Metodo-Monte-Carlo-aplicado-en-la-valuacion-de-opciones

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
 DE MÉXICO 
 
 FACULTAD DE CIENCIAS 
 
 
MÉTODO MONTE CARLO APLICADO EN LA 
VALUACIÓN DE OPCIONES 
 
 
T E S I S 
 
 QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE: 
 ACTUARIA 
 
 
 P R E S E N T A : 
 XANAT LORENA GONZÁLEZ MÉNDEZ 
 
 
 
 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: 
M. EN C. 
JORGE HUMBERTO DEL CASTILLO SPINDOLA 
 
2011 
 
 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
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1. Datos del alumno 
González Méndez Xanat Lorena 
Teléfono: 55 24 16 68 
Universidad Nacional Autónoma de México 
Facultad de Ciencias 
Actuaría 
No. de cuenta: 401048151 
 
2. Datos del tutor 
M. en C.Jorge Humberto Del Castillo Spindola 
 
3. Datos del sinodal 1 
Dr. Pablo Padilla Longoria 
 
4. Datos del sinodal 2 
Dr. Ramsés Humberto Mena Chávez 
 
5. Datos del sinodal 3 
M. en A.P. María del Pilar Alonso Reyes 
 
6. Datos del sinodal 4 
M. en C. Agustín Román Aguilar 
 
7. Datos del trabajo escrito 
Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
120 p. 
2011 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
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Agradecimientos 
 
 
 
 
 
A mis padres, por su amor y dedicación a lo largo de todos estos años; pues 
gracias a ustedes soy quien soy. 
 
A mis hermanos, Victor y Sigrid, por su compañía y apoyo incondicional, por 
tantos buenos momentos para recordar. 
 
A mi familia abuelos, tíos y primos. En especial a mi abuela Linda. 
 
A Erika, mi gran amiga por tu amistad a lo largo de tantos años. 
 
A Jorge, por estar junto a mí con amor. 
 
A Humberto, por compartir tu experiencia y conocimientos, y por tu infinita 
paciencia conmigo. 
 
A mis sinodales, por su retroalimentación y sus valiosas aportaciones.. 
 
A la UNAM, por su grandeza y belleza. A la Facultad de Ciencias, por sus 
excelentes académicos y su alto nivel. 
 
Gracias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
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Índice 
Introducción .......................................................................................................................... 6 
I. Antecedentes .................................................................................................................... 7 
I.1 Derivados financieros .......................................................................................... 7 
1.2 Opciones ............................................................................................................. 8 
1.2.1 Moneyness ...................................................................................................... 10 
1.3 Arbitraje .............................................................................................................. 10 
I.4 Venta en corto ................................................................................................... 11 
I.5 Precios de activos .............................................................................................. 11 
I.6 Estados de la naturaleza .................................................................................. 11 
I.7 Retornos y payoffs ............................................................................................. 12 
I.8 Teorema de arbitraje. ....................................................................................... 13 
II. Dinámica de los precios ................................................................................................ 18 
II.1 Introducción ...................................................................................................... 18 
II.2 Procesos estocásticos ...................................................................................... 19 
II.3 Filtración ............................................................................................................. 22 
II.4 Hipótesis del mercado eficiente ..................................................................... 23 
II.5 Martingalas ........................................................................................................ 24 
II.6 Movimiento Browniano .................................................................................... 26 
II.7 Lema de Itô........................................................................................................ 28 
II.8 Proceso de precios ........................................................................................... 28 
III. Método Monte Carlo ................................................................................................... 31 
III.1 Orígenes ............................................................................................................ 31 
III.1.1 Convergencia casi segura .......................................................................... 32 
III.1.2 La ley fuerte de los grandes números de Kolmogorov ........................... 32 
III.1.3 Teorema del límite central ........................................................................... 32 
III.2 Simulación Monte Carlo................................................................................. 33 
III.2.1 Estimación del error en el método Monte Carlo ...................................... 38 
Ejemplo 1. Simulación Monte Carlo ..................................................................... 40 
Ejemplo 1. Black & Scholes para valuar opciones sobre un activo que no 
paga dividendos .................................................................................................... 45 
IV. Aplicaciones .................................................................................................................. 48 
IV.1 Aplicación del método Monte Carlo para valuar opciones tipo 
europeo sobre un activo que no paga dividendos. ........................................ 48 
IV.2 Aplicación del método Monte Carlo para valuar opciones de tipo 
europeo sobre un activo que sí paga dividendos. Opciones sobre divisas o 
foreign exchange options. .................................................................................... 50 
IV.2.1 Black & Scholes para valuar opciones sobre un activo que sí paga 
dividendos. Opciones FX o tipo de cambio. ...................................................... 52 
IV.3 Aplicación del método Monte Carlo para valuar opciones no-estándar 
o exóticas ................................................................................................................ 54 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
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IV.3.1 Opciones asiáticas ...................................................................................... 54 
IV.3.1.1 Opciones precio promedio o average price options. ........................ 55 
IV.3.1.2 Opciones precio de ejercicio promedio o average strike options. .. 58 
IV.3.2. Opciones lookback. ................................................................................... 60 
IV.4 Aplicación del método Monte Carlo en la valuación de estrategias de 
inversión con opciones .......................................................................................... 65 
IV.4.1. Combinaciones........................................................................................... 65 
IV.4.1.1. Straddle ..................................................................................................... 65 
IV.4.2. Spreads ......................................................................................................... 68 
IV.4.2.1. Butterfly spread ........................................................................................ 68 
IV.4.2.1.1 Superficie de volatilidad ....................................................................... 70 
IV.4.2.2. Bull spread ................................................................................................. 73 
IV.4.2.3. Bear spread ............................................................................................... 78 
IV.4.3. Risk reversal .................................................................................................. 82 
Conclusiones ....................................................................................................................... 87 
Tablas ................................................................................................................................... 89 
Anexos .................................................................................................................................. 92 
Bibliografía ......................................................................................................................... 119 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
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Introducción 
 
En el presente trabajo se utilizará el método Monte Carlo para valuar instrumentos 
financieros derivados como: opciones tipo europeo también conocidas como 
plain vanilla, opciones sobre divisas, opciones exóticas y estrategias de inversión 
que involucran opciones. 
El objetivo de la tesis es mostrar que la simulación Monte Carlo es un método 
numérico de fácil implementación para la valuación de opciones, que resulta de 
gran utilidad para valuar instrumentos en los que el valor depende de la 
trayectoria seguida por el activo subyacente. 
Es importante mencionar que es necesario comprender el marco teórico trás la 
simulación así como las características del instrumento que será valuado para 
obtener una buena estimación de su valor. 
 
En el primer capítulo se define a las opciones y se revisan conceptos importantes 
en la valuación de instrumentos financieros derivados entre los que se encuentra 
el teorema de arbitraje. En el segundo capítulo, Dinámica de los precios, se 
proporciona el marco teórico del comportamiento de los precios, asi como 
algunas definiciones que se utilizaran para modelar la dinámica del precio. En el 
capítulo III Método Monte Carlo, se estudian los principales supuestos detrás de la 
simulación y se explica cómo implementar el método Monte Carlo para obtener 
una buena estimación del valor de una opción de tipo europeo sobre un activo 
que no paga dividendos. En el último capítulo, se muestran más de diez 
aplicaciones diferentes de la simulación Monte Carlo en la valuación de 
opciones, validando la precisión del método al comparar el resultado con el de 
fórmulas analíticas disponibles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
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I. Antecedentes 
 
En este capítulo se define a los productos financieros derivados prestando 
especial atención a las opciones y sus características. Se revisan conceptos 
importantes en la valuación de derivados entre los que se encuentra el teorema 
de arbitraje. 
Para la elaboración de este capítulo la bibliografía consultada es: Options, Futures 
and Other Derivatives de J.C. Hull, An Introduction to the Mathematics of Financial 
Derivatives de S. N. Neftci e Investment Science de D.G. Luenberger. 
 
I.1 Derivados financieros 
Los productos derivados surgieron como instrumentos de cobertura ante 
fluctuaciones de precio en productos agroindustriales (commodities), en 
condiciones de elevada volatilidad. 
 
Un contrato financiero es un instrumento derivado si su valor en la fecha de 
vencimiento o payoff es determinado exactamente por los precios de mercado 
de otro activo (activo subyacente) en la fecha de vencimiento. 
 
La principal característica de los derivados financieros es que su valor depende 
(deriva) del valor de otra variable, conocida como variable subyacente. 
 
Al ser instrumentos de cobertura de riesgos, los derivados financieros permiten 
eliminar la variabilidad de flujos de efectivo, ante cambios en los precios de los 
subyacentes. 
 
Los activos subyacentes de un derivado pueden ser: 
 
• Títulos representativos de capital o de deuda (acciones); 
• Tasas de interés; 
• Índices (IPC, S&P, Dow Jones, etc.); 
• Commodities (metales: oro, plata; granos, carne, petróleo entre otros) 
• Otros instrumentos financieros. 
 
Los subyacentes más utilizados para la emisión de contratos derivados son tasas 
de interés, índices accionarios, acciones individuales y divisas. 
 
Los principales derivados financieros son: 
 
1. Forwards 
2. Futuros 
3. Swaps 
4. Opciones 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
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1.2 Opciones 
La opción es un contrato estandarizado, en el cual el comprador, paga una 
prima y adquiere el derecho pero no la obligación, de comprar (call) o vender 
(put) un activo subyacente a un precio pactado en una fecha futura. 
 
• Una opción Call otorga el derecho, más no la obligación, de comprar en 
una fecha futura el activo subyacente a un precio específico; 
 
• Una opción Put da el derecho más no la obligación de vender el activo 
subyacente a un precio específico, en una fecha determinada. 
 
Dependiendo de la fecha en que una opción puede ejercerse, hay dos tipos de 
opciones: 
 
1. Opciones tipo americano 
2. Opciones tipo europeo 
 
Las opciones americanas pueden ejercerse en cualquier momento antes de la 
fecha de vencimiento, mientras que las opciones europeas sólo pueden ejercerse 
en la fecha de vencimiento. 
 
Al precio de compra o de venta especificado en el contrato se le conoce como 
precio de ejercicio o precio strike que denotaremos por K ; a la fecha 
especificada en el contrato se le conoce como fecha de vencimiento, que 
denotaremos por T ; y el precio del activo subyacente al tiempo T se denota por 
TS . 
 
Las opciones se negocian tanto en mercados regulados como en mercados 
abiertos o over-the-counter (OTC)1. Una opción da al tenedor de la misma el 
derecho de comprar o vender, sin embargo, el tenedor no tiene que ejercer este 
derecho. Esta característica, distingue a las opciones de instrumentos como 
forwards y futuros, donde el tenedor si está obligado a comprar o vender el activo 
subyacente. Por lo anterior, participar en un contrato forward o un contrato de 
futuros no cuesta nada mientras que, adquirir una opción si tiene un costo, 
conocido como prima o precio. 
 
La prima es el precio que el comprador de una opción (call o put) paga al 
vendedor, a cambio del derecho (a comprar o vender el subyacente en las 
condiciones preestablecidas, respectivamente) derivado del contrato de opción. 
A cambio de la prima, el vendedor de una opción put está obligado a comprar 
el activo al comprador si éste ejerce su opción. De forma simétrica, el comprador 
de una put tendría el derecho (en caso de ejercer la opción) a vender el 
subyacente en las condiciones estipuladas. En el caso de una call, el comprador 
 
1 En 1848 se funda el Chicago Board of Trade (CBOT), seguido por el mercado de futuros Chicago Mercantile 
Exchange (CME) fundado en 1919 y el Chicago Board Options Exchange (CBOE) desde 1973. Hoy en día el, en 
muchos mercados del mundo se negocian tanto futuros como opciones. 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 9tiene el derecho a comprar el subyacente a cambio del pago de una prima y 
viceversa para el vendedor de una call. El vendedor de la opción siempre cobra 
la prima, con independencia de que se ejerza o no la opción. 
El valor en la fecha de vencimiento o payoff de una opción call está dado por 
 
( ). 0,KSmáx T − (1) 
 
Y el valor en la fecha de vencimiento o payoff de una opción put es 
 
( ) .0,SKmáx T − (2) 
 
En una opción siempre hay dos partes, por un lado está el inversionista que toma 
la posición larga (el que compra la opción) y por el otro el inversionista que toma 
la posición corta (el que vendió o suscribió la opción). 
 
Entonces, en las opciones se tienen cuatro posiciones distintas: 
 
1. Una posición larga en una opción call; 
2. Una posición larga en una opción put; 
3. Una posición corta en una opción call; 
4. Una posición corta en una opción put. 
 
Figura 1. Payoffs de posiciones en opciones europeas: (a) largo en call, (b) corto en call 
(c) largo en put, (d) corto en put. Precio de ejercicio K ; precio del activo en la fecha de 
vencimiento TS 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
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Sabemos que el valor en la fecha de vencimiento o payoff para el tenedor de 
una posición larga en una opción put europea es 
 
( ). 0,SKmáx T− 
 
Entonces, el valor en la fecha de vencimiento o payoff de una posición corta en 
una opción put europea es 
( ) ( ). K, 0Smin, 0SKmáx TT −=−− (3) 
 
La figura 1 muestra el comportamiento de las ganancias (o pérdidas) en 
diferentes posiciones en opciones. 
 
1.2.1 Moneyness 
Los flujos de caja que espera recibir el comprador de una opción dependen de la 
relación existente entre el precio de ejercicio K y el precio subyacente S , 
comúnmente llamada moneyness. 
 
Una opción puede estar in the money (dentro del dinero), at the money (en el 
dinero), o out of the money (fuera del dinero). Una opción in the money (ITM) le 
dará al tenedor de la opción un flujo de efectivo positivo si ésta se ejerce de 
inmediato. De forma similar, una opción at the money (ATM) genera un flujo de 
efectivo igual a cero si se ejerce inmediatamente, y una opción out of the money 
(OTM) genera un flujo de efectivo negativo si se ejerce de inmediato. 
 
Si S es el precio del activo subyacente y K es el precio strike, el comprador de 
una opción call está in the money, cuando KS > , at the money cuando KS = , y 
out of the money cuando KS < . 
 
Una opción put está in the money cuando KS < , at the money 
cuando KS = , y out of the money cuando KS > . 
 
El comprador de la opción tendrá un flujo de efectivo positivo siempre que 
la opción esté in the money (ITM) al vencimiento, mientras que no tendrá pérdidas 
en caso de que la opción esté out of the money (OTM) al vencimiento. Si el precio 
del subyacente es igual al precio de ejercicio al vencimiento, el comprador se 
encuentra at the money (ATM) y será indiferente entre ejercerla o no2. Una opción 
será ejercida cuando esté in the money. 
 
1.3 Arbitraje 
Algunos métodos de fijación de precios de derivados utilizan el concepto de 
arbitraje. En su forma más simple, arbitraje significa tomar posiciones simultáneas 
en distintos activos de tal forma que uno garantice una ganancia sin riesgo mayor 
 
2 En este caso no se considera el valor de la prima pagada al momento de realizar la compra de la opción. Si se 
incluye el valor de la prima C, la posición ITM de una opción call al vencimiento se presentará cuando K < ST - C. 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
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al retorno sin riesgo dado por la tasa de interés libre de riesgo. Si estas ganancias 
existen, entonces se dice que hay oportunidades de arbitraje. Este concepto es 
crucial para obtener una definición practica de un ‘precio justo’ para un 
instrumento financiero. 
 
Se tiene que el precio de un instrumento financiero es ‘justo’, o que el activo esta 
correctamente valuado si no hay oportunidades de arbitraje a ese precio. Los 
precios libres de arbitraje son utilizados como benchmarks, desviaciones de éstos 
indican oportunidades de arbitraje. 
 
I.4 Venta en corto 
Algunas estrategias de arbitraje involucran la venta en corto o short selling. Este 
término simplemente se refiere a vender un activo que no se posee (shorting). Lo 
anterior es posible para algunos pero no para todos los activos. 
Se ilustrará el concepto de venta en corto con un ejemplo. Suponga que un 
inversionista le pide a un broker vender 500 acciones de CEMEX3. El broker llevará 
a cabo las instrucciones tomando prestadas las acciones de otro cliente y 
vendiéndolas en el mercado del modo habitual. El inversionista puede mantener 
la posición corta por el tiempo que desee, siempre que haya acciones que 
pueda tomar prestadas. En algún momento, no obstante, el inversionista cerrará 
la posición comprando 500 acciones de CEMEX. Las cuales serán reemplazadas 
en la cuenta del cliente de quien se tomaron prestadas. El inversionista genera 
ganancias si el precio de la acción baja y genera pérdidas si el precio sube. 
 
I.5 Precios de activos 
Instrumentos como opciones, futuros, forwards, y acciones serán representadas 
con el siguiente vector denotado por tS . Esta notación permite representar todos 
los instrumentos en un mercado financiero bajo un solo símbolo: 
 
 ( ) ( )( ) , 
T
N1t tS,...,tSS = (4)
 
donde T denota transpuesto. 
 
I.6 Estados de la naturaleza 
W denota el vector de posibles estados de la naturaleza, 
 
 ( ) , 
T
K1 ,...,ωω=W (5) 
donde cada iω representa un resultado distinto que puede ocurrir. 
 
3 CEMEX cotiza sus acciones en la Bolsa Mexicana de Valores en forma de CPOs, y en la Bolsa de Nueva York 
(NYSE) en forma de ADRs. Un Certificado de Participación Ordinaria, CPO, son títulos representativos del 
derecho provisional sobre los rendimientos y otros beneficios de títulos o bienes integrados en un fideicomiso 
irrevocable. Un ADR es un titulo negociable en los Estados Unidos y que representa la tenencia de acciones en 
compañías fuera de los Estados Unidos. Los ADRs se cotizan y liquidan en dólares en los mercados financieros de 
los Estados Unidos. Un ADR de CEMEX representa 10 CPOs. 
http://es.mimi.hu/economia/rendimientos.html
http://es.mimi.hu/economia/fideicomiso.html
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
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Los estados son mutuamente excluyentes y al menos uno de ellos ocurre con 
seguridad. 
 
Es importante mencionar a los estados de la naturaleza pues en diferentes 
estados, los retornos que dan los instrumentos financieros son diferentes4. 
 
I.7 Retornos y payoffs 
ijd denota lo que paga una unidad del instrumento i en el estado de la 
naturaleza j. Obteniendo la siguiente matriz para N activos bajo consideración: 
 
 
.
dd
dd
D
NK1N
K111
 










=
L
MMM
L
 (6) 
 
Hay dos formas distintas de visualizar esta matriz. Puede verse como si cada 
renglón de la matriz D representa los payoffs en distintos estados de la naturaleza 
de una unidad de un instrumento dado. A la inversa, la matriz D puede 
interpretarse por columnas, donde cada una representa los payoffs de distintos 
instrumentos en un estado de la naturaleza fijo. 
 
Si los precios de los activos son distintos de cero, entonces se puede dividir el 
 ésimoi − renglón de D por el correspondiente ( )tSi y obtener los retornos brutos 
en distintos estados de la naturaleza. 
 
Cuando los payoffs dependan del tiempo la matriz D tendrá un subíndice t . 
 
Si se supone que el tiempo consiste en ‘hoy’ y un ‘próximo periodo’ y que estos 
dos periodos están separados por un intervalo de longitud ∆ 5. Considere a un 
inversionistainteresado sólo en los siguientes tres activos: 
 
• Un activo libre de riesgo cuyo retorno bruto hasta el próximo periodo es 
( )∆+ r1 . Se dice que el retorno es libre de riesgo pues independientemente 
del estado de la naturaleza que ocurra el retorno es constante. 
 
• Un activo subyacente con precio ( )tS . Suponga que durante el intervalo 
∆ , ( )tS solo puede tomar uno de dos posibles valores6. 
 
• El tercero es un instrumento derivado, una opción call sobre este activo 
con prima o precio ( )tC y precio de ejercicio K . La opción expira en el 
‘próximo periodo’. Dado que el activo tiene dos valores posibles, la 
opción call podrá tener dos valores también. 
 
4 Se supone que K, el número de estados, es finito. 
5 ∆ representa un intervalo pequeño pero no infinitesimal, ∆ en años. 
6 ( )tS es riesgoso pues sus payoffs son diferentes en cada estado de la naturaleza. 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
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Se puede resumir esta información usando la notación de la sección 1.5, 
obteniendo el siguiente vector de precios: 
 
 ( ) ( ) ( )( ) , Tt tC,tS,tBS = (7) 
 
donde ( )tB es un préstamo libre de riesgo y el índice t indica el tiempo para el 
que estos precios aplican. 
 
Los payoffs serán agrupados en una matriz tD . Tenemos tres activos por lo tanto la 
matriz tD tendrá tres renglones; y al haber dos estados de la naturaleza, la matriz 
tendrá dos columnas. 
 
El préstamo ( )tB es libre de riesgo, por consiguiente su valor en la fecha de 
vencimiento o payoff será el mismo sin importar el estado de la naturaleza. El 
activo ( )tS es riesgoso y su valor puede subir a ( )∆+tS1 o bajar a ( )∆+tS2 . Y 
finalmente, el valor de la opción ( )tC cambiará de acuerdo a los movimientos 
que tenga el activo subyacente ( )tS . 
 
Entonces se tiene que tD está dada por: 
 
 
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
, 










∆+
∆+
∆+
∆+
∆+
∆+
=
tC
tS
tBr1
tC
tS
tBr1
D
2
2
1
1t (8) 
 
donde r es la tasa de retorno libre de riesgo. 
 
Simplificando aún más, como el monto que se presta o se pide prestado (sin 
riesgo) es seleccionado por el inversionista, se considera que 
 
( ) . 1tB = 
 
Y en este ejemplo en particular también se considera que 
 
. 1=∆ 
 
I.8 Teorema de arbitraje. 
 
Dados tS , tD definidos por (7) y (8), y que los dos estados tienen 
probabilidades de ocurrencia positiva, se tiene que (Neftci, 2000): 
 
1) Si se pueden encontrar 1ψ y 2ψ , constantes positivas, tales que los precios 
de los activos satisfacen 
 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
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 ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
, 
1
 





ψ
ψ










+
+
+
+
+
+
=










2
1
2
2
1
1
1tC
1tS
r
1tC
1tS
r1
tC
tS
1
 (9) 
 
entonces no hay posibilidades de arbitraje. 
 
2) Si no hay oportunidades de arbitraje, entonces se pueden encontrar 1ψ y 
2ψ constantes positivas, que satisfacen (9). 
 
La relación (9) es llamada representación. ( )1tS1 + y ( )1tS2 + son “posibles” valores 
futuros del activo subyacente y sólo uno de ellos, el que corresponda al estado 
que se realice, será observable. 
 
¿Qué representan las constantes 1ψ y 2ψ ? De la segunda ecuación de la 
representación, si un instrumento paga 1 en el estado uno, y 0 en el estado 2, 
entonces 
 ( ) ( ) . 11tS ψ= (10) 
 
Lo cual significa que un inversionista está dispuesto a pagar 1ψ por una ‘póliza de 
seguros’ que ofrece una unidad de cuenta en el estado uno y nada en el estado 
dos. Análogamente, 2ψ indica cuánto están dispuestos a pagar los inversionistas 
por una ‘póliza de seguro’ que paga uno en el estado dos y nada en el estado 
uno. Es claro que gastando 21 ψ+ψ , uno puede garantizar una unidad de cuenta 
en el futuro, sin importar el estado de la naturaleza que ocurra. Con esta 
representación los 2,1i,i =ψ son llamados precios de estado. 
 
El teorema de arbitraje provee un método general para valuar instrumentos 
derivados. Considere la representación: 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )






ψ
ψ










+
+
+
+
+
+
=










2
1
2
2
1
1
1tC
1tS
r
1tC
1tS
r1
tC
tS
1 1
 
 
(11) 
 
 
La primera ecuación de este sistema es 
 
 ( ) ( ) 21 r1r11 ψ++ψ+= . (12) 
 
Se define 
 
 
( )
( ) 22
11
r1q
r1q
ψ+=
ψ+=
 (13) 
Dado que los precios de estado son positivos y de (12) se tiene que 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
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. 1q0
1qq
i
21
≤<
=+
 
 
En consecuencia, las iq pueden ser interpretadas como probabilidades 
asociadas con los dos estados bajo consideración, es importante señalar que las 
probabilidades dadas por (13) son, en general, diferentes de las probabilidades 
de ocurrencia de los dos estados de la naturaleza. Comúnmente { }21 q,q , se 
conocen como probabilidades sintéticas de riesgo ajustado o probabilidades de 
riesgo neutral. 
 
Entonces, las probabilidades de riesgo neutral existen si no hay oportunidades de 
arbitraje. En otras palabras, si no hay activos mal valuados, se tiene garantizado el 
encontrar { }21 ,ψψ constantes positivas, las cuales al multiplicarlas por el retorno 
bruto sin riesgo r1+ , garantizan la existencia de { }21 q,q . 
 
Considere de nuevo el sistema (9) pero escrito en forma de ecuaciones: 
 
 ( ) ( ) 21 r1r11 ψ++ψ+= (14) 
 ( ) ( ) ( )1tS1tStS 2211 +ψ++ψ= (15) 
 ( ) ( ) ( ). 1tC1tCtC 2211 +ψ++ψ= (16) 
 
Multiplicando el lado derecho de (15) y (16) por 
 
 . 
r1
r1
+
+ (17) 
 
Se obtiene 
 
 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1tSr11tSr1
r1
1
tS 2211 +ψ+++ψ++
= (18) 
 
 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]. 1tCr11tCr1
r1
1
tC 2211 +ψ+++ψ++
= (19) 
 
Pero, sustituyendo ( ) 2,1i,r1 i =ψ+ por las respectivas 2,1i,qi = se tiene 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1tSq1tSqr1
1
tS 2211 ++++
= (20) 
 
 ( ) ( )
( ) ( )[ ]. 1tCq1tCq
r1
1
tC 2211 ++++
= (21) 
Ahora veamos cómo interpretar estas expresiones. La expresión del lado derecho 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 16 
 
multiplica el termino en corchetes por ( )r11 + , que es el factor de descuento libre 
de riesgo para un periodo. Por otro lado, el término dentro de los corchetes 
puede ser interpretado como una especie de valor esperado, pues es la suma de 
posibles valores de ( )tS y ( )tC multiplicados por las probabilidades 21 q,q . 
 
Sin embargo, las igualdades (20) y (21) no representan las esperanzas ‘reales’. 
Pero mientras no haya oportunidades de arbitraje, estas igualdades son válidas. 
Por consiguiente, los términos en corchetes son esperanzas calculadas usando las 
probabilidades de riesgo neutral. 
 
Con esta interpretación de 21 q,q , se puede concluir que los precios actuales de 
todos los activos bajo consideración son iguales a sus payoffs o valores esperados 
descontados (traídos a valor presente). El descuento es hecho utilizando la tasa 
de interés libre de riesgo7. 
 
Para enfatizar la importancia de las probabilidades de riesgo ajustado, considere 
el casoen el que se utilizan las probabilidades de ocurrencia verdaderas de los 
estados 1p y 2p . 
 
En primer lugar, se obtendrían los valores esperados ‘reales’8 usando 1p y 2p : 
 
 ( )[ ] ( ) ( )[ ]1tSp1tSp1tSE 2211p +++=+ (22) 
 ( )[ ] ( ) ( )[ ]. 1tCp1tCp1tCE 2211p +++=+ (23) 
 
Asuma que 
 
 ( ) ( ) ( )[ ]1tSEr1
1
tS p ++
= (24) 
 ( ) ( )
( )[ ]. 1tCE
r1
1
tC p ++
= (25) 
 
Suponiendo que los precios de los activos son diferentes de cero, se obtiene 
 
 ( )
( )[ ]
( )tS
1tSE
r1 p
+
=+ (26) 
 ( )
( )[ ]
( ) . tC
1tCE
r1 p
+
=+ (27) 
 
Pero esto significa que los retornos esperados ‘reales’ bajo { }21 p,p (las 
probabilidades verdaderas de los estados) de los activos riesgosos, son iguales a 
un retorno sin riesgo. Esto es una contradicción, ya que en general los activos 
 
7 También podemos utilizar el subíndice RN, que refiere a Riesgo Neutral. 
8 El subíndice p refiere a esperanza bajo la medida de probabilidad { }.p,p 21 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 17 
 
riesgosos demandarán un premio de riesgo positivo. Si no hay tal compensación 
para el riesgo, ningún inversionista los conservaría. 
 
Entonces para activos riesgos generalmente se tiene 
 ( )( )
( )[ ]
( )tS
1tSE
tSr1 p
+
=++ para riesgo de premio (28) 
 ( )( )
( )[ ]
( ) . para riesgo de premio tC
1tCE
tCr1 p
+
=++ (29) 
 
En consecuencia, las siguientes desigualdades se cumplen para activos riesgosos 
en general: 
 
 ( ) ( ) ( )[ ]1tSEr1
1
tS p ++
< (30) 
 ( ) ( )
( )[ ]. 1tCE
r1
1
tC p ++
< (31) 
 
He aquí la importancia del teorema de arbitraje para valuar activos. Dado que no 
arbitraje implica la existencia de constantes positivas 21 ,ψψ , entonces a partir de 
ellas siempre se pueden obtener las probabilidades de riesgo ajustado 21 q,q , y 
trabajar con esperanzas ‘sintéticas’ que satisfagan 
 
 ( ) ( ) ( )[ ]1tSEr1
1
tS q ++
= (32) 
 
 ( ) ( )
( )[ ]. 
 
1tCE
r1
1
tC q ++
= (33) 
 
Resulta conveniente usar estas ecuaciones pues tienen incluida la prima de 
riesgo. Entonces, no es necesario calcular primas de riesgo cuando se usan 
esperanzas sintéticas y el descuento se hace utilizando la tasa libre de riesgo 
(Neftci, 2000). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 18 
 
 
 II. Dinámica de los precios 
 
El presente capítulo contiene el marco teórico que ayudará a comprender el 
comportamiento aleatorio de los precios en los mercados. Se presentan 
conceptos útiles para modelar el comportamiento de los precios de los 
subyacentes de opciones como: proceso estocático, la hipótesis de eficiencia en 
los mercados, martingalas y movimiento Browniano. Al finalizar el capítulo se 
contará con un modelo para el proceso de precios de activos. 
La bibliografía consultada para la elaboración de este capítulo es: Mathematics 
of Financial Markets de R.J. Elliott, Elementary Stochastic Calculus with Finance in 
View de T. Mikosch, The Mathematics of Financial Derivatives de P. Wilmott, 
Futures, Options and Other Derivatives de J. Hull, Stochastic Processes de S. Ross y 
An Introduction to the Mathematics of Financial Derivatives de S.N. Neftci. 
 
II.1 Introducción 
En todos los aspectos de la vida se debe considerar un futuro incierto. En el 
mundo de las finanzas, frecuentemente se quiere cuantificar la incertidumbre del 
futuro, o al menos el impacto financiero de las posibles evoluciones del universo. 
 
Al hablar de la evolución de los precios en los mercados, la incertidumbre tiene un 
papel de suma importancia. La volatilidad e incertidumbre están presentes a 
diario en los mercados financieros, lo que hace necesario que inversionistas, 
empresarios, administradores de fondos, tesoreros corporativos y personas físicas 
consideren distintas alternativas para controlar y administrar eficientemente los 
riesgos a los cuales se encuentran expuestos, así como para optimizar el 
rendimiento de sus portafolios. 
 
Los derivados financieros ofrecen a los inversionistas mecanismos de cobertura de 
riesgos de gran utilidad. En la práctica un precio puede cambiar en cualquier 
instante, en otras palabras el precio sigue una trayectoria aleatoria a lo largo del 
tiempo. Por esta razón, se dice que el subyacente en las opciones es riesgoso; ya 
que su evolución es aleatoria. 
 
Si se grafica el comportamiento de los precios al cierre diarios del principal 
indicador del mercado accionario mexicano, el Índice de Precios y Cotizaciones 
(IPC), de enero de 2009 a julio de 2010 la gráfica generada es la siguiente: 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 19 
 
 
Fuente: Banco de México 
Figura 2. Precios al cierre diarios del Índice de Precios y Cotizaciones. 
 
 
El comportamiento observado en la figura 2 muestra la variación en el precio del 
índice en el tiempo; su valor cambia de manera impredecible. La volatilidad es 
una medida del grado de posible desviación del precio futuro del activo respecto 
de su media. Se dice que el precio de un activo es volátil, cuando su valor es muy 
cambiante en un intervalo de tiempo dado, o sea que de un momento a otro su 
valor puede aumentar o, de igual manera disminuir, independientemente de que 
el precio haya tenido alguna tendencia a la alza o a la baja en el pasado. 
 
En el caso particular de las opciones, no se conoce el valor que el activo 
subyacente tendrá el día de mañana o dentro de un mes. No obstante, la 
información histórica del valor del activo se encuentra disponible para ser 
analizada cuanto se quiera, aunque no pueda usarse para prever el siguiente 
movimiento que el activo subyacente tendrá, lo cual no significa que la 
información histórica del activo no diga nada. A partir del análisis del 
comportamiento histórico de un activo, se puede saber cuáles son los 
movimientos más probables que dicho activo puede tener, así como la media y 
la varianza de los mismos y, en general, cual es la posible distribución de los 
precios futuros. Todas estas cantidades deben determinarse mediante un análisis 
estadístico de los datos históricos. 
 
Por abruptos que sean los cambios en los precios, no es poco realista asegurar 
que éstos exhiben un comportamiento continuo. 
 
II.2 Procesos estocásticos 
Cualquier variable cuyo valor cambia de manera aleatoria a lo largo del tiempo 
se dice que sigue un proceso estocástico. En otras palabras: 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 20 
 
Un proceso estocástico modela fenómenos aleatorios que evolucionan con el 
tiempo. 
 
Los procesos estocásticos pueden ser clasificados en tiempo discreto y en tiempo 
continuo. El proceso estocástico de tiempo discreto es aquel en el cual el valor de 
la variable puede cambiar sólo en ciertos momentos fijos en el tiempo, i.e. ( )ωtX 
Ν∈t , mientras que en el proceso estocástico de tiempo continuo los cambios 
pueden ocurrir en cualquier momento, ( )ωtX [ )∞∈ 0,t , lo cual se asemeja más al 
comportamiento de losprecios en el mercado. 
 
Asimismo, los procesos estocásticos pueden ser de variable continua o de variable 
discreta; en los primeros, la variable subyacente puede tomar cualquier valor 
dentro de un cierto rango, contrariamente a los de variable discreta, donde sólo 
ciertos valores discretos son posibles. 
 
Por esta razón, se dice que el proceso estocástico X es una función de dos 
variables. 
 
Definición II.2 Un proceso estocástico X es una colección de variables 
aleatorias 
 
 ( ) ( )( ),,Tt,XTt,X tt Ω∈ω∈ω=∈ (34) 
 
definidas en un espacio Ω . 
 
El índice t de la variable aleatoria tX se refiere al tiempo y ω es un posible 
resultado de la variable aleatoria tX dentro del espacio Ω ; entonces se puede 
interpretar a ( )ωtX como una realización de dicha variable9. 
 
Para un instante fijo del tiempo t , X es una variable aleatoria: 
 
( ) Ω∈ωω= ,XX tt . 
 
Para un resultado fijo ,Ω∈ω X es una función del tiempo: 
 
( ) Tt,XX tt ∈ω= . 
 
A esta función se le conoce como una trayectoria del proceso X . Estos dos 
aspectos de un proceso estocástico se ilustran en la figura 3. 
 
9 ω representa un posible ‘resultado distinto’ que puede ocurrir, i.e. un estado de la naturaleza. 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 21 
 
0 20 40 60 80 100
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Partición de t
X
 
0 20 40 60 80 100
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Partición de t
X
 
Figura 3. Cinco trayectorias de un proceso estocástico [ ]).1,0t,X( t ∈ Arriba: cada 
trayectoria corresponde a una .Ω∈ω diferente. Abajo: los valores en las líneas verticales 
en 08.0,...,02.0t = visualizan las variables aleatorias 08.002.0 X,...,X ; éstas son resultado de la 
proyección de las trayectorias en la líneas verticales. 
 
 
El método Monte Carlo permitirá valuar opciones mediante la simulación de 
trayectorias aleatorias del precio del activo subyacente. 
 
Aunque en la práctica los precios de mercado no sean de variable continua, ni 
de tiempo continuo pues éstos se encuentran restringidos a valores discretos (e.g. 
múltiplos de 100) y los cambios sólo pueden observarse cuando los mercados 
estén abiertos (tiempo discreto); la variable continua y los procesos de tiempo 
continuo resultan ser muy útiles para efectos de análisis, debido a la facilidad que 
otorga el trabajar con distribuciones continuas (como una normal o una 
exponencial) y a partir de ellas obtener información sobre su densidad, 
momentos, cuantiles, etc. Por esta razón, en la presente tesis el parámetro tiempo 
podrá tomar valores tanto en un intervalo finito [ ]t,0T = como en intervalos 
infinitos [ )∞= ,0T y se denota al conjunto de parámetros temporales por .T 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 22 
 
En la vida real, es más común encontrar que la valuación de activos financieros 
se da en un marco de tiempo continuo. Se supone que 
 
[ )∞= ,0T . 
 
En tiempo continuo, los valores que un activo puede tomar no están limitados a 
un conjunto finito. Hay una infinidad no numerable de posibilidades y todo un 
continuo de estados de la naturaleza. 
 
El utilizar modelos de tiempo continuo también lleva a cambiar la forma en la que 
se descuenta (traemos a valor presente). Para el caso de un periodo el factor de 
descuento esta dado por ( ).r11 + Si t es continuo (multiperiodo), el factor de 
descuento estará dado por 
 
 ( )rTexp − . (35) 
 
Donde r es la tasa de interés compuesta continuamente. 
 
Se ha dicho que dado el constante cambio que exhiben los precios en los 
mercados, éstos tienen un comportamiento aleatorio y siguen un proceso 
estocástico. 
 
Entonces, se tiene el proceso (estocástico) de precios del subyacente 
 
 { } ( ){ },,Tt,STt,SS tt Ω∈ω∈ω=∈= (36) 
 
donde la variable aleatoria tS denota el valor del proceso al tiempo ( t en años). 
 
Para representar la historia o la información resumida del proceso de precios del 
activo subyacente hasta un momento dado del tiempo el concepto de filtración 
que se presenta a continuación es de gran utilidad. 
 
II.3 Filtración 
Sea ( )P,F,Ω un espacio de probabilidad. Una filtración tF en ( )P,F,Ω representa 
la historia de un proceso hasta el tiempo t . 
 
Definición II.3 Una filtración ( )Tt,t ∈= FF es una familia de sub-sigma algebras 
crecientes FFt ⊂ 
 
Donde F es: 
 
i) completa; es decir, cada conjunto vacío en F pertenece a 0F , así como 
a cualesquiera tF , y 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 23 
 
ii) continua por la derecha; es decir, stst FF >= I . 
 
La filtración tF se utilizará para representar la información obtenida de los precios 
en los mercados financieros hasta el tiempo t . 
 
Considere que el precio de mercado o precio spot el día de hoy ( 0t = ) en la 
Bolsa Mexicana de Valores de CEMEX.CPO es de 11.80 MXN, o sea 
( ) Ω∈ω=ω ,80.11S0 o 80.11S0 = , a un inversionista le interesa saber si el precio subirá 
o bajará (en caso de ser el tenedor de una opción sobre dichas acciones, esta 
información nos sería de mucha utilidad), para responder a esta interrogante se 
pueden hacer predicciones sobre el precio futuro de la acción. 
 
Suponiendo que los participantes en el mercado son racionales y que, como 
veremos a continuación, los mercados son eficientes, entonces la historia pasada 
del activo está completamente reflejada en el precio actual, y por lo tanto las 
predicciones no se verían afectadas por el precio que tuvieron las acciones de 
CEMEX hace una semana, un mes o un año; por lo cual, la información más 
relevante con la que contaríamos para realizar las predicciones sería que el 
precio de mercado de la acción el día de hoy es 11.80 10. 
 
II.4 Hipótesis del mercado eficiente 
La mayoría de los modelos de valuación de opciones están fundados en un 
sencillo modelo para los movimientos de los precios del activo, los cuales deben 
tener un movimiento aleatorio dada la Hipótesis del Mercado Eficiente. 
 
Hay muchas versiones de esta hipótesis, pero en general todas establecen lo 
siguiente: 
 
a) La historia pasada está completamente reflejada en el precio actual, el 
cual, no conserva ninguna información adicional; 
 
b) Los mercados responden de forma inmediata a cualquier información 
nueva sobre un activo. 
 
Entonces al modelar los precios de los activos básicamente se debe considerar la 
llegada de nueva información que pueda afectar al precio. 
 
El precio futuro de un activo sólo dependerá de su valor actual y no del pasado, 
es decir, el precio del activo no tiene memoria. La hipótesis del mercado 
eficiente establece que el precio presente de una acción refleja toda la 
información contenida en un registro de precios históricos. 
 
La competencia en el mercado es la que asegura que la eficiencia del mercado 
 
10 Las propiedades estadísticas de la historia del precio de la acción de CEMEX pueden resultar útiles para 
determinar las características del proceso estocástico seguido por la acción (e.g. su volatilidad). Sin embargo, la 
trayectoria particular seguida en el pasado por la misma es irrelevante. 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 24 
 
se mantenga. Hay muchos inversionistas observando de cerca el mercado, los 
cuales, al tratar de obtener una ganancia del mismo, coadyuvan a que los 
precios de mercado reflejen toda la información sobre los precios pasados. 
 
Si se supiera que la trayectoria del precio de la acción de CEMEX tendrá con una 
probabilidad del 75% incrementos subsecuentes, los inversionistas buscarían 
comprar dichas acciones tan pronto recibieran la noticia, y la demanda de lasmismas se incrementaría inmediatamente. Esto provocaría un incremento en el 
precio de la acción, eliminándose el efecto observado así como cualquier 
oportunidad de obtener un beneficio. Lo cual confirma que el mercado responde 
de forma inmediata a nueva información sobre un activo. 
 
II.5 Martingalas 
Suponga que { }tF es una filtración del espacio ( )F,Ω y { }tX es un proceso 
estocástico definido en ( )F,Ω con valores en ( )ε,Ε . Entonces, si el valor de tX 
está incluido en el conjunto de información o filtración tF para cada 0t ≥ , se 
dice que [ ]{ }T0,t,Xt ∈ es adaptado a [ ]{ }T0,t,t ∈ F . Esto quiere decir, que el valor de 
tX será conocido, dado el conjunto de información tF . 
 
Definición II.5.1 Suponga que ( )P,F,Ω es un espacio de probabilidad con una 
filtración { }tF , [ ]∞∈ ,0t . Un proceso estocástico adaptado con valores reales { }tX 
se dice que es una submartingala (respectivamente supermartingala) respecto a 
la filtración { }tF si: 
 
i) [ ] t,XE t ∀∞< 
ii) [ ] ttst XXE ≥+ F , ∀ 0s > (respectivamente [ ] ttst XXE ≤+ F ∀ 0s > ) 
 
Si [ ] ttst XXE =+ F , ∀ 0s > entonces se dice que { }tX es una martingala. 
 
En particular, [ ] [ ] .tXEXE 0t ∀= 
 
Nótese que una martingala es puramente un proceso aleatorio, en el sentido que 
dada la historia del proceso en un momento dado, el valor esperado del proceso 
en un momento posterior es sólo su valor actual11. Dicho de otra forma, las 
martingalas son variables aleatorias cuyas variaciones futuras son totalmente 
impredecibles dado el conjunto de información, por lo que el mejor pronóstico 
para el futuro es la última observación. 
 
De la definición anterior y de los resultados del teorema de arbitraje vistos al final 
de la sección 1.8, se concluye que los precios de los activos descontados con la 
tasa libre de riesgo serán (comúnmente) submartingalas bajo la medida de 
probabilidad de ocurrencia real de los estados de la naturaleza pero serán 
 
11 Las Martingalas pueden ser utilizadas para modelar las ganancias en un juego justo. 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 25 
 
martingalas bajo la medida de probabilidad de riesgo neutral. 
 
Entonces aplicando la teoría de martingalas, los valores de mercado ‘justos’ de 
los activos pueden obtenerse explotando la igualdad 
 
 
[ ],XEX tstqt F+= (37) 
donde 0s > y stX + está definida por 
 ( )
.S
r1
1
X stsst ++ +
=
 
(38) 
 
Aquí stS + es el precio del instrumento al tiempo st + , r es el retorno libre de riesgo 
y q es la probabilidad de riesgo neutral. Entonces, el proceso tS descontado es 
una martingala con respecto a la medida de probabilidad q y la filtración{ }tF . En 
general, el uso de probabilidades de riesgo neutral convierte a todos los precios 
descontados en martingalas. 
 
De acuerdo a esto, el valor esperado futuro del proceso al tiempo st + bajo la 
medida q y condicional en la historia hasta el tiempo t es meramente el valor del 
proceso al tiempo t . 
 
Esto significa que el proceso no tiene tendencia bajo q , no tiene sesgo hacia 
arriba o hacia abajo en su valor bajo el operador esperanza qE (o RNE ). 
 
Retomando el ejemplo de las acciones de CEMEX, si el proceso de precios es 
11.80 en algún punto, entonces su valor esperado condicional bajo q es 11.80 a 
partir de ahí. 
 
El ejemplo más importante de una martingala en tiempo continuo es el 
Movimiento Browniano. 
 
Pero ¿en qué sentido decimos que tenemos continuidad en un proceso? 
 
• En cualquier tiempo el valor puede cambiar y de un momento a otro. 
 
• Los valores tomados pueden ser expresados en fracciones arbitrariamente 
‘refinadas’. Cualquier número real puede ser tomado como valor. 
 
• El proceso cambia continuamente. El valor no puede saltar 
instantáneamente. Si el valor cambia de 1 a 1.05, éste debe haber pasado, 
inclusive muy rápidamente, por todos los valores intermedios. 
 
El movimiento Browniano es uno de los procesos estocásticos más útiles en la 
teoría de probabilidad aplicada. Desde su descubrimiento, ha sido utilizado en 
diversas áreas como en pruebas estadísticas de bondad de ajuste, análisis de 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 26 
 
nivel de precios del mercado accionario y mecánica cuántica. 
 
La siguiente figura muestra trayectorias del movimiento browniano 
0 200 400 600 800 1000 1200
-10
0
10
20
30
40
50
Partición de t, t∈ [0,1]
M
ov
im
ie
nt
o 
B
ro
w
ni
an
o
1 trayectoria
0 200 400 600 800 1000 1200
-60
-40
-20
0
20
40
60
Partición de t, t∈ [0,1]
M
ov
im
ie
nt
o 
B
ro
w
ni
an
o
5 trayectorias
 
0 200 400 600 800 1000 1200
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
Partición de t, t∈ [0,1]
M
ov
im
ie
nt
o 
B
ro
w
ni
an
o
20 trayectorias
0 200 400 600 800 1000 1200
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Partición de t, t∈ [0,1]
M
ov
im
ie
nt
o 
B
ro
w
ni
an
o
100 trayectorias
 
Figura 4.Trayectorias de un Movimiento Browniano en [0,1]. 
 
 
II.6 Movimiento Browniano 
Históricamente el movimiento browniano es asociado al análisis de procesos que 
evolucionan con el curso del tiempo de una manera tan desordenada que 
resulta difícil predecir su evolución, aún dentro de un intervalo de tiempo muy 
pequeño. El movimiento browniano juega un rol central en la teoría de los 
procesos aleatorios. 
 
Llamado así en honor al botánico inglés Robert Brown, quien en 1827 describió el 
movimiento de finas partículas orgánicas de polen en suspensión en un gas o un 
líquido. En 1905, Einstein propuso una fundamentación científica para el 
movimiento browniano. 
 
En 1900, Louis Bachelier, con su Théorie de la spéculation, utilizó el movimiento 
browniano para modelar la dinámica de los precios de las acciones en la bolsa 
parisína. Fue Bachelier, quien fundamentó el uso del movimiento browniano para 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 27 
 
caracterizar la dinámica de los precios de los activos financieros. 
 
En 1923, Norbert Wiener construye de manera formal “la función aleatoria” del 
movimiento browniano desarrollando un riguroso marco teórico para su 
aplicación; y en particular, estableció que las trayectorias son continuas. 
 
Definición II.6.1 El proceso estocástico ( )0t:BB t ≥= es un P –movimiento 
browniano (estándar) si y sólo si 
 
i ) 0B0 = 
i i ) tB es continua (c.s.) 
i i i ) ,0t >∀ ( )t,0N~Bt bajo P 
iv) El incremento )t,0(N~BB sts −+ bajo P y es independiente de sF , la 
σ–álgebra generada por jB sj≤ 
El movimiento browniano es un proceso con incrementos gaussianos 
independientes y estacionarios12. 
 
Un proceso tdB , tiene drift o tendencia igual a cero, lo cual significa que el valor 
esperado de tB en cualquier momento del futuro es igual al valor actual, con 
varianza igual a uno, y esto implica que la varianza del cambio en tB , en un 
intervalo de tiempo de longitud T , es igual a T . 
 
Se define el siguiente proceso para el cambio en ,x en términos de tdB como 
sigue: 
 dBbdtadx t += . (39) 
 
Donde a y b son constantes. Observe los dos componentes del lado derecho por 
separado. El término dta implica que x tiene una tasa de cambio esperada o 
tendencia de a por unidad de tiempo. Sin el término ,b dBt la ecuación es 
 
 , dtadx = (40) 
lo cual implica que 
 
 a
dt
dx
= . 
 
Integrando con respecto al tiempo, se tiene que 
 
 atxx 0 += (41) 
 
 
12 Sea ( )TtXX ,t ∈= un proceso estocástico y sea RT∈ un intervalo. Se dice que X tiene incrementos 
estacionarios si hshtst XXXX
d
++ −=− para toda Ts,t ∈ y h con .Ts,hht ∈++ 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 28 
 
Donde 0x es el valor de x al tiempo cero. En un periodo de tiempo de longitud T , 
el valor dex crece en una cantidad aT. 
 
El termino ,b dBt del lado derecho de la ecuación añade el ruido o la variabilidad 
a la trayectoria seguida por x. La cantidad de variabilidad o ruido es b veces un 
movimiento browniano. Como un movimiento browniano tiene desviación 
estándar de 1, se sigue que b veces un movimiento browniano tiene una 
desviación estándar igual a b. En algunos libros dicho proceso también es 
llamado proceso de Wiener generalizado 
 
II.7 Lema de Itô 
Sea tgdBfdtdy += con f y g funciones de la variable subyacente. La variable y , 
tiene tendencia f y una varianza de 2g . El lema de Itô muestra que ( )yhz = 
satisface 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) .gdByhdtgyh
2
1
fyh
dtgyh
2
1
dyyhdz
t
2
2
′+




 ′′+′=
′′+′=
 
 
(42) 
 
Entonces, z también sigue un proceso de Itô con media 
( ) ( ) 2gyh
2
1
fyh ′′+′ , 
y varianza 
( )( )2gyh′ . 
 
II.8 Proceso de precios 
Podría sugerirse que el proceso de precios de un activo tiene una tasa de 
tendencia esperada o drift y varianza constantes. 
Sin embargo, suponer una tasa de tendencia constante es inapropiado, el 
movimiento browniano tiene media cero, mientras que el precio de un activo 
crece normalmente a una tasa. Entonces a cada cambio debemos asociarle un 
retorno, definido como el cambio en el precio dividido por el valor original. Esta 
medida relativa de cambio es mejor indicador de su tamaño que cualquier 
medida absoluta. 
 
Suponga que al tiempo t el precio del activo es .S Considere un pequeño 
intervalo subsecuente de tiempo tδ , en el cual S cambia a SS δ+ , como se ilustra 
en la figura 5 (se utiliza la notación δ para un pequeño cambio en cualquier 
cantidad dentro de este intervalo de tiempo con la intención de considerarlo 
como un cambio infinitesimal). 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 29 
 
 
Figura 5. Caminata aleatoria discreta 
 
La manera más sencilla de modelar el retorno correspondiente del activo, SdS es 
descomponiéndolo en dos partes. Una, es un retorno predecible, determinista y 
anticipable, similar al retorno del dinero invertido a la tasa libre de riesgo, que 
aportará 
 ,dtµ (43) 
 
al retorno SdS , donde µ es una medida de la tasa de crecimiento promedio del 
precio del activo, también conocida como drift o tendencia. En modelos sencillos 
µ es una constante. En modelos más complejos µ puede ser una función de S y 
de t . 
 
Entonces, si S es el precio del activo al tiempo t , la tasa de crecimiento 
esperada en S debe ser Sµ para alguna constante µ . Esto significa que en un 
intervalo de tiempo pequeño, tδ , el crecimiento esperado en S es tSδµ . Cuando 
la volatilidad es cero, esto implica que 
 
 .tSS δµ=δ (44) 
 
Y en el límite cuando 0t →δ , 
,SdtdS µ= 
o 
 
.dt
S
dS
µ= 
 
Integrando entre el tiempo cero y T esta ecuación puede ser resuelta dando un 
crecimiento exponencial al valor del activo, es decir 
 
 ,eSS
µT
0T = (45) 
 
donde 0S y TS son el precio del activo al tiempo cero y al tiempo T , 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 30 
 
respectivamente. Entonces cuando 0σ= el precio del activo es totalmente 
determinístico. En otras palabras, cuando la varianza es igual a cero, el precio del 
activo crece a una tasa de interés compuesta continuamente de µ por unidad 
de tiempo. 
 
Sin embargo, en la práctica el precio del activo exhibe una volatilidad, por lo que 
la segunda contribución a SdS modelará el cambio aleatorio en el precio del 
activo subyacente en respuesta a efectos externos, como pueden ser noticias 
inesperadas y añade el término 
 tσdB (46) 
 
a SdS . Aquí, σ es la volatilidad, la cual mide la desviación estándar de los 
retornos y tdB es un movimiento browniano. 
 
Uniendo ambas contribuciones se obtiene la ecuación diferencial estocástica 
 
 ,dBdt
S
dS
tσ+µ= (47) 
 
que es la representación matemática de el modelo de precios de activos. 
 
El término (estocástico) tdB contiene la aleatoriedad, la cual es una 
característica del precio del activo. 
 
Otra forma de escribir tdB es 
 tdBt δφ= (48) 
 
donde φ es una muestra aleatoria de una distribución normal estándar con 
media cero y varianza uno. 
 
Al modelo de precios de la ecuación (47) se le conoce como movimiento 
browniano geométrico. La versión en tiempo discreto del modelo es 
tt
S
S
δσφ+µδ=
δ 
 o (49) 
tStSS δφσ+δµ=δ 
 
Donde Sδ es el cambio en el precio del activo S en un intervalo de tiempo 
pequeño tδ , y φ es una muestra aleatoria de una distribución normal estándar. El 
parámetro µ es la tasa de retorno esperada del precio del activo por unidad de 
tiempo, y σ es la volatilidad del precio del activo, ambos parámetros son 
constantes. 
 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 31 
 
 
III. Método Monte Carlo 
 
En este capítulo se introduce al método Monte Carlo revisando los principales 
supuestos trás la simulación como la ley fuerte de los grandes números y el 
teorema del límite central. Se explica como implementar la simulación para 
obtener una buena estimación del valor de una opción de tipo europeo. La 
precisión se determina al comparar el resultado con la conocida fórmula de Black 
& Scholes. 
La bibliografía consultada para elaborar el capítulo es: Monte Carlo methods in 
Finance de P. Jäckel y Options, Futures and Other Derivatives de J. Hull. 
 
III.1 Orígenes 
El método Monte Carlo tuvo su origen a finales de los años cuarenta, su creación 
está ligada a los matemáticos norteamericanos John von Neumann, Stanislav 
Ulam y Nicholas Metropolis13. 
 
La primera publicación que menciona al “Método Monte Carlo” como tal, es un 
artículo de N. Metropolis y S. Ulam publicado en 194914, donde los autores 
establecen que el método Monte Carlo permite evaluar esperanzas de funciones 
sobre ciertas variables sin conocer la distribución las mismas: todo lo que se 
necesita es una descripción del proceso que genera a estas variables. 
 
El método Monte Carlo permite simular cualquier proceso cuya marcha dependa 
de factores aleatorios. 
 
El nombre Monte Carlo, fue usado por sus creadores en alusión a una población 
del principado de Mónaco célebre por su casa de juego y al hecho de que la 
ruleta, es uno de los aparatos más sencillos para generar números aleatorios. 
Cabe mencionar, que algunos de los primeros matemáticos que contribuyeron al 
desarrollo de la estadística y la teoría de la probabilidad, lo hicieron en búsqueda 
de la riqueza en las mesas de apuesta. 
 
El método de Monte Carlo es un método numérico que permite resolver 
problemas matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias. 
 
A grandes rasgos, la estructura del método Monte Carlo es la siguiente: repetir el 
mismo proceso varias veces, registrar cada uno de los resultados individuales 
obtenidos, y resumir la totalidad de estos resultados mediante una aproximación 
que nos permitirá estimar el resultado final. 
 
 
13 S.M. Ulam and J. von Neumann, On combinations of stochastic and deterministic processes, Bulletin of the 
American Mathematical Society, 53(11): 1120, November 1947. 
14 N. Metropolis and S. Ulam. The Monte Carlo Method, Journal of the American Statistical Association, 44(247): 
335-341, September 1949. 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 32 
 
En finanzas, la simulación Monte Carlo se usa para calcular el valor esperado de 
una función )x(f dada su función de densidad )x(ψ para 
nxR∈ : 
( )[ ] ( ) ( ) nx dxxxfxf ψ==ν ∫ψ )(E 
 
Una aplicación interesante del método Monte Carlo es la valuación de derivados 
financieros que dependen de la trayectoria seguida por el activo subyacente. 
 
III.1.1 Convergencia casi segura 
Sea ...,X,X,X 321 una sucesión de variables aleatorias definidas en ( )P,F,Ω . Si para 
alguna ξ dada, para toda 0 >ηε, existe 0n tal que 
 
[ ] ,nn,XP 0n η<>∀ε>ξ− 
 
entonces se dice que la sucesión { }nX converge casi seguramente a ξ , lo cual 
denotamos por 
 . ξ→
.s.c
nX (50) 
 
III.1.2 La ley fuerte de los grandes números de Kolmogorov 
Dada una sucesión de variables iξ iid, i.e. independientes e idénticamente 
distribuidas con esperanza 
 [ ] .E i µ=ξ (51) 
 
Se define su suma y promedio como 
∑
=
ξ=
n
1i
inS , : (52) 
.S
n
1
X nn =: (53) 
 
Entonces 
 
 .X
.s.c
n µ→ (54) 
 
La principal justificación matemática del uso de la simulación Monte Carlo es la 
Ley Fuerte de Kolmogorov. Más adelante, se utiliza para calcular el valor 
esperado del valor en la fecha de vencimiento o payoff de una opción. 
 
III.1.3 Teorema del límite central 
Dada una sucesión de variables aleatorias iξ independientes e idénticamente 
distribuidas con esperanza y varianza 
 [ ] ,E i µ=ξ 
 [ ] .Var
2
i σ=ξ (55) 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 33 
 
Se define su suma como en (52). Entonces, para n creciente, la variable 
compuesta 
 ,n
nS
:X nn σ
µ−
= (56) 
converge en distribución a la distribución normal estándar 
 
 ( ).1,0NX
.d.c
n → (57) 
 
La ley de los grandes números dice que un buen estimador del valor esperado de 
una variable aleatoria continua X es el valor promedio de una muestra finita de 
variables aleatorias, es decir 
 
[ ] .X
n
1
X
n
1i
i∑
=
≈E
 
(58) 
 
Se sabe que la esperanza de una variable aleatoria continua es una integral, 
entonces la media muestral se puede usar para estimar el valor de una integral. 
Esta es la idea detrás del Método Monte Carlo. 
 
III.2 Simulación Monte Carlo 
El método Monte Carlo utilizado en esta tesis, supone que el activo subyacente 
sigue el siguiente proceso 
 ,SdBSdtdS tσ+µ= (59) 
 
donde ( )0t,BB t ≥= es un movimiento browniano, µ es el retorno esperado en un 
mundo neutral al riesgo y σ es la volatilidad. De ahora en adelante r=µ , con r 
la tasa de interés libre de riesgo anual compuesta continuamente. 
 
En la sección I.8, se vió que el teorema de arbitraje provee de un método general 
para valuar instrumentos derivados (Neftci, 2000). No arbitraje, permite utilizar 
probabilidades de riesgo neutral para calcular el valor del derivado. 
 
La simulación utiliza el principio de valuación neutral al riesgo, el cual establece 
que si el valor en la fecha de vencimiento o payoff de un derivado, en este caso 
una opción, es )S(f T , entonces el valor inicial del derivado es el payoff o valor 
esperado traído a valor presente. 
 
 [ ].)S(fEe T
rT − (60) 
 
El proceso del precio del activo subyacente (59), puede aproximarse en el 
periodo de tiempo [ ]T,0 dividiendo la vida del derivado en N pequeños 
intervalos de tiempo de longitud δt, mediante la siguiente ecuación (Hull, 2002) 
 
 ,δtσS(t)φrS(t)δSS(t)δt)S(t +=−+ 
 o (61) 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 34 
 
.δtSδtrSSS tttδtt φσ+=−+ 
donde tS denota el valor de S al tiempo t y φ~ )1,0(N . 
 
En esta ecuación, el factor aleatorio tdB es aproximado mediante δtφ , donde φ 
es una muestra aleatoria de una distribución normal con media cero y desviación 
estándar 1. La volatilidad del activo es denotada por σ . 
 
Como se mencionó en el capítulo II, el método Monte Carlo es un método 
numérico que permite valuar opciones mediante la simulación de trayectorias 
aleatorias del precio del activo subyacente. 
 
Para considerar el caso de un activo que paga dividendos a una tasa de interés 
anual compuesta continuamente, q , se hacen algunas modificaciones a la 
ecuación (59). En este caso, la tasa de crecimiento, ,r es igual a )qr( − y 
entonces, el proceso neutral al riesgo del precio del activo es 
 
 ,SdBSdt)qr(dS tσ+−= (62) 
 
que se aproxima en tiempo discreto como sigue 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) .ttSttS)qr(tSttS δφσ+δ−=−δ+ (63) 
 
Para el caso en que el activo no pague dividendos, se puede utilizar la ecuación 
(63) y hacer 0q= . 
 
Con la ecuación (61) se puede calcular el valor de S al tiempo tδ 15 partiendo de 
su valor inicial 0S , el valor de S al tiempo t2δ , t2S δ , se calcula a partir del valor de 
S al tiempo tδ , tSδ , y así sucesivamente, construyendo de esta forma la 
trayectoria del subyacente hasta obtener el valor del activo en la fecha de 
vencimiento T , TS . 
 
Suponga que el precio inicial de CEMEX.CPO en BMV es 11.80 MXN, la tasa de 
interés libre de riesgo 4.85% anual y la desviación estándar (i.e. la volatilidad) es 
14.76% anual16, o sea 20.0r ==µ y .1476.0=σ Suponga que 01.0t =δ , para 
considerar cambios en el precio del activo en intervalos de longitud 0.01 años (o 
3.60 días). De la ecuación (61), tenemos 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ,01.0tS 1476.001.0tS 0485.0tSttS φ+=−δ+ 
o (64) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) .t S01476.0tS 000485.0tSδttS φ+=−+ 
 
15 Denotemos como tSδ al precio del activo subyacente al tiempo tδ 
16 La tilr corresponde a la TIIE a 28 días anual 01-11-2010, fuente: www.banxico.org.mx/portal-mercado-
valores/index.html 7, el activo no paga dividendos y la volatilidad se elijió arbitrariamente. 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
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Una trayectoria para el precio del activo se obtiene generando muestras 
aleatorias con distribución ( )1,0φ y sustituyendo en la ecuación (64). La siguiente 
tabla muestra un conjunto de posibles resultados del cambio en el precio 
 
Precio del activo al 
inicio del periodo
Muestra 
aleatoria 
φ
Cambio en el precio del 
activo durante el periodo
11.800 0.52 0.096
11.896 1.44 0.259
12.155 -0.86 -0.148
12.007 1.46 0.265
12.271 -0.69 -0.119
12.152 -0.74 -0.127
12.025 0.21 0.043
12.068 -1.10 -0.190
11.878 0.73 0.134
12.012 1.16 0.211
12.223 2.56 0.468 
Tabla 1. Simulación del precio del activo cuando 0485.0r ==µ 
y 1476.0=σ en periodos de longitud 0.01 
 
Para el primer periodo de tiempo, φ es 0.52. De la ecuación (64), el cambio en el 
primer periodo es 
 
( ) ( ) .096.0)52.080.1101476.0()80.11000485.0(0StS =××+×=−δ 
 
Por lo tanto, al inicio del siguiente periodo el precio del activo es 11.896. El valor 
de φ en el siguiente periodo es 1.44. Una vez más, de la ecuación (64), el cambio 
en el segundo intervalo de tiempo es 
 
( ) ( ) 259.0)44.1896.1101476.0(896.11000485.0tSt2S =××+×=δ−δ 
 
Y al inicio del siguiente periodo de tiempo el precioes 12.155. Y así sucesivamente. 
 
La Tabla 1, muestra sólo algunos posibles movimientos del precio. Una muestra 
aleatoria diferente llevaría a resultados distintos. En el límite cuando 0t→δ se 
obtiene una perfecta descripción del proceso estocástico. 
 
Una corrida implica generar una trayectoria completa para S usando N 
muestras aleatorias de una distribución normal. 
 
No obstante, en la práctica es más adecuado simular Sln en vez de S . Entonces, 
para ,SdBSdtdS tσ+µ= usando el lema de Îto de la ecuación (42), con 
( ) Slnyhz == tenemos que Slnd satisface 
 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 36 
 
.dBdt
2
 
SdB
S
1
dtS
S
1
2
1
S
S
1
Slnd
t
2
t
22
2
σ+




 σ
−µ=
σ+





σ




−+µ=
 
En tiempo dicreto, dS se aproxima mediante 
 
 .t)t(St)t(rS)t(S)tt(S δφσ+δ=−δ+ 
Entonces se tiene que 
( ) ( )
( )
( ) ,tt2rtS
ttS
ln
,tt
2
rtSlnttSln
2
2
δσφ+δ




 σ
−=
δ+
δσφ+δ




 σ
−=−δ+
 
 
o bien 
( ) ( ) .tt
2
exptSttS
2








δσφ+δ




 σ
−µ=δ+ (65) 
 
La ecuación (65) puede usarse para construir una trayectoria para S de manera 
similar que con la ecuación (61) y será el modelo de precios que se utilizará en la 
simulación Monte Carlo. 
 
Con Matlab se genera una trayectoria completa para el precio de CEMEX.CPO 
con valor inicial de 11.80, 80.11S0 = ; para observar el comportamiento diario del 
precio del activo durante un año, 1T = , se divide el intervalo de tiempo en 
360N = intervalos de longitud 0028.0t
360
T
=δ= . La volatilidad del precio es de 
1476.0=σ anual y la tasa de interés libre de riesgo anual compuesta 
continuamente es 0485.0r = . 
 
Utilice el código: MetodoMontecarlo_UnaTrayectoria.m en Matlab17 que se 
muestra a continuación para generar una trayectoria aleatoria: 
 
%Metodo Monte Carlo 
 
s=ones(360,1);%matriz de mxn unos, partición en intervalo en días 
num_tray=1; %cuenta el # de trayectorias 
 
tic, 
while num_tray<=1 % trayectorias a generar 
 s(1)=11.80; %inicializa el precio del subyacente 
 i=1; 
 indic_graf=0; 
 hold on 
 
17 MATLAB R2008a The language of Technical Computing. 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 37 
 
 while i<=360 %partición del intervalo de tiempo 
s(i+1)=s(i)*exp(((.0485+(0.022/2))*(1/360))+(0.1476*sqrt(1/360)* 
normrnd(0,1))); 
i=i+1; 
 end 
 plot(s,'b') %gráfica en azul 
 xlabel('Días') 
 ylabel('Precio') 
 num_tray=num_tray+1; 
end 
toc 
 
La trayectoria obtenida es: 
0 50 100 150 200 250 300 350 400
10.5
11
11.5
12
12.5
13
Días
P
re
ci
o
 
Figura 6. 
 
La figura 6 muestra una posible trayectoria diaria del precio del activo durante 
360 días. Se pueden generar cuantas trayectorias se quiera, utilizando la función 
normrnd(1,0) para generar números aleatorios normales con media 0 y desviación 
estándar 1. 
 
Con la ecuación (65) es posible obtener el precio del activo al inicio de cada 
periodo de longitud tδ y, con el precio del activo en la fecha de vencimiento TS 
se podría calcular el valor en la fecha de vencimiento o payoff de una opción 
sobre este activo. 
Recuerde que para una call europea con precio de ejercicio o precio strike K el 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 38 
 
valor en la fecha de vencimiento o payoff es: 
( ) ( ) .K0,SmáxSf TT −= 
 
Y para una put europea con precio strike K , el valor en la fecha de vencimiento 
o payoff es: 
( ) ( )TT S0,KmáxSf −= . 
 
Entonces, al generar n trayectorias distintas para el precio del activo subyacente 
se calcula el valor en la fecha de vencimiento o payoff ( )TSf para cada una. 
Para n trayectorias generadas, se tiene 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), nT1nT3T2T1T Sf,S,...,fSf,Sf,Sf − 
 
donde iTS representa el precio del activo al tiempo T para la ésimai − 
trayectoria. 
 
El siguiente paso, es calcular el valor esperado del valor de la opción en la fecha 
de vencimiento o payoff como el promedio aritmético de los payoffs de cada 
trayectoria 
 [ ] ( )[ ], ∑
=
≈
n
1i
i
TT Sfn
1
)S(fE (66) 
 
donde el superíndice n,..,2,1i = representa trayectorias de TS . 
 
La Ley Fuerte de los Grandes Números de Kolmogorov garantiza que, si la 
aleatoriedad es correctamente modelada en la selección de iTS , y si el numero 
de trayectorias n tiende a infinito, el promedio aritmético de (66) converge a la 
esperanza real. 
 
Por el principio de valuación neutral al riesgo se tiene que el valor inicial del 
derivado o el precio de la opción es 
 
 [ ] , )S(fEe TrT− (67) 
 
donde18 [ ])S(fE T es aproximado mediante (66). 
 
Las computadoras facilitan el uso del método Monte Carlo, como un algoritmo 
computacional para simular el comportamiento de sistemas matemáticos 
complejos, o en este caso, el comportamiento del precio del activo subyacente 
de una opción. 
 
III.2.1 Estimación del error en el método Monte Carlo 
 
18 r es la tasa de interés libre de riesgo observada en el mercado. 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 39 
 
Dado un estimador Monte Carlo ν̂ , como el promedio de los resultados 
individuales de varias muestras de la variable aleatoria V, i.e. 
, ˆ
M
1
ˆ
M
1i
iM ∑
=
ν=ν 
 
donde M es el número de simulaciones. 
 
Por el teorema del límite central, se sabe que para M grande, cada valor 
individual del estimador se comporta como una normal19. Asumiendo que la 
varianza de V es σ2 , esto significa que 
. M 




 σ
µ→ν
M
,Nˆ
2
.d.i 
 
Como Mν̂ aproxima a una distribución normal, una medida estadística de la 
incertidumbre para cualquier resultado de la simulación de Mν̂ está dada por la 
desviación estándar de Mν̂ , es decir 
( ) . 
M
σ
ˆVar M =ν 
Se utilizará la varianza de la simulación como un estimador para σ2 (Jäckel, 2002). 
Y se define el error estándar que se comete al usar el Método Monte Carlo como: 
 
. 
M
M
M
σ
=ε
 
(68) 
 
El error de la estimación, es la desviación estándar de la simulación, dividida por 
la raíz cuadrada del número de corridas utilizadas. Entonces el número de 
corridas utilizadas dependerá de la exactitud deseada. 
 
Esta medida permite construir intervalos de confianza que muestran que la 
incertidumbre acerca del valor del derivado es inversamente proporcional a la 
raíz cuadrada del número de corridas. 
Un intervalo de confianza del 95% para el precio del derivado [ ])S(fEeV TrT−= 
está dado por 
 , 
M
96.1
Vf
M
96.1
V
σ
+<<
σ
− (69) 
donde V es el estimado del valor del derivado. Para duplicar la precisión de una 
simulación, debemos cuadriplicar el número de corridas, para aumentar la 
 
19 Recordemos que si n1 X,...,X una m.a. de la distribución ( ) 




 σ
µ⇒σµ
n
,N~X,N
2
2 , para 
n
X
X
n
1i
i∑
== 
 Método Monte Carlo aplicado en la valuación de opciones 
 
Página | 40 
 
precisión en un factor de 10, el número de corridas debe aumentarse por un 
factor de 100; y así sucesivamente. 
 
Ejemplo 1. Simulación Monte Carlo 
Considere una opción put de tipo europeo sobre trigo negociada en el CBOT con 
valor inicial 842.2, strike o precio de ejercicio de 820, fecha de vencimiento en un 
año, retorno esperado de 20% anual20 y desviación estándar del 18% anual21. 
 
Es posible calcular el precio o prima a través de la simulación Monte Carlo, para 
lo cual, se observará el comportamiento diario del precio del activo subyacente,