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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
 DE MÉXICO
FACULTAD DE CIENCIAS
UN MÉTODO GENERAL PARA LA 
INTERDEFINICIÓN DE CONECTIVOS
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
 MATEMÁTICO
P R E S E N T A :
HÉCTOR HERNÁNDEZ ORTIZ
TUTOR: 
DR. JOSÉ ALFREDO AMOR MONTAÑO
2010
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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Dedicatoria:
Dedico este trabajo a todos los profesores de la facultad de ciencias de la UNAM, 
especialmente a los que enseñan matemáticas y lógica, incluyendo a mi profesor de lógica 
Rafael Rojas Barbachano.
Agradecimientos:
Agradezco a los profesores que leyeron este trabajo y aportaron observaciones valiosas para 
mejorarlo.
Hoja de Datos del Jurado
1. Datos del alumno
Apellido paterno: Hernández
Apellido materno: Ortiz
Nombre: Héctor
Teléfono: 56 19 30 44
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias
Carrera: Matemáticas
Número de cuenta: 095612399
2. Datos del tutor
Grado: Dr
Nombre(s): José Alfredo
Apellido paterno: Amor
Apellido materno: Montaño
3. Datos del sinodal 1
Grado: Dr 
Nombre(s): Elisa
Apellido paterno: Viso
Apellido materno: Gurovich
4. Datos del sinodal 2
Grado: Dr
Nombre(s): Carlos
Apellido paterno: Torres
Apellido materno: Alcaraz
5. Datos del sinodal 3
Grado: Dr
Nombre(s): Francisco
Apellido paterno: Hernández
Apellido materno: Quiroz
6. Datos del sinodal 4
Grado: Dr
Nombre(s): Favio Ezequiel
Apellido paterno: Miranda
Apellido materno: Perea
7. Datos del trabajo escrito.
Título: Un método general para la interdefinición de conectivos
Número de páginas: 25p.
Año: 2010.
Índice general 
 
I. Un método general para la interdefinición de conectivos 2 
 
Introducción: Lógica clásica y sus principales conectivos 2 
 
Expresión de conectivos en términos de otros 6 
 
Algunas interdefiniciones no muy conocidas 8 
 
Una introducción al método por medio de ejemplos 10 
 
Presentación del método general 17 
 
Otros resultados del método 18 
 
Importancia y ventajas del método 20 
 
Apéndice 25 
 
 
 
Un método general para la interdefinición de conectivos.
Héctor Hernández Ortiz
1.1 Introducción: Lógica clásica y sus principales conectivos
Es común definir la lógica como el estudio de los métodos de razonamiento que 
permiten distinguir los razonamientos o argumentos correctos de los 
incorrectos. La lógica más simple conocida que ha resultado útil para este 
propósito es la lógica clásica proposicional. En particular, la lógica clásica 
proposicional se aplica al estudio de los argumentos cuya corrección depende 
exclusivamente del significado de ciertas expresiones que aparecen en ellos 
llamadas conectivos lógicos.
En la siguiente tabla se presentan los conectivos usuales de la lógica 
proposicional, así como sus símbolos más comunes y cómo se leen:
Conectivo Símbolo Lectura
Negación ¬, ~ no
Conjunción , & y
Disyunción  o
Condicional ,  Si …entonces…
Bicondicional ≡,  …si y sólo si…
Tal como en el álgebra se usan variables (x, y, z …) para representar o 
simbolizar números arbitrarios, en la lógica proposicional se usan variables 
proposicionales (p, q, r, …) para simbolizar proposiciones o enunciados 
simples, los cuales a su vez pueden unirse por conectivos para formar 
proposiciones compuestas. Por ejemplo, las proposiciones:
``No es el caso que Juan es casado''
``2 es un número primo y 2 es par''
``Si llueve, hay nubes''
 pueden simbolizarse respectivamente así:
p (donde p simboliza: ``Juan es casado'').
 q r (donde q simboliza: ``2 es un número primo'' y r: ``2 es par'').
 s t (donde s simboliza: ``Llueve'' y t simboliza: ``Hay nubes'').
 Los conectivos suelen definirse usando una tabla de verdad que indica los 
casos en que el conectivo es verdadero o falso (en lo sucesivo usaré “1” para 
simbolizar el valor de verdad “Verdadero” y “0” para simbolizar el valor “Falso”) 
dependiendo del valor de verdad que tengan las proposiciones componentes. 
Por ejemplo, las tablas de verdad de los conectivos mencionados antes son las 
siguientes:
 Negación
 La negación de una proposición p (simbolizada en lo sucesivo p) es 
verdadera si p es falsa y es falsa si p es verdadera.
p p
1 0
0 1
 La conectiva  es una función del conjunto {1,0} en el conjunto {1,0} que, 
como puede notarse en la tabla, asigna el valor de verdad a una proposición de 
acuerdo con la siguiente regla:
  (1)=0
  (0)=1
Conjunción
En la tabla aparecen las 4 posibles combinaciones de valores de verdad para 
las proposiciones p y q, y se nota que el valor de verdad de la conjunción pq 
depende exclusivamente del valor de verdad de las proposiciones 
componentes, de hecho, la conjunción pq es verdadera sólo cuando las dos 
proposiciones p y q lo son.
p p pq
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Así que, la conjunción  es una función binaria (de dos argumentos) dada por:
 
(1,1)=1
(1,0)=0
(0,1)=0
(0,0)=0
Disyunción
La disyunción presentada antes, simbolizada pq, suele llamarse disyunción 
inclusiva porque significa “p o q o ambos” o “al menos una de entre p y q es 
verdadera”', pero existe controversia acerca de si hay dos tipos de disyunción 
en el lenguaje ordinario. La otra disyunción, llamada disyunción exclusiva 
(simbolizada “”, “≢” o bien “↮”, aunque aquí usaremos:), significa ``p o 
q, pero no ambos''.
Pero dado que es posible expresar la disyunción exclusiva en términos de los 
otros conectivos, como veremos más adelante, no se requiere incluir también la 
disyunción exclusiva.
p q pq
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
La disyunción  es una función binaria cuyo valor de verdad está dado por las 
siguientes reglas:
  (1,1)=1
 (1,0)=1
 (0,1)=1
 (0,0)=0
 Bicondicional
 Como su nombre sugiere, un bicondicional se puede ver como la conjunción 
de dos condicionales: (pq)  (qp) que es verdadera cuando son verdaderos 
ambos condicionales, es decir, cuando si p es verdadera también q lo es, y 
viceversa. En otras palabras, un bicondicional pq es verdadero cuando y sólo 
cuando se cumple que: si una cualquiera de las proposiciones p q es 
verdadera, las dos lo son, así que, o bien ninguna es verdadera o las dos son 
verdaderas.
 Esto suele resumirse diciendo que el bicondicional es verdadero cuando las 
proposiciones componentes tienen el mismo valor de verdad.
p q pq
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 El bicondicional  es una función binaria cuyo valor de verdad está dado por 
las siguientes reglas:
  (1,1)=1
 (1,0)=0
(0,1)=0
(0,0)=1
 Condicional
 De los conectivos básicos mencionados hasta el momento, probablemente el 
más difícil de entender y manejar es el condicional. Sin embargo, si ya se ha 
entendido y aceptado la tabla de la verdad de la conjunción y el bicondicional 
se puede recurrir a tal fundamento para construir la tabla de verdad del 
condicional.
 p q pq (pq)  (qp) pq
1 1 1 1 1
1 0 0 0 0
0 1 1 1 1
0 0 0 0 1
Como hemos visto, la tabla de verdad del bicondicional coincide con la de la 
conjunción (pq)(qp). Ahora bien, es claro que encualquier caso en donde 
la conjunción es verdadera, también es verdadera cada una de las dos 
proposiciones componentes, en particular la primera. Por lo tanto, en los 
renglones 1 y 4 donde la conjunción es verdadera, el condicional también es 
verdadero como se observa en la tabla.
Es fácil determinar el valor de verdad correspondiente al segundo renglón de la 
tabla del condicional: es “0'”(falso). No es difícil notar que la afirmación “Si Juan 
llega temprano, recibirá un premio” es falsa en un caso en el que Juan llega 
temprano y no recibe el premio prometido. Lo mismo sucede con cualquier 
condicional, es claro que si p resulta verdadera y q falsa, no se cumple que “Si 
es verdad p, entonces es verdad q”, es decir, es falso que pq.
Ahora sólo falta obtener el valor de verdad del tercer renglón de la tabla del 
condicional. Es obvio que no es equivalente afirmar sólo el condicional pq 
que afirmar la conjunción de los dos condicionales (pq)(qp). Con esto es 
suficiente para saber que el valor de verdad en el tercer renglón de la tabla es 
“1”, ya que si fuera “0'”, el condicional pq y el bicondicional pq serían 
equivalentes como se puede ver en la tabla anterior.
De esta forma queda completa la función de verdad correspondiente al 
condicional:
 (1,1)=1
 (1,0)=0
 (0,1)=1
 (0,0)=1
Definición 1 Una fórmula proposicional es una expresión formada por 
variables proposicionales y conectivos que se construye de acuerdo a las 
siguientes reglas:
1. Cualquier variable proposicional es una fórmula proposicional
2. Si A y B son fórmulas proposicionales, entonces A, AB, AB, AB 
y AB son fórmulas proposicionales.
Expresión de conectivos en términos de otros
Es un hecho bien conocido que los conectivos usuales de la lógica clásica 
proposicional se pueden expresar en forma equivalente a través de otros 
conectivos. Por ejemplo, el condicional ‘AB’ se puede expresar en términos 
de la negación y la disyunción como ‘AB’, mientras que la conjunción ‘AB’ 
se puede expresar en términos de la negación y la disyunción como ‘(AB)’. 
De hecho, se sabe que utilizando sólo algunos conectivos se pueden expresar 
todos los restantes. Por ejemplo, con sólo la conjunción y la negación, se 
puede expresar el condicional, la disyunción, el bicondicional y los demás 
conectivos binarios.1 También se conocen un par de conectivos que por sí 
solos son capaces de expresar el resto de conectivos: la negación conjunta () 
a veces llamada Daga de Quine y la negación alternativa o Barra de Sheffer (|). 
‘pq’ se lee “ni p ni q” por lo que también se llama conectivo “nor” (del inglés 
not or), mientras que ‘p|q’ se lee “p y q son incompatibles”,2 por lo que también 
se le ha llamado incompatibilidad o conectivo “nand” (del inglés not and).3
Sin embargo, es menos conocido que la conjunción se puede expresar sólo en 
términos del bicondicional y la disyunción, o el condicional sólo en términos del 
bicondicional y la disyunción. No es obvio determinar cuáles son todos los 
conectivos que pueden expresarse en términos de uno o más de los otros
conectivos lógicos, por esa razón después de que descubrió cómo expresar la 
conjunción en términos del bicondicional y del condicional, el famoso lógico 
Raymond M. Smullyan mencionó: “Este descubrimiento es mío, hasta donde yo 
sé”(Smullyan, 1989, p. 57). Y posteriormente dijo: “Yo descubrí esto 
independientemente. No sé si había sido descubierto o no previamente por 
alguien màs”(Smullyan, 2007, p.121).
De manera similar, después de mencionar explícitamente que de hecho es 
díficil hallar una forma de expresar la conjunción en términos de la disyunción y 
el bicondicional, Smullyan dijo lo siguiente:
“¡No recuerdo cómo alguna vez descubrí este extraño hecho!”(2009, p.81)
Esto hace surgir un problema interesante: ¿existe algún método para 
determinar si a partir de uno o más conectivos se puede definir otro conectivo
en términos de él o ellos?
 
1 Cuando un conjunto de conectivos es capaz de expresar todos los demás conectivos se le 
llama conjunto adecuado o completo de conectivos, aunque usualmente interesa buscar los 
conjuntos mínimos de esta clase, es decir, aquellos que logran expresar todos los conectivos 
con el mínimo número de elementos.
2 Esto quiere decir que no pueden ser las dos proposiciones verdaderas, es decir, al menos una 
de ellas es falsa.
3 Una prueba de que la negación conjunta y la alternativa bastan cada una por sí sola para 
expresar todos los demás conectivos se halla en Hunter (1971, p. 68) y también se prueba en 
Enderton (2004, p. 81). Sin embargo, ambas pruebas se basan en un resultado previo cuya 
prueba es algo larga y sofisticada. Afortunadamente, es posible dar una prueba más simple 
como veremos más adelante.
En su conocida obra Una Introducción matemática a la lógica, H.B. 
Enderton presenta un importante problema abierto relacionado con el 
anterior. Básicamente, Enderton considera la cuestión de cómo expresar 
el bicondicional “” usando sólo la negación conjunta “”. Después que el 
autor da su solución, “((AA)B)  ((BB)A)", dice:
Esto usa cinco dispositivos; ¿existe una mejor solución? Una pregunta más 
profunda es: ¿existe algún procedimiento sistemático para encontrar una solución 
minimal? Aquí sólo planteamos estas preguntas. En años recientes se ha 
realizado una buena cantidad de trabajo en la investigación de cuestiones de este 
tipo.(Enderton, 2004: 89)
Así que el problema planteado y todavía no resuelto4 es si existe un 
procedimiento sistemático que permita obtener no sólo una forma de expresar 
un conectivo en términos de otro u otros, sino que sea capaz de proporcionar la 
fórmula de mínima longitud que logra tal objetivo, o en palabras de Enderton,
que permita encontrar “una solución minimal”. Hallar una solución de este tipo 
tendría consecuencias significativas en computación ya que ahorraría mucho 
dinero al usar la mínima cantidad de dispositivos (correspondientes a los 
conectivos lógicos) para realizar el mismo trabajo que otro circuito con más 
dispositivos, además con menos dispositivos la velocidad crece y se ahorra 
memoria.
El objetivo del presente trabajo es precisamente proponer un método 
general para determinar qué conectivos de la lógica clásica se pueden expresar 
o definir en términos de otro u otros y de qué forma. De hecho, se provee un 
algoritmo que permite obtener las fórmulas de longitud mínima que expresan 
los conectivos considerados. Antes de su exposición en abstracto, el método es 
ilustrado mediante varios ejemplos. Al final se indica la importancia del método 
aportado señalando sus principales aplicaciones y ventajas así como sus 
limitaciones. 
Algunas interdefiniciones no muy conocidas.
Usando la negación y la conjunción es fácil expresar la disyunción de 
esta forma: ‘AB’  ‘(AB)’. Pero ¿sería posible expresar la disyunción 
 
4 De hecho, este párrafo aparece prácticamente idéntico en la obra de Enderton en su primera 
edición en 1970 y en la de 1987. 
usando sólo el condicional y el bicondicional? Una forma de hacerlo es la 
siguiente:
(pq)  q(pq)
Esto se puede comprobar fácilmente mediante una tabla de verdad:5
p q p  q q (pq)
1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0
0 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1
La disyunción también se puede expresar en términos del bicondicional y 
la conjunción:
(pq)  (pq)  (pq)
El lógico R. Smullyan (2007) ha presentado otras interesantes 
equivalencias:
(pq)  p(pq)
(pq)  q(pq)
(pq)  p(pq)
(pq)  (pq)(pq)
Todavía más sorprendente es notar que la disyunción se puede expresar 
usando sólo el condicional.
(pq)  (pq)q6
Además, la conjunción se puede expresar en términos de la disyunción 
si se usan las dos versiones de disyunción (inclusiva ‘’ y exclusiva ‘’).
(pq)  (pq)(pq)
Y tambiénla disyunción inclusiva se puede construir a partir de la 
disyunción exclusiva y la conjunción:
(pq)  (pq)(pq)
Puesto que varias de estas equivalencias no son obvias y de hecho 
algunas podrían parecer intuitivamente inesperadas, resulta de interés saber 
 
5 Usaré “1” para simbolizar el valor de verdad “Verdadero” y “0” para simbolizar el valor “Falso”.
6 Esta interdefinición existe desde hace tiempo en algunos textos de lógica, aunque ni siquiera 
Raymond Smullyan (2007, p. 121) sabe quién es su descubridor. De hecho, él menciona: “La 
solución no es en absoluto evidente. El hecho de que sea posible hacerlo es parte del folklore 
de la lógica matemática, pero no he podido encontrar al lógico que lo descubrió”(1989, p.57).
cómo se puede determinar si un conectivo puede ser expresado o no por otro 
u otros. Pero antes de ilustrar el proceso, es preciso aclarar el tipo de 
conectivos que se utilizan aquí. Los conectivos binarios son funciones f con 
dominio [1,0]x[1,0] y rango [1,0], es decir, un conectivo binario es una función f
tal que f:[1,0]x[1,0][1,0]. Dado que a cada uno de los 4 pares ordenados de 
valores (x, y) se le puede asociar 1 o 0, hay en total 24=16 funciones binarias.
En la tabla siguiente se presentan las 16 funciones binarias:
p q             q p
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0
0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
Una introducción al método por medio de ejemplos.
A continuación se propone un procedimiento mecánico para encontrar el 
número máximo de las funciones no equivalentes que se pueden construir 
usando fórmulas con un número restringido de conectivos y dos variables 
proposicionales. En particular, se presenta un método mecánico de cómo 
puede hacerse esto para los conectivos binarios aunque la estrategia puede 
extenderse a conectivos de otras aridades.7 Sin embargo, antes de presentar el 
método general en abstracto, se consideran ejemplos particulares para 
ilustrarlo y facilitar su comprensión. 
Ejemplo 1: Supongamos que sólo podemos utilizar una fórmula que tiene 
como único conectivo el bicondicional, ¿cuáles de las 16 funciones binarias 
pueden construirse con este tipo de fórmula?
Puesto que siempre contamos con dos variables (aquí usaremos p y q) 
las cuales presentan las 4 combinaciones de valores de verdad, las pondremos 
como las primeras 2 columnas y el conectivo utilizado (en este caso el 
bicondicional) en la siguiente columna así:
(1) (2) (3)
p q pq
 
7 Sin embargo, esta extensión no será tratada aquí, queda para un trabajo futuro realizar el 
proceso análogo para conectivos con más de dos variables y para los conectivos no binarios. 
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Ahora seguiremos estos pasos sencillos:
1.-Establecer una regla simple para obtener el valor de verdad del 
bicondicional.8
En este caso la regla puede describirse como: 
Si los dos valores introducidos son iguales, el valor obtenido es 1; y si 
son distintos, el valor es 0.
2.-Hallar las distintas combinaciones de parejas de números de las 3 columnas. 
(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3).
Por ejemplo, (1,1) significa relacionar mediante un bicondicional la 
columna 1 con la columna 1, es decir, ‘pp’. (2,3) significa relacionar mediante 
un bicondicional la columna 2 con la 3, resultando ‘q(pq)’. En este caso, no 
es necesario considerar la combinación (2,1) ni la (3,2) porque el bicondicional 
es conmutativo, es decir, ‘pq’ es equivalente a ‘qp’.9
3.-Hallar la tabla de verdad de las distintas combinaciones encontradas 
indicando a cuál de las 3 columnas es equivalente cada combinación, o 
agregar una nueva columna si la tabla de alguna combinación no es 
equivalente a ninguna de las 3 columnas ya dadas.
El resultado se muestra en la siguiente tabla (en el último renglón se 
indica qué combinaciones son equivalentes a ellas):
(1) (2) (3) (4)
p q pq T
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
(2,3) (1,3) (1,2) (1,1), (2,2), (3,3)
 
8 Como se verá posteriormente, esta regla en realidad es prescindible, pero a fin de facilitar la 
comprensión del último paso (el paso 3) retendremos esta regla en los sucesivos ejemplos.
9 En general, si el conectivo es conmutativo, no es necesario considerar la combinación (y, x) si 
ya está contemplada la combinación (x, y) puesto que son equivalentes.
Obsérvese que cada combinación dada en el paso 2 ha sido incorporada 
a la tabla en la columna correspondiente a la fórmula a la que es equivalente.
Por ejemplo, la combinación (2,3) que representa la fórmula ‘q(pq)’ se 
coloca en la columna 1, puesto que dicha fórmula es equivalente a p. De 
manera similar, la combinación (1,3) que representa ‘p(pq)’ equivale sólo a 
q por lo que se coloca en la columna 2. 
Sin embargo, la fórmula correspondiente a la combinación (1,1), es 
decir, ‘pp’, hizo surgir una nueva columna, la columna (4), ya que esta 
fórmula no es equivalente a ninguna de las dadas en las primeras 3 
columnas.10 Ahora bien, esta nueva columna aumenta las combinaciones 
contempladas originalmente en el paso 2. Así que, a fin de explorar todas las 
combinaciones posibles, tenemos que añadir a la lista anterior las 
combinaciones de la columna (4) con las anteriores: (1,4), (2,4), (3,4) y (4,4).
Incorporando estas nuevas combinaciones en la tabla anterior 
obtenemos:
(1) (2) (3) (4)
p q pq T
1 1 1 1
1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
(2,3), (1,4) (1,3), (2,4) (1,2), (3,4) (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)
Por lo tanto, hay sólo 3 funciones binarias distintas (aparte del 
bicondicional mismo) que se pueden expresar usando sólo el bicondicional: p, 
q y T. Y de hecho, también se ha obtenido la forma explícita de expresar estas 
funciones. Por ejemplo: 
p  q  (pq) El resultado de la combinación (2,3)
q  p  (pq) El resultado de la combinación (1,3)
Ahora bien, hay al menos 4 formas de expresar T puesto que se tienen 
4 proposiciones no equivalentes (p, q, pq y T) que cuando se relacionan 
consigo mismas mediante el bicondicional dan como resultado la función T. 
T  p  p El resultado de (1,1)
 
10 Como se muestra en la tabla de las 16 funciones binarias presentada en la introducción, aquí 
usamos T para representar las fórmulas tautológicas.
T  q  q El resultado de (2,2)
T  (pq)(pq) El resultado de (3,3)
T  (pp)(pp) El resultado de aplicar (4,4) tomando (1,1).
Esto permite obtener varias versiones explícitas de (1,4), es decir, varias 
formas de expresar ‘p  (T)’, la cual equivale sólo a p. Por ejemplo: 
p  p  (pp) El resultado de la combinación (1, (1,1))
p  p  (qq) El resultado de la combinación (1, (2,2))
p  p  ((pq)(pq)) El resultado de la combinación (1, (3,3))
En conclusión, con dos variables p y q, usando sólo el bicondicional 
únicamente se puede expresar el conectivo tautológico T además de las 3 
funciones de las que partimos p, q y pq.
Ejemplo 2: Determinar las funciones de verdad que se pueden construir 
usando el condicional como único conectivo.
(1) (2) (3)
p q pq
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
1.-Establecer una regla para obtener el valor de verdad del condicional.
En este caso la regla puede describirse como: 
Si el primer valor es mayor que el segundo, el valor es 0; si no, el valor es 1.
2.-Hallar las distintas combinaciones de parejas de números de las 3 columnas.
Al tomar en consideración que el condicional no es conmutativo se 
obtienen las siguientes combinaciones de columnas:
(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3), (2,1), (3,1), (3,2).
3.-Hallar la tabla de las distintas combinaciones indicando a qué columna es 
equivalente si es el caso, o introducir otra columna si no coincide con ninguna 
de las ya dadas.El resultado se muestra en la siguiente tabla:
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
 p q pq T pq p  q 
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1
0 1 1 1 0 1
0 0 1 1 1 0
(3,1) (1,2), (1,3) (1,1),(2,2),(2,3),(3,3) (2,1) (3,2)
De esta forma se agotan las combinaciones iniciales de las 3 columnas, 
pero ahora han surgido nuevas combinaciones debido a la adición de las 
columnas 4, 5 y 6. Así que el total de combinaciones ha crecido hasta tener las 
36 combinaciones posibles:
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,3), (3,4), 
(3,5), (3,6), (4,4), (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6), (6,5), (6,4), (5,4), (6,3), (5,3), 
(4,3), (6,2),(5,2), (4,2), (3,2), (6,1), (5,1), (4,1), (3,1) y (2,1).
Sin embargo, a pesar de que parece haber muchas combinaciones, el 
trabajo no es complicado. Realizando el proceso mecánico indicado antes se 
obtiene que: (4,4), (5,5), (6,6), (1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,6), (3,4), (5,4) y (6,4) 
están en la columna (4).
De manera similar, 
(2,5), (4,3), (5,3), (6,3) y (6,2) están en la columna (3).
(3,5), (4,5), (6,1) y (6,5) están en la columna (5).
(3,6), (4,6), (5,6) y (5,1) están en la columna (6).
(4,2) y (5,2) están en la columna (2) y, por último, 
(4,1) está en la columna (1).
Por consiguiente, con el condicional como único conectivo se pueden 
expresar estas funciones de verdad: p, q, T,  y . Además, se han obtenido 
también distintas formas de expresarlas.
Puesto que (3,1) es equivalente a p, se tiene que:
p  (pq) p
Y como también (4,1) equivale a p, se concluye por ejemplo que: 
p  (pp) p usando (1,1)
p  (qq) p usando (2,2)
p  (q(p q)) p usando (2,3)
De manera similar, como (4,2) y (5, 2) son equivalentes a q, se tiene 
que:
q  (pp)q
q  (qp)q
Además, como se observa en la columna (4), T se obtiene fácilmente de 
varias formas:
T  (pp) con (1,1)
T  (qq) con (2,2)
T  q(pq) con (2,3)
Respecto a , dado que, por ejemplo, (3,5) y (6,1) están en la columna 
(5), se obtienen las siguientes equivalencias: 
pq  (pq)(qp) con (3,5)
pq  ((pq)q)p con (6,1)
Por otra parte, de la columna (6) se observa que la disyunción se obtiene 
por ejemplo así:
p  q  (pq)q con (3,2)
p  q  (pp)((pq)q) con (4,6)
La primera de estas fórmulas es la que Smullyan presentó diciendo que 
no conocía su descubridor. Ahora se ha obtenido de una forma totalmente 
mecánica que no ha exigido mucho ingenio.
Un caso particular de (5) es (6,1), así que (5,1) también se obtiene con 
((6,1), 1), el cual muestra que:
p  q  (((pq)q)p)p
Además, se puede observar que de las distintas formas de expresar la 
disyunción, (3,2) (3,6), (4,6), (5,6) y (5,1), la de longitud mínima es justo la 
primera que surge en el proceso que origina la columna 6, es decir, la fórmula 
expresada por (3, 2). Sin embargo, como se indicará más adelante, puede 
haber varias fórmulas de longitud mínima, lo cual no entra en conflicto con el 
hecho de que la fórmula asociada a la primera combinación que da origen a la 
columna correspondiente al conectivo en cuestión, es de longitud mínima.
Ahora se abordará un caso que involucra determinar cuáles funciones de 
verdad se pueden obtener usando dos conectivos. 
Ejemplo 3: determinar los conectivos que se pueden expresar con la 
disyunción () y el condicional ().
Se establecen las columnas básicas:
(1) (2) (3) (4)
p q p  q 
1 1 1 1
1 0 1 0
0 1 1 1
0 0 0 1
Primero se aplica el método con la disyunción:
1.-Establecer la regla para obtener el valor de la disyunción.
En este caso la regla puede describirse como: 
Sólo cuando los dos valores son 0’s se obtiene 0; en otro caso, el valor es 1.
2.-Hallar las distintas combinaciones de parejas de números de las 4 columnas. 
Puesto que la disyunción es conmutativa, las combinaciones son:
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2, 4) (3,3), (3,4), (4,4)
3.-Hallar la tabla de las distintas combinaciones indicando a qué columna es 
equivalente si es el caso, o introducir una nueva columna si no coincide con 
ninguna de las anteriores.
En la tabla se muestra a qué columna pertenece cada una de las 
combinaciones indicadas antes.
(1) (2) (3) (4) (5)
p q p  q  T
1 1 1 1 1
1 0 1 0 1
0 1 1 1 1
0 0 0 1 1
(1,1) (2, 2) (1,2), (1,3), (2,3), (3,3) (2,4), (4,4) (1,4),(3,4)
Como se ha agregado la columna (5) se requiere introducir las 
combinaciones: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5) y (5,5). Sin embargo, es fácil ver que 
estas combinaciones están todas en la columna (5). 
Ahora, se hace el trabajo análogo con el condicional. 
1.-La regla para obtener el valor del condicional es:
Si el primer valor es mayor que el segundo, el valor es 0; si no, el valor es 1.
2.-Hallar las distintas combinaciones de parejas de números de las (5) 
columnas.
Al tomar en consideración que el condicional no es conmutativo se 
obtienen las siguientes combinaciones de columnas:
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1, 5), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (3,3), (3,4), (3,5), (4,4), 
(4,5), (5,5), (5,4), (5,3), (4,3), (5,2), (4,2), (3,2), (5,1), (4,1), (3,1) y (2,1).
3.-Hallar la tabla de las distintas combinaciones indicando a qué columna es 
equivalente si es el caso, o crear una nueva columna si no coincide con 
ninguna de las anteriores.
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
p q p  q  T 
1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1
0 1 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1
(5,1) 
(4,1)
(5,2) (2,3), (5,3) 
(4,3), (4,2)
(1,2), (1,4) 
(3,4), (5,4) 
(3,2)
(1,1),(1,3), (1,5), (2,2) 
(2,3), (2,4), (2,5), (3,3) 
(3,5), (4,4), (4,5), (5,5)
(3,1) 
(2,1)
Puesto que se ha incorporado la columna (6), se añaden a las 
combinaciones previas las siguientes: (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6), (6,5), 
(6,4), (6,3), (6,2) y (6,1).
Al hacer las tablas de verdad de estas combinaciones se concluye que:
(1,6), (6,6) y (6,5) están en la columna (5)
(2,6), (3,6), (4,6) y (5,6) están en (6)
(6,4) está en la columna (4)
(6,3) y (6,1) están en la columna (3) y
(6,2) está en la columna (2).
Por lo tanto, con la disyunción y el condicional como únicos conectivos 
se pueden expresar (además de ellos mismos) estas funciones de verdad: p, q, 
T y .
Presentación del método general.
Ahora se puede presentar el método general en abstracto con menos 
riesgo de que parezca obscuro. Después de escribir las columnas 
correspondientes a los posibles valores de las variables p y q y la tabla de 
verdad del conectivo o conectivos de partida, se procede a:
1. Construir las combinaciones de pares de columnas considerando que las 
combinaciones inversas sólo se incluirán cuando el conectivo no es conmutativo.
Para un conectivo no conmutativo las combinaciones iniciales que surgen con n
columnas son:
(1,1), (1,2), (1,3),…,(1,n), (2,1), (2, 2), (2,3),…,(2,n),…., (n-1, n-1), (n-
1,1), (n-1,2),…,(n-1,n), (n,1), (n, 2),…(n, n).
Si el conectivo es conmutativo se eliminan de la lista anterior aquellas donde el primer 
elemento del par ordenado es mayor que el segundo.
2. Construir la tabla de verdad de cada combinación indicando a qué columna 
pertenece cada una de ellas o introduciendo nuevas columnas según sea el caso.
(1) (2) (3) (4) … (n) (n+1) (n+2) … (n+k)
p q Conectivo1 Conectivo2 … Conectivon-2 Nueva1 Nueva2 …
1 1
1 0
0 1
0 0
3. Si hay nuevas columnas, hallar las nuevas combinaciones de pares de columnas 
surgidas y la columna a la que pertenecen (este paso se repite hasta que no haya 
nuevas columnas).
Supóngase que surgen k nuevas columnas, entonces si el conectivo es 
conmutativo las combinaciones que se agregan son: 
(n+1,1), (n+1, 2),…,(n+1, n), (n+1,n+1), (n+2,1), (n+2, 2),…,(n+2, n+1), 
(n+2,n+2),…, (n+k,1), (n+k, 2),…,(n+k, n+k-1), (n+k,n+k).
Si el conectivo en cuestión no es conmutativo, se añaden las anteriores y el 
inverso de todas las combinaciones no reflexivas (es decir, todas las 
combinaciones que no son de la forma (m,m)).
4. Las nuevas columnas obtenidas constituyen las otras conectivas que se puedenexpresar con las dadas. Las combinaciones indican las distintas formas de expresar
los conectivos en términos de los otros.
Otros resultados del método
Usando este método se concluye que:
Con  y  sólo se pueden expresar: p, q, T, , , y .
Por ejemplo: 
(pq)  p(q(pq))
(pq)  q(p  q)
Con  y  sólo se pueden expresar: p, q, T, , , .
Por ejemplo: (usando  para )
(pq)  q(p(pq))
Estos y otros resultados obtenidos por medio del método expuesto se muestran 
en la siguiente tabla:
Conectivos usados Funciones binarias expresadas
 ,  p , q
  ,  p, q, T, 
,  p, q, T, , , 
,  p, q, T, , , 
,  p, q, T, , , 
,  p, q, T, , , 
,  Todas (p|q  p(pq))
,  Todas (p|q  p (pq))
, T Todas (pq  q(pT))
, T Todas (p|q  (Tp)q)
,  Todas (p|q  p(pq))
,  Todas (p|q  (pq)p)
, T Todas (pq  (Tp)q)
, T Todas (p|q  q(pT))
,  Todas (p|q  p(qp))
,  Todas (p|q  p(qp))
,  Todas (p|q  p(qp))
,  Todas (p|q  (qp)p))
Los últimos 12 renglones de la tabla constituyen los conjuntos 
adecuados de conectivos que constan de sólo 2 conectivos binarios. Entre 
paréntesis se da una prueba simple de que son adecuados, la cual consiste en 
expresar con el par de conectivos considerados uno de los dos conectivos
capaces de expresar todos los restantes, es decir, la negación conjunta o la 
incompatibilidad.
Importancia y ventajas del método.
Puesto que el método aportado conlleva incluir todas las combinaciones 
posibles, podría parecer una gran desventaja de la técnica presentada que la 
cantidad de combinaciones crece rápidamente, especialmente en casos donde 
surgen 8 columnas o más (por ejemplo los casos indicados en los renglones 3 
al 6 de la tabla previa) y en los que aumenta el número de los conectivos 
empleados o de las variables. Sin embargo, esta característica proporciona 
también ciertas ventajas, ya que esto nos permite no sólo conocer la cantidad 
máxima de funciones no equivalentes, sino también las distintas fórmulas que 
expresan dichas funciones, incluyendo las que usan el mínimo número posible 
de conectivos. 
De hecho, toda otra fórmula que use sólo el conectivo o los conectivos en 
cuestión se construye a partir de los bloques básicos de las columnas halladas 
en el procedimiento visto. Por ejemplo, dada una fórmula de cualquier longitud 
finita que use como único conectivo el bicondicional, se puede mostrar que es 
equivalente a una combinación de las ya obtenidas. El proceso consiste 
simplemente en ver si las fórmulas componentes son elementos de alguna de 
las 4 columnas que obtuvimos en el ejemplo 1. Si no lo son, se suprime el 
conectivo principal (en este caso, otro bicondicional) de cada componente del 
bicondicional principal y se considera si cada miembro está en alguna columna, 
y así sucesivamente hasta hallar los componentes básicos (esto está 
garantizado porque hay una cantidad finita de proposiciones componentes) los 
cuales constituyen las 4 columnas halladas.
Un caso concreto puede ilustrar mejor la idea. Hemos visto en el ejemplo 
1 que usando sólo el bicondicional se puede obtener T de varias formas. No 
obstante, la siguiente fórmula no se obtuvo entre las combinaciones 
encontradas:
T  ((pq)(pq))  ((pp)(qq))
Sin embargo, se puede observar que tanto el miembro izquierdo del 
bicondicional principal como el derecho, están en la columna (4), ya que cada 
uno es equivalente a T. Sin embargo, podemos ir más lejos y obtener la forma 
precisa de cómo se puede construir esta fórmula a partir de las columnas 
obtenidas en el procedimiento expuesto.
En este caso basta observar que el miembro izquierdo del bicondicional 
tiene la combinación (3,3) y el derecho ((1,1), (2,2)). Es fácil mostrar ahora que 
esta combinación está en la columna (4): Puesto que las combinaciones (1,1) y 
(2,2) están ambas en la columna (4), la combinación de ellas ((1,1), (2,2)) es 
una instancia de (4,4), así que la fórmula dada “((pq)(pq))
((pp)(qq))” es la combinación ((3,3), (4,4)). Y como (4,4) y (3,3) también 
están en la columna (4), la fórmula dada realmente es sólo otra instancia de la 
combinación (4,4).
De hecho, los bloques obtenidos en las columnas permiten construir 
cualquier otra fórmula que utilice el bicondicional como único conectivo, ya que 
proporcionan todas las combinaciones de proposiciones no equivalentes que 
se pueden unir mediante el bicondicional. Todo esto confiere ciertas ventajas 
sobre otras presentaciones de la interdefinición de conectivos y los conjuntos 
adecuados de ellas. 
Por ejemplo, Gamut (2003, p.256) señala que la máxima cantidad de 
fórmulas no lógicamente equivalentes que se pueden construir con dos letras 
proposicionales usando sólo el condicional material “es 6 con las siguientes 
representaciones: pp, p, q, pq, qp, (pq)q.” Sin embargo, Gamut no 
explica cómo se obtienen éstas 6 fórmulas11 ni de qué otras formas se pueden 
representar. El método propuesto aquí permite obtener toda esta información y 
puede generalizarse a otros casos, ya sea con más letras proposicionales, con 
más conectivos o para conectivos que no son binarios.
Además, Gamut añade que: “Aplicaciones ulteriores de  no nos 
conducirán a una nueva tabla de verdad”. Pero no explica por qué. El método 
 
11 Aunque las primeras parecen obvias, la última que “es una definición de p v q en términos 
implicación” no lo es, así que una explicación de cómo se obtienen es muy útil.
presentado no sólo nos permite entender por qué, sino que provee la base para 
una demostración de que no hay otras funciones binarias que puedan 
construirse a partir de las obtenidas.
A continuación se presenta un argumento por reducción al absurdo para 
mostrar esto. Supongamos que además de las funciones obtenidas mediante el 
método ofrecido, hay otro conectivo expresable. Ya que cualquier otro
conectivo ha de estar construido con uno o más de los bloques indicados en las 
columnas, dicha conectivo tiene una combinación (a,b) de dichos bloques, pero 
como las columnas obtenidas agotan todas las combinaciones posibles, la 
combinación (a,b) es una de ellas. Esto contradice la hipótesis de que se 
trataba de una nueva función y el resultado queda establecido. 
Por otra parte, el problema de determinar la mínima longitud de las 
fórmulas equivalentes adquiere relevancia no sólo por simplicidad, sino por 
economía y optimización cuando se hacen aplicaciones en computación o en 
circuitos eléctricos por mencionar algunos ejemplos.
Por ejemplo, vayamos al problema planteado por H.B. Enderton para 
expresar  usando sólo , Enderton da la solución “((AA)B) 
((BB)A)" y dice:
Esto usa cinco dispositivos; ¿existe una mejor solución? Una pregunta más 
profunda es: ¿existe algún procedimiento sistemático para encontrar una solución 
minimal? Aquí sólo planteamos estas preguntas. En años recientes se ha 
realizado una buena cantidad de trabajo en la investigación de cuestiones de este 
tipo.(Enderton, 2004: 89)
El presente método permite responder a estas dos preguntas: 
1. No hay una mejor solución
Cinco es la mínima cantidad de dispositivos  que pueden usarse para
expresar el bicondicional. Las otras formas mínimas de expresarlo son:
((AA)B)  ((AB)A)
((AB)B)  ((BB)A)
((AB)A)  ((AB)B)
2. El procedimiento sistemático buscado es justo el propuesto aquí. Como 
hemos visto, el procedimiento nos permite hallar las fórmulas de longitud 
mínima con las primeras combinaciones, y después la longitud y la 
complejidad aumentan a medida que se evalúan las combinaciones de 
las nuevas columnas.
Consideremos un ejemplo que subraya la eficacia del método. Cuando 
Hamilton (1981, pp.30-31) aborda el problema de encontrar una forma 
enunciativa en la que sólo figure y que sea equivalente a pq, da la 
siguiente solución:
{(pp) [(qq)  (qq)]} {(pp) [(qq) (qq)]}
Hamilton añade: “Este ejemplo ilustra el precio que hay que pagar en 
términos de complicación y longitud si se desea usar una única conectiva.”
Sin embargo, aunque esta solución es correcta, no es la mejor, pues se 
puede expresar el mismo conectivo de una forma mucho más simple: 
[(q(pq)]  [(q(pq)].
Esto marca una importante virtud del método aportado aquí: no sólo nos 
permite hallar las distintas fórmulas equivalentes, sino también las de mínima 
longitud.
Además, el presente método constituye la base para una demostración 
fácil de entender para probar que ciertos conjuntos de conectivos no son 
adecuados. Por ejemplo, Hunter (1971, p. 68) presenta el esbozo de una 
demostración de que el conjunto ,  no es adecuado usando el método de 
inducción matemática fuerte. Me parece que aún el esbozo podría resultar un 
poco complicado para algunos estudiantes. Usando el método propuesto se 
muestra de forma simple que con  y  sólo se pueden expresar p y q
(además de los propios conectivos  y ).
Un tratamiento similar muestra de forma sencilla que a partir de , 
sólo se pueden expresar las siguientes funciones de verdad: T, T, . Esto 
es significativo porque Hamilton (p.21) señala que la prueba de que el conjunto 
,  no es un conjunto adecuado es difícil usando los métodos tradicionales.
Esto resuelve fácilmente también el siguiente ejercicio de Enderton
(1987, p. 83): 
Pruebe que { T, , , ,} no es completo.
(Recuérdese que nosotros usamos T para  y  para ). Dado que 
dos elementos del conjunto ( y ) sólo pueden expresar los otros 3 (T, , ) 
ningún otro se obtiene y el resultado queda probado. 
El siguiente ejercicio tomado de Enderton (1987, p. 83) también puede 
ser resuelto fácilmente usando la tabla de resultados mostrada antes:
Pruebe que {,,} es completo pero que ningún subconjunto propio es 
completo.
Con el método se encuentra que con ‘’ y ‘’ se puede expresar ‘’ en 
la siguiente forma: p(pq)  pq. También, como se muestra en la tabla, 
con ‘’ y ‘’ se puede expresar ‘p|q’ en la siguiente forma p(pq). Por lo 
tanto, {,, } es completo.
Por otra parte, aunque el método desarrollado aquí se aleja un poco de 
varios de los tratamientos usuales en su forma de abordar la negación,12 este 
tratamiento permite comprender fácilmente por qué el conjunto que consiste de 
la negación y de la conjunción ,  es adecuado o completo.13 La razón es 
que tal conjunto en realidad está constituido por las funciones binarias p, q, 
p, q y . Así que el conjunto en realidad incluye pq, pq, pq, pq y 
sus negaciones. En consecuencia, no es extraño que el conjunto ,  sea 
adecuado porque en realidad se trata del conjunto , , , , |,,,, 
el cual contiene los dos conectivos (pq y p|q) capaces de expresar por sí solos 
todo conectivo binario, y otros conectivos más. Análogamente, el conjunto , 
 es adecuado por ser realmente el conjunto , , , | , , ,, , el 
cual también incluye entre sus elementos la Barra de Sheffer “|” y la Daga de 
Quine “”.
Ahora bien, la proliferación de los casos que surgen en varias de las 
combinaciones de conectivos no debería perturbarnos demasiado porque:
1) Una vez que se ha entendido y trabajado el método, se pueden hallar 
varios “atajos” para obtener ciertas interdefiniciones específicas o para 
responder a preguntas particulares que no exigen conocer todas las 
distintas formas de expresar una función de verdad a partir de uno o 
más conectivos. 
 
12 La negación no ha sido considerada aquí como una conectiva binaria. De hecho, la negación 
no es una conectiva genuinamente binaria ya que su tabla de verdad se puede definir usando 
funciones de verdad unarias.
13 Además, este enfoque permite hacer una prueba sencilla de que la negación conjunta y 
alternativa son los únicos conectivos binarios adecuados por sí solos. La prueba está en el 
Apéndice.
2) El trabajo arduo puede ser efectuado por un programa computacional, lo 
que hace innecesario el paso 1 y deja la carga de trabajo de los otros 
pasos en “las manos” de las sumisas computadoras (no en vano la 
palabra robot significa “trabajo forzado”).
En conclusión, aunque puede llevar tiempo desarrollar el procedimiento 
sistemático propuesto aquí, vale la pena la inversión por las ventajas que se 
han indicado, sin mencionar las que aún aguardan a medida que se aplique 
este método general en la solución de otros problemas.
Apéndice
I. Demostrar que | y ↓ bastan cada uno por sí solo para expresar todos los conectivos 
binarios.
Los 16 conectivos considerados
p q ∧ ∨ → ↔ ← Τ ¬Τ ¬← ¬↔ ¬→ ¬∨ ¬∧ ¬
q
¬p
se pueden expresar sólo con ‘∨’ y ‘¬’ .Los primeros 8 se pueden expresar así:
1.p ≅ p, 2. q ≅ q, 3. p∧q ≅¬ (¬p∨¬q), 4. p∨q ≅ p∨q, 5. p → q ≅¬ p∨q, 
6. p↔q ≅ ¬(¬p∨¬q) ∨¬(p∨q), 7.p ←q ≅ ¬q∨p, 8.Τ ≅ p ∨ ¬p
Anteponiendo una negación a éstos se obtienen los restantes 8 ya que son simplemente la negación de los 
anteriores. Por lo tanto, {∨,¬} es completo.
Ahora bien, | y ↓ expresan cada uno por sí mismo ‘∨’ y ‘¬’ así:
¬p ≅ p|p (p∨q) ≅ (p|p)|(q|q)
(p∨q) ≅ (p↓q)↓(p↓q) ¬p ≅ p↓p
Por lo tanto, | y ↓ bastan cada uno por sí solo para expresar todos los conectivos binarios. �
II. Demostrar que | y ↓ son los ùnicos conectivos que por sí solos son adecuados.
Supongamos que existe otro conectivo binario ♣ que es adecuado por sì solo, entonces ♣:(1,1)→0 de 
lo contrario cualquier fórmula que use sólo ♣ y tome el valor 1 en todas sus variables 
proposicionales, adoptaría el valor 1 y no podrìa expresar la negación. Análogamente, ♣:(0,0) →1.
Ahora bien, los valores de verdad en las líneas 2 y 3 de la tabla de ♣ no pueden ser iguales porque 
entonces ♣ serìa | o ↓. Por lo tanto, son distintos. 
A B A♣B
1 1 0
1 0 ?
0 1 ?
0 0 1
Por lo tanto, ♣ ≅ ¬p o ♣ ≅ ¬q, pero ni ¬p ni ¬q es completo porque ‘¬’ no es un conectivo 
completo por sí mismo, ya que ninguno de estos puede expresar T. Por lo tanto, | y ↓ son los 
únicos conectivos que por sí solos son adecuados.�
Referencias. 
Enderton, H. B. (2004) Una introducción matemática a la lógica, 2ª Edición, México, UNAM, 
Filosofía Contemporánea. 
Gamut, L.T.F. (2003) Introducción a la lógica, Buenos Aires, Eudeba, Enciclopedia Lógica.
Hunter, G. (1971) Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic, 
California, University of California Press.
Hamilton, A.G. (1990) Logic for mathematicians, Cambridge, Cambridge University Press.
Mano, M. y Kime, C. (1997) Logic and Computer Design Fundamentals, Nueva York, Prentice Hall. 
Smullyan, R. M. (2007) The Magic Garden of George B. and Other Logic Puzzles, Milan, 
Polimetrica.
Smullyan, R. M. (2009) Logical Labyrinths, A K Peters, Ltd, Canadá.
Smullyan, R. M. (1989) Juegos por siempre misteriosos, Gedisa, México.
Yanuskevich, S. Y Shmerko, V. (2008) Introduction to Logic Design, CRC Press, Estados Unidos 
de América.
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