Ejercicios de Cálculo 15 - Caleb Carballido Torres

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PontificiaUniversidadCatolicadeChile Curso:MAT1620-C´alculoII
FacultaddeMatem áticas Profesor:WolfgangRivera
Semestre2019-2 Ayudante:IgnacioCasta˜neda
Mail: mat1620@ifcastaneda.cl
Ayudant́ıa7
Limitesdevariasvariablesycontinuidad
24deseptiembrede2019
1. Determinarsilossiguienteslimitesexistenono.Encasodequeexistan,calculesu
valor
l´ım
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
a) l´ım
(x,y)→(0,0)
5x2y
x2 + y2
b)
l´ım
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
c) l´ım
(x,y)→(0,0)
x2yey
x4 + y2
d)
l´ım
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
x2 + y2
e) l´ım
(x,y)→(0,0)
sen(xy)
xy
f)
Soluci´on:
a) l´ım
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
Notemosqueasimplevistaelgradodelnumeradoryeldenominadorson
iguales,porloqueesdeesperarsequeell´ımitenoexista.
Probemosdesdedistintasdirecciones
x =0 → l´ım
(0,y)→(0,0)
02
02 + y2
=0
y =0 → l´ım
(x,0)→(0,0)
x2
x2 +0 2
=1
Como0 6=1,concluimosqueell´ımitenoexiste.
b) l´ım
(x,y)→(0,0)
5x2y
x2 + y2
Enestecaso,elgradodelnumeradores3yeldeldenominadores2por
loque,siendoelnumeradormayoraldenominador,esdeesperarsequeel
l´ımiteexista(yprobablementeseaiguala0).
Ayudant́ıa 7 - Ignacio Castañeda - mat1620@ifcastaneda.cl
Probemos desde distintas direcciones.
x = 0→ ĺım
(0,y)→(0,0)
5 · 02y
02 + y2
= 0
y = 0→ ĺım
(x,0)→(0,0)
5x2 · 0
x2 + 02
= 0
y = mx→ ĺım
(x,mx)→(0,0)
5x2mx
x2 + (mx)2
= ĺım
(x,mx)→(0,0)
5mx3
x2 +m2x2
= ĺım
(x,mx)→(0,0)
5mx3
x2(1 +m2)
= ĺım
(x,mx)→(0,0)
5mx
1 +m2
=
0
1 +m2
= 0
Hasta el momento todo indica que el ĺımite existe, sin embargo, para estar
seguros es necesario comprobar con coordenadas polares, por lo que haremos
el cambio de variables
x = rcos(θ), y = rsen(θ)
Notemos que con este cambio,
x2 + y2 = r2, (x, y)→ 0 =⇒ r → 0
Luego, debemos resolver el ĺımite
ĺım
r→0
5r2cos2(θ)rsen(θ)
r2
= ĺım
r→0
5rcos2(θ)sen(θ) = 0
Como las funciones sen y cos son funciones acotadas, por teorema del sandwich
concluimos que el ĺımite existe y es cero.
c) ĺım
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
En este caso, el grado del numerador y el denominador son iguales, por lo
que es de esperarse que el ĺımite no exista.
Probemos desde distintas direcciones.
x = 0→ ĺım
(0,y)→(0,0)
0 · y
02 + y2
= 0
y = 0→ ĺım
(x,0)→(0,0)
x · 0
x2 + 02
= 0
2
Ayudant́ıa 7 - Ignacio Castañeda - mat1620@ifcastaneda.cl
y = mx→ ĺım
(x,mx)→(0,0)
xmx
x2 + (mx)2
= ĺım
(x,mx)→(0,0)
mx2
x2 +m2x2
= ĺım
(x,mx)→(0,0)
mx2
x2(1 +m2)
=
m
1 +m2
Como el resultado depende de m, para distintos valores de m el valor será
distinto, por lo que concluimos que el ĺımite no existe.
d) ĺım
(x,y)→(0,0)
x2yey
x4 + y2
A simple vista, el grado del numerador es 3 y el del denominador es 4 por
lo que, dado que el numerador es menor que el denominador, es de esperarse
que el ĺımite no exista.
Probemos desde distintas direcciones.
x = 0→ ĺım
(0,y)→(0,0)
02yey
04 + y2
= 0
y = 0→ ĺım
(x,0)→(0,0)
x2 · ·e0
x4 + 02
= 0
y = mx→ ĺım
(x,mx)→(0,0)
mx3emx
x4 +m2x2
= ĺım
(x,mx)→(0,0)
mxemx
x2 +m2
= 0
Hasta el momento todo indica que el ĺımite si existe y es cero, sin embargo,
como intuitivamente dijimos que no deb́ıa existir, busquemos otro acercamiento
al ĺımite. Notemos que el exponente del x y el y en el denominador son 4 y
2, respectivamente, por lo que probaremos con una función que iguale estos
exponente. Esta puede ser, cualquiera de la forma y = mx2.
y = mx2 → ĺım
(x,mx2)→(0,0)
mx4emx
2
x4 +m2x4
= ĺım
(x,mx)→(0,0)
memx
2
1 +m2
=
m
1 +m2
6= 0
Finalmente, concluimos que el ĺımite no existe.
e) ĺım
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
x2 + y2
Probemos desde distintas direcciones.
x = 0→ ĺım
(0,y)→(0,0)
sen(02 + y2)
02 + y2
= ĺım
y→0
sen(y2)
y2
= 1
y = 0→ ĺım
(x,0)→(0,0)
sen(x2 + 02)
x2 + 02
= ĺım
x→0
sen(x2)
x2
= 1
3
Ayudant́ıa 7 - Ignacio Castañeda - mat1620@ifcastaneda.cl
y = mx→ ĺım
(x,mx)→(0,0)
sen(x2 + (mx)2)
x2 + (mx)2
= ĺım
x→0
sen(x2(1 +m2))
x2(1 +m2)
= 1
Ahora, comprobamos en polares
x = rcos(θ), y = rsen(θ)
x2 + y2 = r2
Con esto, el ĺımite queda
ĺım
r→0
sen(r2)
r2
= 1
f) ĺım
(x,y)→(0,0)
sen(xy)
xy
Probemos directamente con polares,
x = rcos(θ), y = rsen(θ)
Con esto, el ĺımite queda
ĺım
r→0
sen(rcos(θ)rsen(θ))
rcos(θ)rsen(θ)
Uno tendeŕıa a pensar que esto es 1, sin embargo, si evaluamos con θ = 0
antes de evaluar r, nos queda
0
0
, lo que es indefinido. Ojo que esto no es lo
mismo que un ĺımite que al evaluarlo nos queda
0
0
, ya que eso seŕıa
casi 0
casi 0
.
Aqúı lo que ocurre es un real
0
0
, cosa que es imposible.
Por lo tanto, el ĺımite no existe.
Como conclusión, para que el ĺımite exista, este debe ser igual para cualquier
valor de θ, incluso antes de evaluar el ĺımite.
2. Dada la función
f(x) =

x4y3
3x2 + 2y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
determinar si es continua en todo R2 o no.
Solución:
4
Ayudant́ıa 7 - Ignacio Castañeda - mat1620@ifcastaneda.cl
Para que la función sea continua debe ocurrir que
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = f(0, 0) = 0
ĺım
(x,y)→(0,0)
5x2y
x2 + y2
En este caso, el grado del numerador es 3 y el del denominador es 2 por lo que,
siendo el numerador mayor al denominador, es de esperarse que el ĺımite exista (y
probablemente sea igual a 0).
Probemos desde distintas direcciones.
x = 0→ ĺım
(0,y)→(0,0)
04y3
3 · 02 + 2y2
= 0
y = 0→ ĺım
(x,0)→(0,0)
x403
3x2 + 2 · 02
= 0
y = mx→ ĺım
(x,mx)→(0,0)
x4(mx)3
3x2 + 2m2x2
= ĺım
(x,mx)→(0,0)
m3x7
x2(3 + 2m2)
= ĺım
(x,mx)→(0,0)
m3x5
3 + 2m2
= 0
Hasta el momento todo indica que el ĺımite existe, sin embargo, para estar seguros
es necesario comprobar con coordenadas polares, por lo que haremos el cambio de
variables
x =
√
2rcos(θ), y =
√
3rsen(θ)
Notemos que con este cambio,
3x2 + 2y2 = 6r2, (x, y)→ 0 =⇒ r → 0
Luego, debemos resolver el ĺımite
ĺım
r→0
4r4cos4(θ)3
√
3r3sen3(θ)
6r2
= ĺım
r→0
12
√
3
6
r5cos4(θ)sen3(θ) = 0
Como las funciones sen y cos son funciones acotadas, por teorema del sandwich
concluimos que el ĺımite existe y es cero.
Finalmente, la función es continua.
3. Determine el conjunto de puntos en los cuales la función es continua
f(x, y) =

x3y2
x2 + 2y2
(x, y) 6= (0, 0)
1 (x, y) = (0, 0)
5
Ayudant́ıa 7 - Ignacio Castañeda - mat1620@ifcastaneda.cl
Solución:
Notemos que para todo (x, y) 6= (0, 0), f(x, y) es continua por ser composición de
funciones continuas.
Luego, solo nos queda ver que ocurre en (0, 0).
Para que la función sea continua en (0, 0) debe ocurrir que
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = f(0, 0) = 1
Probemos desde distintas direcciones.
x = 0→ ĺım
(0,y)→(0,0)
03y2
02 + 2y2
= 0
y = 0→ ĺım
(x,0)→(0,0)
x302
x2 + 2 · 02
= 0
y = mx→ ĺım
(x,mx)→(0,0)
x3(mx)2
x2 + 2m2x2
= ĺım
(x,mx)→(0,0)
m2x5
x2(1 + 2m2)
= ĺım
(x,mx)→(0,0)
m2x3
1 + 2m2
= 0
Hasta el momento todo indica que el ĺımite existe, sin embargo, para estar seguros
es necesario comprobar con coordenadas polares, por lo que haremos el cambio de
variables
x = rcos(θ), y =
√
2rsen(θ)
Notemos que con este cambio,
2x2 + y2 = 2r2, (x, y)→ 0 =⇒ r → 0
Luego, debemos resolver el ĺımite
ĺım
r→0
r3cos3(θ)2r2sen2(θ)
2r2
= ĺım
r→0
2
2
r3cos3(θ)sen2(θ) = 0
Como las funciones sen y cos son funciones acotadas, por teorema del sandwich
concluimos que el ĺımite existe y es cero.
Por lo tanto, la función es continua en R2 − (0, 0).
6