NM_mate3_Solucionario - Saúl Plutarco

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SERIE
NUEVAS
MIRADAS
Solucionario
Matemática
3
Gerente general
Claudio De Simony
Directora editorial 
Alina Baruj
Autores
Liliana Kurzrok (Coord.)
Ivana Skakovsky 
Editora
Nora Manrique
Jefa de arte
Eugenia Escamez
Coordinadora de arte y
diseño de maqueta
Lorena Morales
Diagramación
Sergio Israelson
Asistente editorial
Carolina Pizze
Producción editorial
Gustavo Melgarejo
 Solucionario Matemática 3
Skakovsky, Ivana 
 Solucionario matemática 3 : serie 
nuevas miradas / Ivana Skakovsky ; 
coordinación general de Liliana Edith 
Kurzrok. - 1a ed . - Ciudad Autónoma 
de Buenos Aires : Tinta Fresca, 2018.
 64 p. ; 28 x 21 cm.
 ISBN 978-987-759-129-3
 1. Guía del Docente. I. Kurzrok, 
Liliana Edith, coord. II. Título.
 CDD 371.1
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representa para el futuro de la 
escritura. En efecto, la fotocopia de 
libros provoca una disminución tan 
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La reproducción total o parcial de 
este libro en cualquier forma que sea, 
idéntica o modificada, y por cualquier 
medio o procedimiento, sea mecánico, 
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y sobre cualquier tipo de soporte, 
no autorizada por los editores, viola 
derechos reservados, es ilegal y 
constituye un delito.
En español, el género masculino 
en singular y plural incluye ambos 
géneros. Esta forma propia de la 
lengua oculta la mención de lo 
femenino. Pero, como el uso explícito 
de ambos géneros dificulta la lectura, 
los responsables de esta publicación 
emplean el masculino inclusor en todos 
los casos. 
© Tinta fresca ediciones S. A.
 Corrientes 534, 2do piso
 (C1043AAS)
 Ciudad de Buenos Aires
Hecho el depósito que establece
la ley 11.723.
Libro de edición argentina. 
Impreso en la Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-759-129-3
 Índice
Capítulo 1. Los números reales. ........................... 4
Capítulo 2. Las funciones ..................................... 9
Capítulo 3. Ángulos, circunferencias 
y cuadriláteros .................................................... 14
Capítulo 4. Algunos modelos 
de funciones ....................................................... 19
Capítulo 5. Ecuaciones e inecuaciones .............. 31
Capítulo 6. Semejanza de figuras ....................... 39
Capítulo 7. Trigonometría .................................... 43
Capítulo 8. Transformaciones 
en el plano .......................................................... 45
Capítulo 9. Cuerpos geométricos ....................... 58
Capítulo 10. Estadística ...................................... 60
Capítulo 11. Combinatoria y 
probabilidad ....................................................... 63
4
Capítulo 1
Los números reales
Páginas 8 y 9. 
Los números enteros
1. a. No. El primer término es par por ser par uno de 
sus factores, y la suma entre un número par y otro 
impar es siempre impar. Para que sea par habría que 
sumarle 1. b. Si. 15 y 35 son múltiplos de 5, entonces 
35 × 82 también lo es, y la suma de dos múltiplos de 
5 es otro múltiplo de 5. c. No, por ser la suma entre un 
múltiplo de 3 (15) y otro número que no lo es (35 × 82). 
Para que sea múltiplo de 3 habría que sumarle 1. 
d. Si, es el número que se le suma al múltiplo de 35, y 
es menor que el divisor.
2. Lo que dice Julián es incorrecto porque 16 es mayor 
que el divisor 12, entonces se puede seguir dividiendo 
y el resto de esa cuenta es 4. Lo que dice Denise es 
correcto porque 16 es menor que el divisor 23.
3. a. Es cierto porque 2 + 7 = 9 veces el número 42.345.
b. Se usa la propiedad distributiva.
4. a. 6, por ser el número que se le suma al múltiplo de 
15, y 6 < 15. b. 42 ∙ 3 ∙ 15 + 6 = 6 (7 ∙ 3 ∙ 15 + 1).
c. 42 ∙ 3 ∙ 15 + 6 = 42 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5∙+ 5 + 1 = 5 (42 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 1) + 1. 
Resto 1, el primer término es múltiplo de 5 y como el 
segundo término es mayor que el divisor, se puede se-
guir dividiendo: 6 = 5 + 1. d. 6, por ser el primer término 
múltiplo de 35 ∙ (6 ∙ 7 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 + 6, y 7 ∙ 5 = 35), y el 
segundo término menor que el divisor. e. 6, por ser el 
primer término múltiplo de 27 (6 ∙ 7 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 + 6, y 
3 ∙ 3 ∙ 3 = 27), y el segundo término menor que el divisor.
5. a. 42 ∙ 3 ∙ 15 – 6 = 42 ∙ 3 ∙ 15 – 6 + 15 –15 = 
15 (42 ∙ 3 –1) + 9, entonces el resto es 9, el primer tér-
mino es múltiplo de 15, y el resto ≥ 0.
b. 42 ∙ 3 ∙ 15 – 6 = 6 ∙ 7 ∙ 3 ∙ 15 – 6 = 6 (7 ∙ 3 ∙ 15 – 1), 
resto 0. 
c. 3 ∙ 15 – 6 = 42 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 – 6 + 10 – 10 = 5 (42 ∙ 3 ∙ 3 – 2) + 4, 
resto 4.
d. 42 ∙ 3 ∙ 15 – 6 = 6 ∙ 7 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 – 6 + 35 – 35 = 6 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 
35 – 35 + 29 = 35 (6 ∙ 3 ∙ 3 – 1) + 29, resto 29. 
e. 42 ∙ 3 ∙ 15 – 6 = 2 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 – 6 + 27 – 27 = 27 ∙ 2 ∙ 
7 ∙ 5 – 27 + 21 = 27 (2 ∙ 7 ∙ 5 – 1) + 21, resto 21.
6. Los restos posibles al dividir un número por 5 son: 0, 
1, 2, 3 y 4; y al dividir por 6: 0, 1, 2, 3, 4 y 5.
7. Escribe el producto de tres números consecutivos. 
El producto entre un número par y cualquier otro nú-
 Solucionario
mero siempre es par. Por ser 3 números consecutivos, 
seguro uno es múltiplo de 3, y los otros tienen resto 1 y 
2 al dividirlos por 3. Aplica propiedad distributiva.
 n (n + 1) (n + 2) = n 3 + 3 n 2 + 2n = n  ( n 2 + 3n + 2 ) . 
Por ser n = 3k, asegura que el producto es múltiplo de 3.
Como 6 = 2 ∙ 3, todo múltiplo de 6 tiene que ser múltiplo 
de 2 y 3.
8. a. Sí, por ser la diferencia entre dos múltiplos de 5. 
Como A = 5k – 25 entontes A = 5 (k – 5).
b. Los posibles restos son 0, 1 y 2. Como el número es 
5 ∙ k – 25 para algún valor de k entero, pero:
5k – 25 = 3k + 2k – 24 –1 = (3k –24) + 2k –1, y como 
(3k – 24) = 3(k – 8) es múltiplo de 3, el resto de la divi-
sión dependerá del resto de 2k –1 por 3. Analizamos: 
• Si k es múltiplo de 3, k = 3n con n ∈ z entonces 
2k – 1 = 2 ∙ 3 ∙ n – 1 = 6n – 1 + 3 – 3 = 3 (2n – 1) + 2, 
el resto de dividirlo por 3 es 2.
• Si k tiene resto 1 al dividirlo por 3, k = 3n con n ∈ z 
entonces 2k – 1 = 2 (3 ∙ n + 1) – 1= 6n + 1, 
• Si k tiene resto 2 al dividirlo por 3, k = 3n con n ∈ z 
entonces 2k – 1 = 2 (3 ∙ n + 1) – 1= 6n + 3, el resto al 
dividirlo por 3 es 0.
9. a. i. ( 2n - 1 ) 2 - 5. ii. ( 2n ) 2 + 1. iii. (2n - 1) (2n + 1) . iv. n - ( n - 1 ) .
b. Sí, porque:
 ( 2n - 1 ) 2 - 5 = 4 n 2 - 4n – 4 = 4 ( n 2 - n - 1 ) .
c. No, porque:
 2n + 2 ( n + a ) + 1 = 4n + ( 2a + 1 ) el primer término es 
múltiplo de 4 pero el segundo término siempre es im-
par. Y todo múltiplo de 4 es par porque 4 = 2 × 2.
d. Sí, porque ( n - 1 ) ( 2n + 1 )  = 4 n 2 - 1 , el primer término 
es múltiplo de 4 y al restarle 1, excede en 3 a un múl-
tiplo de 4. 
e. Si, pues: n - ( n - 1 )  = n - n + 1 = 1.
10. Sí, porque: 87 = 3a, como a ∈ z entonces: 
- 87 = 3 ( - a ) .
11. Como:
 98 = 8 . 11 + 10, 
 - 98 = - ( 8 ∙ 11 + 10 ) , 
-98 = -8 ∙ 11 - 10, 
- 98 = - 8 ∙ 11 - 10 + 11 - 11 = -8 ∙ 11 + 1 -11, 
 -98 = 11 ( -8 - 1 ) + 1 , resto 1.
12. a. Escribe -7 como - 9 + 2 porque está dividiendo por 9.
b. Porque: 9 ∙ (- 4) - 9 + 2 = 9 ∙ (- 4 - 1) + 2 = 9 ∙ (- 5) + 2. 
c. Si, cociente -5, resto 2.
13. a. y c., porque ( 87 2 ) 3 = 87 2.3 = 87 6   .
14. b., c. y d. Porque las bases son negativas y los ex-
ponentes son números pares.
Matemática 3 Solucionario 5
Páginas 10 y 11. 
Los números racionales
1. a. y c. son fracciones equivalentes.
2. a. No es posible porque 1 _ 3 tiene infinitas cifras deci-
males. b. 36. c. 13. d. 474. e. No es posible porque 1 _ 9 
tiene infinitas cifras decimales. f. No es posible escribir-
lo como una fracción decimal.
3. a. Hay infinitos, por ejemplo el 1,25. b. Hay infinitos, 
por ejemplo el 1,2. c. Hay infinitos, por ejemplo el 1,12.
d. No es cierto lo que dice Natalia porque entre dos nú-
meros racionales siempre se pueden encontrar otros, 
infinitos.
4. a. A = 7 _ 6 ; B = 
5 _ 6 ; C = 0; D = - 
1 _ 6; E = 
3 _ 2 ; F = 
11 _ 6 .
b. A = –1,9; B = –1,5; C = –0,9; D = –0,65.
5. 
Comienza el 
trayecto - 
3 _ 5 - 1 - 
7 _ 9 
3 _ 5 
-0,3
Camina 
sobre la 
recta
 2 _ 10 hacia la 
derecha
 4 _ 3 hacia la 
derecha
 7 _ 9 hacia la 
derecha
 3 _ 5   hacia la 
izquierda
 1 _ 5 hacia la 
izquierda 
Se detiene 
en - 
2 _ 5 
1 _ 3 
0 0 -0,5
Cuenta 
que se 
efectúo para 
completar 
la tabla
 - 3 _ 5 + 
2 _ 10 
Se suma 
porque va 
hacia la 
derecha.
 1 _ 3 - 
4 _ 3 . 
Como 
caminó 
hacia la 
derecha, 
para saber 
donde 
estaba 
hay restar 
lo que 
avanzo.
Como pasa 
de − 7 _ 9 al 
0, debió 
caminar 
hacia la 
derecha 
la misma 
distancia.
Como 
pasa de 3 _ 5 
al 0, debió 
caminar 
hacia la 
izquierda 
la misma 
distancia.
 0,3 - 1 _ 5 
Se resta 
porque va 
hacia la 
izquierda.
6. a.
 2 _ 5 - 
9 _ 4 - 
5 _ 16 
4 _ 3 - 
4 _ 25 - 
3 _ 7 
1 _ 17 
10 4 _ 10 _ _ _ _ _ _
100 40 _ 100 _ _ _ - 
16 _ 100 _ _
1000 400 _ 1.000 - 
225 _ 1.000 _ _ - 
160 _ 1.000 _ _
10000 4.000 _ 10.000 - 
2.250 _ 10.000 
3.125 _ 10.000 _ - 
1.600 _ 10.000 _ _
b. Son aquellos números que al estar expresados como 
fracción irreducible su denominador tiene algún divisor 
primo que no es 2 ni 5.
7. a. Un lugar: 6 _ 5 = 
2 _ 5 = 
4 _ 10 . b. Dos lugares: 
9 _ 50 = 
18 _ 100 . 
c. Un lugar: - 79 _ 2 = - 
395 _ 10 . d. Infinitos, es un número pe-
riódico: 92 _ 69 = 
4 _ 3 . e. Tres lugares: - 
75 _ 8 = - 
9 . 375 _ 1000 
8. Tienen infinitas cifras decimales, que se repiten se-
gún el período.
9. 0, ̂ 1 = 1 _ 9 , 0, ̂ 2 = 
2 _ 9 , 0, ̂ 3 = 
3 _ 9 , 0, ̂ 4 = 
4 _ 9 , 0, ̂ 5 = 
5 _ 9 , 0, ̂ 6 = 
6 _ 9 , 
 0, ̂ 7 = 7 _ 9 , 0, ̂ 8 = 
8 _ 9 
10. a. Natalia descompone el número como una suma 
F = 0,3 + 0,0444… Como dividir por 10 es correr la 
coma un lugar a la izquierda reescribe a 0,0444… como 
0,0444…: 10 , luego escribe los números decimales en 
su expresión fraccionaria F = 3 _ 10 + 
4 _ 9 : 10 , y resuelve la 
cuenta F = 31 _ 90 . 
b.   2,3444…= 2 + 0,3 + 0,0444…  =  2 + 3 _ 10 + 
4 _ 9 : 10 = 
180 _ 90 + 
27 _ 90 + 
4 _ 90 = 
211 _ 90 .
c. i. 52 _ 225 . ii.   
229 _ 990 . iii.   
231 _ 999 . iv.   
1 . 219 _ 990 . v. 
16 . 727 _ 3 . 330 
11. a. 0, ̂ 3 . b. 0,1 ̂ 7 . c. –2,6661.
Página 12. 
Los segmentos conmensurables
1. a. i. 25 cm. ii. 37,5 cm. b. 5 _ 2 . c. 
2 _ 3 .
2. a. 5 _ 3 . b. 
3 _ 5 . c. Es correcto lo que dice Julián porque 
será una parte de la unidad. d. Deberían poner 13 + 1 _ 3 . 
Porque 8 rojas = 8 ∙ 5 _ 3   azul = 
40 _ 3 azul = 
39 _ 3 + 
1 _ 3 azul = 
13 + 1 _ 3 azul.
e. Es correcto lo que dice Bruno. 
Longitud = 3 roja = 5 azul, si cada varilla roja se divide 
en 5 y cada varilla azul en 3 se obtiene:
 3 ∙ 5 _ 5  roja = 5 ∙ 
3 _ 3 azul, 
15 _ 5  roja = 
15 _ 3  azul , 
entonces: 1 _ 5 roja = 
1 _ 3  azul .
f. Si, la verde = 0,5; roja = 2,5; azul = 1,5.
3. a. n _ m . b.   
m _ n . c. Hay que dividir cada varilla A en n par-
tes iguales y cada varilla B en m partes iguales. Cada 
una de esas partes será del mismo tamaño y armar una 
varilla C con esa medida.
Página 13. 
La proporcionalidad directa
1. a. 
Cantidad de 
azúcar (kg) 2,5 
1 _ 3 1 
2 _ 3 6 
17 _ 3 
Cantidad de 
mandarinas (kg) 3,75 0,5 1,5 1 9 8,5
b. 8,25 kg de mandarinas. c. Es más dulce, porque para 
la misma cantidad de mandarinas necesita más azú-
car. d. Es menos dulce, porque la proporción es menor. 
e. Es correcto lo que dice Natalia porque 1,5 es la cons-
tante de proporcionalidad, para 1 kg de azúcar necesita 
6
1,5 kg de mandarinas. f. Cantidad de azúcar (kg) = 2 __ 3 ∙ 
Cantidad de mandarinas (kg). 
2. a. Sí, porque 12 _ 27 = 
20 _ 45 = 
4 _ 9 . 
b. Sí, porque 12 _ 27 = 
24 _ 54 = 
4 _ 9 . 
c. 4 _ 27 de negro para tener la misma proporción.
d. Hay infinitas opciones. Sirve cualquier cantidad me-
nor que 18 litros de pintura blanca, porque con 18 litros 
de pintura blanca tiene la misma tonalidad. 
e. Hay infinitas opciones, siempre que tenga más de 
56,25 litros de pintura blanca.
3. a. Falsa. El 25% es 25 _ 100 = 
1 _ 4 de cantidad.
b. Falso. Un 10% de aumento es: 
100 % + 10 % = 110 % = 110 _ 100 = 11 = 10 .
c. Verdadero. 15% de descuento es:
 100 % - 15 % = 85 % = 85 _ 100 = 0,85. 
Páginas 14 y 15. 
Propiedades de las operaciones
1. a. Si, 1 _ 4 + 
1 _ 4 = 
1 _ 2 . 
b. No, porque  5 _ 4 =  1 + 
1 _ 4 , y 
1 _ 4 < 
1 _ 2 
c. Sí, - 6 _ 10 , porque 
7 _ 5 = 
14 _ 10 ,   entonces - 
6 _ 10 + 
14 _ 10 = 
8 _ 10 .
2. En todos los casos el resultado es 1.
3. El resultado es 1 en todos, porque en todas es n 
veces   1 _ n .
4. a. Julián usó la definición de fracción y la propiedad 
distributiva. 
b. i. 2 _ 3 ∙  3 =  (2 ∙ 
1 _ 3 ) ∙ 3 =  2 ∙ ( 
1 _ 3 ∙ 3) = 2 ∙ 1 = 2 . 
ii. 6 _ 7 . iii. 
2 _ 5 . iv. - 
1 _ 56 . 
5. a. 3. b. –7. c. No es posible, porqu e: 
7 ∙ 4 = 28 y 7 ∙ 5 = 35 , no hay ningún número entero 
entre 4 y 5.
d. 1 _ 7 . e. 
19 _ 13 . 
6. a. Sí es cierto, C = BA. b. Porque siempre se puede 
encontrar un número racional C tal que A ∙ C = B . La re-
lación “es múltiplo de” no tiene sentido en los números ra-
cionales pues se verifica siempre.
7. a. 289 _ 198 . b. 
302 _ 225 . c.   
3 . 511 _ 3 . 000 . d. - 
17 _ 12   . e.   
187 _ 2 . 250 . f.   
4 . 934 _ 4 . 653 .
9. a. Cualquier número racional mayor que 0. b. Cual-
quier número racional menor que 0. c. Cualquier número 
racional mayor que 0 y menor que 1. d. Cualquier núme-
ro positivo. e. Cualquier número mayor que 0. f. Cual-
quier número menor que 0.
10. a. 9. b. 3 _ 2 . c. 
1 _ 4 . d. 
7 _ 15 . e. - 11 . f. - 
7 _ 3 . g. 
1 _ 4 . h. - 
112 _ 117 . 
11. a. Usa la definición de división y fracción, y las pro-
piedades asociativa y distributiva. 
b. i. 8 _ 9  . ii. - 
75 _ 4 . iii.   
17 _ 8 . iv.   - 
171 _ 529 . 
Páginas 16 y 17. 
Los números reales
1. a. 1cm2. b. Tiene razón Bruno. La medición de Nata-
lia no es precisa. c. No, porque 1,41 2 = 1,9881 , y no 2.
d. i. Porque los números racionales son aquellos que 
pueden escribirse como fracción, y todas las fracciones 
tienen una fracción irreducible equivalente. ii. Si. Por 
ser par, n 2 = 2k , y n 2 = n ∙ n , resulta n 2 = n ∙ n = 2k , 
entonces n es par. iii. Porque puede simplificarse divi-
diendo denominador y numerador por 2. iv. Florencia 
usa la definición potenciación y radicación, las propie-
dades enunciadas en i. e ii.
2. a. √ 
_
 2 . b. Es el punto en la semirrecta positiva que 
interseca la circunferencia de radio √ 
_
 2 . c. No, también 
puede marcar - √ 
_
 2 . d. Construir un triángulo rectángulo 
utilizando como catetos √ 
_
 2 y 1, para que √ 
_
 3   sea la hi-
potenusa y radio de la circunferencia. La intersección 
de la misma con la semirrecta positiva es √ 
_
 3 , y la inter-
sección con la semirrecta negativa - √ 
_
 3 . 
3. a. Martín escribió después de la coma todos los 
números naturales separándolos con ceros. 
b. No, porque no hay un período que se repita. 
c. Sí, porque no puede escribirse como fracción por 
tener infinitas cifras decimales que no se repiten. 
d. 3,122333444455555666666….
4. Hay infinitos, por ej. 0,2 y 0,122333444455555666666….
5. a. Uno solo, el 68. b. Hay 73, porque entre dos núme-
ros naturales consecutivos hay 36 números con deno-
minador 37. Entre 67 y 69 hay dos veces dos números 
naturales consecutivos más el numero 68. c. Por ejem-
plo 67,122333444455555666666…. Se debe elegir 
como parte entera 67 o 68, y elegir alguna regla para la 
parte decimal que sea infinita y no periódica.
6. a. Es correcto, porque los números con dos cifras 
decimales puedenescribirse como fracciones con de-
nominador 100. b. 549. c. Infinitos.
7. a. Hay 1.249, porque 5 _ 8 = 0,625  = 
6 . 250 _ 10 . 000 ,  y 
 6 _ 8 = 0,75 = 
7 . 500 _ 10 . 000 , entonces hay 
7 . 500 _ 10 . 000 - 
6 . 250 _ 10 . 000 - 1 . 
b. Infinitos
8. a. y b. No es posible escribir el menor de los elemen-
tos, porque si se elige cualquier número, entre 2 y él 
siempre se puede encontrar otro.
9. a. No es posible escribir el menor de los elementos, 
porque si se elige cualquier número, entre 2 y él siem-
pre se puede encontrar otro. 
b. El 6 porque pide que sea menor o igual. 
10. a. –13. b. –4. c. 10. d. 10,8. e. No es posible escribir 
Matemática 3 Solucionario 7
el mayor número racional que verifica, porque siempre 
se puede encontrar otro. f. g. h. No es posible porque 
siempre se puede encontrar otro.
Páginas 18 y 19. 
Potenciación y radicación en ℝ 
1. a. ( 
2 _ 3 ) 
4
 . b. ( 
1 _ 5 ) 
5
 . c. ( 
4 _ 9 ) 
7
 .
2. a. y b.
3. a .  x 5 · x 2 · x - 3 = x 5 + 2 - 3 = x 4 y
 x 
7 _ 
 x 3 
 = x 7 : x 3 = x 7 - 3 = x 4 . 
b. ( x 10 · x 21 ) 
3
 : x 
2
 _ 3 = x (10 + 21) · 3 - 2 
_ 3 = x 277 
_ 3 = 
3
 √ 
_
 x 277 .
c. 
3
 √ 
_
 x 6 : x 2 = 
3
 √ 
_
 x 4 = 
3
 √ 
_
 x · x 3 = 3 √ 
_
 x . x .
4. a. Falsa, porque si a es negativo no se cumple la 
igualdad. b. Falso, porque b 3 + b 3 = 2 b 3 . 
c. Falso, solo se cumple para los x > 0. d. Verdadero, 
porque q > 0. e. Falso, la potenciación no es distributi-
va respecto a la suma. f. Falso, sería √ 
_
 101 . g. Falso, la 
radicación no es distributiva respecto a la suma. 
h. Verdadero, resolver la raíz enésima de un número es 
encontrar el número elevado a la enésima potencia de 
dicho número, y no existe en los números reales ningún 
número que elevado a un número par, de uno negativo. 
i. Verdadero. 
5. Si, es correcto, porque al elevar un número negativo 
a un exponente par el resultado es positivo, y al elevar-
lo a un exponente impar es negativo.
6. a. Si es correcto, porque:
 ( 
1 _ 5 ) 
7
 :   ( 
1 _ 5 ) 
7
 = ( 
1 _ 5 ) 
7 - 7
 = ( 
1 _ 5 ) 
0
 . Como la primera cuenta 
da 1, por dividirse a un número por sí mismo, enton-
ces ( 
1 _ 5 ) 
0
 = 1 . b. El resultado de elevar a la 0 cualquier 
número real distinto de 0 es 1, porque siempre se pue-
de expresar como en la parte a.
7. a. 0,2342199 3 . b. 3,899751 7 . c. Son iguales.
d. (0,234144) 2 _ 3 e. Son iguales. f. ( 
7 _ 3 ) 
5
 . g. ( 
3 _ 4 ) 
15
 :   ( 
3 _ 4 ) 
8
 .
h. Son iguales.
8. a. 
4
 √ 
_
 25 · 
4
 √ 
_
 25 =   
4
 √ 
_
 5 2 · 
4
 √ 
_
 5 2 = 
4
 √ 
_
 5 2 · 5 2 = 
4
 √ 
_
 5 4 = 5 .
b. 0,25 18 ·   4 18 = ( 
1 _ 4 ) 
18
 · ( 
1 _ 4 ) 
- 18
 =  ( 
1 _ 4 ) 
0
 = 1. 
c. 1 . 570 6 :   157 6 =   ( 
1 . 570 _ 157 ) 
6
 =   (10) 6 =  1 . 000 . 000. 
9. a. √ 
_
 3 porque 3 >2.
b. 
3
 √ 
_
 4 porque 4 > 1 _ 4 
c. 
4
 √ 
_
 (- 7) 6 porque es positivo y 
3
 √ 
_
 ( - 7 ) es negativo.
10. a. √ 
_
 8 = √ 
_
 2 · 4 = √ 
_
 2 √ 
_
 4 = √ 
_
 2 · 2 .
b. 
4
 √ 
_
 4 = 
4
 √ 
_
 2 2 = 2 2 
_ 4 = 2 1 
_ 2 = √ 
_
 2 . 
c. √ 
_
 18 = √ 
_
 2 · 9 = √ 
_
 2 √ 
_
 9 = √ 
_
 2 · 3. 
11. Factoriza el número 12, propiedad distributiva de la 
radicación respecto al producto, resuelve la raíz, suma 
términos semejantes. 
12. Salvo la a. todas, al resolver es el único que da por 
resultado un número irracional 9 - 4 · √ 
_
 5 .
13. a. Verdadera, se obtiene al multiplicar por √ 
_
 a _ √ 
_
 a .
b. Verdadera, se obtiene al multiplicar por √ 
_
 a - √ 
_
 b _ 
 √ 
_
 a - √ 
_
 b 
 .
c. Falsa, ( √ 
_
 3 + √ 
_
 2 ) 
- 1
 ≠   ( √ 
_
 3 - √ 
_
 2 ) . 
d. Verdadera, √ 
_
 75 _ 
 √ 
_
 3 
 = √ 
_
 75 _ 3 = √ 
_
 25 = 5 .
Páginas 20 y 21. 
Ecuaciones e inecuaciones
1. a. 50 blancos. b. 490 blancos.
c. 10 + 4 · cantidad de cerámicos anaranjados. 
d. (cantidad de cerámicos blancos  - 10 )   :  4 .
2. a. 3n + 7 . b. 8m - 11 c. 15r - 71 . d. 22s - 36 .
En todos los casos, se aplica propiedad distributiva.
e. 1 _ 6 x factor común. f. 
3 _ 2 y 
2 - 5y, propiedad distributiva.
3. Denise interpreta: “al doble del número hay que dis-
minuirle 5, es igual a 23” entonces el resultado 23 más 
la diferencia es igual al doble del número. Y después 
divide por 2. Julián escribe la ecuación y la resuelve.
4. a. Sí, porque:
   1 _ x - 2 = 4,   
1 _ x - 2 · 
(x - 2) = 4 · (x - 2) ,  1 =  4 · ( x - 2 ) . 
Salvo para x = 2 para que el divisor sea distinto de 0.
b. No, x ≠ 0 porque no está definida la división por 0.
5. a. 1. b. 23 _ 17 . c. x puede ser cualquier número real, 
porque no depende de x, se cancelan. d. No existen 
valores de x que la verifiquen, porque 0 por cualquier 
número es 0. e. 3 y –3.
f. No existen valores de x que la verifiquen.
6. a. 
b. 
c. 
d. 
7. Sí, porque –5 está más lejos que –4 del 0.
8. a. ( 
5 _ 2 ;   + ∞) . b.   (- ∞ ; 15,6) . 
9. a. Lo que dice Bruno en este caso es correcto, re-
suelve la ecuación, y escribe el intervalo. b. Bruno po-
dría haber resuelto del mismo modo porque el coefi-
ciente de x es positivo. c. No, si Bruno resuelve usando 
–5 –1 0 1 2 5
–1 0 1 2 32,3
–1–2 0 1–3–3,6
–1––2 0 1 523
8
el mismo procedimiento diría a x pertenece al intervalo 
(- 
3 _ 2 ;   + ∞) . Y no es la solución, ya que si por ejemplo 
x = - 1 no cumple la desigualdad.
10. No, solo es una de las soluciones. La solución de la 
inecuación es x < - 1 _ 4 . 
11. a. i. Que si resta 3 y 8 en ambos miembros, en el 
primer miembro se cancelan obteniendo en él -3x.
ii. Porque al multiplicar por un número negativo el orden 
se invierte. iii. Cuando el coeficiente de x en negativo. 
b. i. (– 
6 _ 5 ; + ∞) . ii. ( 
6 _ 5 ; + ∞) . iii. ( - ∞ ; - 12 ] . iv. (- ∞ ;   - 
1 _ 2 ] . 
Página 22. 
Redondeo y truncamiento
1. b., c. y d., porque al redondear con dos cifras deci-
males están más cerca de 1,33 que de 1,34.
2. a., c. y d., porque son los únicos que dan 1,33 al qui-
tar las cifras que no se desean tener en cuenta.
3. a. i. y iv., porque son los que están más cerca del 5 
que de otro número natural. b. i., ii. y iv., son las únicas 
opciones que tienen a 5 como parte entera.
4. a. (7,45; 7,46). b. (–2,036; –2,035). c. (7,45; 7,5).
d. (–2,0355; –2,035).
5. a. 345,5. b. 2,346. c. 45,87. d. 3,654.
6. (9,35; 9,45) al redondear con dos cifras significati-
vas, hay que mirar la tercera cifra si es menor que 5 
queda igual, y si es mayor o igual que 5 se suma 1 a la 
segunda cifra). 
7. Como x ∈ (7,25 ; 7,35) e, y ∈ (9,75 ; 9,85) . 
a. x + y  ∈ (17; 17,2)  . 
b. x · y  ∈ (70,6875 ; 72,3975) .   
c.  x  : y ∈ ( 29 _ 39 ; 
147 _ 197 ) . 
d.  x - y  ∈ (- 2,6 ;   - 2,4) . 
8. a. 3,65cm y 8,15cm. b. 24 cm. c. 29,7475 cm.
9. No, porque la longitud de uno de los lados está en 
(4,45 ; 4,54) y la del otro lado en (4,35 ; 4,45). 
 10 . 7 . 500 _ 979 horas, porque la v ∈ ( 48,85 ; 48,95 ) , la d ∈ 
( 375; 385 ) . Como la d = v · t , entonces v = d _ t , como 
pide el menor tiempo, tiene que ser la menor distancia 
dividida por la mayor velocidad.
Página 23. 
Aprender con la calculadora
1. a. 6,295362011  ×   10 12 . Notación científica.
b. Porque es un número muy grande y no entra en el 
visor de la calculadora.
2. a. - 1,0009 × 1 0 71 .   b. - 258 . 575,2146. 
c. - 12 . 320 . 100. d.  1,012 × 10 25 .
3. No es posible afirmarlo, porque pudo haber sido re-
dondeado a esa cifra.
4. No es posible afirmarlo, porque pudo haber sido re-
dondeado a esa cifra.
5. a. 1, porque en el número está en el lugar de las cen-
tenas.b. –2, porque en el número esta en las centenas 
de mil. c. –2, porque en el número esta en las centenas.
d. –4, porque en el número está en las decenas de mil.
6. a. Multiplicar por 10 - 3 . b. Multiplicar por 10 13 . 
c. Multiplicar por 10 4 . d. Multiplicar por 10 2 .
7. a. (7 – 3 ) : 5. b. (4 – 8) : (–5).
8. 1 : 11 _ 7 = A 
9. Sí, porque redondea el número.
10. a. 1,25899907  ×   10 15 . 
11. Math error. 
Página 24. 
Aprender con la computadora 
El programa Scratch
1. y 2. Resolución personal.
3. Para multiplicar un número de 3 cifras por 15, se 
puede multiplicar el número por 10 y por 5, y sumar 
esos resultados.
4. y 5. Resolución personal. 
6. a. Seguir los pasos de construcción hasta visualizar la 
imagen de la consigna. b. Porque si a = 0 entonces es una 
recta paralela al eje x, siempre tendrá el mismo valor.
7. 
Matemática 3 Solucionario 9
Página 26. 
Integrar lo aprendido
1. a. 0, 1, 2, 3 y 4. b. Sí, porque: 
 5a + 5b + 1 + 5c + 2 + 5d + 3 + 5e + 4 = 
5 ( a + b + c + d + e + 2 ).
2. Se pueden armar infinitas, todas las fracciones 
equivalentes a 3 _ 98 . Por ejemplo: 
6 _ 196 = 
9 _ 294 = 
12 _ 392 = 
 15 _ 490  = 
18 _ 588 .
3. a. Sí, para todos los a que sean potencias de 10 ma-
yores que 100. b. Sí, cualquier a positivo. Hay infinitos.
c. Sí, cualquier a positivo. Hay infinitos. d. Sí, todos los 
valores de a múltiplos de 12. Hay infinitos. e. Sí, para 
todos los valores de a irracionales. Hay infinitos. 
f. Sí, para todos los valores de a que sean potencias de 
10 menores que 10 - 2 . Hay infinitos. 
4. a. 1, porque la fracción es decimal. b. 1, porque la 
fracción es decimal. c. Ninguno, porque al simplificar 
da un número natural. d. Infinitos, porque su denomina-
dor tiene divisores primos distintos de 2 y 5. 
e. 4, porque su fracción decimal equivalente tiene de-
nominador 10.000.
5. a. - 1 _ 2 
6. 
7. a. a < 0 o a > 1. b. a > 1 . c. a < - 1 o a > 1. 
d. a ≥ 0. e. a < 0. f. Para cualquier valor de a .
g. Nunca.
8. a. Es impar, porque la suma de dos números impa-
res es par, y par por cualquier número es par. b. Impar, 
porque el producto de dos números impares es impar, 
y la suma de un número par y otro impar es impar.
c. No, algunas veces es par y otras impar dependiendo 
del valor de x .
9. 
a–1
a0 2
9
–a+1
a
2
10. 
11. a. (-1; 10). b. [13; +∞). c. (-∞; 2]. d. (-∞; -2,25).
12. a. i. n ≥ 2. ii. n > 13 _ 2 . iii. Para ningún n .
13. a. i., ii., iv., v., vii. b. No, por ejemplo iii.
c. No, por ejemplo iv. d. Sí, véase la demostración de 
Pág. 16, actividad 1. d.
Capítulo 2
Las funciones
Páginas 28 y 29. 
Interpretar gráficos
1. a. El iii. El gráfico muestra que sale de su casa a las 
10, a los 30 km está la casa de sus abuelos donde per-
manece 2 horas mientras almuerza, y luego regresa a su 
casa porque vuelve a estar a distancia cero de su casa. 
b. El ii. El gráfico muestra que sale a 30 km de su casa 
que es la casa de sus abuelos, que permanece ahí 
2 horas, y luego regresa.
2. a. A las 8. 
b. No, sale a las 8:30, porque de 8 a 8:30 está en el 
mismo lugar. 
c. Están a 90 km, porque el eje y representa la distancia 
al Rio Mayo, y el auto sale desde el kilometro 90. 
d. Si, dos veces, en Rio Mayo de 9:45 a 10:30 y a 40 km 
de allí, de 11 a 11:15.
e. Si, dos veces, a 30 km de Rio Mayo de 8:30 a 9 y en 
Ricardo Rojas de 10 a 10:15. 
f. En Dr. Ricardo Rojas a las 12 horas, porque a partir 
de ese momento no cambia su posición. 
g. 15 minutos. 
h. 90km  : 2.25horas = 40km / h .
i. 90km : 1,25  =  72km / h .
9,80
M1 N1
1
10
3. a. Entre 2002 y 2003.
b. Entre el 2007 y 2008.
c. Sí entre 2002 y 2003, entre 2006 y 2007, entre 2013 
y 2014 y entre 2017 y 2018.
d. 37.000 miles de toneladas aproximadamente.
4. a. El primer año aumentó y el segundo año dismi-
nuyó, la superficie sembrada disminuyó porque se au-
mentó la superficie sembrada de soja. 
b. El empleo de fitosanitarios disminuyó entre los años 
2011 y 2013. La superficie sembrada disminuyo entre 
2011 y 2012, y sufrió un leve aumento entre los años 
2012 y 2013. 
c. A partir del año 2013 crece rápidamente. 
d. Ambos aumentaron. 
e. En ambos casos aumenta la utilización de fitosanita-
rios, en la de maíz se observa que disminuye la super-
ficies cultivada, y en la de soja aumenta.
Página 30. 
Construir gráficos
1. a. Sí, porque al representar los datos en un gráfico 
permite observar directamente la evolución a partir de 
la inclinación de los segmentos que unen los puntos 
que representan los datos registrados. 
b. 
c. Las ventas aumentaron entre el 2008 y 2009, luego 
disminuyeron hasta 2011, desde ese año hasta el 2012 
aumentaron levemente, luego descendieron hasta el 
2013, después ascienden hasta el 2017.
d. Si las escalas son diferentes los gráficos son diferentes, 
a pesar de que la relación representada sea la misma.
2007
300000
280000
260000
240000
220000
200000
180000
2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
2. a. i.
ii.
b. En el i. vuelve a la fábrica a las 10 h, porque por cada 
hora recorre 60 km. En el ii. vuelve a la fábrica aproxima-
damente a las 9:15 h, porque por cada hora recorre 50 km.
3. La construcción de un gráfico ayuda porque es sen-
cillo aproximar el lugar y el momento de llegada o el 
encuentro, ya que solo hay que observar el cruce del 
gráfico con alguna recta horizontal o vertical o el cruce 
de dos gráficos entre sí. 
a. A las 14:42. b. A las 12:20 aproximadamente. 
Página 31. 
El concepto de función
1. a. 300 km.
b. No, porque al principio recorre 50 km en 1 hora y a 
continuación recorre 50 km en 2 horas, por eso la incli-
nación de los segmentos es diferente.
c. Si, llevaba recorridos 250 km y se detuvo 2 horas.
2. a.  24  m 3 . b. 4,5  m 3 a los 80 kilómetros, y 3,8  m 3 a 
los 220 kilómetros. c. Carga gas, porque en una misma 
distancia aumenta la cantidad de gas en el tanque.
3. Los tres chicos tienen razón, sus afirmaciones se 
complementan. La relación de la actividad 1. es una 
función porque para cada valor de tiempo le corres-
ponde un solo valor en la distancia. La relación de la 
actividad 2. no es una función, porque para un mismo 
un mismo valor de la distancia le corresponde más de 
un valor en la cantidad de gas en el tanque.
Matemática 3 Solucionario 11
4. a. El 2 con 1 _ 2 ; –2 con - 
1 _ 2 ; y ninguno se relaciona con 0. 
b. y = 1 _ x c. Sí, porque para cada valor de x se obtiene 
un valor de y diferente. d. No, porque al 0 no le corres-
ponde ningún valor. e. Sí, porque para cada valor de x 
se obtiene un valor de y diferente.
Página 32. 
Modelizar por medio de funciones
1. a. A 40 cm, porque es la distancia al inicio de la 
pista cuando el tiempo en marcha es 0. b. Sí, porque al 
calcular la velocidad entre dos valores de la tabla, divi-
diendo la distancia recorrida por el tiempo que tarda en 
recorrerlo, todos dan 3. c. A los 61 cm. 
d. En 40 segundos. 
e. A los 34 segundos.
f. Por cada segundo que está en marcha recorre 3 cm, 
entonces para calcular cuántos centímetros recorre en 
determinado tiempo hay que multiplicarlo por 3, y hay 
que sumar los 40 cm, que es la distancia del tren al 
inicio de la pista cuando empieza el viaje. Si y es la 
distancia al inicio de la pista, y x el tiempo de marcha, 
la fórmula es: y =  3 · x + 40 .
g. El gráfico i.
2. a. 
Cantidad de prendas que cose 15 25 27
Importe a cobrar ($) 850 1150 1210
b. $610. c. No, porque cobra por $30 por cada prenda, 
no cobra si cose solo una parte de la prenda. d. El se-
gundo gráfico. 
3. a. $255. b. Es posible, tiene 2 m de lado.
c. y =   x 2 · 300  + 360 · x . d. El gráfico i.
4. a. 
Largo (m) 10 5 50 5,5 3,57 30,5 25
Ancho (m) 10 20 2 18,18 2,8 3,25 40
b. y · x = 100. c. El gráfico ii., porque a menor largo 
mayor ancho, y viceversa, y tanto el largo como el an-
cho pueden ser de una longitud decimal.
Página 34. 
Conjuntos de positividad y negatividad
1. a. 
Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Peso (kg)47,4 47,4 47,9 48 48,3 48,1 48,2 48,4 48,1 48 47,8 48
b. Subió 500 g. c. Entre la 1ª y 4ª, y entre la 10ª y 12ª. 
Porque el gráfico está por debajo del eje.
d. En las semanas 4, 10 y 12. Porque el gráfico corta el 
0 de la variación del peso. e. La 1ª, porque bajo 600 g.
f. Sí, de la 1ª a la 2ª semana porque la variación del 
peso fue de -600.
2. a. En marzo y diciembre. b. En enero y febrero. c. De 
abril a noviembre. d. En abril y en octubre. e. De enero 
a marzo. f. De mayo a septiembre. g. Bajo cero.
3. Se pueden graficar infinitas funciones que cumplan 
las condiciones en cada caso.
Página 35. 
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
1. a. Aumentó entre los años 1970 y 1981, 1986 y 1987, 1988 
y 1990, 1993 y 1996, 1998 y 2000, y desde 2001 en adelante.
b. No. c. En 1970, costaba aproximadamente $3.
2. a. Dominio: [- 0,5; 8). Imagen: (-5; 9). 
b. Raíces en 0, 3, 6 y 7,4. 
Conjunto de positividad: (- 0,5;  0) ∪   (0;  3) ∪   (7,4;  8) . 
Conjunto de negatividad:   (3;  6) ∪   (6;  7,4) . 
c. Máximo relativo: en x = 1,5.
Máximo absoluto: en x = -0,5 y en x = 7,8.
Mínimo relativo: en x=7.
Mínimo absoluto: en x= 4,1.
Intervalos de crecimiento: (0; 1,5), (4,1; 6) y (7; 8).
Intervalos de decrecimiento = (- 0,5;   0) ,   (1,5;   4,1)   y  
(6; 7) 
3. Se pueden graficar infinitas funciones que cumplan 
las condiciones en cada caso. 
Página 36. 
Análisis de funciones
1. a. (-2; 0). b. (0, 5) y (6; 7).
c. (- ∞ ;   - 2) ,   (5; 6)  y  (7;   + ∞) . 
d. (6; 20). e. (7; 15) o (–3; –10).
2. a. Dominio: ℝ .
Imagen: [–5; 4].Ceros: en –6,–2 y 0.
Máximo: –4. Mínimo: –1.
Intervalos de crecimiento: (–7; –4), (–1; 1). 
Intervalos de decrecimiento: (–4; –1). 
Intervalos de positividad: (- 6;   - 2) ∪   (0;   + ∞) . 
Intervalos de negatividad:   (- ∞ ; - 6 ) ∪   (- 2;  0) . 
b. Dominio: ℝ . Imagen: (-∞; 5). 
Ceros: en –60, –40, –20,30 y 60. 
Máximo relativo en x = –50 y x=45. 
Máximo absoluto en x = –10. 
Mínimo relativo en x=–30. 
12
Intervalos de crecimiento: (–∞;–50), (–30; –10) y (30; 45). 
Intervalos de decrecimiento: (–50; –30), (–10; 30) y (45; +∞). 
Intervalos de positividad: (- 60;   - 40) ∪   (- 20; 30) ∪ (30; 60) . 
Intervalos de negatividad:   (- ∞ ; - 60) ∪   (- 40;   - 20 ) ∪ (60;   + ∞) . 
c. Dominio: ℝ .–{–2}. Imagen: ℝ .
Ceros: no tiene. Máximos: no tiene. 
Mínimo relativo en x = –1. 
Intervalos de crecimiento: (–1; 1). 
Intervalos de decrecimiento: (–∞;–2) y (–2; –1). 
Intervalos de positividad: (- 2;   + ∞) . 
Intervalos de negatividad :   (- ∞ ; - 2) . 
d. Dominio: ℝ .–{–4; 3}.
Imagen: ℝ .. 
Ceros: en –3,0 y 2. 
Máximo relativo: en x =. 1. 
Mínimo relativo: en x =. –2. 
Intervalos de crecimiento: (–2; 1). 
Intervalos de decrecimiento: (–∞;–4), (–4; –2), (1; 3) y (3; +∞). 
Intervalos de positividad: (–4; –3)   ∪   (0; 2) ∪ (3;   + ∞) . 
Intervalos de negatividad:   (- ∞ ;   - 4) ∪   (- 3;  0) ∪ (2; 3) . 
3. Se pueden graficar infinitas funciones que cumplan 
las condiciones en ambos casos.
Página 37. 
Aprender con la computadora 
Las funciones con Geogebra 
1. a.
b. c. d. e.
F(x) G(x) H(X) I(X)
Intervalos de 
crecimiento
 (0; + ∞) (- ∞ ; 0) (- ∞ ; 0) (0; + ∞) 
Intervalos de 
decrecimiento
 (- ∞ ; 0) (0; + ∞) (0; + ∞) (- ∞ ; 0) 
Intervalos de 
positividad
 (- ∞ ; + ∞) (- 2; 2) - (- ∞ ; - 2) ∪ 
(2; + ∞) 
Intervalos de 
negatividad
- (- ∞ ; - 2) ∪ 
(2; + ∞) 
 (- ∞ ; + ∞) (- 2; 2) 
Raíces - x = - 2  y  x = 2 - x = - 2  y  x = 2 
Máximos 
relativos
- - - -
Máximo 
absoluto
- (0; 4) (0; - 4) -
Mínimos 
relativos
- - - -
Mínimo 
absoluto
 (0; 4) - - (0; - 4) 
2. a. b. y c. 
d. Las raíces son los puntos que determinan los extre-
mos de los intervalos de positividad y negatividad. Raí-
ces: C, D, E. Intervalo de positividad: (C;  D) ∪ (E; + ∞) . 
Intervalo de negatividad: (- ∞;  C) ∪ (D; E) . 
Los extremos son los puntos que determinan los inter-
valos de crecimiento y decrecimiento. Máximo: A. Míni-
mo: B. Intervalo de crecimiento: (- ∞; A) ∪ ( B; + ∞ ) . Interva-
lo de decrecimiento: (A; B) . 
Matemática 3 Solucionario 13
3. a.
b. Intervalo de crecimiento: (0; + ∞) Intervalo de decreci-
miento:   (- ∞; 0) . c. Conjunto de positividad:   (+ ∞; - ∞) . Con-
junto de negatividad: ∅ . d. No tiene raíces, porque no cor-
ta el eje x.
e. P(x) no tiene raíces, y n(x) tiene raíces en:   
N(x) P(x)
Raíces x = - 3  y  x = 3 No tiene.
Intervalo de 
crecimiento (- ∞; 0) (- ∞; 0) 
Intervalo de 
decrecimiento (0; + ∞) (0; + ∞) 
Intervalo de 
positividad (- 3; 3) No tiene
Intervalo de 
negatividad (- ∞; - 3) ∪ (3; + ∞) (- ∞; + ∞) 
f. 
4. a. 
b., c., d. y e.
g(x) i(x)
Dominio (- ∞; + ∞) ℝ .-{-2;2}
Imagen [0,25;0) ℝ .-{0}
Raíces No tiene. No tiene.
Intervalo de 
crecimiento (- ∞; 0) (- ∞; 2) ∪ (2; 0) 
Intervalo de 
decrecimiento (0; + ∞) (0; 2) ∪ (2; + ∞) 
Intervalo de 
positividad (- ∞; + ∞) (- ∞; 2) ∪ (2; + ∞) 
Intervalo de 
negatividad No tiene. (- 2; 2) 
f. No está definida, ya que el divisor no puede ser cero.
14
Páginas 39 y 40. 
Integrar lo aprendido
1. a. En la ex Unión Soviética entre 1970 y 1990.
b. En Europa, se aproxima a una recta vertical horizontal. 
c. En 1990. d. Sí, por ejemplo, la ex Unión Soviética 
entre 1990 y 1998. e. América del Norte, 2001, aproxi-
madamente 800 mil millones de m 3 .
2. Resolución personal. Se pueden graficar infinitas 
funciones que cumplan lo pedido.
3. a. La violeta corresponde a Javier y la roja a Tomas. 
b. 36 cuadras. c. Sí, a las 20 cuadras de la casa de Ja-
vier, a los 25 minutos. d. Tomás en lo de Javier y Javier 
en lo de Tomas. e. Acercarse a su casa.
4. Resolución personal. En todos los casos se pueden 
graficar infinitas funciones que cumplan las condiciones.
5. a. Si, el auto B a las 8:03 aproximadamente. b. A las 
8:18 aproximadamente. c. A las 8:16; B a las 8:12 y C a 
las 8:14. Hay que trazar una recta horizontal que pase 
por 300m en el eje y, a partir del punto donde corta 
cada curva, se traza una recta vertical hasta el eje x .
d. i. Auto C. ii. Auto A. iii. Auto B. 
6. Resolución personal. Se pueden graficar infinitas 
funciones que cumplan las condiciones en cada caso.
7. a. Hay infinitas, por ejemplo.
b. Completar desde gráficos armados
8. a. Dominio: ℝ –{2}. Imagen: ℝ . 
Raíz: en –4. 
Intervalos de positividad: (- ∞;  - 4) ∪   (2; + ∞) . 
Intervalos de negatividad:   (- 4;  2) .
b. Dominio: ℝ. Imagen: (0; 2]. 
Raíz: no tiene. 
Intervalos de positividad: (–∞; +∞)
Capítulo 3
Ángulos, circunferencias y 
cuadriláteros
Páginas 42 y 43. 
Ángulos inscriptos
1. a. 
b. Podría quedar dividida en 3 o 4 partes si no estuvie-
ran en ese orden los puntos. 
2. a. 6 cm, porque es dos veces el radio. b. 2 m. 
3. Se pueden trazar infinitos ángulos.
4. El a. y el c. Porque el vértice pertenece al arco y sus 
lados pasan por los extremos del mismo. 
5. ̂ A = ̂ a  , porque A ̂ O C es isósceles, AO = OC por ser 
radio.
 ̂ B = 50º. Porque B ̂ O C es isósceles, BO = OC por ser radio.
C ̂ O B = 80º. Propiedad de los ángulos interiores de un 
triángulo. C ̂ O A = 100º. Por ser A ̂ O B = 180º
 ̂ a = 40º. Propiedad de los ángulos interiores de un trián-
gulo, definición de triángulo isósceles y ángulo llano.
6. 
a. Los triángulos AOC y BOC son isósceles porque:
OA = OC = OB = radio
O ̂ A C = O ̂ C A → 2 O ̂ C A + A ̂ O C = 180º
O ̂ B C = O ̂ C B → 2 O ̂ C B + B ̂ O C = 180º
A
B
C
D
O
A
C
B
D
O
A
A
O
C
B
Matemática 3 Solucionario 15
Al sumar miembro a miembro resulta:
2 O ̂ C A + A ̂ O C + 2 O ̂ C B + B ̂ O C = 360º, como:
A ̂ O C + B ̂ O C = 180º
2 O ̂ C A + 2 O ̂ C B = 180º
2 (O ̂ C A + O ̂ C B) = 180º, y O ̂ C A + O ̂ C B = A ̂ C B
O ̂ C A + O ̂ C B = 90º
b. O ̂ C A + O ̂ C B son complementarios, porque: 
O ̂ C A + O ̂ C B = 90º
c. Sí, porque siempreel triángulo ABC estará formado 
por dos triángulos que tienen dos radios como lado, 
dos de ellos son el diámetro, y comparten un lado.
7. a. i. P ̂ C Q = 31º, P ̂ O Q = 62º. ii. P ̂ C Q = 45º, P ̂ O Q = 90º.
b. Sí, P ̂ O Q = 2 P ̂ C Q.
8. a. Sí, P ̂ C Q = 1 __ 2 P ̂ O Q. b. La amplitud del ángulo inscripto 
es la mitad de la amplitud del ángulo central que le corres-
ponde por formarse con los extremos del mismo.
9. Las dos chicas tienen razón. Denise, porque P ̂ R Q está 
inscripto en el arco PRQ y P ̂ O Q el ángulo central corres-
pondiente. Y para demostrar lo que dice Natalia: el trián-
gulo OPQ es isósceles, por lo que O ̂ P Q y O ̂ Q P miden 55°. 
El triángulo ROQ es isósceles y R ̂ O Q = 70º + R ̂ O P, luego
O ̂ Q P = (180º – R ̂ O Q) : 2 = (180º – 70º – R ̂ O P) : 2 = 
55º – R ̂ O P : 2. El triángulo POR es isósceles, entonces:
O ̂ P R = (180º – R ̂ O P) : 2 = 90º – R ̂ O P : 2.
En el triángulo QPR, 
P ̂ R Q = 180º – R ̂ P Q = 180 – (55º + O ̂ P R) – (55º – O ̂ Q R) = 
180º 70º – O ̂ P R + O ̂ Q R = 180º – (55º + O ̂ P R) – (55º – O ̂ Q R) = 
70º – O ̂ P R + O ̂ Q R = 70º – (90º – R ̂ O P : 2) + (55º – R ̂ O P : 2) = 
35º
10. a. P ̂ Q R = 23º 30', porque P ̂ Q R está inscripto en el 
arco PRQ, y P ̂ O Q es el ángulo central correspondiente.
b. B ̂ A O = 48º porque el triángulo AOB es isósceles, con
OA = OB = radio, B ̂ O C = B ̂ O A + A ̂ O C, y B ̂ O A = 
180º – 2 ∙ 48º = 84º, resulta B ̂ O C = 84º + 112º = 196.
Página 44. 
Ángulos definidos en un mismo arco de 
circunferencia
1. a. y b. Sí, en el arco PBQ.
A
Q
P
B O
c. El ángulo central correspondiente a ambos es P ̂ O Q.
d. Sí, porque P ̂ A Q = 1 __ 2 P ̂ O Q y P ̂ B Q = 
1 __ 2 P ̂ O Q, por ser 
P ̂ O Q el ángulo central correspondiente.
e. Solo si quedan ambos incluidos en el arco PAQ, para 
compartir los extremos del mismo arco de circunferencia. 
f. Sí, siempre y cuando P ̂ A Q y P ̂ B Q estén inscriptos en 
el mismo arco.
2. a. ̂ a = 48º, y ̂ b = 96º. 
b. ̂ a = 76º, y ̂ b = 38º.
c. ̂ a = 25º. 
d. ̂ a = ̂ g = 90º.
3. No, no es cierto porque no están inscriptos en el mis-
mo arco, aunque sí en arcos de igual longitud. La am-
plitud de todos los ángulos es 90° porque todos están 
inscriptos en semicircunferencias.
4. Es cierto lo que dice Julián, porque BAC = BDC y 
ABD = ACD en ambos casos por ser ángulos inscriptos 
en un mismo arco, al tener dos ángulos iguales y por la 
propiedad de ángulos interiores de un triangulo resulta 
que el otro ángulo es igual.
Página 45. 
Posiciones relativas de una recta y una 
circunferencia
1. 
a. Sí, la que pasa por el punto exterior P. 
b. Sí, las que pasan por R y P. 
c. Sí, las que pasan por cualquiera de los tres puntos. 
d. No, a lo sumo una recta puede cortarla 2 veces.
2. a. Trazando una recta perpendicular a OR por R.
b. Uno solo, por cualquier otro punto no sería perpen-
dicular.
R
P
Q
O
16
3. a., b. y c.
d. 90° porque está inscripto en una semicircunferencia.
e. Si, es tangente a la circunferencia dada.
4. a. A ̂ O C = 116° y A ̂ P C = 58°.
b. ABCP es un romboide porque BC = BA, CP = PA y 
BC ≠ CP.
5. Sí, son isósceles porque AB = BC, ̂ A = ̂ C , A ̂ D B = 
B ̂ D C = 90º, entonces A ̂ B D = D ̂ B C.
Página 46. 
Cuadriláteros inscriptos en una 
circunferencia
1. 58,31 cm = a la diagonal del rectángulo.
2. Tiene razón Denise, porque las diagonales de un 
cuadrado son perpendiculares.
3. El centro de la circunferencia debe estar a la misma 
distancia de los vértices, entonces, si trazan las media-
trices de AB y BD obtienen un punto que equidista de 
A, de B y de D. Si el cuadrilátero es tal que OC = OA, 
entonces se puede inscribir al cuadrilátero. 
4. a. B ̂ A D = 60º, su ángulo central, B ̂ O D = 120º luego el 
ángulo que completa el giro mide 240°, que es el ángu-
lo central de a, así a=120°. b. 196°= 2 ̂ b por ser su án-
gulo central, entonces ̂ b = 98º 360°-196°=164° ángulo 
central de ̂ a , entonces ̂ a  = 164° : 2 = 82º.
5. Sí, son suplementarios.
6. Sí, para hallarla, se trazan dos mediatrices a los la-
dos, el punto de corte es el centro y la distancia de este 
a cualquier vértice es el radio. Las cuatro mediatrices 
se cortan en un mismo punto, el que será el centro de 
la circunferencia.
7. No, si los ángulos opuestos no son suplementarios, 
no sería posible inscribirlo en una circunferencia.
O
N
R
i
Página 47. 
Geometría en Geogebra
1. a. La diferencia es que uno construye el segmento 
de una longitud determinada.
b. , c. y d.
2. a., b. y c. d.
e. 90°, porque está inscripto en una semicircunferencia.
f. y g. Es un rectángulo.
3. 
CA B
f
g
g
A
α = 90°
O
C
BA
g
O B
A
D
i
j
B
C
O
E
C
F
D
f
c
g
A
Matemática 3 Solucionario 17
4. a.
b., c., d. y e.
Páginas 49 y 50. 
Integrar lo aprendido.
1. a. Son iguales porque están inscriptos en el mismo 
arco.
 
b. Porque están inscriptos en semicircunferencias.
c d
BA
C
C
D
E
F
O
k
G
A
B
C
D
E
F
G
A
B
c. Son distintos porque están inscriptos en arcos dife-
rentes.
d. Son suplementarios porque la suma de los ángulos 
centrales correspondientes es igual a 360°.
e. No está inscripto porque los lados que lo forman no 
pertenecen a la circunferencia.
f. No todos los vértices del cuadrilátero pertenecen a la 
circunferencia.
2. Sí, A ̂ B C = 57º, B ̂ C A = 53º 30', C ̂ A B = 67º 30'.
3. Construir un triángulo equilátero de lado AB: trazar 
las circunferencias de radio AC, con centro en A y C; el 
punto de intersección de las mismas determina el pun-
to E (que sería el tercer vértice del triángulo equilátero). 
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
FG
A
B
18
Trazar la semirrecta 
⟼
 CE , el punto B es la intersección 
entre esta semirrecta y la recta r .
4. A partir de los datos de los arcos se calculan los án-
gulos centrales A ̂ O B = 120º, B ̂ O C = 72º y C ̂ O D = 60º, 
entonces A ̂ O D = 108º para completar un giro. 
Como A ̂ O D es el ángulo central correspondiente a 
A ̂ B D, 108 : 2 = A ̂ B D.
C ̂ O B ángulo central en C ̂ A B, entonces 2 C ̂ A B = C ̂ O B, 
C ̂ A B = 72º : 2, C ̂ A B = 36º.
5. a. A ̂ B C = 143º su ángulo central = 2·143°, como ̂ a  al 
giro resulta: ̂ a  = 360º - 286º = 74º.
Como el triángulo AOC es isósceles porque:
OA = OC = radio, entonces: 
OAC = ACO = 180º – 74º __________ 2 = 53º.
Además el triángulo ABC isósceles entonces:
C ̂ A B = B ̂ C A = 180º – 143º ___________ 2 = 18º 30'.
B ̂ C O = B ̂ A O = B ̂ A C + C ̂ A O = 71º 30'.
b. B ̂ C D = 180º – D ̂ A B = 98º por ser ángulos opuestos 
en el cuadrilátero inscripto en la circunferencia.
A ̂ B C = 135º : 2 = 67º 30' por estar inscripto en A ̂ O C. 
A ̂ B C + A ̂ D C = 180º, entonces:
A ̂ D C = 180º – 67º 30' = 112º 30'.
6. a. A ̂ B C = B ̂ C A = 113º 20'. C ̂ D A = D ̂ A B = 66º 20'.
b. B ̂ A D = A ̂ D C porque ambos son suplementarios de 
ángulos iguales.
7. a. A ̂ C B = 90º por estar inscripto en una semicircun-
ferencia.
A ̂ B C = B ̂ C A = C ̂ A B = 180º, entonces ̂ a = 60º.
b. ̂ b = ̂ g  = 90º por estar inscriptos en una semicircun-
ferencia.
c. A ̂ B C + B ̂ C A + C ̂ A B = 180º, A ̂ C B = 90º por estar ins-
criptos en una semicircunferencia.
 ̂ a + 90º + 2 ̂ a = 180º, entonces ̂ a = 30º.
A ̂ B C = 30º y C ̂ A B = 60º.
d. ̂ a = ̂ b  = ̂ g = ̂ δ = 90º, por estar todos los ángulos ins-
criptos en semicircunferencias.
C
B
E
r
A
8. No está inscripto, no pasan por la circunferencia los 
lados que lo forman.
9. No es correcto, A ̂ B C no está inscripto enla circun-
ferencia.
10. a. B ̂ O A = 140º, B ̂ A C = 20º. 
b. No puede calcularse.
C
Ao
Matemática 3 Solucionario 19
Capítulo 4
Algunos modelos funcionales
Páginas 52 y 53. 
Modelos de variación constante
1. a. Con 100 litros de leche pesa 80 kg, y con 380 litro 
pesa 220 kg. b. Si pesa 160 kg, el tanque tiene 260 li-
tros; y si pesa 500 kg tiene 940 litros. c. 30 kg. d. 0,5 kg.
e. 1.030 kg es el peso máximo, que corresponde al tan-
que lleno, es decir cuando hay 2.000 litros.
f. x·0,5 + 30, donde x representa la cantidad de litros 
de leche en el tanque. g. El segundo gráfico, porque 
continua. h. Sí, porque por cada litro que se agrega 
el peso aumenta en 0,5 kg. i. No, porque por ejemplo 
al doble de litros de leche no le corresponde el doble 
del peso. Esto ocurre porque para calcular el peso del 
tanque hay que sumar lo que pesa el tanque vacío a lo 
que pesan los litros que contenga. j. Sí, porque cada 
litro de leche pesa 0,5 kg, entonces al doble de litros 
de leche le correspondería el doble del peso, al triple 
el triple, etcétera. 
2. El auto rojo va a velocidad constante, porque a inter-
valos iguales de tiempo recorren la misma distancia. El 
auto azul no.
3. a. Sí, cobra $150, mientras que Movitel cobra $250 
y Telestar $200. 
b. Movitel, porque por cada minuto consumido cobra 
$0,3 Telestar $0,8 y Nuevotel $15. 
c. Se podrían graficar las tres rectas en un mismo gráfi-
co y analizar según el consumo cual conviene. 
d. Sí, si contrataran Movitel y Telestar y consumieran 
100 minutos pagarían $280 en ambas empresas. Por-
que en ese punto se cortan las rectas, y para el mismo 
consumo pagan lo mismo.
e. No, porque para ninguna cantidad de minutos con-
sumidos pagan lo mismo las tres empresas, en el grá-
fico se observa que nunca se cruzan las tres rectas en 
un mismo punto.
4. a. 
Tiempo (horas) 4 6 7 10 11 13
Volumen de agua (m3) 9 7 6 3 2 0
b. 13 m3 
c. y =  13 – x , donde x representa al tiempo en horas e 
y al volumen en m3.
d. El iii.
Páginas 54 y 55. 
Funciones de proporcionalidad directa
1. a. En recorrer 500 km tarda aproximadamente 
7 h 8´ 34´´, y en recorrer 60.000 m tarda 51´ 25´´ apro-
ximadamente.
b. 175 km. 
c. Como 1 km = 1000 m, y 1 hora = 60 minutos, enton-
ces: 0,001 · d = 70 _ 60 · t,  d = 
3500 _ 3 · t .
2. Al ser una relación de proporcionalidad directa, el 
cociente entre el importe a pagar y la cantidad de que-
so comprada tiene que ser constante.
3. a. Sí, porque 1,02 _ 1,7 = 
2,85 _ 1,71 =  0,6 . 
b. No, porque 4,1 _ 2,05 ≠ 
9,45 _ 7,4 . 
c. No, porque 1,03 _ 1,41 ≠ 
2,8 _ 3,42 . 
4. a. x = 1 ; a = 2 · b . b. x = 4 ; b = 4. 
5. a. 
Artículo Precio anterior Precio nuevo
Cartuchera $85,5 $93,195
Lapicera $127,4 $140
Cuaderno de 50 hojas $64 $69,76
Carpeta de cartón $101,92 $112
Lápiz $5 $5,45
Caja de marcadores $198,38 $218
b. Precio nuevo =  precio viejo · 1,09 .
6. Es cierto, porque 0,07  = 7 _ 100 que significa 7 por 
cada 100.
7. Sí, hace un descuento del 22%.
8. a. $38,016. b. $13,5.
c. Precio de lista · 0,9 ·1,2 = importe a pagar.
d. Con aumento del 8%.
9. b, c, d, f, g, i.
10. Todas menos la b. 
11. a. 0,95. b. 1,25. c. 0,7. d. 1,55. e. 0,988. f. 2,05.
20
Páginas 56 y 57. 
Ecuación de la recta
1. a. En la recta roja por cada unidad que aumenta x, y 
aumenta 2. Por lo tanto, si x aumenta 10, y aumenta 20. 
Si se comienza a contar desde el punto (0,4) las rectas se 
intersecan en (10; 4 + 20), ya que la recta azul es x = 10. 
b. Se cortarían en (109; 4 + 218), porque la recta ver-
tical es x = 109, y para que se intersequen tienen que 
tener las mismas coordenadas.
2. Sí, es correcto.
3. Es correcto, por cada unidad que aumenta x, y au-
menta 5. Si la recta vertical es x = a , la variación en 
x es a – 2 . Por lo tanto si en x se aumenta a – 2 , en y 
aumentará 5 · (a – 2) . 
4. El a., porque es el un punto que cumple la igualdad.
5. a. El punto (100, 203) está en la recta, al reemplazar 
a x por 100 resulta y = 203. El punto (1000; 2300) no 
está en la recta, porque si x = 1000 resulta y =2 003.
b. (50; 103), y (405; 813).
6. a. y = – 4 · x + 8 , es la única.
b. y = 1 _ 2 · x + 
9 _ 4 , es la única.
c. y = 7 · x + 1 , es la única.
d. y = 3 _ 4 · x + b,   con b ∈ ℝ , por lo tanto se pueden 
escribir infinitas.
e. No es posible.
f. y = – 6 · x – 10 , es la única.
7. a. Están alineados, al escribirlos en una tabla como 
en las actividades 2 y 3, se obtiene que por cada una 
unidad que aumenta x, y aumenta 5. Esta relación la 
cumplen los tres puntos. b. No están alineados, no 
cumplen una misma relación. c. Están alineados, al es-
cribirlos en una tabla como en las actividades 2 y 3, 
se obtiene que por cada una unidad que aumenta x, y 
disminuye 8. Esta relación la cumplen los tres puntos.
8. Al aumentar una unidad x, y disminuye 10. Por ejem-
plo el punto podría ser (–1; –15).
9. No están alineados, porque en los dos primeros pun-
tos y = 1 _ 2 , y el tercer punto es y = 
1 _ 3 , estos tres puntos 
no pueden estar alineados.
Páginas 58 y 59. 
Rectas paralelas y perpendiculares
1. a. y = 5x + 5 . b. Sí.
2. Sí, ambas rectas tienen pendiente 5.
3. a. Sí, es correcto. b. Son opuestas e inversas.
c. – 1 _ 5 . d. – 
4 _ 3 . e. – 
1 _ 4 . f. Si a es la pendiente de la recta, en-
tonces – 1 _ a   es la pendiente de una recta perpendicular 
a ella.
4. Paralelas: tienen la misma pendiente: f. y g.
Perpendiculares: el producto de las pendientes es 
igual a –1: b., d. y h.
Ni paralelas ni perpendiculares, no tienen la misma 
pendiente, ni el producto entre ellas es –1: a., c., e., i.
5. a. y = 3x – 1. b. y = 3x – 3. c.  y = 5x + 18 .
d.  y = 5x + 2. e.  y = – 1 _ 5 x + 
9 _ 5 . f.  y = – 
1 _ 8 x – 9. 
g.  y = – 4x + 27. h.  y = – 1 _ 8 x + b , con b ∈ ℝ .
i. y = 5x + 10. j. y = – 5 _ 8 x + 
11. _ 4 . 
6. Es un trapecio, porque la recta que contiene los pun-
tos A y B es paralela a la recta que contiene los puntos 
D y E.
7. a. y = x + 2 . b.  y = x + 8. c.  y = – x + 6 . Es per-
pendicular a la b., y alcanza con leer el enunciado por-
que si la recta de c. es perpendicular a la de a., será 
perpendicular a toda recta paralela a a. d.  y = – x – 1. 
e. Es un rectángulo porque hay dos pares de rectas 
paralelas y son perpendiculares entre sí.
8. a. y = 3 _ 2 x – 
17 _ 2 . b.  y = 
3 _ 2 x + 8 .
c. Por ejemplo: y = – 2 _ 3 x;  y = – 
2 _ 3 x + 1. 
d. No, porque se pueden considerar diferentes rectas 
perpendiculares.
9. a. 
b. Es un paralelogramo porque sus dos pares de lados 
son paralelos. 
c. Aplicando el teorema de Pitágoras resulta:
 AB – = CD – = √ 
_
 2 , y BD – = AC – = √ 
_
 125 .
 Perímetro de ABCD = 2 √ 
_
 2 + 2 √ 
_
 125 = 25,19. 
Matemática 3 Solucionario 21
10. a. D = (3; 4). b. Perímetro= 14,56 cm. c. Hay una 
única solución.
Páginas 60 y 61. 
La función cuadrática
1. a. 28 piedritas en el paso 7, 55 piedritas en el paso 
10, y 1.275 piedritas en el paso 50. b. Sí, es correcto.
c. No, pero son equivalentes.
d. Si. n · n – n _ 2 + n =   
 n 2 – n _ 2 + n = 
1 _ 2 n 
2 – 1 _ 2 n + n = 
1 _ 2 
n 2 + 1 _ 2 n = 
n _ 2 
(n + 1) . 
e. Sí, en el paso 100. f. No, porque en el paso 50 se 
colocan 1.275 piedritas y en el paso 51, 1.326.
2. a. 5.050. b. n _ 2 · 
(n + 1) . 
3. a. 12342175. b. m · n  +   (n – 1) n _ 2 =  s. 
c. Depende de cual se tome como variable además de 
s. Si la cantidad de números naturales consecutivos, 
n, es dada, está fija, por ejemplo n = 10, y m es la otra 
variable, entonces la fórmula será: m · 10 + 45 = s . 
En este caso la fórmula sí pertenece a una función li-
neal, porque por cada 1 que aumenta m, s aumenta 
10. En cambio, si el número por el que se empieza, m 
es lo que permanece fijo, por ejemplo m = 12, y n es la 
otra variable, entonces la fórmula será 12 · n +   (n – 1) · 
n _ 2 = s , es decir: 
1 _ 2 · n 
2 + 23 _ 2 · n = s . Si usan estafórmu-
la se pueden dar cuenta de que no es lineal, porque 
cuando n aumenta 1, s no aumenta siempre lo mismo. 
Por ejemplo, para n = 1, s = 12, Para n = 2, s = 25, 
s aumenta 13, pero para n = 3, s = 39, s aumentó 14.
4. a. $1,30. b. ii. c. No, la variación no es constante. 
5. a. No, no hay una única forma porque:
 12m = 2 base + 2 altura,   
12m = 2 (base + altura) , 12m _ 2 = base + altura. 
Entonces puede ser cualquier rectángulo cuya suma 
de base y altura sea igual a 6 cm.
b. 
Ancho de papel (m) 1 2,3 3,2 3,8 4 5,1 5,5
Área de papel ( m 2 ) 5 8,51 8,96 8,36 8 4,59 2,75
c. No, porque si el ancho varía siempre lo mismo, 
por ejemplo 1 m, el área no varía siempre lo mismo. 
d. Son iguales porque el ancho de uno es el alto del otro. 
e. 6, 75  m 2 . No hay otro, el marco siempre será de 
1,5 · 4,5, son los únicos valores que cumplen simultá-
neamente las dos condiciones:  base + altura = 6 cm , y 
base · altura = 6,75 m 2 . 
f. 9 m 2 . No hay otro, el marco siempre será de 3 · 3, son 
los únicos valores que cumplen simultáneamente las dos 
condiciones:  base + altura = 6 cm . g. Si a es el ancho del 
panel en metros, el área en m 2 es a · (6 – a) . h. Tiene que 
ser el cuadrado de 3 cm de lado.
6. a., b., e., g. y h.
Páginas 62 y 63. 
La representación gráfica de la función 
cuadrática
1. a. 
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
b. y = x 2 , es función porque a cada valor de x le co-
rresponde un único valor de y.
c. iii, porque es siempre positiva o 0, y es el único de 
los tres gráficos que tiene los puntos pertenecientes, 
por ejemplo: (2; 4) y (–2; 4).
d. Sí, es cierto, porque el cuadrado de dos números 
opuestos es igual. Por ejemplo: 2 2 =  4 y (– 2) 2 = 4 .
e. g tiene la misma curva como gráfico pero traslada 
una unidad hacia arriba porque a cada imagen de la 
función anterior hay que sumarle una unidad, lo mismo 
ocurre con t que se traslada una unidad hacia abajo.
2. a. Sí, es correcto porque a todas las imágenes de la 
función anterior se le suma c, entonces se corre hacia 
arriba tantas unidades como c. 
b. Le tiene que decir que se hace la misma curva de x 2 , 
pero se baja |c| unidades.
22
3. a. 
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
-x2 -25 -16 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 -16 -25
b. Sí, tiene sentido unir los puntos, porque para todo 
valor de x se puede encontrar su correspondiente a tra-
vés de la función.
c. Es simétrico respecto al eje x.
d. Le tiene que decir que grafique –x2 y luego trasladar-
se esa curva 3 unidades hacia arriba.
4. Sí, es correcto, porque para obtener las imágenes de 
g(x) hay que sumar o restar c unidades a las imágenes 
de h(x).
5. a. 
x -3 -2,5 -2 -1,5 -1 0 1 1,5 2 2,5 3
 f (x) = x 2 9 6,25 4 2,25 1 0 1 2,25 4 6,25 9
 g (x) = 2  x 2 18 12,5 8 4,5 2 0 2 4,5 8 12,5 18
 h (x) = 1 _ 2 x 
2 4,5 3,125 2 1,125 0,5 0 0,5 1,125 2 3,125 4,5
b. 
c. Sí, es correcto, porque:  a  ∙  x 2 >   x 2  si a > 1 , enton-
ces para cada valor que tome la variable x la variable 
y será mayor; pero si 0 < a < 1  resulta a  .   x 2 <   x 2 , 
entonces para cada valor de la variable x le correspon-
derá un valor de la variable y menor.
6. La b., porque la curva será la misma que f (x) =   x 2 
ya que devuelve las mismas imágenes, pero al estar 
restando a la base del cuadrado una unidad se corre 
toda la curva una unidad hacia la derecha. 
7. a. Subirla 3 unidades. b. Trasladarla 3 unidades 
hacia la derecha. c. Bajar 9 unidades. d. Trasladarla 
9 unidades hacia la izquierda. e. Trasladar 4 unidades 
hacia la derecha y subirla 3 unidades. f. Trasladarla 
5 unidades hacia la izquierda y subirla 2 unidades. 
g. Trasladarla 8 unidades hacia la derecha y bajarla 
3 unidades. h. Trasladarla 9 unidades hacia la izquier-
da y bajarla 5 unidades.
Página 64. 
Algunos modelos polinómicos
1. a. Si a es la arista del cubo, a 3 es el volumen, es decir 
los c m 3 de material necesarios para armarlo, y si cada 
c m 3 cuesta $0,10, entonces el costo de material por 
cubo en pesos, es 0,10  · a 3 . b. No es lineal ni cuadráti-
ca, porque la variable está elevada al cubo.
2. a. y = x 3 . b. ℝ c. ii., porque si x > 0 enton-
ces x 3 > 0 , pero si x < 0 entonces x 3 < 0 .
d. No hay puntos simétricos, no hay valores del dominio 
que tengan la misma imagen. 
3. a. Si L es la longitud del largo, la fórmula es 
 V = L · ( L – 4 ) · ( L – 3 ) 
b. Sí, es polinómica, porque si se simplifica la fórmula 
su forma es la de una cúbica: V = L 3 – 7 L 2 + 12L. 
Matemática 3 Solucionario 23
4. a. 785,4 c m 3 . b. 402,12 c m 3 . c. No, porque por cada 
unidad que aumenta la altura del tanque no aumenta lo 
mismo el volumen. d. V = π  ·   h 
3 _ 4 e. V = 3π  r 
3 
5. a. 
b. a) Trasladar 1 hacia arriba. b) Trasladar 3 hacia aba-
jo. c) Simétrica respecto del eje y. d) Simétrica respecto 
del eje y, y luego trasladar 3 hacia abajo. e) Hay que 
cerrar las ramas para que pase por el doble de las imá-
genes y luego trasladar 1 hacia arriba. f) Hay que abrir 
las ramas para que pase por la mitad de las imágenes 
y luego trasladarla 3 hacia abajo. g) Simétrica respecto 
del eje y luego abrirle las ramas para que pasen por 
el tercio de las imágenes. h) Simétrica respecto del 
eje y, luego cerrarle las ramas para que pasen por las 
imágenes multiplicadas por 5 y por último trasladarla 
10 hacia abajo. i) Trasladarla 4 unidades hacia la de-
recha. j) Trasladarla 6 unidades hacia la izquierda. 
k) Trasladarla 5 unidades hacia la izquierda, luego con-
siderar su curva simétrica respecto de la recta vertical 
x = – 5 , y por último abrir sus ramas a la tercera parte. 
l) Trasladarla 1 unidad hacia la derecha, después con-
siderar la curva simétrica respecto de la recta x = 1, 
luego cerrar las ramas para que tome las imágenes 
multiplicadas por 5, por último trasladarla 10 unidades 
hacia abajo.
Página 65. 
Los corrimientos
1. a. 
x –5 –4 –3 0 3 4 5
 f (x) = x 4 625 256 81 0 81 256 625
 g (x) = (x-3) 4 4.096 2.401 1.296 81 0 1 16
 h (x) = x 4 - 3 622 253 78 –3 78 253 622
 t (x) = 2  x 4 1.250 512 162 0 162 512 1.250
 m (x) = 1 _ 3   x 
4 625 _ 3 
256 _ 3 
27 0 27 256 _ 3 
625 _ 3 
b. F(x) es la amarilla, G(x) es la rosa, H(x) es la azul, 
T(x) es la verde, M(x) es la roja.
Página 65. 
Aprender con la computadora. 
El programa Geogebra
1. a.
b. Sí, tiene puntos simétricos.
c. Tiene vértice en (0; 0).
24
2. a. 
b. Sí, tienen puntos simétricos.
c. Tienen vértice, f(x) en (0;  1) , g(x) en (0;  0) , h(x) en 
(0;   – 3) y p(x) en (0;  0) .
3. 
b. No tienen puntos simétricos. c. No tienen vértice.
4. Sí, es cierto. 
Página 66. 
Las funciones homográficas
1. a. i.,ii. y iii. b. Sí, hay proporcionalidad inversa por-
que el producto entre las variables es constante. 
c. No, porque el 0 no tiene imagen. d. Sí, porque todos 
los números reales distintos de cero tienen imagen y es 
única. e. Sí, si se analiza las coordenadas de diferentes 
puntos verifican la ecuación. f. En b = 0 no está defini-
da la función, para los valores cercanos a 0 y positivos 
la función crece y crece cada vez más, mientras que 
para los valores cercanos a 0 y negativos la función 
decrece y decrece cada vez más. g. No, porque no 
verificaría que el producto entre las variables sea 48. 
En el grafico se observa que las dos ramas son simé-
tricas en cada cuadrante, y a medida que los valores 
de b son positivos y aumentan, las imágenes son más 
cercanas a 0, pero positivas, mientras que a medida 
que los valores de b son negativos y disminuyen, las 
imágenes son más cercanas a 0 pero negativas.
2. a. i. ℝ–{0}. ii. ℝ–{–3}. iii. ℝ–{0}. b. i. es el gráfico de 
f(x), por ejemplo porque el gráfico corresponde a su 
dominio. El ii. es el gráfico g(x), porque el gráfico no 
toma valores para x = –3, y iii. es el gráfico de h(x)por-
que no toma valores de x.=.0, y su imagen nunca es 3.
Página 67. 
Expresiones algebraicas equivalentes
1. a. Si, es correcto, reescribe la ecuación de la recta 
en forma explícita.
b. La pendiente es – 2 _ 3 y la ordenada al origen 
4 _ 3 .
Matemática 3 Solucionario 25
2. a. Pendiente = 0,8; ordenada al origen = –4.
b. Pendiente = –0,5; ordenada al origen = 5.
c. No tiene pendiente ni ordenada al origen porque es 
una recta vertical, no es una función.
d. Pendiente = 0; ordenada al origen= –1,8.
3. a. Son equivalentes i. y ii., al desarrollarlas se obtiene 
la misma expresión algebraica.
b. ii, porque si x=0 el único término que no se anula es 
el independiente.
4. a. i. y x. Es lineal.
ii. Sí, es homográfica.
iii. Sí, es polinómica, no se analizaron los gráficos de 
este tipo de funciones.
iv. Es lineal.
v. Sí, es cuadrática.
vi. Sí, es polinómica, no se analizaron los gráficos de 
este tipo de funciones.
26
vii. Es homográfica.
viii. y xii. Es lineal.
ix. Sí, es polinómica, no se analizaron los gráficos de 
este tipo de funciones.
xi. Sí, es polinómica.
xiii. y xiv. Es cuadrática.
b. Son equivalentes la i. y x., xiii. y xii., xiii. y xiv.
Páginas 68 y 69. 
Funciones definidas por tramos
1. a. Si el precio de lista es menor que $200, se multipli-
ca por 1,20 y si es mayor o igual, se multiplica por 1,09. 
b. Mora: $84, Clara: $218. c. Si es menor que $200, le 
hacen un recargo del 20% y si es mayor o igual, se le 
recarga el 9%. d. ii. , porque en 200 cambia el criterio, 
cambia la inclinación de la recta.
2. a. 18° C. b. 138° C. c. 218° C. d. 118° C a los 5 mi-
nutos; 186° C a los 8 minutos y 24 segundos; 250° C 
nunca, el máximo es 218° C. e. 20° C por minuto hasta 
alcanzar una temperatura de 218° C
f. 
3. a. Por 6 y 10 horas conviene “Siempre a su servicio”, 
por 12 horas conviene “Los amigos”.
b. 
Siempre a su servicio Los amigos
Matemática 3 Solucionario 27
c. En el gráfico de los precios de cada playa, obser-
vando el tiempo que dejara el auto, la gráfica que en 
esa cantidad de horas esté por debajo de la otra será 
la más barata. 
4. a.
b. 
c. 
d. 
e. 
28
Página 70. 
Aprender con la computadora. 
Las funciones en la planilla de cálculo
1. a. y b.
c. El 10% del precio actual. d. Es necesario poner el 
signo igual para indicar que ponga el resultado de la 
operación. Si no se ingresa el signo igual, no hace la 
cuenta. e. Porque depende de los valores en la colum-
na A el valor del 10%. f. Porque el 10%, es 10 _ 100 = 0,1 .
2. 
3. No hay una única forma, por ejemplo:
 = A2 – B2 , o = A2  ∙ 0,9 
5. 
Página 71. 
Aprender con la computadora. 
Los ejes en Scratch
1. a. y b. Resolución personal. c. La escala es en ambos 
ejes es de 100. d., e. f. Resolución personal. g. Mueve el 
punto según las indicaciones programadas. h. Porque 
se fija el valor de y. 
2. a. No es única. 
b. Por ejemplo.
c. Por ejemplo.
3. 
Páginas 73 y 74. 
Integrar lo aprendido
1. a. 32 minutos.
b. 280 litros.
c. En el primero, porque por cada minuto carga 7 litros, 
mientras que en el segundo tanque extrae 1 litro por 
minuto. 
d. Sí, a los 30 minutos los dos tienen 270 litros. 
e. En el primer tanque: L = 60 + t · 7 . Segundo tan-
que: L = 300 – t , donde t es tiempo en minutos y L la 
cantidad de agua en el tanque medido en litros.
Matemática 3 Solucionario 29
f. 
2. a. Descuento del 15%. b. Recargo del 2%. c. Des-
cuento del 25%. d. Recargo del 20%.
3. a. 500 cm. b. 5 km. c. r = m , si r es la longitud real 
medida en km y m es la longitud en el mapa medida en 
cm. d. Sí, la fórmula cambia, R = 100.000·M, donde M es la 
longitud en el mapa y R es la longitud real, ambas medida 
en cm. Esto es cierto porque 100.000 cm = 1 km. 
4. a. y =   – 13 _ 4 · x – 
7 _ 4 
b. y = – 4 _ 17 · x + 
19 _ 17 . 
c.  y = – 8 · x + 15. 
d.  y = – 7 · x + 4 .
e. y f.  y = – 5 · x + 20 .
g.  x = 1 .
30
h. y = x + 6 .
i.  y = – 3x + 5 .
j. Hay infinitas, todas las de la forma: y = – 5 _ 12 · x + b , 
con b ∈ ℝ . Por ejemplo y = – 5 _ 12 · x + 1. 
k. Hay infinitas, todas las de la forma: y = – 10 · x + b , 
con b ∈ ℝ . Por ejemplo y = – 10 · x + 5. 
l. No existe, porque los puntos no están alineados.
5. a. El primer día porque para x positivos la función 
es decreciente, entonces después del primer día cada 
vez hay una cantidad menor de enfermos. b. 4.500.
c. 30 días.
6. a. Área = 14 ·   l 2 , l = lado. b. Es una función cuadrá-
tica. c. V = 3 · l 3 . d. Es polinómica.
7. a. y = 2 · x + 1. 
b. i. (–3; –5). ii. ( – 1 
_ 2 ;  0 ). iii. (–1; –1.) iv. (0; 1).
8. a. y = 5 _ 12 · x + 
25 _ 12 . b.  y = – 
1 _ 2 · x – 
5 _ 2 c. y = 2 · x + 8 
d. Un triángulo rectángulo porque dos de sus lados es-
tán incluidos en rectas perpendiculares.
9. a. y = 2 _ 5 · x + 
3 _ 5 . b.  y = 
2 _ 5 · x + 
6 _ 5 . 
c.  y = – 5 _ 2 · x + 
1 _ 2 . d.  y = – 
1 _ 2 · x + 3. 
e. Un trapecio rectángulo porque dos de sus lados son 
paralelos, un tercero es perpendicular a estos, y el cuarto 
no es paralelo ni paralelo ni perpendicular a los anteriores.
10. a. El segundo, porque los números positivos del do-
minio tienen imágenes negativas y viceversa.
b. g (x) = – 1 _ x + 1 . h (x) =   – 
1 _ x – 2 .
Matemática 3 Solucionario 31
c. Dominio F(x)= ℝ–{0}, Imagen F(x) = ℝ–{0}.
Dominio g(x)= ℝ–{–1}, Imagen g(x) = ℝ–{0}.
Dominio h(x)= ℝ–{2}, Imagen h(x) = ℝ–{0}.
11. a. Trasladarlo 6 unidades hacia arriba. b. Trasladar-
lo 3 unidades hacia la izquierda. c. Abrirle las ramas 
para que pase por la mitad de las imágenes. d. Simétri-
co respecto al eje x.
12. i. Cerrar las ramas para que pase por el doble de 
las imágenes, y trasladarla 5 unidades hacia arriba.
ii. Cerrar las ramas para que pase por el doble de las 
imágenes, y trasladarla 5 unidades hacia abajo.
iii. Trasladar el gráfico i. 5 unidades hacia la izquierda.
iv. Trasladar el gráfico i. 5 unidades hacia la derecha.
Capítulo 5
Ecuaciones e inecuaciones
Páginas 76 y 77. 
Expresiones algebraicas equivalentes
1. a. 92 b. Todos tienen razón, son diferentes maneras 
de interpretar la secuencia. c. 277. d. Sí, con 190 figu-
ritas violetas. e. No, no es posible.
2. a. No es correcta. b. No es correcta. c. Es correcta.
d. Es correcta. 
3. a. 20 × k + 190 = S , donde k es el primer número y 
S la suma de este y sus 19 consecutivos. 
b. i. Sí, empezando por 16. ii. No.
c. Sí, es cierto, ya que los sumandos de la fórmula son 
múltiplos de 10. 
4. a. Verdadera porque:
m + (m + 1) + (m + 2) = 3m +3 = 3(m + 1)
b. Falsa, porque:
 m + (m + 1) + (m + 2) + (m + 3) =  4m + 6 , no es múlti-
plo de 4 por ser la suma entre un múltiplo de 4 y otro 
número que no lo es.
c. Verdadera, porque:
m + (m + 1 + (m + 2) + (m + 3) + (m + 4) + (m + 5) + (m + 6) = 
7m +21 = 7(m + 3).
5. a. 80 × 81 _ 2 = 3.240. b. i. Sí, sumando 61 números. 
ii. No, porque con 61 números la suma es 1.891 y, 
con 62 números, 1.953. c. Porque, como la fórmula es 
n × ( n + 1 ) _ 2 , en el dividendo quedan dos números conse-
cutivos, uno de los dos factores debe ser par, entonces el 
dividendo es par. El cociente entre dos números pares es 
un número entero. 
6. a. Sí el primer número es “a” y el segundo “b”, entonces:
 a × b = 270 .
 5 × a × 4 × b = 20 × a × b = 20 × 270 = 5 . 400. 
b. Sí, el nuevo resultado será 20 × 2 . 532 = 50 . 640. 
c. Nuevo resultado = 20   ×   anterior. 
7. a. Sí, la multiplicación original era 3.060 : 12 = 255.
b. No, porque la nueva multiplicación es 12 veces la 
original, entonces el resultado debe ser múltiplo de 
12 y 350 no lo es. c. Sí, nuevo resultado = 12 × anterior.
Páginas 78 y 79. 
Resolver ecuaciones
1. a. En el primer tanque hay 69 litros y en el segundo 
65 litros. 
b. i. Analizó que en el tanque 2 hay 20 litros menos que 
en el tanque 1 cuando inicia el llenado, además que 
por cada minuto que pasa, al tanque 2 ingresan 2 litros 
más de agua. Busco cuanto tiempo tiene que transcu-
rrir para que 3× tiempo = 5 × tiempo – 20 .
ii. t representa el tiempo que transcurre desde que co-
mienzan a llenarse los tanques, y representa la canti-
dad de agua que hay en cada tanque. Multiplico por 3 
o por 5, porque es la cantidad de agua que entra por 
minuto en cada tanque. Mientras que 45 y 25 es la can-
tidad de agua que había en el tanque al inicio.
iii. Descompuso los números. Porque cada miembro 
tiene tres términos, 2 de ellos son iguales, entonces 
para que se cumpla la igualdad el tercer término debe 
ser igual.
2. a. –1. b. 21. c. – 1 _ 30 . d. 
10. _ 13 e. 
32 _ 5 . f. – 
33 _ 14 . 
g. Ninguno. h. Cualquiera. i. 4. j. 72 _ 11 .
3. a. 0   × x = 6  no implica que x = 0, porque 0   × 0 no 
da 6, por lo tanto su conclusión es falsa. Mirna, al lle-
gar a una expresión que nunca puede ser cierta, afirma 
que la primera igualdad no se verifica nunca y eso es 
correcto. b. No existen valores que verifiquen la ecua-
ción. Pues 0 × cualquier número va a ser = 0.
4. a. Sí, tienen razón, si daría lo mismo con cualquier 
número que elija. 
b. Porque la expresión que hay que dividir por 3 es 
3 ∙ x + 9 = 3  ( x + 3 ) , que es múltiplo de 3 para cual-
quier valor de x .
5. Resolvió bien 9 problemas.
6. c. y d.
7. Nunca puede dar 44 porque la suma de tres núme-
ros consecutivos es múltiplo de 3 y 44 no lo es. 
8. a. Es correcto.
32
b. m + m + 2 + m + 4 = 78. 
 3m + 6 = 78 .
 3m = 76 .
 m = 24. 
c. 386  : 4 = 96,5 . Entonces no empiezo por un múltiplo de 4. 
 96 ∙ 4 = 384 => – 95 _ 1 – 96 –   
97 _ 1 – 
98 _ 2 . 
9. Da 1 para cualquier valor de x que se elija, por lo 
tanto nunca da 5.
10. a. 145. b. 202. c. No es posible, porque 458 no es 
múltiplo de 10.
11. a. 144. b. 3.012. c. No es posible, porque 7.610 no 
es múltiplo de 11.
Páginas 80 y 81. 
Diferentes tipos de ecuaciones
1. a. Lo que hacen los dos están bien, pero Leandro lle-
ga a una expresión de la ecuación que no le permite 
calcular los valores de x. b. Sí, porque la única forma 
en que un producto sea igual a 0, es que alguno de sus 
factores sea 0. Como el producto tiene 3 términos y cual-
quiera de ellos puede ser igual a 0, tienen que hallar 
cada uno de esos valores. c. No, el procedimiento de 
Melina solo puede usarse con 0, ya que con otro número 
hay infinitas multiplicaciones que dan ese resultado. 
2. a. 4 _ 3 ,   – 
1 _ 3 ,  3 y – 3. b. 
5 _ 3  y – 8. c. 
8 _ 7 , – 5,  y 0. 
d. Ninguno. e. 4 _ 7  y – 
1 _ 4 . f. 5 y –1.
3. a. Sí. b. Sí, 2 y –2.
4. a. Porque Nacho, al dividir por m no tiene en cuenta 
que podría valer 0, ya que en ese caso no podría dividir 
por m , y encuentra las soluciones en las que m no es 0. 
b. Matías tiene razón porque no pierde soluciones. 
5. a. 0 y 2 _ 3 . b. 0 y – 
3 _ 7 . c. 0, √ 
_
 2 y – √ 
_
 2. d. 0, 4 _ 3  y – 
 4. _ 3 e. 0.
f. 13. g. √ 
_
 2 y – √ 
_
 2 . h. –11. i. Ningún valor verifica la igual-
dad. Porque no hay ningún número real que elevado a 
una potencia par dé por resultado un número negativo. 
6. a. i. b. iii., iv. y v. c. i., iv. d. x.
7. a. 15 y –15. b. 0. c. Ninguno. d. 6 y –6. e. 3 y 1.
8. Julián tiene razón porque el resultado de la distancia 
es un solo número, pero hay dos números que están a 
la misma distancia del 0.
9. a. 2 _ 3 no verifica la igualdad. 
b. Hay que tener en cuenta que el valor que toma el 
módulo es positivo. 
10. a. 4 _ 3  y  
2 _ 7 . b. y c. Ningún número verifica la igualdad. 
d. 5 _ 2  y – 
3 _ 2 . 
11. a. 1 y 7 _ 3 . b. –1 y –3. c. – 
15 _ 4 y – 
21 _ 4 . 
Páginas 82 y 83. 
Ecuaciones lineales con dos incógnitas
1. a. Hay 11 posibilidades.
b. m = (120 – 4 ∙ p) : 3 donde m es la cantidad de pa-
quetes de manzanas y p es la cantidad de paquetes de 
peras, y 3 ∙ m + 4 ∙ p = 120. 
c. 
d. Los puntos ubicados están en una recta, pero no tie-
ne sentido unirlos, porque las cantidades de paquetes 
tienen que ser números naturales o 0.
2. a. Hay infinitas posibilidades.
b. f = 30 – 3 _ 4 ∙ c, donde c es la cantidad de kilos 
de cacao y f la cantidad de kilos de fécula, ya que 
3 ∙ c + 4 ∙ f = 120. 
c. 
d. Es correcto, porque los kilos de cada producto pue-
de tomar cualquier valor real positivo. 
3. a. 52 soluciones. b. 67 soluciones. c. Sí, hay 29 mo-
nociclos y 37 bicicletas.
4. a. En el kilómetro 94. b. Sí el 2° supera al 1°, a las 
2 horas, en el kilómetro 190.
Matemática 3 Solucionario 33
5. a. A las 3, a las 4 y a las 6 horas la distancia entre 
los dos era de 15 km. b. Nunca supera un auto al otro 
porque salen de diferentes lugares y van a la misma 
velocidad, 75 km/h.
6. Es correcto lo que dicen los tres. La ecuación que 
plantea Julián es 20 + 80 ∙ t = 40 + 90 ∙ t , su solución 
es t = – 2 , que es un valor que no tiene sentido en el 
problema porque es negativo, no pueden encontrarse 
antes de salir. 
7. Lo que dice Denise sirve solo para los casos en que 
los autos no pueden encontrarse como el caso del ejer-
cicio N°6, es decir cuando salen al mismo tiempo, a ve-
locidad constante, de diferentes lugares y que el auto 
que sale desde más adelante tiene mayor velocidad. 
En los otros casos es necesario resolver la ecuación 
para determinar si se cruzan o no, porque si salen de 
diferentes lugares y el que sale desde más lejos va más 
rápido que el otro auto, puede ocurrir que se crucen o 
que no.
8. a. 41 posibilidades.
Cantidad de 
monedas de $0,50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cantidad de 
monedas de $0,25 80 78 76 74 72 70 68 66 64 62 60
Cantidad de 
monedas de $0,50 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Cantidad de 
monedas de $0,25 58 56 54 52 50 48 46 44 42 40
Cantidad de 
monedas de $0,50 21| 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Cantidad de 
monedas de $0,25 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20
Cantidad de 
monedas de $0,50 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Cantidad de 
monedas de $0,25 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
b. Con 40 monedas de 25 centavos y 20 monedas de 
50 centavos tiene los $20 y son 60 monedas en total. 
Si tiene 80 monedas de 25 centavos y ninguna de 50, 
también junta $20. Pero no puede tener 100 monedas 
totales, porque el dinero mínimo que juntaría que es el 
caso en el que todas las monedas sean de 25 centa-
vos, sería $25 que es mayor que $20.
9. Puede comprar 22 carpetas y 11 cartucheras. 
10. Pedro tiene 35 años y Juan tiene 15.
11. Los chupetines $2,5 y los caramelos $0,5.
12. 70 sillas y 25 mesas.
13. 9 latas y 10 botellas. 
Páginas 84 y 85. 
Sistema de ecuaciones lineales
1. a. Denise tiene razón, en ese punto los autos están 
en el mismo lugar y al misma hora, pero la identifica-
ción de ese punto, observando el gráfico, la podemos 
hacer de forma aproximada. b. Se encuentra en el ki-
lómetro 230 a las 2 horas de partir, aproximadamente.
2. a. Hay infinitos, por ejemplo: 
(6; 0), (0; 2), (3; 1), (1; 
5 _ 3 )  , (2; 
4 _ 3 ) .   
b. Hay infinitos por ejemplo:
 (0; 
14 _ 3 ) ( 
14 _ 9 ; 0) , (2; – 
4 _ 3 ) , (– 4;   
50 _ 3 )  y ( 3;   – 
13 _ 3 ) . 
c. 
d. A es el único. e. A = (1; 
5 _ 3 ) . 
3. Natalia tiene razón. Si las pendientes son distintas, 
las rectas se cruzan en un punto y el sistema tiene una 
sola solución. Si las pendientes son iguales y las orde-
nadas al origen son diferentes, las rectas son paralelas, 
no se cruzan, y el sistema no tiene solución. Si las pen-
dientes son iguales y las ordenadas al origen también, 
las rectas son iguales, se intersecan en todos sus pun-
tos y el sistema tiene infinitas soluciones.
4. a. Una. b. Infinitas. c. Una. d. Ninguna. 
5. a. (2; 1) . b. (r; –  1,  2 + 0,3 . r) , con r cualquier número 
real. c. (0,25;  0,75) . d. No tienen puntos en común.
6. Se puede observar que los pares de rectas van cam-
biando, pero siempre se cruzan en el mismo punto, que 
es la solución del problema. 
7. a. i., ii. y iv. son posibles de completar con cualquier 
ecuación que pase por ( 
1 _ 2 ; – 
3 _ 5 ) que es la solución del 
34
sistema. iii. No puede completarse, porque el punto so-
lución (