Copia de estadística 2021_2 pre - Patricia Torres

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2021-2
7
ESTADÍSTICA
La estadística se remonta
a épocas muy antiguas, y
el termino se deriva del
latín medieval Status, en el
sentido de estado político
(función primordial de los
estados)
Los comienzos de la estadística
pueden ser hallados en el antiguo
Egipto, cuyos faraones lograron
recopilar, hacia el año 3050 A.C.,
prolijos datos relativos a la
población y la riqueza del país(de
acuerdo al historiador griego
Herodoto), con el objetivo de
preparar la construcción de las
pirámides.Im
p
u
esto
s
Reseña Histórica
En China existían registros
numéricos similares con
anterioridad al año 2000 A.C.
Los griegos realizaban
censos (año 594 A.C.) cuya
información lo utilizaban
para realizar registro
poblacional, para la guerra,
cobrar impuestos, etc.
El Imperio Romano fue el
primer gobierno que
recopiló una gran
cantidad de datos sobre
la población, hacían
censos cada 5 años sobre
nacimientos, defunciones,
matrimonios impuestos
etc., de todos los
territorios bajo su control.
En 1066 Guillermo
el conquistador
ordeno un catastro
que se puede
considerar el
primero en
Europa.
Fue John Graunt, que en
1682 publico el primer
trabajo estadístico sobre
población con
observaciones políticas y
naturales incluyendo
nacimientos y
defunciones entre 1604 y
1661
En el siglo XIX, la estadística da
un gran salto, son Galton y
Pearson los considerados como
los padres de la estadística
moderna, pues ellos dan el paso
de la estadística descriptiva a la
estadística inferencial.
Los fundamentos de la estadística
actual se lo debemos en su mayoría a
Fisher
Es a partir del siglo XX, donde
comienza en si la estadística moderna
con la aparición y globalización del
ordenador
Conjunto de métodos, procedimientos o técnicas para recopilar,
clasificar, analizar y presentar datos con el fin de describirlos y de
realizar generalizaciones validas.
ESTADÍSTICA
ESTADISTICA 
DESCRIPTIVA
ESTADISTICA 
INFERENCIAL
recopilación, organización, resumen
,interpretación y presentación de los
datos de la muestra
técnicas para tomar decisiones acerca de
una población a partir del estudio de una
muestra no en forma absoluta, sino con una
medida de confiabilidad a la cual se
denomina probabilidad
ÁREAS PRINCIPALES
VARIABLE 
ESTADÍSTICA
POBLACION MUESTRA
subconjunto de la 
población
representativa
característica
dato estadístico
CUALITATIVA 
no numérica o numérica no operable
CUANTITATIVA
son números y son operables
personas o cosas 
,finita o infinita
estudio de 
los datos
CLASIFICACIÓN DE LAS VARIABLES 
En estadística “medir” es observar el valor que toma una variable 
estadística en un elemento de la población ,es decir tener un dato 
estadístico.
soltero
casado
Estado civil comidas
macarrones
A lo pobre
Nivel educativo
2do 3er 
4to 
Nivel socioeconómico
VARIABLES CUALITATIVAS
NOMINAL ORDINAL
ALTO
BAJO
MEDIO
b) Ordinal: La característica de la variable cualitativa tienen un 
criterio de orden .
Ejemplos: nivel educativo, nivel socioenonómico, etc.
a) Nominal: Observa características y los valora como del mismo 
tipo o de distinto tipo .
Ejemplos: Estado civil , profesión, color, número de dni ,etc.
VARIABLES CUALITATIVAS
0 HIJOS
8 HIJOS
N° DE HIJOS estatura
VARIABLES CUANTITATIVAS
DISCRETA CONTINUA
4 HIJOS 
Yo mido
1,65 m Yo mido
1,50 m
Yo mido
1,80 m
b) Continuas: Asigna a las variables valores numéricos entre 
cuyos valores si admiten otros valores. 
Ejemplos : Estatura, temperatura , tiempo , etc.
a) Discretas: Asigna a las variables valores numéricos entre 
cuyos valores posibles no admite otros.
Generalmente se obtienen por conteo. Ejemplos: número de 
hijos de una familia, número de votos ,etc
VARIABLES CUANTITATIVAS
APLICACIÓN 1
Se realiza una encuesta a 60 hogares del Distrito de Magdalena en Lima
Perú sobre algunas características como número de Hijos, religión que
profesan, ingreso mensual, consumo de energía eléctrica en KWH. De
acuerdo a esto indicar verdadero(V) o falso(F) las siguientes
proposiciones:
a) La población de estudio son los 60 hogares.
b) Las variables de estudio son cuantitativas.
c) El ingreso mensual es una variable cuantitativa discreta.
d) La característica religión que profesan es una variable cualitativa 
nominal
e) Los Kilowatt por hora es una variable cuantitativa continua 
f) La variable cuantitativa número de hijos es discreta.
(F)
(F)
(F)
(V)
(V)
(V)
RESOLUCIÓN
Dadas las siguientes características: DNI , número de placa ,colores de
ojos, sed de las personas, nivel socio económico, duración de un foco,
altitudes , edades de las personas , temperatura, potencia calorífica. De
acuerdo a esto indicar verdadero(V) o falso(F) las siguientes
proposiciones:
c) El DNI , el número de placa son variables cuantitativas discretas
b) Las altitudes, la temperatura , la potencia calorífica son variables 
cuantitativas continuas 
a) El nivel socioeconómico , la sed de las personas son variables 
cualitativas ordinales
d) La duración de un foco , las edades de las personas son variables 
cuantitativas continuas
(F)
(V)
(V)
(V)
APLICACIÓN 2
RESOLUCIÓN
ORGANIZACION DE LOS DATOS
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 
VARIABLE CUALITATIVA 
Sea una variable X cualitativa , observada en n unidades estadísticas de
una población donde existen k cualidades 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 distintas
elaboramos una tabla de frecuencias según lo siguiente:
Frecuencia absoluta(𝒇𝒊) : Es el número de datos de la categoría que le 
corresponde a la cualidad 𝑥𝑖 Donde i= 1,2,3,…,k .La suma de todas las 
frecuencias absolutas es igual al total de datos observados:
𝑓1+ 𝑓2+ 𝑓3+ … + 𝑓𝑘 = n
Frecuencia relativa (𝒉𝒊) : Es el número de datos de la categoría que le 
corresponde a la cualidad 𝑥𝑖 respecto al total de datos observados. 
Donde 
ℎ𝑖=
𝑓𝑖
𝑛
𝑓𝑖 = n. ℎ𝑖 ℎ1+ ℎ2+ ℎ3+ … + ℎ𝑘 = 1
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS VARIABLE CUALITATIVA
Si tenemos los siguientes tipos
de vehículos
Tipo de 
Movilidad
fi
2
1
3
4
hi
3
10
4
10
1
10
2
10
∑ hi = 1n = 10
Tabla de frecuencias 
auto taxi bus bicicleta
DATOS 𝑋𝑖 𝑓𝑖 ℎ𝑖 ℎ𝑖%
𝑥1 𝑓1 ℎ1 ℎ1%
𝑥2 𝑓2 ℎ2 ℎ2%
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
𝑥𝑘 𝑓𝑘 ℎ𝑘 ℎ𝑘%
total n 1 100%
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 
VARIABLE CUALITATIVA
La altura es proporcional a la
frecuencia absoluta
auto taxi bus bicicleta
fi
TIPO DE VEHICULO
Grafico de Barras 
separadas
Diagrama Circular
4
3
2
1
0
40%
20%
10%
30%
El gráfico muestra las ventas en miles 
de unidades de linternas realizadas por 
la empresa Asia Oriental en los 4 
trimestres de los años 2005, 2006 y 
2007.
Indique verdadero(V) o falso(F) las 
proposiciones siguientes:
I. El 2006 se vendió el 21,෠3 % más 
respecto al 2005
II. En el 2do trimestre de los 3 años el 
año 2005 se vendió 22% menos 
respecto de los años 2006 y 2007 
juntos
III. En el 2007 ,los 2 últimos trimestres 
se vendió el 115,෢51% de la venta de 
los 2 primeros trimestres.
0
10
20
30
12
18
20 25
20
25
18
15
18
12
28
26
Linternas(miles)
RESOLUCIÓN
III. (V) 
38
33
x100%= 115,෢51 % II. (F) 
40−18
40
x100%= 55 % 
I. (V) 
91−75
75
x100%= 21,෠3 % 
APLICACIÓN 3
GRÁFICO DE SECTORES CIRCULARES
En general existe una relación entre 
el valor del ángulo central o bien la 
parte porcentual de cada sector y la 
respectiva frecuencia absoluta.
𝑨
∢𝟏
=
𝑿
∢𝟐
=
𝑮
∡𝟑
=
𝑻
∢𝟒
=
𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝟑𝟔𝟎°
𝑨 + 𝑿 + 𝑮 + 𝑻 = 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
∢𝟏 + ∢𝟐 + ∢𝟑 + ∢𝟒 = 𝟑𝟔𝟎°
𝑨
𝒂𝟏
=
𝑿
𝒂𝟐
=
𝑮
𝒂𝟑
=
𝑻
𝒂𝒌
=
𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝟏𝟎𝟎
A+𝑿 + 𝑮 + 𝑻 = 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝒂𝟏%+ 𝒂𝟐%+ 𝒂𝟑%+ 𝒂𝟒% = 𝟏𝟎𝟎%
A
XG
T
En el siguiente gráfico se muestran las
preferencias de los alumnos por las
carreras profesionales de Medicina,
Ingeniería, Contabilidad, Economía y
Administración. Determine los que
prefieren Ingeniería , si los que prefieren
Contabilidad son 164 alumnos.
C: 164 alumnos <> 82°
Sabemos: 5n° + 38° + 3n° + 82° + 8n° = 360° n° = 15°
Por Dato:
I = 150
𝐶
82
=
𝐼
5(15)164
82
=
𝐼
75
Ingeniería prefieren:
150 alumnos
APLICACIÓN 4
RESOLUCIÓN 
El siguiente pictograma muestra las
preferencias de 5 productos A,B,C,D y E. A
prefieren 90 personas, fueron encuestados
440 personas ¿Cuántos prefieren el
producto A o B ? ( UNI-2014)
10n°
3n°
25%
5n°
A
B
C
D
E
Establecemos 90
5𝑛
=
𝐸
3𝑛
=
𝐶
10𝑛
Total : 440 personas a distribuir
D prefieren : 25%x440 = 110 personas
A : prefieren 90 personas
E= 54 C= 180
440 -90-110-54-180 = 6 personas
A o B prefieren : 90+6 = 96 personas
B prefieren : 
APLICACIÓN 5
RESOLUCIÓN 
Datos no agrupados
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 
VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA
0 2 1 0 3 2 0 1 1 0 0 1 1 2 4 1 0 1 1 0
2 1 0 0 3 0 0 1 2 1 0 0 2 4 1 1 0 1 2 0
1 1 0 3 5 1 2 1 3 2
Se realizó una encuesta entre los 50 empleados de una empresa,
consultando sobre el número de hijos en edad escolar que tenía cada
empleado, afin de estimar el pago de una bonificación por gastos escolares
que proyecta hacer la empresa. Estos fueron los resultados:
APLICACIÓN 4
Elaborar la tabla de distribución de frecuencias y efectuar el gráfico de 
bastones.
n : tamaño de la muestra o total datos
DATOS
No hijos (𝑥𝑖)
0
1
2
3
4
5
fi Fi hi Hi
16
18
9
4
2
1
n = 50
16
34
43
47
49
50
16/50 = 0.32 = 32%
18/50 = 0.36 = 36%
9/50 = 0.18 = 18%
4/50 = 0.08 = 8%
2/50 = 0.04 = 4%
1/50 = 0.02 = 2%
Total = 1 = 100%
32%
68%
86%
94%
98%
100%
Frecuencia absoluta (fi) Es el número de 
veces que aparece un dato
Frecuencia absoluta 
Acumulada (Fi) 
Frecuencia relativa (hi) 
Frecuencia relativa 
Acumulada (Hi)
𝐹𝑖= 𝑓1+ 𝑓2 + … + 𝑓𝑖
𝐻𝑖= ℎ1+ ℎ2 + … + ℎ𝑖
ℎ𝑖= 
𝑓𝑖
𝑛
𝐻𝑖= 
𝐹𝑖
𝑛
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
No de hijos
(xi)
fi Fi hi Hi
0 16 16 32% 32%
1 18 34 36% 68%
2 9 43 18% 86%
3 4 47 8% 94%
4 2 49 4% 98%
5 1 50 2% 100%
TOTAL
PROPIEDADES
1) n = ∑ fi
n = 50
2) 𝒇𝟏 = 𝑭𝟏
3) 𝑭ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 = n
4) ∑ 𝒉𝒊 = 1 ó 100%
100%
5) 𝒉𝒊= 
𝒇𝒊
𝐧
6) 𝑯𝒊= 
𝑭𝒊
𝐧
7) 𝑯ú𝒍𝒕𝒊𝒎𝒐 = 1 ó 100%
𝒇𝒊 = n.𝒉𝒊
No de hijos(xi) fi Fi hi Hi
0 16 16 16/50 = 0.32 = 32% 32%
1 18 34 18/50 = 0.36 = 36% 68%
2 9 43 9/50 = 0.18 = 18% 86%
3 4 47 4/50 = 0.08 = 8% 94%
4 2 49 2/50 = 0.04 = 4% 98%
5 1 50 1/50 = 0.02 = 2% 100%
n = 50 ∑ hi = 1 = 100%
Aplicación 6
Dado la siguiente tabla de 
Distribución responder las 
siguientes preguntas:
1) Calcular : 𝒙𝟐 , 𝒇𝟒 , 𝒉𝟑, %𝑯𝟐
2) ¿ Cuàntas familias tienen al 
menos 3 hijos ? 
Rpta: 4+2+1 = 7 familias
3) ¿ Qué porcentaje de familias 
tienen a lo más 3 hijos ? 
Rpta : 
𝟒𝟕
𝟓𝟎
𝒙𝟏𝟎𝟎% = 𝟗𝟒% ò 𝑯𝟒= 94%
𝒙𝟐=1 hijo 
Rpta:
𝒇𝟒= 4 familias
𝒉𝟑= 0,18 𝑯𝟐 = 68%
Resolución
Aplicación 7
El siguiente gráfico representa la cantidad de
integrantes por familia de un grupo de
personas entrevistadas Si los que
conforman 4; 5 ó 6 integrantes por familia
representan el 55%. ¿Qué tanto por ciento de
entrevistados conforman 3 ó 4 integrantes
por familia?
f4 + f5 + f6 = 55%.nDel diagrama :
10 + 120 +a =
11
20
[ a − 40 + 10 + 120 + 𝑎 + 100 + 30] a =90 = 50(a-40)
Nos piden: h3 + h4 = 
50 + 10
400
𝑥100% = 15%
Luego: n = 50 + 10 + 120 + 90 + 100 + 30 = 400 
Integrantes 
por familia
a-40
100
120
Número de personas
a
30
10
3 4 5 6 7 8 
GRÁFICO DE BASTONES
Sabemos que n = ∑ fi
Datos agrupados
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS 
VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA
Los siguientes datos proporcionan las remuneraciones
en miles de soles de 50 gerentes al año.
APLICACIÓN 8 
73, 47, 67, 82, 67, 70, 60, 67, 61, 80, 65, 70, 57, 85, 59, 70, 57, 73, 77, 58
69, 58, 76, 67, 52, 68, 69, 66, 72, 86, 76, 79, 77, 88, 94, 67, 77, 54, 93, 56
73, 64, 70, 46, 68, 63, 72, 84, 63, 74
Rango o Recorrido (R) 
Es la diferencia entre el mayor (xmáx) y menor (xmin) valor de los datos
observados.
R = xmáx - xmin
Intervalos de clase (Ii) 
[ Li , Ls 
Ls: Límite superior del intervaloLi: Límite inferior del intervalo
R = 94 – 46 = 48
Pueden ser de la forma
<Li , Ls ] Li - Ls
𝑊𝑖= 𝐿𝑠 - 𝐿𝑖
Ancho o amplitud de clase (Wi) 
Número de Intervalos (K) 
Sturges(1926) : k = 1 + 3,322 log (n) 
Velleman (1976) : k =𝟐 𝒏 , n ≤50
Empíricamente el valor óptimo lo dá aproximadamente
Otros sugieren trabajar con : k = 𝒏
Es la diferencia entre los límites superior e inferior.
También el ancho está dado
W=
𝑹
𝒌
k = 𝟓𝟎
Tomando k un divisor 
del rango K= 6
W=
𝟒𝟖
𝟔
= 8
Es el valor representativo del
intervalo de clase; siendo el
punto medio de cada intervalo.
n=50
[ ; >
[ ; >
[ ; >
[ ; >
[ ; >
[ ; ]
Ii fi
15
14
58
5
∑hi=1
Fi
50
46
26
41
hi
0,18
0,06
0,28
0,30
Hi
3
12
50
9
4
3
0,10
1
X’i
0,08
0,06
0,24
0,82
0,92
0,5266
74
82
90
Marca de clase (𝑿´í)
54
54 62
62 70
70 78
78 86
86
W=8
𝑿´𝒊 =
𝑳𝒊 + 𝑳𝒔
𝟐
i21i f...ffF +++=
Frecuencia absoluta (fi) : Es el 
número de datos que cae en 
cada intervalo.
Frecuencia absoluta 
Acumulada (Fi) 
Frecuencia relativa (hi) 
Tamaño de la muestra (n) : 
n= σ𝟏
𝒌𝒇𝒊
Frecuencia relativa 
Acumulada (Hi)
Hi= h1+ h2+h3+…+hi
ℎ𝑖= 
𝑓𝑖
𝑛
𝐻𝑖= 
𝐹𝑖
𝑛
46
94
GRÁFICOS PARA VARIABLE CONTINUA 
1. HISTOGRAMA 
Polígono de 
frecuencias
46 6254 7870 86 94
9
4
15
14
5
3
fi vs Ii hi vs Iio
SUELDOS ANUALES (en miles de soles)
Ii
fi
0
46 6254 7870 86 94
9
4
15
14
5
3
Ii
fi
0
El área del histograma de ancho común igual área del polígono de 
frecuencias
42 98
W=8
PROPIEDAD 
Se debe elaborar un cuadro de distribución de frecuencias de las edades 
de un grupo de 75 personas ,considerando lo siguiente:
Edad mínima :10 años ℎ2 = ℎ4 = ℎ5
Edad máxima : 30 años ℎ1=
4
5
ℎ2
Ancho de clase : 4 5ℎ3= 6ℎ4
¿Cuántas personas tienen menos de 22 años ? ( UNI-2014-I)
Aplicación 9
RESOLUCIÓN
Número de intervalos K=
𝑅
𝑤
=
30−10
4
= 5
ℎ1=
4
5
ℎ2
ℎ1
4
= 
ℎ2
5
5ℎ3= 6ℎ4
ℎ3
6
= 
ℎ4
5
ℎ2= 5k =ℎ4 =ℎ5
ℎ3= 6k
Datos
ℎ1= 4k
ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 + ℎ4 + ℎ5 = 1
4k+5𝑘 + 6𝑘 + 5𝑘 + 5𝑘 = 1
k=
1
25
edades fi
[10;14 > 𝑓1
[14;18> 𝑓2
[18;22> 𝑓3
[22;26> 𝑓4
[26;30> 𝑓5
Menos de 22 años son
= n(ℎ1 + ℎ2 + ℎ3)= n(15k)
𝑓𝑖=nℎ𝑖También
𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3= 75(15x
1
25
) = 45 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠
Sabemos que
𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3
n = 75
Aplicación 10 hi
a b c d e f Ii
k
2k
4k
8k
En el siguiente histograma de 
frecuencias relativas ¿Cuántas 
observaciones hay en el rango [c, f] 
si la población es 400?
A) 218 B) 225 C)244 D) 275 E) 280
Del Histograma:
k + 4k + 8k + 2k + k = 1 k =
1
16
𝑓3 + 𝑓4 + 𝑓5= (ℎ3 + ℎ4 + ℎ5). 𝑛
𝑓3 + 𝑓4 + 𝑓5= (8k + 2𝑘 + 𝑘).400
𝑓3 + 𝑓4 + 𝑓5=11 𝑥
1
16
x 400
𝑓3 + 𝑓4 + 𝑓5=275 Clave: D 
∑ hi = 1Recordando:
RESOLUCIÓN
En [c;f] hay :
𝑓3 + 𝑓4 + 𝑓5= (8k + 2𝑘 + 𝑘).400
HISTOGRAMA ESCALONADO Y OJIVA 
( menor que)
Ojiva
46 54 7062 8678 94
3
41
50
12
46
26
Fi vs Ii Hi vs Iio
SUELDOS ANUALES (en miles de soles)
Ii
Fi
Aplicación 11 
01. A partir de la siguiente ojiva: 
Nota 
 
 
100 
80 
 
30 
20 
 
5 
4 8 12 16 20 
% 
A partir de la siguiente ojiva 
¿Qué porcentaje de alumnos 
obtienen una nota entre 6 y 15?
A) 26% B) 38% C) 55%
D) 58% E) 63%
6
67.5
15
12.5
7.5
H(6 ; 15) % = (67,5 -12,5)% 
= 55%
Luego:
H(6 ; 15) %
Clave: C 
4 128 2016
5
100
30
80
20
Ii
Hi % Resolución 
2 2
7.5
13
37.5
12.5
P R O B L E M A S D E 
E S T A D Í S T I C A
CLAVE: E
Problema 1 Resolución 
Una muestra de 20 matrimonios a quienes se
les consultó por el número de hijos que tienen
dió la siguiente lista de observaciones o datos
0 4 2 2 3 1 2 3 3 3
1 2 4 3 2 1 1 2 2 3
Se observa que la mayoría de familias
coinciden en tener X hijos ,además solo el
porcentaje Y no tienen hijos. Responda el tipo
de variable que representa la característica en
estudio , el valor de X e Y respectivamente.
A) Cuantitativa discreta ; 2 ; 8%
B) Cuantitativa continua ; 2 ; 5%
C) Cualitativa discreta; 3 ; 8%
D) Cuantitativa continua ; 3 ; 5%
E) Cuantitativa discreta ; 2 ; 5%
Nº hijos Nº familias hi(%)
0
1
2
3
4
1
4
7
6
2
Total 20 100%
5%
20%
35%
30%
10%
De la información brindada se tiene
la siguiente tabla de frecuencias
El número de hijos es una variable
cuantitativa discreta
X Mayoría
Y
Problema 2 
Resolución 
La siguiente tabla muestra la distribución de notas
de ancho común de un examen tomado en un
salón de CEPREUNI. ¿Qué porcentaje de los
alumnos tuvieron una nota entre 08 y 15?
A) 57 B) 56 C) 54 D) 53 E) 52
Notas hi Hi
[ ; > 0,10
[ ;10 > 0,31
[ ; > 0,55
[ ;16 > 0,27
[ ; ]
10 16
Sea W: ancho de clase
2𝑊 = 6 𝑾 = 𝟑
13 1974
0,10
0,21
0,24
0,82
0,18 1
8 15
𝟐𝟏% 𝟐𝟒% 𝟐𝟕%
(2)(1) (1)(2)
(3) (3)
𝟕% 𝟏𝟒% 𝟗%𝟏𝟖%
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑢𝑣𝑖𝑒𝑟𝑜𝑛
𝑢𝑛𝑎 𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 08 𝑦 15
= 14% + 24% + 18% = 𝟓𝟔% CLAVE: B
Problema 3 
Resolución 
Indique verdadero (V) o falso (F), según corresponda, para una
distribución de frecuencias
I. Entre la frecuencia relativa y absoluta existe una relación de
proporcionalidad.
II. Se cumple ,siendo n el total de intervalos
III. Si las frecuencias absolutas de los intervalos son iguales
entonces son de ancho de común.
A) VVV B) VFV C) VVF D) FVF E) VFF
෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝑯𝒊 = 𝟏
I. ℎ𝑖 𝑫𝑷 𝑓𝑖 … (V) II. (F), lo que se cumple es ෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒉𝒊 = 𝟏
III. (F), no necesariamente eso es cierto
CLAVE: E
Problema 4 
Resolución 
Una muestra de pagos mensuales a la SUNAT de un grupo de comerciantes se
tabularon en una distribución de frecuencias simétricas de 5 intervalos de igual
ancho resultando: límite superior del segundo intervalo 1 200 soles ; marca de
clase del quinto intervalo 1 500 soles ; 10% de los pagos son menores que 1080
soles y el 70% de los ingresos son menores que 1 320 soles. ¿Qué porcentaje de
pagos se hizo entre 1 200 soles y 1 392 soles?
A) 56 B) 55 C) 54 D) 53 E) 52
Sea W: ancho de clase
1200 1500
2,5𝑊 = 300 𝑾 = 𝟏𝟐𝟎
1080960 1320 1440 1560
𝟏𝟎% 𝟏𝟎%
𝟕𝟎% 𝟐𝟎%
𝟐𝟎% 𝟒𝟎%
1392
(72) (48)
(120)
𝑃𝑜𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑜𝑠
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 1200 𝑦 1392
= 40% +
72
120
20% = 𝟓𝟐% CLAVE: E
46
Problema 05
Resolución
En los panamericanos LIMA -2019 se obtuvo la siguiente
información estadística de la tabla de distribución de
frecuencias de ancho común acerca de las estaturas de
160 deportistas. Si el 6% de los deportistas tienen estatura
entre 𝑎𝑐𝑏 y 170 cm ,también el 9 % de los deportistas
tienen estatura entre 180 y 𝑎𝑏𝑐 cm, además b – c = 2.
Calcule el porcentaje que tienen estatura entre 190 y 200
cm. Considere ( 160 < 𝑎𝑏𝑐 < 190 )
A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25
Altura (cm) fi hi
[ - > 10%
[160 - > 2K
[ - > 32
[ 180 - > K
[ - >
160 < 𝑎𝑏𝑐 < 190 𝐷𝑒𝑙 𝑑𝑎𝑡𝑜: 180 < 9% 𝐷𝑒𝑝𝑜𝑟𝑡𝑖𝑠𝑡𝑎𝑠 < 𝑎𝑏𝑐
𝐴𝑑𝑒𝑚𝑎𝑠: 𝑏 − 𝑐 = 2 𝑎𝑏𝑐 = 186
170160150 180 200
ℎ𝑖%: 2010
168 190
𝟐𝟓𝟗𝟔
ℎ%[190 ;200] = 25 Clave E
𝑛 = 160
186
𝟐𝟒 𝟔
20%
47
Problema 06
Resolución
Las edades de un grupo de personas se clasifican en una distribución de frecuencias de 5
intervalos de igual amplitud, cuya marca de clase del segundo intervalo es 24 años y el
límite inferior del último intervalo es 44 años. La relación entre la cantidad de personas que
tienen a lo más 28 años y la cantidad de personas del tercer intervalo es de 16 a 3 , también
hasta el cuarto intervalo se acumula el 70% de las personas. Calcular la frecuencia relativa
del intervalo de edades entre 32 y 50 años, considerando que las frecuencias absolutas del
tercer y cuarto intervalo están en la relación de 1 a 3 respectivamente.
A) 48,75% B) 46,15% C) 44.75% D) 42,15% E) 40,25%
282012 36 52
ℎ𝑖%: 𝟏, 𝟓𝒌
28𝑘 = 70
24 44
𝟐𝟐,59
𝟓𝟎
ℎ%[32 ;50] =
Clave A= 𝟒𝟖, 𝟕𝟓
𝟑𝟐
𝑘16 3 ℎ5% = 30
𝑘
𝑘
𝑘 = 2,5
ℎ%[32 ;50] = 10,5(2,5) + 22,5
10,5𝑘 + 22,5
48
Problema 07
Resolución
Se lanza un dado 40 veces. La siguiente tabla, enumera 
los seis números y la frecuencia con que cada uno figura. 
La frecuencia relativa (%) del resultado en que aparece un 
número primo es:
A) 49 B) 52 C) 53 D) 55 E) 58
número frecuencia
1 8
2 7
3 6
4 4
5 9
6 6
𝑓[𝑁° 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑜] = 7 + 6 + 9 = 22
ℎ%[𝑁° 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑜] =
22
40
𝑥 100%
Clave D
= 𝟓𝟓%
De la Tabla:
49
Problema 08
Resolución
Determine verdadero (V) o falso (F) respecto a la estadística
I. Una muestra representa a todos los elementos de la población.
II. Una variable continua puede tomar infinitos valores en un intervalo dado.
III.En estadística el censo considera a todos los elementos de la población.
A) VVV B) FFF C) VVF D) FVV E) VFF
I. (F); Una muestra representa a una parte de la población.
II. (V); Una variable continua puede tomar los infinitos valores reales 
de un determinado intervalo.
III. (V); La palabra censo se utiliza para indicar que se ha tomado 
todos los elementos de la población.
Clave D
En la siguiente tabla se muestran los
puntajes obtenidos en una prueba
calificada tomadas a los estudiantes
de una facultad. ¿Qué porcentaje
obtuvo notas entre 9 y 15?
A) 39 B) 38 C) 37,4 D) 36,3 E) 35,2
PROBLEMA 9 RESOLUCIÓN
De la tabla n = 1 500
[8 – 12 > 400
[12 – 16 > 380
[9 – 12 > 
𝟑
𝟒
∗ 𝟒𝟎𝟎
[12 – 15] 
𝟑
𝟒
∗ 𝟑𝟖𝟎
[9 – 15] 585
Respuesta: 
𝟓𝟖𝟓
𝟏𝟓𝟎𝟎
∗ 𝟏𝟎𝟎% = 39 %
Clave: A 
De acuerdo a los graficas estadísticos,
indique verdadero(V) o falso (F) en las
siguientes proposiciones:
I. El histograma es un diagrama de
barras verticales donde figura las
frecuencias absolutas o relativas versus
los datos.
II. En un histograma escalonado las
frecuencias absolutas o relativas
acumuladas versus los intervalos de
datos permiten obtener la ojiva
correspondiente.
III. El polígono de frecuencias tiene
siempre igual área que el histograma
correspondiente.
A) VVV B) FFF C) VFF
D) FVF E) FVV
PROBLEMA 10 RESOLUCIÓN
F
V
F
Respuesta: FVF
Clave: D 
6k
10k
13k
19k
20k
84 12 16 20
(Notas)
Se muestra la ojiva de la frecuencia
relativa acumulada de las notas de un
examen, ¿qué tanto por ciento de los
alumnos tuvo una nota entre11 y 17 ?
A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E) 36
PROBLEMA 11 RESOLUCIÓN
De la Ojiva: 20k = 1 = > k = 0.05
[8 – 12 > 0.15
[12 – 16 > 0.30
[16 – 20 ] 0.05
[11 – 12 > 
𝟏
𝟒
∗ 𝟎. 𝟏𝟓
[16 – 17] 
𝟏
𝟒
∗ 𝟎. 𝟎𝟓
[11 – 17] 0.35
Respuesta: 35%
Clave: D 
Una tabla de distribución de las
edades de un grupo de personas
posee un recorrido de 18 años y un
ancho de clase común de 3 años,
además es simétrica. La marca de
clase del tercer intervalo es 16,5
años, en el quinto intervalo existen
13 personas. Calcule el número de
personas que tienen entre 12 y 21
años ,si ℎ2 = 0.13 y 5𝐻2 = 2𝐻3
A) 73 B) 76 C) 80 D) 84 E) 88
PROBLEMA 12 RESOLUCIÓN
Del enunciado:
[9 – 12 > 
[12 – 15 > 0.13 
[15 – 18 > 16.5
Clave: A 
[18 – 21 > 
[21 – 24 > 13
I Xi f h 
𝟓𝑯𝟐 = 𝟐𝑯𝟑
𝑯𝟐 = 𝟐𝒌 ⇒ 𝒉𝟏 + 𝒉𝟐 = 𝟐𝒌
𝑯𝟑 = 𝟓𝒌 ⇒ 𝒉𝟏 + 𝒉𝟐 + 𝒉𝟑 = 𝟓𝒌
10𝒌 = 𝟏 𝒉𝟏 + 𝟎. 𝟏𝟑 =
𝟐
𝟏𝟎
𝑨𝒅𝒆𝒎𝒂𝒔: 𝒉𝟐 =
𝟏𝟑
𝒏
𝒏 − 𝟐𝒉𝟏𝒏 − 𝒇𝟓=73
[24 – 27 ] 
𝒉𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟕
n = 𝟏𝟎𝟎
Respuesta: 
Dada la siguiente tabla de distribución de
frecuencias acerca de las edades de n
profesores que laboran en el CEPRE-UNI.
Edades 𝑥𝑖 𝐹𝑖 ℎ(%) 𝐻𝑖
30 , 0,125
, 30
, 37,5
, 44 80
, 9, ෢09
Considerando que los intervalos de clase
tienen el mismo tamaño ¿Cuántos
profesores no tienen entre 34 y 46 años?
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E)22
Problema 13 Resolución: 
Sea 𝑤 el ancho de clase
44 − 30 = 3,5 𝑤 𝑤 = 4
Edades 𝑥𝑖 𝐹𝑖 ℎ(%) 𝐻𝑖
30 , 34 B 12,5 0,125
34,38 30
38,42 37,5
42,46 44 80
46,50 80+A 9, ෢09
9 +
9
99
𝐴
=
100 − 9 +
9
99
80
𝐴 = 8, 12,5
𝐵
= 
100
11
8
𝐵 = 11
No tienen entre 34y 46 años: 𝐴 + 𝐵 = 19
Rpta B
100
𝐴
=
1000
80
La siguiente tabla muestra la distribución de
los sueldos de 150 empleados. Calcule la
frecuencia relativa de la cantidad de
empleados que ganan un sueldo entre S/ 1320
y S/ 1750.
Sueldos (S/.) fi hi Hi
[ ; > 18
[ ;1400> 0,6
[ ; > 7k
[ ; > 4k 0,82
[1800 ; >
A) 0,408 B) 0,392 C) 0,385 D) 0,362 E) 0,368
Problema 14
Resolución: 
Sea 𝑤 el ancho de clase
1800 − 1400 = 2 𝑤
𝑤 = 200
Sueldos (S/.) fi hi Hi
[1000 ; 1200 > 18 0,12 0,12
[1200;1400> 0,48 0,6
[ 1400 ;1600 > 7k 0,6 + 7𝑘
[ 1600;1800 > 4k 0,82= 0,6 + 11𝑘
[1800 ; 2000> 0,18 1.00
𝑘 =
1
50
18
150
= 0,12
200
0,48
=
80
𝑎
𝑎 = 0,192
200
0,08
=
150
𝑏
𝑏 = 0,06
Luego:
0,192
+ 0,06
+ 0,14
= 0,392
RPTA . B
Cierta población de 180 personas está dividida en un gráfico circular en tres
estratos sociales: A: 15% ; B: 25% y C el más numeroso. Para cierto estudio
de mercado, se observó que del sector C en un diagrama circular las mujeres
corresponden a un ángulo de 160°, niños a 60° y el resto son hombres .
¿Cuántos hombres hay en el sector C?
A) 40 B) 42 C) 44 D) 46 E) 48
Problema 15
Resolución
: 
C = 60%
C = 0,6 x 180 = 108
MUJERES
NIÑOS
HOMBRES
𝑯𝑶𝑴𝑩𝑹𝑬𝑺
𝟏𝟒𝟎𝟎
= 
𝟏𝟎𝟖
𝟑𝟔𝟎𝟎
𝑯𝑶𝑴𝑩𝑹𝑬𝑺 𝟒𝟐
Rpta. B
El gráfico muestra en grados las
preferencias de un grupo de personas
sobre las bebidas A, B, C y D. Si la
cantidad de personas que prefieren la
bebida A es 360 y la cantidad de
personas que prefieren C es 1440.
¿Cuántos prefieren la bebida B o D?
Problema 16
4n°
n°
m°
(m+30)°
C
B
A
D
A) 2500 B) 2520 C) 2540
D) 2560 E) 2580
Resolución: 
360
𝑛
=
1440
𝑚 + 30
𝑚+ 30 = 4𝑛
4𝑛 + 𝑛 +𝑚 + 30 +𝑚 = 360
5𝑛 + 2𝑚 = 330
𝑛 = 30 𝑦 𝑚 = 90
4𝑥30 + 90
𝑋
=
30
360
𝑋 = 2520
Rpta B
800 2000
r
1,5r
2,5r
3r
12r
S/. (Soles)
hi
En el histograma se indica los
sueldos de una muestra de familias.
¿Qué porcentaje no ganan más de
1500 soles?
A) 58 B) 57 C) 56 D) 55 E) 54
PROBLEMA 17 RESOLUCIÓN
෍
𝑖=1
𝑖=5
ℎ𝑖 = 1
3𝑟 + 2,5𝑟 + 1,5𝑟 + 12𝑟 + 𝑟 = 1
20𝑟 = 1 → 𝑟 =
1
20
= 5%
Sea A, el ancho de clase constante
800 + 4𝐴 = 2000 𝐴 = 300 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑠
𝟖𝟎𝟎 20𝟎𝟎5𝟎𝟎 11𝟎𝟎 14𝟎𝟎 17𝟎𝟎
15% 12,5% 7,5% 60% 5%
15𝟎𝟎
h
1𝟎𝟎ℎ
100
=
60%
300
ℎ = 20%
Porcentaje de los que 
ganan menos de 1500
= 𝟓𝟓%
CLAVE D
En una distribución simétrica de 
frecuencias con 5 intervalos de clase 
con amplitud de igual tamaño , se sabe 
que la marca de clase del intervalo 2 e 
intervalo 4 son respectivamente 21 y 45 
,además la frecuencia relativa 
acumulada del último intervalo es 
respectivamente 25 veces y 20 veces
Las frecuencias relativas del primer y 
cuarto intervalo de clase.¿Qué
porcentaje de los datos existen en el 
intervalo [27;63]?
A) 87 B) 88 C) 89 D) 90 E) 91
PROBLEMA 18 RESOLUCIÓN
Construimos los 5 intervalos
21 45
21 + 2𝐴 = 45 𝐴 = 12
𝑎 𝑎𝑏 𝑏
𝐻5 = 25ℎ1 = 20ℎ4 25𝑎 = 1
𝑎 =
1
25
𝑏 =
1
20
𝑐
27 63x
𝑥 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = = 1 −
1
25
−
1
20
1 − (𝑎 + 𝑏)
𝑥 = 1 −
9
100
=
91
100
= 91%
CLAVE E
20𝑏 = 1
La siguiente tabla muestra una 
distribución de frecuencias simétrica 
con ancho de clase común. ¿Cuántos 
datos existen en el intervalo [5,17>
PROBLEMA 19 RESOLUCIÓN
n + 4 + 2𝐴 =17
17 + 2𝐴 = 5𝑛
CLAVE D
A) 25 B) 4 C) 45 D) 50 E) 55
𝑛 + 4 − 17 = 17 − 5𝑛
𝑛 = 5 𝐴 = 4
95 13 17
10 15
𝐻3
𝐻2
=
2𝑚
𝑚
=
𝐹3
𝐹2
=
10 + 15 + 𝑓3
10 + 15
1015 𝒇𝟑
2 =
25 + 𝑓3
25
𝑓3 = 25
Cantidad de datos en el 
intervalo [ 5 , 17 > = 𝑭𝟑 = 50
21 25
La producción anual de plata de 
principales países productores de 
un continente (en millones de 
toneladas) se expresa por medio 
del siguiente diagrama de 
sectores:
PROBLEMA 20
RESOLUCIÓN
CLAVE A
𝒉𝑩
𝟕𝟓°
=
𝟏
𝟑𝟔𝟎°
Si la producción total es de 1200 (millones 
de toneladas) ¿En cuántos millones de 
toneladas excede la producción de A a la 
producción de otros países? 
A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140
𝒉𝑩 =
𝟓
𝟐𝟒
La producción de B =
𝟓
𝟐𝟒
𝟏𝟐𝟎𝟎
La producción de A Y C son 450 y 150
= 𝟐𝟓𝟎
La producción de los otros = 𝟑𝟓𝟎
La producción de A excede a 
la producción de los otros 
En 100
Problema 21
Dado el siguiente histograma donde la
marca de clase del cuarto intervalos es 200
¿Cuántas familias ganan al menos S/.200, si el
25% de las familias ganan entre S/ 145 y S/ 170?
A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20
Resolución: 
Ii Xi fi Fi hi
𝟏𝟓𝟎
𝟐𝟎𝟎
𝟎, 𝟒𝟎
𝒂
𝟎, 𝟑𝟐𝟓
𝒃
𝟎, 𝟎𝟓𝟎
𝒏 = 𝟏𝟔𝟎 ; 𝒇𝒊 = 𝒉𝒊. 𝒏
𝟔𝟒
𝟓𝟐
𝟖
𝒙𝟒 =
𝟏𝟓𝟎 + 𝟐𝒘 + (𝟏𝟓𝟎 + 𝟑𝒘)
𝟐
150-150+w
150+w-150+2w
150+2w-150+3w
= 𝟐𝟎𝟎
𝒘 = 𝟐𝟎
𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟕𝟎
𝟏𝟕𝟎 − 𝟏𝟗𝟎
𝟏𝟗𝟎 − 𝟐𝟏𝟎
𝟐𝟏𝟎 − 𝟐𝟑𝟎
𝟏𝟑𝟎 −
𝑬𝒍 𝟐𝟓% 𝒈𝒂𝒏𝒂𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑺/. 𝟏𝟒𝟓 𝒚 𝑺/𝟏𝟕𝟎
𝟏𝟑𝟎 𝟏𝟓𝟎 𝟏𝟕𝟎
𝟐𝟓%(𝟏𝟔𝟎)= 𝟒𝟎
𝟔𝟒
𝟏𝟒𝟓
𝟏𝟓 𝟓
𝟑𝒎 𝒎
𝟒𝒎 = 𝟔𝟒
𝒎 = 𝟏𝟔
𝟏𝟔
𝟒𝟎
𝟐𝟒
𝟐𝟒
𝟔𝟒
𝟖𝟖
𝟏𝟒𝟎
𝟏𝟔𝟎
𝟏𝟓𝟐𝟏𝟐
𝑵𝒐𝒔 𝒑𝒊𝒅𝒆𝒏:
𝟏𝟐
𝟐
+𝟖 = 𝟏𝟒
Problema 22
Se elaboró la siguiente distribución de
frecuencias de ancho de clase común, con los
datos que se obtuvieron al realizar una
encuesta sobre las edades de un grupo de
personas.
Resolución: 
¿Cuántas personas tienen de 11 años a menos
de 20 años?
A)120 B)125 C) 130 D)135 E)140
Ii Xi fi hi Hi
𝟓 −
𝒂
𝒂 + 𝟗
𝒄 − 𝟔𝟎
𝟑𝟓
𝒄
𝟎, 𝟎𝟔
𝟎, 𝟏𝟖
𝟎, 𝟔𝟖
𝟑𝒌
𝟓𝒌
𝒂 + 𝒘
𝒂 + 𝟐𝒘
𝒂 + 𝟑𝒘
𝒂 + 𝟑𝒘 = 𝒂 + 𝟗 𝒘 = 𝟑
𝟖
𝟖 − 𝟏𝟏
𝟏𝟏 − 𝟏𝟒
𝟏𝟒 − 𝟏𝟕
𝟏𝟕 − 𝟐𝟎
𝟐𝟏 − 𝟐𝟑 𝟏
𝟎, 𝟔𝟖 + 𝟑𝒌 + 𝟓𝒌 = 𝟏 𝒌 = 𝟎, 𝟎𝟒
: 𝟎, 𝟏𝟐
: 𝟎, 𝟐𝟎
𝒔𝒆 𝒂𝒔𝒖𝒎𝒆: 𝒏 = 𝟏𝟎𝟎𝒎
𝟔𝒎
𝒄 − 𝟔𝟎 = 𝟔𝒎 𝒄 = 𝟔𝒎+ 𝟔𝟎
𝟔𝒎+ 𝟔𝟎
𝟏𝟖𝒎
𝟏𝟐𝒎
𝟐𝟎𝒎
𝟏𝟎𝟎𝒎
= 𝟏𝟎𝟎𝒎6m+18m+35+6m+60+12m+20m
𝒎 = 𝟐, 𝟓
𝑵𝒐𝒔 𝒑𝒊𝒅𝒆𝒏: [𝟏𝟏; ۧ𝟐𝟎
𝟑𝟓 + 𝟔𝒎+ 𝟔𝟎 + 𝟏𝟐𝒎 = 𝟏𝟖𝒎 + 𝟗𝟓
𝟏𝟒𝟎
𝟐, 𝟓
𝟏𝟒𝟎 𝒑𝒆𝒓𝒔𝒐𝒏𝒂𝒔
En una planta de ensamblaje de equipos eléctricos, el
Jefe de producción ha puesto a prueba a 60 obreros
para estudiar el tiempo de ensamble de un nuevo
equipo. Obteniendo la siguiente tabla de distribución
de igual ancho y es simétrica.
PROBLEMA 23 RESOLUCIÓN
Se puede concluir que:
I. El 30% de los
obreros ensambla el equipo
en menos de 40 minutos.
II. El 30% de los
obreros ensambla el equipo
al menos en 45 minutos.
III. Treinta y dos de los
obreros requiere un tiempo
entre 36 y 40 minutos para
ensamblar el equipo
A) FFF B) FVF C) VVF D) VVV E) VFV
Sea W el ancho de clase
35 50
8 81010 24
35 + 3𝑊 = 50 𝑊 = 5
30 40 45 55
36
1 4
T
I) 𝐻2 =
8 + 10
60
=
18
60
= 30% (v)
II) ℎ4 + ℎ5 =
10 + 8
60
= 30% (v)
III) 𝑓36 ,40 =
4
5
𝑓2=
4
5
10= 8 (F)
VVF CLAVE C
La tabla siguiente presenta el número de
ventas diarias de la empresa de Laptops
S.A., de un período de 100 días del año 2019
los cuales fueron clasificados en intervalos
de igual ancho.
La tabulación mostrada está expresada en 
variable discreta. Calcule la frecuencia 
relativa correspondiente a las ventas de 6 a 
14 laptos por dia.
A) 0,20 B) 0,25 C) 0,30 D) 0,35 E) 0,40
Ventas diarias
(laptops)
Número de 
días
0 - 3 5a
4- 7 𝟐𝒂
8 - 11 2,5a
12 - 15 a
16 - 19 a-4
PROBLEMA 24 RESOLUCIÓN
𝟓𝒂 + 𝟐𝒂 + 𝟐, 𝟓𝒂 + 𝒂 + 𝒂 − 𝟒 = 𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎, 𝟓𝒂 + 𝟏𝟔 = 𝟏𝟎𝟎 𝒂 =8
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 
40 28 20 8 4
m n
𝒎
𝟐
=
𝟐𝟖
𝟒
𝒎 = 𝟏𝟒
𝒏
𝟑
=
𝟖
𝟒
𝒏 = 𝟔
𝒇𝟔−𝟏𝟒 = 𝟏𝟒 + 𝟐𝟎 + 𝟔 = 𝟒𝟎
𝒉𝟔−𝟏𝟒 = 𝟎, 𝟒
CLAVE E
El diagrama escalonado,
clasifica las notas de un grupo
de estudiantes .
Si se aprueba con nota 11, y el
número de estudiantes del
primer intervalo es el doble del
último intervalo ¿Cuántos
estudiantes aprobaron?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
PROBLEMA 25 RESOLUCIÓN
8a+3
20
8a
4a
a
Fi
Ii
4 8 12 16 20
fi
[ 0 - 4 > a
[ 4 - 8 > 3a
[ 8 - 12 > 4a
[ 12 - 16 > 3
[ 16 - 20 > 17-8a
n = 20
a = 2 ( 17 – 8 a ) luego : a = 2
0
32 6 8 1
40 8 12 16
20
11
3 1
𝑓11,20 =
1
4
8 + 3 + 1 = 6
El siguiente diagrama es un polígono
de frecuencias de área 480,con 5
intervalos de clase de igual ancho. Si
las frecuencias absolutas de cada
intervalo son proporcionales a los
números 3, 6, 8, 5 y 2
respectivamente, calcular ¿Cuántas
observaciones existen entre 30 y 39?
A) 75 B) 70 C) 68 D) 65 E) 60
27 39 𝐼𝑖
𝑓𝑖
PROBLEMA 26 RESOLUCIÓN
𝑓1
3
=
𝑓2
6
=
𝑓3
8
=
𝑓4
5
=
𝑓5
2
= 𝑘
𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒 ∶ 27 + 3𝑤 = 39
entonces w = 4
Dato : Área = 480 = 4 [ 3k + 6k + 8k + 5k + 2k ]
k = 5
30 39
25 29 33 37 41 45
𝑓30,39 =
3(30)
4
+ 40 +
25
2
= 75
30 25
k = 531 2 2
El supervisor de una fábrica sospecha que 
la máquina que llena y envasa bolsas de 
cemento con un peso aproximado de 50 Kg, 
está trabajando defectuosamente; para 
confirmar toma una muestra de 600 bolsas, 
obteniendo para sus pesos la distribución 
de frecuencias que se presenta en el gráfico 
adjunto. Si se pierde S/. 5,00 por cada bolsa 
que presenta un peso mayor o igual a 50,25 
Kg. estime 
la pérdida total
A) 1200 B) 1150
C) 1100 D) 1050
E) 1000
PROBLEMA 27 RESOLUCIÓN
49 50,5
w w w
49 + 3w = 50,5 luego w = 0,5
fi
[ 49 - 49,5 > 4r
[ 49,5 - 50 > 5r
[ 50 - 50,5 > 6r
[ 50,5 - 51 > 3r
[ 51 - 51,5 > 2r
n=600
50,25 51,5
90 + 90 + 60 = 240
240 x 5,00 = 1200
RESOLUCIÓN
PROBLEMA 28
28. El siguiente es un polígono de
frecuencias de área igual a 540 ,los
intervalos son de ancho común.
Calcule 27 veces la frecuencia relativa
en el intervalo comprendido entre los
datos 30 y 50 ,sabiendo que:
f1 = 2(f3 + 2) 3f1 = 2f2 = 6f4
A) 11 B) 15
C) 16 D)17
E) 18
El área es (A)(n)
A: ancho de clase, n: cantidad de datos
f3
f4
f1
f2 5𝐴 = 60 − 10
𝐴 = 10
𝐴 × 𝑛 = 540
𝑛 = 54
10 60
𝑓1
2
=
𝑓2
3
=
𝑓4
1
= 𝒌 Y 𝑓1 = 2 𝑓3 + 2
𝑓3 = 𝑛 − 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓4 = 𝑛 − 2𝑘 + 3𝑘 + 𝑘
𝑓3 = 54 − 6𝑘 Y 2𝑘 = 2 54 − 6𝑘 + 2
𝐾 = 8, 𝑓1 = 16,𝑓2 = 24, 𝑓4 = 8, 𝑓3 = 6,
30 50
ℎ
ℎ =
𝑓2
2
+ 𝑓3 +
𝑓4
2
𝑛
=
12 + 6 + 4
54
𝟐𝟕𝒉 = 𝟏1
CLAVE A
10 60
𝐼𝑖
Determine si es verdadera (V) o falso
(F) en las siguientes proposiciones:
I)El número del DNI, las profesiones,
nivel socioeconómico son ejemplos
de variable cualitativas.
II)El tiempo de duración, la estatura de
las personas ,el número de personas
contagiadas de COVID constituyen
variables cuantitativas continuas
III)La estadística hace un estudio
tomando los datos de toda una
población calculando fundamental-
mente su media, moda y mediana de
una variable determinada.
A)VVV B)FFF C)FFV D)VFF E)VFV
PROBLEMA 29 RESOLUCIÓN
I)El número del DNI, las profesiones, nivel
socioeconómico son ejemplos de variable
cualitativas. Verdadero
II)El tiempo de duración, la estatura de las personas
,el número de personas contagiadas de COVID
constituyen variables cuantitativas continuas. Falso
III)La estadística hace un estudio tomando los
datos de toda una población calculando
fundamentalmente su media, moda y mediana de
una variable determinada. Falso
CLAVE D
Dada la siguiente tabla de distribución
simétrica de datos no agrupados de las
edades de un grupo de niños
Se desea saber:
¿Cuántos niños tienen a lo más 10
años?
La frecuencia relativa de los niños de 8
a 10 años?
A) 80;0,5 B)75;0,෠5 C)80;0,෠7 D)75;0,෠7 E)
60 ; 0,4
PROBLEMA 30 RESOLUCIÓN
Xi fi Fi
7
8 k+5
9 k 55
10
11 0,5k
Xi fi Fi
7 0,5K
8 K+5
9 K 55
10 K+5
11 0,5K
Por ser 
simétrica
Luego, tienen a los más 10 años:
0,5K+(K+5)+K+(K+5)=3K+10+0,5K=3,5K+10=80 niños
Así, se tiene: 0,5K+K+5+K=55
Luego: 2,5k=50; K=20
la frecuencia absoluta de los niños de 8 a 10 años es:
(K+5)+K+(K+5)=3K+10=70; la frecuencia relativa es:
Asimismo: F5 = 4K+10=90
𝟕𝟎
𝟗𝟎
= 0,෡𝟕CLAVE C
90