Metodos-iterativos-para-reconstruccion-de-imagenes-en-la-evaluacion-de-un-prototipo-de-microtomografa-por-emision-de-positrones

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
POSGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS
INSTITUTO DE FÍSICA
FÍSICA MÉDICA
MÉTODOS ITERATIVOS PARA RECONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES EN LA
EVALUACIÓN DE UN PROTOTIPO DE MICROTOMOGRAFÍA POR EMISIÓN
DE POSITRONES
TESIS
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE:
MAESTRO EN CIENCIAS (FÍSICA MÉDICA)
PRESENTA:
ALAN PATRICIO MIRANDA MENCHACA
DIRECTORA DE TESIS:
DRA. MERCEDES RODRÍGUEZ VILLAFUERTE
INSTITUTO DE FÍSICA
MIEMBROS DEL COMITÉ TUTORAL:
DR. ARNULFO MARTÍNEZ DÁVALOS
INSTITUTO DE FÍSICA
DR. LUIS ALBERTO MEDINA VELÁZQUEZ
INSTITUTO DE FÍSICA
MÉXICO, D. F. SEPTIEMBRE 2013.
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL 
 
Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal 
del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). 
El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea 
objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para 
fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo 
mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, 
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
Agradecimientos Institucionales
Por el apoyo para la adquisición de equipo y materiales a las siguientes
entidades:
• Instituto de F́ısica, UNAM
• Facultad de Medicina, UNAM
Por las becas recibidas durante el desarrollo de este proyecto a:
• CONACyT a través del programa de becas para estudios de pos-
grado nacionales, en el periodo agosto 2011 – julio 2013
Al Programa de Apoyo de Estudios de Posgrado, UNAM, por el apoyo
otorgado para la asistencia a diferentes congresos nacionales e inter-
nacionales.
Investigación realizada gracias al Programa de Apoyo a Proyectos
de Investigación e Innovación Tecnológica (PAPIIT) de la UNAM
IN105913, Estudio de la Profundidad de Interacción en Detectores
para Tomograf́ıa por Emisión de Positrones.
Agradecimientos
A la Dra. Mercedes Rodŕıguez Villafuerte por la constante dirección
durante todo el proceso de la tesis, por todo el conocimiento, por
permitirme trabajar en un proyecto tan interesante y sobre todo por
el tiempo y ayuda que siempre me ofreció.
Al Dr. Arnulfo Mart́ınez Dávalos por las explicaciones y discusiones
que siempre me ayudaban a entender mejor y al Dr. Luis Alberto
Medina por el seguimiento de la tesis.
Al M. en C. Tirso Murrieta por toda la ayuda durante los experimen-
tos y durante toda mi estancia en el laboratorio y junto con Nini por
sus pláticas y discusiones, y por el té de los recesos.
Al Ing. Marco Antonio Veytia y su equipo del taller mecánico del
Instituto de F́ısica, UNAM, por la asistencia en la elaboración y con-
strucción de los maniqúıs y piezas para el microPET HR8.
A Dr. Miguel Ángel Ávila por su apoyo durante los experimentos del
equipo microPET, y junto con los sinodales Dr. Jorge Márquez, M.
en C. José Manuel Lárraga y Dr. Héctor Alva por sus observaciones
tan acertadas para mejorar la tesis.
A los profesores de la maestŕıa y a los f́ısicos médicos que nos asistieron
en las residencias.
A mis compañeros y amigos de la maestŕıa: Alexis, Francisco, Gis-
selle, Iván, Jonathan, José, Juan Carlos, y Lucero, y a los que conoćı
durante la maestŕıa: Cristina, Javier y Yair, por los buenos ratos.
Finalmente agradezco a mi hermana y a mi hermano por entenderme
siempre y a mis padres por el apoyo que siempre me han dado sin
importar que decisiones tome.
Resumen
En esta tesis se desarrolló un proyecto para evaluar y optimizar el
prototipo de un tomógrafo por emisión de positrones para animales
pequeños, el cual se encuentra en desarrollo en el Instituto de F́ısica
de la UNAM. Este prototipo consta de cuatro módulos de detección
colocados sobre un anillo, en cuyo centro se colocan las muestras sobre
una plataforma giratoria. Los detectores están formados por un ar-
reglo de 16 x 16 cristales de oxiortosilicato de lutécio dopado con itrio
(LYSO) acoplados a tubos fotomultiplicadores sensibles a la posición.
El desarrollo de la tesis se dividió en dos partes:
1. El pre-procesamiento de los datos y la implementación de algorit-
mos iterativos de reconstrucción tomográfica.
2. La caracterización del prototipo mediante las medidas de resolución
en enerǵıa, sensibilidad, resolución espacial y desempeño en tasa de
conteo.
Para la primera parte, se trabajó con datos de los eventos de ani-
quilación obtenidos en modo de lista. A partir de éstos se obtu-
vieron sinogramas con tres métodos de remuestreo: Single Slice Rebin-
ning (SSRB), Multiple Slice Rebinning (MSRB) y Fourier Rebinning
(FORE). Se comparó el desempeño de los tres métodos en términos
de la calidad de las imágenes tomográficas que se obteńıan a partir de
los sinogramas.
Dentro de los algoritmos de reconstrucción tomográfica se utilizó retro-
proyección filtrada (FBP) y se estudiaron los métodos de reconstruc-
ción iterativos y el cálculo de la matriz del sistema que éstos requieren.
La matriz del sistema se obtuvo de dos formas: mediante el cálculo de
la geometŕıa del sistema y mediante simulaciones Monte Carlo. Los
métodos de reconstrucción iterativos programados fueron: Maximum
Likelihood - Expectation Maximization (ML-EM), Ordered Subsets
Expectation Maximization (OSEM) y Maximum a Posteriori (MAP).
Una comparación entre FBP y el método OSEM, éste último usando
las dos matrices del sistema calculadas, se realizó para comprobar el
desempeño de los algoritmos y de las matrices del sistema. Por último
se compararon los métodos OSEM y MAP para observar las mejoras
que presenta este último método.
En la segunda parte (caracterización del prototipo), el cálculo de la
sensibilidad y el desempeño en tasa de conteo se realizó siguiendo el
protocolo NEMA NU 4-2008. La resolución espacial se obtuvo en el
plano transaxial utilizando una fuente lineal y se evaluó a lo largo
del eje axial con ayuda de un maniqúı microDefrise. La resolución en
enerǵıa se obtuvo para cada cristal de los cuatro detectores utilizando
el estudio de un maniqúı de normalización.
El algoritmo de remuestreo que mejores resultados arrojó para obtener
sinogramas fue FORE. La reconstrucción a partir de sinogramas mos-
tró mejores resultados utilizando OSEM, en comparación con FBP.
Por otro lado, los métodos de reconstrucción iterativos obtuvieron
mejores resultados utilizando la matriz del sistema calculada mediante
simulaciones Monte Carlo.
De la caracterización del prototipo, la resolución en enerǵıa promedio
fue del 24 % y la sensibilidad absoluta del 0.24 %. La mejor resolución
espacial en el plano transaxial fue de 0.87 mm (FWHM) utilizando
FORE en combinación con OSEM y la matriz del sistema calculada
mediante simulaciones Monte Carlo. La fracción de dispersión del
sistema resulto ser del 4.8 %.
Abstract
In this thesis a project was developed to evaluate and optimize a
positron emission tomograph prototype for small animals, which is
under development at Instituto de F́ısica, UNAM. This prototype has
four detection modules placed on a ring, and in the center the samples
are placed on a rotatory platform. The detectors consist of an array of
16 x 16 Lutetium Yttrium Orthosilicate (LYSO) scintillation crystals
coupled to position sensitive photomultiplier tubes. The development
of the thesis was divided in two parts:
1. The pre-processing of the data and the implementation of tomo-
graphic iterative reconstruction algorithms.
2. The characterization of the prototype in terms of energy resolution,
sensitivity, spatial resolution and count rate performance.
For the first part, data of the annihilation events were used in list
mode. From these data sinograms wereobtained using three rebinning
methods: Single Slice Rebinning (SSRB), Multiple Slice Rebinning
(MSRB) and Fourier Rebinning (FORE). The three methods were
compared in terms of the tomographic image quality obtained from
the sinograms.
Both analytic (Filtered Backprojection, FBP) and iterative recon-
struction methods were implemented together with the system ma-
trix required. The system matrix was obtained in two ways: us-
ing the geometry of the data acquisition system and with Monte
Carlo simulations. The iterative reconstruction methods programmed
were: Maximum Likelihood – Expectation Maximization (ML-EM),
Ordered Subsets Expectation Maximization (OSEM) and Maximum a
Posteriori (MAP). A comparison between FBP and OSEM, the latter
using the two system matrixes calculated, was made to assess the per-
formance of the algorithms and system matrixes. Finally, the methods
OSEM and MAP were compared to observe the improvements of the
latter.
In the second part (characterization of the prototype), the calculation
of the sensitivity and count rate performance was made following the
NEMA NU 4-2008 protocol. The spatial resolution was obtained in
the transaxial plane using a linear source,while along the axial axis the
evaluation was performed with a microDefrise phantom. The energy
resolution was obtained for each crystal of the four detector modules
using a normalization phantom study.
Among the tested rebinning algorithms, FORE presented the best
performance, while OSEM produced the best reconstructed images.
On the other hand, the iterative reconstruction methods had better
results using the system matrix calculated with Monte Carlo simula-
tions.
Regarding the prototype characterization, the mean energy resolution
was 24 % and the absolute sensitivity 0.24 %. The best spatial reso-
lution in the transaxial plane was 0.87 mm (FWHM) using FORE fol-
lowed by OSEM and the system matrix calculated with Monte Carlo.
The scatter fraction of the system was 4.8 %.
Contenido
Contenido viii
Lista de figuras xi
1 Introducción 1
1.1 Tomograf́ıa por emisión de positrones . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Organización de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Antecedentes y conceptos básicos 5
2.1 Componentes básicos de un equipo de PET . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Parámetros que influyen en el desempeño de los equipos PET . . 8
2.3 Equipos de PET para animales pequeños . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Caracteŕısticas de equipos microPET . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4.1 MicroPET R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.2 MicroPET Focus-F120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4.3 Escáner A-PET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4.4 MicroPET II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Pre-procesamiento de datos y reconstrucción de imágenes to-
mográficas 15
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Organización de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.1 Corrección por distorsión geométrica . . . . . . . . . . . . 17
viii
CONTENIDO
3.2.2 Sinogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2.1 Algoritmos de remuestreo . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.3 Correcciones aplicadas al sinograma . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.4 Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.5 Modo de lista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Métodos de reconstrucción anaĺıticos . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.1 Retroproyección filtrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Métodos de reconstrucción iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.1 Maximum Likelihood Expectation Maximization . . . . . . 33
3.4.2 OSEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.3 Regularización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.4.4 Cálculos de la matriz del sistema por geometŕıa . . . . . . 36
3.4.5 Cálculo de la matriz mediante simulaciones Monte Carlo . 37
3.5 Proceso total para la formación de imágenes . . . . . . . . . . . . 39
4 Caracterización del prototipo microPET 44
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Caracteŕısticas del prototipo microPET . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Resolución en enerǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Resolución espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Fracción de dispersión, tasa de eventos aleatorios y NEC . . . . . 54
4.7 Maniqúıs de prueba y parámetros de adquisición de datos experi-
mentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.7.1 Fuente calibrada en forma de disco (CERCA-LEA) . . . . 57
4.7.2 Tres fuentes lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.7.3 Maniqúı de normalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.7.4 Sección de un maniqúı microDerenzo . . . . . . . . . . . . 60
4.7.5 Maniqúı ultra-microDefrise . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7.6 Maniqúı de dispersión de ratón . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Resultados 68
5.1 Reconstrucción de imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
ix
CONTENIDO
5.1.1 Corrección por distorsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.2 Normalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.1.3 Corrección por centro de rotación . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.4 Métodos de remuestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.5 Métodos de reconstrucción anaĺıticos e iterativos . . . . . . 74
5.2 Caracterización del equipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.1 Resolución en enerǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.2 Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2.3 Resolución espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.4 Fracción de dispersión, tasa de eventos aleatorios y NEC . 86
5.3 Comparación entre prototipos microPET . . . . . . . . . . . . . . 86
6 Conclusiones 90
Bibliograf́ıa 94
x
Lista de figuras
1.1 Aniquilación del positrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Módulos de detección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Ĺıneas de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Espectro de enerǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Tubo de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Corrección por distorsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Ĺınea de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Sinograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.5 Single Slice Rebinning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.6 Multiple Slice Rebinning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.7 Plano ω, k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.8 Interpretación geométrica de Fourier Rebinning . . . . . . . . . . 23
3.9 Variables del sinograma oblicuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.10 Regiones de Fourier Rebinning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.11 Algoritmo Fourier Rebinning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.12 Corrección por centro de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.13 Normalización del sinograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.14 Retroproyección filtrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.15 Métodos de reconstrucción iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.16 Calculo de la probabilidadp(b, d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.17 Calculo de la probabilidad p(b, d) con largo de ĺınea . . . . . . . . 37
3.18 Calculo de la probabilidad p(b, d) con ancho de ĺınea . . . . . . . . 38
3.19 Calculo de la probabilidad p(b, d) mediante simulaciones MC . . . 39
xi
LISTA DE FIGURAS
3.20 Diagrama de flujo para SSRB y MSRB . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.21 Diagrama de flujo para FORE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1 Sistema de detección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Arreglo de 4 detectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Función gaussiana del fotopico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Arreglo para cálculo de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Resolución espacial por ancho de detector . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 Acolinealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7 Maniqúı ultra microDefrise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.8 Arreglo para cálculo de tasa de conteo . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.9 Perfil para cálculo de tasa de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.10 Fuente CERCA-LEA calibrada de 22Na. La parte activa en forma
de disco está encapsulada al centro y tiene un diámetro de 3 mm. 59
4.11 Maniqúı de tres fuentes lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.12 Maniqúı de normalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.13 Maniqúı microDerenzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.14 Maniqúı ultra microDefrise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.15 Maniqúı ciĺındrico con capilar en el medio . . . . . . . . . . . . . 66
5.1 Mapas de cristales y regiones de Voronoi . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Sinograma de maniqúı ciĺındrico hueco . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3 Comparación de sinogramas por normalización . . . . . . . . . . . 70
5.4 Corrección por centro de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5 Comparación de los métodos de remuestreo . . . . . . . . . . . . . 73
5.6 Comparación de las fuentes lineales reconstruidas con métodos de
remuestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.7 Comparación de los distintos métodos de reconstrucción . . . . . 76
5.8 Comparación de los distintos métodos de reconstrucción 2 . . . . 77
5.9 Comparación de las reconstrucciones aplicando factor de regulari-
zación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.10 Espectros de enerǵıa en Z1 y Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.11 Espectros de enerǵıa en Z5 y Z6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.12 Perfil de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
xii
LISTA DE FIGURAS
5.13 Resolución espacial en el eje transaxial . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.14 Proyección del maniqúı ultra microDefrise . . . . . . . . . . . . . 85
5.15 Perfil del maniqúı ultra microDefrise . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.16 Perfil para el cálculo de tasa de conteo . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.17 Gráfica de tasa de conteo vs actividad promedio . . . . . . . . . . 87
xiii
Caṕıtulo 1
Introducción
1.1 Tomograf́ıa por emisión de positrones
La tomograf́ıa por emisión de positrones (PET) es un estudio médico que aporta
información funcional sobre procesos biológicos. Los estudios se realizan con
ayuda de un radiofármaco, el cual se conforma de una molécula de interés biológico
marcada con un radionúclido emisor de radiación beta positivo. La molécula de
interés biológico sigue una cierta ruta metabólica, la cual es útil para el médico
para poder realizar un diagnóstico. Esta ruta metabólica es rastreable gracias al
radionúclido emisor de part́ıculas beta positivas, que al emitir un positrón éste
se aniquila con algún electrón del medio y se crean dos fotones de 511 keV que
se emiten de forma antiparalela (figura 1.1). Los equipos de PET detectan los
dos fotones de aniquilación y a partir de esta información pueden determinar la
distribución espacio-temporal de la concentración de actividad, que a su vez es
proporcional a la concentración del radiofármaco.
Los radiofármacos son moléculas marcadas con radionúclidos mediante reac-
ciones qúımicas, en las que un elemento de la molécula es reemplazado por otro
radioactivo. En ocasiones el elemento reemplazado es un isótopo del elemento
original, mientras que en otras se sustituye con un elemento diferente pero que
no afecta o afecta poco la funcionalidad de la molécula.
Existen diferentes radiofármacos que proporcionan distinta información de-
pendiendo de la ruta metabólica que sigan en el organismo. Uno de los más
1
Figura 1.1: Un núcleo radioactivo emite un positrón el cual se aniquila con un
electrón del medio produciendo dos fotones que se emiten de forma antiparalela.
Estos fotones son los que se detectan en el estudio de PET.
utilizados es la fluorodesoxiglucosa (FDG), molécula marcada con Fluor-18, que
proporciona información del metabolismo de la glucosa en los distintos tejidos.
En ocasiones se pueden visualizar tumores con este radiofármaco a causa del
alto consumo de glucosa de las células cancerosas que se encuentran en constante
reproducción.
Los radiofármacos que se utilizan en los estudios de PET deben ser probados
previamente en animales para probar su funcionalidad y verificar que no provo-
carán efectos adversos en el ser humano. Estas pruebas se realizan con equipos
microPET que tienen el mismo principio de funcionamiento que los equipos para
seres humanos, pero construidos con componentes de menor escala para trabajar
con animales pequeños. Además de utilizarse para estas pruebas, estos equipos
también se utilizan para investigación en ramas como la cardioloǵıa, oncoloǵıa y
la neuroloǵıa, en donde los radiofármacos son administrados a animales pequeños.
2
1.2 Objetivos
La tesis cuenta con dos objetivos principales:
1. La implementación de nuevos algoritmos de remuestreo de datos y métodos
de reconstrucción iterativos de imágenes tomográficas.
2. La caracterización del prototipo microPET en términos de la resolución en
enerǵıa, sensibilidad, resolución espacial y desempeño en tasa de conteo.
1.3 Justificación
En el proyecto del desarrollo de un equipo microPET que se realizó anteriormente
en el Instituto de F́ısica (Alva, 2009), la reconstrucción de las imágenes se haćıa
utilizando geometŕıa de haz paralelo. Este método de reconstrucción no utiliza la
totalidad de las ĺıneas de respuesta que se obtienen de un estudio, por lo que la
estad́ıstica se ve reducida, provocando disminución en la calidad de las imágenes.
Utilizando nuevos métodos de remuestreo se usan todas las ĺıneas de respuesta
del estudio, mejorando la estad́ıstica y la calidad de las imágenes.
El algoritmo utilizado para la reconstrucción de imágenes tomográficas en
el proyecto microPET anterior era FBP (Alva, 2009). Debido a que se ha de-
mostrado que la implementación de métodos de reconstrucción iterativos arroja
mejores resultados que FBP en la reconstrucción de imágenes tomográficas (en es-
tudios de PET) (Wieczorek, 2010; Cherry y Dahlbom, 2006), su implementación
representa una mejora en el desempeño del prototipo microPET.
Por otra parte, la caracterización del prototipo microPET es necesaria para
conocer el desempeño del equipo y de esta manera poder planear y optimizar los
estudios que se realicen con él.
1.4 Organización de la tesis
La tesis se divide en seis caṕıtulos. El segundo caṕıtulo trata de antecedentes y
conceptos básicos sobre los tomógrafos PET. El tercer caṕıtulo detalla el proce-
samiento de los datos y los algoritmos de reconstrucción de imágenes que se
utilizaron. El caṕıtulo cuatro profundiza sobre los parámetros de caracterización
3
del prototipo microPET y su medición.El quinto caṕıtulo presenta resultados y
el sexto la discusión y conclusiones. Toda la programación desarrollada en esta
tesis se realizó en Matlab.
4
Caṕıtulo 2
Antecedentes y conceptos básicos
2.1 Componentes básicos de un equipo de PET
Los detectores de los tomógrafos por emisión de positrones deben tener carac-
teŕısticas tales que permitan detectar con gran eficiencia fotones de 511 keV. En
la mayoŕıa de los equipos los detectores son arreglos de cristales centelladores
acoplados a tubos fotomultiplicadores. Los fotones de aniquilación de 511 keV
interaccionan en el cristal centellador, lo que produce luz en el espectro visi-
ble. Ya que esta luz es de muy baja intensidad la señal eléctrica de salida que
podŕıa generarse por si misma es muy pequeña. Para generar una señal apropiada
para su posterior digitalización, esta debe amplificarse con los tubos fotomulti-
plicadores. El tubo fotomultiplicador está formado de un fotocátodo, en el cual
interacciona el fotón que proviene del cristal centellador para emitir un electrón
debido al efecto fotoeléctrico. Enseguida se encuentran una serie de electrodos
llamados d́ınodos, cada uno con una diferencia de potencial mayor al anterior. Al
interaccionar los electrones con cada d́ınodo estos se van multiplicando, lo que al
final produce una corriente eléctrica suficientemente grande como para poder ser
medida. La amplificación de los tubos fotomultiplicadores es t́ıpicamente de un
factor de alrededor de 106.
Debido a que lo que se desea es detectar eventos en coincidencia ocurridos en
los cristales centelladores, el tiempo de decaimiento (tiempo durante el cual se
emite la luz visible) de estos cristales debe ser suficientemente corto como para
5
Composición Densidad Salida de luz Tiempo de Coeficiente
del cristal (g/cc) (Fotones por decaimiento de atenuación lineal
cada 511 keV) (ns) a 511 keV (cm−1)
Yoduro
de sodio 3.67 19400 230 0.34
[NaI(Tl)]
Germanato
de bismuto 7.13 4200 300 0.96
(BGO)
Oxiortosilicato
de lutecio 7.40 ∼13000 ∼47 0.88
(LSO:Ce)
Oxiortosilicato
de lutecio dopado 7.30 ∼14500 50 0.87
con itrio (LYSO)
Oxiortosilicato
de gadolinio 6.71 ∼4600 ∼56 0.70
(GSO:Ce)
Fluoruro
de bario 4.89 700, 4900 0.6, 630 0.45
(BaF2)
Perovskita
de itrio aluminio 5.37 ∼9200 ∼27 0.46
(YAP:Ce)
Tabla 2.1: Caracteŕısticas de algunos cristales centelladores útiles para la de-
tección de fotones de 511 keV.
determinar la ocurrencia de dos eventos dentro de una ventana temporal suficien-
temente corta. Esta ventana temporal es ajustada en la electrónica de adquisición
y suele ser de algunos cuantos nanosegundos. En la tabla 2.1 (Cherry y Dahlbom,
2006) se muestran las caracteŕısticas de algunos cristales centelladores.
Los cristales centelladores se suelen usar en arreglos pixelizados acoplados a
tubos fotomultiplicadores sensibles a la posición (figura 2.1), que presentan una
estructura con funcionalidad de múltiples tubos fotomultiplicadores (Cherry y
Dahlbom, 2006). De esta manera se puede saber en qué cristal del arreglo ocurrió
6
PS-PMT Número Área efectiva Intervalo Respuesta máxima
(Hamamatsu) de ánodos (mm) de respuesta (en longitud
espectral (nm) de onda, nm)
H9500 256 (16 × 16) 49 × 49 300 - 650 400
H8500 64 (8 × 8) 49 × 49 300 -650 400
H7546 64 (8 × 8) 18.1 × 18.1 300 - 650 420
Tabla 2.2: Caracteŕısticas de algunos tubos fotomultiplicadores sensibles a la
posición.
una interacción. En la tabla 2.2 se muestran las caracteŕısticas de algunos tubos
fotomultiplicadores sensibles a la posición utilizados comúnmente en imagenoloǵıa
para animales pequeños.
Figura 2.1: Módulos de detección más comúnmente utilizados en PET.
La señal que proviene de los tubos fotomultiplicadores es amplificada para
poder ser procesada por el convertidor analógico digital que finalmente transferirá
los datos a la computadora.
El desempeño del sistema, que se traduce en la calidad de las imágenes que
obtienen, depende tanto de la parte f́ısica (cristales centelladores, tubos fotomul-
tiplicadores, electrónica, etc.) como del procesamiento que se haga con los datos
obtenidos en la computadora.
7
2.2 Parámetros que influyen en el desempeño
de los equipos PET
La información que se utiliza para reconstruir las imágenes tomográficas es la
posición de los distintos eventos de aniquilación que se determina mediante la
detección de dos fotones de 511 keV de forma antiparalela dentro de cierta ven-
tana temporal. Los dos eventos detectados forman lo que se llama una ĺınea de
respuesta (figura 2.2). Con una cantidad suficiente de estas ĺıneas de respuesta
se pueden reconstruir distintas proyecciones que proporcionen información de la
concentración de actividad.
Figura 2.2: Ĺıneas de respuesta determinadas mediante la detección de fotones
de aniquilación provenientes de una muestra radioactiva.
Los datos crudos que se obtienen de las ĺıneas de respuesta se guardan en
modo de lista e incluyen para cada evento y cada par de detectores, la posición
de interacción, enerǵıa y una etiqueta de tiempo. Estos datos son procesados
posteriormente para formar las imágenes tomográficas, tal como se describirá en
el caṕıtulo 3.
La ventana temporal dentro de la cual se determina si dos eventos correspon-
den a una aniquilación ayuda a disminuir el número de eventos aleatorios que se
podŕıan detectar. Sin embargo, qué tanto se puede reducir la ventana temporal
depende de las caracteŕısticas de los detectores y de la electrónica de adquisición.
La enerǵıa de los eventos detectados se utiliza para poder discriminar fotones
8
de aniquilación de 511 keV de aquellos fotones dispersados que se caracterizan por
tener menor enerǵıa. Estableciendo una ventana de enerǵıa centrada alrededor
del fotopico del espectro de enerǵıa (figura 2.3) se descartan los eventos que tienen
enerǵıa fuera de esta ventana.
Figura 2.3: Espectro de enerǵıa t́ıpico producido en la detección de fotones con
cristales centelladores. La ventana en enerǵıa se establece alrededor del fotopico,
formado principalmente por eventos no dispersados.
La resolución espacial que se puede obtener en las imágenes de un sistema
PET depende de la f́ısica en el decaimiento beta y del diseño y propiedades de
los detectores usados en el escáner (Cherry y Dahlbom, 2006). Dentro de las
caracteŕısticas estructurales el diámetro del anillo de detectores y el ancho de
los cristales centelladores se consideran para calcular la resolución espacial del
sistema. En cuanto al fenómeno de aniquilación, el alcance del positrón y la no
colinealidad en la emisión de los fotones afectan la resolución espacial del sistema.
Para pares de detectores discretos la resolución espacial en el punto medio
entre los dos detectores se puede aproximar mediante una función triangular
donde el ancho de pulso a media altura (FWHM) es igual a la mitad del ancho
del detector.
Antes de ocurrir la aniquilación del positrón, éste tiene cierto alcance depen-
9
diendo de su enerǵıa cinética y del material del medio en el que se encuentra. Lo
que se desea detectar es la posición del núcleo emisor del positrón y no donde
se aniquila este último, por lo que su alcance afecta la resolución espacial del
sistema. Con ayuda de programas de simulación Monte Carlo de transporte de
radiación en materia se puede estimar el FWHM que se obtiene en la resolución
espacial debido al alcance del positrón. Para el caso de positrones de 18F interac-
cionando en agua se ha encontrado un FWHM de 0.102 mm (Cherry y Dahlbom,
2006).
Por otro lado, los fotones de aniquilación se emiten con un ángulo de 180 ◦ ±
0.25 ◦. Esta desviación en el ángulo de emisión ocurre debido a que el momento
que tienen el positrón y el electrón al aniquilarse no es completamente cero. Ya
que la aniquilación ocurre cuando el positrón ha perdido prácticamente toda su
enerǵıa cinética, la desviaciónangular no depende de la enerǵıa cinética inicial.
Tomando en cuenta 0.25 ◦ de desviación en la emisión antiparalela, el FWHM que
se obtiene en la resolución espacial debido a este efecto se puede calcular como
FWHM = .0044R, donde R es el radio del diámetro de los detectores.
Sumando en cuadratura (valor RMS) todas las componentes que afectan la
resolución espacial se obtiene la resolución espacial total del sistema.
2.3 Equipos de PET para animales pequeños
Debido a que los equipos microPET se diseñan para el estudio de animales
pequeños, éstos deben tener ciertas caracteŕısticas distintas a los equipos para
seres humanos. El tamaño del escáner es menor y por lo tanto también el campo
de vista. El número de elementos de detección puede ser prácticamente el mismo,
aunque los elementos individuales que los componen deben ser de menor tamaño.
El cambio en el tamaño de los detectores igualmente conlleva cambios en los datos
que se adquieren y en las imágenes que se procesan posteriormente.
Al cambiar el tamaño de los cristales también se modifica la resolución espacial
del sistema. Ya que en animales pequeños se desean observar estructuras de menor
tamaño que en los escáneres para seres humanos también se requiere de una mejor
resolución espacial. La resolución espacial de los equipos PET cĺınicos suele ser de
alrededor de 5 mm (FWHM), mientras que en los equipos microPET comerciales
10
PET Siemens microPET Siemens
Biograph 64 Focus 220
Diámetro (mm) 842 260
Campo de vista Axial (mm) 162 76
Campo de vista Transaxial (mm) 605 190
Cristales LSO LSO
Bloques de detección 144 168
Número total de cristales 24336 24192
Dimensiones del cristal (mm3) 4× 4× 20 1.51× 1.51× 10
Resolución en enerǵıa (%) 14 18
Resolución espacial (mm) ∼5 1.5
Tabla 2.3: Comparación entre el escáner PET cĺınico Biograph Siemens y el
equipo microPET Focus Siemens.
puede llegar a ser de 1 a 2 mm (FWHM).
En la tabla 2.3 se muestra una comparación entre las caracteŕısticas de un
equipo PET para seres humanos y uno utilizado para estudios con animales
pequeños.
2.4 Caracteŕısticas de equipos microPET
En la actualidad existe una gran variedad de equipos microPET con diversas ca-
racteŕısticas tanto en los componentes f́ısicos del sistema como en el procesamiento
de los datos. Se pueden encontrar tanto equipos comerciales como prototipos de-
sarrollados por centros de investigación. Estos centros de investigación se enfocan
principalmente en mejorar los estudios PET para animales pequeños (resolución
espacial, resolución en enerǵıa, sensibilidad, etc.) ya sea mediante el manejo del
hardware o mediante el procesamiento de los datos. A continuación se detallan
las caracteŕısticas de algunos equipos microPET.
11
2.4.1 MicroPET R4
Este sistema fue desarrollado por la compañ́ıa Concorde Microsystems (Knoess
et al., 2003). El sistema de detección de los fotones de 511 keV utiliza cristales
centelladores de oxiortosilicato de lutecio (LSO) acoplados a tubos fotomultipli-
cadores sensibles a la posición (Hamamatsu R5900-C8). Cada bloque de cristales
centelladores mide 19 × 19 × 10 mm3, los cuales están cortados en arreglos de
8× 8 cristales dejando 1 mm al final del bloque donde se unen todos los cristales.
Cada cristal individual mide 2.1 × 2.1 × 10 mm3 con una distancia de centro a
centro (pitch) de 2.4 mm. Los bloques de cristales centelladores se acoplan a
tubos fotomultiplicadores (PMTs) por medio de una fibra óptica de 100 mm de
largo. El campo de vista que se logra obtener es de 78 mm en la dirección axial
y de 100 mm de diámetro en dirección transaxial.
En la dirección axial al centro del escáner se llega a obtener una resolución
espacial de 1.84 mm FWHM, en dirección radial de 1.65 mm y en dirección
tangencial de 1.66 mm. La mejor resolución en enerǵıa obtenida es del 17% y la
peor del 36% con un promedio del 23%. La sensibilidad medida con una fuente
puntual de Ge-68 con una ventana en enerǵıa de 410-613 keV es de 18.60 cps/kBq.
2.4.2 MicroPET Focus-F120
Este sistema fue desarrollado por Concorde Microsystems y está basado en el
modelo R4 de la misma compañ́ıa (Laforest et al., 2007). Cada detector del
sistema está conformado por un arreglo de 12 × 12 cristales centelladores de
1.52×1.52×10 mm3 de LSO acoplados a tubos fotomultiplicadores sensibles a la
posición con un paquete de fibras ópticas cuadradas de 8× 8 elementos. El pitch
es de 1.59 mm y existe material reflector entre las fibras ópticas.
El diametro del campo de vista (FOV) es de 14.7 cm con una extensión en
el eje axial de 7.6 cm. La resolución espacial del escáner al centro es de 1.36
mm en dirección tangencial, 1.32 mm en dirección radial y 1.32 mm en dirección
axial. La sensibilidad máxima del equipo es del 7.1 % al centro del escáner. La
resolución en enerǵıa promedio es del 18 %.
12
2.4.3 Escáner A-PET
Este sistema fue desarrollado en la Universidad de Pensilvania con la ayuda de
la compañ́ıa Philips Medical Systems (Surti et al., 2003). Utiliza cristales centel-
ladores de oxiortosilicato de gadolinio (GSO). Cada cristal mide 2× 2× 10 mm3
y se encuentran acoplados a una gúıa óptica que dirige la luz a tubos fotomulti-
plicadores de 19 mm de diámetro colocados en un arreglo hexagonal. El campo
de vista transaxial del escáner es de 12.8 cm y en el eje axial de 11.6 cm. La
resolución espacial cerca del centro de campo de vista es de 2.26 mm utilizando
F-18 como radionúclido. La resolución en enerǵıa es del 17 % y la sensibilidad
absoluta es del 1.4%.
2.4.4 MicroPET II
Este sistema fue desarrollado en la Universidad de California y es el segundo
microPET desarrollado en esa universidad (Yang et al., 2007). Cuenta con 17640
cristales centelladores de LSO que miden 0.975× 0.975× 12.5 mm3, acomodados
en 42 anillos contiguos con 420 cristales por anillo con un campo de vista axial
de 4.9 cm y transaxial de 8.5 cm. Los cristales centelladores están acoplados a
tubos fotomultiplicadores sensibles a la posición, Hamamatsu H7546 utilizando
fibras ópticas.
La resolución en enerǵıa para un arreglo de detectores t́ıpico va del 28% al 75%
con un promedio de 42%. La resolución espacial de las imágenes reconstruidas en
dirección tangencial es de 1.07 mm FWHM cerca del centro del campo de vista
(CFOV) y en la dirección radial de 1.13 mm. La sensibilidad máxima es de 2.26
% en el CFOV. Estos datos son los reportados por Yang et al. (2007), donde se
indica que se harán mejoras al sistema para obtener mejores caracteŕısticas.
13
14
Caṕıtulo 3
Pre-procesamiento de datos y
reconstrucción de imágenes
tomográficas
3.1 Introducción
Para extraer la información de los estudios de PET a partir de los datos registra-
dos en un equipo de cómputo es necesario realizar un procesamiento de los datos
que permita visualizar la distribución espacio-temporal del radionúclido dentro
del sujeto de la manera más cercana a la realidad.
Si representamos la distribución del radionúclido en el espacio en tres di-
mensiones como f(~x), el número de eventos detectados entre dos detectores es
proporcional a la concentración de actividad que se encuentra dentro del volumen
V definido por el tubo de detección entre los detectores, como se muestra en la
figura 3.1 (Torres, 2009). El número de fotones detectados también depende de
otros factores como la sensibilidad de detección, la atenuación y la dispersión en
el medio. Tomando sólo en cuenta la sensibilidad de los detectores, el número
esperado de fotones detectados por unidad de tiempo se define como
E{fotones} =
∫
V
f(~x)s(~x)d~x (3.1)
15
donde s(~x) es la sensibilidad de detección y la integral es sobre el volumen V
del tubo de detección.
Figura 3.1: El número de fotones detectado en un determinado tubo de detección
(en este caso de sección cuadrada) es proporcional a la concentración de actividad
dentro del volumenque atraviesa el tubo.
Existen distintos métodos de reconstrucción de imágenes tomográficas a partir
de los datos de eventos registrados, los cuales se dividen en métodos anaĺıticos
y métodos algebraicos. Entre los métodos anaĺıticos se suele utilizar la retro-
proyección filtrada (FBP) que hace uso de la transformada de Radón para obtener
imágenes tomográficas a partir de los datos organizados en sinogramas. Entre los
métodos algebraicos más populares se encuentran el algoritmo ML-EM (Maxi-
mum Likelihood Expectation Maximization) y OSEM (Ordered Subsets Expec-
tation Maximization) con los cuales se obtienen mejores resultados comparados
con FBP (Reader y Zaidi, 2007). La desventaja de estos últimos algoritmos
es que requieren mayores recursos computacionales para su funcionamiento, sin
embargo, gracias al avance tecnológico su uso es cada vez más común.
16
3.2 Organización de los datos
Como se mencionó en la sección 2.2, los datos de los eventos en coincidencia
registrados se representan mediante ĺıneas de respuesta (LOR) que son ĺıneas
rectas cuyos extremos son las coordenadas en los detectores donde se registraron
los fotones de aniquilación. Estas LOR pueden ser ordenadas de distinta formas,
siendo el sinogramas una de las formas más comunes para hacerlo, ya que a partir
de éstos se pueden aplicar distintos algoritmos de reconstrucción. Otra manera de
ordenar los datos es mediante la obtención de las imágenes de proyecciones planas
a distintos ángulos o el almacenamiento de los datos ordenados en forma de lista.
La forma de organizar los datos dependerá de los algoritmos de reconstrucción
que se deseen utilizar.
El modo de adquisición, ya sea en 2D o 3D, también influye en la elección del
algoritmo de reconstrucción. En la actualidad la gran mayoŕıa de los escáneres
para PET realizan adquisición en 3D, por lo que han surgido distintas técnicas
de reconstrucción para trabajar con datos adquiridos en esta configuración.
3.2.1 Corrección por distorsión geométrica
Parte de la información que se adquiere del estudio son las coordenadas de los
eventos en coincidencia que ocurrieron en los cristales centelladores. Estas coor-
denadas están distribuidas en algún plano de los cristales centelladores (al frente
o a una profundidad constante) y se debe determinar a qué cristal centellador
corresponde cada evento detectado. Esto debido a que existe cierta discrepancia
entre la posición ideal del evento y las coordenadas registradas en la computa-
dora, las cuales presentan distorsiones debido a la no-uniformidad de la respuesta
de los detectores.
El proceso de corrección por distorsión consiste en la determinación de los
centroides de cada cristal centellador y en la asignación a un cristal especifico de
cada evento a partir de estos centroides. Para la determinación de los centroides
de cada cristal se obtiene un mapa de cristales con una gran cantidad de eventos
y se divide en regiones de Voronoi (Alva et al., 2008). Las regiones de Voronoi son
áreas en las que cualquier punto dentro de la misma se encuentra más cercano al
centroide de dicha área que al centroide de cualquier otra región vecina.
17
Figura 3.2: El mapa de cristales obtenido de los datos crudos se corrige definiendo
regiones de Voronoi y asignando los eventos detectados al cristal correspondiente.
Con las regiones de Voronoi determinadas para cada arreglo de cristales cen-
telladores se puede etiquetar cada evento con el cristal centellador en el que
ocurrió su detección y después mapearlo a un arreglo de cristales centelladores
sin distorsión geométrica. La figura 3.2 muestra gráficamente este proceso.
3.2.2 Sinogramas
Los sinogramas son histogramas en dos dimensiones que organizan las ĺıneas de
respuesta (figura 3.3) que se registraron en el estudio. En el eje horizontal se suele
representar la distancia r con respecto al origen de la ĺınea de respuesta y en el eje
vertical el ángulo de la ĺınea de respuesta con respecto a un eje de coordenadas
de referencia de laboratorio (figura 3.4).
Este tipo de representación organiza ĺıneas de respuesta que se encuentran
contenidas en un solo plano, por ejemplo en un corte tomográfico. Debido a esto,
si se desean utilizar ĺıneas de respuesta oblicuas (fuera del plano) éstas deben
organizarse de tal forma que sean asignadas a un plano determinado. Se han de-
sarrollado distintos algoritmos para realizar esta asignación llamados algoritmos
18
Figura 3.3: Las variables que definen una ĺınea de respuesta en un plano son
la distancia r con respecto al origen del eje de coordenadas de laboratorio y el
ángulo θ con respecto a un eje coordenado.
de remuestreo.
3.2.2.1 Algoritmos de remuestreo
Con la aparición de escáneres que realizaban adquisición en 3D se comenzaron a
desarrollar algoritmos para reconstruir a partir de la información que entregaban
estos equipos. El principal problema que se teńıa era la carga computacional que
demandaban los algoritmos de reconstrucción. Debido a esto, un acercamiento
al problema fue el desarrollo de algoritmos que ayudaran a obtener información
en 2D a partir de las adquisiciones en 3D para después aplicar los algoritmos de
reconstrucción en 2D.
El problema a resolver es cómo asignar las ĺıneas de respuesta oblicuas a planos
en 2D de manera que contribuyan al plano que les corresponde, es decir, al plano
en el que es más probable que haya ocurrido la aniquilación.
Single Slice Rebinning El método de Single Slice Rebinning (SSRB) asigna
las ĺıneas de respuesta oblicuas al plano transaxial que se encuentra en el punto
19
Figura 3.4: Sinograma de una fuente puntual fuera de eje donde las variables r
y θ de las ĺıneas de respuesta provenientes de la fuente son organizadas en un
histograma en dos dimensiones.
medio de la ĺınea de respuesta (Erlandsson et al., 1994). Esta aproximación
asume que la aniquilación ocurrió en el punto medio de la ĺınea respuesta (figura
3.5), por lo que se obtienen buenos resultados cuando la distribución de actividad
del sujeto en estudio se encuentra concentrada en el centro del campo de vista.
En los extremos del eje axial la imagen se deteriora haciendo este método poco
recomendable para escáneres de eje axial corto. La ventaja que presenta este
algoritmo es su fácil implementación y baja carga computacional.
Multiple Slice Rebinning Esta aproximación asigna las ĺıneas de respuesta
oblicuas a todos los planos transaxiales por los que cruzan, asignándole un peso
a la ĺınea de respuesta para cada plano (figura 3.6). Este factor de peso depende
del número de cortes por los que cruce (Lewitt et al., 1994). Este método produce
mejores resultados que el SSRB, sin embargo se observa distorsión en los planos
cercanos al extremo del eje axial además de ser inestable en la presencia de ruido.
20
Figura 3.5: En el método SSRB, una ĺınea de respuesta oblicua es asignada al
plano transaxial que yace en el punto medio de la misma sobre el eje axial.
Figura 3.6: En el método MSRB la ĺınea de respuesta es asignada a múltiples
planos transaxiales intersectados por la ĺınea de respuesta con una contribución
distribuida dependiendo del número planos.
21
Fourier Rebinning El método de Fourier Rebinning (FORE) hace uso de las
propiedades de los sinogramas en el espacio de frecuencias para asignar las ĺıneas
de respuesta oblicuas a planos transaxiales (Defrise et al., 1997). Realizando la
transformada de Fourier en dos dimensiones de los sinogramas se obtiene una
imagen donde en un eje se representa la transformada discreta de Fourier de la
distancia radial y en el otro los coeficientes de la expansión en series de Fourier
con respecto al ángulo θ, quedando la transformada de Fourier del sinograma en
función de ω y k (figura 3.7). La relación frecuencia distancia de los coeficientes de
Fourier implica que la contribuciónmás significativa que tiene un punto arbitrario
en el plano (ω, k) ocurre a un valor de θ tal que la distancia t del punto a lo largo
de la LOR es −k/ω, es decir, t = −k/ω (Edholm et al., 1986). De esta manera
se pueden asignar los coeficientes de Fourier a los planos a los que contribuyen
en mayor medida.
Figura 3.7: Plano para representar la transformada de Fourier de un sinograma
en el espacio de frecuencias (ω, k).
22
La interpretación geométrica de la relación frecuencia distancia se puede ob-
servar en la figura 3.8. Conociendo el ángulo φ entre la ĺınea de respuesta y el
plano transaxial y determinando la distancia t mediante la relación frecuencia
distancia se puede conocer el punto z′ en el que se encuentra el plano transaxial
al que contribuye más el punto (ω, k) de la transformada de Fourier del sinograma
oblicuo.
tan(φ) =
z′ − z
t
(3.2)
z′ = z + t tan(φ) (3.3)
z′ = z + tδ (3.4)
Figura 3.8: Determinando la distancia t con los valores de los elementos (ω,
k) de un sinograma oblicuo se puede conocer el punto z′ sobre el eje axial que
corresponde al plano al que contribuye en mayor medida la frecuencia del punto
(ω, k).
23
La implementación de este algoritmo requiere una parametrización de los sino-
gramas mediante las variables r, θ, z y δ. La variable z se define como el punto
medio de la ĺınea de respuesta sobre el eje axial y δ es la tangente del ángulo
φ entre la ĺınea de respuesta y el plano transaxial (figura 3.9). Cada par (z, δ)
define un sinograma oblicuo. Las variables r y θ son las usuales del sinograma.
z =
za + zb
2
(3.5)
δ = tan(φ) (3.6)
Figura 3.9: Un sinograma oblicuo definido entre dos anillos de detección distintos
se parametriza con las variables δ = tan(φ) y z.
Para un escáner con N anillos se tienen N sinogramas directos (δ = 0) y
N(N − 1) sinogramas oblicuos, con un total de N2 sinogramas. Una vez que se
24
obtiene la transformada de Fourier de los N2 sinogramas se divide el plano (ω,
k) en tres regiones.
Figura 3.10: El plano de la transformada de Fourier del sinograma se divide en
tres zonas para aplicar los distintos pasos del algoritmo de Fourier Rebinning en
cada región.
Los ĺımites que delimitan las tres regiones son klim, ωlim y la recta definida
por k = ωR, donde R es el radio del campo de vista, como se muestra en la
figura 3.10. En la región 2 se encuentran los coeficientes que no contribuyen al
sinograma por lo que esta región se desprecia y en la región 3 de bajas frecuencias
se promedian las contribuciones de los sinogramas oblicuos que tienen un valor
de δ pequeño. El algoritmo de Fourier Rebinning se aplica en la región 1 de altas
frecuencias.
El algoritmo consiste en el cálculo de z′ para cada muestra dentro de la región
1 de la transformada de Fourier de los sinogramas oblicuos y asignar la muestra
a la transformada de Fourier del sinograma en el corte z′ (figura 3.11). En caso
de no tener un sinograma exactamente en z′ se interpola para los cortes que se
hayan definido.
25
Figura 3.11: Con los valores (ω, k) de cada muestra de la transformada de Fourier
del sinograma se calcula el valor z′ que corresponde al plano perpendicular al eje
axial al que se le asignará la muestra situada en (ω, k).
Los sinogramas que se obtienen a partir del remuestreo (independientemente
del método utilizado) se pueden reconstruir con cualquier método de reconstruc-
ción como retroproyección filtrada o con métodos iterativos.
3.2.3 Correcciones aplicadas al sinograma
Antes de aplicar los algoritmos de reconstrucción a los sinogramas se les deben
aplicar ciertas correcciones para obtener una imagen tomográfica que represente
la concentración de actividad más fiel a la realidad.
Corrección por centro de rotación Cuando el escáner con el que se realiza
el estudio consta de varios módulos de detección y éstos deben rotar puede existir
una desalineación entre los centros de rotación (COR) de los distintos módulos.
Esta discrepancia provoca que las distintas regiones del sinograma, cada una con
contribuciones de diferentes módulos de detección, se encuentren desalineadas.
Al aplicar los algoritmos de reconstrucción esta desalineación provoca distorsión
en la imagen final.
26
La corrección consiste en la determinación del centro de rotación de cada
módulo de detección y en el traslado de la parte del sinograma correspondiente
a cada módulo de detección al centro de rotación del sinograma (figura 3.12).
Figura 3.12: El desplazamiento observado en el sinograma por diferencias en el
centro de rotación se corrige mediante un corrimiento de las partes del sinograma.
Normalización La sensibilidad de los distintos elementos de detección vaŕıa
dependiendo de factores geométricos y f́ısicos. La diferencia en la sensibilidad
provoca que algunas regiones del sinograma detecten menos ĺıneas de respuesta
que otras. La corrección por normalización consiste en homogeneizar la eficiencia
de detección aplicando un factor de corrección al número de eventos registrados en
cada elemento de detección. Al trabajar con sinogramas la corrección se realiza
multiplicando cada sinograma por otro sinograma que contiene los factores de
corrección para cada elemento.
De manera experimental los factores de corrección se determinan realizando
una adquisición en coincidencia de una fuente de actividad uniforme, como podŕıa
ser una fuente plana en distintas rotaciones o un cilindro. Con este tipo de
fuentes se sabe que si la eficiencia de detección de cada elemento de detección
fuera uniforme el sinograma obtenido también seŕıa uniforme. Con base en esto,
27
se obtiene un promedio de las cuentas en el sinograma y se le multiplica el inverso
del sinograma para obtener los factores de corrección que harán que la eficiencia
de detección sea homogénea (figura 3.13). El factor de normalización para una
ĺınea de respuesta j se calcula como (Cherry et al., 2003):
Normj =
Nj
< N >
(3.7)
donde Nj es el número de cuentas en la ĺınea de respuesta j y < N > es el
promedio de número de cuentas para todas las ĺıneas de respuesta. De esta forma
el número de cuentas de una ĺınea de respuesta en un sinograma se corrige por
normalización siguiendo la ecuación
CNormj =
Cj
Normj
(3.8)
donde CNormj es el número de cuentas de la ĺınea de respuesta j corregido
por normalización y Cj es el número de cuentas de la ĺınea de respuesta j sin
corrección.
Para obtener una buena determinación del sinograma de normalización se
debe realizar un estudio de la fuente con suficientes cuentas para tener una buena
estad́ıstica. Con alrededor de 400 coincidencias por ĺınea de respuesta se deter-
minan los factores de corrección con una precisión del 5% (Defrise et al., 1991).
Corrección por decaimiento Cuando se realizan estudios con radionúclidos
con vida media comparable al tiempo en el que se realiza el estudio, el número de
cuentas registrado en cierto intervalo de tiempo debe corregirse por el decaimiento
radioactivo del radionúclido. Aśı, el número de cuentas registrado en las últimas
adquisiciones del estudio serán multiplicadas por un factor mayor que las cuentas
de las primeras adquisiciones.
El factor de corrección por decaimiento para una adquisición ocurrida en el
tiempo t y con intervalo de duración ∆t se calcula siguiendo la siguiente ecuación
(Cherry et al., 2003):
28
Figura 3.13: El sinograma de una fuente uniforme se observa con variaciones en el
número de cuentas debido a la diferencia en la eficiencia de detección. Corrigiendo
por normalización el sinograma se homogeniza.
DFeff (t,∆t) = exp(− ln(2)× t/T1/2)× [(1− exp(−x))/x] (3.9)
donde T1/2 es la vida media del radionúclido con el que se realizó el estudio y
x = ln 2×∆t/T1/2.
3.2.4 Proyecciones
Usando solo ĺıneas de respuesta que cumplan con geometŕıa de haz paralelo se
pueden obtener proyecciones en un plano de la distribución delradionúclido a
distintos ángulos. Estas proyecciones se pueden utilizar para realizar la recons-
trucción tomográfica. Esta forma de almacenamiento de los datos (imágenes de
proyecciones) es conveniente cuando se realiza adquisición en 2D, ya que si se
utilizara modo de adquisición en 3D se tendŕıan que despreciar muchas ĺıneas de
respuesta oblicuas para obtener las proyecciones. La geometŕıa de haz paralelo
29
es útil para vigilar prácticamente en tiempo real si la adquisición de datos en
coincidencia se ésta realizando correctamente.
3.2.5 Modo de lista
En esta forma de almacenamiento de datos todas las ĺıneas de respuesta se van
registrando tomando en cuenta el par de detectores donde se registraron los dos
eventos en coincidencia. Una de las ventajas de esta forma de registrar los datos es
la ausencia de un muestreo en el que la información puede ser alterada. Este modo
de almacenamiento de datos requiere del uso de métodos de reconstrucción itera-
tivos, que aunque requieren de mucho proceso de cómputo, son los que mejores
resultados arrojan.
3.3 Métodos de reconstrucción anaĺıticos
Los métodos anaĺıticos requieren de la información organizada en sinogramas o
proyecciones ya que operan sobre la intensidad de las ĺıneas de respuesta que
matemáticamente representan la integral de ĺınea de la actividad de las muestras.
Muchos de estos métodos hacen uso de la transformada de Fourier y del teorema
de corte central (Natterer, 1986) para reconstruir las imágenes.
3.3.1 Retroproyección filtrada
La retroproyección filtrada hace uso de los sinogramas para reconstruir la imagen
tomográfica. Las imágenes reconstruidas de esta manera presentan artefactos
que se pueden corregir utilizando filtros que toman en cuenta el proceso de retro-
proyección.
Las proyecciones obtenidas a distintos ángulos son retroproyectadas sobre un
plano para obtener la imagen (figura 3.14). Al realizar la operación de retro-
proyección se obtiene la imagen a través de una convolución con la función 1/r
por lo que se observan artefactos en la imagen reconstruida que provocan bor-
rosidad. Una convolución en el espacio de coordenadas se transforma en una
multiplicación en el dominio de las frecuencias, por lo que al realizar la transfor-
30
mada de Fourier de la retroproyección se puede multiplicar por el filtro necesario
para obtener la imagen con un mı́nimo de artefactos.
Figura 3.14: La retroproyección de las proyecciones a distintos ángulos recons-
truye la imagen. La calidad de la imagen mejora usando mayor cantidad de
proyecciones.
Este método de reconstrucción es más adecuado para estudios de tomograf́ıa
computarizada (tomograf́ıa de transmisión) debido a la f́ısica del proceso de de-
tección. En el caso de tomograf́ıa por emisión (PET, SPECT) los métodos itera-
tivos arrojan mejores resultados.
3.4 Métodos de reconstrucción iterativos
Los métodos de reconstrucción iterativos comienzan con una estimación inicial
de la imagen y la proyectan para comparar esta proyección con los datos de
proyección medidos. Con base en la diferencia entre lo estimado y lo medido se
aplican factores de corrección a la imagen y se vuelve a calcular un estimado.
Este proceso se realiza de forma iterativa hasta obtener un buen estimado de la
imagen.
En la figura 3.15 se muestra una iteración del método iterativo más simple.
La información que se obtiene del estudio experimental son las proyecciones a
distintos ángulos. De la imagen estimada inicial se obtienen las proyecciones a
los mismos ángulos usados en el estudio y se calcula el error de la proyección
31
estimada con respecto a la proyección medida. Con base en este error se calcula
un factor de corrección que se aplica a la imagen. En el ejemplo mostrado el
factor de corrección se suma a los elementos de la imagen.
Los distintos algoritmos desarrollados cambian la forma en que el factor de
corrección es calculado y aplicado a la imagen. Algunos métodos utilizan factores
multiplicativos en lugar de la suma, pero todos los métodos operan básicamente
proyectando y retroproyectando para corregir.
Figura 3.15: Las proyecciones que se obtienen del sujeto bajo estudio se comparan
con las proyecciones de la imagen estimada y mediante una resta se calcula un
factor de corrección. El factor de corrección se distribuye entre el número de
pixeles sobre los que se obtiene la proyección.
32
3.4.1 Maximum Likelihood Expectation Maximization
Entre los algoritmos iterativos existentes, el más utilizado en PET es el algo-
ritmo Ordered Subsets for Expectation Maximization (OSEM), que es una va-
riante del algoritmo Maximum Likelihood Expectation Maximization (ML-EM),
ya que este algoritmo toma en cuenta que el proceso de emisión y detección
sigue una estad́ıstica de Poisson lo que arroja mejores resultados en presencia de
ruido y las imágenes obtenidas son de mejor calidad que las obtenidas con otros
métodos (Shepp y Vardi, 1982). Este tipo de estad́ıstica se introduce en el modelo
matemático del algoritmo para estimar la imagen.
Debido a que la distribución de actividad λ̂ se representa mediante pixeles, o
voxeles en el caso tridimensional, se definen los pixeles con los que se reconstruirá
la imagen como b = 1, ..., B, donde B es el número total de pixeles (se expresa
la imagen como un vector). Los pares de detectores con los que se obtienen las
cuentas por ĺınea de respuesta se definen como d = 1, ..., D (figura 3.16), donde
D es el número total de pares de detección. Dadas estas dos variables se necesita
conocer la probabilidad p(b, d) de que un evento emitido en el pixel b sea detectado
en el par de detección d. Esta probabilidad depende de la geometŕıa del sistema
y de la f́ısica del proceso de emisión y detección de fotones.
Todos los elementos de probabilidad p(b, d) se suelen representar de forma
matricial y en conjunto forman lo que se conoce como la matriz del sistema. El
tamaño de esta matriz es de D × B, por lo que puede llegar a ser muy grande
aunque con muchos elementos iguales a cero. El cálculo de esta matriz se puede
hacer de distintas formas. De forma experimental se colocan fuentes puntuales
en la posición de cada uno de los voxeles y se mide la respuesta de los detectores
(Tohme y Qi, 2009). Este método es muy tardado aunque con él se puede obtener
información que con otros métodos no es posible obtener, como los efectos f́ısicos
del proceso de detección. Otra manera de calcular la matriz del sistema es me-
diante simulaciones Monte Carlo modelando la geometŕıa del sistema y utilizando
de igual forma fuentes puntuales en distintas posiciones o fuentes extendidas
cubriendo todo el campo de vista.
La matriz del sistema, además de contener información sobre la probabilidad
de detección debido a la geometŕıa, puede incorporar información sobre la f́ısica
33
Figura 3.16: De la imagen reconstruida mediante pixeles se debe conocer la pro-
babilidad de que un par de fotones emitidos en dicho pixel sea detectado por cada
uno de los pares de detectores.
34
del proceso de emisión y detección, como el efecto del alcance del positrón, la no
colinealidad en la emisión de los fotones y la eficiencia de detección debido a la
composición de los detectores. Dependiendo del método utilizado para calcular
la matriz del sistema ésta incorporará los distintos procesos involucrados en el
estudio PET y la calidad de la reconstrucción variará en función de los procesos
considerados en el algoritmo iterativo.
La ecuación que utiliza el algoritmo ML-EM se obtiene del estimado de la
máxima probabilidad de la distribución de actividad λ̂ dado el número de cuentas
n∗ que se detectan en los módulos de detección.
λ̂new(b) = λ̂old(b)
D∑
d=1
n∗(d)p(b, d)
B∑
b′=1
λ̂old(b′)p(b′, d)
(3.10)
donde λ̂old es la distribución en la iteración anterior.
Este algoritmo puede utilizarsetanto con los datos en forma de sinogramas
como en forma de modo de lista.
3.4.2 OSEM
Una variante del método ML-EM es OSEM (Ordered Subsets for Expectation
Maximization), en el cual se aplica el mismo algoritmo de reconstrucción que
en ML-EM pero sólo utilizando un subconjunto (subset) de los datos en cada
iteración (Hudson y Larkin, 1994). De esta manera se acelera el proceso de
reconstrucción obteniendo los mismos resultados del algoritmo ML-EM. El grado
de aceleración depende del número de subsets utilizados. Por ejemplo, al utilizar
16 subsets de datos se reconstruye 16 veces más rápido ya que se obtiene la misma
reconstrucción que la obtenida con 16 iteraciones de ML-EM.
3.4.3 Regularización
Una desventaja del método ML-EM es el deterioro de la imagen después de de-
terminado número de iteraciones a causa del ruido. Para corregir esto, se han
35
desarrollado distintos métodos que logran una convergencia en la imagen después
de cierto número de iteraciones. Estos métodos se basan en la estimación llamada
”maximum a posteriori” (MAP) de la imagen.
Uno de estos métodos hace uso de filtros espaciales para evitar el deterioro de
la imagen con sucesivas iteraciones (Alenius et al., 1998). El estimado λ̂new(b) se
obtiene multiplicando el estimado obtenido del algoritmo ML-EM por el factor
de corrección d(b)
d(b) =
(
1 + βr
λ̂old(b)− f(λ̂old(b))
f(λ̂old(b))
)−1
(3.11)
donde βr es un factor de peso y f(·) es un filtro que puede ser de mediana o
de tipo Gaussiano. De esta manera el algoritmo ML-EM regularizado resulta
λ̂new(b) = λ̂old(b)
D∑
d=1
n∗(d)p(b, d)
B∑
b′=1
λ̂old(b′)p(b′, d)
d(b) (3.12)
La aplicación del término de regularización asegura una convergencia en la
estimación de la imagen. La desventaja del método es que se pierde un poco de
resolución espacial debido al suavizado del filtro.
3.4.4 Cálculos de la matriz del sistema por geometŕıa
La probabilidad de que una ĺınea de respuesta emitida en cierta región espacial
sea detectada por un determinado par de detectores depende en gran medida de
la posición de los mismos alrededor de la muestra, por lo que el cálculo de la
matriz del sistema con base sólo en consideraciones geométricas arroja buenos
resultados.
Uno de los métodos más sencillos para calcular los elementos de la matriz del
sistema con base en la geometŕıa del sistema considera ĺıneas de detección entre
cada par de detectores (centro a centro) y asigna una probabilidad a cada pixel de-
pendiendo del segmento de la ĺınea que lo cruza (figura 3.17). Esta aproximación
36
es poco realista ya que no considera el ancho de los detectores.
Figura 3.17: La probabilidad de que un par de fotones emitidos en b sean detec-
tados en el par de detección d se considera proporcional al largo del segmento de
ĺınea que cruza el pixel b.
Un segundo método toma en cuenta el ancho de los detectores, definiendo
de esta forma tiras de detección (figura 3.18), o tubos de detección en el caso
tridimensional, entre cada par de detectores. En este caso la probabilidad se
asigna dependiendo del área de la tira de detección que cruza el pixel, como se
muestra en la figura 3.18. Este método fue el utilizado en esta tesis.
El cálculo de la matriz del sistema tomando en cuenta sólo consideraciones
geométricas se puede realizar mediante programación y es el método más rápido
en comparación con el cálculo experimental y con simulaciones Monte Carlo.
3.4.5 Cálculo de la matriz mediante simulaciones Monte
Carlo
Existen distintas formas para el cálculo de los elementos de la matriz del sistema
mediante simulaciones Monte Carlo (Gimenez et al., 2006). Una manera consiste
en la simulación de distintas fuentes puntuales colocadas en la posición de los
37
Figura 3.18: La probabilidad de que un par de fotones emitidos en el pixel b sean
detectados por el par de detección d se considera proporcional al área de la tira
que cubre el pixel b.
38
pixeles o voxeles en el campo de vista del escáner PET y observar la respuesta de
los detectores del sistema, análogo al caso experimental. Otra manera consiste en
la simulación de una fuente uniforme que cubra el campo de vista dividiéndola en
los voxeles o pixeles que se utilizarán en la reconstrucción y midiendo la respuesta
de los detectores debida a la emisión en cada pixel o voxel (figura 3.19).
Figura 3.19: Para calcular los elementos de la matriz del sistema mediante simu-
laciones Monte Carlo se mide la respuesta en cada uno de los detectores debida
a cada voxel o pixel.
Una de las desventajas de las simulaciones Monte Carlo es que se requiere
de mucho tiempo de procesamiento, aún con computadoras modernas, ya que se
necesita realizar la simulación de una cantidad de eventos suficientes como para
tener una buena estad́ıstica en la determinación de los elementos de la matriz
del sistema. El espacio de almacenamiento de los datos también puede llegar a
ser considerable. La ventaja de las simulaciones Monte Carlo es que se pueden
incorporar los efectos debidos a la f́ısica de emisión y detección en la matriz del
sistema.
3.5 Proceso total para la formación de imágenes
Realizando todo el procesamiento que se ha detallado en las secciones anteriores,
se obtienen las imágenes tomográficas de un estudio PET. Dependiendo del algo-
ritmo de remuestreo que se desee usar, los procesos se deben realizar en distinto
39
orden. En la figura 3.20 se muestra un diagrama de flujo del procedimiento que
se debe realizar al utilizar SSRB y MSRB y en la figura 3.21 para FORE.
40
Figura 3.20: Diagrama de flujo para el procesamiento de los datos al utilizar SSRB
y MSRB. Este procedimiento se aplica para cada intervalo angular de adquisición
de datos.
41
Obtención de los datos en los sistemas de 
coordenadas de los detectores individu ales (x, y, E) 
l 
Asignación de cada evento a los cristales ordenados 
(corrección por distorsión geométrica ) 
~ ~ 
Remu estreo siguiendo Remu estreo siguiendo 
SS RB MSRB 
I 
~ 
Cálculo de (r; e) para cada evento en coincidencia con 
respecto al sistema de coordenadas de laboratorio 
1 
Cálculo del sinograma y corrección por: 
L Decaimiento 
2. Centro de Rotación 
3. Norm alización 
Reconstru cción con FBP 
Reconstru cción con 
métodos iterativos 
Figura 3.21: Diagrama de flujo para el procesamiento de los datos al utilizar
FORE. Este procedimiento se aplica para cada intervalo angular de adquisición
de datos. TF y TIF se refiere a transformada de Fourier y Transformada Inversa
de Fourier, respectivamente
42
Obtención de los datos en los sistemas de 
coordenadas de los detectores individu ales (x, y, E) 
Asignación de cada evento a los cristales ordenados 
(corrección por distorsión geométrica) 
+ 
Cálculo de (1;8) para obtener los sinogramas oblicu os 
y ordenarlos por su valor (z,6 ) (ecuaciones 3.5 y 3.6) 
+ 
I Correcciones por: 1. Decaimiento 1. Centro de Rotación 3. Norm alización I 
Dominio I InicializarTF de sinogramas en planos Zd I 
de + 
frecuencia Cálculo de la TF de los sinogramas oblicu os 
+ 
Delimitarlas 3 regiones de la TF de los sinogramas 
oblicu os (fig.3.10 ) 
Para cada elemento (w, k) de la TF 
de los sinogramas oblicu os, 
calcular z' =z-6k/ w (fig. 3.11 ) Para los sinogramas oblicu os con 
+ (z,6=0) asignar cada elemento (w, k) a los sinogramas en los planos 
Asignar dicho elemento (w, k) a zdmas cercanos a Z interpolando 
los sinogramas en los planos Zd 
mas cercanos a z' interpolando 
I Unir región 1 y 3 de los sinogramas Zd J 
I Aplicar la TIF de los sinogramas I 
Reconstru cción con FBP 
Reconstru cción con 
métodos iterativos 
43
Caṕıtulo 4
Caracterización del prototipo
microPET
4.1 Introducción
Para determinar el desempeño de un escáner PET se realizan una serie de pruebas
que arrojan información sobre sus caracteŕısticas, como son la resolución espa-
cial, la resolución en enerǵıa y la sensibilidad. Estas pruebaspueden realizarse
siguiendo protocolos que describen los materiales y métodos que se deben usar
(e.g. NEMA NU 4-2008).
4.2 Caracteŕısticas del prototipo microPET
El sistema consta de 4 módulos de detección. Cada módulo está formado de
un arreglo de cristales centelladores LYSO de 16 × 16 elementos de 1 × 1 ×
10 mm3 cada uno, con un pitch de 1.075 mm (material reflejante entre cristales
de 0.075 mm). Cada arreglo de cristales centelladores está acoplado a un tubo
fotomultiplicador sensible a la posición (PS-PMT) Hamamatsu H7546 con 64
señales de salida y una señal de disparo (d́ınodo 12).
Se usaron dos tipos de electrónica en la elaboración de esta tesis para el proce-
samiento de estas señales. Un primer diseño usaba la implementación de cadenas
resistivas con las que se redućıa el número de señales de 64 a 4. Estas señales se
44
amplificaban posteriormente en módulos preamplificadores lineales de 16 canales
Philips Scientific modelo 776, cada canal con una ganancia de 2. Las señales
del d́ınodo 12 se invert́ıan con módulos NIM, ya que las tarjetas digitalizadoras
(zawarzin) trabajan con señales negativas. Debido a que no se contaban con los
suficientes módulos NIM para amplificar e invertir las señales, se diseñó una nueva
electrónica.
El segundo diseño de la electrónica usa de igual manera cadenas resistivas para
reducir el número de señales de 64 a 4. A estas cadenas se agregó una etapa de
amplificación e inversión utilizando amplificadores operacionales de alta velocidad
y alto desempeño AD8002AR de Analog Devices, con un valor de ganancia 2. De
esta manera las señales pueden entrar a las tarjetas digitalizadoras sin pasar por
los módulos NIM. Todos los componentes de este último diseño son de montaje
superficial, a excepción del conector de las señales y del d́ınodo, para reducir
al máximo el tamaño del circuito impreso. Las señales se digitalizan con una
resolución de 12 bits y son transferidas v́ıa Ethernet a la computadora.
A diferencia del prototipo microPET desarrollado con anterioridad en el IF-
UNAM (Alva, 2009), que contaba con PS-PMTs Hamamatsu H8500, nuestro
prototipo tiene una campo de vista más reducido, de alrededor de 16× 16 mm2.
Los 4 módulos de detección se encuentran montados en un anillo con una
distancia entre detectores opuestos de 102 mm, como se muestra en la figura 4.2.
El campo de vista que se obtiene es de 17.2 mm en el plano transaxial. Las
muestras son colocadas en el centro del anillo y en el caso de las adquisiciones
tomográficas éstas son rotadas por un motor que se controla automáticamente en
sincronización con la adquisición de datos. Una adquisición t́ıpica requiere el uso
de 30 proyecciones de 0◦ a 90◦ durante tiempos de 3 a 4 minutos cada una. La
ventana de coincidencia siempre se mantuvo en 12 ns, y el tiempo de integración
240 ns.
4.3 Resolución en enerǵıa
La habilidad de un detector para determinar la enerǵıa de un fotón que interac-
ciona en él se conoce como resolución en enerǵıa (Cherry y Dahlbom, 2006). La
incertidumbre en la determinación de la enerǵıa del fotón se debe principalmente a
45
Figura 4.1: a) Módulos NIM para el procesamiento de las señales, b) Arreglo de
cristales centelladores LYSO y PMT sensible a la posición Hamamatsu H7546, c)
Tarjeta DAQ96, d) Cristales centelladores acoplados al PS-PMT y a la cadena
resistiva
46
Figura 4.2: Disposición de los 4 módulos de detección etiquetados como Z1, Z2,
Z5 y Z6. Z1 funciona en coincidencia con Z5, mientras que Z2 lo hace con Z6
47
la naturaleza del proceso de detección que sigue una estad́ıstica de Poisson (Knoll,
2000). Los espectros t́ıpicos que se obtienen de fotones monoenergéticos presentan
una forma gaussiana con el pico centrado en la enerǵıa del fotón primario. El
valor σ de la gaussiana se calcula a partir del FWHM como σ ≈ FWHM/2.35.
La resolución en enerǵıa se calcula como
RE(%) =
FWHM
E0
× 100 (4.1)
donde el FWHM se calcula sobre la gaussiana y E0 es el valor de la enerǵıa a
la que se localiza el pico, como se muestra en la figura 4.3.
Figura 4.3: Espectro que muestra el fotopico sobre el que se calcula la resolución
en enerǵıa.
4.4 Sensibilidad
La sensibilidad del sistema se define como el número de eventos (en cuentas por
segundo) detectados por unidad de concentración de actividad (cps/Bq/ml) en un
48
maniqúı especifico (Cherry y Dahlbom, 2006). También se suele expresar como
la fracción de actividad que produce una detección en coincidencia.
La sensibilidad de un equipo PET depende de diversos factores, como la efi-
ciencia de detección para fotones de 511 keV, el ángulo sólido que cubren los
detectores y la ventana en enerǵıa empleada para la discriminación de eventos.
Una mayor sensibilidad ayuda a obtener imágenes de mejor calidad y a realizar
estudios en menor tiempo con menor cantidad de actividad inyectada al sujeto en
estudio. Es por esto que siempre se busca maximizar la sensibilidad del equipo.
La eficiencia de detección � depende de la composición f́ısica de los elementos
de detección que determina la probabilidad de interacción de los fotones. Si
se considera una ventana de enerǵıa en la detección de los fotones, entonces la
eficiencia de detección está dada por
ε = Φ(1− e−µd) (4.2)
Donde Φ es la cantidad de eventos que caen dentro de la ventana de enerǵıa,
µ es el coeficiente de atenuación lineal del cristal centellador y d es el espesor.
Debido a que un evento en coincidencia requiere de la detección de dos fotones, la
eficiencia de detección en coincidencia está dada por el cuadrado de la ecuación
4.2.
La eficiencia geométrica Ω depende del ángulo sólido con que cubren los de-
tectores a la fuente y de la fracción de empacamiento ϕ. Este último parámetro
se determina a partir del espaciamiento que existe entre los cristales discretos de-
bido al material reflector que se coloca entre ellos. La fracción de empacamiento
es el cociente entre el área del elemento de detección y el área de la superficie
total, incluyendo el espacio muerto.
ϕ =
ancho× alto
(ancho+ espaciamiento)× (alto+ espaciamiento)
(4.3)
Para una fuente puntual la sensibilidad, η, es el producto del cuadrado de
la eficiencia � y la eficiencia geométrica Ω × ϕ. Expresada como porcentaje la
49
eficiencia resulta
η = 100× ε
2ϕΩ
4π
(4.4)
Para una fuente distribuida la expresión resulta más compleja debido a las
diferencias en las eficiencias geométricas y de detección a lo largo del campo de
vista.
La medida de la sensibilidad se realizó utilizando una fuente puntual de 22Na
colocada en el centro del campo de vista y en distintas posiciones sobre el eje
axial (figura 4.4). A partir de los eventos detectados y de la actividad de la
fuente utilizada la sensibilidad absoluta se calcula como
SA =
(
R−Rb
Acal
)
1
0.9060
(4.5)
donde R es la tasa de conteo medida, Rb es la tasa de conteo del fondo, Acal
es la actividad de la fuente utilizada en Bq y el factor 0.9060 se utiliza al emplear
una fuente de 22Na y se debe a la fracción del decaimiento debida a emisión de
positrón.
4.5 Resolución espacial
La resolución espacial de un sistema determina la posibilidad de poder resolver en-
tre dos objetos “pequeños” distintos que se encuentran a una distancia “pequeña”.
En la tomograf́ıa por emisión de positrones el tamaño de los detectores es el
parámetro dominante en la determinación de la resolución espacial. La no coli-
nealidad de la emisión de los fotones de aniquilación, el alcance del positrón, la
penetración en el anillo de detección y los errores de decodificación en los módulos
de detección también contribuyen a la resolución espacial del sistema. Con estos
parámetros se puede calcular la resolución espacial Γ para una fuente puntual a
una distancia radial r del centro como (Moses, 2011):
50
Figura 4.4: Arreglo para cálculo de sensibilidad.