B arbitrario, tenemos que
F
(+)
kl = −
1
2|B|3
�klmB
m. (4.68)
4.2.5. Oscilador armónico generalizado
Ahora, estudiaremos el sistema de interés: el oscilador armónico generalizado3. Consideremos el siguiente
Hamiltoniano que depende de los parámetros externos R(t) = (X(t), Y (t), Z(t)):
H(R) =
1
2
[
X(t)q2 + Y (t) (qp+ pq) + Z(t)p2
]
. (4.69)
La ecuación de eigenvalores es
H(R)ψn(R) = En(R)ψn(R), (4.70)
la cual, en el espacio de configuración, toma la forma
−Z~
2
2
d2ψn
dq2
− i~Y qdψn
dq
+
(
Xq2
2
− i~Y
2
)
ψn = Enψn. (4.71)
Para resolverla, necesitamos deshacernos del término que contiene la primera derivada y así tener la
ecuación de Schrödinger usual. A tal efecto, se propone la siguiente factorización:
ψn(q;R) = Mn(q;R)N(q;R), (4.72)
3Este sistema se reduce al oscilador armónico con frecuencia dependiente del tiempo tomando X(t) = mω2(t), Y (t) = 0 y
Z(t) = 1/m.
CAPÍTULO 4. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CUÁNTICA 35
donde
N(q;R) = exp
(
− iY q
2
2Z~
)
. (4.73)
De esta manera, al sustituir la propuesta en la ecuación original, obtenemos
−Z~
2
2
d2Mn
dq2
+
XZ − Y 2
2Z
q2Mn = EnMn. (4.74)
Con esto, hemos eliminado el término que contiene la primera derivada. Ahora, la ecuación que obtuvimos
para Mn(q;R) es la ecuación del oscilador armónico usual, cuya solución es conocida. Por tanto, ψn(q;R) es
ψn(q;R) =
( ω
Z~
)1/4
χn
(
q
√
ω
Z~
)
exp
(
− iY q
2
2Z~
)
, (4.75)
donde
ω = (XZ − Y 2)1/2 (4.76)
y
χn(ξ) =
(
n!2n
√
π
)−1/2
e−ξ
2/2Hn(ξ), (4.77)
con Hn el n-ésimo polinomio de Hermite que satisface la ecuación
d2Hn(x)
dx2
+ (2n+ 1− x2)Hn(x) = 0. (4.78)
De (4.76) podemos notar que se debe cumplir
XZ > Y 2, (4.79)
por lo cual, la variedad M a considerar es
M =
{
(X,Y, Z) ∈ R3|XZ > Y 2
}
. (4.80)
Los eigenvalores de la energía están dados por
En =
(
n+
1
2
)
~ω. (4.81)
Si sustituimos la función de onda (4.75) en (4.36), encontramos que4
F (n) = −Im dR
ˆ
ψ∗n(q;R) ∧ dRψn(q;R)dq
=
1
2~
dR
√
ω
Z~
∞̂
−∞
χ2n
(
q
√
ω
Z~
)
q2 ∧ dR
(
Y
Z
)
dq. (4.82)
Ahora hacemos el cambio de variable
ξ = q
√
ω
Z~
, (4.83)
4Se denota la derivada respecto a los parámetros como dR para distinguirla de la derivada respecto a la posición.
CAPÍTULO 4. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CUÁNTICA 36
y usamos la siguiente propiedad de las funciones de Hermite:
∞̂
−∞
ξ2χ2n(ξ)dξ = n+
1
2
, (4.84)
de tal manera que se obtiene
F (n) = −1
4
(
n+
1
2
)
XdRY ∧ dRZ + Y dRZ ∧ dRX + ZdRX ∧ dRY
(XZ − Y 2)3/2
. (4.85)
De aquí podemos identificar la uno-forma A(n) que cumple con F (n) = dA(n):
A(n) =
1
2
(
n+
1
2
)[
dRY
(XZ − Y 2)1/2
− Y dRZ
Z (XZ − Y 2)1/2
]
, (4.86)
con lo cual, la fase de Berry es
γn(C) =
1
2
(
n+
1
2
) T̂
0
Ẏ Z − Y Ż
Z (XZ − Y 2)1/2
dt. (4.87)
Si usamos la correspondencia (4.34) entre la fase de Berry y el ángulo de Hannay, vemos que este último
está dado por
∆φH = −
∂
∂n
ˆ
F (n), (4.88)
lo cual, al sustituir (4.85), concuerda con (3.91).
4.2.6. Tensor geométrico cuántico
Los componentes de la dos-forma que hemos definido en la fase de Berry están dados por
F
(n)
ij = −Im (〈∂in|∂jn〉 − 〈∂jn|∂in〉) . (4.89)
Este tensor es invariante bajo las transformaciones de norma (4.27). Berry mostró que existe otro ten-
sor definido en M que es invariante de norma y es conocido como el tensor geométrico cuántico, cuyas
componentes están dadas por
T
(n)
ij ≡ 〈∂in|∂jn〉 − 〈∂in|n〉〈n|∂jn〉, (4.90)
Se puede mostrar fácilmente que es invariante de norma y hermitiano, y además podemos obtener F (n) de
su parte imaginaria, esto es
ImT
(n)
ij = −
1
2
F
(n)
ij . (4.91)
Ahora definamos un nuevo tensor simétrico
g
(n)
ij ≡ ReT
(n)
ij . (4.92)
Resulta que este tensor puede usarse para medir distancias en el espacio de parámetros, por lo que se le
CAPÍTULO 4. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CUÁNTICA 37
llama tensor métrico cuántico. Consideremos dos estados cercanos entre sí, |n(x)〉 y |n(x+ dx)〉 y definamos
una distancia ∆(x, x+ dx) mediante
∆2(x, x+ dx) = 1− |〈n(x)|n(x+ dx)〉|2 . (4.93)
Ahora desarrollamos en serie de Taylor el estado |n(x+ dx)〉
|n(x+ dx)〉 = |n(x)〉+ |∂in(x)〉dxi +
1
2
|∂i∂jn(x)〉dxidxj + ... . (4.94)
Entonces,
〈n(x)|n(x+ dx)〉 = 1 + 〈n(x)|∂in(x)〉dxi +
1
2
〈n(x)|∂i∂jn(x)〉dxidxj + ... . (4.95)
Por tanto,
|〈n(x)|n(x+ dx)〉|2 = 1 +
(
1
2
〈∂i∂jn|n〉+
1
2
〈n|∂i∂jn〉+ 〈n|∂in〉〈∂jn|n〉
)
dxidxj + ... , (4.96)
donde se usó
〈n|∂in〉+ 〈∂in|n〉 = 0 (4.97)
Si derivamos la expresión anterior encontramos que
〈∂i∂jn|n〉 = −〈∂in|∂jn〉 − 〈∂jn|∂in〉 − 〈n|∂i∂jn〉. (4.98)
Ahora sustituimos esto en (4.96), obteniendo
|〈n(x)|n(x+ dx)〉|2 = 1− 1
2
(〈∂in|∂jn〉+ 〈∂jn|∂in〉 − 2〈n|∂in〉〈∂jn|n〉) dxidxj + ... . (4.99)
Pero
1
2
(〈∂in|∂jn〉+ 〈∂jn|∂in〉 − 2〈n|∂in〉〈∂jn|n〉) = ReT (n)ij = g
(n)
ij , (4.100)
por lo que
∆2(x, x+ dx) = g
(n)
ij dx
idxj + ... . (4.101)
Parecería que la definición de la distancia es un poco arbitraria, sin embargo, se puede justificar su
introducción de la siguiente manera [39]. Sabemos que el producto escalar en el espacio de Hilbert proporciona
una forma de medir distancias, por lo cual, proponemos que la separación entre dos estados |n(x)〉 y |n(x+dx)〉
sea
||n(x+ dx)− n(x)||2 = 〈n(x+ dx)− n(x)|n(x+ dx)− n(x)〉. (4.102)
Desarrollando en serie de Taylor encontramos
||n(x+ dx)− n(x)||2 = 〈∂in|∂jn〉dxidxj + ... . (4.103)
CAPÍTULO 4. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CUÁNTICA 38
Separamos en parte real e imaginaria, de manera que
〈∂in|∂jn〉 =
1
2
(〈∂in|∂jn〉+ 〈∂jn|∂in〉)︸ ︷︷ ︸
γ
(n)
ij
+
1
2i
(〈∂in|∂jn〉 − 〈∂jn|∂in〉)︸ ︷︷ ︸
σ
(n)
ij
. (4.104)
Notamos aquí que la parte real γ(n)ij es simétrica y la parte imaginaria σ
(n)
ij es antisimétrica, por lo cual,
||n(x+ dx)− n(x)||2 = γ(n)ij dx
idxj + ... . (4.105)
La parte imaginaria σ(n)ij puede escribirse como
σ
(n)
ij =
1
2i
(∂i〈n|∂jn〉 − ∂j〈n|∂in〉) = −
1
2
F
(n)
ij . (4.106)
Por otro lado, los componentes γ(n)ij transforman como un tensor covariante,
γ
′(n)
ij =
∂xk
∂x′i
∂xl
∂x′j
γ
(n)
kl , (4.107)
no obstante, γ(n)ij no es invariante de norma. Esto es, si escogemos dos estados que difieran por una fase, |n〉
y |n′〉 = eiαn(x)|n〉, encontramos que γ′(n)ij 6= γ
(n)
ij ; de hecho,
γ
′(n)
ij = γ
(n)
ij + β
(n)
i ∂jαn + β
(n)
j ∂iαn + (∂iαn)(∂jαn), (4.108)
donde
β
(n)
i = −i〈n|∂in〉 = −A
(n)
i . (4.109)
Al hacer una transformación de norma |n〉 → |n′〉 el cambio en beta es
β
(n)
i → β
′(n)
i = β
(n)
i + ∂iαn. (4.110)
Entonces, si definimos
g
(n)
ij = γ
(n)
ij − β
(n)
i β
(n)
j , (4.111)
podemos verificar que este objeto transforma como tensor covariante, es invariante de norma y es positivo
definido. A este objeto se le llama tensor métrico del espacio de parámetros. Es fácil ver que es, justamente,
el g(n)ij definido como la parte real del tensor geométrico cuántico T
(n)
ij .
Ahora, iremos un paso más allá que Provost [39], y calcularemos a segundo orden la distancia entre dos
estados infinitesimalmente cercanos. A tal efecto, recordemos que los parámetros xi son funciones del tiempo,
esto es, xi = xi(t), por lo cual la expansión correcta debe ser en términos de t, esto es,
||n(x+ dx)− n(x)||2 = 〈dn
dt
dt+
1
2
d2n
dt2
dt2 + ...|dn
dt
dt+
1
2
d2n
dt2
dt2 + ...〉
= 〈dn
dt
|dn
dt
〉dt2 + 1
2
〈dn
dt
|d
2n
dt2
〉dt3 + 1
2
〈d
2n
dt2
|dn
dt
〉dt3 + ... . (4.112)
CAPÍTULO 4. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CUÁNTICA 39
Utilizando la regla de la cadena vemos que
dn
dt
= (∂in)ẋ
i, (4.113)
y
d2n
dt2
=
d
dt
[
(∂in)ẋ
i
]
= ẋi
d
dt
(∂in) + ẍ
i∂in = (∂i∂jn)ẋ
iẋj + (∂in)ẍ
i. (4.114)
Por tanto,
||n(x+ dx)− n(x)||2 = 〈∂in|∂jn〉ẋiẋjdt2 +
1
2
[〈∂in|∂j∂kn〉+ 〈∂j∂kn|∂in〉] ẋiẋj ẋkdt3
+
1
2
[〈∂in|∂jn〉+ 〈∂jn|∂in〉] ẋiẍjdt3 + ... . (4.115)
Simetrizamos ahora los tres términos, obteniendo
||n(x+ dx)− n(x)||2 = γ(n)ij ẋ
iẋjdt2 +
1
6
[〈∂in|∂j∂kn〉+ 〈∂j∂kn|∂in〉+ 〈∂jn|∂k∂in〉+ 〈∂k∂in|∂jn〉
+〈∂kn|∂i∂jn〉+ 〈∂i∂jn|∂kn〉]ẋiẋj ẋkdt3 +
1
2
γ
(n)
ij (ẋ
iẍj + ẍiẋj)dt3 + ... . (4.116)
Reconociendo derivadas, podemosreescribir esto como
||n(x+dx)−n(x)||2 = γ(n)ij ẋ
iẋjdt2+
1
6
(
∂iγ
(n)
jk + ∂jγ
(n)
ki + ∂kγ
(n)
ij
)
ẋiẋj ẋkdt3+
1
2
γ
(n)
ij
d
dt
(ẋiẋj)dt3+... . (4.117)
Si usamos que
γ
(n)
ij
d
dt
(ẋiẋj) =
d
dt
(
γ
(n)
ij ẋ
iẋj
)
− ẋiẋj γ̇(n)ij , (4.118)
entonces,
1
2
γ
(n)
ij
d
dt
(ẋiẋj) =
d
dt
(
1
2
γ
(n)
ij ẋ
iẋj
)
− 1
2
∂kγ
(n)
ij ẋ
iẋj ẋk. (4.119)
Simetrizamos ahora el término de la derivada de la métrica, de manera que
1
2
∂kγ
(n)
ij ẋ
iẋj ẋk =
1
6
(
∂iγ
(n)
jk + ∂jγ
(n)
ki + ∂kγ
(n)
ij
)
ẋiẋj ẋk. (4.120)
Por tanto, reduciendo los términos semejantes,
||n(x+ dx)− n(x)||2 = γ(n)ij ẋ
iẋjdt2 +
d
dt
(
1
2
γ
(n)
ij ẋ
iẋj
)
dt3 + ... . (4.121)
4.3. Fase no abeliana de Wilczek-Zee
Analicemos ahora lo que ocurre en caso de tener degeneración. Supongamos que el n-ésimo eigenvalor del
Hamiltoniano es N veces degenerado, esto es,
H(x)|ψna(x)〉 = En(x)|ψna(x)〉, a = 1, 2, ..., N . (4.122)
CAPÍTULO 4. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CUÁNTICA 40
Sabemos de la teoría cuántica que siempre podemos escoger ortonormales a los vectores que expanden al
n-ésimo eigenespacio. Entonces,
〈ψna(x)|ψnb(x)〉 = δab. (4.123)
Sin embargo, esta elección no es única. Podríamos realizar una transformación unitaria para obtener
vectores ortonormales |ψ′na(x)〉 tales que
|ψ′na(x)〉 =
N∑
b=1
Uab(x)|ψnb(x)〉. (4.124)
Consideremos la evolución adiabática del vector |ψ(t)〉 que corresponde a un cambio adiabático de los
parámetros externos x. Supongamos que |ψ(0)〉 pertenece al n-ésimo eigenespacio. Si la evolución adiabática
es cíclica, esto es x0 = xT , entonces el teorema adiabático implica que |ψ(T )〉 pertenece tambien al n-ésimo
eigenespacio. Esto significa que |ψ(0)〉 y |ψ(T )〉 están relacionados unitariamente
|ψ(T )〉 = V |ψ(0)〉, (4.125)
para algún operador unitario V . Para encontrar esta matriz supongamos que |ψ(0)〉 = |ψna〉. Entonces, la
solución a la ecuación de Schrödinger bajo la aproximación adiabática tiene la forma
|ψ(t)〉 = exp
− i
~
tˆ
0
En(τ)dτ
 N∑
b=1
U
(n)
ab (t)|ψnb(xt)〉, (4.126)
donde U (n) es una matriz unitaria de N × N . Si insertamos esta expresión en la ecuación de Schrödinger,
obtenemos la siguiente ecuación para la matriz U (n):(
U (n)
−1
U̇ (n)
)
ab
= −〈ψna|ψ̇nb〉. (4.127)
Si definimos la uno-forma conocida como potencial de Wilczek-Zee, esto es,
A
(n)
ab ≡ i〈ψnb|dψna〉, (4.128)
entonces encontramos que
V = VdinVgeo, (4.129)
con
Vdin = exp
− i
~
T̂
0
En(τ)dτ
 IN , (4.130)
y el factor geométrico de Wilczek-Zee, Vgeo
Vgeo = U
(n)(T ) = P exp
i˛
C
A(n)
 , (4.131)
donde P denota ordenamiento de trayectoria.
Ahora podemos definir la norma de Born-Fock en el caso degenerado. Se dice que la familia ψna está en
CAPÍTULO 4. ADIABATICIDAD EN MECÁNICA CUÁNTICA 41
la norma de Born-Fock si y solo si
〈ψna|ψ̇nb〉 = 0. (4.132)
Realicemos una transformación unitaria (4.124). Entonces,
A
′(n)
ab = i〈ψ
′
nb|dψ′na〉 = i
N∑
c,d=1
U∗bd (dUac〈ψnd|ψnc〉+ Uac〈ψnd|dψnc〉)
=
N∑
c,d=1
(
UacA
(n)
cd U
∗
bd + i (dUac) δcdU
∗
bd
)
=
(
UAU† + i(dU)U†
)
ab
. (4.133)
Reconocemos aquí que A(n) transforma como un potencial de norma en la teoría no-Abeliana. Por tanto,
un espectro degenerado conduce a una teoría de norma U(N), en donde N es el grado de degeneración. De
esta manera, podemos definir el campo de norma correspondiente,
F (n) = dA(n) − iA(n) ∧A(n). (4.134)
En coordenadas locales (x1, ..., xn) se obtiene
(F
(n)
kl )ab = ∂k(A
(n)
l )ab − ∂l(A
(n)
k )ab − i[A
(n)
k , A
(n)
l ]ab. (4.135)
Capítulo 5
Análisis clásico del oscilador armónico
con frecuencia dependiente del tiempo
5.1. Búsqueda de una transformación canónica que simplifique el
problema
A continuación, intentaremos mapear el problema del oscilador con frecuencia dependiente del tiempo
a un oscilador con frecuencia constante. Para hacerlo, recurriremos al formalismo de las transformaciones
canónicas.
El oscilador armónico con frecuencia dependiente del tiempo ω(t) tiene el Lagrangiano
L =
m
2
q̇2 − m
2
ω2(t)q2. (5.1)
La ecuación de movimiento que resulta de extremizar la acción es[
d2
dt2
+ ω2(t)
]
q(t) = 0. (5.2)
El Hamiltoniano obtenido mediante una transformación de Legendre sobre (5.1) es
H =
1
2m
p2 +
mω2(t)
2
q2. (5.3)
De aquí se obtienen las ecuaciones canónicas
q̇ =
p
m
, (5.4)
ṗ = −mω2q. (5.5)
Para resolver la ecuación de movimiento utilizamos el ansatz
q(t) = f(t)[Acosg(t) +Bsing(t)], (5.6)
42
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS CLÁSICO DEL OSCILADOR CON FRECUENCIA VARIABLE 43
lo cual resulta en las dos ecuaciones siguientes:
f̈ − fġ2 + ω2f = 0, (5.7)
2ḟ ġ + fg̈ = 0. (5.8)
Multiplicamos (5.8) por f e integramos, con lo cual se obtiene
f2ġ = ω0, (5.9)
siendo ω0 una constante de integración. Si sustituimos esto en (5.7) encontramos que
f̈ + ω2f − ω
2
0
f3
= 0. (5.10)
Para efectuar el mapeo mencionado necesitaremos un invariante I(t) tal que İ(t) = 0; proponemos [8]
I(t) =
1
2m
[
α(t)q2 + β(t)p2 + 2γ(t)qp
]
, (5.11)
con α(t), β(t) y γ(t) funciones a determinar mediante
İ(t) =
∂I
∂t
+ {I,H} = 0. (5.12)
Tenemos que
İ(t) =
1
2m
[
α̇q2 + β̇p2 + 2γ̇qp− 2mω2γq2 + 2
m
γp2 + 2
( α
m
− βmω2
)
qp
]
(5.13)
=
1
2m
[
(α̇− 2mω2γ)q2 +
(
β̇ +
2
m
γ
)
p2 + 2
(
γ̇ +
α
m
− βmω2
)
qp
]
. (5.14)
Igualando a cero cada término obtenemos las tres ecuaciones siguientes
α̇ = 2mω2γ, (5.15)
β̇ = − 2
m
γ, (5.16)
γ̇ = − 1
m
α+mω2β. (5.17)
Introducimos ahora la función b(t) dada por
β(t) = b2(t), (5.18)
por lo que al utilizar la segunda ecuación, obtenemos
γ = −mbḃ. (5.19)
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS CLÁSICO DEL OSCILADOR CON FRECUENCIA VARIABLE 44
Despejando α de la tercera ecuación y usando (5.19), encontramos
α = m2ω2b2 +m2(ḃ2 + bb̈). (5.20)
Tomando la derivada de esta ecuación podemos acomodarla de la forma
b
d
dt
(m2b̈+m2ω2b) + 3ḃ(m2b̈+m2ω2b) = 0. (5.21)
Integrando, resulta
b̈+ ω2b− ω
2
0
b3
= 0. (5.22)
donde ωo es una constante de integración.
Podemos ver que esta ecuación auxiliar es la misma que (5.10), así que identificamos b(t) = f(t). Hay que
notar que así como se puede escribir la solución a la ecuación de movimiento q(t) en términos de la solución
a la ecuación (5.22), también se puede escribir la solución a la ecuación auxiliar en términos de soluciones a
la ecuación de movimiento [9].
Ahora, haciendo las sustituciones necesarias, encontramos que
α = m2ḃ2 +
m2ω20
b2
, (5.23)
β = b2, (5.24)
γ = −mbḃ. (5.25)
De esta manera, el invariante está dado por
I(t) =
1
2m
[(
m2ḃ2 +
m2ω20
b2
)
q2 + b2p2 − 2mbḃqp
]
, (5.26)
o bien,
I(t) =
1
2m
(bp−mḃq)2 + mω
2
0
2b2
q2. (5.27)
Esta forma del invariante sugiere efectuar la transformación a nuevas variables (Q,P ) tales que
Q =
q
b
, P = bp−mḃq. (5.28)
Se demuestra fácilmente que esta transformación es canónica, puesto que {Q,P} = 1. El invariante está
dado, entonces, por
I =
1
2m
P 2 +
mω20
2
Q2. (5.29)
Para encontrar el nuevo Hamiltoniano K, debemos determinar la función generadora F2(q, P, t). Las
ecuaciones de transformación son
p =
∂F2
∂q
, Q =
∂F2
∂P
, (5.30)
CAPÍTULO 5. ANÁLISIS CLÁSICO DEL OSCILADOR CON FRECUENCIA VARIABLE 45
por lo cual
F2 =
ˆ
pdq + f1(P ) =
ˆ (
P
b
+
mḃ
b
q
)
dq + f1(P ) =
1
b
qP +
mḃ
2b
q2 + f1(P ) (5.31)
y
F2 =
ˆ
QdP + f2(q) =
ˆ
1
b
qdP + f2(q) =
1
b
qP + f2(q). (5.32)
Comparando estas dos ecuaciones concluimos que
F2(q, P, t) =
mḃ
2b
q2 +
1
b
qP. (5.33)
Ahora podemos encontrar K mediante
K = H +
∂F2
∂t
. (5.34)
Aquí, H y la derivada parcial de F2 respecto al tiempo están escritos en términos de las nuevas variables
(Q,P ). Por tanto,
K =
1
2m
(
P
b
+mḃQ
)2
+
mω2b2
2
Q2 +
m
2
(
b̈
b
− ḃ
2
b2
)
b2Q2 − ḃ
b
QP (5.35)
=
1
2mb2
P 2 +
m
2
b(ω2b+ b̈)Q2 =
P 2
2mb2
+
mω20
2b2
Q2, (5.36)
donde se ha usado la ecuación auxiliar (5.10). Entonces,
K =
1
b2
(
1
2m
P 2 +
mω20
2
Q2
)
=
I
b2
. (5.37)
Las ecuaciones canónicas de Hamilton en las variables (Q,P ) son
dQ
dt
=
∂K
∂P
=
1
b2
∂I
∂P
, (5.38)
dP
dt
= −∂K
∂Q
= − 1
b2