Metodo-de-cuantizacion-de-Dirac-en-la-cosmologa-polimerica-y-cosmologa-fR

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Universidad Nacional Aut�onoma de M�exico
Posgrado en Ciencias F́ısicas
Instituto de Ciencias Nucleares
Método de cuantización de Dirac en la cosmoloǵıa
polimérica y cosmoloǵıa f (R)
T E S I S
Que para optar por el grado de:
Maestŕıa en Ciencias F́ısicas
P R E S E N T A :
Héctor Antonio Fernández Meléndez
Supervisor:
Dr. José David Vergara Oliver
Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM
Comite Tutor:
Dr. José Antonio Rafael Garćıa Zenteno
Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM
Dr. Jerónimo Alonso Cortez Quezada
Facultad de Ciencias, UNAM
Ciudad de México – Abril 2018
 
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ii
Héctor Antonio Fernández Meléndez: Cosmoloǵıa Polimérica,
Tesis presentada a la Universidad Nacional Autónoma de México
para obtener el grado de Maestŕıa en Ciencias, F́ısica, c© Abril,
2018, Ciudad de México.
iii
Método de cuantización de Dirac en la cosmoloǵıa polimérica y
cosmoloǵıa f(R)
Héctor Antonio Fernández Meléndez
Resumen
En este trabajo de tesis se realiza una cuantización polimérica, mediante el for-
malismo de la integral de camino, de un modelo cosmológico de tipo Friedmann-
Robertson-Walker. Partiendo desde el tratamiento clásico, se consideran las can-
tidades geométricas de longitud, área y volumen asociadas al factor de escala
a, como diferentes variables dinámicas para describir la dinámica cosmológica,
de manera que al pasar al régimen cuántico, estas cantidades hereden las pro-
piedades de la geometŕıa cuántica, propias de los fundamentos de la teoŕıa de
gravedad cuántica de lazos. Se buscan soluciones numéricas tipo instantón en la
dinámica polimérica cosmológica, las cuales podŕıan sugerir de manera efectiva,
propiedades cuánticas en el sistema, no encontrando soluciones que cumplieran
con las condiciones necesarias para ser consideradas como instantones. También
se hace un breve estudio clásico de modelos cosmológicos modificados a partir de
teoŕıas f(R) cuadráticas, en el cual se busca encontrar una buena formulación
hamiltoniana clásica, aśı como un buen tiempo para la descripción dinámica.
Abstract
In this thesis work a polymer quantization is applied to a Friedmann-Robertson-
Walker cosmological model, via the path integral formalism. Starting from the
classical treatment, the geometrical quantities of length, area and volume, as-
sociated with the scale factor a, are considered as different dynamical variables
to describe the cosmological dynamics, such that, when passing to the quantum
regime, these quantities inherit the quantum geometry properties, characteristic
of the Loop Quantum Gravity. Instanton numerical solutions are searched in the
cosmological polymer dynamics, which may suggest, effectively, the presence of
quantum properties on the system, not finding solutions that fulfill the needed
conditions to be considered as instantons. We also make a classical analysis of
modified cosmological models by means of a quadratic f(R) theory, where we
look for a good classical Hamiltonian formulation, as well as for a good time
parameter to describe the dynamics.
iv
v
Agradecimientos
A mis padres por el apoyo y cariño brindado a lo largo de toda mi vida.
A mi tutor, el Dr. David Vergara, por haber tenido confianza en mı́ y permitirme haber estado
en este proyecto con él; por el gran apoyo brindado a lo largo de este tiempo y por lo mucho que
me ha enseñado con gran entusiasmo acerca de la f́ısica y la ciencia. A él debo mucho la realización
de este trabajo.
Al Consejo Nacional de Ciencias y Tecnoloǵıa (CONACYT), por el apoyo económico brindado
a través del programa de Becas Nacionales durante el periodo en mis estudios de posgrado.
A DGAPA-UNAM por la beca recibida para la realización de este trabajo gracias al Programa
de Apoyo a Proyectos de Investigación e Innovación Tecnológica (PAPIIT) de la UNAM ((IN103716))
“No conmutatividad, cuantización polimérica y teoŕıa de la información cuántica”.
Al programa de Apoyo a los Estudios de Posgrado (PAEP), por el apoyo económico brindado
en distintos momentos de mis estudios.
vi
vii
Índice general
Resumen iii
Agradecimientos v
Prefacio 1
1. Introducción 3
1.1. Necesidad de una teoŕıa de gravedad cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. ¿Qué ideas se han tenido? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1. Teoŕıa de cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2. Gravedad cuántica de lazos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. ¿En dónde puede ser aplicado? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Cuantización de teoŕıas de norma 11
2.1. Formalismo hamiltoniano para teoŕıas de norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1. Teoŕıas singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2. Constricciones primarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3. Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.4. Paréntesis de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.5. Condiciones de consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.6. Condiciones para las funciones um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.7. Hamiltoniano total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.8. Funciones de primera clase y de segunda clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.9. Constricciones de primera y segunda clase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.10. Transformaciones de norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.11. Hamiltoniano extendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.12. Paréntesis de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.13. Fijación de la norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.14. Ejemplo de un sistema hamiltoniano con constricciones . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Cuantización de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Método del promedio sobre el grupo (Group averaging) . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1. Ejemplo: La part́ıcula libre no relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3. Mecánica cuántica polimérica 29
3.1. Teorema de Stone-von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1. Problemas para la representación de las relaciones de conmutación . . . . . . 30
3.1.2. Unicidad en las representaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2. Construcción de la representación polimérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A. Caso 1/d → 0. Representación-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
B. Caso d → 0. Representación-B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3. Cinemática de la mecánica cuántica polimérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
viii Índice general
3.3.1. Polarización-p o de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2. Polarización-q o de Posiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 41
3.4. Dinámica de la mecánica cuántica polimérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4. Aplicaciones de la mecánica cuántica polimérica 45
4.1. La part́ıcula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5. Cuantización polimérica de un modelo cosmológico 59
5.1. Introducción a la cosmoloǵıa estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2. La métrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3. Formulación hamiltoniana de la cosmoloǵıa clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4. Cuantización polimérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5. Amplitud de transición en la cosmoloǵıa polimérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.6. Desparametrización de la acción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.7. Dinámica cosmológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.7.1. Dinámica cosmológica clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.7.2. Dinámica cosmológica polimérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6. Dinámica de la acción efectiva en el espacio eucĺıdeo 79
6.1. Instantones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2. Rotación de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3. Ejemplo: Instantones en el oscilador armónico polimérico . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.4. Dinámica eucĺıdea para el factor de escala (a, pa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4.1. Acción en el espacio eucĺıdeo, S (E)poli [a, pa] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4.2. Ecuaciones de Hamilton y soluciones numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.5. Dinámica eucĺıdea para variables de área del factor de escala (A, pA) . . . . . . . . . 86
6.5.1. Acción en el espacio eucĺıdeo, S (E)poli [A, pA] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.5.2. Ecuaciones de Hamilton y soluciones numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.6. Dinámica eucĺıdea para variables de volumen del factor de escala (V, pV ) . . . . . . . 90
6.7. Acción en el espacio eucĺıdeo, S (E)poli [V, pV ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.7.1. Ecuaciones de Hamilton y soluciones numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7. Cosmoloǵıa para teoŕıas f(R) cuadráticas 95
7.1. Introducción a la gravedad f(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.2. Cosmoloǵıa f(R) cuadrática sin contribuciones de materia . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.3. Cosmoloǵıa para una teoŕıa con un campo de materia . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8. Conclusiones 103
A. Integral de camino con constricción topológica 107
A.1. Part́ıcula libre sobre un ćırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B. Códigos computacionales para las soluciones numéricas 113
Bibliograf́ıa 119
1
Prefacio
De manera general, este trabajo de tesis pretende realizar un pequeño aporte a un viejo problema
de la f́ısica teórica: la gravedad cuántica. Diversos enfoques han sido utilizados para enfrentar a
este problema, todav́ıa ninguno con éxito. Nosotros centraremos nuestra atención únicamente en el
enfoque conocido como teoŕıa cuántica de lazos. Sin entrar en detalles acerca de la teoŕıa completa, se
plantea la posibilidad de encontrar, de manera indirecta, una solución a un problema particular que
posee dicha teoŕıa. El problema consiste en que esta teoŕıa requiere una elección fija de la topoloǵıa,
mientras que cualquier teoŕıa cuántica de la gravedad satisfactoria debe incluir cambios de topoloǵıa
como proceso dinámico [1]. Nosotros creemos que es posible que se puedan obtener estos cambios
de topoloǵıa en un contexto cosmológico estándar si consideramos los efectos cuánticos derivados
de una cuantización polimérica, que es la cuantización que se obtiene de aplicar las caracteŕısticas
propias de la teoŕıa cuántica de lazos. La cuantización polimérica no es equivalente a la cuantización
estándar y se caracteriza por heredar el carácter no-perturbativo de la teoŕıa cuántica de lazos, ya
que contiene información acerca de las propiedades cuánticas de la geometŕıa del espacio-tiempo,
e.g. su caracter discreto. Por tanto, si podemos obtener “cambios de topoloǵıa” en un contexto
simplificado como este, indicaŕıa que es posible obtener el mismo resultado en el contexto de la
teoŕıa completa.
La propuesta de trabajo e idea principal detrás de esta tesis, consiste en aplicar el método de
cuantización de Dirac a diferentes modelos cosmológicos. Comenzamos por aplicar la cuantización
polimérica a un modelo cosmológico de tipo Friedmann-Robertson-Walker mediante el método de
la integral de camino. Lo anterior con el objetivo de que al aplicar esta cuantización, las cantidades
geométricas que definen al espacio-tiempo, en este caso el factor de escala, hereden propiedades de la
geometŕıa cuántica de manera efectiva. Una vez que obtengamos la dinámica cosmológica efectiva,
el objetivo es buscar soluciones de tipo instantón con las que es posible calcular la probabilidad
de transición entre dos estados vaćıos de la teoŕıa. Esto significaŕıa que existe cierta probabilidad
de que el universo sea capaz de cambiar de estado de vaćıo y con ello puedan cambiar también
las propiedades topológicas del mismo, obteniendo aśı la dinámica topológica que no ha podido ser
establecida para la teoŕıa completa de gravedad cuántica de lazos.
Como trabajo secundario, se buscan estudiar modelos cosmológicos generalizados mediante lo
que se conoce como gravedad f(R). En particular nosotros tomamos una teoŕıa f(R) cuadrática
para la gravedad aplicada al contexto cosmológico y realizamos un análisis a nivel clásico de esta,
ampliando aśı el espectro de modelos cosmológicos que pueden estar sujetos a estudio.
El trabajo de tesis se encuentra organizado de la siguiente manera. En el Caṕıtulo 1 se plantea
el problema de la gravedad cuántica, que es la motivación de fondo sobre la que gira este trabajo.
Se dan argumentos de por qué es importante encarar este problema y se hace una breve descripción
de los dos enfoques más populares que abordan este tema. En el Caṕıtulo 2 se presenta el punto de
partida para una cuantización canónica de la gravedad: la formulación Hamiltoniana para las teoŕıas
de norma. Una vez establecido el aspecto clásico de las teoŕıas de norma, se procede a presentar el
programa de cuantización de Dirac, que sirve para cuantizar sistemas clásicos con constricciones;
aśı como también se introduce el método del ‘promedio sobre el grupo’, que le brinda la definición
de un producto interno a la cuantización de Dirac. La representación polimérica de la mecánica
cuántica es construida en el Caṕıtulo 3, exponiendo sus aspectos cinemáticos y dinámicos. Con
2 0. Prefacio
ayuda del teorema de Stone- von Neumann, el cual es presentado brevemente al inicio de este mismo
caṕıtulo, esta construcción permite comprobar que esta representación en efecto es no-equivalente a
la representación estándar de Schrödinger. En el Caṕıtulo 4 es ejemplificada una de las aplicaciones
de la cuantización polimérica, mostrando las diferencias que presenta respecto a la cuantización
estándar. Luego, en el Caṕıtulo 5, presentamos el modelo clásico para una cosmoloǵıa tipo FRW
para posteriormente proceder a realizar la cuantización polimérica del modelo. En el Caṕıtulo 6
presentamos la dinámica cosmológica efectiva que obtuvimos en el espacio eucĺıdeo. En el Caṕıtulo
7 se hace una breve introducción de las teoŕıas f(R) para posteriormente analizar de manera clásica
la formulación canónica para un modelo cosmológico f(R) cuadrático considerando dos casos: un
universo sin materiay un universo con un campo escalar de materia. Finalmente, en el Caṕıtulo 8
presentamos las conclusiones del trabajo realizado, aśı como las posibles extensiones del mismo.
De manera adicional, se agregan un par de apéndices que complementan el trabajo presentado.
En el Apéndice A calculamos la amplitud de evolución temporal de una part́ıcula libre con una
constricción topológica. El resultado obtenido es aplicado en el trabajo ya que uno debe resolver
matemáticamente el mismo problema al aplicar la cuantización polimérica usando la integral de ca-
mino. Mientras que en el Apéndice B mostramos los códigos computacionales que se utilizaron para
resolver numéricamente las ecuaciones que aparecen en este trabajo. Aqúı también se mencionan
algunas consideraciones que se tomaron en cuenta para realizar estos cálculos numéricos.
3
Caṕıtulo 1
Introducción
1.1. Necesidad de una teoŕıa de gravedad cuántica
Actualmente el modelo estándar de part́ıculas de la f́ısica – descrito en términos de la teoŕıa
cuántica de campos – y la teoŕıa de relatividad de Einstein proporcionan una descripción nota-
blemente exitosa de nuestras observaciones, estableciéndolas como los dos pilares fundamentales
de la f́ısica teórica [2]. En particular, la mecánica cuántica nos ha llevado a la f́ısica atómica, la
f́ısica nuclear, la f́ısica de part́ıculas, la f́ısica de la materia condensada, los semiconductores, los
láseres, las computadoras, la óptica cuántica, etc. Mientras que la relatividad general nos llevó a
la astrof́ısica relativista, la cosmoloǵıa, la tecnoloǵıa GPS y más recientemente nos está llevando a
realizar astronomı́a por medio de ondas gravitacionales [3].
Por el momento se sabe que existen cuatro fuerzas fundamentales que describen adecuadamente
a la naturaleza: la gravedad, el electromagnetismo, la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear
débil. Nuestro entendimiento de la gravedad se encuentra basado en la teoŕıa de relatividad general
de Albert Einstein, la cual se encuentra formulada dentro del marco de la f́ısica clásica. Por otro
lado, las otras tres fuerzas fundamentales de la naturaleza se encuentran descritas en términos de
la mecánica cuántica y la teoŕıa cuántica de campos, formalismos completamente diferentes a la
relatividad general para la descripción de los fenómenos f́ısicos.
Un modelo del universo, de acuerdo a la relatividad general, consiste en una variedad espacio-
temporal con una métrica cuya curvatura se encuentra determinada, mediante las ecuaciones de
Einstein, por el tensor de estrés-enerǵıa-momento asociado a la distribución de materia. Todas las
cantidades f́ısicas – e.g. el valor de una de las componentes del campo eléctrico en un punto dado,
el escalar de curvatura del espacio-tiempo en otro cierto punto, etc – siempre tienen un valor bien
definido dado por números reales. Es decir, en este sentido se dice que son cantidades clásicas.
En contraste, las teoŕıas fundamentales que describen a la materia y a la enerǵıa, es decir, las
teoŕıas que describen la interacción de part́ıculas mediante la fuerza electromágnetica y las fuerzas
nucleares fuerte y débil, son todas teoŕıas cuánticas. En las teoŕıas cuánticas, las cantidades f́ısicas
no tienen valores bien definidos en general, sino que se encuentran descritas mediante un estado
cuántico que da una distribución de probabilidad para los posibles valores que puede tomar. Y
mientras que si intentamos ganar especificidad acerca de una de las propiedades del sistema (con
esto queremos decir que se desea estrechar la distribución de los posibles valores), inevitablemente
en consecuencia, estaremos perdiendo especificidad acerca de su propiedad conjugada canónica. A
esto se le conoce como principio de incertidumbre de Heissenberg.
Actualmente, uno de los más profundos problemas en la f́ısica teórica consiste en encontrar una
teoŕıa que integre a la relatividad general – que modela a la gravedad y es aplicada a la descripción
de estructuras a gran escala como los planetas, las estrellas, las galaxias y el universo mismo –
con la mecánica cuántica, que describe a las demás fuerzas fundamentales de la naturaleza (el
electromagnetismo y las interacciones nucleares fuerte y débil) a escala atómica.
En primera instancia uno podŕıa pensar que la incompatibilidad entre ambas teoŕıas podŕıa ser
4 1. Introducción
resuelta si cuantizamos el campo gravitacional, de manera análoga a como se hace con el campo
electromagnético en la electrodinámica cuántica. Sin embargo, la relatividad general no ha podido
ser cuantizada y sigue siendo una teoŕıa completamente clásica. Utilizando los mismos métodos
de cuantización que fueron exitosos para otras interacciones fundamentales, uno no llega a ningún
resultado exitoso. Este fue el camino a seguir por la comunidad de la f́ısica teórica, pero al hacerlo
se encontraron con problemas técnicos extraordinarios, cercanamente relacionados con un conjunto
de dificultades conceptuales.
Las dificultades conceptuales surgen esencialmente de la naturaleza misma de la interacción
gravitacional. En particular surge de la equivalencia entre la masa inercial y la masa gravitacional,
que permite representar a la gravedad como una propiedad del espacio-tiempo mismo, en lugar de ser
representada como un campo propagándose en un espacio-tiempo de fondo. Por tanto, si queremos
cuantizar la gravedad, por ejemplo, mediante una cuantización canónica, uno cuantiza cantidades
estrictamente geométricas. Dado el principio de incertidumbre de Heissenberg, uno está sujeto a las
fluctuaciones cuánticas, lo que implica que uno tiene una descripción que involucra fluctuaciones del
espacio-tiempo mismo. Ordinariamente, la teoŕıa cuántica supone un espacio-tiempo fijo de fondo
respecto al cual mide las fluctuaciones, por tanto uno se encuentra no solo con el problema de cómo
tomar estas fluctuaciones respecto a la estructura del espacio-tiempo, sino también con el problema
de dar una explicación conceptual y f́ısica de la teoŕıa que resulte [4].
Es decir, en gran parte, la dificultad de crear una teoŕıa consistente a toda escala de enerǵıa
a partir de las teoŕıas de relatividad general y de la mecánica cuańtica viene de las diferentes
suposiciones que cada una de estas teoŕıas hace acerca de cómo funciona el universo. La relatividad
general propone un modelo en el que la gravedad corresponde a la curvatura del espacio-tiempo,
la cual cambia ante la presencia de materia y enerǵıa. Mientras que la teoŕıa cuántica de campos,
considerada como una teoŕıa que describe a las part́ıculas fundamentales, depende de campos que
se encuentran definidos sobre un espacio-tiempo fijo de fondo, que corresponde al espacio-tiempo
plano de Minkowski de la relatividad especial. Esto no quiere decir que la gravedad no pueda ser
cuantizada; en realidad, la gravedad śı puede ser realmente cuantizada, pero en la mayoŕıa de los
casos resulta en una teoŕıa no renormalizable que en el mejor de los casos puede ser interpretada
como una teoŕıa efectiva, no como una teoŕıa fundamental. Sin embargo, en años recientes se han
obtenido resultados interesantes en estas ĺıneas de investigación, por ejemplo [5, 6]. En este trabajo
no consideraremos estas formulaciones.
A pesar de que se podŕıa creer que ambas teoŕıas son fundamentalmente incompatibles, uno
puede demostrar que la estructura de la relatividad general esencialmente es una consecuencia de
la mecánica cuántica de la interacción teórica de part́ıculas de esṕın 2 sin masa.
El problema de querer cuantizar la gravedad, o construir una teoŕıa de la gravedad cuántica,
va más allá de una mera molestia estética o de una obstinación con la unificación de las teoŕıas
f́ısicas por parte de los f́ısicos teóricos, sino que nos indica una tensión matemática y una falta de
comprensión de las actuales teoŕıas. A pesar de ser teoŕıas muy bien establecidas desde el puntode
vista matemático, que cuentan con el soporte de numerosos experimentos, la relatividad general y
la mecánica cuántica no están exentas de presentar problemas. La relatividad general cuenta con
el problema de las singularidades en donde la descripción que nos brinda falla a altas enerǵıas,
diciéndonos que cantidades como la densidad de enerǵıa y la curvatura del espacio divergen de
manera arbitraria. Por otro lado, la mecánica cuántica cuenta con el problema de la medición y
la transición al régimen clásico (en principio, nuestros aparatos de medición debeŕıan ser descritos
también por la mecánica cuántica, entonces ¿cuáles sistemas son cuánticos y cuáles son clásicos?).
Por tanto estas teoŕıas parecieran no ser la descripción definitiva de nuestro universo, sugiriendo aśı
que necesitamos de teoŕıas más avanzadas que nos brinden una descripción más acertada y precisa
de nuestra realidad.
Existen sistemas en donde sabemos que necesitamos una mejor teoŕıa que las actuales – posi-
blemente una teoŕıa de gravedad cuańtica – para su descripción [7]. Ejemplos de estos sistemas son
los agujeros negros y el mismo comienzo del universo. De manera concreta se tienen tres motivos
principales por los cuales la situación actual requiere ser solucionada:
1.1 Necesidad de una teoŕıa de gravedad cuántica 5
i) Las part́ıculas cuánticas pueden existir en estados superpuestos. Por ejemplo, un fotón en un
interferómetro tiene un estado tal que puede encontrarse en una superposición de estar viajando
al mismo tiempo por ambos caminos posibles en el interferómetro. En principio, este fotón en
superposición porta enerǵıa y por tanto gravita, aún aśı desconocemos su campo gravitacional.
ii) La relatividad general predice la formación de singularidades, las cuales corresponden a
regiones del espacio-tiempo en donde la densidad de enerǵıa, aśı como la curvatura, divergen de
manera arbitraria. Los teoremas de singularidad de Penrose y Hawking [8] refuerzan la presencia
de singularidades en la teoŕıa, sin embargo estas no resultan ser f́ısicamente aceptables e indican un
ĺımite en el que la relatividad general deja de ser válida. A escalas tan altas de enerǵıa, los efectos
cuánticos deben ser tomados en cuenta pero hasta ahora no ha sido posible describirlos.
iii) La pérdida de información en los agujeros negros. Usando la teoŕıa cuántica de campos
en una geometŕıa clásica correspondiente a un agujero negro, Hawking demostró que los agujeros
negros emiten radiación térmica y por tanto pierden masa. Si la radiación permanece térmica hasta
que el agujero negro se evapore, entonces cualquier distribución de materia con la misma masa que
colapse en un agujero negro eventualmente terminará en el mismo estado térmico final. Por tanto,
se pierde información detallada acerca del estado inicial del sistema, lo cual resulta ser incompatible
con los principios de la mecánica cuántica.
Una de las grandes dificultades para formular una teoŕıa de gravedad cuántica es que se espera
que sus efectos f́ısicos sean apreciables a escalas cercanas a la escala de Planck, la cual es una
escala mucho más pequeña en distancia – y equivalentemente, mucho más grande en enerǵıa – si la
comparamos con las escalas que son accesibles para nuestra tecnoloǵıa actual basada en aceleradores
de part́ıculas de altas enerǵıas. Consideremos el siguiente camino para visualizar de manera sencilla
la relevancia f́ısica que tiene la escala de Planck.
Dos constantes fundamentales aparecen en la relatividad general: la velocidad de la luz c y la
constante gravitacional de Newton G. Esto es natural ya que esta teoŕıa fue creada por Einstein
para conciliar la teoŕıa de la gravedad de Newton con su recién creada teoŕıa de la relatividad
especial. La velocidad de la luz también aparece en la teoŕıa cuántica de campos pero esta vez
acompañada de la constante de Planck ~. La razón es que la teoŕıa cuántica de campos toma en
consideración a la relatividad especial y a la mecánica cuántica, en donde ~ determina la escala en
donde el principio de incertidumbre resulta importante. Resulta natural suponer que en una teoŕıa
de la gravedad cuántica estas tres constantes fundamentales aparecerán [9]. Planck se dio cuenta de
que existe una única manera de utilizar estas constantes para definir unidades de longitud, tiempo
y masa – dejando de lado factores numéricos. Por ejemplo, uno puede escribir la longitud de Planck
como
lp =
√
G~
c3
(1.1)
Esta cantidad es extremadamente pequeña, corresponde aproximadamente a 1.6×10−35 metros.
La teoŕıa cuántica de campos establece que asociada a cualquier part́ıcula de masa m existe una
longitud, llamada la longitud de onda de Compton
lc =
~
mc
(1.2)
la cual resulta ser de relevancia ya que para conocer la posición de dicha part́ıcula dentro de este
intervalo de longitud, se requiere del uso de una enerǵıa equivalente a la enerǵıa necesaria para
crear otra part́ıcula de igual masa. Es decir, la longitud de onda de Compton determina la escala en
la cual la teoŕıa cuántica de campos resulta crucial. Por otro lado, la relatividad general establece
que a toda masa m se encuentra asociada una longitud ls, llamada radio de Schwarzschild,
ls =
Gm
c2
(1.3)
tal que comprimiendo dicha masa a un tamaño menor al de este radio se obtiene la formación de
un agujero negro, es decir, es la escala a la cual la relatividad general resulta importante.
6 1. Introducción
La gran mayoŕıa de la información que tenemos acerca de la relatividad general viene de observar
objetos con una gran masa, como planetas y estrellas, en donde ls � lc. En cambio, la mayor parte
de la información que tenemos acerca de la teoŕıa cuántica de campos viene dada de estudiar objetos
ligeros como electrones y protones, en donde ls � lc. Sin embargo, a partir de simples argumentos
f́ısicos, podemos realizar un pequeño experimento mental que nos permita ver la relevancia f́ısica
que tiene la escala de Planck como una escala que posiblemente posee un carácter fundamental.
De acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisenberg [10],
∆x∆p ≈ ~ (1.4)
podemos aumentar la precisión con la que medimos la posición de una part́ıcula, siempre y cuando
permitamos que crezca de la misma manera la incertidumbre en la medición de su momento.
Pero este principio no toma en cuenta los efectos gravitacionales del sistema. Consideremos que
realizamos mediciones sobre nuestra part́ıcula por medio de un fotón con frecuencia1 ν, por tanto
con enerǵıa E = hν. De acuerdo con la famosa relación de equivalencia de masa-enerǵıa de Einstein,
E = mc2, el fotón deberá de interactuar gravitacionalmente como si tuviera una masa efectiva
mef =
hν
c2
=
h
λc
(1.5)
Entonces, el fotón que usamos para medir la posición de la part́ıcula ejercerá cierta fuerza gravitacio-
nal sobre ella. Esto causará que la part́ıcula sea acelerada, contribuyendo a la incertidumbre propia
de la medición. Utilizando la mecánica clásica de Newton podemos estimar de manera aproximada
la aceleración y el cambio en la posición de la part́ıcula causada por los efectos gravitacionales:
∆ag ≈
Gmef
r2ef
=
G
r2ef
(
h
λc
)
(1.6)
∆xg ≈ ∆agt2ef =
Gh
λc
t2ef
r2ef
(1.7)
donde ref y tef denotan una distancia y un tiempo efectivos promedio para la interacción. La única
velocidad caracteŕıstica del sistema es la velocidad del fotón c, por lo que tomamos al cociente
ref/tef ≈ c, de manera que la incertidumbre en la medición de la posición debida a la interacción
gravitacional es
∆xg ≈
Gh
λc3
≈ G~
λc3
=
l2p
λ
(1.8)
Considerando únicamente al principio de incertidumbre, se tiene que la incertidumbre para la
posición es ∆x = ~/∆p. Si sumamos a esta la contribución gravitacional, obtenemos
∆x ≈ ~
∆p
+ l2p
(
∆p
~
)
(1.9)
generalizando aśı, si bien de una manera tosca, al principio de incertidumbre de Heisenberg a un
contexto que toma en consideración a los efectos gravitacionales.No obstante, este mismo resultado
ha sido reportado como resultado de generalizar el principio de incertidumbre en el contexto de las
teoŕıas de cuerdas [11].
Podemos observar en (1.9), que la incertidumbre para la posición de la part́ıcula tiene un mı́nimo
cuando ~/∆p = lp, cuyo valor es ∆x ≈ 2lp. Esto corresponde al caso cuando tenemos un fotón con
longitud de onda igual a la longitud de Planck lp. De manera que, si nos apegamos a este pequeño
experimento, podemos concluir que no podemos medir la posición de una part́ıcula con mayor
precisión a la longitud de Planck. Esto sugiere que, desde el punto de vista operacional, la longitud
de Planck posiblemente representa la distancia más pequeña que es f́ısicamente significativa, o
al menos, es la distancia en la que el espacio-tiempo presenta de manera inevitable, propiedades
1 Cuya longitud de onda correspondiente es λ = cν .
1.2 ¿Qué ideas se han tenido? 7
cuánticas. Hablar del concepto de un espacio-tiempo continuo clásico a escalas más pequeñas, puede
que carezca de sentido f́ısico. Más argumentos acerca de escenarios f́ısicos en los que la escala de
Planck resulta significativa, pueden ser encontrados en [12].
Podemos esperar – al menos a primera instancia – que la relatividad general y la teoŕıa cuántica
de campos sean necesarias para describir un objeto con una masa igual a la masa de Planck (mp ∼
0.02 miligramos), cuyo radio esté dentro de la longitud de Planck. Es decir, la masa de Planck
es el punto intermedio entre los objetos masivos como las estrellas y objetos ligeros como los
protones, corresponde aproximadamente a la masa de una célula grande. Pero la longitud de Planck
corresponde a 10−20 veces el radio de un protón, o sea, necesitamos comprimir a una célula a este
tamaño para considerar que los efectos de la gravedad cuántica son importantes. En principio, no
existe nada que nos indique que no podamos comprimir a una célula a tal tamaño pero esto nos
habla de las dificultades experimentales que se tienen para poder acceder a la escala de Planck.
Como consecuencia, la gravedad cuántica es principalmente una empresa teórica a pesar de que
existen especulaciones acerca de cómo sus efectos podŕıan ser observados indirectamente mediante
los experimentos actuales.
Desde el punto de vista fenomenológico, las posibilidades que han sido más extensamente con-
sideradas incluyen la búsqueda de violaciones a la invariancia de Lorentz, la búsqueda de posibles
huellas dejadas por la gravedad cuántica en la radiación de fondo cósmica de microondas provoca-
das por ondas gravitacionales en el universo temprano, y la búsqueda de efectos de decoherencia
inducidos por las fluctuaciones en la espuma del espacio-tiempo (space-time foam) [7].
1.2. ¿Qué ideas se han tenido?
Existen un gran número de enfoques que pretender dar solución al problema. Estos enfoques
pueden ser clasificados de acuerdo al peso que le den a las dos teoŕıas involucradas. Algunos consi-
deran que la relatividad general necesita correcciones y que la teoŕıa cuántica de campos puede ser
aplicada de manera general, mientras que otros consideran la situación inversa. Incluso hay algunos
enfoques que consideran que en realidad ambas teoŕıas corresponden a diferentes ĺımites de una
teoŕıa aún más fundamental. Los enfoques más populares al problema de la gravedad cuántica son
dos: la teoŕıa de cuerdas y la teoŕıa de gravedad cuántica de lazos.
1.2.1. Teoŕıa de cuerdas
La teoŕıa de cuerdas es un marco teórico en donde la idea destacada consiste en reemplazar a
las part́ıculas puntuales de la teoŕıa de campos ordinaria (i.e. fotones, electrones, etc.) con obje-
tos unidimensionales llamados cuerdas. Esta describe cómo las cuerdas se propagan a través del
espacio e interactúan entre śı. Las cuerdas pueden ser abiertas o cerradas, poseyendo una tensión
caracteŕıstica y por tanto un espectro de vibraciones [4]. A diferencia de las observables t́ıpicas
de la teoŕıa cuántica estándar, las cuerdas no se encuentran caracterizadas por números cuánticos,
sino por sus propiedades geométricas y dinámicas. La escala t́ıpica que se asume para las cuerdas
es del orden de la escala de Planck, o 10−35 metros. A escalas de distancia mayores, las cuerdas
se ven como part́ıculas ordinarias cuya masa, carga y otras propiedades, son determinadas por su
estado vibracional. Uno de los tantos modos vibracionales de las cuerdas corresponde al gravitón: la
part́ıcula cuántica encargada de portar la interacción gravitacional. Resulta esencial para la teoŕıa
de cuerdas el hecho de que se tengan objetos extendidos en lugar de objetos puntuales para que
en ella pueda ser incluida la fuerza de gravedad, a diferencia de lo que sucede en la teoŕıa cuánti-
ca de campos. Esta última no es capaz de incluir a la gravedad ya que, al suponer interacciones
puntuales, lleva a divergencias intratables en los cálculos matemáticos. En cambio, la naturaleza
extendida de las cuerdas ayuda a tratar con las inconsistencias que se tienen en las teoŕıas cuánticas
de la gravedad [13]. Esto quiere decir que la teoŕıa de cuerdas tiene la ventaja de ser una teoŕıa
perturbativamente renormalizable.
La versión original de la teoŕıa de cuerdas era una teoŕıa exclusivamente bosónica, que además,
dentro del espectro de vibraciones – o, equivalentemente, de part́ıculas – de la teoŕıa, inclúıa una
8 1. Introducción
part́ıcula cuya masa correspond́ıa a un número imaginario: el taquión. La teoŕıa de cuerdas bosónica
fue eventualmente sustituida por otras teoŕıas llamadas teoŕıas de supercuerdas. Estas describ́ıan
bosones y fermiones – reteniendo al gravitón pero ya sin obtener al taquión – e incorporaban la
idea de la supersimetŕıa [14]. Una de las caracteŕısticas más notables de las teoŕıas de cuerdas,
es la necesidad de dimensiones extra para lograr que sean matemáticamente consistentes. En la
teoŕıa de cuerdas bosónica el espacio-tiempo posee 26 dimensiones, mientras que en las teoŕıas
de supercuerdas posee 10 dimensiones. Antes del año de 1995 se créıa que hab́ıan cinco versiones
consistentes de la teoŕıas de supercuerdas. Esto cambió en ese año, cuando Edward Witten sugirió
que estas cinco teoŕıas solo eran casos ĺımite diferentes de una teoŕıa más general en 11 dimensiones,
llamada la teoŕıa-M [15].
En el contexto de la teoŕıa, se descubrió una relación importante llamada la correspondencia
AdS/CFT [16], la cual establece la equivalencia entre una teoŕıa de cuerdas con una teoŕıa de norma
o una teoŕıa cuántica de campos. Dada la equivalencia entre ambas descripciones, es establecido que
ninguna de ellas posee un carácter fundamental, aśı como tampoco son fundamentales los espacio-
tiempos que describen. Esto ha llevado a algunos especialistas a hablar del espacio-tiempo como un
fenómeno emergente, proponiendo que el par de teoŕıas duales son solo distintos ĺımites clásicos de
una teoŕıa cuántica más fundamental.
Sin embargo, en esta teoŕıa existe un problema que se conoce como el problema del landscape,
que consiste en toda la colección de vaćıos posibles que existen en la teoŕıa debido al proceso de
compactificación. Se estima que existen del orden de 1010 a 10500 vaćıos posibles, cada uno de ellos
definido con distintas constantes f́ısicas [17]. En este trabajo no consideraremos el enfoque de la
teoŕıa de cuerdas para estudiar el problema de la gravedad cuántica.
1.2.2. Gravedad cuántica de lazos
Formalmente, la gravedad cuántica de lazos es una cuantización canónica matemáticamente
rigurosa del campo gravitacional que es independiente de la métrica de fondo (background indepen-
dent). Esta teoŕıa toma seriamente la idea adoptada en la relatividad general de Einstein en la que
el espacio-tiempo es considerado como un campo dinámico más, por tanto esta teoŕıa establece que
el espacio-tiempo debe ser considerado como un objeto cuántico por śı mismo. De esta manera, la
teoŕıadeja de describir la evolución de campos sobre un espacio-tiempo – como lo hace la teoŕıa
cuántica de campos – sino que describe la dinámica de ‘campos sobre campos’ [2]. En este sentido
es que se dice que la teoŕıa es independiente del fondo, ya que su formulación no está construida
sobre una geometŕıa establecida a priori. Las ecuaciones de evolución de la teoŕıa no están definidas
sobre un espacio-tiempo, ni tampoco dependen de este. En lugar de eso, se espera en realidad que
de las ecuaciones surjan el espacio y el tiempo, a escalas de distancia mayores a la escala de Planck.
El punto de partida de la teoŕıa es una reformulación a nivel clásico de la relatividad general
en términos de las variables de Ashtekar [18], lo cual resulta en una teoŕıa dinámica descrita por
medio de las conexiones de esṕın (spin connections) y sus momentos conjugados, las triadas espa-
ciales (spatial triads). Posteriormente, se realiza una cuantización que, por el teorema de Stone-von
Neumann, no es equivalente a la de Schrödinger, obteniendo aśı que los operadores que describen a
la geometŕıa Riemanniana cuántica tienen eigenvalores puramente discretos [19]. Esto quiere decir
que el espacio y el tiempo se encuentran cuantizados, dando aśı una imagen del espacio-tiempo
como un objeto granulado o discretizado, en el mismo sentido de la cuantización del fotón en la
teoŕıa cuántica del electromagnetismo o la cuantización en los niveles energéticos en los átomos. En
este caso, como el espacio mismo es el que es discreto, resulta que existe una distancia mı́nima de
carácter fundamental, lo que permite que la teoŕıa tenga de manera natural un corte ultravioleta
(ultraviolet cut-off ). De manera más precisa, el espacio puede ser visto como una tela extremada-
mente fina o una red tejida a partir de pequeños lazos. Esta red de lazos, llamada la red de espines
(spin network), describe el estado cuántico del espacio-tiempo. La evolución de esta red de lazos es
llamada espuma de espines (spin foam). El tamaño de estas estructuras se cree que debe de ser del
orden de la escala de Planck y, de acuerdo a la teoŕıa, a escalas más pequeñas no tiene significado
hablar del concepto de distancia.
1.3 ¿En dónde puede ser aplicado? 9
La caracteŕıstica más predominante de la gravedad cuántica de lazos es tal vez el hecho funda-
mental de su geometŕıa cuántica. Por ejemplo, es sabido que si realizamos un tratamiento pertur-
bativo de la gravedad cuántica, dejando de lado la dinámica completa del espacio-tiempo como es
usualmente hecho en la teoŕıa cuántica de campos, uno llega a una teoŕıa que no es renormalizable.
El motivo por el cual se obtiene este resultado, posiblemente tiene que ver con el hecho de que se
asume que incluso a distancias muy pequeñas, el espacio-tiempo tiene una naturaleza continua. No
existe ninguna razón para afirmar que la naturaleza continua del espacio-tiempo deba ser preser-
vada a escalas del orden de la enerǵıa de Planck. Resulta entonces natural intentar incorporar la
dinámica de la geometŕıa del espacio-tiempo en la teoŕıa a través de un enfoque no-perturbativo,
como es el caso para la gravedad cuántica de lazos, dejando que la teoŕıa misma sea la que determine
la micro-estructura del espacio-tiempo [20].
Formalmente, la teoŕıa es independiente del fondo, pero asociada a esta propiedad existen algu-
nos detalles sin resolver. Por ejemplo, algunas derivaciones requieren una elección fija de la topoloǵıa,
mientras que cualquier teoŕıa consistente con la teoŕıa cuántica de la gravedad debe incluir cambios
de topoloǵıa como proceso dinámico [1].
1.3. ¿En dónde puede ser aplicado?
Como ya vimos, las singularidades representan un sistema f́ısico en el cual se cree que una teoŕıa
de gravedad cuántica ayudaŕıa a describir claramente las cosas. La principal singularidad de todas
es sin duda el origen del universo mismo. De acuerdo al modelo cosmológico estándar – el Big
Bang – el universo comenzó hace aproximadamente 13.799±0.021 mil millones de años [21]. Este
modelo nos dice que el universo a sus comienzos se encontraba en un estado altamente energético,
en el que hab́ıa una alta densidad de materia y la curvatura del espacio-tiempo era muy grande.
A este nivel los efectos cuánticos también debeŕıan tener, al igual que la gravedad, un dominio
predominante en el universo. Por lo tanto, el comienzo del universo va más allá del dominio de la
relatividad general de Einstein y se cree que se requiere de una teoŕıa de gravedad cuántica para
una adecuada descripción del estado inicial del universo. Uno de los aspectos que una teoŕıa de
gravedad cuántica debeŕıa responder es qué tan cerca de la singularidad del Big Bang es válido
hablar de un espacio-tiempo suave y continuo, como el de la relatividad general. Para responder a
esta pregunta no podemos empezar asumiendo un espacio-tiempo suave de fondo.
Si consideramos lo anterior y sumamos el hecho de que la cosmoloǵıa es un modelo de simetŕıa
reducida de la relatividad general, esto hace de la cosmoloǵıa un sistema f́ısico muy interesante
para el estudio de los aspectos cuánticos de la gravedad. En este trabajo de tesis precisamente
realizamos un estudio de las consecuencias que puede traer la cuantización polimérica en la dinámica
efectiva de un modelo cosmológico, producto del carácter no-perturbativo de la cuantización que
considera las propiedades cuánticas del espacio-tiempo. Pero es importante primero notar que para
sistemas simples como las teoŕıas de campo en un espacio-tiempo de Minkowsky, el formalismo
Hamiltoniano – que es el camino natural para la cuantización – indica que la dinámica está dada
por las constricciones del sistema [22]. Por tanto, comencemos revisando la formulación hamiltoniana
para teoŕıas con constricciones en el siguiente caṕıtulo.
10 1. Introducción
11
Caṕıtulo 2
Cuantización de teoŕıas de norma
En este caṕıtulo describimos la fomulación hamiltoniana o canónica para las teoŕıas con simetŕıa
de norma, ya que este es el punto de partida clásico para la cuantización canónica de teoŕıas de
norma como lo son el electromagnetismo, la relatividad general y los sistemas cosmológicos.
El término norma se refiere al formalismo matemático para regular los grados de libertad re-
dundantes en la función lagrangiana. Esto quiere decir que las teoŕıas de norma pertenecen a las
llamadas teoŕıas lagrangianas singulares, o simplemente teoŕıas singulares. Las teoŕıas singulares se
caracterizan por ser teoŕıas que contienen constricciones. Esto lleva a que los métodos estándar de
cuantización no puedan ser aplicados directamente a estas teoŕıas. Como veremos, el formalismo
hamiltoniano resulta ser adecuado para el estudio de las teoŕıas singulares ya que nos permite se-
parar, al nivel de las ecuaciones de movimiento, los grados de libertad dinámicos de los grados de
libertad algebraicos, siendo estos últimos consecuencia de las constricciones.
Las teoŕıas de norma actualmente resultan ser de vital importancia en la f́ısica ya que son
las teoŕıas de campo que explican de manera satisfactoria la f́ısica de part́ıculas. Por ejemplo, la
electrodinámica cuántica es una teoŕıa de norma, abeliana, que cuenta con el grupo de simetŕıa
U(1); tiene un campo de norma que es el 4-potencial electromagnético, y su bosón de norma es
el fotón. El modelo estándar de part́ıculas resulta ser también una teoŕıa de norma, la cual es
no-abeliana, que cuenta con el grupo de simetŕıa U(1) × SU(2) × SU(3) y tiene doce bosones de
norma: el fotón, tres bosones débiles y ocho gluones.
Por otro lado, cuando en la f́ısica se habla de una cuantización, se hace referencia a la cons-
trucción de una teoŕıa cuántica de algún sistema determinado a partir de su correspondiente teoŕıa
clásica. La cuantización canónica [23] es el método de cuantización más consistente y que mejor
ha sido desarrollado, el cual seencuentra basado en el formalismo hamiltoniano. Existen otras
formulaciones que se pueden utilizar, como la formulación mediante integral de camino propuesta
por R. Feynman [24], pero uno puede darse cuenta que varias de ellas se encuentran cercanamente
relacionadas a la cuantización canónica.
Actualmente, las áreas de estudio de la cuantización formal pueden ser divididas en dos. La
primera se encarga de estudiar las complicaciones que surgen de la cuantización canónica de sistemas
clásicos genéricos, mientras que la segunda investiga formulaciones alternativas y su relación con la
cuantización canónica. En el contexto de la cuantización canónica, la descripción de la dinámica de
un sistema clásico en su forma hamiltoniana no siempre puede ser lograda de la manera usual, i.e.
de manera trivial mediante una transformada de Legendre. Tal es el caso de los sistemas descritos
por teoŕıas de norma. Veamos entonces las caracteŕısticas de estas teoŕıas.
12 2. Cuantización de teoŕıas de norma
2.1. Formalismo hamiltoniano para teoŕıas de norma
2.1.1. Teoŕıas singulares
El punto de partida para el estudio de la dinámica de las teoŕıas de norma es comenzar por el
principio de mı́nima acción en su forma lagrangiana [25].
Consideremos un sistema clásico descrito por un conjunto de coordenadas generalizadas (qi, q̇k)
tal que sus ecuaciones de movimiento se encuentren definidas mediante un principio variacional
sobre la acción
S =
∫
dt L(qi, q̇k; t) (2.1)
en donde los ı́ndices latinos, que corren como i, k = 1, 2, ..., N , denotan el número de coordenadas y
velocidades generalizadas que describen el movimiento del sistema en el espacio de configuraciones,
Q. Las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange son:
d
dt
(
∂L
∂q̇i
)
− ∂L
∂qi
= 0 (2.2)
Desarrollando de manera expĺıcita la derivada total respecto al tiempo del primer término, tenemos
∑
j
∂2L
∂q̇i∂q̇j
q̈j +
∑
j
∂2L
∂q̇i∂qj
q̇j +
∂2L
∂q̇i∂t
− ∂L
∂qi
= 0 (2.3)
Si definimos las siguientes cantidades
Wij(qj , q̇k) :=
∂2L
∂q̇i∂q̇j
Vi(qj , q̇k) :=
∂L
∂qi
−
∑
j
∂2L
∂q̇i∂qj
q̇j −
∂2L
∂q̇i∂t
(2.4)
donde la matrizWij es conocida como la matriz hessiana del sistema, podemos escribir las ecuaciones
de Euler-Lagrange de la siguiente manera∑
j
Wij q̈j = Vi (2.5)
Una formulación langrangiana es nombrada como una teoŕıa singular si el determinante de la
matriz hessiana tiene valor igual a cero, de otra manera es llamada como una teoŕıa no-singular, es
decir
det |Wij | = det
∣∣∣∣∣ ∂2L∂q̇i∂q̇j
∣∣∣∣∣ =
{
= 0 teoŕıa singular
6= 0 teoŕıa no-singular
(2.6)
Por un lado, se tiene que para las teoŕıas no-singulares la matriz Wij es invertible, de manera
que uno obtiene de manera expĺıcita un conjunto completo de ecuaciones de movimiento de segundo
orden
q̈j =
∑
i
(W−1)ijVi (2.7)
Por el otro lado, para el caso de las teoŕıas singulares en donde Wij no es invertible, la imagen de
Wij visto como el mapeo lineal entre espacios vectoriales
Wij : Rn → Rn (2.8)
tiene una co-dimensión no nula que es del mismo tamaño que la dimensión de su kernel. Esto significa
que el vector Vi al encontrarse en la imagen de Wij , como podemos ver de la ecuación (2.5), no
puede ser linealmente independiente y debe estar definido en algún subespacio de dimensión menor
a N , el número de coordenadas generalizadas. Esto impone restricciones no triviales sobre qi y q̇k.
2.1 Formalismo hamiltoniano para teoŕıas de norma 13
Definiendo de manera apropiada los momentos generalizados y llevando a cabo una transfor-
mación de Legendre, es posible transladar la dinámica del sistema f́ısico al espacio fase, P. En este
sentido, definimos los momentos canónicos como
pk =
∂L
∂q̇k
(2.9)
2.1.2. Constricciones primarias
En la mecánica clásica, usualmente se da por hecho que los momentos son funciones indepen-
dientes de las velocidades. A pesar de que la suposición se cumple para muchos casos de interés,
esta condición es muy restrictiva como para ser aplicada a teoŕıas f́ısicas más fundamentales. En
general, la definición de los momentos resulta en n variables independientes si y solo si la matriz
∂pi/∂q̇j es invertible. Vemos que esta matriz corresponde precisamente a la matriz Wij definida
en (2.4). Como nuestro interés se encuentra en el estudio de las teoŕıas de norma (las cuales son
teoŕıas singulares), suponemos que la condición que se cumple es
det
∣∣∣∂pi
∂q̇j
∣∣∣ = det |Wij | = 0 (2.10)
En este caso, las velocidades no pueden ser invertidas en función de las coordenadas generalizadas y
los momentos. Se tiene como consecuencia, entonces, que los momentos no son todos independientes;
por tanto, surgen relaciones algebraicas entre ellos, directamente de su definición, que deben de ser
cumplidas. Es decir, se tiene
φm(qi, pk) ≈ 0, m = 1, 2, . . . ,M (2.11)
donde M corresponde al número de ecuaciones resultantes. Estas relaciones son llamadas constric-
ciones primarias para enfatizar que son resultado de la mera definición de los momentos.
En la ecuación (2.11) para las constricciones, se hace uso del śımbolo “≈” (que denotaremos
como igualdad débil) para enfatizar que la cantidad φm se encuentra numéricamente restringida a
ser cero, pero que en general no tiene por qué anularse sobre todo el espacio fase.
En general, cualquier ecuación que se cumpla únicamente en el subespacio φm ≈ 0, del espacio
fase total, se dirá que se cumple débilmente [26]. A este subespacio definido por las constricciones
primarias, lo llamaremos como superficie de constricción. Por otro lado, cualquier ecuación que se
cumpla en todo el espacio fase, se dirá que se cumple fuertemente, o que cumple con una igualdad
fuerte “=”.
2.1.3. Ecuaciones de Hamilton
Como es usual, definamos al hamiltoniano canónico
H =
∑
k
pk q̇k − L(qi, q̇k(pj)) (2.12)
y calculemos su variación:
δH =
∑
k
(q̇k)δpk −
∑
j
(
δL
δqj
)
δqj (2.13)
Nótese que esta solo depende de las coordenadas y de los momentos. Es decir, H puede ser expresada
en términos de q’s y p’s, de manera independiente a las velocidades.
Sin embargo, la definición que hemos dado para el hamiltoniano no está determinada de manera
única. Esto es debido a que las variaciones se encuentran restringidas por las constricciones. De
manera que podemos agregar a (2.12) cualquier combinación lineal de las constricciones, cuyo valor
sobre la superficie de constricción es igual a cero, motivándonos a establecer un nuevo hamiltoniano
14 2. Cuantización de teoŕıas de norma
H∗ = H +
∑
m
cmφm cm ∈ C∞(P) (2.14)
equivalente al que hab́ıamos definido, donde cm es una función arbitraria de las coordenadas y de los
momentos. Este nuevo hamiltoniano se encuentra bien definido solo en la superficie de constricción.
Consideremos ahora el procedimiento que se realiza de manera estándar para obtener las ecua-
ciones de Hamilton. Uno expande la variación del hamiltoniano de dos maneras equivalentes y las
iguala
δH =
∑
i
(
∂H
∂pi
δpi +
∂H
∂qi
δqi
)
=
∑
i
(q̇iδpi − ṗiδqi) (2.15)
donde la segunda igualdad se obtiene de simplificar las ecuaciones de Euler-Lagrange (2.2), con
la definición del momento canónico (2.9). De esta igualdad, uno puede deducir las ecuaciones de
movimiento en el formalismo hamiltoniano usual, libre de constricciones.
∑
i
[(
∂H
∂qi
+ ṗi
)
δqi +
(
∂H
∂pi
− q̇i
)
δpi
]
= 0 (2.16)
Sin embargo, en el presente contexto en donde tenemos constricciones en el sistema, uno no puede
trivialmente igualar a cero a las variaciones δqi y δpi, debido a que, precisamente, se encuentran
sujetas a las constricciones. En este caso, las variaciones deben ser tangentes a la superficie de
constricción.
Uno puede demostrar que la solución de∑
n
Anδqn +
∑
n
Bnδpn = 0 (2.17)
para las variaciones δqn y δpn, restringidas por las constricciones φm ≈ 0, es en general [25]
An =
∑
m
um
∂φm
∂qn
(2.18)
Bn =
∑
m
um
∂φm
∂pn
(2.19)
donde las um en general son funciones arbitrarias que dependen de las coordenadas y las velocidades.
Usandoeste resultado en (2.17) y comparando término a término con (2.16), las ecuaciones de
movimiento que se obtienen son
q̇i ≈
∂H
∂pi
+
∑
m
um
∂φm
∂pi
(2.20)
ṗi ≈ −
∂H
∂qi
−
∑
m
um
∂φm
∂qi
(2.21)
2.1.4. Paréntesis de Poisson
Introducimos ahora un formalismo que nos permitirá escribir una notación más compacta. Nos
referimos al paréntesis de Poisson. Sean dos funciones arbitrarias f, g ∈ C∞(P), el paréntesis de
Poisson entre ambas cantidades se define como
{f, g} =
∑
i
(
∂f
∂qi
∂g
∂pi
− ∂g
∂qi
∂f
∂pi
)
(2.22)
De su definición, el paréntesis de Poisson cumple con ciertas propiedades. Estas son,
2.1 Formalismo hamiltoniano para teoŕıas de norma 15
Anticonmutatividad
{f, g} = −{g, f} (2.23)
Linealidad en cada elemento
{f + g, h} = {f, h}+ {g, h} (2.24)
Regla de Leibniz o del producto
{fg, h} = {f, h}g + f{g, h} (2.25)
Identidad de Jacobi
{f, {g, h}}+ {g, {h, f}}+ {h, {f, g}} = 0 (2.26)
donde también h es una función en el espacio fase.
Para cualquier función en el espacio fase g(qi, pk) se tiene
ġ =
∑
i
(
∂g
∂qi
q̇i +
∂g
∂pi
ṗi
)
(2.27)
Si en esta expresión sustituimos las ecuaciones de movimiento (2.20) y (2.21), llegamos a que
podemos expresar la derivada temporal de cualquier función como
ġ ≈ {g,H}+
∑
m
um{g, φm} (2.28)
o de manera más compacta
ġ ≈ {g,H∗} (2.29)
Es importante recordar que la igualdad débil “≈” nos indica que las constricciones deben de hacerse
efectivas solo después de haber calculado las ecuaciones de movimiento, o equivalentemente, después
de haber calculado el paréntesis de Poisson.
2.1.5. Condiciones de consistencia
Un requerimiento básico que se debe cumplir para que esta construcción tenga sentido, es que
las constricciones primarias deben ser preservadas en el tiempo. Esto da origen a las siguientes
condiciones de consistencia
φ̇n = {φn, H}+
∑
m
um{φn, φm} ≈ 0 (2.30)
Hay cuatro tipos diferentes de condiciones que pueden resultar:
i) Una ecuación que nos lleve a una inconsistencia, tal como tener 1 = 0. Si esto sucede, significa
que tenemos un lagrangiano cuyas ecuaciones de movimiento son inconsistentes. Por ejemplo,
el caso cuando L(q, q̇) = q.
ii) Una ecuación que se reduzca a 0 = 0, es decir, que se cumpla idénticamente, tal vez con ayuda
de las constricciones primarias.
16 2. Cuantización de teoŕıas de norma
iii) Una ecuación que se reduzca a una ecuación independiente de las funciones um, y por tanto que
solo dependa de las coordenadas y los momentos. Como estas ecuaciones son independientes
de las constricciones primarias, sino correspondeŕıan al punto anterior, obtenemos nuevas
constricciones en el sistema, de la forma
Xm′(qi, pk) ≈ 0, m′ = 1, 2, . . . ,K (2.31)
donde K corresponde al número de las nuevas constricciones obtenidas. Estas nuevas cons-
tricciones son llamadas constricciones secundarias para señalar que estas se derivan de aplicar
las ecuaciones de movimiento a las constricciones primarias. Obviamente, las constricciones
secundarias también estarán sujetas a las condiciones de consistencia
Ẋm′ = {Xm′ , H}+
∑
m
um{Xm′ , φm} ≈ 0 (2.32)
y se deberá hacer el mismo análisis que se está llevando a cabo para la ecuación (2.30). Este
análisis nos lleva a la posibilidad de tener más constricciones secundarias, por lo que uno debe
llevar este procedimiento hasta que ya no hayan más constricciones secundarias. Sin embargo,
de manera fundamental no existe diferencia entre ambos tipos de constricciones, por lo que
las podemos agrupar en una sola ecuación
φj(qi, pk) ≈ 0, j = 1, 2, . . . ,M +K = J (2.33)
donde ya en este caso podemos considerar a K como el número total de constricciones secun-
darias, obtenidas de agotar este análisis; mientras que M , recordemos, corresponde al número
de constricciones primarias.
iv) Una ecuación que imponga condiciones sobre las funciones um, es decir, cuando se cumple
que det |{φn, φm}| 6= 0.
2.1.6. Condiciones para las funciones um
Una vez que hayamos encontrado el total de constricciones para el sistema llevando a la condición
III) hasta sus últimas consecuencias, podemos pasar a trabajar con la condición IV) que impone
restricciones sobre las funciones um. Estas restricciones son
{φj , H}+
∑
m
um{φj , φm} ≈ 0 (2.34)
donde el ı́ndice m es sumado sobre las constricciones primarias, m = 1, ...,M , mientras que el ı́ndice
j es sumado sobre el conjunto completo de constricciones j = 1, ..., J . Podemos considerar entonces
a la ecuación (2.34) como un conjunto de J ecuaciones lineales no homogéneas para las M(≤ J)
funciones incógnitas um.
En este caso uno puede obtener una solución para um invirtiendo la matriz Cjm = {φj , φm}.
Esto resuelve la parte no homogénea de la ecuación (2.34), y esta solución la denotamos como
Um(qi, pk). Sin embargo, la solución completa requiere también la solución a la parte homogénea,
es decir, la solución a ∑
m
Vm{φj , φm} ≈ 0 (2.35)
que consta de la combinación lineal de todas las soluciones independientes, las cuales etiquetaremos
como Vam. De esta manera, la solución más general para (2.34) es
2.1 Formalismo hamiltoniano para teoŕıas de norma 17
um ≈ Um +
∑
a
vaVam, a = 1, 2, . . . , A (2.36)
donde va son funciones completamente arbitrarias, y donde A corresponde al número de soluciones
linealmente independientes para (2.35), cuyo valor es igual al número de constricciones menos el
número de condiciones de consistencia que se hayan obtenido para las funciones um. Es decir, A
corresponde al número de grados de libertad no f́ısicos en el sistema.
En lo anterior, supusimos que las constricciones son independientes. Si las constricciones no son
independientes, se dice entonces que son reducibles. Esto no representa ningún problema ya que uno
simplemente puede dejar de lado las constricciones redundantes, sin perder información acerca del
sistema, y proceder a realizar el análisis.
2.1.7. Hamiltoniano total
En este punto resulta ser natural que introduzcamos al hamiltoniano total del sistema, en
términos de esta nueva expresión para um,
HT = H +
∑
m
Umφm +
∑
a,m
vaVamφm (2.37)
Esta expresión cuenta con una cantidad A de funciones arbitrarias va.
Definimos las cantidades
H ′ := H +
∑
m
Umφm φa :=
∑
m
Vamφm (2.38)
de manera que podemos escribir al hamiltoniano total en una manera más condensada como
HT = H
′ +
∑
a
vaφa (2.39)
Concluimos que la evolución para una función arbitraria f en el espacio fase, es dada por
ḟ = {f,HT } (2.40)
Por construcción, estas ecuaciones de movimiento son equivalentes a las ecuaciones de Euler-
Lagrange.
2.1.8. Funciones de primera clase y de segunda clase
Introducimos ahora una clasificación para las funciones definidas en el espacio fase P, debido a
que tiene un papel central en el presente análisis. Se dice que una función F (qi, pk) es de primera
clase, si su paréntesis de Poisson con cada constricción se anula débilmente
{F, φj} ≈ 0 (2.41)
de otra manera, se dice que es una función de segunda clase. Entonces, la función F se dice de
segunda clase si su paréntesis de Poisson con al menos una de las constricciones no se anula débil-
mente.
Una caracteŕıstica importante de la propiedad de primera clase, es que se preserva bajo la acción
del paréntesis de Poisson. Esto quiere decir que si tenemos dos funciones arbitrarias F y G que son
de primera clase, entonces el paréntesis de Poisson entre ambas funciones, {F,G}, también será de
primera clase.
Como primer aplicación del concepto de primera clase, investiguemos a qué clase pertenece el
hamiltoniano total. Para esto, calculamos
18 2. Cuantización de teoŕıas de norma
{φj , HT } = {φj , H}+
∑
m
{φj , Umφm}+
∑
a,m
{φj , vaVamφm}
≈ {φj , H}+
∑
m
Um{φj , φm}+
∑
a,m
vaVam{φj , φm} (2.42)
Notamos que los primeros dos términos corresponden a la condición de consistencia (2.34) para el
total de constricciones, siendo estos entonces débilmente nulos. El tercer término, adicionalmente,
corresponde a la solución (2.35) y tambiénse anula de manera débil. Por tanto concluimos que
{φj , HT } ≈ 0 (2.43)
el hamiltoniano total es una función de primera clase.
2.1.9. Constricciones de primera y segunda clase
La clasificación en términos de clases también puede ser aplicada a las constricciones. De hecho,
clasificar de esta manera a las constricciones aporta una gran claridad acerca de la naturaleza de
las constricciones, como ya veremos.
Una constricción de primera clase se define como una constricción cuyo paréntesis de Poisson
con todas las demás constricciones se anula débilmente, esto es
{φ, φj} ≈ 0 (2.44)
de otra manera, tendremos una constricción de segunda clase.
Para apreciar las consecuencias de ver de esta forma a las constricciones, consideremos la matriz
Cjj′ = {φj , φj′} (2.45)
que es análoga precisamente a las condiciones de consistencia (2.34), pero que ahora toma en cuenta
a todas las constricciones, no solo a las primarias. Para mayor claridad, resulta útil que retomemos
dicha expresión
{φj , H}+
∑
j′
uj′{φj , φj′}
Es fácil demostrar que si tenemos al menos una constricción de primera clase, es decir, que la
ecuación (2.44) se cumple para al menos una de las constricciones, entonces la matriz Cjj′ no es
invertible ya que tendremos que det |Cjj′ | = 0. Esto nos dice que no todas las funciones uj′ podrán
ser resueltas de manera expĺıcita y que la dinámica no estará determinada de manera única. Esta
ambigüedad, como ya vimos, queda reflejada en el hecho de que en el hamiltoniano total tenemos
presentes a las funciones arbitrarias va.
Bajo una transformación adecuada, uno puede reescribir a la matriz Cjj′ tal que podamos
separar a todas las constricciones de primera clase (que podremos contener en una submatriz C′ab)
de las demás, de manera que sobre la superficie de constricción uno pueda escribirla como
Cnm =
(
C′ab 0
0 C′αβ
)
≈
(
0 0
0 C′αβ
)
(2.46)
La submatriz C′αβ , al ya no contener constricciones de primera clase, cumplirá con ser invertible.
Es decir, se tiene ahora que det |C′αβ | 6= 0, lo que implica que {φα, φβ} 6≈ 0, mostrando aśı que las
constricciones que quedan deben ser todas de segunda clase. Como consecuencia, ahora podemos
determinar el valor de las funciones uj′ de manera expĺıcita. En particular, podemos ver que si todas
las constricciones del sistema fueran de segunda clase, entonces podŕıamos determinar a todas las
funciones uj′ del sistema y la dinámica quedaŕıa descrita de manera única, libre de la ambigüedad
de las transformaciones de norma.
2.1 Formalismo hamiltoniano para teoŕıas de norma 19
Resumamos la información de los párrafos anteriores. Nosotros comenzamos con un cierto núme-
ro de constricciones en nuestro sistema. Vimos que por cada constricción de segunda clase que
tengamos, podremos determinar el valor una de las funciones uj′ cuyo número es igual al número
de constricciones totales que tengamos. Por otro lado, la presencia de cada constricción de primera
clase implica la presencia de una de las funciones arbitrarias va. Cada elección diferente para cada
una de las funciones va corresponde a una transformación de norma, la cual debe dejar invariante
al estado f́ısico del sistema. Por tanto, uno puede concluir que la presencia de constricciones de
primera clase está relacionada con la presencia de transformaciones de norma.
Habiendo mostrado la relevancia de clasificar de esta manera a las constricciones, es necesario
aclarar lo siguiente. Para evitar confusiones al momento de clasificar a las constricciones, resulta
importante notar la diferencia entre el conjunto de constricciones primarias (que surgen de la
definición de los momentos) y secundarias (que surgen de imponer condiciones de consistencia
en las constricciones primarias), y el conjunto de constricciones de primera y segunda clase (que
dependen del valor que resulte de tomar el paréntesis de Poisson consigo mismas).
2.1.10. Transformaciones de norma
Para entender el origen de las transformaciones de norma, tratemos de entender la presencia de
las funciones arbitrarias va en el hamiltoniano total. Su presencia nos indica que la evolución de las
coordenadas y de los momentos generalizados no se encuentra determinada de manera única por
el estado inicial del sistema, sino que tenemos muchas maneras de caracterizar un mismo estado
f́ısico, dado que el estado no debe depender de va. Aśı que debemos encontrar todos los conjuntos
de q’s y p’s que correspondan a un mismo estado f́ısico.
Si damos un conjunto inicial de variables canónicas a cierto tiempo inicial, uno esperaŕıa que las
ecuaciones de movimiento determinaran completamente al estado del sistema a tiempos posteriores
[27]. Consideremos entonces una variable dinámica g, cuyo valor a un tiempo inicial sea g(t = 0) =
g0, y veamos su evolución después de un intervalo corto de tiempo δt,
g(t+ δt) = g0 + ġδt = g0 + {g,HT }δt = g0 + δt
(
{g,H ′}+
∑
a
va{g, φa}
)
(2.47)
Consideremos ahora que tomamos inicialmente otras funciones v′a, lo cual lo podemos hacer ya que
estas son completamente arbitrarias. Esto nos dará una evolución diferente
g′(t+ δt) = g0 + ġδt = g0 + {g,HT }δt = g0 + δt
(
{g,H ′}+
∑
a
v′a{g, φa}
)
(2.48)
tomando la diferencia entre ambas tenemos
∆g(t+ δt) =
∑
a
δt∆va{g, φa} =
∑
a
�a{g, φa} (2.49)
en donde �a := δt∆va corresponde a una cantidad infinitesimal. Es decir, durante el intervalo
infinitesimal de tiempo δt, la diferencia ∆va = va − v′a entre las dos funciones arbitrarias genera la
diferencia ∆g = g − g′ en la evolución. Entonces la transformación (2.49) no altera el estado f́ısico
del sistema a un tiempo posterior.
Podemos cambiar las variables que describen cierta configuración f́ısica de acuerdo a (2.49) y las
nuevas variables describirán el mismo estado. Este cambio consiste en aplicar una transformación
de contacto generada por la función �aφa. Es decir, las constricciones de primera clase son las
generadoras de las transformaciones de norma. Encontramos aśı que todos los conjuntos de variables
canónicas que estén relacionados mediante una transformación de norma, describen al mismo estado
f́ısico.
En general, la transformación (2.49) no es la única que deja invariante al estado f́ısico del sistema.
Se puede demostrar que:
20 2. Cuantización de teoŕıas de norma
El paréntesis de Poisson {φa, φa′} de cualquier par de constricciones de primera clase, genera
una transformación de norma.
El paréntesis de Poisson {φa, H ′} de cualquier constricción de primera clase con el hamilto-
niano H ′ de primera clase, genera una transformación de norma.
En general no es posible probar que cada constricción secundaria de primera clase sea un gene-
rador de transformación de norma. Sin embargo, uno postula que en general todas las constricciones
de primera clase – esto es, primarias y secundarias – son generadoras de transformaciones de norma.
A esto se le conoce como la conjetura de Dirac. Existen buenas razones para postular la conjetura,
como el hecho de que la división de las constricciones en primarias y secundarias no es la más
natural desde el punto de vista del formalismo hamiltoniano. A pesar de que uno puede construir
contraejemplos, la conjetura de Dirac se cumple para todas los sistemas f́ısicos conocidos hasta
ahora.
Una vez aclaradas las transformaciones de norma, damos la siguiente definición. Una observable
f́ısica es toda aquella cantidad que cumple con ser invariante ante transformaciones de norma.
2.1.11. Hamiltoniano extendido
Una vez establecida la importancia de clasificar a las constricciones en términos de sus clase,
resulta útil introducir una notación que distinga entre ambos tipos de constricciones. Denotamos
a las constricciones de primera clase con la letra γ y a las constricciones de segunda clase con χ,
mientras que el conjunto completo de constricciones será denotado como {φj}, tal y como se veńıa
haciendo.
La dinámica más general deberá permitir realizar transformaciones de norma arbitrariasmien-
tras que el sistema f́ısico se encuentre evolucionando en el tiempo. El movimiento generado por
el hamiltoniano total HT sólo contiene constricciones de primera clase primarias. Por tanto, de-
bemos de sumar a este todas las constricciones de primera clase secundarias, multiplicadas por
funciones arbitrarias adicionales. A esta función de primera clase que se obtiene, se le conoce como
hamiltoniano extendido
HE = H
′ +
∑
a
uaγa (2.50)
donde el ı́ndice a corre sobre el conjunto completo de constricciones de primera clase. Este número
corresponde al número de grados de libertad no f́ısicos del sistema.
Es claro que para las observables f́ısicas, es decir, las cantidades invariantes ante transformacio-
nes de norma, la evolución descrita por H ′, HT y HE es la misma. Mientras que para las demás
cantidades, el hamiltoniano extendido HE es el que toma en cuenta toda la libertad de norma que
hay en el sistema.
2.1.12. Paréntesis de Dirac
Las constricciones de segunda clase no pueden ser interpretadas como generadores de una trans-
formación de norma. La razón es que, por definición, las transformaciones generadas por estas no
preservan a todas las constricciones φa ≈ 0 y por tanto mapean estados permitidos a estados no
permitidos. Uno puede interpretar que las constricciones de segunda clase generan un flujo trans-
versal, o normal, a la superficie de constricción; mientras que las constricciones de primera clase
generan un flujo tangente a la superficie de constricción [28].
Si las constricciones de segunda clase no pueden ser resueltas de manera expĺıcita, uno debe
de tener cuidado con que el flujo generado por estas en el espacio fase, no nos lleve a dejar la
superficie de constricción. Una manera en que podemos estar seguros de que nos mantendremos en
todo momento sobre la superficie de constricción es introduciendo el paréntesis de Dirac.
Consideremos que tenemos un sistema en el que separamos las constricciones de primera clase
de las de segunda clase, tal y como lo hicimos en (2.46), y denotemos a las constricciones de segunda
2.1 Formalismo hamiltoniano para teoŕıas de norma 21
clase como χα. Tomemos ahora un par de funciones arbitrarias F y G sobre el espacio fase. Entonces,
el paréntesis de Dirac se define como
{F,G}D := {F,G} − {F, χα}C′αβ{χβ , G} (2.51)
en donde C′αβ denota a la inversa de la matriz C′αβ que contiene a todas las constricciones de
segunda clase de nuestro sistema.
Al usar el paréntesis de Dirac, uno puede imponer a las constricciones de segunda clase de
manera fuerte incluso antes de evaluar al paréntesis de Dirac. También se puede probar que las
ecuaciones de movimiento generadas por este, son equivalentes a las que uno obtiene mediante el
paréntesis de Poisson
Ḟ ≈ {F,HT }D ≈ {F,HT } (2.52)
2.1.13. Fijación de la norma
Como ya vimos, la libertad de norma, que es resultado de la presencia de constricciones de
primera clase en un sistema f́ısico, implica que hay más de un conjunto de variables canónicas que
corresponden a un estado f́ısico determinado. Por tanto, resulta deseable que uno pueda eliminar
en la práctica a estas ambigüedades imponiendo más condiciones en las variables canónicas, de
manera que se tenga una correspondencia uno a uno entre el estado f́ısico y el valor de un conjunto
de variables canónicas independientes. A estas condiciones extra que les podemos imponer a las
variables canónicas las llamaremos condiciones canónicas de norma. Estas no son consecuencia de
la teoŕıa, sino que son ecuaciones impuestas ad hoc para evitar contar múltiples veces un mismo
estado f́ısico.
Ya que solo queremos eliminar de la teoŕıa a los elementos arbitrarios, no observables, debemos
de tener cuidado con que las condiciones de norma que impongamos no afecten a las propieda-
des observables que son invariantes de norma. Existen dos propiedades que cualquier conjunto de
condiciones de norma
Cb(qi, pk) ≈ 0 (2.53)
debe de cumplir para considerar que estas fijan la norma de manera correcta o satisfactoria:
a) La norma seleccionada debe ser accesible. Esto quiere decir que dado cualquier conjunto de
variables canónicas, debe existir una transformación de norma que mapee este conjunto al
conjunto de variables canónicas que satisfacen (2.53). Esta transformación debe ser obtenida
a partir de la iteración de las transformaciones infinitesimales δva{F, γa}, descritas en (2.49).
Esto asegura que las condiciones de norma no afecten a las propiedades observables. Como el
número de parámetros independientes δva es igual al número de constricciones independientes
de primera clase, concluimos que el número de condiciones de norma no puede ser mayor a
este número .
b) Las condiciones de norma (2.53) deben de fijar completamente la norma. Esto significa que
la única transformación de norma que debe permanecer es la que preserve a las condiciones
de norma Cb. En otras palabras, la ecuación∑
a
δva{Cb, γa} ≈ 0 (2.54)
debe implicar
δva ≈ 0 (2.55)
Lo anterior se cumple solo si el número de ecuaciones independientes es igual o mayor al
número de funciones δva.
22 2. Cuantización de teoŕıas de norma
Si consideramos simultáneamente las implicaciones que se dan de las propiedades a) y b), lle-
gamos a la conclusión de que el número de condiciones de norma independientes debe ser igual al
número de constricciones independientes de primera clase. De esta manera llegamos a que la matriz
{Cb, γa} corresponde a una matriz cuadrada. En este caso, para que (2.54) implique (2.55), esta
matriz debe ser invertible, es decir,
det |{Cb, γa}| 6= 0 (2.56)
pero esta condición nos dice que el conjunto de constricciones Cb y φa forma un conjunto de
constricciones de segunda clase. Entonces, uno puede ver que después de que se fija la norma, no
queda ninguna constricción de primera clase. Esto resulta ser bastante razonable, ya que si quedara
alguna constricción de primera clase, uno podŕıa tener aún cierta libertad de norma generada por
dicha constricción.
Después de fijar la norma, uno puede pasar a implementar el paréntesis de Dirac para aśı
tener una teoŕıa libre de constricciones en el sentido de que ahora las constricciones pueden ser
consideradas como identidades que expresan ciertas variables dinámicas en términos de otras.
A pesar de que las condiciones de norma (2.53) se cumplen localmente, esto no implica que nece-
sariamente se deban cumplir de manera global. La geometŕıa de la superficie de constricción puede
ser tal que impida la existencia de condiciones de norma globales. En la literatura generalmente se
refiere a este problema como la ambigüedad de Gribov. Debido a este problema, resulta importante
no perder de vista a las teoŕıas con constricciones de primera clase que no fijan la norma.
2.1.14. Ejemplo de un sistema hamiltoniano con constricciones
Consideremos la acción que describe el movimiento de una part́ıcula relativista de masa m en
el espacio de Minkowski, desde un sistema de referencia inercial con coordenadas xµ = (t, xi)1
S[xi(t)] = −m
∫
dt
√
1− dx
i(t)
dt
dxi(t)
dt
(2.57)
Esta descripción es correcta, sin embargo, no es obvia la invariancia ante transformaciones de
Lorentz [29]. Resulta útil entonces una descripción en donde esta invariancia se mantenga de manera
expĺıcita. Esto puede ser logrado si introducimos variables dinámicas adicionales proporcionadas
por simetŕıas de norma, de manera que uno recupere la equivalencia con la descripción original.
Podemos hacer uso de un parámetro arbitrario τ para etiquetar las posiciones sobre una ĺınea
de mundo descrita en el espacio-tiempo por medio de las funciones xµ(τ), de manera que ponemos
a un mismo nivel a la coordenada temporal x0 con respecto a las coordenaddas espaciales xi, [30].
Utilizando estas variables dinámicas, uno ve que la acción toma la forma
S[xµ(τ)] = −m
∫
dτ
√
ηµν ẋµẋν (2.58)
en donde denotamos ẋµ = dxµ/dτ y utilizamos ηµν = diag(−1,+1,+1,+1). Vemos que esta acción
posee de manifiesto