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Aprendiendo Matemáticas y Fisica
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE CIENCIAS
EVALUACIÓN DEL RIESGO DE CRÉDITO
DE UN PORTAFOLIO DE ACCIONES:
MODELO DE CORRELACIONES CONDICIONALES DINÁMICAS
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
A C T U A R I O
P R E S E N T A :
CARLOS ALBERTO REYES MARTÍNEZ
DIRECTOR DE TESIS:
DR. JOSÉ GONZALO RANGEL LÓPEZ
2010
UNAM – Dirección General de Bibliotecas
Tesis Digitales
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fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo
mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro,
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el
respectivo titular de los Derechos de Autor.
“No se puede llegar a la verdadera ciencia a menos que se haya aprendido antes a
rendirle culto. Verdad es que el hombre tiene derecho a mirar de frente la luz, mas ese
derecho tiene que conquistarlo” R. Steiner.
Agradezco...
... a mi Dios por esa posibilidad de Luz...
... a mis padres Pablo y Coty por su amor, dedicación y ejemplo.
... a Génesis por su amor y paciencia.
Un agradecimiento especial para mi tutor, el Dr. José Gonzalo Rangel López, por su
disposición a dar el cauce correcto al presente trabajo y a mis inquietudes
profesionales.
Finalmente, por el tiempo dedicado a revisar esta tesis y sus valiosos comentarios,
agradezco a mis sinodales:
Dra. Ruth Selene Fuentes García
Dr. Eneas Arturo Caldiño García
M. en C. Jorge Humberto Del Castillo Spíndola
Act. Gildardo Yahveh Romero Rodríguez
1
CONTENIDO
1.
INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................... 2
2.
RIESGO
DE
CRÉDITO ................................................................................................................ 6
2.1
El
Crédito ........................................................................................................................... 6
2.2
Riesgo
de
Crédito............................................................................................................... 9
2.3
Modelos
de
Riesgo
de
Crédito ........................................................................................ 13
3.
MODELOS
MULTIVARIADOS
DE
VOLATILIDAD...................................................................... 21
3.1
Portafolios
de
Varianza
Mínima ...................................................................................... 21
3.2
Modelos
Multivariados
de
Volatilidad ............................................................................ 23
4.
MODELO
DE
RIESGO
DE
CRÉDITO
FACTOR-‐DCC ................................................................... 38
4.1
Fundamentos
Económicos
de
las
Correlaciones ............................................................. 38
4.2
Modelo
de
Correlaciones
Condicionales
Dinámicas
(DCC) ............................................. 41
4.3
Modelo
Factor-‐DCC
de
Riesgo
de
Crédito ....................................................................... 44
5.
ESTIMACIÓN
DEL
MODELO
Y
RESULTADOS .......................................................................... 54
5.1 Datos................................................................................................................................ 54
5.2 Estimación del Modelo.................................................................................................... 55
5.3 Resultados ....................................................................................................................... 57
6.
CONCLUSIONES ..................................................................................................................... 69
7.
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................ 71
APÉNDICE ...................................................................................................................................... 73
2
1. INTRODUCCIÓN
En
las
últimas
décadas
se
ha
escrito
una
gran
cantidad
de
artículos
sobre
riesgo
de
crédito
que
han
abordado
tanto
cuestiones
teóricas
como
cuestiones
prácticas.
Estas
contribuciones
han
sido
hechas
desde
distintas
áreas
de
conocimiento:
economía,
finanzas,
actuaría,
administración,
sistemas
computacionales,
teoría
de
juegos,
teoría
de
contratos,
entra
otras.
El
creciente
interés
por
un
área
tan
específica
como
el
riesgo
de
crédito
puede
explicarse
por
los
nuevos
retos
a
los
que
se
enfrentan
las
instituciones
financieras.
Por
ejemplo,
las
nuevas
regulaciones
tanto
locales
como
directrices
internacionales
tipo
Basilea
I
y
II.
Se
han
dado
innovaciones
en
los
mercados
de
crédito
entre
las
que
destaca
el
desarrollo
de
productos
estructurados
de
crédito
como
los
CDO
(Credit
Default
Obligations),
MBS
(Mortgage
Backed
Securities),
etc.
En
general,
existe
una
necesidad
de
evaluar
correctamente
el
riesgo
involucrado
en
las
operaciones
financieras
cada
vez
más
sofisticadas
e
impersonales.
Este
rápido
y
concurrido
desarrollo
en
el
área
ha
conducido
a
un
proceso
de
selección,
donde
los
innumerables
modelos
propuestos
son
confrontados
con
distintos
retos
teóricos
y
prácticos.
Algunos
de
estos
modelos
han
probado
ser
buenos
a
nivel
teórico
pero
con
deficiencias
a
nivel
práctico,
y
viceversa.
Hay,
por
supuesto,
modelos
que
guardan
un
balance
entre
robustez
teórica
y
aplicación
práctica.
Ninguna
de
estas
categorías
es
necesariamente
mejor
que
las
otras,
todo
depende
de
si
la
pregunta
que
se
intenta
resolver
es
relevante
y
de
si
la
respuesta
es
adecuada.
Por
esta
razón
es
importante
delimitar
bien
el
problema
a
resolver
y
los
alcances
del
modelo
propuesto.
El
problema
que
se
aborda
en
el
presente
trabajo
es
el
de
la
medición
del
riesgo
de
crédito
en
un
portafolio
de
activos
financieros.
El
modelo
propuesto
describe
la
varianza
(multivariada)
de
los
activos
en
el
portafolio
de
forma
dinámica
con
una
estructura
que
permite
hacer
simulaciones
en
el
tiempo
y
recuperar
la
función
de
distribución
de
pérdidas,
la
cual
es
unaherramienta
fundamental
para
el
administrador
de
riesgos.
En
la
administración
de
riesgos
de
portafolios
financieros
un
reto
consiste
en
modelar
las
matrices
de
varianzas
multivariadas.
Al
aumentar
el
número
de
3
activos,
la
estimación
de
la
matriz
de
volatilidad
se
vuelve
demasiado
compleja
y
demandante
en
recursos
de
cómputo.
El
modelo
propuesto
(Factor-‐DCC)
permite
modelar
cada
una
de
las
componentes
de
la
matriz
de
forma
separada,
sin
dejar
de
lado
la
interdependencia
entre
los
activos
del
portafolio.
Es
decir
las
varianzas
y
covarianzas
de
los
activos
se
modelan
en
forma
univariada
y
condicional:
las
varianzas
individuales
siguen
procesos
tipo
GARCH
y
las
covarianzas
se
obtienen
a
partir
de
estas
varianzas
y
de
las
correlaciones,
las
cuales
siguen
procesos
DCC
(Correlaciones
Condicionales
Dinámicas,
por
sus
siglas
en
inglés).
Robert
Engle
(2009)
califica
a
esta
modelación
dinámica
de
las
correlaciones
como
un
nuevo
paradigma
para
la
administración
de
riesgos.
El
modelo
se
plantea
como
un
modelo
de
factores,
es
decir,
se
considera
que
existen
factores
(económicos,
estadísticos)
que
imponen
una
dinámica
común
a
los
activos,
al
estilo
del
CAPM
de
Sharpe
(1964)
o
del
APT
de
Ross
(1976).
Para
este
trabajo
se
sigue
la
metodología
de
Engle,
Berd
y
Voronov
(2007).
En
dicho
trabajo
los
autores
utilizan
un
modelo
Factor-‐GARCH
(de
la
misma
familia
de
modelos
que
el
Factor-‐DCC)
para
capturar
la
volatilidad
de
los
productos
CDO
(Colletaralized
Debt
Obligations)
los
cuales
son
portafolios
financieros
muy
generales.
En
Engle
(2009)
se
muestra
cómo
el
empleo
de
modelos
DCC
pudo
haber
anticipado
los
agentes
financieros
cuando
invirtieron
en
exceso
en
los
productos
CDO,
durante
las
crisis
hipotecaria
de
U.S.A.
El
comportamiento
económico
que
se
trata
de
capturar
es
que,
en
períodos
de
alta
volatilidad
en
los
mercados
financieros,
existen
dos
procesos
de
volatilidad
hacia
dentro
de
los
portafolios:
el
de
la
volatilidad
propia
del
activo
y
el
de
la
covarianza
con
los
otros
activos
del
portafolio
(y
el
mercado
mismo).
De
entre
la
vasta
literatura
de
modelos
de
riesgo
de
crédito,
se
opta
por
esbozar
los
modelos
de
riesgo
de
crédito
más
populares
entre
las
instituciones
financieras.
Algunos
de
ellos
alcanzan
el
estatus
de
“paradigmas”
como
los
son
CreditRisk+
y
CreditMetricsTM.
Con
este
breve
recorrido
-‐que
se
realiza
en
el
capítulo
2-‐
nos
situamos
en
contexto
y
podemos
contrastar
ventajas
y
desventajas
de
las
distintas
metodologías
de
medición
del
riesgo
de
crédito.
En
este
capítulo
también
se
hace
una
discusión
sobre
el
concepto
de
riesgo
de
crédito:
su
4
evolución,
la
distinción
respecto
a
otro
tipo
de
riesgos
financieros
y
económicos,
las
innovaciones
en
los
mercados
de
crédito
y
los
retos
que
conllevan.
En
el
capítulo
3
se
trata
el
tema
de
los
modelos
de
volatilidad
multivariados,
en
los
cuales
se
enmarca
la
medición
de
riesgo
de
crédito
propuesta.
En
esta
área
de
estudio
las
contribuciones
son
abundantes.
Se
opta
por
esbozar
los
modelos
considerados
como
relevantes
en
Silvennoinen
y
Teräsvirta
(2008);
Bauwens,
Laurent
y
Rombouts
(2006);
y
en
Tsay
(2006).
Una
vez
puesto
este
marco
de
referencia
es
más
fácil
apreciar
las
bondades
de
los
modelos
DCC
para
la
estimación
de
matrices
de
varianzas
multivariadas.
Se
esbozan
desde
modelos
muy
básicos
hasta
modelos
más
sofisticados.
Para
ser
justos,
se
incluyen
en
la
reseña
modelos
más
flexibles
que
el
modelo
Factor-‐DCC
(básico
para
esta
tesis)
para
la
modelación
de
la
matriz
de
varianzas
y
covarianzas;
modelos
que
emplean
información
de
alta
y
baja
frecuencia
simultáneamente
para
describir
tendencias
de
largo
plazo
no
estacionarias
y
fluctuaciones
alrededor
de
dichas
tendencias.
Esta
clase
de
modelos
bien
pueden
emplearse
en
la
medición
del
riesgo
de
crédito
pero
rebasarían
los
alcances
de
lo
que
aquí
se
pretende
presentar.
El
cuarto
y
el
quinto
capítulo
son
los
centrales
en
esta
tesis.
En
el
capítulo
4
se
explica
la
construcción
del
modelo.
En
primer
lugar
se
da
una
justificación
de
teoría
financiera
para
el
uso
de
las
correlaciones
para
modelar
dependencia
en
series
de
rendimientos
financieros.
Enseguida
se
plantea
el
modelo
DCC,
las
partes
que
lo
conforman
y
la
forma
en
que
interactúa
con
los
modelos
GARCH.
Se
desarrolla
la
forma
en
que
el
modelo
se
modifica
para
tomar
en
cuenta
la
existencia
de
un
factor
común
a
los
rendimientos.
Se
explica
la
estimación
usando
métodos
de
máxima
verosimilitud.
En
el
capítulo
5
se
desarrolla
una
aplicación
práctica
del
modelo
para
un
portafolio
de
acciones
de
la
Bolsa
Mexicana
de
Valores.
Se
explican
los
supuestos
a
los
que
se
recurre,
como
el
supuesto
de
Portafolio
Homogéneo.
Para
dar
riqueza
al
análisis
se
prueban
distintas
especificaciones
de
la
heteroscedasticidad
de
las
varianzas.
Una
vez
que
se
ha
estimado
la
matriz
de
varianzas
y
covarianzas
condicional
del
portafolio,
se
aprovecha
la
estructura
del
modelo
para
simular
trayectorias
de
rendimientos.
El
producto
final
de
la
simulación
es
la
recuperación
de
la
función
de
distribución
de
las
pérdidas
(rendimientos).
5
Finalmente
los
capítulos
5
y
6
se
presentan
las
conclusiones
y
la
bibliografía
a
laque
se
recurrió
en
la
elaboración
de
este
trabajo.
Para
tener
un
referente
de
la
eficiencia
de
las
correlaciones
respecto
a
otras
medidas
de
dependencia
se
incluye
un
apéndice
donde
se
repasan
de
forma
breve
otras
medidas
menos
populares
pero
que
son
de
uso
común
en
el
medio
financiero.
6
2. RIESGO
DE
CRÉDITO
2.1
El
Crédito
La
actividad
de
crédito
es
fundamental
para
la
economía.
Permite
a
los
distintos
agentes
económicos
ir
más
allá
de
lo
que
sus
respectivas
restricciones
presupuestarias
les
imponen.
El
crédito
hace
posible
que
más
individuos
tengan
acceso
a
vivienda,
educación
y
a
bienes
de
consumo
básicos
para
el
bienestar
en
los
hogares.
Las
empresas
tienen
acceso
a
proyectos
más
rentables
y
con
potencial
de
generación
de
empleo.
Los
entes
públicos
tienen
mayor
flexibilidad
fiscal
para
proveer
servicios,
infraestructura,
programas
sociales
y
para
tener
mejores
instrumentos
de
planeación
y
control
presupuestal.
Debido
a
la
importancia
de
la
actividad
de
crédito
(en
sus
cada
vez
más
diversas
formas)
ésta
debe
ejercerse
con
responsabilidad
y
conocimiento.
En
este
sentido,
es
fundamental
contar
con
una
valoración
lo
más
precisa
posible
del
riesgo
involucrado
en
una
transacción
de
crédito.
Si
bien
es
posible
rastrear
los
orígenes
de
la
actividad
de
crédito
en
las
primeras
transacciones
comerciales
de
la
humanidad1,
resulta
más
relevante
para
los
propósitos
de
este
trabajo
remitirnos
a
los
orígenes
de
la
actividad
de
crédito
bancario.
Históricamente
los
bancos
han
sido
los
prestamistas
por
excelencia
y
los
que
(lógicamente)
empezaron
a
analizar
mejores
prácticas
de
otorgamiento
de
crédito.
De
acuerdo
a
de
Roover
(1966)
las
ciudades
de
Siena
y
Plascencia
en
Italia
fueron
los
primeros
centros
bancarios
de
Europa,
incluso
antes
que
Florencia.
Sin
embargo,
el
modelo
de
banca
que
se
desarrolló
en
esta
última
es
el
precedente
más
similar
a
la
banca
que
conocemos
hoy
en
día.
La
primera
mitad
del
siglo
XIV
estuvo
dominada
por
las
familias
Bardi,
Peruzzi
y
Acciaiulli.
A
finales
de
dicho
siglo
1 “En el Código de Hammburabi, aproximadamente en 1800 a.C., se incluyen secciones respecto a la regulación del
crédito en Babilonia (véase Homer y Sylla [1996]). Hay evidencia de que la Civilización del Valle Indo, una
civilización ribereña posiblemente más antigua que Babilonia misma, tenía contacto comercial con ésta a través de
la ciudad vecina de Meluhha (véase Sasson [1995]). Así que posiblemente el interés por el riesgo de crédito
históricamente se remonta a tiempos anteriores a 1800 a.C.” Texto citado en Caouette, et.al (1998) traducido por el
autor.
7
surgen
participantes
como
los
Medici,
los
Pazzi
y
otros
menos
renombrados.
El
banco
de
los
Medici
que
es
emblemático
de
la
Florencia
renacentista,
se
establece
en
1397
y
cierra
sus
puertas
en
1494.
Posteriormente
surgen
otros
banqueros
prominentes
en
Europa,
como
los
Rothschild
en
Alemania
en
los
siglos
XVIII
y
XIX.
Entre
la
élite
pionera
en
la
banca
también
podemos
contar
a
J.P.
Morgan
a
finales
del
siglo
XIX
y
principios
del
XX.
Esta
élite
pionera
en
la
banca
tenía
una
característica
común:
su
cercanía
con
el
poder
político.
Era
una
forma
de
hacer
banca
mediante
relaciones
públicas
y
persiste
hasta
el
día
de
hoy
aunque
con
un
peso
específico
menor.
En
esta
forma
tradicional
de
hacer
negocio
(otorgando
crédito)
es
prioridad
la
relación
con
el
cliente,
pasando
por
alto
incluso
que
el
cliente
le
haya
causado
pérdidas
en
el
pasado
debido
a
incumplimientos.
Los
riesgos
asumidos
eran
elevados
y
se
basaban
únicamente
en
el
conocimiento
del
dinero,
poder
y
fiabilidad
del
cliente.
La
regla
de
otorgamiento
era
el
“ojo
experto”
del
banquero,
que
podía
sintetizar
las
características
del
cliente
para
hacer
trajes
a
la
medida.
Empleando
su
sensibilidad
experta
los
banqueros
sabían
cuánto
podían
prestar
a
un
cliente,
su
solvencia
y
la
rentabilidad
del
negocio
en
términos
financieros
y
de
poder
económico.
Por
ejemplo,
en
Márquez
(2006)
se
menciona
una
operación
de
principios
del
siglo
XIX
en
la
que
los
Rothschild
deciden
respaldar
a
los
ingleses
en
el
envío
de
oro
desde
Inglaterra
hasta
España.
El
general
inglés
Wellington
(Arhur
Wellesley)
se
encontraba
apoyando
a
España
en
contra
de
la
invasión
francesa.
Los
Rothschild
se
las
ingeniaron
para
hacer
llegar
el
oro
a
Wellington
pasando
por
la
misma
Francia,
corriendo
el
grave
riesgo
de
ser
sorprendidos
por
Napoleón
Bonaparte.
El
negocio
resultó
exitoso
a
pesar
del
riesgo
de
crédito
tan
alto
de
la
operación.
La
ganancia:
la
corona
inglesa
quedó
“muy
agradecida”
por
años.
Como
caso
no
exitoso
de
cercanía
con
el
poder
podemos
remitirnos
nuevamente
a
los
Medici,
quienes
a
finales
del
siglo
XV
y
con
una
administración
poco
eficiente
del
banco
reciben
el
“golpe
de
muerte”
al
serles
confiscado
el
banco
de
parte
de
los
círculos
de
poder.
Los
bancos,
pues,
tenían
un
negocio
muy
focalizado
de
pocos
pero
importantes
clientes
a
quienes
conocían
de
forma
cercana.
Las
ganancias
se
recibían
en
términos
financieros,
de
poder
y
de
información
privilegiada.
Se
necesitaba
de
sensibilidad
para
los
negocios
y
para
la
política.
8
La
globalización
de
la
banca
–y
por
lo
tanto
del
crédito-‐
ya
existía
en
época
de
los
Medici
y
de
los
Rothschild.
Por
ejemplo,los
Rothschild
contaban
con
sucursales
en
varios
continentes.
Claro
está,
esta
globalización
era
acotada
por
el
número
reducido
de
participantes
y
por
lo
excluyente
del
sistema.
Hoy
en
día
la
banca
es
global
y
da
acceso
a
un
mayor
número
de
participantes,
incluso
a
individuos
con
poco
capital
en
lo
individual
pero
que
en
el
agregado
representan
un
negocio
importante
para
los
bancos.
Además,
la
intermediación
financiera
no
bancaria
también
se
ha
diversificado,
crecido
y
globalizado.
Actualmente
existen
participantes
muy
especializados,
como
las
SOFOLES
o
SOFOMES
en
México,
agencias
calificadoras
de
instrumentos
financieros,
proveedoras
de
precios,
cámaras
de
compensación
electrónicas,
empresas
dedicadas
a
empaquetar
créditos,
a
estructurar
instrumentos
financieros
e
intermediarlos,
etc.
La
línea
divisoria
entre
banca
comercial
y
privada
se
ha
vuelto
difusa
y
su
existencia
es
objeto
de
debate.
Se
tienen
mercados
financieros
muy
dinámicos,
con
especuladores,
creadores
de
mercado,
inversionistas
institucionales
poderosos,
todos
ellos
con
capacidad
de
mover
expectativas
y
precios.
Existen
bancos
centrales
activos
imponiendo
controles
a
los
flujos
de
capitales
(más
o
menos
laxos
de
acuerdo
al
país
en
cuestión)
y
cuyas
decisiones
impactan
en
el
costo
financiero
de
los
créditos.
En
resumen:
los
mercados
de
crédito
se
han
vuelto
muy
complejos.
Altman
et
al.
(2008)
resumen
los
10
cambios
más
importantes
en
los
mercados
de
crédito
como
sigue:
•
Desarrollo
de
nuevos
productos.
Particularmente
en
las
áreas
de
derivados
de
créditos
y
de
financiamiento
estructurado.
•
La
creciente
sofisticación
de
los
agentes
más
grandes
en
los
mercados
de
crédito
en
términos
de
técnicas
y
de
estrategias.
•
El
uso
cada
vez
mayor
de
modelos
matemáticos
y
científicos
(por
ejemplo,
modelos
de
scoring
para
créditos
hipotecarios
y
modelos
de
correlaciones
para
determinar
el
precio
de
canastas
de
swaps
de
defaults).
9
•
Los
nuevos
acuerdos
de
Basilea,
los
cuales
han
moldeado
directamente
los
mercados
bancarios
e
indirectamente
influenciado
a
los
participantes
del
mercado
en
general
(llamado
con
frecuencia
el
regulatory
capital
arbitrage).
•
La
mayor
disponibilidad
de
información
confiable
sobre
operaciones
de
crédito
a
nivel
global
a
través
del
Internet.
El
enorme
crecimiento
en
las
capacidades
de
los
sistemas
de
cómputo
a
costos
accesibles,
que
permite
una
mejor
capacidad
para
generar
reportes
y
para
modelación.
•
Enormes
cambios
en
los
mercados
mismos
en
términos
de
tamaño,
liquidez
y
globalidad.
•
El
surgimiento
de
fondos
de
coberturas
(hedge
funds)
como
inversionistas
mayores
en
los
mercados.
•
La
creciente
influencia
(y
posterior
declive)
de
las
empresas
calificadoras.
•
Menores
niveles
de
pérdidas
y
mayores
niveles
de
liquidez
conducen
a
una
reducción
de
los
spreads
de
crédito,
el
cuál
alcanzo
mínimos
históricos
en
junio
de
2007.
Este
frenesí
del
mercado
involucró
a
un
número
grande
de
inversionistas
en
lo
que
resultó
ser
una
mala
selección
de
créditos.
Siguiendo
a
los
mercados
internacionales,
el
mercado
crediticio
en
México
ha
crecido
también
en
tamaño
y
en
sofisticación
durante
la
última
década.
Sin
embargo,
dicho
crecimiento
no
se
ha
dado
en
los
mismos
niveles
que
se
ha
dado
en
los
mercados
de
países
más
desarrollados.
2.2
Riesgo
de
Crédito
Como
se
mencionó
en
la
sección
anterior,
los
instrumentos
de
crédito
hoy
en
día
van
más
allá
de
los
bonos
corporativos,
gubernamentales
o
productos
bancarios
tradicionales.
Actualmente
existen
instrumentos
mediante
los
cuales
se
pueden
financiar
empresas
con
proyectos
productivos
ligados
a
la
economía
real;
intermediarios
con
necesidades
meramente
financieras;
entes
públicos
con
10
objetivos
sociales;
pero
cuyo
grado
de
complejidad
hacen
que
la
evaluación
del
riesgo
que
conllevan
sea
poco
clara.
Salvo
para
algunas
operaciones
muy
grandes
(y
no
todas)
el
crédito
se
ha
vuelto
algo
impersonal.
Incluso
en
operaciones
sencillas
como
de
tarjeta
de
crédito
o
créditos
hipotecarios
el
manejo
del
crédito
es
impersonal
en
casi
cualquier
institución
financiera.
El
crédito
ha
cambiado
y
junto
con
él
la
medición
del
riesgo
involucrado.
Es
importante
hacer
una
distinción
de
los
distintos
tipos
de
riesgos
financieros
que
existen.
A
grandes
rasgos,
Darrel
Duffie
y
Kenneth
J.
Singleton
(2003)
proporcionan
la
siguiente
clasificación
de
riesgos
financieros:
-‐ Riesgo
de
Mercado:
el
riesgo
de
cambios
inesperados
en
los
precios
o
tasas.
-‐ Riesgo
de
Crédito:
el
riesgo
de
cambios
en
valor
asociados
a
cambios
en
la
calidad
crediticia.
-‐ Riesgo
de
Liquidez:
el
riesgo
de
que
los
costos
de
ajustar
posiciones
financieras
incrementen
sustancialmente,
o
de
que
la
firma
pierda
acceso
al
financiamiento.
-‐ Riesgo
operacional:
el
riesgo
de
fraude,
de
fallas
en
los
sistemas,
errores
en
el
trading
(por
ejemplo,
una
valuación
inadecuada
de
precios),
y
otros
riesgos
organizacionales
internos.
La
mayoría
de
los
riesgos
a
que
se
enfrenta
una
institución
financiera
van
a
caer
dentro
de
una
de
estas
categorías.
Para
abundar
en
el
tipo
de
riesgo
que
nos
interesa,
se
presentan
enseguida
otras
definiciones
de
riesgo
de
crédito:
“…
el
riesgo
de
no
recibir
los
pagos
acordados
sobre
inversionestales
como
préstamos
o
bonos,
debido
al
default
de
la
contraparte”.
Embrechts
et
al.
(2005).
“…
el
riesgo
asociado
a
cualquier
tipo
de
eventos
relacionados
con
la
actividad
crediticia,
tales
como:
cambios
en
la
calidad
crediticia
(ajustes
a
la
alza
o
a
la
baja
11
de
las
calificaciones
de
crédito),
variaciones
de
los
spreads
de
crédito,
y
el
evento
de
default”.
Bielecki
et
al.
(2004).
“…
la
pérdida
potencial
que
se
registra
con
motivo
del
incumplimiento
de
una
parte
en
una
transacción
financiera
(o
en
alguno
de
los
términos
y
condiciones
de
una
transacción).
También
se
concibe
como
un
deterioro
de
la
calidad
crediticia
de
la
contraparte
o
en
la
garantía
o
colateral
pactada
originalmente”
De
Lara
(2002).
“Se
determina
que
existen
dos
tipos
de
riesgo
de
crédito:
el
riesgo
de
incumplimiento,
que
se
refiere
a
la
pérdida
potencial
derivada
de
que
la
contraparte
no
pueda
cumplir
sus
obligaciones
financieras
en
las
condiciones
definidas
contractualmente;
y
el
riesgo
de
mercado,
que
se
define
como
la
pérdida
potencial
que
podría
sufrir
un
tenedor
de
un
portafolio
de
préstamos,
instrumentos
financieros
o
derivados,
como
consecuencia
de
que
el
valor
de
mercado
de
estos
disminuya.
La
segunda
definición
plantea
exposición
al
riesgo
de
crédito
aún
en
el
caso
de
que
la
contraparte
no
sufra
quebranto
alguno”.
Comité
de
Supervisión
Bancaria
de
Basilea
(1999).
Algunos
académicos
definen
al
riesgo
de
crédito
como
un
tipo
de
riesgo
de
mercado.
En
la
última
definición
vemos
que
la
clasificación
es
a
la
inversa:
el
riesgo
de
mercado
es
un
tipo
de
riesgo
de
crédito.
El
riesgo
de
mercado
es
muy
parecido
al
riesgo
de
crédito,
en
especial
para
valuaciones
con
precios
de
mercado.
Pero
sí
existe
una
distinción
fundamental
entre
estos
conceptos.
El
riesgo
de
mercado
se
refiere
a
eventos
“cotidianos”
mientras
que
el
riesgo
de
crédito
se
refiere
a
eventos
“extremos”
en
la
calidad
de
los
instrumentos
de
crédito.
En
la
literatura
de
las
fallas
de
mercado
existen
tres
conceptos
que
también
son
importantes
para
nuestro
estudio:
-‐ Selección
Adversa:
se
da
cuando
un
comprador
acude
al
mercado
pero
no
puede
determinar
la
calidad
de
lo
comprado
debido
a
un
problema
de
información
donde
el
vendedor
no
revela
toda
la
información
relevante.
-‐ Riesgo
Moral:
se
da
cuando
el
diseño
de
un
contrato
proporciona
incentivos
a
una
de
las
partes
para
modificar
su
comportamiento,
conduciendo
por
12
ejemplo
a
una
toma
excesiva
de
riesgos.
El
problema
es
de
acciones
más
que
de
información
como
en
el
caso
de
la
selección
adversa,
aunque
sí
existe
una
componente
de
información
asimétrica.
-‐ Externalidades:
ocurren
cuando
un
agente
económico
se
ve
afectado
por
las
decisiones
o
acciones
de
otro
agente
con
el
que
no
tiene
una
relación
directa.
Son
efectos
colaterales
y
pueden
ser
negativas
o
positivas.
Los
dos
primeros
mecanismos
han
sido
incorporados
en
la
práctica
tradicional
del
análisis
del
riesgo
de
crédito.
Respecto
a
las
externalidades,
si
bien
se
han
tomado
para
el
análisis
tradicional,
esto
ha
sido
en
menor
medida
y
más
como
una
consideración
de
buen
juicio
que
como
una
práctica
sistemática.
Las
diversas
crisis
financieras
de
las
últimas
décadas
han
dejado
claro
que
tomar
en
cuenta
las
externalidades
es
relevante
en
presencia
de
eventos
sistémicos.
Es
decir,
existen
eventos,
como
la
quiebra
de
Lehman
Brothers
en
septiembre
de
2008,
que
comprometen
el
funcionamiento
de
todo
el
sistema
financiero.
Incorporar
el
riesgo
sistémico
al
análisis
es
vital
para
las
instituciones
privadas
y
los
gobiernos.
El
riesgo
sistémico
debe
impactar
directamente
la
medición
del
riesgo
de
crédito.
Es
natural
pensar
en
una
correlación
creciente
de
los
eventos
económicos.
Cada
vez
es
más
difícil
pensar
en
eventos
económicos
totalmente
independientes.
Los
eventos
ligados
a
la
actividad
de
crédito
tienden
a
estar
relacionados
entre
sí
a
nivel
nacional
y
a
nivel
internacional.
Este
efecto
se
acentúa
en
épocas
de
inestabilidad
económica,
como
quedó
claro
en
la
crisis
actual
(2008).
Eventos
originados
en
los
mercados
internacionales
de
crédito
(principalmente
en
E.U.A.)
tienen
repercusiones
en
la
economía
de
todos
los
países
en
el
mundo
en
distintas
dimensiones:
producción,
consumo,
mercados
laborales,
comercio,
el
crédito
mismo,
etc.
La
interacción
entre
agentes
económicos
es
un
proceso
que
varía
en
el
tiempo.
El
valor
de
las
empresas
también
cambia
en
el
tiempo.
Un
modelo
de
crédito
estático
(que
no
incorpore
información
de
manera
condicional)
probablemente
va
a
arrojar
una
medición
deficiente
del
riesgo.
13
Una
medición
adecuada
del
riesgo
de
crédito
debe
tomar
en
cuenta
estos
cambios.
Además,
debe
capturarse
el
hecho
de
que
el
valor
de
un
activo
también
se
ve
afectado
por
la
variación
en
el
valor
de
otros
activos.
Es
de
este
modo
que
cobra
forma
y
fuerza
el
argumento
de
contar
con
una
medida
condicional
de
la
dependencia
del
valor
de
los
activos
financieros.
Aquí
es
donde
encuentran
cabida
los
modelos
de
correlaciones
condicionales
dinámicas
que
se
explican
en
detalle
en
el
capítulo
4.
A
pesar
de
la
importancia
de
contar
con
una
valoración
confiable
del
riesgo
de
crédito,la
adopción
de
nuevos
modelos
no
ha
sido
tan
rápida
como
debiera.
La
afirmación
anterior
es
válida
para
México
y
para
otras
economías
emergentes.
En
México,
por
ejemplo,
se
tiene
poca
evidencia
de
la
adopción
de
modelos
de
riesgo
de
crédito
que
contemplen
la
dinámica
en
el
tiempo
de
las
correlaciones
entre
activos
de
un
portafolio.
2.3
Modelos
de
Riesgo
de
Crédito
Existe
entonces
una
necesidad
de
sistematizar
la
medición
y
el
pricing
del
riesgo
de
crédito.
Y
por
lo
explicado
en
la
sección
anterior,
es
importante
que
dicha
medición
sea
hecha
de
forma
condicional.
La
medición
del
riesgo
de
crédito
puede
ser
a
nivel
individual
o
a
nivel
portafolio.
El
énfasis
en
esta
tesis
es
sobre
los
modelos
de
riesgo
de
crédito
de
portafolio.
Antes
de
presentar
el
modelo
Factor-‐DCC
para
riesgo
de
crédito
de
un
portafolio
de
activos,
es
importante
delinear
un
marco
con
modelos
relevantes
en
el
área
de
riesgo
de
crédito
de
portafolios.
Una
gran
parte
de
las
calificaciones
de
cartera
se
hacen
con
base
en
opiniones
de
especialistas
o
en
una
sistematización
de
esta
intuición
experta.
Tal
es
el
caso
de
los
modelos
de
scoring,
que
asignan
un
puntaje
con
base
en
la
experiencia
de
otorgamiento
de
crédito
de
la
institución.
14
En
cuanto
a
los
modelos
con
un
sustento
teórico
más
claro,
se
pueden
clasificar
en
modelos
estructurales
y
modelos
de
forma
reducida
(Márquez,
2006).
Los
modelos
estructurales
tienen
su
origen
el
modelo
propuesto
por
Merton
(1974).
En
dicho
modelo
el
incumplimiento
de
una
empresa
se
da
en
función
de
su
estructura
de
capital
y
del
valor
de
sus
activos
respecto
a
sus
pasivos.
Cuando
el
valor
de
mercado
de
los
activos
es
insuficiente
para
cubrir
las
obligaciones
exigidas
por
sus
pasivos
o
simplemente
traspasa
un
valor
crítico,
se
entra
en
un
estado
de
default.
Un
problema
serio
del
modelo
es
que
las
variables
relevantes
por
lo
regular
no
pueden
observarse
con
la
frecuencia
requerida.
Debido
a
esto
y
a
los
costos
que
implica
su
implementación,
su
uso
por
lo
general
se
va
a
reservar
para
grandes
corporativos.
Los
modelos
de
forma
reducida
determinan
la
quiebra
como
un
proceso
probabilístico
que
depende
de
los
factores
de
entorno
económico
y
financiero.
Por
ejemplo,
las
tasas
de
interés,
la
inflación
y
el
tipo
de
cambio.
En
esta
categoría
se
encuentran
los
modelos
tipo
Z-‐score
de
Altman
y
los
modelos
tipo
logit
y
probit2.
Este
tipo
de
modelos
también
son
usados
en
México
y
presentan
la
ventaja
que
no
dependen
de
una
calificación
exógena
para
calcular
las
probabilidades
de
pérdida
y
la
severidad
de
la
misma.
Es
justo
decir
que
hablar
de
los
modelos
de
riesgo
de
crédito
(más)
empleados
debe
estar
libre
de
afirmaciones
categóricas,
ya
que
las
instituciones
financieras
consideran
este
tipo
de
modelos
como
parte
de
su
capital
intelectual
y
resulta
complicado
conocer
a
cabalidad
qué
modelos
emplea
cada
una
de
ellas.
Sin
embargo,
podemos
obtener
alguna
información
como
la
de
una
encuesta
realizada
en
México
a
seis
bancos
en
1999
y
citada
en
Elizondo
et
al.
(2003).
Se
puede
inferir
que
a
pesar
de
que
la
mayoría
de
los
bancos
encuestados
usan
modelos
internos
de
calificación
de
cartera,
la
manera
en
que
realizan
dicha
calificación
no
conduce
a
una
estimación
explícita
de
la
probabilidad
ni
de
la
severidad
de
las
pérdidas.
La
calificación
queda
entonces
más
en
un
nivel
cualitativo
que
en
uno
cuantitativo.
Sin
embargo,
como
se
mencionó
anteriormente,
para
un
administrador
de
riesgos
es
fundamental
conocer
la
función
de
pérdidas
a
las
que
está
expuesta
su
inversión.
2 Modelos probabilísticos de elección discreta, que en el caso del otorgamiento de crédito calculan una propensión
al pago o al no-pago, de acuerdo a una serie de características de la operación en particular.
15
Se
hace
una
selección
de
modelos
acorde
con
de
Lara
(2002),
Elizondo
et
al.
(2003)
y
Márquez
(2006).
Con
excepción
del
modelo
Z-‐score
(riesgo
individual)
los
modelos
presentados
se
enfocan
en
el
riesgo
de
crédito
de
portafolio.
La
siguiente
descripción
de
los
modelos
es
a
un
nivel
muy
general
puesto
que
la
intención
no
es
hacer
una
exposición
detallada
de
los
mismos,
sino
dejar
en
claro
las
características
principales
que
permitan
un
nivel
de
abstracción
en
el
que
puedan
compararse
unos
con
otros.
Un
modelo
pionero
en
el
tema
de
riesgo
de
crédito
es
el
Z-‐score
de
Altman
(1978).
La
base
es
una
función
discriminante,
la
función
Z
que
asigna
una
calificación
basada
en
el
valor
de
las
variables
Xi
(extraídas
de
los
estados
financieros
de
la
empresa)
y
su
ponderación
correspondiente.
Z
=
1.2
X1
+
1.4
X2
+
3.3
X3
+
0.6
X4
+
0.99
X5
Esta
función
discriminante
ya
no
es
un
score
“subjetivo”
como
los
mencionados
anteriormente
porque
la
calificación
se
basa
en
ponderaciones
estimadas
con
datos
reales
de
empresas
que
quebraron
y
de
empresas
en
buen
estado
financiero.
Lo
que
se
discrimina
es
el
estado
de
solvencia
y
el
estado
de
insolvencia.
Después
de
una
cuidadosa
selección
de
los
determinantes
de
la
salud
financiera
de
una
empresa,
y
partiendo
de
una
lista
de
22
razones
financieras,
Altman
presenta
una
propuestaparsimoniosa
donde
los
cocientes
relevantes
resultan
ser:
X1
=
capital
de
trabajo/activos
totales
X2
=
utilidades
retenidas/activos
totales
X3
=
utilidades
antes
de
impuestos/activos
totales
X4
=
valor
de
mercado
de
la
acción/valor
en
libros
de
la
deuda
X5
=
ventas/activos
totales
La
calificación
Z
nos
va
a
indicar
la
situación
financiera
de
la
empresa.
Se
determinan
tres
intervalos
críticos:
16
-‐
Empresas
sanas,
si
Z
>
2.99.
-‐
Empresas
en
bancarrota,
si
Z
<
1.81.
-‐
No
es
posible
afirmar
algo
sobre
su
situación
financiera,
si
1.81
≤
Z
≤
2.99.
Para
determinar
la
confiabilidad
del
indicador,
se
realizan
pruebas
de
hipótesis
sobre
el
estadístico
Z.
En
años
posteriores
(1977
y
1991)
Altman
hace
modificaciones
a
su
modelo
original
incluyendo
otras
variables
que
mejoran
la
capacidad
de
predicción
de
las
quiebras.
Las
probabilidades
de
quiebra
se
determinan
por
medio
de
matrices
de
transición
de
estado.
Las
pérdidas
promedio
dado
el
estado
de
quiebra,
junto
con
las
probabilidades
de
quiebra
nos
permiten
calcular
la
severidad
de
las
pérdidas.
Un
modelo
muy
popular
en
la
evaluación
del
riesgo
de
crédito
de
un
portafolio
es
CreditMetricsTM,
desarrollado
por
J.P.
Morgan
(1997).
Es
un
modelo
que
utiliza
precios
de
mercado.
En
forma
general
los
3
pasos
de
la
metodología
de
CreditMetricsTM
son
los
siguientes:
•
Establecer
la
matriz
de
transición
que
será
utilizada,
la
cual
se
obtiene
de
una
calificadora
de
valores
o
de
forma
interna
o
por
alguna
proveedora
de
precios.
Los
elementos
de
esta
matriz
son
las
probabilidades
de
transición
del
estado
i
al
estado
j,
(Pij).
•
Se
realiza
una
valuación
del
portafolio
a
valor
presente
contingente.
Es
contingente
a
la
ocurrencia
de
cada
uno
de
los
estados
de
calidad
crediticia
y
al
evento
de
incumplimiento.
Se
toma
en
cuenta
la
posibilidad
de
cierta
recuperación
sobre
las
pérdidas
y
una
tasa
de
interés
acorde
a
cada
uno
de
los
posibles
estados
(más
baja
si
la
calidad
crediticia
mejora
y
más
altas
si
empeora).
•
Usando
las
probabilidades
de
transición
y
los
valores
presentes
contingentes
y
fijando
umbrales
del
tipo
VaR
se
simula
la
distribución
de
pérdidas
del
portafolio.
17
Se
calculan
la
media
y
la
varianza
pero
debido
a
la
no-‐normalidad
de
los
rendimientos
de
mercado,
éstas
no
son
suficientes
para
caracterizar
correctamente
los
movimientos
extremos
en
el
portafolio.
El
modelo
logra
capturar
kurtosis
en
la
cola
de
la
distribución,
sin
embargo
esta
es
una
modelación
no-‐condicional.
Se
puede
incluir
modelación
de
las
correlaciones
mediante
factores,
pero
nuevamente
se
realiza
de
forma
no-‐condicional.
Asumir
que
se
cuenta
con
calificaciones
de
los
activos
o
que
se
pueden
generar
internamente
es
un
supuesto
no
trivial.
Cabe
resaltar
que
este
modelo
toma
en
cuenta:
-‐ El
evento
de
incumplimiento.
-‐ El
deterioro
(o
mejora)
de
la
calidad
crediticia
del
emisor.
En
contraste
CreditRisk+,
el
modelo
desarrollado
por
Credit
Suisse/First
Boston
en
1977,
únicamente
modela
el
evento
de
incumplimiento.
Por
lo
que
se
le
conoce
como
modelo
de
probabilidad
de
impago3.
Este
modelo
parte
de
la
teoría
del
riesgo,
la
cual
se
desarrolló
en
gran
parte
para
dar
respuesta
a
los
problemas
actuariales
con
los
que
se
enfrentan
las
compañías
aseguradoras.
Las
compañías
aseguradoras
integran
en
sus
portafolios
activos/pasivos
de
naturaleza
contingente,
de
ahí
la
similitud
con
los
portafolios
de
activos
sujetos
al
riesgo
de
crédito.
La
técnica
actuarial
toma
en
cuenta
el
efecto
de
la
diversificación
pero
también
el
tamaño
y
la
concentración
de
los
créditos,
elementos
que
son
incorporados
por
CreditRisk+.
El
modelo
considera
dos
estados
de
la
naturaleza,
a
diferencia
de
CreditMetricsTM
donde
los
estados
son
múltiples.
Dichos
estados
son
cumplimiento
e
incumplimiento.
La
probabilidad
de
incumplimiento
va
a
ser
aquí
una
variable
continua
que
tiene
una
distribución
Poisson.
El
parámetro
característico
de
la
distribución
Poisson
va
3 Y por su parte, los múltiples estados posibles, a CreditMetrics se le conoce como modelo de mark-to-market.
18
a
ser
la
tasa
de
créditos
incumplidos
se
registran
en
cierto
período
de
tiempo.
Pero
este
parámetro
no
es
meramente
determinista
sino
que
sigue
un
proceso
gamma.
Se
considera
que
existen
factores
sistemáticos
y
factores
idiosincráticos
que
afectan
al
valor
de
los
activos.
Estos
factores
son
los
que
determinan
la
forma
en
que
debe
segmentarse
el
portafolio:
se
asignan
proporciones
de
cada
instrumento
a
sectores
que
son
independientes
entre
sí.
Las
proporciones
están
en
relación
directa
con
la
influencia
del
factor
sobre
el
instrumento.
Cada
sector
está
ligado
a
un
factor.
Bajo
esta
segmentación
del
portafolio
se
pueden
modelar
la
tasa
de
incumplimientos
de
una
manera
relativamente
sencilla
y
obtener
la
distribución
del
número
de
incumplimientos.
La
distribución
de
pérdidas
del
portafolio
se
deriva
a
partir
de
esta
última.
Gracias
a
la
segmentación
en
sectores
relacionados
a
factores
independientes
es
relativamente
sencillo
pasar
de
las
distribuciones
marginales
a
las
conjuntas
y
viceversa.
Nótese
que
los
supuestos
distribucionales
son
sobre
el
número
de
incumplimientos
y
no
sobre
los
montos
de
las
pérdidas.
Se
logracapturar
adecuadamente
los
efectos
de
concentración
y
volatilidad
en
las
probabilidades
de
incumplimiento.
Se
captura
la
kurtosis
de
la
cola
izquierda
de
la
distribución.
No
se
modela
la
migración
a
distintos
estados
de
calidad
crediticia.
La
modelación
es
condicional
respecto
a
los
factores
pero
no
en
el
tiempo.
CreditMetrics
y
CreditRisk+
son
los
dos
modelos
más
usados
por
los
bancos
para
medir
el
riesgo
de
crédito.
Sin
embargo,
debido
al
requerimiento
de
calificaciones
adecuadas
de
crédito,
no
es
aplicable
en
muchas
situaciones
en
México.
Javier
Márquez/Banco
de
México
(2002)
propone
el
modelo
CyRCE
que
presenta
tres
ventajas
importantes:
(i)
Hace
supuestos
que
permiten
obtener
expresiones
cerradas
del
VaR
y
no
incurrir
así
en
métodos
numéricos
altamente
demandantes
de
recursos.
19
(ii)
Permite
la
segmentación
de
la
cartera
en
grupos
no
homogéneos
a
diferencia
de
CreditMetrics
y
CreditRisk+.
(iii)
Se
consideran
correlaciones
entre
activos
y
entre
grupos
de
activos.
El
modelo
permite
descomponer
el
riesgo,
de
manera
que
se
aprecia
la
contribución
al
riesgo
de
crédito
tanto
de
las
probabilidades
individuales,
como
la
de
la
concentración
–medida
a
través
del
índice
de
Herfindahl-‐Hirschman.
Un
problema
importante
es
que
modelos
más
populares
como
el
paradigma
CreditMetricsTM,
emplean
como
insumos
las
calificaciones
de
crédito.
Estas
calificaciones
se
determinan
con
frecuencia
usando
la
experiencia
de
otros
países
y
en
consecuencia
ignoran
aspectos
relevantes
del
mercado
interno
específico.
La
aplicación
de
modelos
que
no
toman
en
cuenta
particularidades
regionales
o
locales
es
cuestionable,
por
lo
que
las
agencias
calificadoras
han
tenido
que
evolucionar
en
este
aspecto.
Hoy
en
día
se
emiten
calificaciones
más
regionalizadas
y
por
lo
tanto
más
específicas
a
las
empresas.
Sin
embargo,
la
credibilidad
de
las
empresas
calificadoras
se
ha
deteriorado
recientemente
al
no
haber
anticipado
correctamente
los
riesgos
en
la
crisis
financiera
de
2008.
Cada
uno
de
estos
modelos
incorpora
por
separado
elementos
importantes
para
caracterizar
el
riesgo
de
crédito
adecuadamente.
Sin
embargo,
y
aunque
algunos
de
estos
modelos
toman
en
cuenta
las
interrelaciones
entre
los
activos
de
una
cartera,
todos
ellos
nos
dan
una
medida
no
condicional
(estática)
del
riesgo
de
un
portafolio.
Por
esta
razón,
los
modelos
anteriores
no
nos
permiten
incorporar
completamente
el
impacto
de
los
cambios
en
el
entorno
económico
sobre
los
parámetros
que
caracterizan
la
distribución
conjunta
de
pérdidas
en
el
tiempo.
En
México
no
parece
existir
evidencia
de
que
la
tendencia
en
los
modelos
empleados
haya
evolucionado
hacia
esquemas
dinámicos
para
la
evaluación
del
riesgo
de
crédito.
De
la
investigación
para
este
trabajo
sobre
los
modelos
empleados
en
las
instituciones
financieras
en
México,
sólo
se
tuvo
conocimiento
20
de
una
institución
que
ha
desarrollado
un
modelo
de
correlaciones
condicionales
con
un
factor
y
el
modelo
no
es
del
dominio
público.
El
modelo
que
se
propone
en
esta
tesis
toma
en
cuenta
la
dinámica
en
el
tiempo
del
valor
de
los
activos
y
la
dinámica
en
el
tiempo
entre
los
activos
de
un
portafolio.
El
producto
final
del
modelo
es
la
función
de
distribución
condicional
de
las
pérdidas
del
portafolio.
En
el
capítulo
4
se
presenta
dicho
modelo,
comenzando
con
una
introducción
al
tema
de
la
modelación
de
la
matriz
de
varianzas
y
covarianzas,
el
cual
es
un
elemento
central
en
la
teoría
de
portafolios.
21
3. MODELOS
MULTIVARIADOS
DE
VOLATILIDAD
3.1
Portafolios
de
Varianza
Mínima
El
trabajo
pionero
en
la
selección
de
portafolios
óptimos
es
el
de
Harry
Markowitz
de
1952,
“Potfolio
Selection”.
Los
modelos
teóricos
anteriores
al
de
Markowitz
visualizaban
al
rendimiento
esperado
como
el
mejor
parámetro
para
juzgar
la
conveniencia
de
una
inversión.
La
innovación
de
Markowitz
fue
reconocer
al
riesgo
de
la
inversión
como
el
otro
parámetro
relevante
para
las
decisiones
de
inversión
y
propuso
a
la
varianza
como
medida
representativa
de
dicho
riesgo.
Puesto
de
manera
simplificadora,
Markowitz
propone
buscar
portafolios
de
mínima
varianza
para
un
determinado
nivel
de
retornos
esperados.
O
bien,
buscar
portafolios
de
máximo
retorno
dado
un
nivel
de
varianza.
En
términos
matemáticos
la
expresión
más
básica
del
modelo
es
la
siguiente:
min
w
′w Vr w
sujeto
a:
′w r ≥ µ
y
wi∑ = 1
Donde
r
es
el
vector
de
rendimientos
de
los
activos
del
portafolios,
wi
es
la
proporción
del
portafolio
invertido
en
el
activo
i,
µ
es
el
nivel
mínimo
de
rendimientos
requerido
y
Vr
es
la
matriz
de
varianzas
y
covarianzas
de
los
rendimientos.
22
Esta
simple
expresión
matemática
nos
resume
el
paradigma
central
de
las
finanzas:
alcanzar
un
balance
óptimo
entre
riesgo
y
rendimiento.
A
partir
de
este
modelo
se
han
desarrollado
otros
trabajos
importantes,
como
el
Capital
Asset
Pricing
Model
de
Sharpe
(1964)
que
también
estudia
la
mejor
forma
de
conformar
un
portafolio
de
inversión.
Sharpe
descompone
el
riesgo
en
una
parte
sistemática
(no
diversificable)
y
una
parte
idiosincrática
(diversificable).Se
estima
una
regresión
de
los
rendimientos
de
los
activos
sobre
el
rendimiento
de
mercado.
rit = βMirMt + ε it
El
rendimiento
de
mercado
es
la
parte
sistemática
y
los
errores
son
la
parte
idiosincrática.
El
coeficiente
estimado
(beta)
nos
va
a
decir
la
sensibilidad
de
cada
activo
respecto
al
mercado.
Se
busca
integrar
al
portafolio
con
activos
bien
diversificados
y
por
lo
tanto
con
betas
pequeñas.
En
1976
Stephen
Ross
propone
una
generalización
del
CAPM
con
su
Asset
Pricing
Theory,
donde
considera
que
los
rendimientos
pueden
estar
explicados
por
otros
factores
además
del
exceso
de
rendimiento
del
mercado.
Cuando
tenemos
modelos
multifactoriales,
podemos
representar
al
rendimiento
del
activo
i
de
la
siguiente
forma:
rit = β1ix1t + β2ix2t + ....+ βkixkt + ε it
Donde
(para
j=1,…,k)
las
Xjt
son
los
k
factores
de
riesgo,
las
β ji
las
respectivas
sensibilidades
del
activo
a
los
factores
de
riesgo
y
ε i
los
rendimientos
idiosincráticos.
23
El
problema
de
varianza
para
portafolios
que
consideran
factores
de
riesgo
es
similar:
min
w
′w Vr w
sujeto
a:
wi∑ = 1
y
′w r ≥ µ
pero
donde
ahora
Vr = βVx ′β + Vε
Es
decir
la
matriz
de
varianzas
y
covarianzas
de
los
rendimientos
del
portafolios
está
ahora
compuesta
de
la
matriz
de
varianzas
y
covarianzas
de
los
factores,
sus
respectivas
sensibilidades,
y
la
matriz
de
varianzas
y
covarianzas
de
riesgos
idiosincráticos.
De
esta
breve
exposición
sobre
portafolios
de
varianza
mínima
podemos
ver
la
importancia
que
tiene
en
finanzas
la
estimación
de
la
matriz
de
varianzas
y
covarianzas
del
portafolio.
Esta
no
es
la
única
aplicación
para
la
matriz
de
varianzas
y
covarianzas
pero
es
la
que
mejor
muestra
la
intuición
de
la
asociación
del
riesgo
a
la
varianza
(desviación
estándar
o
volatilidad)
y
la
importancia
de
conocer
dicha
matriz.
3.2
Modelos
Multivariados
de
Volatilidad
Estimar
la
matriz
de
volatilidades
es
central
para
esta
tesis
en
la
que
se
propone
un
método
parsimonioso
para
la
estimación
y
con
una
estructura
que
permite
simular
la
función
de
pérdidas
del
portafolio.
Para
entender
las
ventajas
y
desventajas
del
modelo,
además
del
repaso
sobre
modelos
de
riesgo
de
crédito
del
capítulo
anterior
se
considera
apropiado
hacer
también
un
breve
repaso
sobre
los
modelos
de
volatilidad
multivariados.
24
La
modelación
de
la
matriz
de
varianzas
y
covarianzas
Ht
puede
clasificarse
de
la
siguiente
manera4:
Ht
La
mayoría
de
estos
modelos
pertenecen
a
la
familia
Generalizada
de
Heteroscedasticidad
Autoregresiva
Condicional
(GARCH)
con
excepción
de
los
modelos
de
Volatilidad
Implicada,
Volatilidad
Estocástica
y
Volatilidad
Realizada.
Puesto
que
el
modelo
DCC
pertenece
a
la
familia
GARCH
multivariada,
nos
enfocaremos
más
en
este
tipo
de
modelos.
Los
modelos
de
varianzas
condicionales
tienen
la
siguiente
forma:
ht = Var(rt Ft−1) = E(rt
2 Ft−1) = Et−1(rt
2 )
Son
condicionales
porque
están
condicionados
a
un
conjunto
de
información
o
sigma-‐álgebra
o
filtración.
Los
modelos
de
varianzas
condicionales
autoregresivos
tienen
su
origen
en
el
trabajo
de
1982
de
Robert
Engle
“Autoregressive
condicional
heteroscedasticity
4 Para este repaso de modelos multivariados de volatilidad me basé en cuatro trabajos:
- “Multivariate GARCH Models: a survey” de Bauwens, Laurent y Rombouts (2006)
- “Multivariate Volatility Models” de Ruey S. Tsay (2007)
- “Multivariate GARCH Models” de Annastina Silvennoinen y Timo Teräsvirta (2008)
- “Market Models” de Carol Alexander (2001)
Volatilidad
Estadística
Volatilidad Implicada
- Modelación Directa
- Modelación con Factores
- Modelación Indirecta con Correlaciones
- Modelación Semi-paramétrica
- Volatilidad Estocástica y Volatilidad Realizada
25
with
estimates
of
the
variance
of
United
Kingdom
inflation”.
La
aportación
de
este
trabajo
es
generalizada
posteriormente
por
Tim
Bollerslev
(1986).
La
forma
que
asumen
estos
modelos
es
la
siguiente:
rt = htεt
ht = α0 + α irt− i
2 + β jht− j
j=1
q
∑
i=1
p
∑
ht
es
la
varianza
condicional
y
es
un
proceso
latente
que
se
estima
a
partir
de
los
rendimientos
que
sí
son
observables.
De
la
forma
autoregresiva
de
la
varianza
podemos
ver
que
aquí
el
conjunto
de
información
sobre
el
que
se
condiciona
se
genera
con
rezagos
de
los
rendimientos
al
cuadrado.
Son
modelos
de
heteroscedasticidad
porque
la
varianza
condicional
cambia
en
el
tiempo.
La
suma
de
los
parámetros
alfa
y
beta
debe
estar
dentro
del
círculo
unitario
para
que
el
proceso
sea
estacionario.
Los
modelos
multivariados
GARCH
que
se
han
desarrollado
no
son
tan
directos
de
estimar
como
los
modelos
univariados.
Hay
varias
características
deseables,
de
carácter
práctico,
para
un
modelo
de
volatilidad
multivariado:
-‐ Flexibilidad:
el
modelo
debe
ser
capaz
de
describir
de
manera
adecuada
la
dinámica
en
el
tiempo
de
las
varianzas
y
covarianzas
condicionales.
-‐ Parsimonía:
los
modelos
más
flexibles
presentan
un
problema
de
alta
dimensión
en
el
número
de
parámetros
y
alto
consumo
de
recursos
de
cómputo.
A
esto
se
le
conoce
como
“curse
of
dimensionality”.
La
búsqueda
de
modelos
que
sean
teóricamente
robustos
y
factibles
de
implementar
para
un
gran
número
de
activos
en
la
práctica,
es
un
objetivo
importante
en
la
modelación
de
la
matriz
de
varianzas
condicional.
La
parsimonia
se
refiere
al
númerode
parámetros
a
ser
estimados
y
a
la
facilidad
de
implementación.
Existe
por
tanto
un
trade-‐off
entre
flexibilidad
y
parsimonía.
Un
modelo
ideal
reduce
al
mínimo
este
trade-‐off.
26
-‐ Matrices
positivas
definidas:
por
ser
matrices
de
varianza.
Éste
no
es
un
problema
menor.
El
obtener
estimados
positivos
definidos
requiere
imponer
restricciones,
que
para
algunos
modelos
pueden
ser
demasiado
fuertes.
-‐ Estacionariedad:
los
primeros
modelos
de
varianzas
condicionales
multivariadas
son
modelos
estacionarios.
Sin
embargo,
los
procesos
multivariados
de
volatilidad
no
tienen
por
qué
apegarse
al
supuesto
de
estacionariedad.
El
planteamiento
general
de
varianzas
multivariadas
condicionales
(MGARCH)
es
el
siguiente:
es
un
proceso
estocástico
vectorial,
de
dimensión
N
x
1,
E rt⎡⎣ ⎤⎦ = 0
es
el
conjunto
de
información
generado
por
el
proceso
observable
rt{ }
hasta
el
tiempo
t-‐1.
Los
rendimientos
son
condicionalmente
heteroscedásticos,
es
decir:
rt = Ht
1/ 2ξt
Ht = Var rt Ft−1( )
ξt es
RBE(0,I)
La
literatura
sobre
modelos
MGARCH
es
abundante
y
por
lo
tanto
se
eligen
sólo
algunos
modelos
representativos,
enfocándose
en
sus
principales
características
y
retos
más
que
en
una
descripción
detallada
de
los
mismos.
Modelación
Directa
de
Ht
Estos
fueron
los
primeros
modelos
condicionales
de
volatilidad
multivariada
y
por
lo
tanto
son
los
que
mayor
grado
de
maduración
teórica
han
alcanzado.
El
modelo
que
se
considera
como
el
punto
de
partida
de
la
literatura
GARCH
multivariada
es
el
modelo
VEC-‐GARCH
de
Bollerslev,
Engle
y
Wooldridge
(1988).
27
Este
modelo
es
un
arreglo
matricial
que
generaliza
directamente
el
caso
GARCH
univariado:
vech Ht( ) = c + Ajvech rt− j ′rt− j( )
j=1
q
∑ + Bjvech Ht− j( )
j=1
p
∑
donde
vech(.)
es
un
operador
que
apila
las
columnas
de
la
parte
triangular
inferior
de
la
matriz
del
argumento.
La
matriz
tiene
que
ser
cuadrada.
Como
puede
verse,
esta
especificación
es
muy
flexible
pues
las
matrices
de
parámetros
cambian
según
los
períodos
de
rezagos,
sin
embargo
presenta
problemas
de
dimensionalidad
y
de
cómputo
(por
ejemplo,
un
modelo
VEC(1,1)
con
N=3
requiere
estimar
78
parámetros).
Además,
para
conseguir
matrices
positivas
definidas
es
necesario
recurrir
a
supuestos
demasiado
fuertes.
Debido
a
las
desventajas
mencionadas,
Bollerslev,
Engle
y
Wooldridge
(1988)
proponen
un
modelo
simplificado
llamado
Diagonal
VEC-‐GARCH.
El
cual
asume
que
las
matrices
de
parámetros
son
matrices
diagonales.
La
estimación
se
facilita
pues
se
estiman
ecuaciones
separadas.
Las
condiciones
de
matriz
positiva
definida
son
más
inmediatas
para
toda
t.
El
modelo
es
parsimonioso
(con
N=3,
se
requiere
estimar
21
parámetros)
pero
al
costo
de
no
poder
estudiar
interacciones
entre
las
distintas
varianzas
y
covarianzas
condicionales.
Los
modelos
tipo
VEC
presentan
un
problema
numérico,
pues
las
funciones
de
verosimilitud
hacen
estimaciones
iterativas
que
requieren
invertir
la
matriz
en
cada
período
t
y
para
cada
iteración.
Engle
y
Kroner
(1995)
describen
el
modelo
BEKK
(por
Baba-‐Engle-‐Kraft-‐Kroner).
En
este
caso
las
matrices
son
positivas
definidas
por
construcción
pues
se
utilizan
sólo
formas
cuadráticas:
Ht = C ′C + ′Akjrt− j ′rt− j
k =1
K
∑
j=1
q
∑ Akj + ′Bkj Ht− j Bkj
k =1
K
∑
j=1
p
∑
28
Se
introduce
el
número
K
que
determina
el
grado
de
generalidad
del
modelo.
Se
establecen
condiciones
para
estacionariedad
en
covarianza
análogas
al
caso
univariado.
Existen
problemas
de
identificación
cuando
K
>
1.
La
interpretación
de
los
parámetros
no
es
muy
directa.
Tomando
K=1,
podemos
ver
que
no
se
modelan
las
varianzas
y
covarianzas
de
los
rendimientos,
sino
varianzas
y
covarianzas
de
combinaciones
lineales
de
los
rendimientos.
El
modelo
MGARCH
exponencial
de
Kawakatsu
(2006)
generaliza
el
modelo
univariado
de
Nelson
(1991).
Por
construcción,
al
usar
transformaciones
exponenciales
las
matrices
estimadas
son
positivas
definidas:
vech(ln Ht − C) = Aiηt− i + Fi (ηt− i
i=1
q
∑
i=1
q
∑ − E ηt− i ) + Bivech(ln Ht− i − C)
i=1
p
∑
El
modelo
no
tiene
problemas
con
las
condiciones
de
matrices
positivas
definidas
pero
sí
tiene
problemas
de
dimensionalidad.
En
el
mismo
paper
se
proponen
estas
especificaciones
más
parsimoniosas.
Modelación
de
Ht
usando
Factores
La
premisa
de
la
que
parten
este
tipo
de
modelos
es
que
existen
factores
que
imponen
una
dinámica
común
a
las
series
de
rendimientos.
El
objetivo
que
se
busca
es
reducir
la
dimensionalidad
de
las
estimaciones
de
forma
válida,
como
en
el
APT
de
Ross
(1976)
mencionado
anteriormente.
Los
factores
pueden
ser
observables
o
no
observables,
pueden
estar
o
no
correlacionados,
pueden
ser
homoscedásticos
o
heteroscedásticos.
El
uso
de
uno
o
de
otros
depende
de
lo
que
se
intente
modelar
o
de
la
generalidad
que
se
le
quiera
imponer
al
modelo.
Engle,
Ng
y
Rostchild
(1990)
proponen
el
primer
modelo
Factor-‐ARCH:
Ht = Ω + wk ′wk
k =1
K
∑ fkt
fk ,t = wk +α k ( ′γ k fk ,t−1)
2 + βk fk ,t−1
29
los
factores
f
pueden
o
no
estar
correlacionados,
pero
son
heteroscedásticos
de
orden
uno.
Idealmente
la
dimensión
del
vector
de
factores
debe
ser
menor
qua
la
del
vector
de
rendimientos
para
lograr
una
mayor
parsimonia.
Es
mejor
trabajar
con
factores
no
correlacionados
porque
estos
evitan
duplicidad
de
información,
permiten
interpretaciones
más
directas
del
modelo
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