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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Desarrollo de una nueva versión del algoritmo
PRADA (Position Reconstruction from Amplitude
Detection Algorithm) para la implementación de
datos reales
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:
Físico
PRESENTA:
José Gustavo Vega Romero
DIRECTOR DE TESIS:
Dr. José Francisco Favela Pérez
México octubre, 2016
Tesis
Texto escrito a máquina
CIUDAD UNIVERSITARIA, CIUDAD DE
Tesis
Texto escrito a máquina
 
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Desarrollo de una nueva versión del algoritmo PRADA (Position
Reconstruction from Amplitude Detection Algorithm) para la
implementación de datos reales
por
José Gustavo Vega Romero
Tesis presentada para obtener el grado de
Físico
en la
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional Autónoma de México
México. octubre, 2016
1. Datos del alumno
Vega
Romero
José Gustavo
57 51 55 33
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Física
308615584
2. Datos del tutor
Dr
José Francisco
Favela
Pérez
3. Datos del sinodal 1
Dr
Efraín Rafael
Chávez
Lomelí
4. Datos del sinodal 2
Dr
Roelof
Bijker
5. Datos del sinodal 3
iii
Dr
Víctor Manuel
Velázquez
Aguilar
6. Datos del sinodal 4
Dra
María Isabel
Gamboa
de Buen
7. Datos del trabajo escrito
Desarrollo de una nueva versión del algoritmo PRADA (Position Reconstruction from Amplitu-
de Detection Algorithm) ppara la implementación de datos reales.
116 p.
2016
iv
¿Qué es la vida? Un frenesí.
¿Qué es la vida? Una ilusión,
una sombra, una ficción
y el mayor bien es pequeño;
que toda la vida es sueño,
y los sueños, sueños son.
Pedro Calderón de la Barca
Agradecimientos
En primer lugar quiero agradecer a mis padres, María Eugenia y Javier, por su apoyo no
sólo en el periodo que estuve en la facultad, sino durante toda mi vida; a mi padre por sus
incontables consejos, llamadas de atención y sobre todo la guía que me dio para poder encontrar
lo que me gusta hacer; a mi madre por su apoyo y respaldo en diversas situaciones que también
me ayudaron a distinguir la mejor opción. Sin su incondicional apoyo nada de esto hubiera sido
posible.
A mi familia, por todo el apoyo brindado desde siempre.
Al Dr. Efraín Chávez por hacerme ver que la física nuclear es a lo que me quiero dedicar y,
a su vez, enviarme con la grandísima persona que es mi asesor, Dr. Favela.
Al grupo de trabajo al que llegué, Pedro, Victoria, Arcadio.
Al Dr. Favela, Frank, por su infinita paciencia y por enseñarme muchísimas cosas.
A mis sinodales por aceptar revisar éste trabajo.
A Hiroki, Erick, Alejandra y Alejandro por su incondicional amistad en momentos increíbles
así como en los malos momentos.
A mis amigos de la carrera, Gabriela, Homero, Jorge, Laura, Esteban, Yurbix.
A mis amigos de la preparatoria Gio, Álvaro y Mauricio.
A la familia Martínez Díaz.
Pero sobre todo, a Jimena. Por ser el apoyo que necesitaba para poder empezar, continuar y
finalizar no sólo este trabajo sino muchas otras proyectos. Por motivarme a ser una mejor per-
sona en muchísimos aspectos y seguir lo que realmente me gusta sin importar que. Hay tantas
cosas que te tengo que agradecer, sin embargo, me llevaría otra tesis completa. Gracias por tu
cariño. Gracias por todo.
vi
Índice general
Índice general vii
Índice de figuras ix
Índice de tablas xv
1. Introducción 1
1.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Teoría 3
2.1. El átomo y sus elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1. Propiedades del Núcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2. Neutrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3. Interacción de Neutrones con la Materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Detectores de Partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1. Detectores de Centelleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. MONDE (MOmentum Neutron DEtector) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.1. Caracterización de MONDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.2. Adquisición de Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Algoritmo 26
3.1. PRADA (Position Reconstruction from Amplitude Detection Algorithm) . . . . . 27
3.2. PRADA RELOADED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
vii
3.2.1. Pétalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2.2. Puntos, Cúmulos y Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.3. Validación de PRADA RELOADED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.4. Implementación de Datos Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.5. Señales en 3 Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4. Resultados 58
4.1. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.1. Pétalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.2. Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.3. Haz Gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2. Datos Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3. Señales en 3 Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5. Conclusiones y Trabajo a Futuro 93
5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2. Trabajo a Futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A. 96
Bibliografía 97
viii
Índice de figuras
2-1. Pastel de Pasas de Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2-2. Dispositivo utilizado por Marsden, Geiger y Rutherford [Olmo and Nave, 2014] . 4
2-3. Imagen con algunas de las reacciones probables de los neutrones con los núcleos
atómicos [Hamilton, 2006] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2-4. Proceso de fisión nuclear inducida por neutrones, donde se generan algunos pro-
ductos de fisión de Z menor al núcleo original, así como neutrones . . . . . . . . . 12
2-5. Esquema de detector un de centelleo, el cual consiste en un tubo fotomultiplicador
y una placa centelladora. Se muestra el funcionamiento a grandes rasgos. [Henley
and García, 2007] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2-6. Fotografía del detector de neutrones MONDE construido en el Instituto de Física 20
2-7. Representación de MONDE utilizada en PRADA Reloaded . . . . . . . . . . . . . 20
2-8. Esquema de los instrumentos electrónicos utilizados y funcionamiento para el
procesamiento de señales. [Santa Rita Alcibia, 2016] . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3-1. Esquema de las figuras geométricas generadas para cada fotomultiplicador me-
diante la primera versión del algoritmo PRADA usando la ecuación 3-4 y haciendo
1
Si
= 1, para el punto (79,35) [Ramos Sánchez, 2015] . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3-2. Esquema de la matriz generada para un fotomultiplicador [Ramos Sánchez, 2015] 30
3-3. Esquema de las intersecciones de lasfiguras generadas con la ecuación 3-4 y la
asociación que existe entre éstas y la matriz suma. [Ramos Sánchez, 2015] . . . . 31
3-4. Pétalo generado mediante la ecuación 3-9 para el fotomultiplicador 1 . . . . . . . 36
ix
3-5. Poligono del pétalo obtenido para el fotomultiplicador 1 . . . . . . . . . . . . . . 37
3-6. Imagen obtenida con 105 puntos aleatorios dentro de MONDE. . . . . . . . . . . 41
3-7. Imagen obtenida utilizando 104 puntos aleatorios en MONDE, mostrando los
puntos para los cuales el fotomultiplicador 1 obtiene la intensidad de señal y
considerando sólo éste encendido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3-8. Puntos en donde el detector 1 obtiene la máxima señal, utilizando 105 puntos en
MONDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3-9. Puntos en donde el detector 1 obtiene la máxima señal, utilizando 106 puntos en
MONDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3-10. Puntos en donde el detector 5 obtiene la máxima señal, utilizando 104 puntos en
MONDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3-11.MONDE con 106 de puntos sobre la placa donde cada color corresponde a la
región en que cada fotomultiplicador recibe la máxima señal. . . . . . . . . . . . . 45
3-12. Puntos en donde el detector 1 obtiene la máxima señal, considerando 2 detectores
y con 106 de puntos en MONDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3-13.MONDE con 106 de puntos sobre la placa donde cada color corresponde a la
región en que cada fotomultiplicador recibe la máxima señal, tomando en cuenta
2 detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3-14. Puntos para las regiones de los 16 fotomultiplicadores, considerando 4 detectores
y 106 de puntos en MONDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3-15. Puntos para las regiones de los 16 fotomultiplicadores, considerando 8 detectores
y 106 de puntos en MONDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3-16. Puntos para las regiones de los 16 fotomultiplicadores, considerando los 16 detec-
tores y 106 de puntos en MONDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3-17. Representación de un polígono generado para el fotomultiplicador 5 y 104 puntos.
α = 0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3-18. Representación de un polígono generado para el fotomultiplicador 5 y 104 puntos.
α = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
x
3-19. Representación de un polígono generado para el fotomultiplicador 5 y 104 puntos.
α = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3-20. Representación de un polígono generado para el fotomultiplicador 5 y 104 puntos.
α = 0.01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3-21. Teselación obtenida con los polígonos generados con 106 de puntos y considerando
sólo 1 detector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3-22. Captura de pantalla de la Terminal en donde se corrió el programa PRADAHeat-
map.py. El primer argumento corresponde al lenguaje de programación que se
utilizó python; seguido del programa que se quiere correr PRADAHeatmap.py ;
posteriormente se escribe el archivo que contiene los datos experimentales gauss-
Test.pkl ; después se escribe la lista de diccionarios con los polígonos polMiniLex-
ListParallel1MNEcSpecialAlpha1 ; y finalmente se escribe el orden de interés para
el mapeo con las teseleaciones 6 y el umbral para discriminar datos considerados
ruido 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4-1. Intersección de los pétalos obtenidos para los fotomultiplicadores 1, 6 y 12. . . . . 59
4-2. Intersección de los pétalos obtenidos para los fotomultiplicadores 1, 4, 5, 6, 9, 12,
13 y 14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4-3. Intersección de los pétalos obtenidos para todos los fotomultiplicadores. . . . . . 60
4-4. Intersección de los pétalos obtenidos para todos los fotomultiplicadores con un
valor γ = 1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4-5. Intersección de los pétalos obtenidos para los fotomultiplicadores 1, 4, 5, 6, 9, 12,
13 y 14 con un valor γ = 1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4-6. Intersección de los pétalos para los fotomultiplicadores 1 y 9, con un valor γ = 1.3. 63
4-7. Intersección de los pétalos para los fotomultiplicadores 1, 3, 5, 6, 7, 8 y 9, con un
valor γ = 1.3, para el punto (20,65). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4-8. Intersección de los pétalos para los fotomultiplicadores 10, 12, 14 y 15, con un
valor γ = 1.3, para el punto (137,51). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
xi
4-9. Intersección de los pétalos para los fotomultiplicadores 1, 8, 10, 12, 13, 14, 15 y
16, con un valor γ = 1.3, para el punto (96,8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4-10. Intersección de los pétalos para todos los fotomultiplicadores, con un valor γ =
1.3, para el punto (8,19). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4-11. Acercamiento de la figura 4-10 a la región de intersección de los pétalos de dicha
figura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4-12. Teselación obtenida con los polígonos generados con 106 de puntos y considerando
sólo 1 detector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4-13. Teselación obtenida con los polígonos generados con 106 de puntos y considerando
2 detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4-14. Teselación obtenida con los polígonos generados con 106 de puntos y considerando
3 detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4-15. Teselación obtenida con los polígonos generados con 106 de puntos y considerando
4 detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4-16. Teselación obtenida con los polígonos generados con 106 de puntos y considerando
6 detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4-17. Teselación obtenida con los polígonos generados con 106 de puntos y considerando
8 detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4-18. Teselación obtenida con los polígonos generados con 106 de puntos y considerando
los 16 detectores de MONDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4-19. Orden de combinaciones vs número de polígonos generados. . . . . . . . . . . . . 73
4-20. Orden de combinaciones vs número de regiones obtenidas. . . . . . . . . . . . . . 74
4-21. Histograma del número de polígonos que tienen distintos valores de área conside-
rando 2 detectores (orden=2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4-22. Histograma del número de polígonos que tienen distintos valores de área conside-
rando 4 detectores (orden=4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4-23. Histograma del número de polígonos que tienen distintos valores de área conside-
rando 6 detectores (orden=6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
xii
4-24. Orden de combinaciones vs la máxima área posible de los polígonos. . . . . . . . 78
4-25. Orden de combinaciones vs la mínima área posible de los polígonos. . . . . . . . . 79
4-26. Heatmap de la región calculada para sólo un punto considerando 1 detector. . . . 80
4-27. Heatmap de la región calculada para sólo un punto considerando 4 detectores. . . 81
4-28. Heatmapde la región calculada para el archivo "gaussTest.txt” considerando sólo
un detector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4-29. Heatmap de la región calculada para el archivo "gaussTest.txt” considerando 2
detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4-30. Heatmap de la región calculada para el archivo "gaussTest.txt” considerando 3
detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4-31. Heatmap de la región calculada para el archivo "gaussTest.txt” considerando 4
detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4-32. Heatmap de la región calculada para el archivo "gaussTest.txt” considerando 5
detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4-33. Heatmap de la región calculada para el archivo "gaussTest.txt” considerando 6
detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4-34. Heatmap de la región calculada para el archivo con 1500 puntos y un valor σ = 15
considerando 1 detector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4-35. Heatmap de la región calculada para el archivo con 1500 puntos y un valor σ = 15
considerando 4 detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4-36. Heatmap de la región calculada para el archivo con 1500 puntos y un valor σ = 15
considerando 6 detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4-37. Heatmap de la región calculada para el archivo "fuente15.txt”, threshold=0, con-
siderando 1 detector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4-38. Heatmap de la región calculada para el archivo "fuente15.txt”, threshold=30,
considerando 1 detector. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4-39. Teselación de polígonos con la cual se realizó el heatmap de la figura 4-38 . . . . 88
xiii
4-40. Heatmap de la región calculada para el archivo "fuente15.txt”, threshold=30,
considerando 2 detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4-41. Teselación de polígonos con la cual se realizó el heatmap de la figura 4-40 . . . . 90
4-42. Heatmap de la región calculada para el archivo "fuente15.txt”, threshold=30,
considerando 3 detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4-43. Teselación de polígonos con la cual se realizó el heatmap de la figura 4-42 . . . . 91
A-1. Código QR con la liga para PRADA Relodaded. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
xiv
Índice de tablas
2-1. Algunas propiedades de carga y masa de las partículas que componen al átomo
[Serway et al., 2005] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2-2. Energías correspondientes a los neutrones y las reacciones más probables que
pueden suceder [Hamilton, 2006] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4-1. Valores de α dependiendo del tubo fotomultiplicador . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4-2. Número de polígonos y regiones de acuerdo a cada orden de combinaciones de
detectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4-3. Áreas máximas y mínimas en función del orden de combinaciones . . . . . . . . . 78
4-4. Número de weird points obtenidos en función de N puntos aleatorios. . . . . . . . 92
xv
Desarrollo de una nueva versión del algoritmo PRADA (Position
Reconstruction from Amplitude Detection Algorithm) para la
implementación de datos reales
por
José Gustavo Vega Romero
Resumen
Este trabajo se presenta como una alternativa al cálculo de la región en la que ocurre la
interacción entre un neutrón y la placa centelladora del detector MONDE (MOmentum Neu-
tron DEtector) mediante el uso del algoritmo PRADA (Position Reconstruction from Amplitude
Detection Algorithm) [Ramos Sánchez, 2015].
En el capítulo 1 se presentan las motivaciones que llevaron al desarrollo de este trabajo.
En el capítulo 2 se ofrece un breve repaso histórico acerca de las propiedades de la materia a
niveles atómicos, así como las interacciones que ocurren con los neutrones; ya que éstas son las
partículas de interés para este trabajo. Posteriormente, se aborda el tema de los detectores de
partículas que se requieren dependiendo del tipo de partículas que se quiera estudiar. Particu-
larmente se detallan los distintos tipos de detectores de centelleo que existen, en virtud de que
el detector MONDE es un detector que hace uso de éste tipo de materiales. A continuación se
describe el funcionamiento de MONDE así como sus componentes y el procedimiento para poder
obtener los datos relacionados con la amplitud de la señal de los tubos fotomultiplicadores de
MONDE.
En el capítulo 3, primeramente se da una breve descripción de la primera versión del algoritmo
PRADA desarrollada por Antonio Ramos. Esta descripción busca dar las motivaciones y limi-
tantes que se tienen para hacer la segunda versión del algoritmo, a saber, PRADA Reloaded. En
seguida, se realiza una explicación formal del desarrollo del conjunto de algoritmos de PRADA
Reloaded, así como explicar las funciones de dichos programas, con el objetivo de, finalmente,
poder aplicarlos para la implementación de datos experimentales. Por otro lado, también se
muestran en las últimas dos secciones, el uso de un haz gaussiano que simula una sonda neu-
tronica con distribución gaussiana de neutrones para corroborar el funcionamiento correcto de
PRADA Reloaded, así como la fórmula utilizada si se consideran las 3 coordenadas espaciales
(x, y, z)
A continuación, en el capítulo 4, se muestran los resultados obtenidos con el conjunto de al-
goritmos. En primer lugar se muestran las imágenes obtenidas con las dos primeras partes de
PRADA Reloaded. Las imágenes obtenidas (teselaciones), en la sección de Puntos, Cúmulos y
Polígonos, son las que se utilizaron para la implementación de datos reales. Más adelante se
obtuvieron imágenes en las cuales se utilizaron datos reales que fueron implementados con las
teselaciones obtenidas en la sección anterior; a estas imágenes se les dio el nombre de heatmap ya
que a la región calculada donde ocurrió la interacción, se le dio un color diferente al resto de las
regiones; asimismo, se muestran los heatmaps obtenidos al utilizar un haz gaussiano simulado.
xvi
En la última sección de este capítulo se muestran los resultados obtenidos considerando una
señal calculada para 3 dimensiones.
Finalmente, en el capítulo 5 se muestran las conclusiones que se obtuvieron con la realización
de este trabajo, así como el trabajo a futuro.
xvii
Capítulo 1
Introducción
1.1. Antecedentes
El estudio de reacciones nucleares es de gran importancia no sólo en el ámbito científico, por
ejemplo para estudios de astrofísica nuclear, nucleosíntesis, el estudio mismo de las reacciones
entre elementos radioactivos y no radioactivos y su interacción con la materia, entre otras, sino
su importancia se extiende a distintas áreas como lo son la seguridad radiológica, aplicaciones
en la rama de física médica, e incluso para el estudio de obras de arte u objetos históricos.
Es de particular interés el estudio de la dispersión de partículas debido a que ésta puede pro-
porcionar información importante para el desarrollo de la física nuclear y sus aplicaciones. Así
como tener las herramientas necesarias para poder estudiar dicha dispersión.
En particular, la realización de este proyecto surgió por la necesidad de mejorar un algoritmo
capaz de determinar la posición en la que ocurre un evento, entendiendo “evento” como la in-
teracción entre un neutrón y una placa centelladora correspondiente al detector de neutrones
MONDE (MOmentum Neutron DEtector) desarrollado por el grupo de física nuclear del Insti-
tuto de Física de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), dirigídopor el Dr.
Efraín Rafael Chávez Lomelí.
Originalmente se desarrolló una primera versión del algoritmo PRADA en Fortran 90 por An-
tonio Tonatiúh Ramos Sánchez [Ramos Sánchez, 2015], el cual determina una región en la cual
1
ocurre un evento basado en una fórmula semi-empírica y es comparado con el algoritmo ANGER,
el cual determina la posición de un evento usando una ecuación análoga a la usada para obtener
el centro de masa con la diferencia de, en lugar de usar masa, usa señales obtenidas [Zhang
et al., 2007]. Sin embargo, PRADA contaba con algunas dificultades y aún se podía trabajar un
poco más en él.
El algoritmo desarrollado en este trabajo es capaz, con mayor facilidad a comparación de la
primera versión, de determinar la región en la que ocurre un evento para el detector de neu-
trones MONDE usando la fórmula semi-empírica desarrollada por el grupo de física nuclear de
la UNAM [Chávez et al., 2009a], mediante un conjunto de funciones nuevas y necesarias para
la aplicación correcta del algoritmo a la práctica real. Actualmente se continúa trabajando con
el algoritmo para, en una futura versión, poder determinar un punto (x,y) en el que ocurre un
evento.
El desarrollo del algoritmo se discute en los capítulos subsecuentes.
2
Capítulo 2
Teoría
2.1. El átomo y sus elementos
Previo al desarrollo de una teoría que explicara la estructura de la materia a nivel atómi-
co, así como sus características, la concepción que se tenía de la materia era que ésta estaba
compuesta de una estructura microscópica definida, a pesar de que ésta era aparentemente con-
tinua para los sentidos. A finales del siglo XIX, la mayoría de los científicos aceptaban que los
elementos químicos estaban constituidos por pequeñas partículas (átomos), pese a que no se
conocieran sus propiedades.
En 1898, el físico británico J. J. Thomson propuso un
modelo en el cual se simulaba a un "pastel de pasas”, figura
2-1, según el cual los electrones estaban localizados en una
distribución de carga positiva de forma esférica de radio
cuya magnitud es r = 10−10 m (radio conocido para el
átomo).
Figura 2-1: Pastel de Pasas de
Thomson
Hacia el año 1910, existía evidencia experimental (p.ej., dispersión de Rayos X [Haug and
3
Nakel, 2004] y efecto fotoeléctrico [Einstein, 1905]) que demostraba que los átomos contenían
partículas con carga negativa. Dichos experimentos proporcionaron una estimación del número
de partículas con carga negativa en un átomo. Aunado a esto, se sabía que el átomo es eléctri-
camente neutro, por lo que tenían que existir el mismo número de cargas positivas y negativas.
Una vez hecha esta suposición, era de interés conocer la configuración de la distribución de las
cargas tanto positivas como negativas. [Eisberg, 2012]
En 1911, Hans Geiger y Ernst Marsden, a sugerencia de Ernest Rutherford, construyeron
un dispositivo para conocer la configuración interna del átomo, la cual consistía en enviar par-
tículas alfa (núcleos de Helio), a través de una laminilla de oro y colimadas mediante una placa
de plomo, y observar el ángulo al que se dispersaban y colisionaban con una placa de sulfuro de
zinc, de la cual se emite un pequeño destello de luz cuando interacciona con una partícula alfa,
como se muestra en la figura 2-2. [Beiser, 1965]
Figura 2-2: Dispositivo utilizado por Marsden, Geiger y Rutherford [Olmo and Nave, 2014]
A diferencia de lo que se esperaba de acuerdo al modelo de Thomson y a pesar de que la
mayoría de las partículas fueron dispersadas a ángulos relativamente pequeños (unos cuantos
grados), se encontró que hubo partículas dispersadas a ángulos grandes e, incluso dispersadas
en el sentido opuesto al sentido original del haz de partículas alfa. A su vez, con trabajos pos-
teriores de Geiger y Marsden, se encontró que la magnitud de la deflexión estaba en función de
4
la magnitud de la carga eléctrica nuclear.
Con estos resultados, Rutherford explicó que la estructura atómica debía estar conformada por
toda la carga positiva en el centro del átomo (núcleo), consecuentemente la mayoría de su ma-
sa, rodeada por cargas negativas; siendo una gran parte del átomo, espacio vacío. En palabras
de Rutherford: "fue el evento más increíble que me haya pasado en mi vida. Fue tan increíble
como el que usted lanzara una bala de 15 pulgadas a un papel sanitario y ésta regresara y lo
golpeara” [Eisberg, 2012].
De esta manera, el modelo atómico de Rutherford es consistente con las leyes de la física New-
toniana. No obstante, la validez del modelo se pone en duda debido a la teoría electromagnética
y la estabilidad del átomo. Por ejemplo, de acuerdo al electromagnetismo, cuando una partícula
con carga eléctrica es acelerada, ésta radiará energía en forma de ondas electromagnéticas. La
partícula acelerada irá perdiendo energía cinética a expensas de la radiación electromagnética
emitida. En el caso del átomo, los electrones en una órbita son acelerados debido a que no existe
un arreglo estable de electrones estacionarios, y por lo tanto perderían energía cinética hasta
colapsar en espiral hacia el núcleo del átomo. Sin embargo, los átomos son estables.
Es importante señalar que el espectro electromagnético de los elementos continuaba siendo un
misterio, ya que el espectro observado era discreto. Otra evidencia más de que el modelo de la
constitución del átomo tenía que ser replanteada.
Fue en el año 1911 que Niels Bohr propuso un exitoso modelo atómico, el cual predecía correcta-
mente el espectro de radiación emitido por ciertos átomos. La teoría de Bohr para la descripción
del átomo se basa en los siguientes postulados:
1. Un electrón en un átomo se mueve en una órbita circular alrededor del núcleo bajo la
influencia de la fuerza de Coulomb entre el electrón y el núcleo, sujetos a las leyes de la
mecánica clásica
2. En lugar de una infinidad de órbitas que serían posibles en la mecánica clásica, para un
electrón sólo es posible moverse en una órbita para la cual su momento angular orbital es
5
un múltiplo entero de }
3. A pesar de que el electrón se acelera constantemente cuando se mueve en una de estas órbi-
tas permitidas, no radia energía electromagnética. Entonces, su energía total E permanece
constante
4. Se emite radiación electromagnética si un electrón, que inicialmente se mueve en una
órbita de energía total Ei, cambia su movimiento de manera discontinua para moverse
en una órbita de energía total Ef , la frecuencia de la radiación emitida ν es igual a la
cantidad (Ef − Ei) dividida entre la constante de Planck h
Es importante señalar de los postulados lo siguiente:
· El primer postulado propone las órbitas circulares con base en el modelo atómico que
postula un núcleo atómico con cargas negativas a un cierto radio de dicho núcleo.
· El segundo postulado exige la cuantización del momento angular.
· El tercer postulado prohíbe que los electrones radien al girar alrededor del núcleo, anu-
lando la teoría clásica para el electrón orbitando el núcleo y resolviendo el problema de la
estabilidad del núcleo. [Eisberg, 2012]
Con estos postulados, así como con la hipótesis de Louis de Broglie de que a las partícu-
las se les puede asociar una cierta longitud de onda, el principio de incertidumbre de Werner
Heisenberg y la ecuación de Erwin Schrödinger, cimentaron las bases de una de las mayores
revoluciones científicas como lo fue el desarrollo de la mecánica cuántica, para el estudio del
universo microscópico.
Sin embargo, el conocimiento de las propiedades del núcleo estaba limitado a saber que debía
contar con el mismo número de cargas positivas que el número de electrones. Fue hasta el año
1932 que James Chadwick, en la revista Nature, propuso la existencia de una partícula neutra
para poder explicar anomalías en experimentos realizados por Bothe, Irène Joliot-Curie y Jean
6
Frèdèric Joliot-Curie acerca de la radiación emitida por el berilio cuando le inciden partículas
α [Chadwick, 1932].
Adicionalmente,los experimentos mencionados a continuación fueron fundamentales para el
desarrollo de la física nuclear:
· En 1933, el descubrimiento de radiactividad artificial por Irène Curie y su esposo.
· En 1938, el descubrimiento de la fisión nuclear por Lise Meitner, Otto Hahn, Friedrich
Wilhelm Straßman.
· En 1942, el desarrollo del primer reactor nuclear para experimentos de fisión controlada
por Fermi y su grupo
entre otros descubrimientos [Serway et al., 2005].
2.1.1. Propiedades del Núcleo
Todos los núcleos de los elementos se componen de protones y neutrones, a excepción del
átomo de hidrógeno 1H, que sólo está compuesto de un protón y un electrón. Los demás elementos
cuentan con un número A de nucleones (partículas que componen al núcleo). La ecuación que
describe la composición de los nucleones está dada por la ecuación 2-1.
A = Z +N (2-1)
donde:
A=número de nucleones.
Z=número de protones=número atómico del elemento.
N=número de neutrones.
Sea X algún elemento de la tabla periódica, la convención utilizada para saber cuantos
protones y nucleones tiene dicho elemento X es AZX. Es importante señalar que los elementos, a
pesar de tener un número fijo de protones, el número de neutrones varía dependiendo del isótopo
7
del elemento. Un isótopo de algún elemento es un átomo que pertenece al mismo elemento pero
tiene diferente número de neutrones. Es decir, para un número Z de protones de un elemento
X, existen diferentes números N de neutrones para el mismo elemento X.
En la siguiente tabla 2-1, se muestran algunas propiedades de los nucleones:
Partícula Carga MasaC kg u MeV/c2
electrón −1.602× 10−19 9.109× 10−31 5.486× 10−4 0.510
protón 1.602× 10−19 1.673× 10−27 1.007 938.272
neutrón 0 1.675× 10−27 1.009 939.565
Tabla 2-1: Algunas propiedades de carga y masa de las partículas que componen al átomo [Serway
et al., 2005]
Es importante señalar que la unidad u (unidad de masa atómica), tabla 2-1, se define de tal
manera que la masa del isótopo de 12C sea igual a 12 u.
La fuerza que mantiene unidos a los nucleones es la fuerza nuclear entre ellos. Esta fuerza
de corto alcance supera a la fuerza de Coulomb a distancias de fermis (1fm = 1× 10−15m) y es
independiente de la carga eléctrica. La estabilidad del átomo va en función de si es un núcleo
ligero o pesado. Los núcleos ligeros son más estables cuando Z=N, los núcleos pesados son más
estables cuando N>Z. A su vez, si el núcleo tiene un número par de neutrones y protones es
más estable. Adicionalmente, un núcleo con gran estabilidad tiene un número de neutrones o
protones igual a algún número mágico, siendo estos 2, 8, 20, 28, 50 y 126.
2.1.2. Neutrones
Los neutrones son partículas subatómicas, componentes del núcleo atómico de carga neta
nula y masa parecida a la del protón como se muestra en la tabla 2-1. Los neutrones son
bariones que están compuestos de tres quarks, un quark up y dos quarks down y de espín 12 .
Tienen una distribución de masa en un radio aproximado de 0.8 fm. y una vida media de 886.7
segundos. [Cottingham and Greenwood, 2001].
8
Fuentes de Neutrones
Los neutrones se pueden obtener de diferentes tipos de reacciones nucleares.
Entre las reacciones nucleares más comunes para la obtención de neutrones están:
· 3H+2H→4He + n
· 7Li+p→7Be + n
· 2H+γ →p + n
Asismismo, se utilizan reacciones nucleares con 9Be y partículas α para la producción de
neutrones, aprovechando distintos elementos radioactivos como 226Ra, 241Am, 210Po y 239Pu,
que decaen mediante emisión de partículas α. Estas reacciones de berilio con partículas alfa
también tienen como producto de reacción al 12C.
2.1.3. Interacción de Neutrones con la Materia
Los neutrones, al ser partículas neutras, sólo interacciona con los núcleos y los campos
magnéticos a nivel atómico debido al momento magnético que poseen. [Rickards et al., 2001]. En
la figura 2-3 se muestran esquemáticamente algunas de las posibles interacciones entre neutrones
y núcleos atómicos.
El momento magnético nuclear está asociado al momento angular nuclear el cual es el momento
angular de los nucleones, incluyendo el momento orbital y de espín de cada nucleón; que a su vez,
está expresado en términos del magnetón nuclear, el cual corresponde al momento magnético
de espín µn definida como
µn ≡
e}
2mp
= 5.05× 10−27 J
T
(2-2)
donde mp es la masa del protón.
Es importante señalar que el neutrón tiene un momento magnético de −1.9135µn, lo cual evi-
dencía que cuenta con una distribución de cargas, siendo nula la carga neta del neutrón. El signo
negativo es debido a que el momento magnético va en sentido opuesto al sentido del momento
9
angular de espín del neutrón. [Serway et al., 2005].
En la tabla 2-2 se muestran las distintas interacciones que pueden ocurrir dependiendo de la
energía de los neutrones.
Energía de Neutrones Interacción
Frío < 1 meV Difracción
Térmicos < 0.5 eV Dispersión Elástica
Epitérmicos 0.5 eV - 50 keV Reacciones Nucleares:
Captura radioactiva (n, γ) (n, p) o (n, α)
Fisión nuclear (n,fisión)
Dispersión Inelástica (n, n′)
Rápidos > 50keV
Energía Media > 1 MeV
Energía Alta > 10MeV
Tabla 2-2: Energías correspondientes a los neutrones y las reacciones más probables que pueden
suceder [Hamilton, 2006]
Debido a esta interacción predominante de los neutrones con los núcleos y el hecho que la
fuerza nuclear sea de corto alcance, hace que la sección de dispersión sea sumamente pequeña y,
consecuentemente, el camino libre medio es relativamente grande, del orden de centímetros. A
su vez, la sección eficaz, cuya unidad es el barn (1b = 10−28m2), es una medida de la probabili-
dad de que la reacción nuclear ocurra. Si las secciones eficaces son microscópicas, entonces éstas
definen la probabilidad de interacción entre un neutrón y una partícula individual o un núcleo
atómico; a diferencia de secciones eficaces macroscópicas las cuales definen la probabilidad de
interacción entre neutrones y algún material como el concreto. En general, las secciones eficaces
aumentan a medida que la energía de las partículas incidentes disminuye.
Dispersión
La dispersión de neutrones se puede dar de manera elástica o inelástica; el análisis de éstas se
da de manera análoga a la que se tiene con las colisiones elásticas e inelásticas, respectivamente.
El análisis de la dispersión elástica, YA(n,n)YA donde YA es un núcleo atómico con A nucleones,
es importante para el estudio de la moderación de neutrones, es decir, ir disminuyendo la energía
de los neutrones conforme a las colisiones que vayan ocurriendo hasta llegar al valor correspon-
10
Figura 2-3: Imagen con algunas de las reacciones probables de los neutrones con los núcleos
atómicos [Hamilton, 2006]
diente a los neutrones térmicos, 0.025 eV. El número de colisiones necesarias para termalizar
neutrones depende del número A de nucleones.
En el caso de la dispersión inelástica YA(n, ndisp)YAdisp, cuando un neutrón se dispersa inelás-
ticamente, se generan radiaciones secundarias como partículas α, fotones, protones, entre otros.
La notación ndisp y YAdisp se refiere al hecho de que en este tipo de dispersión el mismo neutrón
que incide sobre el núcleo, generalmente pierde fracciones de su energía inicial, cediéndola al
núcleo e induciendo un estado nuclear excitado.
Fisión
La fisión nuclear inducida por neutrones ocurre cuando un neutrón choca contra un núcleo
atómico pesado y se generan dos o más núcleos mas ligeros (productos de fisión) y neutrones,
como se muestra en la figura 2-4, o fotones; la masa total de los productos de fisión es menor que
la del núcleo original. A su vez, estos neutrones también pueden interaccionar con los núcleos
más ligeros producidos, generando una reacción en cadena. A este proceso se le asocia una gran
liberación de energía debido a que estos productos de fisión se encuentran más fuertemente
ligados que el núcleo original.
Este proceso fue observado por primera vez en 1938 por Otto Hahn, Fritz Straßman, Otto Frisch
y LiseMeitner, bombardeando 235U con neutrones térmicos. [Serway et al., 2005].
11
La fisión nuclear del 235U mediante neutrones térmicos se puede representar por:
1
0n+
235
92 U −→23692 U∗ −→ X + Y + neutrones
donde 23692 U∗ es un estado excitado intermedio con duración aproximada de 10−12 segundos.
Los elementos más usados para la fisión nuclear son el plutonio, el uranio y el torio.
Figura 2-4: Proceso de fisión nuclear inducida por neutrones, donde se generan algunos productos
de fisión de Z menor al núcleo original, así como neutrones
Captura Radiativa
En la captura radiativa los neutrones son absorbidos y, como consecuencia, se emite radiación
de diversos tipos, γ, α o protones. El proceso de captura radiativa se puede describir mediante:
1
0n+
A
Z X −→A+1Z X + γ
En este proceso, el núcleo final usualmente es radioactivo y puede decaer mediante emisión α
o β; además el núcleo X, cuando es impactado por el neutrón, pasa a un estado excitado antes
de decaer, mediante decaimiento γ, al núcleo final. Cabe destacar que este proceso depende
fuertemente de la energía del neutrón incidente, así como de la naturaleza del núcleo que recibe
los proyectiles.
Entre los elementos más comunes para este tipo de interacción se encuentran el boro, el cadmio
12
y el gadolinio.
Difracción
La difracción ocurre debido a la relación que existe entre ondas y partículas propuesta por
Louis de Broglie, dada por la ecuación 2-3
λ =
h
p
(2-3)
donde p es el momento de la partícula.
2.2. Detectores de Partículas
Los detectores de partículas, como su nombre lo indica, son dispositivos que ayudan a perci-
bir algún tipo de radiación que generalmente es invisible a los sentidos. No sólo funcionan para
detectar radiación sino para clasificar y, más aún, cuantificar la radiación existente.
Actualmente existen diversos tipos de detectores para los distintos tipos de radiación y, depen-
diendo de lo que se requiera, se buscará el detector más adecuado para realizar cierta función.
Entre los más comunes se encuentran los detectores gaseosos, de centelleo, semiconductores, cá-
mara de burbujas, entre otros. Así como existen diversos tipos de detectores, éstos tienen ciertas
características que los distinguen entre ellos como el tiempo muerto, la eficiencia y el tipo de
radiación a la que son sensibles.
Los detectores funcionan bajo el principio de la transferencia de energía de algún tipo de radia-
ción hacía el detector y éste genera una señal perceptible que se puede cuantificar. Por ejemplo,
las partículas cargadas chocan directamente con los electrones del detector, ionizando o exci-
tando a los átomos del detector, a diferencia de las partículas neutras, las cuales primero tienen
que chocar con algo dentro del detector y ese algo es el que genera la ionización o excitación de
los átomos del detector. [Leo, 1990]
13
Dado que el detector de interés es del tipo centellador, sólo se discutirán sus características.
Para mayor información consulte [Leo, 1990].
2.2.1. Detectores de Centelleo
Los detectores de centelleo funcionan bajo el principio de que algunos materiales emiten un
destello de luz o centelleo cuando una partícula interacciona con dicho material y, posteriormen-
te, este destello de luz es convertido en un pulso eléctrico mediante un tubo fotomultiplicador,
véase la figura 2-5.
Este tipo de detectores consisten en un material centellador acoplado ópticamente, ya sea me-
diante una guía de luz o directamente, a un tubo fotomultiplicador en donde la luz proveniente
de la placa centelladora se convierte en una corriente de fotoelectrones (electrones generados por
el cátodo mediante el efecto fotoeléctrico) la cual es posteriormente amplificada por un sistema
multiplicador de electrones. La señal generada es analizada por el equipo electrónico con el que
se cuente.
Figura 2-5: Esquema de detector un de centelleo, el cual consiste en un tubo fotomultiplicador
y una placa centelladora. Se muestra el funcionamiento a grandes rasgos. [Henley and García,
2007]
14
La popularidad del uso de los detectores de centelleo se debe, entre otras características al
mínimo tiempo que requieren para la respuesta y recuperación, es decir, un lapso pequeño de
tiempo muerto; así como el hecho de que la energía del destello generado por a placa centella-
dora es directamente proporcional a la energía con la que interaccionen la placa y la radiación a
estudiar; para ciertos centelladores es posible distinguir el tipo de partícula incidente estudiando
la forma del pulso generado.
A pesar de los distintos materiales centelladores, todos cumplen la propiedad de luminis-
cencia, es decir, la absorción de cierto tipo de energía (luz, calor, radiación) para después re-
emitirla en forma de un destello de luz. La luminiscencia se divide en dos tipos: fluorescencia,
si la re-emisión de luz ocurre en un tiempo menor que 10−8 segundos (tiempo de las transicio-
nes atómicas) y fosforescencia en caso de que la re-emisión ocurra después de este tiempo. La
propiedad de fluorescencia o fosforescencia depende completamente del material centellador.
Actualmente existen diferentes tipos de materiales centelladores:
Orgánicos
Cristales inorgánicos
Gaseosos
Vidrio
Centelladores Orgánicos
Los centelladores orgánicos son compuestos de hidrocarburos aromáticos con estructuras de
anillos de benceno (C6H6). La luz emitida por estos compuestos es mediante las transiciones de
nivel de los electrones libres de valencia en las moléculas. Estos electrones no están asociados
con ningún átomo en particular y ocupan las órbitas π moleculares. [Leo, 1990] 1
El tiempo de decaimiento entre niveles es del orden de unos cuantos nanosegundos, siendo este
1Una órbita π molecular se refiere al traslape de los orbitales atómicos p, para el cual su plano de simetría se
encuentra en el plano nodal de las órbitas p. [Serway et al., 2005]
15
tiempo una de las principales características de este tipo de detectores.
Existen tres clasificaciones de centelladores orgánicos:
Cristales
Líquidos
Plásticos
Los cristales orgánicos centelladores más comunes son el antraceno (C14H10), estilbeno
(C14H12) y naftalina (C14H8). Las ventajas de este tipo de centelladores es que son muy dura-
bles debido a su dureza. Sin embargo, la naftalina y el estilbeno son difíciles de moldear a cierta
forma, por lo que han caído en desuso. Por otro lado, el antraceno genera el destello más intenso
de todos los centelladores orgánicos.
Es importante señalar que la amplitud del destello generado por los cristales orgánicos depende
de la orientación del cristal, por lo que se puede llegar a tener una respuesta anisotrópica del
cristal si la fuente de radiación no está colimada.
Los materiales centelladores compuestos de líquidos orgánicos son soluciones de centellado-
res orgánicos disueltos en solventes también orgánicos. El proceso de emisión del destello es el
mismo que el de los cristales orgánicos, no obstante el proceso de absorción de energía incidente
es diferente ya que es el solvente el que la absorbe para posteriormente ser transferida al soluto
(centellador orgánico).
Los compuestos centelladores más comunes utilizados como soluto son C18H14, C20H14N2O,
C15H11NO y C24H16N2O2; entre los solventes más utilizados se encuentran el xileno, el tolueno,
el benceno, el fenilciclohexano, el trietilbenceno y la decalina. Generalmente las combinaciones
para formar las soluciones orgánicas centelladoras es de 3 g de soluto por cada litro de solvente.
Cabe destacar que este tipo de centelladores es muy sensible a las impurezas que pudiese tener
el solvente. Aunque, por otro lado, con estos materiales se pueden obtener distintas soluciones
16
para así aumentar la eficiencia del líquido centellador.
Los plásticos orgánicos probablemente son el tipo de centelladores orgánicos más usado.
Así como los líquidos centelladores, los plásticos centelladores son soluciones de centelladores
orgánicos pero con unsolvente plástico sólido. Entre los plásticos utilizados más comúnmente
se encuentran el poliviniltolueno, el polifenilbenceno y el poliestireno.
Una de las ventajas de este tipo de materiales es la maleabilidad con la que cuentan, ya que se
pueden moldear de distintas formas y volúmenes de acuerdo a las necesidades que se tengan;
otra ventaja es el relativo bajo costo de éstos. [Leo, 1990]
Cristales Inorgánicos
Los cristales inorgánicos son, mayormente, cristales de halogenuros alcalinos que contienen
alguna impureza. Entre los cristales inorgánicos más comunes se encuentran el NaI(Tl) dónde
el talio es la impureza, CsF2, CsI(Tl), CsI(Na) y KI(Tl); algunos cristales no alcalinos son
Bi4Ge3O12, ZnS(Ag), ZnO(Ga) y CdWO4, entre otros.
A diferencia de los centelladores orgánicos, los inorgánicos tienen un tiempo de respuesta del
orden de cientos de nanosegundos. También presentan el fenómeno conocido como higroscopia,
que es la capacidad de absorber humedad, por lo que es necesario aislarlos del ambiente para
evitar este fenómeno. Por otro lado, una de las ventajas es el poder de frenado específico debido
a su alta densidad y número atómico; así como el hecho de que estos centelladores generan los
destellos más intensos a comparación de todos los materiales centelladores. [Leo, 1990]
Gaseosos
Los centelladores gaseosos están constituidos por gases nobles como argón, xenón y helio,
así como por nitrógeno.
Estos centelladores emiten luz mediante la excitación del estado base de los átomos y generando
el destello cuando regresan al estado basal. El tiempo de este proceso es de 1 ns aproximadamen-
te, y la radiación emitida en este proceso generalmente se encuentra en el rango ultravioleta. [Leo,
17
1990]
Vidrio
Este tipo de centelladores son boro-silicatos que generalmente se utilizan para la detección
de neutrones, aunque también son sensibles a la radiación γ y β. Su tiempo de respuesta es
del orden de decenas de nanosegundos y su principal característica es su mayor resistencia,
comparada con la de los centelladores orgánicos e inorgánicos, por lo que se puede utilizar en
condiciones extremas. [Leo, 1990]
18
2.3. MONDE (MOmentum Neutron DEtector)
MONDE (MOmentum Neutron DEtector) es un detector de neutrones desarrollado por el
grupo de física nuclear de la UNAM dirigido por el Dr. Efraín Chávez. La idea de tener un
detector de neutrones con gran cobertura de ángulo sólido llevó al desarrollo de dicho detector;
en el artículo Elastic scattering of neutrons on Pb at forward angles [Chávez et al., 2009b], se
puede observar un esquema en el cual se hacen evidentes las restricciones en cobertura de ángulo
sólido que se pudiesen llegar a tener.
La planeación original de éste detector de neutrones fue desarrollada por Quiela Curiel en su
trabajo de tesis para que posteriormente Pedro Santa Rita culminara el proceso de construc-
ción. [Curiel, 2009,Santa Rita Alcibia, 2016]
MONDE es un arreglo de 16 tubos fotomultiplicadores, modelo 9903B, acoplados a una placa
centelladora orgánica (BC-408) hecha de polivinil tolueno y antraceno2 3, mediante una guía
óptica, como se muestra en la figura 2-6. Las dimensiones de la placa son 160cm×70cm×5cm3.
En la figura 2-7 se muestra el esquema de MONDE utilizado en PRADA Reloaded
La placa centelladora está cubierta con un plástico reflejante para evitar radiación lumínica
visible externa, de igual forma se encuentra montada en un marco de aluminio que sirve para
sostener a los 16 tubos fotomultiplicadores y facilitar la movilidad del detector.
2.3.1. Caracterización de MONDE
En el artículo Characterization of a fast neutron detection system with large angular coverage
a granularity for particle physics studies and applications [Chávez et al., 2009a] se describe la
caracterización de MONDE mediante una fuente de 60Co dónde finalmente realizan la deducción
2Polivinil Tolueno: n[CH2CH(C6H4CH3)]
Antraceno:C14H10
3El antraceno es un hidrocarburo aromático policíclico el cual fluorece en el rango de 400 a 500 nanometros,
debido a los protones de retroceso generados por los neutrones rápidos que interactúen con la placa centelladora
19
Figura 2-6: Fotografía del detector de neutrones MONDE construido en el Instituto de Física
Figura 2-7: Representación de MONDE utilizada en PRADA Reloaded
de una fórmula semi-empírica la cual relaciona la amplitud de la señal de los fotomultiplicadores
con la distancia a la que ocurre un evento.
Es bien sabido que la intensidad de la luz depende de la distancia (r) a la que se encuentre la
20
fuente de luz, así como del medio por el que viaja. En el caso de la placa centelladora BC-408,
su longitud de atenuación es de λ = 210 cm, por lo que la amplitud de la señal S está dada por
S(r) ∝ e
r
λ (2-4)
Por otro lado, la amplitud de la señal también se relaciona con el ángulo sólido que se forma
entre el tubo fotomultiplicador y la fuente de luz dada por el centelleo dentro de la placa de
MONDE. La variación del ángulo sólido en función de la distancia es proporcional a r−γ . En el
artículo Characterization of a Fast Neutron Detection System With Large Angular Coverage and
Granularity for Physics Studies and Applications [Chávez et al., 2009a], se encontró que dicha
variación es proporcional a r−1.3, ecuación 2-5. Para realizar esta caracterización, se colocó una
fuente de 60Co frente a un tubo fotomultiplicador y se fue variando la distancia en dirección
perpendicular al centro geométrico del fotomultiplicador.
S(r) ∝ 1
r1.3
(2-5)
El hecho de que S varie proporcionalmente a r−1.3 se debe principalmente a dos factores. El
primero es la reflexión de la luz dentro de la placa centelladora ya que, al estar pulida, hay luz
reflejada y, consecuentemente, mayor cantidad capturada por los fotomultiplicadores. El segundo
factor es el hecho de que la placa centelladora se puede considerar como una placa bidimensional
de la cual la luz no escapa y la fracción angular cubierta por un segmento de línea decrece como
r−1. Una combinación de estos dos factores resulta en el exponente 1.3.
Adicionalmente, los destellos de luz no son necesariamente producidos en una dirección per-
pendicular a los fotomultiplicadores, en otras palabras, debido a que los destellos de luz son
generados a un ángulo aleatorio respecto al fotocátodo de los fotomultiplicadores, es necesario
caracterizar la señal en función del ángulo al que se genera el destello. Considerando que los
fotomultiplicadores tiene un ángulo al cual ya no registran un destello de luz (ángulo crítico),
21
en este caso θc = 30o, se encontró que
S(θ) ∝ sin
[
π(θ − θc)
π − 2θc
]
(2-6)
Finalmente combinando las ecuaciones 2-4, 2-5 y 2-6 se obtiene la siguiente expresión co-
rrespondiente a la fórmula semi-empírica que relaciona la amplitud de la señal con la posición
donde ocurre un evento.
Si =
S0e
(− riλ )
rγi
sin
[
π(θi − θc)
π − 2θc
]
(2-7)
donde:
1 ≤ i ≤ 16, i es el i-ésimo fotomultiplicador.
ri es la distancia del i-ésimo fotomultiplicador al destello de luz.
λ = 210 cm es la longitud de atenuación.
γ = 1.3 es el exponente con el que disminuye la intensidad del destello.
θi es el ángulo formado entre el destello de luz y el i-ésimo fotomultiplicador.
θc = 30
o es el ángulo crítico.
S0 es la amplitud del destello de un evento dentro de la placa centelladora.
Cabe destacar que en esta ecuación 2-7, realizando un análisis dimensional, las unidades no
coinciden ya que Si queda en unidades de
[
amplitud
(longitud)γ
]
. En la sección PRADA Reloaded, se
realiza una modificación a la fórmula 2-7 a fin de corregir esta imprecisión.
2.3.2. Adquisición de Datos
Una vez generadas las señales eléctricas diferentes, provenientes de los 16 tubos fotomulti-
plicadores, es importante contar con un sistema electrónico de procesamiento de señales. Para
esto se emplea el sistema estándar NIM (Nuclear Instrumentation Module), el cual permite, me-
diante distintos módulos, modificar el pulso eléctrico de los fotomultiplicadorespara, finalmente,
obtener valores numéricos que pueden ser analizados. [Curiel, 2009]
22
En primer lugar las 16 señales provenientes de los tubos fotomultiplicadores son amplificadas
mediante dos módulos Mesytec MDS-8; adicionalmente, estos módulos cuentan con dos salidas
E y t por módulo, aparte de las salidas convencionales para la amplificación, las cuales son los
promedios de la señales entrantes para E y t.
Para poder iniciar la obtención de datos es necesario generar una señal que produzca un disparo
que avise cuando es posible comenzar con la captura de información. De acuerdo a los estándares
NIM, es preciso contar con una señal cuadrada y negativa para este fin, por lo que se utilizan
las dos salidas t por módulo; es importante señalar que se tienen dos salidas t ya que a cada
módulo Mesytec MDS-8 se le conectaron 8 salidas de los fotomultiplicadores, quedando así 8
salidas de los fotomultiplicadores en un módulo y las restantes 8 señales, en el otro módulo.
Estas dos señales pasan por un discriminador de fracción constante ORTEC OCT CF DISCR
CF 8000 (CFD) el cual convierte los pulsos provenientes de los fotomultiplicadores, en pulsos
cuadrados; asimismo los CFD permiten eliminar el ruido electrónico ya que funcionan imponién-
doles un umbral el cual no toma en cuenta señales con amplitud menor que dicho umbral. Una
vez obtenidas las dos señales cuadradas t, éstas pasan por un módulo Caen Mod 405 (3 Fold
Logic Unit) que realiza la operación lógica OR para tener sólo una señal generada en cuanto
alguna de las dos señales provenientes de los CFD llegue a este módulo. Posteriormente, esta
señal es pasada por un módulo Gate & Delay, el cual permite controlar la duración del pulso
proveniente del módulo lógico y su retraso, para finalmente hacer pasar el pulso a un CAMAC
(Computer Automated Measurement and Control) para iniciar la adquisición de datos.
Es importante señalar que la generación de la señal de disparo sucede en un tiempo menor al
tiempo en el que se realiza la adquisición de datos, de otra forma no tendría sentido generar la
señal para la toma de datos.
Por otro lado, una vez generada la señal de disparo, las 16 señales amplificadas provenientes de
los tubos fotomultiplicadores son procesadas al CAMAC para la toma de datos y su posterior
análisis con una computadora externa.
El procedimiento esquemático de la adquisición de datos se muestra en la figura 2-8.
Aunado a todo el dispositivo de MONDE, se cuenta con un detector externo de yoduro de sodio
23
adjunto a un amplificador también externo, el cual permite eliminar ruido proveniente de radia-
ción externa como rayos cósmicos, radiación de fondo, etc.. Este sistema externo igualmente se
encuentra conectado al CAMAC.
Figura 2-8: Esquema de los instrumentos electrónicos utilizados y funcionamiento para el pro-
cesamiento de señales. [Santa Rita Alcibia, 2016]
Con todo este arreglo de aparatos electrónicos es indispensable contar con un sistema que
convierta pulsos analógicos en pulsos digitales para su futuro análisis en una computadora. Para
esto se ocupan módulos ADC (Analog to Digital Converter), ya sean PADC (Peak Analog to
Digital Converter) o QADC (Charge to Digital Converter), los cuales, durante un intervalo
temporal, buscan el valor máximo de voltaje y le asocian un número o integran la señal para así
obtener la carga eléctrica total y asociarle un valor, respectivamente. Sin embargo, estos módulos
necesitan un intermediario entre ellos y la computadora. Para esto se ocupa un CAMAC. Dicho
CAMAC se controla mediante una tarjeta PCI (Peripherial Component Interconnect).
En este arreglo experimental se ocupó un CAMAC WIENER CC32, así como un PADC Phillips
7164 y un QDC Phillips 7166.
Finalmente, la conexión entre la computadora y el CAMAC para la obtención de datos se realiza
con un programa desarrollado en LabView por el físico Arcadio Huerta, y así obtener un archivo
24
de texto con los datos a estudiar.
25
Capítulo 3
Algoritmo
PRADA es un algoritmo computacional programado para determinar la posición de un even-
to, entendiendo como evento la interacción entre neutrones y la placa centelladora de MONDE.
Este algoritmo surge como alternativa a un algoritmo existente para la determinación de la
posición de un evento (ANGER o centro de masa [Zhang et al., 2007]) el cual se rige por las
siguientes ecuaciones:
X =
∑n
i xiIi∑n
i Ii
(3-1)
Y =
∑n
i yiIi∑n
i Ii
(3-2)
donde:
X y Y son las coordenadas (X,Y) en dónde ocurre el evento
xi y yi son las posiciones del i-ésimo fotomultiplicador
Ii es la señal del i-ésimo fotomultiplicador
El desarrollo tanto de la primera versión de PRADA como de PRADA RELOADED se
basa en el uso de la ecuación 2-7. En ambas versiones se utiliza una versión simplificada de la
misma, esto debido que es más simple su programación. Sin embargo en PRADA RELOADED,
26
se aborda el problema de una manera completamente distinta a la primera versión, así como el
uso de la fórmula trascendental completa. En las secciones siguientes se detallará su desarrollo
así como su uso.
3.1. PRADA (Position Reconstruction from Amplitude Detec-
tion Algorithm)
La primera versión de PRADA fue desarrollada en el lenguaje de programación Fortran 90
por Antonio Tonatiúh Ramos Sánchez como parte de su tesis de licenciatura [Ramos Sánchez,
2015] bajo la dirección del Dr. Efraín Chávez. En dicho trabajo se utiliza la ecuación
Si =
k
ri
sin θi (3-3)
donde:
k es una constante.
ri es la distancia del i-ésimo fotomultiplicador al destello de luz.
θi el ángulo del destello respecto al i-ésimo fotomultiplicador. la cual es una ver-
sión simplificada de la fórmula trascendental completa.
En esta versión del algoritmo se usa S0 = k = 1 para finalmente obtener
Si =
sin θi
ri
(3-4)
Para llegar a la ecuación 3-4 se realizan las siguientes consideraciones:
1. λ→∞
2. θc = 0
3. γ = 1
27
La consideración 1 se debe a que la longitud de atenuación de la placa centelladora es mayor
que las dimensiones de MONDE, y a su vez, se busca eliminar el término que contiene este
valor. El hecho de que θc = 0 se debe al hecho de suponer que el fotomultiplicador no tiene
"puntos ciegos”, es decir puede detectar destellos en un rango de 180o. La consideración 3 impli-
ca que la relación con la cual disminuye la intensidad en función de la distancia es inversa y lineal.
Una vez teniendo la ecuación simplificada 3-4, el autor procede con las últimas considera-
ciones para finalmente comenzar la programación del algoritmo PRADA.
En primer lugar, se comenzó por definir θi y ri para poder aplicarlos en la ecuación 3-4. Para
definir el vector de posición de un evento respecto a cada fotomultiplicador ri se tiene que definir
un sistema coordenado cuyo origen se encuentra en la esquina inferior izquierda de MONDE,
posteriormente se definen los vectores de posición de los fotomultiplicadores respecto a dicho
sistema coordenado así como el vector del evento, quedando así:
ri =‖ re − rf ‖ (3-5)
donde:
ri es la posición del evento respecto al i-ésimo fotomultiplicador
re es la posición del evento respecto al origen coordenado
rf son las posiciones de los fotomultiplicadores respecto al origen coordenado
En seguida, se define el el ángulo θi, el cual corresponde al ángulo formado entre el vector ri
y alguno de los ejes coordenados, dependiendo de la posición en que se encuentren. En general
se define el ángulo como
θi = tan
−1 riy
rix
(3-6)
donde riy y rix son las coordenadas x y y de cada ri, respectivamente. Para los fotomultipli-
cadores de la parte inferior de MONDE, la ecuación 3-6 describe al ángulo formado entre el
vector ri y la parte inferior del perímetro MONDE. Sin embargo, los demás fotomultiplicadores
28
no siguen dicha ecuación. Para los fotomultiplicadores de las esquinas de MONDE se tiene que
θesquinas = θi +
π
4
así como para los detectores de los lados de MONDE
θlados = θ +
π
2
Es importante señalar que para los detectorestanto de la parte superior como los de los lados,
es decir, del detector 5 al 13, de acuerdo a la imagen 2-7, lo que realizó el autor fue "subir el
eje coordenado a la posición en el eje y de dichos detectores y tomar la "proyección” del ángulo
hacia abajo” [Ramos Sánchez, 2015].
Una vez definidas las ecuaciones con las que se trabajará, de la ecuación 3-4 se despeja ri
quedando así una ecuación que describe una circunferencia para cada uno de los fotomultiplica-
dores. De ahí se sigue que, utilizando las ecuaciones mencionadas, se generará cada una de estas
figuras geométricas para cada fotomultiplicador, y usando la matriz de rotación, si ese fuese el
caso, se podrá rotar la figura el ángulo que sea necesario. La variación del ángulo para generar
dicha circunferencia se realizó con pasos de 11000 .
En otras palabras, el procedimiento a seguir es, en un contexto geométrico, dada la señal de un
evento se calcula la figura geométrica formada por la ecuación 3-4 para cada fotomultiplicador,
y el lugar de la intersección de las figuras es el lugar calculado donde ocurrió el evento, como se
muestra en la figura 3-1
Posteriormente, para saber cual fue el punto de intersección, el autor propone generar 16
matrices de ceros y unos para cada fotomultiplicador de dimensión (160,70), las dimensiones de
MONDE, en las cuales los unos corresponden a lugares en donde se detecta una señal, véase la
figura 3-2.
Una vez obtenidas cada una de las matrices, éstas se suman dado que el evento ocurre en
29
Figura 3-1: Esquema de las figuras geométricas generadas para cada fotomultiplicador mediante
la primera versión del algoritmo PRADA usando la ecuación 3-4 y haciendo 1Si = 1, para el
punto (79,35) [Ramos Sánchez, 2015]
Figura 3-2: Esquema de la matriz generada para un fotomultiplicador [Ramos Sánchez, 2015]
30
la intersección de las figuras generadas por alguna señal, para así quedar con la matriz suma
y buscar el elemento (i,j) con el número mayor, que corresponde al lugar donde se cruzaron el
mayor número de señales, como se muestra en la figura 3-3.
Cabe señalar que, como se muestra en la figura 3-3, existen algunos puntos en donde el valor del
Figura 3-3: Esquema de las intersecciones de las figuras generadas con la ecuación 3-4 y la
asociación que existe entre éstas y la matriz suma. [Ramos Sánchez, 2015]
número máximo es el mismo, por lo que el algoritmo entregará como resultado las coordenadas
asociadas los puntos (i,j) de todos los elementos con el número mayor. Y así, por último, se to-
ma el promedio entre dichos puntos para determinar las coordenadas en donde ocurrió el evento.
Finalmente, el autor realiza simulaciones para 104 puntos al azar, dentro de las dimensiones
de MONDE, estableciendo una resolución de energía finita para los tubos fotomultiplicadores y
compara los resultados obtenidos con el algoritmo ANGER.
En los resultados de este trabajo se puede observar una mejora considerable en términos de
resolución respecto al algoritmo ANGER. Sin embargo, aún no llegaba a su versión final ya que
había trabajo por realizar para la mejora de PRADA, así como realizar la implementación de
la ecuación 2-7 de una forma más completa. Esas mejoras son las que se buscaron con la nueva
31
versión del algoritmo original, PRADA RELOADED.
3.2. PRADA RELOADED
PRADA RELOADED es una versión posterior al algoritmo original PRADA, en la cual el
objetivo de determinar la posición de un evento sigue siendo el mismo, véase Apéndice A. Sin
embargo, la metodología para concretar este objetivo es completamente distinta, comenzando
porque se utilizó el lenguaje de programación Python. 1
PRADA RELOADED es un conjunto de algoritmos modulares escritos en el lenguaje de
programación Python que determinan la región en la que ocurrió un evento utilizando tres
programas, PRADAfunctions, mainPRADA y PRADAHeatMap.py para la implementación de
datos reales. Éstos contienen todas las funciones que se utilizaron para poder determinar la
región en la que ocurre un evento y las funciones que sólo mandan llamar las funciones es-
critas anteriormente. Es decir, las funciones que se programaron realizan sólo una operación
y son escritas en un programa (PRADAfunctions) para hacer una función que mande llamar
a las funciones anteriores y así obtener el los mapeos simulados, estas últimas se encuentran
en mainPRADA. Finalmente, se utilizan los mapeos obtenidos en estas funciones para utilizar
los archivos de datos experimentales y poder determinar la región en la que ocurrió un evento,
PRADAHeatMap.py.
Es preciso señalar que todo este trabajo se realizó utilizando distintas librerías existentes en
Python. Cada librería fue utilizada dependiendo del objetivo que se tenía; por ejemplo, para la
generación de pétalos se utilizaron las librerías shapely [The Shapely User Manual, 2013] y mat-
plotlib [Matplotlib 1.5.3 documentation, 2012], entre otras. Para la sección de puntos cúmulos y
polígonos fueron fundamentales las librerías descartes [Descartes 1.0.2 Python Package Index,
2016] y sklearn [Scikit-Learn 0.17.1 documentation, 2014] . Para más detalles de las librerías uti-
lizadas, véase el código original mostrado en el apéndice A; en los algoritmos se pueden observar
1La programación original de PRADA se realizó en Fortran 90.
32
las distintas librerías utilizadas, así como las funciones ocupadas de dichas librerías. [Python
Software Foundation, 2012]
Así como PRADA, PRADA RELOADED se basa en la ecuación 2-7, no obstante se le hizo
una modificación descrita por la ecuación 3-7.
Si =
S0kγe
(− riλ )
rγi
sin
[
π(θi − θc)
π − 2θc
]
(3-7)
Es importante señalar que kγ sirve para ajustar unidades de acuerdo al exponente con el
que disminuye la intensidad del destello (γ) y es la misma para todos los fotomultiplicadores.
Esta constante contiene información de distintas propiedades de los fotomultiplicadores como la
transmitancia, propiedades de la grasa óptica para el acoplamiento de los índices de refracción,
incluso del ángulo sólido. Sin embargo, en este trabajo no se profundizará acerca del significado
de la constante.
Esta última versión se divide en tres grandes secciones, a saber, la generación de pétalos
mediante el uso de polígonos, la creación de un mapeo, también con el uso de polígonos, para
poder implementar datos obtenidos experimentalmente, y finalmente, la implementación de
datos reales con los mapeos. Las características, uso y desarrollo de las funciones escritas en
estas tres secciones se detallarán en los apartados posteriores.
Para la generación de pétalos se utilizó una versión simplificada de la fórmula semi-empírica
2-7:
Si = kγ
S0
rγi
sin θi (3-8)
donde:
Si es la señal detectada por cada fotomultiplicador
S0 es la intensidad del destello de la placa centelladora
ri es la distancia del i-ésimo fotomultiplicador al destello
γ = 1.3 es el exponente con el que varía la intensidad en función de la distancia
33
θi es el ángulo formado entre el destello de luz y el fotomultiplicador
Sin embargo, sólo para la generación de pétalos se utilizó la ecuación 3-8, ya que para las
secciones posteriores se utilizó la fórmula semi-empírica completa 3-7.
3.2.1. Pétalos
Como se mencionó anteriormente, en esta sección se utilizó la ecuación 3-8 que tiene por
objetivo formar las figuras geométricas cuya intersección corresponde a la región en donde ocurrió
un evento. Dichas figuras geométricas se denotarán con el nombre de pétalos.
Para dicho objetivo, se definió una función "myCurve” la cual, dado un punto (x,y) dentro de
las dimensiones de MONDE, regresaba un conjunto de puntos los cuales definen al perímetro
generado por la ecuación 3-9. Esta función hace uso de las coordenadas (x,y) de un evento de
prueba para calcular la distancia a éste utilizando:
ri =
(
S0
Si
sin θi
)γ−1
(3-9)
Es importante señalar que para obtener ri se utilizó la suposición de que se conoce el valor origi-
nal del destello en la placa centelladora, y aéste se le asigno un valor positivo, S0 = 10, además
de probar distintos valores de γ. Asimismo, se hizo un barrido angular con intervalos de
π
50
que
generan las figuras geométricas llamadas pétalos, es decir habrá 50 puntos correspondientes a
los radios calculados con la fórmula 3-9, como se muestra en la figura 3-4. En otras palabras,
dado un punto (x,y) dentro de MONDE, se obtuvo la distancia y ángulo respecto de cada uno
de los fotomultiplicadores, ri y θi mediante 3-11 y 3-12 respectivamente; utilizando la ecuación
3-8, se calcularon las señales Si para poder ser implementadas en la ecuación 3-9. El hecho de
utilizar un valor positivo de S0 no afecta la generación de los pétalos debido a la forma cómo
se generaron, es decir, aunque se tengan distintos valores de S0 los pétalos generados serán los
mismos.
34
Una vez conocido ri de acuerdo a la fórmula simplificada 3-9, se realizó el barrido angular y de
este modo generar cada uno de los pétalos correspondientes a cada fotomultiplicador.
Adicionalmente, se contemplaron las posibles incertidumbres que se pudieren llegar a tener de-
bido a la resolución de los detectores. En un principio se tuvo la intención de generar señales
ligeramente más grandes y más pequeñas que la señal calculada, de tal manera que se generara
un anillo en lugar de un pétalo, el cual representaría el conjunto de señales considerando la
tolerancia en incertidumbre de los fotomultiplicadores. Sin embargo, se eligió sólo considerar la
señal Si mínima, que genera los pétalos más grandes, ya que con 3 detectores y tomando en
cuenta dicha señal, era suficiente para considerar eliminar el problema de la incertidumbre. Las
señales utilizadas para el cálculo de las ri de la ecuación 3-9, considerando la incertidumbre de
los detectores fueron de la forma descrita por la ecuación 3-10.
SiF inal = Si − 0.1(Si) (3-10)
donde:
SiF inal es la señal final utilizada en la ecuación 3-9, para cada fotomultiplicador.
Si es la señal para cada fotomultiplicador calculada mediante la fórmula 3-8.
Como se puede observar en la figura 2-7, los fotomultiplicadores están orientados de forma
distinta dependiendo de la posición en MONDE donde se encuentren. Por esta razón, los pétalos
generados siguen las siguientes parametrizaciones:
· detectores de la parte inferior de MONDE: [xi + ri cos(θi), yi + ri sin(θi)]
· detectores de la parte superior de MONDE: [xi + ri cos(θi), yi − ri sin(θi)]
· detectores de la parte izquierda de MONDE: [xi + ri sin(θi), yi + ri cos(θi)]
· detectores de la parte derecha de MONDE: [xi − ri sin(θi), yi + ri cos(θi)]
· detectores de la esquina superior izquierda de MONDE:
[
xi + ri cos
(
θi −
π
4
)
, yi − ri sin
(
θi −
π
4
)]
· detectores de la esquina superior derecha de MONDE:
[
xi + ri cos
(
θi +
π
4
)
, yi − ri sin
(
θi +
π
4
)]
35
· detectores de la esquina inferior izquierda de MONDE:
[
xi + ri cos
(
θi −
π
4
)
, yi + ri sin
(
θi −
π
4
)]
· detectores de la esquina inferior derecha de MONDE:
[
xi + ri cos
(
θi +
π
4
)
, yi + ri sin
(
θi +
π
4
)]
siendo (xi, yi) las coordenadas de el i-ésimo fotomultiplicador. 2
Figura 3-4: Pétalo generado mediante la ecuación 3-9 para el fotomultiplicador 1
Una vez obtenidos los pétalos de todos los fotomultiplicadores, éstos se convierten un un
objeto de Python llamado polígono, definidos por el perímetro establecido por los puntos de los
pétalos, para su posterior ploteo como se muestra en la figura 3-5.
A su vez, el objetivo es realizar una simulación para determinar la posición en la que ocurre
2El sistema coordenado para todo este trabajo se define tomando como origen la esquina inferior izquierda de
MONDE
36
Figura 3-5: Poligono del pétalo obtenido para el fotomultiplicador 1
un evento, por lo que se intersecaron dichos polígonos generados para cada una de los detecto-
res. Es preciso señalar que en principio, los puntos en donde se insterseca el mayor número de
pétalos serían las posiciones donde ocurrió el evento. Sin embargo, debido a que se consideró la
incertidumbre de los fotomultiplicadores, véase ecuación 3-10, en lugar de ser puntos se obtu-
vieron regiones de intersección, las cuales corresponden al lugar en donde ocurrió el evento. Es
evidente que entre mayor número de fotomultiplicadores se tengan disponibles para la detec-
ción, mejor será la resolución; ya que el área de intersección disminuye conforme el número de
fotomultiplicadores aumenta.
Cabe destacar que en el algoritmo PRADAfunctions, la función plotPetals, como su nombre
lo indica, es la que realiza el ploteo de los pétalos; además esta función calcula el área del polígono
así como el centroide de éste, y da una lista con las intensidades de las señales calculadas para
37
cada fotomultiplicador.
Para calcular las señales respectivas se utilizó una función llamada getRandTheta la cual recibe
como primer argumento una lista (dList) que contiene información de los fotomultiplicadores
respecto a las posiciones, coordenadas y si se encontraban encendidos (on) o apagados (off);
y como segundo argumento recibe las coordenadas (x,y) de un evento de prueba dentro de
MONDE, para calcular ri y θi mediante la ecuación 3-11.
ri =
√
(xi − x)2 + (yi − y)2 (3-11)
donde:
ri es la distancia del i-ésimo fotomultiplicador al evento de prueba
(x, y) son las coordenadas del evento de prueba
(xi, yi) son las coordenadas del i-ésimo fotomultiplicador
y θi utilizando los vectores unitarios directores vi para las distintas localizaciones de los
fotomultiplicadores en MONDE, vi:
· parte inferior: vi = (1, 0)
· parte superior: vi = (−1, 0)
· parte derecha: vi = (0, 1)
· parte izquierda: vi = (0,−1)
· esquina inferior izquierda: vi =
(
1√
2
,
−1√
2
)
· esquina inferior derecha: vi =
(
1√
2
,
1√
2
)
· esquina superior izquierda: vi =
(
−1√
2
,
−1√
2
)
· esquina superior derecha: vi =
(
−1√
2
,
1√
2
)
38
para, finalmente encontrar θi:
θi = arc cos
xl · vix + yl · viy√
x2l + y
2
l
 (3-12)
donde:
xl = x− xi
yl = y − yi
Siendo el vector vl = (xl, yl) el vector diferencia entre el punto en donde ocurrió el evento
(x, y) y la posición de cada tubo fotomultiplicador (xi, yi).
Con este planteamiento y utilizando las funciones myCurve y plotPetals se pudieron generar los
pétalos correspondientes para cada uno de los fotomultiplicadores, así como obtener las señales,
el polígono de intersección y el área del polígono de intersección, para la simulación de dónde
ocurrió un evento. Para calcular las señales obtenidas por los fotomultiplicadores se escribió
una función llamada getSignals, la cual hace uso de la fórmula semi-empírica completa 3-7, a
diferencia de la ecuación utilizada para generar las gráficas de los pétalos 3-8. Conjuntamente
se programó una función llamada getAngerPosFromPos la cual, dadas las coordenadas de un
evento de prueba dentro de la placa de MONDE, calcula la posición del evento utilizando el
algoritmo ANGER, y así poder comparar las coordenadas obtenidas mediante la intersección de
pétalos con las coordenadas de ANGER.
Sin embargo, se tienen algunos inconvenientes con esta sección de la generación de pétalos. El
primer inconveniente es el hecho de usar una versión simplificada de la ecuación original 2-7 y,
consecuentemente, perder información valiosa. No obstante, el inconveniente más importante es
no poder implementarlo con datos reales experimentales ya que, de acuerdo a la ecuación 3-8, se
necesita conocer la posición (x,y) en donde ocurrió el evento y de esta manera poder calcular Si
para realizar el barrido angular mediante ri de la ecuación 3-9, y así poder obtener los pétalos
correspondientes a cada fotomultiplicador. Adicionalmente, se supuso que se conocía el valor del
destello original S0 en la placa de MONDE, siendo S0 un factor significativo en la generación
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de pétalos. Estos datos no se conocerán en un experimento en el que se quiera emplear PRADA
Reloaded.
Por estas razones es que se sigue con