Matemáticas Financieras con Excel 2012 - Renata Salamanca

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Colección: Ciencias Exactas
Área: Matemáticas
Edición: Bogotá., 2012
ISBN: 978-958-648-748-1
© Jairo Gutiérrez Carmona
 gutierrezcarmona@gmail.com
© Ecoe Ediciones 
 E-mail:correo@ecoeediciones.com
 www.ecoeediciones.com
Carrera 19 No. 63C-32, Pbx: 2481449, fax. 346 1741
Coordinación editorial: Alexander Acosta Quintero
Diseño y Diagramación: Olga L. Pedraza R.
Diseño de Carátula: Edwin Penagos Palacio
Impresión: Imagen Editorial Impresores
e-mail: imagenimvega@yahoo.com
Impreso y hecho en Colombia.
Gutiérrez Carmona, Jairo
Matemáticas fi nancieras con formulas, calculadora fi nanciera y excel / 
Jairo Gutiérrez Carmona. -- Bogotá : Ecoe Ediciones, 2012.
 376 p. – (Ciencias exactas. Matemáticas)
Incluye complemento virtual SIL (Sistema de Información en Línea) 
www.ecoeediciones.com. -- Incluye bibliografía
ISBN 978-958-648-748-1
1. Matemáticas fi nancieras - Fórmulas 2. Matemáticas fi nancieras -
Instrumentos 3. Matemáticas fi nancieras - Problemas, ejercicios, etc. 4. Excel 
(Programa para computador) I. Título II. Serie
CDD: 657.48 ed. 20 CO-BoBN– a805166
Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia
TABLA DE CONTENIDO
Capítulo 1 ........................................................................................................ 1
Interés ............................................................................................................................ 1
1.1 Interés y tasa de interés .......................................................................................... 3
1.1.1 Interés ................................................................................................................... 3
1.1.2 Tasa de interés ................................................................................................... 5
1.2 Diagramas de fl ujos de efectivo ......................................................................... 7
1.2.1 Valor presente ( P ) ........................................................................................... 9
1.2.2. Valor futuro ( F ) ............................................................................................... 10
1.3 Interés simple y compuesto .................................................................................. 11
1.3.1 Interés simple ..................................................................................................... 13
1.3.2 Interés compuesto ............................................................................................ 15
1.4 Tasa de interés nominal y efectivo ..................................................................... 22
1.4.1 Interés nominal .................................................................................................. 22
1.4.2 Interés efectivo .................................................................................................. 24
1.5 Interés vencido y anticipado ................................................................................ 29
1.5.1 Interés vencido .................................................................................................. 29
1.5.2 Interés anticipado ............................................................................................. 29
1.6 Tasas especiales ......................................................................................................... 32
1.6.1 Tasa de infl ación ................................................................................................ 33
1.6.2 Tasa de devaluación ......................................................................................... 34
1.6.3 Tasa de interés de oportunidad .................................................................. 36
1.7 Tasas compuestas ..................................................................................................... 37
1.7.1 DTF ......................................................................................................................... 37
1.7.2 UVR ........................................................................................................................ 39
1.7.3 PRIME / LIBOR .................................................................................................... 40
1.8 La tasa de interés con la calculadora y el Excel ............................................. 41
1.8.1 Calculadora fi nanciera .................................................................................... 41
1.8.2 Hoja de cálculo Excel ...................................................................................... 44
Función fi nanciera interés efectivo ....................................................................... 45
Función fi nanciera tasa nominal ............................................................................ 45
Función personalizada tasa efectiva .................................................................... 46
Función personalizada tasa nominal ................................................................... 47
Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel
VI
Resumen del capítulo ..................................................................................................... 49
Cuestionario de autoevaluación ................................................................................ 51
Ejercicios propuestos ...................................................................................................... 52
Capítulo 2 ........................................................................................................ 59
Equivalencia de tasas de interés ............................................................................. 59
2.1 Concepto de equivalencia ..................................................................................... 61
2.2 Equivalencias con fórmula..................................................................................... 61
2.3 Equivalencias con calculadora ............................................................................. 64
2.4 Equivalencias con Excel .......................................................................................... 68
2.5 Equivalencias especiales ......................................................................................... 69
Resumen del capítulo ..................................................................................................... 75
Cuestionario de autoevaluación ................................................................................ 76
Ejercicios propuestos ...................................................................................................... 77
Capítulo 3 ........................................................................................................ 81
Pago único .................................................................................................................... 81
3.1 Conceptos generales ............................................................................................... 83
3.2 Capitalización ............................................................................................................. 84
3.2.1 Capitalización con fórmula ........................................................................... 84
3.2.2. Capitalización con calculadora ................................................................... 86
Capitalización conociendo la tasa del período ................................................ 86
Capitalización conociendo la tasa nominal anual .......................................... 87
3.2.3 Capitalización con Excel ................................................................................. 88
Función fi nanciera VF ............................................................................................... 89
3.2.4 Ejemplos de aplicación de la capitalización ........................................... 90
3.3 Descuento ....................................................................................................................92
Función fi nanciera VA ................................................................................................ 93
3.4 Casos especiales ........................................................................................................ 94
3.5 Notación estándar .................................................................................................... 102
Resumen del capítulo ..................................................................................................... 105
Cuestionario de autoevaluación ................................................................................ 106
Ejercicios propuestos ...................................................................................................... 107
Capítulo 4 ........................................................................................................ 113
Series uniformes ......................................................................................................... 113
4.1 Conceptos generales ............................................................................................... 115
4.2 Anualidad vencida .................................................................................................... 117
Capítulo 2: Equivalencia de tasas de interés
VII
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
4.2.1. Anualidad vencida con fórmula ................................................................. 117
4.2.2 Anualidad vencida con calculadora........................................................... 119
4.2.3 Valor futuro, anualidad, tasa y número de períodos .......................... 121
4.2.4 Anualidades vencidas con Excel.................................................................. 126
4.3 Anualidad anticipada .............................................................................................. 128
4.4 Anualidad diferida .................................................................................................... 143
4.5 Anualidad perpetua ................................................................................................. 147
Resumen del capítulo ..................................................................................................... 149
Cuestionario de autoevaluación ................................................................................ 151
Ejercicios propuestos ...................................................................................................... 152
Capítulo 5 ........................................................................................................ 165
Series variables ............................................................................................................ 165
5.1 Conceptos generales ............................................................................................... 167
5.2 Gradiente aritmético ............................................................................................... 168
5.3 Gradiente geométrico ............................................................................................. 179
5.4 Gradientes con la calculadora ............................................................................. 190
5.5 Gradientes con Excel ............................................................................................... 197
5.6 Gradiente perpetuo ................................................................................................. 210
5.6.1 Gradiente aritmético perpetuo ................................................................... 211
5.6.2 Gradiente geométrico perpetuo ................................................................ 214
5.7 Gradiente diferido .................................................................................................... 215
5.7.1 Gradiente aritmético diferido ...................................................................... 216
5.7.2 Gradiente geométrico diferido ................................................................... 221
5.8 Gradiente escalonado ............................................................................................. 225
5.8.1 Gradiente aritmético escalonado ............................................................... 225
5.8.2 Gradiente geométrico escalonado ............................................................ 235
5.8.3 Gradiente escalonado con la calculadora fi nanciera .......................... 240
Resumen del capítulo ..................................................................................................... 243
Cuestionario de autoevaluación ................................................................................ 245
Ejercicios propuestos ...................................................................................................... 246
Capítulo 6 ........................................................................................................ 259
Amortización, capitalización y saldos................................................................... 259
6.1 Amortización .............................................................................................................. 261
6.1.1 Saldo adeudado ................................................................................................ 261
6.1.2 Composición de las cuotas ........................................................................... 267
Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel
VIII
6.1.3 Tablas de amortización ................................................................................... 272
Tabla de amortización del sistema de abonos constantes a capital ........ 273
Distribución de la cuota: abonos constantes a capital ................................. 273
Tabla de amortización del sistema de cuotas constantes ............................ 274
Distribución de la cuota: cuota constante ......................................................... 274
Tabla de amortización del sistema de gradiente aritmético ...................... 275
Distribución de la cuota: gradiente aritmético ................................................ 275
Tabla de amortización del sistema de gradiente geométrico .................... 276
Distribución de la cuota: gradiente aritmético ................................................ 276
6.2 Créditos en UVR ........................................................................................................ 279
6.2.1 Metodología de cálculo de la UVR ............................................................ 280
6.2.2 Sistemas de amortización en UVR ............................................................. 281
6.3 Capitalización ........................................................................................................ 283
6.3.1 Saldo capitalizado ............................................................................................ 283
6.3.2 Tablas de capitalización .................................................................................. 286
Tabla de capitalización del sistema de cuotas constantes ........................... 286
Tabla de capitalización del sistema de gradiente aritmético ..................... 287
Tabla de capitalización del sistema de gradiente geométrico ................... 287
Resumen del capítulo ..................................................................................................... 289
Cuestionario de autoevaluación ................................................................................ 290
Ejercicios propuestos ...................................................................................................... 291
Capítulo 7 ........................................................................................................ 297
Indicadores de conveniencia económica............................................................. 297
7.1 Valor presente neto (VPN) .....................................................................................299
7.2 Cuota anual uniforme equivalente (CAUE) ..................................................... 307
7.3 Tasa interna de rentabilidad (TIR) ....................................................................... 309
7.4 Tasa de rentabilidad verdadera (TRV) .............................................................. 312
7.5 Relación benefi cio - costo (B/C) .......................................................................... 314
7.6 Indicadores de conveniencia con calculadora ............................................... 315
Resumen del capítulo ..................................................................................................... 317
Cuestionario de autoevaluación ................................................................................ 319
Ejercicios propuestos ...................................................................................................... 319
Anexo 1 ............................................................................................................. 325
Convenciones ............................................................................................................. 325
Capítulo 2: Equivalencia de tasas de interés
IX
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
Anexo 2 ................................................................................................................ 331
Glosario ........................................................................................................................ 331
Anexo 3 ................................................................................................................ 335
Fórmulas ...................................................................................................................... 335
Anexo 4 ................................................................................................................ 347
Funciones fi nancieras del Excel ............................................................................. 347
Anexo 5 ............................................................................................................. 349
Funciones fi nancieras personalizadas ................................................................. 349
Anexo 6 ............................................................................................................. 351
Cómo crear funciones personalizadas en Excel ................................................. 351
Cómo incorporar las funciones personalizadas a su equipo ......................... 354
Bibliografía ...................................................................................................... 357
Índice .................................................................................................................. 359
Este libro tiene como objetivo contribuir con una 
herramienta académica integral en la instrucción de todas 
aquellas personas interesadas en las matemáticas fi nancieras, 
tanto a nivel de pregrado como de posgrado, especialmente 
de los estudiantes del área fi nanciera. Es una herramienta 
porque sirve como libro de texto para cualquier curso 
de matemáticas fi nancieras, ya que además de los temas 
principales, que se incluyen en todos los libros, se presentan 
análisis y explicaciones detalladas de aspectos particulares del 
valor del dinero en el tiempo; y es una herramienta integral 
porque en los numerosos ejemplos que se aportan, se muestra 
la solución por diversos sistemas, de manera que no se 
encasille al estudiante con uno o dos sistemas de solución.
En el libro se utilizan cuatro sistemas para solucionar los 
problemas de matemáticas fi nancieras: 
• Primero, con notación estándar (ver página 102) que facilita 
el planteamiento de las soluciones, pero que fi nalmente 
requiere de tablas o calculadora para encontrar el valor de 
los factores; 
• Segundo, con fórmulas que por ser un sistema universal 
siempre está disponible, pero que en algunos casos 
requiere operaciones engorrosas debido a la complejidad 
de la fórmula; 
• Tercero, con calculadora fi nanciera que produce la 
respuesta de una manera rápida, pero que no tiene 
disponible el menú necesario para solucionar todas las 
clases de problemas que se presentan. Este libro incluye 
algunos algoritmos para grabar en el solucionador de la 
calculadora fi nanciera Hewlett Packard 17BII o 19BII;
• Cuarto, con hoja de cálculo que además de ser muy rápida 
para producir las respuestas, tiene un alto potencial para 
sensibilizar y analizar los problemas, pero no dispone de 
todas las funciones que se requieren para solucionar todas 
las clases de problemas que se presentan. Este libro tiene 
soporte en el Sistema de Información en Línea (SIL) de la 
Editorial ECOE (www.ecoeediciones.com/sil/index.php), 
PRESENTACIÓN
Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel
XII
donde podrá encontrar funciones personalizadas para 
utilizar en la hoja de cálculo Excel.
Por lo anterior, los numerosos ejemplos que se incluyen 
en este libro son de vital importancia para introducir o aclarar 
conceptos, de manera que el estudiante debe analizarlos 
con detenimiento, en especial porque en muchos de ellos se 
combinan los sistemas de solución de problemas para hacer 
más efi ciente el trabajo.
En el SIL se encuentra el archivo F.xls en Excel donde 
se desarrollan funciones fi nancieras personalizadas que 
complementan las funciones fi nancieras que vienen con la 
hoja de cálculo Excel; además reúne por capítulos la solución 
de los ejemplos en los que se haya utilizado hoja de cálculo 
y presenta la solución detallada de los ejercicios propuestos 
múltiplos de diez.
En el ANEXO 6: COMO CREAR FUNCIONES 
PERSONALIZADAS EN Excel (ver página 351) se comenta 
como instalar en su computador el archivo con las funciones 
personalizadas.
La solución detallada de los ejercicios múltiplos de diez es 
un aporte importante, especialmente para los estudiantes, ya 
que los ejemplos tratados dentro de los capítulos, aunque se 
solucionan por varios sistemas, sólo sirven para ilustrar el tema 
que se está tratando y por lo tanto son ejercicios sencillos. 
La solución de algunos ejercicios propuestos, se incluye 
para presentar la utilización de los temas en problemas más 
complicados y además combinados con temas tratados en los 
capítulos anteriores.
CAP Í TULO 1 
Interés
En este capítulo se presentan los conceptos 
fundamentales de las matemáticas fi nancieras, 
por lo tanto se trata todo lo relacionado con 
el interés, la tasa de interés y sus diferentes 
formas de cálculo, tanto desde el punto de 
vista de quien es propietario de un capital y 
lo invierte o lo entrega en préstamo, como 
desde la perspectiva de quien no cuenta con 
el capital y lo recibe en préstamo.
Se estudian aquellas tasas de interés especiales 
que también se utilizan para el cálculo 
del costo de créditos o de la rentabilidad 
de inversiones, como son la infl ación, la 
devaluación, la DTF y el PRIME. Finalmente 
se muestra como operan todas las tasas de 
interés vistas en el capítulo en la calculadora 
fi nanciera y en la hoja de cálculo Excel.
El capítulo contiene los siguientes 
temas: 
1.1 Interés y tasa de interés
1.2 Diagramas de fl ujos de efectivo
1.3 Interés simple y compuesto
1.4 Tasa de interés nominal y efectiva
1.5 Interés vencido y anticipado
1.6 Tasas especiales
1.7 Tasas compuestas
1.8 La tasa de interés con la calculadora 
y el Excel
Objetivos
General
Introducir los conceptos y fórmulas básicas de las matemáticas fi nancieras, con el fi n 
de preparar al estudiante para enfrentar la comprensión de los problemas y hacer un 
planteamiento lógico de la solución.
Específi cos
a) Diferenciar y ejemplifi car los conceptos de interés y tasa de interés que se utilizarán en 
las fórmulas y defi niciones a lo largo del libro.
b) Presentar los diagramas de fl ujo de efectivo que servirán de base para el planteamiento 
gráfi co de los problemas. 
c) Conocer las característicasde las diferentes clasifi caciones de la tasa de interés, tales 
como simple y compuesto, nominal y efectiva, vencido y anticipado.
d) Estudiar las tasas de interés especiales que se utilizan en los problemas fi nancieros, 
como son la infl ación, la devaluación, la tasa de interés de oportunidad (TIO), las tasas 
compuestas (DTF y UVR) y las tasas para transacciones en moneda extranjera (PRIME y 
LIBOR).
e) Introducir el trabajo de las tasas de interés con la calculadora fi nanciera y la hoja de 
cálculo Excel.
Capítulo 1: Intereses
3
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
1.1 Interés y tasa de interés
Los recursos tienen propietario y cada uno espera utilizarlos en benefi cio propio. Cuan-
do el propietario de un recurso puede usarlo para sí mismo, espera una utilidad o al-
guna satisfacción; pero cuando no puede utilizar directamente los recursos que posee 
o tiene algún recurso en exceso, busca alquilarlo a otra persona y por ello espera una 
retribución. Quiere decir que los recursos, además de propietario también tienen pre-
cio, ya sea el que estime su propietario o el que le determine el mercado.
Los poseedores de fuerza de trabajo que no pueden emplearla en su propio negocio, la alquilan 
por un salario; quienes poseen fi nca raíz y no la emplean en su benefi cio, trasfi eren su utilización 
a cambio de un arrendamiento. Y así ocurre con todos los recursos, incluyendo el dinero o capital 
que como retribución recibe el interés.
1.1.1 Interés 
El interés se ha defi nido como el precio del dinero, sea éste un capital propio o ajeno; 
es decir que el dinero, cuando se utiliza como capital, debe tener una retribución como 
ocurre con todos los recursos (el salario para el trabajo o la renta para la tierra). No 
siempre el capital invertido es dinero, puede ser cualquier otro recurso como maqui-
naria, fi nca raíz o semovientes, lo importante es que se aporte para la explotación de 
un negocio, en el cual se espera tener una retribución por el uso del recurso; en estos 
casos el recurso debe valorarse en dinero para efectuar los cálculos.
Ejemplo No. 1.1 
Un capitalista invierte quince millones de pesos en un negocio, por lo 
tanto espera que al fi nalizar el negocio, éste le haya retribuido los quince 
millones de pesos que invirtió inicialmente más un interés, que es un valor 
adicional al invertido dado que durante un tiempo renunció al uso de sus 
recursos y se arriesgó en un negocio. El capital inicial de quince millones 
pudo estar representado en dinero, en especie o en ambos (quince millones 
de pesos en efectivo o un vehículo valorado en diez millones de pesos y 
cinco millones de pesos en efectivo, por ejemplo). Así mismo, el capital que 
recibe al fi nal puede estar representado en dinero, en especie o en ambos 
(veinte millones de pesos en efectivo o el mismo vehículo valorado en ocho 
millones de pesos y doce millones de pesos en efectivo, por ejemplo).
Esto signifi ca que, cuando se invierte un capital se espera que después de un tiem-
po de tenerlo invertido se obtenga un valor superior al que se invirtió inicialmente: el 
capital más el interés. 
Lo mismo ocurre cuando se recibe un capital en préstamo, después de un tiempo 
de utilizarlo se debe pagar un valor superior al que se recibió inicialmente: el capital 
más el interés.
Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel
4
Ejemplo No. 1.2 
En el ejemplo anterior, sin importar la forma que tomen el capital y el interés 
(efectivo, especie o ambos), el capital inicial es de quince millones de pesos 
y el interés es de cinco millones de pesos; ya que este último es igual a la 
diferencia entre el valor invertido inicialmente y el valor recibido fi nalmente.
Ejemplo No. 1.3 
Una persona recibe un préstamo de quinientos mil pesos con el compromiso 
de pagar quinientos sesenta mil pesos dentro de seis meses. En este caso 
el capital inicial son los quinientos mil pesos y el interés los sesenta mil 
pesos adicionales que paga. Este pago adicional se debe hacer por usar un 
recurso ajeno y al mismo tiempo disfrutar de los benefi cios que le produce 
ese uso. Como se aprecia, quien otorgó el préstamo renuncia al uso de 
su capital y por ello debe cobrar un valor; por otra parte, quien recibió el 
préstamo pudo disfrutar de unos benefi cios sin tener capital y por lo tanto 
debe pagar un valor por haber utilizado un capital ajeno.
De los conceptos anteriores se deduce que en el uso del capital intervienen por 
lo menos cuatro conceptos: un valor inicial, un período de tiempo, un valor fi nal y el 
interés. Estos conceptos se aclaran a continuación:
• Valor inicial: Es el capital que se invierte o se recibe en préstamo al comienzo 
de un negocio, también se conoce como valor presente. 
• Período de tiempo: Son las unidades de tiempo que transcurren durante el 
negocio, se conoce como plazo y puede estar expresado en cualquier unidad: 
días, semanas, meses, etc.
• Valor fi nal: Es el monto que se recibe o se paga al fi nalizar el negocio, también 
se conoce como valor futuro y tiene como principal característica que es igual 
al valor inicial más los intereses.
• Interés: Es la retribución que reciben los inversionistas y prestamistas por ce-
der el uso de su capital propio o el costo que pagan los prestatarios por utilizar 
el capital ajeno.
Si el valor al fi nal del negocio es igual el valor inicial más los intereses, se tienen las 
siguientes fórmulas:
 F = P + I P = F – I I = F – P (1)
donde F Valor fi nal o futuro.
P Valor inicial o presente.
I Interés o retribución al valor invertido (P).
Capítulo 1: Intereses
5
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
Ejemplo No. 1.4 
En el caso del préstamo de los $500,000, en el que se pagan $560,000 seis 
meses después, se tienen las siguientes convenciones:
 VALOR IGUAL A: RESULTADO
F = P + I 500,000 + 60,000 = 560,000
P = F – I 560,000 – 60,000 = 500,000
I = F - P 560,000 – 500,000 = 60,000
Ejemplo No. 1.5 
Si un producto se vende de contado por $1,200,000 y se puede comprar a 
crédito con un plazo de tres meses por $1,296,000, se está hablando de los 
siguientes valores:
VALOR RESULTADO
Inicial o presente P = 1,200,000
Final o futuro F = 1,296,000
Intereses I = 96,000
1.1.2 Tasa de interés 
La tasa de interés es la relación matemática que existe entre el monto del interés que se 
retribuye al capital y el monto del capital que se ha invertido inicialmente. Por lo tanto:
 (2)
donde i Tasa de interés.
F Valor fi nal o futuro.
P Valor inicial o presente.
I Interés o retribución al valor invertido (P).
De las fórmulas (1) y (2) se concluye que, así como el interés se expresa en un valor 
absoluto ($), la tasa de interés se expresa en un valor relativo (%).
Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel
6
Ejemplo No. 1.6 
Para los ejemplos anteriores se tienen las siguientes tasas de interés:
VALORES FÓRMULA RESULTADO PERÍODO INTERPRETACIÓN
P = 15,000,000
F = 20,000,000
I = 5,000,000
0.33
No se ha 
determinado
La inversión genera un interés de 
$5,000,000, que equivalen a una 
tasa de interés del 33%, durante 
el tiempo que dure.
P = 500,000
F = 560,000
I = 60,000
0.12 Seis meses
El préstamo se recibe a una 
tasa de interés del 12%, por un 
semestre. Ya que por $500,000 se 
pagan $60,000 de intereses.
P = 1,200,000
F = 1,296,000
I = 96,000
0.08 Tres meses El producto se fi nancia a una tasa 
de interés del 8% trimestral.
Combinando las fórmulas (1) y (2) se pueden despejar otras fórmulas que son de 
utilización permanente:
 
 (3)
 por lo tanto (4)
 (5)
Ejemplo No. 1.7 
El capitalista del Ejemplo No. 1.1 espera que su inversión le retribuya un 
40%. Cuál debe ser el valor fi nal de su inversión?
Siendo i = 40% y P = $15,000,000 es posible encontrar el valor de F utilizando 
la fórmula (1) F = P + I, como el valor de los intereses ( I ) es desconocido, 
se debe calcular utilizando la fórmula (3) I = i P que reemplazando es I
= 0.4 (15,000,000) =6,000,000, con lo cual ya se puede llegar a que F = 
15,000,000 + 6,000,000 = 21,000,000
También puede resolverse utilizando el siguiente raciocinio: 
Siendo i = 40% y P = $15,000,000, es posible encontrar el valor de F 
utilizando la fórmula (4) F = P (1 + i). 
F = 15,000,000 (1 + 0.4) = 21,000,000
Capítulo 1: Intereses
7
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
Es decir que, se debe defi nir cuál es la incógnita y para resolverla utilizar la 
fórmula con la cual se halle su valor.
Ejemplo No. 1.8
Si el producto que se vende de contado por $1,200,000 y a crédito con un 
plazo de tres meses por $1,296,000, se compra con un plazo de seis meses. 
Cuál será su precio?
Según el Ejemplo No. 1.6 la tasa de interés de fi nanciación es del 8% 
trimestral (i = 96,000 / 1,200,000), por lo tanto si se ha de fi nanciar a dos 
trimestres, debe cobrarse dos veces el interés F = P + 2 I donde sigue 
siendo I = i P como la tasa de interés es i = 8% trimestral, entonces se pagan 
intereses de I = 96,000 cada trimestre, por lo tanto 2 I = 192,000 siendo 
entonces F = 1,200,000 + 192,000. Se concluye que si se desea comprar el 
producto con un plazo de dos trimestres el precio será de $1,392,000
En este ejemplo se aprecia que el plazo del negocio es un semestre, pero 
como los intereses se liquidan trimestralmente, el plazo total se debe 
expresar en las unidades de tiempo del período de liquidación de los 
intereses, diciéndose por lo tanto que el negocio se hace a dos trimestres y 
no a un semestre, aunque cronológicamente sean lo mismo.
Para facilitar su solución, en todos los problemas de matemáticas fi nancieras el período de liqui-
dación de los intereses deben coincidir con:
• las unidades en que se exprese el plazo y 
• el período en que se exprese la tasa de interés. 
Si los tres no coinciden, hay que ejecutar los pasos necesarios para que ello ocurra. 
Esto quiere decir que en todo problema de matemáticas fi nancieras, en realidad existen dos pro-
blemas:
a) el problema como tal, que se va a resolver y 
b) hacer coincidir el plazo y el período de expresión de la tasa de interés, con 
 el período de liquidación de los intereses. 
Este último problema es el que primero debe resolverse.
1.2 Diagramas de fl ujos de efectivo
Un diagrama de fl ujos de efectivo es la representación gráfi ca de las entradas y salidas 
de efectivo de un negocio. Consiste en un gráfi co de dos dimensiones: una área para 
los fl ujos de efectivo positivos (ingresos, entradas de dinero, préstamos recibidos, co-
bros de cartera, etc.) y otra área para los fl ujos de efectivo negativos (egresos, salidas 
de dinero, inversiones efectuadas, pagos o abonos de deudas, etc.). El diagrama de fl u-
jos de efectivo consiste en una línea recta que representa el tiempo, subdividida en los 
períodos de liquidación de intereses, en la cual se representan los movimientos reales 
de dinero que ocurren en un negocio.
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Los diagramas de fl ujos de efectivo se utilizan para “dibujar” los problemas, de 
manera que se facilite su comprensión y por lo tanto su solución, constituyéndose 
entonces en una herramienta necesaria para el planteamiento de problemas de mate-
máticas fi nancieras. La siguiente es la organización general de un diagrama de fl ujos 
de efectivo:
Ejemplo No. 1.9
Hacer el diagrama de fl ujos de efectivo de una inversión que tiene los 
siguientes movimientos: se invierten hoy $100,000 y a los tres meses se 
reciben $60,000, a los siete meses se reciben $50,000 y a los doce meses se 
reciben $40,000.
Como se aprecia, la longitud de las fechas sólo sirve para dar una idea de 
las proporciones de los valores, el punto más importante es la dirección de 
las fl echas (ingresos o egresos) y el momento del tiempo en que ocurren.
En un diagrama de fl ujos de efectivo, los conceptos que se han trabajado 
hasta el momento, se representarían de la siguiente forma:
Capítulo 1: Intereses
9
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
n períodos de liquidación de
interés a una tasa i%
0 1 2 3
1.2.1 Valor presente ( P )
El valor presente es el monto con el que inicia un negocio (inversión inicial) y no ne-
cesariamente está ubicado en el día de hoy; el valor presente en relación con el día de 
hoy se puede ubicar cronológicamente en el pasado o en el futuro, dependiendo de 
cuándo se haya iniciado o se inicie el negocio que se evalúa. Se concluye que la termi-
nología “presente” se utiliza únicamente en relación con la fecha de inicio del negocio 
y no tiene nada que ver con la fecha en que se analiza la inversión.
Ejemplo No. 1.10
Hacer el diagrama de fl ujos de efectivo de un préstamo de $1,300,000, 
con un plazo de seis meses, por cual se deben pagar $1,456,000:
a) Si el crédito se recibió hace dos meses.
b) Si el crédito se recibe hoy.
c) Si el crédito se recibirá dentro de tres meses.
Como se aprecia en el siguiente gráfi co los diagramas de fl ujos de efectivo 
son iguales, sin importar en qué momento se encuentren en relación con la 
fecha actual; para el problema sólo interesa que P = 1,300,000, F = 1,456,000
y que n = 6, ya que con estos datos puede resolverse cualquier pregunta que 
se haga, cuánto es el interés ( I ) o cuál es la tasa de interés ( i ).
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10
F= 1,456,000
F= 1,456,000
F= 1,456,000
P= 1,300,000
P= 1,300,000
P= 1,300,000
1.2.2. Valor futuro ( F )
El valor futuro es el monto que se recibe cuando termina el negocio y no necesaria-
mente estará ubicado en el futuro en relación con el día de hoy. En el valor futuro están 
involucrados los intereses (utilidad) que produce el negocio.
Ejemplo No. 1.11
Cuánto recibe un inversionista hoy por un pagaré que compró hace 45 días, 
si desembolsó $23,345,000 y la tasa de interés es del 5% durante todo el 
período, liquidada diariamente?
Como el período de liquidación de intereses es el día, la tasa de interés 
debe estar expresada en días.
P= 23,345,000
n= 45 días i= 0.11%
F=?
Puede verse que el valor futuro está ubicado en la fecha de hoy, lo 
importante de su ubicación es que frente a P, lo relacione n = 45 e i = 0.11% 
diario.
Capítulo 1: Intereses
11
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
1.3 Interés simple y compuesto
En el ejemplo No. 1.8 se aprecia que durante el plazo de un negocio es posible que se 
liquide varias veces el interés , las condiciones que se pacten para tratar los intereses 
que se liquiden en cada período, determinan teórica y matemáticamente la clase de 
interés que se esté manejando y por lo tanto la fórmula que debe emplearse para su 
cálculo.
En general, existen tres condiciones que se pueden pactar para los intereses que 
se liquiden:
a. Liquidarlos y pagarlos en ese mismo momento.
b. Liquidarlos y no pagarlos, para quedarlos debiendo como intereses.
c. Liquidarlos y no pagarlos, para sumárselos al capital inicial.
En el primer caso no hay ningún problema, ya que I = i P por lo tanto basta con 
saber cual es la tasa de interés del período de liquidación ( i ) para liquidar y pagar los 
intereses. 
Ejemplo No. 1.12 
Un crédito de $2,350,000 concedido con un plazo de seis meses, liquida y 
paga intereses cada mes a una tasa del 2%. Cuál será el valor de los pagos 
mensuales de intereses?
Como se dijo, este caso no tienen problema pues basta utilizar la fórmula (3): 
I = i P. Como coincide el período de expresión de la tasa de interés con el 
período de liquidación de los intereses, basta reemplazar en la fórmula, así:
I = 0.02 (2,350,000) = 47,000
Deben liquidarse y cancelarse cada mes $47,000 por el crédito, sin importar 
en qué mes del plazo se encuentre, tal como se aprecia en la siguiente tabla:
MES
SALDO 
INICIAL
LIQUIDACIÓN 
INTERÉS
PAGO DE 
INTERÉS
ABONO A 
CAPITAL
PAGO
TOTAL
SALDO 
INTERESES
SALDO 
CAPITAL
SALDO
TOTAL
1 2,350,000 47,000 47,000 0 47,000 0 2,350,000 2,350,000
2 2,350,000 47,000 47,000 0 47,000 0 2,350,000 2,350,000
3 2,350,000 47,000 47,000 0 47,000 0 2,350,000 2,350,000
4 2,350,00047,000 47,000 0 47,000 0 2,350,000 2,350,000
5 2,350,000 47,000 47,000 0 47,000 0 2,350,000 2,350,000
6 2,350,000 47,000 47,000 2,350,000 2,397,000 0 0 0
En el segundo caso, cuando los intereses se liquidan, no se pagan y se acumulan 
como una deuda para pagar al fi nal del plazo, también se utiliza la fórmula (3) I = i P
para liquidar el monto que cada mes se suma a la deuda de los intereses por pagar.
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12
Ejemplo No. 1.13 
Un crédito de $2,350,000 concedido con un plazo de seis meses, liquida 
intereses cada mes a una tasa del 2%, los intereses liquidados se adeudan y 
se pagan al fi nal del plazo. Cuál será el valor de los intereses liquidados cada 
mes y cuánto debe cancelar por intereses al fi nal del plazo?
Como coinciden el período de expresión de la tasa de interés y el período de 
liquidación de los intereses, basta reemplazar los valores en la fórmula (3): 
I = i P, así:
I = 0.02 (2,350,000) = 47,000
Se deben liquidar cada mes $47,000 por el crédito y sumarlos a una 
deuda por intereses, sin importar en qué mes del plazo se encuentre. Al 
fi nalizar el plazo, se adeudan seis cuotas de interés, por lo tanto se debe 
6 x 47,000 = 282,000.
La deuda de los intereses se mantiene independiente del capital adeudado, por 
lo tanto no genera nuevos intereses, tal como se aprecia en la siguiente tabla:
MES
SALDO
INICIAL
LIQUIDACIÓN 
INTERÉS
PAGO DE 
INTERÉS
ABONO A 
CAPITAL
PAGO 
TOTAL
SALDO 
INTERESES
SALDO 
CAPITAL
SALDO 
TOTAL
1 2,350,000 47,000 0 0 0 47,000 2,350,000 2,397,000
2 2,350,000 47,000 0 0 0 94,000 2,350,000 2,444,000
3 2,350,000 47,000 0 0 0 141,000 2,350,000 2,491,000
4 2,350,000 47,000 0 0 0 188,000 2,350,000 2,538,000
5 2,350,000 47,000 0 0 0 235,000 2,350,000 2,585,000
6 2,350,000 47,000 282,000 2,350,000 2,632,000 0 0 0
En el tercer caso, cuando los intereses se liquidan, no se pagan y se suman al capi-
tal, también se utiliza la fórmula (3) I = i P para liquidar el monto de los intereses que 
cada mes se suma al capital. La gran diferencia es que para cada período el valor de 
P es diferente, ya que incluye los intereses que se han vuelto capital es decir que han 
tenido capitalización .
Ejemplo No. 1.14
Un crédito de $2,350,000 concedido con un plazo de seis meses, liquida 
intereses cada mes a una tasa del 2%, los intereses liquidados se capitalizan 
y se pagan al fi nal del plazo. Cuál será el valor de los intereses liquidados 
cada mes?
Como coinciden el período de expresión de la tasa de interés y el período 
de liquidación de los intereses, basta reemplazar los valores en la fórmula 
(3): I = i P, sin embargo existe un problema y es que el valor de P no se 
mantiene constante, por lo tanto hay que conocerlo primero; para ello se 
utiliza la siguiente tabla:
Capítulo 1: Intereses
13
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
MES
SALDO
INICIAL
LIQUIDACIÓN 
INTERÉS
PAGO DE 
INTERÉS
ABONO A 
CAPITAL
PAGO
TOTAL
SALDO
INTERESES
SALDO 
CAPITAL
SALDO 
TOTAL
1 2,350,000 47,000 0 0 0 0 2,397,000 2,397,000
2 2,397,000 47,940 0 0 0 0 2,444,940 2,444,940
3 2,444,940 48,899 0 0 0 0 2,493,839 2,493,839
4 2,493,839 49,877 0 0 0 0 2,543,716 2,543,716
5 2,543,716 50,874 0 0 0 0 2,594,590 2,594,590
6 2,594,590 51,892 0 2,646,482 2,646,482 0 0 0
Con la solución de estos problemas, pueden plantearse los conceptos de 
interés simple y de interés compuesto.
1.3.1 Interés simple
Interés simple, es aquella forma de liquidar los intereses en la cual para su cálculo se 
toma como base únicamente el capital, ignorando los intereses liquidados y no pa-
gados en períodos anteriores. Por lo tanto el valor del capital adeudado permanece 
constante y sólo cambia la deuda por concepto de intereses. Esto hace que para efec-
tos de utilización de las fórmulas, se emplee siempre el mismo valor para el capital al 
inicio del período ( P ).
Para el cálculo del interés simple de un período, siempre se utilizará la fórmula (3): 
I = i P
donde I es el valor absoluto ($) del interés a pagar o cobrar que se constituye 
 en deuda.
 i es la tasa de interés (%) del período.
 P es el valor del capital al inicio del período que se está liquidando.
Como los intereses así calculados se acumulan en una deuda independiente, para 
calcular el valor total de la deuda, en un momento dado, basta con multiplicar el monto 
de los intereses de un período por el número de períodos que hayan transcurrido, con 
lo cual la fórmula (3) toma el siguiente aspecto: I = n i P
donde I es el valor absoluto ($) del interés a pagar o cobrar.
 n es el número de períodos que han transcurrido desde el inicio 
 del negocio.
 i es la tasa de interés (%) del período.
 P es el valor del capital al inicio del período que se está liquidando.
Es importante interpretar el cambio que acaba de mostrarse para la fórmula (3):
a) Al generalizar la fórmula como I = n i P, puede decirse que no ha cambiado 
nada cuando n = 1 y que por lo tanto para calcular el interés de un período se 
sigue utilizando la fórmula original. 
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b) Puede interpretarse que el número de períodos (n) está multiplicando todo el 
interés calculado, por lo tanto se agruparía así: I = n (i P).
c) También puede interpretarse suponiendo que el número de períodos (n) esta 
multiplicando sólo la tasa de interés del período, por lo tanto se agruparía así: 
I = (n i) P.
Vale aclarar que las tres interpretaciones son válidas y todo se reduce a decisiones 
matemáticas según sean los datos que se conozcan en cada problema.
Ejemplo No. 1.15
Para una deuda de $500,000 que paga interés simple del 2.5% mensual. 
Cuánto se debe liquidar de intereses cada mes y cuánto al término de 
cuatro meses?
Para conocer cuánto se debe liquidar en un mes, se emplea la fórmula (3) con
n = 1, por lo tanto:
I = i P I = 0.025 (500,000) = 12,500
Para calcular cuánto debe de intereses al término de cuatro meses, se 
emplea la fórmula (3) con n = 4, por lo tanto:
I = n i P I = 4 (0.025) (500,000) = 50,000
A continuación se presenta la tabla de evolución de la deuda, en la cual se aprecia 
que cada mes se liquida el mismo interés, sobre la misma base ( P ), utilizando la misma 
fórmula:
LIQUIDACIÓN DE 
INTERESES
SALDOS ADEUDADOS
MES
SALDO INICIAL 
DEL PERÍODO (P)
FÓRMULA VALOR INTERESES CAPITAL TOTAL
1 500,000 I = i P 12,500 12,500 500,000 512,500
2 500,000 I = i P 12,500 25,000 500,000 525,000
3 500,000 I = i P 12,500 37,500 500,000 537,500
4 500,000 I = i P 12,500 50,000 500,000 550,000
Ejemplo No. 1.16
Cuánto se esta pagando de tasa de interés mensual, en un crédito de 
$2,220,000, que durante un semestre cobra intereses por valor de $240,000?
Como el período de liquidación de los intereses es el mes, el plazo y la tasa 
de interés deben expresarse también en meses, por lo tanto se hablará de 
un plazo de seis meses y no de un semestre.
Capítulo 1: Intereses
15
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
Para resolver el problema debe emplearse alguna de las expresiones de i
presentadas en la fórmula (2), dependiendo de los valores conocidos que son 
n = 6 P = 2,220,000 e I = 240,000.
1 -
P
F
 i 
P
P - F
 i 
P
I
 i ===
Por lo tanto i = 240,000 / 2,220,000 = 0.1081 o también expresado en porcentaje 
como 10.81%.
El valor de i así calculado es el que se cobra durante todo el plazo, es decir seis 
meses, lo cual nos indica que 10.81% = n i, dado que el período de liquidación de los 
intereses es el mes. Esto nos lleva a plantear la siguiente expresión para la tasa de inte-
rés de un mes: i = 10.81% / 6 = 1.8%.
1.3.2 Interés compuesto
Interés compuesto, es aquella forma de liquidar los intereses en la cual para su cálculo 
se toma como base el capital más los intereses liquidados y no pagados en períodos 
anteriores. Quiere decir, que los intereses liquidados en el pasado se han convertido 
en capital y por lo tanto generan nuevos intereses, este fenómeno es conocido como 
capitalización de los intereses.El fenómeno de la capitalización, lleva a que el valor adeudado por concepto de 
capital aumente al fi nalizar cada período y por lo tanto, que el valor que se emplea 
para calcular los nuevos intereses sea cada vez mayor.
La capitalización de intereses, que consiste en sumar los intereses no pagados al capital, es un 
fenómeno real en el mercado fi nanciero y no signifi ca que se estén cobrando intereses sobre 
intereses.
Para el cálculo del interés compuesto de un período siempre se utilizará la fórmula 
(3): I = i P
donde I es el valor absoluto ($) del interés a pagar o cobrar que se suma 
 al capital.
 i es la tasa de interés (%) del período.
 P es el valor del capital al inicio del período que se está liquidando 
 (este valor es el que cambia cada período).
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16
Como los intereses así calculados se suman al capital, para calcular el valor total de 
la deuda, en un momento dado, debe emplearse una fórmula diferente, que se deduce 
a continuación, explicando los pasos intermedios necesarios para calcular el nuevo 
valor de P en cada período:
Ejemplo 1.17 
Para una deuda de $500,000 que paga interés compuesto del 2.5% mensual. 
Cuánto se debe liquidar de intereses cada mes y cuánto al término del 
cuarto mes?
La siguiente tabla muestra la evolución de la deuda:
 SALDO INICIAL
LIQUIDACIÓN 
DE INTERESES
SALDO FINAL
MES SIGNO VALOR
FÓRMULA 
INTERÉS 
VALOR 
INTERÉS
CAPITAL SIGNO FÓRMULA SALDO
1 P 500,000 I = i P 12,500 512,500 P1 P1 = P + I = P + i P = P (1 + i)
2 P1 512,500 I = i P1 12,813 525,313 P2
 P2 = P1 + I = P1 + i P1 = P1 
(1 + i) = P 
(1 + i) (1 + i) = P (1 + i)2
3 P2 525,313 I = i P2 13,133 538,445 P3
 P3 = P2 + I = P2 + i P2 = P2 
(1 + i) = P 
(1 + i)2 (1 + i) = P (1 + i)3
4 P3 538,445 I = i P3 13,461 551,906 P4
 P4 = P3 + I = P3 + i P3 = P3
(1 + i) = P 
(1 + i)3 (1 + i) = P (1 + i)4
Se corrobora que para calcular el interés de un solo período, siempre utiliza la 
misma fórmula, tal como se aprecia en la columna “FÓRMULA INTERÉS”, la diferencia 
frente al interés simple, es que el valor empleado como base cambia en cada período 
debido a la capitalización de los intereses. Por lo tanto, el valor mensual de los intereses 
cambia y su valor aparece en la columna “VALOR INTERÉS” del cuadro anterior.
Para calcular el saldo adeudado (F), después de una serie de períodos (n) se utiliza 
la fórmula deducida en la columna “FÓRMULA SALDO”:
F = P (1 + i)n (6)
donde F es el valor acumulado en la deuda o inversión después de una 
 serie de períodos.
P es el valor invertido o recibido en préstamo al inicio del plazo
i es la tasa de interés del período de liquidación que se aplica 
 compuesta.
n es el número de períodos que han trascurrido desde el inicio
 del negocio.
Capítulo 1: Intereses
17
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
De la fórmula (6) es posible deducir otras fórmulas así:
 
i)(1PFS i n+= (7)
 (8)
 (9)
Vale aclarar que cuando se habla de un solo período de liquidación de interés
(n = 1), hay una sola capitalización en la vida del negocio y por lo tanto la fórmula (6) 
F = P (1 + i)n se comporta de la misma forma que la fórmula (4) F = P (1 + i).
Ejemplo No. 1.18 
Cuánto deberá al cabo de cuatro meses, una persona que toma un crédito 
de $500,000 al 2.5% mensual, capitalizable mensualmente?
La solución se plantea así:
DATO VALOR
La unidad de tiempo en que se 
expresan estas tres variables 
debe ser la misma. En este 
caso es el mes, por lo tanto
n = 4.
Clase de interés Compuesto
Período de liquidación de intereses Mensual
Tasa de interés del período ( i ) 2.5% mensual
Plazo del negocio 4 meses
Número de períodos de capitalización ( n ) 4
Valor inicial del negocio ( P ) $500,000
Valor fi nal del negocio ( F ) ???
Como la incógnita es el valor fi nal del negocio ( F ), debe utilizarse la fórmula (6) 
para encontrar su valor:
F = P (1 + i)n F = 500,000 (1 + 0.025)4 = 551,906 que es igual al valor obtenido en la 
tabla del ejemplo No. 1.17 la cual fue elaborada período por período.
Ejemplo No. 1.19 
Cuánto se debe invertir en título que rinde el 9% trimestral compuesto, si se 
necesita reunir un valor de $ 4,500,000 dentro de nueve meses?
La solución se plantea así:
Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel
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DATO VALOR
La unidad de tiempo en que se 
expresan estas tres variables 
debe ser la misma. En este caso 
es el trimestre, por lo tanto debe 
convertirse el plazo a trimestres 
n= 9/3.
Clase de interés Compuesto
Período de liquidación de intereses Trimestral
Tasa de interés del período ( i ) 9% trimestral
Plazo del negocio 9 meses
Número de períodos de capitalización ( n ) 3
Valor fi nal del negocio ( F ) $4,500,000
Valor inicial del negocio ( P ) ???
Como la incógnita es el valor inicial del negocio ( P ), debe utilizarse la fórmula (7) 
para encontrar su valor:
P = F (1 + i) –n P = 4,500,000 (1 + 0.09) -3 = 3,474,826
Ejemplo No. 1.20 
Cuánto se está cobrando por un crédito de $750,000, si al momento del 
pago, doce meses después, se debe entregar $1,000,000, si los intereses se 
capitalizan bimestralmente?
La solución se plantea así:
DATO VALOR
La unidad de tiempo en que se 
expresan estas tres variables 
debe ser la misma. En este caso 
es el bimestre, por lo tanto debe 
convertirse el plazo a bimestres 
n = 12/2.
Clase de interés Compuesto
Período de liquidación de intereses Bimestral
Tasa de interés del período ( i ) ???
Plazo del negocio 1 año
Número de períodos de capitalización ( n ) 6
Valor fi nal del negocio ( F ) $1,000,000
Valor inicial del negocio ( P ) $750,000
Como la incógnita es tasa de interés del período ( i ), debe utilizarse la fórmula (8) 
para encontrar su valor:
i = (F / P)(1/n) – 1 i = (1,000,000 / 750,000)(1/6) - 1 = 0.0491 que es lo mismo que 4.91%. Es 
importante aclarar que como el período de liquidación de los intereses es bimestral y se utilizó 
n = 6 bimestres que tiene el plazo total de un año, la respuesta de la fórmula está dada en bi-
mestres, o sea que la tasa que se está cobrando en el crédito es del 4.91% bimestral.
Ejemplo No. 1.21 
Si se quieren reunir $5,000,000, cuánto tiempo se debe dejar un depósito en una 
cuenta de ahorros que paga el 0.8% mensual, depositando $3,000,000 hoy?
Capítulo 1: Intereses
19
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
La solución se plantea así:
DATO VALOR
La unidad de tiempo de estas 
tres variables debe ser la misma. 
En este caso es el mes, por 
lo tanto la respuesta que se 
encuentre estará en meses.
Clase de interés Compuesto
Período de liquidación de intereses Mensual
Tasa de interés del período ( i ) 0.8% mensual
Plazo del negocio ???
Número de períodos de capitalización ( n ) ???
Valor fi nal del negocio ( F ) $5,000,000
Valor inicial del negocio ( P ) $3,000,000
Como la incógnita es número de períodos de capitalización ( n ), debe utilizarse la 
fórmula (9) para encontrar su valor: 
 64 meses
Por lo visto hasta el momento, es determinante para la solución de los proble-
mas de matemáticas fi nancieras tener claro los conceptos de plazo y período. 
Plazo: es el tiempo total que dura un negocio, por lo tanto puede estar dado en las unida-
des de tiempo que se desee. Por ejemplo puede hablarse de “refi nanciar un crédito a 10 
años” o de “evaluar un proyecto con un horizonte de cinco años” o “invertir en ganade-
ría durante 18 meses” o de “vender un papel con opción de recompra a 45 días”. 
Período: son las subdivisiones que se hacen del plazo y la unidad de tiempo tiene 
que coincidir con el período de liquidación de los intereses. Por ejemplo puede hablarse 
de “refi nanciar un crédito a 10 años con liquidación de intereses trimestral” o de “eva-
luar un proyecto con un horizonte de cinco años usando períodos anuales” o “inver-
tir en ganadería durante 18 meses y evaluar la rentabilidad mensual” o de “vender 
un papel con opción de recompra a 45 días con intereses liquidados diariamente” 
n: es el plazo expresado en lasunidades de tiempo del período de liquidación de intereses. Por ejemplo, 
para 10 años con liquidación trimestral n = 40; cinco años con períodos anuales n = 5. 
Si en el período de liquidación de los intereses, éstos: 
Se pagan, se habla de período de pago. 
Se quedan debiendo, se habla de período de causación. 
Se capitalizan, se habla de período de capitalización.
? Comercialmente, para liquidar intereses, siempre se utiliza el concepto de
interés simple, ya que se requiere obtener un valor para pagar o contabilizar.
Financieramente se utiliza el concepto de interés compuesto para hacer evaluaciones y com-
paraciones, que no se llevan a documentos comerciales ni contables.
Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel
20
Ejemplo No. 1.22 
Una empresa tiene una deuda de $12,350,000 con un banco comercial, 
por cuánto debe hacer la provisión de los intereses de un mes, si éstos se 
liquidan trimestralmente a una tasa del 34% anual?
Este es un problema comercial típico, en el cual se requiere calcular un valor 
para hacer un registro contable. Aquí no importa si los intereses, una vez 
liquidados se van a pagar o no, sólo interesa reconocer una deuda que tiene 
la empresa.
La solución se plantea así:
DATO VALOR
La unidad de tiempo de estas 
tres variables debe ser la misma. 
En este caso es el trimestre, por 
lo tanto la respuesta que se 
encuentre serán los intereses 
por pagar en un trimestre.
Clase de interés Simple
Tasa de interés 34% anual
Período de liquidación de intereses Trimestral
Tasa de interés del período ( i )
34% / 4 = 8.5% 
trimestral
Plazo del negocio 1 trimestre
Número de períodos de capitalización ( n ) 1
Valor inicial del negocio ( P ) $12,350,000
Valor de los intereses de un período ( I ) ???
Como la incógnita es el interés de un período ( I ), debe utilizarse la fórmula (3) 
para encontrar su valor:
I = i P I = 0.085 (12,350,000)= 1,049,750, como el período de liquidación de los 
intereses es trimestral, el resultado obtenido son los intereses que se deben liquidar 
durante el trimestre (ya sea que se paguen, se queden debiendo o se capitalicen). Por 
ahora el contador requiere saber cuánto causa en un mes, para ello se recurre a un 
sistema sencillo: causar proporcionalmente, es decir dividir el valor del trimestre por los 
tres meses que contiene, con lo cual la causación se hará por $349,917 y hasta se podría 
redondear a $350,000 sin afectar ningún cálculo para la empresa.
Nótese que en este problema no importa en qué número de cuota va el crédito, 
ni qué va a pasar con los intereses cuando termine el trimestre, es decir se trata de un 
problema comercial que se resuelve con el interés simple.
Ejemplo No. 1.23 
Una cooperativa tiene una línea de crédito especial, en la cual presta 
dinero para ser descontado en su totalidad de la prima de mitad de año 
o de diciembre, pero los intereses deben pagarse quincenalmente con un 
descuento por nómina. Si un empleado tiene un préstamo de $600,000 y la 
tasa de interés es del 1.2% mensual. Cuánto le descontarán de intereses en 
la próxima quincena?
Nuevamente un problema típico comercial que se resuelve con interés simple, 
sin importar en qué mes del año se encuentre ni cuándo recibió el préstamo.
Capítulo 1: Intereses
21
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
La solución se plantea así:
DATO VALOR
El período de liquidación de los 
intereses es quincenal, por lo 
tanto estas tres variables deben 
expresarse en esa unidad.
Clase de interés Simple
Tasa de interés 1.2% mensual
Período de liquidación de intereses Quincenal
Tasa de interés del período ( i ) 1.2% / 2 = 0.6% 
quincenal
Plazo del negocio 1 quincena
Número de períodos de capitalización ( n ) 1
Valor inicial del negocio ( P ) $600,000
Valor de los intereses de un período ( I ) ???
Como la incógnita es el interés de un período , debe utilizarse la fórmula (3) para 
encontrar su valor:
I = i P I = 0.006 (600,000) = 3,600, como el período de liquidación de los intereses 
es quincenal, el resultado obtenido son los intereses que se deben liquidar durante una 
quincena.
Ejemplo No. 1.24 
El tesorero de una empresa estima que a partir del próximo mes y durante 
seis meses tendrá un exceso de liquidez de $25,000,000, los cuales puede 
invertir comprando y vendiendo papeles en el mercado de valores. Según 
sus cálculos cree que puede invertir a una tasa de interés promedio del 2.3% 
mensual, cuánto reunirá al fi nal de los seis meses si piensa reinvertir todas 
las utilidades que obtenga?
Este es un problema fi nanciero, ya que se está trabajando con estimativos 
y tasas promedio; en realidad el tesorero no sabe si tendrá el exceso de 
liquidez, ni exactamente de cuánto será, ni cuánto durará, ni a qué tasa va a 
invertir, o si en realidad podrá reinvertir todas las utilidades, pero de todas 
maneras se quieren hacer los estimativos.
La solución se plantea así:
DATO VALOR
La unidad de tiempo en que se 
expresan estas tres variables 
debe ser la misma. En este caso 
es el mes, por lo tanto n=6.
Clase de interés Compuesto
Período de liquidación de intereses Mensual
Tasa de interés del período ( i ) 2.3% mensual
Plazo del negocio 6 meses
Número de períodos de capitalización ( n ) 6
Valor inicial del negocio ( P ) $25,000,000
Valor fi nal del negocio ( F ) ???
Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel
22
Como la incógnita es el valor fi nal del negocio (F), debe utilizarse la fórmula (6) 
para encontrar su valor:
F = P (1 + i) n F = 25,000,000 (1 + 0.023) 6 = 28,654,564 Se espera que al fi nal 
del plazo se hayan convertido los $25,000,000 en $28,654,564. Este dato le sirve al 
tesorero para alimentar los fl ujos de caja de la empresa o para compara esta alter-
nativa con otras opciones de inversión del excedente de liquidez, pero debe notarse 
que las cifras que se obtengan no se utilizan para girar cheques, ni para hacer asientos 
contables.
Los conceptos de interés simple y compuesto tratados aquí, se utilizarán perma-
nentemente a lo largo de este libro y son la base de las matemáticas fi nancieras.
1.4 Tasa de interés nominal y efectivo
Como se aprecia en los ejemplos anteriores, el interés puede liquidarse varias veces 
durante el plazo de un negocio y con la periodicidad que se desee, esto lleva a que 
se presenten difi cultades en la interpretación y comparación de las tasas de interés, 
difi cultades que se resuelven con la diferenciación que se hace entre la tasa de inte-
rés nominal y la tasa de interés efectivo . Para efectos de facilitar las conversaciones 
fi nancieras se omite la palabra “tasa”, entendiéndose que cuando se habla de interés 
nominal o de interés efectivo se está hablando de tasas de interés y por lo tanto se 
expresan en porcentaje.
1.4.1 Interés nominal 
El interés nominal es la tasa de interés que se utiliza para anunciar los negocios (pres-
tamos e inversiones), es decir que con el interés nominal se están presentando las 
condiciones de liquidación de los intereses de un negocio.
Debido a que cada negocio puede tener las condiciones que se quieran concertar 
entre las partes, cuando se presenta una tasa de interés nominal, es necesario aclarar 
todas esas condiciones, que son:
CONDICIÓN EJEMPLO SIGNIFICADO
Valor de la tasa 12%
Expresa que durante un tiempo y con período de 
liquidación determinado, se pagará un 12% de interés.
Plazo anual Tiempo total que abarca la tasa de interés.
Período de liquidación mes Anuncia cada cuanto se liquidan los intereses-
La inversión o préstamo anterior se anunciaría a una tasa de interés del 12% anual 
liquidado mensualmente (si el interés así liquidado se capitaliza o no, es otra condición 
del negocio).
Capítulo 1: Intereses
23
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
Es importante saber que cuando a una tasa de interés se le aclare el plazo y el 
período de liquidación, se está tratando con una tasa de interés nominal. Lo común es 
encontrar que las tasas nominales se expresan en términos anuales, pero no debeser 
extraño si se encuentran en un plazo diferente.
Ejemplo No. 1.25 
A continuación se presentan algunas tasas de interés nominal, con su 
respectiva interpretación:
TASA INTERPRETACIÓN
12% anual liquidado trimestralmente
12% nominal anual, pero los intereses se liquidan 
cada trimestre (no se sabe si los intereses 
se pagan, se deben o se capitalizan).
15% anual capitalizado semestralmente
15% nominal anual y los intereses se liquidan y capitalizan 
dos veces al año (aquí se está agregando una información 
sobre si la clase de interés es simple o compuesto).
6% trimestral pagado cada mes
6% nominal trimestral, con intereses que 
se liquidan y se pagan cada mes.
18% semestral causado mensualmente
18% nominal semestral, con intereses que se liquidan 
y se quedan debiendo (causan) cada mes.
Del ejemplo anterior se concluye que la tasa de interés nominal no se puede utilizar 
directamente para el cálculo de los intereses, siempre debe encontrarse la tasa que se 
cobra en el período de liquidación o sea i, que es la tasa que se aplica en la fórmula (3) 
I = i P, con el fi n de encontrar el interés que se va a pagar, adeudar o capitalizar.
Para encontrar i basta con dividir la tasa de interés nominal (IN) con la que se 
anuncia el negocio por el número de períodos de liquidación de intereses (n) que haya 
en el plazo en que se encuentra expresada la tasa, utilizando una fórmula, se llega a la 
siguiente: 
 (10) 
donde i tasa de interés del período de liquidación.
 IN tasa de interés nominal (aclarando el plazo y el período
 de liquidación en que se expresa).
n número de períodos de capitalización que hay en el plazo en 
 que se expresa IN.
Como se mencionó, la tasa de interés del período (i) es la tasa que se utiliza en 
las fórmulas y encontrarla debe ser el primer punto de preocupación para resolver un 
problema de matemáticas fi nancieras.
Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel
24
Ejemplo No. 1.26 
Encontrar la tasa de interés del período en los siguientes casos:
IN N i
12% anual liquidado 
trimestralmente
n = 12 meses del año /3 meses del trimestre = 4 i = 12% /4 = 3% trimestral
15% anual capitalizado 
semestralmente
n = 12 meses del año /6 meses del semestre = 2 i = 15% / 2 = 7.5% semestral
6% trimestral 
pagado cada mes
n = 3 meses del trimestre /1 mes = 3 i = 6% /3 = 2% mensual
18% semestral causado 
mensualmente
n = 6 meses del semestre /1 mes = 6 i = 18% /6 = 3% mensual
18% semestral causado 
bimestralmente
n = 6 meses del semestre /2 meses del bimestre = 3 i = 18% /3 = 6% bimestral
5% en 45 días liquidados 
diariamente
n = 45 días /1 día = 45 i = 5% /45 = 0.11% diario
1.2% mensual pagadero 
por quincenas
n = 30 días del mes /15 días de la quincena = 2 i = 1.2% /2 = 0.6% quincenal
Del ejemplo anterior se concluye que el valor de n es relativamente fácil de encon-
trar, basta con expresar el plazo de la tasa de interés y el período de liquidación de los 
intereses en la misma unidad de tiempo, y hacer la división.
En conclusión, la tasa de interés nominal sólo sirve para anunciar como se pagan, 
causan o capitalizan los rendimientos de un negocio, pero es sencillo, a partir de ella, 
encontrar la tasa de interés del período, que es el valor utilizado en las fórmulas. Por 
lo tanto, cuando se presente una tasa de interés nominal, es necesario aclarar el plazo 
en que se aplica y el período de liquidación de los intereses, con el fi n de permitir el 
cálculo de la tasa de interés del período.
Es importante aclarar que las tasas de interés nominales no son comparables, 
puesto que se refi eren a períodos de liquidación de intereses diferentes y pueden llevar 
a equivocaciones en la toma de decisiones.
1.4.2 Interés efectivo 
El interés efectivo, es el que realmente se paga o se obtiene en un negocio durante un 
período de liquidación de intereses. Si se desea obtener el interés que se paga durante 
varios períodos de liquidación, es necesario suponer que se capitalizan los rendimien-
tos que se obtienen en cada período.
La tasa efectiva de interés se utiliza, entonces, en dos sentidos:
a) Para liquidar los intereses de un período, los cuales se pueden pagar, causar o 
capitalizar. Para ello debe conocerse la tasa de interés del período ( i ) que es 
una tasa efectiva, pues es la que se aplica realmente en la fórmula I = i P.
b) Para comparar la rentabilidad o costo de varios negocios. Para ello se debe 
suponer, que los intereses liquidados en cada período ( I ) se capitalizan en las 
mismas condiciones del negocio original todos los períodos durante un plazo 
Capítulo 1: Intereses
25
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
determinado (normalmente un año) y así se obtiene el interés que se ganaría 
o se pagaría al mantenerse en ese negocio. Con este interés se puede calcular 
una tasa de interés efectiva de cada negocio, para poder compararlos.
Si la tasa efectiva es la que se aplica en el período de liquidación, cualquiera de las 
fórmulas que sirven para calcularla puede utilizarse para obtenerla:
fórmula (2) 
fórmula (8) 
fórmula (10) 
Para encontrar la fórmula de la tasa de interés efectivo que acumula más de un pe-
ríodo, se recurrirá al mismo concepto utilizado en la fórmula (6): F = P (1 + i)n, pero con 
P = $1, el cuadro de la página 25 quedaría así:
SALDO INICIAL
LIQUIDACIÓN 
DE INTERESES
SALDO FINAL
MES SIGNO VALOR FÓRMULA VALOR CAPITAL SIGNO FÓRMULA
1 P 1.00 I = i 0.0250 1.0250 P1 P1 = 1 + I = 1 + i = (1 + i)
2 P1 1.03 I = i P1 0.0256 1.0506 P2
P2 = P1 + I = P1 + i P1 = P1 (1 +i) = (1 + i)(1 + i) 
= (1 + i)2
3 P2 1.05 I = i P2 0.0263 1.0769 P3
 P3 = P2 + I = P2 + i P2 = P2 (1 + i) 
= (1 + i)2 (1 + i) = (1 + i)3
4 P3 1.08 I = i P3 0.0269 1.1038 P4
 P4 = P3 + I = P3 + i P3 = P3 (1 + i) 
= (1 + i)3 (1 + i) = (1 + i)4
Si por defi nición el interés efectivo es el interés que realmente se obtiene o se paga 
en un negocio, y en el negocio del cuadro anterior se invirtió $1, basta con restar ese 
peso de inversión inicial para encontrar el interés realmente ganado, así:
 IE = (1 + i)n - 1 (11)
donde IE interés efectivo de n períodos.
i interés efectivo de 1 período (debe ser el del período de liquidación).
n número de períodos que se acumulan.
Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel
26
Esta será entonces la fórmula del interés compuesto cuando se acumulan varios 
períodos, cuando n = 1, entonces IE = i
Ejemplo No. 1.27
Si se ofrece un negocio de engorde de ganado, en el cual se invierten 
$35,000,000, con la promesa que a los seis meses se vende el ganado y se 
obtienen $42,000,000 netos de gastos, cuál será la tasa efectiva de interés 
del negocio y cuál la tasa efectiva anual?
La solución se plantea así:
DATO VALOR
Valor inicial del negocio ( P ) $35,000,000
Valor fi nal del negocio ( F ) $42,000,000
Período de liquidación de intereses semestre
Plazo del negocio 1 semestre
Número de períodos de capitalización ( n ) 1
Interés devengado en el semestre ???
Como se conocen P y F y se sabe que n = 1, entonces debe utilizarse la fórmula (2) 
i = F / P –1 entonces i = 42,000,000 / 35,000,000 –1 = 0.20 que es lo mismo que 
20% semestral, ya que el período de liquidación es de un semestre.
Para conocer la tasa efectiva anual, debe suponerse que los $42,000,000 se in-
vierten en un negocio igual, que rinda nuevamente el 20% semestral, así, entonces, 
utilizando la fórmula (11) con n = 2 se tiene:
IE = (1 + i)n - 1 IE = (1 + 0.2)2 – 1 = 0.44 o 44%
Como lo normal es utilizar el plazo de un año para calcular la tasa nominal y la tasa 
efectiva de varios períodos, entonces es común oír hablar de tasa nominal anual (NA)
y de la tasa efectiva anual (EA).
Si se conoce la tasa efectiva de varios períodos (IE) y se quiere conocer la de un 
período (i), se debe despejar de la fórmula (11)
i = (1 + IE) 1/n - 1 (12)
 ? Comercialmente, para liquidar intereses, siempre se utiliza la tasa de interés del pe-
ríodo de liquidación, ya que se requiere obtener unvalor para pagar o contabilizar.
Financieramente se utiliza la tasa de interés efectiva de varios períodos, para hacer evaluaciones y com-
paraciones, que no se llevan a documentos comerciales ni contables.
Capítulo 1: Intereses
27
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
Ejemplo No. 1.28 
Un banco concede un crédito de $1,000,000 a una tasa de interés del 36% 
anual pagadero mensualmente. Cuánto debe pagarse de intereses en el 
primer mes?
La solución se plantea así:
DATO VALOR
Período de liquidación de intereses mes
Valor inicial del negocio ( P ) $1,000,000
Tasa de interés nominal 36% anual
Plazo del negocio 1 mes
Interés pagado en el primer mes ???
La solución se plantea con la fórmula I = i P, pero debe hacerse en dos pasos:
Primero, debe conocerse la tasa de interés del período (i) con la fórmula (10) i = IN / 
n, que debe expresarse en meses –dado que ésta es la unidad de tiempo del período 
de liquidación de intereses– y se reemplaza de la siguiente forma: i = 36% anual / 12 
meses del año = 3%; 
Segundo, se soluciona el problema planteado, por lo tanto I = 3% (1,000,000) = 30,000. 
Este es un problema comercial, en el cual se requiere encontrar un valor para contabilizar 
o girar un cheque, por lo tanto debe trabajarse con la tasa del período.
Ejemplo No. 1.29 
Para comprar un equipo de ofi cina, una empresa ha cotizado en dos partes, 
de la siguiente forma:
Almacén A: de contado cuesta $3,560,000, o se puede pagar a los seis meses pero 
tiene un valor de $4,380,000.
Almacén B: el mismo aparato se vende fi nanciado a una tasa del 4% mensual.
En cuál de los dos almacenes es más alta la fi nanciación?
Este es un problema fi nanciero típico, ya que no se está buscando un valor para re-
gistrar, sino una tasa de interés para comparar, por lo tanto debe encontrarse una tasa 
expresada en las mismas unidades. Para estos casos, la solución más sencilla es calcular 
la tasa de interés efectivo anual, de la siguiente forma:
La solución se plantea así:
Almacén A:
DATO VALOR
Período de liquidación de intereses semestre
Valor inicial del negocio ( P ) $3,560,000
Valor fi nal del negocio ( F ) $4,380,000
Plazo del negocio ( n ) 1 semestre
Tasa de interés del período ( i ) ???
Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel
28
La solución se encuentra con la fórmula (2): i = F/P - 1, entonces: i = 
4,380,000/3,560,000 - 1= 23.03%. Como el período de liquidación de intereses es el 
semestre, la respuesta está dada en una tasa semestral; pero como se acordó hacer 
la comparación con una tasa efectiva anual, todavía falta encontrar ese valor con la 
fórmula (11):
IE = (1 + i) n – 1, donde n = 2 semestres del año, por lo tanto: 
IE = (1 + 23.03%)2 – 1 = 51.37%. Por ser un interés efectivo anual también puede ex-
presarse como 51.37% EA.
El almacén A fi nancia la compra del equipo de ofi cina a una tasa del 51.37% EA.
Almacén B:
DATO VALOR
Período de liquidación de intereses mes
Interés de período ( i ) 4%
Tasa efectiva anual ( IE ) ???
La solución se plantea con la fórmula (11):
IE = (1 + i)n – 1, donde n = 12 meses del año, por lo tanto: IE = (1 + 4%)12 – 1 = 
60.10%. Por ser un interés efectivo anual también puede expresarse como 60.10% EA.
El almacén B fi nancia la compra del equipo de ofi cina a una tasa del 60.10% EA.
Estas dos tasas efectivas anuales son comparables y por lo tanto puede decirse 
que el almacén B cobra una fi nanciación más costosa. 
Nótese en el ejemplo anterior, que para el caso del almacén B no fue necesario cono-
cer ni el precio, ni el plazo, ya que se buscaba hacer una comparación de tasas de interés. 
El ejemplo anterior se podría resolver de una manera más rápida, de la siguiente 
forma:
ALMACÉN A ALMACÉN B
i = F / P –1
i = 4,380,000 / 3,560,000 – 1 = 23.03% semestral
Por ser ésta la tasa del período de liquidación de 
intereses, ésta ya es una tasa efectiva semestral
Hay que encontrar la tasa efectiva 
semestral que se pueda comparar con la 
tasa encontrada para el almacén A:
IE = (1 + i)n – 1, donde n = 6 
meses del semestre.
IE = (1 + 4%)6 – 1 = 26.53% semestral
La difi cultad de esta solución, es que no es muy común hablar de tasas efectivas 
semestrales, entonces por conveniencia se recurre a la tasa efectiva anual.
Capítulo 1: Intereses
29
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
1.5 Interés vencido y anticipado
El período de liquidación de la tasa de interés siempre reúne un lapso de tiempo y de-
pendiendo de cuál sea el momento, durante ese lapso, en que se liquiden los intereses, 
éstos tendrán un tratamiento diferente:
Si los intereses se liquidan al inicio del
período, se habla de interés anticipado.
Si los intereses se liquidan al final del
período, se habla de interés vencido.
1.5.1 Interés vencido
El interés vencido o tasa de interés vencido es la forma tradicional de liquidar los intere-
ses, ya que éstos se pagan, adeudan o capitalizan al fi nalizar el período de liquidación. 
Todos los ejemplos y las fórmulas presentados hasta ahora, han tratado sobre intereses 
vencidos. 
Cuando el interés es vencido, no se requiere aclarar su forma de pago. Por lo tanto, 
cuando se habla del 3% mensual, debe entenderse que es interés vencido.
1.5.2 Interés anticipado
El interés anticipado o tasa de interés anticipado es cuando los intereses se pagan, 
adeudan o capitalizan al inicio del período de liquidación, para este caso se debe utili-
zar una fórmula especial para calcular la tasa efectiva de varios períodos.
Cuando el interés se liquida anticipadamente hay que aclararlo en la tasa nominal 
que anuncia el negocio, por ejemplo, debe decirse el 24% anual con liquidación trimes-
tral anticipada o 24% anual TA.
La fórmula general del interés anticipado se deduce de la siguiente gráfi ca:
Matemáticas fi nancieras: con fórmulas, calculadora fi nanciera y Excel
30
n, i%
0 1 2 3
F=P
Como se aprecia, en el período cero el fl ujo es P – I debido a que si los intereses se 
liquidan anticipadamente, el valor desembolsado en un préstamo, por ejemplo, no será 
P si no P – I, donde I son los intereses del primer período de liquidación; el valor fi nal 
en el período n es F pero en este caso particular será igual a P. Utilizando los conceptos 
que ya se conocen con el interés vencido, pero aplicándolos al interés anticipado, se 
tiene:
Si en el interés vencido se defi nió en la fórmula (2) que , utilizando los va-
lores del gráfi co anterior, se tiene para el caso del interés anticipado: pero 
además se sabe que I = iP, por lo tanto: pero en el interés 
anticipado F = P, por lo tanto: , ésta es la fórmula para encontrar la tasa de 
interés de un período, generalizando se llega a la fórmula de la tasa de interés efectiva 
para varios períodos, cuando el interés se liquida anticipado:
 (13)
dond e IE interés efectivo de n períodos.
 i interés efectivo de 1 período (debe ser el del período de liquidación).
 n número de períodos que se acumulan.
Ejemplo No. 1.30 
Si una entidad fi nanciera anuncia una inversión con un interés del 15% anual 
liquidado por trimestre anticipado (15% TA), cuál será la tasa de interés 
efectiva anual?
La solución se plantea así:
Capítulo 1: Intereses
31
JAIRO GUTIÉRREZ CARMONA
DATO VALOR
Forma de pago del interés anticipada
Período de liquidación de intereses trimestre
Plazo del negocio 1 año
Número de períodos de capitalización ( n )
12 meses del año / 3 meses 
del trimestre = 4
Tasa de interés nominal 15% anual
Tasa de interés del período de liquidación i = 15% / 4 = 3.75%
Interés efectivo anual ???
Utilizando la fórmula (12) IE = (1 – i)-n - 1 = (1 – 3.75%)-4 - 1 = 16.52% efectivo 
anual.
Conociendo la tasa efectiva de varios períodos (IE) y se quiere conocer la de un 
período aplicada de forma anticipada ( ia ), se debe despejar de la fórmula (13)
ia = 1 - (1 + IE)- 1/n (14)
Ejemplo No. 1.31 
Cómo se comparan la tasa efectiva de los intereses vencidos y anticipados 
teniendo en cuenta diferentes períodos de liquidación de intereses?
Para estudiar este