Modelacion-matematica-de-un-cumulo-plaquetario-en-el-proceso-de-la-hemostasia

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Modelación matemática de un cúmulo
plaquetario en el proceso de la
hemostasia
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
F́ısico
PRESENTA:
Luis Abraham Garćıa Hernández
DIRECTOR DE TESIS:
Dra. Catherine Garćıa Reimbert
2012
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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1. Datos del alumno
Garćıa
Hernández
Luis Abraham
58981563
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
F́ısica
407008140
2. Datos del tutor
Dr
Catherine
Garćıa
Reimbert
3. Datos del sinodal 1
Dr
Guillermo
Ramı́rez
Santiago
4. Datos del sinodal 2
Dr
Rosario
Paredes
Gutiérrez
5. Datos del sinodal 3
Dr
Vı́ctor Manuel
Velázquez
Aguilar
6. Datos del sinodal 4
Dr
Ramón Gabriel
Plaza
Villegas
7. Datos del trabajo escrito
Modelación Matemática de un Cúmulo Plaquetario en el Proceso de la Hemostasia
88 p
2012
Modelación Matemática de un Cúmulo
Plaquetario en el Proceso de la Hemostasia
Luis Abraham Garćıa Hernández
Dedicado a
mis padres,
Berta y José Luis
Agradecimientos
En primer lugar quiero agradecer a mis padres, Berta y José Luis, por haberme
dado la vida, por enseñarme a apreciarla como lo más valioso que puedo tener,
por el enorme esfuerzo que han hecho cada d́ıa al educarme y sembrar la semilla
de una persona que puede aportar y hacer algo por los demás, por ayudarme a
tomar buenas decisiones y darme su apoyo y confianza desde que naćı.
A mi hermanita Araceli, por todo su cariño y por sorprenderme cada d́ıa con
su gran capacidad de superación.
Quiero agradecer a toda mi familia, creen en mi y me han dado la confianza
de poder ver cumplidas las metas que me traze. Sin importar la distancia siempre
puedo contar con ellos. Especialmente quiero agradecer a mi t́ıo Chon†, y mis
abuelitas Tomi† y Elena, quienes influyeron de una manera incomparable en mi
vida.
A Olympo, porque fue el primero que me ofreció su amistad, por acompañar-
me en este camino, por cada parranda, por cada palabra de aliento y por cada
vez que estará conmigo.
A Brenda, por todo su amor.
A mi camarada Omar, por ser parte de mis aventuras dentro y fuera de Bátiz
y por esa escapada al Universum que cambió mi destino. A Josafat, Pancho y
Hugo por esos incréıbles partidos de ensueño de basquetbol con los Quarks, pero
más aún por estar conmigo cuando decid́ı tomar el camino de la ciencia.
A Malinalli, Héctor, David, Toño, y Omar, por cada clase hecha un reventón;
por cada reunión convertida en risas y buenos momentos, fueron mi est́ımulo
diario en la Facultad. Me enseñaron que un colega no sólo estudia y tiene los
mismos intereses que tú, sino que juntos formulan ideas, muchas de ellas las vimos
culminadas.
A Gus, por ser un gran amigo dentro y fuera de la Universidad.
A cada uno de mis maestros: Homero Jaramillo, Hermenegildo Barrera, Iliana
Carrillo; me impulsaron desde mi primera formación, me dieron unas excelentes
bases que hoy se ven reflejadas en mi forma de ser y comienzan a serlo como
iv Agradecimientos
profesionista. A mis profesores de la Facultad, en especial a Eduardo Arellano,
Catalina Stern, Andrés Porta, Ricardo Hernández; tuvieron la gentilesa de ser
más que sólo mis profesores: me enseñaron que la ciencia tiene múltiples facetas
y siempre se aprende más en una charla fuera del aula donde se desenmarañan
grandes ideas.
A mi tutora, profesora y amiga, la Dra. Catherine Garćıa, por haberme per-
mitido culminar mi formación universitaria con la eleboración de mi tesis. Por sus
consejos tanto a nivel personal como profesional, por su paciencia y dedicación,
por su ayuda y motivación.
A mis sinodales, el Dr. Guillermo Rámirez y la Dra. Rosario Paredes por ser
un modelo a seguir y por aportar sugerencias muy valiosas en la elaboración de mi
tesis. Al Dr. Vı́ctor Velázquez por ser mi tutor durante la estancia en la Facultad,
profesor, sinodal y amigo. Al Dr. Ramón Plaza por leer tan entusiasmadamente
mi trabajo y por ofrecerme su ayuda en todo momento.
A los miembros del Departamento de Matemáticas y Mecánica del IIMAS.
Al Dr. Manuel de Llano, la Dra. Lourdes Esteva y la Dra. Ma. del Carmen
Jorge por darme la oportunidad de colaborar en sus cursos de licenciatura y per-
mitirme participar en la formación de nuevas generaciones de cient́ıficos.
Finalmente, y con orgullo, a la Universidad Nacional Autónoma de México y
la Facultad de Ciencias; por esta maravillosa institución ha sido posible dar un
paso más en mi formación cient́ıfica.
A todos ustedes, muchas gracias.
Agradezco al Dr. Jorge Ize y al CONACYT por la beca del proyecto Matemáti-
cas no Lineales en la F́ısica y la Ingenieŕıa III –133036– que se me otorgó para la
realización y culminación de mi tesis.
Índice general
1. Introducción 1
2. Bioloǵıa y fisioloǵıa 5
2.1. El sistema circulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Composición de la sangre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Caracteŕısticas f́ısicas y qúımicas de las plaquetas . . . . . . . . . . 9
2.4. Hemostasia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5. Mecanismo del cúmulo plaquetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Leyes de conservación y ecuaciones de evolución 13
3.1. Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Teorema de transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3. Conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4. Conservación del momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5. Ecuaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.6. Ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.7. Procesos de difusión y advección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.7.1. Ecuación de difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.7.2. Ecuación de advección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4. Modelo del cúmulo plaquetario 25
4.1. Elementos que conforman el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2. Ecuaciones del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5. Dinámica del fluido sangúıneo 31
5.1. Simplificaciones de las ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . 31
5.2. Flujo de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.3. Flujo a través del cúmulo plaquetario . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.4. Construcción del perfil de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.5. Solución numérica para el perfil de velocidad . . . . . . . . . . . . 40
6. Dinámica de la activación de plaquetas 45
6.1. Difusión de las plaquetas sin activar . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1.1. Valores numéricos para las plaquetas . . . . . . . . . . . . . 50
6.2. Activación de las plaquetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
vi Índice General
7. Propiedades mecánicas de los enlaces interplaquetarios 55
7.1. Enlaces interplaquetarios con flujo estacionario . . . . . . . . . . . 55
7.2. EDP de enlaces interplaquetarios con flujo constante . . . . . . . . 57
8. Conclusión 61
8.1. Eṕılogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A. Ecuaciones constitutivas 67
B. Cálculos para laobtención del perfil de velocidad 71
B.1. Solución numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
C. Ecuaciones diferenciales 77
Bibliograf́ıa 85
Índice alfabético 87
Caṕıtulo 1
Introducción
La belleza de una flor.
Tengo un amigo artista que suele adoptar una postura con
la que yo no estoy muy de acuerdo. Él sostiene una flor y
dice: “Mira qué bonita es”, y en eso coincidimos. Pero sigue
diciendo: “Yo como artista puedo ver lo bello que es esto,
pero tú como cient́ıfico, lo desmontas todo y lo conviertes
en algo inśıpido”. Entonces pienso que él está diciendo
tonteŕıas. Para empezar, la belleza que él ve también es
accesible para mı́ y para otras personas. Quizá yo no tenga
su refinamiento estético, pero puedo apreciar la belleza de
una flor. Pero al mismo tiempo, yo veo mucho más en la
flor que lo que ve él. Puedo imaginar las células que hay en
ella, las complicadas acciones que tienen lugar en su interior
y que también tienen su belleza. Lo que quiero decir es que
no sólo hay belleza en esta escala: hay también belleza en
una escala más pequeña, en la estructura interna.
De esta manera inicia Richard Feynman [1] una entrevista para el progra-
ma Horizon de la BBC en 1981 en la que sus palabras reflejan cómo es que la
ciencia puede ser más que sólo una disciplina o un campo del conocimiento; los
resultados y las explicaciones que ofrece pueden verse con admiración y ese sentir
lleva a entender a distintos niveles lo maravillosa que es la naturaleza. Constan-
temente el hombre observa la naturaleza y trata de entenderla porque siempre
se encuentra en la búsqueda de una explicación de los fenómenos que suceden en
su entorno, llevándolo inevitablemente a formular una idea que dé explicación de
esos fenómenos.
Una forma de dar explicación a un proceso natural es mediante la formulación
de un modelo; se trata de una abstracción que intenta describir alguna propiedad o
circunstancia derivada de la experimentación o la observación de algún fenómeno,
mediante la aplicación de reglas espećıficas que en el caso que concierne, serán las
leyes de la f́ısica, las cuáles utilizan a las matemáticas como su lenguaje.
2 Caṕıtulo 1. Introducción
Los modelos biológicos tienen la finalidad de hacer una descripción de una
pequeña parte de lo intrincado y complejo que es un ser vivo. Por esta razón
no se pretende explicar de principio a fin todo el comportamiento o la fisioloǵıa;
simplemente se trata de formar piezas como en un rompecabezas que en conjunto
describen a un ser vivo. Esta tesis, en primer lugar, intenta dar un acercamiento
a una función biológica tan cotidiana como la prevención de la pérdida de sangre,
y en segundo lugar ofrecer una descripción cuantitativa desde el punto de vista
de la f́ısica. El objetivo será describir una parte del proceso biológico que evita
la pérdida de la sangre en un organismo viviente utilizando la mecánica de fluidos.
El proceso natural que evita la pérdida de sangre, denominado hemostasia, es
altamente complejo ya que la sangre y los fluidos involucrados son no newtonianos
y la naturaleza elástica de las arterias sugiere un enfoque de sistema no lineal,
llevando a que las ecuaciones que pueden modelar este proceso sean ecuaciones en
derivadas parciales no lineales acopladas. Un modelo propuesto por Aaron Fogel-
son [2],[3] está basado en la dinámica del flujo sangúıneo y la naturaleza difusiva
de las plaquetas. Su trabajo se presenta con un estricto contenido matemático,
sin embargo, las ecuaciones que propone se basan en experimentos realizados in
vitro como los de Eric Grabowski [4] y Vincent Turitto [5].
Figura 1.1: Imagen de microscopio de barrido electrónico de las células que forman
la sangre: heritrocito, plaqueta y leucocito (de izquierda a derecha).
Esta tesis abordará el modelo aunque se propone un enfoque distinto para
evitar los problemas de las ecuaciones acopladas: se pretende obtener soluciones
asequibles para empatar con los conocimientos que se tienen sobre la fisioloǵıa de
las plaquetas.
3
El modelo que se presentará para describir el proceso de la hemostasia no
refleja toda la fisioloǵıa del proceso, sobre todo en la parte qúımica que está invo-
lucrada, de esta manera se introducirán algunas restricciones y simplificaciones.
Los organismos vivos que poseen sangre para el transporte de materiales necesarios
en su metabolismo y como reguladores de sus funciones corporales son propensos
a que en algún momento se presente una pérdida de este vital fluido. Esta pérdida
se evita por medio de distintos mecanismos, entre los que destacan el espasmo
muscular, la formación de un cúmulo de plaquetas y la coagulación sangúınea.
El modelo que se abordará describe el proceso de la formación de un cúmulo de
plaquetas.
En el caṕıtulo 2 se presentan los pormenores del proceso de la hemostasia.
Para ello se inicia con una introducción al sistema circulatorio, con enfoque en los
vasos sangúıneos y los constituyentes de la sangre (Figura 1.1), de esta manera
se presenta un panorama general de la fisioloǵıa involucrada. En el caṕıtulo 3 se
enuncian los elementos de la mecánica de fluidos que se utilizan. Se hace mención
al Teorema de transporte de Reynolds y a las ecuaciones de Navier-Stokes, de los
cuáles se presentan deducciones, pues son el eje del modelo propuesto. Adicional-
mente se introducen los procesos de difusión y advección.
La presentación del modelo del cúmulo plaquetario se realiza en el caṕıtulo
4, propuesto por Aaron Fogelson en su art́ıculo de 1992 [2]. En ese caṕıtulo se
aborda su alcance basado en la f́ısica y la bioloǵıa del proceso y se mencionan
algunos valores numéricos de los elementos involucrados, obtenidos tanto de ma-
nera experimental como teórica. Se utiliza un enfoque del modelo por secciones;
esto quiere decir que se buscan soluciones a las ecuaciones una a una conforme
van entrando nuevos elementos en el proceso de la hemostasia, logrando que el
conjunto de resultados englobe la descripción del problema.
Aśı, en el caṕıtulo 5 se describe la dinámica de la sangre a través de las
arterias cuando se trata con un vaso sangúıneo sin heridas y cuando se presenta
una obstrucción al flujo producto de que comienza la formación de un cúmulo de
plaquetas. Se sigue en el caṕıtulo 6 con la solución de las ecuaciones que describen
cómo se activan las plaquetas para poder unirse al cúmulo y se presenta la difusión
de éstas por el fluido sangúıneo antes y después de ser activadas. Mientras tanto,
en el caṕıtulo 7 se trata sobre las interacciones plaqueta contra plaqueta a nivel
del cúmulo ya formado y de cómo el flujo a su alrededor participa en la agregación
o degradación de plaquetas.
Finalmente, en el caṕıtulo 8 se realiza la discusión de los resultados obtenidos
y se presenta una serie de elementos que pueden ser parte de una investigación
posterior.
4 Caṕıtulo 1. Introducción
Antes de comenzar, es importante mencionar que los resultados que aqúı se
obtienen deben ser contrastados con los resultados que de experimentos in vitro
(o in vivo) se obtengan para averiguar que realmente el modelo tiene el alcance
que se requiere. El impacto que pueda tener el hecho de conocer cómo se evita
la pérdida de sangre de manera natural implica su segura aplicación a la solución
de problemas que la falta o exceso de coagulación puedan traer a un ser vivo.
De esta manera, se necesita conocer el proceso cuando el organismo se encuentra
sano pues es el punto de partida para obtener parámetros útiles en el diagnóstico
y solución de problemas relacionados con la coagulación.
Caṕıtulo 2
Bioloǵıa y fisioloǵıa
Para mantener la vida, un organismo unicelular absorbe los nutrientes reque-
ridos del ambiente inmediato y excreta los productos de desecho nuevamente a su
ambiente. Su vida se mantiene tanto como el ambiente le permita suministrarse
de nutrientes y no se contamine.
Enel cuerpo humano, a pesar de ser un organismo multicelular, cada célula
que lo conforma actúa tanto individual como colectivamente; su ambiente inme-
diato está limitado por los tejidos a los que estos entes unicelulares pertenecen
y al poseer un tamaño relativamente más grande se necesita de la existencia de
un sistema que pueda transportar tanto nutrientes como productos de desecho
alrededor del organismo; éste transporte lo realiza el sistema circulatorio.
En este caṕıtulo se expone el funcionamiento del proceso natural que evita
la pérdida de sangre. Para esto, se presenta al sistema circulatorio junto con sus
constituyentes, entre los que destacan las células plaquetarias que serán el centro
de la discusión expuesta en este trabajo.
2.1. El sistema circulatorio
El sistema circulatorio funciona como una v́ıa de transporte y distribución de
sustancias esenciales (e.g. ox́ıgeno, hormonas) a los tejidos y remueve productos
del metabolismo (e.g. CO2, agua). Además de servir como un importante sistema
de transporte, es fundamental como un regulador de la temperatura del cuerpo,
en la comunicación humoral y en el ajuste del suministro de ox́ıgeno y nutrientes
en diferentes situaciones fisiológicas. Esta es la razón por la que debe establecerse
una circulación adecuada a cada instante a los órganos importantes del cuerpo
(cerebro, corazón y pulmones).
El sistema circulatorio está compuesto por el corazón y los vasos sangúıneos.
Este sistema es responsable de entregar ox́ıgeno y nutrientes a los tejidos, necesa-
rios para los procesos metabólicos, llevar productos de desecho del metabolismo
celular a los órganos excretores para su eliminación, y poner en circulación elec-
trolitos y hormonas necesarias para regular las funciones del cuerpo. Además, es
vital en el transporte de sustancias que contribuyen a los mecanismos de defensa
y de los elementos que evitan la pérdida de sangre.
6 Caṕıtulo 2. Bioloǵıa y fisioloǵıa
El sistema circulatorio consiste básicamente de una bomba central (el corazón)
y los vasos sangúıneos periféricos (arterias, venas y capilares). El medio de trans-
porte es la sangre que circula a través del cuerpo en una red como la mostrada
en la Figura 2.1.
Figura 2.1: Diagrama del sistema circulatorio humano.
Dentro del sistema circulatorio se encuentran dos subsistemas que realizan
funciones de gran importancia: el sistema distribuidor y el sistema colector. El
sistema distribuidor está compuesto de arterias y arteriolas, es responsable de
enviar sangre a varios órganos del cuerpo; estos vasos sangúıneos poseen finos
capilares por los que se realiza un intercambio de sustancias entre la sangre y el
organismo. El sistema colector consiste de venas que colectan sangre con ox́ıgeno
agotado y llenas de productos del proceso metabólico del sistema cardiovascular.
El corazón es un músculo que bombea sangre a través del sistema circulatorio.
Está dividido en ventŕıculo derecho, que entrega sangre al sistema pulmonar y en
ventŕıculo izquierdo, que entrega sangre a la circulación sistémica (vea la Figura
2.1 y 2.2). La acción de “bombeo”del corazón es un proceso de dos fases: la
fase de contracción cuando la sangre es forzada a salir del corazón es conocida
como śıstole; la relajación o fase de llenado cuando la sangre entra al corazón
2.1. El sistema circulatorio 7
es llamada diástole. Durante la śıstole, la presión de la aorta (principal arteria
del ventŕıculo izquierdo) y la arteria pulmonar alcanzan presiones de 120mmHg y
25mmHg respectivamente (cf. Mazumdar [6]). Al final de la śıstole, las válvulas
se cierran, y hay una cáıda abrupta de la presión dentro del corazón (presión
intraventricular).
Figura 2.2: Corazón humano.
Para que el flujo de la sangre no se vea perturbado o interferido por esta
fase de cambio, las arterias y otros vasos deben tener una estructura elástica. El
arreglo morfológico básico de la estructura de la pared de un arteria (o una vena)
se muestra en la Figura 2.3.
El recubrimiento interno de la arteria es el endotelio. La transición entre los
distintos tipos de arterias presentes en el organismo puede ser abrupto o progre-
sivo, sin embargo, el flujo sangúıneo se mantiene cont́ınuo conforme éste fluye. El
sistema cardiovascular entero utiliza el revestimiento endotelial para formar un
canal suave, continuo e ininterrumpido por el que fluye la sangre. Si las paredes
de las arterias fueran ŕıgidas, el flujo de la sangre seŕıa pulsátil en vez de continuo.
Dado que el intercambio de sustancias entre la sangre y el fluido intersticial toma
lugar a través de las paredes de los capilares, es necesario que el flujo sea suave y
continuo.
8 Caṕıtulo 2. Bioloǵıa y fisioloǵıa
Figura 2.3: Sección transversal de una arteria (o una vena) que ilustra las dife-
rentes capas de tejido que están presentes en ella.
2.2. Composición de la sangre
Fisiológicamente, la sangre actúa como transportador y como un sistema de
distribución de los materiales en el cuerpo. La sangre es una suspensión de part́ıcu-
las en una solución acuosa, no es un fluido homogéneo y tiene algunas propiedades
inusuales. El Cuadro 2.1 presenta una lista de los constituyentes de la sangre (Ma-
zumdar [7]):
Elementos celulares formes Proporción relativa
Células rojas (eritrocitos) 600
Células blancas (leucocitos) 1
Plaquetas (trombocitos) 30
Plasma Fraccción del peso
Agua 0.91
Protéınas 0.07
Solutos inorgánicos 0.01
otras sustancias inorgánicas 0.01
Cuadro 2.1: Constituyentes de la sangre (5× 106[partes/mm3]).
La sangre es un fluido complejo consistente de varios tipos de células y elemen-
tos suspendidos en un medio acuoso llamado plasma. La sangre está compuesta de
células rojas o eritrocitos, células blancas o leucocitos y plaquetas o trombocitos,
estos tres tipos de células constituyen lo que se conoce como elementos formes.
El plasma contiene un espectro complejo de moléculas orgánicas. Se trata de una
2.3. Caracteŕısticas f́ısicas y qúımicas de las plaquetas 9
solución acuosa de electrolitos y sustancias orgánicas, principalmente protéınas.
Los leucocitos tienen un papel muy importante en el combate de enfermeda-
des, formando parte del sistema inmune. Son relativamente menores en número
comparados con los eritrocitos y de esta manera su contribución es insignificante
a los parámetros caracteŕısticos de la circulación.
Los eritrocitos consisten de una membrana muy flexible que encierra una so-
lución concentrada de hemoglobina. La viscosidad de la hemoglobina es 5 veces la
de la sangre, y esto hace posible que los eritrocitos se deformen. Esta propiedad
permite a los eritrocitos, con un diámetro promedio de 8µm no sólo pasar a través
de los capilares (de 5µm de diámetro), sino también pasar a través de la pared
endotelial. Los eritrocitos determinan prácticamente las propiedades mecánicas
de la sangre.
2.3. Caracteŕısticas f́ısicas y qúımicas de las plaquetas
Las plaquetas o trombocitos son fragmentos citoplasmáticos sin núcleo celular
que se producen como consecuencia de la ruptura de los megakariocitos de la
médula ósea con un núcleo altamente poliploide y un citoplasma subdividido por
capas de membranas onduladas (Michelson [8]). En la sangre circulan en forma
de disco biconvexo (discocitos) de aproximadamente 1–4µm de diámetro y 10pg
de peso (vea la Figura 2.4). La concentración normal de plaquetas en la sangre
está entre 1,5 ∼ 3,5× 105[plaquetas/µL] y su tiempo de vida media en la sangre
es de 7 ∼ 10 d́ıas (Garćıa y Coma [9]).
Figura 2.4: Plaquetas observadas bajo microscopio óptico de alta resolución (color
oscuro). Note la diferencia de tamaño con respecto a los eritrocitos cercanos (color
claro).
10 Caṕıtulo 2. Bioloǵıa y fisioloǵıa
Tienen muchas caracteŕısticas funcionales comunes a otras células, aunque no
tienen núcleos ni pueden reproducirse. La membrana celular de las plaquetas cons-
tituye una bicapa lipoproteicacon glucoprotéınas que funcionan como receptores
de los agonistas fisiológicos de las plaquetas (ADP, tromboxano A2, trombina),
protéınas adhesivas y paraligandos fibrosos como el colágeno. Además, posee fos-
foĺıpidos y enzimas importantes para el funcionamiento celular. La cubierta de
glucoprotéınas evita su adherencia al endotelio o a otras plaquetas, y una vez
activadas las plaquetas permite que se adhieran a las áreas lesionadas de la pared
vascular. La membrana es responsable de la interacción de la célula con el me-
dio circundante. Su principal tendencia una vez activadas consiste en agregarse
formando cúmulos. La capa exterior de la membrana está en contacto con el plas-
ma circundante; contiene ATP–asa y es la estructura con la que se adhieren las
plaquetas (posee avidez por protéınas externas).
2.4. Hemostasia
El término hemostasia o hemostasis significa prevención en la pérdida de la
sangre. Siempre que se lesiona o se rompe un vaso, la hemostasia se consigue
mediante diversos mecanismos, como se indica a continuación:
(i). El espasmo vascular.
(ii). La formación de un cúmulo de plaquetas.
(iii). La formación de un coágulo sangúıneo debido a la coagulación de la sangre.
Inmediatamente después de que se corta o se rompe un vaso, el est́ımulo del
traumatismo hace que la pared de la arteria se contraiga, reduciendo instantánea-
mente el flujo de sangre del vaso roto. La mayor parte de la vasoconstricción es
el resultado, probablemente (cf. Guyton [10]), de la contracción miogénica de los
vasos sangúıneos iniciada por la lesión directa de la pared vascular. Este espasmo
vascular local puede durar de minutos a horas, durante las que tienen lugar los
procesos siguientes de acumulación plaquetaria y coagulación sangúınea.
En los vasos pequeños, presentes por ejemplo en las arterias pulmonares o en
los extremos de brazos, piernas y dedos, aśı como en las irrigaciones cerebrales,
las plaquetas son responsables de la mayor parte de la vasoconstricción.
La coagulación de la sangre se lleva a cabo en tres pasos esenciales: primero,
en respuesta a la ruptura del vaso, una cascada compleja de reacciones qúımicas se
producen en la sangre involucrando múltiples factores de coagulación sangúınea.
El resultado neto es la formación de un complejo de sustancias activadoras lla-
madas activadores de protrombina. Segundo, el activador de protrombina cataliza
la conversión de protrombina en trombina. Finalmente, la trombina actúa como
2.5. Mecanismo del cúmulo plaquetario 11
una enzima para convertir el fibrinógeno en fibras que envuelven a las plaquetas,
células de la sangre y el plasma para formar el coágulo.
2.5. Mecanismo del cúmulo plaquetario
La reparación de las brechas vasculares con plaquetas se basa en varias funcio-
nes importantes de la propia plaqueta: cuando las plaquetas entran en contacto
con una superficie vascular dañada, como las fibras de colágeno de la pared vascu-
lar o incluso las células endoteliales, cambian sus caracteŕısticas de forma drástica
(vea la Figura 2.5).
(a) Plaqueta discoide fotografiada en un
microscopio electrónico de barrido a ba-
jo voltaje y alta resolución. Magnificación
×30000.
(b) Plaqueta con pseudópodos radiantes.
Magnificación ×13000.
Figura 2.5: Formas caracteŕısticas de las plaquetas.
En particular, las plaquetas aumentan de tamaño; adoptan formas irregulares
con numerosos pseudópodos radiantes que sobresalen de su superficie (Figura
2.5b); sus protéınas las contraen poderosamente y liberan gránulos con múltiples
factores activos; se hacen más pegajosas de forma que se pegan a las fibras de
colágeno; secretan grandes cantidades de adenośın difosfato (ADP) y sus enzimas
forman el tromboxano A2, que se secreta a la sangre.
El ADP y el tromboxano actúan sobre las plaquetas cercanas activándolas; las
plaquetas adicionales se adhieren a las plaquetas activadas originalmente. Por lo
tanto, en cualquier desgarre del vaso, la pared vascular dañada desencadena una
reacción de activación de un número sucesivamente mayor de plaquetas, que a su
vez atraen más plaquetas adicionales, formando el cúmulo plaquetario; se trata
de un tapón que bloquéa la pérdida de sangre si la brecha vascular es pequeña
(Grabowski [4]).
12 Caṕıtulo 2. Bioloǵıa y fisioloǵıa
Para formar un cúmulo de plaquetas se necesita que exista una concentración
suficientemente alta de ADP aplicada a una suspención de plaquetas, esto lleva a la
agregación, junto con una secreción adicional de ADP por parte de las plaquetas.
Similarmente, se induce una acumulación y liberación de qúımicos si una enzima
coagulante llamada trombina es aplicada a dicha suspensión (cf. Lages [11]).
La respuesta de las plaquetas al ADP es de tipo umbral: bajas dosis de ADP
exógeno resultan en una agregación reversible, mientras que dosis de una concen-
tración suficientemente alta o de umbral llevan a una acumulación irreversible y
una secreción de ADP por parte de las plaquetas.
La importancia del método plaquetario para cerrar los agujeros vasculares
radica en que si la brecha en un vaso es pequeña, el cúmulo plaquetario pue-
de detener por śı mismo la pérdida de sangre, pero si hay un agujero grande,
es necesario un coágulo de sangre para detener la hemorragia. El mecanismo de
taponamiento por parte de las plaquetas es extremadamente importante para ce-
rrar las pequeñ́ısimas rupturas de los diminutos vasos sangúıneos que se producen
cientos de veces. La cohesión de dos plaquetas requiere además el contacto entre
ellas. La flexibilidad de las plaquetas activadas permite gran contacto entre sus
membranas superficales y permite la formación de un paquete muy estrecho de
plaquetas acumuladas.
Los eventos de acumulación plaquetaria ocurren en el plasma sangúıneo en
movimiento y en la interfase sólido–fluido correspondiente a la pared vascular. El
crecimiento del cúmulo de plaquetas puede ser limitado por los esfuerzos de corte
que ejerce el fluido sangúıneo en movimiento sobre el agregado; si estos esfuerzos
son suficientemente fuertes pueden romper los puentes moleculares que atraen
nuevas plaquetas al agregado.
Similarmente, los esfuerzos en el fluido pueden dislocar porciones de un agre-
gado existente (proceso conocido como embolización) rompiendo las conexiones
entre plaquetas y el agregado. Estas observaciones reflejan el hecho de que el cre-
cimiento de agregados depende en parte del fluido que transporta las plaquetas y
de los qúımicos activadores, y que los cúmulos crecen en un ambiente en que las
fuerzas del fluido son importantes. Por lo anterior se espera que debe existir una
relación estrecha entre el crecimiento del agregado y los esfuerzos ejercidos por el
flujo sangúıneo.
Caṕıtulo 3
Leyes de conservación y ecuaciones de
evolución
En este caṕıtulo se presenta el conjunto de ecuaciones que se obtienen al aplicar
las leyes f́ısicas de conservación de la masa y el momento. Se enuncia el Teorema de
transporte que relaciona las derivadas en el sistema de referencia lagrangiano con
las derivadas en el sistema de referencia euleriano. La conservación de la masa
lleva a la ecuación de continuidad, mientras que la conservación del momento
lleva a las ecuaciones de Navier-Stokes. Finalmente se presentan las ecuaciones de
difusión y advección.
3.1. Cinemática
El método utilizado para derivar las ecuaciones que gobiernan el movimiento
de un fluido utiliza el concepto del medio continuo. En la aproximación del medio
continuo se asume que el fluido consiste de materia continua. A cada punto de
este fluido le corresponde un único valor para la velocidad, presión, densidad o
cualquier otra variable de campo. Las variables de campo tales como la densidad
ρ o el campo de velocidades u serán en general funciones de las coordenadas
espaciales y del tiempo; ρ = ρ(x, t) y u = u(x, t), respectivamente.
En medios continuos existen dos maneras diferentes de describir loscambios
que ocurren en las cantidades f́ısicas:
(a). Descripción material o lagrangiana. Se sigue la trayectoria de una part́ıcula
espećıfica; se refiere siempre a la configuración de referencia. Para cualquier
variable η = η(x, t), se sigue a la part́ıcula que estaba en la posición x al
tiempo t = 0, donde x es la posición de la configuración de referencia.
(b). Descripción espacial o euleriana. Se refiere a la posición actual, i.e., se asocia
a un punto del espacio por el que pasan diferentes part́ıculas materiales. Se
presta atención sobre un elemento del fluido de cierta masa conforme éste
fluye.
Sea η alguna variable de campo de un fluido. Desde el punto de vista euleriano,
η puede considerarse como una función de las variables independientes x, y, z y t.
14 Caṕıtulo 3. Leyes de conservación y ecuaciones de evolución
La expresión matemática para la derivada material es:
Dη
Dt
=
∂η
∂t
+ (u · ∇)η ó Dη
Dt
=
∂η
∂t
+ uk
∂η
∂xk
.
La expresión en el lado derecho se encuentra escrita en forma tensorial uti-
lizando la convención de suma de Einstein. Esta derivada representa el cambio
total en la cantidad η como lo veŕıa un observador que está siguiendo un elemento
particular del fluido. El lado derecho de la derivada material representa el cambio
total en η expresado en las coordenadas eulerianas. El término uk(∂η/∂xk) ex-
presa el hecho de que las propiedades del fluido dependen sólo de las coordenadas
espaciales, pues hay un cambio en η debido al hecho de que un elemento del fluido
cambia su posición y por lo tanto asume diferentes valores de η conforme fluye.
El término ∂η/∂t es la derivada temporal euleriana y expresa el hecho de que en
cualquier punto en el espacio las propiedades del fluido cambian con el tiempo.
El concepto de volumen de control como se requiere para derivar las ecuaciones
básicas de conservación está relacionado con las aproximaciones lagrangiana y
euleriana. Independientemente del sistema de coordenadas que se use, existen dos
principales tipos de volumen de control. El primero es un paraleleṕıpedo de lados
δx, δy, δz, donde las propiedades del fluido, tales como la velocidad o la presión se
desarrollan en series de Taylor alrededor del centro del volumen de control para
dar la expresión de esa propiedad en cada cara del volumen. Se utiliza un principio
de conservación y en el ĺımite cuando δx, δy, δz son muy pequeños se obtiene la
ecuación diferencial correspondiente. El segundo tipo de volumen de control no se
limita a las coordenadas cartesianas y cada principio de conservación es aplicado
en una integral sobre el volumen de control. El resultado de aplicar cada principio
de conservación será una ecuación integro–diferencial del tipo∫
V
L[η]dV = 0,
donde L es algún operador diferencial y η es alguna propiedad del fluido.
Como el volumen de control V fue escogido arbitrariamente, la única manera
en que esta ecuación puede ser satisfecha es estableciendo L[η] = 0, que da la
ecuación diferencial de la ley de conservación.
3.2. Teorema de transporte de Reynolds
El método utilizado para derivar las ecuaciones básicas a partir de las leyes de
conservación es utilizar el concepto del continuo y seguir un elemento arbitrario
del volumen de control en un marco de referencia lagrangiano. El resultado que
3.2. Teorema de transporte de Reynolds 15
permite transformar derivadas materiales de integrales de volumen en expresiones
equivalentes que involucran integrales de volumen de derivadas eulerianas es el:
Teorema 1. (de transporte de Reynolds)
Sea η alguna propiedad del fluido y V un volumen de control arbitrario, entonces
tenemos
D
Dt
∫
V
ηdV =
∫
V
[
∂η
∂t
+∇ · (ηu)
]
dV,
o, en notación tensorial,
D
Dt
∫
V
ηdV =
∫
V
[
∂η
∂t
+
∂
∂xk
(ηuk)
]
dV. (3.1)
Demostración. Considere una porción del fluido de cierta masa que se sigue por
un corto periodo de tiempo δt conforme éste fluye. Sea η alguna propiedad del
fluido. Como una porción de masa espećıfica del fluido está siendo considerada y
como x0, y0, z0 y t son las variables independientes en el marco de referencia, la
cantidad η será sólo una función de t: η = η(t). Conforme el volumen de control
de mueve con el fluido la razón de cambio de la integral de η será definida por el
siguiente ĺımite
D
Dt
∫
V (t)
η(t)dV = ĺım
δt→0
{
1
δt
[∫
V (t+δt)
η(t+ δt)dV −
∫
V (t)
η(t)dV
]}
donde V (t) es el volumen de control que contiene la porción de masa espećıfica
del fluido y que puede cambiar su tamaño y forma conforme éste fluye. Sumando
y restando la cantidad η(t+ δt) integrada sobre V (t) dentro del mismo ĺımite se
obtiene
D
Dt
∫
V (t)
η(t)dV = ĺım
δt→0
{
1
δt
[∫
V (t+δt)
η(t+ δt)dV −
∫
V (t)
η(t+ δt)dV
]
+
1
δt
[∫
V (t)
η(t+ δt)dV −
∫
V (t)
η(t)dV
]}
.
Las primeras dos integrales dentro del ĺımite mantienen el integrando fijo y
permiten que el volumen de control vaŕıe mientras que las segundas dos inte-
grales mantiene el volumen V fijo y permiten al integrando η variar. La última
componente del cambio es, por definición, la integral de la derivada euleriana
con respecto al tiempo. Entonces, la expresión para la derivada lagrangiana de la
integral de η puede escribirse de la siguiente forma:
16 Caṕıtulo 3. Leyes de conservación y ecuaciones de evolución
D
Dt
∫
V (t)
η(t)dV = ĺım
δt→0
{
1
δt
[∫
V (t+δt)−V (t)
η(t+ δt)dV
]}
+
∫
V (t)
∂η
∂t
dV. (3.2)
El ĺımite que queda corresponde a un volumen V que cambia mientras η perma-
nece fija y puede ser evaluado utilizando consideraciones geométricas. Considere
la Figura 3.1.
u
n̂
V (t) V (t+ δt)
S(t)
S(t+ δt)
u · n̂δt
δS
Figura 3.1: Un volumen de control con forma arbitraria al tiempo t y t + δt.
Al tiempo t + δt se presenta la superposición de los dos volúmenes de control
mostrando el elemento δV del cambio de volumen.
La Figura 3.1 muestra el volumen de control que encierra la porción de masa
del fluido que se está considerando a los tiempos t y t+δt. Durante este intervalo de
tiempo el volumen de control se ha movido y ha cambiado su tamaño y su forma.
La superficie que encierra V (t) se denota por S(t), y en cualquier punto sobre
esta superficie la velocidad puede ser donatada por u y por la normal exterior
unitaria n̂. También se muestra el volumen de control V (t+δt) superpuesto sobre
V (t). La distancia perpendicular desde algún punto sobre la superficie interior a
la superficie exterior es u · n̂δt, tal que un elemento de área de la superficie δS
corresponde a un elemento del cambio de volumen δV = u · n̂δtδS. Entonces, la
integral de volumen dentro del ĺımite de la ecuación (3.2) puede ser transformada
en una integral de superficie en donde dV es reemplazado por u · n̂δtdS:
D
Dt
∫
V (t)
η(t)dV = ĺım
δt→0
{[∫
S(t)
η(t+ δt)u · n̂dS
]}
+
∫
V (t)
∂η
∂t
dV
=
∫
S(t)
η(t)u · n̂dS +
∫
V (t)
∂η
∂t
dV. (3.3)
Habiendo completado el proceso de ĺımite, la derivada lagrangiana de una
integral de volumen ha sido convertida en una integral de superficie y una integral
3.3. Conservación de la masa 17
de volumen cuyos integrandos contienen sólo derivadas eulerianas. Para convertir
la integral de superficie en una integral de volumen se utiliza el Teorema de la
divergencia de Gauss (cf. Marsden [12]); de esta manera, el término de la integral
de superficie se convierte en:∫
S(t)
η(t)u · n̂dS =
∫
V (t)
∇ · (ηu)dV.
Sustituyendo este resultado dentro de la expresión (3.3) y combinando las dos
integrales de volumen se obtiene la forma usual del Teorema de transporte de
Reynolds1:
D
Dt
∫
V
ηdV =
∫
V
[
∂η
∂t
+∇ · (ηu)
]
dV.
La ecuación (3.1) relaciona la derivada lagrangiana de una integral de volu-
men de una porción de masa dada con una integral de volumen cuyo integrando
contiene sólo derivadas eulerianas.
3.3. Conservación de la masa
Considere una porción de masa del fluido cuyo volumen V se escoge arbitra-
riamente. Si esta porción de masa del fluido es seguida conforme fluye, se ob-servará que su forma y tamaño cambiarán pero su masa permanecerá constante.
Este es el principio de conservación de la masa que se aplica a fluidos en que no
se llevan a cabo reacciones qúımicas y/o nucleares. El equivalente matemático de
este enunciado se puede establecer con una derivada lagrangiana de la porción de
masa del fluido contenida en V , igualada a cero. Esto es, la ecuación que expresa
la conservación de la masa es
D
Dt
∫
V
ηdV = 0.
Esta ecuación puede transformarse a una integral de volumen cuyo integrando
contenga sólo derivadas eulerianas utilizando el Teorema 1, donde la propiedad
del fluido η en este caso es la densidad de masa ρ:∫
V
[
∂ρ
∂t
+∇ · (ρu)
]
dV = 0. (3.4)
Como el volumen V es escogido arbitrariamente, la única forma en que la
ecuación (3.4) se puede satisfacer para todas las posibles elecciones de V es que
1Osborne Reynolds (1842–1912), ingeniero y f́ısico irlandés. Realizó importantes contribu-
ciones en los campos de la hidrodinámica y la dinámica de fluidos, siendo la más notable la
introducción del número adimensional Re utilizado para caracterizar el movimiento de un fluido.
18 Caṕıtulo 3. Leyes de conservación y ecuaciones de evolución
el integrando sea cero. Entonces, la ecuación que expresa la conservación de la
masa es
∂ρ
∂t
+∇ · (ρu) = 0 ó ∂ρ
∂t
+
∂
∂xk
(ρuk) = 0. (3.5)
La ecuación (3.5) expresa más que el simple hecho de que la masa se conserva.
Se relaciona con la elección de las coordenadas eulerianas que permiten la carac-
terización del fluido a través de cantidades macroscópicas tales como la densidad,
velocidad del fluido, presión o temperatura local, etc. Por esta razón, (3.5) es
usualmente llamada ecuación de continuidad .
3.4. Conservación del momento
El principio de conservación del momento es una aplicación de la segunda
Ley de movimiento de Newton a un elemento del fluido. Cuando se considera una
porción de masa del fluido dada en un marco de referencia lagrangiano, se afirma
que la razón a la que el momento de la porción de masa del fluido está cambiando
es igual a la fuerza externa que actúa sobre ella.
Las fuerzas externas que puedan actuar sobre una porción de masa del fluido
pueden ser clasificadas como fuerzas de cuerpo, tales como la fuerza gravitacional
o la fuerza electromagnética, o fuerzas de superficie, tales como las fuerzas de
presión o esfuerzos viscosos. Si f es un vector que representa la resultante de las
fuerzas de cuerpo por unidad de masa, la fuerza de cuerpo externa neta que actúa
sobre la porción de masa de volumen V será
∫
V ρfdV . Además, si P es un vector
de superficie que representa la resultante de las fuerzas superficiales por unidad
de área, la fuerza de superficie externa neta que actúa sobre la superficie S que
contiene a V será
∫
S PdS.
La suma de las fuerzas resultantes evaluadas anteriormente equivalen a la razón
de cambio de momento (o fuerza inercial). La masa por unidad de volumen es ρ
y su momento (por unidad de volumen) es ρu, tal que el momento contenido en
el volumen V es
∫
V ρudV . Si la porción de masa del volumen V (arbitrariamente
elegido) se observa en un marco de referencia lagrangiano, la razón de cambio del
momento de la porción de masa contenida en V será DDt
∫
V ρudV . Aśı, la ecuación
que resulta de imponer la ley de conservación de momento es
D
Dt
∫
V
ρudV =
∫
S
PdS +
∫
V
ρfdV. (3.6)
Las componentes de la tensión pueden ser identificadas por medio de la nota-
ción tensorial; en dicha notación, una componente particular de la tensión puede
3.4. Conservación del momento 19
ser representada por la cantidad σij con i, j = 1, 2, 3. El hecho de que la tensión
pueda ser representada por la cantidad σij significa que la tensión en algún punto
puede ser representada por un tensor de rango 2 (Arfken [13]). Además, sobre
la superficie del volumen de control se observó que podŕıa existir un vector de
fuerza en cada punto y esta fuerza era representada por P. Para una superficie
arbitrariamente orientada cuya normal unitaria tiene componentes ni, el vector
de fuerza superficial P se relaciona con el tensor de esfuerzos σij por Pj = σijni.
En notación tensorial, la ecuación (3.6) que expresa la conservación del momento
se convierte en
D
Dt
∫
V
ρujdV =
∫
S
σijnidS +
∫
V
ρfjdV. (3.7)
El lado izquierdo de esta ecuación puede convertirse en una integral de volumen
cuyo integrando contenga sólo derivadas eulerianas utilizando el Teorema 1, donde
la propiedad de fluido a utilizar es el momento por unidad de volumen ρuj en la
dirección xj . Al mismo tiempo, la integral de superficie en el lado derecho puede
convertirse en una integral de volumen utilizando el Teorema de la divergencia.
De esta manera, la ecuación que se genera a partir de la segunda Ley de Newton
es ∫
V
[
∂
∂t
(ρuj) +
∂
∂xk
(ρujuk)
]
dV =
∫
V
∂σij
∂xi
dV +
∫
V
ρfjdV.
Todas estas integrales de volumen pueden ser agrupadas para expresar esta
ecuación en la forma
∫
V {}dV = 0. Nuevamente, la arbitrariedad en la elección
del volumen de control V es utilizada para mostrar que el integrando de la ecua-
ción integro-diferencial anterior debe ser cero, obteniendo la siguiente ecuación
diferencial
∂
∂t
(ρuj) +
∂
∂xk
(ρujuk) =
∂σij
∂xi
+ ρfj .
Desarrollando los términos del lado izquierdo y consideramos los productos de
ρuk y uj :
ρ
∂uj
∂t
+ uj
∂ρ
∂t
+ uj
∂
∂xk
(ρuk) + ρuk
∂uj
∂xk
=
∂σij
∂xi
+ ρfj .
El segundo y el tercer término del lado izquierdo suman cero, al utilizar la
ecuación de continuidad (3.5) (multiplicada por la velocidad uj). Con esta sim-
plificación, la ecuación que expresa la conservación del momento es
ρ
∂uj
∂t
+ ρuk
∂uj
∂xk
=
∂σij
∂xi
+ ρfj ó ρ
∂u
∂t
+ ρu · ∇u = ∇ · σ + ρf . (3.8)
20 Caṕıtulo 3. Leyes de conservación y ecuaciones de evolución
El lado izquierdo de (3.8) representa la razón de cambio del momento de
un fluido de volumen unitario (o la fuerza inercial por unidad de volumen). El
primer término es la aceleración temporal , mientras que el segundo término es la
aceleración convectiva y es responsable de las aceleraciones locales (alrededor de
obstáculos) aún cuando el flujo es estable.
En el lado derecho de (3.8) se encuentran las fuerzas que causan la aceleración.
La primera de éstas es debida al gradiente de tensiones de corte superficiales,
mientras que la segunda es debida a las fuerzas de cuerpo, como la gravedad, que
actúan sobre la porción de masa del fluido.
3.5. Ecuaciones constitutivas
Las leyes de conservación básicas (3.5) y (3.8) representan cuatro ecuaciones
escalares que describen las propiedades del fluido conforme fluye. La ecuación de
continuidad es una ecuación escalar, mientras que la ecuación de momento es una
ecuación vectorial que representa tres ecuaciones escalares. Dos ecuaciones de es-
tado deben ser agregadas ya que las leyes de conservación básicas introducen trece
incógnitas. Estas son la densidad ρ, los vectores uj de la velocidad y el tensor de
esfuerzos σij que en general tiene nueve componentes independientes.
Para obtener el conjunto completo de ecuaciones, se necesita especificar la
forma del tensor σij . Esto lleva a la introducción de las ecuaciones constitutivas, en
que el tensor de esfuerzos se relaciona con el tensor de deformación eij = ∂ui/∂xj .
La forma que requiere el tensor de esfuerzos es (consulte el Apéndice A):
σij = −Pδij + λδij
∂uk
∂xk
+ µ
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
)
. (3.9)
Aśı, las nueve componentes del tensor de esfuerzos σij se expresan en términos
de la presión y los gradientes de velocidad, aśı como los dos coeficientes λ y µ. Es-
tos coeficientes no pueden determinarse anaĺıticamente y deben ser determinados
emṕıricamente. La cantidad µ que aparece en (3.9) es la viscosidad dinámica del
fluido. Se define la viscosidad cinemática como ν = µ/ρ que se utiliza frecuente-
mente en lugar de la viscosidad dinámica. El parámetro λ es usualmente referido
como elsegundo coeficiente de viscosidad .
3.6. Ecuaciones de Navier-Stokes
La ecuación de conservación del momento (3.8) junto con la relación consti-
tutiva (3.9) llevan a las ecuaciones que describen las propiedades del fluido: las
ecuaciones de Navier-Stokes. Habiendo obtenido una expresión para el tensor de
3.6. Ecuaciones de Navier-Stokes 21
esfuerzos, el término ∂σij/∂xi, que aparece en la ecuación (3.8), puede ser evalua-
do expĺıcitamente:
∂σij
∂xi
=
∂
∂xi
[
−Pδij + λδij
∂uk
∂xk
+ µ
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
)]
=− ∂P
∂xj
+
∂
∂xj
(
λ
∂uk
∂xk
)
+
∂
∂xi
[
µ
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
)]
.
Sustituyendo este resultado en la ecuación (3.8), se obtiene
ρ
∂uj
∂t
+ ρuk
∂uj
∂xk
= − ∂P
∂xj
+
∂
∂xj
(
λ
∂uk
∂xk
)
+
∂
∂xi
[
µ
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
)]
+ ρfj , (3.10)
que son las ecuaciones de Navier2–Stokes3, la cuáles representan 3 ecuaciones
escalares.
En las situaciones más frecuentes, el fluido se asume incompresible: ∂uk/∂xk =
0 (∇ · u = 0) al utilizar (3.5) y la viscosidad dinámica puede ser constante. Bajo
estas consideraciones, el segundo término en el lado derecho de (3.10) es idéntico
a cero y el término viscoso de corte es
∂
∂xi
[
µ
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
)]
= µ
[
∂
∂xj
(
∂ui
∂xi
)
+
∂2uj
∂xi∂xi
]
= µ
∂2uj
∂xi∂xi
.
Esto es, el término viscoso de corte es proporcional al laplaciano del vector
velocidad, y la constante de proporcionalidad es la viscosidad dinámica. Entonces,
las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible son
ρ
∂uj
∂t
+ ρuk
∂uj
∂xk
=− ∂P
∂xj
+ µ
∂2uj
∂xi∂xi
+ ρfj ,
ó ρ
(
∂u
∂t
+ u · ∇u
)
=−∇P + µ∆u+ ρf . (3.11)
2Claude-Louis Navier (1785-1836), ingeniero y f́ısico francés, disćıpulo de Fourier. Trabajó en
el campo de las matemáticas aplicadas a la ingenieŕıa, la elasticidad y la mecánica de fluidos.
Es el creador de la teoŕıa general de la elasticidad (1821). Su mayor contribución constituyen las
ecuaciones que describen la dinámica de un fluido incompresible conocidas como ecuaciones de
Navier-Stokes.
3Sir George Stokes (1819-1903), matemático y f́ısico irlandés que realizó contribuciones im-
portantes a la dinámica de fluidos; incluyendo las ecuaciones de Navier-Stokes, la óptica y la
f́ısica matemática; incluyendo el teorema de Stokes.
22 Caṕıtulo 3. Leyes de conservación y ecuaciones de evolución
3.7. Procesos de difusión y advección
Si se coloca un terrón de azúcar en un vaso con agua, el azúcar se disol-
verá gradualmente pero al mismo tiempo las moléculas de azúcar se difundirán en
el agua quedando eventualmente distribuidas en todo el volumen del ĺıquido. Este
ejemplo ilustra una caracteŕıstica fundamental del proceso de difusión: para que
tenga lugar la difusión, la distribución espacial del soluto no debe ser homogénea.
El número de part́ıculas por unidad de volumen de la sustancia que se difunde
se denomina concentración de la sustancia. Una segunda caracteŕıstica es que la
difusión tiene lugar en la dirección en que la concentración disminuye.
La difusión en un fluido se presenta cuando las part́ıculas inmersas en él se
mueven describiendo trayectorias aleatorias (movimiento browniano) moviéndose
de una zona de alta concentración a una de baja concentración, este número de
part́ıculas por unidad de volumen tiende a igualarse en todos los puntos del espa-
cio. El hecho de que un fluido esté en reposo desde un punto de vista macroscópico
no significa que las part́ıculas microscópicas que lo conforman no se muevan, pues
ellas están en agitación térmica constante.
La advección es un mecanismo de transporte de una sustancia; se describe
matemáticamente como un campo vectorial y el material transportado como una
cantidad escalar, es decir, la variación de una cantidad escalar es puntual por
efecto de un campo vectorial. Requiere corrientes en el fluido, por lo que no puede
suceder en los sólidos y no incluye el transporte de sustancias por difusión. Se dice
que hay advección cuando la velocidad de las part́ıculas del fluido es diferente de
cero y cuando el fluido no está en reposo.
En ocasiones el término de advección se utiliza como sinónimo de la convec-
ción. Sin embargo, técnicamente hablando, se prefiere utilizar la convección como
una forma de describir el transporte por la difusión molecular; en tanto que la
advección se utiliza para describir el transporte por el flujo del fluido.
3.7.1. Ecuación de difusión
Las ecuaciones de difusión surgen en varias áreas de las ciencias, pueden ser
utilizadas para modelar una gran cantidad de fenómenos. Cuando se modela el
comportamiento dispersivo de las poblaciones (e.g. de células) o concentraciones
(e.g. de qúımicos) se utiliza una aproximación continua empleando funciones de
densidad para describir la distribución de las part́ıculas.
Considere la función c(x, t) que representa la concentración de part́ıculas,
mientras que Q(x, t) es la tasa de creación de part́ıculas en el punto x al tiempo t.
Para algún vector unitario n̂, el producto escalar J ·n̂, donde J(x, t) es la densidad
de flujo, representa la tasa a la que las part́ıculas cruzan una superficie unitaria
en un plano perpendicular a n̂ (positivo en la dirección de n̂).
3.7. Procesos de difusión y advección 23
Considerando un volumen V arbitrario,
∫
V cdV denota la masa de la población
de part́ıculas en el volumen. Se asume que la tasa de cambio de esta masa es debida
a la creación o degradación de part́ıculas dentro de V , y a la entrada y salida de
part́ıculas a través de la frontera del volumen, esto es
d
dt
∫
V
cdV = −
∫
∂V
J · n̂dS +
∫
V
QdV.
Aplicando el Teorema de la divergencia a la primera integral en el lado derecho
y derivando a través de la integral en el lado izquierdo se obtiene∫
V
∂c
∂t
dV =
∫
V
(−∇ · J+Q)dV. (3.12)
Dado que V es arbitrario, se tiene una ecuación de conservación:
∂c
∂t
= −∇ · J+Q. (3.13)
Para un modelo dado se debe especificar Q y J. Por ejemplo, utilizando la
Ley de Fick4, de acuerdo con la cual el flujo J es proporcional al gradiente de la
concentración:
J = −D∇c. (3.14)
La constante D es positiva y es llamada coeficiente de difusión, el signo menos
indica que las part́ıculas son transportadas de densidades altas a densidades bajas.
Utilizando (3.14) se obtiene la ecuación de reacción y difusión, también conocida
como la ecuación de evolución:
∂c
∂t
= D∆c+Q(x, t). (3.15)
3.7.2. Ecuación de advección
La ecuación de advección para una cantidad escalar ψ moviéndose por un flujo
con velocidad u, se expresa como:
∂ψ
∂t
+∇ · (ψu) = 0. (3.16)
Frecuentemente se asume que el flujo es incompresible, tal que el campo de
velocidades satisface ∇·u = 0 (esta condición se conoce como solenoidal). Si esto
aplica, la ecuación (3.16) se reduce a
4Adolf Fick (1829-1901), médico alemán. En 1855 derivó unas leyes de difusión, que se refieren
a la difusión y ósmosis de un gas a través de una membrana. En 1870 describió una técnica para
medir el volumen de sangre bombeada por el corazón. En 1887 elaboró su primer modelo exitoso
de lentes de contacto. Su ley de difusión es aplicada sobre todo en fisioloǵıa y f́ısica.
24 Caṕıtulo 3. Leyes de conservación y ecuaciones de evolución
∂ψ
∂t
+ u · ∇ψ = 0. (3.17)
Aśı se intruduce el operador de advección u ·∇. Para un campo vectorial a en
un campo solenoidal se tiene:
∂a
∂t
+ (u · ∇)a = 0. (3.18)
En particular, si el flujo se encuentra en estado estacionario, u · ∇ψ = 0 lo
cual muestra que ψ es constante a lo largo de una ĺınea de flujo.
Caṕıtulo 4
Modelo del cúmulo plaquetario
Se han establecido las bases biológicas que se conocen sobre el comportamiento
de las plaquetas, además de las caracteŕısticas f́ısicas y qúımicas propias de estas
células. También se presentaron las ecuaciones que gobiernan a los fluidos aśı como
las ecuaciones de difusión y advección. Con estos antecedentes se puede formular
un modelo que describa el proceso de acumulación plaquetaria.4.1. Elementos que conforman el modelo
Para comenzar a construir el modelo se necesitan realizar algunas conside-
raciones sobre el sistema biológico que se va a analizar, estas consideraciones
delimitarán el alcance del mismo. Tómese en cuenta que se tienen interacciones
con un fluido que se considera viscoso e incompresible y de esta manera tomar en
cuenta las propiedades de la sangre en la descripción del proceso.
La sangre posee distintos tipos de células y de sustancias qúımicas viajando en
conjunto como un fluido heterogéneo, sin embargo, se necesita separar a las pla-
quetas que se transportan por la sangre y considerar el resto de los constituyentes
sangúıneos (elementos formes junto con el plasma) en lo que se denominará fluido
sangúıneo o simplemente fluido. Esta sustancia es la que presentará las carac-
teŕısticas de la sangre.
El modelo considera a los dos tipos de plaquetas; se ha hecho mención de cómo
las plaquetas cambian al presentarse una brecha en la arteria y de ah́ı el desenca-
denamiento de los procesos de activación y acumulación. Por ello se distingue entre
la población de plaquetas activadas denotadas por ϕa y las no activadas denotadas
por ϕn. La conversión de una población a otra es por medio de la concentración
de un qúımico activador. A pesar de que la qúımica de este proceso es extensa
e intervienen distintas sustancias, sólo se tomará en cuenta al adenośın difosfato
(ADP) por ser el que interviene mayoritariamente en el proceso de activación.
Los elementos mencionados anteriormente se localizan en la escala definida
como macroescala, la cual corresponde a las dimensiones de la arteria que van de
5µm a 25mm de diámetro; aqúı es donde se desarrolla el proceso de acumulación
plaquetaria. Adicionalmente se incluye una descripción de las interacciones entre
plaquetas activadas: los enlaces interplaquetarios. Dichas interacciones se presen-
26 Caṕıtulo 4. Modelo del cúmulo plaquetario
tan en una dimensión de algunos órdenes de magnitud menor que la macroescala
(0,05 ∼ 0,5µm), por esta razón se denominará microescala.
La Figura 4.1 muestra las dos escalas que se utilizan en el modelo. La ma-
croescala corresponde al tamaño de las arterias, mientras que la microescala es la
correspondiente a las plaquetas. Como consecuencia, dos conjuntos de variables
espaciales aparecen en el modelo.
Figura 4.1: Se involucran dos escalas espaciales; la escala del vaso es del orden de
miĺımetros, y la escala de la cohesión entre plaquetas es del orden de micrómetros.
Sea x el vector referido a la macroescala y se establece que ∥x∥ = O(1), lo
cual quiere decir que las distancias son del orden de miĺımetros. El vector y se
referirá a la microescala y ∥y∥ = O(1) significa que se utilizan distancias del orden
de micrómetros. La razón de escala es el cociente de la escala de las plaquetas a
la escala de la arteria, denotada por ϵ y caracteriza la distancia de enlace t́ıpica
(cercana al diámetro de una plaqueta).
Cuando se escribe un modelo matemático que explica el comportamiento de
un fenómeno f́ısico, irremediablemente se restringe la descripción de los procesos
a como realmente ocurren en la naturaleza. Una de estas restricciones será no
incluir las interacciones entre las plaquetas con las paredes de la arteria. La razón
de esto radica en que se pretende realizar una descripcción en la etapa intermedia
del proceso completo de la hemostasia, de esta manera se supone una situación
en la que ya existe un cúmulo adherido a la pared de la arteria y sobre el que
se agregan nuevas plaquetas activadas. La formación de este cúmulo primario se
descarta por el momento. Además, esta etapa es previa al proceso de coagulación
sangúınea. Este proceso tampoco se incluirá.
4.2. Ecuaciones del modelo 27
Se atribuye la masa y el volumen de cada plaqueta (neutralmente boyante) al
fluido en que está inmersa, moviéndose con velocidad local u(x, t). Una plaqueta
activada se distingue porque su interacción con otras plaquetas ya activadas da
lugar a la generación de fuerzas de cohesión que pueden influir en el movimiento
del fluido.
Con estos antecedentes, las cantidades que debe describir el modelo son:
(a). El campo de velocidades del fluido u(x, t).
(b). La concentración de plaquetas no activadas ϕn(x, t).
(c). La concentración de plaquetas activadas ϕa(x, t).
(d). La distribución de los enlaces cohesivos interplaquetarios E(x,y, t).
4.2. Ecuaciones del modelo
Las ecuaciones que modelan al sistema se encuentran clasificadas en tres gru-
pos, como se ha establecido por A. Fogelson [3]. En primer lugar, como se ex-
plicó en el caṕıtulo 3, la dinámica de un fluido viscoso e incompresible se describe
por medio de las ecuaciones de Navier–Stokes:
ρ
(
∂u
∂t
+ u · ∇u
)
= −∇P + µ∆u+ ρfp. (4.1)
Una primera simplificación al modelo biológico será aproximar las caracteŕısti-
cas que definen a la sangre con una densidad ρ y viscosidad µ constantes. El
término de fuerza fp que aparece en (4.1) corresponde a la suma de fuerzas gene-
radas por los enlaces plaqueta–plaqueta.
Se utiliza la ecuación de continuidad y puesto que se trata con un fluido
incompresible se implica que ρ =cte. (ρ ̸= 0), entonces ∂ρ/∂t = 0 y de (3.5)
resulta:
∇ · (ρu) = 0 → ρ∇ · u = 0; ∇ · u = 0. (4.2)
Estas dos ecuaciones modelarán el fluido sangúıneo y sus soluciones serán el
punto de partida para realizar nuevas consideraciones en la descripción del cúmulo
plaquetario.
El segundo grupo de ecuaciones, designado como las ecuaciones de evolución,
describen el transporte de plaquetas y el qúımico activador. Suponga que las pla-
quetas sin activadar son transportadas por advección con velocidad u y difusión
con coeficiente Dn. Éstas son convertidas en plaquetas activadas a una taza pro-
porcional a ϕn, la cual depende de la concentración de ADP, denotada por C(c).
28 Caṕıtulo 4. Modelo del cúmulo plaquetario
Utilizando la ecuación de difusión (3.15) donde el operador ∆ = ∇2 es el
operador laplaciano, la ecuación de advección (3.17) y el hecho de que la taza de
creación de plaquetas activadas disminuye la cantidad de las no activadas (hecho
que se puntualiza restando ésta contibución) se obtiene la ecuación
∂ϕn
∂t
+ u · ∇ϕn = Dn∆ϕn − C(c)ϕn. (4.3)
Para describir la evolución de plaquetas activadas se utiliza un argumento
semejante al anterior; éstas plaquetas son transportadas por advección y su crea-
ción depende de la activación de plaquetas sin activar. En este caso, la taza de
creación de plaquetas activadas sigue siendo C(c)ϕn y de esta forma, sumando los
gradientes de concentración, se tiene la ecuación
∂ϕa
∂t
+ u · ∇ϕa = C(c)ϕn. (4.4)
En la ecuación anterior no existe un término de difusión porque se supone que
las plaquetas activadas no se transportan libremente por el fluido sangúıneo, es
decir, una vez activadas, su naturaleza las obliga a agruparse y concentrarse en
la región donde se forma el cúmulo plaquetario.
Se necesita una ecuación que modele la evolución del qúımico que inicia la ac-
tivación. Al tratarse de una sustancia que viaja a través de la sangre su transporte
se realiza por advección y difusión (con coeficiente Dc). La creación del qúımico
sucede cuando son activadas plaquetas y esta cantidad es proporcional a la canti-
dad de plaquetas no activadas presentes, donde la constante de proporcionalidad
depende de la propia concentración de ADP, quedando KC(c)ϕn. Aqúı, K es la
taza de creación de ADP que una plaqueta puede secretar tras la activación, la
cual se asume constante. De esta manera se escribe
∂c
∂t
+ u · ∇c = Dc∆c+KC(c)ϕn. (4.5)
En esta tesis no se incluirá una solución de esta ecuación. Sin embargo, se
enuncia para completar el modelo como originalmente propone A. Fogelson.
El tercer grupo de ecuaciones pertenece a los enlaces interplaquetarios. La
evolución de la función de enlaces elásticos E(x,y, t) se realiza por medio de la
advección en la coordenadamacroscópica x a velocidad u, la advección en la coor-
denada microscópica y a velocidad y ·∇u, la formación de nuevos enlaces a razón
α(y)ϕ2a y el rompimiento de los enlaces existentes a razón de β(y).
La función E está definida de tal manera que
∫
V E(x,y, t)dxdy es el número de
enlaces elásticos que conectan plaquetas activadas localizadas en x con plaquetas
activadas a una corta distancia dada por x+ϵy; aśı, E tiene dimensiones de número
4.2. Ecuaciones del modelo 29
de enlaces por unidad de volumen. Se introducen las funciones de formación de
enlaces, α(y), y rompimiento de enlaces, β(y), que se asumen dependientes de la
distancia microscópica ∥y∥ = y entre los enlaces plaquetarios. La formación de
enlaces ocurre a una razón proporcional a ϕ2a porque cada enlace une dos plaquetas
activadas y se considera isotrópico (en y); aśı α = α(y).
De la distribución de enlaces elásticos a cualquier tiempo t, se pueden calcular
los esfuerzos que los enlaces ejercen sobre el fluido. Las condiciones impuestas
anteriormente establecen que los gradientes de la función de enlaces son propor-
cionales a la formación y rompimiento de enlaces presentes:
∂E
∂t
+ u · ∇xE + (y · ∇u) · ∇yE = α(y)ϕ2a − β(y)E. (4.6)
Este modelo fue propuesto inicialmente por A. Fogelson [2] y en su art́ıculo
establece las bases que fundamentan la obtención de las ecuaciones (4.3) a (4.6).
Su trabajo analiza la estabilidad de las soluciones y muestra que éstas existen.
A pesar de que el sistema es altamente complejo y además debe ser acompañado
tanto de condiciones de frontera como de condiciones iniciales adecuadas con el fin
de generar soluciones. En esta tesis se obtienen soluciones anaĺıticas y numéricas
que empatan con la descripción fisiológica del proceso.
Hasta aqúı se concluye con la introducción al proceso biológico de la hemos-
tasia, junto con el panorama general de la mecánica de fluidos y las ecuaciones de
difusión y advección. Estas herramientas serán aplicadas para obtener soluciones
al modelo del cúmulo plaquetario, con el fin de presentar una descripción de lo
que sucede en cuando las plaquetas cumplen la función de formar un trombo.
Caṕıtulo 5
Dinámica del fluido sangúıneo
Se examinará el efecto de los esfuerzos debidos a la viscosidad que se ejercen so-
bre el fluido sangúıneo. Para revelar este efecto claramente y permitir el desarrollo
de la f́ısica involucrada, se asume que el fluido se comporta como si fuera incom-
presible; esto es una aproximación válida para un amplio rango de condiciones
fisiológicas. La principal se basa en que la velocidad del fluido sea pequeña com-
parada con las dimensiones del sistema por donde fluye. Se supondrá que ningún
otro efecto puede causar que la densidad del material vaŕıe significativamente; es
decir, se supone que ρ =cte.
5.1. Simplificaciones de las ecuaciones de movimiento
Bajo las consideraciones establecidas previamente, las ecuaciones que descri-
ben el balance de la enerǵıa interna y la ecuación termodinámica del fluido son
irrelevantes, quedando de interés únicamente la propiedad de invarianza de la den-
sidad de un elemento del fluido: DρDt = 0. Se utiliza la forma reducida de la ecuación
de continuidad; ∇ · u = 0 y en vista de la suposición anterior, las ecuaciones que
gobiernan un fluido incompresible son, (de (4.1)):
−∇P + µ∆u+ ρfp = 0 (5.1)
La condición de frontera común que se impone es que todos los componentes
de la velocidad sean nulos en la frontera sólido–fluido, conocida como fluido sin
deslizamiento. Considerando la estructura biológica que se está estudiando, la
ecuación de continuidad y las ecuaciones de Navier–Stokes, que en lo subsecuente
serán referidas como las ecuaciones de movimiento, pueden resolverse utilizando
las siguientes condiciones:
(i). No existen fuerzas de cuerpo externas, es decir, fp = 0.
(ii). El flujo es estacionario, es decir, el flujo no vaŕıa temporalmente tal que
u = u(x) y P = P (x), adicionalmente ∂u∂t ,
∂P
∂t = 0.
(iii). El flujo es simétricamente axial ; existe simetŕıa del flujo alrededor de un
eje. En este caso se utilizan coordenadas polares ciĺındricas (r, θ, z), donde
el eje de simetŕıa es a través del eje z.
32 Caṕıtulo 5. Dinámica del fluido sangúıneo
En la siguiente sección se mostrará que haciendo uso de las simplificaciones
anteriores se puede encontrar una descripción fisiológicamente admisible del fluido
sangúıneo.
5.2. Flujo de Poiseuille
Considere un vaso sangúıneo tubular recto de sección transversal circular A,
que no es proclive a deformaciones considerables, de longitud L y radio R (vea la
Figura 5.1) por el cual fluye sangre con viscosidad µ. Sea p1 la presión de entrada
sobre la superficie A y p2 la presión de salida sobre la superficie A
′, donde p1 > p2.
Se asume que el flujo es tal que cada part́ıcula del fluido se mueve paralela al eje
con velocidad u.
L
A′
A
r0
r
µ
u
z = 0
Figura 5.1: Flujo en un tubo ciĺındrico circular.
Todos los puntos que yacen sobre el mismo ćırculo alrededor del eje tendrán la
misma velocidad, tal que se piensa que el fluido está formado de láminas ciĺındricas
que se mueven a la misma velocidad; ésta es la hipótesis para el fluido laminar .
Además, se asume que el fluido es estacionario y usando coordenadas ciĺındricas
se busca la solución para la componente del vector velocidad u en la dirección del
flujo. De la simetŕıa del problema se ve que u no depende del ángulo polar θ en
el plano perpendicular al eje z, tal que u = u(r, z).
De esta manera, la ecuación de continuidad será ∂u∂z = 0, lo que implica que
u = u(r). La componente z de (5.1), sin considerar las fuerzas de cuerpo es:
−∂P
∂z
+ µ
(
∂2u
∂r2
+
1
r
∂u
∂r
+
∂2u
∂z2
)
= 0 (5.2)
Si se utiliza la condición de que u es una función que sólo depende de la
distancia radial, lo anterior se simplifica como:
5.2. Flujo de Poiseuille 33
µ
1
r
d
dr
(
r
du
dr
)
=
∂P
∂z
. (5.3)
La componente r de (5.1) es −∂P
∂r
+ µ∆v = 0, que junto con el hecho de que
u es la única componente distinta de cero de la velocidad, implican que
∂P
∂r
= 0.
Por lo tanto, P = P (z). Esto lleva a la forma final para la ecuación (5.3):
µ
1
r
d
dr
(
r
du
dr
)
=
dP
dz
. (5.4)
Como u es una función sólo de r y P es una función sólo de z, se puede uti-
lizar un argumento de separación de variables para concluir que cada término en
la ecuación (5.4) es idéntico a una constante.
El método de separación de variables (cf. Haberman [14] y Arfken [13]) es una
técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP). Este método es
fácilmente adaptable a casi todas las EDP homogéneas con coeficientes constan-
tes escritas en forma canónica, y exhibe el poder del principio de superposición
para construir la solución general a tales ecuaciones. Como las EDP de primer
orden pueden ser resueltas por el método de las caracteŕısticas (se utilizará este
método en el caṕıtulo 7), el método de separación de variables es usualmente apli-
cado para resolver EDP de orden superior. La idea básica es transformar una EDP
en tantas ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) como el número de variables
independientes en la EDP y representar la solución como el producto de funcio-
nes de cada variable independiente. Después de que estas EDO son resueltas, el
método se reduce a resolver un problema de valores propios y construir la solu-
ción general como un desarrollo de funciones propias donde los coeficientes son
evaluados usando las condiciones de frontera y las condiciones iniciales. En varios
casos la solución se escribe en términos de una serie de funciones ortogonales.
Aqúı se utilizará la separación de variables para escribir el término derecho de
la ecuación (5.4) como
dP
dz
= cte.
Las condiciones de frontera que se aplican para integrar esta ecuación son
que la presión en z = 0 es p1 (sin pérdida de generalidad se establece un origen
arbitrario)y p2 es la presión en z = L (Figura 5.1). Se obtiene
P (z) =
p2 − p1
L
z + p1. (5.5)
34 Caṕıtulo 5. Dinámica del fluido sangúıneo
Regresando a (5.4), se pueden reordenar sus términos en la forma
d
dr
(
r
du
dr
)
=
1
µ
(
dP
dz
)
r
e integrando con respecto a r se obtiene
r
du
dr
=
1
µ
(
dP
dz
)
r2
2
+A.
Dividiendo cada lado por r e integrando nuevamente resulta
u =
1
2µ
(
dP
dz
)
r2
2
+A log r +B. (5.6)
Las condiciones de frontera que se aplican a (5.6) son que la velocidad debe
ser finita en r = 0, de aqúı que la constante A = 0, pues el logaritmo diverge
cuando r → 0; además de la condición de que no debe existir deslizamiento, es
decir, u(r0) = 0, se tiene que B = −
1
4µ
dP
dz
r20, lo que finalmente resulta en
u(r) = − 1
4µ
(
dP
dz
)
(r20 − r2). (5.7)
Esta expresión implica que la velocidad es cero en la superficie de la arteria
(endotelio) y es máxima a través del eje. Note que la ecuación (5.7) presenta la
forma de una parábola. El volumen del paraboloide (cf. Spivak [15]) formado al
girar esta parábola alrededor de su eje es el volumen del fluido Q que fluye por
unidad de tiempo, es decir
Q =
∫ r0
0
2πru(r)dr. (5.8)
Una sustitución de las ecuaciones (5.5) y (5.7) para evaluar la integral anterior
arroja
Q =
2π(p1 − p2)
4µL
∫ r0
0
(r20 − r2)rdr
=
π
8
(p1 − p2)
µL
r40. (5.9)
La fórmula (5.9) para el flujo de volumen es conocida como la ecuación de
Poiseuille1. En la derivación anterior de la ecuación de Poiseuille existen varias
condiciones que deben ser satisfechas.
1Jean Louis Marie Poiseuille (1799–1869) médico fisiólogo francés. Considerado uno de los
cient́ıficos franceses más influyentes después de Lavoisier y Pasteur. Sus contribuciones cient́ıficas
versaron sobre la mecánica de fluidos en el flujo de la sangre humana al pasar por tubos capilares.
Demostró experimentalmente y formuló el modelo conocido como Hagen-Poiseuille
5.2. Flujo de Poiseuille 35
u
Figura 5.2: Perfil de velocidad parabólico para un flujo de Poiseuille.
La primera es que el conducto sea ŕıgido; su diámetro debe permanecer cons-
tante con respecto a las presiones internas p1 y p2. Se sabe (caṕıtulo 2) que los
vasos sangúıneos no son ŕıgidos sino elásticos y pueden distenderse con un incre-
mento en la presión interna. Esta distención es mucho menor en vasos pequeños,
como los de las irrigaciones cerebrales o los vasos pulmonares, en cuyo caso la
ecuación de Poiseuille puede aplicarse.
La segunda es que el fluido sea homogéneo con una viscosidad constante para
todas las tasas de cizallamiento (gradientes de velocidad), es decir, como en los
fluidos newtonianos. Se sabe que la sangre no es homogénea sino una suspensión
de células en plasma, sin embargo, una buena aproximación de una viscosidad
constante puede ocurrir si los volúmenes de fluido sangúıneo son pequeños y por
lo tanto las dimensiones del vaso sean del orden de 8 ∼ 10µm, como ocurre en las
arterias y capilares pulmonares (cf. Cuadro 5.1), mientras que, por ejemplo, las
dimensiones de la aorta o la vena cava son del orden de miĺımetros, presentando
volúmenes de fluido mayores.
A tasas de flujo altas, se observa que las células se mueven lejos de las paredes
de los vasos sangúıneos, dejando una capa de plasma que lleva a una desviación
de la ecuación de Poiseuille. A tasas de flujo bajas, las células se agregan y se
mueven en grupos, tal que las desviaciones de (5.9) no son tan pronunciadas. En
el caso de que los efectos elásticos sean despreciables, esta ecuación es correcta.
Esto es además verdadero cuando los diámetros de la arteria son menores que
0.5mm.
En la sección siguiente se presenta una solución para las ecuaciones de mo-
vimiento donde se introduce un estrechamiento en la arteria, el cual tiene por
objeto modelar un cúmulo de plaquetas ya formado y unido a la pared interna
(endotelio), con la finalidad de analizar el cambio en los perfiles de velocidad del
fluido cuando se encuentra con este obstáculo.
36 Caṕıtulo 5. Dinámica del fluido sangúıneo
5.3. Flujo a través del cúmulo plaquetario
En el sistema circulatorio es común encontrar estrechamientos llamados este-
nosis, causados por placas intravasculares (Guyton [10]). Las estenosis alteran el
patrón de flujo normal (como el perfil que describe el flujo de Poiseuille) de la
sangre a través de una arteria. Se estudiará el flujo del fluido sangúıneo a través
de un tubo convergente-divergente axisimétrico. El análisis se lleva a cabo en el
contexto de un modelo matemático para la estenosis leve.
Se utiliza esta descripción para modelar el cúmulo plaquetario que se está es-
tudiando y presentar cómo evoluciona el flujo sangúıneo al pasar por un estrecha-
miento en el vaso sangúıneo.
r0 R̂(ẑ)
r̂
ẑ
v̂
û
Û
Figura 5.3: Sistema coordenado y nomenclatura para el cúmulo plaquetario (es-
tenosis axisimétrica).
Si un segmento convergente–divergente (considerado ŕıgido y tubularmente
axisimétrico) se localiza en un vaso sangúıneo, el perfil de velocidad se verá alte-
rado, con un subsecuente cambio en otras caracteŕısticas del flujo.
El problema espećıfico será conocer la forma del flujo estacionario axisimétrico
de un fluido incompresible a través de un tubo convergente-divergente de sección
transversal circular con paredes ŕıgidas.
La Figura 5.3 muestra la geometŕıa de una estenosis tipo collar localizada en
una arteria tubular recta. Considere que las coordenadas axiales de espacio y de
velocidad se denotan como ẑ y û respectivamente y las coordenadas radiales de
espacio y de velocidad se denotan por r̂ y v̂ respectivamente. El radio local de la
arteria con estrechamiento es R̂(ẑ), mientras que r0 es el radio de la sección de
la arteria sin estrechamiento anterior y posterior a donde se encuentra el cúmulo
(estenosis).
5.3. Flujo a través del cúmulo plaquetario 37
Las ecuaciones que rigen este modelo son las ecuaciones de movimiento, donde
se introducirán las siguentes variables adimensionales:
r =
r̂
r0
, z =
ẑ
r0
, u =
û
U0
, v =
v̂
U0
, R =
R̂
r0
, P =
P̂
ρU20
, U =
Û
U0
,
donde Û es la velocidad central y U0 es la velocidad promedio en la zona de
la arteria sin obstrucción.
La ecuación de continuidad y las ecuaciones de Navier-Stokes (utilizando sólo
las direcciones axial y radial respectivamente, sin términos de fuerza y tomando
el estado estacionario ∂u∂t = 0) pueden ser escritas adimensionalmente utilizando
las nuevas variables como sigue:
∂u
∂z
+
∂v
∂r
+
v
r
= 0, (5.10)
u
∂u
∂z
+ v
∂u
∂r
=− ∂P
∂z
+
2
Re
(
∂2u
∂r2
+
1
r
∂u
∂r
+
∂2u
∂z2
)
, (5.11)
u
∂v
∂z
+ v
∂v
∂r
=− ∂P
∂r
+
2
Re
(
∂2v
∂r2
+
1
r
∂v
∂r
− v
r2
+
∂2v
∂z2
)
, (5.12)
donde Re = 2r0U0ρ/µ denota el número de Reynolds. A continuación se mos-
trará que pueden obtenerse soluciones aproximadas sobre la base de algunas su-
posiciones (Morgan y Young [16]) a pesar de la complejidad del sistema.
Integrando la ecuación (5.11) sobre la sección transversal de la vena e impo-
niendo como condición de frontera el flujo sin deslizamiento, es decir u, v = 0, en
la pared del endotelio (r = R), se obtiene una ecuación integral (los detalles de
las operaciones pueden consultarse en el Apéndice B):
1
2
∂
∂z
∫ R
0
ru2dr = −
∫ R
0
r
∂P
∂z
dr +
2
Re
(
R
∂u
∂r
∣∣∣∣
R
+
∫ R
0
r
∂2u
∂z2
dr
)
. (5.13)
Análogamente, multiplicando la ecuación (5.11) por ru, y después integrando
en r de 0 a R, se obtiene la ecuación integral:
1
3
∂
∂z
∫ R
0
ru3dr = −
∫ R
0
ru
∂P
∂z
dr +
2
Re
[
−
∫ R
0
r
(
∂u
∂r
)2
dr +
∫ R
0
ru
∂2u
∂z2
dr
]
.
(5.14)
38 Caṕıtulo 5. Dinámica del fluido sangúıneo
En las ecuaciones (5.13) y (5.14) los términos que contienen ∂2u/∂z2 asociados
con los componentes viscosos de los esfuerzos normales en la dirección axial se
pueden considerar muy cercanos a cero, suposición ampliamente utilizada en el
análisis de flujos no uniformes (cf. Landau [17]).
El