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La banda de Möbius - Clifford Pickover - Niurka Jiménez
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La banda de
•• •
lUS
Del autrrr del best selkr Las matemáticas de Oz
Cliff ord A. Pickover
Todo sobre la maravilwsa banda del Doctor Mobius:
Mat;emáticasJ juegos menta/,esJ literaturaJ arteJ tecnowgW, y cosrrwwgW,
Cliff ord A. Pickover
LA BANDA DE
MóBIUS
TO DO SOBRE LA MARAVILLOSA BANDA DEL DR. MóBIUS: MATEMÁTICAS,
JUEGOS, LITERATURA, ARTE, TECNOLOGÍA Y COSMOLOGÍA
Traducción de Dulcinea Otero-Piñeiro
Revisión científico-técnica de David Galadí-Enríquez
p
ALMUZARA
2009
© CuFFORD A. PICKOVER, 2006
©de la traducción: DULCINEA ÜTERO-PIÑEIRO, 2009
©de esta edición: EDITORIAL ALMUZARA, S.L., 2009
Published by arrangement with Basic Books
Primera edición en Almuzara: septiembre de 2009
Reservados codos los derechos. «No está permitida la reproducción total
o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión
de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea mecán ico, electrónico,
por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso prev io y
por escrito de los titulares del copyright.»
COLECCIÓN MATHEMÁTICA
EDITORIAL ALMUZARA
Director editorial: ANTONIO E. CUESTA LórEz
Edición de JAVIER ÜRTEGA
www.editorialalmuzara.com
pedidos@edirorialalmuzara.com - info@editorialalmuzara.com
Di~eño y preimpresión: TALENBOOK
Imprime: KAoMos
l.S.B.N.: 978-84-92573-53-0
Depósito Legal: C0-892-09
Hecho e impreso en España - Made and printed in Spain
Mobius era un ejemplo típico de profesor distraído. Tímido y poco
sociable ... y estaba tan absorto en sus reflexiones que se vio obligado
a desarrollar todo un sistema de reglas nemotécnicas ... para no
olvidarse las llaves o su inseparable paraguas ...
Logró el que tal vez fuera su descubrimiento más impresionante
(el de las superficies de una sola cara, como la célebre cinta de
Mobius) a los setenta años de edad, y todas las obras encontradas
entre sus papeles después de su muerte revelan la misma excelencia
formal e idéntica profundidad de pensamientos.
Issak Moiséievich Yaglom, Felix Klein and Sophus Líe
Existe una teoría que afirma que el universo se repliega eterna-
mente sobre sí mismo como si se tratara del cruce de una curva de
Mobius y una ola. ¡Menudo viaje, si nos pusiéramos a surfear en
esa ola!
Serie de TV Gene Roddenberry 's Andromeda, «Answers Given to
Questions Never Asked», episodio 401.
ÍNDICE DE CONTENIDOS
Agradecimientos
Quintillas sobre Mobius para ambientarse
Introducción
13
15
Donde encontraremos un «agujero dentro de un agujero
en un agujero», la topología, bandas de Mobius, el cráneo
disecado de Mobius, a Franz Gall, el símbolo del reciclaje, la
cerveza Mobius, la acrobacia llamada «Mobius Flip», El lazo
sin fin de Max Bill, a Gustavo Mosquera, El eterno resplandor de
una mente sin recuerdos, simbolismos de la banda de Mobius,
las cintas de Mobius en la religión, la obra teatral La cantante
calva de Eugene Ionesco, la banda de Mobius cerebral y la
botella de Klein de Acme... 17
1. Los magos de Mobius
Donde encontraremos ilusiones de Mobius, magia evange-
lizadora, el enigma de la cinta de fitness, el lugar de Mobius
en la historia, y mi descubrimiento de la maravillosa banda
durante la niñez... 29
2. Nudos, civilización, autismo y el colapso de la facialidad
Donde encontraremos hormigas dentro de esferas, disec-
ciones de Mobius, bocadillos de bandas de Mobius, cintas
liublianesas, nudos vórtice de lord Kelvin, nudos de trébol, a
Kenneth Perko, abogado neoyorquino y topólogo a ratos, el
misterio del no-nudo, el síndrome de Asperger, el algoritmo
de nudos de implementación imposible de Haken, la trique-
tra, la serie televisiva Embrujadas, Led Zeppelin, el Libro de
Kells, nudos en proteínas, los anillos borromeanos, los nudos
como catalizadores de la civilización, el enigma del nudo
alienígena, y alienígenas de Mobius... 35
3. Breve historia de Ja figura de Mobius
Donde encontraremos el árbol genealógico de Móbius, la
simultaneidad de hallazgos científicos, Schulpforta, a Paul
Julius Móbius, el síndrome de Móbius, a Johann Benedict
Listing, el problema del «rey con cinco hijos», las aportacio-
nes matemáticas de Móbius, a Karl August Móbius, el falso
animal primigenio, el enigma del Laberinto de Móbius y
Móbius y la vida licenciosa... 59
4. Tecnología, juguetes, moléculas y patentes
Donde encontraremos la obra Doorways in the Sand de Roger
Zelazny, patentes y juguetes de Móbius, moléculas de Móbius,
patentes matemáticas, lemniscatas, astroides, taladros con el
triángulo de Reuleaux, cintas transportadoras con giros, sepa-
radores quirúrgicos, componentes eléctricos y vías de tren de
Móbius, patentes de nudos, la metafísica de las lazadas del cal-
zado, la quiralidad, Lipitor, Paxil, Zoloft, Nexium, talidomida,
Advil, enantiómeros, Methanobacterium thermoautotrophicum, pro-
teínas vegetales de Móbius que aceleran el parto de las mujeres
africanas, cristales de Móbius, el rompecabezas del arca de Noé,
y la banda de Mobius en la moda y el estilismo. .. 79
5. Extrañas aventuras en topología y más allá
Donde encontraremos a Benoit Mandelbrot, fractales,
parametrizaciones, una hélice cónica, curvas de mariposa,
anillos paradrómicos, aLeonhardEuler, aAntoine-:Jean Lhui-
llier, números cromáticos, planos proyectivos, el teorema de
los cuatro colores, «The Island ofthe Five Colors», una banda
de Móbius triangulada, ajohann Listing, homeomorfismos,
fantasmas, la cuarta dimensión, Immanuel Kant, Johann
Karl Friedrich Zóllner, Henry Slade, Another World de Alfred
Schofield, eversión de la esfera y de rosquillas, optiversos, la
superficie de Boy, cross-caps, superficies romanas, la fantás-
, tica función de Móbius, la conjetura de Mertens, la función
dseda de Riemann, palíndromos de Móbius, el asombroso
1111111t ·1 o <n , 1111111<·ros pti111os ('lit li' s i, ((•rn la de gr<1fús, IH·xa-
flc x<ígo11os, ralzo11<·illos <k· Mül>ius, lclraedros de Móbius,
triángulos ele Móbius, solenoides, la esfera cornuda de
Alexander, rosquillas prismáticas, disecciones en cuadrados
perfectos, e l rompecabezas para colorear un mapa de gara-
batos, el toro caníbal, el acertijo de la pirámide, y Móbius en
la cultura popular... 109
6. Cosmos, realidad y trascendencia
Donde encontraremos espacios no orientables, más enantio-
morfos, dextrocardias con situs inversus, hiperesferas, tazas de
café en forma de botellas de Klein, la botella de Klein más grande
del mundo, la superficie de Klein-Bonan-:Jeener, a Immanuel
Kant redivivo, simetría bilateral del Vernanimalcula guizhouena,
el dios babilonio Marduk, a Gottfried Wilhelm Leibniz, toros
tridimensionales, a Max Tegmark, universos paralelos, vida
artificial, simulaciones de universos, ajohn Horton Conway, el
satélite Wilkinson Microwave Anisotropy Probe, a Gerardus Merca-
tor, el modelo ecpirótico sobre la formación y destrucción del
universo, el libro del Génesis, universos autorreproductores, un
Dios juguetón, el rompecabezas para transformar una galleta
de lazo y los cosmos de Móbius... 173
7. Juegos, laberintos, arte, música y arquitectura
Donde encontraremos ajedreces y laberintos de Móbius,
recorridos del caballo en el ajedrez, dominio del alfil sobre un
tablero de ajedrez con forma de botella de Klein, escaleras y
esculturas de nieve de Móbius, edificios de Móbius, sellos pos-
tales de Móbius, a Max Bill, esculturas de Lego que sobrepasan
la imaginación, estructuras de engranajes de Móbius, nudos
complejos, a Teja Krasek, bandas de Móbius con teselados de
Penrose, música de Móbius, ajohann Sebastian Bach, aArnold
Schónberg, a Nicolas Slonimsky, configuraciones endiabladas,
bandas de Móbius en sicología y relaciones humanas, y labe-
rintos trazados sobre bandas de Móbius... 221
8. Libros y películas
Donde encontraremos la literatura de las superficies no
orientables, los relatos titulados «No-Sided Professor», «A.
Botts and the Mobius Strip», «Paul Bunyan Versus the Conveyor
Belt», «El muro de laoscuridad», «Un metropolitano llamado
Mobius», a Gustavo Mosquera, The Secret Lije of Amanda K.
Woods, The ]ourney of Mobius and Sidh, The Lobotomy Club, Flatter-
land, Mobius Stripper de Bana Witt, Dhalgren, En busca del tiempo
perdido de Proust, Seis personajes en busca de autor, Time and the
Conways (La herida del tiempo), Donnie Darko, Mujer Fatal, Mobius
the Stripper, La dádiva de Vladímir Nabókov, Island People de
Coleman Dowell, Tearjerker de Daniel Hayes, La cantante calva
de Eugene Ionesco, Según la ley de Solvej Baile, Perdido en la casa
encantada de J ohn Barth, « Twisters» de Paul Nahin, Visitors from
Oz de Martin Gardner, hormigas atrapadas en curvas de J ordan
y Mobius en los barrios periféricos... 255
Breves apuntes finales
Donde encontraremos a Stanislaw Ulam, aFranz Reuleaux,
a Georg Bernhard Riemann, los koan zen, Eterno resplandor de
una mente sin recuerdos, a Harlan Brothers, a Marjorie Rice, a
Roger Penrose, a Arthur C. Clarke, el conjunto de Mandel-
brot, un anillo ambiguo y bandas de Mobius en negocios y
política gubernamental. 281
Soluciones
Referencias y apéndice
Material de consulta por capítulos
Sobre el autor
293
305
313
329
AGRADECIMIENTOS
Cada capítulo va precedido de figuras correspondientes a
patentes estadounidenses descritas en el capítulo 4. La cinta
de Mobius forma una parte esencial de todas estas patentes.
Algunas de las ideas contenidas en este libro se han tratado
en mi página de Internet titulada «Pickover Think Tank»,
accesible en la dirección:
http://groups.yahoo.com/ group/ CliffordPickover /
Agradezco a los miembros del grupo los fantásticos debates
y comentarios aportados. Gracias también al escultor John
Robinson y al profesor de matemáticas Ronnie Brown por
brindarme la fotografía donde aparecen junto a la escultura
de John del nudo de trébol que aparece en la figura 2.7.
Para más información, visítense sus páginas en Internet en
las direcciones www.popmath.org.uk, wwwjohnRobinson.
com y www.BradshawFoundation.com. El belga Jos Leys,
matemático y experto en diseño por computadora (wwwjos-
Leys.com) aportó diseños gráficos por ordenador de nudos
y superficies de una sola cara. Entre las demás personas que
aportaron gráficas se cuentan Andrew Lipson, M. Oskar van
Deventer, Cameron Browne, Nicky Stephens, Christiane
Dietrich-Buchecker, Jean-Pierre Sauvage, Rob Scharein,
Tom Longtin, Henry S. Rzepa, David Walba, Dave Phillips
(www.ebrainygames.com), George Bain, Teja Krasek, Rinus
Roelofs y Donald E. Simanek. Para crear las divisiones de las
piezas de puzzle que aparecen en las figuras 7.31 a 7.33, Tom
Longtin usó el programa Triangle de Jonathan Shewchuk
(www.cs.cmu.edu/ ~quake/triangle.html) .
13
Agradezco a Dennis Gordon, Nick Hobson, Kirk Jcnsc11,
George Hart, Mark Nandor y Graham Cleverley sus útiles
comentarios y sugerencias, y agradezco a Brian Mansfield
(www.brianmansfield.com) las fantásticas tiras cómicas que
utilicé a lo largo de todo el libro. April Pedersen dibujó la
imagen del perro recorriendo una banda de Mobius que
aparece en la página de citas al principio de este libro.
Una introducción excelente a la figura de August Fer-
dinand Mobius la constituye la obra Mobius and His Band:
Mathematics and Astronomy in Nineteenth-Century Germany, edi-
tada por John Fauvel, Raymond Flood y Robin Wilson. En
ella también se relata el proceso que convirtió a los matemá-
ticos y astrónomos alemanes del siglo XIX en los pensadores
más capaces e influyentes del mundo.
El volumen Festival mági,co-matemático de Martin Gardner
y muchas otras obras suyas ofrecen introducciones encanta-
doras a la cinta de Mobius y su tipología. Muchos sitios de
Internet aportan información útil sobre la banda de Mobius
y personalmente disfruté de manera especial con las páginas
tituladas Mathematical Fiction de Alex Kasman, que tratan
sobre la incidencia de las matemáticas en la ficción: http:/ /
math.cofc.edu/faculty /kasman/MATHFICT / default/html.
Las enciclopedias virtuales Wikipedia (http:/ / en.wikipedia.
org) y Math World, a Woifram Web Resource de Eric W. Weisstein
(http:/mathworld.wolfram.com) siempre constituyen unas
fuentes de información excelentes sobre matemáticas.
En el apartado de material de consulta se relacionan otros
sitios de Internet interesantes, así como fuentes técnicas y
artísticas, amén de las lecturas recomendadas.
Los diagramas de patentes que abren cada capítulo se
han extraído de US. Pat. 3,648,407 (1972, Introducción),
US. Pat. 3,991,631 (1976, Capítulo 1), US. Pat. 4,919,427
(1990, Capítulo 2), US. Pat. 4,384,717 (1983, Capítulo 3),
US. Pat. 4,640,029 (1987, Capítulo 4), U.S. Pat. 3, 758,981
(1973, Capítulo 5), US. Pat. 4,253,836 (1981, Capítulo 6),
US. Pat. 5,411,330 (1995, Capítulo 7), U.S. Pat. 3,953,679
(1976, Capítulo 8), US. Pat. 6,779,936 (2004, Soluciones) y
US. Pat. 396,658 (1998, Material de consulta).
1.1
Quintillas dt· Mühius pum umhicnlarst• .,.
Aquel jove n , Mobius, muy agudo
un aro de papel cortó y, de adorno,
un rizo le rizó mediante un nudo
para cumplir su plan tan concienzudo
de quedarse en Las Vegas sin retorno.
Paul Cleverley
Al pequeño Pepín habló su hermana:
«La calle de Mobius, te lo digo,
no la cruces aunque te dé la gana».
Pero bastó una vuelta a la manzana
para lograr la hazaña sin castigo.
Chuck Gaydos
Tenía algo mobiesco el aprendiz
de cierta facultad de Zaragoza:
se quejaba sin parar y la nariz
captaba lo torcido del cariz
de quien solo ve un lado de las cosas.
Quinn Tyler Jackson
Les dijo a las restantes una hormiga:
Encuentro vejatorio este tinglado
porque tras dar la vuelta con fatiga
el mundo es tan cruel que nos castiga,
¡resulta que no existe el otro lado!
Cameron Brown
*Las versiones originales (en inglés) de estas quintillas
y quintetos de humor (limericks) fueron las ganadoras del
Co ncurso de Quintillas de Mobius que organicé mientras
escribía este libro.
15
r'º
12
~FIG. I
16
INVENTOR
JEROME PRESSMAN
BY ),.. / <J.h;::_ ~
ATroRNEYS
INTRODUCCIÓN
August Ferdinand Mobius nació el 17 de noviembre de 1790 y
falleció el 26 de setiembre de 1868. El campo de las matemáticas
experimentó una transformación enorme en Alemania en el trans-
curso de su vida. En 1790 era difícil encontrar un matemático
alemán de talla internacional; en el momento de su muerte, Alema-
nia era la sede y la base de entrenamiento de la elite matemática
mundial ...
john Fauvel, «A Saxon Mathematician»,
en Mobius and His Band
Un agujero a través de un agujero en un agujero
No podremos leer el universo hasta que hayamos aprendido el
lenguaje en el que está escrito y nos hayamos familiarizado con sus
caracteres. l!,stá escrito en un lenguaje matemático y las letras son
triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin las cuales es
humanamente imposible entender una sola palabra.
Galileo Galilei, Opere, 11 saggiatore, 1633
Cuando hablo a los alumnos sobre topología, la ciencia de
las formas geométricas y las relaciones que mantienen entre
ellas, les abro la mente mediante el esbozo de varias figuras
simples. Algunas se asemejan a roscos, otras a rosquillas y
unas pocas a botellas retorcidas de cuello largo. Entonces
planteo una pregunta a la audiencia: ¿Imaginan ustedes un
agujero en un agujero?
17
Por lo común replican que eso es imposible. Yo sonrío y
respondo: «Bueno, les mostraré algo incluso mejor que un
agujero en un agujero. ¡Les mostraré un agujero en un agu-
jero en un agujero!». Dibujo con aire triunfal el objeto de la
figura 1.1, e invariablemente la audiencia sonríe fascinada. A
lo largo de este álbum de recortes y curiosidades, confío en
sorprender con otras maravillas geométricas.
1.1 Un perro juguetón pierde un hueso en un agujero a través
de un agujero en un agujero. (Dibujo de April Pedersen).
La topología trata sobre relaciones espaciales y relucientes
formas que abarcan dimensiones. Es como el títerebobo de
las matemáticas. En ocasiones la topología se denomina la
«geometría de la goma elástica» porque estudia las propie-
dades de figuras que no cambian al estirar o distorsionar un
objeto. La mejor manera de que la topología nos deje pren-
dados a cualquier edad consiste en la contemplación de la
cinta de Móbius, un rizo simple con medio giro (figura 1.2).
1.2 Una cinta de Mobius.
18
11:1 c:dmco dt~I doctor Mohius
1 last(f, los grandes matemáticos resultan casi siempre desconoci-
rl 0.1 /mr(f, el público. Sus «hazañas» suelen hallarse tan confinadas
en el interior de sus cráneos que solo otros rnaternáticos
se tornan la molestia de leerlas.
Martin Gardner, «The Adventures of Stanislav Ulam», 1976
l•'. 11 ¡·si(' libro divago con frecuencia sobre temas relacionados
e oi1 h1 cinta de Móbius y con la topología que no se encuen-
l r:111 en la mayoría de los libros de matemáticas. Por ejemplo,
pocos meses antes de escribir esta introducción tuve ocasión
d .. vn el cráneo de mi ídolo, el matemático August Ferdi-
11:111<1 Móbius, quien describió la banda que lleva su nombre.
l ,: 1 111itad superior del cráneo de Móbius aparece en una mis-
1 .. l'iosa fotografía de 1905 publicada en el libro de su nieto
1i111lado Ausgewiihlte Werke («Obras escogidas») (figura 1.3).
1.3 Los cráneos de August Ferdinand Mobius (arriba) y Lud-
wig van Beethoven (abajo), de un libro de Paul Mobius. Paul
desenterró a su abuelo para tomar esta extraña fotografía.
[Fuente: Paul Mobius, Ausgewahlte Werke, Vol. 7, Tafel III, The
British Library, 1905, tal como se reproduce en la obra Mobius
mul His Band, p. 17, editada por John Fauvel, Raymond Flood y
Robin Wilson. (Nueva York: Oxford University Press, 1993.)
19
El nieto, Paul Móbius, neurólogo bastante brillante, defen-
día algunas teorías peregrinas como la idea arcaica de que la
prominencia frontoorbicular izquierda, que el doctor anato-
mista Franz Gall calificó como el «Órgano matemático», estaba
especialmente desarrollada en el cráneo de August Móbius.
Hoy, por supuesto, no se atribuye ninguna credibilidad a las
ideas frenológicas del doctor Gall. Mirando la fotografía de
August Móbius no logro esclarecer si su cráneo tenía o no la
supuesta protuberancia, pero sí sé que Paul efectuó un estudio
extenso de la mente de los matemáticos mediante la recopila-
ción de datos sobre cráneos de hombres vivos y ya difuntos, e
incluyó fotos en su minuciosa monografía sobre la materia.
Su misión consistía en demostrar que el talento matemático
mantenía una relación estrecha con los bultos de la cabeza.
Me estremece pensar en todos esos cráneos. Las exhu-
maciones en el cementerio de Leipzig brindaron a Paul la
ocasión perfecta para levantar el esqueleto de su abuelo,
estudiar el cráneo y efectuar sus observaciones.
¡Cintas de Mobius por todas partes!
Los matemáticos, como los pintores y los poetas, crean patrones.
Si sus patrones duran más que los del resto es
porque se componen de ideas.
G. H. Hardy, Autojustificación de un matemático, 1941
La banda de Móbius ha fascinado por igual a matemáticos
y legos_ desde que Móbius la descubriera en el siglo XIX
y la presentara como un objeto de interés matemático. A
medida que transcurrieron los años fueron aumentando la
popularidad y las aplicaciones de esta cinta, y hoy es parte
integrante de las matemáticas, la magia, la ciencia, el arte,
la ingeniería, la literatura y la música. Se ha convertido en
metáfora de cambio, rareza, giro y renovación. De hecho, la
banda de Móbius es en la actualidad el símbolo ubicuo del
~ ()
11 ·1 11 l.1jt· , clo11cl<' rq>n·sc11ta d proceso de transformación de
111.111 ·1 i;d¡•s ck desecho en recursos útiles (figura I.4).
1.4 El símbolo ubicuo del reciclaje .
F.I símbolo del reciclaje consiste en tres flechas curvas
., lli'i'Sivas que forman un triángulo de vértices redondeados.
< ~11 i<'• • no vea con claridad la correspondencia del símbolo
1 1111 la cinta de Móbius, encontrará evidente su parecido
'i1 sigue leyendo. ¡Qué habría pensado Móbius si hubiera
podido ver el futuro y comprobado que el uso más habitual
d¡ · s11 cinta tendría lugar en el ámbito de los residuos! El sím-
bolo del reciclaje fue diseñado en 1970 por Gary Anderson,
1111 estudiante de la Universidad del Sur de California en
1 .os Ángeles. Anderson presentó su logotipo en un concurso
e 011vocado por la Container Corporation of America a nivel
11 ;1rional.
l loy, la banda de Móbius está en todas partes. ¡Es una
ligura tan irresistible! Con la variedad de nombres que
li '('ibc, «banda de Móbius» (52 900 páginas en Internet),
.. r inta de Móbius» (31 300 páginas en Internet), «bucle de
Mübius» (60 páginas en Internet), el interés por este objeto
lah11loso sigue creciendo. Por supuesto, los datos numéricos
e k Coogle no se pueden tomar demasiado en serio puesto
< ¡ 11(' cada secuencia puede aludir a veces a un grupo de rock
o a 1111 obje to sin relación con Móbius.
En este volumen trataré la aparición de la banda de
Mü bius e n dive rsos campos, desde las moléculas y las escul-
111 r<1s en me tal hasta los sellos postales, la literatura, estructu-
~ I
ras arquitectónicas y modelos de todo el universo. La cinta
protagoniza diversas patentes tecnológicas que decoran el
frontispicio de cada capítulo y se tratan brevemente en el
capítulo 4.
En la actualidad, la banda de Mobius se ha vuelto fre-
cuente en joyería e incluye populares colgantes de oro con
inscripciones de versos de la Biblia en hebreo. Constituye
el logotipo de la publicación Mobius: The Journal of Social
Change. Da nombre a una empresa de Santa Cruz, California,
especializada en la conservación y restauración de pinturas
al óleo. En 2004, se comercializó en Charleston, Carolina
del Sur, la cerveza Mobius, elaborada con taurina, ginseng,
cafeína y tiamina, y cada lata iba decorada con una cinta
de Mobius. La publicidad de la empresa dice: «Mobius beer
will keep you going on and on all night long» («Cerveza Mobius:
para que la marcha no pare en toda la noche»). Hasta el
suplemento dietético de calcio Caltrate que se comercializa
en EE UU exhibe una gran banda de Mobius de color rosa
en la etiqueta.
MÓBIUS también da nombre a una revista de poesía cuyo
logotipo consiste en una banda de Mobius. Se denomina
«Mobius Flip» a una acrobacia que se realiza en esquí de
estilo libre y que consiste en dar un giro en el aire mientras
se ejecuta un salto mortal. El Museo de Esquí de Colorado
vende un vídeo de media hora titulado The Mobius Flip con
números espectaculares de esquí en glaciares. Además, en
diversos deportes de esquí acuático se practican «números
de Mobius» y giros invertidos similares sobre esquís acuáti-
cos de tipo hidroala.
Numerosos objetos de la gama de Mobius forman parte
de mi salón particular de obras escogidas. Por ejemplo,
mi grabado favorito en madera de la banda de Mobius es
el titulado Cinta de Mobius JI, obra del artista holandés M.
C. Escher, donde aparecen hormigas rojas recorriendo la
22
111wr fic:ic d<· 1111 ;1 ha11da d<· Mi'>l>i11s. Mi ('snrl111ra preferida
11111 l'I rnismo molivo es la Litulada /~'l lazo sin fin, tallada en
gr .11ri10 por el arLisla suizo Max Bill y expuesta enjardines de
1'H111lt111·;1s a comienzos de la década de 1950. Mis películas
l.1vori1as prolagonizadas por esta cinta son Mobius, dirigida
por ( ~1rslavo Mosquera, y El eterno resplandor de una mente sin
lr 'f 11mlos (lambién conocida en castellano como Olvídate
r/1• 1111,), dirigida por Michel Gondry. Trataremos las tramas
IHl'rarias y cinematográficas relacionadas con Mobius en el
1.1 pí11110 8 y en la conclusión de este libro.
F,11 cs los días, la banda de Mobius se ha convertido asi-
r11 is1110 en un icono de lo interminable y comentaremos por
1·1wima muchas metáforas populares, inusuales e incorrectas
r darionadas con ella, así como objetos geométricos identi-
f 1rados de manera más precisa como bandas de Mobius. En
l.1 lit eraturay la mitología, la metáfora de Mobius se ha utili-
1ado para describir la situación en que un personaje regresa
.r 1111 mismo tiempo o un mismo lugar pero con un punto de
vis ta distinto, porque una cinta de Mobius auténtica posee la
1 11 ;tlidad fascinante de invertir los objetos que se desplazan
1><1r su superficie. Esta inversión geométrica se tornará mani-
1 il'sla en el capítulo 6.
' l'al vez el uso contemporáneo más habitual del término
"banda de Mobius» se produzca al aludir a cualquier tipo de
l'O tnportamiento circular misterioso o, tal como lo expresa
d autor John Fauvel, «la omnipresencia cultural de la
noción de la banda de Mobius está asegurada ahora porque,
a diferencia de otros símbolos matemáticos populares, ha
t'rnpezado a emplearse en toda clase de contextos en los que
resulta completamente inadecuada». Algunas de las citas
<pre figuran al final de cada capítulo constituyen ejemplos
d<' estos divertidos usos contemporáneos.
23
Bufé libre
La geometría es única y eterna, un reverbero del espíritu de Dios.
El hecho de que la humanidad participe de ella
se debe a que el ser humano es un reflejo de Dios.
johannes Kepler, Dissertatio cum Nuncio Sidereo, 161 O
Como en todas mis obras anteriores, animo al público lec-
tor a seleccionar y escoger entre el bufé de temas tratados.
De tanto en tanto repito alguna definición que otra, lo que
facilita hojear los capítulos que más interesen a cada cual.
Muchos de los capítulos son breves, con la finalidad de dejar
tan solo un buen sabor de boca sobre determinado asunto.
Quien tenga interés por ahondar en temas específicos encon-
trará información adicional en las obras de consulta. Para
estimular la participación de quien me lea, el libro contiene
varios acertijos (señalados mediante el símbolo {insertar sím-
bolo}) que instan a reflexionar sobre ellos y cuyas soluciones
se dan al final del libro. Divulgue el espíritu de este volumen
planteándoselos a sus amistades y colegas la próxima vez que
se deje caer en el sofá para escuchar a la Mobius Band, un
trío contemporáneo del oeste de Massachusetts que se sitúa
en los límites del rock y de la música electrónica y experi-
mental.
Con independencia de lo que usted opine sobre la via-
bilidad de las insólitas figuras y los extraños modelos cos-
mológicos que aparecen en este volumen, mis analogías
topológicas le plantearán interrogantes acerca del modo en
que contemplamos el mundo y, por tanto, determinarán su
manera de pensar sobre el universo. Por ejemplo, usted será
más consciente de lo que significa visualizar mentalmente
un objeto de una sola cara o de lo que significa seguir en el
espacio trayectorias inversoras de la orientación.
Cuando termine este libro estará en condiciones de:
21j
1•:111 c 11clc I' ro11< e ptos arra 11os <'01110 los a 11 i l los parad rómi-
i"c 1,'I y los 111oddos ecpiróticos de la c reación del universo
l111pr«'sio11ar a sus amistades con términos tales como
."le l11dpforla, homcomorfismos, eversión de la esfera,
1 q w1 f iri('s no orientables, superficies de Boy, cross-caps,
111w1 fi cies romanas, planos proyectivos reales, la función
ele · Mf> l>i11s µ,(n), números libres de cuadrados, conjetura
de · M<·rt c 11s, la ubicuidad de m2/6, hexaflexágonos, calzon-
c dios d(' Mobius, tetraedros de Mobius, solenoides, esferas
e 1111111das de Alexander, rosquillas prismáticas, el cálculo
h.11 id· 111rico y las botellas de Klein de Bonan-:Jeener
l•\e 1 il>ir mejores narraciones de ciencia ficción relaciona-
el.1s con la banda de Mobius
l•'. 1tlC'11de r la noción más bien limitada que tiene la mayoría
e le · la ge nte sobre el espacio y la forma.
l'c ·1 o qui zá usted sienta deseos incluso de salir a ver la obra
el e· 1e ·:1 t rn /,a cantante calva de Eugene Ionesco con su bucle al
n Hln del de Mobius; de leer mi novela The Lobotomy Club, que
e u .·111 n1 e n una disposición ficticia de las células cerebrales
clc•110111i11 ada banda de Mobius cerebral; o de comprar una
de• l:1s bote llas de Klein más grandes fabricadas en vidrio que
c' e 1krtan en las páginas en Internet de Acme Klein Bottle.
,l.11 ~c. •ometría y la imaginación
Si estuviera encerrado en una cáscara de nuez,
me sentiría rey del espacio infinito.
William Shakespeare, Hamlet, 1603
C 11 . 11 ido recibo correos electrónicos de docentes y legos
1 e·Ll('ionados con las matemáticas compruebo que los obje-
tos 111ílt c rná ti cos que más suelen intrigar son aquellas figuras
25
geométricas que poseen alguna propiedad sorprenden t.
También fascina la idea de que el universo pueda compren-
der un espacio en forma de rosquilla o albergar dimensio-
nes mayores. Todo el alumnado parece obnubilado con la
milagrosa botella tetradimensional de Klein, o al considerar
cómo sería vivir en una cinta de Móbius.
Por desgracia, la mayoría de los estudiantes de enseñanza
secundaria jamás se encuentra con la topología. Espero que
este volumen sobre August Ferdinand Móbius y su banda
sirva al público lector como breve rompecabezas para ini-
ciarse en conceptos más avanzados, sobre todo a quienes
jamás pasarán de la trigonometría en la escuela o incluso en
el desempeño de trabajos técnicos. Curiosamente, aunque la
topología surgió a partir de misterios relacionados con obje-
tos simples como la banda de Móbius, la topología moderna
se desenvuelve en el caos de la teoría matemática. De hecho,
algunas amistades mías dedicadas a la topología recelan de
los teoremas que deben visualizarse para entenderlos. Mar-
tin Gardner señala lo siguiente en su obra Hexajlexagons and
Other Mathematical Diversions.
La gente que se interesa de manera ocasional por las
matemáticas tal vez piense que los expertos en topología son
unos ociosos de las matemáticas que se pasan el tiempo con-
feccionando cintas de Móbius y otros modelos topológicos
divertidos. Si abrieran cualquier libro de texto de topología
reciente, se sorprenderían. Encontrarían páginas y páginas
sucesivas repletas de símbolos, rara vez aligeradas por una
figura o diagrama.
Con este libro espero despertar el gusto del público por la
topología, por las dimensiones más altas y por insólitas figu-
ras retorcidas mediante el empleo de muy pocas fórmulas. La
topología es una fuente infinita de formas extrañas y mara-
villosas, y a lo largo de muchos años he estado enamorado
de la topología recreativa por su valor educativo. La contem-
26
pl.11 i.'111 dd prnhk111a 111:ís si111pk ya abre la imagina<.:i<Jn. En
1111 ~ 1 · 11t 1do 111:ís ~cncrnl, la utilidad de las matemáticas radica
~ · 11 q1w nos pcrmite construir naves espaciales e indagar en
111 g1·n11H·lría del universo. Los números y la geometría cons-
lit11i1 .111 1111cstra primera vía de comunicación con razas alie-
11Í~\1 · 11 ~ 1 s inteligentes. Hasta es posible que el desciframiento
11t. l.1 topología y las dimensiones superiores nos permitan
. d ~\(111 día escapar del universo cuando este llegue a su fin,
l 111 11 envuelto en un calor o bien en un frío extremos, y
1 111•111<Ts podamos considerar todo el espacio-tiempo como
11111 ·H t1 ·0 hogar.
l loy lrn; matemáticas se han filtrado en todos los campos
1111 quehacer científico y desempeñan un papel valiosísimo
1•11 11iología, física, química, economía, sociología e inge-
1 ii1 ·11a . Las matemáticas se usan para explicar los colores de
1111:1 p11esta de Sol o la arquitectura del cerebro humano.
l .:tH 111atcmáticas permiten construir aeronaves supersónicas
)' 111011tañas rusas, efectuar simulaciones sobre las existencias
d1 · los recursos naturales de la Tierra, explorar realidades
1'11 .111ticas subatómicas y tomar imágenes de galaxias lejanas.
1 .. is 111atemáticas han cambiado nuestra visión del cosmos.
1.ns citas
Los matemáticos son máquinas de convertir café en teoremas.
Paul Erdos, citado por Paul Hoffman
en El hombre que sólo amaba los números
Soy un lector voraz y tengo un libro de recortes con las citas
1 11riosas que cada día mecaen ante la vista. Muchas proce-
d<"n de periódicos, revistas y libros que leo. Al final de cada
capítulo de este libro aparecen retazos de las fuentes que
tratan de un modo interesante algún aspecto simbólico de
27
la banda de Móbius. He señalado estas citas oportunas, y en
ocasiones extrañas, mediante el símbolo {insertar símbolo).
Agradeceré sus comentarios, y espero con ilusión sus aporta-
ciones personales sobre citas relacionadas con Móbius. ¡Que
lo disfrute!
La cinta de Mobius en la religión
28
Pero Dios no tiene piel ni forma, porque no hay nada fuera de él.
(Con un niño suficientemente despierto,
ilustraré esto con la cinta de Mobius [. .. ].)
Alan Watts, El libro del tabú (traducción de R. Hanglin)
Como la cinta de Miibius, el interior
y el exterior de Dios son la misma cosa.
Frank Fiare, To Christopher: From a Father to His Son
Solo un judío consigue entender que la voluntad de Dios y nues-
tro libre albedrío discurren mano a mano. Otros se volverían locos
con esto. Son como una banda de Mobius: aúnan lo de dentro y lo
de fuera, lo de arriba y lo de abajo.
Robert Eisenberg, Boychiks in the Hood: Travels in the
Hasidic U nderground
Los MAGos DE M6B1us
Mdbius es un nombre de andar por casa (al menos por las
m .1·r¡,s matemáticas) gracias a un juguete topológico. Pero August
f\ /;j/Ji'll,S influyó en las matemáticas a muchos niveles ... [Su legado
t1 /f/, modernidad] constituye buena parte de la principal corriente
matemática actual.
Jan Stewart~ «Mobius '.s Modern Legacy»
en Móbius and His Band
1 :11 :111do estaba en tercer curso de enseñanza primaria asistí
1 L1 li<"sta de cumpleaños de un vecino que incluyó un espec-
LÍ1 1ilo de magia. Un mago con una chistera negra me dio
1111.1 l'Ínla que al parecer confeccionó pegando los extremos
d1 • tiras brillantes para formar un gran lazo. Tenía tres de
i 'Hns lazos (una cinta era roja, otra azul y la tercera violeta).
11:1 111ago se llamaba el señor Magia. Muy original.
F.I sc11or Magia sonreía mientras trazaba una línea negra
p111 d centro de las cintas en sentido longitudinal, como la
l111('a discontinua de una carretera (figura 1.1). Entonces
1·11s<·116 las cintas al público. Un niño las agarró pero el señor
l\1.1gi:1 dUo algo así como «¡Paciencia!».
29
1.1 Banda de Móbius con una línea pintada a lo largo del centro.
Yo era un chico tímido y obediente, y el señor Magia debió
de notarlo porque me alargó unas tijeras y dijo <joven, corta
la cinta a lo largo siguiendo la línea». Y señaló la línea dis-
continua de una de las cintas.
Yo estaba emocionado y corté la cinta roja hasta llegar al
mismo punto por el que había empezado a diseccionarla. La
cinta se deshizo en dos anillos completamente separados.
«Qué chulo», dije, pero en realidad no me había impresio-
nado tanto. Aún así, me pregunté qué estaba pasando.
«Ahora, corta las otras».
Asentí con la cabeza. Al cortar la cinta azul, apareció una
cinta el doble de larga que la primera. Alguien aplaudió.
Entonces me entregó la cinta que quedaba, la violeta. La
corté y dio lugar a dos anillos entrelazados, como dos eslabo-
nes de una cadena.
Cada color se había comportado de un modo muy distinto;
¡eso sí que era chulo! Las cintas presentaban unas propie-
dades completamente diferentes aunque a mí me hubieran
parecido idénticas. Años más tarde, un amigo me explicó el
misterioso truco. El lazo rojo, azul y violeta se confecciona-
ron de un modo distinto al unir los extremos. El rojo era el
más sencillo. Era un aro simple sin ningún giro, parecido a
una cinta transportadora convencional o a una goma gruesa
de caucho. El lazo azul, en cambio, era la famosa cinta de
30
Mi\bi11'1, n>11l1·< rio11;id:1 Iras girar IHO grados un cx lrcmo
11 •11 p1 ·1 lo dd otrn antes de unirlos c nLrc sí. Eslo suele deno-
111i11.11'11' .. 111<·dio g iro». El lazo violeta se creó girando uno
d1• 111 '4 1·x 1n·111os 360 grados con respecto al otro antes de
1H 1¡p 1 los.
F11 l.1 .1r1ualiclad , los magos suelen llamar a este número el
1111111 ,¡,. los tintas afganas, aunque no estoy seguro de dónde
1111111 > 1·s<· nombre . El truco, ejecutado con ese nombre, se
n 11111111 a ti al rededor de 1904.
Sq\ 1111 el libro Mathematics, Magic and Mystery de Martin
e !: 1Hl111·1 ', la primera referencia sobre el empleo de la cinta
ilc l\ li'> hius como truco de salón figura en la edición inglesa
íl~ 1 HH~ d e la obra Les récréations scientifiques de Gastón Tis-
11111 IJ<'r, publicada por primera vez en París en 1881. Carl
l\1 e 111.1 , fabricante estadounidense de toda clase de trucos
de • 111 :1gia, ejecutó a menudo el truco de las cintas afganas
1111 l'l~O . usando muselina roja en lugar de papel. En 1926,
l111111 ·s A. . Nelson describió un método para disponer una tira
d1 • p:1 pcl de manera que con dos cortes se obtuviera una
• •11 k11a de tres bandas entrelazadas (figura 1.2).
l.,___._ rrimc 1· coree
~ Segundo corle
Toda la hmub 1icuc dos gin>!!
en la dlrc<:dón de la n ccha
L.2 Método de James A. Nelson para preparar una cinta
«mágica» de papel tal que al darle dos cortes se obtenga
una cadena de tres bandas entrelazadas. (Extraído de
Mathernatics, Magic and Mystery de Martin Gardner.)
31
El mago Stanley Collins describió otro truco fascinante en
1948 con una banda girada y un anillo. En él ensartaba un
pequeño anillo metálico en una tira de papel o de tela y
entonces unía sus extremos después de tres giros para obte-
ner un rizo cerrado. Como de costumbre, el mago corta la
tira por el centro (como si cortara a lo largo de la línea cen-
tral de una carretera) hasta llegar al punto de partida, lo que
daba lugar a una tira larga anudada alrededor del anillo.
En la actualidad, el mago profesional Dennis Regling, que
practica «magia evangelizadora» en catequesis dominicales
y campamentos religiosos, utiliza la banda de Mobius para
afianzar la fe en Dios. Al igual que el señor Magia, Dennis
usa los anillos durante una de sus sesiones llamando a tres
voluntarios. A continuación, coloca los grandes anillos sobre
la cabeza de cada voluntario y explica « ... del mismo modo
en que Dios nos hizo, y aunque nos parecemos en muchos
aspectos, también nos ha otorgado a cada cual unos dones
distintos. De manera que todos somos únicos a los ojos de
Dios». Luego corta los tres lazos distintos con unas tijeras y
cada una da lugar a los tres resultados descritos con anterio-
ridad.
Otro mago profesional evangelizador, Eric Reamer, tam-
bién recurre a estos tres lazos para fomentar la religión. Eric
pertenece a una comunidad evangélica nacional estadouni-
dense pensada para traer la «verdad del evangelio de J esu-
cristo» a un mundo «necesitado» mediante ejemplos prácti-
cos visuales e ilusiones ópticas. En primer lugar, muestra a la
audiencia el lazo sin ningún giro y dice: «¡Me encantan los
círculos! ¡Son tan chulos! ¡No tienen principio ni fin, y eso
me recuerda a Dios!». Entonces explica que Jesús disfrutaba
de una eternidad semejante y rasga el lazo normal para obte-
ner dos bucles separados idénticos que simbolizan a Dios
padre e hijo.
Luego muestra el lazo con el giro completo y explica que,
según enseña la Biblia, Dios nos creó a su imagen y que
«envió a Jesús para que lo instáramos a entrar en nuestro
32
t rn 111.1111 I>' 1·s111vit'rn111os cl(·rna11w111e u11idos a Dios! ». Eri "
•i t11 ¡•I l.1111 y aparecen dos entrelazados.
l;i11 111111110, l•:ric presenta la cinta de Mobius auténtica,
•11 li ll 1111:dio giro, y dice: «Dios tenía que amarnos mucho
11111 :1 1•11 vi:i r a su único hijo, ¿no creen?». Entonces pide al
p1il d11 11 q111· imagine las proporciones de ese amor. Rasga la
l i¡ 111d ,1 de · Mübius y muestra a la audiencia una cinta que ha
l11hl.1tl11 s11 longitud. Eric añade que este truco también se
p1 ,.,""' 11:1r:i enseñanzas relacionadas con el compañerismo y
1 111.1111111011io.
\l11111d:ircmos en las explicaciones de esta magia en
q1111d11 :-i posterioresy estudiaremos formas más inusuales
11"ti 1 ¡ 11 ·1 o , por el momento, tiene gracia reflexionar sobre
1 11111do <"li que el artículo de matemáticas abstractas de
~H'1l 11w1 q11e introdujo la banda hace más de un siglo, se usa
11 11 lí1 ;11 t11alidad para desconcertar a niños y para practicar
11 1i1gi:1 1·vangclizadora que acerca los niños aJesús y conso-
liil11 l.1 k v11 lo divino.
1·\I 1111i~11m de la cinta de fitness
/ 1nm, f'Sle enigma, imaginemos que el doctor Mobius era un inven-
/111 1·,,·tmordinario pero excéntrico. Durante sus viajes por Sajonia
trll'll 11l aparato gimnástico que aparece en la .figura 1.3, confiado
1•11 1¡11.r' él y sus herederos amasarán algún día mucho dinero con
n/11 ingeniosa máquina. Pero, ¿funciona realmente? Mientras el
rl11t /11r Mobius corre sobre la cinta, ¿girará el rulo situado debajo?
o 1¡11nlará bloqueado y, por tanto, el doctor Mobius se saldrá por el
11,\'/J1'1110 y caerá por el profundo barranco? ¿Qué efecto provocará la
1 111I11, rn/orma de ocho en el funcionamiento del aparato? ¿Discurri-
1 "' r/11 otro modo si se reemplazara este ocho por una banda de Mobius
( 11110 tinta transportadora con medio giro)? Si el instrumento no
/1111tionrtm, ¿cómo lo arreglaría usted? ¿Actuaría el instrumento de
33
34
un modo distinto si todas las cintas estuvieran giradas? (Busque la
respuesta en el apartado de soluciones.)
1.4 ¿Girarán con soltura las cintas del aparato de fitness del
doctor Mobius si la cinta en forma de ocho se reemplaza por
una banda de Mobius? (Dibujo de Brian Mansfield.)
Un apunte sobre el lugar de Móbius en la historia
El hecho de que el nombre de Mobius se recuerde por un pasa-
tiempo topológico se debe a un accidente de la historia. Pero es
normal que que fuera Mobius quien señalara un hecho simple en el
que cualquiera podría haber reparado a lo largo de los últimos dos
milenios; y es normal que nadie lo hubiera hecho, con la salvedad
del hallazgo simultáneo e independiente logrado por Listing.
Jan Stewart, «Mobius Modern Legacy»
en Móbius and His Band
2
N l J DOS, CIVILIZACIÓN, AUTISMO Y
EL COLAPSO DE LA FACIALIDAD
La artista de strip-tease mejor de Avilés
quedaba desnuda veloz, ¡yo la vi!
Y tanto leyó sobre ciencia en inglés
que murió la pobre vuelta del revés
haciendo en escena un Mobius strip.
< :yril Kornbluth, «The Unfortunate Topologist», 1957
35
Hormigas dentro de esferas
Si tomáramos una esfera hueca con una hormiga dentro
resultaría sencillo distinguir las dos caras. Una hormiga que
caminara por el interior de la esfera no lograría salir a la
superficie exterior de la misma, y cualquier hormiga que
recorriera la parte de fuera, no accedería a la de dentro.
Del mismo modo, un plano que se extiende en todas direc-
ciones hasta el infinito también tiene dos caras: una hormiga
que avanzara por uno de los lados no podría acceder al otro.
Incluso un plano finito, como una página de papel arran-
cada de este libro, se considera bifronte si no permitimos
que una hormiga cruce los afilados bordes del papel. De
manera similar, una figura en forma de rosquilla hueca, o
toro, tiene dos caras. Una lata de refresco tiene dos caras. La
primera superficie de una sola cara descubierta y estudiada
por los humanos es la cinta de Mobius. Parece inverosímil
que nadie en la Tierra haya descrito las propiedades de las
superficies de una sola cara hasta mediados del siglo XIX,
pero la historia de la ciencia y las matemáticas no guarda
registro previo alguno sobre este tipo de observaciones.
La cinta (o banda) de Mobius es una superficie fascinante
de una sola cara y un solo borde. Tal como comenté en el
capítulo anterior, para confeccionar esta cinta basta con unir
los dos extremos de un trozo alargado de papel tras darle a
uno de los cabos un giro de 180 grados con respecto al otro.
Como resultado se obtiene una superficie de una sola cara
en la que un insecto podría ir de un punto a cualquier otro
del objeto sin atravesar jamás ningún borde. En cambio, si se
unen los extremos de la cinta sin realizar ese giro previo, el
resultado se asemeja a un cilindro o a un anillo, dependiendo
de la anchura de la cinta. Como los cilindros tienen dos caras,
cabe la posibilidad de pintar una de ellas en rojo y la otra en
verde. Pruebe a colorear una cinta de Mobius con un lápiz.
Es imposible pintar un lado de rojo y el otro de verde porque
solo tiene una cara (figura 2.1). Esto implica asimismo que la
36
1 l111t1 1k Mol>i11s !H'I mil(' tra1.t1r una lí11('t1 ro111i11ua entre dos
p111110~ e 11 .d1 ·sq11iern de la misma sin atravesar ningún borde.
J 1 l'1111 ·IH' a co lo rear una cinta de Mobius. Si dos personas inte n-
11111 111 ¡i111t:11 1111 a cara de rojo y la otra de verde, se armarían un lío.
li'. 11111 111 11il1si<'> 11 constituye en realidad la clave de una tragicomedia
ii111l.11l .1 .. /\ . l\ous a nd the Mobius Strip» («A. Botts y la banda de
\ lo ti 1111 ~ ) y q uc se estudia en el capítulo 8, donde una persona
11111 111 .1 ¡1111tar 1111a y otra vez solo un «lado» de una cinta d e Mobius.
( ·, t1d '1•11 ione una cinta de Mobius en este instante y póngala
·¡H i1í1 ~ 1 cl1 · 11na mesa. Coloque un dedo sobre un borde y otro
nlJli ' , 1 uolro». Mantenga quieto uno de los dedos mientras
11 11¡ 11 ;11;1 t'I otro por el borde. Al final, el dedo en movimiento
l 11d i11i 1 ,., mrido todo el borde hasta chocar con el que perma-
!! l't Í;1 q11il'I<>. Oc hecho, cualquier tira de papel con un número
11111'111 ck 111 cdios giros se asemeja a la de Mobius, porque todas
1111'Í111.1s rncntan con una sola superficie y un solo borde.
1 e in1.1 de Mobius presenta numerosas propiedades fasci-
1n111lc ''l Al <'Orla r la banda por la mitad en sentido longitu-
i l!11 1tl , 1.tl <'orno señalé al comentar los trucos de magia en
1 •. ;q 11111 lo 1, e n lugar de crear dos bandas separadas, se
1ol1 ti1•11 1: 1111a cinta larga con dos medios giros. Si esta banda
.;1 i ·c 11•1.1 .1 s11 vez a lo largo por la mitad, se forman dos ban-
,¡ ,,,. c 11l 1 l'la1.adas. En otras palabras, esta segunda partición
il n 111 ~· .. 11 :1 dos bandas engarzadas.
l•,11 1 .111d>io , al corta r una cinta de Mobius en sentido lon-
1i 111d i1Ltl por un tercio de su anchura, surgen dos bandas:
37
una de ellas es una cinta de Móbius más estrecha, la otra es
una banda larga con dos giros completos (un giro completo
equivale a una rotación de 360 grados). Intentemos visua-
lizarlo. Sabemos que al cortar una cinta de Móbius por el
centro en sentido longitudinal se vuelve al punto de partida
del corte en el centro de la banda. La cinta se recorre una
vez antes de regresar a dicho lugar. En cambio, al cortar la
banda por un tercio de su anchura solo se llega al punto
donde iniciamos el corte después de darle dos vueltas a la
cinta de Móbius porque, al completar la primera vuelta, el
corte se encuentra aún a un tercio de distancia del punto de
partida en la superficie de la banda.
En otras palabras, el corte nos obliga a recorrer dos veces
la cinta de Móbius antes de regresar al punto de partida, y
da lugar a dos bandas (figura 2.2). Llamaremos banda A y
banda Balas dos bandas resultantes. La banda A es idéntica
a la cinta de Móbius original, solo que su anchura equivale
a un tercio de la inicial (de hecho, se trata del tercio cen-
tral de la banda de Móbius de partida). La banda A es la
más pequeña de .las dos que se representan en la figura 2.2
y está engarzada a la banda B, dos veces más larga que la
A. Por tanto, la trisección de una cinta de Móbius crea una
banda de Móbius pequeña A engarzada a la banda más larga
y bifronte B que presenta cuatro medios giros.
B
2.2 El corte longitudinal de una cinta de Mobius por un tercio de su
anchura da lugar a dos bandas: una cinta de Mobius más estrecha
que la inicial, y una cinta más larga con dos giros completos.
En Festival mágico-matemático, Martin Gardner revela que
38
'"" ,1111l los i11lt•l'('Oll('('tados /\ fl d1· 1:1 ligmil ~.~ S!' p1wd1·11
1r1111111 .11 par:1 cr<•ar 1111a cinta de Mül>ius de tres ('apas,
1¡11 1 11111(> S<' il11st rn c11 la ligma 2.'.t l .a lí11ca sombreada se
i 111 ·1 e • ..,po11d1 · co 11 el borde del anillo A.
~.: \ /\ partir de los anillos A y B de la figura 2.2 se puede
formar una banda de Mobius de tres capas.
11;l\:1111i11cmos con más detalle este objeto de tres capas. En
''" 11 • :111idarniento precioso, las dos «bandas» externas parecen
t 1Nl111 ~wparadas en todo momento por una cinta de Móbi11s
i1q1;111·dacla «entre» ellas. Gardner señala que se obtiene
h1 1111 '1 111a estructura al unir tres bandas idénticas, sujetarlas
¡ rn1111 111ia sola, aplicarles medio giro y unir cada uno de los
t ¡ 1 ~ p.11 ('s de extremos correspondientes. Al pintar de azul la
1qwl'liric «exterior» de esta banda triple, se comprueba que
h1 1i 1 .ip;1s exteriores se pueden intercambiar de manera que
11 1 l.11111 azul de la banda más larga quede hacia el interior, y
l.1 l1.111d:1 triple se torne blanca por la parte «exterior».
e :onsidcremos otros experimentos con distintos cortes.
;1 p.11 timos de una banda de Móbius «madre» con tres
1111 dios giros y luego la cortamos por el centro en sentido
l1111w111di11al para obtener una banda hija, esta será más
1111 H·' y tendrá ocho medios giros. Cabría imaginar múltiples
1 " pc ·1 i111cntos de disección pero también se pueden esta-
1.¡,e1 ·1 cintas generalizaciones. Por ejemplo, para calcular
•~ 1 111111H'l'O de medios giros que tendrá la banda hija, hay
89
que doblar el número de medios giros de la banda madre
y añadirle dos.
El propio Mobius consideró y trazó diversas variantes de su
cinta. La figura 2.4 procede de los textos inéditos de Mobius
e ilustra la banda y algunas descendientes suyas con distintos
giros. El bucle de papel presenta dos caras si el número de
medios giros es par, y una sola cara si el número es impar.
@
2.4 La banda de Mobius y algunas descendientes suyas con
distintos giros, extraído de textos inéditos del propio Mobius.
[Fuente: Mobius's Werke, 11, página 520. Véase también la página
122 de Mobius and His Band, edición de John Fauvel, Raymond
Flood y Robín Wilson (Oxford University Press, 1993).]
Se pueden usar notaciones matemáticas para establecer
otras generalizaciones sobre las propiedades de disección de
las bandas giradas. Imaginemos que un extremo de una tira
de papel recibe m medios giros (es decir, se gira mm radia-
nes o m x 180º) antes de pegarlo al otro extremo. Si mes
una cantidad par, se crea una superficie con dos caras y dos
bordes longitudinales. Si la banda se corta a lo largo por el
centro, se obtienen dos anillos que aparecen engarzados Yzm
veces y donde cada uno presenta m medios giros. Si mes un
número impar, se genera una superficie de una sola cara
y con un solo borde longitudinal. Si este rizo de papel se
corta a lo largo por el centro, se obtiene un solo anillo pero
con 2m + 2 medios giros, y si mes mayor que 1, el resultado
presenta un nudo.
40
lío hoc·mlillo ('On bandas de Mübius
l 11111 de· l:1s disposiciones de tipo Mobius más desconcertan-
t{ 'IC l.1 e 011stituyc el bocadillo sencillo de cinta de Mobius,
1 11 •:1d11 ron tan solo dos tiras de papel. He conocido a gente
1p11• h:1 dl'dicado horas a reflexionar sobre esto escuchando
1 l'i 11 k Floyd y sin llegar a entender por completo de qué
ti 1,1 1·1 :is1111to. Para confeccionar este objeto empezaremos
i111 :111do una tira sobre otra, como las dos mitades de pan
1 111 1111 l>ocadillo. Una vez juntas, les aplicamos medio giro y
li11i 1111i111os por los extremos como para crear una banda de
~li'\ hi 11s sencilla (figura 2.5).
' ' r> l• '. I bocadillo sencillo de banda de Mobius, creado a partir de
dos tiras de papel, tiene unas propiedades extraordinarias.
."i11jl'lc el objeto de dos capas entre las manos. Al principio
11. p.1r<-ccrá haber fabricado un par de bandas de Móbius
1111cl:1das que permanecen abrazadas entre sí a lo largo de
h1 ~411p<'dicie que comparten. Pero, ¿cómo entender real-
1i11 ·111t· esta creación? En primer lugar, perfore con cuidado
¡•l 11l>j<·to con un mondadientes. A continuación, introduzca
1•1 111011dadientes entre ambas bandas y deslícelo por ellas
l1 :1-1L 1 completar una vuelta; comprobará que llega al punto
tl1 partida. Sí, parece claro que tenemos dos bandas sepa-
1',11 l.1s porque siempre queda un espacio intermedio entre
' l l.1s .
1\liora bien, tome un lápiz rojo y coloree con él una de
l,1"1 h:i11das de Móbius. Continúe alrededor de toda la super-
li1 í• '. Acabará volviendo al lugar del que partió después
11 •1 111 rn dos veces el bocadillo de banda de Móbius, lo que
41
parece indicar que las bandas no están anidadas, sino que
conforman una sola banda con una superficie y un borde
longitudinal únicos. Para acabar de sorprenderse, separe las
dos bandas y descubrirá que ¡se trata de una sola banda más
larga con cuatro medios giros!
Cinta liublianesa, autismo y nudos vórtice
Una amiga eslovena obtuvo en cierta ocasión resultados
similares tras efectuar varios cortes que presentó como
trucos de magia con una enseñanza política. En particular,
sostuvo en alto una cinta carmesí brillante que, al cortarla,
se convertía en un nudo de trébol, un nudo con tres cruces
(figura 2.6). El truco tenía la finalidad de mostrar las ven-
tajas de que varios países se unieran para formar la Unión
Europea.
Su cinta carmesí, que ella llamaba cinta liublianesa, tenía
tres medios giros, en lugar del medio giro único de la banda
de Mobius. Al dividirlo a lo largo, el anillo liublianés se con-
vierte en un nudo de trébol. Esto concuerda con la regla
que acabamos de mencionar: si mes impar, solo se forma un
anillo al cortar el rizo, pero si el número de medios giros se
corresponde con 2m + 2, entonces se obtiene un resultado
anudado.
El nudo de trébol se ha estudiado ampliamente en mate-
máticas desde comienzos del siglo XX. Las imágenes espe-
culares del nudo no son equivalentes, tal como demostró
por primera vez el matemático alemán Max Dehn (1878-
1952) en 1914. Dehn escribió una de las primeras explica-
ciones sistemáticas de topología en 1907. (En 1940 huyó
de la persecución nazi y consiguió convertirse en el único
matemático que enseñó en el Black Mountain College de
EE UU.)
42
~~
Espejo
11 li N1u lo de trébol. Las imágenes especulares de este nudo
1111 ~ n11 iguales, y ya se puede girar, desplazar o deformar
1 11 .dq1ii('l':1 de estos nudos como se quiera que jamás se verán
1 11 11 . d1 · ,~. a 111cnos que se corte el enlace y vuelva a anudarse.
( '1111 111dcp{'ndencia de cómo se estiren, se muevan o se
kf 1111111 ·11 los nudos de la figura 2.6,jamás lograremos trans-
1¡11111 .11 1111 1111do en el otro. Este nudo simple debe su nombre
1. l,1:.i ¡1l.1111as del género Trifolium, formadas por hojas trifo-
l h Hli• ~ 1 rnnpuestas. Este nudo sirve de base a innumerables
! 1111111 .1 s y logotipos, como el emblema de la Caixa Geral
11!1 l t1 prn~i tos (el mayor banco de Portugal) y la escultura en
1111111.1 clc · nudo de trébol deJohn Robinson alojada en eljar-
1111 d1 l 1·s111dio de Robinson en Somerset, Inglaterra (figura
) , No l ('Sl' que el nudo de Robinson está confeccionado
¡¡11 1111,1 rinta girada de manera que tiene una sola cara. El
1111!111 de t r{bol aparece asimismo en el famoso grabado en
1iit11 l1 1.1 <k M. C. Escher titulado Nudos y en las creaciones
H1t'lll1 .1 ,11 pm computadora dejos Leys, bien conocidas por el
i 1'1 di;111111 de sus luces y sombras (figura 2.8).
43
2.7 El profesor Ronnie Brown de la Universidad de Gales, en Ban-
gor, y el escultor John Robinson posan de pie ante la escultura en
forma de nudo de trébol titulada Inmortalidad. El Departamento de
Matemáticas de la Universidad de Gales (Bangor) adoptó esta obra
como logotipo. (Imagen cortesía de Edition Limiteé, Ginebra.)
2.8 Gráfica por computadora de un nudo de trébol, realizadapor Jos Leys.
El estudio de los nudos, como el de trébol, forma parte
de una rama inmensa de las matemáticas dedicada a bucles
girados cerrados. Durante siglos, la comunidad matemática
ha intentado desarrollar algún modo de diferenciar los
nudos reales de marañas que parecen nudos, así como para
distinguir un nudo de otro. Por ejemplo, las dos configura-
ciones de la figura 2.9 representan dos enlaces que durante
más de setenta y cinco años se consideraron dos tipos <lis-
44
lllll!IK 1k 1111dos. 1•:11 1~)74, u11 111ale1míti<.:o descubrió que
h11111111l111 'e111 1 a111biar el punto ele visLa de uno de los nudos
11111 1\ t1~· 111 ~ 1str:1r que ambos nudos eran el mismo. Hoy estos
1111111 •11 ~ ' '. crn1orc11 como «el par de Perko». Aunque desde
1 HÍHl•1 X 1 X S(' calalogaron como nudos distintos en muchas
l1tl•l •1" de · 1111dos, el abogado neoyorquino, y topólogo a ratos,
l\111i11e th l'nko demostró que en realidad se trata del mismo
11\Hl•• ¡1111"dia11le la manipulación de cuerdas en el suelo del
lnti 111 "1 11 <':lSct!
' 1 I l '.11· e k 1111dos de Perko. ¿Son estos nudos iguales o diferentes?
1 h , ~ 1111111 >S se consideran el mismo si uno de ellos se puede
11i 11 1iip1d.1r, sin cortarlo, de manera que se muestre idéntico
11 ilt 111 1 11 r11anto a la ubicación de los cruces superiores e
id ,1ilq11•s. l.os nudos se clasifican por, entre otras caracte-
' íl! I j¡ ¡1.,, l.1 disposición y el número de los cruces y ciertas
I'' ¡¡ pie e l.11ks ele sus imágenes especulares. Dicho de un
ip u ílil 111.1s preciso, los nudos se clasifican mediante diver-
¡¡~ i 11\1;11 i:11lles, como las simetrías y el número de cruces,
11ti, 1 1111·;1s q11e las características de las imágenes especulares
l1111P 11qw11:111 un papel secundario en la clasificación. No
¡'"' 1ii11g1'111 algoritmo general y práctico para determinar
l 111111 1 111 va enredada es un nudo o si dos nudos concretos
t.~ 11 1•1111dazados. Obviamente, la mera contemplación de
45
un nudo proyectado sobre un plano (aunque se aprecien
los cruces superiores e inferiores) no constituye un buen
método para afirmar si una cuerda es un nudo o un no-nudo
(un no-nudo equivale a una cuerda cerrada como un círculo
sencillo carente de cruces). Por ejemplo, consideremos el
«misterio del no-nudo» de la figura 2.10. ¿Podría afirmar
usted que se trata de un no-nudo mediante la manipulación
mental del objeto? Le he pedido esto mismo a docenas de
colegas, y la mayoría fue incapaz de resolver si se trata de un
nudo real o de uno desanudado simplemente mirándolo.
¿Conseguiría visualizar la solución en su mente algún sabio
autista o alguien con síndrome de Asperger? En ocasiones,
los niños con autismo se quedan fascinados con objetos que
no constituyen juguetes típicos, como trozos de cuerda, com-
plejas madejas de hilo, o gomillas elásticas. Algunos anudan
cuerdas sin cesar.
Entre la gente a la que pregunté se encontraba una mujer
habituada a tejer que logró concluir que se trata de un no-
nudo solamente mirándolo. Otra mujer con síndrome de
Asperger también logró resolver el enigma en treinta segun-
dos. Ella me explicó que siguió el método de desenredar la
cuerda mentalmente hasta obtener un círculo.
..
2.10 El «misterio del no-nudo». ¿Es un nudo esta figura?
En 1961, Wolfgang Haken, en la actualidad miembro de la
Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, desarrolló un
algoritmo para dilucidar si la proyección de un nudo sobre
un plano (siempre que conserve los cruces superiores e infe-
46
t1Hii. ) ~·11 c•11 1t'alidad 1111 ll<H1udo. Sin embargo, se Lrata de
pí c u1 •cli111i<·111o lan co111plcjo que jamás se ha utilizado.
t 11'• 11l t'1 cp1<· <kscribe el algoritmo en la publicación Acta
f111•1111111u1 1i( •11<· 1 ~O páginas.
l 1111111' e 11' t r(·bo l y el nudo en ocho conforman los enlaces
i111pl1 ·1-1, d(' forma que el primero se representa con tres
tili n.) 1 1 S('g1111do con cuatro (figura 2.11). Ninguna otra
l1111r d• • 1111clo se puede dibujar con tan pocos cruces. Con
cíln •1, l.1 c 0111unidad matemática ha confeccionado tablas
1¡ 11111 1111 111c ·11tc inte rminables de nudos distintos. Hasta la
h 1 fí ,1 ~ • 11 .111 ide ntificado más de 1.7 millones de nudos no
1 qtti \•1 d1 •11t1.·s formados por dieciséis cruces o menos.
11 N111lo <k- 1rébol (izquierda) y nudo en ocho (derecha).
1 !lit 1111clos simples, como el nudo de trébol o el nudo
ti t 1í l ir1 t.1111 l>ién resultaron servir de base a los primeros
lttl1 1 n1n~ por desarrollar una «teoría de cuerdas» para los
l!!llí11H, 1111 nimpo de investigación que, quizá para sorpresa
ti. 1i! j\ 111111 1-1 lt'rlores, surgió en el siglo XIX. El matemático y
; /11 11/ William Thomson Kelvin (1824-1907) aceleró la
11 11 1¡1 111 .1t1 ·111 <ítica de los nudos durante sus tentativas por
11 111111 lc ·los de átomos que, a su parecer, consistían en
illíl .1d e 11 1111dos diferentes atados en el éter que, según
11, ii. 1 •l . 1111prl'gnaba el espacio. Él defendía que los átomos
1 ¡¡ 11 1, 1:.. 11 ,111 1·11 realidad en diminutas cuerdas anudadas y
ji íl ' {'I ti I'º dl' 11 uclo condicionaba el tipo de átomo (figura
l 'i'l l ,11 1-1 l1 siros y matemáticos de su tiempo emprendieron
' 1 d 1c 11 .wion de una tabla con los distintos nudos con el
'" ' '- 111 1111it'11to de que estaban confeccionando una tabla
17
de los elementos. La definición de nudo que daba Kelvin
era idéntica a la utilizada en topología: un nudo es una
curva cerrada que no se corta a sí misma y que no se puede
deshacer en un bucle simple. La estabilidad topológica y la
variedad de los nudos se consideraban determinantes para
la estabilidad de la materia y la variedad de los elementos
químicos.
~q
d~
¿Plomo? ¿Sodio?
2.12 Hacia el final del siglo XIX, algunos científicos cre ían que cada
átomo se correspondía con un nudo distinto atado en el éte r.
Los científicos dieron crédito a la teoría de Kelvin sobre
los «átomos vórtice» durante unas dos d écadas. Hasta el céle-
bre físico James Clerk Maxwell (1831-1879) consideraba que
«satisface más condiciones de las consideradas por ningún
[otro modelo sobre el] átomo». La teoría de los átomos vór-
tice de Kelvin inspiró al físico escocés Peter Tait (1831-1901)
para iniciar un estudio y catalogación exhaustivos de nudos
con el fin de facilitarse la tarea de esclarecer cuándo dos
átomos eran realmente distintos. Sin embargo, gran parte
del entusiasmo que sentía por la teoría de nudos cesó de
golpe cuando los científicos descubrieron que el éter invi-
sible del espacio no existe. Por desgracia, el interés por los
nudos siguió menguando durante décadas.
La química ha avanzado mucho desde la época de Kelvin.
En la actualidad, los químicos son capaces de llevar a cabo
la compleja labor de sintetizar moléculas anudadas, incluidas
moléculas con nudos de trébol. Mostraré algunos ejemplos
en el capítulo 4.
La comunidad científica también ha realizado nudos
48
llfllí11I } 1111dos ('11 orllo d(' ADN. Mol(culas circulares
1111 li1 1'1 de · Al>N , corno los plásmidos, se pueden anudar,
1111 d i11 1111l w• 1111dos de ADN se pueden separar de manera
1u11 l11w111.ll 111cdiante una técnica de laboratorio llamada
hit 11 1il1111 ·sis en ge l, mediante la cual una corriente eléc-
h 11 Pl•lt F,· ' :1 las mo léculas a atravesar un gel. Las propie-
l1u l111i 111_ c .• 1cl :1 molécula determinan la rapidez con que un
tllpP 1•l(·1 11 in > la desplaza a través de un medio gelatinoso.
ii 1tcl c1s 1 0 11 di stinto número de cruces se mueven a velo-
dls1i111as por el gel y, por tanto, producen bandas
11í1i• 1111 ,. c· 11 d mismo.
l l i!\ µe cl .111 C'onferencias enteras sobre nudos. Los cientí-
¡-111 111cl1.111 los nudos en campos tales como la genética
11 h11 ( p;1 ra saber cómo desenmarañar un rizo de
N ) )' h1 li sirn de partículas, en un intento por describir
lli! llt1 ¡d1 ·1.1 f"11ndamental de las partículas elementales. Por
1n pli1, l'lio('()e Hoidn y Andrzej Stasiak, dela Universi-
l 11f1 l .:1wwia, Suiza, y Robert Kusner, de la Universidad
l . i ~t1i 1 1 • l1ww 1ts , en Amherst, estudian las complejidades
lfi 11 ;'l1ic-;1s de cie rtos nudos con la finalidad de desarrollar
111 i11 1i 111wv: 1s que expliquen las propiedades de partículas
IH1H111Ld1·., e o rno los electrones.
11 11 n1l 1'11dc r la labor de Hoidn y Stasiak, debemos
1 t!íi ll 1' 111 ·111a en primer lugar de que si un bucle largo y
th .11111 •111 c in grávido de fibra de seda se carga con elec-
li hliHI 1 ·'l t.ll ir a (por ejemplo, frotándolo) y luego se suelta
lt1 q1 11 ,'le' rel aj e (lo ideal es probar en un entorno sin
hl \'f'!ll 1el ) , d anillo formará un círculo perfecto, porque
111 ílp,111·;1 ele ('quilibrio es una configuración de energía
tlll!Í!i H1, <: 111 iosamente, un nudo de trébol con carga elec-
111 ~ ! 1! 1 i.-¡1 11 0 d ;1 lugar a una figura que mantenga los tres
11111 IPtt 11c'I 111odo más estirado posible. En su lugar, el nudo
lt - i¡ {111!1 1 ~ e · aprieta en una región muy pequeña colocada
í ¡¡ t, 1q 1 1111 < 11n il o perfecto. Este comportamiento de enco-
11k 11 1c • L1111l>i (· n se manifiesta en otros tipos de nudos. Los
1111 1 i< lca r maneras d e evitar este encogimiento han
49
conducido a los matemáticos al desarrollo de modelos que
algún día tal vez contribuyan a conocer las propiedades de
los electrones, de los que a veces se crean modelos que los
representan como pequeños bucles de carga, tal vez incluso
bucles anudados. Dentro de cada familia de nudos, Hoidn
y Stasiak han hallado características similares a las que
presentan los átomos, como la cuantización de la energía
(entre diferentes nudos se aprecian diferencias de energía
escalonadas).
Los bioquímicos que estudian las proteínas también sien-
ten fascinación por los nudos porque estos podrían encon-
trarse en biomoléculas grandes. En el año 2000, el biólogo
matemático británico William R. Taylor desarrolló un algo-
ritmo para detectar nudos en esqueletos proteínicos, cuyas
coordenadas se guardan en bases de datos proteínicas. En
concreto, examinó más de tres mil estructuras proteínicas
distintas almacenadas en el Banco de Datos de Proteínas, un
depósito mundial de datos sobre estructuras macromolecu-
lares biológicas en tres dimensiones.
Taylor halló ocho nudos en su estudio. En su mayoría eran
simples nudos de trébol. Varios nudos se detectaron en pro-
teínas que con anterioridad no se consideraban anudadas.
En la enzima isomeroreductasa del ácido acetohidróxido
apareció un nudo interesante por hallarse muy en el interior
de la proteína plegada, lejos de los extremos del esqueleto
proteico, y con la figura de la variante más compleja del nudo
en ocho. El artículo de Taylor aparecido en 2000 en Nature
describe un mecanismo de plegado de proteínas que podría
explicar de qué modo se forman esos extraños nudos. Para
detectar nudos proteicos, Taylor empieza «sosteniendo» fijos
ambos extremos de un esqueleto proteico mediante compu-
tadora, mientras el resto de la molécula se encoge hasta que
a veces crea un nudo manifiesto.
Los nudos como el de trébol y en ocho han servido
de inspiración a los humanos durante siglos. La iglesia
50
1 IHli1111;1 < t"lla 11tiliz6 11na variante apuntada del nudo de
t1 (~ lu1l lla111ada triquetm para representar la trinidad, pero
ll HI P' i~no S(' remonta a épocas anteriores a la cristiandad
11 111 ~ q11<· servía como símbolo celta de la triple diosa (la
\' I! w·11, l.1 madre y la anciana). Asimismo es el emblema
11 1 l.1 '11·1 i<· televisiva de ocultismo Embrujadas, donde apa-
i n ¡ 1 1111 f'rccuencia como un adorno colgante que pende
!pi 1 1111.11· de un gato negro, y representa a las tres bellas
lw 1111.111:1s l lalliwell que actúan juntas como una sola
í i 11'1'1:1 l•'. 11 la década de 1970, la triquetra se volvió muy
• 111 11 ¡el: 1 tras aparecer en la portada del cuarto álbum de
1 :l d / .q>pdin.
1 ,. 1 q11i111aesencia de los nudos ornamentales se revela
11 • 1 l .ilm> de Kells, un evangeliario con ilustraciones muy
11! 11111 .ulas de monjes celtas que data de alrededor del año
011 d d(' C. Se trata de uno de los manuscritos iluminados
lli ÍIH l11josos conservados de la época medieval. Dispersos
pol 1•1 l<·xlo aparecen letras, animales y seres humanos, a
!1! 11111110 <'nredados y sujetos con nudos muy enrevesados
f IÍH' 11 ·:1 ~. 1). Cintas, nudos y espirales de una compleji-
i11 d 1•x 1 raordinaria aparecen íntimamente entrelazados
d11q11ier. El diseñador gráfico por computadora Jos
<' inspiró en los modelos celtas para experimentar
\,11 ias ejecuciones artísticas por computadora, como
I co111pl(:jo objeto de la figura 2.14. El método de Leys
p 111 ¡1 gt·ncrar nudos recurre a teselas sobre las cuales se
llli !1 1111a disposición simple de «tubos». A continuación,
lt !!i 11 '1d :1s se distribuyen sobre una rejilla, como cuadros
IL1 1111 d:11ncro, para dar lugar a un mosaico que contiene
111i 1111do intrincado. Por último, se eliminan las líneas de
1"1 l.P1 para poner de manifiesto la forma anudada. En el
q11111lo 7 mostraré algunos nudos más enrevesados aún
1 ¡1¡ 11 los por matemáticos que experimentan en la frontera
1i111 l.1s matemáticas y el arte.
51
º"':~,L~~=~..::~~~!~~:!~",.':l.I~~~~::~~
itv••4<tti"'CÍ~~é.~:~·Ó-~;;":~7~ ¡: ::.~
°"•"th•t•'&e.t•••ot"""""
1®f " _,. "' '> ·,_ ,,.· (~' ···-~> \h
St-.,el.N~l>I~
, ....... ~¡,, .....
-Stli,eU ~ d''"'lft of 1>r411"r ,1_. J!DU""'
... ~bffor'dtlt"liiCi""'Jf·
2.13 Un diseño del Libro de Kells extraído de la obra de George Bains
Celtic Art: The Methods of Construction (Nueva York: Dover, 1971).
2.14 Ejecución gráfica por computadora de un nudo com-
plejo inspirado en diseños celtas. (Creación de Jos Leys.)
Otra serie apreciada de objetos entrelazados de interés
para los matemáticos y químicos la conforman los anillos
borromeanos, tres anillos entrelazados mutuamente que
52
i: ldH'11 s11 1H>111bre a 1<1 f ~11nilia rc11acc nlisla italiana que los
""" ('11 s11 escudo de armas. La cerveza Ballantine también
111di1.a ('Sta co nfiguración en su logotipo (figura 2.15).
2.15 Anillos borrorneanos.
Nc '>tesc que los anillos borromeanos no tienen los anillos
P 1111 d <1zados dos a dos, de manera que si cortamos cual-
1 p d1 ·ra de ellos, se sueltan los tres. Algunos historiadores
' "l w< ·11lan con la idea de que las configuraciones antiguas de
1 'l los anillos representaban a tres familias: Visconti, Sforza y
1\1 t1 1 o meo, quienes establecieron una unión sutil a través de
P1 d.1rcs matrimoniales entre ellos.
1 ,( >s matemáticos saben ahora que en realidad no se puede
1 •ti 1 kccionar una serie de anillos borromeanos con círculos
1 •l.1111 >s; esto se comprueba al intentar crear los anillos entre-
l111.1dos con alambre, el cual habrá que deformar o doblar
¡1o11 .1 lograr esta figura. El teorema que establece la imposi-
¡ ,¡ 1 id;id de confeccionar anillos borromeanos con círculos
1 •l.111os lo demostraron Michael Freedman y Richard Skora
• 11 1111 artículo de 1987 titulado «Strange actions of groups
1111 sph cres» («Comportamientos extraños de grupos sobre
1 'iknts») Uournal of Differential Geometry, 25(1): 75-98].
\ e . tS(' además «Borreomean Circles are Imposible» («Los
111 t llos borromeanos son imposibles»), de Bernt Lindstrom
1 l l:111s-Olov Zetterstrom y publicado en el American Mathe-
111ulit(l,l Monthly [98(4):340-341] de 1991.
F,11 2004, los químicos de la UCLA crearon una maravilla
111111 011H:ana impresionante: una interpretación artística
11111l<'n dar de anillos borromeanos entrelazados. Cada molé-
:,g
cula del compuesto de anillo borromeano molecular medía
2.5 nanómetros de ancho y albergaba una cámara interior de
0.25 nanómetros cúbicos de volumen y alineaba doce átomos
de oxígeno. Los anillos incluían seis iones metálicos en un
entramado orgánico aislante. En la actualidad, los estudio-
sos están ideando maneras de utilizar anillos borromeanos
molecularesen campos tan diversos como la espintrónica
(una tecnología incipiente que explota el espín y la carga
del electrón) o en un contexto biológico, como la obtención
de imágenes médicas.
Los nudos y el triunfo de la civilización
No es exagerado afirmar que los nudos han sido cruciales
para el desarrollo de la civilización, que los ha usado para
atar ropajes, sujetar armas al cuerpo, confeccionar protec-
ciones y permitir la navegación marítima y la exploración
del orbe. Se han encontrado reproducciones de nudos en
piedras funerarias talladas por pueblos neolíticos. Los incas
usaron los nudos para llevar registros y como «lengua escrita»
sobre cuerdas conocidas como quipus. El célebre nudo chino
panchang, que en realidad consiste en una serie de vueltas
continuas, simboliza el concepto budista de la continuidad
y el origen de todas las cosas. Algunos de los nudos actuales
tienen su origen en la Edad Media, cuando se utilizaban
con poleas compuestas para izar y acarrear cargas, las cuales
solían sujetarse asimismo mediante nudos adecuados.
Los navegantes usaron e inventaron nudos para amarrar
los cabos a los mástiles, para unir cabos entre sí, para apa-
rejar las velas y para izar cargas. La figura 2.16 ilustra dos
páginas de una edición de 1943 del Bluejacket's Manual de la
marina estadounidense, una obra centenaria que dedica más
de mil páginas a temas tales como la elaboración de nudos,
banderas y banderines de balizamiento, y navegación de
embarcaciones. Cuando el teniente Ridley McLean escribió
por primera vez su «biblia del marino» en 1902, la describió
54
1 (111111 1111 111<111ual para cualquier persona al servicio de la
1rn1:1d:1 , desde la marinería hasta el almirantazgo.
11'. 11 1:1 anualidad, la teoría de nudos se ha infiltrado en la
l 11t 1l11gít1, la química, la física y, en muchos casos, ha avanzado
t,11110 que el común de los mortales se enfrenta a un desafío
11.11 .1 < • 11 tender sus aplicaciones más profundas. Si tomamos
1111 lihrn moderno cualquiera sobre teoría de nudos, nos
1•111 011tramos ante una retahíla de expresiones imponentes
1'111110 polinomio de Conway, relación de madeja de Conway,
1111l111omio HOMFLY, polinomio deJones, modelos de espín,
, 1111 l 1(·tes de Kauffman, invariantes de tipo finito, isotopía
111d1i('11tal, invariantes de Vasíliev, diagramas de Gauss, teo-
11 · 111 ,1 de Kontsévich, ecuación cuántica de Yang-Baxter, rela-
1 11111 de Artin en grupos de trenzas, álgebra de operadores
d1 1 krke, teoría cuántica de campos topológica (TQFT), y
llgc ·l>ra de Temperley-Lieb. En unos milenios, la humanidad
li .d ira transformado los nudos que en principio eran tallas
11111.1111entales sobre piedra en modelos del mismísimo tejido
c¡111 · <"onforma la realidad.
BWE/ACKUS' MANUAL
MAKl!-IJP 0F A CABLE
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'~.,, "'""'11! i o
RUVINO llNE 11/!ND
,,..-~···
2. 16 Reproducción de dos páginas del centenario Blue-
.fackets' Manual de la marina estadounidense.
!) !)
Enigma del nudo alienígena
Corre el año 2050 y Paris Mobius, descendiente de August
Mobius, y su novia Nicole exploran la Quinta Avenida de
la ciudad de Nueva York. De pronto las rodea una estirpe
alienígenas insectiformes. Uno de ellos apunta hacia Paris.
«¡Oh, no!», dice Paris con su larga melena rubia brillando
al sol. «¿Ahora qué hacemos?»
El más alto de los alienígenas se le acerca y le señala una
cuerda enmarañada en el suelo (figura 2.17). A continuación
venda los ojos a Paris y a Nicole, y le dice a Paris: «¿Crees
probable que el enredo del suelo esté anudado?».
!)()
2.17 Una cuerda enmarañada. ¿Qué probabilida-
des hay de que el enredo esté anudado?
Nicole aprieta los puños. «¿Cómo lo hacemos para vernos en situa-
ciones tan absurdas ? ».
Paris alarga el brazo para tomarla de la mano. «Nicole, no te
preocupes. Aunque solo miré al suelo un instante demasiado fugaz
para apreciar qué segmentos de la cuerda se superponen a otros,
puedo calcular con precisión la probabilidad de que la cuerda esté
anudada. Y entonces le daré al alienígena una respuesta exacta.»
Si usted participara en el juego, ¿apostaría a que la cuerda está
anudada? (Busque la respuesta en el apartado de soluciones.)
Ln~ luuulus de Mobius y los alienígenas
'!)mimos que doblar la Cosa de una forma extraña para hacerle
f//1tmt'.\'flr las jJuertas de la casa, una especie de variante de la cinta
!11• Moebius. A la Cosá no le importó: en cualquier caso, su cuerpo
era superjluido ...
Jeff Noon, Vurt (trad. de Isabel Núñez)
Todo en su derredor eran seres extraños. Volvió la cabeza y vio
que por alguna razón se encontraba en una habitación gigan-
/ 1•.w-a ... Cada tubo tenía lo que parecía ser una correa de ventilador
µ;irada sobre sí misma que formaba una cinta de Mobius en movi-
miento constante.
Roger Leir, Casebook: Alíen lmplants
Una sonrisa, ¿era eso? En un mundo alienígena, vampírico
llamado Starside y situado al otro lado del continuo de Mobius,
debería llamarse, cuando menos, sonrisa.
Brian Lumley, Crónicas necrománticas (vol. 5):
engendro de la muerte
57
3
BREVE HISTORIA DE LA FIGURA DE MóBIUS
Resulta paradójico que la modestia y hasta la timidez que carac-
terizan la vida cotidiana de Mobius se combinen con la audacia,
la fantasía y las dotes de esta figura impresionante. El talento
matemático de la mayoría de los matemáticos mengua con la edad ...
/JI/
Pero el tiempo no mermó las dotes de Mobius.
Issak Moiséievich Yaglom, Felix Klein and Sophus Lie
Es un hecho matemático que al arrojar este guijarro de mi mano
altero el centro de gravedad del universo.
Thomas Carlyle, de Sartor Resartus 111
(trad. de M. Temprano)
//k$
;air.,
!)9
Por desgracia, hay poca información biográfica detallada
sobre Móbius en lengua inglesa. Una introducción exce-
lente al tema la ofrece John Fauvel con «A Saxon Mathe-
matician» en Mobius and His Band. Fauvel también remite a
los lectores a fuentes secundarias de interés acerca del nivel
de los matemáticos y astrónomos alemanes de la época de
Móbius.
Como la madre de Móbius descendía de Martín Lutero,
logré reconstruir parte del árbol genealógico de Móbius
rastreando listados con unas 7900 entradas compilados por
estudiosos que reúnen los nombres y las fechas de nacimiento
de los descendientes de Lutero. Estos registros genealógicos
antiguos me permitieron identificar a los hijos y nietos de
Móbius.
August Mobius en pocas palabras
Varios miembros de la familia de Móbius fueron tanto bri-
llantes como famosos. De hecho, la familia de Móbius debía
de contar con genes especiales para la grandeza que se acti-
varon con AugustFerdinand Móbius (1790-1868) , quien con
el tiempo se convirtió en distinguido profesor de la Universi-
dad de Leipzig (figura 3.1). O tal vez los genes procedieran
de su esposa, Dorothea Christiane Johanna Rothe, quien, a
pesar de ser completamente ciega, fue capaz de criar a una
hija, Emilie, y a dos hijos, August Theodor y Paul Heinrich
(figura 3.2). August Theodor Móbius se convirtió en uno
de los mayores expertos mundiales en literatura islandesa y
escandinava. El nieto Martin August Móbius llegó a profesor
de botánica en la Universidad de Fráncfort y a director del
jardín botánico de esa ciudad. El bisnieto Hans Paul Werner
Móbius fue profesor de arqueología clásica en la Universi-
dadJulius-Maximilian de Wurzburgo.
60
:1.1 August Ferdinand Mobius (1790-1868). Frontispicio
de Gesammelte Werke (Obras completas) de Mobius.
Martín Lutero ,... 'Ü'
(reformador cristiano, 1483 - 1546) .
Friedrich Sigmund Keil
(pastor, 1717-1765)
1
Johann Heinrich Mobius Johanne Keil
(PfOfesor de baile) T (1756 - 1820) ,,,JI Banda de MObtus. función de MObius. etc.
(1752 - 1792) /
August Ferdlnand Mobius - Dorothea Rothe
(1790 • 1868) ( hiia de doctor en medicina)
1 ( inVidente,
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