No-localidad-cuantica-y-relatividad-especial

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
No localidad cuántica y
relatividad especial
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
F Í S I C O
P R E S E N T A:
J U A N A L B E R TO GU ZM Á N G A R C Í A
DIRECTOR DE TESIS:
DR. ELÍAS OKÓN GURVICH
Ciudad Universitaria, Cd. Mx., 2017
 
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Hoja de Datos del Jurado
1. Datos del alumno
Guzmán
Garćıa
Juan Alberto
5560618778
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
F́ısica
40808902-7
2. Datos del tutor
Dr.
Eĺıas
Okón
Gurvich
3. Datos del sinodal 1
Dr.
Juan Carlos
Alonso
Huitrón
4. Datos del sinodal 2
Dr.
Alberto
Güijosa
Hidalgo
5. Datos del sinodal 3
Dr.
Héctor
Hernández
Coronado
6. Datos del sinodal 4
Dr.
Yuri
Bonder
Grimberg
7. Datos del trabajo escrito
No localidad cuántica y relatividad especial
60 p.
2017
Índice general
Introducción 1
Parte 1. Fundamentos Teóricos 3
Caṕıtulo 1. Relatividad Especial 4
1. El espacio absoluto y el tiempo absoluto 4
2. Coordenadas y medida 4
3. El espacio de Minkowski 5
4. Geometŕıa y coordenadas 6
Caṕıtulo 2. Mecánica Cuántica 10
1. Formalismo matemático 10
2. Formulación Estándar de la Mecánica Cuántica 15
Parte 2. No Localidad Cuántica 19
Caṕıtulo 3. Completez de la Mecánica Cuántica 20
1. Paradoja de EPR 20
2. Argumento de EPR 21
3. Casos Particulares 22
4. Premisas 23
5. Realismo 25
6. El problema de la medición 27
Caṕıtulo 4. Teorema de Bell 28
1. Teoŕıa de Existenciables Locales 28
2. Determinismo Local y Causalidad Local 28
3. Desigualdad CHHS y Teorema de Bell 31
Parte 3. Relatividad Especial y No Localidad Cuántica 38
Caṕıtulo 5. Teoŕıa Cuántica Invariante de Lorentz 39
1. Colapso Objetivo: GRW 39
2. Invariancia de Lorentz bajo traslaciones temporales relativas 42
Caṕıtulo 6. ¿Incompatibilidad? 45
1. Transmisión superlimı́nica de materia o enerǵıa 45
2. Transmisión de señales superlumı́nicas 46
3. Causalidad 47
Conclusión 50
4
Índice general 5
Apéndice A. Elementos de Probabilidad 51
Apéndice. Bibliograf́ıa 54
Introducción
En el año de 1935, A. Einstein, B. Podolsky y N. Rosen publicaron un art́ıculo
llamado “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered
Complete?”1. La problemática tratada es conocida con el nombre de “Paradoja
EPR”.
Muestran que dos cantidades f́ısicas asociadas a operadores que no conmutan pue-
den ser simultáneamente reales y concluyen que la función de onda es incompleta
al no ofrecer la descripción de ambas.
En este trabajo se discutirá con detenimiento la paradoja de EPR, pero es conve-
niente adelantar que los autores utilizan dos premisas para obtener su resultado: 1)
realismo y 2) localidad. A grandes rasgos, entendamos el realismo como la tesis que
afirma que el mundo existe por śı mismo, independiente del conocimiento de éste;
por otro lado, entedamos a la localidad como la doctrina que afirma que un evento
no puede influir en el estado f́ısico del otro si tienen separación tipo espacio. Si
se violara la localidad implicaŕıa que la influencia tendŕıa que haber ‘viajado’ más
rápido que la velocidad de la luz y esto en primera instancia aparenta discrepar con
la teoŕıa de la Relatividad Especial, pues suele decirse que ésta impone que nada
puede propagarse más rápido que la luz.
Asumiendo la premisa de realismo, si queremos afirmar que la Mecánica Cuántica
es completa y no aceptar la conclusión de EPR, debemos negar la premisa de lo-
calidad. Con una concepción del mundo basada en las teoŕıas f́ısicas clásicas, esta
idea parece inconcebible.
A ráız de esto, Bell se cuestiona si es posible tener una teoŕıa que reproduzca las
predicciones de la Mecánica Cuántica y que sea local, y de hecho, demuestra que no
es posible. Este resultado se conoce como ((Teorema de Bell)) y el desarrollo de esta
tesis se concentra en sus implicaciones, por lo que se efectuará un estudio detallado.
Para que el trabajo sea autocontenido, se introducen los elementos teóricos de la
teoŕıa de la Relatividad Especial y se construyen las bases de la Mecánica Cuántica
para presentar su formulación estándar. Es importante señalar que en los principios
básicos de ésta, aparece el término ((medición)), sin embargo, éste no es definido y
además, es un concepto que no puede ser explicado por la teoŕıa. A este conflicto
se le conoce como el “problema de la medición”.
1Ver [12]. Para referirnos a los autores, utilizaremos como abreviación la letra de sus apellidos,
es decir, EPR.
1
2 INTRODUCCIÓN
Existen formulaciones de la Mecánica Cuántica que resuelven este problema, una
de estas propuestas fue publicada en el año de 1986 por G.C. Ghirardi, A. Rimini
y T. Weber (“teoŕıa GRW”). Ellos proponen al colapso de la función de onda como
un hecho de la naturaleza que ocurre de manera espontánea.
Retomando el tema de la no localidad, basándose en la propuesta de GRW, Bell
se plantea la posibilidad de construir una teoŕıa cuántica invariante de Lorentz que
preserve la invariancia incluso en el colapso de la función de onda. Pero, ¿tiene sen-
tido desarrollar este proyecto ante las aparentes incompatibilidades conceptuales
entre el formalismo cuántico y la teoŕıa relativista?
Para responder la pregunta anterior, será necesario discutir qué es lo que realmente
restringe la Relatividad Especial. Se examinará si estas restricciones están relacio-
nadas con: (i) la transmisión superlumı́nica de materia o enerǵıa, (ii) la transmisión
de señales superlumı́nicas o con (iii) la causación superlumı́nica.
En esta tesis se pretende evidenciar que no hay discrepancia entre las restricciones
de la Relatividad Especial y la teoŕıa cuántica, por lo que la construcción de una
teoŕıa cuántica invariante de Lorentz (incluyendo la invariancia en los colapsos) es
una propuesta viable para unificar ambas teoŕıas.
Parte 1
Fundamentos Teóricos
Caṕıtulo 1
Relatividad Especial
En esta sección se presentan los postulados de la Relatividad Especial además de los
resultados derivados de estos principios que serán útiles para estudiar los caṕıtulos
posteriores. Es conveniente mencionar, como se justificará en los apartados siguien-
tes, que es en el espacio de Minkowski donde la teoŕıa se construye y, analizando la
geometŕıa y la naturaleza de la luz, se introducen algunos conceptos. Por esta razón,
se comienza haciendo un enfásis de la importancia de la geometŕıa y su relación
con la f́ısica.
1. El espacio absoluto y el tiempo absoluto
Newton construye su f́ısica considerando que el ((movimiento)) de los objetos f́ısicos
se desarrolla en lo que él llama ((espacio absoluto)), al cual le asocia la estructura del
espacio euclidiano de tres dimensiones, denotado como E3. Más aún, según su plan-
teamiento, el ((espacio absoluto)) existe y persiste inmutable a lo largo del tiempo,
caracterizando al tiempo también como absoluto y con una estructura geométrica
más simple: unidimensional y con una dirección (pasado a futuro). De manera tex-
tual, los concibe de la siguiente manera1:
(Tiempo Absoluto). “El tiempo absoluto, verdadero y matemático, en śı mismo
y por su naturaleza, fluye uniformemente sin relación con nada externo, y se le
llama, con otro nombre, duración.”(Espacio Absoluto). “El espacio absoluto, por su naturaleza, sin relación con
nada externo, siempre permanece igual e inmóvil.”
La f́ısica y la geometŕıa están conectadas: los objetos f́ısicos y su movimiento poseen
una estructura geométrica.
2. Coordenadas y medida
La metodoloǵıa para usar las herramientas del álgebra con la finalidad de obtener
soluciones a problemas geométricos fue propuesta por Descartes en su obra llamada
((Géométrie)). Como consecuencia de su tratado, mediante el uso de coordenadas2
podemos relacionar la estructura de R3 con la estructura E3.
1Verif́ıquese [28], en particular páginas 127 y 128 para las nociones de espacio absoluto y
tiempo absoluto presentadas en esta sección.
2Una discusión más detallada sobre la geometŕıa y las coordenadas puede encontrarse en
[23], páginas (53-67).
4
3. EL ESPACIO DE MINKOWSKI 5
Un sistema coordenado en un espacio geométrico establece una correspondencia
((uno a uno)) entre sus elementos y objetos aritméticos.
La medición en f́ısica es fundamental. En el espacio euclidiano y el espacio temporal
se pueden hacer ‘medidas’ al definir una métrica. A los espacios que poseen esta
caracteŕıstica se les llaman ((espacios métricos))3.
Definición 1. Sea X un conjunto. Una métrica (o distancia) en X es una
función d : X×X→R que tiene las siguientes propiedades:
1. d(x, y) = 0 si y sólo si x = y, siendo x, y ∈X;
2. d(x, y) = d(y, x), para cualesquiera x, y ∈X;
3. d(x, z)≤d(x, y) + d(y, z), para cualesquiera x, y, z ∈X (expresión llamada
((desigualdad del triángulo))).
Utilizando sistemas coordenados, hoy en d́ıa las teoŕıas f́ısicas son presentadas alge-
braicamente, pero no siempre son las coordenadas las que tienen una importancia
f́ısica directa. Esto puede notarse, por ejemplo, cuando se hace una transformación
a coordenadas esféricas, habiendo en el origen una singularidad matemática y no
f́ısica.
3. El espacio de Minkowski
La teoŕıa de la Relatividad Especial de Einstein se construye a partir de los siguien-
tes postulados4:
Postulado 1. (Principio de Relatividad de Galileo). Las leyes de la f́ısica son
equivalentes en todo sistema inercial.
Postulado 2. (Constancia de la Velocidad de la Luz). La velocidad de la luz
es la misma en todo sistema inercial.
Normalmente suele definirse a un sistema inercial como aquel en el que cualquier
part́ıcula puntual aislada se mueve en ĺınea recta con velocidad constante.
Sea S un sistema inercial en el cual un haz de luz viaja del punto (x1, y1, z1) al
tiempo t1 y llega al punto (x2, y2, z2) en el tiempo t2, y sea S
′ otro sistema inercial
que describe el mismo fenómeno en su sistema coordenado, es decir, la luz viaja del
punto (x′1, y
′
1, z
′
1) al tiempo t
′
1 y llega al punto (x
′
2, y
′
2, z
′
2) en el tiempo t
′
2. Entonces
la velocidad del haz de luz c en S y S′, respectivamente, es:
(3.1) c =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
t2 − t1
y
(3.2) c =
√
(x′2 − x′1)2 + (y′2 − y′1)2 + (z′2 − z′1)2
t′2 − t′1
.
Reescribiendo 3.1 y 3.2, tenemos (respectivamente):
3Consúltese [9] para verificar más detalles de los ((espacios métricos)) y para corroborar la
definición proporcionada.
4Pueden consultarse, por ejemplo, los libros [13] y [36], en particular, el texto usado en esta
sección fue [17].
6 1. RELATIVIDAD ESPECIAL
(3.3) s = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 − c2(t2 − t1)2 = 0 y
(3.4) s′ = (x′2 − x′1)2 + (y′2 − y′1)2 + (z′2 − z′1)2 − c2(t′2 − t′1)2 = 0.
Con lo anterior, por el momento podemos ver que la cantidad s cuando vale cero,
es invariante ante un cambio de coordenadas. Esta cantidad s es conocida como
((seudodistancia)) o ((intervalo)).
En la teoŕıa de la Relatividad suele darse a la velocidad de la luz el valor 1, siendo
una magnitud adimensional, en función de esto, se redefinen las dimensiones de las
demás unidades f́ısicas. En adelante se adoptará esta convención.
El espacio vectorial de Minkowski en cuatro dimensiones se construye con el espacio
vectorial R4 y con la seudodistancia que definiremos aqúı como5:
(3.5) ∆s =
√
(∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 − (∆t)2.
Proponer que la seudodistancia es invariante ante una transformación de coordena-
das es compatible con el Postulado 2. Las transformaciones que dejan invariante la
seudodistancia son conocidas como ((Transformaciones de Lorentz)) que se expresan
de la siguiente forma:
(3.6)
t̃ =
t√
(1− v2)
− vx√
(1− v2)
,
x̃ =
−vt√
(1− v2)
+
x√
(1− v2)
,
ỹ = y,
z̃ = z,
para un sistema inercial Õ en función de las coordenadas del sistema inercial O,
siendo v la velocidad de Õ con respecto a O, a lo largo del eje x (sin pérdida de
generalidad). A la cantidad 1√
(1−v2)
se le conoce como factor de Lorentz y se denota
como γ.
En el espacio de Minkowski se puede desarrollar una teoŕıa f́ısica consistente con
los postulados 1 y 2. Ahora es necesario no considerar al tiempo ajeno al ((espacio
f́ısico)), sino como parte de él para describir un fenómeno, presentando aśı la noción
de ((espacio-tiempo)).
4. Geometŕıa y coordenadas
4.1. Propiedades de la luz. En el Postulado 2 utilizamos el concepto de
velocidad. No obstante, para hablar de velocidades es necesaria la introducción de
coordenadas y, de hecho, la velocidad de un ente f́ısico puede ser distinta según
5Es más habitual en textos de f́ısica definir la seudodistancia como el cuadrado de la expresión
(3.5) y presentarla en su forma diferencial.
4. GEOMETRÍA Y COORDENADAS 7
el sistema de coordenadas inerciales utilizado. Por esta razón, estudiar propieda-
des f́ısicas en términos del concepto de velocidad, depende del marco de referencia
utilizado. En ciertas situaciones, podemos estudiar propiedades f́ısicas analizando
sólo la geometŕıa y la naturaleza de la luz, sin necesidad de introducir un sistema
coordenado o hacer uso del concepto de velocidad.
Considerando que en el vaćıo sólo existe la estructura f́ısica del espacio-tiempo
y que la trayectoria de la luz en éste no depende de la fuente, entonces, sólo la
geometŕıa del espacio-tiempo determinará la trayectoria. Dado un punto p en el
espacio-tiempo, la geometŕıa de este espacio-tiempo indicará las posibles direcciones
de un haz de luz emitido desde ese punto. Al conjunto de puntos subsecuentes de
p que la luz puede recorrer, se le llama cono de luz futuro de p, y al conjunto de
puntos de un haz de luz que consiga llegar a p, se le llama6 cono de luz pasado de p
(véase Figura 1). Con lo anterior, podemos introducir la siguiente ley7 que engloba
los fenómenos anteriores:
Ley 1. (De la Luz). La trayectoria de un rayo de luz en el vaćıo proveniente
de un evento es una ĺınea recta en su cono de luz futuro.
El cono de luz divide el espacio en 5 secciones donde los sucesos pueden localizarse
(veáse nuevamente la Figura 1): 1. dentro del cono de luz pasado, 2. dentro del
cono de luz futuro, 3. sobre el cono de luz pasado, 4. sobre el cono de luz futuro
y 5. fuera del cono de luz. Si un suceso se localiza con respecto al punto p en las
regiones 1 ó 2 se dice que tiene separación tipo tiempo (el valor de s es mayor a
cero), si se localiza en las regiones 3 ó 4 se dice que tiene separación tipo luz (el
valor de s es cero) y si se localiza en la región 5 se dice que tiene separación tipo
espacio (el valor de s es imaginario8).
Regresando una vez más al uso de coordenadas, en distintos sistemas inerciales de
referencia el intervalo de tiempo entre dos sucesos no es igual. De hecho, el concepto
de simultaneidad estrictamente no tiene sentido. Más aún, el orden temporal entre
dos eventos no siempre es el mismo.
Considérense dos sucesos con separación tipo espacio y un sistema de referencia
tal que un suceso P precede en tiempo a otro suceso Q. El primero está localizado
en el punto con coordenadas (x, t) y el segundo está localizado en el punto con
coordenadas (x + ∆x, t + ∆t), siendo ∆x = u∆t con u > 1 (es decir, u es la
velocidad que se necesitaŕıa para ‘conectar’ dos sucesos con separación tipoespacio).
El intervalo de tiempo entre los sucesos desde un marco de referencia que se mueve
con velocidad v (siendo v < 1) es:
6Geométricamente, el cono puede ser visualizado sólo si se utilizan dos coordenadas espaciales
y una coordenada temporal.
7El nombre utilizado para la ley es el mismo que Maudlin T. utiliza en [23], y el contenido
de ésta es el que se presenta. La palabra evento o suceso (que se utilizará indistintamente) es un
punto en el espacio-tiempo.
8Que ((s)) tenga un valor imaginario es consecuencia de no definir la seudositancia como el
cuadrado de la expresión (3.5). Tiene una razón hacerlo de esta manera (se sugiere consultar p.121
de [23] para ver el argumento), pero al menos en este trabajo, es irrelevante discutirla pues sólo
nos interesa hacer distinción entre las secciones del espacio que el cono de luz delimita.
8 1. RELATIVIDAD ESPECIAL
Figura 1. SE PRESENTA EL CONO DE LUZ DEL PUNTO P Y SE DIS-
TINGUEN DIVERSOS PUNTOS. LOS PUNTOS D Y D′ SE ENCUENTRAN
DENTRO DEL CONO DE LUZ FUTURO Y PASADO RESPECTIVAMENTE,
EL PUNTO F ESTÁ LOCALIZADO FUERA DEL CONO DE LUZ MIENTRAS
QUE EL PUNTO S ESTÁ SOBRE EL CONO DE LUZ FUTURO.
(4.1) ∆t′ = γ(∆t− v∆x) = γ∆t(1− uv),
pudiendo encontrar valores para v tales que ∆t′ y ∆t tuvieran signo contrario9, es
decir, marcos de referencia en los que se invierte el orden temporal, o sea, se podŕıa
concluir que el suceso Q fue primero que el suceso P.
Cuando queremos hablar de ((causas)) la situación anterior se torna problemática.
Por ejemplo, si decimos que el suceso Q fue causado por el suceso P, habrá sistemas
9Consúltese la página 135 de [13].
4. GEOMETRÍA Y COORDENADAS 9
de referencia en el que es el suceso Q quien causa al suceso P. A ráız de esto se
dice que se viola el Principio de Causalidad y más aún, se afirma que esto no tiene
sentido en la naturaleza. Para evitar la violación, se impone que la velocidad u que
está en relación con este v́ınculo causal no debe ser mayor que 1. Con esto pareciera
que el Principio de Causalidad dice que una vez establecida una causa y su efecto,
nunca podrán invertirse los papeles. Esto es muy impreciso, discutiremos con más
detenimiento el tema en el caṕıtulo 6. Sin embargo, por el momento lo que podemos
adelantar es que, si nosotros damos por cierto una aseveración aśı, estamos impo-
niendo un Postulado más que se basa en nuestra concepción de la naturaleza pero
que realmente no se requiere para construir la teoŕıa de la Relatividad Especial,
pues para construirla son suficientes los Postulados 1 y 2.
Por otro lado, se dice que dos eventos P y Q están conectados causalmente si la
velocidad relacionada con este v́ınculo causal es u < 1. Este término no es afortu-
nado, porque como se estudiará, pueden haber conexiones causales en la naturaleza
sin que necesariamente se satisfaga esa restricción en la velocidad.
4.2. Velocidad y trayectorias de objetos f́ısicos. En el contexto de la
relatividad especial, la enerǵıa de un objeto f́ısico con masa m se expresa como
(4.2) E = mγ.
Nótese que el factor de Lorentz diverge cuando la velocidad del cuerpo se hace 1.
Se necesitan grandes cantidades de enerǵıa para que un cuerpo se aproxime a la
velocidad de la luz, y de hecho, se requiere enerǵıa infinita para que el cuerpo ma-
sivo alcance esa velocidad, siendo entonces la velocidad de la luz un ĺımite natural
(por eso suele decirse que nada viaja más rápido que la luz). Sin embargo, hablar
de velocidades podŕıa ser ambiguo, un fenómeno en el que un cuerpo se esté apro-
ximando a la velocidad de la luz, al escoger un sistema inercial adecuado, puede
estar distante de ese ĺımite natural. Expresando la propiedad anterior en términos
de la geometŕıa10 tenemos:
Postulado 3. La trayectoria de cualquier objeto f́ısico que pasa a través de
un evento, no saldrá de su cono de luz.
De manera que la luz y los objetos f́ısicos que poseen masa preservan la “conexión
causal”11 definida en la sección anterior.
10Consúltese [23] pág. 126.
11Se considera que los objetos sin masa viajan a la misma velocidad que la luz.
Caṕıtulo 2
Mecánica Cuántica
Para el desarrollo de este trabajo, es necesario conocer la llamada formulación
estándar de la Mecánica Cuántica. En este caṕıtulo se introducen los principios
que la construyen y el formalismo matemático necesario para abordar los temas
siguientes. En particular, al finalizar esta sección, se presenta un resultado que
está relacionado con los sistemas f́ısicos y los operadores conmutativos. Esto será
importante para el estudio de la paradoja EPR que es tratada en el caṕıtulo 3.
1. Formalismo matemático
1.1. Espacios Vectoriales. Un espacio vectorial1 sobre un campo K es
un conjunto no vaćıo V con una operación binaria
+ : V × V → V,
(u, v) 7→ u+ v
y una función
µ : K× V → V,
(α, v) 7→ µ(α, v) = αv
que cumplen los siguientes axiomas:
(i) u+ v = v + u,
(ii) (u+ v) + w = u+ (v + w),
(iii) existe O ∈ V tal que v +O = v,
(iv) para cada v ∈ V existe un elemento, denotado como −v, tal que v+(−v) = O,
(v) α(u+ v) = αu+ αv,
(vi) (α+ β)v = αv + βv,
(vii) (αβ)v = α(βv),
(viii) Para 1 ∈ K, 1v = v;
siendo α, β ∈ K y u, v, w ∈ V .
1Para consultar los resultados (con las respectivas demostraciones) y definiciones matemáticas
presentes en esta sección, consúltese [9], [10], [19] y [22].
10
1. FORMALISMO MATEMÁTICO 11
A los elementos u, v, w... del espacio vectorial sobre K se le llaman vectores. Los
elementos del campo K se llaman escalares y la función µ se llama multiplicación
escalar.
1.2. Espacios Normados. Es necesario presentar la definición de espacio
normado para construir una serie de conceptos que forman parte del formalismo
matemático de la mecánica cuántica.
Definición 2. Sea V un espacio vectorial sobre R. Una norma en V es una
función ∥·∥ : V → R que satisface lo siguiente:
1. ∥v∥ = 0 si y sólo si v = 0, siendo v ∈V ;
2. ∥λv∥ = |λ|∥v∥, para cualesquiera v ∈V y λ ∈R;
3. ∥v + w∥ ≤ ∥v∥+ ∥w∥ para cualesquiera v, w ∈V .
Un espacio normado, denotado por (V, ∥·∥), es un espacio vectorial V que tiene
una norma ∥·∥.
Es un resultado demostrable que todo espacio normado (V, ∥·∥) es un espacio métri-
co con la métrica
(1.1) d(v, w) := ∥v − w∥,
llamada métrica inducida por la norma ∥·∥.
1.3. Espacios de Banach. Sea X = (X, d) un espacio métrico, siendo ((d))
la distancia asociada. Definiremos una sucesión de Cauchy, un espacio completo y
un espacio de Banach.
Definición 3. En X, una sucesión (xk) es de Cauchy si, para ϵ > 0, existe
k0∈N tal que
d(xk, xj) < ϵ, ∀ k, j ≥ k0.
Definición 4. Se dice que un espacio métrico X es completo, si toda sucesión
de Cauchy en X converge en X. Un espacio de Banach es un espacio normado
completo con la métrica inducida por su norma.
1.4. Espacios de Hilbert. Al espacio de Hilbert se le puede considerar la
generalización a dimensión infinita del espacio euclidiano. En él se satisface, por
ejemplo, la ley del paralelogramo y la desigualdad del triángulo; es un espacio de
Banach con la peculiaridad de que su norma está inducida por un producto escalar.
Definición 5. Sea V un espacio vectorial sobre R. Un producto escalar en
V es una función ⟨·, ·⟩ : V×V→R que satisface lo siguiente:
1. ⟨λv1 + µv2, w⟩ = λ⟨v1, w⟩ + µ⟨v2, w⟩, para cualesquiera v1, v2, w ∈V y λ,
µ ∈R;
2. ⟨v, w⟩ = ⟨w, v⟩, para cualesquiera v, w ∈V ;
3. ⟨v, v⟩ > 0, ∀ v ∈V , siendo v ̸=0.
Se define
(1.2) ∥v∥ :=
√
⟨v, v⟩,
llamada norma inducida por el producto escalar ⟨·, ·⟩.
Con lo anterior, presentamos lo siguiente:
Definición 6. Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial H con un
producto escalar ⟨·, ·⟩ que es completo respecto a la norma inducida (1.2).
12 2. MECÁNICA CUÁNTICA
1.4.1. Bases. Si S = {fα}α∈I es un conjunto de vectores (siendo I un con-
junto finito o infinito de ı́ndices) en H, diremos que es maximal si no es subconjunto
propio de ningún otro conjunto linealmente independiente de H.
Definición 7. Llamamos base ortonormalen H a un conjunto ortonormal
de vectores S = {êα} en H que es maximal.
Teorema 1. Todo espacio de Hilbert ̸= ∅ posee alguna base ortonormal.
La matriz de los productos escalares entre los elementos de S la determina la delta
de Kronecker:
⟨êi, êj⟩ = δi,j .
Todo vector puede representarse como una combinación lineal (finita o infinita) si
se da una base, es decir:
(1.3) v⃗ =
∑
i∈I
viêi,
obteniéndose las componentes de la siguiente manera:
vα = ⟨êα, v⃗⟩
Para saber si una suma infinita de vectores converge, se tiene el siguiente lema:
Lema 1. Si S = { |êα⟩ }∞i es un conjunto ortonormal de vectores en H, enton-
ces
∑∞
1 vi |êi⟩ converge en H si y sólo si
∑∞
1 |vi|2 converge en R.
1.4.2. El Espacio Dual. Todo campo K es un espacio vectorial de dimensión
1 sobre śı mismo. Una transformación lineal de un espacio vectorial en el campo
K recibe el nombre de funcional lineal, aqúı será llamado bra. Si V es un espacio
vectorial, observamos la acción del bra de la siguiente manera:
⟨w| : V→K
⟨w| : |v⟩→ ⟨w|v⟩ ∈K.
El conjunto de todos los funcionales lineales genera un espacio vectorial V *, que
es llamado espacio dual de V . Un elemento v⃗ de V también es llamado ket y se le
está denotando como |v⟩, que es la llamada notación de Dirac. La acción de un bra
sobre un ket se le conoce como braket. Con esta nueva notación, la expresión (1.3)
se escribe como:
(1.4) |v⟩ =
∑
i∈I
vi |êi⟩.
Denominamos la asociación de un ket con un bra, aplicación adjunta:
† : V→V ∗
|v⟩→ |v⟩† ≡ ⟨v| .
En el espacio de Hilbert tenemos que para cada |u⟩ ∈V , el adjunto |u⟩† ∈V ∗ es el
único elemento que satisface
⟨u|v⟩ = ⟨|u⟩ , |v⟩⟩
para todo |v⟩ ∈V .
1. FORMALISMO MATEMÁTICO 13
1.4.3. Producto Tensorial. Dados n espacios de Hilbert H1, H2, ..., Hn, se
define el producto tensorial
H = H1⊗H2⊗...⊗Hn
como el conjunto ordenado de n elementos |h⟩ = |h1⟩⊗ |h2⟩⊗... |hn⟩ y sus combina-
ciones lineales α(|u1⟩⊗ |u2⟩⊗... |un⟩) + β(|v1⟩⊗ |v2⟩⊗... |vn⟩) + ..., siendo |h⟩ ∈H y
|hi⟩, |ui⟩, |vi⟩ ∈Hi, i = 1, ..., n (aqúı H es llamado el espacio producto). El producto
tensorial es lineal en cada argumento2.
Resultado relevante es la obtención de la base del espacio productoH. Si {
∣∣ê1α⟩ }|α=n1α=1 ,
{
∣∣∣ê2β⟩ }|β=n2β=1 ,..., { ∣∣ênγ⟩ }|γ=nnγ=1 son bases de Hi (i = 1, ..., n para Hi, y en el caso de
los supeŕındices ni, nos referimos a un número arbitrario fijo, siendo i = 1, ..., n que
corresponde a la etiqueta que también porta ê como supeŕındice), respectivamente,
su base estará formada por todos los elementos del conjunto
{ |êα,β,...,γ⟩ } = {
∣∣ê1α⟩⊗ ∣∣ê2β⟩⊗ ...⊗ ∣∣ênγ⟩ }.
Un vector en el espacio producto H puede expresarse como
(1.5) |h⟩ =
∑
α,β,...,γ
kαβ···γ
∣∣ê1α⟩⊗ ∣∣ê2β⟩⊗ ...⊗ ∣∣ênγ⟩
y puede reducirse a un producto tensorial de vectores en H1, H2,..., Hn solamente
si (pues en general no es posible) los coeficientes kαβ···γ pueden factorizarse como
aαbβ · · ·cγ , expresándolo de la siguiente manera:
(1.6) |h⟩ = aαbβ · · ·cγ |h1⟩⊗ |h2⟩⊗... |hn⟩ .
Suele omitirse en ocasiones el śımbolo ⊗.
1.5. Operadores Lineales. Si V es un espacio vectorial sobre un campo
K, a la aplicación lineal de V en śı mismo f : V→V se le llama operador lineal.
El conjunto L(V ) de todos los operadores lineales en V tiene la estructura de un
espacio vectorial sobre K. Cuando un operador actúe sobre un elemento de V lo
denotaremos como O |v⟩ u |Ov⟩. Dados dos vectores que pertenecen a V , es decir,
|u⟩ y |v⟩, el elemento de matriz de un operador O se define como ⟨u| O |v⟩.
1.5.1. Ecuación de Eigenvalores. Sea V un espacio vectorial sobre un cam-
po K y O un operador lineal. Si existe un vector |ψ⟩ distinto de cero tal que para
un valor α ∈ K se satisfaga
(1.7) O |ψ⟩ = α |ψ⟩ ,
llamaremos a α eigenvalor (valor propio o valor caracteŕıstico), |ψ⟩ eigenvector
(vector propio o vector caracteŕıstico) y a (1.7) ecuación de eigenvalores.
2Para una definición formal del producto exterior, consúltese el Caṕıtulo 4, p.121 de la refe-
rencia [19] de la bibliograf́ıa. Una explicación intuitiva de este objeto matemático es introducida
en la sección 2.2 del presente caṕıtulo.
14 2. MECÁNICA CUÁNTICA
1.5.2. Operador Adjunto y Autoadjunto. SeaO un operador. Su operador
adjunto se denota como O† y se define como aquel que satisface la siguiente igualdad
para cualesquiera dos vectores |u⟩ y |v⟩:
⟨O†u|v⟩ = ⟨u|Ov⟩
Si O es un operador en el espacio H de Hilbert, se le llama autoadjunto (hermitiano
o hermı́tico) si
O = O†.
Para |u⟩ y |v⟩ arbitrarios y pertenecientes a H, el operador hermitiano satisface
⟨Ou|v⟩ = ⟨u|Ov⟩ y
⟨v|Ov⟩∗ = ⟨Ov|v⟩ = ⟨v|Ov⟩∈R.
Observamos también que si O es un operador hermitiano, siendo |v⟩ y α un vector
propio y valor propio respectivamente (sin pérdida de generalidad, se considera al
vector normalizado), se tiene:
α = α ⟨v|v⟩ = ⟨v| O |v⟩ = ⟨v| O |v⟩∗ = (α ⟨v|v⟩)∗ = α∗,
por tanto α∈R. Es decir, los valores propios de un operador hermitiano son reales.
Otra propiedad importante es la ortogonalidad de dos vectores propios (con valores
caracteŕısticos distintos) de un mismo operador hermitiano, veamos:
0 = ⟨v1| O − O |v2⟩ = ⟨v1| O |v2⟩ − (⟨v2| O |v1⟩)∗ = (α2 − α1) ⟨v1|v2⟩ ,
entonces, para α2 ̸= α1, se satisface la ortogonalidad entre |v1⟩ y |v2⟩.
1.5.3. Conmutatividad. Dados dos operadores A y B, en general no se sa-
tisface que
AB = BA,
es decir, los operadores no siempre conmutan. Se tiene el resultado de que el pro-
ducto de dos operadores hermitianos es hermitiano si y sólo si estos conmutan3.
Para el manejo de la propiedad de conmutación entre operadores, se define el con-
mutador (cuyo valor es cero para operadores conmutativos) de la siguiente manera:
[A,B] = AB − BA.
1.6. Espacio de Hilbert Bidimensional. En el espacio de Hilbert bidi-
mensional, podemos utilizar los vectores base |+⟩ y |−⟩, que en forma matricial se
expresan como
|+⟩ =
(
1
0
)
, |−⟩ =
(
0
1
)
y el estado más general tiene la siguiente representación:
|ψ⟩ = α |+⟩+ β |−⟩ =
(
α
β
)
.
Cualquier matriz de 2×2 puede escribirse como combinación lineal de los siguientes
operadores hermitianos:
3Véase p. 214 de [10].
2. FORMULACIÓN ESTÁNDAR DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 15
(1.8)
2 |+⟩ ⟨+|+ |−⟩ ⟨−| =
(
1 0
0 1
)
≡ I,
|+⟩ ⟨−|+ |−⟩ ⟨+| =
(
0 1
1 0
)
≡ σ̂x = σ̂1,
−i(|+⟩ ⟨−| − |−⟩ ⟨+|) =
(
0 −i
i 0
)
≡ σ̂y = σ̂2,
|+⟩ ⟨+| − |−⟩ ⟨−| =
(
1 0
0 −1
)
≡ σ̂z = σ̂3,
es decir
(1.9) F = a0I+
∑
akσ̂k = a0I+ a⃗ · σ̂,
siendo σ̂i (i=1, 2, 3) las componentes de σ̂, denominadas matrices de Pauli , cuya
regla de conmutación es:
(1.10) [σ̂i, σ̂j ] = 2iϵi,j,kσ̂k.
2. Formulación Estándar de la Mecánica Cuántica
2.1. La ecuación de Schrödinger. Para describir el comportamiento de
los electrones, Erwin Schrödinger propuso, como sustitución de las ecuaciones de la
mecánica newtoniana, asociarles una ecuación de onda basándose en el postulado
de de Broglie :
(2.1) λ = h/p,
siendo λ la llamada longitud de onda de de Broglie, h la constante de Planck y p
el momento de la part́ıcula (de Broglie, inspirado en la teoŕıa corpuscular de la luz
de Einstein, fue quien planteó adjudicar al electrón propiedades ondulatorias por
medio de una longitud de onda, y después generalizar la idea a los corpúsculos).
Esta ecuación, conocida como ecuación de Schrödinger, tiene la siguiente forma:
(2.2) i~
∂ψ
∂t
= − ~
2
2m
∇2ψ + V ψ,
siendo m la masa, ~ la constante de Planck h dividida entre 2π, V el potencial y ψ
la función de onda.
La función de onda4 ψ = ψ(r, t) caracteriza a las part́ıculas, contiene información
sobre su ubicación espacial a un tiempo t. Por ejemplo, en el caso de una part́ıcula,
generalmente se interpreta que la función de onda se relaciona con la probabili-
dad dP (r, t) de que ésta se encuentre al tiempo t en un elemento de volumen dV
localizado alrededor del punto r, es decir5:
(2.3) dP (r, t) = C|ψ(r, t)|2dV,
4La función de onda es una función compleja.
5Puede consultarse [33].
16 2. MECÁNICA CUÁNTICA
donde C es una constante de normalización.La probabilidad de que una part́ıcula
se encuentre en alguna parte del espacio al tiempo t es:
(2.4)
∫
dP (r, t) = 1.
De acuerdo a (2.3) y (2.4) se puede concluir que
(a) La función de onda ψ(r, t) es de cuadrado integrable, es decir∫
|ψ|2dV <∞.
(b) La constante de normalización se determina por la siguiente relación
1
C
=
∫
|ψ|2dV.
Al espacio vectorial compuesto por las funciones ψn de cuadrado integrable
6 se le
denota como L2(R).
Si se define como producto interno
⟨ψ∗n, ψm⟩ =
∫
ψ∗nψmdV ,
el espacio vectorial de la mecánica cuántica tiene la estructura de un espacio de
Hilbert.
2.2. Principios Básicos. La mecánica cuántica, en su formulación estándar
se construye a partir de los siguientes principios.
Principio 1. A cada sistema f́ısico se le asocia un espacio de Hilbert. Da-
do un tiempo fijo t0, a la descripción completa del sistema, llamado estado del
sistema en el instante t0, se le asigna un vector de longitud uno.
Un sistema f́ısico también puede ser representado por un vector que pertenece
al espacio producto, por ejemplo, si tenemos un sistema cuántico en el cual una
part́ıcula puede estar en cualquiera de los estados |u1⟩, |u2⟩,...,|un⟩ pertenecientes
a un espacio de Hilbert H1, y además tenemos otro sistema cuántico en el cual una
part́ıcula puede estar en los estados |v1⟩, |v2⟩,...,|vm⟩ pertenecientes a un espacio
de Hilbert H2, la descripción del sistema completo estará dada por algún vector
perteneciente al espacio producto H = H1⊗H2. Se le llama estado separable al que
se le puede describir mediante la expresión (1.6), en caso de que un vector arbitrario
no satisfaga esta condición, lo llamaremos estado entrelazado.
Principio 2. Las propiedades de un sistema que pueden ser medidas se repre-
sentan por operadores lineales hermitianos, llamados frecuentemente observables
(también variables dinámicas). La relación entre los operadores, que representan
propiedades, y los valores de dichas propiedades en los posibles estados del sistema,
está dada por lo que se conoce como la regla eigenvalor-eigenvector (E/E) que
enuncia lo siguiente: “un estado posee el valor α de una propiedad representada por
el operador O si y sólo si ese estado es un eigenvector de O con eigenvalor α”.
6Refiriéndonos al caso continuo, pero bien se puede estudiar el caso discreto.
2. FORMULACIÓN ESTÁNDAR DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 17
Como α ∈ R, es importante hacer uso de los operadores hermitianos, pues cuando
satisfacen la ecuación de eigenvalores (1.7), el eigenvalor siempre es real. Los opera-
dores elementales (hermitianos) lineales, en el espacio de configuración, se muestran
en la siguiente tabla:
Observable Operador
Posición Q = x
Momento P = −i~∂/∂x
Enerǵıa E = i~∂/∂t
Enerǵıa Potencial V = V (x)
Enerǵıa Cinética T = (−~2/2m)∂2/∂x2
Hamiltoniano H = T + V
Cuadro 1. Operadores elementales asociados a variables dinámi-
cas (caso unidimensional).
El momento angular total Ĵ es la suma de las contribuciones del momento angular
orbital L̂ y el momento angular intŕınseco de las part́ıculas Ŝ, es decir Ĵ = L̂+ Ŝ.
En el caso del espacio de Hilbert bidimensional, para estudiar el momento angular
el electrón para esṕın 1/2 (considerando l = 0) y sus respectivas componentes, se
utiliza el operador espinorial
(2.5) Ŝ = 1
2
~σ̂.
Principio 3. La evolución del estado de un sistema viene descrita por la ecua-
ción de Schrödinger:
(2.6) i~
d |ψ⟩
dt
= H |ψ⟩ ,
siendo H el operador Hamiltoniano (véase Cuadro 1). Esta ecuación es lineal y
determinista. Decimos que es determinista porque dado el estado del sistema en
un tiempo determinado, podemos calcular el estado del sistema para algún tiempo
posterior o anterior.
La expresión de la ecuación de Schrödinger aqúı introducida es más general que la
expresion (2.2) de la sección anterior. De hecho, existe una equivalencia pues
ψ(x) = ⟨x|ψ⟩ .
Principio 4. Sea |ψ⟩ el vector que representa el estado de un sistema y F el
operador que representa la variable dinámica que se desea medir, supongamos que
|ψ⟩ no es eigenestado de F . Para determinar (1) la ‘lista’ de los posibles resultados
de una medición y (2) la probabilidad de que al medir obtengamos uno u otro de
estos posibles resultados, se utiliza la regla de Born. Ésta indica que la ‘lista’
de esos posibles valores está compuesta por los eigenvalores del operador F y las
probabilidades de que al medir se obtenga uno u otro de esos posibles resultados
están dadas por la expresión
P (fi) = | ⟨ψ|fi⟩ |2,
18 2. MECÁNICA CUÁNTICA
siendo F |fi⟩ = fi |fi⟩.
Principio 5. (Postulado del Colapso). Sea una vez más |ψ⟩ el vector que repre-
senta el estado de un sistema y F el operador asociado a la variable dinámica que
se desea medir. Si el resultado tras la medición arroja el valor fi, el sistema cambia
instantáneamente al eigenestado asociado a dicho eigenvalor, esquemáticamente:
|ψ⟩→ |fi⟩ .
2.3. Sistemas f́ısicos y operadores conmutativos. A continuación se
demostrará que dos variables dinámicas pueden tener valores bien definidos si-
multáneamente en un sistema f́ısico si y sólo si los operadores que los representan
conmutan7.
((⇒)) Sean A y B los operadores que representan a distintas variables dinámicas,
como simultáneamente sus valores se encuentran bien definidos, entonces
(1) A|ψn⟩ = an|ψn⟩,
(2) B|ψn⟩ = bn|ψn⟩.
Evaluando el operador B en (1) y el operador A en (2), resulta (respectivamente):
(3) BA|ψn⟩ = Ban|ψn⟩ = anB|ψn⟩ = anbn|ψn⟩,
(4) AB|ψn⟩ = Abn|ψn⟩ = bnA|ψn⟩ = bnan|ψn⟩.
Ya que el conmutador es cero, se concluye que
(5) AB = BA.
((⇐)) Como A y B conmutan y al menos uno de ellos tiene el valor bien definido
(en nuestro caso, A) son válidas las expresiones (1) y (5).
Tenemos que
(6) ⟨ψm| BA |ψn⟩ = an ⟨ψm| B |ψn⟩ .
Pot otro lado, vemos que el productoAB es hermitiano ya queA y B son hermitianos
y conmutan. Entonces:
(7) ⟨ψm| BA |ψn⟩ = ⟨ψn| (BA)∗ |ψm⟩ = ⟨ψn| B∗A∗ |ψm⟩ = am ⟨ψn| B∗ |ψm⟩ = am ⟨ψm| B |ψn⟩ .
Restando (6) y (7) resulta
(an − am) ⟨ψm| B |ψn⟩ = 0,
por lo que
(8) ⟨ψm| B |ψn⟩ = bnδnm.
Notamos que el operador B es diagonal, siendo |ψn⟩ las eigenfunciones, se tiene
entonces que:
(9) ⟨ψm|ψn⟩ = δnm,
de (8) y (9) se obtiene:
⟨ψm| B |ψn⟩ = bn ⟨ψm|ψn⟩ ,
es decir
(10) ⟨ψm| B − bn |ψn⟩ = 0.
Como |ψm⟩ es arbitrario, se concluye que
(11) B|ψn⟩ = bn|ψn⟩.
7La demostración presentada puede consultarse en [10].
Parte 2
No Localidad Cuántica
Caṕıtulo 3
Completez de la Mecánica Cuántica
Cimentada la ‘herramienta teórica’ en la Parte 1 de este trabajo, comenzaremos el
estudio de la ((No localidad Cuántica)). Fundamental es discutir primero el art́ıculo
de EPR1 como se hab́ıa adelantado en la introducción. En este caṕıtulo también
abordaremos algunas cuestiones filosóficas y presentaremos el problema de la me-
dición. Los temas aqúı tratados y también los temas del caṕıtulo siguiente serán
indispensables para entender la relevancia de lo que se discutirá en la Parte 3 de
esta tesis.
1. Paradoja de EPR
En el art́ıculo de EPR se considera a una teoŕıa satisfactoria si es correcta y com-
pleta. Se menciona que la teoŕıa es correcta si sus predicciones se comprueban
experimentalmente. El art́ıculo se centra en analizar la completez2 de la mecánica
cuántica; para evaluarla proporcionan un criterio (necesario, según ellos):
(Criterio de Completez). Cada elemento de la realidad f́ısica debe tener su con-
traparte en la teoŕıa f́ısica.
No se define realidad ni los elementos de la realidad f́ısica, pero se brinda una
condición suficiente para manifestar que una cantidad f́ısica es real:
Condición 1. (De Realidad). Si se puede predecir con certeza (probabilidad
igual a uno) el valor de una cantidad f́ısica sin perturbar el sistema, existe un
elemento de la realidad f́ısica que le corresponde.
Esta condición nos dice que el valor de la propiedad f́ısica que podemos predecir,
debe existir de manera objetiva e independiente del observador.
El criterio de completez y la condición de realidadrepresentan su concepción de
“realismo”. Denotaremos a esta concepción como RE .
En el art́ıculo de EPR se muestra que dos cantidades f́ısicas asociadas a operadores
que no conmutan pueden ser simultáneamente reales (en términos de su concepción
RE) y concluyen que la función de onda es incompleta al no ofrecer la descripción
de ambas. Además de la premisa de ((realismo)) RE , para llegar a esta conclusión,
1Las letras EPR corresponden a las iniciales de los apellidos Einstein, Podolsky y Rosen. El
tema tratado en el art́ıculo de EPR es conocido como ((la Paradoja de EPR)), para consultarlo
véase [12].
2Completitud y completez son términos igualmente utilizados y, correctos según el diccionario
de la Real Academia Española; compleción es válido pero poco usado (véase [34]).
20
2. ARGUMENTO DE EPR 21
se asume otra premisa que se asocia con el principio de ((localidad )) que se precisará
en la sección 3 pero se identificará como ((Locepr)) en la siguiente sección.
2. Argumento de EPR
Si se satisface la ecuación de eigenvalores, diremos que la propiedad f́ısica asociada
al operador O es un elemento de la realidad ya que puede ser medida sin perturbar
al sistema, siendo α su valor.
Consideremos un sistema de dos part́ıculas que sólo han interactuado del tiempo
t1 = 0 al tiempo t2 = T y que posteriormente, una de la otra están lo suficientemen-
te separadas. Con la ayuda de la ecuación de Schrödinger se describe la evolución
del estado del sistema después de la interacción.
Tras la evolución, podemos representar este estado como:
(2.1) |Ψ⟩ =
∑
n
|an⟩1 ⊗ |bn⟩2 ,
siendo {|an⟩1} el conjunto de eigenestados del operador Â1 para la part́ıcula 1 y
{|bn⟩2} un conjunto de estados para la part́ıcula 2 (nótese que {|bn⟩2} no necesa-
riamente es el conjunto de eigenestados de un operador de la part́ıcula 2).
Si estamos interesados en alguna otra propiedad f́ısica del mismo sistema, podemos
reescribir (2.1) de la siguiente manera:
(2.2) |Ψ⟩ =
∑
m
|cm⟩1 ⊗ |dm⟩2 ,
siendo {|cm⟩1} el conjunto de eigenestados del operador Ĉ1 para la part́ıcula 1
y {|dm⟩2} un conjunto de estados para la part́ıcula 2 (nuevamente, el conjunto
{|dm⟩2} no necesariamente representa al conjunto de eigenestados de un operador
de la part́ıcula 2).
Si realizamos una medición de la propiedad Â1 y encontramos el valor ak, diremos
que la part́ıcula 1 está en el estado |ak⟩1 y también diremos que la part́ıcula 2 tendrá
por estado |bk⟩2 (pues el sistema colapsa). De manera análoga, si realizamos una
medición de la propiedad Ĉ1 y encontramos el valor cj , diremos que la part́ıcula 1
está en el estado |cj⟩1 y que la part́ıcula 2 tendrá por estado |dj⟩2.
Es decir, según la terminoloǵıa de la mecánica cuántica estándar, se predice que los
estados representados por (2.1) y (2.2) ((colapsarán)) al ser medidos a los estados
(2.3) |Ψ⟩ = |ak⟩1 |bk⟩2 y
(2.4) |Ψ⟩ = |cj⟩1 |dj⟩2 ,
respectivamente.
22 3. COMPLETEZ DE LA MECÁNICA CUÁNTICA
En particular podŕıa suceder que el conjunto de estados {|bn⟩2} y {|dn⟩2} fueran
un conjunto de eigenestados para operadores B̂2 y D̂2 respectivamente, y además
estos operadores podŕıan no conmutar. Las suposiciones anteriores son importantes
para mostrar la incompletez de la mecánica cuántica como veremos más adelante.
Entonces, consideremos que éste es el caso e introduzcamos, en palabras de los
autores del art́ıculo3 la premisa principal que llamamos Locepr que a su vez asume
RE :
“...ya que al momento de la medida los dos sistemas no interactúan,
ningún cambio real puede ocurrir en el segundo sistema a causa de
alguna cosa efectuada sobre el primero.”
Como la segunda part́ıcula no debe ser afectada por lo que le ocurre a la primera,
la existencia de las propiedades reales de la part́ıcula 2 debe ser independiente de la
part́ıcula 1 (es decir, de sus propiedades o procesos de medición): a la part́ıcula 2 le
podemos asociar dos propiedades f́ısicas reales diferentes relacionadas con los ope-
radores B̂2 y D̂2, definidas inmediatamente al medir las propiedades de la part́ıcula
1 relacionadas con los operadores Â1 y Ĉ1, respectivamente. Pero, como el forma-
lismo cuántico no ofrece la descripción de los operadores B̂2 y D̂2 precisamente
porque no conmutan, se concluye que la teoŕıa cuántica es incompleta.
3. Casos Particulares
3.1. Posición y Momento. En el art́ıculo de EPR se escoge un estado en-
trelazado muy especial, en el cual, si se decide medir el momento de la part́ıcula
1 y se obtiene el valor p, la part́ıcula 2 tendrá el valor −p; y si se decide medir la
posición de la part́ıcula 1 y se encuentra en x1, la part́ıcula 2 estará en la posición
x1 + x0.
El estado se expresa como:
Ψ(x1, x2) =
∫ +∞
−∞ e
(2πi/h)(x−x1+x0)dp.
Según el argumento EPR4, a la part́ıcula 2 le podemos asociar dos cantidades
f́ısicas reales, que por la formulación de la mecánica cuántica no pueden ser medidas
simultáneamente sin perturbar al sistema, pues
PQ−QP = h/πi,
es decir, no conmutan.
En la parte final del art́ıculo terminan los autores con una aseveración muy fuerte5,
que está relacionado con la violación de ((Locepr)):
“La realidad6 de P y Q del segundo sistema dependen del proceso
de medición efectuado en el primer sistema. Ninguna definición
razonable de realidad debeŕıa permitir esto.”
3Traducción personal extráıda de [12].
4Cuando se menciona ((argumento EPR)), nos referimos al razonamiento de Einstein, Podolsky
y Rosen presentado en la sección anterior, es decir, la sección 2 de este caṕıtulo.
5Paráfrasis.
6En esta cita, P y Q son los operadores de momento y posición respectivamente.
4. PREMISAS 23
3.2. Componentes de Esṕın. David Bohm7 extrae la esencia de la para-
doja de EPR al proponer un experimento hipotético en el que se relacionan las
componentes del esṕın de dos part́ıculas de esṕın 1/2, reduciendo la complejidad
del problema al trabajar en un espacio de Hilbert de dos dimensiones. A este expe-
rimento le llamararemos EPRB.
Se considera una part́ıcula en reposo con esṕın total cero que repentinamente se
desintegra en dos part́ıculas viajando en direcciones opuestas. Este estado, llamado
singulete, se describe de la siguiente forma:
(3.1) |Ψ⟩S =
1√
2
(|+⟩ |−⟩ − |−⟩ |+⟩).
Si se desea medir la proyección del momento angular sobre la dirección z para la
part́ıcula 1 (estando lejana de la part́ıcula 2), se tiene la misma probabilidad de
encontrar el valor de +1/2 y −1/2. Imaginemos que encontramos el valor +1/2. La
ecuación (3.1) ((colapsa)) y se representa como
(3.2) |Ψ⟩z = |+⟩ |−⟩ .
Sin la interacción entre ambas part́ıculas, de manera inmediata podemos predecir
que −1/2 será el valor de la componente z del esṕın de la part́ıcula 2, que corres-
ponderá al resultado obtenido por la medición (cuyo proceso no altera el sistema
asumiendo ((Locepr))), hablando aśı de una cantidad real para la part́ıcula 2.
Supongamos ahora que medimos en la part́ıcula 1 la componente x y arroja el valor
de +1/2, análogo al caso anterior, podemos predecir el valor de la componente x de
esṕın de la part́ıcula 2, la cual representará una cantidad real si asumimos ((Locepr)).
Tenemos dos cantidades reales asociadas a la part́ıcula 2 que según la mecánica
cuántica no pueden ser conocidas de manera simultánea sin perturbar al sistema
pues los operadores σ̂z y σ̂x no conmutan (al medir la componente x ya no podemos
asegurar que la componente z del esṕın de la part́ıcula 1 es +1/2 y -1/2 en la
part́ıcula 2), por tanto, considerando válidas las premisas de EPR, la descripción
que ofrece la función de onda es incompleta.
4. Premisas
Bell8 teńıa muy clara la premisa que estaba de fondo en el argumento de EPR:
“Lo que se supone sagrado es el principio de ((causalidad local)) -o
((no acción a distancia))-.”
De esto nacen las siguientes preguntas: ¿es correcto asociar un principio de loca-
lidad como premisa en el argumento de EPR?, ¿a qué exactamente se refiere Bell
con causalidad local? Para responderestas interrogantes es necesario introducir el
principio de localidad y no sólo eso, también será necesario introducir el principio
de separabilidad ; en la literatura a ambos principios se les suele confundir y en
7Para más detalles del desarrollo de David Bohm sobre la paradoja de EPR, véase [3].
8En este apartado, todas las citas son tomadas de [2] 16 (197-220), a menos que se señale lo
contrario.
24 3. COMPLETEZ DE LA MECÁNICA CUÁNTICA
ocasiones los toman como un solo principio, sin embargo, aqúı se hará distinción
entre ellos. Consideremos la siguiente cita9:
“La visión del mundo de Einstein sosteńıa que cada región del
espacio-tiempo tiene su propio estado f́ısico intŕınseco y que el es-
tado f́ısico total y completo del universo es especificado una vez
que se haya determinado el estado intŕınseco de cada pequeña re-
gión. Esta doctrina ontológica puede llamarse separabilidad10.
Einstein también créıa que los eventos con separación tipo espacio
de una región no podŕıan influir en el estado f́ısico asignado a esa
región. Llamemos a esa doctrina localidad .”
Si comparamos estas nociones con lo que denominamos ((Locepr)), la relación es con
el principio de localidad, de manera que es correcto que Bell asocie la premisa del
argumento EPR con este principio (se especificará con detalle su concepción de
((causalidad local)) en el siguiente caṕıtulo).
Si bien es cierto que la cita anterior refleja el pensamiento de Einstein, no era del
todo claro que él tuviera en mente la distinción entre el principio de localidad y
separabilidad ; esa ‘visión del mundo’ no la formula de manera precisa. Consideremos
una de sus citas posterior al art́ıculo original11:
“Si se pregunta qué es, prescindiendo de la mecánica cuántica, ca-
racteŕıstico del mundo de las ideas de la f́ısica, lo que primero llega
de golpe es lo siguiente: los conceptos de la f́ısica se relacionan con
el mundo real exterior... Una caracteŕıstica ulterior de estos obje-
tos f́ısicos es que se consideran dispuestos en un continuo espacio-
temporal. Un aspecto esencial de esta dispocición de las cosas en
f́ısica es que ellas presentan , en un cierto momento, una existen-
cia independiente una de otra, siempre que estos objetos ((estén
situados en partes diferentes del espacio))12.
La idea siguiente caracteriza la independencia relativa de objetos
bien separados en el espacio (A y B): una influencia directa en A
no tiene influencia alguna directa sobre B...”
La parte del texto resaltada en cursiva de la reciente cita, se asocia con la noción
de separabilidad introducida, pero el párrafo siguiente no, éste se relaciona con el
principio de localidad. Sin embargo, como la ((independencia))13 que se señala en lo
que identificamos como ((noción de separabilidad)) está directamente caracterizada
con el ((principio de localidad)) asociado al siguiente párrafo, pareciera que Einstein
no distingue ambos principios, además, para ser más precisos cuando se requiere
hablar de localidad, es conveniente especificar el tipo de separación, como se realiza
9Consúltese [24] página 193. Aqúı se presenta una traducción personal.
10En la cita original, la palabras separabilidad y localidad son resaltadas mediante un entre-
comillado, aqúı también se le resaltan pero se utiliza la tipograf́ıa ‘negrita’ y la cursiva.
11Con ‘art́ıculo original’ nos referimos al art́ıculo de EPR.
12En la cita original no se utiliza la letra cursiva. Se pone esa tipograf́ıa en una parte del
contenido del párrafo para resaltar y asociarla con el principio de separabilidad y distinguirla del
párrafo siguiente que manifiesta una relación con el principio de localidad.
13Nos referimos a la ((independencia)) señalada con tipograf́ıa ‘negrita’. Una vez más se da
énfasis en que en la cita original no se resalta esta palabra.
5. REALISMO 25
en la primer cita de esta sección, es decir, añadir que la separación es de tipo-
espacio. El no distinguir entre un principio y otro (o no formular de manera precisa
un principio) puede llevar a confusiones, por ejemplo, Born comenta:
“La ráız de la diferencia entre Einstein y yo era el axioma que los
sucesos que ocurren en lugares diferentes A y B son independientes
entre śı, en el sentido de que una observación del estado de los
asuntos en B no puede enseñarnos nada sobre el estado de los
asuntos en A.”
Pero para Bell esto es inadmisible, con respecto a lo anterior dice:
“Dif́ıcilmente podŕıa hallarse incomprensión más completa. Eins-
tein no teńıa ninguna dificultad en aceptar que asuntos en dife-
rentes lugares pudieran estar correlacionados. Lo que él no pod́ıa
aceptar era que una intervención en un lugar pudiera, inmediata-
mente, influir14 sobre asuntos en el otro.”
Al menos, dentro del pensamiento de Einstein, la siguiente cita es una de las más
claras para comprender el reciente comentario de Bell15:
“No puedo creer seriamente en [la teoŕıa cuántica] porque no pue-
de reconciliarse con la idea de que la f́ısica debe representar una
realidad en el tiempo y en el espacio, libre de la fantasmal16 acción
a distancia.”
En resumen tenemos lo siguiente: si asumimos RE e insistimos en dar por válido
la premisa de localidad (abreviado como L), entonces la Mecánica Cuántica es una
teoŕıa incompleta (abreviado como ((MCI ))). Esto puede expresarse de la siguiente
manera:
si RE ,
L⇒MCI ,
o bien, asumiendo RE , si queremos negar que la Mecánica Cuántica es incompleta,
debemos negar la premisa de localidad. Esto puede ser expresado como sigue:
al asumir RE ,
¬MCI ⇒ ¬L,
decimos entonces que EPR muestra que el mundo es no local si la mecánica cuántica
es completa.
5. Realismo
Abunda el término ((realismo)) en la literatura filosófica y es utilizado para diferen-
tes conceptos. En este caso, compete hablar y diferenciar las nociones de realismo
ontológico y realismo epistemológico17, y se hará de manera muy general, porque
incluso en la vasta bibliograf́ıa se presentan de variadas formas.
14Las cursivas no han sido agregadas, aparecen de la fuente tomada.
15Véase [25].
16Einsten fue quien propuso el término ((spooky)) que es traducido como ((fantasmal)).
17Los conceptos y la distinción entre estos realismos son tomados de [8].
26 3. COMPLETEZ DE LA MECÁNICA CUÁNTICA
Realismo Ontológico (((Ro))). Es la tesis que afirma que el mundo existe por śı
mismo (en el contexto de la f́ısica nos referimos a las propiedades de los sistemas,
como la posición, momento, enerǵıa, etc.), independiente del conocimiento o con-
ciencia de éste (independiente de observadores o de cualquier actividad mental),
opuesto al idealismo, tesis que argumenta lo contrario.
Realismo Epistemológico (((Re))). Es la tesis que sostiene la posibilidad de co-
nocer al mundo tal como es en śı mismo (nuestro conocimiento lo describe y lo
explica, y este conocimiento puede venir de nuestras teoŕıas cient́ıficas). Se da por
hecho la aceptación del realismo ontológico y por eso la verdad o falsedad de una
teoŕıa depende de esta noción de realismo y no de sujetos del conocimiento (si una
teoŕıa es verdadera debe hacer referencia a entidades preexistentes, no necesaria-
mente a todas, aunque por principio se admita la construcción de alguna que lo
haga). En el contexto de una teoŕıa f́ısica, es posible conocer las propiedades de un
sistema en śı mismas. Este realismo se opone al fenomenismo y al instrumentalis-
mo. El fenomenismo es la tesis que afirma que conocemos las cosas tal como se nos
aparecen (como fenómenos y no como son en śı mismas) y el modo en que se nos
aparecen depende de nuestra mente, por ejemplo, de nuestro sistema cognoscitivo,
percepción, lenguaje o de teoŕıas. El instrumentalismo argumenta que las teoŕıas
no ofrecen una descripción verdadera de la realidad, sólo brindan un método para
explicar y predecir fenómenos.
Ahora, analizando la concepción de realidad (RE), notamos que presupone Ro al
referirse a la ((realidad f́ısica)) y,al permitir la correspondencia entre elementos de
la realidad f́ısica con variables teóricas, asume un Re pero restringido por la Con-
dición 1. Con esta condición no se imponen requisitos sobre lo que debe satisfacer
la ((realidad f́ısica)), sino mas bien, se imponen requisitos sobre la teoŕıa para que
podamos decir que representa a esta realidad; estos requisitos están sujetos a la
definición de sistema y al concepto de perturbación. No perturbar al sistema trae
impĺıcito que al poner en contraste la predicción con la ((realidad f́ısica)), las pro-
piedades del sistema no cambian.
La aparente relación entre la realidad y la medición es lo que aqueja a EPR. Podŕıa
especularse que es la interacción f́ısica entre el aparato de medición (que a fin de
cuentas se compone de sistemas microscópicos) y el sistema de estudio lo que pro-
voca que se manifiesten propiedades f́ısicas que no exist́ıan antes, y no realmente el
observador o nuestra mente, pero sea cual sea la explicación, el formalismo cuántico
no la ofrece (véase la siguiente sección).
Regresando al experimento de EPRB, si damos por hecho que la proyección del
esṕın en alguna dirección arbitraria es un elemento de la realidad, tendrá un opera-
dor asociado y se satisfará la ecuación de eigenvalores, pero la situación se complica
cuando nos preguntamos si a la propia función de onda se le puede asociar un ‘rea-
lismo’. El debate se ha concentrado en las siguientes alternativas18:
(a) Realismo de la función de onda. Se le asume como un objeto f́ısico. La
postura se centra en explicar el mundo macroscópico (al que se le asocia un espacio
18Véase, por ejemplo [27].
6. EL PROBLEMA DE LA MEDICIÓN 27
de 3 dimensiones espaciales) partiendo de este ente (que vive en un espacio 3N-
dimensional).
(b) Ontoloǵıa Primitiva. La ontoloǵıa de la teoŕıa es lo que hay en el espacio
de 3 dimensiones espaciales, se postula de lo que se ve del mundo y no puede ser
inferida del formalismo cuántico.
Sin poder llegar a una conclusión de los distintos debates que originan las pre-
guntas generadas, al menos śı se puede concluir que uno puede asumir una noción
‘realista’ (Ro, Re) aunque se viole la localidad. También podŕıa uno preguntarse si
negando RE puede ‘rescatarse’ el principio de localidad. Pero el problema radica
en que la definición de este principio se construye con una noción ‘realista’, pues
la localidad nos habla de ‘existencias’ independientes de objetos f́ısicos con separa-
ciones tipo espacio. Es decir, sus respectivas propiedades existen y un objeto f́ısico
no depende de la existencia del otro, de algún observador o de algún proceso mental.
La palabra ((realismo)) no aparece con frecuencia en textos de f́ısica. Uno podŕıa
asumir que estudiar este concepto es tarea del filósofo, pero desde mi opinión, el
estudio de todo concepto que ayude a dar claridad a descripciones f́ısicas del mundo,
es tarea también del f́ısico.
“Estoy convencido de que la f́ısica teórica es, realmente, filosof́ıa.”
M. Born.
6. El problema de la medición
La no localidad cuántica se manifiesta desde el postulado del colapso (Principio
5). Esta ley de evolución es contraria a la brindada por la ecuación de Schrödinger
(Principio 3) que es determinista, continua y lineal. El formalismo estándar propone
las circunstancias en las que cada ley dinámica deberá intervenir19:
(i) Si no se efectúa una medición, el estado del sistema evoluciona acorde a la
ecuación de Schrödinger.
(ii) El estado de un sistema cambia, tras la medición, acorde al postulado del
colapso.
El problema radica en que este formalismo no precisa ni da elementos para precisar
el concepto de medición. Se podŕıa especular al respecto de la existencia de una
teoŕıa más fundamental y local que resuelva el problema de la medición. Pero antes
de llegar tan lejos, habŕıa que preguntar si es posible construir una teoŕıa local que
reproduzca los resultados de la mecánica cuántica, y esto, es de hecho, lo que Bell
se cuestiona.
19Para una perspectiva general e introductoria, léase [29].
Caṕıtulo 4
Teorema de Bell
Con lo anterior, ahora śı estamos listos para abordar de manera expĺıcita y más
formal el concepto de la ((no localidad cuántica)). En este apartado enunciaremos
el teorema de Bell y los conceptos previos para llevar a cabo su demostración. De
igual forma, haremos una breve mención de lo que se ha efectuado en el campo
experimental para evidenciar que la ((no localidad)) no sólo es un hecho teórico, sino
de la naturaleza misma.
1. Teoŕıa de Existenciables Locales
Según la formulación estándar de la mecánica cuántica, la esencia de una propiedad
f́ısica no es independiente del proceso de medida. Lo ideal seŕıa construir la teoŕıa
de tal modo que estas propiedades existieran por śı, emancipadas del concepto
de ‘observador’. Bell nombra ((beables)) a los entes que satisfacen lo anterior; a
estos se les pueden asignar valores objetivos, y de hecho, los observables se deben
construir por medio de ellos. Aquellos ((beables)) que se puedan asignar a una región
limitada del espacio-tiempo se les llama beables locales, y una teoŕıa construida
por entes de este tipo es llamada ((teoŕıa de beables locales)). De acuerdo con la
discusión del caṕıtulo anterior respecto al realismo, postulando la existencia de los
((beables)) estamos asumiendo ((Ro)). En este trabajo renombraremos a los beables
y los llamaremos ((existenciables))1.
2. Determinismo Local y Causalidad Local
Es de interés elaborar el concepto de causalidad local que aplique incluso a teoŕıas in-
deterministas, pero antes presentaremos la noción de ((determinismo local)) (obsérve-
se la Figura 1 de este caṕıtulo).
Definición 8. Sea Ω una región arbitraria del espacio-tiempo, si la teoŕıa in-
dica que todos los existenciables en ella quedan determinados por los de cualquier
región V que se encuentra contenida en el cono de luz y además obstruye por com-
pleto el cono de luz pasado, decimos que la teoŕıa es determinista local.
Considérese alguna teoŕıa en la que el valor de un existenciable A queda fijo y de-
terminado cuando se le asignan valores concretos a un conjunto de existenciables
1La palabra ((beable)) no está traducida, pero intenta expresar la propiedad que tiene un
objeto de ser, en contraposición de ((observable)); puede verse la nota del traductor del caṕıtulo 5
de [2]. De hecho, tampoco es una palabra que exista propiamente en el idioma inglés, por eso no
hay una traducción literal. Es dif́ıcil proponer un sustituto en español, y aqúı se sugiere hacer el
uso de la palabra ((existenciable)), que tampoco ‘existe’ (pese a su nombre) en la lengua castellana,
pero se hace un esfuerzo por introducir una palabra más familiar a nuestra lengua. Esta propiedad
de ((ser)) refleja la propiedad ((realista)) de la variable, esa propiedad que manifiesta que ((existe))
independiente de un observador.
28
2. DETERMINISMO LOCAL Y CAUSALIDAD LOCAL 29
Figura 1. IMAGEN REPRESENTATIVA DE LA DEFINICIÓN 8.
Λ. El concepto de causalidad local para una teoŕıa no determinista debe considerar
que el valor de ese existenciable A no esté necesariamente fijo, sino que ahora esos
valores concretos del conjunto de existenciables Λ impliquen una distribución de
probabilidad para los valores del existenciable2 A.
La probabilidad de que un existenciable A tome un valor particular3 A, especifi-
cando valores concretos al conjunto de existenciables Λ, será representada por la
siguiente notación4:
P (A|Λ).
Ahora, la probabilidad de que un existenciable A tome un valor particular A, con-
siderando varios conjuntos de existenciables, Λ1,Λ2, ...,Λn, y especificando valores
concretos a los existenciables de cada conjunto, será representada por:
P (A|Λ1,Λ2, . . .,Λn).
Bell comenta lo siguiente5:
“Supongamos que A [un existenciable]6 está localizado en una re-
gión 1 del espacio-tiempo, y sea B otro existenciable localizado en
cierta región2 separada de la 1 por un intervalo del género espa-
cio7. Mi idea intuitiva de causalidad local8 es que sucesos en 2
2A este tipo de variables se les llama ((variables aleatorias)). Cuando uno utiliza el término
((distribución de probabilidad)) se hace referencia a la ((función de probabilidad o de densidad)).
En la sección Elementos de probabilidad del Apéndice, se define de manera formal una ((variable
aleatoria)) y se introduce el concepto de ((función de probabilidad)) y ((función de densidad)) al
igual que se mencionan algunas de sus propiedades. Véanse las definiciones 15 a 19 del apéndice.
3Tanto para el existenciable como para el valor particular del existenciable, se usa la misma
letra, para diferenciar se utiliza cursiva en el caso del valor particular del existenciable.
4Véase la definición 14 del apéndice.
5Véase caṕıtulo 7 (pág. 92) de [2]
6Se agrega la oración entre corchetes que no aparece expĺıcitamente en la cita, pero que por
el contexto previo a ese párrafo en el art́ıculo original, se sobreentiende que A es un existenciable.
7En nuestra terminoloǵıa, género espacio es equivalente a separación tipo espacio.
8Se le da el estilo de cursiva y negrita a las palabras ((causalidad local)) para dar énfasis, pero
en la cita original no es realizado esto.
30 4. TEOREMA DE BELL
no habŕıan de ser causas de sucesos en 1, y viceversa. Pero esto no
quiere decir que ambos conjuntos de sucesos no estén correlaciona-
dos de ninguna manera pues podŕıan tener causas comunes en el
traslape de sus conos de luz pasados.”
Por ello podŕıa esperarse que:
(2.1) P (A|Λ, B)̸=P (A|Λ),
siendo Λ el conjunto de existenciables contenido en una región del cono de luz de
A que obstruye por completo el cono de luz pasado.
Con esto, él introduce el concepto de una teoŕıa localmente causal de la siguiente
manera (véase figura9 2):
Definición 9. (Teoŕıa Localmente Causal ((TL))). En una teoŕıa localmente
causal, las probabilidades ligadas a valores de existenciables locales en una región
espacio-temporal 1, cuando se especifican los valores de todos los existenciables
locales en una segunda región 2 que obstruye completamente el cono de luz pasado
de la primera, no se alteran por la especificación de valores de existenciables locales
en una tercera región 3 con separación tipo espacio de las otras dos.
Lo anterior implica que
(2.2) P (A|Λ, B) = P (A|Λ).
Entonces, si A es un existenciable localizado en una región 1 del espacio tiempo
con Λ como conjunto de existenciables contenidos en una región de su cono de luz
que obstruye el cono de luz pasado, y B es otro existenciable localizado en una
región 2 del espacio tiempo con separación tipo espacio, siendo Φ un conjunto de
existenciables contenidos en una región de su respectivo cono de luz que también
obstruye el cono de luz pasado, la probabilidad conjunta se expresa como10:
(2.3) P (A,B|Λ,Φ) = P (A|Λ,Φ, B)P (B|Φ).
De la expresión (2.2), por la definición de teoŕıas TL, la igualdad anterior se rees-
cribe como:
(2.4) P (A,B|Λ,Φ) = P (A|Λ)P (B|Φ).
9La estructura de las imágenes 2 y 3 ha sido tomada de [30].
10Véase la Definición 14 del apéndice.
3. DESIGUALDAD CHHS Y TEOREMA DE BELL 31
Figura 2. IMAGEN REPRESENTATIVA DE LA DEFINICIÓN 9.
Figura 3. DISPOSITIVO DE UN EXPERIMENTO TIPO EPRB.
3. Desigualdad CHHS y Teorema de Bell
Ahora una pregunta interesante es: ¿existe una teoŕıa que satisface TL y es emṕıri-
camente equivalente a la Mecánica Cuántica? Bell plantea un experimento, y con
base en éste, establece una desigualdad para responder la cuestión. En el plantea-
miento teórico del experimento no se hace referencia a ningún sistema cuántico,
de hecho, a ninguna imagen asociada al mundo microscópico. Por ejemplo, no se
utiliza la noción de part́ıculas y mucho menos la de esṕın. La finalidad es librarse de
detalles y terminoloǵıa innecesaria para proporcionar una respuesta que manifieste
generalidad. Con detalle en las siguientes secciones se irá desglosando lo menciona-
do. Es importante adelantar que el experimento de EPRB es un caso particular del
propuesto a continuación, como se indicará.
3.1. Argumento General. El montaje experimental de Bell es el que se
muestra en la Figura 3. En esta figura hay una fuente y dos cajas, a cada uno de es-
tos objetos le corresponde una de las tres notificaciones que llamaremos de ((salida)).
A la fuente además, le corresponde una notificación que llamaremos de ((entrada)).
También existen dos señales a y b que son parte determinante del mensaje que
proporcionarán las notificaciones de las cajas. Explicaremos con más detalle.
Cuando la notificación central de entrada marca ((encendido)), el experimento ini-
cia en el instante t1. No se dan detalles sobre qué es lo que está sucediendo, sólo
sabemos que si la notificación central de salida marca ((śı)), la fuente que ya está
encendida funciona correctamente. Posteriormente, en el instante t1 + T aparecen
32 4. TEOREMA DE BELL
las notificaciones de las otras señales de salida, que individualmente pueden ser ((śı))
o ((no)); el resultado de cada una de estas notificaciones, como se hab́ıa mencionado
con anterioridad, también depende de las señales a y b que se insertan en los ex-
tremos, que de igual forma se desconoce su naturaleza, pero que repercuten en el
resultado final. Con esto se da fin al experimento y el dispositivo podŕıa utilizarse
nuevamente.
Es importante evidenciar que es en el instante (t1 + T )− δ cuando se insertan las
señales a y b en los extremos, siendo δ tan pequeño como uno quiera. En parti-
cular podŕıa ser su valor tal que cδ ≪ L (L representa la longitud de extremo a
extremo del dispositivo). Hab́ıamos comentado que una de las cosas que inquieta
en los experimetos EPRB es la acción a distancia, la condición anterior ‘al pa-
recer’ garantizaŕıa la ausencia de influencias entre las notificaciones de ((salida))
situadas en los extremos, cualesquiera conexiones ocultas existentes. Es decir, uno
esperaŕıa que la señal a sólo afectaŕıa al resultado de una de las notificaciones de
((salida)), y la señal b, al resultado de la otra. Este ejemplo es pertinente pues, como
se hab́ıa adelantado, un experimento del tipo EPRB es un caso especial de este
planteamiento general; en este contexto, las señales a y b podŕıan ser los ángulos
de la dirección de esṕın que se decide medir (véase la sección 3.3 para más detalles).
Con las repeticiones del experimento podŕıa determinarse el comportamiento de la
distribución de probabilidad conjunta
P (A,B|a, b)
para un resultado A en un extremo y un resultado B en el otro, dadas las señales
a y b (a esta probabilidad también se le suele llamar probabilidad de correlación).
En particular, en el contexto mecanico-cuántico resulta que
(3.1) P (A,B|a, b) ̸= P1(A|a)P2(B|b),
es decir, se viola TL.
Podŕıa pensarse que las correlaciones entre A y B dadas por la expresión (3.1), se
presentan porque el formalismo cuántico no es completo. Supongamos entonces que
existen variables λ que completan el formalismo y nos ayudan a dar una explicación
local a las correlaciones, es decir, nos permiten el desacoplo de las probabilidades:
(3.2) P (A,B|a, b, λ) = P1(A|a, λ)P2(B|b, λ).
Entonces, para las predicciones cuánticas, es decir, para la probabilidad P (A,B|a, b),
con la introducción de estas variables, debeŕıa satisfacerse la siguiente igualdad:
(3.3) P (A,B|a, b) =
∫
dλρ(λ)P (A,B|a, b, λ),
siendo ρ(λ) la distribución de probabilidad de las variables complementarias λ que
se supone independiente de las “señales a” y de las “señales b”. Es decir, no cambia
cualesquiera sean los valores escogidos para a o b (nótese que no se habla de la na-
turaleza del conjunto de variables λ, por ejemplo, no se especifica si corresponden
3. DESIGUALDAD CHHS Y TEOREMA DE BELL 33
a variables aleatorias o deterministas, éstas en principio podŕıan ser de cualquier
naturaleza).
Pero cualquier tipode función P (A,B|a, b) que satisface (3.2) y (3.3), necesaria-
mente debe cumplir la desigualdad de Clauser-Holt-Horne-Shimony (desigualdad
CHHS). Estudiemos ahora esta desigualdad para después corroborar si la predic-
ción cuántica la satisface.
3.2. Desigualdad CHHS. Introduzcamos la siguiente combinación11:
(3.4) E(a, b) = P (śı,śı|a, b) + P (no,no|a, b)− P (śı,no|a, b)− P (no,śı|a, b).
Asumiendo (3.3), la expresión anterior se reescribe como:
E(a, b) =
∫
dλρ(λ)P (śı,śı|a, b, λ) +
∫
dλρ(λ)P (no,no|a, b, λ)+
−
∫
dλρ(λ)P (śı,no|a, b, λ)−
∫
dλρ(λ)P (no,śı|a, b, λ),
es decir:
(3.5)
E(a, b) =
∫
dλρ(λ)[P (śı,śı|a, b, λ) + P (no,no|a, b, λ)+
−P (śı,no|a, b, λ)− P (no,śı|a, b, λ)].
Por (3.2), se tiene que:
(3.6)
P1(śı|a, λ)P2(śı|b, λ) = P (śı,śı|a, b, λ),
P1(śı|a, λ)P2(no|b, λ) = P (śı,no|a, b, λ),
P1(no|a, λ)P2(śı|b, λ) = P (no,śı|a, b, λ),
P1(no|a, λ)P2(no|b, λ) = P (no,no|a, b, λ).
Llamemos S a la cantidad entre corchetes de la expresión (3.5), utilizando (3.6) se
obtiene que
S = P1(śı|a, λ)P2(śı|b, λ) + P1(no|a, λ)P2(no|b, λ)+
−P1(śı|a, λ)P2(no|b, λ)− P1(no|a, λ)P2(śı|b, λ)
= [P1(śı|a, λ)− P1(no|a, λ)][P2(śı|b, λ)− P2(no|b, λ)].
Por lo que estamos en posición de reescribir una vez más (3.5):
(3.7) E(a, b) =
∫
dλρ(λ)[P1(śı|a, λ)− P1(no|a, λ)][P2(śı|b, λ)− P2(no|b, λ)]
11Véase el Apéndice 2 del art́ıculo presentado en el caṕıtulo 16 de [2]: la metodoloǵıa para la
obtención de la desigualdad ah́ı presentada es sencilla, pero por la notación y los errores tipográficos
podŕıa dificultarse la comprensión de los detalles, por eso en esta sección se intenta realizar paso
a paso el procedimiento.
34 4. TEOREMA DE BELL
=
∫
dλρ(λ)Ā(a, λ)B̄(b, λ),
siendo
(3.8)
Ā(a, λ) = [P1(śı|a, λ)− P1(no|a, λ)] y
B̄(b, λ) = [P2(śı|b, λ)− P2(no|b, λ)].
Como
0≤Pi≤1
para i = 1, 2, entonces
(3.9)
|Ā(a, λ)|≤1,
|B̄(b, λ)|≤1.
Utilizando (3.9), notemos que la suma de las combinaciones E(a, b)±E(a, b′) satis-
face lo siguiente:
E(a, b)±E(a, b′) =
∫
dλρ(λ)Ā(a, λ)B̄(b, λ)±
∫
dλρ(λ)Ā(a, λ)B̄(b′, λ)
=
∫
dλρ(λ)[Ā(a, λ)B̄(b, λ)±Ā(a, λ)B̄(b′, λ)]
=
∫
dλρ(λ)Ā(a, λ)[B̄(b, λ)±B̄(b′, λ)]
≤
∫
dλρ(λ)|Ā(a, λ)||B̄(b, λ)±B̄(b′, λ)|
≤
∫
dλρ(λ)|B̄(b, λ)±B̄(b′, λ)|.
De la misma forma para las combinaciones E(a′, b)∓E(a′, b′), es decir:
E(a′, b)∓E(a′, b′) =
∫
dλρ(λ)Ā(a′, λ)B̄(b, λ)∓
∫
dλρ(λ)Ā(a′, λ)B̄(b′, λ)
=
∫
dλρ(λ)[Ā(a′, λ)B̄(b, λ)∓Ā(a′, λ)B̄(b′, λ)]
=
∫
dλρ(λ)Ā(a′, λ)[B̄(b, λ)∓B̄(b′, λ)]
≤
∫
dλρ(λ)|Ā(a′, λ)||B̄(b, λ)∓B̄(b′, λ)|
≤
∫
dλρ(λ)|B̄(b, λ)∓B̄(b′, λ)|.
De la expresión (3.8), notamos que B̄ ∈ [−1, 1]. Entonces,
|B̄(b, λ)±B̄(b′, λ)|+ |B̄(b, λ)∓B̄(b′, λ)|≤2
3. DESIGUALDAD CHHS Y TEOREMA DE BELL 35
Figura 4. EXPERIMENTO EPRB.
y como12 ∫
dλρ(λ) = 1
resulta la llamada ((desigualdad CHHS)):
(3.10) |E(a, b)±E(a, b′)|+ |E(a′, b)∓E(a′, b′)|≤2.
3.3. Desigualdad CHHS en EPRB. Consideremos un experimento EPRB
en el que desde una fuente común, dos part́ıculas en el estado singulete se dirigen
hacia pantallas detectoras ubicadas en lados opuestos, atravesando antes dos ima-
nes distanciados ‘ampliamente’ uno del otro, ver Figura 4. Después de que cada
part́ıcula cruce estos imanes, su desviación puede ser hacia arriba o hacia abajo
(para denotar estas desviaciones utilizaremos los śımbolos ↑ y ↓ respectivamente).
En particular, si la orientación de los imanes es en la misma dirección que la tra-
yectoria de los electrones, si de un lado la part́ıcula se desv́ıa hacia arriba, del otro
lado se desviará hacia abajo. Esto no necesariamente ocurre cuando el ángulo de
orientación a y b de los imanes cambia, sin embargo, la probabilidad de que de
un lado ocurra un resultado determinado, está relacionada con la probabilidad del
resultado del lado opuesto.
La Mecánica Cuántica predice que:
(3.11) P (↑, ↑ |a, b) = P (↓, ↓ |a, b) = 1
2
(sen
a− b
2
)2,
P (↑, ↓ |a, b) = P (↓, ↑ |a, b) = 1
2
− 1
2
(sen
a− b
2
)2.
Introduciendo la combinación
(3.12) E(a, b) = (sen
a− b
2
)2 − (cos a− b
2
)2 = − cos(a− b),
resulta que se viola la desigualdad CHHS, en particular para los valores a = 0◦,
a′ = 90◦, b = 45◦ y b′ = −45◦ se obtiene:
(3.13) E(a, b) + E(a, b′) + E(a′, b)− E(a′, b′) = −2
√
2.
12Véase Definición 20 del Apéndice.
36 4. TEOREMA DE BELL
Figura 5. MONTAJE DEL EXPERIMENTO DE ASPECT.
Por tanto, enunciamos lo siguiente:
Teorema 1. (De Bell). Ninguna teoŕıa localmente causal es compatible con los
resultados de la mecánica cuántica.
3.4. Experimentos de Aspect. Hemos referido sólo aspectos teóricos, y
aunque los resultados que se pretenden evidenciar en este trabajo son de esa ı́ndole,
es conveniente al menos mencionar lo que se ha hecho en el campo experimental.
En la década de los 80’s Alain Aspect13 junto con colaboradores del Instituto de
Óptica Teórica y Aplicada de la Universidad de Paŕıs-Sur en Orsay, mediante las
medidas de la polarización de fotones evidenciaron que no se satisfaćıa la desigual-
dad de Bell. A grandes rasgos, en el experimento se tiene una fuente que emite una
pareja de fotones en direcciones opuestas. En cada una de las direcciones hay un
detector, la separación entre ambos es tipo espacio. A su vez, existen analizadores
de polarización entre la fuente y los detectores, también la separación entre los
analizadores es de tipo espacio. El experimento se hace con orientaciones distintas
de los analizadores. Los fotones deben ser emitidos de tal manera que se encuentren
en un estado entrelazado de polarización. Puede establecerse una analoǵıa de este
experimento con el presentado en la sección anterior. La figura 5 muestra el montaje
experimental.
A pesar de que se exhibe la violación de la desigualdad de Bell, los defensores de la
localidad muchas veces se valen de las deficiencias experimentales para argumentar
que los resultados no pueden dar una conclusión definitiva. En la literatura, a este
tipo de argumentos se les conoce como loopholes, que traducido es ((escapatoria)).
Un ejemplo de escapatoria es el caso de la eficiencia de los detectores, pues sólo una
pequeña fracción de los pares emitidos es detectada. Al respecto de esto Bell opina14:
“Es verdad que los experimentos prácticos se encuentran lejos de
lo ideal debido a ineficiencias de los contadores o de los analizado-
res, o a imperfecciones geométricas, etc. Es sólo con suposiciones
13Para más detalles de los experimentos que se han realizado para corroborar la violación de
las desigualdades de Bell, además de los que se llevaron a cabo por Aspect y sus colaboradores,
véase [1].
14Consúltese la cita en la página 15 de [2].
3. DESIGUALDAD CHHS Y TEOREMA DE BELL 37
añadidas, o mediante tratamiento convencional de dichas ineficien-
cias y extrapolación de lo real a lo ideal, como se puede decir que
se viola la desigualdad. Aunque aqúı hay una v́ıa de escape, me
resulta dif́ıcil de creer que la mecánica cuántica funcione tan bien
para montajes ineficientes y, no obstante, vaya a fallar malamente
cuando se llevan a cabo los refinamientos suficientes.”
Parte 3
Relatividad Especial y No
Localidad Cuántica
Caṕıtulo 5
Teoŕıa Cuántica Invariante de Lorentz
1. Colapso Objetivo: GRW
A pesar del resultado presentado al final del caṕıtulo anterior y de la aparente con-
tradicción con la Relatividad Especial, Bell se plantea la posibilidad de construir
una teoŕıa cuántica invariante de Lorentz que manifieste incluso la invariancia en
los colapsos de la función de onda. Analiza un modelo que hoy es clasificado dentro
de un grupo de teoŕıas llamadas “Colapso Objetivo”1, propuesto por G.C. Ghirar-
di, A. Rimini y T. Weber (en adelante, para referirnos a esta teoŕıa, se utilizará la
abreviación de sus apellidos, es decir, GRW). En la teoŕıa cuántica de campos, el
análogo de la ecuación de Schrödinger es invariante relativista, ¿pero por qué con
esta teoŕıa no se evidencia por completo la compatibilidad entre la relatividad y
la mecánica cuántica? La cuestión radica